一个数学问题的探讨——动圆与定圆做无滑动滚动运动的有关计算
人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品习题课件 第三章 第三章 综合训练
−
= ( > , > )的左、右焦点分别为 (−, ), (, ),
可得 = .
如果离心率为 ,可得
=
,则 = ,所以双曲线C的方程为
= + ,
如果双曲线过点(, ),可得ቐ
−
−
−
则 = = ，∴ = ， = ,
∴椭圆的方程为
+
= ( ≥ ).
对于A，椭圆的离心率是 =
=
=
，故A正确；
对于B，设(, )关于直线 = 的对称点为(, )， ≠ ,可得
=
解得
+
×
,
设( , )，∴
+
= ，∴ = − ( < < ),
∴ || = − + − ,
∴ = × ( − + − ) =
=
(
+ ),
+
− × =
+
( − ) ≤
2
− 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为1 (−5,0),2 (5,0),则
2
2
能使双曲线的方程为 − = 1的是() ABC
关于滚圆问题的若干思考
１３滚 动 和纯 滚 动 ．
圆沿着另外一个 圆的内表面滚动， 比较典型 的例子是 １９ 年 山西省的一道竞赛试题 ： ９０ 例 ２ 如 图２ 圆 的半径为 ｒ 圆（ 的半径 ， ， 二 ）
为４ ， 从图中所示位置 出发绕 圆（作无滑动 ｒ圆 ） 滚动． 要使 圆 的圆心返 回到原来位 圆 滚 置，
（） ； Ａ ３
（） ； Ｂ４
（） ； Ｃ５
（） ． Ｄ ６
点评： 这两道题 目在用词上各有特点： ｉ 例 用
不能算作是尘埃落定， 其原 因主要有两个方面： （） １一些概念在表述的时候仍显得相 当模糊；
（） 圆问题的本质还没被大家所知晓． ２滚 鉴于这种状况 ， 笔者结合物理学知识谈谈 自 己对滚 圆问题的一些认识， 供读者参考． Ｉ 有关概念的界定 ．
２ １ 年第 １ 期 ０１ ０
数 学数 学
１ ｌ ｏ三
关于滚圆问题的若干思考
３５ ０ 浙江省慈溪市育才中学初 中部 童浩军 １０ ３
一
个圆沿着其他物体的表面滚动， 它的转数
动的圈数为 ……… … … … … … … … … … （ ）
问题在初中数学 中已被讨论了二十余年 （ 以下简 称“ 圆问题”． 于这 场讨论笔者认为 至今 尚 滚 ）关
现在来具体讨论滚 圆（ 以下没特别说 明， 滚
动均指纯滚动） 自转转数问题． 的 ２ 沿折线型表面滚动 ． ２１沿 直 线型 表 面滚 动 ． 如图 ３ 圆沿直线 ｆ ， 由ｏ《 位置滚动到 ｏ（ 二 ） ＝ ） 位置 （ 半径 ＯＡ相应地移到 《 的位置） 由于滚 二 ） ， 动时没有打滑， 所以（０ ：Ａ 二 Ｂ＝ Ｊ 『 ） Ｅ 的长， ｝ Ｃ 显然
“圆形滚动”的问题探究
的路 径等 于 圆周滚 过 的路 程．
２ 圆在 多 边 形 外 侧 滚 动
问 题 ２ 如 图 ， 个 半 径 为 ｒ的 圆 。 在 折 线 Ｚ上 滚动 一 段 路 程 ， 点 为 Ａ， 起 终 点 为 Ｂ， 圆 心 ０ 经 过 的 问 路 径是 多 少 ？ 探究 结 论 ：圆 心 ０ 所
般 结 论 ：圆 在 长 方 形 的 外 侧 滚 动 １圈 ， 圆心 所 经历 的路径 等 于正方 形 的周长再 加 上 圆 的 １个 周 长 ． 问题 ４ 如 图 ， 个 半 一 径 为 ｒ的 圆 ０ 在 正 △ ＡＢＣ 的外 侧 自 Ｄ 点 开 始 滚 动 １ 圈 回 到 点 Ｄ， 圆心 Ｏ 经 问 过 的路径 是多 少 ？ 探究 结论 ：圆 心 ０所 经 历 的路 径 Ｌｏ 于 等 正 △ ＡＢＣ 的 周 长 ３ ＡＢ， 加 上 圆 心 ０ 在 三 个 再 顶点 处 旋 转 经 过 的 弧 长 之 和 （ 好 是 一 个 周 刚 长 ） 即 Ｌ 一３ ， ｏ ＡＢ ＋ ２ ｒ 兀． 探究 发现 ：圆心 在各个 顶 点处 旋转 经 过 的 度数 刚 好 是 它 的外 角 ， 过 的度 数 之 和就 等 于 转 多边 形 的外角 之 和 ３ ０． ６。 问题 ５ 一个 半 径为 ｒ的 圆 ０ 在 任意 多 边 形 的外侧 自 Ｐ 点开 始 滚 动 １圈 回到点 Ｐ， 问圆 心 ０经过 的路径 是 多少 ？ 般 结论 ：圆在 任 意 多边 形 的 外 侧 滚动 １ 圈 ， 心 所 经 历 的 路 径 等 于 多 边 形 的 周 长 和 圆 圆 的周 长之 和．
・
４ ・ ０
数 学 教 育 研 究
２０ ０ ６年 第 ２期
Ｌ。 是 以 Ｍ 为 圆 心 ， （ 就 以 Ｒ＋ ｒ 为半 径 的 大 圆 ） 周 长 ， Ｌ ＝２ （ 即 。 ７ Ｒ＋ｒ ． ） 般结论 ：圆在 圆周 的 外 侧 滚 动 １圈 ， 圆 心 所经 历 的路 径 等于这 两个 圆 的周 长之 和． 继 续探索 ：在这个 过程 中圆 Ｏ 自转 了多 少
MathStudio31 圆外旋轮线
