福建省高考数学一轮总复习 第25讲 解斜三角形的实际应用课件 文 新课标

【点评】 在实际测量中，经常会遇到不能直接测量 物体高度的情况，灵活应用解斜三角形的方法能较好的 解决问题；当题中三角形较多时，常选择直角三角形、 等腰三角形、等边三角形等特殊三角形得关系．
二
测量距离问题
【例 2】 如图，要计算西湖岸边两景点 B 与 C 的 距离，由于地形的限制，需要在岸上选取 A 和 D 两点， 现测得 AD⊥CD，AD＝10 km，AB＝14 km，∠BAD＝ 60° ， ∠BCD＝135° ， 求两景点 B 与 C 的距离(精确到 0.1 km)．参考数据： 2＝1.414， 3＝1.732， 5＝2.236.
【解析】因为 2b＝a＋c，所以 4b2＝(a＋c)2，即(a－c)2＝0， 所以 a＝c，所以 2b＝a＋c＝2a，所以 a＝b，即 a＝b＝c， 故选 D.
4.两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km， 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20° ， 灯塔 B 在观察站 C 的 南偏东 40° ，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( A．a km C．2a km B. 2a km D. 3a km )
【解析】由题意，C＝180° －75° －60° ＝45° ， AC AB 由正弦定理得sin60° ＝sin45° ， 2 所以 AC＝sin45° · sin60° ＝ 6.
2.某人向正东方向走了 x km，他向右转 150° ，然后朝 新方向走了 3 km，结果他离出发点恰好为 3 km，那么 x 的值是 2 3或 3 .
【解析】如图，∠D＝45° ，∠ACB＝60° ，DC＝100， ∠DAC＝15° ， DC· sin45° 因为 AC＝ sin15° ， 所以 AB＝AC· sin60° 100· sin45° · sin60° ＝ sin15° 2 3 100× 2 × 2 ＝ ≈237. 6－ 2 4 所以选 A.
【点评】 距离问题常指海上、空中或实地测量有障 碍物等，常从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后 通过解这些三角形，得到所求的量从而得到实际问题的 解．
三 正、余弦定理与三角函数模型综合
【例 3】 (2012· 江西上高二中)如图，要在一块半径 为 1 m， 圆心角为 60° 的扇形纸板 AOB 上剪出一个平行四 边形 MNPQ，使点 P 在 AB 弧上，点 Q 在 OA 上，点 M、 N 在 OB 上，设∠BOP＝θ.平行四边形 MNPQ 的面积为 S.
一
测量高度问题
【例 1】 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位： m)．如示意图，垂直放置的标杆 BC 的高度 h＝4 m，仰角 ∠ABE＝α，∠ADE＝β，该小组已经测得一组 α、β 的值， 算出了 tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出 H 的值．
H h H 【解析】由 AB＝tanα，BD＝tanβ，AD＝tanβ及 AB＋ htanα H h H BD ＝ AD ，得 tanα ＋ tanβ ＝ tanβ ，解得 H ＝ ＝ tanα－tanβ 4×1.24 ＝124. 1.24－1.20 因此，电视塔的高度 H 是 124 m.
2．实际问题中的有关术语、名称 (1)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方 的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
(2)方向角 ①正南方向、正北方向、正东方向和正西方向． ②东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的 夹角平分线(如图②)． ③北 α 东，即北偏东 α：自正北方向按顺时针方 π 向旋转到经过目标的射线转过的角为 α(0<α<2)．
【解析】先根据已知条件画出草图，再用余弦定理或 正弦定理列方程，( 3)2＝32＋x2－2· 3xcos30° ，解得 x＝ 3 或 x＝2 3，故填 2 3或 3.
3. △ABC 的三边分别为 a，b，c 且满足 b2＝ac,2b ＝a＋c，则此三角形是( A．等腰三角形 ) B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【解析】 在△ABD 中，设 BD＝x， 则 BA2＝BD2＋AD2－2BD· AD· cos∠BDA， 即 142＝x2＋102－2· 10x· cos60° ， 整理得：x2－10x－96＝0， 解之得，x1＝16，x2＝－6， sin∠CDB sin∠BCD 16 所以 BC＝sin135° · sin30° ＝8 2≈11.3(km) 答：两景点 B 与 C 的距离约为 11.3 km.
(3)方位角 从正北方向顺时针转到目标方向线的最小正角 3 ． 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、 计算面积问题、航海问题、物理问题等．
1.(2011· 上海卷)在相距 2 千米的 A、B 两点处测量目标 C， 若∠CAB＝75° ，∠CBA＝60° ，则 A、C 两点之间的距离是 6 千米．
【解析】依题意得∠ACB＝120° . AC2＋BC2－AB2 由余弦定理得 cos120° ＝ ， 2AC· BC 所以 AB2＝AC2＋BC2－2AC· BCcos120° 1 ＝a ＋a －2a (－2)＝3a2，
2 2 2
所以 AB＝ 3a.故选 D.
5.在地面上一点 D 测得一电视塔尖的仰角为 45° ，再 向塔底方向前进 100 m，又测得塔尖的仰角为 60° ，则 此电视塔高约为( A．237 m C．247 m ) B．227 m D．257 m
能够运用正、余弦定理等知识和 方法解决一些测量和几何计算．
1．应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步 骤及基本思路． 基本思路：
(2)一般步骤： ①分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图； ②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解 量尽量集中在有关的三角形中， 建立一个解斜三角形的数 学模型； ③求解：利用正弦定理或余弦定理解出三角形，求得 数学模型的解； ④检验：检验上述所求的结果是否具有实际意义，从 而得出实际问题的解．