高二数学上学期9月月考试题理
2021年高二数学上学期9月月考试卷 理(含解析)
2021年高二数学上学期9月月考试卷理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．若x∈R，则x=2”是“（x﹣2）（x﹣1）=0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件2．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，焦距是短轴长的两倍，则m的值为（） A． B． C． D． 43．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率是（） A． B． C． D．4．若圆x2+y2=4上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原来的，则所得曲线的方程是（）A． B． C． D．5．以双曲线﹣=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程是（）A． y2=4x B． y2=16x C． y2=8x D． y2=﹣8x6．方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）A． B． C． D．7．已知命题p：若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0；命题q：若，下列为真命题的是（）A． p∧q B． p∨q C．￢p D．（￢p）∧（￢q）8．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．9．若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是（）A． x2﹣y2=1 B． y2﹣x2=1 C． x2﹣y2=2 D． y2﹣x2=210．已知命题p：存在实数m使m+1≤0，命题q：对任意x∈R都有x2+mx+1＞0，若p且q 为假命题，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2] B． [2，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞） D． [﹣2，2]11．过双曲线的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P．若，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．12．如图所示，F为双曲线C：﹣=1的左焦点，双曲线C上的点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称，则|P1F|+|P2F|+|P3F|﹣|P4F|﹣|P5F|﹣|P6F|的值是（）A． 9 B． 16 C． 18 D． 27二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.13．命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则a的取值范围是．14．椭圆x2+ny2=1与直线y=1﹣x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则n的值是．15．过抛物线y2=4x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于．16．已知三个数2，m，8构成一个等比数列，则圆锥曲线+=1离心率为．三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知双曲线方程是9x2﹣y2=﹣81．求它的实轴和虚轴的长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．18．求下列各曲线的标准方程．（1）已知椭圆的两个焦点分别是（﹣2，0），（2，0），并且经过点（，﹣）．（2）已知抛物线焦点在x轴上，焦点到准线的距离为6．19．已知c＞0，设命题p：函数y=c x为减函数；命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．20．已知p：|x﹣2|≤3，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．21．已知圆C方程为（x﹣3）2+y2=12，定点A（﹣3，0），P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线CP相交于点Q．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程．（Ⅱ）过点C倾斜角为30°的直线交曲线E于A、B两点，求|AB|．22．已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1．（Ⅰ）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；（Ⅱ）当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．xx学年吉林省松原市扶余一中高二（上）9月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．若x∈R，则x=2”是“（x﹣2）（x﹣1）=0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据充分必要条件的定义进行判断．解答：解：∵x=2⇒（x﹣2）（x﹣1）=0，（x﹣2）（x﹣1）=0推不出x=2，∴x=2是（x﹣2）（x﹣1）=0的充分不必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，是一道基础题．2．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，焦距是短轴长的两倍，则m的值为（）A． B． C． D． 4考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆的方程求解，a，b，c的值，即可得到答案．解答：解：∵椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，∴椭圆x2+=1的焦点在y轴上，＞1，2a=2， 2b=2，2c=2，∵焦距是短轴长的两倍，∴2=4，m=，故选：A点评：本题综合考查了椭圆的几何性质，计算较容易．3．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：由题意可得 cos60°==，从而得到椭圆的离心率的值．解答：解：由题意可得 cos60°==，∴椭圆的离心率是 =，故选 B．点评：本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，得到 cos60°=，是解题的关键．4．若圆x2+y2=4上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原来的，则所得曲线的方程是（） A． B． C． D．考点：伸缩变换；椭圆的标准方程．专题：计算题．分析：在曲线C上任取一个动点P（x，y），根据图象的变换可知点（x，3y）在圆x2+y2=4上．代入圆方程即可求得x和y的关系式，即曲线的方程．解答：解：在曲线C上任取一个动点P（x，y），根据图象的变换可知点（x，3y）在圆x2+y2=4上，∴x2+9y2=4，即则所得曲线为．故选C．点评：本题主要考查变换法求解曲线的方程，理解变换前后坐标的变化是关键考查了学生分析问题的能力及数学化归思想．5．以双曲线﹣=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程是（）A． y2=4x B． y2=16x C． y2=8x D． y2=﹣8x考点：抛物线的标准方程；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线方程，算出它的右顶点为F（2，0），也是抛物线的焦点．由此设出抛物线方程为y2=2px，（p＞0），结合抛物线焦点坐标的公式，可得p=4，从而得出该抛物线的标准方程．解答：解：∵双曲线的方程为﹣=1，∴a2=4，得a=2，∴抛物线的焦点为F（2，0），设抛物线方程为y2=2px，（p＞0），则=2，得2p=8∴抛物线方程是y2=8x．故选：C．点评：本题给出抛物线焦点与已知双曲线的右焦点重合，求抛物线的标准方程，着重考查了双曲线、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．6．方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）A． B． C． D．考点：曲线与方程．专题：作图题；分类讨论．分析：当 m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示焦点在y 轴上的椭圆，当m和n异号时，抛物线 y2=﹣开口向右，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示双曲线．解答：解：方程mx+ny2=0 即 y2=﹣，表示抛物线，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示椭圆或双曲线．当 m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，无符合条件的选项．当m和n异号时，抛物线 y2=﹣开口向右，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示双曲线，故选 A．点评：本题考查根据曲线的方程判断曲线的形状，体现了分类头论的数学思想，分类讨论是解题的关键．7．已知命题p：若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0；命题q：若，下列为真命题的是（）A． p∧q B． p∨q C．￢p D．（￢p）∧（￢q）考点：复合命题的真假．专题：规律型．分析：分别判断命题p，q的真假，利用复合命题与简单命题真假之间的关系进行判断即可．解答：解：若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0，∴p为真命题．当a=1，b=﹣1时，满足a＞b，但不成立，∴q为假命题．∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，￢p为假命题，（￢p）∧（￢q）为假命题，故选：B．点评：本题主要考查复合命题与简单命题真假之间的关系，先判断简单命题p，q的真假是解决本题的关键．8．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出点B的坐标，设出点P的坐标，利用 =2，得到a与c的关系，从而求出离心率．解答：解：如图，由于BF⊥x轴，故x B=﹣c，y B =，设P（0，t），∵=2，∴（﹣a，t）=2（﹣c，﹣t）．∴a=2c，∴e==，故选 D．点评：本题考查椭圆的简单性质以及向量坐标形式的运算法则的应用，体现了数形结合的数学思想．9．若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是（）A． x2﹣y2=1 B． y2﹣x2=1 C． x2﹣y2=2 D． y2﹣x2=2考点：椭圆的简单性质；双曲线的标准方程．专题：计算题．分析：根据椭圆方程求得其长轴的端点坐标和离心率，进而可得双曲线的顶点和离心率，求得双曲线的实半轴和虚半轴的长，进而可得双曲线的方程．解答：解：由题意设双曲线方程为，离心率为e椭圆长轴的端点是（0，），所以a=．∵椭圆的离心率为∴双曲线的离心率e=，⇒c=2，∴b=，则双曲线的方程是y2﹣x2=2．故选D．点评：本题主要考查了双曲线的性质和椭圆的标准方程．要记住双曲线和椭圆的定义和性质．10．已知命题p：存在实数m使m+1≤0，命题q：对任意x∈R都有x2+mx+1＞0，若p且q 为假命题，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2] B． [2，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞） D． [﹣2，2]考点：复合命题的真假．专题：规律型．分析：先求出命题p，q为真命题的等价条件，利用p且q为假命题，即可求实数m的取值范围．解答：解：若存在实数m使m+1≤0，则m≤﹣1，∴p：m≤﹣1．若对任意x∈R都有x2+mx+1＞0，则对应的判别式△=m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2，即q：﹣2＜m＜2，∴p且q为真时，有，即﹣2＜m≤﹣1．∴若p且q为假命题，则m＞﹣1或m≤﹣2，即实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞）．故选：C．点评：本题主要考查复合命题与简单命题真假之间的关系，先求出p且q为真时的等价条件是解决本题的关键．11．过双曲线的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P．若，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．考点：双曲线的简单性质．专题：综合题．分析：先设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为（c，0），因为抛物线为y2=4cx，所以F'为抛物线的焦点，O为FF'的中点，又可得E为FP的中点，所以OE为△PFF'的中位线，得到|PF|=2b，再设P（x，y）过点F作x轴的垂线，由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．解答：解：设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为（c，0）∵抛物线为y2=4cx，∴F'为抛物线的焦点，O为FF'的中点，∵∴E为FP的中点∴OE为△PFF'的中位线，∵O为FF'的中点∴OE∥PF'∵|OE|=a∴|PF'|=2a∵PF切圆O于E∴OE⊥PF∴PF'⊥PF，∵|FF'|=2c∴|PF|=2b设P（x，y），则x+c=2a，∴x=2a﹣c过点F作x轴的垂线，则点P到该垂线的距离为2a由勾股定理 y2+4a2=4b2∴4c（2a﹣c）+4a2=4（c2﹣a2）∴e2﹣e﹣1=0∵e＞1∴e=．故选B．点评：本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．12．如图所示，F为双曲线C：﹣=1的左焦点，双曲线C上的点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称，则|P1F|+|P2F|+|P3F|﹣|P4F|﹣|P5F|﹣|P6F|的值是（）A． 9 B． 16 C． 18 D． 27考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：首先设右焦点为F′，由点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称以及双曲线的对称性得出|FP1|=|F′P6|，|FP2|=|F′P5|，|FP3|=|F′P4|，然后根据双曲线的定义得出|F′P6|﹣|P6F|=2a=6，|F′P5|﹣|P5F|=2a=6，|F′P4|﹣|P4F|=2a=6，进而求出结果．解答：解：设右焦点为F′，∵双曲线C上的点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称∴P1和P6，P2和P5，P3和P4分别关于y轴对称∴|FP1|=|F′P6|，|FP2|=|F′P5|，|FP3|=|F′P4|，∵|F′P6|﹣|P6F|=2a=6，|F′P5|﹣|P5F|=2a=6，|F′P4|﹣|P4F|=2a=6，∴|P1F|+|P2F|+|P3F|﹣|P4F|﹣|P5F|﹣|P6F|=（|F′P6|﹣|P6F|）+（|F′P5|﹣|P5F|）+（|F′P4|﹣|P4F|）=18故选C．点评：本题考查了双曲线的性质，灵活运用双曲线的定义，正确运用对称性是解题的关键，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.13．命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．考点：特称命题．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：若命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则函数y=x2﹣ax+1的图象与x轴有两个交点，故△=a2﹣4＞0，解不等式可得答案．解答：解：若命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则函数y=x2﹣ax+1的图象与x轴有两个交点，故△=a2﹣4＞0，解得：a∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．点评：本题考查的知识点是特称命题，存在性问题，其中将问题转化为函数图象与x轴交点个数，是解答的关键．14．椭圆x2+ny2=1与直线y=1﹣x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则n的值是．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：联立方程组，转化为二次方程，借助韦达定理，求出中点坐标，再利用斜率得到等式，即可求出答案．解答：解：设M（x1，y1），N（x2，y2），中点（x，y），椭圆x2+ny2=1与直线y=1﹣x交于M，N两点化简可得：（1+n）x2﹣2nx﹣n﹣1=0所以x1+x2=，x=，y=，因为过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，所以=，即n=，故答案为：点评：本题综合考查了直线与圆锥曲线位置关系，二次方程的系数的运用．15．过抛物线y2=4x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于8 ．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线方程得它的准线为l：x=﹣1，从而得到线段AB中点M到准线的距离等于4．过A、B分别作AC、BD与l垂直，垂足分别为C、D，根据梯形中位线定理算出|AC|+|BD|=2|MN|=8，结合抛物线的定义即可算出AB的长．解答：解：∵抛物线方程为y2=4x，∴抛物线的焦点为F（1，0），准线为l：x=﹣1设线段AB的中点为M（3，y0），则M到准线的距离为：|MN|=3﹣（﹣1）=4，过A、B分别作AC、BD与l垂直，垂足分别为C、D根据梯形中位线定理，可得|AC|+|BD|=2|MN|=8再由抛物线的定义知：|AF|=|AC|，|BF|=|BD|∴|AB|=|AF|+|BF||AC|+|BD|=8．故答案为：8点评：本题给出过抛物线y2=4x焦点的一条弦中点的横坐标，求该弦的长度．着重考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．16．已知三个数2，m，8构成一个等比数列，则圆锥曲线+=1离心率为或．考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由1，m，9构成一个等比数列，得到m=±3．当m=3时，圆锥曲线是椭圆；当m=﹣3时，圆锥曲线是双曲线，由此入手能求出离心率．解答：解：∵2，m，8构成一个等比数列，∴m=±4．当m=4时，圆锥曲线+=1是椭圆，它的离心率是；当m=﹣4时，圆锥曲线+=1是双曲线，它的离心率是．故答案为：或．点评：本题考查圆锥曲线的离心率的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理运用，注意分类讨论思想的灵活运用．三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知双曲线方程是9x2﹣y2=﹣81．求它的实轴和虚轴的长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：把方程化简为：，求出a，b，c 再根据几何性质写出答案．解答：解：∵双曲线方程是9x2﹣y2=﹣81，∴双曲线标准方程为：，实轴长：18，虚轴长为6，a=9，b=3，c=3，焦点坐标（0，±3），离心率：e=，渐近线方程为：y=±3x．点评：本题主要考察了双曲线的方程，几何性质，属于比较简单的计算题．18．求下列各曲线的标准方程．（1）已知椭圆的两个焦点分别是（﹣2，0），（2，0），并且经过点（，﹣）．（2）已知抛物线焦点在x轴上，焦点到准线的距离为6．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意可设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），设焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），因为椭圆经过点P（，﹣），利用椭圆的定义可得2a=|PF1|+|PF2|，再利用b2=a2﹣c2即可得出．（2）抛物线焦点在x轴上，可设标准方程为y2=±2px（p＞0）．根据焦点到准线的距离为6，可得p=6，即可得到抛物线的标准方程．解答：解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），∵椭圆经过点（，﹣）．∴．∴．∵c=2，∴b2=a2﹣c2=10﹣4=6．所求椭圆的标准方程为．（2）∵抛物线焦点在x轴上，可设标准方程为y2=±2px（p＞0）．∵焦点到准线的距离为6，∴p=6．∴抛物线的标准方程为y2=±12x．点评：本题考查了圆锥曲线的定义、标准方程及其性质，属于基础题．19．已知c＞0，设命题p：函数y=c x为减函数；命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：计算题；规律型．分析：根据指数函数的图象和性质可求出命题p为真命题时，c的取值范围，根据对勾函数的图象和性质，结合函数恒成立问题的解答思路，可求出命题q为真命题时，c的取值范围，进而根据p∨q为真命题，p∧q为假命题，可知p与q一真一假，分类讨论后，综合讨论结果，可得答案．解答：解：∵若命题p：函数y=c x为减函数为真命题则0＜c＜1当x∈[，2]时，函数f（x）=x+≥2，（当且仅当x=1时取等）若命题q为真命题，则＜2，结合c＞0可得c＞∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，故p与q一真一假；当p真q假时，0＜c≤当p假q真时，c≥1故c的范围为（0，]∪[1，+∞）点评：本题主要考查复合命题与简单命题的真假关系的应用，要求熟练掌握．20．已知p：|x﹣2|≤3，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用．分析：分别设出A，B，由￢p是￢q的必要不充分条件，得出不等式组，解出即可．解答：解：由命题P可知：﹣1≤x≤5，设A={x|﹣1≤x≤5}，因为命题q可知：1﹣m≤x≤m+1，设B={x|1﹣m≤x≤m+1}，∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件，∴A⊊B，∴，解得：m≥4，∴m的范围是：[4，+∞）．点评：本题考查了充分必要条件，四种命题的关系，是一道基础题．21．已知圆C方程为（x﹣3）2+y2=12，定点A（﹣3，0），P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线CP相交于点Q．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程．（Ⅱ）过点C倾斜角为30°的直线交曲线E于A、B两点，求|AB|．考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由题意可得点Q满足双曲线的定义，且求得a，c的值，再由b2=c2﹣a2求得b，则点Q的轨迹E的方程可求；（Ⅱ）由题意得到直线AB的方程，和双曲线方程联立后利用弦长公式得答案．解答：解：（Ⅰ）由点Q是线段AP垂直平分线上的点，∴|AQ|=|PQ|，又∵，满足双曲线的定义．设E的方程为，则，，则轨迹E方程为；（Ⅱ）直线AB的倾斜角为30°，且直线过C（3，0），∴直线AB的方程为，由，消去y得5x2+6x﹣27=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴有，．则|AB|=．点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常用根与系数的关系解决，是压轴题．22．已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1．（Ⅰ）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；（Ⅱ）当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．考点：椭圆的应用．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）由题意得直线BD的方程，根据四边形ABCD为菱形，判断出AC⊥BD．于是可设出直线AC的方程与椭圆的方程联立，根据判别式大于0求得n的范围，设A，C两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），根据韦达定理求得x1+x2和x1x2，代入直线方程可表示出y1+y2，进而可得AC中点的坐标，把中点代入直线y=x+1求得n，进而可得直线AC的方程．（Ⅱ）根据四边形ABCD为菱形判断出∠ABC=60°且|AB|=|BC|=|CA|．进而可得菱形ABCD 的面积根据n的范围确定面积的最大值．解答：解：（Ⅰ）由题意得直线BD的方程为y=x+1．因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD．于是可设直线AC的方程为y=﹣x+n．由得4x2﹣6nx+3n2﹣4=0．因为A，C在椭圆上，所以△=﹣12n2+64＞0，解得．设A，C两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，，y1=﹣x1+n，y2=﹣x2+n．所以．所以AC的中点坐标为．由四边形ABCD为菱形可知，点在直线y=x+1上，所以，解得n=﹣2．所以直线AC的方程为y=﹣x﹣2，即x+y+2=0．（Ⅱ）因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC=60°，所以|AB|=|BC|=|CA|．所以菱形ABCD的面积．由（Ⅰ）可得，所以．所以当n=0时，菱形ABCD的面积取得最大值．点评：本题主要考查了椭圆的应用，直线方程和最值解析几何的综合题，在高考中的“综合程度”往往比较高，注意复习时与之匹配33411 8283 芃34219 85AB 薫40193 9D01 鴁yM g32071 7D47 絇37514 928A 銊25096 6208 戈28946 7112 焒521440 53C0 叀<]。
2022-2023学年河南省洛阳市新安县第一高级中学高二上学期9月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年河南省洛阳市新安县第一高级中学高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．直线tan120x =︒的倾斜角是（ ） A ．60° B ．90°C ．120°D ．不存在【答案】B【分析】根据直线的方程，利用斜率和倾斜角的关系求解.【详解】解：因为直线tan120x =︒= 所以直线的倾斜角是90°， 故选：B2．平面α的斜线l 与它在这个平面上射影l'的方向向量分别为()1,0,1a =，()0,1,1b =，则斜线l 与平面α所成的角为（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【分析】由题意结合线面角的概念可得a 与b 所成的角(或其补角)即为l 与α所成的角，由cos ,||||a ba b a b ⋅<>=⋅即可得解. 【详解】由题意a 与b 所成的角(或其补角)即为l 与α所成的角， 因为11cos ,,,[0,]2||||2a b a b a b a b π⋅<>===<>∈⋅⨯， 所以,60a b <>=，所以斜线l 与平面α所成的角为60°. 故选：C.【点睛】本题考查了利用空间向量求线面角，考查了运算求解能力，属于基础题. 3．如图，空间四边形OABC 中，点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，MN xOA yOB zOC =++，则x ，y ，z 的值分别为（ ）A ．12，23-，12B ．23-，12，12C ．12，12，23-D ．23，23，12-【答案】B【分析】利用空间向量的基本定理求解.【详解】因为12()23MN ON OM OB OC OA =-=+-，211322a b c =-++，所以23x =-，12y =，12z =.故选：B.4．下列条件使M 与A ､B ､C 一定共面的是（ ） A ．2OM OA OB OC =-+ B ．0OM OA OB OC +++= C ．121532OM OA OB OC =++D ．0MA MB MC ++=【答案】D【分析】利用共面向量定理判断.【详解】A 选项：MA MB MC OA OM OB OM OC OM ++=-+-+-，30OA OB OC OM =++-≠，∴M ，A ，B ，C 四点不共面；B 选项：由0OM OA OB OC +++=，得()OM OA OB OC =-++，系数和不为1， ∴M ，A ，B ，C 四点不共面；C 选项：1211532++≠，∴M ，A ，B ，C 四点不共面；D 选项：0MA MB MC OA OM OB OM OC OM ++=-+-+-=， 即()13OM OA OB OC =++， 所以能使M 与A ､B ､C 一定共面.故选：D.5．直线l 1与l 2为两条不重合的直线，则下列命题： ①若l 1∥l 2，则斜率k 1=k 2； ②若斜率k 1=k 2，则l 1∥l 2； ③若倾斜角12αα=，则l 1∥l 2； ④若l 1∥l 2，则倾斜角α1=α2. 其中正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】①若l 1∥l 2，则分当斜率存在时、当斜率不存在时两种情况，判断命题①错误；②若斜率k 1=k 2，则l 1∥l 2，判断命题②正确；③若倾斜角12αα=，则l 1∥l 2，判断命题③正确；④若l 1∥l 2，则倾斜角12αα=，判断命题④正确即可得到答案.【详解】解：直线l 1与l 2为两条不重合的直线：①若l 1∥l 2，当斜率存在时，则斜率k 1=k 2，当斜率不存在时，两条直线都垂直与x 轴，所以命题①错误；②若斜率k 1=k 2，则l 1∥l 2，所以命题②正确； ③若倾斜角12αα=，则l 1∥l 2，所以命题③正确；④若l 1∥l 2，则倾斜角12αα=，所以命题④正确，所以正确的命题个数共3个. 故选：C.【点睛】本题考查两条直线的位置关系，是基础题.6．经过点()3,0B ，且与直线250x y +-=垂直的直线方程为（ ） A ．230x y -+= B ．260x y +-= C ．230x y --= D ．230x y +-=【答案】C【分析】由于所求直线与直线250x y +-=垂直，从而可求出所求直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程【详解】因为直线250x y +-=的斜率为2-， 所以与直线250x y +-=垂直的直线的斜率为12，因为所求直线经过点()3,0B ，所以所求直线方程为1(3)2y x =-，即230x y --=，故选：C7．“1a =-”是“直线240x ay ++=与直线(1)20a x y -++=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据两直线平行可知：12120A B B A +=求出a ，代入验证，再由充分条件、必要条件的定义即可求解.【详解】解：当两直线平行，∴12(1)0a a ⨯--=，解得2a =或1a =-， 当2a =，两直线重合，舍去； 当1a =-时，两直线平行．所以“1a =-”是“直线240x ay ++=与直线(1)20a x y -++=平行”的充要条件． 故选：C8．下列说法正确的是（ ）A ．斜率和倾斜角具有一一对应的关系B ．直线的截距式方程适合于不过原点的所有直线C ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=D ．()()()()121121y y x x x x y y --=--表示经过()11,P x y ，()22,Q x y 的直线方程 【答案】D【分析】根据倾斜角和斜率的定义，以及两点式和截距式的定义，逐个选项进行判断即可. 【详解】对于A ，倾斜角为90时，没有对应斜率，故A 错误；对于B ，直线的截距式方程适合于不过原点，不垂直于x 轴，不垂直于y 轴的所有直线，故B 错误； 对于C ，经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线，还包括y x =这条直线，故C 错误； 对于D ，根据两点式的定义，选项D 明显正确； 故选：D9．若直线l ：20(0,0)ax by a b -+=>>过点(1,2)-，当21a b+取最小值时直线l 的斜率为A ．2B ．12C D ．【答案】A【分析】将点带入直线可得212a b+=，利用均值不等式“1”的活用即可求解． 【详解】因为直线l 过点()1,2-，所以220a b --+=，即212a b+=，所以21212141()(4)(44222a b b a a b a b a b ++=+=++≥+= 当且仅当4b aa b=，即2a b =时取等号 所以斜率2ab=，故选 A 【点睛】本题考查均值不等式的应用，考查计算化简的能力，属基础题．10．已知{},,a b c 是空间的一个单位正交基底，向量23p a b c =++，{},,a b a b c +-是空间的另一个基底，向量p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为（ ） A ．31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】设()()p x a b y a b zc =++-+，根据空间向量基本定理建立关于,,x y z 的方程，解之即可得解.【详解】解：设()()p x a b y a b zc =++-+()()23c a b y a x c x y b z =++-+=++，所以123x y x y z +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，解得32123x y z ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，所以向量p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A.11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，则下列结论不正确的是（ ）A ．