MathStudio for iPad使用方法入门（31）圆外旋轮线（外摆线）2016年5月27日圆外旋轮线一个动圆外切于一个定圆作无滑动的滚动，动圆圆周上定点M所描成的轨迹，称为圆外旋轮线（外摆线）外摆线的形状由m=a/b的值而定参数方程m=a/b, 当a=b m=1 曲线是帕斯卡蜗线，心脏线m是整数，曲线有m分支m=g/h, g、h互质，曲线有g分支m是无理数曲线有无穷多分支，动点不返回起始点摘自《数学手册》编写组高等教育出版社1979年借助Slider 改变a、b、c的数值，深入观察对图形变化的影响a=b m=1帕斯卡蜗线，心脏线a=2 b=1 m=2圆外旋轮线2个分支a=3 b=1 m=3圆外旋轮线3个分支a=3 b=2 m=3/2圆外旋轮线3个分支a=3 b=1.8 m=5/3圆外旋轮线5个分支a=3 b=1.2 m=5/2圆外旋轮线5个分支a=1.5 b=1 m=3/2圆外旋轮线3个分支a=2.5 b=1 m=5/2圆外旋轮线5个分支a=2.2 b=2m=1.1 =11/10，并非无理数左图:动点未返回起始位置，何故？x的取值范围小了a=2.2 b=2m=1.1 =11/10左图: x取值范围由6π改为24π动点返回起始位置了11个分支a=3 b=1.4m=15/7=2.14285714……动点未返回起始位置a=3 b=1.4m=15/7=2.14285714…x取值范围由6π改为16π动点返回起始位置了15个分支a=2.5 b=2m=5/4动点未返回起始位置a=2.5 b=2m=5/4x取值范围由6π改为8π动点返回起始位置了5个分支a=√（2）/2(无理数)b=1m=0.707106781x取值范围0～24π动点未返回起始位置a=√（2）/2(无理数) +0.5b=1m=1.207106781x取值范围0～24π动点仍未返回起始位置m为无理数时动点不能返回起始位置长（短）幅圆外旋轮线（外次摆线）设动圆上动点M 至动圆中心的距离为c ，则M 点所描成的曲线称为外次摆线c<b 时短幅圆外旋轮线c=b 圆外旋轮线c>b 长幅圆外旋轮线cc圆外旋轮线a=6b=1c=1m=a/b=6 6个分支长幅圆外旋轮线a=6b=1c=2>bm=a/b=66个分支短幅圆外旋轮线a=3b=1c=0.5<bm=a/b=33个分支帕斯卡蜗线心脏线a=1b=1c=1长幅圆外旋轮线a=1b=2>ac=3>bm=a/b=1/2 1个分支2层圆外旋轮线a=1 b=3>a c=3=bm=a/b=1/3 1个分支3层短幅圆外旋轮线a=1b=1.2>ac=1<bm=a/b=1/1.2=5/6 5个分支6层短幅圆外旋轮线a=1b=3>ac=1<bm=a/b=1/3 1个分支3层长幅圆外旋轮线a=3.2b=1.6<ac=2.25>bm=a/b=3.2/1.6=22个分支长幅圆外旋轮线a=2.4b=1.6<ac=2.25>bm=a/b=2.4/1.6=3/2 3个分支2层长幅圆外旋轮线a=3b=1.6<ac=2.25>bm=a/b=3/1.6=15/8 15个分支8层长幅圆外旋轮线a=2.6b=1.6<ac=2.25>bm=a/b=2.6/1.6=13/8 13个分支8层长幅圆外旋轮线a=1.8b=1.6<ac=2.25>bm=a/b=1.8/1.6=9/8 9个分支8层长幅圆外旋轮线a=1.2b=1.6<ac=2.25>bm=a/b=1.2/1.6=3/4 3个分支4层长幅圆外旋轮线a=1.4b=1.6<ac=2.25>1m=a/b=1.4/1.6=7/8 7个分支8层参考文献数学手册《数学手册》编写组高等教育出版社1979年外摆线百度百科谢谢共享制作LNFSCSS背景音乐出水莲2016年6月10日。
滚动问题中圆的圈数的探讨
滚动问题中圆的圈数的探讨一 问题的提出一位学生向我提出了一个问题；将两枚同样大小的硬币放在桌子上，其中一枚硬币A 固定，而另一枚硬币B 则沿着硬币A 边缘无滑动滚动一圈回到初始位置，这时滚动的硬币B 滚动（）圈。
A.1圈B.1.5圈C.2圈D.2.5圈看完题目，我不加思考的说，圆滚动一圈，选择A 答案。
学生看着我说，有两位老师说答案是2圈，加上你有2位老师说答案是一圈，许多学生认为是一圈。
听了学生的叙述，我有些不知所措，于是对他说，我再仔细的思考思考，然后回答你。
进过很长的一段时间，我突然想起这个问题与一个关于圆滚动的中考题颇为相似，查找资料发现2009年河北省的中考题与学生问的题目有联系。
原题的部分叙述为（1）如图1，⊙O 从⊙O1的位置出发，沿AB 滚动到⊙O2的位置，当AB=c 时，⊙O 恰好自转1圈；（2）如图2，∠ABC 相邻的补角是n °，⊙O 在∠ABC 外部沿A-B-C 滚动，在点B 处，必须由⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O 绕点B 旋转的角∠O1BO2=n °，⊙O 在点B 处自转（）圈．看到这个中考题后，我恍然大悟，原来圆在折线上滚动存在一个旋转角的问题，而圆在直线上滚动不存在旋转角。
我把人们非常熟悉的圆在直线上滚动的规律，想当然的运用到物体在圆周上或者曲线上滚动的情形，实际上这两者却有着重大区别。
观察图1，圆在线段AB 上滚动一周，在直线上经过的路程为圆的周长即AB ，也可以认为是O 1O 2的长度,圆在直线上滚动一周，圆自身转动了一圈。
观察图2，当圆滚动到圆O 1的位置时，圆在B 处无滑动的旋转到圆O 2的位置，也就是圆以B 点为圆心，圆的半径旋转过一个角度，即∠O 1BO 2 。
因为O 1B ⊥BD, O 2B ⊥BC,所以∠O 1BO 2=∠DBC 。
因此圆在折线外侧上滚动，在经过折点的过程中，圆心O 从O1的位置自转到O2的位置旋转过的角度等于折线内角的补角（图2中∠ABC 的补角n °）。
滚动问题中圆的圈数的探讨
滚动问题中圆的圈数的探讨一 问题的提出一位学生向我提出了一个问题；将两枚同样大小的硬币放在桌子上，其中一枚硬币A 固定，而另一枚硬币B 则沿着硬币A 边缘无滑动滚动一圈回到初始位置，这时滚动的硬币B 滚动（）圈。
A.1圈B.1.5圈C.2圈D.2.5圈看完题目，我不加思考的说，圆滚动一圈，选择A 答案。
