历年全国人教版数学高考真题与模拟题分类汇编 c单元三角函数(文科2016年) 含答案

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高考复习方案大一轮(全国人教数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编 C单元三角函数(理科2016年) Word版

数学C 单元三角函数C1 角的概念及任意角的三角函数C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式5．C2、C6 若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425 B.4825C ．1 D.16255．Acos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋4×341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝6425. 16．C2，C7，C8 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan B cos A. (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值．16．解：(1)证明：由题意知2（sin A cos A ＋sin B cos B ）＝sin A cos A cos B ＋sin Bcos A cos B ，化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B . 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，从而sin A ＋sin B ＝2sin C . 由正弦定理得a ＋b ＝2c . (2)由(1)知c ＝a ＋b2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－a ＋b 222ab＝38（a b ＋b a ）－14≥12，当且仅当a ＝b 时，等号成立．故cos C 的最小值为12.C3 三角函数的图象与性质5．E1，C3，B6，B7 已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0B ．sin x －sin y >0 C.12x －12y<0 D ．ln x ＋ln y >05．C 选项A 中，因为x >y >0，所以1x <1y ，即1x －1y<0，故结论不成立；选项B 中，当x＝5π6，y ＝π3时，sin x －sin y <0，故结论不成立；选项C 中，函数y ＝12x是定义在R 上的减函数，因为x >y >0，所以12x <12y ，所以12x －12y <0；选项D 中，当x ＝e －1，y ＝e －2时，结论不成立．9．C3 定义在区间上的函数y ＝sin 2x 的图像与y ＝cos x 的图像的交点个数是________． 9．7 方法一：令sin 2x ＝cos x ，即2sin x cos x ＝cos x ，解得cos x ＝0或sin x ＝12，即x ＝k π＋π2或x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋56π(k ∈Z )，又x ∈，故x ＝π2，3π2，5π2或x ＝π6，5π6，13π6，17π6，共7个解，故两个函数的图像有7个交点．方法二：在同一个坐标系内画出这两个函数的图像，由图像可得交点有7个．3．C3 为了得到函数y ＝sin(2x －π3)的图像，只需把函数y ＝sin 2x 的图像上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度3．D 由题可知，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，则只需把y ＝sin 2x 的图像向右平移π6个单位长度．7．C3 若将函数y ＝2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图像的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z ) D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) 7．B 平移后的图像对应的解析式为y ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，令2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝k π＋π2(k ∈Z )，得对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )． 7．C7，C3 函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )·(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2B ．π C.3π2D ．2π 7．B f (x )＝2sin x cos x －3sin 2x ＋3cos 2x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin(2x ＋π3)，故T ＝2π2＝π. 5．C3 设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关5．B 若b ＝0，则f (x )＝sin 2x ＋c ＝1－cos 2x 2＋c ＝－12cos 2x ＋12＋c 的最小正周期是π；若b ≠0，则f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c 的最小正周期是2π，故选B.C4 函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质 7．C4 将函数y ＝sin （2x －π3）图像上的点P （π4，t ）向左平移s (s >0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图像上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6B ．t ＝32，s 的最小值为π6C ．t ＝12，s 的最小值为π3D ．t ＝32，s 的最小值为π37．A 因为P （π4，t ）在函数y ＝sin （2x －π3）的图像上，所以t ＝sin （2×π4－π3）＝sin π6＝12.因为s >0，y ＝sin （2x －π3）＝sin 2（x －π6），所以函数y ＝sin （2x －π3）的图像至少向左平移π6个单位长度可以得到函数y ＝sin 2x 的图像，所以s 的最小值为π6.12．C4 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)（ω>0，|φ|≤π2），x ＝－π4为f (x )的零点，x＝π4为y ＝f (x )图像的对称轴，且f (x )在π18，5π36单调，则ω的最大值为( ) A ．11 B ．9 C ．7 D ．512．B 由已知可得－π4ω＋φ＝k π，k ∈Z ，π4ω＋φ＝m π＋π2，m ∈Z ，两式相加，得2φ＝(k ＋m )π＋π2.因为|φ|≤π2，所以k ＋m ＝0或k ＋m ＝－1，即φ＝±π4，两式相减得ω＝2(m －k )＋1，即ω为正奇数．因为函数f (x )在区间（π18，5π36）单调，所以只要该区间位于函数f (x )图像的两条相邻对称轴之间即可，且5π36－π18≤12×2πω，即ω≤12.(1)当φ＝π4时，f (x )＝sin （ωx ＋π4），则k π－π2≤π18ω＋π4且5π36ω＋π4≤k π＋π2，k ∈Z ，解得36k －272≤ω≤36k ＋95.由于ω≤12，故k 最大取1，此时4.5≤ω≤9，此时ω的最大值为9.(2)当φ＝－π4时，f (x )＝sin （ωx －π4），则k π－π2≤π18ω－π4且5π36ω－π4≤k π＋π2，k ∈Z ，解得36k －92≤ω≤36k ＋275.由于ω≤12，故k 最大取0，此时ω≤275，此时ω的最大值为5.综上可知，ω的最大值为9.14．C4 函数y ＝sin x －3cos x 的图像可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图像至少向右平移________个单位长度得到．14.2π3 函数y ＝sin x －3cos x ＝2sin （x －π3）的图像可由函数y ＝sin x ＋3cosx ＝2sin （x ＋π3）的图像至少向右平移2π3个单位长度得到． 10．C4 已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin (ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________． 10. 2 1 2cos 2x ＋sin 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin(2x ＋π4)＋1，故A ＝2，b＝1.12．C4，F3 在平面直角坐标系中，已知A (1，0)，B (0，－1)，P 是曲线y ＝1－x 2上一个动点，则BP →·BA →的取值范围是________．12．由题意得y ＝1－x 2表示以原点为圆心，1为半径的上半圆，设P (cos α，sin α)，α∈，则BA →＝(1，1)，BP →＝(cos α，sin α＋1)，所以BP →·BA →＝cos α＋sin α＋1＝2sin(α＋π4)＋1，因为α∈，所以0≤BP →·BA →≤1＋ 2.13．C4 设a ，b ∈R ，c ∈ 根据题意a ＝±2，b ＝±3.若a ＝2，则当b ＝3时，c ＝5π3，当b ＝－3时，c ＝4π3；若a ＝－2，则当b ＝3时，c ＝2π3，当b ＝－3时，c ＝π3.所以满足条件的有序实数组(a ，b ，c )的组数为4.C5 两角和与差的正弦、余弦、正切 15．C5，C8 在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac . (1)求∠B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值． 15．解：(1)由余弦定理及题设得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.又因为0<∠B <π，所以∠B ＝π4.(2)由(1)知∠A ＋∠C ＝3π4.2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos 3π4－A＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22cos A ＋22sin A ＝cos A －π4.因为0<∠A <3π4，所以当∠A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1.15．C8、C5 在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长； (2)求cos A －π6的值．15．解：(1)因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－452＝35，由正弦定理知AC sin B ＝AB sin C ，所以AB ＝AC ·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )，于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos(B ＋π4)＝－cos B cos π4＋sin B sin π4，又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210，因此cos(A －π6)＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620.C6 二倍角公式5．C2、C6 若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425 B.4825C ．1 D.16255．Acos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋4×341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝6425. 11．C6cos 2π8－sin 2π8＝________． 11.22 由题可知，cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22. 9．C6 若cos （π4－α）＝35，则sin 2α＝( )A.725B.15C ．－15D ．－7259．D ∵cos （π4－α）＝35，∴sin 2α＝cos （π2－2α）＝2cos 2（π4－α）－1＝－725. 7．C6，C7 方程3sin x ＝1＋cos 2x 在区间上的解为________． 7.π6或5π6由3sin x ＝1＋cos 2x ，得3sin x ＝2－2sin 2x ，所以2sin 2x ＋3sin x －2＝0，解得sin x ＝12或sin x ＝－2(舍去)，所以原方程在区间上的解为π6或5π6.C7 三角函数的求值、化简与证明7．C7，C3 函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )·(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2B ．π C.3π2D ．2π 7．B f (x )＝2sin x cos x －3sin 2x ＋3cos 2x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin(2x ＋π3)，故T ＝2π2＝π. 16．C2，C7，C8 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan B cos A. (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值．16．解：(1)证明：由题意知2（sin A cos A ＋sin B cos B ）＝sin A cos A cos B ＋sin Bcos A cos B ，化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B . 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，从而sin A ＋sin B ＝2sin C . 由正弦定理得a ＋b ＝2c . (2)由(1)知c ＝a ＋b2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－a ＋b 222ab＝38（a b ＋b a ）－14≥12，当且仅当a ＝b 时，等号成立．故cos C 的最小值为12.7．C6，C7 方程3sin x ＝1＋cos 2x 在区间上的解为________． 7.π6或5π6由3sin x ＝1＋cos 2x ，得3sin x ＝2－2sin 2x ，所以2sin 2x ＋3sin x －2＝0，解得sin x ＝12或sin x ＝－2(舍去)，所以原方程在区间上的解为π6或5π6.C8 解三角形15．C5，C8 在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac . (1)求∠B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值． 15．解：(1)由余弦定理及题设得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.又因为0<∠B <π，所以∠B ＝π4.(2)由(1)知∠A ＋∠C ＝3π4.2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos 3π4－A＝2cos A －22cos A ＋22sin A＝22cos A ＋22sin A ＝cos A －π4.因为0<∠A <3π4，所以当∠A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1.14．C8、E6 在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________．14．8 方法一：∵sin A ＝2sin B sin C ，sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sinC ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，两边同除以cos B cos C ，可得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ， tan A tan B tan C ＝－tan(B ＋C )tan B tan C ＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C·tan B tan C ＝2（tan B tan C ）2tan B tan C －1，由三角形为锐角三角形得tan B >0，tan C >0，tan A ＝tan B ＋tan Ctan B tan C －1>0，即tan B tan C－1>0.令tan B tan C －1＝t (t >0)，则tan A tan B tan C ＝2（t ＋1）2t ＝2t ＋1t＋2≥8，当t ＝1，即tan B tan C ＝2时取等号．方法二：同方法一可得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，又tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋(1－tan B tan C )·tan(B ＋C )＝tan A －tan A ＋tanA tanB tanC ＝tan A tan B tan C ，所以tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋2tan B tan C ≥22tan A tan B tan C ⇒tan A tan B tan C ≥8，当且仅当tan A ＝2tan B tan C ＝4时取等号． 15．C8、C5 在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长； (2)求cos A －π6的值．15．解：(1)因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－452＝35，由正弦定理知AC sin B ＝AB sin C ，所以AB ＝AC ·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )，于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos(B ＋π4)＝－cos B cos π4＋sin B sin π4，又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210，因此cos(A －π6)＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620.17．C8 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．17．解：(1)由已知及正弦定理，得 2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C ，可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知，得12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25，所以△ABC 的周长为5＋7.8．C8 在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010 B.1010C ．－1010 D ．－310108．C 如图所示，作AD ⊥BC 交BC 于点D ，设BC ＝3，则AD ＝BD ＝1，AB ＝2，AC ＝ 5.由余弦定理得32＝(2)2＋(5)2－2×2×5×cos A ，解得cos A ＝－1010.13．C8 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________．13.2113 ∵cos A ＝45，cos C ＝513，且A ，C 为三角形的内角，∴sin A ＝35，sin C ＝1213， ∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365.由正弦定理得b sin B ＝a sin A ，解得b ＝2113.16．C2，C7，C8 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan Bcos A. (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值．16．解：(1)证明：由题意知2（sin A cos A ＋sin B cos B ）＝sin A cos A cos B ＋sin Bcos A cos B ，化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B . 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，从而sin A ＋sin B ＝2sin C . 由正弦定理得a ＋b ＝2c . (2)由(1)知c ＝a ＋b2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝a 2＋b 2－a ＋b 222ab＝38（a b ＋b a ）－14≥12，当且仅当a ＝b 时，等号成立．故cos C 的最小值为12.3．C8 在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．A 设AC ＝x ，由余弦定理得cos 120°＝x 2＋9－132·x ·3＝－12，则x 2－4＝－3x ⇒x 2＋3x－4＝0，解得x ＝1或x ＝－4(舍)，∴AC ＝1.16．C8 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．16．解：(1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0<A －B <π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .(2)由S ＝a 24，得12ab sin C ＝a24，故有sin B sin C ＝12sin 2B ＝sin B cos B ，由sin B ≠0，得sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B . 当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.9．C8 已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于________． 9.733 利用余弦定理可求得最大边所对角的余弦值为32＋52－722×3×5＝－12，所以此角的正弦值为32，设外接圆半径为R ，则由正弦定理得2R ＝732，所以R ＝733. C9 单元综合17．C9 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc.(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .17．解：(1)证明：根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin Ck sin C，变形可得 sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，所以sin A sin B ＝sin C .(2)由b 2＋c 2－a 2＝65bc 及余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)知，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ，故tan B ＝sin B cos B＝4.15．C9 已知函数f (x )＝4tan x sin （π2－x ）cos （x －π3）－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间上的单调性．15．解：(1)f (x )的定义域为{x|x ≠π2＋k π，k ∈Z}.f (x )＝4tan x cos x cos （x －π3）－3＝4sin x cos （x －π3）－3＝4sin x （12cos x ＋32sin x ）－3＝2sin x cos x ＋23sin 2x －3＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－3＝sin 2x－3cos 2x ＝2sin （2x －π3），所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)令z ＝2x －π3，函数y ＝2sin z 的单调递增区间是，k ∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝，B ＝{x|－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π}，k ∈Z ，易知A ∩B ＝.所以当x ∈时，f (x )在区间上单调递增，在区间函数f (x )＝sin 2x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小值为( )A ．0B ．－1C ．－ 2 D. －26．B f (x )＝sin 2x －12sin 2x －32cos 2x ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故所求最小值为－1.11．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图像如图K161所示，为了得到函数y ＝cos ωx 的图像，只需把函数y ＝f (x )的图像( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π12个单位长度D ．向左平移π12个单位长度11．D 根据已知得14×2πω＝7π12－π3＝π4，解得ω＝2，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ＝－1，所以φ＝2k π＋3π2－7π6＝2k π＋π3，k ∈Z .因为|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，只要把函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位长度，便可得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 的图像．5．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若sin(B －A )＋sin(B ＋A )＝3sin 2A ，且c ＝7，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.334 B.736 C.213 D. 334或7365．D 由sin(B －A )＋sin(B ＋A )＝3sin 2A ，得2sin B cos A ＝6sin A cos A ，所以cosA ＝0或sinB ＝3sin A .若cos A ＝0，则A ＝π2，在Rt △ABC 中，C ＝π3，所以b ＝c tan C ＝213，此时△ABC 的面积S ＝12bc ＝12×213×7＝736；若sin B ＝3sin A ，即b ＝3a ，由余弦定理得7＝a 2＋9a2－2·a ·3a ·12，得a ＝1，所以b ＝3，此时△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×1×3×32＝334.15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足b cos A ＝(2c ＋a )cos(A ＋C )．(1)求角B 的大小；(2)求函数f (x )＝2cos 2x ＋cos(2x －B )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值及对应x 的值．15．解：(1)由已知得b cos A ＝()2c ＋a cos ()π－B ，即sin B cos A ＝－()2sin C ＋sin A cos B ，即sin ()A ＋B ＝－2sin C cos B ， ∴sin C ＝－2sin C cos B ， ∴cos B ＝－12，即B ＝2π3.(2)f ()x ＝2cos 2x ＋cos 2x cos 2π3＋sin 2x sin 2π3＝32cos 2x ＋32sin 2x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2知2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3.当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－32，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－32，此时x ＝π2.17．如图K183所示，D 是直角三角形ABC 斜边BC 上一点，AC ＝3DC . (1)若∠DAC ＝30°，求角B 的大小； (2)若BD ＝2DC ，且AD ＝22，求DC 的长．图K18417．解：(1)在△ADC 中，由AC sin ∠ADC ＝DCsin ∠DAC ，及AC ＝3DC ，得sin ∠ADC ＝3sin ∠DAC ＝32. 又∠ADC ＝B ＋∠BAD ＝B ＋60°>60°，所以∠ADC ＝120°.于是C ＝180°－120°－30°＝30°，所以B ＝60°. (2)设DC ＝x ，则BD ＝2x ，BC ＝3x ，AC ＝3x ，AB ＝6x . 于是sin B ＝AC BC ＝33，所以cos B ＝63. 在△ABD 中， AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ，即(22)2＝6x 2＋4x 2－2×6x ·2x ·63＝2x 2，得x ＝2. 故DC ＝2.。

(2016-2018)三年高考数学文科真题分类专题10【三角函数图象与性质】解析卷

专题10【三角函数图象与性质】解析卷考纲解读明方向考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.三角函数的图象及其变换①能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象,了解三角函数的周期性;②了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A,ω,φ对函数图象变化的影响掌握2017课标全国Ⅰ,9;2016北京,7;2016课标全国Ⅲ,14;2015湖南,9选择题填空题解答题★★★2.三角函数的性质及其应用理解正弦函数、余弦函数的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴交点等).理解正切函数的单调性理解2017课标全国Ⅲ,6;2016课标全国Ⅱ,7;2015课标Ⅰ,8选择题填空题解答题★★★分析解读三角函数的图象和性质一直是高考中的热点,往往结合三角公式进行化简和变形来研究函数的单调性、奇偶性、对称性及最值问题,且常以解答题的形式考查,其考查内容及形式仍是近几年高考对该部分内容考查的重点.分值为10~12分,属于中低档题.2018年高考全景展示1．【2018年新课标I卷文】已知函数，则A. 的最小正周期为π，最大值为3B. 的最小正周期为π，最大值为4C. 的最小正周期为，最大值为3D. 的最小正周期为，最大值为4【答案】B【解析】分析：首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.点睛：该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.2．【2018年天津卷文】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减C. 在区间上单调递增D. 在区间上单调递减【答案】A【解析】分析：首先确定平移之后的对应函数的解析式，然后逐一考查所给的选项是否符合题意即可.点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．【2018年江苏卷】已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．【答案】【解析】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.详解：由题意可得，所以，因为，所以点睛：函数（A>0,ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间; 由求减区间.2017年高考全景展示1.【2017课标II，文13】函数的最大值为. 【答案】【考点】三角函数有界性【名师点睛】通过配角公式把三角函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用求最值.2.【2017课标II，文3】函数的最小正周期为A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，故选C.【考点】正弦函数周期【名师点睛】函数的性质(1).(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间; 由求减区间;3.【2017天津，文7】设函数，其中.若且的最小正周期大于，则（A）（B）（C）（D）【答案】【解析】试题分析：因为条件给出周期大于，，，再根据，因为，所以当时，成立，故选A. 【考点】三角函数的性质【名师点睛】本题考查了的解析式，和三角函数的图象和性质，本题叙述方式新颖,是一道考查能力的好题，本题可以直接求解，也可代入选项，逐一考查所给选项：当时，，满足题意，，不合题意，B选项错误；，不合题意，C选项错误；，满足题意；当时，，满足题意；，不合题意，D选项错误.本题选择A选项.4.【2017山东，文7】函数最小正周期为A. B. C. D.【答案】C【解析】【考点】三角变换及三角函数的性质【名师点睛】求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为|ω|2π,y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为|ω|π.③对于形如的函数,一般先把其化为的形式再求周期. 5.【2017浙江，18】（本题满分14分）已知函数f （x ）=sin 2x –cos 2x –sin x cos x （x R ）．（Ⅰ）求的值．（Ⅱ）求的最小正周期及单调递增区间．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为，单调递增区间为．【解析】试题分析：（Ⅰ）由函数概念，分别计算可得；（Ⅱ）化简函数关系式得，结合可得周期，利用正弦函数的性质求函数的单调递增区间．【考点】三角函数求值、三角函数的性质【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．2016年高考全景展示1.【2016高考新课标2文数】函数的部分图像如图所示，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】试题分析：由图知，，周期，所以，所以，因为图象过点，所以，所以，所以，令得，，所以，故选A.考点：三角函数图像的性质【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是：先根据函数图像的最高点、最低点确定A，h的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值．2.【2016高考天津文数】已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】考点：解简单三角方程【名师点睛】对于三角函数来说，常常是先化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再利用三角函数的性质求解．三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式．3.【2016高考新课标1文数】若将函数y=2sin (2x+6π)的图像向右平移41个周期后,所得图像对应的函数为（）（A）y=2sin(2x+4π) （B）y=2sin(2x+3π) （C）y=2sin(2x–4π) （D）y=2sin(2x–3π)【答案】D【解析】试题分析：函数的周期为,将函数的图像向右平移个周期即个单位,所得函数为,故选D.考点：三角函数图像的平移【名师点睛】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减“,二是平移多少个单位是对x而言的,不用忘记乘以系数.4.[2016高考新课标Ⅲ文数]函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】【解析】考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角差的正弦函数．【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．5.【2016高考山东文数】（本小题满分12分）设.（I）求得单调递增区间；（II）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的值.【答案】（）的单调递增区间是（或）（）【解析】试题分析：（）化简得由即得写出的单调递增区间（）由平移后得进一步可得（）由（）知把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，再把得到的图象向左平移个单位，得到的图象，即所以考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质；3.三角函数图象的变换.【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质、三角函数图象的变换.此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，利用“左加右减、上加下减”变换原则，得出新的函数解析式并求值.本题较易，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.。

