控制工程基础第二章
控制工程基础ppt - 总复习
(1 ≤ l ≤ ρ )
为求 k11 ，令式 (10) 中 s = s1 ，则
k11 = ( s − s1 ) ⋅ F ( s )
ρ
s = s1
为求 k1i ，
1 d (i −1) ρ k1i = ⋅ (i −1) F ( s ) ⋅ ( s − s1 ) s = s1 ( i − 1)! ds
L f ( t − a ) = e − a⋅s ⋅ F ( s )
位移定理： 位移定理：
( a > 0)
L e − a⋅t ⋅ f ( t ) = F ( s + a )
微分定理： 微分定理：设函数 f (t) 的拉氏变换为 F(s)，则
L f (
n)
( t ) = s n ⋅ F ( s ) − s n−1 ⋅ f ( 0+ ) − s n−2 ⋅ f (1) ( 0+ ) − ⋯ − s n−i ⋅ f (i −1) ( 0+ ) −
− ⋯− s ⋅ f ( = s ⋅ F ( s ) − ∑ s(
n i =1 n n −i ) n − 2) i −1)
(0 ) − f ( ) (0 )
+ n −1 + +
⋅f(
( 0 )
(i ) + d i f (t ) f (0 ) = dt i t = 0+
1 求系数 ki
ki = ( s − si ) ⋅ F ( s )
s = si
2 确定系数 ki1 、 ki2 ：
F (s) =
kp kq1 ⋅ s + kq 2 k1 k k11 ⋅ s + k12 + 2 +⋯ + + +⋯ + s − s1 s − s2 s − s p ( s − s11 )( s − s12 ) ( s − sq1 )( s − sq 2 )
控制工程基础第二章参考答案
第二章 参考答案2-1 （1） 不是 （2） 是 （3） 不是 （4） 不是 2-2 (a))()()(3)(2222t u t u dtt du RC dt t u d C R i o o o =++ (b) )()()()()()()()(2211222121222111222121t u dtt du C R C R dt t u d C C R R t u dt t du C R C R C R dt t u d C C R R i i i o o o +++=++++ (c ) )()()()()()(33221312221t u R dtt du C R R t u R R dt t du C R R R R R i i o o +=++++(d))()()()()()()()(1211222121211211222121t u dtt du C R C R dt t u d C C R R t u dt t du C R C R C R dt t u d C C R R i i i o o o +++=++++ (e))()()()()()()()(221222121211222222121t u dtt du R C C dt t u d C C R R t u dt t du C R C R C R dt t u d C C R R i i i o o o +++=++++ (f) )()()()()()()(22121221t u R dtt du L t u R R dt t du L C R R dt t u d CL R i i oo o +=++++ 2-3 (a) )]()([)()()(23213121t u R dtt du C R R t u R dt t du C R R R R i i o o +=++－(b) )()()()(4141232022213210t u R R t u R R dt t du C R R R dt t u d C C R R R R i o o o －=++ (c))]()()([)(32321t u R R dtt du C R R t u R i i o ++=－(d) )()()()()(221122212121t u dt t du C R C R dt t u d C C R R dt t du C R i i i o +++=－ (e) )()()()(2412222142t u dtt du C R C R dt t u d C C R R o o o +++ )}()(])([)({21213224223221432132t u dtt du R R C C R R C R dt t u d R R C C R R R R R R i i i +++++++=－ 2-4 (a) dt t dx f dt t dx f f dt t x d m i o o )()()()(12122=++ (b) dt t dx f k t x k k dt t dx f k k i o o )()()()(12121=++ (c) )()()()()(121t x k dt t dx f t x k k dt t dx f i i o o +=++ (d) )()()()()()(112121t x k dtt dx f t x k k dt t dx f f i i o o +=+++2-5 (a))(1)()()()(1)()()(2112212221211*********t u C C dt t du C R C R dt t u d R R t u C C dt t du C R C R C R dt t u d R R i i i o o o +++=++++ (b))()()()()()()()(2112212221211211212221t x k k dtt dx k f k f dt t x d f f t x k k dt t dx k f k f k f dt t x d f f i i i o o o +++=++++ 由(a)(b)两式可以看出两系统具有相同形式的微分方程，所以(a)和(b)是相似系统。