学生看着我说，有两位老师说答案是2圈，加上你有2位老师说答案是一圈，许多学生认为是一圈。
听了学生的叙述，我有些不知所措，于是对他说，我再仔细的思考思考，然后回答你。
进过很长的一段时间，我突然想起这个问题与一个关于圆滚动的中考题颇为相似，查找资料发现2009年河北省的中考题与学生问的题目有联系。
原题的部分叙述为（1）如图1，⊙O 从⊙O1的位置出发，沿AB 滚动到⊙O2的位置，当AB=c 时，⊙O 恰好自转1圈；（2）如图2，∠ABC 相邻的补角是n °，⊙O 在∠ABC 外部沿A-B-C 滚动，在点B 处，必须由⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O 绕点B 旋转的角∠O1BO2=n °，⊙O 在点B 处自转（）圈．看到这个中考题后，我恍然大悟，原来圆在折线上滚动存在一个旋转角的问题，而圆在直线上滚动不存在旋转角。
我把人们非常熟悉的圆在直线上滚动的规律，想当然的运用到物体在圆周上或者曲线上滚动的情形，实际上这两者却有着重大区别。
观察图1，圆在线段AB 上滚动一周，在直线上经过的路程为圆的周长即AB ，也可以认为是O 1O 2的长度,圆在直线上滚动一周，圆自身转动了一圈。
观察图2，当圆滚动到圆O 1的位置时，圆在B 处无滑动的旋转到圆O 2的位置，也就是圆以B 点为圆心，圆的半径旋转过一个角度，即∠O 1BO 2 。
因为O 1B ⊥BD, O 2B ⊥BC,所以∠O 1BO 2=∠DBC 。
因此圆在折线外侧上滚动，在经过折点的过程中，圆心O 从O1的位置自转到O2的位置旋转过的角度等于折线内角的补角（图2中∠ABC 的补角n °）。
圆动点问题的常见思路
圆动点问题的常见思路
圆动点问题是一种经典的运动学问题，通常涉及到一个固定圆周上有一动点，且该动点以某种方式移动，例如作简谐振动或绕圆周做匀角速度运动等。
这类问题的求解思路可以归纳为以下几种：
1、构造与分解法：将动点的运动分解成沿圆周方向和垂直于圆周方向的两个独立的运动，然后对它们进行分别处理，最后再合并起来得出完整的解。
2、向量法：将圆周运动转换为向量运算，通过向量的代数运算求解。
3、几何法：利用圆的性质和三角函数，构造相应的几何图形，从而得出所需的解。
4、分析法：根据运动学基本公式，列出运动学方程，然后通过求解方程组来得出所需的解。
5、能量守恒法：对于一些特殊的圆动点问题，可以利用机械能守恒原理来求解。
园无滑动滚动(11)
滚动的圆研究报告有两个半径相同的圆，一个为定圆，一个为动圆，动圆与定圆相切且沿着定圆的外周作无滑动的滚动。
问：动圆从出发位置沿定圆滚动一周后，动圆自身转了几周？解：设两圆的半径为r。
关键是看转动半径，因为两圆外切，则转动半径为2r，所以动圆滚动的路程是以2r为半径的圆的周长，即4πr。
因为动圆的周长为2πr，所以动圆从出发位置沿定圆滚动一周后，动圆自身转了4πr/2πr=2周。
下面对此题进行推广：若两圆的半径不相等，设大圆半径为R，小圆半径为r，小圆绕大圆做无滑动的滚动。
问：小圆从出发位置沿大圆滚动一周后，小圆自转了几周？解：1 若沿外周滚动，即大圆与小圆外切，则转动半径为R+r，所以动圆滚动的路程是以R+r为半径的圆的周长，即2π（R+r）。
因为动圆的周长为2πr，所以动圆从出发位置沿定圆滚动一周后，动圆自身转了2π（R+r）/2πr=1+(R/r)周。
2 若沿内周滚动，即大圆与小圆内切，则转动半径为R-r，所以动圆滚动的路程是以R-r为半径的圆的周长，即2π（R-r）。
因为动圆的周长为2πr，所以动圆从出发位置沿定圆滚动一周后，动圆自身转了2π（R-r）/2πr=(R/r)-1周。
令大圆的周长为C1，小圆的周长为C2，则若小圆沿外周滚动，转动的圈数为(C1/C2)+1。
若沿内周滚动，转动的圈数为(C1/C2)-1由此我们可以得到：若一圆绕另一定圆做无滑动滚动，从出发位置沿定圆滚动一周后，自转的圈数为：若动圆沿定圆的外周滚动，即两圆外切，转动的圈数=(定圆的周长/动圆的周长)+1若动圆沿定圆的内周滚动，即两圆内切，转动的圈数=(定圆的周长/动圆的周长)-1根据这一结论继续进行推广，若一圆围绕一正n边形做无滑动滚动，那么动圆从出发位置沿定正n边形滚动一周后，动圆自身转了几周？若沿正n边形外周滚动，转动的圈数=(正n边形的周长/圆的周长)+1若沿正n边形内周滚动，转动的圈数=(正n边形的周长/圆的周长)-1对此再进一步思考，若一圆沿两个，三个，……n个圆做无滑动滚动，那么动圆从出发位置沿这些定圆滚动一周后，自转的圈数是多少？。
圆绕图形无滑动滚动的问题
解答：如图，虚线为滚动过程中圆心的经过的路程，圆心经过的路程等于三条线段长加上三 条弧长。其中三条线段长度之和是△ABC 的周长，三段弧长度之和是圆的周长。 即圆心经过的路程＝△ABC 的周长＋圆的周长 所以圆转动的圈数＝(5＋1)÷1＝6(圈)
小结：圆在多边形外侧滚动一周，圆心经过的路程等于多边形的周长加上圆的周长， 所以圆转动的圈数＝多边形的周长÷圆的周长＋1。
三、曲直无别：圆在另一圆的内、外滚动 (1)外滚 例 3、如图，在同一平面内，有两个大小相同的圆，其中圆 1 固定不动，圆 2 在其外围无滑
动滚动一周，则圆 2 自身转动了______周。
解答：设两小圆半径为 r。圆 2 滚动的距离就是圆 2 圆心经过的距离，即图中虚线的圆，这 个圆的半径等于两圆半径的和，因此它的周长 2π(r＋r)＝4πr 也就是圆 2 圆心经过 的路程。所以圆 2 转动了 4πr 除以圆的周长 2πr，转动了 2 周。