历年全国人教版数学高考真题与模拟题分类汇编 c单元三角函数(2011年) 含答案

图1－2课标理数10.C1 如图1－2，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周．点M ，N 在大圆内所绘出的图形大致是( )图1－3课标理数10.C1 A 【解析】如图1－4，建立直角坐标系，由题意可知，小圆O 1总与大圆O 相内切，且小圆O 1总经过大圆的圆心O.图1－4设某时刻两圆相切于点A ，此时动点M 所处位置为点M ′，则大圆圆弧AM 与小圆圆弧AM ′相等．以切点A 在劣弧MB 上运动为例，记直线OM 与此时小圆O 1的交点为M 1，记∠AOM ＝θ，则∠OM 1O 1＝∠M 1OO 1＝θ，故∠M 1O 1A ＝∠M 1OO 1＋∠OM 1O 1＝2θ.大圆圆弧AM 的长为l 1＝θ〓1＝θ，小圆圆弧AM 1的长为l 2＝2θ〓12＝θ，即l 1＝l 2，∴小圆的两段圆弧AM ′与AM 1的长相等，故点M 1与点M ′重合，即动点M 在线段MO 上运动，同理可知，此时点N 在线段OB 上运动．点A 在其他象限类似可得，M 、N 的轨迹为相互垂直的线段．观察各选项，只有选项A 符合．故选A.课标文数14.C1 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________．课标文数14.C1 －8 【解析】 r ＝x 2＋y 2＝16＋y 2， ∵sin θ＝－255，∴sin θ＝y r ＝y 16＋y2＝－255，解得y ＝－8. 课标理数5.C1，C6 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35 D.45课标理数5.C1，C6 B 【解析】解法1：在角θ终边上任取一点P(a ，2a)(a ≠0)，则r 2＝||OP 2＝a 2＋(2a)2＝5a 2，∴cos 2θ＝a 25a 2＝15，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.解法2：tan θ＝2a a ＝2，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35. 课标文数7.C1，C6 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45课标文数7.C1，C6 B 【解析】解法1：在角θ终边上任取一点P(a ，2a)(a ≠0)，则r 2＝||OP 2＝a 2＋(2a)2＝5a 2，∴cos 2θ＝a 25a 2＝15，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.解法2：tan θ＝2a a ＝2，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.大纲文数14.C2 已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________．大纲文数14.C2 －55【解析】 ∵tan α＝2，∴sin α＝2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝15，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴cos α＝－55.课标文数9.C2，C6 若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( )A.22 B.33C. 2D. 3 课标文数9.C2，C6 D 【解析】因为sin 2α＋cos2α＝sin 2α＋1－2sin 2α＝1－sin 2α＝cos 2α，∴cos 2α＝14，sin 2α＝1－cos 2α＝34，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝12，sin α＝32，tan α＝sin αcos α＝3，故选D.大纲文数12.C2 若cos α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则tan α＝________．大纲文数12.C2 43 【解析】 ∵cos α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴sin α＝－1－cos 2α＝－45，∴tan α＝sin αcos α＝43.。

2016年高考全国3卷文数试题(含答案)解析版

2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(全国卷三）注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的、号填写在答题卡上。

2.答题前，考生务必将自己的、号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则C A B= （A ）{48}，（B ）{026}，，（C ）{02610}，，，（D ）{0246810}，，，，，（2）若43i z =+，则||zz = （A ）1（B ）1-（C ）43+i 55（D ）43i 55- （3）已知向量BA →=（12，32），BC →=（32，12），则∠ABC =（A ）30°（B ）45°（C ）60°（D ）120°（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃。

下面叙述不正确的是（A ）各月的平均最低气温都在0℃以上（B）七月的平均温差比一月的平均温差大（C）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D）平均最高气温高于20℃的月份有5个（5）小敏打开计算机时，忘记了开码的前两位，只记得第一位是M，I,N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（A）815（B）18（C）115（D）130（6）若tanθ=13，则cos2θ=（A）45-（B）15-（C）15（D）45（7）已知4213332,3,25a b c===，则(A)b<a<c (B) a < b <c (C) b <c<a (D) c<a< b（8）执行右面的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n= （A）3（B）4（C）5（D）6（9）在△ABC中，B=1,,sin43BC BC A π=边上的高等于则(A)310(B)1010(C)55(D)31010（10）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A）18365+（B）54185+（C）90（D）81（11）在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1有一个体积为V 的球。

2018版高考复习方案大一轮(全国人教数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编C单元三角函数(文科2016年)Word

数学C 单元三角函数C1 角的概念及任意角的三角函数C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式17．C2 设a ∈R ，b ∈ 由sin(3x －π3)＝sin(3x －π3＋2π)＝sin(3x ＋5π3)，得(a ，b )＝(3，5π3).由sin(3x －π3)＝sin ＝sin(－3x ＋4π3)，得(a ，b )＝(－3，4π3).因为b ∈ 若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－15C.15D.456．D cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－191＋19＝45. 11．C2 sin 750°＝________．11.12 sin 750°＝sin (2×360°＋30°)＝sin 30°＝12. 14．C2，C5 已知θ是第四象限角，且sin θ＋π4＝35，则tan θ－π4＝________．14．－43 方法一：因为θ是第四象限角，且sin(θ＋π4)＝35>0，所以θ＋π4为第一象限角，所以cos(θ＋π4)＝1－sin 2（θ＋π4）＝45，所以tan （θ－π4）＝tan （θ＋π4－π2）＝－cot （θ＋π4）＝－4535＝－43. 方法二：由sin （θ＋π4）＝35，得sin θ＋cos θ＝352，两边分别平方得2sin θcosθ＝－725，所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝3225.因为θ是第四象限角，所以sin θ－cos θ＝－452，所以tan （θ－π4）＝tan θ－11＋tan θ＝sin θ－cos θsin θ＋cos θ＝－452352＝－43. 15．C2、C5、C8 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin 2B ＝3b sin A .(1)求B ；(2)若cos A ＝13，求sin C 的值．15．解：(1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B，可得a sin B ＝b sin A ，又由a sin 2B ＝3b sinA ，得2a sinB cos B ＝3b sin A ＝3a sin B ，所以cos B ＝32，得B ＝π6. (2)由cos A ＝13，可得sin A ＝223，则sin C ＝sin ＝sin(A ＋B )＝sin(A ＋π6)＝32sinA ＋12cos A ＝26＋16. C3 三角函数的图象与性质4．B6，B7，C3 下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( ) A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x4．D 选项A 中函数y ＝11－x ＝－1x －1在区间(－1，1)上是增函数；选项B 中函数y＝cos x 在区间(－1，0)上是增函数，在区间(0，1)上是减函数；选项C 中函数y ＝ln(x ＋1)在区间(－1，1)上是增函数；选项D 中函数y ＝2－x＝(12)x 在区间(－1，1)上是减函数．4．C3 为了得到函数y ＝sin(x ＋π3)的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向上平行移动π3个单位长度D ．向下平行移动π3个单位长度4．A 根据“左加右减”的原则，要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像，只需把y ＝sin x 的图像向左平移π3个单位长度．17．C3、C7 设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图像向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图像，求g （π6）的值．17．解：(1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2＝23sin 2x －(1－2sin x cosx )＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1＝2sin （2x －π3）＋3－1.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间是(k ∈Z )或（k π－π12，k π＋5π12）(k ∈Z )．(2)由(1)知f (x )＝2sin （2x －π3）＋3－1，把y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin （x －π3）＋3－1的图像，再把得到的图像向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图像，即g (x )＝2sin x ＋3－1，所以g （π6）＝2sin π6＋3－1＝ 3.9．C3 定义在区间上的函数y ＝sin 2x 的图像与y ＝cos x 的图像的交点个数是________． 9．7 方法一：令sin 2x ＝cos x ，即2sin x cos x ＝cos x ，解得cos x ＝0或sin x ＝12，即x ＝k π＋π2或x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋56π(k ∈Z )，又x ∈，故x ＝π2，3π2，5π2或x ＝π6，5π6，13π6，17π6，共7个解，故两个函数的图像有7个交点．方法二：在同一个坐标系内画出这两个函数的图像，由图像可得交点有7个．16．C3，C5，C6 已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．16．解：(1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin(2ωx ＋π4)，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.依题意，πω＝π，解得ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝2sin(2x ＋π4).函数y ＝sin x 的单调递增区间为(k ∈Z )，由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为(k ∈Z )．C4 函数的图象与性质3．C4 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像如图11所示，则( )图11A ．y ＝2sin （2x －π6）B ．y ＝2sin （2x －π3）C ．y ＝2sin （x ＋π6）D ．y ＝2sin （x ＋π3）3．A 由图知，A ＝2，最小正周期T ＝π，所以ω＝2ππ＝2，所以y ＝2sin(2x ＋φ)．又因为图像过点（π3，2），所以2sin （2×π3＋φ）＝2，即2π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，当k＝0时，得φ＝－π6，所以y ＝2sin （2x －π6）.6．C4 将函数y ＝2sin(2x ＋π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( )A ．y ＝2sin(2x ＋π4)B ．y ＝2sin(2x ＋π3)C ．y ＝2sin(2x －π4)D ．y ＝2sin(2x －π3)6．D 函数y ＝2sin(2x ＋π6)的周期为2π2＝π，将函数 y ＝2sin(2x ＋π6)的图像向右平移14个周期，即平移π4个单位，所得图像对应的函数为y ＝2sin ＝2sin(2x －π3).14．C4 函数y ＝sin x －3cos x 的图像可由函数y ＝2sin x 的图像至少向右平移________个单位长度得到．14.π3 函数y ＝sin x －3cos x ＝2sin （x －π3）的图像可由函数y ＝2sin x 的图像至少向右平移π3个单位长度得到．11．C4 已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________． 11. 2 1 2cos 2x ＋sin 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin （2x ＋π4）＋1，故A ＝2，b ＝1.5．C4 若函数f (x )＝4sin x ＋a cos x 的最大值为5，则常数a ＝________．5．±3 根据题意得f (x )＝16＋a 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝a4，故函数f (x )的最大值为16＋a 2，则16＋a 2＝5，解得a ＝±3.12．C4，F3 如图11，已知点O (0，0)，A (1，0)，B (0，－1)，P 是曲线y ＝1－x 2上一个动点，则OP →·BA →的取值范围是________．图1112．由题意，设P (cos α，sin α)，α∈，则OP →＝(cos α，sin α)．又BA →＝(1，1)，所以OP →·BA →＝cos α＋sin α＝2sin(α＋π4)∈．C5 两角和与差的正弦、余弦、正切14．C2，C5 已知θ是第四象限角，且sin θ＋π4＝35，则tan θ－π4＝________．14．－43 方法一：因为θ是第四象限角，且sin(θ＋π4)＝35>0，所以θ＋π4为第一象限角，所以cos(θ＋π4)＝1－sin 2（θ＋π4）＝45，所以tan （θ－π4）＝tan （θ＋π4－π2）＝－cot （θ＋π4）＝－4535＝－43.方法二：由sin （θ＋π4）＝35，得sin θ＋cos θ＝352，两边分别平方得2sin θcosθ＝－725，所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝3225.因为θ是第四象限角，所以sin θ－cos θ＝－452，所以tan （θ－π4）＝tan θ－11＋tan θ＝sin θ－cos θsin θ＋cos θ＝－452352＝－43. 15．C2、C5、C8 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin 2B ＝3b sin A .(1)求B ；(2)若cos A ＝13，求sin C 的值．15．解：(1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B，可得a sin B ＝b sin A ，又由a sin 2B ＝3b sinA ，得2a sinB cos B ＝3b sin A ＝3a sin B ，所以cos B ＝32，得B ＝π6. (2)由cos A ＝13，可得sin A ＝223，则sin C ＝sin ＝sin(A ＋B )＝sin(A ＋π6)＝32sinA ＋12cos A ＝26＋16. 15．C8、C5 在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长； (2)求cos A －π6的值．15．解：(1)因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－452＝35，由正弦定理知AC sin B ＝AB sin C ，所以AB ＝AC ·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )，于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos(B ＋π4)＝－cos B cos π4＋sin B sin π4，又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210，因此cos(A －π6)＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620.16．C3，C5，C6 已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．16．解：(1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin(2ωx ＋π4)，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.依题意，πω＝π，解得ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝2sin(2x ＋π4).函数y ＝sin x 的单调递增区间为(k ∈Z )，由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为(k ∈Z )． C6 二倍角公式12．B12，C6，E3 若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．12．C 方法一：对函数f (x )求导得f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x＋53，因为函数f (x )在R 上单调递增，所以f ′(x )≥0，即－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0恒成立．设t ＝cos x ∈，则g (t )＝4t 2－3at －5≤0在上恒成立，所以有⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）＝4×（－1）2－3a ×（－1）－5≤0，g （1）＝4×12－3a ×1－5≤0，解得－13≤a ≤13.方法二：取a ＝－1，则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ，f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ，但f ′(0)＝1－23－1＝－23<0，不满足f (x )在(－∞，＋∞)单调递增，排除A ，B ，D ，故选C.6．C2、C6 若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－15C.15D.456．D cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－191＋19＝45. 11．C6 函数f (x )＝cos 2x ＋6cos π2－x 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．711．B 由已知得f (x )＝－2sin x －322＋112，而sin x ∈，所以当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5.8．C6，C7 方程3sin x ＝1＋cos 2x 在区间上的解为________． 8.π6或5π6化简3sin x ＝1＋cos 2x 得3sin x ＝2－2sin 2x ，所以2sin 2x ＋3sin x －2＝0，解得sin x ＝12或sin x ＝－2(舍去)，所以原方程在区间上的解为π6或5π6.16．C3，C5，C6 已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．16．解：(1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin(2ωx ＋π4)，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.依题意，πω＝π，解得ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝2sin(2x ＋π4).函数y ＝sin x 的单调递增区间为(k ∈Z )，由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为(k ∈Z )． C7 三角函数的求值、化简与证明8．C6，C7 方程3sin x ＝1＋cos 2x 在区间上的解为________． 8.π6或5π6化简3sin x ＝1＋cos 2x 得3sin x ＝2－2sin 2x ，所以2sin 2x ＋3sin x －2＝0，解得sin x ＝12或sin x ＝－2(舍去)，所以原方程在区间上的解为π6或5π6.17．C3、C7 设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图像向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图像，求g （π6）的值．17．解：(1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2＝23sin 2x －(1－2sin x cosx )＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1＝2sin （2x －π3）＋3－1.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间是(k ∈Z )或（k π－π12，k π＋5π12）(k ∈Z )．(2)由(1)知f (x )＝2sin （2x －π3）＋3－1，把y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin （x －π3）＋3－1的图像，再把得到的图像向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图像，即g (x )＝2sin x ＋3－1，所以g （π6）＝2sin π6＋3－1＝ 3.C8 解三角形8．C8 △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( )A.3π4B.π3C.π4 D.π68．C ∵b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，∴2b 2sin A ＝b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ＝2b 2cos A ，∴tan A ＝1，即A ＝π4.4．C8 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( )A. 2B. 3 C ．2 D ．34．D 由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×23，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D.9．C8 在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝( )A.310B.1010 C.55 D.310109．D 作AD ⊥BC 交BC 于点D ，设BC ＝3，则有AD ＝BD ＝1，AB ＝2，由余弦定理得AC ＝ 5.由正弦定理得5sinπ4＝3sin A ，解得sin A ＝3×225＝31010.14．C8、E6 在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________．14．8 方法一：∵sin A ＝2sin B sin C ，sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sinC ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，两边同除以cos B cos C ，可得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ， tan A tan B tan C ＝－tan(B ＋C )tan B tan C ＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C·tan B tan C ＝2（tan B tan C ）2tan B tan C －1，由三角形为锐角三角形得tan B >0，tan C >0，tan A ＝tan B ＋tan Ctan B tan C －1>0，即tan B tan C－1>0.令tan B tan C －1＝t (t >0)，则tan A tan B tan C ＝2（t ＋1）2t ＝2t ＋1t＋2≥8，当t ＝1，即tan B tan C ＝2时取等号．方法二：同方法一可得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，又tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋(1－tan B tan C )·tan(B ＋C )＝tan A －tan A ＋tanA tanB tanC ＝tan A tan B tan C ，所以tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋2tan B tan C ≥22tan A tan B tan C ⇒tan A tan B tan C ≥8，当且仅当tan A ＝2tan B tan C ＝4时取等号．10．C8 已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于________． 10.733 利用余弦定理可求得最大边7所对角的余弦值为32＋52－722×3×5＝－12，所以此角的正弦值为32.设三角形外接圆的半径为R ，由正弦定理得2R ＝732，所以R ＝733. 15．C8 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________．15.2113 因为cos A ＝45，cos C ＝513，且A ，C 为三角形的内角，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365.又因为a sin A ＝bsin B，所以b ＝a sin B sin A ＝2113.13．C8 在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则bc＝________． 13．1 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得，3c 2＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3，整理得(b c )2＋bc －2＝0，解得b c ＝1或b c＝－2(舍去)．15．C2、C5、C8 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin 2B ＝3b sin A .(1)求B ；(2)若cos A ＝13，求sin C 的值．15．解：(1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B，可得a sin B ＝b sin A ，又由a sin 2B ＝3b sinA ，得2a sinB cos B ＝3b sin A ＝3a sin B ，所以cos B ＝32，得B ＝π6. (2)由cos A ＝13，可得sin A ＝223，则sin C ＝sin ＝sin(A ＋B )＝sin(A ＋π6)＝32sinA ＋12cos A ＝26＋16. 16．E5 某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润． 16．C8 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；(2)若cos B ＝23，求cos C 的值．16．解：(1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .(2)由cos B ＝23得sin B ＝53，cos 2B ＝2cos 2B －1＝－19，故cos A ＝－19，sin A ＝459，cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝2227.15．C8、C5 在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长； (2)求cos A －π6的值．15．解：(1)因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－452＝35，由正弦定理知AC sin B ＝AB sin C ，所以AB ＝AC ·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )，于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos(B ＋π4)＝－cos B cos π4＋sin B sin π4，又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210，因此cos(A －π6)＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620.14．C8、E6 在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________．14．8 方法一：∵sin A ＝2sin B sin C ，sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sinC ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，两边同除以cos B cos C ，可得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ， tan A tan B tan C ＝－tan(B ＋C )tan B tan C ＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C·tan B tan C ＝2（tan B tan C ）2tan B tan C －1，由三角形为锐角三角形得tan B >0，tan C >0，tan A ＝tan B ＋tan Ctan B tan C －1>0，即tan B tan C－1>0.令tan B tan C －1＝t (t >0)，则tan A tan B tan C ＝2（t ＋1）2t ＝2t ＋1t＋2≥8，当t ＝1，即tan B tan C ＝2时取等号．方法二：同方法一可得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，又tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋(1－tan B tan C )·tan(B ＋C )＝tan A －tan A ＋tanA tanB tanC ＝tan A tan B tan C ，所以tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋2tan B tan C ≥22tan A tan B tan C ⇒tan A tan B tan C ≥8，当且仅当tan A ＝2tan B tan C ＝4时取等号． C9 单元综合8．C9 已知函数f (x )＝sin2ωx 2＋12sin ωx －12(ω>0)，x ∈R .若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )A ．(0，18]B ．(0，14]∪[58，1)C ．(0，58 ]D ．(0，18]∪[14，58]8．D f (x )＝sin 2ωx 2＋12sin ωx －12＝1－cos ωx 2＋12sin ωx －12＝12sin ωx －12cos ωx＝22sin(ωx －π4). 因为函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点，所以T 2>2π－π，即πω>π，所以0<ω<1.当x ∈(π，2π)时，ωx －π4∈⎝⎛⎭⎪⎫ωπ－π4，2ωπ－π4.若函数f (x )在区间(π，2π)内有零点，则ωπ－π4<k π<2ωπ－π4(k ∈Z )，即k 2＋18<ω<k ＋14(k ∈Z )．当k ＝0时，18<ω<14；当k ＝1时，58<ω<54.所以函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点时，0<ω≤18或14≤ω≤58.18．C9 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc.(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .18．解：(1)证明：根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin Ck sin C，变形可得 sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，所以sin A sin B ＝sin C .(2)由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)知，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ，故tan B ＝sin B cos B＝4.1. sin 18°·sin 78°－cos 162°·cos 78°＝( ) A. －32 B. －12 C. 32 D. 121. D sin 18°·sin 78°－cos 162°·cos 78°＝sin 18°·sin 78°＋cos 18°·cos 78°＝cos ()78°－18°＝cos 60°＝12.1. 要得到函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像，只需将函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像( )A. 向左平移π2个单位长度B. 向右平移π2个单位长度C. 向左平移π4个单位长度D. 向右平移π4个单位长度1. C 易知f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，故把g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向左平移π4个单位长度，就可得到f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像．1. f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＋cos 2x 的振幅和最小正周期分别是( )A. 3，π2 B. 3，πC. 2，π2D. 2，π1. B f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＋cos 2x ＝12cos 2x －32sin 2x ＋cos 2x ＝32cos 2x －32sin 2x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，故振幅A ＝3，最小正周期T ＝2π2＝π.。