直线1BD ⊥平面11AC DB ．三棱锥11P ACD -的体积为定值C ．异面直线AP 与1AD 所成角的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值的最大值为63【答案】C【分析】对于A ，根据线面垂直的判定定理，结合正方体的性质以及线面垂直的性质定理，可得答案；对于B ，根据三棱锥的体积公式，证明底面11AC D 上的高为定值，利用线面平行判定以及性质定理，可得答案；对于C ，根据异面直线夹角的定义，作图，结合等边三角形的性质，可得答案；对于D ，由题意，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量以及平面的法向量，根据公式，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】对于A ，连接11B D ，记1111AC B D E =，如下图：在正方体1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，111BB AC ∴⊥，在正方形1111D C B A 中，1111AC B D ⊥，1111BB B D B ⋂=，111,B D BB ⊂平面11BB D ，∴11A C ⊥平面11BB D ，1BD ⊂平面11BB D ，111AC BD ∴⊥，同理可得：11DC BD ⊥，1111AC DC C ⋂=，111,A C DC ⊂平面11AC D ，1BD ∴⊥平面11AC D ，故A 正确；对于B ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//CB DA ，1DA ⊂平面11AC D ，1CB ⊄平面11AC D ，1//CB ∴平面11AC D ，则1P CB ∀∈，P 到平面11AC D 的距离相同，即三棱锥11P AC D -中底面11AC D 上的高为一个定值，故B 正确； 对于C ，连接1AB ，AC ，AP ，作图如下：在正方体1111ABCD A B C D -中，易知1ACB 为等边三角形，则1π3APC AB C ∠≥∠=， 11//DA CB ，APC ∴∠为异面直线1DA 与AP 所成角或者补角，则异面直线1DA 与AP 所成角的取值范围ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 错误； 对于D ，在正方体1111ABCD A B C D -中，以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如下图：设该正方体的边长为2，则()0,0,0D ，()10,0,2D ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()12,2,2B ，()10,2,2C ，设()1,01CP CB λλ=≤≤，且(),,P x y z ，则()12,0,2CB =，(),2,CP x y z =-，即2202x y z λλλ=⎧⎪-=⋅⎨⎪=⎩，可得()2,2,2P λλ，则()12,0,22C P λλ=-，由A 可知1BD ⊥平面11AC D ，则平面11AC D 的一个法向量为()12,2,2BD =--， 设直线CP 与平面11AC D 所成角为θ，则12221404444sin 88412432211143222BD CP BD CPλλθλλλλλ⋅-++-====⋅-+⋅⋅-+⎛⎫⋅-+⎪⎝⎭， 由[]0,1λ∈，则当12λ=时，sin θ取得最大值为63，故D 正确. 故选：C.12．如图，在三棱锥-P ABC 中，5AB AC PB PC ====，4PA =，6BC =，点M 在平面PBC 内，且15AM =，设异面直线AM 与BC 所成的角为α，则cos α的最大值为（ ）A 2B 3C ．25D 5【答案】D【分析】设线段BC 的中点为D ，连接AD ，过点P 在平面PAD 内作PO AD ⊥，垂足为点O ，证明出PO ⊥平面ABC ，然后以点O 为坐标原点，CB 、AD 、OP 分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设BM mBP nBC =+，其中0m ≥，0n ≥且1m n +≤，求出363m n +-的最大值，利用空间向量法可求得cos α的最大值.【详解】设线段BC 的中点为D ，连接AD ，5AB AC ==，D 为BC 的中点，则AD BC ⊥，6BC =，则3BD CD ==，224AD AB BD ∴=-=，同理可得4PD =，PD BC ⊥，PDAD D =，BC ∴⊥平面PAD ，过点P 在平面PAD 内作PO AD ⊥，垂足为点O ，因为4PA PD AD ===，所以，PAD 为等边三角形，故O 为AD 的中点，BC ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ，则BC PO ⊥，PO AD ⊥，AD BC D =，PO ∴⊥平面ABC ，以点O 为坐标原点，CB 、AD 、OP 分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -，因为PAD 是边长为4的等边三角形，O 为AD 的中点，则sin 6023OP PA == 则()0,2,0A -、()3,2,0B 、()3,2,0C -、(0,0,23P ， 由于点M 在平面PBC 内，可设(()()3,2,236,0,036,2,23BM mBP nBC m n m n m m =+=--+-=---， 其中0m ≥，0n ≥且1m n +≤，从而()()()3,4,036,2,23336,42,23AM AB BM m n m m m n m m =+=+---=---， 因为15AM =()()222336421215m n m m --+-+=， 所以，()()22233616161423m n m m m --=-+-=--+， 故当12m =时，216161m m -+-有最大值3，即()23633m n +-≤， 故33633m n -+-363m n +-3 所以，()6336635cos cos ,615615AM BC m n AM BC AM BCα⋅--=<>==≤=⋅. 故选：D.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.二、填空题13．若()1,1,0a =，()1,0,2b =-，则与a b +反方向的单位向量是______．【答案】0,⎛ ⎝⎭【分析】由与a b +反方向的单位向量为||a ba b +-+代入可得结果. 【详解】∵(1,1,0)a =，(1,0,2)b =-∴(0,1,2)a b +=，2||01a b +=+=∴a b +反方向的单位向量为(0,1,2)(0,||a b a b +-=-=+故答案为：(0,. 14．有一光线从点()3,5A -射到x 轴以后，再反射到点()2,15B ，则这条光线的入射光线所在直线的方程为______． 【答案】4+70x y +=【分析】根据对称性可知：点()2,15B 关于x 轴对称的点在入射光线所在的直线上，求出点()2,15B 关于x 轴对称的点的坐标即可求解.【详解】因为点()2,15B 关于x 轴对称的点的坐标为()2,15B '-，由直线的对称性可知：这条光线的入射光线经过点()3,5A -和()2,15B '-， 所以条光线的入射光线所在直线的方程为51515(2)32y x ++=---， 也即4+70x y +=， 故答案为：4+70x y +=.15．若直线10ax y +-=与连接()()2,3,3,2A B -的线段总有公共点，则a 的取值范围是______.【答案】(]1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【分析】画出图形，由图可得，要使直线与线段AB 总有公共点，需满足PA a k -≥或PB a k -≤，从而可求得答案【详解】得直线10ax y +-=的斜率为a -，且过定点()0,1P ，则由图可得，要使直线与线段AB 总有公共点，需满足PA a k -≥或PB a k -≤， 11,3PA PB k k ==-，1a -≥或13a -≤-，1a ∴≤-或13a ≥. 故答案为：(]1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭16．点P 是棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1上一点，则1PA PC ⋅的取值范围是__.【答案】[﹣12，0]【分析】建立空间直角坐标系，设出点P 的坐标为（x ，y ，z ），则由题意可得0≤x ≤1，0≤y ≤1，z ＝1，计算PA •1PC =x 2﹣x ，利用二次函数的性质求得它的值域即可．【详解】解：以点D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，以DD 1所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示； 则点A （1，0，0），C 1（0，1，1），设点P 的坐标为（x ，y ，z ），由题意可得 0≤x ≤1，0≤y ≤1，z ＝1； ∴PA =（1﹣x ，﹣y ，﹣1），1PC =（﹣x ，1﹣y ，0），∴PA •1PC =-x （1﹣x ）﹣y （1﹣y ）+0＝x 2﹣x +y 2﹣y 22111222x y ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由二次函数的性质可得，当x ＝y 12=时，PA •1PC 取得最小值为12-；当x ＝0或1，且y ＝0或1时，PA •1PC 取得最大值为0， 则PA •1PC 的取值范围是[12-，0]．故答案为：[12-，0]．【点睛】本题主要考查了向量在几何中的应用与向量的数量积运算问题，是综合性题目．三、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB a =，AD b =，c AP =.(1)试用,,a b c 表示向量BM ； (2)求BM 的长.【答案】(1)111222b ac -+6【分析】利用空间向量基本定理用基底表示BM ；（2）在第一问的基础上运用空间向量数量积运算法则进行运算.【详解】（1）()1122BM BC CM AD CP AD CB BA AP =+=+=+++111111222222AD AD AB AP b a c =--+=-+ （2）22222111111111222444222BM b a c b a c a b c b a c ⎛⎫=-+=++-⋅+⋅-⋅ ⎪⎝⎭11111131021214422222=++-+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，所以62BM =BM18．已知ABC 的三个顶点(,)A m n ､(2,1)B ､(2,3)C -. (1)求BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，BC 边上高线AE 过原点，求点A 的坐标. 【答案】(1)240x y +-=(2)3,32A ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用两点式求得BC 边所在直线方程；（2）由题意可得2360-+=m n ，求出BC 边上高线AE 的方程，将点(,)A m n 代入AE 的方程，解关于,m n 的方程组即可求解.【详解】（1）由()2,1B 、()2,3C -可得311222BC k -==---， 所以BC 边所在直线方程为()1122y x -=--，即240x y +-=. （2）因为BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=， 所以点(,)A m n 在直线2360x y -+=上，可得2360-+=m n ， 因为12BC k =-，所以BC 边上高线AE 的斜率2AE k =，因为BC 边上高线AE 过原点，所以AE 的方程为2y x =，可得2n m =， 由23602m n n m -+=⎧⎨=⎩可得：323m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以点A 的坐标为3,32⎛⎫⎪⎝⎭.19．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足AD ∥BC ，且12AB AD AA BD DC =====，(Ⅰ)求证:AB ⊥平面11ADD A ;(Ⅱ)求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值. 【答案】(Ⅰ) 证明见解析；(Ⅱ)66【解析】(Ⅰ)证明1AA AB ⊥，根据222AB AD BD +=得到AB AD ⊥，得到证明.(Ⅱ) 如图所示，分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，平面11B CD 的法向量()1,1,2n =，()2,0,0AB =，计算向量夹角得到答案.【详解】(Ⅰ) 1AA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，故1AA AB ⊥.2AB AD ==，22BD =，故222AB AD BD +=，故AB AD ⊥.1AD AA A ⋂=，故AB ⊥平面11ADD A .(Ⅱ)如图所示：分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()12,0,2B ，()2,4,0C ，()10,2,2D .设平面11B CD 的法向量(),,n x y z =，则11100n B C n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即420220y z x y -=⎧⎨-+=⎩，取1x =得到()1,1,2n =，()2,0,0AB =，设直线AB 与平面11B CD 所成角为θ 故26sin cos ,626n AB n AB n ABθ⋅====⋅. 【点睛】本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 20．已知直线l ：5530ax y a --+=．(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)若直线l 的横截距和纵截距绝对值相等，求a 的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)1a =±或3【分析】（1）将直线l 的方程化为点斜式，求出直线所过定点，即可证明结论成立；（2）直线l 的横截距和纵截距绝对值相等，分三种情况讨论：①横截距和纵截距为0，②横截距和纵截距相反，③横截距和纵截距相等，分别求出此时a 的值即可. 【详解】（1）解：直线l 的方程可整理为：3155y a x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 则l 的斜率为a ，且过定点13,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，∵13,55A ⎛⎫⎪⎝⎭在第一象限，所以不论a 取何值，直线l 总经过第一象限． （2）解：由（1）知，直线过定点1355A ⎛⎫⎪⎝⎭，，当直线过原点时，此时，3a =；当直线截距相反且不过原点时，1k =，此时1a =； 当直线截距相等且不过原点时，1k =-，此时1a =-； 综上所述，1a =±或3．21．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．(1)求BC ；(2)求点B 到平面P AM 的距离． 【答案】(1)2 (2)77【分析】（1）建立空间直角坐标系，设2BC a =，写出各点坐标，利用0PB AM ⋅=列出方程，求出22a =，从而得到BC 的长； （2）求出平面P AM 的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解.【详解】（1）∵PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，不妨以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系D xyz -，设2BC a =，则()0,0,0D 、()0,0,1P 、()2,1,0B a 、(),1,0M a 、()2,0,0A a ， 则()2,1,1PB a =-，(),1,0AM a =-，∵PB AM ⊥，则2210PB AM a ⋅=-+=，解得2a = 故22BC a ==；（2）设平面PAM 的法向量为()111,,m x y z =，则2AM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()2,0,1AP =-， 由111120220m AM x y m AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩，取12x =，可得()2,1,2m =，()0,1,0AB =，∴点B 到平面P AM 的距离177AB m d m⋅===22．如图①，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，222AB AD CD ===.将ADC △沿AC 折起，使得AD BC ⊥，如图②.（1）求证：平面ADC ⊥平面ABC .（2）在线段BD 上是否存在点E ，使得二面角E AC D --的平面角的大小为π4？若存在，指出点E的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点E 在线段BD 上靠近点D 的三等分点处.【分析】（1）先证明AC BC ⊥，再由线面垂直的判定定理证明BC ⊥平面ADC ，由面面垂直的判定定理即可证明；（2）以C 为原点，以CA ，CB 所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，然后用坐标法求解即可【详解】（1）在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，222AB AD CD ===， ∴由平面几何知识易得π3ABC ∠=， ∴在ACB △中，222π21221cos 33AC =+-⨯⨯⨯=. 又222AC BC AB +=，∴AC BC ⊥. 在题图②中，∵AD BC ⊥，ADAC A =，∴BC ⊥平面ADC .又BC ⊂平面ABC ，∴平面ADC ⊥平面ABC .（2）在线段BD 上存在点E ，使得二面角E AC D --的平面角的大小为π4. 以C 为原点，以CA ，CB 所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系，如图.由平面ADC ⊥平面ABC ，ADC △是顶角为2π3的等腰三角形，知z 轴与ADC △底边上的中线平行，又由（1）易得3AC =∴()0,0,0C ，()3,0,0A，()0,1,0B ，312D ⎫⎪⎪⎝⎭，∴()3,0,0CA =，112,23BD ⎛⎫⎪ ⎪⎝=⎭-. 令()01BE tBD t =≤≤，则,,12t E t ⎫⎝-⎪⎪⎭， ∴3,1,22t CE t =-⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 设平面ACE 的一个法向量为(),,m x y z =，则00CA m CE m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()0102t t y z =+-+=， ∴()0210x t y tz =⎧⎨-+=⎩，令y t =，则()21z t =-，∴()()0,,21m t t =-. 由（1）知，平面ADC 的一个法向量为()0,1,0n =.要使二面角E AC D --的平面角的大小为π4，则2πcos 4m n m n t ⋅=== 解得23t =或2t =（舍去）. ∴在线段BD 上存在点E ，使得二面角E AC D --的平面角的大小为π4，此时点E 在线段BD 上靠近点D 的三等分点处.。
2022-2023学年上海市青浦高级中学高二上学期9月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年上海市青浦高级中学高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．若直线:1l ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(),P a b 与圆C 的位置关系是（ ） A ．在圆外 B ．在圆上 C ．在圆内 D ．不能确定【答案】A【分析】根据直线与圆相交可得,a b 满足的不等式，从而可判断点与圆的位置关系. 【详解】因为直线:1l ax by +=与圆22:1C x y +=1<，故221a b +>，故点(),P a b 在圆C 的外部， 故选：A.2．直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( A ．1133y x =-+B ．113y x =-+C ．33y x =-D ．113y x =+ 【答案】A【详解】∵直线3y x =绕原点逆时针旋转090的直线为13y x =-，从而淘汰（Ｃ），（D ）又∵将13y x =-向右平移１个单位得()113y x =--，即1133y x =-+ 故选A ；【点评】此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题；【突破】熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法：“左加右减”； 3．与两圆22(2)1x y ++=，22(2)1x y -+=都相切，且半径为3的圆一共有（ ）个 A ．9 B ．7C ．5D ．3【答案】B【分析】求出两圆圆心、半径，根据两外切，一外切一内切，两外切讨论，即可求得. 【详解】设圆22(2)1x y ++=圆心()12,0C -，半径11r =，22(2)1x y -+=圆心()22,0C ，半径21r =. 由已知圆(),C a b ，半径3R =.当圆C 与两圆都外切时，有112244CC r R CC R r ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，即有12CC CC =，可得C 在12C C 的垂直平分线上，即0a =，由14CC =，可得b =±2个圆满足； 当圆C 与圆1C 相外切，与圆2C 相内切时，有 111242CC r R CC R r ⎧=+=⎪⎨=-=⎪⎩，即42=，解得32a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即有2个圆满足；同理，当圆C 与圆2C 相外切，与圆1C 相内切时，有2个圆满足； 当圆C 与两圆都内切时，有111222CC R r CC R r ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，即有122CC CC ==，解得0a b =⎧⎨=⎩，即有1个圆满足.综上所述，共有7个圆满足情况. 故选：B.4．设11(,)M x y ，22(,)N x y 为不同的两点，直线:0l ax by c ++=，1122ax by cax by cδ++=++，以下命题中正确的序号为（ ）①存在实数δ，使得点N 在直线l 上； ②若1δ=，则过M 、N 的直线与直线l 平行； ③若1δ=-，则直线l 经过MN 的中点；④若01δ<<，则点M 、N 在直线l 的同侧且直线l 与线段MN 的反向延长线相交． A ．①②③ B ．②④C ．③④D ．②③④【答案】D【分析】依次分析命题：①根据δ中的分母不为0，即可判断点N 不在直线l 上；②当1δ=时，分0b =和0b ≠两种情况考虑，当0b =时，根据1δ=推出直线l 与直线MN 平行；当0b ≠时，根据1δ=，化简后得到直线l 与直线MN 的斜率相等，且点N 不在直线l 上，进而得到两直线平行；③当1δ=-时，化简后得到线段MN 的中点在直线l 上；④根据01δ<<，得到11ax by c ++与22ax by c ++同号且11ax by c ++小于22ax by c ++，进而得到点M 、N 在直线l 的同侧且直线l 与线段MN 的反向延长线相交，综合可得答案. 【详解】①因为1122ax by cax by cδ++=++中，220ax by c ++≠，所以点N 不在直线l 上，故①错误；②当0b =时，根据1δ=得到11221ax by cax by c++=++，化简得：12x x =，直线l 与直线MN 的斜率不存在，都与y 轴平行，由①知点N 不在直线l 上，得到直线l 与直线MN 平行；当0b ≠时，根据1δ=，得到11221ax by c ax by c++=++，化简得：2121y y bx x a -=--，即直线MN 的斜率为b a -，又因为直线l 的斜率为b a -，由①知点N 不在直线l 上，得到直线l 与直线MN 平行；综上，当1δ=时，直线l 与直线MN 平行，故②正确；③当1δ=-，得到11221ax by cax by c ++=-++，化简得1212022x x y y a b c ++⋅+⋅+=，而线段MN 的中点坐标为1212(,)22x x y y ++，所以直线l 经过直线MN 的中点，故③正确； ④当01δ<<，得到112201ax by cax by c ++<<++，即1122()()0ax by c ax by c ++++>，所以得到点M 、N 在直线l 的同侧，且1122ax by c ax by c ++<++，得到点M 与点N 到直线l 的距离不等，所以直线l 与线段MN 的反向延长线相交，故④正确， 故选：D .二、填空题5．直线1x =的倾斜角为___________ 【答案】90##2π 【分析】根据直线的方程可得出直线的倾斜角.【详解】直线1x =垂直于x 轴，故直线1x =的倾斜角为90. 故答案为：90.6．直线3410x y -+=的一个法向量是_____． 【答案】()3,4-【分析】根据方程直接写出即可.【详解】直线0Ax By C ++=的一个法向量是(),A B ， 所以，直线3410x y -+=的一个法向量是()3,4-. 故答案为：()3,4-.7．已知直线1:220l x y ++=，直线2l 过点(1,2)，若12l l ⊥，则直线2l 的方程是_________． 【答案】230x y -+=.【分析】根据条件可推得，直线2l 的斜率212k =，代入点斜式方程，整理即可得到. 【详解】设12,l l 的斜率分别为12,k k ，则121k k =-. 又12k =-，则212k =. 所以，直线2l 的点斜式方程为()1212y x -=-，整理可得，230x y -+=. 故答案为：230x y -+=.8．若直线1:(4)10l x k y +-+=与2:330l kx y ++=平行，则k 的值为____． 【答案】1【分析】根据两直线平行，即可列出关系式，解出即可.【详解】由已知得，()1340k k ⨯--=，即2430k k -+=，解得1k =或3k =. 当1k =时，1:310++=l x y ，2:330l x y ++=，显然两直线平行；当3k =时，1:10l x y ++=，化简后2:10l x y ++=，显然两直线重合，舍去. 所以，1k =. 故答案为：1.9．直线210x y --=被圆222x y +=所截得的弦长为______．【分析】根据所给圆，确定圆心以及半径，再结合点线距离即可求解. 【详解】依据题意得圆心为()0,0，半径r =d ==.则直线被圆截得的弦长为=10．已知圆221:(2)(1)10C x y -+-=与圆222:(6)(3)50C x y +++=交于A 、B 两点，则AB 所在的直线方程是__________． 【答案】20x y +=.【分析】两圆方程作差，即可得到交线的方程.【详解】联立方程()()()()222221106350x y x y ⎧-+-=⎪⎨+++=⎪⎩，即2222425012650x x y y x x y y ⎧-+--=⎨+++-=⎩， 两式作差得，1680x y --=，整理可得，20x y +=.所以，AB 所在的直线方程是20x y +=. 故答案为：20x y +=.11．已知线段PQ 两端点的坐标分别为(1,1)P -和(2,2)Q ，若直线l 恒过(0,1)-，且与线段PQ 有交点，则l 的斜率k 的取值范围是_____． 【答案】(]3,2,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】根据已知条件及直线的斜率公式即可求解. 【详解】因为直线l 恒过(0,1)A -,(1,1)P -和(2,2)Q ， 所以11201AP k --==-+，123022AQ k --==-. 由题意可知，直线l 的斜率存在且l 的斜率k ，若直线l 与线段PQ 有交点，如图所示由图象可知，AQ k k ≥或AP k k ≤,即32k ≥或2k ≤-， 所以l 的斜率k 的取值范围是为(]3,2,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：(]3,2,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭.12．若直线m 被两平行线1:10l x y -+=与2:30l x y -+=所截得的线段的长为2m 与两平行线的夹角是_____． 【答案】30##6π 【分析】作出图象，过直线m 与其中一条直线的交点向另一直线作垂线，在直角三角形中求解即可.【详解】如图，直线m 与两平行线1:10l x y -+=与2:30l x y -+=分别交于A 、B 两点，过A 作2AC l ⊥于C 点，则ABC ∠即为所求角.由已知，22AB =，()2231211AC -==-+，在Rt ACB △中，有21sin 222AC ABC AB∠===,则30ABC ∠=. 故答案为：30.13．直线:l y x b =+与曲线2:1C y x -有两个公共点，则b 的取值范围是_______________________. 【答案】2⎡⎣【分析】首先确定直线和曲线的图形特征，然后考查临界值即可确定实数b 的取值范围． 【详解】解：如图所示，21y x =-1为半径的半圆， y x b =+是一个斜率为1的直线，要使两图有两个交点，连接()1,0A -和()0,1B ，直线l 必在AB 以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可求出两个临界位置直线l 的b 值， 当直线l 与AB 重合时，1b =； 当直线l 与半圆相切时，圆心(0,0)到y x b =+的距离1d r ==， 12=，解得：2b =2b =-． 所以b 的取值范围是2⎡⎣． 故答案为：2⎡⎣14．若圆222(0)x y r r +=>上有且只有两个点到直线20x y --=的距离为1，则实数r 的取值范围是______． 【答案】()21,21-+.【分析】求出圆心()0,0P 到直线20x y --=的距离等于2，根据直线与圆的三种位置关系讨论，能求出半径r 的取值范围.【详解】图1圆心()0,0P 到直线20x y --=的距离2211d -==+如图1，当直线与圆相交时，OA r =，要使圆222(0)x y r r +=>上有且只有两个点到直线20x y --=的距离为1， 应有1AB <，即021r d r <-=， 221r <<；如图2，当直线与圆相离时，OA r =，要使圆222(0)x y r r +=>上有且只有两个点到直线20x y --=的距离为1， 应有1AB <，即021d r r <-=<， 212r <<图2如图3，当直线与圆相切时，则21OA r d ===>，显然圆222(0)x y r r +=>上有且只有两个点到直线20x y --=的距离为1， 所以有2r =满足.图3综上所述，实数r 的取值范围是)221.故答案为：()221.15．一束光线从点(2,3)A 射出，经x 轴上一点C 反射后到达圆22(3)(2)2x y ++-=上一点B ，则||||AC BC +的最小值为_____．【答案】2【分析】由题知圆22(3)(2)2x y ++-=的圆心坐标为()3,2D -，半径为2r =()3,2D -关于x 轴对称的点为()3,2D '--，进而结合BC DC DB ≥-，AC D C AD ''+≥求解即可. 【详解】解：由题知：圆22(3)(2)2x y ++-=的圆心坐标为()3,2D -，半径为2r =如图，设()3,2D -关于x 轴对称的点为()3,2D '--， 所以，()()22233252AD '=+++=因为BC DC DB ≥-，当且仅当,,B D C 三点共线，AC D C AD ''+≥，当且仅当,,A C D '三点共线，所以，52242AC BC AC DC DB AC D C r AD r ''+≥+-=+-≥-=-=，当且仅当，,,B D C 三点共线，,,A C D '三点共线时等号成立， 所以，||||AC BC +的最小值为42故答案为：4216．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M 、N 是锐角AQB ∠的一边QA 上的两点，试在边QB 上找一点P ，使得MPN ∠最大”，如图，其结论是：点P 为过M 、N 两点且射线QB 相切的圆的切点，根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点()1,2M -、()1,4N ，点P 在x 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的坐标为___________【答案】()1,0【分析】设PMN 的外接圆的圆心为(),a b ，根据题设中给出的结论可构建关于,a b 的方程组，解方程组后可得P 的坐标.【详解】延长NM 交x 轴于K ，则NKO ∠为锐角，由题设，当P 在射线KO 上时，若MPN ∠取最大值，则有PMN 的外接圆与x 轴相切且切点为P ， 设Q 为x 轴上的动点且在K 的左侧，则NQM NQK PKN ∠<∠<， 由MPN ∠为最大值角可得MPN PKN ∠>∠， 故当P 为x 轴上的动点且MPN ∠取最大值时，P 在射线KO 上且PMN 的外接圆与x 轴相切且切点为P .设该圆的圆心为(),a b ，则0b >且圆的半径为b ，故()()()()2222221214a b ba b b ⎧++-=⎪⎨-+-=⎪⎩，整理得到22245028170a a b a a b ⎧+-+=⎨--+=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩或710a b =-⎧⎨=⎩， 又直线MN 的方程为3y x，故()3,0K -，故710a b =-⎧⎨=⎩舍去，故PMN 的外接圆的圆心为()1,2，故()1,0P . 故答案为：()1,0.【点睛】方法点睛：本题为即时应用类问题，注意根据给出的背景或结论来构建所设变量的方程组，另外对不适合题设给出的背景的另一类问题的讨论.三、解答题17．已知直线l 过点(4,1)C ，若直线l 在两坐标轴上截距相等，求直线l 的方程．【答案】40x y -=或50x y +-=.