滚动圆问题
基本结论： 1、圆沿线（包括直线、曲线、折线）作无滑动滚动时，圆自身转动一圈，圆心经过的路程为
一个圆周长；反之，圆心经过的路程为一个圆周长，圆自身转动了一圈。 即在圆作无滑动滚动时，圆滚动经过路程长度与其圆心所经过的路线长度相等。 2、圆自身转动的圈数＝圆心经过的路程÷圆的周长 一、由简入手：圆在直线上滚动 例 1、如图，把圆放在一条长度等于其周长的线段 AB 上，从一个端点无滑动地滚动到另一个
端点，则圆将滚动________周。
解答：圆心经过的路程为一个圆周长，所以圆滚动一周。 结论：(1)若线段 AB 的长度是圆周长的 n 倍，则圆将滚动 n 周。
(2)圆心 O 所经过的路线的长度等于线段 AB 的长。 二、拓广范围：圆在多边形外滚动 例 2、如图，圆沿着△ABC 的外侧作无滑动的滚动一周回到原来位置。已知△ABC 的周长是圆
专题7 巧解圆中的动态问题（含答案）
专题7 巧解圆中的动态问题知识解读圆中的动态问题，通常以圆为载体，通过点的运动、直线的运动，探究点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系.解答这类问题时，要求对几何元素的运动过程有一个完整、清晰的认识，不管点动、线动还是形动，要善于借助动态思维的观点来分析，不被“动”所迷惑，从特殊情形入手，变中求不变，动中求静，抓住静的瞬间，以静制动，把动态的问题转化为静态的问题来解决，从而找到“动”与“静”的联系，锅示问题的本质，发现运动中的各个变量之间互相依存的函数关系，从而找到解决问题的突破口，也就找到了解决这类问题的途径。
解决这类问题常常用到分类讨论、数形结合、方程与函数等数学思想方法.培优学案典例示范例1 如图1－7－1，扇形OAB 的半径OA ＝3，圆心角∠AOB ＝90°，点C 是⌒AB 上异于A ，B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E ，连接DE ，点G ，H 在线段DE 上，且DG ＝GH ＝HE .求证：223CH CD +是定值.【提示】题中半径不变，DG ，GH 和HE 之间的等量关系不变，可过点H 作HF ⊥CD 于点F ，构造相似三角形，应用相似三角形的性质及勾股定理等知识用2CD 来表示2CH .【解答】图1-7-跟踪训练如图1－7－2，A ，B 为⊙O 上的两个定点，P 是⊙O 上的动点（P 不与A ，B 重合），我们称∠APB 为⊙O 上关于A ，B 的滑动角.（1）已知∠APB 是⊙O 上关于点A ，B 的滑动角. ①若AB 为⊙O 的直径，则∠APB ＝ ； ②若⊙O 半径为1，2=AB ，求∠APB 的度数；（2）已知2O 为⊙1O ，外一点，以2O 为圆心作一个圆与⊙1O ，相交于A ，B 两点，∠APB 为⊙1O 上关于点A ，B 的滑动角，直线PA ，PB 分别交⊙2O 于点M ，N （点M 与点A ，点N 与点B 均不重合），连接AN ，试探索∠APB 与∠MAN ，∠ANB 之间的数量关系.【提示】（1）①根据直径所对的圆周角等于90°即可得∠APB ＝90°；②根据勾股定理的逆定理可得∠AOB＝90°，再分点P在优狐AB上，点P在劣弧AB上两种情况讨论即可；（2）根据点P在⊙O上的位置分为四种情况得到∠APB与∠MAN，∠ANB之间的数量关系.1【解答】例2如图1－7－3，正方形ABCD的边长为1，点E为BC边上一动点，以AE为直径作⊙O.（1）设BE＝x，⊙O的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当BE为何值时，⊙O与CD相切；（3）在（2）的条件下，切点F在CD边上的位置如何，并加以证明；（4）判断以CD为直径的圆是否与（2）条件下的AE相切，说明理由.【解答】图1-7-3跟踪训练如图1－7－4，以M（－5，0）为圆心，4为半径的圆与x轴交于A，B两点，P是⊙M上异于A，B的一动点，直线PA，PB分别交y轴于C，D，以CD为直径的ON与x轴交于E，F，则EF的长（）A.为24C.为6 D.随P点位置的变化而变化4 B.为3图1-7-4 图1-7-56，0），B（0，6），经过A，B的直线l以每秒1个单位的速度向下作例3 如图1－7－5，已知点A（3匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线l上以每秒1个单位的速度沿直线l向右下方向作匀速运动.设它们运动的时间为t秒.（1）用含t的代数式表示点P的坐标；（2）过O作OC⊥AB于C，过C作CD⊥x轴于D，问：t为何值时，以P为圆心，1为半径的圆与直线OC相切？并说明此时⊙P与直线CD的位置关系.【提示】（1）求点P的坐标，即求点P到x轴与到y轴的距离，因此需过点P作x轴或y轴的垂线，然后探索运动过程中，点P的运动情况；（2）探索⊙P与直线CD的位置关系，即探索圈的半径与圆心到直线的距离之间的关系，分⊙P在左侧与直线OC相切和⊙P在右侧与直线OC相切两种情况讨论即可。
圆中的动态几何问题
动态几何就是研究在几何图形的运动中，伴随 着出现一定的图形位置、数量关系的 “变”与 “不变”性；动态几何问题通常包括: （1）动点 （点在线段或弧线上运动）（2）动直线（3）动 形问动题态.几何问题常常集几何、代数知识于一体， 数形结合，有较强的综合性，题目灵活、多变， 动中有静，动静结合，能够在运动变化中发展空 间想象能力，综合分析能力，是近几年中命题的 热点。
(1) t为何值时，四边形APQD为矩形？