高考全国卷三角函数、解三角形真题汇编（文科）

2013-2017 高考全国卷三角函数、解三角形真题汇编（文科）学校：姓名：班级：考号：评卷人评卷人得分得分一、选择题 1. [2017·全国新课标卷I(文)]函数y =sin2x 1-cosx 的部分图象大致为的部分图象大致为( ) A. B. C.D. 2. [2017·全国新课标卷I(文)]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知sin B +sin A (sin C -cos C )=0,a =2,c =√2,则C = ( )A. π12B. π6C. π4D. π3 3. [2017·全国新课标卷II(文)]函数f (x )=sin (2x +π3)的最小正周期为 ( ) A. 4π B. 2π C. π D. π24. [2017·全国新课标卷III (文)]已知sin α-cos α=43,则sin 2α= ( )A. -79B. -29C. 29D. 79 5. [2017·全国新课标卷III (文)]函数f (x )=15sin (x +π3)+cos (x (x--π6)的最大值为的最大值为 ( ) A. 65 B. 1 C. 35 D. 15 6. [2017·全国新课标卷III (文)]函数y=1+x+sinx x 2的部分图象大致为的部分图象大致为 ( )A. B.C. D.7. [2016·高考全国新课标卷Ⅰ(文),4]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知a =√5,c =2,cos A =23,则b = ( ) A. √2 B. √3C. 2D. 3 8. [2016·高考全国新课标卷Ⅰ(文),6]将函数y =2sin (2x +π6)的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为象对应的函数为 ( ) A. y =2sin (2x +π4) B. y =2sin (2x +π3) C. y =2sin (2x (2x--π4) D. y =2sin (2x (2x--π3) 9. [2016·高考全国新课标卷Ⅰ(文),12]若函数f (x )=x -13sin 2x +a sin x 在(-∞,+∞)单调递增,则a 的取值范围是的取值范围是 ( ) A. [-1,1] B. [-1,13] C. [-13,13] D. [-1,1,--13] 10. [2016·高考全国新课标卷Ⅱ(文),3]函数y =A sin(ωx +φ)的部分图象如图所示,则 ( ) A. y =2sin (2x (2x--π6) B. y =2sin (2x (2x--π3) C. y =2sin (x +π6) D. y =2sin (x +π3)11. [2016·高考全国新课标卷Ⅱ(文),11]函数f (x )=cos2x +6cos (π2-x)的最大值为( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 12. [2016·高考全国新课标卷Ⅲ(文),6]若tan θ=-13,则cos 2θ= ( )A. -45B. -15C. 15 D. 45 13. [2016·高考全国新课标卷Ⅲ(文),9]在△ABC 中,B =π4,BC 边上的高等于13BC ,则sin A = ( ) A. 310 B. √1010 C. √55 D. 3√101014. [2015·高考全国新课标卷Ⅰ(文),8]函数f (x )=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f (x )的单调递减区间为( )A. (kπ(kπ--14,kπ+34),k ∈Z B. (2kπ(2kπ--14,2kπ+34),k ∈Z C. (k (k--14,k +34),k ∈Z D. (2k (2k--14,2k +34),k ∈Z 15. [2014﹒高考全国新课标卷Ⅰ(文)，7]在函数①y ＝cos|2x |,②y ＝|cos x |,③y ＝cos(2x ＋π6),④y ＝tan(2x －π4)中,最小正周期为π的所有函数为( )A. ②④B. ①③④C. ①②③D. ①③16. [2013·高考全国新课标卷I(文),9]函数f (x )=(1-cos x )sin x 在[-π,π]的图象大致为( )A. B.C. D. 17. [2013·高考全国新课标卷I(文),10]已知锐角△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,23cos 2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b=( )A. 10B. 9C. 8D. 518. [2013·高考全国新课标卷II(文),4]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b=2,B=π6,C=π4,则△ABC 的面积为( )A. 2√3+2B. √3+1C. 2√3-2D. √3-1 19. [2013·高考全国新课标卷II(文),6]已知sin2α=23,则cos 2(α+π4)=( ) A. 16 B. 13 C. 12 D. 23 评卷人评卷人得分得分二、填空题20. [2017·全国新课标卷I(文)]已知α∈(0,π2),tan α=2,则cos (α(α--π4)= . 21. [2017·全国新课标卷II(文)]函数f (x )=2cos x+sin x 的最大值为 .22. [2017·全国新课标卷II(文)]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若2b cos B=a cos C+c cos A ,则B= .23. [2017·全国新课标卷III (文)]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知C=60°60°,,b=√6,c=3,则A= .24.[2016·高考全国新课标卷Ⅰ(文),14]已知θ是第四象限角,且sin (θ+π4)=35,则tan (θ(θ--π4)= 25. [2016·高考全国新课标卷Ⅱ(文),15]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos A =45,cos C =513,a =1,则b = . 26. [2016·高考全国新课标卷Ⅲ(文),14]函数y =sin x -√3cos x 的图象可由函数y =2sin x 的图象至少向右平移个单位长度得到.27. [2014﹒高考全国新课标卷Ⅰ(文)，16]如图,为测量山高MN ,选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°60°,,C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°60°..已知山高BC ＝100 m,则山高MN ＝________m.28. [2014﹒高考全国新课标Ⅱ(文)，14]函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________. 29. [2013·高考全国新课标卷I(文),16]设当x=θ时,函数f (x )=sin x-2cos x 取得最大值,则cos θ= .30. [2013·高考全国新课标卷II(文),16]函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后,与函数y=sin(2x+π3)的图象重合,则φ= .。

三角函数--2024年数学高考真题和模拟好题分类汇编(解析版)

专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tanαtanβ=2，则cos(α-β)=()A.-3mB.-m3C.m3D.3m【答案】A【分析】根据两角和的余弦可求cosαcosβ,sinαsinβ的关系，结合tanαtanβ的值可求前者，故可求cosα-β的值.【详解】因为cosα+β=m，所以cosαcosβ-sinαsinβ=m，而tanαtanβ=2，所以=12×2b×kb×sin A2+12×kb×b×sin A2，故cosαcosβ-2cosαcosβ=m即cosαcosβ=-m，从而sinαsinβ=-2m，故cosα-β=-3m，故选：A.2(新课标全国Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时，曲线y=sin x与y=2sin3x-π6的交点个数为() A.3 B.4 C.6 D.8【答案】C【分析】画出两函数在0,2π上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数y=sin x的的最小正周期为T=2π，函数y=2sin3x-π6的最小正周期为T=2π3，所以在x∈0,2π上函数y=2sin3x-π6有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C3(新课标全国Ⅱ卷)设函数f(x)=a(x+1)2-1，g(x)=cos x+2ax，当x∈(-1,1)时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a=()A.-1B.12C.1D.2【分析】解法一：令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，分析可知曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得a =2，并代入检验即可；解法二：令h x =f (x )-g x ,x ∈-1,1 ，可知h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即可得a =2，并代入检验即可.【详解】解法一：令f (x )=g x ，即a (x +1)2-1=cos x +2ax ，可得ax 2+a -1=cos x ，令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，原题意等价于当x ∈(-1,1)时，曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得F 0 =G 0 ，即a -1=1，解得a =2，若a =2，令F x =G x ，可得2x 2+1-cos x =0因为x ∈-1,1 ，则2x 2≥0,1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，可得2x 2+1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，则方程2x 2+1-cos x =0有且仅有一个实根0，即曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，所以a =2符合题意；综上所述：a =2.解法二：令h x =f (x )-g x =ax 2+a -1-cos x ,x ∈-1,1 ，原题意等价于h x 有且仅有一个零点，因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ，则h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即h 0 =a -2=0，解得a =2，若a =2，则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ，又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，可得h x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，即h x 有且仅有一个零点0，所以a =2符合题意；故选：D .4(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1 B.23-1C.32D.1-3【答案】B【分析】先将cos αcos α-sin α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos αcos α-sin α=3，所以11-tan α=3，⇒tan α=1-33，所以tan α+π4 =tan α+11-tan α=23-1，故选：B .5(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：x 1为f x 的最小值点，x 2为f x 的最大值点，则x 1-x 2 min =T 2=π2，即T =π，且ω>0，所以ω=2πT=2.故选：B .6(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3 ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.32【答案】A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得f x =-sin2x ，再整体求出x ∈-π12,π6时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】f x =sin3ωx +π3 =sin 3ωx +π =-sin3ωx ，由T =2π3ω=π得ω=23，即f x =-sin2x ，当x ∈-π12,π6 时，2x ∈-π6,π3，画出f x =-sin2x 图象，如下图，由图可知，f x =-sin2x 在-π12,π6上递减，所以，当x =π6时，f x min =-sin π3=-32故选：A7(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【详解】对A ，sin x +cos x =2sin x +π4，周期T =2π，故A 正确；对B ，sin x cos x =12sin2x ，周期T =2π2=π，故B 错误；对于选项C ，sin 2x +cos 2x =1，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，sin 2x -cos 2x =-cos2x ，周期T =2π2=π，故D 错误，故选：A ．8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x-π4，下列说法正确的有() A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x=kπ2,k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)=sin2x-π4=0，解得x=kπ2+π8,k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为2π2=π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+π2⇔x=kπ2+π4,k∈Z，g(x)的对称轴满足2x-π4=kπ+π2⇔x=kπ2+3π8,k∈Z，显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)=.【答案】-22 3【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tanα+β=-22，再缩小α+β的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ=41-2+1=-22，因为α∈2kπ,2kπ+π2,β∈2mπ+π,2mπ+3π2，k,m∈Z，则α+β∈2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，又因为tanα+β=-22<0，则α+β∈2m+2kπ+3π2,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，则sinα+β<0，则sinα+βcosα+β=-22，联立sin2α+β+cos2α+β=1，解得sinα+β=-223.法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0,cosβ<0,cosα=cosαsin2α+cos2α=11+tan2α，cosβ=cosβsin2β+cos2β=-11+tan2β，则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)=4cosαcosβ=-41+tan2α1+tan2β=-4(tanα+tanβ)2+(tanαtanβ-1)2=-442+2=-223故答案为：-22 3.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x-3cos x在0,π上的最大值是．【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】f x =sin x -3cos x =2sin x -π3 ，当x ∈0,π 时，x -π3∈-π3,2π3，当x -π3=π2时，即x =5π6时，f x max =2.故答案为：2一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.2【答案】A【分析】由题意可知：tan θ=2，根据倍角公式结合齐次化问题分析求解.【详解】由题意可知：tan θ=2，所以7cos 2θ-2sin2θ=7cos 2θ-4sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=7-4tan θtan 2θ+1=7-4×222+1=-15.故选：A .2(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.78【答案】D【分析】根据给定条件，求出tan α，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解.【详解】由cos α+π =-2sin α，得cos α=2sin α，则tan α=12，所以sin 2α-3cos α+π2 cos αcos2α+1=sin 2α+3sin αcos α2cos 2α=12tan 2α+32tan α=18+34=78.故选：D3(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】根据函数的奇偶性判断即可.【详解】设g x =1-e x1+e x，则g-x=1-e-x1+e-x=e x-11+e x=-g x ，所以g x 为奇函数，设h x =cos2x，可知h x 为偶函数，所以f x =1-e x1+e xcos2x为奇函数，则B，C错误，易知f0 =0，所以A正确，D错误．故选：A.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f(x)=(3sin x+cos x)cos x-12，若f(x)在区间-π4,m上的值域为-3 2,1，则实数m的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π12【答案】D【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x)，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数f(x)=3sin x cos x+cos2x-12=32sin2x+12cos2x=sin2x+π6，当x∈-π4,m时，2x+π6∈-π3,2m+π6，显然sin-π3=sin4π3=-32,sinπ2=1，且正弦函数y=sin x在π2,4π3上单调递减，由f(x)在区间-π4,m上的值域为-32,1，得π2≤2m+π6≤4π3，解得π6≤m≤7π12，所以实数m的取值范围是π6,7π12.故选：D5(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cosωx x∈R在0,π内恰有两个对称中心，fπ=1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若fα +gα =35，则cos4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-1925【答案】A【分析】根据y轴右边第二个对称中心在0,π内，第三个对称中心不在0,π内可求得32≤ω<52，结合fπ=1可得ω=2，再利用平移变换求出g x ，根据三角变换化简fα +gα =35可得sin2α+π6=35，然后由二倍角公式可解.【详解】由x∈0,π得ωx∈0,ωπ，因为函数f x 在0,π内恰有两个对称中心，所以3π2≤ωπ5π2>ωπ，解得32≤ω<52，又fπ=cosωπ=1，所以ωπ=kπ,k∈Z，即ω=k,k∈Z，所以ω=2，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数y=cos2x-π3=cos2x-2π3，即g x =cos2x-2π3，因为fα +gα =cos2α+cos2α-2π3=32sin2α+12cos2α=sin2α+π6=35，所以cos4α+π3=1-2sin22α+π6=1-2×35 2=725.故选：A6(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f(x)=sin2ωx+cos2ωx(ω>1)的一个零点是π2，且f(x)在-π6,π16上单调，则ω=()A.54B.74C.94D.114【答案】B【分析】整理可得f(x)=2sin2ωx+π4，以2ωx+π4为整体，根据单调性分析可得1<ω≤2，再结合零点分析求解.【详解】因为f(x)=sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+π4，x∈-π6,π16，且ω>1时，可得2ωx+π4∈-π3ω+π4,π8ω+π4，且-π3ω+π4<0<π8ω+π4，若f(x)在-π6,π16上单调，则-π3ω+π4≥-π2π8ω+π4≤π2，解得1<ω≤2，又因为f(x)的一个零点是π2，则πω+π4=kπ,k∈Z，解得ω=k-14,k∈Z，所以k=2,ω=7 4 .故选：B.7(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin2x+φϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称【答案】D【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.【详解】由题意可得2×π6+φ=kπk∈Z，解得φ=-π3+kπk∈Z，又ϕ <π2，故φ=-π3，即f x =sin2x-π3；对A：当x∈-π8 ,π3时，2x-π3∈-7π12,π3，由函数y=sin x在-7π12,π3上不为单调递增，故f x 在区间-π8 ,π3上不为单调递增，故A错误；对B：当x=5π6时，2x-π3=4π3，由x=4π3不是函数y=sin x的对称轴，故x=5π6不是f x 图象的对称轴，故B错误；对C：当x∈-π6 ,π4时，2x-π3∈-2π3,π6，则f x ∈-1,1 2，故C错误；对D：将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，可得y=sin2x+2×5π12-π3=sin2x+π2=cos2x，该函数关于y轴对称，故D正确.故选：D.8(2024·广东广州·二模)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f(x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π2【答案】A【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出ω和φ，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.【详解】由fπ4=1，得sinπ4ω+φ=22，又点π4,1及附近点从左到右是上升的，则π4ω+φ=π4+2kπ,k∈Z，由f5π8=0，点5π8,0及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得5π8ω+φ=π+2kπ,k∈Z，联立解得ω=2，φ=-π4+2kπ,k∈Z，而|φ|<π2，于是φ=-π4，f(x)=2sin2x-π4，若将函数f(x)的图像向右平移θ(θ>0)个单位后，得到y=sin2x-2θ-π4，则-2θ-π4=π2-kπ,k∈Z，而θ>0，因此θ=-3π8+kπ2,k∈N，所以当k=1时，θ取得最小值为π8 .故选：A9(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sin ωx +3cos ωx (ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y =f x -2log πx 有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y =f x +φ 为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y =f x 在0,π3 上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y =f x 在0,π 上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256.A.1 B.2C.3D.4【答案】B【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由极大值的意义结合正弦函数的性质判断④.【详解】依题意，ω>0，函数f (x )=212sin ωx +32cos ωx =2sin ωx +π3，对于①：f (x )=2sin 2x +π3，令y =f x -2log πx =0，即f x =2log πx ，作出函数y =f (x )和函数y =2log πx 的图象，如图，观察图象知，两个函数在0,7π12 上只有一个零点，f 13π12 =2sin 5π2=2，当x =13π12时，y =2log π13π12=2log π1312+2log ππ=2+2log π1312>2，当x >13π12时，2log πx >2≥f (x )，因此函数y =f x 与函数y =2log πx 的图象有且只有一个交点，①正确；对于②：f (x +φ)=2sin 2x +2φ+π3 为奇函数，则2φ+π3=k π,k ∈Z ，φ=-π6+k π2,k ∈Z ，即正数φ的最小值为π3，②正确；对于③：当x ∈0,π3 时，ωx +π3∈π3,π(ω+1)3，由y =f x 在0,π3 上单调递增，得π(ω+1)3≤π2ω>0，解得0<ω≤12，正数ω有最大值12，③错误；对于④：当x ∈(0,π)时，ωx +π3∈π3,ωπ+π3，而y =f x 在(0,π)上恰有两个极值点，由正弦函数的性质得3π2<ωπ+π3≤5π2，解得76<ω≤136，因此ω的取值范围是76,136，④错误.综上，共2个正确，故选：B .10(2024·河北保定·二模)已知tan α=3cos αsin α+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-79【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出sin α，再结合二倍角公式即可求解.【详解】因为sin αcos α=3cos αsin α+11，所以4sin 2α+11sin α-3=0，解得sin α=14或sin α=-3(舍去)，所以cos2α=1-2sin 2α=78．故选：B .11(2024·河北衡水·三模)已知sin (3α-β)=m sin (α-β)，tan (2α-β)=n tan α，则m ，n 的关系为()A.m =2nB.n =m +1mC.n =m m -1D.n =m +1m -1【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解.【详解】依题意，sin (3α-β)=sin [(2α-β)+α]=sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α，sin (α-β)=sin [(2α-β)-α]=sin (2α-β)cos α-cos (2α-β)sin α，则sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α=m sin (2α-β)cos α-m cos (2α-β)sin α，即sin (2α-β)cos αcos (2α-β)sin α=m +1m -1，即tan (2α-β)tan α=m +1m -1=n .故选：D12(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin 2α2+sin α的值是()A.25B.45C.65D.85【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角之间的转化，进行求解判断选项【详解】当tan α2=2，则sin 2α2+sin α=sin 2α2+2sin α2cos α2sin 2α2+cos 2α2=tan 2α2+2tan α2tan 2α2+1=22+2×222+1=85故选：D13(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sin α+β =2cos α+β ，sin αsin β-3cos αcos β=0，则tan α-β =()A.-1 B.-32C.-12D.12【答案】C【分析】找出tan α和tan β的关系，求出tan α和tan β即可求解.【详解】∵sin αsin β-3cos αcos β=0，∴sin αsin β=3cos αcos β，∴tan αtan β=3①，∵sin α+β =2cos α+β ，∴tan α+β =2⇒tan α+tan β1-tan αtan β=2⇒tan α+tan β1-3=2，∴tan α+tan β=-4②，由①②解得tan α=-1tan β=-3或tan α=-3tan β=-1 ，∵0<α<β<π，∴tan α<tan β，∴tan α=-3tan β=-1 ，∴tan α-β =tan α-tan β1+tan αtan β=-12.故选：C .二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-308【答案】ACD【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A ；代入验证可判断B ；根据平移变化求g (x )，由奇偶性可求出φ，可判断C ；根据已知化简可得sin α-π12 =14，将目标式化为2sin α-π12 -π6 ，由和差角公式求解可判断D .【详解】对于A ，因为f (x )=31+cos2x +sin2x =2sin 2x +π3+3，所以f (x )的最小值周期T =2π2=π，所以2π是函数f (x )的一个周期，A 正确；对于B ，因为f π3 =2sin 2×π3+π3 +3=3，所以，点π3,0 不是函数f (x )的对称中心，B 错误；对于C ，由题知，g x =f (x -φ)=2sin 2(x -φ)+π3 +3=2sin 2x +π3-2φ +3，若函数g (x )为偶函数，则π3-2φ=π2+k π,k ∈Z ，得φ=-π12-k π2,k ∈Z ，因为φ>0，所以φ的最小值为5π12，C 正确；对于D ，若f 12α-5π24-3=2sin 212α-5π24 +π3 =2sin α-π12 =12，则sin α-π12 =14，因为α为锐角，-π12<α-π12<5π12，所以cos α-π12 =154，所以sin α-cos α=2sin α-π4 =2sin α-π12 -π6=232sin α-π12 -12cos α-π12=232×14-12×154=6-308，D 正确.故选：ACD 15(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增【答案】AC【分析】首先化简函数f x =12sin2x ，再根据函数的性质判断各选项.【详解】f x =sin x ⋅cos x =12sin2x ，函数的定义域为R ，对A ，f -x =-12sin2x =-f x ，所以函数f x 是奇函数，故A 正确；对B ，函数f x 的最小正周期为2π2=π，故B 错误；对C ，函数f x 的最小值为-12，故C 正确；对D ，x ∈0,π2 ，2x ∈0,π ，函数f x 不单调，f x 在0,π4 上单调递增，在π4,π2上单调递减，故D 错误.故选：AC16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增【答案】AC【分析】对于A ，直接用偶函数的定义即可验证；对于B ，直接说明f 0 ≠f π 即可否定；对于C ，先证明-3≤f x ≤2，再说明对-3≤u ≤2总有f x =u 有解即可验证；对于D ，直接说明f -5π6>f -2π3 即可否定.【详解】对于A ，由于f x 的定义域为R ，且f -x =sin -x -3cos -x =-sin x -3cos x =sin x -3cos x =f x ，故f x 是偶函数，A 正确；对于B ，由于f 0 =sin0 -3cos0=-3，f π =sinπ -3cosπ=3，故f 0 ≠f π ，这说明π不是f x 的周期，B 错误；对于C ，由于f x =sin x -3cos x ≤sin x +3cos x =sin x +3cos x 2≤sin x +3cos x 2+3sin x -cos x 2=sin 2x +3cos 2x +23sin x cos x +3sin 2x +cos 2x -23sin x cos x =4sin 2x +4cos 2x =4=2，且f x =sin x -3cos x ≥-3cos x ≥-3，故-3≤f x ≤2.而对-3≤u ≤2，有f 0 =-3≤u ，f 5π6 =2≥u ，故由零点存在定理知一定存在x ∈0,5π6使得f x =u .所以f x 的值域为-3,2 ，C 正确；对于D ，由于-π<-5π6<-2π3<-π2，f -5π6 =2>3=f -2π3 ，故f x 在-π,-π2上并不是单调递增的，D 错误.故选：AC .17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增【答案】BCD【分析】根据正弦函数的对称性求解φ判断A ，先求出h x =sin 2x -π3，然后利用正弦函数的对称性求解判断B ，根据对称函数的性质判断C ，结合正弦函数的单调性代入验证判断D .【详解】由题意得2×π12+φ=π2+k π，k ∈Z ，解得φ=π3+k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ=π3，A 错误；由φ=π3可知f x =sin 2x +π3，则h x =sin2x -sin 2x +π3 =12sin2x -32cos2x =sin 2x -π3，令2x -π3=k π，k ∈Z ，解得x =π6+k π2，k ∈Z ，令k =0，得x =π6，所以点π6,0 是曲线y =h x 的对称中心，B 正确；因为f π2-x =sin 2π2-x +π3 =sin 4π3-2x =sin 2x -π3=h x ，所以f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称，C 正确；当x ∈π6,5π12 时，2x -π3∈0,π2 ，故h x 在区间π6,5π12内单调递增，D 正确.故选：BCD 18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-12【答案】ACD【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出f x =sin 2x +π6，可得A 正确，B 错误；由诱导公式可得C 正确；整体代入由正弦函数的值域可得D 正确.【详解】由题意得f x =sin 2ω+φ ，由图象可得f 0 =12⇒sin φ=12，又0<φ<π2，所以φ=π6，由五点法可得ω×4π3+π6=3π2⇒ω=1，所以f x =sin 2x +π6 .A ：由以上解析可得φ=π6，故A 正确；B ：由以上解析可得ω=1，故B 错误；C ：f x +π6 =sin 2x +π6 +π6=cos2x ，故C 正确；D ：当x ∈0,π2 ⇒2x +π6∈π6,7π6 时，sin 2x +π6 ∈-12,1，所以最小值为-12，故D 正确；故选：ACD .19(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限【答案】ACD【分析】根据三角函数的定义，可求角α的三角函数，结合诱导公式判断A 的真假；利用二倍角公式，求出2α的三角函数值，结合三角函数的概念指出角2α的终边与单位圆的交点，由对称性确定角β终边与单位圆交点，从而判断BCD 的真假.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P -3,4 ，所以：OP =5，所以sin α=45，cos α=-35，所以cos π+α =-cos α=35，故A 对；又sin2α=2sin α⋅cos α=2×45×-35 =-2425，cos2α=cos 2α-sin 2α=-35 2-45 2=-725，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为：-725,-2425 ，因为角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，所以角β的终边与单位圆的交点为2425,725，所以tan β=724，且β的终边在第一象限，故CD 正确；又因为终边在直线y =-x 的角为：k π-π4,k ∈Z ，角2α的终边与角β的终边关于y =-x 对称，所以2α+β2=k π-π4⇒β=2k π-π2-2αk ∈Z ，故B 错误.故选：ACD20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数 D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点【答案】ABD【分析】对于A ：计算h x +2π ，化简即可；对于B ：求出h x ，然后计算h 0 h π2的正负即可；对于C ：计算h x ,h -x 是否恒相等即可；对于D ：令f x =0g x =0，求解x 即可.【详解】对于A ，∀x ∈R ，h x +2π =λf x +2π +μg x +2π =λf x +μg x =h x ，A 正确；对于B ，h x =λcos x -2sin2x +μ2cos2x -sin x ，则h 0 =λ+2μ，h π2=-3μ，因为λμ>0，即λ，μ同号，所以h 0 h π2<0，由零点存在定理知h x 在0,π2上总有零点，故B 正确；对于C ，h x =λsin x +λcos2x +μsin2x +μcos x ，h -x =-λsin x +λcos2x -μsin2x +μcos x ，由h x =h -x 得2λsin x +2μsin2x =2λsin x +2μ⋅2sin x cos x =2sin x λ+2μcos x =0对x ∈R 恒成立，则λ=μ=0与题意不符，故C 错误；对于D ，令f x =0g x =0 ，则sin x +cos2x =1-2sin 2x +sin x =-sin x -1 2sin x +1 =0sin2x +cos x =cos x 2sin x +1 =0 ⇒sin x =1或sin x =-12cos x =0或sin x =-12，即x ∈-π6+2k π,π2+2k π,7π6+2k π ，k ∈Z ，故所有定点坐标为-π6+2k π,0 ，π2+2k π,0 ，7π6+2k π,0 ，k ∈Z ，又因为x ∈0,2π ，所以函数h x 的图象过定点π2,0 ，7π6,0 ，11π6,0 ，故D 正确；故选：ABD ．21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为12【答案】ABD【分析】根据题意，求得g x =-12cos2x 的图象，结合三角函数的图象与性质，以及两角差的正弦公式，逐项判定，即可求解.【详解】将函数f x =12cos 2x -π3 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x =12cos 2x -π =-12cos2x 的图象，对于A 中，令x =π6，求得f x =12，即为函数y =f x 最大值，所以直线x =π6是函数f x 图象的一条对称轴，所以A 正确；对于B 中，令2k π≤2x -π3≤2k π+π,k ∈Z ，解得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z ，可得f x 的单调减区间为k π+π6,k π+2π3,k ∈Z ，所以B 正确.对于C 中，由于g x =-12cos2x 是偶函数，可得函数g x 的图象关于y 轴对称，所以C 错误.对于D 中，由f x +g x =12cos 2x -π3 +-12cos2x =1212cos2x +32sin2x -12cos2x =34sin2x -14cos2x =12sin 2x -π6 ≤12，即f x +g x 的最大值为12，所以D 正确.故选：ABD .22(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8【答案】BCD【分析】根据三角恒等变换化简f x =2sin 2ωx +π3，进而根据周期可判断A ，根据整体法求解函数的值域判断B ，根据函数图象的平移可判断C ，根据零点个数确定不等式满足的条件可判断D .【详解】f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3=sin2ωx cos π3+cos2ωx sin π3+sin2ωx cos π3-cos2ωx sin π3+3cos2ωx=sin2ωx +3cos2ωx =2sin 2ωx +π3，对于A ，若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则T =2×π2=π=2π2ω,故ω=1，A 错误，对于B ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3 ，当x ∈0,π2 时，2x +π3∈π3,4π3，则f x 的值域为-3,2 ，B 正确，对于C ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为f x +π6 =2sin 2x +π6 +π3 =2sin 2x +2π3 =2cos 2x +π6，C 正确，对于D ，当x ∈0,π6 时，2ωx +π3∈π3,2ωπ6+π3，若f x 在区间0,π6 上有且仅有两个零点，则2π≤2ωπ6+π3<3π，解得5≤ω<8，故D 正确，故选：BCD 三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．【答案】π[-1,1]【分析】把ω=1代入，t 明智二倍角的正弦，结合正弦函数的周期求出f (x )的最小正周期；把ω=2代入，利用二倍角的余弦公式，借助换元法，利用导数求出f (x )的值域.【详解】当ω=1时，f (x )=sin x cos x =12sin2x ，函数f (x )的最小正周期为2π2=π；当ω=2时，f (x )=sin x cos2x =sin x (1-2sin 2x )，令sin x =t ∈[-1,1]，g (t )=t (1-2t 2)=-2t 3+t ，求导得g (t )=-6t 2+1，当-1≤t <-66或66<t ≤1时，g (t )<0，当-66<t <66时，g (t )>0，函数g (t )在-1,-66 ，66,1 上单调递减，在-66,66上单调递增，g (-1)=1,g 66 =69，g (1)=-1,g -66 =-69，所以g (t )min =-1,g (t )max =1，f (x )的值域是[-1,1].故答案为：π；[-1,1]24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.【答案】-45/-0.8【分析】利用辅助角公式化简f (x )的解析式，再由题意可得函数关于x =α对称，且最小正周期T =π，即可求出ω的值，从而得到2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得．【详解】因为f (x )=sin ωx -2cos ωx =5sin ωx -φ ，其中tan φ=2，由f α+x =f α-x ，可得f x 关于x =α对称，又两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，所以f x 的最小正周期T =π，又ω>0，所以2πω=π，解得ω=2，所以f x =5sin 2x -φ ，所以2α-φ=π2+k π,k ∈Z ，则2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，所以sin4α=sin2φ+π2+k π =sin 2φ+π+2k π =-sin2φ=-2sin φcos φsin 2φ+cos 2φ=-2tan φtan 2φ+1=-2×222+1=-45.故答案为：-4525(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.【答案】191【分析】由tan α=m tan β得到sin αcos β=m cos αsin β，再结合cos α-β =35，利用sin α-β =-45，得到cos αsin β=-45m -1 ，sin αcos β=-4m5m -1 ，从而sin α+β =-4m +1 5m -1，再由满足条件的α与β存在且唯一，得到α+β唯一，从而sin α+β =-4m +15m -1=1，求得m 即可.【详解】解：由tan α=m tan β，得sin αcos α=m sin βcos β，即sin αcos β=m cos αsin β，因为0<α<β<π2，tan α=m tan β，所以-π2<α-β<0，0<m <1，又cos α-β =35，所以sin α-β <0，从而sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=m -1 cos αsin β=-45，所以cos αsin β=-45m -1，所以sin αcos β=m cos αsin β=-4m5m -1，所以sin α+β =sin αcos β+cos αsin β=-4m +15m -1，因为α,β∈0,π2，所以α+β∈0,π ，因为满足条件的α与β存在且唯一，所以α+β唯一，所以sin α+β =-4m +1 5m -1=1，所以m =19，经检验符合题意，所以tan α=19tan β，则tan α-β =-43=tan α-tan β1+tan αtan β=tan α-9tan α1+9tan 2α，解得tan α=13，所以tan αtan β=9tan 2α=1.故答案为：19，1【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出sin α+β =-4m +15m -1 =1，求出m ，由此即可顺利得解.。