【分析】根据已知，分为截距为0与截距不为0讨论即可得到.【详解】当截距都为0时，直线l 过点(4,1)C ，()0,0O ，可设直线方程为y kx =，代入(4,1)C ，解得14k =，所以，直线l 的方程为14y x =，即40x y -=； 当截距都不为0时，可设直线方程为1x y a a+=()0a ≠，即x y a +=()0a ≠， 代入(4,1)C ，解得5a =，所以直线l 的方程为50x y +-=.综上所述，直线l 的方程为40x y -=或50x y +-=.18．在ABC 中，(2,5)A ，()1,3B（1）求AB 边的垂直平分线所在的直线方程；（2）若BAC ∠的角平分线所在的直线方程为30x y -+=，求AC 所在直线的方程.【答案】（1）11924y x =-+；（2）280x y -+=. 【解析】（1）设AB 边的垂直平分线为l ，求出12l k =-，即得AB 边的垂直平分线所在的直线方程； （2）设B 关于直线30x y -+=的对称点M 的坐标为(,)a b ，求出(0,4)M 即得解.【详解】（1）设AB 边的垂直平分线为l ， 有题可知53221AB k -==-，12l k ， 又可知AB 中点为3,42⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴l 的方程为13422y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即11924y x =-+， （2）设B 关于直线30x y -+=的对称点M 的坐标为(,)a b ；则311133022b a a b -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩，解得04a b =⎧⎨=⎩，所以(0,4)M ， 由题可知A ，M 两点都在直线AC 上， 所以直线AC 的斜率为541202-=-，所以直线AC 的方程为14(0)2y x -=-， 所以AC 所在直线方程为280x y -+=.【点睛】方法点睛：求直线方程常用的方法是：待定系数法，先定式（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式），再定量.19．已知圆22:220(R)C x y mx y m ++--=∈，其圆心在直线0x y +=上．(1)求m 的值；(2)若过点(1,4)的直线l 与C 相切，求l 的方程．【答案】(1)2m =；(2)1x =或512430x y -+=.【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心，代入直线方程即可求解；（2）对直线的斜率是否存在讨论.若存在，设直线l 的方程为：()41y k x -=-，利用圆心到直线的距离即可求解.【详解】（1）圆C 的标准方程为：222(1)324m m x y ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭， 所以，圆心为,12m ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 由圆心在直线0x y +=上，得2m =.所以，圆C 的方程为：22(1)(1)4x y ++-=.（2）当直线l 的斜率不存在时，即l 方程为1x =，此时直线与圆相切；当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线l 的方程为：()41y k x -=-，即40kx y k --+=，由于直线l 和圆C 2==， 解得：512k =，代入整理可得512430x y -+=. 所以，直线方程为：1x =或512430x y -+=.20．已知圆C ：x 2+y 2﹣8x ﹣6y +F ＝0与圆O ：x 2+y 2＝4相外切，切点为A ，过点P （4，1）的直线与圆C 交于点M ，N ，线段MN 的中点为Q ．（1）求点Q 的轨迹方程；（2）若|AQ |＝|AP |，点P 与点Q 不重合，求直线MN 的方程及△AMN 的面积．【答案】（1）22(4)(2)1x y -+-=；（2）3130x y --=【分析】（1）利用两圆外切确定圆C ，通过弦心距与弦垂直可得QC QP ⊥，故知Q 轨迹为以CP 为直径的圆；（2）先求得点A 坐标，由||||AQ AP =可知P ，Q 也在以A 为圆心，以AP 为直径的圆上，该圆与点Q的轨迹圆联立可得直线PQ 也即直线MN 的方程，之后利用点到直线距离公式等知识求解即可．【详解】解：（1）圆C 的标准方程为22(4)(3)25x y F -+-=-，∴圆心(4,3)C由圆C 与圆O216F =，∴圆22:(4)(3)9C x y -+-=，又()()22441349-+-=<，则点(4,1)P 在圆C 内，弦MN 过点P ，Q 是MN 的中点，则CQ MN ⊥，∴点Q 的轨迹是以CP 为直径的圆， 其方程为22(4)(2)1x y -+-=；（2）线段OC 与圆O 的交点为A ， 由22344y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得86(,)55A ， 若||||AQ AP =，则P ，Q 是以点A 为圆心，AP 为半径的圆与点Q 的轨迹的交点， 由22228686()()(4)(1)5555x y -+-=-+-，与22(4)(2)1x y -+-=，作差可得3130x y +-=，即直线MN 的方程为3130x y +-=，∴点(4,3)C 到直线MN的距离d ==||MN =点A 到直线MN的距离246|13|h +-== AMN ∴的面积1||2S MN h =⨯ 21．如图，已知A ，(0,0)B ，(12,0)C，直线:(20l k x y k +--=.(1)求直线l 经过的定点坐标；(2)若直线l 等分ABC 的面积，求直线l 的方程；(3)若3)P ，点E ､F 分别在线段BC 和AC 上，上APF BPE S S =△△，求PE PF ⋅的取值范围.【答案】(1)(2,23) 3173630x y +-=(3)(]32,64-【分析】（1）将直线变形为(2)(3)0k x x y -+-=，由恒等式可得方程组，从而求得直线所过的定点；（2）根据条件确定直线l 所过的定点在直线AB 上，设出直线l 与AC 交点D ，由12APD ABC S S =△△确定D 点位置，从而求出D 点坐标，代入直线l 的方程可求解方程；（3）由APF BPE S S =△△可得有2BE AF =，设(,0)E x (012)x <≤，可确定24x AF AC =，由向量共线可得出F 点坐标，表示出PE PF ⋅,利用二次函数的图象与性质即可求得其取值范围.【详解】（1）解：直线:(3)20l k x y k --=可化为(2)(3)0k x x y -+-=， 联立2030x x y -=⎧⎨-=⎪⎩，解得223x y =⎧⎪⎨=⎪⎩l 经过的定点坐标为(2,3)； （2）解：因为(6,63)A ，(0,0)B ，(12,0)C ，所以有12AB AC BC ===， 由题可得直线AB 方程为3y x =，故直线l 经过的定点(2,23)P 在直线AB 上， 所以8AP =，设直线l 与AC 交于点D ，所以有12APD ABC S S =△△， 即111sin sin 222AP AD A AB AC A =⨯⨯， 所以394AD AC ==，设()00,D x y ， 所以34AD AC =，即(0036,63(6,63)4x y --=-，所以0212x =，0y =212D ⎛ ⎝⎭， 将D 点坐标代入直线l的方程，解得k =， 所以直线l170y +-； （3）解：由（2）可知ABC 为等边三角形， 所以1sin 602APF S AP AF =︒△，1sin 602BPE S BP BE =︒△， 而APF BPE S S =△△，8AP =，4BP =，所以有2BE AF =， 设(,0)E x (012)x <≤，则BE x =，所以2x AF =， 因为F 在AC 上，设()11,F x y ， 所以21224x x AF ACAC ==，即(116,(6,24x x y --=-，解得164x x =+，1y=，所以64x F x ⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭， 所以(2,PE x=--，4,4x PF ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭， 故()212453244x PE PF x x x ⎫⎛⎫⋅=-+-=+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， 因为012x <≤，所以(]32,64PE PF ⋅∈-.。
高二9月月考(数学)试题含答案
高二9月月考（数学）（考试总分：150 分）一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分）1.（5（（1.数数1,3,5,7,9--,.......数数数数数数数数( ) A.21n a n =-B.(1)(12)nna n =-- C.(1)(21)nn a n =--D.(1)(21)n na n =-+2.（5分）2.已知数列{a n }满足a n+1=a n +3,S 5=10，则a 7为 （ ）A ．14B ．12C ．15D ．223.（5分）3.在△ABC 中，如果sinA:sinB:sinC=2:3:4，那么cosC 等于（ ）A ． 23B ．−23C ． −13D ． −144.（5分）4.等差数列{a n }的前项和为S n ，若a 3与a 8 的等差中项为10，则S 10=（ ）A.200B.100C.50D.255.（5分）5.在ABC ∆中，若120B =，则222a ac cb ++-的值（ ）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．不确定6.（5分）6.已知在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c,a =2,若a:b:c =2:3:4,则△ABC 外接圆的面积为( )A.16πB.64π15C.256π15D.64π 7.（5分）7.在△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c ，若C=π4,a =4,S △ABC =2，则2a+3c−b2sinA+3sinC−sinB = （ ）A.√5B.2√5C.2√7D.2√138.（5分）8.已知两等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n 且S n T n=n+12n，则a 5b 5=（ ）A ．23B ．35C ．59D ．29.（5分）9.等比数列{a n }的前n 项和S n ，4a 1,2a 2,a 3 成等差数列，a 1=1，则S 4=（ ） A.15B.-15C.4D.-410.（5分）10.正项等比数列{a n }中， a 4⋅a 5=32，则log 2a 1+log 2a 2+⋯+log 2a 8的值（ ）A.10B.20C.36D.12811.（5分）11.在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，S 表示△ABC 的面积，若ccosB +bcosC =asinA, S =√34(b 2+a 2−c 2)，则∠B =（ ）A.90°B.60°C.45°D.30°12.（5分）12.已知在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1,b c==，且2sin()cos 12cos sin B C CA C +=-，则ABC 的面积是（ ）A ．4B ．12C 或D ．4或12二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13.（5分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11=132，a 6+a 9=30，则a 12的值为____.14.（5分）14.（5分）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3 成等差数列. 若a 1=1，则S 3=______.15.（5分）15.（5分）等差数列{a n } 中， a 10<0 ，且a 11>|a 10| ， S n 为数列{a n }的前n 项和，则使S n>0 的n 的最小值为______.16.（5分）16.（5分）数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝3n －1，则{a n }的前60项和____________.三、 解答题 （本题共计5小题，总分58分）17.（10分）17.（10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2acosB +b =2c ．(1)求A 的大小； (2)若a=√7，b =2，求△ABC 的面积．18.（12分）18.（12分）设{}n a 是等差数列，110a =-，且210a +，38a +，46a +成等比数列．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求n S 的最小值．19.（12分）19.（12分）已知ABC 中角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且22sinB sinAcosC sinC -=.（1）求角A ；（2）若2,a=且ABC 的面积为求ABC 的周长，20.（12分）20.（12分）已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，公差d=−2，且a 1,a 3,a 4成等比数列．（1）求a n ，S n ； （2）设T n=|a 1|+|a 2|+⋯+|a n |，求T n ．21.（12分）21.（12分）已知数列{a n }为公差不为0的等差数列,满足a 1=5,且a 2,a 9,a 30成等比数列.(Ⅰ) 求{a n }的通项公式； (Ⅱ) 若数列{b n }满足b n+1−b n =a n (n ∈N ∗),且b 1=3求数列{1bn}的前n 项和T n .四、 （本题共计0小题，总分0分）答案一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分） 1.（5分）1.答案：B解析：数列中正负项(先正后负)间隔出现,必有1(1),1,3,5,7,9,n --……故21n -,所以数列1,3,5,7,9,--……的一个通项公式是(1)(12)nn a n =--,故选B 。
2022-2023学年广西玉林市北流市实验中学高二上学期9月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年广西玉林市北流市实验中学高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．直线220x y -+=在x 轴上的截距是（ ） A ．1- B ．1 C ．2- D ．2【答案】A【分析】根据截距的概念运算求解.【详解】令0y =，则2020x -+=，解得1x =- ∴直线220x y -+=在x 轴上的截距是1- 故选：A.2．过点(2,3)A 且平行于直线250x y +-=的直线的方程为（ ） A ．240x y -+= B ．270x y +-= C ．280x y +-= D ．4250x y +-=【答案】B【分析】根据平行设直线方程为20x y C ++=，代入点计算得到答案.【详解】设直线方程为20x y C ++=，将点(2,3)A 代入直线方程得到430C ++=，解得7C =-.故直线方程为：270x y +-=. 故选：B.3．“2a =”是“直线1l ：2430ax y ++=与直线2l ：()2150x a y ---=垂直”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求出两直线垂直的充要条件后再根据充分必要条件的定义判断． 【详解】若12l l ⊥，则()22410a a --=，解得2a =或12a =. 所以由2a =可以得到12l l ⊥，反之则不然，故“2a =”是“12 l l ⊥”的充分不必要条件. 故选：A.4．已知直线l 的方向向量(1,2,1)a =-，平面α的法向量(2,2,2)b =--，则直线l 与平面α的位置关系是（ ） A ．//l αB ．l α⊥C ．l α⊂D ．以上选项都不对 【答案】D【分析】计算得到0a b ⋅=，得到a b ⊥，即直线l 与平面α的位置关系是l α∥或l α⊂，得到答案.【详解】(1,2,1)a =-，(2,2,2)b =--，则2420a b ⋅=-+=，故a b ⊥， 故直线l 与平面α的位置关系是l α∥或l α⊂. 故选：D.5．已知平面α，β的法向量分别为()2,3,a λ=和()4,,2b μ=-（其中,R λμ∈），若//αβ，则λμ+的值为（ ） A ．52-B ．-5C ．52D ．5【答案】D【分析】根据平面平行得到//a b ，故()()2,3,4,,2k λμ=-，计算得到答案.【详解】//αβ，则//a b ，故()()2,3,4,,2k λμ=-，即2432kk kμλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得61μλ=⎧⎨=-⎩. 故5λμ+=. 故选：D .【点睛】本题考查了法向量的平行问题，意在考查学生的计算能力. 6．直线3460x y +-=关于y 轴对称的直线方程是（ ） A ．3x -4y -6=0 B ．4x -3y -6=0 C ．3x -4y +6=0 D ．4x -3y +6=0【答案】C【分析】求出直线3460x y +-=与y 轴的交点，并求出直线3460x y +-=的斜率，由此可得出所求直线的方程.【详解】直线3460x y +-=交y 轴于点30,2⎛⎫⎪⎝⎭，且直线3460x y +-=的斜率为34k =-， 故所求直线的斜率为34，故所求直线的方程为3324y x -=，即3460x y -+=. 故选：C.7．在空间中，已知()2,4,0AB =，()1,3,0BC =-，则ABC ∠的大小为（ ） A ．135︒B ．90C ．120 D ．45【答案】A【分析】结合向量夹角公式计算出ABC ∠的大小. 【详解】()()2,4,0,1,3,0BA BC =--=-， 212102cos 241619102BA BC ABC BA BC⋅--∠====-+⋅+⋅，由于0180ABC ︒≤∠≤︒，所以135ABC ∠=︒. 故选：A8．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】D【分析】平移直线1AD 至1BC ，将直线PB 与1AD 所成的角转化为PB 与1BC 所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连接11,,BC PC PB ，因为1AD ∥1BC ， 所以1PBC ∠或其补角为直线PB 与1AD 所成的角，因为1BB ⊥平面1111D C B A ，所以11BB PC ⊥，又111PC B D ⊥，1111BB B D B ⋂=， 所以1PC ⊥平面1PBB ，所以1PC PB ⊥， 设正方体棱长为2，则1111122,22BC PC D B === 1111sin 2PC PBC BC ∠==，所以16PBC π∠=. 故选：D二、多选题9．在以下命题中，不正确的命题有（ ） A ．a b a b -=+是,a b 共线的充要条件 B ．若//a b ，则存在唯一的实数λ，使a b λ=C ．对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若223OP OA OB OC =+-，则P ，A ，B ，C 四点共面D ．若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底 【答案】AB【分析】利用a b a b -≤+等号成立的条件可判断A ；利用0与任意向量共线可判断B ；利用共面定理可判断C ；利用基底的概念可判断D【详解】对于A ：向量,a b 同向时，a b a b -≠+，故A 错误； 对于B ：需要强调0b ≠，故B 错误；对于C ：因为2231+-=，则由共面定理知P ，A ，B ，C 四点共面，故C 正确； 对于D ：{},,a b c 为空间的一个基底，则,,a b c 不共面，故,,a b b c c a +++也不共面， 所以{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底，故D 正确； 故选：AB10．已知直线1:0l x ay a +-=和直线2:(23)20l ax a y a --+-=，则（ ）A ．2l 始终过定点12(,)33B ．若2l 在x 轴和y 轴上的截距相等，则1a =C ．若12l l ⊥，则0a =或2D ．若12l l //，则1a =或3-【答案】AC【分析】结合直线所过定点的求法、直线的截距、直线平行和垂直等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】2:(23)20l ax a y a --+-=化为(21)320a x y y -++-=， 由210x y -+=且320y -=解得12,33x y ==，即直线2l 恒过定点12(,)33，故A 正确；若2l 在x 轴和y 轴上截距相等，则2l 过原点或其斜率为1-，则2a =或()1123aa a -=-⇒=--，故B 错误；若12l l ⊥，则1(32)0a a a ⨯+⨯-=解得0a =或2，故C 正确； 若12l l //，则先由1(32)a a a ⨯-=⨯解得1a =或3-， 再检验当1a =时12,l l 重合，故D 错误. 故选：AC11．下列各命题正确的是（ ）A ．点()1,2,3-关于平面xOz 的对称点为()1,2,3B ．点1,1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭关于y 的对称点为1,1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．点()2,1,3-到平面yOz 的距离为1D ．设{},,i j k 是空间向量单位正交基底且以i ，j ，k 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立了一个空间直角坐标系，若324m i j k =-+，则()3,2,4m =- 【答案】ABD【分析】利用空间直角坐标系中的点的对称关系、距离、坐标分析判断 【详解】对于A ，点()1,2,3-关于平面xOz 的对称点为()1,2,3，所以A 正确， 对于B ，点1,1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭关于y 的对称点为1,1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以B 正确，对于C ，点()2,1,3-到平面yOz 的距离为2，所以C 错误，对于D ，由于{},,i j k 是空间向量单位正交基底且以i ，j ，k 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立了一个空间直角坐标系，且324m i j k =-+，所以，所以D 正确，故选：ABD12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ）A ．直线1BC 与直线1AD 所成的角为90B ．直线1BC 与平面1ACDC ．1BD ⊥平面1ACDD ．点1B 到平面1ACD【答案】ABC【分析】如图建立空间直角坐标系，求出1B C 和1AD 的坐标，由110AD BC ⋅=可判断A ；证明10AC B D ⋅=，110AD B D ⋅=可得1AC B D ⊥，11AD B D ⊥，由线面垂直的判定定理可判断C ；计算11cos ,B D B C 的值可得线面角的正弦值，再由同角三角函数基本关系求出夹角的余弦值可判断B ；利用向量求出点1B 到平面1ACD 的距离可判断D ，进而可得正确选项.【详解】如图以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()1,0,0A ()0,1,0C ，()10,0,1D ，()11,1,1B ， 对于A ：()11,0,1B C =--，()11,0,1AD =-，因为()()()111100110B AD C =⋅-⨯-+⨯+-⨯=，所以11AD BC ⊥，即11B C AD ⊥，直线1B C 与直线1AD 所成的角为90，故选项A 正确；对于C ：因为 ()1,1,0AC =-，()11,0,1AD =-，()11,1,1B D =---，所以11100AC B D ⋅=-+=，111010AD B D ⋅=+-=，所以1AC B D ⊥，11AD B D ⊥， 因为1ACAD A =，所以1B D ⊥平面1ACD ，故选项C 正确；对于B ：由选项C 知：1B D ⊥平面1ACD ，所以平面1ACD 的一个法向量()11,1,1B D =---，因为()11,0,1B C =--，所以111111cos ,3B D B C B D B C B DB C⋅===即直线1B C 与平面1ACD，所以直线1B C 与平面1ACD 所成角的余弦值为=B 正确； 对于D ：因为()11,0,1B C =--，平面1ACD 的一个法向量()11,1,1B D =---，所以点1B 到平面1ACD 的距离为11123332B D B C d B D⋅===，故选项D 不正确 故选：ABC.三、填空题13．直线l 3320x y +-=的倾斜角是______ 【答案】56π【分析】将一般式方程整理为斜截式方程可得直线斜率，由斜率和倾斜角关系求得倾斜角.【详解】3320x y +-=得：323y x =+， 所以直线的斜率为[]30k θπ=∈，， ∴直线的倾斜角为56π. 故答案为：56π. 14．过原点且方向向量为()1,2a =-的直线方程为______． 【答案】20x y +=【分析】利用直线的方向向量可得直线的斜率，进而得出直线的方程． 【详解】解：过原点且方向向量为(1,2)a =-的直线的斜率为221-=-， 故方程为：2y x =-，即20x y +=. 故答案为：20x y +=．15．函数()2225618f x x x x x -+-+________．【答案】29【解析】根据题意，其几何意义为点(),0P x 到点()1,2A ，()3,3B 两点的距离之和，故y PA PB PC PB BC =+=+≥，再根据距离公式求解即可.【详解】解：因为()()()2222256181439f x x x x x x x =-++-+=-++-+，几何意义为点(),0P x 到点()1,2A ，()3,3B 两点的距离之和，()1,2A 关于x 轴的对称点()1,2C -，()()22313229y PA PB PC PB BC =+=+≥=-++=，当且仅当,,B P C 三点共线时y 的值最小为29BC = 故答案为：29【点睛】本题考查两点之间距离公式的妙用，涉及函数最值的求解，属基础题. 16．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,O 是底面1111D C B A 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离为______．2【解析】以D 为原点，1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离即可.【详解】以D 为原点，1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 易得11,,122O ⎛⎫⎪⎝⎭,()()11,0,0,.0,0,1A D()()10,1,0,1,0,1AB AD ==-,设平面11ABC D 的法向量为(),,n x y z =, 1·0·0AB n y AD n x z ⎧==⎪⎨=-+=⎪⎩,令1x =,则()1,0,1n =，11,,122AO ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,O ∴到平面11ABC D 的距离11·2242AO n d n -+===, 故答案为：24.【点睛】本题考查点到平面的距离的求法，常用的方法有等体积法，垂线法，空间向量方法，利用空间向量方法求解是比较方便的方法.四、解答题17．已知点(1,1)(2,4)、-A B . (1)求直线AB 的倾斜角(2)过点(1,0)P 的直线m 与过(1,1)(2,4)、-A B 两点的线段有公共点，求直线m 斜率的取值范围.【答案】(1)4πα=(2)[)14,2，-⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用两点式得到直线斜率，从而可得直线AB 的倾斜角； （2）求出直线PA 与直线PB 的斜率，从而可得结果. 【详解】(1)由已知得：直线AB 的斜率()41121k -==--tan 1,α∴=又[)0,,4παπα∈∴=(2)直线PA 的斜率101112-==---PA k 直线PB 的斜率40421-==-PB k 过点直线m 与过AB 、两点的线段有公共点，∴直线m 斜率的取值范围为[)14,2，-⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦18．已知直线11:42m l y x =-+与直线22:55nl y x =+垂直，垂足为()1,H p ，求过点H ，且斜率为m pm n++的直线方程. 【答案】42y x =-+【分析】根据垂直关系得到10m =，结合垂足在直线上得到H (1，-2)及12n =-，从而可得直线方程.【详解】解：∵12l l ⊥∴2145m -⨯=-解得10m =，∴直线l 1的方程为5122y x =-+.又∵点()1,H p 在直线l 1上，∴511222p =-⨯+=-，即H (1，-2).又∵点H (1，-2)在直线l 2上，22155n-=⨯+.解得12n =-，∴所求直线的斜率为4m pm n+=-+，其方程为()241y x +=--，即42y x =-+ 19．已知点(3,5)A -和(2,15)B ，P 为直线10x y -+=上的动点. (1)求(3,5)A -关于直线10x y -+=的对称点0(A x '，0)y ， (2)求PA PB +的最小值. 【答案】(1)(4,2)- 293【分析】（1）根据点,A A '的中点在直线10x y -+=上，直线AA '和直线10x y -+=垂直，列出方程，解方程即可得出答案；（2）PA PB PA PB A B ''+=+≥，当且仅当,,P A B '三点共线时，取等号，即可求出PA PB +的最小值为A B '，代入即可得出答案.【详解】(1)(3,5)A -关于直线10x y -+=的对称点设为0(A x '，0)y ，则0000351022513x y y x -++⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=-+⎪⎩，解得04x =，02y =-， 所以A '的坐标为(4,2)-.(2)由（1）及已知得：PA PB PA PB A B ''+=+≥，当且仅当,,P A B '三点共线时，取等号， 则PA PB +的最小值为：||A B '20．已知(,4,1)a x =，(2,,1)b y =--，(3,2,)c z =-，//a b ，b c ⊥.（1）求实数x ，y ，z 的值；（2）求a c +与b c +夹角的余弦值.【答案】（1）x =2，y =-4，z =2；（2）219-. 【分析】（1）直接利用向量平行和向量垂直即可求出x ，y ，z 的值；（2）先求出()5,2,3,a c += ()1,6,1b c +=-利用向量的夹角公式即可求解.【详解】（1）因为(,4,1)a x =，(2,,1)b y =--，(3,2,)c z =-，//a b ，b c ⊥. 所以()()41,232021x y z y ==-⨯+⨯--=--， 解得：x =2，y =-4，z =2.（2）由（1）知：(2,4,1)a =，(2,4,1)b =---，(3,2,2)c =-，所以()5,2,3,a c += ()1,6,1b c +=-.设a c +与b c +夹角为θ[]()0,θπ∈，则2cos 19θ==-即a c +与b c +夹角的余弦值为219-. 21．如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D1的底面是菱形，AA1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB1，A1D 的中点.（1）证明：MN ∥平面C1DE ；（2）求点C 到平面C1DE 的距离．【答案】（1）见解析；（2）41717. 【分析】（1）利用三角形中位线和11//A D B C 可证得//ME ND ，证得四边形MNDE 为平行四边形，进而证得//MN DE ，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）根据题意求得三棱锥1C CDE -的体积，再求出1C DE ∆的面积，利用11C CDE C C DE V V --=求得点C 到平面1C DE 的距离，得到结果.【详解】（1）连接ME ，1B CM ，E 分别为1BB ，BC 中点 ME ∴为1B BC ∆的中位线1//ME B C ∴且112ME B C = 又N 为1A D 中点，且11//A D B C 1//ND B C ∴且112ND B C = //ME ND ∴ ∴四边形MNDE 为平行四边形//MN DE ∴，又MN ⊄平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE//MN ∴平面1C DE（2）在菱形ABCD 中，E 为BC 中点，所以DE BC ⊥， 根据题意有3DE =，117C E =， 因为棱柱为直棱柱，所以有DE ⊥平面11BCC B ，所以1DE EC ⊥，所以113172DEC S ∆=⨯⨯， 设点C 到平面1C DE 的距离为d ，根据题意有11C CDE C C DE V V --=，则有11113171343232d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯， 解得44171717d ==， 所以点C 到平面1C DE 的距离为41717. 【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用等积法求点到平面的距离是文科生常考的内容. 22．如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面为直角梯形，AB DC ∥，90DAB ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，且112PA AD DC AB ====，M 是棱PB 的中点.(1)证明：平面PAD ⊥平面PCD ；(2)求平面AMC 与平面BMC 的夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)23【分析】（1）根据线面垂直的判定定理先证明DC ⊥平面P AD ，再根据面面垂直的判定定理证明平面PAD ⊥平面PCD ；（2）建立空间直角坐标系，求出相关各点的坐标，继而求得相关向量的坐标，再求出相关平面AMC 和平面BMC 的法向量，根据向量的夹角公式求得答案【详解】(1)∵PA ⊥底面ABCD ，DC ⊂底面ABCD ，∴PA DC ⊥,又由题设知AD DC ⊥，且直线P A 与AD 是平面P AD 内的两条相交直线， ∴DC ⊥平面P AD .又DC ⊂平面PCD ，∴平面PAD ⊥平面PCD .(2)∵PA AD ⊥，PA AB ⊥，AD AB ⊥，∴以A 为坐标原点，以AD 为x 轴，以AB 为y 轴，以AP 为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,0,0A ，()0,2,0B ，()1,1,0C ，()0,0,1P ,10,1,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 10,1,2AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭,(1,1,0)AC =, 设平面AMC 的法向量为()1,,n x y z =，则由1100n AM n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得1020y z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，得2z y x y =-⎧⎨=-⎩， 令1y =，得()11,1,2n =--为平面AMC 的一个法向量. 由10,1,2BM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,0,2MC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 设平面BMC 的一个法向量为()2,,n a b c =，则2200n BM n MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即102102b c a c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 令1a = ,可得平面BMC 的一个法向量为()21,1,2n =. ∴1212122cos ,3n n n n n n ⋅==-,2 3.故所求平面AMC与平面BMC的夹角的余弦值为。
