2014-2015高中数学 3.2.2复数代数形式的乘除运算课时作业新人教A版选修2-2

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2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第三章 3.2 3.2.2 复数代数形式的乘除运算

z2 · z1 z1· z2＝________ z1 ( z2 · z3 ) (z 1 · z2)· z3＝________
1 z2 ＋ z1 z3 z1(z2＋z3)＝z ________
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基础梳理
例：(1) (2＋i)i＝__________________； (2)(1－2i)(3＋i)＝________________.
解析：(1)原式＝1－i2＋(－1＋i)＝2－1＋i＝1＋i.
3 3 3 1 (2)原式＝－－＋4－4i(1＋i) 4 4 3 1 ＝－＋ i(1＋i) 2 2 3 1 1 3 ＝－－＋－ i 2 2 2 2
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1＋ 3 1－ 3 ＝－＋ i. 2 2
－2＋3i －2＋3i1－2i (3)原式＝＝ 1＋2i 1＋2i1－2i －2＋6＋3＋4i 4 7 ＝＝＋ i. 5 5 12＋22 5－29 5 i 5－29 5 i7＋3 5 i (4)原式＝＝ 7－3 5 i 7－3 5 i7＋3 5 i 35＋29×15＋15 5－29×7 5i 470－188 5 i ＝＝ 2 2 94 7 ＋3 5 ＝5－2 5 i.
2 2 2 2
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基础梳理
例：i＋2 的共轭复数是( A．2＋i C．－2＋i
答案：B
)
B．2－i D．－2－i
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＋ 2
4 ． i
4n ＋ 1
4n i － 1 － i 1 ＝ ______________ ， i
＝
i －1 －i 1 ， ____________
i －1 －i 1， i4n ＋ 3 ＝ ____________

3.2.2复数代数形式的乘除运算(1)

∴ z z 2a R
∴ z 1 是实数. z
2.设 z 为复数,且| z || z 1 | 1，求 | z 1 | 的值.
解：设 z a bi(a，b R) z 1 (a 1) bi，且| z || z 1| 1
a2 (a
b2 1)2
1 b2
1
a2
a2
b2 b2
1 2a
⑵z1·z2是一个怎样的数？
解：⑴作图
y
y
y
⑵令z1=a+bi,则z2=a-bi
(a,b)
o
x
(a,-b)
(0,b)
则z1·z2=(a+bi)(a-bi)
o
x
o
x
(a,o)
(0,-b)
=a2-abi+abi-bi2
z1=a+bi
z1=bi
z1=a
=a2+b2
得出结论：在复平面内，共
轭复数z1 ,z2 所对应的点
解方程组,得
a
1 2
0
b2
3 4
| z 1|| (a 1) bi | (a 1)2 b2 ( 1 1)2 3 3 24
注：一般地，欲求一个复数，通常先设出复数的代数形式 a＋bi（a，b∈R），而后利用已知条件列出关于 a，b 的方程组，求解出 a，b，也即求得了这个复数，在这里，方程的思想方法得到了充分运用.
(
12 212
23 232i
2
i1)2
4
(3i
2
1 2
2
3
4
23 i) 2
2
( 10; 3 i)( 1 3 i) ( 1)2 ( 3 i)2