(2) 如图2，如果⊙ P和⊙ Q的半径都是2 cm，那么t
为何值时，⊙ P和⊙ Q外切？
D
Q
CD
Q
C
A
P
BA
P
B
图(1)
图(2)
解决这类问题的基本策略是：
1.动中求静。即在运动变化中探索问题中的不变性； 2. 动静互化。抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特
殊问题，从而找到“动与静”的关系；
变式2:将图②中的EF所在的直线继续向上平移到图 ③的位置,使EF与OB的延长线垂直相交于H,A为 EF上异于H的一点,且AH小于⊙ O的半径,AB的延 长线交⊙ O于C,过C点作⊙ O的切线交EF于D,试猜 想DA=DC是否仍然成立？证明你的结论。
E
HAF
D
B
B
E
AF
O
D
C
图①
CO
图③
B
B
E
AF
靠船舶的位置。 【不经意】ｂùｊīｎɡｙì动不注意；【；优游 / 优游 ；】ｂīｎɡɡǎｏ名凿冰用的工具，【坼】ｃｈè〈书〉 裂开：天寒地～。意识反作用于存在。【边际】ｂｉāｎｊì名边缘；也说岔道儿。 【兵荒马乱】ｂīｎɡｈｕāｎɡｍǎｌｕàｎ形容战时社会动荡不安的景象。 【草荒】ｃǎｏｈｕāｎɡ名①农田因缺乏管理，车前部装有钢叉，适宜于做冬季服装。【采纳】ｃǎｉｎà动接受（意见、建议、要求）：～群众意见。④连并且 ：我完全同意～拥护领导的决定。 排除：～诸门外｜～而不用。【沉甸甸】ｃｈéｎｄｉàｎｄｉàｎ（口语中也读ｃｈéｎｄｉāｎｄｉāｎ）（～的）形状态词。 也指 彩塑的工艺品。【博物】ｂóｗù名动物、植物、矿物、生理等学科的总称。多用于攀登冰峰。 有读。【不是】ｂù？（图见１０１页“横波”） 【摈】（擯） ｂìｎ〈书〉抛弃； ④（对某事）做得特别好：他～于写作。【必然性】ｂìｒáｎｘìｎɡ名指事物发展、变化中的不可避免和一定不移的趋势。【擦澡】ｃā ∥ｚǎｏ动用湿毛巾等擦洗全身：擦把澡。②表示程度很深：热得～｜她急得～，现在还很难～。②名指意外的不幸事件：险遭～｜提高警惕，泛指比率：应 在生产组内找标准劳动力，【宾服】ｂīｎ？ 【操演】ｃāｏｙǎｎ动操练；：海～｜村～｜田～｜马路～儿。朝夕相伴。在业余或课外学习：～外语｜～学校。 【苍天】ｃāｎɡｔｉāｎ名天（古代人常以苍天为主宰人生的神）。 【不拘一格】ｂùｊūｙīɡé不局限于一种规格或方式：文艺创作要～，不合时尚：绣 花鞋这里早就～了。鲦或鲦鱼。也叫餐纸。【避坑落井】ｂìｋēｎɡｌｕòｊǐｎɡ躲过了坑，【痹症】ｂìｚｈèｎɡ名中医指由风、寒、湿等引起的肢体疼痛或 麻木的病。②对人不满；旧称守宫。【成形】ｃｈéｎɡｘíｎɡ动①自然生长或加工后而具有某种形状：果实已经～｜浇铸～。用于人时含贬义或戏谑意）： 长～｜蹲～｜跌～（变瘦）｜这块肉～厚。 【禀报】ｂǐｎɡｂàｏ动指向
动态圆法解决动态平衡问题
动态圆法是一种数学方法，用于解决动态平衡问题。
它基于一个假设，即物体在动态平衡状态下会形成一个动态圆(或称动态平衡圆)，这个圆的大小和形状取决于物体的质量、速度和加速度等参数。
通过计算动态圆的周长和面积，可以得出物体受到的力的大小和方向，从而解决动态平衡问题。
动态圆法可以应用于各种动态平衡问题，例如飞行器的稳定性控制、汽车悬挂系统的设计、机械振动的抑制等。
它的优点在于简单易懂、计算速度快、精度高，能够准确地描述物体在动态平衡状态下的运动状态。
总之，动态圆法是一种非常实用的工具，可以帮助我们更好地理解和解决各种动态平衡问题。
圆绕图形无滑动滚动的问题
线长度相等(虚线圆)，所以圆 2 转动周数＝ 2πr ＝ r ＝r＋1(周)。
(2)内滚 例 4、如图，圆 1 的半径为 R，圆 2 的半径为 r。圆 2 从图上所示位置出发，在圆 1 内部绕圆
端点，则圆将滚动________周。
解答：圆心经过的路程为一个圆周长，所以圆滚动一周。 结论：(1)若线段 AB 的长度是圆周长的 n 倍，则圆将滚动 n 周。
(2)圆心 O 所经过的路线的长度等于线段 AB 的长。 二、拓广范围：圆在多边形外滚动 例 2、如图，圆沿着△ABC 的外侧作无滑动的滚动一周回到原来位置。已知△ABC 的周长是圆
周长的 5 倍，问圆自身转动了几圈？
解答：如图，虚线为滚动过程中圆心的经过的路程，圆心经过的路程等于三条线段长加上三 条弧长。其中三条线段长度之和是△ABC 的周长，三段弧长度之和是圆的周长。 即圆心经过的路程＝△ABC 的周长＋圆的周长 所以圆转动的圈数＝(5＋1)÷1＝6(圈)
小结：圆在多边形外侧滚动一周，圆心经过的路程等于多边形的周长加上圆的周长， 所以圆转动的圈数＝多边形的周长÷圆的周长＋1。
1 作无滑动滚动一周回到原来的位置，则圆 2 转动了______周。
解答：圆 2 在圆 1 内部作无滑动地滚动，圆 2 滚动的路线长度与其圆心所经过的路线长度相 2π(R－r) R－r R
等(虚线圆)，所以圆 2 转动周数＝ 2πr ＝ r ＝r－r转动了2滚动的路线的长度与其圆心所经过的路线长度相等虚线圆所以圆2转动周数从图上所示位置出发在圆1内部绕圆作无滑动滚动一周回到原来的位置则圆2转动了周
滚动圆问题
动圆与定圆做无滑动滚动运动的有关计算
一个数学问题的探讨动圆与定圆做无滑动滚动运动的有关计算2004年兰州市数学中考试题 A 卷第17题为："如图O A 的半径为r , O O 的半径为4r ,O A 从图㈠所示位置出发做无滑动滚动，要使O A 的圆心返回到原来的位置。
O A 滚动的圈数是 _______。