山东省济宁市2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题含答案
济宁市高二年级第一学期九月模块测试数学试题（答案在最后）注意事项：1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码. 2．本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.3．选择题的作答：每小题选出答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.4．非选择题的作答：用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.以下事件是随机事件的是（）A.标准大气压下，水加热到100C ，必会沸腾B.走到十字路口，遇到红灯C.长和宽分别为,a b的矩形，其面积为abD.实系数一元一次方程必有一实根【答案】B【解析】【分析】根据随机事件的概念判断即可【详解】解：A．标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意；B．走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意；C．长和宽分别为,a b的矩形，其面积为ab是必然事件；故本选项不符合题意；D．实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件．故本选项不符合题意．故选：B．2.抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为A.至多两件次品B.至多一件次品C.至多两件正品D.至少两件正品【答案】B【解析】【详解】试题分析：事件A 不包含没有次品或只有一件次品，即都是正品或一件次品9件正品，所以事件A 的对立事件为至多一件次品．故B 正确．考点：对立事件．3.两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为（）A.12B.14C.13D.16【答案】B 【解析】【分析】列举出所有的可能事件，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】两名同学分3本不同的书，记为,,a b c ，基本事件有(0，3)，(1a ，2)，(1b ，2)，(1c ，2)，(2，1a )，(2，1b )，(2，1c )，(3，0)，共8个，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的基本事件有2个，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率p ＝28＝14.故选:B4.掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中事件A B +发生的概率为（）A.13B.12C.23D.56【答案】C 【解析】【分析】由互斥事件的概率可知(()(1())P A B P A P B +=+-，从而得解.【详解】由已知得：1()3P A =，2()3P B =，事件B 表示“小于5的点数出现”，则事件B 表示“出现5点或6点”故事件A 与事件B 互斥，122()()(1())(1)333P A B P A P B ∴+=+-=+-=故选：C5.直三棱柱111ABC A B C -中，若1,,CA a CB b CC c ===，则1A B = （）A.a b c+-r r r B.a b c-+r r r C.a b c -++D.a b c-+- 【答案】D 【解析】【分析】由空间向量线性运算法则即可求解．【详解】()11111A A B B a b B A B c CC C CB =+=-+=-+--+.故选：D ．6.已知空间向量0a b c ++=，2a = ，3b = ，4c = ，则cos ,a b = （）A.12B.13C.12-D.14【答案】D 【解析】【分析】设,,AB a BC b CA c ===，在ABC V 中由余弦定理求解.【详解】空间向量0a b c ++= ，2a = ，3b = ，4c =，则,,a b c三向量可能构成三角形的三边.如图，设,,AB a BC b CA c === 2a = ，则ABC V 中，||2,||3,||4AB BC CA === 2a =，222||||cos ,cos 2AB BC CA a b ABC AB BC+-∴=-∠=-⨯⨯ 491612234+-=-=⨯⨯.故选：D7.端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙,丙回老家过节的概率分别为11,45.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为（）A.5960 B.35 C.12 D.160【答案】B【解析】【分析】这段时间内至少1人回老家过节的对立事件是这段时间没有人回老家过节，由此能求出这段时间内至少1人回老家过节的概率.【详解】端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙,丙回老家过节的概率分别为11,45.假定三人的行动相互之间没有影响，这段时间内至少1人回老家过节的对立事件是这段时间没有人回老家过节，∴这段时间内至少1人回老家过节的概率为：1113 11113455 p⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.8.在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（）A.4.33%B.3.33%C.3.44%D.4.44%【答案】B【解析】【分析】推理出回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，故回答服用过兴奋剂的人有5人，从而得到答案.【详解】因为抛硬币出现正面朝上的概率为12，大约有150人回答第一个问题，又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的，在回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，共有80个“是”的回答，故回答服用过兴奋剂的人有5人，因此我们估计这群人中，服用过兴奋剂的百分率大约为5150≈3.33%.故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.在平行六面体ABCD A B C D -''''中，若AB 所在直线的方向向量为(2,1,3)-，则C D ''所在直线的方向向量可能为（）A.(2,1,3)B.(2,1,3)--C.(4,2,6)-D.(4,2,6)-【答案】BC 【解析】【分析】由已知可得//AB C D ''，所以它们的方向向量共线，利用向量共线的坐标关系，即可判断各个选项.【详解】由已知可得//AB C D ''，故它们的方向向量共线，对于B 选项，(2,1,3)(2,1,3)--=--，满足题意；对于C 选项，(4,2,6)2(2,1,3)-=-，满足题意；由于A 、D 选项不满足题意．故选：BC.10.下列各组事件中，是互斥事件的是（）A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B.统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分C.播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒D.检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%【答案】ACD 【解析】【分析】根据互斥事件的定义，两个事件不会同时发生，命中环数大于8与命中环数小于6，发芽90粒与发芽80粒，合格率高于0070与合格率为0070均为互斥事件，而平均分数不低于90分与平均分数不高于90分，当平均分为90分时可同时发生，即得解.【详解】根据互斥事件的定义，两个事件不会同时发生，对于A ，一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6,为互斥事件；对于B ，统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于90分当平均分为90分时可同时发生，不为互斥事件；对于C ，播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒,为互斥事件；对于D ，检查某种产品，合格率高于0070与合格率为0070,为互斥事件；故选：ACD.11.已知点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点，且12OP OA mOB nOC =+-（m ，n R ∈），则m ，n 的值可能为（）A.1m =，12n =- B.12m =，1n = C.12m =-，1n =- D.32m =，1n =【答案】CD 【解析】【分析】根据平面向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可.【详解】因为点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点，所以由平面向量基本定理可知：()()AP y AC z AB AO OP y AO OC z AO OB =+⇒+=+++ ，化简得：(1)OP y z OA yOC zOB =--++，显然有11y z y z --++=，而12OP OA mOB nOC =+- ，所以有11122m n m n +-=⇒-=，当1m =，12n =-时，32m n -=，所以选项A 不可能；当12m =，1n =时，12m n -=-，所以选项B 不可能；当12m =-，1n =-时，12m n -=，所以选项C 可能；当32m =，1n =时，12m n -=，所以选项D 可能，故选：CD第Ⅱ卷（非选择题）三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．【答案】34【解析】【详解】从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条这一事件共有4种，而不能构成三角形的情形为2,3,5.所以这三条线段为边可以构成三角形的概率是P ＝34.13.已知事件A ，B ，C 两两互斥，且()0.3P A =，()0.6P B =，()0.2P C =，则()P A B C ⋃⋃=______．【答案】0.9##910【解析】【分析】由互斥事件与对立事件的相关公式求解【详解】由题意得()1()0.4P B P B =-=，则()()()()0.9P A P P A B C B P C ⋃⋃=++=．故答案为：0.914.在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AA AD ===，以D 为原点，DA ，DC ，1DD方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则1AC =______，若点P 为线段AB 的中点，则P 到平面11A BC 距离为______．【答案】①.(1,2,2)-②.6【解析】【分析】第一空，根据向量的坐标运算可得答案；第二空，求出平面11A BC 的法向量，利用向量法求点到平面的距离即可得解.【详解】如图，建立空间直角坐标系，因为122AB AA AD ===，则(1,0,0)A ，1(0,2,2)C ，1(1,0,2)A ，(1,2,0)B ，(1,1,0)P ，所以1(1,2,2)AC =- ，11(1,2,0)A C =- ，1(0,2,2)A B =- ，(0,1,0)PB =，设平面11A BC 的法向量为(,,)n x y z = ，则11100A B n A C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020y z x y -=⎧⎨-+=⎩，令1y =，则2,1x z ==，故(2,1,1)n =，则P 到平面11A BC距离为66n PB d n⋅== .故答案为：(1,2,2)-；66.四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）已知2,3a b == ，且a b ⊥ 求2a b a b +⋅（）（-）（2）已知a b a b +=- ，求a b⋅ 【答案】（1）1-（2）0【解析】【分析】（1）由已知，利用向量数量积运算，结合向量垂直的向量表示即可求解；（2）由a b a b +=-，两边平方，展开运算即可.【详解】（1）因为2,3a b == ，且a b ⊥ ，所以22222222031a b a b a a b b +⋅+⋅-=⨯+-=- （）（-）=.（2）因为a b a b +=- ，则22a b a b +=- ，所以222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，化简得22a b a b ⋅=-⋅ ，所以0a b ⋅=.16.已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．【答案】（1）3，2，2（2）（i）见解析（ii）5 21【解析】【详解】分析：（Ⅰ）结合人数的比值可知应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）由题意列出所有可能的结果即可，共有21种．（ii）由题意结合（i）中的结果和古典概型计算公式可得事件M发生的概率为P（M）=5 21．详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．（ii）由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以，事件M发生的概率为P（M）=5 21．点睛：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．17.甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．（1）求再赛2局结束这次比赛的概率；（2）求甲获得这次比赛胜利的概率．【答案】（1）0.52（2）0.648【解析】【分析】（1）再赛2局结束这次比赛分“第三、四局甲胜”与“第三、四局乙胜”两类情况，根据根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解可得；（2）由题意，甲获得这次比赛胜利只需后续比赛中甲先胜两局即可，根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解即可.【小问1详解】用i A 表示事件“第i 局甲胜”，j B 表示事件“第j 局乙胜”（,3,4,5i j =），设“再赛2局结束这次比赛”为事件A ，则3434A A A B B =+，由于各局比赛结果相互独立，且事件34A A 与事件34B B 互斥.所以()()()()()()()()343434343434P A P A A B B P A A P B B P A P A P B P B =+=+=+0.60.60.40.40.52=⨯+⨯=．故再赛2局结束这次比赛的概率为0.52.【小问2详解】记“甲获得这次比赛胜利”为事件B ，因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲成为胜方当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而34345345B A A B A A A B A =++，由于各局比赛结果相互独立，且事件34A A ，345B A A ，345A B A 两两互斥，所以()0.60.60.40.60.60.60.40.60.648P B =⨯+⨯⨯+⨯⨯=.故甲获得这次比赛胜利的概率为0.648.18.如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，ABAF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1)AM ∥平面BDE ；(2)AM ⊥平面BDF.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【详解】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD ＝N ，连结NE.则N 22,,022⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，E(0，0，1)，220)，M 22,,122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.∴NE ＝22,,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，AM ＝22,,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.∴NE ＝AM 且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM.∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE.(2)由(1)知AM ＝22,,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，∵2，0，0)，22，1)，∴DF ＝(02，1)，∴AM ·DF＝0，∴AM ⊥DF.同理AM ⊥BF.又DF∩BF ＝F ，∴AM ⊥平面BDF.19.在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA AD ==，E 为线段CD 中点．（1）求直线1B E 与直线1AD 所成的角的余弦值；（2）在棱1AA 上是否存在一点P ，使得//DP 平面1B AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．【答案】（1）0（2）存在，12AP =【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，设AB a =，写出点的坐标，求出110B E AD ⋅= ，得到异面直线夹角余弦值为0；（2）设()00,0,P z ，求出平面1B AE 的一个法向量1,,2a n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，根据0DP n ⋅= 得到方程，求出12z =，故存在点P ，使得//DP 平面1B AE ，此时12AP =.【小问1详解】以A 为坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，设AB a =，则()()()11,0,1,,1,0,0,0,0,0,1,12a B a E A D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()()()()11,1,0,0,1,1,1,0,1,10,0,00,1,122a a B E a AD ⎛⎫⎛⎫=-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则()11,1,10,1,11102a B E AD ⎛⎫⋅=--⋅=-= ⎪⎝⎭，故直线1B E 与直线1AD 所成的角的余弦值为0；【小问2详解】存在满足要求的点P ，理由如下：设棱1AA 上存在点()00,0,P z ，使得//DP 平面1B AE ，0,1,0，则()00,1,DP z =- ，设平面1B AE 的一个法向量为(),,n x y z =，则()()()1,,,0,10,,,1,0022n AB x y z a ax z a a n AE x y z x y ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⎛⎫⋅=⋅=+= ⎪⎪⎝⎭⎩，取1x =得,2a y z a =-=-，故1,,2a n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，要使//DP 平面1B AE ，则n DP ⊥，即()00,1,1,,02a DP n z a ⎛⎫⋅=-⋅--= ⎪⎝⎭ ，所以002a az -=，解得012z =，故存在点P ，使得//DP 平面1B AE ，此时12AP =.。
江西省部分学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题
江西省部分学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题一、单选题 1．2024︒角是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角2．设扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，而积为S ，周长为L ，则下列说法不正确的是（ ）A ．若α，r 确定，则,L S 唯一确定B ．若α，l 确定，则L ，S 唯一确定C ．若,S L 确定，则,r α唯一确定D ．若,S l 确定，则,r α唯一确定3．“sin θ是“π4θ=”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．若π1cos 22α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=（ ）A ．12B ．12-C D ．5．已知函数()()sin πf x x =+，则（ ） A ．()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B ．曲线()y f x =关于直线π2x =-对称C ．曲线()y f x =关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．曲线()y f x =关于直线π4x =对称6．已知函数()()sin ,0f x x ωω=>，将()f x 图象上所有点向左平移π6个单位长度得到函数()y g x =的图象，若函数()g x 在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为（ ）A ．(]0,4B ．(]0,2C ．30,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．(]0,17．已知3sin7a π=，3cos 7b π=，3tan 7c π=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．<<c a b8．如图，为测量旗杆的高AB ，在水平线AC 上选取相距10m 的两点,D E ，用两个垂直于水平面且高度均为2m 的测量标杆观测旗杆的顶点B ，记,D E 处测量标杆的上端点分别为,F G ，直线,BF BG 与水平线AC 分别交于点,H C ，且测得,DH EC 的长分别为3m,5m ，则旗杆的高AB 为（ ）A ．12mB ．13mC ．14mD ．15m二、多选题9．下列说法中，正确的是（ ） A ．330︒是第四象限角 B ．锐角一定是第一象限角 C ．第二象限角大于第一象限的角 D ．若角α为第二象限角，那么2α为第一象限角10．在ABC V 中，下列等式恒成立的是（ ）A ．sin sin()0ABC -+= B ．cos cos()0A B C -+= C ．cossin 022A B C +-= D ．coscos 022A B C+-=11．已知函数()π214f x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，给出的下列四个选项中，正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期是πB ．函数()f x 在区间π,85π8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数C ．函数()f x 的图象关于点π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．函数()f x 的图象可由函数2y x =的图象向左平移π8个单位，再向下平移1个单位得到三、填空题12．砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形OCD 截去同心扇形OAB 所得图形，已知0.1m OA =，0.4m AD =，125AOB ∠=︒，则该扇环形砖雕的面积为2m .13．函数()()ln 2cos 1f x x =-的定义域是． 14．函数πtan 34x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为．四、解答题15．已知α角的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(4,3)P -. (1)求sin ,cos ,tan ααα；(2)求cos 2cos()2()sin()2cos()f παπααπαα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=-+-的值. 16．已知函数()πtan 23x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(1)求函数()f x 的定义域； (2)求函数()f x 的单调区间； (3)求不等式()f x ≤17．已知函数()()2sin cos cos 05f x x x x ωωω=-<<满足π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.(1)求ω；(2)求()f x 在区间π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.18．函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图象先向右平移π4个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，求()g x 在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；19．风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而来推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为2π3，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈．风机叶片端点P 从离地面最低位置开始，转动t 秒后离地面的距离为h 米，在转动一周的过程中，h 关于t 的函数解析式为()()sin h t A t B ωϕ=++（0A >，0ω>，π<ϕ）．(1)求函数()h t 的解析式；(2)当风机叶片端点P 从离地面最低位置开始，在转动一周的过程中，求点P 离地面的高度不低于80米的时长．。
四川省乐山市外国语学校高二9月月考数学(理)
数学试题 理第I 卷（选择题)一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）1．以一个等边三角形的底边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的几何体是 A ．一个圆柱B ．一个圆锥C ．两个圆锥D ．一个圆台2．如图，O A B C ''''为四边形OABC 的斜二测直观图，则原平面图形OABC 是（ ） A ．直角梯形 B ．等腰梯形C ．非直角且非等腰的梯形D ．不可能是梯形3．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（ ） A ．异面B ．相交C ．异面或平行D ．相交或异面4．如图所示，若,,,G H M N 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线,GH MN 是异面直线的图形有（ ） A ．①②B ．③④C ．②④D ．①③5．过点()1,3且与圆()2214x y ++=相切的直线方程为（ ） A ．512310x y -+= B ．3y =或43130x y +-= C ．1x =或512310x y -+=D ．1x =或512410x y +-=6．已知圆的方程为22680x y x y +--=，设该圆过点(3,5)P 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ） A ．106B ．206C ．207D ．4067．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱一如图所示的“堑堵”111ABC A B C -，AC BC ⊥，若12AA AB ==，当“阳马”11B A ACC -体积最大时，则“堑堵”111ABC A B C -的表面积为（ ） A ．442+ B ．642+C ．842+D ．862+8．已知圆C 的圆心(2,3)-，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程为A ．22460x y x y +-+= B ．224680x y x y +-++= C ．22460x y x y +--=D ．224680x y x y +-+-=9．下列命题中正确的个数是（ ）①平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点． ②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l α．③若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行④已知平面α，β和异面直线a ，b ，满足a α⊂，//a β，b β⊂，//b α，则//αβ． A ．0B ．1C ．2D ．310．如图，边长为2的正方形ABCD 中，,E F 分别是,BC CD 的中点，现在沿,AE AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使,,B C D 三点重合，重合后的点记为P ，则四面体P AEF -的高为A ．13 B ．23C ．34D ．111．如图所示，在四边形ABCD 中，，，.将四边形ABCD沿对角线BD 折成四面体，使平面平面BCD ，则下列结论中正确的结论个数是（ ） ①； ②；③与平面A 'BD 所成的角为30°； ④四面体的体积为12．如图所示，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ） A ．212- B ．212+C ．612- D ．312- 第II 卷（非选择题) 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．两圆x 2＋y 2－2y －3＝0与x 2＋y 2＝1的位置关系是____________． 14．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________. 14题 15题15．如图，二面角l αβ--等于120︒，A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC l ⊥，BD l ⊥，且1AB AC BD ===，则CD 的长等于______．16．用一个平面去截一个正方体，截面不可能是： （写出你认为的所有答案）①正三角形 ②直角三角形 ③菱形 ④五边形 ⑤正五边形 ⑥正六边形三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题10分）已知圆221:2880C x y x y +++-=与圆2224420C x y x y +---=：相交于两点.(1)求两圆的公共弦所在直线的方程. (2)求两圆的公共弦长.18．（本小题12分）如图所示，在空间四面体ABCD 中，,E F 分别是AB ，CD 的中点，,G H 分别是BC ，CD 上的点，且11,33CG BC CH DC ==.求证：（1）,,,E F G H 四点共面； （2）直线FH EG AC ，，共点.19．（本小题12分）如图组合体中，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 是圆柱的轴截面（过圆柱的轴，截圆柱所得的截面），C 是圆柱底面圆周上不与A ，B 重合的一个点. （1）求证：无论点C 如何运动，平面1A BC ⊥平面1A AC ； （2）当点C 是弧的中点时，求四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比． 20．（本小题12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，、分别为、中点，．（Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由．21．