高中数学(人教A版选修2-2)课时作业3.2.2 复数代数形式的乘除运算

课时提升作业(二十三)复数代数形式的乘除运算一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2014·深圳高二检测)i为虚数单位，则=( )A.-iB.-1C.iD.1【解析】选C.因为==i，所以原式=i2 013=i4×503+1=i.2.(2014·东营高二检测)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是( )A.EB.FC.GD.H【解析】选D.依题意得z=3+i，====2-i，该复数对应的点的坐标是(2，-1).3.(2013·山东高考)复数z=(i为虚数单位)，则|z|=( )A.25B.C.5D.【解题指南】从复数的运算法则及复数的模的概念角度处理.【解析】选C.z==-4-3i，所以|z|==5.4.(2014·江西高考)是z的共轭复数.若z+=2,(z-)i=2(i为虚数单位),则z=( ) A.1+i B.-1-i C.-1+i D.1-i【解析】选D.设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,z+=2a=2,故a=1,(z-)i=-2b=2,故b=-1,所以z=1-i.5.(2013·四川高考)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )A.AB.BC.CD.D【解题指南】解决本题的关键是明确复数z=a+bi(a，b∈R)的共轭复数的形式是=a-bi，然后根据图示进行选择即可.【解析】选B.由于点A表示复数z=a+bi(a，b∈R)，所以其共轭复数是=a-bi，在图中应该是点B对应的复数，故选B.6.下面关于复数z=的结论，正确的是( )①=2；②z2=2i；③z的共轭复数为1+i；④z的虚部为-1.A.①②B.②③C.②④D.③④【解析】选C.z===-1-i，所以==，z2=(-1-i)2=2i.z的共轭复数为-1+i.z的虚部为-1，所以②④正确.二、填空题(每小题4分，共12分)7.计算(7-i)=__________.【解题指南】复数乘法运算可以把虚数单位i看作一个字母，按照实数的多项式乘法运算法则进行运算.【解析】(7-i)=×7-i+i·7-i·i=+i.答案：+i8.如果x-1+yi与i-3x是共轭复数，则实数x=__________，实数y=__________.【解析】由已知得所以答案：-19.(2014·银川高二检测)已知=b+i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a+b=__________.【解析】根据已知可得=b+i⇒2-ai=b+i⇒即从而a+b=1.答案：1【变式训练】i是虚数单位，若=a+bi(a，b∈R)，则乘积ab的值是( )A.-15B.-3C.3D.15【解析】选B.==-1+3i=a+bi，所以a=-1，b=3，所以ab=-3.三、解答题(每小题10分，共20分)10.计算：(1)(2+i)(2-i).(2)(1+2i)2.(3)+.【解析】(1)(2+i)(2-i)=4-i2=4-(-1)=5.(2)(1+2i)2=1+4i+(2i)2=1+4i+4i2=-3+4i.(3)原式=+=i6+=-1+i.【一题多解】(3)原式=+=i6+i=-1+i.【拓展延伸】复数的运算顺序复数的运算顺序与实数运算顺序相同，都是先进行高级运算乘方、开方，再进行次级运算乘、除，最后进行低级运算加、减，如i的幂运算，先利用i的幂的周期性，将其次数降低，然后再进行四则运算.11.(2014·天津高二检测)已知复数z满足z=(-1+3i)(1-i)-4.(1)求复数z的共轭复数.(2)若w=z+ai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围.【解题指南】先利用乘法法则计算出z，再求出复数z，w的模，进而计算出a的范围.【解析】(1)z=-1+i+3i+3-4=-2+4i，所以复数z的共轭复数为-2-4i.(2)w=-2+(4+a)i，复数w对应向量为(-2，4+a)，其模为=.又复数z所对应向量为(-2，4)，其模为2.由复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模得，20+8a+a2≤20，a2+8a≤0，a(a+8)≤0，所以，实数a的取值范围是-8≤a≤0.一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2014·武汉高二检测)已知复数z1=cos23°+isin23°和复数z2=sin53°+isin37°，则z1·z2=( )A.+iB.+iC.-iD.-i【解析】选 A.由已知及复数乘法与三角公式得，z1·z2=(cos23°+isin23°)(sin53°+isin37°)=(cos23°+isin23°)(cos37°+isin37°)=(cos23°cos 37°-sin 23°sin 37°)+i(cos 23°sin 37°+sin 23°cos 37°)=cos 60°+isin 60°=+i.故选A.2.(2014·长春高二检测)已知3-i=z·(-2i)，那么复数z在复平面内对应的点应位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解题指南】先计算出z，再判断z所在的象限.【解析】选A.z==+i.【举一反三】若结论改为求复数z的共轭复数的模，则结果如何?【解析】z==+i.则=-i，即得||===1.3.(2014·安徽高考)设i是虚数单位,复数i3+= ( )A.-iB.iC.-1D.1【解题指南】利用复数的运算性质进行计算.【解析】选D.i3+=-i+=-i+=-i+=1.4.(2014·长沙高二检测)定义：复数b+ai是z=a+bi(a，b∈R)的转置复数，记为z′=b+ai；复数a-bi是z=a+bi(a，b∈R)的共轭复数，记为=a-bi.给出下列命题：①z′=i；②′+=0；③z′1·z′2=；其中真命题的个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】选C.i=i(a-bi)=b+ai=z′，①正确；′+=(a-bi)′+=-b+ai+b-ai=0，②正确；设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1，a2，b1，b2∈R).z′1·z′+b1i)′·(a2+b2i)′2=(a1=(b1+a1i)·(b2+a2i)=(b1b2-a1a2)+(b1a2+a1b2)i.===(a1a2-b1b2)-(b1a2+a1b2)i，所以z′1·z′2≠，③错，故选C.二、填空题(每小题5分，共10分)5.(2014·石家庄高二检测)若复数z=的实部为3，则z的虚部为__________.【解析】z===，由条件知，=3，所以a=-1，所以z=3+i，所以z的虚部为1.答案：16.复数z满足方程i=1-i，则z=__________.【解析】·i=1-i，所以===-i(1-i)=-1-i，所以z=-1+i.答案：-1+i三、解答题(每小题12分，共24分)7.定义运算=ad-bc，复数z满足=1+i，求z.【解析】由题意知，=i·z-i=1+i，所以iz=1+2i，所以z==2-i.8.已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b，c为实数).(1)求b，c的值.(2)试说明1-i也是方程的根吗?【解析】(1)因为1+i是方程x2+bx+c=0的根，所以(1+i)2+b(1+i)+c=0，即(b+c)+(2+b)i=0.所以得(2)方程为x2-2x+2=0.把1-i代入方程左边得(1-i)2-2(1-i)+2=0，显然方程成立，所以1-i 也是方程的一个根.【变式训练】若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，求b，c的值.【解析】由于1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个根，则(1+i)2+b(1+i)+c=0，整理得(b+c-1) +(2+b)i=0，则解得关闭Word文档返回原板块。