高考真题——三角函数及解三角形真题(加答案)

全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析三角函数一、三角恒等变换（3题）1.（2015年1卷2）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（）（A）（B（C ）12- （D ）12【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.2.（2016年3卷）（5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．3.（2016年2卷9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）15-（D ）725-【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．二、三角函数性质（5题）4.（2017年3卷6）设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.π5.（2017年2卷14）函数()23sin 3cos 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是．【解析】()22311cos 3cos cos 3cos 44f x x x x x =-+-=-++ 23cos 12x ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[]cos 0,1x ∈，当3cos 2x =时，取得最大值1. 6．（2015年1卷8）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质7. （2015年2卷10）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x ．将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．8.（2016年1卷12）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5考点：三角函数的性质三、三角函数图像变换（3题）9.（2016年2卷7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈【解析】平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ． 10.（2016年3卷14）函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数sin 3cos y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．11.（2017年1卷9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】：熟识两种常见的三角函数变换，先变周期和先变相位不一样。

2016-2019年高考真题三角函数解答题全集(含详细解析)

2016-2019年高考真题三角函数解答题全集（含详细解析）1．（2019•全国）已知函数22()2sin 4cos 1f x x x =-+．（1）求()f x 的最小正周期；（2）设g ()()2x x f =，求()g x 在区间[0，]3π的最大值与最小值．2．（2019•新课标Ⅲ）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．3．（2019•天津）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin(2)6B π+的值．4．（2019•浙江）设函数()sin f x x =，x R ∈．（Ⅰ）已知[0θ∈，2)π，函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（Ⅱ）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域．5．（2019•北京）在ABC ∆中，3a =，2b c -=，1cos 2B =-．（Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）求sin()B C -的值．6．（2019•江苏）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若3a c =，b =，2cos 3B =，求c 的值；（2）若sin cos 2A Ba b=，求sin()2B π+的值． 7．（2019•北京）在ABC ∆中，3a =，2b c -=，1cos 2B =-．（Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）求sin()B C +的值．8．（2019•新课标Ⅰ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设22(sin sin )sin sin sin B C A B -=-C ．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．9．（2018•全国）在ABC ∆中，角A 、B 、C 对应边a 、b 、c ，外接圆半径为1，已知222(sin sin )()sin A C a b B -=-．（1）证明222a b c ab +-=；（2）求角C 和边c ．10．（2018•天津）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin cos()6b A a B π=-．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设2a =，3c =，求b 和sin(2)A B -的值．11．（2018•北京）在ABC ∆中，7a =，8b =，1cos 7B =-．（Ⅰ）求A ∠；（Ⅱ）求AC 边上的高．12．（2018•江苏）已知α，β为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=（1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．13．（2018•新课标Ⅰ）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=︒，45A ∠=︒，2AB =，5BD =．（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC ．14．（2018•浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点3(5P -，4)5-．（Ⅰ）求sin()απ+的值；（Ⅱ）若角β满足5sin()13αβ+=，求cos β的值．15．（2018•北京）已知函数2()sin cos f x x x x =．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()f x 在区间[3π-，]m 上的最大值为32，求m 的最小值． 16．（2018•上海）设常数a R ∈，函数2()sin 22cos f x a x x =+．（1）若()f x 为偶函数，求a 的值；（2）若()14f π=，求方程()1f x =-[π-，]π上的解．17．（2018•上海）已知cos y x =（1）若1()3f α=，且[0α∈，]π，求()3f πα-的值（2）求函数(2)2()y f x f x =-的最小值18．（2017•上海）已知函数221()cos sin 2f x x x =-+，(0,)x π∈．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC ∆为锐角三角形，角A 所对边a =B 所对边5b =，若f （A ）0=，求ABC ∆的面积．19．（2017•天津）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin 4sin a A b B =，222)ac a b c =--（Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）求sin(2)B A -的值20．（2017•天津）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a b >，5a =，6c =，3sin 5B =．（Ⅰ）求b 和sin A 的值；（Ⅱ）求sin(2)4A π+的值．21．（2017•山东）设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<，已知()06f π=．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在[4π-，3]4π上的最小值．22．（2017•新课标Ⅰ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆的面积为23sin a A．（1）求sin sin B C ；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC ∆的周长．23．（2017•新课标Ⅱ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin 2B AC +=．（1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b ．24．（2017•北京）已知函数())2sin cos 3f x x x x π=--．()I 求()f x 的最小正周期； ()II 求证：当[4x π∈-，]4π时，1()2f x -…．25．（2017•新课标Ⅲ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 0A A =，a =，2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD ∆的面积．26．（2017•江苏）已知向量(cos ,sin )a x x =，(3,3)b =-，[0x ∈，]π．（1）若//a b ，求x 的值；（2）记()f x a b =，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值． 27．（2017•北京）在ABC ∆中，60A ∠=︒，37c a =．（1）求sin C 的值；（2）若7a =，求ABC ∆的面积．28．（2017•浙江）已知函数22()sin cos f x x x x =--cos ()x x R ∈．（Ⅰ）求2()3f π的值．（Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．29．（2016•北京）已知函数()2sin cos cos2(0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求()f x 的单调递增区间．30．（2016•浙江）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos b c a B +=．（1）证明：2A B =；（2）若2cos 3B =，求cos C 的值． 31．（2016•天津）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2sin a B A =．（1）求B ；（2）已知1cos 3A =，求sin C 的值．32．（2016•山东）设2())sin (sin cos )f x x x x x π=---．（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()6g π的值． 33．（2016•浙江）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos b c a B +=．（Ⅰ）证明：2A B =；（Ⅱ）若ABC ∆的面积24a S =，求角A 的大小．34．（2016•江苏）在ABC ∆中，6AC =，4cos 5B =，4C π=．（1）求AB 的长；（2）求cos()6A π-的值．35．（2016•北京）在ABC ∆中，222a c b +=+．（Ⅰ）求B ∠的大小；cos A C +的最大值．36．（2016•四川）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且c o s c o ss i n A B Cab c+=．（Ⅰ）证明：sin sin sin A B C =；（Ⅱ）若22265b c a bc +-=，求tan B ．37．（2016•天津）已知函数()4tan sin()cos()23f x x x x ππ=--（1）求()f x 的定义域与最小正周期；（2）讨论()f x 在区间[4π-，]4π上的单调性． 38．（2016•新课标Ⅰ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若c =ABC ∆，求ABC ∆的周长． 39．（2016•山东）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知t a n t a n2(t a n t a n )c o s c o sA B A B B A +=+．（Ⅰ）证明：2a b c +=；（Ⅱ）求cos C 的最小值．40．（2016•江苏）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，BD AC ⊥，D 为垂足，E 为BC 的中点，求证：EDC ABD ∠=∠．41．（2016•上海）已知函数()sin f x x x =+，求()f x 的最小正周期及最大值，并指出()f x 取得最大值时x 的值．2016-2019年高考真题三角函数解答题全集（含详细解析）参考答案与试题解析1．（2019•全国）已知函数22()2sin 4cos 1f x x x =-+．（1）求()f x 的最小正周期；（2）设g ()()2x x f =，求()g x 在区间[0，]3π的最大值与最小值．【解答】解：22()2sin 4cos 11cos22(1cos2)13cos2f x x x x x x =-+=--++=-．（1）()f x 的最小正周期22T ππ==；（2）g ()()3cos(2)3cos 22x xx f x ==-=-，[0x ∈，]3π，3cos [3x ∴-∈-，3]2-．即()g x 在区间[0，]3π的最大值为32-，最小值为3-．2．（2019•新课标Ⅲ）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【解答】解：（1）sin sin 2A C a b A +=，即为sin cos sin 22B Ba ab A π-==，可得sin cossin sin 2sin cos sin 222B B BA B A A ==， sin 0A >，cos2sin cos 222B B B ∴=，若cos 02B=，可得(21)B k π=+，k Z ∈不成立， 1sin22B ∴=，由0B π<<，可得3B π=；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，由余弦定理可得1cos3b a =，由三角形ABC 为锐角三角形，可得2211a a a +-+>且2211a a a +-+>，且2211a a a +>-+，解得122a <<，可得ABC ∆面积13sin 23S a π==∈． 3．（2019•天津）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin(2)6B π+的值．【解答】解（Ⅰ）在三角形ABC 中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =，又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得43a b =，23a c =，由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a ac b B ac aa +-+-===-．（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin B ，从而sin 22sin cos B B B ==， 227cos2cos sin 8BB B =-=-，故71sin(2)sin 2cos cos2sin 66682B B B πππ+=+=-⨯=． 4．（2019•浙江）设函数()sin f x x =，x R ∈．（Ⅰ）已知[0θ∈，2)π，函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（Ⅱ）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域．【解答】解：（1）由()sin f x x =，得 ()sin()f x x θθ+=+， ()f x θ+为偶函数，∴()2k k Z πθπ=+∈， [0θ∈，2)π，∴2πθ=或32πθ=，（2）22[()][()]124y f x f x ππ=+++ 22sin ()sin ()124x x ππ=+++1cos(2)1cos(2)6222x x ππ-+-+=+11(cos2cos sin 2sin sin 2)266x x x ππ=---3sin 214x x =+)16x π=-+， x R ∈，∴sin(2)[1,1]6x π-∈-，∴)1[16y x π=-+∈， ∴函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域为：[1． 5．（2019•北京）在ABC ∆中，3a =，2b c -=，1cos 2B =-．（Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）求sin()B C -的值．【解答】解：（Ⅰ）3a =，2b c -=，1cos 2B =-．∴由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-219(2)23(2)()2b b =+--⨯⨯-⨯-，7b ∴=，25c b ∴=-=；（Ⅱ）在ABC ∆中，1cos 2B =-，sin B ∴=，由正弦定理有：sin sin c bC B=，∴5sin 2sin 7c BC b=== b c >，B C ∴>，C ∴为锐角，11cos 14C ∴=， sin()sin cos cos sin B C B C B C ∴-=-111()142=--=． 6．（2019•江苏）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若3a c =，b =，2cos 3B =，求c 的值；（2）若sin cos 2A Ba b=，求sin()2B π+的值．【解答】解：（1）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． 3a c =，b =，2cos 3B =， ∴由余弦定理得：222221022cos 263a cbc B ac c +--===，解得c =．（2）sin cos 2A Ba b=， ∴由正弦定理得：sin sin cos 2A B Ba b b==， 2sin cos B B ∴=，22sin cos 1B B +=，sin B ∴，cos B =sin()cos 2B B π∴+==． 7．（2019•北京）在ABC ∆中，3a =，2b c -=，1cos 2B =-．（Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）求sin()B C +的值．【解答】解：（1）3a =，2b c -=，1cos 2B =-．∴由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-219(2)23(2)()2b b =+--⨯⨯-⨯-，7b ∴=，25c b ∴=-=；（2）在ABC ∆中，1cos 2B =-，sin B ∴=，由正弦定理有：sin sin a bA B =，3sin 2sin 7a BA b∴===，。