控制工程基础_第二章(2017)
时，
R F (s) s
18
例 求单位斜坡函数f(t)=t的拉氏变换。 f (t )
单位斜坡函数如图（b） 所示，定义为
0 t 0 f (t ) t t 0
解：利用定义式，可得
O
t
（b）单位斜坡函数
F (s)
0
1 1 st 1 1 st 1 st t e dt t ( e ) e dt 0 e 2 0 0 s s s s 0 s
12
二．举例
1．机械系统的微分方程式
机械系统设备大致分两类：平移的和旋转的。它们之间的区 别在于前者施加的力而产生的是位移，而后者施加的是扭矩产生 的是转角。
牛顿定律和虎克定律等物理定律是建立机械系统数学模型的基础
c1 m c2 xo xi
例1（1）如图所示机械系统。求其微分方程，图中Xi 表示输入位移，Xo 表示输出位移，假设输出端无负 载效应。（c、c1、c2为阻尼系数，k1、k2为弹性系数） 由牛顿定律有： 化为标准式得：
st
例 求单位脉冲函数的拉氏变换。 单位脉冲函数如图（c）所示。定义为
0 t 0 且 (t ) t 0
0
f (t )
(t )
O
0
(t )dt 1
0
t
F ( s) (t )e st dt (t )e st dt (t )e st dt f (0) e st
图c
14
（4）机械旋转系统 图中所示转动惯量为J的转子与弹性系数为k的弹性轴和阻尼 系数为B的阻尼器连接。假设外部施加扭矩m(t),则系统产生一个 偏离平衡位置的角位移(t) 。研究外扭矩m(t)和角位移(t)的关系。
控制工程基础第2章答案
第2章系统的数学模型(习题答案)2.1什么是系统的数学模型？常用的数学模型有哪些？解：数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性、输出与输入关系的数学表达式。
常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间模型等。
2.2 什么是线性系统？其最重要的特性是什么？解：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。
线性系统的一个最重要的特性就是它满足叠加原理。
2.3 图( 题2.3) 中三图分别表示了三个机械系统。
求出它们各自的微分方程, 图中x i表示输入位移, x o表示输出位移, 假设输出端无负载效应。
题图2.3解：①图(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得整理得将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得[]于是传递函数为②图(b)：其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点A，并设A点位移为x，方向朝下；而在其下半部工。
引出点处取为辅助点B。
则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从A和B两点可以分别列出如下原始方程：消去中间变量x，可得系统微分方程对上式取拉氏变换，并记其初始条件为零，得系统传递函数为③图(c)：以的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：移项整理得系统微分方程对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即则系统传递函数为2.4试建立下图（题图2.4）所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点，其中电压)(t u r 和位移)(t x r 为输入量；电压)(t u c 和位移)(t x c 为输出量；1,k k 和2k 为弹簧弹性系数；f 为阻尼系数。
+-+-C)(t u r )(t u c )(t r )(t x c f1k 2k CR)(t u r )(u c +-+-f)(t r )(t x c )(a )(b )(c )(d R 2R题图2.4【解】：)(a方法一：设回路电流为i ，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰i R u u dt i C u cc r 1消去中间变量，整理得：dtdu RC u dt du RCrc c =+方法二：dtdu RC u dt du RCRCs RCs CsR R s U s U rc c r c =+⇒+=+=11)()( 由于无质量，各受力点任何时刻均满足∑=0F ，则有：cc r kx dt dxdt dx f =-)(dtdx k f x dt dx k f rc c =+⇒()r r c c r c u dtduC R u dt du C R R Cs R R Cs R Cs R R CsR s U s U +=++⇒+++=+++=221212212)(1111)()( 设阻尼器输入位移为a x ，根据牛顿运动定律，可写出该系统运动方程r rc c aa c a r c r x dtdx k f x dt dx f k k k k dt dx f x x k x x k x x k +=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=-22121221)()()( 结论：)(a 、)(b 互为相似系统，)(c 、)(d 互为相似系统。