高中数学3.2.2复数代数形式的乘除运算课时作业(含解析)新人教A版选修22

高中数学3.2.2复数代数形式的乘除运算课时作业（含解析）新人教A 版选修22知识点一复数的乘除运算1.设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z 等于( ) A ．－3 B ．3 C ．－3i D ．3i 答案 A解析 z 2－2z ＝(1＋2i)2－2(1＋2i)＝1＋22i －2－2－22i ＝－3. 2．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( ) A ．6－4i B ．－6－4i C ．6＋4i D ．－6＋4i 答案 D解析 (1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i. 3．在复平面内，复数i 1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B 解析i 1＋i ＋(1＋3i)2＝12i ＋12＋1－3＋23i ＝－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋23i ，对应点在第二象限. 知识点二共轭复数4.若z ＝1＋2i i ，则复数z ＝( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i答案 D解析 z ＝2＋1i＝2－i ，z ＝2＋i ，故选D.5．设z 的共轭复数是z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则zz等于( )A ．iB ．－iC ．±1 D．±i 答案 D解析令z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝4，x 2＋y 2＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.不难得出zz＝±i，故选D.6．复数z ＝－3＋i2＋i 的共轭复数是( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1＋iD ．－1－i 答案 D解析 z ＝－3＋i 2＋i ＝－3＋i2－i 2＋i 2－i ＝－5＋5i5＝－1＋i ，所以其共轭复数为z ＝－1－i.选D.知识点三虚数单位i 的幂的周期性7.已知复数z 1＝12＋32i ，z 2＝－12＋32i ，则z ＝－z 1z 2＋i 5在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A解析因为z 1＝12＋32i ，z 2＝－12＋32i ，所以z ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＋i 5＝1＋i ，所以复数z 在复平面内对应的点为(1,1)，位于第一象限．故选A.一、选择题1．已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i答案 C解析 z －1＝1＋ii ＝1－i ，∴z ＝2－i.2．(1＋i)20－(1－i)20的值是( ) A ．－1024 B ．1024 C ．0 D ．512 答案 C解析 (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.3．已知1＋a i1－i (i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a ＝( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2 答案 A解析因为1＋a i 1－i ＝1＋a i1＋i 1－i 1＋i ＝1－a ＋1＋a i2为纯虚数，所以1－a ＝0且1＋a ≠0，得a ＝1.4．若a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1 答案B 解析 ∵a ＋ii＝(a ＋i)(－i)＝1－a i ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－a i|＝1＋a 2＝2，解得a ＝3或a ＝－3(舍)．5．若集合A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，则A ∩B 等于( ) A ．{－1} B ．{1} C ．{1，－1} D ．∅ 答案 C解析因为A ＝{i ，－1，－i,1}，B ＝{1，－1}，所以A ∩B ＝{1，－1}．二、填空题6．已知复数z ＝1－3i3＋i ，z 是z 的共轭复数，则z 的模等于________．答案 1解析由z ＝1－3i3＋i＝1－3i 3－i 3＋i3－i＝－4i 4＝－i ，得|z |＝|z |＝|－i|＝1.7．若z ＝cos θ＋isin θ(i 为虚数单位)，则使z 2＝－1的θ＝________. 答案π2＋k π，k ∈Z 解析 z 2＝(cos θ＋isin θ)2＝cos 2θ－sin 2θ＋2isin θcos θ＝cos2θ＋isin2θ＝－1.于是⎩⎪⎨⎪⎧cos2θ＝－1，sin2θ＝0，所以2θ＝π＋2k π，k ∈Z ，所以θ＝π2＋k π，k ∈Z .8．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．答案 83解析z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝a ＋2i 3＋4i 9＋16＝3a ＋4a i ＋6i －825＝3a －8＋4a ＋6i 25，∵z 1z 2为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －8＝0，4a ＋6≠0，∴a ＝83.三、解答题9．计算－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2014＋4－8i 2－－4＋8i24＋3i .解原式＝i23i ＋11＋23i＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1007＋ 4－8i2－4－8i 24＋3i＝i ＋(－i)1007＋04＋3i＝i ＋i ＋0＝2i.10．满足z ＋5z是实数，且z ＋3的实部与虚部是相反数的虚数z 是否存在？若存在，求出虚数z ；若不存在，请说明理由．解存在．设虚数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则z ＋5z ＝x ＋y i ＋5x ＋y i ＝x ＋5x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －5y x 2＋y 2i.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y －5y x 2＋y2＝0，x ＋3＝－y ，∵y ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝5，x ＋y ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1，∴存在虚数z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足以上条件．。

课时作业14：3.2.2 复数代数形式的乘除运算

3.2.2 复数代数形式的乘除运算1．设复数z满足(1＋i)z＝2，其中i为虚数单位，则z＝()A．1＋i B．1－i C．2＋2i D．2－2i2．若12iiz+=，则复数z＝()A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i3．若复数2i12ib-+(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b等于()A. B. 23C．23-D．24．已知复数z=，z是z的共轭复数，则z·z等于()A. 14B.12C．1 D．25．若z1＝(cos α＋isin α)，z2＝cos β＋isin β(α，β∈R)，则z1·z2的实、虚部分别为__________和__________，6．已知复数z＝(1－i)2＋1＋3i，若z2＋az＋b＝1－i，a，b∈R，则实数对(a，b)的值为__________．72 0102248i48i1i43i⎛⎫(-)-(-+)+⎪⎪++⎝⎭.8．复数z满足z·z＋2i z＝3＋a i(a∈R)，且其所对应的点在第二象限，求a的取值范围．9.已知关于t的一元二次方程t2＋(2＋i)t＋2xy＋(x－y)i＝0(x，y∈R)，当方程有实根时，(1)求点(x，y)所构成的集合表示的图形；(2)求方程实根的取值范围．参考答案1. 【答案】B【解析】由(1＋i)z ＝2得221i =1i 1i 1i 1i z (-)==-+(+)(-). 2. 【答案】D 【解析】∵12i i i z +==- (1＋2i)＝2－i ，∴z ＝2＋i. 3. 【答案】C 【解析】∵2i 2i 12i 224i 12i 12i 12i 5b b b b -(-)(-)(-)+(--)+(+)(-)＝＝的实部与虚部互为相反数， ∴2－2b ＝b ＋4.∴23b =-. 4. 【答案】A【解析】∵zi 13i i 2138)()++-(+)-＝＝2i i 84==--，∴z =，∴214z z z ⋅==. 5. 【答案】cos(α＋β) sin(α＋β)【解析】∵z 1·z 2＝(cos α＋isin α)(cos β＋isin β)＝cos αcos β＋icos αsin β＋isin αcos β＋i 2sin αsin β＝(cos αcos β－sin αsin β)＋i(cos αsin β＋sin αcos β)＝cos(α＋β)＋isin(α＋β)，∴z 1·z 2的实部为cos(α＋β)，虚部为sin(α＋β)．6. 【答案】(－3,4)【解析】∵z ＝(1－i)2＋1＋3i ＝－2i ＋1＋3i ＝1＋i ，∴由z 2＋az ＋b ＝1－i 得(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ，∴2i ＋a ＋a i ＋b ＝1－i ，∴1,21,a b a +=⎧⎨+=-⎩∴3,4.a b =-⎧⎨-⎩7解：原式 1 00522248i 48i 2i 43i (-)-(-)⎛⎫ ⎪+⎝⎭＋ 1 0050=i+(i)=i i+0=043i-+-+. 8. 解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由题意知x ＜0且y ＞0，由z ·z ＋2i z ＝3＋a i(a ∈R )，得x 2＋y 2＋2i(x －y i)＝3＋a i.∴2223, 2. x y y x a ⎧++=⎨=⎩①②由②式得=2a x ，将其代入①式得22+23=04a y y +-.③ 由y ∈R ，知2=44304a ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭， ∵－4≤a ≤4.④此时=1y -∵y ＞0，∴=y -，， ∴a -.⑤再由<02a x =，得a＜0.⑥ 综合④⑤⑥三式得a 的取值范围是0a -<.9. 解：(1)设方程的实根为t ，则t 2＋(2＋i)t ＋2xy ＋(x －y )i ＝0(x ，y ∈R )，即(t 2＋2t ＋2xy )＋(t ＋x －y )i ＝0.由复数相等的充要条件，得2220, 0.t t xy t x y ⎧++=⎨+-=⎩①②将②代入①中，消除t ，得(y －x )2＋2(y －x )＋2xy ＝0.∴可等价转化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. ③∴点(x ，y )满足方程(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，即其构成的集合表示的图形是以(1，－1)为圆心，为半径的圆．(2)∵以点(1，－1)t ＝y －x≤.t+≤.∴－4≤t≤0.故方程实根的取值范围为[－4,0]．∴22。