高考数学分类练习 C单元三角函数(文科)含答案3

C 单元三角函数C1 角的概念及任意的三角函数14．C1，C2，C6 设sin 2α＝－sin α，α∈π2，π，则tan 2α的值是________．14. 3 方法一：由已知sin 2α＝－sin α，即2sin αcos α＝－sin α，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故sin α≠0，于是cos α＝－12，进而sin α＝32，于是tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×（－3）1－3＝ 3. 方法二：同上得cos α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，可得α＝2π3，所以tan 2α＝tan4π3＝ 3.C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式2．C2 已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( )A ．－1213B ．－513 C.513 D.12132．A cos α＝－1－sin 2α＝－1213.16．C2，C5 已知函数f(x)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，x∈R . (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值； (2)若cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6. 16．解：14．C1，C2，C6 设sin 2α＝－sin α，α∈π2，π，则tan 2α的值是________．14. 3 方法一：由已知sin 2α＝－sin α，即2sin αcos α＝－sin α，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故sin α≠0，于是cos α＝－12，进而sin α＝32，于是tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×（－3）1－3＝ 3. 方法二：同上得cos α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，可得α＝2π3，所以tan 2α＝tan4π3＝ 3.C3 三角函数的图像与性质1．C3 函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为________． 1．π 周期为T ＝2π2＝π.17．C3 设向量a ＝(3sin x ，sin x)，b ＝(cos x ，sin x)，x∈0，π2.(1)若|a|＝|b|，求x 的值；(2)设函数f(x)＝a·b ，求f(x)的最大值．17．解：(1)由|a |2＝(3sin x)2＋(sin x)2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1. 及|a|＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x∈0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f(x)＝a·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin2x －π6＋12，当x ＝π3∈0，π2时，sin2x －π6取最大值1.所以f(x)的最大值为32.9．C3 函数y ＝xcos x ＋sin x 的图像大致为( )图1－39．D ∵f(－x)＝－xcos(－x)＋sin(－x)＝－(xcos x ＋sin x)＝－f(x)，∴y＝xcos x＋sin x 为奇函数，图像关于原点对称，排除选项B ，当x ＝π2，y ＝1>0，x ＝π，y ＝－π<0，故选D.16．C3、C5、C9 设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________．16．－2 55 f(x)＝sin x －2cos x ＝5⎝⎛⎭⎪⎫15sin x －25cos x ，令cos α＝15，sin α＝25，则f(x)＝5sin(x －α)．当θ－α＝2k π＋π2，即θ＝2k π＋π2＋α(上述k 为整数)时，f(x)取得最大值，此时 cos θ＝－sin α＝－2 55.C4 函数的图象与性质16．C4 设函数f(x)＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取最小值的x 的集合；(2)不画图，说明函数y ＝f(x)的图像可由y ＝sin x 的图像经过怎样的变化得到． 16．解：(1)因为f(x)＝sin x ＋12sin x ＋32cos x ＝32sin x ＋32cos x ＝3sinx ＋π6，所以当x ＋π6＝2k π－π2(k∈Z )，即x ＝2k π－2π3(k∈Z )时，f(x)取得最小值－ 3.此时x 的取值集合为x 错误!x ＝2k π－错误!，k∈Z .(2)先将y ＝sin x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，得y ＝3sin x 的图像；再将y ＝3sin x 的图像上所有的点向左平移π6个单位，得y ＝f(x)的图像． 15．C4，C5，C6，C7 已知函数f(x)＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值； (2)若α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，且f(α)＝22，求α的值．15．解：(1)因为f(x)＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x＝cos 2x ·sin 2x ＋12cos 4x＝12(sin 4x ＋cos 4x) ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4，所以f(x)的最小正周期为π2，最大值为22.(2)因为f(α)＝22，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫4α＋π4＝1.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以4α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫9π4，17π4.所以4α＋π4＝5π2.故α＝9π16.9．C4 若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图像如图1－1所示，则ω＝( )图1－1A ．5B ．4C ．3D ．29．B 根据对称性可得π4为已知函数的半个周期，所以2πω＝2×π4，解得ω＝4.9．C4 将函数f(x)＝sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图像．若f(x)，g(x)的图像都经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，则φ的值可以是( ) A.5π3 B.5π6C.π2D.π69．B g(x)＝f(x －φ)＝sin ，由sin θ＝32，－π2<θ<π2，得θ＝π3，又sin (θ－2φ)＝32，结合选项，知φ的一个值为5π6，故选B. 6．C4 将函数y ＝3cos x ＋sin x (x∈R )的图像向左平移m(m ＞0)个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π66．B 结合选项，将函数y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像向左平移π6个单位得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝2cos x ，它的图像关于y 轴对称，选B.13．C4 设f(x)＝3sin 3x ＋cos 3x ，若对任意实数x 都有|f(x)|≤a，则实数a 的取值范围是________．13．a ≥2 |f(x)|max ＝2，则a≥2.16．C4 函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ＜π)的图像向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像重合，则φ＝________. 16.5π6 由已知，y ＝cos(2x ＋φ)的图像向右平移π2得到y ＝cos(2x －π＋φ)＝－cos(2x ＋φ)．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋56π，两个函数图像重合，故φ＝56π.18．C4，C7 设函数f(x)＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f(x)图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f(x)在区间π，3π2上的最大值和最小值．18．解：(1)f(x)＝32－3sin 2ωx －sin ωxcos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx－π3.因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4.因此ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3.所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1.因此－1≤f(x)≤32. 故f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 6．C4 函数f(x)＝sin2x －π4在区间0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．0 6．B ∵x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x－π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，当2x －π4＝－π4时，f(x)有最小值－22.图1－36．C4 函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)ω>0，－π2<φ<π2的部分图像如图1－3所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π36．A 由半周期T 2＝11π12－5π12＝π2，可知周期T ＝π，从而ω＝2，于是f(x)＝2sin(2x＋φ)．当x ＝5π12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝1，于是5π6＋φ＝2k π＋π2(k∈Z )，因为－π2<φ<π2，取k ＝0，得φ＝－π3.16．F3，C4 已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x)，x∈R ，设函数f(x)＝a·b .(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．16．解： f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x)＝3cos xsin x －12cos 2x ＝32sin2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.(1)f(x)的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π，即函数f(x)的最小正周期为π. (2)∵0≤x≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6.由正弦函数的性质，当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f(x)取得最大值1.当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f(0)＝－12，当2x －π6＝56π，即x ＝π2时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12，∴f(x)的最小值为－12.因此，f(x)在0，π2上最大值是1，最小值是－12.6．C4 函数f(x)＝sin xcos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1 D ．2π，26．A f(x)＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin2x ＋π3，则最小正周期为π；振幅为1，所以选择A.C5 两角和与差的正弦、余弦、正切15．C4，C5，C6，C7 已知函数f(x)＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值； (2)若α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，且f(α)＝22，求α的值．15．解：(1)因为f(x)＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x＝cos 2x·sin 2x ＋12cos 4x＝12(sin 4x ＋cos 4x) ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4，所以f(x)的最小正周期为π2，最大值为22.(2)因为f(α)＝22，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫4α＋π4＝1.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以4α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫9π4，17π4.所以4α＋π4＝5π2.故α＝9π16.16．C2，C5 已知函数f(x)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，x∈R .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值； (2)若cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6. 16．解：3．C5 若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13C.13D.233．C cos α＝1－2sin 2α2＝13，故选C. 17．C5，C8，F1 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin(A ＋C)＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝4 2，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影． 17．解：(1)由cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin(A ＋C)＝－35，得cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin B ＝－35.则cos(A －B ＋B)＝－35，即cos A ＝－35.又0<A<π，则sin A ＝45.(2)由正弦定理，有a sin A ＝bsin B ，所以，sin B ＝bsin A a ＝22.由题知a>b ，则A>B ，故B ＝π4. 根据余弦定理，有(4 2)2＝52＋c 2－2×5c×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1或c ＝－7(负值舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.16．C3、C5、C9 设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________．16．－2 55f(x)＝sin x －2cos x ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫15sin x －25cos x ，令cos α＝15，sin α＝25，则f(x)＝5sin(x －α)．当θ－α＝2k π＋π2，即θ＝2k π＋π2＋α(上述k 为整数)时，f(x)取得最大值，此时 cos θ＝－sin α＝－2 55.18．C5和C8 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc. (1)求A ；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos Bcos C 的最大值，并指出此时B 的值． 18．解：(1)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32.又因为0<A<π，所以A ＝5π6.(2)由(1)得sin A ＝12，又由正弦定理及a ＝3得S ＝12bcsin A ＝12·asin B sin A·asin C ＝3sin Bsin C ，因此，S ＋3cos Bcos C ＝3(sin Bsin C ＋cos Bcos C)＝3cos(B －C)．所以，当B ＝C ，即B ＝π－A 2＝π12时，S ＋3cos Bcos C 取最大值3.C6 二倍角公式15．C4，C5，C6，C7 已知函数f(x)＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值； (2)若α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，且f(α)＝22，求α的值．15．解：(1)因为f(x)＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x＝cos 2x ·sin 2x ＋12cos 4x＝12(sin 4x ＋cos 4x) ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4，所以f(x)的最小正周期为π2，最大值为22.(2)因为f(α)＝22，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫4α＋π4＝1.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以4α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫9π4，17π4.所以4α＋π4＝5π2.故α＝9π16.6．C6 已知sin 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.16B.13 C.12 D.236．A cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝16，故选A.14．C1，C2，C6 设sin 2α＝－sin α，α∈π2，π，则tan 2α的值是________．14. 3 方法一：由已知sin 2α＝－sin α，即2sin αcos α＝－sin α，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故sin α≠0，于是cos α＝－12，进而sin α＝32，于是tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×（－3）1－3＝ 3. 方法二：同上得cos α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，可得α＝2π3，所以tan 2α＝tan4π3＝ 3.15．C6、E1和E3 设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x∈R 恒成立，则α的取值范围为________．15.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 根据二次函数的图像可得Δ＝(8sin α)2－4×8cos 2α≤0，即2sin 2 α－cos 2α≤0，转化为2sin 2 α－(1－2sin 2 α)≤0，即4sin 2α≤1，即－12≤sinα≤12.因为0≤α≤π，故α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π.C7 三角函数的求值、化简与证明15．C4，C5，C6，C7 已知函数f(x)＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值； (2)若α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，且f(α)＝22，求α的值．15．解：(1)因为f(x)＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x＝cos 2x ·sin 2x ＋12cos 4x＝12(sin 4x ＋cos 4x) ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4，所以f(x)的最小正周期为π2，最大值为22.(2)因为f(α)＝22，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫4α＋π4＝1.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以4α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫9π4，17π4.所以4α＋π4＝5π2.故α＝9π16.18．C7、C8 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c)(a －b ＋c)＝ac. (1)求B ； (2)若sin Asin C ＝3－14，求C. 18．解：(1)因为(a ＋b ＋c)(a －b ＋c)＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－ac.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12，因此B ＝120°.(2)由(1)知A ＋C ＝60°，所以cos (A －C)＝cos Acos C ＋sin Asin C＝cos Acos C －sin Asin C ＋2sin Asin C ＝cos(A ＋C)＋2sinAsin C ＝12＋2×3－14 ＝32，故A －C ＝30°或A －C ＝－30°，因此C ＝15°或C ＝45°. 18．C4，C7 设函数f(x)＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f(x)图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f(x)在区间π，3π2上的最大值和最小值．18．解：(1)f(x)＝32－3sin 2ωx －sin ωxcos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx－π3.因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4.因此ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3.所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1.因此－1≤f(x)≤32. 故f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 16．C7，C8 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.已知bsin A ＝3csin B ，a ＝3，cos B ＝23.(1)求b 的值； (2)求sin2B －π3的值．16．解：(1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B，可得bsin A ＝asin B ，又由bsin A ＝3csin B ，可得a ＝3c ，又a ＝3，故c ＝1.由b 2＝a 2＋c 2－2accos B ，cos B ＝23，可得b ＝ 6.(2)由cos B ＝23，得sin B ＝53，进而得cos 2B ＝2cos 2B －1＝－19，sin 2B ＝2sin BcosB ＝4 59.所以sin2B －π3＝sin 2Bcos π3－cos 2Bsin π3＝4 5＋318.C8 解三角形9．C8 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )A.π3B.2π3 C.3π4 D.5π69．B 根据正弦定理，3sin A ＝5sin B 可化为3a ＝5b ，又b ＋c ＝2a ，解得b ＝3a 5，c＝7a 5.令a ＝5t(t>0)，则b ＝3t ，c ＝7t ，在△ABC 中，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25t 2＋9t 2－49t 22×5t ×3t ＝－12，所以C ＝2π3.5．C8 在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A.15B.59C.53D ．1 5．B 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即313＝5sin B ，解得sin B ＝59.18．C7、C8 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c)(a －b ＋c)＝ac. (1)求B ； (2)若sin Asin C ＝3－14，求C. 18．解：(1)因为(a ＋b ＋c)(a －b ＋c)＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－ac.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12，因此B ＝120°.(2)由(1)知A ＋C ＝60°，所以cos (A －C)＝cos Acos C ＋sin Asin C＝cos Acos C －sin Asin C ＋2sin Asin C ＝cos(A ＋C)＋2sinAsin C ＝12＋2×3－14 ＝32，故A －C ＝30°或A －C ＝－30°，因此C ＝15°或C ＝45°.21．C8，C9 如图1－6，在等腰直角△OPQ 中，∠POQ＝90°，OP ＝2 2，点M 在线段PQ 上．(1)若OM ＝5，求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上，且∠MON＝30°，问：当∠POM 取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．图1－621．解：(1)在△OMP 中，∠OPM＝45°，OM ＝5，OP ＝2 2，由余弦定理得，OM 2＝OP 2＋MP 2－2OP·MP·cos 45°，得MP 2－4MP ＋3＝0，解得MP ＝1或MP ＝3.(2)设∠POM＝α，0°≤α≤60°，在△OMP 中，由正弦定理，得OM sin ∠OPM ＝OPsin ∠OMP，所以OM ＝OPsin 45°sin （45°＋α），同理ON ＝OPsin 45°sin （75°＋α）.故S △OMN ＝12OM ·ON ·sin ∠MON＝14×OP 2sin 245°sin （45°＋α）sin （75°＋α）＝1sin （45°＋α）sin （45°＋α＋30°）＝1sin （45°＋α）⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin （45°＋α）＋12cos （45°＋α）＝132sin 2（45°＋α）＋12sin （45°＋α）cos （45°＋α）＝134[1－cos （90°＋2α）]＋14sin （90°＋2α）＝134＋34sin 2α＋14cos 2α ＝134＋12sin （2α＋30°）. 因为0°≤α≤60°，30°≤2α＋30°≤150°，所以当α＝30°时，sin (2α＋30°)的最大值为1，此时△OMN 的面积取到最小值．即∠POM＝30°时，△OMN 的面积的最小值为8－4 3.18．C8 在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c.已知cos 2A －3cos(B ＋C)＝1.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝5 3，b ＝5，求sinB sin C 的值．18．解：(1)由cos 2A －3cos(B ＋C)＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ＝5 3，得bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc·cos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝21. 又由正弦定理得sin Bsin C ＝b a sin A ·c a sin A ＝bc a 2sin 2A ＝2021×34＝57.5．C8 在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b.若2asin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π3B.π4 C.π6 D.π125．A 由正弦定理可得2sin Asin B ＝3sin B ．又sin B ≠0，所以sin A ＝32.因为A 为锐角，故A ＝π3，选A.17．C8 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin Asin B ＋sin Bsin C ＋cos 2B ＝1.(1)求证：a ，b ，c 成等差数列； (2)若C ＝2π3，求ab的值．17．解：(1)证明：由题意得sin Asin B ＋sin Bsin C ＝2sin 2B ，因为sin B ≠0，所以sin A ＋sinC ＝2sin B ，由正弦定理，有a ＋c ＝2b ，即a ，b ，c 成等差数列．(2)由C ＝2π3，c ＝2b －a 及余弦定理得(2b －a)2＝a 2＋b 2＋ab ，即有5ab －3b 2＝0，所以a b ＝35.6．C8 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若asin Bcos C ＋csin Bcos A ＝12b ，且a>b ，则∠B＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π66．A 由正弦定理可以得到sin Asin Bcos C ＋sin Csin Bcos A ＝12sin B ，所以可以得到sin Acos C ＋sin Ccos A ＝12，即sin(A ＋C)＝sin B ＝12，则∠B＝π6，故选A.4．C8 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC的面积为( )A ．2 3＋2 B.3＋1 C ．2 3－2 D.3－14．B b sin B ＝csin C c ＝2 2.又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＝712π，∴△ABC 的面积为12×2×2 2×sin 7π12＝22×6＋24＝3＋1.7．C8 △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )A ．2 3B ．2 C. 2 D ．17．B 由正弦定理a sinA ＝b sinB ，即1sinA ＝3sinB ＝32sinAcosA ，解之得cosA ＝32，∴A＝π6，B ＝π3，C ＝π2，∴c＝a 2＋b 2＝()32＋12＝2.9．C8 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcos C ＋ccos B ＝asin A ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定9．A 结合已知bcos C ＋ccos B ＝asin A ，所以由正弦定理可知sin Bcos C ＋sin Ccos B ＝sin Asin A ，即sin (B ＋C)＝sin 2A sin A ＝sin 2Asin A ＝1，故A ＝90°，故三角形为直角三角形．16．C7，C8 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.已知bsin A ＝3csin B ，a ＝3，cos B ＝23.(1)求b 的值； (2)求sin2B －π3的值．16．解：(1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B，可得bsin A ＝asin B ，又由bsin A ＝3csin B ，可得a ＝3c ，又a ＝3，故c ＝1.由b 2＝a 2＋c 2－2accos B ，cos B ＝23，可得b ＝ 6.(2)由cos B ＝23，得sin B ＝53，进而得cos 2B ＝2cos 2B －1＝－19，sin 2B ＝2sin BcosB ＝4 59.所以sin2B －π3＝sin 2Bcos π3－cos 2Bsin π3＝4 5＋318.17．C5，C8，F1 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin(A ＋C)＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝4 2，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影． 17．解：(1)由cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin(A ＋C)＝－35，得cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin B ＝－35.则cos(A －B ＋B)＝－35，即cos A ＝－35.又0<A<π，则sin A ＝45.(2)由正弦定理，有a sin A ＝bsin B ，所以，sin B ＝bsin A a ＝22.由题知a>b ，则A>B ，故B ＝π4. 根据余弦定理，有(4 2)2＝52＋c 2－2×5c×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1或c ＝－7(负值舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.15．H1，C8，E8 在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．15．(2，4) 在以A ，B ，C ，D 为顶点构成的四边形中，由平面几何知识：三角形两边之和大于第三边，可知当动点落在四边形两条对角线AC ，BD 交点上时，到四个顶点的距离之和最小．AC 所在直线方程为y ＝2x ，BD 所在直线方程为y ＝－x ＋6，交点坐标为(2，4)，即为所求．10．C8 已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．510．D 由23cos2A ＋cos 2A ＝0，得25cos2A ＝1.因为△AB C 为锐角三角形，所以cos A ＝15.在△ABC 中，根据余弦定理，得49＝b 2＋36－12b×15，即b 2－125b －13＝0，解得b ＝5或－135(舍去)．18．C8 在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asin B ＝ 3b. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积．18．解：(1)由2asin B ＝ 3b 及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin A ＝ 32.因为A 是锐角，所以A ＝π3.(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得b 2＋c 2－bc ＝36.又b ＋c ＝8，所以bc ＝283.由三角形面积公式S ＝12bcsin A ，得△ABC 的面积为7 33.18．C5和C8 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc. (1)求A ；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos Bcos C 的最大值，并指出此时B 的值． 18．解：(1)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32.又因为0<A<π，所以A ＝5π6.(2)由(1)得sin A ＝12，又由正弦定理及a ＝3得S ＝12bcsin A ＝12·asin B sin A·asin C ＝3sin Bsin C ，因此，S ＋3cos Bcos C ＝3(sin Bsin C ＋cos Bcos C)＝3cos(B －C)．所以，当B ＝C ，即B ＝π－A 2＝π12时，S ＋3cos Bcos C 取最大值3.C9 单元综合21．C8，C9 如图1－6，在等腰直角△OPQ 中，∠POQ＝90°，OP ＝2 2，点M 在线段PQ 上．(1)若OM ＝5，求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上，且∠MON＝30°，问：当∠POM 取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．图1－621．解：(1)在△OMP 中，∠OPM＝45°，OM ＝5，OP ＝2 2，由余弦定理得，OM 2＝OP 2＋MP 2－2OP·MP·cos 45°，得MP 2－4MP ＋3＝0，解得MP ＝1或MP ＝3.(2)设∠POM＝α，0°≤α≤60°，在△OMP 中，由正弦定理，得OM sin ∠OPM ＝OPsin ∠OMP，所以OM ＝OPsin 45°sin （45°＋α），同理ON ＝OPsin 45°sin （75°＋α）.故S △OMN ＝12OM ·ON ·sin ∠MON＝14×OP 2sin 245°sin （45°＋α）sin （75°＋α）＝1sin （45°＋α）sin （45°＋α＋30°）＝1sin （45°＋α）⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin （45°＋α）＋12cos （45°＋α）＝132sin 2（45°＋α）＋12sin （45°＋α）cos （45°＋α）＝134[1－cos （90°＋2α）]＋14sin （90°＋2α）＝134＋34sin 2α＋14cos 2α ＝1 34＋12sin （2α＋30°）. 因为0°≤α≤60°，30°≤2α＋30°≤150°，所以当α＝30°时，sin (2α＋30°)的最大值为1，此时△OMN 的面积取到最小值．即∠POM＝30°时，△OMN 的面积的最小值为8－4 3.18．C9 如图1－4，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？图1－418．解：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45，从而sin B ＝sin ＝sin(A ＋C)＝sin Acos C ＋cos Asin C ＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝ACsin B，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t)m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×1213＝200(37t 2－70t ＋50)．因为0≤t≤1 040130，即0≤t≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C. 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．15．C9 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a⊥b ；(2)设c ＝(0，1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． 15．解：(1)由题意得|a －b|2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝2.又因为a 2＝b 2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b ＝2，即a·b ＝0，故a⊥b. (2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得，cos α＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π，又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1得，sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6.16．C3、C5、C9 设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________．16．－2 55f(x)＝sin x －2cos x ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫15sin x －25cos x ，令cos α＝15，sin α＝25，则f(x)＝5sin(x －α)．当θ－α＝2k π＋π2，即θ＝2k π＋π2＋α(上述k 为整数)时，f(x)取得最大值，此时 cos θ＝－sin α＝－2 55.9．C9 函数f(x)＝(1－cos x )·sin x 在的图像大致为( )图1－29．C 函数f(x)是奇函数，排除选项B.当x∈时f(x)≥0，排除选项A.对函数f(x)求导，得f′(x)＝sin xsin x ＋(1－cos x)cos x ＝－2cos 2x ＋cos x ＋1＝－(cos x －1)(2cos x ＋1)，当0<x<π时，若0<x<2π3，则f′(x)>0，若2π3<x<π，则f′(x)<0，即函数在(0，π)上的极大值点是x ＝错误!，故只能是选项C 中的图像．。