控制工程基础第二章
1 i
c
c
第二章 控制系统的数学模型
2-3 典型环节及其传递函数
环节：具有某种确定信息传递关系的元件、元件 组或元件的一部分称为一个环节。 系统传递函数可写为：
G( s)
K ( i s 1) ( s 2 j j s 1)
2 2 j
b
c
s
(T s 1) (T
max
u (t )
U ( s) E G( s) Kp (s) max
第二章 控制系统的数学模型
一对与上面相同的电位器可以组成误差检测器。
u (t ) u1 (t ) u2 (t ) K p (1 (t ) 2 (t )) K p (t )
U ( s) G ( s) Kp ( s )
fms
M m J m s 2m (s) f msm (s)
m ( s) Cm Km 2 U a ( s) J m s ( f m C ) s s(Tm s 1)
第二章 控制系统的数学模型
绳轮传递 ：
L(s) rm (s)
测量电位计 ：
m (s)
r
L(s)
I 2 (s) U1 (s)Cs
U1(s)
CS
I2(s)
U1 (s) U r (s) Uc (s)
Ur(s) +
U1(s) Uc(s)
第二章 控制系统的数学模型
将上面的各环节（元件）的部分综合有：
Ur(s) +
U1(s) -
1 R1
Cs
I1(s) I(s) R2 + + I2(s)
Uc(s)
控制工程基础第二章第二部分
bm1s bm an1s an
(n m)
6
第二章 数学模型 特征方程、零点和极点
考试会考求增益K，特征方程的 零点和极点
➢ 特征方程
令：M (s) b0sm b1sm1 bm1s bm
N (s) a0sn a1sn1 an1s an
LCs2
1 RCs
1
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第二章 数学模型
几点结论
✓ 传递函数是复数s域中的系统数学模型， 其参数仅取决于系统本身的结构及参数， 与系统的输入形式无关。
✓ 若输入给定，则系统输出特性完全由传递函 数G(s) 决定，即传递函数表征了系统内在的 固有动态特性。
✓ 传递函数通过系统输入量与输出量之间的关
第二章 数学模型
第二章 控制系统的数学模型
○、数学模型的基本概念 一、控制系统的运动微分方程 二、非线性数学模型的线性化
三、拉氏变换和拉氏反变换 四、传递函数 五、系统方框图和信号流图 六、控制系统传递函数推导举例 七、小结
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1
第二章 数学模型
四、传递函数
传递函数的概念和定义 ➢ 传递函数 在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏 变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。
式中，T—积分环节的时间常数。
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积分环节的单位阶跃响应
Xi (s)
1
Xo (s)
Ts
xi (t)
x0 (t)
T1
1
1
T2 , T2 T1
0 t1
0
t
t1
t
输出随着时间线性增长，一旦输入为零，输出停止
控制工程基础：第二章 控制系统的数学模型及传递函数
用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。 如果方程的系数为常数，则称为线性定常系统； 如果方程的系数不是常数，而是时间的函数，则称为线性时 变系统。
线性系统的重要性质是可以应用叠加原理:
（1）多个输入同时作用于线性系统的总响应，等于各个输入 单独作用时分别产生的响应之和，且输入增大若干倍时，其输出 亦增大同样的倍数。
一、 拉氏变换的定义
§2.2 拉普拉斯积分变换
1. 拉氏变换的定义
如果有一个以时间t为自变量的实函数f (t),
它的定义域是t 0，那么函数f (t)的拉氏变换为：
L[ f (t)] F (s) f (t)est dt 0
复变量：s j
原函数： f (t) 象函数： F (s)
F(s) L[ f (t)]
(6)式即为二阶常系数线性微分方程。
四、小结：
§2.1系统运动微分方程的建立
（1）物理本质不同的系统，可以有相同形式的数学模型。
机械平移动力学系统:
d2 m dt2
xo
(t
)
B
d dt
xo (t) kxo (t)
fi (t)
电网络系统:
LC
d2 dt 2
uo
(t)
RC
d dt
uo
(t)
uo
(t)
L[Ax1(t) Bx2 (t)] AX1(s) BX 2 (s)
2. 微分定理和积分定理
（1）微分定理
在所有初始条件均 为零时
L[ df (t)] sF (s) dt
L[ f (t)] F(s)
L[ df (t)] sF (s) f (0) dt
L[ d 2 f (t)] s 2 F (s) sf (0) f (0) dt 2
控制工程基础 清华大学 董景新 第二章 控制系统的动态数学模型
2.1 基本环节数学模型