课时作业12：3.2.2 复数代数形式的乘除运算

3.2.2 复数代数形式的乘除运算一、选择题1．设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z 等于( )A ．2＋3iB ．2－3iC ．3＋2iD ．3－2i2．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2z z －1等于( ) A ．2iB ．－2iC ．2D ．－23．若i 为虚数单位，如下图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z 1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H4．设i 是虚数单位， z 是复数z 的共轭复数．若z ·z i ＋2＝2z ，则z 等于( )A ．1＋IB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 5．已知复数z ＝3＋i (1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z 等于( ) A ．14B ．12C ．1D ．2 二、填空题6．若z ＝－1－i 2时，则z 2 014＋z 104＝________. 7．设x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i，则x ＋y ＝________. 8．设z 2＝z 1－i z －1(其中z －1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为________．三、解答题9．计算：(1)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ；(2)1－3i (3＋i )2.10．已知z 1＝1－i ，z 2＝1－3i ，z 3＝1－2i ，且x z 1－5z 2＝y z 3. (1)求实数x ，y 的值；(2)求z 1·z 2.参考答案1．【解析】z ＝52－i ＋2i ＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＋2i ＝2＋i ＋2i ＝2＋3i. 【答案】A2．【解析】法一：因为z ＝1－i ，所以z 2－2z z －1＝(1－i )2－2(1－i )1－i －1＝－2－i＝－2i. 法二：由已知得z －1＝－i ，而z 2－2z z －1＝(z －1)2－1z －1＝(－i )2－1－i＝2i ＝－2i. 【答案】B3．【解析】由题图可得z ＝3＋i ，所以z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i ，则其在复平面上对应的点为H (2，－1)．【答案】D4．【解析】设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i.又∵z ·z i ＋2＝2z ，∴(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ，∴a ＝1，b ＝1，故z ＝1＋i.【答案】A5．【解析】∵z ＝3＋i (1－3i )2＝－3i 2＋i (1－3i )2＝i (1－3i )(1－3i )2＝i 1－3i＝i (1＋3i )4＝－34＋i 4， ∴z ＝－34－i 4， ∴z ·z ＝14. 【答案】A6．【解析】z 2＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－i 22＝－i. z 2 014＋z 104＝(－i)1 007＋(－i)52＝(－i)1 004·(－i)3＋1 ＝1＋i.【答案】1＋i7．【解析】x 1－i ＋y 1－2i ＝x (1＋i )2＋y (1＋2i )5＝⎝⎛⎭⎫x 2＋y 5＋⎝⎛⎭⎫x 2＋2y 5i ，而51－3i＝5(1＋3i )10＝12＋32i ，所以x 2＋y 5＝12且x 2＋2y 5＝32，解得x ＝－1，y ＝5，所以x ＋y ＝4.【答案】48．【解析】设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝z 1－i z －1＝a ＋b i －i(a －b i)＝(a －b )－(a －b )i.因为z 2的实部是－1，即a －b ＝－1，所以z 2的虚部为1.【答案】19．解：(1)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i＝i 2＋i＝i (2－i )5＝15＋25i. (2)1－3i (3＋i )2＝(3＋i )(－i )(3＋i )2＝－i 3＋i＝(－i )(3－i )4 ＝－14－34i. 10．解：(1)由已知x z 1－5z 2＝y z 3，得x 1－i －51－3i ＝y 1－2i ，即x －12＋x －32i ＝y 5＋2y 5i. ∵x ，y ∈R ，∴⎩⎨⎧x －12＝y 5，x －32＝2y 5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－5. (2)由(1)知z 1＝1＋i ，z 2＝1＋3i ，则z 1·z 2＝(1＋i)(1＋3i)＝1＋4i ＋3i 2＝－2＋4i.。