2016年高考试题分类汇编(三角函数)

2016年高考试题分类汇编（三角函数）考点1 任意角的三角函数考法1 三角函数的图像1.(2016·四川卷·文科)为了得到函数sin()3y x π=+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点A.向左平行移动3π个单位长度B.向右平行移动3π个单位长度C.向上平行移动3π个单位长度D.向下平行移动3π个单位长度2.(2016·四川卷·理科)为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度C.向左平行移动π6个单位长度D.向右平行移动π6个单位长度3.(2016·全国Ⅲ卷·文科)函数sin y x x =的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移____个单位长度得到.4.(2016·全国Ⅲ卷·文科)函数sin y x x =的图像可由函数sin y x =+x 的图像至少向右平移_____个单位长度得到.5.(2016·全国Ⅱ卷·理科)若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为A. ()26k x k Z ππ=-∈ B. ()26k x k Z ππ=+∈ C. ()212k x k Z ππ=-∈ D. ()212k x k Z ππ=+∈ 6. (2016·全国Ⅰ卷·文科)若将函数2sin(2)6y x π=+的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为A. 2sin(2)4y x π=+B. 2sin(2)3y x π=+C. 2sin(2)4y x π=-D. 2sin(2)3y x π=-7. (2016·北京卷·理科)将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移(0)s s >个单位长度得到点P '，若P '位于函数sin 2y x =的图象上，则A. 12t =，s 的最小值为6πB. t = ，s 的最小值为6πC. 12t =，s 的最小值为3πD. t =，s 的最小值为3π 8.(2016·全国卷Ⅱ·文科)函数sin()y A x ωϕ=+的部分图像如图所示，则A. 2sin(2)6y x π=-B. 2sin(2)3y x π=-C. 2sin()6y x π=+D. 2sin()3y x π=+9.(2016·浙江卷·文科)函数2sin y x =的图像是考法2 三角函数的性质1.(2016·天津卷·文科)已知函数)0(21sin 212sin )(2>-+=ωωωx xx f ，R x ∈.若)(x f 在区间)2,(ππ内没有零点，则ω的取值范围是A.]81,0(B.)1,85[]41,0(C.]85,0(D.]85,41[]81,0(2.(2016·全国卷Ⅰ·文科)若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是A.[1,1]-B.1[1,]3-C.11[,]33-D.1[1,]3--3. (2016·山东卷·理科)函数()cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期是A.2πB. πC.32πD. 2π 4.(2016·全国卷Ⅰ·理科)已知函数()sin()(0)2f x x+πωϕωϕ=>≤，4x π=-为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在5(,)1836ππ单调，则ω的最大值为A.11B.9C.7D.55.（2016·浙江卷·理科）设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关6.（2016·上海卷·理科）方程3sin 1cos 2x x =+在区间[]π2,0上的解为___ .7.（2016·全国卷Ⅱ·文科）函数cos 26cos()2y x x π=+-的最大值为A.4B.5C.6D.78.（2016·上海卷·文科）若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5，则常数a =______.9.（2016·江苏卷）定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是 .10.(2016·山东卷·文科)设2())sin (sin cos )f x x x x x π=---. （Ⅰ）求()f x 得单调递增区间；（Ⅱ）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()6g π的值.考点2 三角恒等变换1.（2016·全国卷Ⅰ·文科）已知θ是第四象限角，且3sin()45πθ+=，则tan()4πθ-= .2.(2016·全国Ⅲ卷·文6)若1tan 3θ=，则cos 2θ=A.45-B.15-C.15D.453.(2016·全国Ⅲ卷·理科)若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=A.6425B. 4825C. 1D.16254.(2016·全国Ⅱ卷·理科)若3cos()45πα-=，则sin 2α=A. 725B. 15C. 15-D.725-5.(2016·四川卷·理科)22πcos sin 88π-= .6.(2016·浙江卷)已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A =____，b =_____．7.（2016·天津卷·理科）已知函数()4tan sin()cos()23f x x x x ππ=---（Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期；（Ⅱ）讨论()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性.8.（2016·北京卷·文科）已知函数()2sin cos cos 2(0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间.17.（2016·山东卷·文科）设2())sin (sin cos )f x x x x x π=--- . （Ⅰ）求()f x 得单调递增区间；（Ⅱ）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()6g π的值.考点3 解三角形1. (2016·天津卷·理科)在ABC ∆中，若AB =3BC =，120C ∠=,则AC = A.1 B.2 C.3 D.42.(2016·全国卷Ⅲ·理科)在ABC △中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =C. -D. -3. (2016·全国卷Ⅰ·文科)ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知a =2c =，2cos 3A =，则b =4. (2016·全国卷Ⅲ·文科)在ABC ∆中，4B π=,BC 边上的高等于13BC ，则s i nA =A.310 5. (2016·山东卷·文科)ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知b c =，222(1sin )a b A =-,则A =A.34π B. 3π C. 4π D. 6π6.（2016·上海卷·理科）已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_______.7.(2016·全国Ⅱ卷·理科)ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4c o s 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = .8. (2016·全国卷Ⅲ·文科)在ABC ∆中，23A π∠=，a =，则bc =________.9. (2016·北京卷·理科)在ABC ∆中，222a c b +=. （Ⅰ）求B ∠的大小；cos A C + 的最大值.10.(2016·山东卷·理科)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知tan tan 2(tan tan )cos cos A BA B B A+=+ （Ⅰ）证明：2a b c +=；（Ⅱ）求cos C 的最小值.11. (2016·四川卷·文科)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,且cos cos sin A B Ca b c+=. （Ⅰ）证明：sin sin sin A B C =；（Ⅱ）若22265b c a bc +-=，求tan B .12. (2016·全国卷Ⅰ·理科)ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别别为,,a b c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若c =ABC ∆的面积为2，求ABC ∆的周长．13.(2016·浙江卷·理科)在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c . 已知2cos b c a B +=.（Ⅰ）证明：2A B =；（Ⅱ）若ABC ∆的面积2=4a S ，求角A 的大小.14. (2016·天津卷·文科)在ABC ∆中，内角C B A ,,所对应的边分别为,,a b c ，已知sin 2sin a B A =. （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若1cos A 3=，求sin C 的值.15. (2016·浙江卷·文科)在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c . 已知2cos b c a B +=. （Ⅰ）证明：2A B =；（Ⅱ）若2cos 3B =，求角cos C 的值. 16. (2016·江苏卷)在ABC ∆中，6AC =，4cos 5B =,4C π=. （Ⅰ）求AB 的长；（Ⅱ）求cos()6A π-的值.。

2016版高考数学(文科)专题演练第三章三角函数、解三角形(含两年高考一年模拟)