数学模型是描述物理系统的运动规律、特性 和输入输出关系的一个或一组方程式。 系统的数学模型可分为静态和动态数学模型。 静态数学模型：反映系统处于平衡点（稳态） 时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。 即只考虑同一时刻实际系统各物理量之间的数学 关系，不管各变量随时间的演化，输出信号与过 去的工作状态（历史）无关。因此静态模型都是 代数式，数学表达式中不含有时间变量。
控制工程基础
（第二章）
清华大学
第二章
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
控制系统的动态数学模型
基本环节数学模型 数学模型的线性化 拉氏变换及反变换 传递函数以及典型环节的传递函数 系统函数方块图及其简化 系统信号流图及梅逊公式 受控机械对象数学模型 绘制实际机电系统的函数方块图 状态空间方程
式中， a1 , a2 是常值，可由以下步骤求得 将上式两边乘 s j s j , 两边同 时令s j（或同时令s j ）， 得
a1s a2 s j X s s j s j s j
s3 例 试求 X s 2 s 3s 2
的拉氏反变换。
s 3 解： X s 2 s 3s 2 s3 s 1s 2 a1 a2 s 1 s 2
s3 a1 s 1 2 s 1s 2 s 1 s3 a2 s 2 1 s 1s 2 s 2 2 1 X s s 1 s 2 t 2t xt 2e e 1t
T st
2T T
xt e
st
n 1T dt
《控制工程基础》第二章
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
例2-6 下图所示为一电网络系统，其输入为电压u(t)， 输出为电容器的电量q(t)，列写该系统微分方程。
L
R
解：根据克希荷夫电压定律，得
u
i
C
u(t)Ldd(ti)tR(ti)C 1i(t)dt
∵
i(t) dq(t) dt
消去中间变量i(t)，并整理得，
轴平移了时间T。 例 求f(t)＝ 1 － 1 1(t-T)的拉氏变换
TT
4. 微分定理
若L[f(t)]＝F(s)，则有L[ df ( t ) ]＝s F(s) - f(0)
初始状态为0时，L[
d
n
d
f
n
( t
t
)
dt
]＝
s
n
F(s)
第二章 系统的数学模型 2.3 拉氏变换与拉氏反变换
5. 积分定理
解： 1)明确系统的输入与输出，
f( t) k
输入—f(t) ， 输出—x(t)
m
2)进行受力分析，列写微分方程，
cx ( t) f(t) kx(t) 利用 Fma，得
图2-1
பைடு நூலகம்
m f( t ) k ( t ) x c x ( t ) m x ( t )
c· x(t)
3)整理微分方程，得
m x ( t ) c x ( t ) k ( t ) x f ( t )
本章教学大纲
1. 掌握机械、电气系统微分方程的建立方法； 2. 了解非线性方程的线性化； 3. 熟悉拉氏变换及反变换、线性定常微分方程的解法； 4. 掌握传递函数基本概念及典型环节传递函数； 5. 掌握系统传递函数方框图的化简。 教学重点：微分方程建立、传递函数概念与求法、典
控制工程基础课件第二章
根据基尔霍夫定律和欧姆定律， 有
i1 (t ) + i2 (t ) = i(t ) u i (t ) = u o (t ) + R1i2 (t ) 1 C ∫ i1 (t )dt = R1i2 (t ) uຫໍສະໝຸດ o (t ) = R2 i(t )
(2 − 5) ( 2 − 6) ( 2 − 7) (2 − 8)
称为等效阻尼系数；
z z TLeq = 1 3 TL z z 2 4
TLeq 称为等效输出转矩。
第二章 控制系统的数学模型
§2-1 控制系统的微分方程及线性化方程
将上式改为
&& & Tm = J eqθ1 + f eqθ1 + TLeq
则图2-3a所示的传动装置可简化为图2-3b所示的等效齿轮传动
第二章 控制系统的数学模型
§2-1 控制系统的微分方程及线性化方程
三、液压系统的线性化微分方
图2-7 阀控液压缸
图2-8 q L = f(x, pL)曲线
图中，x为阀芯位移输入；y为液压缸活塞位移输出；q L为负载流量；q1、 q2分别为液压缸左、右腔的输入、输出流量；pL为负载压差；pS为供油压力； m为负载质量；A为活塞工作面积；d为阀芯直径。
− m&& + ∑ Fi = 0 x
式中
(2-1)
∑F
i
&& x m − m&& x
——作用在物体上的合外力； ——物体的加速度； ——物体的质量； ——物体的惯性力。
第二章 控制系统的数学模型
− m& x ∑ F& + ∑ F
控制工程基础第2章
xo (t ) cos t xi (t )
2 3 x ( t ) x ( t ) x ( t ) 2 x ( t ) 5 x （4） o o o o i (t )
非线性
本课程涉及的数学模型形式
时间域：微分方程（一阶微分方程组）、
差分方程、状态方程
复数域：传递函数、结构图
其中f(0)是函数f(t)在自变量t=0的值，即初始值。 可推广到n阶
d n f (t ) n n 1 n2 L s F ( s ) s f (0) s f (0) n dt f ( n1) (0)
当初始条件为0时，即 则有 L f (t ) sF (s)
小 结
物理本质不同的系统，可以有相同的数学 模型，从而可以抛开系统的物理属性，用 同一方法进行具有普遍意义的分析研究。
通常情况下，元件或系统微分方程的阶次 等于元件或系统中所包含的独立储能元的 个数。
系统的动态特性是系统的固有特性，仅取 决于系统的结构及其参数。