高中数学 3.2.2 复数代数形式的乘除运算课时练新人教a版选修2-2

【金版新学案】2014-2015学年高中数学 3.2.2 复数代数形式的乘除运算课时练新人教A 版选修2-2一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知i 为虚数单位，z ＝i1＋2i ，则复数z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析： z ＝i 1＋2i ＝i· 1－2i1＋2i 1－2i＝i －2i25＝25＋15i.∴复数z 对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，15，位于第一象限．答案： A2．已知复数z ＝3＋i1－3i 2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝() A ．14 B ．12C ．1D ．2解析：方法一：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋i 1－3i 2＝|3＋i||1－3i|2＝24＝12.∴z z ＝|z |2＝14，故选A.方法二：z ＝3＋i 1－3i 2＝3＋i1－3 －23i＝3＋i－2 1＋3i ＝ 3＋i 1－3i －2 1＋3i 1－3i ＝23－2i－8＝－3＋i4. 则z ＝－34－14i ，z ·z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋14i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－14i＝316＋116＝14，故选A.答案： A3．已知复数z 1＝1＋i ，z 2＝a ＋i ，若z 1·z 2为纯虚数，则实数a 的值为() A ．－1 B ．1C ．－2D ．2 解析：因为z 1·z 2＝(a －1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝0a ＋1≠0，解得a ＝1.答案： B4．已知i 是虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i1＋i 2 012等于( )A ．－1B ．1C ．iD ．－i解析： ∵1－i 1＋i ＝ 1－i21＋i 1－i ＝－2i2＝－i ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 012＝(－i)2 012＝i 503×4＝i 4＝1.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分) 5．已知复数z ＝2ii －1，则复数z 的共轭复数为________．解析： z ＝2i i －1＝2i －1－i2＝－i ＋1，∴z ＝1＋i.答案： 1＋i6．若3＋b i1－i ＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝__________. 解析：利用复数相等的条件求出a ，b 的值．3＋b i 1－i ＝ 3＋b i 1＋i 2＝12[(3－b )＋(3＋b )i]＝3－b 2＋3＋b 2i. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3－b 2，3＋b 2＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝3.∴a ＋b ＝3. 答案： 3 三、解答题(每小题10分，共20分) 7．计算：(1)i 2 009＋(2＋2i)8－⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 50＋－23＋i 1＋23i； (2)5i －1＋2i＋(2＋i)·(1－i)．解析： (1)i 2 009＝i 4×502＋1＝i ，(2＋2i)8＝[2(1＋i)2]4＝(4i)4＝44＝256，⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 50＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 225＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 25＝(－i)25＝－i ，－23＋i 1＋23i ＝i 1＋23i 1＋23i＝i ，所以原式＝i ＋256＋i ＋i ＝256＋3i.(2)原式＝5i －1－2i 5＋3－i 2－i ＝i(－1－2i)＋4－i＝－i ＋2＋4－i ＝6－2i.8．已知复数z 满足zz －1＝2i ，求复数z 对应点坐标．解析：方法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则zz －1＝x ＋y i x －1 ＋y i ＝2i ，得x ＋y i ＝－2y ＋2(x －1)i ，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y y ＝2 x －1 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝45y ＝－25，则复数z ＝45－25i. 即复数z 对应点为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－25.方法二：由zz －1＝2i ，得z ＝(z －1)2i ＝2z i －2i ，则z (1－2i)＝－2i ，∴z ＝－2i1－2i ＝－2i 1＋2i 5＝4－2i 5＝45－25i.即z 对应点为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－25. 尖子生题库 ☆☆☆(10分)已知z ＝1＋i ，a ，b 为实数．(1)若ω＝z 2＋3z －4，求|ω|；(2)若z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i ，求a ，b 的值．解析： (1)ω＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i ，所以|ω|＝ 2.(2)由条件，得 a ＋b ＋ a ＋2 ii ＝1－i ，所以(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝2.。