（本小题12分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =12AA =，113BAA CAA π∠=∠=，D ，E 分别为AB ，1A C 中点．（1）求证：DE ∥平面11BB C C ；（2）求证：1AA ⊥面1A BC ，并求AB 与面1A BC 所成的角； （3）若11AA =，6BC =111A BCC B -的体积．22．（本小题12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O 的方程为2216x y +=，过点(0,1)M 的直线l 与圆O 交于两点A ，B ．（1）若37AB =，求直线l 的方程；（2）若直线l 与x 轴交于点N ，设NA mMA =，NB mMB =，m ，n ∈R ，求m n +的值．数学（理）参考答案一、选择题1．C 2．A 3．D 4．C 5．C 6．B 7．B 8．A 9．B 10．B 11．B 12．D 二、填空题13．内切. 14．38 15．2 16． ②⑤ 三、解答题17．（1）210x y +-=； （2）25(1)设两圆的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则A,B 的坐标满足方程组222228804420x y x y x y x y ⎧+++-=⎨+---=⎩两式相减得210x y +-=.弦所在直线的方程为210x y +-=………………..5分(2)圆C 1可化为(x+1)2+(y+4)2=25,圆C 1的圆心为1(1,4)C --,半径长15r =.1(1,4)C --)到直线210x y +-=的距离10255d ==.则弦长221225AB r d =-=……………….10分18、（1）连接EF ，GH ，……………..1分E F ，分别是AB AD ，的中点，EF BD ∴∥..3分又11,33CG BC CH DC ==，GH BD ∴∥，EF GH ∴，,,,E F G H ∴四点共面…………6分（2）易知FH 与直线AC 不平行，但共面， ∴设FH AC M ⋂=，………….8分则M ∈平面EFHG ，M ∈平面ABC .∵平面EFHG ⋂平面ABC EG =，M EG ∴∈ ∴直线FH EG AC ，，共点………….12分 19．（1）见解析；（2）23π. （1） AB 为底面圆的直径，∴ AC BC ⊥….1分又 母线1AA ⊥平面ABC ，∴1AA BC ⊥且1A A AC A ⋂=，BC ⊥平面1AA C ……..4分∴1A BC ⊥平面1A AC ；…………..5分（2）设圆柱的母线长为h ，底面半径为r ，∴=柱V 2r h π，……….7分=∴ABC -A 1V 221133r h r h ⨯⨯=，=ABC -C B A 111V 2r h ………….10分=∴111B BCC -A V 2221233r h r h r h -=……11分=∴柱B BCC -A V ：V 11123π．…………12分20．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）不存在；说明见（Ⅰ）连接四边形为正方形为中点又为中点平面…………………..3分（Ⅱ）如图建立直角坐标系 则，，，设平面的法向量又，，即，令，则，即二面角的正弦值为：……….8分（Ⅲ）令，若平面，则，又，方程无解棱上不存在一点，使平面…….12分21．（1）见解析；（2）6π；（3）1 (1)连11,AC BC ,在三棱柱111ABC A B C -中， 四边形11ACC A 是平行四边形,∴1AC 过1A C 的中点E ,又D 是AB 中点, ∴DE 是1ABC ∆的中位线,所以1//DE BC , ∴DE ∥平面11BB C C …………4分(2)在1ABA 中112,3AB AA BAA π=∠=,由余弦定理得11A B ,所以11AA A B ⊥, 同理: 11AA A C ⊥,又 111A C A B A =⋂∴1AA ⊥面1A BC ,∴AB 与面1A BC 所成的角为16ABA π∠=….8分(3)由(2)知111A B AC ==,132A BCS =1AA 是三棱锥1A A BC -的高, 112A A BC V -=,即112A ABC V -=,11132A B C ABC V -= 11131122A BBC C V -=-=……….12分22．（1）1y =+（2）3215m n +=（1）当直线l 的斜率不存在时，8AB =，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线l 的方程为1y kx =+，圆心O 到直线l 的距离d =，因为AB =AB ==k =所以直线l 的方程为1y =+． …4分 . （2）当l 的斜率不存在时，设(0,4)A ，(0,4)B -，(0,0)N ，因为NA mMA =，NB nMB =，所以(0,4)(0,3)m =，(0,4)(0,5)n -=-， 所以43m =，45n =，所以3215m n +=． ………6分 当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ， l ：1y kx =+， 因为直线l 与x 轴交于点N ，所以1(,0)N k-．直线l 与圆O 交于点A ，B ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2216,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩得，22(1)2150k x kx ++-=，所以12221k x x k +=-+，122151x x k =-+；因为NA mMA =，NB nMB =，所以11111(,)(,1)x y m x y k +=-，22221(,)(,1)x y n x y k+=-，所以111111x k m x kx +==+，222111x k n x kx +==+， 所以2121212221111123212()2221515151kx x k m n k x x k x x k k -+++=++=+=+=+=-+ 综上，3215m n +=．………….12分。
2022-2023学年黑龙江省鸡西市虎林市高级中学高二上学期9月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年黑龙江省鸡西市虎林市高级中学高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．若直线x +ny +3=0与直线nx +9y +9=0平行，则实数n 的值为（ ） A ．3 B ．-3 C ．1或3 D ．3或-3【答案】B【分析】根据两直线平行的公式求解即可.【详解】由题意知219n ⨯=，且193n ⨯≠，故3n =-. 故选：B2．与圆222430x y x y +-++=同圆心，且过点()1,1-的圆的方程是（ ） A ．222440x y x y +-+-= B ．222440x y x y +-++= C ．222440x y x y ++--= D ．222440x y x y ++-+=【答案】B【分析】根据同圆心,可设圆的一般式方程为22240+-++=x y x y m ,代入点即可求解.【详解】设所求圆的方程为22240+-++=x y x y m ，由该圆过点()1,1-，得m ＝4，所以所求圆的方程为222440x y x y +-++=. 故选：B3．已知00ab bc <<，，则直线0ax by c ++=通过（ ）象限 A ．第一、二、三 B ．第一、二、四 C ．第一、三、四 D ．第二、三、四【答案】A【分析】将直线化为斜截式，进而通过斜率和纵截距的范围得到直线所过的象限.【详解】由题意，直线0a c ax by c y x b b ++=⇒=--，因为00ab bc <<，，所以0,0a cb b->->，所以直线过第一、二、三象限. 故选：A.4．如图，在四面体O ABC -中，OA a =，OB b =，OC c =，且2OM MA =，BN NC =，则MN =（ ）A ．221332a b c ++B ．221332a b c +-C ．211322a b c -++D ．121232a b c -+【答案】C【分析】由平面向量的线性运算求解．【详解】连接ON ，因为BN NC =，所以1()2ON OB OC =+， 因为2OM MA =，所以23OM OA =，所以12211()23322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++． 故选：C ．5．过点（2，－3）、斜率为12-的直线在y 轴上的截距为（ ）A ．2B ．－2C ．4D ．－4【答案】B【分析】根据点斜式公式，整理直线方程，令0x =，可得答案. 【详解】由题意得直线方程为()1322y x +=--，令x =0，解得y ＝－2． 故选：B ．6．过两条直线1:30l x y -+=与2:20l x y +=的交点，倾斜角为π3的直线方程为( )A 3320x y -=B 33360x y -=C 3340x y -=D 333120x y -=【答案】A【分析】联立两条直线的方程求出交点坐标，再根据直线方程的点斜式即可求解．【详解】由3020x y x y -=⎧⎨=⎩＋＋解得12x y =-⎧⎨=⎩，故两直线交点为(－1，2)，故直线方程是：)21y x -=＋20y -=＋． 故选：A ．7．已知线段AB 两端点的坐标分别为()2,3A -和()4,2B ，若直线:10l x my m ++-=与线段AB 有交点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()3,1,4⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．31,4⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．31,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(]3,1,4⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【分析】判断出直线l 所过定点()1,1P -，结合图象求得m 的取值范围 【详解】直线:10l x my m ++-=恒过的定点()1,1P -，4,13AP BP k k =-=.当0m =时，直线l 方程为1x =，与线段AB 有交点，符合题意. 当0m ≠时，直线l 的斜率为1m-，则[)14,1,3m ⎛⎤-∈-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦，解得10m -≤<或304m <≤，综上，31,4m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故选：C8．已知正方体1111ABCD A B C D -，P 是线段1A C 上一点，下列说法正确的是（ ）A ．若1113A P AC =，则直线AP 平面1BC DB ．若1112A P AC =，则直线AP平面1BC D C ．若1113A P AC =，则直线BP ⊥平面1ACD D ．若1112A P AC =，则直线BP ⊥平面1ACD 【答案】A【分析】以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，1为单位长度，利用直线和平面法向量的关系判断各选项即可.【详解】以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则()1,0,0A ，()11,0,1A ,()1,1,0B ，()0,1,0C ，()10,1,1C ，()0,0,0D ，1(0,0,1)D ,则()10,0,1AA =，()11,1,1AC =--，()0,1,0BA =-，()1,1,0DB =，()10,1,1DC =，(1,1,0)AC =-,1(1,0,1)AD =-当1113A P AC =时，()()1111111120,0,11,1,1,,33333A AP A A P AA AC ⎛⎫=+=+=+--=- ⎪⎝⎭， 设平面1BC D 的法向量为(),,m x y z =，则100m DB x y m DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩取1x =，则1y =-，1z =，则()1,1,1m =-为平面1BC D 的一个法向量，因为1120333AP m ⋅=--+=，所以AP m ⊥，又因为AP ⊄平面1BC D ，所以直线AP 平面1BC D ，故A 正确，B 不正确．当1113A P AC =时，()()()1111111220,1,00,0,11,1,1,,33333BP BA AA A P BA AA AC ⎛⎫=++=++=-++--=-- ⎪⎝⎭，设平面1ACD 的一个法向量为(,,)n x y z =， 则10n AC x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1x =则1y =，1z =， 则()1,1,1n =为平面1ACD 的一个法向量，因为BP 与n 不共线，所以直线BP 与平面1ACD 不垂直，故C 不正确； 当1112A P AC =时，()()()1111111110,1,00,0,11,1,1,,22222BP BA AA A P BA AA AC ⎛⎫=++=++=-++--=-- ⎪⎝⎭，因为BP 与n 不共线，所以直线BP 与平面1ACD 不垂直，故D 不正确． 故选：A ．二、多选题9．已知直线l ：()2110a a x y ++-+=，其中R a ∈，下列说法正确的是（ ）A ．当1a =-时，直线l 与直线0x y +=垂直B ．若直线l 与直线0x y -=平行，则0a =C ．直线l 过定点()0,1D ．当0a =时，直线l 在两坐标轴上的截距相等 【答案】AC【分析】对于A ，代入1a =-，利用斜率之积为1-得知直线l 与直线0x y +=垂直； 对于B ，由两平行线的一般式有111222A B C A B C =≠求得a ，从而可判断正误； 对于C ，求定点只需令参数的系数为0即可，故直线l 过定点()0,1； 对于D ，代入0a =，分别求得直线l 在两坐标轴上的截距即可判断正误.【详解】对于A ，当1a =-时，直线l 的方程为10x y -+=，故l 的斜率为1，直线0x y +=的斜率为1-，因为1(1)1⨯-=-，所以两直线垂直，所以A 正确； 对于B ，若直线l 与直线0x y -=平行，则2110111a a -=≠++-，解得0a =或1a =-，所以B 错误；对于C ，当0x =时，则1y =，所以直线过定点()0,1，所以C 正确；对于D ，当0a =时，直线l 的方程为10x y -+=，易得在x 轴、y 轴上的截距分别是1,1-，所以D 错误. 故选：AC.10．已知空间向量(2,1,5)a =-，(4,2,)b x =-，则下列选项正确的为（ ） A ．若a b ∥，则10x = B ．若a b ⊥，则2x = C ．若3x =-，则3a b += D ．若0x =，则6cos ,6a b <>=- 【答案】BCD【分析】对于A 、B 分别根据向量平行和垂直的等价条件转换计算； 对于C 、D 分别代向量的模的公式及夹角公式计算可得. 【详解】向量(2,1,5)a =-，(4,2,)b x =- 对于A. 若a b ∥，则21542x-==-，所以10x =-，故此选项错误； 对于B. 若a b ⊥，()()241250x ⨯-+-⨯+=，则2x =，故此选项正确；对于C. 若3x =-，则(4,2,3)b =--，则()2,1,2,4143a b a b +=-∴+=++=，故此选项正确；对于D. 若0x =，则(4,2,0)b =-，所以302082cos ,a b a b a b⋅--<>===⋅，故此选项正确；故答案为：BCD11．圆上的点（2，1）关于直线x ＋y ＝0（ ） A ．225x y += B ．()()22135x y -+-= C ．()2225x y +-= D ．()()22115x y -++=【答案】AD【分析】由圆的几何关系可知圆心在直线x ＋y ＝0上，设出圆心坐标为（a ，－a ），利用圆心到圆上点的距离等于半径列方程即可求解.【详解】由题意可知圆心在直线x ＋y ＝0上，设圆心坐标为（a ，－a ）， 则()()22215a a -++=，解得a ＝0或a ＝1， ∴所求圆的方程为()()22115x y -++=或225x y +=, 故选：AD ．12． 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是棱11A D ，AB 的中点，则（ ）A ． 异面直线MD 与AC 所成角的余弦值为15B ． 11MCD N ⊥C ． 四面体11CABD 的外接球体积为 D ． 平面MNC 截正方体所得的截面是四边形 【答案】BC【分析】利用坐标法可判断AB ，利用正方体的性质可判断CD.【详解】如图建立空间直角坐标系，则()()()()()()111,0,2,2,0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,2,1,0M A C C D N ，∴()1,0,2DM =，()2,2,0AC =-，∴210cos ,10522AC DM ==⋅，A 错误；∴()11,2,0MC =-，()12,1,2D N =-，110MC D N ⋅=，∴11MC D N ⊥，B 正确； 由题可知四面体11CAB D 的外接球即为正方体的外接球，所以外接球半径满足223r =，3r =，∴34433V r ππ==，C 正确；延长CN 交DA 延长线与P ，连接MP 交1AA 于Q ，延长PM 交1DD 延长线于K ，连接CK 交11D C 于J ，则五边形QMJCN 为平面MNC 截正方体所得的截面，D 错误. 故选：BC.三、填空题13．若直线l 的一个方向向量为()1,2,1a =-，平面a 的一个法向量为()1,2,1b =--，则直线l 与平面α的位置关系是______．【答案】垂直或l α⊥【分析】由题意可得a 与b 共线，从而可得答案【详解】因为直线l 的一个方向向量为()1,2,1a =-，平面a 的一个法向量为()1,2,1b =--，且a b =-， 所以a 与b 共线，，所以直线l 与平面α的位置关系为垂直， 故答案为：垂直或l α⊥14．若方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，表示以（2，－4）为圆心，4为半径的圆，则F=_____ 【答案】4【详解】方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0配方得22224()().224D E D E Fx y +-+++=根据条件得：22242,4,4;224D E D E F+--=-=-=解得 4.F = 15．著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难人微”，事实上，很多代数问题都可以(),M x y 与点(),N a b 之间的______．【答案】【分析】设()f x ()f x 的几何意义为点(),0M x 到两定点()2,4A 与()1,3B 的距离，求出点()2,4A 关于x 轴的对称点为'A ，转化为求MA MB '+的最小值即可.【详解】设()f x则()f x∴()f x 的几何意义为点(),0M x 与两定点()2,4A ，()1,3B 之间的距离之和． 如图所示：设点()2,4A 关于x 轴的对称点为1A ，则1A 的坐标为（2，－4）． 则1MA MA =，1MA MB MA MB +=+ 要求()f x 的最小值，即求1MA MB +的最小值， 又()()221121432MA MB A B +≥=-+--即()22420210f x x x x x =-+-+52故答案为：5216．若圆222430x y x y +++-=上到直线20x y a ++= 2 的点恰有3个，则实数a 的值为___________.【答案】510a =510a =【分析】设圆心()1,2C --到直线:20l x y a ++=的距离为d ，由题意有2d = 利用点到直线距离公式列出等式即可求解.【详解】圆22:2430C x y x y +++-=，即()()22128x y +++=， 所以圆C 的圆心坐标为()1,2C --，半径22r =因为圆22:2430C x y x y +++-=上到直线:20l x y a ++=23个， 设圆心()1,2C --到直线:20l x y a ++=的距离为d ，则2d ==5a =5a =，故答案为：5a =5a =四、解答题17．已知空间中三点的坐标分别为()3,0,1A -，()3,1,0B ，()5,0,2C -，且a AB =，b AC =．(1)求向量a 与b 夹角的余弦值；(2)若ka b +与a b -互相垂直，求实数k 的值．【答案】(1)(2)2k =【分析】（1）求得向量a 与b 的坐标，根据向量的夹角公式即可求得答案；（2）表示出ka b +与a b -的坐标，根据ka b +与a b -互相垂直可得关于k 的方程，即可求得答案.【详解】（1）()0,1,1a AB ==，()2,0,1b AC ==-，所以1cos ,2a ba b a b ⋅-===⋅． （2）因为()2,,1ka b k k +=-，()2,1,2a b -=-，且ka b +与a b -互相垂直，所以()()22210k k ⨯-++-=，解得2k =．18．直线l 过点()2,1P -.(1)若直线l 与直线10x y ++=平行，求直线l 的方程；(2)若点()1,2A 到直线l 的距离为1，求直线l 的方程.【答案】(1)10x y +-=(2)20x -=或4350x y +-=【分析】（1）设出直线l 的方程，利用待定系数法求得正确答案.（2）根据直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，结合A 到直线l 的距离来求得直线l 的方程.【详解】（1）设直线方程为0,1x y c c ++=≠将()2,1P -代入得1c =-，所求直线方程是10x y +-=（2）若直线l 的斜率不存在，则过P 的直线为2x =，到A 的距离为1，满足题意；若直线l 的斜率存在，设斜率为k ，则l 的方程为210kx y k ---=.由A 到直线l 的距离为1，可得222213111k k k k k -----==++.解得43k =-， 所以直线方程为4421033x y ⎛⎫-----= ⎪⎝⎭，即4350x y +-=. 综上得所求的直线方程为20x -=或4350x y +-=.19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为2，M 、N 分别为1A B 、AC 的中点．(1)证明：//MN 平面11BCC B ；(2)求1A B 与平面11A B CD 所成角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)30°【分析】（1）以点D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系，求出MN和平面11BCC B 的法向量，利用空间向量证明即可，（2）求出平面11A B CD 的法向量，利用空间向量求解即可.【详解】（1）如图，以点D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系．则()2,0,0A ，()0,2,0C ，()12,0,2A ，(2,2,0)B ，()12,2,2B ，()2,1,1M ，()1,1,0N ． 所以()1,0,1MN =--，因为DC ⊥平面11BCC B ,所以平面11BCC B 的一个法向量为(0,2,0)DC =，因为0MN DC ⋅=，所以MN DC ⊥， 因为MN ⊂平面11BCC B ，所以//MN 平面11BCC B（2）()0,2,0DC =，()12,0,2DA =，()10,2,2A B =-．设平面11A B CD 的一个法向量为(),,n x y z =则122020DA n x z DC n y ⎧⋅=+=⎨⋅==⎩，令1z =，则=1x -，0y =， 所以()1,0,1n =-设1A B 与平面11A B CD 所成角为θ， 则11121sin cos ,2222A B n A B n A B n θ⋅-====⋅⋅． 因为0180θ︒≤<︒，所以1A B 与平面11A B CD 所成角为30°． 20．圆C 过点()60A ，，()1,5B ，且圆心在直线:2780l x y -+=上.（1）求圆C 的方程；（2）P 为圆C 上的任意一点，定点()8,0Q ，求线段PQ 中点M 的轨迹方程.【答案】（1）22(3)(2)13x y -+-=；（2）221113(1)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭. 【分析】（1）求得线段AB 垂直平分线的方程，与直线l 方程联立，求得圆心C 的坐标，由CA 求得半径，由此求得圆C 的方程.（2）设出M 点坐标，由此求得P 点坐标，将P 点的坐标代入圆C 的方程，化简求得M 点的轨迹方程.【详解】（1）直线AB 的斜率50116k -==--， 所以AB 的垂直平分线m 的斜率为1.AB 的中点的横坐标和纵坐标分别为61722x +==，95522y +==. 因此，直线m 的方程为57122y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.即10x y --=. 又圆心在直线l 上，所以圆心是直线m 与直线l 的交点.联立方程组102780x y x y --=⎧⎨-+=⎩， 解得32x y =⎧⎨=⎩所以圆心坐标为()3,2C，又半径r CA =则所求圆的方程是22(3)(2)13x y -+-=.（2）设线段PQ 的中点(),M x y ，()00,P x yM 为线段PQ 的中点，则008202x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， 解得00282x x y y =-⎧⎨=⎩ ()28,2P x y -代入圆C 中得22(283)(22)13x y --+-=，即线段PQ 中点M 的轨迹方程为221113(1)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考查圆的方程的求法，考查动点轨迹方程的求法，属于中档题.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，//BC AD ，2PA AB BC ===，4=AD ，E 为棱PD 的中点，F 是线段PC 上一动点.(1)求证：平面PBC ⊥平面PAB ；(2)若直线BF 与平面ABCD 3F EA D --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)6【分析】（1）证明出BC ⊥平面PAB ，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设PF PC λ=，其中01λ≤≤，利用已知条件求出λ的值，然后利用空间向量法可求得二面角F EA D --的余弦值.【详解】（1）证明：因为AB AD ⊥，//BC AD ，则BC AB ⊥，PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，BC PA ∴⊥， PA AB A =，PA 、AB ⊂平面PAB ，BC ∴⊥平面PAB ，BC ⊂平面PBC ，因此，平面PBC ⊥平面PAB .（2）解：因为PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()2,0,0B 、()2,2,0C 、()0,4,0D 、()0,2,1E 、()002P ,,，设()()2,2,22,2,2PF PC λλλλλ==-=-，()22,2,22BF BP PF λλλ=+=--，其中01λ≤≤， 易知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1u =， 由已知可得()223cos ,2224u BFu BF u BF λλ⋅<>==⋅⨯-+12λ=， 所以，F 为PC 的中点，即()1,1,1F ，设平面AEF 的法向量为(),,m x y z =，()0,2,1AE =，()1,1,1AF =，则200m AE y z m AF x y z ⎧⋅=+=⎨⋅=++=⎩，取1y =，可得()1,1,2m =-，易知平面ADE 的一个法向量为()1,0,0n =， 所以，16cos ,6m nm n m n ⋅<>===⋅ 由图可知，二面角F EA D --的平面角为钝角，故二面角F EA D --的余弦值为622．已知圆22:(3)(4)4C x y -+-=.(1)若直线:(2)(1)10()l m x m y m m R -+-++=∈，证明:无论m 为何值，直线l 都与圆C 相交；(2)若过点(1,0)P 的直线m 与圆C 相交于,A B 两点，求ABC 的面积的最大值，并求此时直线m 的方程.【答案】(1)见详解；(2)ABC 的面积的最大值为2，此时直线方程为10x y --=或770x y --=.【分析】（1）只要证明直线l 过圆内一点即可；（2）根据题意，故设直线方程1(0)x my m =+≠，可得圆心到直线的距离d =AB ==221()2S AB d =⋅，利用函数求最值即可得解. 【详解】（1）转化l 的方程(2)(1)10m x m y m -+-++=可得：(1)210m x y x y -+-++=，由10210x y x y -+=⎧⎨-++=⎩，解得2,3x y ==， 所以直线l 恒过点(2,3)，由22(23)(34)24-+-=<，故点(2,3)在圆内，即直线l 恒过圆内一点，所以无论m 为何值，直线l 都与圆C 相交；（2）由C 的圆心为(3,4)，半径2r =，易知此时直线l 斜率存在且不为0，故设直线方程1(0)x my m =+≠，一般方程为10my x -+=，圆心到直线的距离d ==，所以AB == 所以2222221(42)(42)()4211m m S AB d m m ⎡⎤--=⋅=-⋅⎢⎥++⎣⎦， 令22(42)1m t m -=+， 可得224S t t =-，当2t =时2max 4S =，所以ABC 的面积的最大值为2， 此时由22(42)21m m -=+，解得27810m m -+=， 解得1m =或17m =，符合题意， 此时直线方程为10x y --=或770x y --=.。
广东省广州市番禺中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷(含答案)