三、拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是控制工程中的一 个基本数学方法，其优点是能将时间 函数的导数经拉氏变换后，变成复变 量s的乘积，将时间表示的微分方程， 变成以s表示的代数方程。
拉氏变换的性质
3、复数域的位移定理 若f(t)的拉氏变换为F(s)，对于任 一常数a（实数或复数），有
L[e f (t )] F(s a)
at
4、微分定理
设f(t)的拉氏变换为F(s)，则
df (t ) L[ ] L[ f ' (t )] sF ( s ) f (0) dt
频率域：频率特性
二、系统微分方程的建立
建立微分方程的步骤：
《控制工程基础》课件第2章
第2章 系统的数学模型
二、建立系统微分方程的一般步骤
（1） 分析系统和组成系统的各元件（环节）的性质、
第2章 系统的数学模型
（2） 从输入端开始，按照信号的传递顺序，列写系统 各组成元件（环节）的微分方程。对于复杂的系统，不能直 接写出输入量和输出量之间的关系式时，可以引入中间变量， 依据支配系统工作的基本规律，如力学中的牛顿定律、电学 中的克希荷夫定律等，逐个列写出各元件（环节）的微分方 程。另外，在列写各元件（环节）微分方程时，应注意元件
第2章 系统的数学模型
但是，由于目前非线性系统的理论和分析方法还不很成 熟，因此对于某些非本质的非线性系统，在一定条件下可进 行线性化处理，以简化分析。线性化是指将非线性微分方程 在一定条件下近似转化为线性微分方程的过程。一般的线性 化方法是在工作点附近用切线来代替，即将非线性函数在工 作点附近展开成台劳级数，并略去高于一次的项，可得近似 的线性差分方程。上述线性化是以变量偏离预定工作点很小 的假定条件为基础的，即偏差为微量，所以有时也把上述线 性化称之为小偏差线性化。小偏差线性化的几何意义是：在 预期工作点附近，用通过该点的切线近似代替原来的曲线。
J
f
(2-18)
式中，J为等效转动惯量，f为摩擦系数。将式(2-17)、(2-18)
代入式(2-16)，得
Ua
La Ki
ddt(J
f )
Ra (J
Ki
f )
Kb
即
La J La f Ra(J f ) KbKi KiUa
(2-19)
测量环节：
第2章 系统的数学模型
U f Kn
(2-20)
第2章 系统的数学模型
线性系统满足叠加原理。叠加原理说明，两个不同的输 入同时作用于系统的响应，等于两个输入单独作用的响应之 和。因此，线性系统对几个输入量同时作用的响应可以一个 一个地处理，然后对响应结果进行叠加。也就是说，当有几 个输入量同时作用于系统时，可以逐个输入，求出对应的输 出，然后把各个输出进行叠加，即为系统的总输出。另外， 线性系统还有一个重要的性质，就是均匀性，即当输入量的 数值成比例增加时，输出量的数值也成比例增加，而且输出 量的变化规律只与系统的结构、参数及输入量的变化规律有 关，与输入量数值的大小是无关的。
第二章控制工程基础
的形式，则 Z1 , Z 2 , Z 3 Z m和 P 1 , P2 , P 3 Pn 为G(S)的零点和极点。
不同物理结构的系统可以有相同的传递函数。
Xi
变化曲线
0
Xo
t
方框图
Xi(s)
K
Xo(s)
二、惯性环节
微分方程
o xo Kxi Tx
传递函数
K G( s ) Ts 1
变化曲线
x0
0
方框图
Xi(s)
t
Xo(s)
K Ts+1Biblioteka 三、微分环节 微分方程
i xo Tx
传递函数
G ( s ) Ts
第二章 控制系统数学模型
§2-1 系统数学模型 §2-2 微分方程 §2-3 传递函数 §2-4 典型环节传递函数 §2-5 系统方框图
§2-1 系统数学模型
控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压 的，气动的等等，然而描述这些系统的数学模 型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研 究控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关 系而抓住这些系统的共同运动规律，控制系统 的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定 律来描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系 统的克希霍夫定律等都是用来描述系统模型的 基本定律。
四、拉普拉斯变换
定义
Fs Lf t f t e st dt
0
f ( t )：像原 F(s)：像
控制工程基础第二章 数学基础
主要用于解微分方程和求传递函数
例
ay(t ) by(t ) cy (t ) f (t )
若初始条件为零，则：
F ( s ) as Y ( s ) bsY ( s ) cY ( s )
2
5）积分定理
设 f t F s ，则
t F s 1 1 L f t dt f 0 0 s s
例 已知 f (t ) sin ktdt
k 为实数，求 f (t ) 的拉氏变换。
解：根据拉氏变换的积分性质得
L f (t ) L sin ktdt
1 k L sin kt 2 2 s s(s k )
6）终值定理：若函数f(t)的拉氏变换为F(s)
lim f t lim sF s
1. 拉氏变换的定义
函数f(t)，t为自变量，如果线性积分 记为F(S)或L[f(t)]，即为：
L f t F S f t e st dt
0
0
f t e st dt
存在，则称其为函数 f(t)的拉普拉斯变换。