3.2.2复数代数形式的乘除运算课时作业4

3.2.2复数代数形式的乘除运算课时作业4A 级基础巩固一、单选题1．若复数z 满足21z i i =+，则z =（） A ．22i + B ．22i - C ．22i -- D ．22i -+ 2．设复数z 满足()11z i i -=+，则z 的虚部为（）．A ．1-B ．1C ．iD ．i - 3．(1)(4)i i -+=（）A ．35i +B ．35i -C ．53i +D ．53i - 4．设复数z 满足11z i z +=-，则z =（） A ．i B ．i - C ．1 D ．1i + 5．已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z 在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．若复数Z 满足()·1 2z i i -=(i 是虚数部位)，则下列说法正确的是（）A ．z 的虚部是-iB ．Z 是实数C ．z =D ．2z z i += 7．已知复数12z i =+，212z i =-+，则12z z ⋅的虚部为（）A ．4-B ．4C ．3D ．3i 8．设i 为虚数单位，复数1111i i +=-+（） A ．i - B ．iC ．1-D ．1 B 级综合提升9．设11i z i +=-，2()1f x x x =++，则()f z =（） A ．1i --B ．1i -+C ．i -D ．i 10．已知复数1122z i =+，其中i 为虚数单位，则i z ⋅=（） A ．1122-+i B ．1122i + C ．1122i -- D ．1122i -二、填空题11．i 是虚数单位，复数73i i -=+__________． 12．已知复数(1)z i i =⋅+，则||z =___． 13．设复数z 的共轭复数是z ，若复数143i z i-+=，2z t i =+，且12z z ⋅为实数，则实数t 的值为_______．14．已知i 为虚数单位，n N ∈，计算4414243n n n n i i i i ++++++的结果为___________. C 级拓展探究三、解答题15．已知复数()()23z m m m i =-++()m R ∈在复平面内对应点Z . （1）若2m =，求z z ⋅；（2）若点Z 在直线y x =上，求m 的值.16．已知复数1(z i i =-是虚数单位）.（1）求2z z -；（2）如图，复数1z ，2z 在复平面上的对应点分别是A ，B ，求12z z z+.参考答案1．C【分析】求出()2122z i i i =+=-+，再求解z 即可.【详解】()2122z i i i =+=-+故22z i =--故选：C2．B【分析】利用复数的除法化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部.【详解】()11z i i -=+，()()()211111i i z i i i i ++∴===--+，因此，复数z 的虚部为1. 故选：B.3．D【分析】根据复数的乘法公式，计算结果.【详解】 2(1)(4)4453i i i i i i -+=-+-=-.故选：D4．B【分析】利用除法法则求出z ，再求出其共轭复数即可【详解】11z i z+=-得()11z i z +=- 即()()()()111111i i i z i i i i ---===++-z i =-故选：B5．D【分析】化简复数1z，利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】因为()()11111112i i z i i i --===++-，所以1z 在复平面内对应的点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限.故选：D.6．C【分析】首先根据题意化简得到1z i =-，再依次判断选项即可.【详解】()()()22122211112i i i i i z i i i i ++====---+-. 对选项A ，z 的虚部是1-，故A 错误.对选项B ，1z i =-为虚数，故B 错误.对选项C ，z ==C 正确.对选项D ，112z z i i +=-++=，故D 错误.故选：C7．C【分析】根据复数的乘法运算法则求出12z z ⋅，再根据复数的概念可得答案.【详解】因为12z i =+，212z i =-+，所以()()12212z z i i ⋅=+-+43i =-+，所以12z z ⋅的虚部为3.故选：C8．D【分析】对分子分母通分化简即可求得.【详解】11112111(1)(1)2i i i i i i ++-+===-+-+. 故选：D.9．C【分析】首先对复数z 进行化简，然后代入()f x 的解析式，即可求得()f z .【详解】解：∵2221(1)2121(1)(1)12i i i i i z i i i i i ++++=====---+--， ∴2()()()()1f z f i i i i =-=-+-+=-；故选：C.【点睛】本题主要考查复数的四则运算，考查运算求解能力，属于基础题型.10．A【分析】利用复数的乘法运算即可求解.【详解】2111111222222i z i i i i i ⎛⎫⋅== ⎪⎝⎭++=-+，故选：A11．2i -【分析】根据复数除法运算法则直接计算即可.【详解】()()()()27372110233310i i i i i i i i i ----+===-++-. 故答案为：2i -.12【分析】根据复数的运算法则，化简复数为1z i =-+，进而求得复数的模，得到答案.【详解】由题意，复数(1)1z i i i =⋅+=-+，所以z ==.13．34【分析】先求出12,z z ，再计算12z z ⋅即得解.【详解】由题得14334i z i i-+==+，2z t i =-，所以12(34)()34(43)z z i t i t t i ⋅=+-=++-为实数，所以3430,4t t -=∴=. 故答案为：34【点睛】结论点睛：复数(,)a bi a b R +∈等价于0b =，不需要限制a .14．0【分析】由已知结合复数的基本运算即可直接求解.【详解】解：因为41i =，所以4414243231n n n n i i i i i i i ++++++=+++，110i i =+--=.故答案为：0.【点睛】本题主要考查了复数的基本运算的简单应用，属于基础试题.15．（1）29 ；（2）1m =-或3m =..【分析】（1）先写出z ，在根据2z z z ⋅=计算即可；（2）由题意，可得z 的实部与虚部相等，由此可得关于m 的方程求解.【详解】解：（1）∵2m =，∴ 25z i =+，∴2229z z z ⋅===；（2）若点Z 在直线y x =上，则23m m m -=+，即2230m m --=，解得1m =-或3m =.【点睛】本题考查复数模的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.16．（1）1i --；（2）15i 22-+. 【分析】（1）把1z i =-代入2z z -，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案；（2）由图形求得1z ，2z ，代入12z z z +，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【详解】解：（1）1z i =-，222(1)(1)1211z z i i i i i i ∴-=---=-+-+=--；（2）12z i =，22z i =+， ∴122223(23)(1)1511(1)(1)22z z i i i i i i z i i i i ++++++====-+---+. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.。