”该题的参考答案是“ 4 ”，现就这一问题作如 下探讨：因为O O 的半径是O A 半径的4倍，所 以O O 的周长也是O A 的周长的4倍。
如图㈡点B 、B /是O O 的四等分点，所以沿顺时针方向滚动，O A 上的切点B 恰好运动 到点B '的位置。
那么 AB 由OB 的方向沿逆时 针方向旋转。
到 OB '的位置。
其旋转角度为 Za =270 °，这样一来，当O A 的圆心返回到原 4Za =4 X 270° =1080 °也就是说O A 滚动的圈数为：=3圈。
360这个问题有没有规律可循呢?现就这一问题的一般性作如下探讨：如O A 在O O 内沿顺时针方 向做无滑动滚动，并回到原来的位置时如果切点 B '与点B 重合，则 无疑O O 的周长是O A 的周长的门倍（n 》2且n 为整数）。
如图（三）所示，若点B 、B '是O O 的n 等分点，'等于O A 的周长，则Z BOB '=--------------------------------------------------------------，若nO A 与O O 从O O 内于点B 的位置出发绕O O 沿顺时针方向做无滑动滚到与O O切于点B '的位置时，则 AB 沿逆时针方向旋转到360A 'B '的位置，贝U AB 旋转角度为Za =360n那么当O A 回到原来的位置时，贝y AB 旋转的角度 亠 360为n （360） n 360 360 ,所以O A 滚动的圈数为:n圈，也就是说当定圆的周长是动圆周长的 n 倍且动圆沿定圆做无滑动滚动并返回到原来的位的长恰好等于O A 的周长。
初三上数学期末复习《动圆问题探究》专题提优含答案
初三数学期末复习专题提优《动圆问题探究》动圆问题是各地中考取对于圆知识考察的热门问题，并且常常会以综合题的形式出现，相关动圆的题目往常以直线相切等地点关系的议论和形成特别图形的形式出现，主要以下边两种思想来解决这种问题:1.化动向为静态 :一般的运动问题老是要化动向为静态，把动的问题作静态剖析，达成问题的求解 .2.分类议论 :把一些运动问题分红“段”来考虑，化整体为小局部，化繁为简 . 种类一函数背景下的动圆研究问题1.在平面直角坐标系xOy 中，直线l经过点 A( 3,0) ，点 B(0,3) ，点P的坐标为(1,0),⊙P 与y轴相切于点 O ，若将⊙P沿 x 轴向左平移，平移后获得⊙点P的对应点为点P (P )，当⊙ P 与直线l订交时，横坐标为整数的点 P 共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.如图，在平面直角坐标系中，直线l : y2x 8分别与 x 轴，y轴订交于 A, B 两点，点P(0, k) 是y轴负半轴上的一个动点，以P 为圆心， 3 为半径作⊙ P .(1)若⊙(2)连结(3)当⊙P 与 x 轴有公共点，求k的取值范围;PA ，若 PA PB ，试判断⊙ P 与x轴的地点关系，并说明原因 ; P 与直线l相切时，求k的值.3.如图，已知直线 l 的表达式为y x 6，它与x轴、 y 轴分别订交于A, B两点，平行于直线 l 的直线n从原点 O 出发，沿x轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，运动时间为 t 秒，运动过程中一直保持 n // l ，直线n与x轴、y轴分别订交于 D ,C两点，线段 CD 的中点为 P ，以 P 为圆心，以 CD 为直径在 CD 上方作半圆，半圆面积为 S ，当直线n与直线 l 重合时，运动结束 .(1)求A, B两点的坐标 ;(2)求 S 与 t 的函数表达式及自变量t 的取值范围 ;(3)直线n在运动过程中，①当 t 为什么值时，半圆与直线l 相切 ?②能否存在这样的 t 值，使得半圆面积S1 S梯形ABCD?若存在，求出t的值;若不存在2说明原因 .种类二三角形、四边形背景下的动圆研究问题4.射线QN与等边ABC 的两边AB, BC分别交于点M , N，且AC // QN , AM MB=2 cm，QM =4 cm.动点P从点 Q 出发，沿射线 QN 以每秒1 cm的速度向右挪动，经过t 秒，以点P 为圆心， 3 cm为半径的圆与ABC 的边相切 (切点在边上 )，恳求出 t 可取的全部值 (单位:秒).5.以下图，菱形 ABCD 的极点A, B在x轴上，点A在点B的左边，点D在y轴的正半轴上，BAD 60 ，点 A 的坐标为 (－2,0).(1)求线段AD所在直线的函数表达式 ;(2)动点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度，依据 A → D → C → B → A 的次序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为 t 秒，求 t 为什么值时，以点P为圆心、以 1 为半径的圆与对角线 AC 相切 .6.如图，在 Y ABCD 中，DAB 60 , AB = 15 cm.已知⊙O的半径等于3 cm, AB, AD 分别与⊙ O 相切于点E, F . ⊙ O 在 Y ABCD 内沿AB方向转动，与 BC 边相切时运动停止 .试求⊙ O 滚过的行程 .7.等腰直角 ABC 和⊙ O 如图搁置，已知AB BC 1, ABC 90 , ⊙ O 的半径为 1，圆心 O与直线 AB 的距离为5.现ABC以每秒2个单位的速度向右挪动，同时ABC的边长 AB 、BC 又以每秒 0. 5 个单位沿 BA 、 BC 方向增大 .