式中： S为复数，s j f(t)为原函数，F(S)为象函数
第二章 数学基础-拉普拉斯变换
拉氏变换与反变换
本节的重点： Ø 常见函数的拉氏变换 Ø 拉氏变换的运算规则 Ø 基于分部积分法的拉氏反变换
• 本节的难点： Ø 拉氏变换严格的数学推导与变换
问题的引入
d 2x dx m 2 f k x y t dt dt
如此时将y(t)改变为一时变作用力，那么运动状态时又如何分析呢？
由于 s ja 是 sF ( s) 的奇点，位于虚轴上，不能 应用终值定理，既 f ( ) 不存在。 注意：当 f (t ) 是周期函数，如正弦函数sinω t 时，由于它 没有终值，故终值定理不适用。
控制工程基础第2章答案.
第2章系统的数学模型(习题答案)2.1什么是系统的数学模型？常用的数学模型有哪些？解：数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性、输出与输入关系的数学表达式。
常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间模型等。
2.2 什么是线性系统？其最重要的特性是什么？解：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。
线性系统的一个最重要的特性就是它满足叠加原理。
2.3 图( 题2.3) 中三图分别表示了三个机械系统。
求出它们各自的微分方程, 图中x i表示输入位移, x o表示输出位移, 假设输出端无负载效应。
题图2.3解：①图(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得整理得将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得[]于是传递函数为②图(b)：其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点A，并设A点位移为x，方向朝下；而在其下半部工。
引出点处取为辅助点B。
则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从A和B两点可以分别列出如下原始方程：消去中间变量x，可得系统微分方程对上式取拉氏变换，并记其初始条件为零，得系统传递函数为③图(c)：以的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：移项整理得系统微分方程对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即则系统传递函数为2.4试建立下图（题图2.4）所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点，其中电压)(t u r 和位移)(t x r 为输入量；电压)(t u c 和位移)(t x c 为输出量；1,k k 和2k 为弹簧弹性系数；f 为阻尼系数。
+-+-C)(t u r )(t u c )(t r )(t x c f1k 2k CR)(t u r )(u c +-+-f)(t r )(t x c )(a )(b )(c )(d R 2R题图2.4【解】：)(a方法一：设回路电流为i ，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰i R u u dt i C u cc r 1消去中间变量，整理得：dtdu RC u dt du RCrc c =+方法二：dtdu RC u dt du RCRCs RCs CsR R s U s U rc c r c =+⇒+=+=11)()( 由于无质量，各受力点任何时刻均满足∑=0F ，则有：cc r kx dt dxdt dx f =-)(dtdx k f x dt dx k f rc c =+⇒()r r c c r c u dtduC R u dt du C R R Cs R R Cs R Cs R R CsR s U s U +=++⇒+++=+++=221212212)(1111)()( 设阻尼器输入位移为a x ，根据牛顿运动定律，可写出该系统运动方程r rc c aa c a r c r x dtdx k f x dt dx f k k k k dt dx f x x k x x k x x k +=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=-22121221)()()( 结论：)(a 、)(b 互为相似系统，)(c 、)(d 互为相似系统。
控制工程基础第二章
df ( x ) y f ( x ) f ( x0 ) ( x x0 ) dx x x
0
1 d 2 f ( x) 1 d 3 f ( x) 2 3 ( x x ) ( x x ) 0 0 2 3 2! dx x x 3! dx x x
第二章 控制系统的动态数学模型
线性化的提出 线性系统是有条件存在的，只在一定的工作 范围内具有线性特性； 非线性系统的分析和综合是非常复杂的； 对于实际系统而言，在一定条件下，采用线 性化模型近似代替非线性模型进行处理，能 够满足实际需要。
第二章 控制系统的动态数学模型 非线性系统数学模型的线性化
第二章 控制系统的动态数学模型
小结