1．(2015·福建)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．－125 C.512 D ．－5122．(2015·四川)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x 3.(2014·新课标全国Ⅰ)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]上的图象大致为( )4．(2014·安徽)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( ) A.12 B.32 C ．0 D ．－125．(2015·四川)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．6．(2015·广东)已知tan α＝2.(1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．7．(2015·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2.(1)求sin 2A sin 2A ＋cos 2 A的值；(2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．1．(2015·济南一中高三期中)若点(4，a )在y ＝x 12的图象上，则tan a6π的值为( )A ．0 B.33 C ．1 D. 32．(2015·贵州调研)点P 从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎪⎫－32，123．(2015·乐山市调研)若点P 在－10π3角的终边上，且P 的坐标为(－1，y )，则y 等于( )A ．－33 B.33 C ．－ 3 D. 34．(2015·山西省二诊)cos ⎝⎛⎭⎪⎫2 014π3的值为( ) A.12 B.32 C ．－12 D ．－325．(2015·厦门市质检)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin(π－α)＝35，则tan α＝( )A ．－43 B.43 C ．－34 D.346．(2015·泗水二调)设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．－437．(2015·湖北八校一联)下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件f (x )＝f (－x )和f (x －π)＝f (x )的函数是( )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝sin x cos xC ．f (x )＝cos xD ．f (x )＝cos 2x －sin 2x8．(2015·南充市第一次适应性考试)已知角α的终边经过点P (2，－1)，则sin α－cos αsin α＋cos α＝( )A ．3 B.13 C ．－13 D ．－39．(2015·江西省质检三)已知sin(α－π)＝log 814，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫－3π2，－π2，则tan(－α)的值为( )A ．－255 B.255 C ．－52 D.5210．(2014·郑州预测)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝________．11．(2015·黄冈中学检测)已知sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan α的值是________．12．(2015·湛江市调研)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋m ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝6.(1)求m 的值；(2)若f (θ)＝285，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π12，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫4θ＋π3的值．13．(2015·深圳五校一联)已知函数f (x )＝cos 2x2－sin x 2cos x 2－12. (1)求函数f (x )的最小正周期和值域； (2)若f (α)＝3210，求sin 2α的值．1．(2015·160°sin 10°＝( )A ．－32 B.32 C ．－12 D.122．(2015·重庆)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( ) A.17 B.16 C.57 D 563．(2015·重庆)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝( )A ．1B ．2C ．3D ．44．(2015·浙江)函数f (x )＝sin 2 x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，最小值是________．5．(2015·湖北)函数f (x )＝4cos 2x2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________．6．(2014·新课标全国Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________．7．(2015·安徽)已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．8．(2015·重庆)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性．9．(2014·四川)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sinα的值．1．(2015·北京东城区高三期末)已知cos α＝34，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则sin 2α的值为( )A.38 B ．－38 C.378 D ．－3782．(2015·大庆市质检二)已知sin α＝52，则sin 2α－cos 2α的值为( )A ．－15B ．－35 C.15 D.353．(2015·玉溪一中高三检测)已知sin α＝23，则cos(π－2α)＝( )A ．－53B ．－19 C.19 D.534．(2015·山东省实验中学二诊)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，cos α＝－45，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于( )A ．7 B.17 C ．－17 D ．－75．(2014·云南统考)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝( )A ．－78B ．－14 C.14 D.786．(2015·成都市一诊)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝35，－π2＜α＜0，则sin 2α的值是( )A.2425B.1225 C ．－1225 D ．－24257．(2015·绵阳市一诊)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，那么sin 2x ＝( )A.1825 B ．±2425 C ．－725 D.7258．(2015·山西省二诊)已知α为第三象限角，且sin α＋cos α＝2m ，sin 2α＝m 2，则m 的值为( )A.33 B ．－33 C ．－13 D ．－239．(2015·泰安市检测)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝13，则cos 2α＝________．10．(2015·南京市调研)函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的最小正周期为________．11．(2015·乐山市调研)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)为偶函数，其图象上相邻的两个最高点间的距离为2π.(1)求f (x )的解析式；(2)若α为锐角，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝13，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α的值．1．(2015·山东)要得到函数y ＝sin ⎝⎭⎪4x －3的图象，只需将函数y＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向右平移π3个单位 2．(2015·新课标全国Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z3．(2014·安徽)若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8B.π4C.3π8D.5π44．(2014·新课标全国Ⅰ)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③ 5．(2015·陕西)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．6．(2015·天津)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．7．(2015·湖南)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________．8．(2015·重庆)已知函数f (x )＝12sin 2x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，求g (x )的值域．1．( ) A.12 B ．2 C ．2π D ．π2．(2015·泰安市检测)设a ＝sin 31°，b ＝cos 58°，c ＝tan 32°，则( )A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a3．(2015·宝鸡市质检)设x 是三角形的最小内角，则函数y ＝sin x ＋cos x 的值域是( )A ．(0，2]B ．[－2，2]C ．(1，2] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，3＋12 4．(2015·绵阳市一诊)在(0，2π)内，使|sin x |≥cos x 成立的x 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π4 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π4，2π5．(2015·赤峰市统考)已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ≤π2，且此函数的图象如图所示，由点P (ω，φ)的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2D.⎝⎛⎭⎪⎫4，π46．(2015·黄冈市质检)已知函数y ＝2015cos(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)，满足f (－x )＝－f (x )，其图象与直线y ＝0的某两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，|x 1－x 2|的最小值为π，则( )A ．ω＝2，φ＝π4B ．ω＝2，φ＝π2C ．ω＝1，φ＝π4D ．ω＝1，φ＝π27．(2015·四川省统考)点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋m (ω＞0，|φ|＜π2)的图象的一个对称中心，且点P 到该图象的对称轴的距离的最小值为π2，则( )A ．f (x )的最小正周期是πB ．m 的值为1C ．f (x )的初相φ为π3D ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤43π，2π上单调递增 8．(2015·怀化市监测)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 单调增区间为________．9．(2015·烟台市检测)将函数y ＝f (x )图象向上平移一个单位长度，再向左平移π4个单位长度，则所得图象对应的函数y ＝2cos 2x ，则f (x )＝________．10．(2015·武汉市调研)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝22，且0＜α＜π，求f (α)的值； (2)当f (x )取得最小值时，求自变量x 的集合．1．(2015·广东a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32，且b <c ，则b ＝( )A. 3 B ．2 2 C ．2 D. 32．(2014·新课标全国Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．13．(2015·北京)在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，∠A ＝2π3，则∠B ＝________．4．(2015·重庆)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________．5．(2015·湖北)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.6．(2014·福建)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________．7．(2015·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14.(1)求a 和sin C 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6的值．8．(2015·新课标全国Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C .(1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．1．(2015·B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若a ＝9，b ＝6，A ＝60°，则sin B ＝( )A ．－13 B.13 C.33 D ．－332．(2015·北京西城区高三期末)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2b ，sin B ＝34，则( )A ．A ＝π3B ．A ＝π6C ．sin A ＝33D ．sin A ＝233．(2015·北京昌平区高三期末)在△ABC 中，∠A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则∠B 等于( )A ．120°B ．90°C ．60°D ．45°4．(2015·黄冈中学检测)在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若b ＝2a sin B ，则角A 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°5．(2015·临川一中检测)已知△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43 C ．－34 D ．－436．(2015·福州市质检)若△ABC 中B ＝60°，点D 为BC 边中点，且AD ＝2，∠ADC ＝120°，则△ABC 的面积等于( )A ．2B ．3 C. 3 D ．2 3 7．(2015·北京朝阳区期末)如图，塔AB 底部为点B ，若C ，D 两点相距为100 m 并且与点B 在同一水平线上，现从C ，D 两点测得塔顶A 的仰角分别为45°和30°，则塔AB 的高约为(精确到0.1 m ，3≈1.73，2≈1.41)( )A ．36.5B ．115.6C ．120.5D ．136.58．(2015·湛江市调研)在△ABC 中，边a 、b 所对的角分别为A 、B ，若cos A ＝－35，B ＝π6，b ＝1，则a ＝( )A.85B.45C.165D.589．(2015·成都市一诊)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2a ，b ＝4，cos B ＝14，则边c 的长度为________．10．(2015·潍坊市质检)某中学举行升旗仪式，如图所示，在坡度为15°的看台上，从正对旗杆的一列的第一排到最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离AB ＝10 6 m ，则旗杆CD 的高度为________m.11．(2015·山西省二诊)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足(a －b )(sin A －sin B )＝c sin C －a sin B .(1)求角C 的大小；(2)若c ＝7，a ＞b ，且△ABC 的面积为323，求ba 的值． 12．(2015·衡水中学二调)如图，△ABC 中，sin 12∠ABC ＝33，AB ＝2，点D 在线段AC 上，且AD ＝2DC ，BD ＝433.(1)求BC 的长； (2)求△DBC 的面积．参考答案第三章三角函数、解三角形考点10 三角函数的概念【两年高考真题演练】1．D [∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝－512，故选D.]2．B [y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 为偶函数，y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x是周期为π的奇函数，故选B.]3．B [由题意知，f (x )＝|cos x |·sin x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝cosx ·sin x ＝12sin 2x ；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π时，f (x )＝－cos x ·sin x ＝－12sin 2x ，故选B.]4．A [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π6＋sin 17π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6＋sin 17π6＋sin 11π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋sin 17π6＋sin 11π6＋sin 5π6＝2sin 5π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12.] 5．－1 [sin α＋2cos α＝0，∴sin α＝－2cos α，∴tan α＝－2，又∵2sin αcos α－cos 2α＝2sin α·cos α－cos 2x sin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1，∴原式＝2×（－2）－1（－2）2＋1＝－1.]6．解 (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝tan α＋11－tan α＝2＋11－2＝－3；(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－（2cos 2α－1）－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1. 7．解 (1)由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2，得tan A ＝13. 所以sin 2A sin 2A ＋cos 2A ＝2tan A 2tan A ＋1＝25.(2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)，得sin A ＝1010，cos A ＝31010. 又由a ＝3，B ＝π4及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝3 5.由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4得sin C ＝255，设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ab sin C ＝9.【一年模拟试题精练】1．D [∵a ＝412＝2，∴tan a6π＝tan π3＝ 3.]2．A [由三角形函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32，故选A.]3．D [－10π3＝－4π＋2π3，所以－10π3与2π3的终边相同，所以tan 2π3＝－3＝－y ，则y ＝ 3.]4．C [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 014π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫670π＋4π3＝cos 4π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－cos π3＝－12.]5．C [∵sin(π－α)＝sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos α＝－45，故tan α＝sin αcos α＝－34.]6．D [由题意知：x ＜0，r ＝|OP |＝x 2＋16，故cos α＝xr ＝x x 2＋16，又cos α＝15x ，∴x x 2＋16＝15x ，解之得：x ＝－3， ∴tan α＝y x ＝－43.]7．D [由f (x )＝f (－x )，f (x －π)＝f (x )得f (x )是R 上周期为π的偶函数，f (x )＝cos 2x －sin 2x ＝cos 2x 满足要求．]8．D [因为角α终边经过点P (2，－1)，所以tan α＝－12，则sin α－cos αsin α＋cos α＝tan α－1tan α＋1＝－12－1－12＋1＝－3，故选D.]9．B [sin (α－π)＝－sin α，log 814＝－23，故sin α＝23，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫－3π2，－π2，得cos α＝－1－sin 2α＝－53，tan(－α)＝－sin αcos α＝255.]10.14 [⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝π2，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14.] 11．－3 [－sin α＝sin 2α＝2sin αcos α，即sin α(2cos α＋1)＝0，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α≠0，故cos α＝－12，sin α＝32，故tan α＝sin αcos α＝－ 3.]12．解 (1)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＋m ＝2＋m ＝6，∴m ＝4. (2)由f (θ)＝285，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6＋4＝285，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6＝45，∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π16，5π12，∴2θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6＝－35.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4θ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6＝－2425.13．解 (1)由已知，f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12得f (x )＝12(1＋cos x )－12sin x －12＝12(cos x －sin x )＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f (x )的最小正周期为2π，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22.(2)由(1)知，f (α)＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝3210，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35.所以sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－1825＝725，或由f (α)＝12(cos α－sin α)＝3210得：cos α－sin α＝325，两边平方得：1－sin 2α＝1825，所以sin 2α＝725.考点11 三角恒等变换【两年高考真题演练】1．D [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.]2．A [tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝12－131＋12×13＝17.]3．C [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5 ＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin α·cos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtan π5－1＝2＋12－1＝3.]4．π 3－22 [函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32.最小正周期为π.最小值为3－22.]5．2 [f (x )＝4cos 2x2sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2－1－|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，令f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.在同一坐标系中作出两个函数y ＝sin 2x 与函数y ＝|ln(x ＋1)|的大致图象如图所示．观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f (x )有2个零点．] 6．1 [f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)．∴f (x )max ＝1.]7．解 (1)因为f (x )＝sin 2 x ＋cos 2 x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由(1)的计算结果知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0.综上，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.8．解 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减．9．解 (1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z .由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z . 所以，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以，sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2 α－sin 2 α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，知cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.【一年模拟试题精练】1．D [∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos α＝34，∴sin α＝－74，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－378.]2．B [sin 2α－cos 2α＝－cos 2α＝2sin 2α－1＝－35.]3．B [cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝－19.]4．B [∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，cos α＝－45，∴sin α＝－35，故tan α＝sin αcos α＝34，因此tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝17.]5．A [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142－1＝－78.] 6．D [∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝－sinα＝35，即sin α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0 ∴cos α＝45，故sin 2α＝2sin αcos α＝－2425.]7．C [因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1＝－725，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin 2x ＝－725.]8．B [把sin α＋cos α＝2m 两边平方可得1＋sin 2α＝4m 2，又sin 2α＝m 2，∴3m 2＝1，解得m ＝±33，又α为第三象限角，∴m ＝－33.]9．－79 [∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝13，∴cos α＝－13，∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－79.]10．π [∵f (x )＝cos 2x －sin 2x ＝cos 2x ， ∴f (x )的最小正周期为2π|ω|＝2π2＝π.]11．解 (1)∵图象上相邻的两个最高点间的距离为2π，∴T ＝2π，即ω＝2πT ＝1，又f (x )为偶函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z )．又∵φ∈[0，π]，∴φ＝π2， ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x . (2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝13，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝223，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝－cos α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3cos π3－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3sin π3＝－1＋266.考点12 三角函数的图象和性质【两年高考真题演练】1．B [∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝⎛⎭⎪⎫x －π12，∴要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位．]2．D [由图象知T 2＝54－14＝1，∴T ＝2.由选项知D 正确．]3．C [f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，将其图象向右平移φ个单位得到g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8－φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2φ的图象．∵g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2φ的图象关于y 轴对称，即函数g (x )为偶函数，∴π4－2φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝－k π2－π8，k ∈Z ，因为当k ＝－1时，φ有最小正值3π8.]4．C [①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，T ＝π. ②由图象知，函数的周期T ＝π. ③T ＝π. ④T ＝π2.综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③.]5．8 [由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5，∴y max ＝k ＋3＝8.]6.π2 [f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，由－π2＋2k π≤ωx ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－3π4＋2k π≤ωx ≤π4＋2k π，由题意f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，可知k ＝0，ω≥π2，又函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，所以，sin ⎝⎛⎭⎪⎫ω2＋π4＝1，ω2＋π4＝π2，∴ω＝π2.]7.π2 [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2sin ωx ，y ＝2cos ωx ，知sin ωx ＝cos ωx ，即sin ωx －cos ωx ＝0，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4＝0，∴ωx ＝π4＋k π，x ＝1ω⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋k π(k ∈Z )，∴两函数交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1ω⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋k π，2(k ＝0，2，4，…)或⎝ ⎛⎭⎪⎫1ω⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋k π，－2(k ＝…，－3，－1，1，3，…)∴最短距离为（22）2＋π2ω2＝23，∴π2ω2＝4，∴ω＝π2.]8．解 (1)f (x )＝12sin 2x －3cos 2x ＝12sin 2x －32(1＋cos 2x )．＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最小值为－2＋32.(2)由条件可知，g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－32.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，有x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，从而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－32的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，2－32. 故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，2－32.【一年模拟试题精练】 1．D [∵f (x )＝cos 2x ， ∴f (x )的最小正周期为2π|ω|＝π.]2．B [∵a ＝sin 31°＝cos 59°＜cos 58°，∴a ＜b ， ∵tan 32°＝sin 32°cos 32°＝cos 58°cos 32°＞cos 58°，∴c ＞b ，故c ＞b ＞a .]3．C [∵x 为三角形最小内角，∴x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3，y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，7π12，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤22，1，故y ∈(1，2]．]4．A [当x ∈(0，π]时，不等式为sin x ≥cos x ，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π；当x ∈(π，2π)时，不等式为－sin x ≥cos x 即sin x ＋cos x ≤0，解得x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π，7π4，综上得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π4.]5．B [由图象可得函数的周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π8－3π8＝π，∴2πω＝π，得ω＝2，将⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0代入y ＝sin(2x ＋φ)可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝0， ∴3π4＋φ＝π＋2k π(注意此点位于函数减区间上)， ∴φ＝π4＋2k π，k ∈Z ，由0＜φ≤π2可得φ＝π4，∴点(ω，φ)的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫2，π4.]6．D [∵f (－x )＝－f (x )， ∴φ＝π2＋k π(k ∈Z )，又∵φ∈(0，π)， ∴φ＝π2，故y ＝－2 015sin ωx∵ω＞0，∴T ＝2πω，又∵|x 1－x 2|min ＝π， ∴12T ＝πω＝π，得ω＝1.]7．D [∵点P 是函数y ＝f (x )的一个对称中心， ∴m ＝2，－π6ω＋φ＝k π(k ∈Z )，又T ＝4×π2＝2π，则ω＝1，由|φ|＜π2得φ＝π6，作图可知选项D 正确．]8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z ) [f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，π＋2k π≤2x ＋π6≤2π＋2k π，k ∈Z .即5π12＋k π≤x ≤11π12＋k π，k ∈Z .]9．sin 2x [y ＝f (x )是由y ＝2cos 2x ＝cos 2x ＋1向右平移π4个单位，再向下平移一个单位得到f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋1－1＝sin 2x .]10．解 (1)∵0＜α＜π， ∴π4＜π4＋α＜5π4，又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝22，∴π4＋α＝3π4，∴α＝π2，∴f (α)＝cos α(sin α＋cos α)－12 ＝cos π2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2＋cos π2－12＝－12；(2)f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12 ＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴当2x ＋π4＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝k π－3π8，k ∈Z 时，f (x )取得最小值，此时自变量x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－3π8，k ∈Z .考点13 解三角形【两年高考真题演练】1．C [由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－2×b ×23×32，即b 2－6b ＋8＝0，∴b ＝4或b ＝2，又b <c ，∴b ＝2.]2．B [S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，若B ＝45°，则由余弦定理得AC ＝1，∴△ABC 为直角三角形，不符合题意，因此B ＝135°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2×1×2×⎝⎛⎭⎪⎫－22＝5，∴AC ＝ 5.故选B.]3.π4 [由正弦定理得sin ∠B ＝b sin ∠A a ＝6sin 2π33＝22，因为∠A 为钝角，所以∠B ＝π4.]4．4 [由3sin A ＝2sin B ，得3a ＝2b ，∴b ＝32a ＝32×2＝3，在△ABC中，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋32－2×2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝16，解得c ＝4.]5．1006 [依题意，在△ABC 中，AB ＝600，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝45°，由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，得BC ＝3002，在Rt△BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝1006(m)．]6．23 [在△ABC 中，根据正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A ，所以4sin B＝23sin 60°，解得sin B ＝1，因为0°＜B ＜120°，所以B ＝90°，所以C ＝30°，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12·AC ·BC ·sin C ＝2 3.]7．解 (1)在△ABC 中，由cos A ＝－14，可得sin A ＝154. 由S △ABC ＝12bc sin A ＝315，得bc ＝24，又由b －c ＝2，解得b ＝6，c ＝4. 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a ＝8. 由a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝158.(2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝cos 2A ·cos π6－sin 2A ·sin π6＝32(2cos 2A －1)－12×2sin A ·cos A ＝15－7316. 8．解 (1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac . 又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c . 由余弦定理可得cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14. (2)由(1)知b 2＝2ac .因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2. 故a 2＋c 2＝2ac ，得c ＝a ＝ 2. 所以△ABC 的面积为1. 【一年模拟试题精练】1．C [由正弦定理：a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝33.] 2．A [由正弦定理：a sin A ＝b sin B 得sin A ＝32，∵△ABC 为锐角三角形， ∴A ＝π3.]3．D [由正弦定理：BC sin A ＝AC sin B ，得sin B ＝22，∵AC ＜BC ， ∴B ＜A ，∴B ＝45°.]4．A [由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝2a sin B sin B ，得：sin A ＝12， ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＝30°.]5．D [2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋2ab ＋b 2－c 2＝2×12ab sin C 即：c 2＝a 2＋b 2＋2ab －abc sin C ，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得：sin C －2cos C ＝ 2，又∵sin 2C ＋cos 2C ＝1，得：cos C ＝－35或 cos C ＝－1(舍)，∴sin C ＝45，故tan C ＝sin C cos C ＝－43.]6．D [∵∠B ＝60°，∠ADC ＝120°，∴∠ADB ＝60°，故△ABD 为等边三角形，故BD ＝DC ＝AB ＝2，因此S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝12×2×4×32＝2 3.]7．D [∵∠ACB ＝45°，∴AB ＝BC ，tan ∠ADB ＝tan 30°＝ABBD ＝AB AB ＋100，故AB ＝1003－1≈136.5.]8．A [由题意得，0＜A ＜π，sin A ＞0. 故sin A ＝1－cos 2A ＝45，由正弦定理知，a sin A ＝b sin B ⇒a ＝sin A ·b sin B ＝45×1sin π6＝85.]9．4 [由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得：a ＝2，故c ＝4.] 10．30 [∵∠DBA ＝45°，∠DAC ＝60°， ∴∠DAB ＝105°，故∠BDA ＝30°，由正弦定理：AD sin ∠DBA ＝ABsin ∠BDA 得AD ＝203，CD ＝AD ·sin 60°＝30.]11．解 (1)△ABC 中，由(a －b )(sin A －sin B )＝c sin C －a sin B ，利用正弦定理可得(a －b )(a －b )＝c 2－ab ，即a 2＋b 2－c 2＝ab .再利用余弦定理可得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝π3. (2)由(1)可得即a 2＋b 2－ab ＝7①，又△ABC 的面积为12ab ·sin C ＝323， ∴ab ＝6②. ①②可得b a ＝23.12．解 (1)因为sin 12∠ABC ＝33，所以cos ∠ABC ＝1－2×13＝13. △ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝3b ，则由余弦定理可得9b 2＝a 2＋4－4a3① 在△ABD 和△DBC 中，由余弦定理可得cos ∠ADB ＝4b 2＋163－41633b，cos ∠BDC ＝b 2＋163－a 2833b.因为cos ∠ADB ＝－cos ∠BDC ，所以有4b 2＋163－41633b ＝－b 2＋163－a 2833b，所以3b 2－a 2＝－6，②由①②可得a ＝3，b ＝1，即BC ＝3.(2)由(1)得△ABC 的面积为12×2×3×223＝22，所以△DBC 的面积为223.。