高中数学 3.2.2 复数代数形式的乘除运算课后知能检测

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.2.2 复数代数形式的乘除运算课后知能检测新人教A 版选修2-2一、选择题1．(2013·郑州高二检测)复数i 2＋i 3＋i41－i ＝( )A ．－12－12iB ．－12＋12iC.12－12i D.12＋12i 【解析】 ∵i 2＝－1，i 3＝－i ，i 4＝1， ∴i 2＋i 3＋i 41－i ＝－i 1－i ＝－i 1＋i 2＝12－12i.【答案】 C2．(2013·四川高考)如图3－2－2，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )图3－2－2A ．AB ．BC ．CD ．D【解析】设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，且a <0，b >0，则z 的共轭复数为a －b i ，其中a <0，－b <0，故应为B 点．【答案】 B3．(2013·大连高二检测)a 为正实数，i 为虚数单位，|a ＋ii|＝2，则a ＝( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1 【解析】 ∵a ＋ii＝(a ＋i)(－i)＝1－a i ，∴|a ＋ii|＝|1－a i|＝1＋a 2＝2，解得a＝3或a＝－3(舍)．【答案】 B4．(2012·课标全国卷)下面是关于复数z＝2－1＋i的四个命题：p1：|z|＝2；p2：z2＝2i；p3：z的共轭复数为1＋i；p4：z的虚部为－1.其中的真命题为( )A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4【解析】∵z＝2－1＋i＝－1－i，∴|z|＝－12＋－12＝2，∴p1是假命题；∵z2＝(－1－i)2＝2i，∴p2是真命题；∵z＝－1＋i，∴p3是假命题；∵z的虚部为－1，∴p4是真命题．其中的真命题共有2个：p2，p4.【答案】 C5．(2013·陕西高考)设z1，z2是复数，则下列命题中的假．命题是( )A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2B．若z1＝z2，则z1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2D．若|z1|＝|z2|，则z21＝z22【解析】A，|z1－z2|＝0⇒z1－z2＝0⇒z1＝z2⇒z1＝z2，真命题；B，z1＝z2⇒z1＝z2＝z2，真命题；C，|z1|＝|z2|⇒|z1|2＝|z2|2⇒z1·z1＝z2·z2，真命题；D，当|z1|＝|z2|时，可取z1＝1，z2＝i，显然z21＝1，z22＝－1，即z21≠z22，假命题．【答案】 D二、填空题6．(2012·江苏高考)设a ，b ，∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．【解析】因为a ＋b i ＝11－7i1－2i＝11－7i1＋2i5＝5＋3i ，所以a ＝5，b ＝3，∴a ＋b ＝8. 【答案】 87．设x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i，则x ＋y ＝________.【解析】因为x 1－i ＝x 1＋i1－i 1＋i＝x 2＋x2i ，y 1－2i ＝y 1＋2i1－2i1＋2i ＝y 5＋2y 5i ，51－3i ＝12＋32i ，又x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 5＝12，x 2＋2y 5＝32，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝5，所以x ＋y ＝4.【答案】 4 8．已知复数z ＝3＋i 1－3i2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________. 【解析】 ∵z ＝3＋i 1－3i2＝3＋i－2－23i＝3＋i－2＋23i 16＝－43＋4i16＝－3＋i 4，∴z ＝－34－i 4，∴z ·z ＝(－34)2＋(14)2＝14. 【答案】 14三、解答题 9．计算(1)(1－i)(－1＋i)＋(－1＋i)；(2)(1＋i)(12－32i)(12＋32i)．【解】 (1)原式＝－1＋i ＋i －i 2－1＋i ＝－1＋3i. (2)原式＝(1＋i)(14＋34)＝1＋i.10．已知z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . 【解】设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.11．已知复数z ＝3＋b i(b ∈R )，且(1＋3i)·z 为纯虚数． (1)求复数z ；(2)若w ＝z2＋i，求复数w 的模|w |.【解】 (1)(1＋3i)·(3＋b i)＝(3－3b )＋(9＋b )i. ∵(1＋3i)·z 是纯虚数， ∴3－3b ＝0，且9＋b ≠0， ∴b ＝1，∴z ＝3＋i.(2)w ＝3＋i 2＋i ＝3＋i ·2－i 2＋i ·2－i ＝7－i 5＝75－15i ，∴|w |＝752＋152＝ 2.。

高中数学第三章数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算课时提升作业2 新人教A

高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2 复数代数形式的乘除运算课时提升作业2 新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2 复数代数形式的乘除运算课时提升作业2 新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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复数代数形式的乘除运算(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1。

(2014·福建高考)复数z=（3—2i）i的共轭复数等于( )A。

—2—3i B。

—2+3i C。

2-3i D。

2+3i【解题提南】用复数的运算法则进行计算.【解析】选C。

因为z=2+3i,所以=2-3i。

2.i是虚数单位，复数等于（)A.2+iB.2—i C。

—2+i D.-2-i【解析】选B。

===2-i.【补偿训练】计算(1+2i）÷(3-4i）= 。

【解析】（1+2i）÷(3—4i）=====-+i.答案：—+i3。

复平面内表示复数i(1-2i）的点位于（）A。

第一象限B。

第二象限C.第三象限D。

第四象限【解析】选A.复数i（1-2i)=2+i,在复平面内对应的点的坐标是（2,1）,位于第一象限。

4。

(2014·广东高考)已知复数z满足（3-4i)z=25,则z= （)A。

-3-4i B.-3+4iC.3-4i D。

3+4i【解题指南】本题既可以利用z=｜z｜2求解，也可以利用复数的除法运算解答.【解析】选D.方法一:因为｜3-4i｜=5,|3—4i|2=25,所以z==3+4i。