物理本质不同的系统，可以有相同的数学模 型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一 方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方 法） 。 从动态性能看，在相同形式的输入作用下， 数学模型相同而物理本质不同的系统其输出 响应相似。相似系统是控制理论中进行实验 模拟的基础；
0 0
第二章 控制系统的动态控制系统的动态数学模型
略去含有高于一次的增量x=x-x0的项，则：
y f ( x0 ) df ( x) ( x x0 ) dx x x
0
df ( x) 或：y - y0 = y = Kx， 其中： K dx x x
0
上式即为非线性系统的线性化模型，称为 增量方程。y0 = f (x0)称为系统的静态方程； 由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，这种 线性化方法对于闭环控制系统具有实际意义。
第二章 控制系统的动态数学模型
线性系统与非线性系统 线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的 系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的 系数是时间t的函数，则为线性时变系统； 线性是指系统满足叠加原理，即： 可加性： f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) 齐次性： f ( x) f ( x) 或： f (x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )
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f kx c x m x
3)整理可得：
m x c x k x f
小结
物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以 抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研 究（信息方法） 。
从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而 物理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制理论中 进行实验模拟的基础。 通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统 中所包含的独立储能元件（惯性质量、弹性要素、电感、电容、 液感、液容等）的个数；因为系统每增加一个独立储能元件， 其内部就多一层能量（信息）的交换。 系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决于系统的结构 及其参数。
x (t) v (t)
m 参考点
2
d d f m (t ) m v(t ) m 2 x(t ) dt dt
弹簧
x1(t) v1(t) fK(t) K x2(t) v2(t) fK(t)
f K (t ) K x1 (t ) x2 (t ) Kx(t ) K
v1 (t ) v2 (t )dt
1）分析系统工作原理，确定系统及各元件的输入、输 出量；
2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量
所遵循的物理学定律写出各元、部件的微分方程； 3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程； 4）变换成标准形式：左出、右入，降幂排列。
2、 控制系统微分方程的列写 机械系统 机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可 简化为质量、弹簧和阻尼三个要素： 质量 fm(t)
z1 Tm J1 1 f1 1 T1 T1 T2 .. . z2 T2 J 2 2 f 2 2 T3 z3 .. . T3 T4 T4 J3 3 f3 3 TL z4
..
.
z1 2 1 z2
z3 z1 z3 3 2 1 z4 z2 z4
z1 2 1 z2
z3 T3 T4 z4
z1 J1 1 f1 1 z2
.. ..
.. .. z3 J 2 2 f 2 2 J 3 3 f 3 3 TL z4 z z
C
ui(t)
uo(t)
+
u a (t ) 0 i1 (t ) i2 (t )
即：
ui (t ) duo (t ) C R dt
duo (t ) RC ui (t ) dt
例：列写下图所示机械系统的微分方程
解：1)明确系统的输入与输出
输入为f(t)，输出为x(t)
2)列写微分方程，受力分析
注意：同一系统简化程度的不同，可以有不同的数 学模型。
当质量m很小可不计时，系统由并联的弹簧和阻尼器 组成。 弹簧－阻尼系统 fi(t) 0
xo(t) K C
f i (t ) f C (t ) f K (t )
d C xo (t ) Kxo (t ) f i (t ) dt
系统运动方程为一阶常系数 微分方程。
上式为非线性微分方程，即此液位控制系统为非线 性系统。 若微分方程中的函数 xi(t) 、xo(t) 及其各阶导数都是 一次的，则该微分方程称为线性微分方程。线性系 统微分方程的一般形式： dn d n1 d x (t ) a1 n1 xo (t ) an1 xo (t ) an xo (t ) n o dt dt dt dm d m1 d b0 m xi (t ) b1 m1 xi (t ) bm1 xi (t ) bm xi (t ) dt dt dt 式中，a1，a2，…，an和b0，b1，…，bm为由 系统结构参数决定的实常数，m≤n。