(1)当ABC 的边 ( BC 边除外 )与圆第一次相切时，点B 挪动了多少距离?(2)若在ABC 挪动的同时，⊙ O 也以每秒 1 个单位的速度向右挪动，则ABC 从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，一共经过了多少时间?(3)在(2)的条件下，能否存在某一时辰，ABC 与⊙ O 的公共部分等于⊙ O 的面积 ?若存在，求出恰巧切合条件时两个图形挪动了多少时间 ?若不存在，请说明原因 .参照答案2.(1) 3 k0(2)相切，原因以下：Q PB8 k ，由PA PB，得 16 k 28 k ，解得 k3, ⊙P与 x 轴相切.(3)k8 3 5 或 k 3 5 83.(1) A(6,0) , B(0,6)(2) S 1t 2 (0 t6) 461(3) ① t 3 时，半圆与直线 l 相切 .②存在，t14.分三种状况：(1)如图①(2)如图②(3)如图③5.(1)y3x 2 3(2)当运动时间为 2 秒或 6 秒或 10 秒或 14 秒时，以 1 为半径的圆与 AC 相切 .6.⊙ O 滚过的行程为 ( 15 4 3 )cm427.(1) 点B运动的距离为45(2)从开始运动到最后一次相切的时间为 6 秒.(3)Q ABC 与⊙ O 从开始运动到第二次相切时，行程差为4，速度差为 1.从开始运动到第二次相切的时间为 4 秒，此时ABC移至 A B C 处(如图)，A B 3.连结BO并延伸交 AC 于点P，易证B P AC ，且OP 1.此时⊙ O 与 A C 订交，因此不存在 .。
动态圆解决临界问题课件
进一步优化动态圆方法的计算过程，提高其在大规模临界问题上的 计算效率。
06
动态圆解决临界问题的应 用案例
动态圆解决临界问题在物理学中的应用案例
总结词
复杂运动分析
详细描述
动态圆临界问题在物理学中常用于分析复杂运动，如行星运动、卫星轨道等。 通过建立动态圆的模型，可以研究物体在力场中的运动轨迹和速度变化，从而 揭示其运动规律和特征。
动态圆的定义涉及到三个基本 要素：圆心、半径和时间。
动态圆可以表示为以时间为参 数的函数，通常表示为圆的方 程加上时间参数。
动态圆的性质
动态圆的半径和圆心会随着时间的变 化而变化。
பைடு நூலகம்
动态圆的运动轨迹是一条封闭的曲线 ，其形状取决于初始条件和运动规律 。
动态圆的周长和面积也会随着时间的 变化而变化。
动态圆的应用场景
02
临界问题通常涉及到多个因素和 变量，需要综合考虑各种因素对 系统状态的影响，以确定系统是 否处于临界状态。
临界问题的分类
01
02
03
物理临界问题
涉及物理现象和物理过程 的临界问题，如流体动力 学、热力学、电磁学等领 域的临界问题。
化学临界问题
涉及化学反应和化学平衡 的临界问题，如化学反应 速率、化学平衡常数、化 学反应路径等。
实验研究
实验研究是解决临界问题的另一种重要方法。通过实验可以观察系统的 实际行为和变化过程，验证数学模型和理论分析的正确性，同时也可以 为理论分析提供实际数据和经验。
03
动态圆解决临界问题的原 理
动态圆解决临界问题的基本思路
确定临界点
根据题目条件，确定临界点，即满足某些特定条件的点。
建立动态圆方程
圆在几何图形上滚动的数学(上)
圆在几何图形上滚动的数学（上）吴乃华由于圆的圆心具有到圆上的每个点的距离都相等的特点，圆在几何图形上无滑动地滚动，它在直线、折线、曲线以及角的顶点上滚动的情况是不同的：在直线上圆心和它的圆周同时运动，在曲线上，不仅圆心和它的圆周同时运动，滚动着的圆还随着弧度的不同，随时在改变运行的方向：在角的顶点上，圆周的切点不动，而圆心旋转。
不仅如此，圆在几何图形上作无滑动地滚动，在图形内和在图形外也是不同的。
这些，都是值得我们从数学的角度来探讨的。
下面分五个方面来叙述：A、圆在圆上滚动1、引例：在直线上是滚动2、在圆上滚动的距离．3、在圆周上滚动的圈数B、圆在折线、三角形、矩形、凸多边形的外滚动1、在折线外侧滚动2、在正方形外滚动3、在三角形外滚动4、在凸多边形上滚动C、在折线内侧和在封闭图形内滚动所转的圈数1、在折线的内侧滚动2、在圆内滚动a、转的圈数b、转的长度D、圆滚动扫过的面积1、圆在封闭图形外滚动扫过的面积2、圆在封闭图形内滚动扫过的面积E、综合练习A、圆在圆上滚动1、引例：在直线上的滚动例1、如图，一个半径为r厘米的圆形硬币，沿着桌面一条长6r厘米的直线作无滑动的滚动，从头到尾，硬币要滚动几周？【解】：如图中所示，下面的实线表示平面上的直线，上面的虚线是表示硬币圆心运动的轨迹。
已知圆形硬币的半径为r厘米，它的周长是2r，桌面上的直线长6r厘米，所以，硬币从一端滚动到另一端，滚动了：6r÷2r＝3（周）观察如上图形，有两点事实是特别值得我们关注的：一是圆在直线上滚动，从起点到终点，一直不曾改变过运动的方向：二是圆在直线上滚动，它的圆心也是沿着直线运动的。
它运动的轨迹长度与圆周滚动的路程是相等的，即圆滚动一周，圆心也走过这个圆的周长的路程。
由此，我们还可以推断：不管圆在何处滚动，圆周上的一点的转动的长度，一定等于该圆的圆心所运动的轨迹长度的。
所以，要求得一个圆滚动的周数，就得要找到这个圆的圆心运动轨迹。
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现就 另 一 情 形进 行 探 讨 ： 即 如图（ 四） 所示 ： ３０的周长是 ６ ６ ３Ａ
现就这 一 问题 的一 般性
的周 长 的 ｎ倍 （ ｎ≥１ ， 且 ｎ为 整 数） ， ３Ａ与 ６ ６ ３ ０外 切 ， ０Ａ绕 ６ ３０ 做无 滑动 滚 动 到原 来 的 位置 时 ，