高二数学9月月考试题一、单选题（每小题5分）1.已知，则（ ）A. B.C.D.2.函数）A. B. C. D.3.函数是（ ）A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数4.若函数是定义在上的奇函数，，，则（ ）A.2B.0C.60D.625.已知空间向量，，则在上的投影向量坐标是（ ）A. B. C. D.6.在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（ ）A. B.C. D.7.在空间直角坐标系中，若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）A B. C.或 D.与斜交8.已知向量，，且平面，平面，若平面与平面的夹角的余弦的值为（ ）A.或 B.或1 C.或2D.二、多选题（每小题6分）9.三棱锥中，平面与平面的法向量分别为，，若，则二面角2i z =+izz =+3i 4-1i 4-3i4+1i 4+y =[3,4)(,3]-∞[3,)+∞(,4]-∞2π2cos 14y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭πππ2π2()f x R (2)()f x f x -=(1)2f =(1)(2)(30)f f f ++⋅⋅⋅+=(3,4,0)a =(3,1,4)b =- b a (3,4,0)--34,,055⎛⎫--⎪⎝⎭314,,555⎛⎫--⎪⎝⎭(3,1,4)--P ABC -A PBC H M 34AM AH = PM =131444PA PB PC -+111444PA PB PC ++111424PA PB PC -+113444PA PB PC -+l (1,2,1)a =-α(2,3,4)n =//l αl α⊥l α⊂//l αl α(1,2,1)m =- (,1,)n t t =- m ⊥ αn ⊥βαβt 121-151-12-A BCD -ABD BCD 1n 2n 12π,3n n =的大小可能为（ ）A. B. C.D.10.随机抽取8位同学对2024年数学新高考|卷的平均分进行预估，得到一组样本数据如下：97，98，99，100，101，103，104，106，则下列关于该样本的说法正确的有（ ）A.均值为101 B.极差为9C.方差为8D.第60百分位数为10111.已知空间中三点，，，则（ ）A.与是共线向量B.与向量方向相同的单位向量坐标是C.与D.在三、填空题（每小题5分）12.已知是定义在上的奇函数，当时，，当时，，则_______.13.已知向量，，，若，，共面，则_______.14已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_______.四、解答题（五个大题共77分）15.（本题13分）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记的内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求.（2）若，求的周长.16（本题15分）某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且.（1）求与的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”A BD C --π6π32π35π6(0,1,0)A (2,2,0)B (1,3,1)C -AB AC AB ⎫⎪⎪⎭AB BC BC AB ()f x R 0x >2()22xxf x -=+0x <()22x x f x m n -=⋅+⋅m n +=(2,3,4)a x = (0,1,2)b = (1,0,0)c =a b c x =(2,,1)a t =--(2,1,1)b = a b t ABC △A B C a b c sin 2A A +=A 2a =sin sin 2C c B =ABC △m 13n 12434m n >m n社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分.求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率.17.（本题15分）如图，在以，，，，，为顶点的六面体中（其中平面），四边形是正方形，平面，，且平面平面.（1）设为棱的中点，证明：，，，四点共面；（2）若，求六面体的体积.18.（本题17分）一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg ），将全部数据按区间，，，分成5组，得到图所示的频率分布直方图.（1）求图中的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果？（3）在日销售量为苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在的概率.19（本题17分）（2022年新高考天津数学高考真题）直三棱柱中，，，为的中点，为的中点，为的中点.A B C D E F F ∈EDC ABCD ED ⊥ABCD BF FE =FEB ⊥EDB M EB A C F M 24ED AB ==EFABCD [50,60)[60,70)⋅⋅⋅[90,100]a 85%[70,90]kg [80,90]111ABC A B C -12AA AB AC ===AC AB ⊥D 11A B E 1AA F CD（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面夹角的余弦值.//EF ABC BE 1CC D 1ACD 1CC D高二数学9月月考试题参考答案一、单选题（每小题5分共40分）1.A2.A3.A4.A【详解】由题意，所以的周期为4，且关于直线对称，而，所以.5.B【详解】因为空间向量，，所以，，，则在上的投影向量坐标是：.6.B【详解】在正四面体中，因为平面，所以是的中心，连接，则，所以.7.C【解析】由可得，所以或，即可得正确选项.【详解】直线的方向向量为，平面的法向量为，因为，所以，所以或.8.B【详解】因为，所以，，，因为平面，平面，若平面与平面，，解得或1.二、多选题（每小题6分共18分）9.BC【详解】二面角的大小与法向量的夹角相等或互补，二面角的大小可能为或.10.ABD【详解】A选项，均值为，A正确；(2)()()(2)f x f x f x f x-==--=--()f x()f x1x=(1)(2)(3)(4)(0)(1)(1)(2)(2)(0)0f f f f f f f f f f+++=++-+===(1)(2)(30)(29)(30)(1)(2)(0)(1)022f f f f f f f f f++⋅⋅⋅+=+=+=+=+=(3,4,0)a=(3,1,4)b=-9405a b⋅=-++=-5a==b==ba 5134(3,4,0),,05555a b aa a⋅-⎛⎫⋅=⨯=--⎪⎝⎭P ABC-AH⊥PBC H PBC△PH()()211323PH PB PC PB PC=⨯+=+()33334444PM PA AM PA AH PA PH PA PA PH PA=+=+=+-=+-()3331311144434444PA PH PA PA PB PC PA PA PB PC=+-=+⨯+-=++a n⋅=a n⊥lα⊂//lαl(1,2,1)a=-α(2,3,4)n=(2,3,4)(1,2,1)2640a n⋅=⋅-=-+=a n⊥lα⊂//lα(1,2,1)m=-(,1,)n t t=-22m n t⋅=+m=n=m⊥αn⊥βαβ=25610t t-+=15t=∴A BD C--π3π2ππ33-=9798991001011031041061018+++++++=B 选项，极差为，B 正确；C 选项，方差为，C 错；D 选项，因为，故从小到大，选择第5个数作为第60百分位数，即101.11.BD 【详解】由已知，，，，因此与不共线，A 错；，所以与向量，B 正确；，，，C 错；在上的投影是，D 正确.三、填空题（每小题5分共15分）12.【详解】令，则，所以.因为是定义在上的奇函数，所以，所以，所以，，所以.13.【详解】由题意得，存在，使得，即，故解得，.14.【详解】由，得，解得，又，得，解得，所以与夹角为钝角，实数的取值范围为且.四、解答题（五个大题共77分）15.（本题13分）【解析】（1）由可得，即，由于，故，解得.（2）由题设条件和正弦定理，106979-=222(97101)(98101)(106101)169410492517882-+-+⋅⋅⋅+-+++++++==60%8 4.8⨯=(2,1,0)AB = (1,2,1)AC =- (3,1,1)BC =-1221-≠AB AC AB = AB ⎫=⎪⎪⎭6105AB BC ⋅=-++=- BC = cos ,AB BC AB BC AB BC⋅〈〉===BC AB BC AB AB⋅==5-0x <0x ->2()22xx f x -+-=+()f x R ()()f x f x -=-2()22422xx x x f x +--=--=-⨯-4m =-1n =-5m n +=-23m n a mb nc =+ (2,3,4)(0,1,2)(1,0,0)x m n =+2342nx m m=⎧⎪=⎨⎪=⎩2m =23x =(,1)(1,5)-∞-- 0a b ⋅<(2)2(1)10t -⨯++-⨯<5t <//a b 21211t --==1t =-a b t 5t <1t ≠-67=+sin 2A A +=1sin 12A A +=πsin 13A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ4π(0,π),333A A ⎛⎫∈⇒+∈ ⎪⎝⎭ππ32A +=π6A =sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=又，，则，进而，于是，，由正弦定理可得，，即，解得，，故的周长为.16.（本题15分）【详解】（1）依题，解得.（2）由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为，获得本选修课学分分数不低于4分为事件A ，则；；.故.17.（本题15分）【详解】（1）连接，由四边形是正方形，故，又平面，平面，故，由，，平面，故平面，又为棱的中点，，故，又平面平面，平面平面，平面，故平面，故，所以，，，四点共面；（2）设与交于点，连接，则，又平面，平面，则平面，又因为六面体，则平面平面，又平面，故，则四边形为矩形，则，且平面，又，故，则.18（本题17分）【详解】（1）由直方图可得，样本落在，，，的频率分别为，，0.2，0.4，0.3，由，解得.B (0,π)C ∈sin sin 0B C ≠cos B =π4B =7π12C A B π=--=sin sin(π)sin()sin cos sin cos C A B A B A B B A =--=+=+=sin sin sin a b c A B C ==2ππ7πsin sin sin 6412b c==b =c =+ABC △2++78=+11324131(1)1(1)34mn m n m n ⎧=⎪⎪⎪⎛⎫----=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩1214m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩i X ()4121123412P X =⨯⨯=()5111123424P X =⨯⨯=()6111123424P X =⨯⨯=1111()1224246P A =++=78+AC ABCD AC DB ⊥ED ⊥ABCD AC ⊂ABCD ED AC ⊥DE BD D = DE BD ⊂EDB AC ⊥EDB M EB BF FE =FM EB ⊥FEB ⊥EDB FEB EDB EB =FM ⊂EFB FM ⊥EDB //FM AC A C F M AC BD O OM //OM DE OM ⊂ACFM DE ⊂/ACFM //DE ACFM EFABCD CDEF ACFM CF =DE ⊂CDEF //DE CF OCFM 1CF =CF ⊥ABCD BF FE =122CF DE ==11204422333EFABCD E ABCD B EFC V V V --=+=⨯⨯+⨯⨯=557=++[50,60)[60,70)⋅⋅⋅[90,100]10a 10a 10100.20.40.31a a ++++=0.005a =则样本落在，，，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，所以，该苹果日销售量的平均值为：.（2）为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数.依题意，日销售量不超过90kg 的频率为，则该店苹果日销售量的分位数在，所以日销售量的分位数为.所以，每天应该进95kg 苹果.（3）由日销售量为，的频率分别为0.2，0.4知，抽取的苹果来自日销售量中的有2个，不妨记为，，来自日销售量为的苹果有4个，不妨记为，，，，任意抽取2个苹果，有，，，，，，，，，，，，，，，共有15个基本事件，其中2个苹果都来自日销售中的有6个基本事件，由古典概型可得.19.（本题17分）【解析】（1）证明：在直三棱柱中，平面，且，则以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、、、，则，易知平面的一个法向量为，则，故，平面，故平面.[50,60)[60,70)⋅⋅⋅[90,100]5060607070808090901000.050.050.20.40.383.5(kg)22222+++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=85%85%10.03100.7-⨯=85%[90,100]85%0.850.7901095(kg)10.7-+⨯=-[70,80)[80,90][70,80)1a 2a [80,90]1b 2b 3b 4b ()12,a a ()11,a b ()12,a b ()13,a b ()14,a b ()21,a b ()22,a b ()23,a b ()24,a b ()12,b b ()13,b b ()14,b b ()23,b b ()24,b b ()34,b b [80,90]62155P ==557++111ABC A B C -1AA ⊥111A B C AC AB ⊥1111A C A B ⊥1A 1A A 11A B 11A C x y z (2,0,0)A (2,2,0)B (2,0,2)C 1(0,0,0)A 1(0,2,0)B 1(0,0,2)C (0,1,0)D (1,0,0)E 11,,12F ⎛⎫⎪⎝⎭10,,12EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ABC (1,0,0)m =0EF m ⋅= EF m ⊥ EF ⊂/ ABC //EF ABC（2），，，设平面的法向量为，则，取，可得，.因此，直线与平面夹角的正弦值为.（3），，设平面的法向量为，则，取，可得，则因此，平面与平面.1(2,0,0)C C = 1(0,1,2)C D =- (1,2,0)EB =1CC D ()111,,u x y z = 111112020u C C x u C D y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 12y =(0,2,1)u =4cos ,5EB u EB u EB u ⋅==⋅BE 1CC D 451(2,0,2)AC = 1(0,1,0)A D =1ACD ()222,,v x y z = 122122200v A C x z v A D y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 21x =(1,0,1)v =-cos ,u v u v u v ⋅〈〉===⋅ 1ACD 1CC D。
高二数学9月月考试题 理含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校第八二零二零—二零二壹高二数学9月月考试题理〔含解析〕一、选择题〔每一小题5分，一共12题〕020:(0,log p x x ∃∈+∞≥，那么p ⌝为()A.∀2xB.∀＜log 2xC.∃x 0log 2x 0D.∃x 0log 2x 0【答案】B 【解析】 【分析】020:(0,log p x x ∃∈+∞≥〞的否认“2:(0,log p x x ⌝∀∈+∞<〞，应选B 。
2.A ，B 两名同学在5次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示，假设A ，B 两人的平均成绩分别是A x ，B x ，观察茎叶图，以下结论正确的选项是() A.A B x x <，B 比A 成绩稳定 B.A B x x >，B 比A 成绩稳定 C.A B x x <，A 比B 成绩稳定 D.A B x x >，A 比B 成绩稳定【答案】A 【解析】 【分析】根据茎叶图看出 A 和B 的五次成绩离散程度，计算出A 和B 的平均数，比较大小即可 【详解】A 的成绩为969192103128，，，，，A 的平均数为9691921031281025A X ++++==B 的成绩为99108107114112B ，，，，，的平均数为991081071141121065B X ++++== 从茎叶图上看出B 的数据比A 的数据集中，B 比A 成绩稳定 应选A【点睛】此题考察了茎叶图的应用问题，考察了平均数的求法，解题时应该观察茎叶图中的数据，根据数据解答问题，属于根底题。
3.把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人,那么事件“甲分得红牌〞与“乙分得红牌〞是() A.对立事件 B.互斥但不对立事件 C.不可能事件 D.必然事件【答案】B 【解析】试题分析：把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌〞与“乙分得红牌〞不可能同时发生，是互斥事件，但除了事件“甲分得红牌〞与“乙分得红牌〞还有“丙分得红牌〞，所以这两者不是对立事件，答案为B. 考点：互斥与对立事件.4.某程序框图如下列图，该程序运行后输出的k 的值是〔〕 A.4 B.5 C.6 D.7【答案】A 【解析】 【分析】根据框图，模拟计算即可得出结果.【详解】程序执行第一次，0021s =+=，1k =，第二次，1=1+23,2S k ==，第三次，33211,3S k =+==，第四次，11112100,4S k =+>=，跳出循环，输出4k =，应选A.【点睛】此题主要考察了程序框图，循环构造，属于中档题.1，x 2，…，x 10的HY 差为8，那么数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的HY 差为()A.8B.15C.16D.32【答案】C 【解析】 【分析】根据HY 差与方差的关系，先求出样本数据对应的方差，然后结合变量之间的方差关系，即可求解，得到答案。
2024-2025学年安徽省马鞍山市第二中学高二上学期9月月考数学试题(含答案)
2024-2025学年安徽省马鞍山市第二中学高二上学期9月月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足(1−i)z=2+i，则复数z的虚部为( )A. 32B. −32C. 32i D. −32i2.已知向量BC=(2,1)，AB=(0,−1)，则|AC|=( )A. 2B. 3C. 2D. 223.某校在五四青年节举行了班班有歌声比赛.现从该校随机抽取20个班级的比赛成绩，得到以下数据，由此可得这20个比赛成绩的第80百分位数是( )比赛成绩678910班级数35444A. 8.5B. 9C. 9.5D. 104.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A. 若α⊥β，m//α，则m⊥βB. 若m//α，n⊥α，则m⊥nC. 若m⊥n，n⊥α，则m//αD. 若α//β，m⊂α，m//n，则n//β5.一个射手进行射击，记事件A1=“脱靶”，A2=“中靶”，A3=“中靶环数大于4”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件是( )A. A1与A2B. A1与A3C. A2与A3D. 以上都不对6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，b=1，cos C=−13，则边c上的高为( )A. 62B. 63C. 32D. 337.如图，△A′O′B′是由斜二测画法得到的△AOB 水平放置的直观图，其中O′A′= O′B′=2，点C′为线段A′B′的中点，C′对应原图中的点C ，则在原图中下列说法正确的是( )A. OC ⋅AB =0B. △AOB 的面积为2C. OC 在OB 上的投影向量为2OBD. 与AB 同向的单位向量为8.如图所示的钟楼是马鞍山二中的标志性建筑之一.某同学为测量钟楼的高度MN ，在钟楼的正西方向找到一座建筑物AB ，高为a 米，在地面上点C 处(B,C,N 三点共线)测得建筑物顶部A ，钟楼顶部M 的仰角分别为α和β，在A 处测得钟楼顶部M 的仰角为γ，则钟楼的高度为( )米．A. a sin (α+β)sin βsin αsin (β−γ) B. a +a sin (α+β)sin βsin αsin (β−γ)C. a sin (α+γ)sin βsin αsin (β−γ)D. a +a sin (α+β)sin γsin βsin (β−γ)二、多选题：本题共3小题，共18分。
河北省沧州市2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题(含答案解析)
河北省沧州市2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线sin 2024πx =的倾斜角为（）A ．2024πB ．π2C ．π3D ．π42．已知()1,3,2A ，()1,4,1B -，()5,,C y z ，若AB AC ∥，则y z +=（）A ．5B ．4C ．1D ．5-3．如果0AB >且0BC <，那么直线0Ax By C ++=不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是BC ，11C D 的中点.设AB a=，AD b = ，1AA c = ，则EF =（）A ．1122-++ a b cB ．1122a b c-+C ．1122a b c-+-D ．1122a b c--5．已知直线()123:20,:2120,:210,,l ax y l x a y l bx y a b +-=+++=-++=∈R ，䒴12//l l ，13l l ⊥，则b =（）A ．12-或14B ．12C ．12或14-D ．146．已知()0,0,2A ，()0,2,1B ，()2,1,0C ，()2,0,1D ，则点D 到平面ABC 的距离为（）A ．145B ．25C ．29D ．257．点()2,4A -到直线()():131440l m x m y m -+-++=（m 为任意实数）的距离的取值范围是（）A ．[]0,5B ．⎡⎣C ．[]0,4D ．⎡⎣8．在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，1AA =2BC BO =，M 为棱11B C 上的动点，N为线段AM 上的动点，且MN MOMO MA=，则线段MN 长度的最小值为（）A ．2BC ．2D ．2二、多选题9．已知点()3,5A --，()2,0B ，直线l 过点()2,3P -且与线段AB 的延长线（不含点B ）有公共点，则直线l 的斜率的取值可能为（）A ．34-B ．13-C ．1πD ．110．在正方体1111ABCD A B C D -中，能作为空间的一个基底的一组向量有（）A ．1AA ，AB，AC B ．BA ，BC，BDC ．1AC uuu r ，1BD，1CB D ．1AD uuu r ，1BA ，AC11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别是1DD ，11A B ，CD ，BC 的中点，则下列说法正确的有（）A ．E ，F ，G ，H 四点共面B ．BD 与EF 所成角的大小为3πC ．在线段BD 上存在点M ，使得MC 1⊥平面EFGD ．在线段1A B 上任取一点N ，三棱锥N EFG -的体积为定值三、填空题12．已知直线l 过点()1,2，且在y 轴上的截距为在x 轴上的截距的两倍，则直线l 的方程是.13．在四面体ABCD 中，1BC =，2BD =，90ABC ∠=︒，BC DA ⋅=则CBD ∠=．14．在ABC V 中，顶点()2,3A ，点B 在直线:310l x y -+=上，点C 在x 轴上，则ABC V 周长的最小值为.四、解答题15．在梯形ABCD 中，AB CD ∥，AC BD ⊥，已知()1,7A ，()7,5B ，()4,1C ．(1)求点D 的坐标；(2)求梯形ABCD 的面积．16．在空间直角坐标系中，已知点(2,1,2)A -，(1,2,2)B -，(3,1,4)C -，设a AB = ，b AC =．(1)若a b λ+ 与3a b -互相垂直，求λ的值；(2)求点C 到直线AB 的距离．17．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，P ，Q 分别为11A B ，BC 的中点.(1)求异面直线AP 与1QC 所成角的余弦值；(2)求二面角P AQ C --的正弦值.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，且BC =，=45ABC ∠︒，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA PB BC ==．(1)求证：平面PAB ⊥平面PAC ；(2)在棱PC 上是否存在点Q ，使得直线AD 与平面BDQ 所成角的正弦值为10？若存在，求CQCP的值；若不存在，请说用理由．19．球面几何在研究球体定位等问题有重要的基础作用.球面上的线是弯曲的，不存在直线，连接球面上任意两点有无数条曲线，它们长短不一，其中这两点在球面上的最短路径的长度称为两点间的球面距离.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图1，球O 的半径为R ，A ，B ，C 为球面上三点，曲面ABC （阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角C OA B --，--A OB C ，B OC A --分别为α，β，γ，则球面三角形ABC 的面积为()2ABC S R αβγπ=++-球面△.(1)若平面OAB ，平面OAC ，平面OBC 两两垂直，求球面三角形ABC 的面积；(2)将图1中四面体OABC 截出得到图2，若平面三角形ABC 为直角三角形，AC BC ⊥，设1AOC θ∠=，2BOC θ∠=，3AOB θ∠=.①证明：123cos cos cos 1θθθ+-=；②延长AO 与球O 交于点D ，连接BD ，CD ，若直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为π4，π3，且BE BD λ= ，(]0,1λ∈，S 为AC 的中点，T 为BC 的中点，设平面OBC 与平面EST 的夹角为θ，求sin θ的最小值.参考答案：题号12345678910答案B ACABCBDBCAC题号11答案AD1．B【分析】根据直线方程直接确定倾斜角.【详解】由直线sin 2024πx =与x 轴垂直，即其倾斜角为π2.故选：B.2．A【分析】由题意可以先求出,AB AC，再由它们平行可以得到比例关系从而求出参数,y z ，由此即可得解.【详解】因为()1,3,2A ，()1,4,1B -，()5,,C y z ，所以(2,1,1),(4,3,2)A A y B C z =--=--，因为AB AC ∥ ，所以432211y z --==--，解得1,4==y z ，所以145y z +=+=.故选：A.3．C【分析】根据横截距和纵截距的范围求得正确答案.【详解】由0AB >且0BC <，可得,A B 同号，,B C 异号，所以,A C 也是异号；令0x =，得0C y B =->；令0y =，得0Cx A=->；所以直线0Ax By C ++=不经过第三象限.故选：C 4．A【分析】根据题意，由空间向量的线性运算，即可得到结果.【详解】由题意可得，11111112222EF EC CC C F AD AA AB a b c ⎛⎫=++=++-=-++ ⎪⎝⎭.故选：A 5．B【分析】由两直线平行和垂直的条件，列方程求解.【详解】已知直线()123:20,:2120,:210,,l ax y l x a y l bx y a b +-=+++=-++=∈R ，由12//l l ，得()120a a +-=，且240a +≠，解得1a =，由13l l ⊥，得210ab -+=，故12b =.故选：B.6．C【分析】利用空间向量求出平面ABC的法向量，再由点到平面距离的向量求法即可得29m AD d m⋅==.【详解】易知()021,,=- AB ，()2,1,2AC =- ，()2,0,1AD =- ，设平面ABC 的法向量(),,m x y z = ，则0,0,m AB m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,220,y z x y z -=⎧⎨+-=⎩令1y =，则32x =，2z =，所以平面ABC 的一个法向量为3,1,22m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以点D 到平面ABC的距离2m AD d m⋅=== ．故选：C ．7．B【分析】由题意可知直线l 恒过点()4,8B -，由此可知A 到直线l 的最远距离为AB ，最短距离为0，即可得答案.【详解】解：将直线方程()()131440m x m y m -+-++=变形为()()4340x y x y m +++--+=，由40340x y x y ++=⎧⎨--+=⎩，解得48x y =⎧⎨=-⎩，由此可得直线l 恒过点()4,8B -，所以A 到直线l 的最远距离为AB ，此时直线l 垂直于,AB A 到直线l 的最短距离为0，此时直线l 经过点A ．又AB ==所以A 到直线l 的距离的取值范围是⎡⎣．故选：B ．8．D【分析】根据正三棱柱建立空间直角坐标系，设动点坐标，结合线线关系求线段MN 的表达式，利用函数求最值即可.【详解】因为正三棱柱111ABC A B C -中，有2BC BO = ，所以O 为BC 的中点，取11B C 中点Q ，连接OQ ，如图，以O 为原点，,,OC OA OQ 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(O A B C -，因为M 是棱11B C 上一动点，设(M a ，且[1,1]a ∈-，因为(MA a =- ，且MN MOMO MA=，所以222MO MN MA===t t =∈，2233t t t t -==-，t ∈，又函数3=-y t t在上为增函数，所以当t =min 3()t t -=，即线段MN 长度的最小值为2.故选：D.9．BC【分析】利用已知可求得AB k ，PB k ，结合图形可求得与线段AB 的延长线（不含点B ）有公共点的直线l 的斜率的范围.【详解】因为()3,5A --，()2,0B ，()2,3P -，所以直线05123AB k +==+，303224PB k -==---，又过()2,3P -斜率为0的直线与线段AB 的延长线相交，由图形可得直线l 过点()2,3P -且与线段AB 的延长线（不含点B ）有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为314l k -<<.故选：BC.10．AC【分析】根据空间中不共面的三个向量可以作为空间向量的一个基底，从而求解.【详解】由题意得：如下图所示：对于A 项：1AA ，AB ，AC不共面，能作为空间的一个基底,故A 项正确；对于B 项：BD BA BC =+ ，所以：BA ，BC ，BD共面，不能作为空间的一个基底,故B 项错误；对于C 项：1AC ，1BD ，1CB不共面，能作为空间的一个基底,故C 项正确；对于D 项：()()11111BA AC BA AA AB BC AA BC AA AD AD +=+++=+=+= ，所以：1AD ，1BA ，AC共面，不能作为空间的一个基底,故D 项错误.故选：AC.11．AD【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的共面定理可判断A 选项，利用坐标法求异面直线夹角可直接判断B 选项，假设在线段BD 上存在点M ，设BM BD λ=，01λ≤≤，利用坐标法验证线面垂直，可判断C 选项；分别证明EFG 与1A B 上的所有点到平面EFG 的距离为定值，即可判断D 选项.【详解】以A 为原点，以AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()12,0,2B ，()10,2,2D ，()0,2,1E ，()1,0,2F ，()2,1,0H ，()1,2,0G ，设AH x AE y AF z AG =++，则()()()()2,1,00,2,11,0,21,2,0x y z =++，所以222120y z x z x y +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得11232x y z ⎧⎪=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，故1x y z ++=，即E ，F ，G ，H 四点共面，故A 正确；因为()2,2,0BD =-uu u r，()1,2,1EF =- ，所以cos ,2BD EF BD EF BD EF⋅=⋅ ，所以BD 与EF 所成角的大小为6π，故B 错误；假设在线段BD 上存在点M ，符合题意，设BM BD λ=（01λ≤≤），则()1112,22,2MC BC BM BC BD λλλ=-=-=- ，若MC 1⊥平面EFG ，则10MC EF ⋅= ，10MC EG ⋅=,因为()1,2,1EF =- ，()1,0,1EG =-，所以24420220λλλ-++=⎧⎨-=⎩，此方程组无解，所以在线段BD 上不存在点M ，使得MC 1⊥平面EFG ，故C 错误；因为()12,0,22A B EG =-= ，所以1//A B EG ，又1⊄A B 平面EFG ，EG ⊂平面EFG ，所以1//A B 平面EFG ，故1A B 上的所有点到平面EFG 的距离即为B 到平面EFG 的距离，是定值，又EFG 的面积是定值，所以在线段1A B 上任取一点N ，三棱锥N EFG -的体积为定值，故D 正确；故选：AD.12．2y x =或240x y +-=【分析】当纵截距为0时，设直线方程为y kx =，代入点()1,2求得k 的值，当纵截距不为0时，设直线的截距式方程，代入点()1,2求解.【详解】①当直线l 在两坐标轴上的截距均为0时，设直线方程为y kx =，因为直线过点()1,2，所以2k =，所以直线l 的方程为2y x =；②当直线l 在两坐标轴上的截距均不为0时，设直线l 在x 轴上的截距为a ，则在y 轴上的截距为2a ，则直线l 的方程为12x y a a+=，又因为直线l 过点()1,2，所以1212a a +=，解得：2a =，所以直线l 的方程为124x y +=，即240x y +-=，综上所述：直线l 的方程为2y x =或240x y +-=，故答案为：=2或240x y +-=．13．30︒【分析】根据空间向量数量积的运算进行求解即可.【详解】因为90ABC ∠=︒，所以0BA BC ⋅= ，又DA BA BD =- ，所以()BC DA BC BA BD BC BA BC BD -=⋅=⋅-=⋅⋅所以BC BD ⋅=又1BC =，2BD =，所以cos 2cos BC BD BC BD CBD CBD ⋅=⋅∠=∠ =所以cos 2CBD ∠=.又0180CBD ︒<∠<︒，所以30CBD ∠=︒．故答案为：30°14．【分析】拆线段之和最值问题，利用对称，将直线:310l x y -+=同侧折线段化为直线异侧两定点间的折线段之和，由两点之间线段最短可知.【详解】设A 关于直线l 的对称点为P ，关于x 轴的对称点为Q ，PQ 与l 的交点即为B ，与x 轴的交点即为C .如图，,P Q 两点之间线段最短可知，PQ 的长即为ABC V 周长的最小值.设(),P x y ，则331,223310,22y x x y -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪⨯-+=⎪⎩解得2,519,5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即219,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，A 关于x 轴的对称点为()2,3Q -，故ABC V周长的最小值为PQ ==故答案为：15．(1)()1,2(2)452【分析】（1）利用直线的位置关系及斜率公式计算即可；（2）法一、计算对角线长结合三角形面积公式求梯形面积即可；法二、利用两点距离公式先计算梯形上下底长，再求一底边所在直线，根据点到直线的距离公式计算梯形的高，利用梯形面积公式计算即可.【详解】（1）设(),D x y ，由AB CD ∥，得571714y x --=--，即37x y +=，由AC BD ⊥，得1751417y x --⨯=---，即23x y -=-，所以1x =，2y =，即点D 的坐标为()1,2．（2）方法一：AC ==，BD ==，设AC BD E = ，又AC BD ⊥，所以梯形ABCD 的面积11114522222S AC EB AC ED AC BD =⨯+⨯=⨯=⨯=；方法二：AB ==CD ==由()1,7A ，()7,5B ，得直线AB 的方程为3220x y +-=，点()4,1C 到直线AB 的距离2d =．所以梯形ABCD 的面积()14522S AB CD d =+=．16．(1)165λ=【分析】（1）分别求得a b λ+ 与3a b - 的坐标，再根据a b λ+ 与3a b - 互相垂直求解；（2）由d =.【详解】（1）由题意知(1,1,0)a AB == ，(1,0,2)b AC ==- ，所以(1,1,0)(1,0,2)(1,,2)a b λλλλ+=+-=- ，3(1,1,0)3(1,0,2)(4,1,6)a b -=--=- ．又a b λ+ 与3a b - 互相垂直，所以()(3)(1,,2)(4,1,6)4(1)120a b a b λλλλλ+⋅-=-⋅-=-+-= ，解得165λ=．（2）由（1）知(1,1,0)AB = ，(1,0,2)AC =- ，所以cos ,AB AC AB AC AB AC⋅== 所以点C 到直线AB的距离2d ==．17．(1)710；【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量计算异面直线夹角及面面夹角即可.【详解】（1）取11B C 的中点G ，连接QG ，显然1//QG BB ，由正三棱柱的特征可知1BB ⊥底面ABC ，所以GQ ⊥底面ABC ，又AQ BQ ⊂、底面ABC ，所以GQ ⊥,AQ GQ BQ ⊥，因为Q 是BC 中点，易得AQ BQ ⊥，所以可以以Q 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则()()))()1110,0,0,0,1,2,,2,0,1,2Q C A A B -，所以()111,,2,,2,0,1,22222P AP QC ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111772cos ,10AP QC AP QC AP QC ⋅===⋅ ，故异面直线的夹角余弦值为710；（2）由上可知)1,2,2AP QA ⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭ ，设面APQ 的一个法向量为(),,n x y z = ，则120220AP n y z QA n ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅==⎩，取14,0z y x =⇒=-=，即()0,4,1n =- ，易知面ACQ 的一个法向量为()0,0,1m = ，由图象可知二面角P AQ C --为钝角，设其为α，所以cos ,cos 17m n m n m n α⋅==-⋅ ，则sin 17α==.18．