d2 d LC 2 uo (t ) RC uo (t ) uo (t ) ui (t ) dt dt
一般R、L、C均为常数，上式为二阶常系数微 分方程。
若L=0，则系统简化为：
d RC uo (t ) uo (t ) ui (t ) dt
有源电网络 i1(t)
R
a −
i2(t)
第二章 系统的数学模型
内容提要 控制系统数学模型的基本概念
时域模型—运动微分方程
拉氏变换与拉氏反变换
本 章 要 求
复域模型—传递函数
方块图和信号流图的建立步骤与方法
重 点
传递函数概念的建立/典型环节
和控制系统传递函数的推导
难 点
物理系统传递函数的推导
第二章 系统的数学模型
一、数学模型的基本概念
1、数学模型
d2 d J 2 o (t ) C o (t ) K o (t ) K i (t ) dt dt
例2-2：齿轮传动动力学分析。图中M—电动机；L— 负载；Tm —电机输出扭矩；TL —负载扭矩；z1 、 z2 、 z3 、 z4 —各齿轮齿数；J1 、 J2 、 J3 —各轴及轴上齿 轮的转动惯量；θ1 、θ2 、θ3 —各轴及轴上齿轮的转角。
机械平移系统 fi(t) m
fi(t)
m
fm(t) 静止（平衡）工作点作为 0 零点，以消除重力的影响 0 xo(t) xo(t) fK(t) fC(t) K C d2 f i (t ) f C (t ) f K (t ) m 2 xo (t ) dt f K (t ) Kxo (t ) 机械平移系统及其力学模型 d f C (t ) C xo (t ) dt
数学模型应能反映系统内在的本质特征，
同时应对模型的简洁性和精确性进行折
衷考虑。
微分方程是基本的数学模型，是列写传递 函数的基础。
二、控制系统的运动微分方程
工程中的控制系统：机械的，电气的，液压的， 气动的，热力的，化学的，其运动规律都可以用微分 方程加以描述。时域中描述系统动态特性的数学模型。
1、 建立数学模型的一般步骤
数学模型是描述系统输入、输出量以及内部 各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系 统结构及其参数与其性能之间的内在关系。 静态数学模型：静态条件（变量各阶导数为 零）下描述变量之间关系的代数方程。 动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系 的微分方程。
建立控制系统的数学模型，并在此基础上对控制 系统进行分析、综合，是控制工程的基本方法。 数学模型的表示方法：
2 2
2
2
TLeq
..
z1 z3 TL z2 z4
.
Tm J eq 1 feq 1 TLeq
电气系统 电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。
电阻
i(t)
R
u(t)
u (t ) i(t ) R
电容 i(t)
C
u(t)
1 u (t ) i(t )dt C
二、 线性系统与非线性系统
线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的 系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的 系数是时间t的函数，则为线性时变系统。 线性系统满足叠加原理，即： 可加性： f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) 齐次性： f ( x ) f ( x ) 或： f (x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )
z2 z2 z4 .. z1 .. z1 z1 J1 1 f1 1 J 2 1 f 2 1 z2 z2 z2 z1 z3 z1 z3 .. z1 z3 J3 1 f3 1 TL z2 z4 z2 z4 z2 z4
弹簧-阻尼系统
机械旋转系统 θi(t)
0
θo(t) 0
J
TK(t) K 柔性轴
TC(t)
粘性液体
C
齿轮
J —旋转体转动惯量；K —扭转刚度系数； C —粘性阻尼系数
TK (t ) K i (t ) o (t ) d TC (t ) C o (t ) dt d2 J 2 o (t ) TK (t ) TC (t ) dt
电感 i(t)
L
u(t)
di(t ) u (t ) L dt
R-L-C无源电路网络 L R
ui(t)
i(t) C R-L-C无源电路网络
uo(t)
d 1 ui (t ) Ri (t ) L dt i (t ) C i (t )dt uo (t ) 1 i (t )dt C
t t
K v(t )dt
阻尼
v1(t) x1(t) fC(t) C v2(t) x2(t) fC(t)
f C (t ) C v1 (t ) v2 (t ) Cv(t ) dx1 (t ) dx2 (t ) C dt dt dx(t ) C dt
z2 z4 z1 z1 z3 J1 1 f1 1 J 2 2 f 2 2 J 3 3 f 3 3 TL
.. ..3 1来自3 1
2 2 2 2 .. . z z z1 z1 z3 z1 z1 z3 1 3 J1 J 2 J 3 1 f1 f 2 f3 1 TL z2 z2 z4 z2 z2 z4 z2 z4
Tm J1 ..1 f1 1 T1 z1 J1 1 f1 1 T2 z2
..