ｆ ４ 一 ３ ｙ ６ 解 得 ｆ ３
【 ＋ ２ ｙ ＝ ７ ｚ 【 Ｙ ＝ ２ ｚ
所以， — Ｙ一 ＝３ ｚ 一 ２ ｚ — ｚ ＝ ０ ．
・
ｒ ２ ｘ — ｙ； ， ｒ ＋ ：Ⅱ
３ ． 已知方程组｛ ｔ
解， 则 ａ： — —
ａ ｘ＋ Ｙ＝ｂ 【 ３ ｘ＋ Ｙ ８
６ ０ （ ３ ６ ０ 。一 ３
— —
＂
）：ｎ×３ ６ ０ 。一３ ６ ０ ￣ ， 所 以６ ３Ａ滚 动 的圈数 ：（ ｎ一１ ） 圈， 也就是说 当定圆 的周长
到Ｏ Ｂ 的位置． 其旋 转角度 为 Ｏ Ｌ ＝２ ７ ０ 。 ， 这 样一 来 ， 当 ｏＡ的圆心返 回到原 来 的位置 时 ， 点Ｂ 恰好 与 点 曰重 合， 这时 Ａ Ｂ旋转 的角度 为 ４Ｌｏ ｔ ＝ ４×２ ７ ０ 。＝１ ０ ８ ０ 。 也就
长等 于的０Ａ周 长 ， 若 ＧＡ从 与 ｏ０外 切于点 曰的位置 ０ 恰好返 回到原 来 的位 置 时 ， 则Ａ Ｂ旋转 的 角度 为 ｎ
（ ３ ６ ０ 。 ＋ ３ — ６ ０ ）：ｎ× ３ ６ ０ 。＋ ３ ６ ０ ￣所 以０Ａ滚动 的的圈数
—
￣
沿顺 时针方 向做无滑动滚动 ， 当其滚 动到与 ０Ｏ外 切于
Ｏ０的半 径是 ６ ３Ａ半径 的 ４倍 ，
所 以 ００的周 长 也 是 ｏＡ的周 长 的 ４倍． 如 图（ 二） 点 、 Ｂ ： ￣６ ３ｏ的 图（ 一）
００切 于点 日 的位 置 时 ， 则Ａ Ｂ沿 逆 时 针 方 向旋 转 到Ａ ＇ Ｂ， 的位置 ， 则Ａ Ｂ旋转 角度为
和｛
有相同的
八、 利用二元一次方程组的解的特征构 造 ， ｂ ＝一
例 ８ 若方程组｛
ｒ （ ｎ—ｂ＋１ ） 一６ ｙ＝口＋ｂ一１
。
有无
４ ．已知关于 的方程 ａ （ ｘ 一３ ）＋ｂ （ ３ ｘ １ ） ＝５ （ ＋ １ ） 有无穷多个解 ， 则 ｒ 上 ＝ — — ， ｂ ＝ 一
图（ 三）
：３ ６ ０ 。 一— ３ ６ ０ — ￣那
，
四等分点 ， 所 以Ｂ Ｂ 的长恰 好等 于 ６ ３Ａ的周 长． 这 时 ｏＡ
绕 ００沿顺时针方 向滚动 ， ０Ａ上 的切点 恰好运 动到 点曰 的位 置． 那么 Ａ Ｂ由 Ｏ Ｂ的方 向沿逆时针方 向旋转．
么当 ０ 回到 原 来 的 位 置 时 ， 则Ａ Ｂ旋 转 的 角 度 为 ｎ
为：
是动 圆周长 的 ｎ倍且 动 圆沿 定 圆做无滑 动滚动并 返 回
到 原来的 位置时， 若切点运动向 与动圆 直径转动方向 相
反， 则动 圆滚 动 的 圈数 是 ： （ ｎ一１ ） 圈．
： ● 是 说 。 Ａ 滚 动 的 圈 数 为 ： ｊ 【 儿 ， ＝ ３ 圈
这个问 题有 没有 规 律可
数 解 ， 则 詈＝
答案 ． １ ． ３． １ ２ ． ４ ３ ． １ ． ２ ４ ．一１ ． ２ ．
（ 上接 ３ ４页）
－ 、
角度为 ３ ６ ０ 。 ＋
， 所 以若 ０Ａ绕 ｏＯ做无 滑 动滚 动 ，
如 图（ 五） ， 设点 曰、 是 圆ｏ０的 １ ７ ， 等分点 ， Ｂ Ｂ 的
ｒ ２ｍ ＋ ｎ＝ 一 １ ｒ ｍ ＝ 一２
解 ： 凼为方程组有尢教解 ，
｛ 【
２ ｎ—ｍ＝８ ＝
解得｛
【 ｎ＝ ３ ＝一 ．
所 以 ｆ ｛ 。 一 ＝ ２
【 ０＋ｂ 一１ ＝ ４
Ｌ ｂ ＝２
ａ ： 。
所以，
故 詈 丢
练一练 ： １ ．若 ７ － ｍ ｙ ｎ ＋ ｌ 与 一４ ” ， ， … 是 同类 项 ， 则 ｍ＝
图（ 二）
作如下探讨 ： 如 ０Ａ在 Ｏ０内
沿顺时针方 向做无滑 动滚动 ，
并 回到原来 的位 置 时如 果切
点 与点 口重合 ， 则无疑 ００
则 ０ 转动 的圈数是多少？
（ 下 转 ３页 ）
图 （ 四）
由“ 两 多 项 式 恒 等 则 对 应项 系数 相 等 ” 得
七、 把某些字母看作常数构 造 例７ 若４ 一 ３ ， ， 一 ６ ｚ ＝ ０ ， ＋２ ｙ一７ ｚ 关 于 、 Ｙ 的 方 程 组
２ ．已知 （ ２ ｘ—Ｙ 一１ ） ＋Ｉ 一 ＋２ ｙ一 ３ Ｉ ：０ ， 则 ＋Ｙ ＝
位置 出发做无滑动滚动 ， 要使 ０Ａ的圆心返 回到原 来 的 位置． ０Ａ滚动的圈数是— — ． ”
， 正
该题 的参 考答案是 “ ４ ” ， 现 就这 一 问题 作 如 下 探 讨 ： 因为
３Ａ与 ００从 ００内于点 曰 ６ 的位置 出发 绕 ００沿 顺 时 针方 向做 无 滑 动 滚 到 与
．
．．
．＋
。．
．＋
。．
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．．
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．．
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．＋
．．
．
◆ 数掌大世界 。 － ４ ． ｖ．
一
个数学问题的探讨
动 圆与 定 圆做无 滑动 滚 动 运 动 的 有关 计 算
江 － 菱 垫 煎主童 塑垦 查 ｝ 塑 …皇攫蹙
…
２ ０ ０ ４年兰州 市数学 中考试题 Ａ卷第 １ ７题 为 ： “ 如
图０ 的半径为 ｒ ， ＧＯ的半径 为 ４ ｒ ， ０Ａ从 图（ 一） 所示
的周长是 ０ 的周长 的 ｎ倍 （ ｎ ≥２且 ｎ为整 数 ） ． 如 图
／ 、
（ 三） 所示 ， 若点 Ｂ、 Ｂ 是Ｅ ） Ｏ的 ｎ等分点 ， Ｂ Ｂ 等于 ６ ３Ａ的
周长 ， 则． Ｉ Ｂ Ｏ Ｂ ， ： ， 若