(1)证明见解析(2)存在；23CQ CP =【分析】（1）根据题意，由面面垂直的性质定理可得AC ⊥平面PAB ，即可证明平面PAB ⊥平面PAC ；（2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）证明：在ABC V中，BC ，=45ABC ∠︒，由余弦定理，得22222cos45AC AB BC AB BC AB =+-⋅=︒⋅，所以222AC AB BC +=，即AB AC ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，AB AC ⊥，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥平面PAB ．又AC ⊂平面PAC ，所以平面PAB ⊥平面PAC ．（2）设AB ，BC 的中点分别为O ，E ，连接OP ，OE ，因为PA PB =，O 为AB 的中点，所以PO AB ⊥，又平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PO ⊂平面PAB ，所以⊥PO 平面ABCD ，又OE ⊂平面ABCD ，所以PO OE ⊥．因为O ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以OE AC ∥，又AB AC ⊥，所以OE AB ⊥，即OB ，OE ，OP 两两互相垂直，以O 为坐标原点，OB ，OE ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设2AB =，则()1,0,0A -，1,0,0，()1,2,0C -，()3,2,0D -，(P ，设CQ CP λ=，则(),2CQ CP λλλ==-，所以()1,22,Q λλ--．()4,2,0BD =-，()2,22BQ λλ=-- ，设 =s s 是平面BDQ 的法向量，则0,0,m BD m BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即()()420,2220x y x y z λλ-+=⎧⎪⎨-+-+=⎪⎩令1x =，则2y =，)327z λλ-=，即平面BDQ的一个法向量为)321,2,7m λλ⎛⎫-= ⎝⎭．设直线AD 与平面BDQ 所成角为θ，又()2,2,0AD =- ，则sin cos ,AD m AD m AD m θ⋅===⋅ 即22912407λλλ-+=，解得23λ=．所以存在点Q ，使得直线AD 与平面BDQ所成角的正弦值为10，此时23CQ CP =．19．(1)2π2R (2)【分析】（1）根据题意结合相应公式分析求解即可；（2）①根据题意结合余弦定理分析证明；②建系，利用空间向量求线面夹角，利用基本不等式可求正弦值的最小值.【详解】（1）若平面OAB ，平面OAC ，平面OBC 两两垂直，有π2αβγ===，所以球球面三角ABC 的面积为22π(π)2S R R αβγ=++-=；（2）①由余弦定理有：2222122222222232cos 2cos 2cos AC R R R BC R R R AB R R R θθθ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩，且222AC BC AB +=，消掉2R ，可得123cos cos cos 1θθθ+-=；②由AD 是球的直径，则,AB BD AC CD ⊥⊥，且,AC BC CD BC C ⊥= ，,CD BC ⊂平面BCD ，所以AC ⊥平面BCD ，且BD ⊂平面BCD ，则AC BD ⊥，且AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC ，可得BD ⊥平面ABC ，由直线直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为π4，π3，所以ππ,43DAB DCB ∠=∠=，不妨先令R =，则2AD AB BD BC =====，由,,AC BC AC BD BC BD ⊥⊥⊥，以C 为坐标原点，以,CB CA 所在直线为,x y 轴，过点C 作BD 的平行线为z 轴，建立如图空间直角坐标系，设,BE t t =∈，则(0,2,0),(0,0,0),A B C D，可得(0,1,0),(),(22S T E t O，则(,0,),(,1,0),(,0,)2222CB CO ST TE t ===-=，设平面OBC的一个法向量为(,,)m x y z=，则·0·022m CBm CO x y z⎧==⎪⎨=++=⎪⎩，取2z=-，则0y x==，可得平面OBC的一个法向量为2)m=-，设平面EST法向量为(,,)n a b c=，则·0·02n ST bn TE a tc⎧=-=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，取a=，则,1b t c==-，可得平面EST法向量为,,1)n t=-，要使sinθ取最小值，则|cos|θ取最大值，因为·cos cos,·m nm nm nθ====令1,(1,13]m m=+∈，则22(1)8mt t-==，可得222188829(1)312962218m m m t m m m m +===≤=-+-+-+-+，当且仅当3,m t ==取等号．则|cos |θsin θ=.。
高二9月月考(数学)试题含答案
高二9月月考（数学）（考试总分：150 分）一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1.（5分）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，2.（5分）已知空间向量3，，1，，则等于A. 1，B. 5，C.D.3.（5分）若异面直线，的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于A. B. C. D.4.（5分）如图所示，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，N为BC中点，则等于A. B.C. D.5.（5分）已知直线l经过点，且与直线垂直，则直线l在y轴上的截距为A. B. C. 2 D. 46.（5分）两平行直线与的距离为A. B. C. D.7.（5分）若点为圆C：的弦MN的中点，则弦MN所在的直线方程为A. B. C. D.8.（5分）过点且与原点O距离最大的直线方程为A. B. C. D.二、多选题（本题共计4小题，总分20分）9.（5分）已知为直线l的方向向量，分别为平面的法向量不重合，那么下列说法中正确的有A. B. C. D.10.（5分）已知点P是所在的平面外一点，若1，，，2，，则A. B. C. D.11.（5分）下列说法正确的是A. 直线必过定点B. 直线在轴上的截距为C. 直线的倾斜角为D. 过点且垂直于直线的直线方程为12.（5分）已知直线l过点，在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的方程可能为A. B. C. D.三、填空题（本题共计3小题，总分15分）13.（5分）如图，以长方体的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标是14.（5分）空间向量，，如果，则．15.（5分）直线所经过的定点为四、 双空题 （本题共计1小题，总分5分）16.（5分）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯对圆锥曲线有深刻的研究，其主要成果集中于他的代表作圆锥曲线一书，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于常数该常数大于零且不等于的点的轨迹为圆，后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，，，动点P 满足，由上面的结果知点P 的轨迹是圆，则该圆的半径是，PA 的最大值是．五、 解答题 （本题共计5小题，总分70分）17.（14分）已知向量(1,3,2)a =-，(2,1,1)b =-，(3,1,4)c =--.求： （1）()a b c ⋅+； （2）|25|a b c +-.18.（14分）在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，，，，．证明：．（2）求二面角的余弦值．19.（14分）中，顶点，，边所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．求边所在直线的方程；（2）求的面积．20.（14分）已知点和求直线AB的斜率和AB的中点M的坐标；（2）若圆C经过A，B两点，且圆心在直线上，求圆C的方程．21.（14分）已知圆C过三点，，．求圆C的方程；（2）斜率为1的直线l与圆C交于两点，若为等腰直角三角形，求直线l的方程．答案一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1.（5分）【答案】C【解析】解：由平面向量基本定理得：对于A选项，，所以，，三个向量共面；对于B选项，同理：，，三个向量共面；对于D选项，，所以三个向量共面；故选：C．由平面向量基本定理判断．本题考查平面向量基本定理，属于基础题．2.（5分）【答案】A【解析】【分析】本题考查空间向量的坐标运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．任意空间向量都可以用三维有序实数组表示，直接利用空间向量的加减运算法则求解即可．【解答】解：空间向量3，，1，，3，，2，，1，．故选：A．3.（5分）【答案】B【解析】【分析】本题考查空间向量的夹角公式，涉及模长的求解，属于基础题．由向量坐标可得向量的数量积和向量的模长，代入夹角公式计算可得．【解答】解：设，所成的角为，则，．故选B．4.（5分）【答案】B【解析】【分析】本题考查空间向量定理及其应用利用向量加法和减法的运算得出答案，属基础题．利用向量的线性运算直接求解即可．【解答】解：如图：由题意，又，．故选B．5.（5分）【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了两条直线垂直的判定，直线的点斜式方程及截距的求法，属于基础题．由题意，可得直线l的斜率为，则利用点斜式可求得直线l的方程，令，则可得直线l在y轴上的截距．【解答】解：由，即，其斜率为2，则直线l的斜率为，故直线l的方程为：，令，则，故直线l在y轴上的截距为．故选B．6.（5分）【答案】B【解析】【分析】本题考查点到直线的距离求解，属于基础题．在一条直线上任取一点，求出这点到另一条直线的距离即为两平行线的距离，即可求解．【解答】解：由直线取一点，则两平行直线的距离等于A到直线的距离．故选B．7.（5分）【答案】D【解析】【分析】本题考查直线的斜率的求法，直线方程的求法，考查计算能力，转化思想的应用，属于基础题．求出圆心坐标，求出PC的斜率，然后求出MN的斜率，即可利用点斜式方程求出直线MN的方程．【解答】解：将圆方程化为标准方程可得圆心，所以，方程为，即，故选D．8.（5分）【答案】A【解析】【分析】本题考查用点斜式求直线方程的方法，数形结合判断什么时候距离最大是解题的关键，属基础题．先根据垂直关系求出所求直线的斜率，由点斜式求直线方程，并化为一般式．【解答】解：要使过点的直线与原点距离最大，结合图形可知该直线与直线PO垂直，由，则所求直线l的斜率为，直线l的方程为，即．故选A．二、多选题（本题共计4小题，总分20分）9.（5分）【答案】BC【解析】【分析】本题考查直线的方向向量与平面的法向量，以及利用直线的方向向量与平面的法向量判断空间的平行、垂直关系，属于基础题．根据直线的方向向量与平面的法向量的定义以及空间线面、面面的平行和垂直关系的判断方法，逐项判断，即可得到答案．【解答】解：因为为直线l的方向向量，分别为平面的法向量不重合，A.或，故错误；B.正确；C.正确；D.或，故错误，故选BC．10.（5分）【答案】AC【解析】【分析】本题考查了空间向量的坐标运算，涉及向量垂直，平行以及向量的模，属于基础题．根据向量坐标运算依次判断各个选项．【解答】解：，故，故A正确；，，故B不正确．，则，故C正确；，故D不正确，故选AC．11.（5分）【答案】ABD【解析】【分析】本题考查直线相关概念以及直线的方程、直线与直线的垂直关系，属基础题．将方程化为点斜式，即可判断A；令，得出在轴上的截距，进而判断B；将一般式方程化为斜截式，得出斜率，进而得出倾斜角，从而判断C；由两直线垂直得出斜率，最后由点斜式得出方程，进而判断D．【解答】解：可化为，则直线必过定点，故A正确；令，则，即直线在轴上的截距为，故B正确；可化为，则该直线的斜率为，即倾斜角为，故C 错误；设过点且垂直于直线的直线的斜率为，因为直线的斜率为，所以，解得，则过点且垂直于直线的直线的方程为，即，故D正确．故选ABD．12.（5分）【答案】BD【解析】【分析】本题考查了直线的点斜式方程，直线的一般式方程，考查学生的计算能力，属于基础题．根据题意对直线l是否经过原点讨论即可求解．【解答】解：由题意可知，当直线l过原点时，斜率，又直线l过点，直线l的方程为，即．当直线l不过原点时，设方程为，又直线l过点，，解得，直线l的方程为，故选BD．三、填空题（本题共计3小题，总分15分）13.（5分）【答案】3，【解析】【分析】本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．由的坐标为3，，分别求出A和的坐标，由此能求出结果．【解答】解：以长方体的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，的坐标为3，，0，，3，，．故答案为3，．14.（5分）【答案】3【解析】【分析】本题考查空间向量的垂直的判断，向量的数量积的坐标运算，向量的模，属基础题．根据先求出m的值，再代入即可计算．【解答】解：向量，，且，，，解得，，．故答案为3．15.（5分）【答案】【解析】【分析】本题主要考查了直线过定点的相关问题，属于基础题．根据题意得到直线所过定点为两直线和交点，从而求解．【解答】解：由题意可知，，故直线所经过的定点为的交点，解得，，故答案为．四、 双空题 （本题共计1小题，总分5分） 16.（5分）【答案】26【解析】 【分析】本题考查两点间的距离公式及与圆有关的轨迹问题，考查学生的计算能力，属于中档题．设P 点的坐标为，利用两点间的距离公式表示出、，代入等式，化简整理得答案，再根据的几何意义可求得最大值．【解答】 解：设，由于，，，， ，即，点P 的轨迹是以为圆心，2为半径的圆．因为为点P 到定点的距离，所以，的最大值是．故答案为2；6．五、 解答题 （本题共计5小题，总分70分） 17.（14分）【答案】（1）5；（2）152【分析】(1)根据空间向量的坐标运算可得答案.（2）先由空间向量的坐标运算得出向量的坐标，再由模长公式可得答案. 【详解】（1）由(1,3,2)a =-，(2,1,1)(3,1,4)(5,0,5)b c +=-+--=-， 得()1(5)(3)0255a b c ⋅+=⨯-+-⨯+⨯=.（2）因为25(2,6,4)(2,1,1)(15,5,20)(15,0,15)a b c +-=-+----=-， 所以()()222|25|15015152a b c +-=++-18.（14分）【答案】证明：取AB的中点M，连接DM，PM，为等边三角形，．在直角梯形ABCD中，，，，，为等腰三角形，．，，平面PDM．平面PDM，解：由知，DM，DC，DP两两垂直，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则，1，，1，，，则，，，设平面APB的法向量为，即令，得．设平面PBC的一个法向量为，，即可得平面PBC的一个法向量为，，又二面角为钝二面角，故其余弦值为．【解析】本题考查异面直线垂直的判定，考查利用空间向量求二面角余弦值的应用，考查空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，属于基础题．取AB的中点M，连接DM，PM，由题可知在直角梯形ABCD中，求出，可知，进而得证平面PDM，即可求证．由DM，DC，DP两两垂直，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出各点坐标得到，，，即可求出平面APB 的法向量平面PBC的一个法向量为，即可求出二面角余弦值．19.（14分）【答案】解：边上的高所在直线方程为，即斜率为，边所在直线的斜率为，又点，则AB边所在直线的方程为，即；解方程组，得，，，又点到直线AB的距离，所以的面积．【解析】本题考查了直线的点斜式方程，考查了直线的交点，两点间距离公式，点到直线的距离公式，两条直线垂直的判定，属于基础题．求出直线AB的斜率，然后由点斜式方程求解；联立直线方程求出A点坐标，由两点间距离公式求得，求出点到直线AB的距离，得出结果．20.（14分）【答案】解：由点和，得，，，直线AB的斜率为1，AB的中点M的坐标为；设圆心C为，半径为r，圆心在直线上，，则点C为，由题意可得，即，解得，，．圆C的标准方程为．【解析】本题考查由两点坐标求直线的斜率，考查中点坐标公式的应用，训练了圆的方程的求法，考查计算能力，是中档题．直接由两点坐标求斜率公式求AB的斜率，由中点坐标公式求AB的中点M的坐标；设圆心C为，半径为r，由圆心在直线上，得圆心C为，再由列式求得a，进一步求出圆的半径，则圆的方程可求．21.（14分）【答案】解：圆C过三点，，，圆心在上，设圆心坐标，则，解得，．则圆C的方程为；设直线方程为．为等腰直角三角形，圆心到直线的距离，则，即或．直线l的方程为或．【解析】【试题解析】本题考查圆的方程的求法，直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．由已知可得圆心在上，设圆心坐标为，再由圆心到圆上两点的距离相等列式求得x，得到圆心坐标，进一步求得半径，则圆的方程可求；设直线方程为，由为等腰直角三角形，可得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得c，则直线l的方程可求．。
高二数学上学期9月月考试题 理 试题
卜人入州八九几市潮王学校红河州县文澜高级二零二零—二零二壹高二数学上学期9月月考试题理第I 卷〔选择题一共60分〕一、选择题〔本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分,在每一小题所给出的四个选项里面只有一个正确选项,将正确的选项填入答题表中〕1．数列14916,,,251017,……那么这个数列的通项公式是〔〕 A ．221n n n a =+ B ．221n n a n =+ C ．221n n a n =+ D ．221n n n a =+ {}n a 中，201220098a a =，那么公比q 的值是()A.2B.3C.4D.80a b <<,那么以下不等式中不成立的是(). A.11a b >> C.a b ->- D.11a b a>- 4.在等比数列中，22a =，68a =，那么10a 为〔〕A.32±B.32C.-325．点P 〔x ，y 〕在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-022,01,02y x y x 表示的平面区域上运动，那么z ＝x －y 的取值范围是 〔〕A ．[－2，－1]B ．[－2，1]C ．[－1，2]D ．[1，2]6.△ABC 的三边长6,5,3===c b a ，那么△ABC 的面积为〔〕A ．14B ．142C ．15D ．1527.假设等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=〔〕 A ．14 B ．21 C ．28 D ．358．设{n a }为等差数列，公差2d =-，n S 为其前n 项和，假设1011S S =，那么1a =〔〕9.数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，那么2012a =〔〕A ．0B ．3-C ．3D ．23 10．实数x 满足20x x +<，那么2,,x x x -的大小关系是〔〕A ．2x x x -<<B ．2x x x <-<C ．2x x x <<-D ．2x x x <<-∆ABC 中，假设sin :sin :sin A B C =，那么B 大小为〔〕A.30°B.60°C.90°D.120°2(1)(1)3(1)0m x m x m +--+-<对任意实数x 恒成立，那么实数m 的取值范围是〔〕A ．1m >B ．1m <-C ．1311m <-D ．13111m m ><-或 第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题(本大题一一共4个，每一小题5分,一共20分,直接在试卷上答题) 223x x -+>-的解集是__________________;14.如以下列图所示,按照以下列图所示规律可以得到一系列图形，将第n 个图中的点的个数记为n a ，那么n a =_______________;(答案用n 表示)15.以下列图中的三角形称为希尔宾斯基三角形，我们将第n 个三角形中着色的三角形个数记为n a ；把前n 个三角形中，着色的三角形个数记为n S ，那么n S =_________;(答案用n 表示)16.如图，在气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75︒，30︒，假设此时的气球高度是100m ，那么河流在B ，C 两地的宽度为______________;三.解答题(本大题一一共6个小题,一共70分,直接在试卷上答题)17.〔本小题总分值是10分〕在△ABC 中，B=45°,D 是BC 边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，(Ⅰ)求ADC ∠的大小；(II)求AB 的长.18.〔本小题总分值是12分〕在等比数列{}n a 中，27321=⋅⋅a a a ，3042=+a a 试求(Ⅰ)1a 和公比q ；(II)前6项的和6S .19.〔本小题总分值是12分〕如图，一边靠院墙，其它三边用40米长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD 的边AB=x 米，面积为y 平方米.(I)求y 与x 之间的函数关系式与定义域，并求出当x 的值是多少时面积最大,最大面积是多少；(II)假设规定ABCD 的面积不得低于150平方米，那么x 的取值范围为多少;假设规定ABCD的面积恰好为168平方米，那么AB 应取值多少米。
山东省济宁市实验中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题
山东省济宁市实验中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．以下事件是随机事件的是（ ）A ．标准大气压下，水加热到100C ︒，必会沸腾B ．走到十字路口，遇到红灯C ．长和宽分别为,a b 的矩形，其面积为abD ．实系数一元一次方程必有一实根2．抽查10件产品，设事件A ：至少有两件次品，则A 的对立事件为 A ．至多两件次品 B ．至多一件次品 C ．至多两件正品D ．至少两件正品3．两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为（ ）A ．12B ．14C ．13D ．164．掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中事件A B +发生的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．565．直三棱柱111ABC A B C -中，若1,,CA a CB b CC c ===u u u r u u u r u u u u r r r r ，则1A B =u u u r（ ）A ．a b c +-r r rB ．a b c -+r r rC ．a b c -++r r rD ．a b c -+-r r r6．已知空间向量0a b c ++=r r r r，2a =r ，3b =r ，4c =r ，则cos ,a b =r r （ ） A ．12B ．13C ．12-D ．147．端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙,丙回老家过节的概率分别为11,45.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为（ ） A ．5960B ．35C ．12D ．1608．在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（ ） A ．4.33%B ．3.33%C ．3.44%D ．4.44%二、多选题9．在平行六面体ABCD A B C D -''''中，若AB 所在直线的方向向量为(2,1,3)-，则C D ''所在直线的方向向量可能为（ ） A ．(2,1,3) B ．(2,1,3)-- C ．(4,2,6)-D ．(4,2,6)-10．下列各组事件中，是互斥事件的是（ ）A ．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B ．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分C ．播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒D ．检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%11．已知点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点，且12OP OA mOB nOC =+-u u u ru u ur u u u ru u u r（m ，n R ∈），则m ，n 的值可能为（ ）A ．1m =，12n =-B ．12m =，1n = C ．12m =-，1n =- D ．32m =，1n =三、填空题12．从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．13．已知事件A ，B ，C 两两互斥，且()0.3P A =，()0.6P B =，()0.2P C =，则()P A B C ⋃⋃=．14．在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AA AD ===，以D 为原点，DA u u u r ，DC u u ur ，1DD u u u u r 方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则1AC =u u u u r，若点P 为线段AB 的中点，则P 到平面11A BC 距离为．四、解答题15．（1）已知2,3a b ==r r ，且a b ⊥r r求2a b a b +⋅r r r r （）（-） （2）已知a b a b +=-r r r r ，求a b ⋅r r16．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动． （Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率．17．甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局． (1)求再赛2局结束这次比赛的概率； (2)求甲获得这次比赛胜利的概率．18．如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1)AM ∥平面BDE ；(2)AM ⊥平面BDF.19．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA AD ==，E 为线段CD 中点．(1)求直线1B E 与直线1AD 所成的角的余弦值；(2)在棱1AA 上是否存在一点P ，使得//DP 平面1B AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．。
2023-2024学年达州市外国语高二数学上学期9月考试卷附答案解析
2023-2024学年达州市外国语高二数学上学期9月考试卷考试时间：120分钟；满分：150分第Ⅰ卷（选择题）一、单选题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).1．在空间直角坐标系O xyz -中，已知点M 是点()3,4,5N 在坐标平面Oxy 内的射影，则点M 的坐标是（）A ．()3,0,5B ．()0,4,5C ．()3,4,0D ．()0,0,52．一几何体的直观图和主视图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（）A ．B ．C ．D ．3．如图所示，梯形A B C D ''''是平面图形ABCD 用斜二测画法得到的直观图，22,1A D B C A B ''''''===，则平面图形ABCD 的面积为（）A ．2B ．C ．3D ．4．如图，G ，H ，M ，N 均是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH ，MN 是异面直线的图形的序号为（）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④5．下列说法正确的是（）A ．如果直线l 不平行于平面α，那么平面α内不存在与l 平行的直线B ．如果直线l //平面α，平面α//平面β，那么直线l //平面βC ．如果直线l 与平面α相交，平面α//平面β，那么直线l 与平面β也相交D ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，那么平面α//平面β6．已知正三棱台的上､下底面的棱长分别为3和6，侧棱长为2，则该正三棱台的体积为（）A ．B ．2132C ．1934D ．7．如图，球面上有A 、B 、C 三点，90ABC ∠=，3BA BC ==，球心O 到平面ABC 的距离是，则球O 的体积是（）A ．72πB ．36πC ．18πD ．8π8．如图正方体的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F 且EF =，则下列结论错误的是（）A ．AC 与BE 所成角为45︒B ．三棱锥A BEF -的体积为定值C ．//EF 平面ABCDD ．二面角A EF B --是定值二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．以下各角中可能为钝角的有（）A ．异面直线所成角B ．直线和平面所成角C ．二面角的平面角D ．两个向量形成的角10．《蝶恋花·春景》是北宋大文豪苏轼所写的一首词作.其下阙为：“墙里秋千墙外道，墙外行人，墙里佳人笑，笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼”.如图所示，假如将墙看做一个平面，墙外的道路､秋千绳､秋千板简单看做是直线.那么道路和墙面线面平行，秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，秋千绳与墙面线面平行.那么当佳人在荡秋千的过程中（）A ．秋千绳与墙面始终平行B ．秋千绳与道路始终垂直C ．秋千板与墙面始终垂直D ．秋千板与道路始终垂直11．如图，已知,G H 分别是,BC CD 的中点，,E F 分别在,AD AB 上，13AE AF AD AB ==，二面角A BD C --的大小为π3，且AC ⊥平面BCD ，则以下说法正确的是（）A ．,,,E F G H 四点共面B ．//FG 平面ADCC ．若直线,FG HE 交于点P ，则,,P A C 三点共线D ．若ABD △的面积为6，则BCD △的面积为312．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且2AB =.若鳖臑-P ABC 外接球的体积为36π，则当该鳖臑的体积最大时，下列说法正确的是（）A ．4PA =B ．4BC =C ．该鳖臑体积的最大值为83D ．该鳖臑的表面积为885+第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案填在答题卡对应题号后的横线上）．13．已知向量()2,1,3a →=-，()1,1,b x =-，若a →与b →垂直，则2a b →→+=.14．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC CC ==，AC BC ⊥点D 是AB 的中点，则直线1B B和平面1CDB 所成角的正切值为.15．如图三棱柱111ABC A B C －中，侧面11BB C C 是边长为2菱形，∠160CBB =︒，1BC 交1B C 于点O ，AO ⊥侧面11BB C C ，且1AB C V 为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系O xyz -，则点1A 的坐标为．16．在边长为6的菱形ABCD 中，3A π∠=，现将ABD △沿BD 折起，当三棱锥A BCD -的体积最大时，三棱锥A BCD -的外接球的表面积为.四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．17．如图，某几何体的下部分是长､宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：（1）该几何体的体积；（2）该几何体的表面积.18．如图所示，已知圆柱的侧面展开图的面积为6π，底面直径2BD =，C 为底面上异于B ，D 的点，且30BDC ∠= ．求：(1)二面角A CD B --的余弦值；(2)点B 到平面ACD 的距离．19．如图所示，底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，2AB =，4PA =，5PB PD ==AC 与BD 相交于点O ，E 为PD 中点．(1)求证：EO ∥平面PBC ；(2)PA 上是否存在点F ，使平面OEF ∥平面PBC ．若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由．20．在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD 是正方形，若2AD =，5QD QA ==3QC =．(1)求证：平面QAD ⊥平面ABCD ；(2)求异面直线QC 与AD 所成角的余弦值．21．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,AB BC CC AB BC ===⊥.(1)求证：11AC B C⊥；(2)求1B C与平面11AA C C所成的角的大小.22．已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝∠BAD ＝2π，AB ＝BC ＝2AD ＝4，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，EF ∥BC ，AE ＝2，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF （如图）．(1)证明：EF ⊥平面ABE ；(2)求二面角D ﹣BF ﹣E 的余弦值．1．C【分析】点在平面Oxy 内的射影是,x y 坐标不变，z 坐标为0的点.