精编2018版高考复习一轮人教版数学历高考真题与模拟题汇编 C单元三角函数(文科2016)和答案

数学C 单元三角函数C1 角的概念及任意角的三角函数C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式17．C2 设a ∈R ，b ∈ 由sin(3x －π3)＝sin(3x －π3＋2π)＝sin(3x ＋5π3)，得(a ，b )＝(3，5π3).由sin(3x －π3)＝sin ＝sin(－3x ＋4π3)，得(a ，b )＝(－3，4π3).因为b ∈ 若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( ) A ．－45 B ．－15C.15D.456．D cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－191＋19＝45. 11．C2 sin 750°＝________．11.12 sin 750°＝sin (2×360°＋30°)＝sin 30°＝12. 14．C2，C5 已知θ是第四象限角，且sin θ＋π4＝35，则tan θ－π4＝________．14．－43 方法一：因为θ是第四象限角，且sin(θ＋π4)＝35>0，所以θ＋π4为第一象限角，所以cos(θ＋π4)＝1－sin 2（θ＋π4）＝45，所以tan （θ－π4）＝tan （θ＋π4－π2）＝－cot （θ＋π4）＝－4535＝－43. 方法二：由sin （θ＋π4）＝35，得sin θ＋cos θ＝352，两边分别平方得2sin θcos θ＝－725，所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝3225.因为θ是第四象限角，所以sin θ－cos θ＝－452，所以tan （θ－π4）＝tan θ－11＋tan θ＝sin θ－cos θsin θ＋cos θ＝－452352＝－43. 15．C2、C5、C8 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin 2B ＝3b sin A .(1)求B ；(2)若cos A ＝13，求sin C 的值．15．解：(1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B，可得a sin B ＝b sin A ，又由a sin 2B＝3b sin A ，得2a sin B cos B ＝3b sin A ＝3a sin B ，所以cos B ＝32，得B ＝π6.(2)由cos A ＝13，可得sin A ＝22，则sin C ＝sin ＝sin(A ＋B )＝sin(A ＋π6)＝32sin A ＋12cos A ＝26＋16. C3 三角函数的图象与性质4．B6，B7，C3 下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( ) A ．y ＝11－x B ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x4．D 选项A 中函数y ＝11－x ＝－1x －1在区间(－1，1)上是增函数；选项B中函数y ＝cos x 在区间(－1，0)上是增函数，在区间(0，1)上是减函数；选项C 中函数y ＝ln(x ＋1)在区间(－1，1)上是增函数；选项D 中函数y ＝2－x＝(12)x在区间(－1，1)上是减函数．4．C3 为了得到函数y ＝sin(x ＋π3)的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向上平行移动π3个单位长度D ．向下平行移动π3个单位长度4．A 根据“左加右减”的原则，要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像，只需把y ＝sin x 的图像向左平移π3个单位长度．17．C3、C7 设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图像向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图像，求g （π6）的值．17．解：(1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2＝23sin 2x －(1－2sin x cos x )＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1＝2sin （2x －π3）＋3－1.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间是(k ∈Z )或（k π－π12，k π＋5π12）(k ∈Z )．(2)由(1)知f (x )＝2sin （2x －π）＋3－1，把y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin （x －π3）＋3－1的图像，再把得到的图像向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图像，即g (x )＝2sin x ＋3－1，所以g （π6）＝2sin π6＋3－1＝ 3.9．C3 定义在区间上的函数y ＝sin 2x 的图像与y ＝cos x 的图像的交点个数是________．9．7 方法一：令sin 2x ＝cos x ，即2sin x cos x ＝cos x ，解得cos x ＝0或sin x ＝12，即x ＝k π＋π2或x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋56π(k ∈Z )，又x ∈，故x ＝π2，3π2，5π2或x＝π6，5π6，13π6，17π6，共7个解，故两个函数的图像有7个交点．方法二：在同一个坐标系内画出这两个函数的图像，由图像可得交点有7个．16．C3，C5，C6 已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．16．解：(1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin(2ωx ＋π4)，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.依题意，πω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝2sin(2x ＋π4).函数y ＝sin x 的单调递增区间为(k ∈Z )，由2k π－π≤2x ＋π≤2k π＋π(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为(k ∈Z )．C4 函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质3．C4 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像如图11所示，则( )图11A ．y ＝2sin （2x －π6）B ．y ＝2sin （2x －π3）C ．y ＝2sin （x ＋π6）D ．y ＝2sin （x ＋π3）3．A 由图知，A ＝2，最小正周期T ＝π，所以ω＝2ππ＝2，所以y ＝2sin(2x＋φ)．又因为图像过点（π3，2），所以2sin （2×π3＋φ）＝2，即2π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，当k ＝0时，得φ＝－π6，所以y ＝2sin （2x －π6）.6．C4 将函数y ＝2sin(2x ＋π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( )A ．y ＝2sin(2x ＋π4)B ．y ＝2sin(2x ＋π3)C ．y ＝2sin(2x －π4)D ．y ＝2sin(2x －π3)6．D 函数y ＝2sin(2x ＋π6)的周期为2π2＝π，将函数 y ＝2sin(2x ＋π6)的图像向右平移14个周期，即平移π4个单位，所得图像对应的函数为y ＝2sin ＝2sin(2x －π3). 14．C4 函数y ＝sin x －3cos x 的图像可由函数y ＝2sin x 的图像至少向右平移________个单位长度得到．14.π3 函数y ＝sin x －3cos x ＝2sin （x －π3）的图像可由函数y ＝2sin x 的图像至少向右平移π3个单位长度得到．11．C4 已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________．11. 2 1 2cos 2x ＋sin 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin （2x ＋π4）＋1，故A ＝2，b ＝1.5．C4 若函数f (x )＝4sin x ＋a cos x 的最大值为5，则常数a ＝________． 5．±3 根据题意得f (x )＝16＋a 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝a，故函数f (x )的最大值为16＋a 2，则16＋a 2＝5，解得a ＝±3.12．C4，F3 如图11，已知点O (0，0)，A (1，0)，B (0，－1)，P 是曲线y ＝1－x 2上一个动点，则OP→·BA →的取值范围是________．图1112．由题意，设P (cos α，sin α)，α∈，则OP→＝(cos α，sin α)．又BA →＝(1，1)，所以OP →·BA →＝cos α＋sin α＝2sin(α＋π4)∈．C5 两角和与差的正弦、余弦、正切14．C2，C5 已知θ是第四象限角，且sin θ＋π4＝35，则tan θ－π4＝________．14．－43 方法一：因为θ是第四象限角，且sin(θ＋π4)＝35>0，所以θ＋π4为第一象限角，所以cos(θ＋π4)＝1－sin 2（θ＋π4）＝45，所以tan （θ－π4）＝tan （θ＋π4－π2）＝－cot （θ＋π4）＝－4535＝－43. 方法二：由sin （θ＋π4）＝35，得sin θ＋cos θ＝352，两边分别平方得2sin θcos θ＝－725，所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝3225.因为θ是第四象限角，所以sin θ－cos θ＝－452，所以tan （θ－π4）＝tan θ－11＋tan θ＝sin θ－cos θsin θ＋cos θ＝－452352＝－43. 15．C2、C5、C8 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin 2B ＝3b sin A .(1)求B ；(2)若cos A ＝13，求sin C 的值．15．解：(1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B，可得a sin B ＝b sin A ，又由a sin 2B＝3b sin A ，得2a sin B cos B ＝3b sin A ＝3a sin B ，所以cos B ＝32，得B ＝π6. (2)由cos A ＝13，可得sin A ＝223，则sin C ＝sin ＝sin(A ＋B )＝sin(A ＋π6)＝32sin A ＋12cos A ＝26＋16. 15．C8、C5 在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长； (2)求cos A －π6的值．15．解：(1)因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－452＝35，由正弦定理知AC sin B ＝AB sin C ，所以AB ＝AC ·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )，于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos(B ＋π4)＝－cos B cos π4＋sin B sin π4，又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210，因此cos(A －π)＝cos A cos π＋sin A sin π＝－2×3＋72×1＝72－6.16．C3，C5，C6 已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．16．解：(1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin(2ωx ＋π4)，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.依题意，πω＝π，解得ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝2sin(2x ＋π4).函数y ＝sin x 的单调递增区间为(k ∈Z )，由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为(k ∈Z )． C6 二倍角公式12．B12，C6，E3 若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．12．C 方法一：对函数f (x )求导得f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53，因为函数f (x )在R 上单调递增，所以f ′(x )≥0，即－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0恒成立．设t ＝cos x ∈，则g (t )＝4t 2－3at －5≤0在上恒成立，所以有⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）＝4×（－1）2－3a ×（－1）－5≤0，g （1）＝4×12－3a ×1－5≤0，解得－13≤a ≤13. 方法二：取a ＝－1，则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ，f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ，但f ′(0)＝1－23－1＝－23<0，不满足f (x )在(－∞，＋∞)单调递增，排除A ，B ，D ，故选C.6．C2、C6 若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－15C.15D.456．D cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－191＋19＝45. 11．C6 函数f (x )＝cos 2x ＋6cos π2－x 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．711．B 由已知得f (x )＝－2sin x －322＋112，而sin x ∈，所以当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5.8．C6，C7 方程3sin x ＝1＋cos 2x 在区间上的解为________．8.π6或5π6化简3sin x ＝1＋cos 2x 得3sin x ＝2－2sin 2x ，所以2sin 2x ＋3sin x －2＝0，解得sin x ＝12或sin x ＝－2(舍去)，所以原方程在区间上的解为π6或5π6.16．C3，C5，C6 已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．16．解：(1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin(2ωx ＋π4)，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.依题意，πω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝2sin(2x ＋π4).函数y ＝sin x 的单调递增区间为(k ∈Z )，由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为(k ∈Z )． C7 三角函数的求值、化简与证明8．C6，C7 方程3sin x ＝1＋cos 2x 在区间上的解为________．8.π6或5π6化简3sin x ＝1＋cos 2x 得3sin x ＝2－2sin 2x ，所以2sin 2x ＋3sin x －2＝0，解得sin x ＝12或sin x ＝－2(舍去)，所以原方程在区间上的解为π6或5π6.17．C3、C7 设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图像向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图像，求g （π6）的值．17．解：(1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2＝23sin 2x －(1－2sin x cos x )＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1＝2sin （2x －π3）＋3－1.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间是(k ∈Z )或（k π－π12，k π＋5π12）(k ∈Z )．(2)由(1)知f (x )＝2sin （2x －π3）＋3－1，把y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin （x －π3）＋3－1的图像，再把得到的图像向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图像，即g (x )＝2sin x ＋3－1，所以g （π6）＝2sin π6＋3－1＝ 3.C8 解三角形8．C8 △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( )A.3π4B.π3C.π4D.π68．C ∵b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，∴2b 2sin A ＝b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ＝2b 2cos A ，∴tan A ＝1，即A ＝π4.4．C8 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( )A. 2B. 3 C ．2 D ．34．D 由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×23，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D.9．C8 在△ABC 中，B ＝π，BC 边上的高等于1BC ，则sin A ＝( )A.310B.1010 C.55 D.310109．D 作AD ⊥BC 交BC 于点D ，设BC ＝3，则有AD ＝BD ＝1，AB ＝2，由余弦定理得AC ＝ 5.由正弦定理得5sin π4＝3sin A ，解得sin A ＝3×225＝31010. 14．C8、E6 在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tanC 的最小值是________．14．8 方法一：∵sin A ＝2sin B sin C ，sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cosB sinC ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，两边同除以cos B cos C ，可得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ， tan A tan B tan C ＝－tan(B ＋C )tan B tan C ＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C·tan B tan C ＝2（tan B tan C ）2tan B tan C －1，由三角形为锐角三角形得tan B >0，tan C >0，tan A ＝tan B ＋tan Ctan B tan C －1>0，即tan B tan C －1>0.令tan B tan C －1＝t (t >0)，则tan A tan B tan C ＝2（t ＋1）2t ＝2t ＋1t＋2≥8，当t ＝1，即tan B tan C ＝2时取等号．方法二：同方法一可得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，又tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋(1－tan B tan C )·tan(B ＋C )＝tan A －tan A ＋tan A tan B tan C ＝tan A tan B tan C ，所以tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋2tan B tan C ≥22tan A tan B tan C ⇒tan A tan B tan C ≥8，当且仅当tan A ＝2tan B tan C ＝4时取等号．10．C8 已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于________．10.733 利用余弦定理可求得最大边7所对角的余弦值为32＋52－722×3×5＝－12，所以此角的正弦值为32.设三角形外接圆的半径为R ，由正弦定理得2R ＝732，所以R ＝733.15．C8 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________． 15.2113 因为cos A ＝45，cos C ＝513，且A ，C 为三角形的内角，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365.又因为a sin A＝bsin B ，所以b ＝a sin B sin A ＝2113.13．C8 在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则bc＝________．13．1 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得，3c 2＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3，整理得(b c )2＋b c －2＝0，解得b c ＝1或bc＝－2(舍去)．15．C2、C5、C8 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin 2B ＝3b sin A .(1)求B ；(2)若cos A ＝13，求sin C 的值．15．解：(1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B，可得a sin B ＝b sin A ，又由a sin 2B ＝3b sin A ，得2a sin B cos B ＝3b sin A ＝3a sin B ，所以cos B ＝32，得B ＝π6.(2)由cos A ＝13，可得sin A ＝223，则sin C ＝sin ＝sin(A ＋B )＝sin(A ＋π6)＝32sin A ＋12cos A ＝26＋16. 16．E5 某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域． (2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．16．C8 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B .(1)证明：A ＝2B ；(2)若cos B ＝23，求cos C 的值．16．解：(1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .(2)由cos B ＝23得sin B ＝53，cos 2B ＝2cos 2B －1＝－1，故cos A ＝－19，sin A ＝459，cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝2227.15．C8、C5 在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝4，C ＝π.(1)求AB 的长； (2)求cos A －π6的值．15．解：(1)因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－452＝35，由正弦定理知AC sin B ＝AB sin C ，所以AB ＝AC ·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )，于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos(B ＋π4)＝－cos B cos π4＋sin B sin π4，又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210，因此cos(A －π6)＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620.14．C8、E6 在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tanC 的最小值是________．14．8 方法一：∵sin A ＝2sin B sin C ，sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cosB sinC ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，两边同除以cos B cos C ，可得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，tan A tan B tan C ＝－tan(B ＋C )tan B tan C ＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C ·tan B tan C ＝2（tan B tan C ）2tan B tan C －1，由三角形为锐角三角形得tan B >0，tan C >0，tan A ＝tan B ＋tan Ctan B tan C －1>0，即tan B tan C －1>0.令tan B tan C －1＝t (t >0)，则tan A tan B tan C ＝2（t ＋1）2t ＝2t ＋1t＋2≥8，当t ＝1，即tan B tan C ＝2时取等号．方法二：同方法一可得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，又tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋(1－tan B tan C )·tan(B ＋C )＝tan A －tan A ＋tan A tan B tan C ＝tan A tan B tan C ，所以tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋2tan B tan C ≥22tan A tan B tan C ⇒tan A tan B tan C ≥8，当且仅当tan A ＝2tan B tan C ＝4时取等号． C9 单元综合8．C9 已知函数f (x )＝sin 2ωx 2＋12sin ωx －12(ω>0)，x ∈R .若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )A ．(0，18]B ．(0，14]∪[58，1)C ．(0，58 ]D ．(0，18]∪[14，58]8．D f (x )＝sin 2ωx 2＋12sin ωx －12＝1－cos ωx 2＋12sin ωx －12＝12sin ωx －12cos ωx＝2sin(ωx －π4). 因为函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点，所以T 2>2π－π，即πω>π，所以0<ω<1.当x ∈(π，2π)时，ωx －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ－π4，2ωπ－π4.若函数f (x )在区间(π，2π)内有零点，则ωπ－π4<k π<2ωπ－π4(k ∈Z )，即k 2＋18<ω<k ＋14(k ∈Z )．当k ＝0时，18<ω<14；当k ＝1时，58<ω<54.所以函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点时，0<ω≤18或14≤ω≤58.18．C9 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos Bb＝sin C c. (1)证明：sin A sin B ＝sin C ；(2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B . 18．解：(1)证明：根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c中，有 cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C k sin C，变形可得 sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，所以sin A sin B ＝sin C .(2)由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45. 由(1)知，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ，故tan B ＝sin B cos B＝4. 1. sin 18°·sin 78°－cos 162°·cos 78°＝( )A. －32B. －12C. 32D. 121. D sin 18°·sin 78°－cos 162°·cos 78°＝sin 18°·sin 78°＋cos 18°·cos 78°＝cos ()78°－18°＝cos 60°＝12. 1. 要得到函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像，只需将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像( )A. 向左平移π2个单位长度 B. 向右平移π2个单位长度 C. 向左平移π4个单位长度 D. 向右平移π4个单位长度 1. C 易知f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，故把g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向左平移π4个单位长度，就可得到f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像． 1. f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2x ＋cos 2x 的振幅和最小正周期分别是( ) A.3，π2 B. 3，π C. 2，π2 D. 2，π 1. B f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＋cos 2x ＝12cos 2x －32sin 2x ＋cos 2x ＝32cos 2x －32sin 2x ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，故振幅A ＝3，最小正周期T ＝2π2＝π.。

2011年—2016年新课标全国卷1文科数学分类汇编—4.三角函数、解三角形

C．②④ D．①③
【2014，2】若 tan 0，则（）
A． sin 0
B． cos 0
C． sin 2 0
D． cos 2 0
【2013，10】已知锐角△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，
则 b＝( )
A．10
B．9
sin 60 sin 45
2
中，MN=AMsin60°=150．
【2011，15】 △ABC 中， B 120 ， AC 7 ， AB 5 ，则 △ABC 的面积为
．
【解析】由余弦定理知 AC2 AB2 BC2 2AB BC cos120 ，
即 49 25 BC2 5BC ，解得 BC 3．
cos
4
4 5
，故
tan
4
3 4
，所以
tan
4
tan
1
4
4 3
．
【2013，16】设当 x＝θ 时，函数 f(x)＝sin x－2cos x 取得最大值，则 cos θ＝______．答案：
解析： 2 5 ． ∵f(x)＝sin x－2cos x＝ 5 sin(x－φ)，其中 sin φ＝ 2 5 ，cos φ＝ 5 ．
即 2sin Acos A 1，亦即 sin 2A 1．
又因为在△ABC 中， B 90 ，所以 0 A 90 ，
则 2A 90 ，得 A 45 ．
所以△ABC 为等腰直角三角形，得 a c
2
，所以 S△ABC
1 2
2
2 1．
6
解法二：由（1）可知 b2 2ac ，①
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因为 B 90 ，所以 a2 c2 b2 ，②

「精选」人教版最新高考数学专题复习测试题——三角函数(文科)Word版-精选文档

高考第一轮复习专题素质测试题(附参考答案)三角函数（文科）班别______学号______姓名_______评价______ （考试时间120分钟，满分150分，试题设计：隆光诚）一、选择题（每小题5分，共60分. 以下给出的四个备选答案中，只有一个正确） 1．（08陕西）sin330︒等于（）A ．2-B ．12-C ．12D ．2．（08全国Ⅱ）若sin 0α<且tan 0α>是，则α是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3.（09全国Ⅰ）已知tan a =4，cot β=13，则tan(a+β)=（） A.711 B.711- C. 713 D. 713- 4.（10陕西）函数()2sin cos f x x x =是最小正周期为（）A. 最小正周期为2π的奇函数B. 最小正周期为2π的偶函数C. 最小正周期为π的奇函数D. 最小正周期为π的偶函数 5.（08宁夏）函数()cos22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（）A. －3，1B. －2，2C. －3，32D. －2，326.（09辽宁）已知tan 2θ=，则22sinsin cos 2cos θθθθ+-=（）A. 43-B ．54 C ．34-D ．457.（09福建）已知锐角ABC ∆的面积为4,3BC CA ==，则角C 的大小为（） A. 75° B. 60° C. 45° D.30° 8.（09湖北）“sin α=21”是“212cos =α”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件9.（10重庆）下列函数中，周期为π，且在[,]42ππ上为减函数的是（）A ．sin(2)2y x π=+B. cos(2)2y x π=+C. sin()2y x π=+ D. cos()2y x π=+10. （10上海）若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC （）A.一定是锐角三角形. B ．一定是直角三角形.C.一定是钝角三角形.D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.11．（08天津）把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）A ．sin 23y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ， B ．sin 26x y x π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭R ， C ．sin 23y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， D ．sin 23y x x 2π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， 12.（09四川）已知函数()sin()()2f x x x R π=-∈，下面结论错误的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为2π B. 函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 C. 函数()f x 的图像关于直线0x =对称 D. 函数()f x 是奇函数二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13.（08北京）若角a 的终边经过点P (1，-2)，则tan 2a 的值为 . 14．（09北京）若4sin ,tan 05θθ=->，则cos θ= . 15.（09辽宁）已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+> 的图象如图所示，则ω = .16.（10北京）在ABC ∆中.若1b =，c =23c π∠=，则a= . 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤） 17．(本题满分10分，06天津17）已知5tan cot 2αα+=，ππ42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，．求cos2α和πsin(2)4α+的值．18. ( 本题满分12分，05福建17) 已知51cos sin ,02=+<<-x x x π. （Ⅰ）求x x cos sin -的值；（Ⅱ）求xxx tan 1sin 22sin 2-+的值.19．（本题满分12分，08陕西17）已知函数()2sin cos 442x x xf x =+．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；（Ⅱ）令π()3g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由．20．（本题满分12分，09陕西17）已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的周期为π，且图象上一个最低点为2(,2)3M π-. （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）当[0,]12x π∈，求()f x 的最值.21．（本题满分12分，08全国Ⅱ）在ABC △中，5cos 13A =-，3cos 5B =．（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）设5BC =，求ABC △的面积．22.（本题满分12分，10全国Ⅰ18）已知△ABC 的内角A ，B 及其对边a ，b 满足cot cot a b a A b B +=+，求内角C ．参考答案：一、选择题答题卡：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BCBCCDBAACCD二、填空题 13.34. 14．53-. 15.23. 16. 1. 三、解答题17．解法一：由5tan cot ,2αα+=得sin cos 5,cos sin 2αααα+=则254,sin 2.sin 25αα== 因为(,),42ππα∈所以2(,),2παπ∈3cos 2,5α==sin(2)sin 2.cos cos 2.sin 444πππααα+=+42525210=⨯-⨯= 解法二：由5tan cot ,2αα+=得15tan ,tan 2αα+= 解得tan 2α=或1tan .2α=由已知(,),42ππα∈故舍去1tan ,2α=得tan 2.α=因此，sin αα==那么223cos 2cos sin ,5ααα=-=-且4sin 22sin cos ,5ααα==故sin(2)sin 2.cos cos 2.sin 444πππααα+=+42525210=⨯-⨯= 18. 解法一：（Ⅰ）由,251cos cos sin 2sin ,51cos sin 22=++=+x x x x x x 平方得整理得 .2549cos sin 21)cos (sin .2524cos sin 22=-=--=x x x x x x又,0cos sin ,0cos ,0sin ,02<-><∴<<-x x x x x π故 .57cos sin -=-x x （Ⅱ）.12457512524sin cos )sin (cos cos sin 2cos sin 1)sin (cos sin 2tan 1sin 22sin 2-=⨯-=-+=-+=-+x x x x x x xx x x x x x x 解法二：（Ⅰ）联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.1cos sin ,51cos sin 22x x x由①得,cos 51sin x x -=将其代入②，整理得,012cos 5cos 252=--x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∴<<-=-=∴.54c o s ,53s i n ,02.54c o s 53c o sx x x x x π 或故 .57cos sin -=-x x（Ⅱ）.17524431)53(254)53(2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 222-=+-+⋅-⋅=-+=-+x x x x x x x x 19．解：（Ⅰ）)(x fsin22x x =π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． ()f x ∴的最小正周期2π4π12T ==．当πsin 123x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭时，()f x 取得最小值2-；当πsin 123x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()f x 取得最大值2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()2sin 23x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭．又π()3g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．∴1ππ()2sin 233g x x ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 22x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2cos 2x =．∵()2cos 2cos ()22x x g x g x ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭． ①②∴函数()g x 是偶函数．20．解：（Ⅰ）由最低点为2(,2)23M A π-=得. 由222T T πππωπ====得.由点2(,2)3M π-在图像上得42sin()23πϕ+=-即4sin()13πϕ+=-.41122,326k k k Z πππϕπϕπ∴+=-=-∈即，又(0,)2πϕ∈，6πϕ∴=.()2sin(2)6f x x π∴=+.（Ⅱ）.3626,120,12,0πππππ≤+≤∴≤≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈x x x 即 ,0()166x f x ππ∴==当2x+即时，取得最小值；,()6312x f x πππ==当2x+即时，. 21．解：（Ⅰ）由5cos 13A =-，得12sin 13A =，由3cos 5B =，得4sin 5B =．所以16sin sin()sin cos cos sin 65C A B A B A B =+=+=．（Ⅱ）由正弦定理得45sin 13512sin 313BC B AC A ⨯⨯===．所以ABC △的面积1sin 2S BC AC C =⨯⨯⨯1131652365=⨯⨯⨯83=．22.解：.sin 2,sin 2,2sin sin B R b A R a R BbA a ==∴==又 cot cot a b a A b B +=+,B B R A A R B R A R cot sin 2cot sin 2sin 2sin 2+=+∴. 整理得：B sin cos cos sin -=-B A A . 即B)-4sin(2)4sin(2ππ=-A .B 44-=-∴ππA 或πππ=-+-B 44A （舍）.2B π=+∴A ，从而2C π=..。

高考文科数学真题汇编：三角函数高考题老师版

4 3
(k2

2k1)

2 3
，又
T

2

2
，所以
0

1，所以

2 3
，

2k1

1 12
，由|
|
π
得

12
，故选
A．
32.(2014 新标 1 文)在函数① y cos| 2x |，② y | cosx | ，③ y cos(2x ) ,④ y tan(2x ) 中，最小

（ k Z ），∵ 0

，
44
4
2
4
∴

=
，故选
A.
4
31、(2017 年天津卷文)设函数 f (x) 2sin(x ), x R ，其中 0,| | π ．若 f (5π) 2, f (11π) 0,
8
8
且 f (x) 的最小正周期大于 2π ，则

（C）
A． 2 B． 1 C．源自 D． 2 5 55 55．（2014 安徽）设函数 f (x)(x R) 满足 f (x ) f (x) sin x ，当 0 x 时， f (x) 0 ，则 f ( 23 ) 6
（）
A． 1 B． 3 C． 0 D． 1
一个可能取值为?（B）
（A）? 3 ?????（B）???? ??（C）0????（D）?
4
4
4
14．（2013 山东）函数 y＝xcosx＋sinx 的图象大致为( D )
15．（2016 年全国 I 卷）将函数 y=2sin(2x+)的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为（D）

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