【详解】点()3,4,5N 在坐标平面Oxy 内的射影为()3,4,0，故点M 的坐标是()3,4,0故选：C 2．B【分析】通过几何体结合三视图的画图方法，判断选项即可.【详解】几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以C 、D 不正确，几何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以A 不正确故选：B.3．C【分析】根据斜二测画法还原四边形ABCD ，由梯形面积公式求解．【详解】如图，作平面直角坐标系xOy ，使A 与O 重合，AD 在x 轴上，且2AD =，AB 在y 轴上，且2AB =，过B 作//BC AD ，且1BC =，连接CD ，则直角梯形ABCD 为原平面图形，其面积为()112232S =⨯+⨯=．故选：C 4．D【分析】根据异面直线的定义即可结合图形关系求解.【详解】在题图②④中，直线GH ，MN 是异面直线；在题图①中，由G ，M 均为所在棱的中点，易得GH MN ∥；在题图③中，连接GM ，由G ，M 均为所在棱的中点，所以GM //NH ,且12GM NH =，易得四边形GMNH为梯形，则GH 与MN相交．故选：D ．5．C【分析】根据直线与平面的关系判断A ，根据线面平行、面面平行的性质判断B ，由直线与平面相交即平面平行的性质判断C ，根据平面垂直的性质判断D.【详解】如果直线l 不平行于平面α，例如l ⊂α，则平面α内存在与l 平行的直线，故A 错误；如果直线l //平面α，平面α//平面β，那么直线l //平面β或l β⊂，故B 错误；如果直线l 与平面α相交，平面α//平面β，直线l 与平面β也相交，故C 正确；如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，那么平面α//平面β或α与β相交，故D 错误.故选：C 6．D【分析】先利用勾股定理求出三棱台的高，再根据棱台的体积公式即可求解.【详解】如图画出正三棱台，连接上下底面中心1OO ，1OO 即为三棱台的高，过B 作1BC AO ⊥，垂足为C ，则1OO BC h ==，111AC AO CO AO BO =-=-,又上下底面外接圆半径分别132sin 3OB π=⨯，1162sin 3O A π=⨯=，侧棱长为2AB =，所以正三棱台的高为11OO BC ==，因为正三棱台的上､下底面的边长分别为3，6，所以上下底面面积分别为2132S '=，213622S =⨯=，所以其体积为(11133V h S S '=+=⨯⨯=⎝.故选：D.7．B【分析】求出ABC 外接圆的半径，结合已知条件可求得球O 的半径，再利用球体体积公式可求得球O 的体积.【详解】在ABC 中，90ABC ∠=，3BA BC ==，则ABC外接圆的直径为2r AC ====2r =，因此，球心O 到平面ABC 的距离为322，所以，球O的半径为3R =，因此，球O 的体积为3344ππ336π33V R ==⨯=.故选：B.8．A【分析】利用线面平行和线面垂直的判定定理和棱锥的体积公式以及二面角的定义对选项进行逐个判断即可得到答案.【详解】选项A ，AC ⊥BD ，AC ⊥BB1，且BD 1,BB B ⋂=可得AC ⊥面DD1B1B ，即得AC ⊥BE ，此命题错误；选项B,由几何体的性质及图形知，三角形BEF 的面积是定值，A 点到面DD1B1B 距离是定值，故三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值，此命题正确；选项C ，由正方体ABCD ﹣A1B1C1D1的两个底面平行，EF 在其一面上且EF 与平面ABCD 无公共点，故EF ∥平面ABCD ，此命题正确；选项D ，由于E 、F 为线段B1D1上有两个动点，故二面角A ﹣EF ﹣B 的平面角大小始终是二面角A ﹣B1D1﹣B 的平面角大小，为定值，故正确；故选A.【点睛】本题考查线面平行和线面垂直的判定定理的应用，考查棱锥体积公式以及二面角定义的应用，属于基础题.9．CD【分析】根据各类角的范围直接判断可得.【详解】异面直线所成角的范围为(0,]2π，A 错误；直线和平面所成角的范围为[0,2π，B 错误；二面角的平面角的范围为[0,]π，C 正确；两个向量形成的角的范围为[0,]π，C 正确.故选：CD 10．ACD【分析】根据图中秋千绳，墙面，道路的位置关系以及相关的线面，线线垂直的判定定理、性质定理等即可判断．【详解】显然，在荡秋千的过程中，秋千绳与墙面始终平行，但与道路所成的角在变化.而秋千板始终与墙面垂直，故也与道路始终垂直．故选：ACD.11．ACD【分析】由题意证出EF GH ∥即可判断A 项；假设B 项正确，然后利用直线与平面平行的性质得出FG AC ，从而推出与已知条件矛盾的结论，可判断B 项；利用基本事实3可判断C 项；通过作出二面角的平面角，从而找到ABD △与BCD △的公共边BD 上的高之间的关系，从而求出结果，可判断D 项.【详解】由13AE AF AD AB ==知EF 平行且等于13BD ，又,G H 分别是,BC CD 的中点，所以GH 平行且等于12BD，∴EF GH ∥，因此E ，F ，G ，H 四点共面，A 项正确；假设//FG 平面ADC 成立，因为FG ⊂平面ABC ，平面ABC ⋂平面DAC AC =，所以FG AC ，又G 是BC 的中点，所以F 是AB 的中点，与13AF AB =矛盾，B 项不正确；因为直线,FG HE 交于点P ，所以P FG ∈，P HE ∈，因为FG ⊂平面ABC ，P FG ∈，所以P ∈平面ABC ，同理P ∈平面ADC ，因为平面ABC ⋂平面ADC AC =，所以P AC ∈，所以P ，A ，C 三点共线，因此C 正确；在平面BCD 内作CO BD ⊥，垂足为O ，连接AO ，因为AC ⊥平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，所以AC BD ⊥，又因为,,AC CO C AC CO =⊂ 平面ACO ，所以BD ⊥平面ACO ，又AO ⊂平面ACO ，所以BD AO ⊥，则AOC ∠为二面角A BD C --的平面角，即π3AOC ∠=，因为AC ⊥平面BCD ，CO ⊂平面BCD ，所以AC CO ⊥，所以1cos 2CO AO AOC AO =∠=，所以111116322222BCD ABD S CO BD AO BD S ==⨯==⨯= ，D 正确.故选：ACD.12．ABD【分析】根据鳖臑的几何特征，分别根据外接球半径求出边长判断A,B 选项，根据体积及表面积公式计算判断C,D 选项即可.【详解】在鳖臑-P ABC 中，四个面都为直角三角形，可知PC 的中点O 到四个顶点的距离都相等，所以点O 是鳖臑外接球的球心，由外接球的体积为36π，得外接球半径3R =，所以6PC =.设PA a=，BC b=，则2222PA AB BC PC++=，得2232a b +=，所以221111162323323P ABCa b V b a ab -+=⨯⨯⨯=≤⨯=，当且仅当4a b ==时，P ABC V-取得最大值163,A,B 选项正确，C 错误；此时PB AC ===所以鳖臑的表面积1122424822S =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+D 选项正确.故选:ABD.13【分析】根据a →与b →垂直，可知0a b →→⋅=，根据空间向量的数量积运算可求出x 的值，结合向量坐标求向量模的求法，即可得出结果.【详解】解： a →与b →垂直，∴0a b →→⋅=，则()()211130a b x ⋅=⨯-+-⨯+=，解得：1x =，∴()1,1,1b →=-，则()()()22,1,32,2,20,1,5a b +=-+-= ，∴222201526a b +=++= .故答案为：26.14．22【分析】作出直线1B B 和平面1CDB 所成角，由此求得所成角的正切值.【详解】,AC BC D =是AB 的中点，所以CD AB ⊥，在直三棱柱中，1BB CD ⊥，由于1AB BB BÇ=，所以CD ⊥平面11ABB A .过B 作1BE B D ⊥，垂足为E ，则CD BE ⊥，由于1CD B D D ⋂=，所以BD ⊥平面1CDB ，所以1BB E ∠是直线1B B 和平面1CDB 所成角，111122tan 2AB BD BB E BB BB ∠===.所以直线1B B 和平面1CDB 所成角的正切值为22.故答案为：2215．()3,1,1【分析】过点1A 作1A E ⊥平面11BCC B ，连接11,B E C E ，则11111//,//,//B E OC C E OB A E AO ，由此可求得点1A 的坐标.【详解】三棱柱111ABC A B C －中，侧面11BB C C 是边长为2菱形，∠160CBB =︒，1BC 交1B C 于点O ，AO ⊥侧面11BB C C ，且1AB C V 为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系O xyz －，过1A 作1A E ⊥平面11BCC B ，垂足是E ，连接1B E ，1C E ，则11111//,//,//B E OC C E OB A E AO，∴点1A 的坐标为()．故答案为:().16．60π【分析】当三棱锥A BCD -的体积最大时平面ABD ⊥平面BCD ，据此可求外接球的半径，从而可求表面积.【详解】当三棱锥A BCD -的体积最大时平面ABD ⊥平面BCD ，如图，取BD 的中点为H ，连接,AH CH ，则AH BD ⊥，设12,O O 分别为,ABD BCD 外接圆的圆心，O 为三棱锥A BCD -的外接球的球心，则1O 在AH 上，2O 在CH 上，且11223AO O H AH ==⨯=，且2O H BD ⊥，1OO ⊥平面ABD ，2OO ⊥平面BCD ，因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，AH ⊂平面ABD ，故AH ⊥平面BCD ，故2//AH O O ，同理，1//CH OO ，故四边形12O OO H 为平行四边形，因为AH ⊥平面BCD ，2O H ⊂平面BCD ，故2AH O H ⊥，故四边形12O OO H 矩形，故213OO O H ==，而22362332CO =⨯⨯=，故外接球半径222231215R OO CO =+=+=，故外接球的表面积为41560ππ⨯=，故答案为：60π.【点睛】思路点睛：求几何体的外接球的半径，关键是确定球心的位置，一般通过过不同面的外接圆的圆心且垂直于该面的直线的交点来确定.17．（1）256；（2）240.【解析】（1）按照公式求出长方体和四棱锥的体积，求和即可；（2）先找到四棱锥侧面的高，然后可求出四棱锥的侧面积，继而求长方体的表面积，求和即可.【详解】连接11A C ，11B D 交于点O ，取11B C 的中点E ，连接PO ，OE ，PE（1）883192V =⨯⨯=长方体11111883643P A B C D V -=⨯⨯⨯=∴19264256V =+=总（2）∵3PO =，4OE =∴225PE PO OE =+=1485802S =⨯⨯⨯=四棱椎侧48388160S =⨯⨯+⨯=长方体80160240S =+=总【点睛】易错点睛：求棱锥的表面积时要注意高为面的高，而不是棱锥的高.18．(1)1010(2)31010【分析】（1）依题意可得AB CD ⊥，证明CD ⊥平面ABC ，即可得到CD AC ⊥，则ACB ∠为二面角A CD B --的平面角，再由锐角三角函数计算可得；（2）在平面ABC 中，作BE AC ⊥于E ，即可证明BE ⊥平面ACD ，即BE 为点B 到平面ACD 的距离，在Rt ABC △中，利用等面积法求出BE ，即可得解．【详解】（1）BD Q 是底面的直径，C 为底面上异于B ，D 的点，CD BC ∴⊥，又AB ⊥Q 平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，AB CD ∴⊥，又BC AB B =I ，BC ，AB ⊂平面ABC ，CD \^平面ABC ，AC ⊂ 平面ABC ，CD AC ∴⊥，ACB ∴∠为二面角A CD B --的平面角．因为圆柱的侧面展开图的面积为6π，底面直径2BD =，所以2π6πAB ⨯=，3AB =，在Rt BDC 中，30BDC ∠=︒，所以112BC BD ==，在Rt ABC △中，AC =，所以cos BC ACB AC ∠=，所以二面角A CD B --的余弦值为10；（2）在平面ABC 中，作BE AC ⊥于E ，由（1）知，CD ⊥平面ABC ，又BE ⊂平面ABC ，则CD BE ⊥，CD AC C ⋂= ，CD ，AC ⊂平面ACD ，所以BE ⊥平面ACD ，即BE 为点B 到平面ACD 的距离，在Rt ABC △中，AB BC BE AC ⨯=，即点B 到平面ACD 的距离为10.19．(1)证明见解析(2)存在点F ，证明见解析【分析】（1）利用线面平行的判断定理，判断//EO PB ，即可证明线面平行；（2）根据面面平行的判断定理，转化为判断线线平行，即可确定点F 的位置，即可证明.【详解】（1）因为,O E 分别是,BD PD 的中点，所以//EO PB ，且EO ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以//EO 平面PBC ；（2）存在，点F 是PA 的中点，此时，连结,EF OF因为,O F 分别是,AC AP 的中点，所以//OF PC ，OF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以//OF 平面PBC ，由（1）可知，//EO 平面PBC ，且OF EO O = ，且,OF EO ⊂平面OEF ，所以平面//OEF 平面PBC ，所以PA 上存在中点F ，使平面//OEF 平面PBC .20．(1)证明见解析(2)13【分析】（1）取AD 的中点为O ，连接,QO CO ，可证QO ⊥平面ABCD ，从而得到平面QAD ⊥平面ABCD .（2）连接BO ，由//AD BC 可得BC 与QC 所成的角为异面直线QC 与AD 所成角，再求得3QB =，从而可得2cos BCBCQ QC ∠=，即可得到答案.【详解】（1）取AD 的中点为O ，连接,QO CO .因为QA QD =，OA OD =，则QO ⊥AD ，而2,5AD QA ==512QO =-=.在正方形ABCD 中，因为2AD =，故1DO =，故5CO =因为3QC =，故222QC QO OC =+，故QOC 为直角三角形且QO OC ⊥，因为OC AD O = ，,OC AD ⊂平面ABCD ，故QO ⊥平面ABCD ，因为QO ⊂平面QAD ，故平面QAD ⊥平面ABCD .（2）因为//AD BC ，连接BO ，则BC 与QC 所成的角为异面直线QC 与AD 所成角，所以BCQ ∠或它的补角为所求的角，由题意可得BO =3QB ==，所以QC QB =，所以12cos 3BC BCQ QC ∠==，即异面直线QC 与AD 所成角的余弦值为13.21．(1)证明见解析(2)30【分析】（1）根据直三棱柱111ABC A B C -的性质和各棱长可知，连接1BC ，利用线面垂直的判定定理可得AB ⊥平面11BB C C ，易知四边形11BCC B 为菱形，可得1B C ⊥平面1ABC ，由线面垂直的性质即可得11AC B C ⊥；（2）取11A C 的中点E ，连接1,B E CE ，可证明1ECB ∠是1CB 与平面11AA C C 所成角的平面角，在1Rt CEB 中，易知111,2B E CB ==，11sin 2ECB ∠=，即1CB 与平面11AA C C 所成的角的大小为30 .【详解】（1）连接1BC 与1B C 相交于点D，如下图所示在直棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面,ABC AB Ì平面ABC ，1B B AB ∴⊥，又1,AB BC BC BB B ⊥⋂=，1,BC BB ⊂平面11BB C C ，所以，AB ⊥平面11BB C C ，又1B C ⊂ 平面11BB C C ，1AB B C ∴⊥1BC CC = ，∴四边形11BCC B 为菱形，即11B C BC ⊥又1AB BC D ⋂= ，且1,AB BC ⊂平面1ABC ，1B C ∴⊥平面1ABC ，又1AC ⊂Q 平面1ABC ，11B C AC ∴⊥.（2）取11A C 的中点E ，连接1,B E CE .如下图所示；111111,A B B C A E EC == ，111B E AC∴⊥又1CC ⊥ 平面1111,A B C B E ⊂平面111A B C ，11,CC B E ∴⊥又1111A C CC C =Q I ，且111,A C CC ⊂平面11AA C C ，1B E ∴⊥平面11AA C C ，CE ∴是1CB 在面11AA C C 内的射影，1ECB ∠是1CB 与平面11AA C C 所成角的平面角.在1Rt CEB 中，易知111,2B E CB ==，1111sin 2B E ECB CB ∠∴==，130ECB ∠∴= 即1CB 与平面11AA C C 所成的角的大小为30.22．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题意，利用线面垂直的判定定理即可求证；（2）在平面AEFD 中，过D 作DG ⊥EF 交EF 于G ，在平面DBF 中，过D 作DH ⊥BF 交BF 于H ，连接GH ，可得二面角D ﹣BF ﹣E 的平面角∠DHG ，计算∠DHG 的余弦值即可.【详解】（1）证明：在直角梯形ABCD 中，因为2ABC BAD π∠=∠=，故DA ⊥AB ，BC ⊥AB ，因为EF ∥BC ，故EF ⊥AB ．所以在折叠后的几何体中，有EF ⊥AE ，EF ⊥BE ，而AE∩BE ＝E ，故EF ⊥平面ABE ．（2）解：如图，在平面AEFD 中，过D 作DG ⊥EF 交EF 于G．在平面DBF 中，过D 作DH ⊥BF 交BF 于H ，连接GH ．因为平面AEFD ⊥平面EBCF ，平面AEFD∩平面EBCF ＝EF ，DG ⊂平面AEFD ，故DG ⊥平面EBCF ，因为BF ⊂平面EBCF ，故DG ⊥BF ，而DG∩DH ＝D ，故BF ⊥平面DGH ，又GH ⊂平面DGH ，故GH ⊥BF ，所以∠DHG 为二面角D ﹣BF ﹣E 的平面角，在平面AEFD 中，因为AE ⊥EF ，DG ⊥EF ，故AE ∥DG ，又在直角梯形ABCD 中，EF ∥BC 且EF ＝12（BC+AD ）＝3，故EF ∥AD ，故四边形AEGD 为平行四边形，故DG ＝AE ＝2，GF ＝1，在Rt △BEF 中，2tan 3BFE ∠=，因为∠BFE 为三角形的内角，故sin BFE ∠1sin GH BFE =⨯∠=故2tan 2DHG ∠==，因为∠DHG 为三角形的内角，故14cos 14DHG ∠=．所以二面角D ﹣BF ﹣E 的平面角的余弦值为1414．。
高二上学期9月月考数学试题解析版
一､选择题
1.已知i为虚数单位,则复数 在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数即可求解.
【详解】 ,
在复平面内对应的点为 ，在第二象限，
故选:B.
【点睛】本题主要考查了复数代数形式的除法运算，复数的几何意义，属于容易题.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据底面为等边三角形，取 中点 ，可证明 平面 ，从而 ，即可证明三棱锥 为正三棱锥.取底面等边 的重心为 ，可求得 到平面 的距离，画出几何关系，设球心为 ，即可由球的性质和勾股定理求得球的半径，进而得球的表面积.
【详解】设 为 中点， 是等边三角形，
所以 ，
又因为 ，且 ，
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.
【详解】当 时, ,此时 为纯虚数,A错误;若z的共轭复数为 ,且 ,则 ,因此 ,B正确;由 是实数,且 知,z是实数,C正确;由 得 ,又 ,因此 , ,无解,即 不可以等于 ,D错误.
故选：BC
【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先分析题目，设 ，将其代入 进行化简可得 ，从而可得结论.
【详解】设 ，则 ，
即 ，
解得 ，
所以 ，它对应的点在虚轴上.
故选B.
【点睛】本题主要考查复数的模以及复数的几何意义，属于中档题.
7.已知三棱锥 中， 是等边三角形， ，则三棱锥 的外接球的表面积为（）
A B. C. D.
北京市首都师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题
北京市首都师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．已知i 1i z=-，则z = （ ）A ．0B ．1C D ．22．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB AD AA --=u u u r u u u r u u u r（ ）A ．1AC uuu rB ．1AC u u u rC ．1D B u u u u rD ．1DB u u u u r3．已知()2,3,1A --，()6,5,3B -，则AB u u u r的坐标为（ ） A ．()8,8,4--B ．()8,8,4-C ．()8,8,4-D ．()8,8,4--4．如图，已知正方体ABCD A B C D -''''的棱长为1，AA DB ''⋅=u u u r u u u u r（ ）A．1B C D ．1-5．设1n u r ，2n u u r分别是平面α，β的法向量，其中()11,,2n y =-u r ，()2,2,1n x =-u u r ，若αβ∥，则x y +=（ ）A ．92-B ．72- C ．3 D ．726．已知直线1l 的方向向量为()0,0,1u =r，直线2l 的方向向量为()1v =-r ，则直线1l 与2l 所成角的度数为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒7．已知n r 为平面α的一个法向量，a r 为直线l 的一个方向向量，则“a n ⊥r r”是“//l α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知点,,,O A B C 为空间不共面的四点，且向量a OA OB OC =++r u u u r u u u r u u u r ，向量b OA OB OC =+-r u u u r u u u r u u u r，则与,a b r r不能构成空间基底的向量是( )A ．OA u u u rB ．OB u u u rC ．OC u u u rD ．OA u u u r 或OB u u u r9．在空间直角坐标系Oxyz 中，点()2,1,1A 在坐标平面Oxz 内的射影为点B ，且关于y 轴的对称点为点C ，则B ，C 两点间的距离为（ ）AB ．C ．D 10．在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD 中，M ，N 分别为BC ，AD 的中点，则AM 和CN 夹角的余弦值为（ ）A ．23B C ．13D ．23-二、填空题11．已知向量()2,3,1a =-r ，则与a r共线的单位向量为.12．已知向量()2,0,1a =-r ，(),2,1b m =-r 且a b ⊥r r，则m =，a b +=r r .13．已知直线l 经过()1,0,1A ，()2,0,0B 两点，则点()2,1,4P 到直线l 的距离为.14．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0AB =u u u r ，()0,2,0AC =u u u r ，()0,0,2AD =u u u r .则CD u u u r 与CB u u ur 的夹角的余弦值为；CD u u u r 在CB u u u r 的投影向量a =r . 15．以下关于空间向量的说法：①若非零向量a r ，b r ，c r满足//a b r r ，//b c r r ，则//a c r r②任意向量a r ，b r ，c r满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r③若{},,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 为空间向量的一组基底，且221333OD OA OB OC =+-u u u r u u u r u u u r u u u r，则A ，B ，C ，D四点共面④已知向量()1,1,a x =r ，()3,,9b x =-r ，若310x <，则,a b r r 为钝角其中正确命题的序号是.三、解答题16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，E 为线段11B C 的中点.(1)求证：11AA D E ⊥； (2)求平面1D BE 的法向量； (3)求点1A 到平面1D BE 的距离.17．如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，高为4，D 为1CC 的中点，E 为11A B 的中点.(1)求证：1//C E 平面1A BD ；(2)求直线BC 与平面1A BD 所成角的正弦值.18．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，4AB =，2AD =，1AA =60BAD ∠=︒，1145BAA DAA ∠=∠=︒，AC 与BD 相交于点O ，设AB a u u u r r=，AD b =u u u r r ，1AA c =u u u r r .(1)试用基底{},,a b c r r r表示向量1OA u u u r ；(2)求1OA 的长；(3)求直线1OA 与直线BC 所成角.19．如图，四棱锥S --ABCD P 为侧棱SD 上的点．（1）求证：AC ⊥SD ；（2）若SD ⊥平面P AC ，求平面P AC 与平面ACD 的夹角大小；（3）在（2）的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面P AC ．若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．。
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——教学资料参考参考范本——高二数学上学期9月月考试题理______年______月______日____________________部门(试卷满分150分，考试时间为120分钟)一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1．数列，，，，，，的一个通项公式为（ ）1-35-79-A ．B ．21n a n =-()()121nn a n =--C. D ．()()112n n a n =--()()1121n n a n +=--2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝2，∠B ＝45°，则∠A 为( )．32A ．30°或150° B．60° C ．60°或120°D ．30°3．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升”。
其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，在该问题中第3天共分发大米（ ） A ．192升 B ．213升 C ．234升D ．255升4. 已知等比数列中，，，则（ ）{}n a 2341a a a =67864a a a =5a =A ．2B ．C ．D ．42-2±5. 在等比数列中, ,是方程的两个根,则等于( ){}n a 39,a a 231190x x -+=6aA. B. C. D.以上皆不是31163±6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则△ABC 的形状为( )A a B c C b sin cos cos =+A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定7．公差不为零的等差数列的前项和为.若是与的等比中项，，则等于（ ）{}n a n n S 4a 3a 7a 168=SA ． 30B ．24C ． 18D ．60 8．在数列中，，则的值为（ ）2018a A ．−2 B ．C ．D ．1312329.某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为( )A ．2sin α－2cos α＋2B ．sin α－cos α＋3C ．3sin α－cos α＋1D ．2sin α－cos α＋1 10. 在中，，，，则（ ）A. B. C. D.11．设是等差数列，公差为，是其前项的和，且，，则下列结论错误的是（ ）}{n a d n S n 65S S <876S S S >=A ．B ．C ．D ．和均为的最大值0<d12. 的内角、、的对边分别为、、,已知,该三角形的面积为,则的值为( )ABC ∆A B C a b c 60,1A b ==3sin sin sin a b cA B C++++A. B.C. D.23933932332133二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 在△ABC 中，内角A ：B ：C=1:2:3，求a:b:c=_________ 14. 记为数列的前项和．若，则________．n S {}n a n 21n n S a =+6S = 15. 某人从A 处出发，沿北偏东60°行走3 km 到B 处，再沿正东方向行走2 km 到C 处，则A ，C 两地的距离为________km.16. 已知数列{an}的前n 项和为Sn ，a1＝1，当n ≥2时，an ＋2Sn －1＝n ，则S2 017的值 _______三．解答题：（本题共6小题，共70分） 17. (10分)在等比数列中，．（1）求的通项公式；（2）记为的前n 项和．若，求．m18．(12分)已知数列的前项和为，且满足，{}n a n n S n n S n +=2*∈N n(1)求的通项公式; {}n a(2)求数列的前项和.⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n a n )1(1n19.(12分)已知数列满足{}n a 13,111+==+n n a a a(1)证明是等比数列，⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n a(2)求的通项公式；{}n a20.（12分）在平面四边形中，，，，．ABCD 90ADC =︒∠45A =︒∠2AB =5BD =⑴求； cos ADB ∠ ⑵若，求．22DC =BC21.（12分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ， 若B c a C b cos )2(cos -=(Ⅰ)求∠B 的大小；(Ⅱ)若b ＝，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．722.（12分）已知等比数列的公比，且满足：，且{}n a 1q >23428a a a ++=32a +是的等差中项.24,a a（1）求数列的通项公式；{}n a（2）若，求使成立的正整数的最小值？1122log ,S n n n n n b a a b b b ==+++6221>⋅++n nn S n宁夏育才中学20xx～20xx学年第一学期高二年级第一次月考数学试卷(理科)(试卷满分150分，考试时间为120分钟) 命题人：一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12B C C A C B A D A D C A 二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 21::314. -6315. 716. 1009三．解答题：（本题共6小题，共70分）17.【答案】（1）或（2）【解析】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m。
详解：（1）设的公比为，由题设得．由已知得，解得（舍去），或．故或．（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．若，则．由得，解得．综上，．18. （本小题满分12分）解：（1）根据题意可得：n a n 2=（2）设的前项和为⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n a n )1(1n nT由（1）得：)111(21)1(121)1(1+-⨯=+⨯=+n n n n a n n 则)1(2)111(21)1113121211(21+=+-=+-+⋯+-+-=n n n n n T n 19．解：(1)由an ＋1＝3an ＋1得an ＋1＋＝3.又a1＋＝，所以是首项为，公比为3的等比数列，所以an ＋＝，因此数列{an}的通项公式为an ＝.20.答案： （1）；（2）5.235解答：（1）在中，由正弦定理得：,∴, ∵,∴.ABD∆52sin 45sin ADB=∠2sin 5ADB ∠=90ADB ∠<223cos 1sin 5ADB ADB ∠=-∠=（2）,∴，∴,∴,∴.∴.2ADB BDC π∠+∠=cos cos()sin 2BDC ADB ADB π∠=-∠=∠cos cos()sin 2BDC ADB ADBπ∠=-∠=∠222cos 2DC BD BC BDC BD DC +-∠=⋅⋅2282552522BC +-=⋅⋅5BC =21. 解：(Ⅰ)由已知及正弦定理可得sin Bcos C ＝2sin Acos B －cos Bsin C ，∴ 2sin Acos B ＝sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝sin(B ＋C)． 又在三角形ABC 中，sin(B ＋C)＝sin A ≠0，∴ 2sin Acos B ＝sin A ，即cos B ＝，B ＝．213π(Ⅱ)∵ b2＝7＝a2＋c2－2accos B ，∴ 7＝a2＋c2－ac ，又 (a ＋c)2＝16＝a2＋c2＋2ac ，∴ ac ＝3，∴ S △ABC ＝acsin B ，21即S △ABC ＝·3·＝．212343322、解：（1）∵是的等差中项，∴，32a +24,a a ()32422a a a +=+ 代入，可得，23428a a a ++=38a =∴，∴，解之得或，2420a a +=21211820a q a q a q ⎧=⎨+=⎩122a q =⎧⎨=⎩13212a q =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∵，∴，∴数列的通项公式为1q >122a q =⎧⎨=⎩{}n a 2n n a =（2）∵，1122log 2log 22n n n n n n b a a n ===-∴，．．．．．．．．．．．．．．．①()212222n n S n =-⨯+⨯++()2312122222n n S n n +=-⨯+⨯+++，．．．．．．．．．．．．．②②—①得()23111121222222222212n n n n n n n S n n n ++++-=+++-=-=---∵，∴，∴，1262n n S n ++>12262n +->16,5n n +>> ∴使成立的正整数的最小值为61262n n S n ++>n。