高中数学 3.2 第2课时复数代数形式的乘除运算练习新人教A版选修12

高中数学 3.2 第2课时复数代数形式的乘除运算练习新人教A 版选修12一、选择题1．(2014·郑州六校质量检测)设复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R)，若z1＋i＝2－i 成立，则点P (a ，b )在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] A [解析] ∵z1＋i＝2－i ，∴z ＝(2－i)(1＋i)＝3＋i ，∴a ＝3，b ＝1，∴点P (a ，b )在第一象限．2．(2013·新课标Ⅰ文)1＋2i1－i2＝( ) A ．－1－12iB ．－1＋12iC ．1＋12iD ．1－12i[答案] B [解析]1＋2i 1－i 2＝1＋2i 1－2i ＋i 2＝1＋2i －2i ＝1＋2i ·i －2i·i ＝－2＋i2＝－1＋12i ，选B.3．(2013·新课标Ⅱ文)|21＋i|＝( ) A ．2 2 B ．2 C ． 2 D ．1[答案] C [解析] ∵21＋i ＝1－i ，∴|21＋i|＝|1－i|＝2，故选C. 4．在复平面内，复数10i3＋i 对应的点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－1,3)D ．(3，－1)[答案] A[解析] 本题考查复数的乘法与除法． 10i 3＋i ＝10i 3－i 3＋i 3－i ＝10＋30i10＝1＋3i. ∴复数10i 3＋i对应的点坐标为(1,3)．[点评] 复数运算中乘法、除法是考查的重点．5．(2014·开滦三中期中)若复数a ＋i1－2i是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．2B ．－12C ．15D ．－25[答案] A[解析] ∵a ＋i 1－2i ＝a ＋i1＋2i1－2i1＋2i＝a －2＋2a ＋1i5是纯虚数，∴a ＝2.6．(2012·安徽文，1)复数z 满足(z －i)i ＝2＋i ，则z ＝( ) A ．－1－i B ．1－i C ．－1＋3i D ．1－2i[答案] B[解析] z －i ＝2＋ii ＝1－2i ，∴z ＝1－i. 二、填空题7．(2013·天津理)已知a 、b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)·(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.[答案] 1＋2i[解析] 由(a ＋i)(1＋i)＝b i 得，a ＋(1＋a )i －1＝b i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝01＋a ＝b，∴b ＝2，a ＝1，∴a ＋b i ＝1＋2i.8．复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，那么z ＝________. [答案] 2＋i[解析] (1＋2i)·z ＝4＋3i ，z ＝4＋3i 1＋2i ＝4＋3i 1－2i5＝2－i ，∴z ＝2＋i. 9．如果复数z ＝2－b i 1＋2i (b ∈R)的实部与虚部互为相反数，则b ＝________[答案] －23[解析] z ＝2－b i1＋2i ＝2－b i 1－2i1＋2i 1－2i＝2－2b －b ＋4i5，∴2－2b ＝b ＋4，∴b ＝－23.三、解答题 10．计算：(1)(－12＋32i)(2－i)(3＋i)；(2)2＋2i 24＋5i 5－4i1－i.[解析] (1)(－12＋32i)(2－i)(3＋i)＝(－12＋32i)(7－i)＝3－72＋73＋12i.(2)2＋2i 24＋5i 5－4i1－i＝4i 4＋5i5－4－9i＝－20＋16i 1－9i ＝－45－4i1＋9i82＝－441＋41i82＝－2－2i.一、选择题11．设复数z 满足1－z1＋z ＝i ，则|1＋z |＝( )A ．0B ．1C ． 2D ．2[答案] C[解析] ∵1－z1＋z＝i ，∴z ＝1－i 1＋i ，∴z ＋1＝1－i 1＋i ＋1＝21＋i ＝1－i ，∴|z ＋1|＝ 2.12．(2013·广东文)若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x 、y ∈R ，则复数x ＋y i 的模是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5[答案] D[解析] 由x i ＋y i 2＝3＋4i ，知x ＝4，y ＝－3，则x ＋y i 的模为x 2＋y 2＝5. 13．(2014·石家庄质检)设z ＝1＋i(i 上虚数单位)，则2z＋z 2等于( )A ．－1＋iB ．－1－iC ．1＋iD ．1－i[答案] C[解析] 2z ＋z 2＝21＋i＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i.14．(2014·长安一中质检)设z ＝12＋32i(i 是数单位)，则z ＋2z 2＋3z 3＋4z 4＋5z 5＋6z6＝( )A ．6zB ．6z 2C ．6z －D ．－6z[答案] C[解析] z 2＝－12＋32i ，z 3＝－1，z 4＝－12－32i ，z 5＝12－32i ，z 6＝1，∴原式＝(12＋32i)＋(－1＋3i)＋(－3)＋(－2－23i)＋(52－532i)＋6＝3－33i ＝6(12－32i)＝6z －.二、填空题15．(2012·湖北文，12)若3＋b i1－i＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.[答案] 3 [解析]3＋b i1－i＝3＋b i 1＋i 1－i1＋i ＝3－b 2＋b ＋32i ＝a ＋b i ，即⎩⎪⎨⎪⎧3－b 2＝a b ＋32＝b，解得a ＝0，b ＝3.∴a ＋b ＝3.16．若复数z 在复平面内的对应点在第二象限，|z |＝5，z －对应点在直线y ＝43x 上，则z ＝________.[答案] －3＋4i[分析] 利用z －对应点在直线y ＝43x 上可设出z 或z －，再利用|z |＝5可列方程求解，最后由z 的对应点在第二象限决定取舍．[解析] 设z －＝3t ＋4t i(t ∈R)，则z ＝3t －4t i ，∵|z |＝5，∴9t 2＋16t 2＝25， ∴t 2＝1，∵z 的对应点在第二象限，∴t <0， ∴t ＝－1，∴z ＝－3＋4i. 三、解答题17．(2013·重庆南开中学高二期中)已知m1＋i＝1－n i ，(m 、n ∈R ，i 是虚数单位)，求m 、n 的值．[解析] ∵m1＋i ＝1－n i ， ∴m 1－i2＝1－n i ，∴m －m i ＝2－2n i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2－m ＝－2n，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝1.。

人教版数学高二课时作业复数代数形式的乘除运算 (2)

3.2.2 复数代数形式的乘除运算一、选择题 1．设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A ．－iB ．iC ．－1D ．12．i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i7等于( ) A ．0 B ．2i C ．－2i D ．4i3．已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z 等于( )A ．－3＋4iB ．－3－4iC ．3＋4iD ．3－4i4．在复平面内，复数i 1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．i 是虚数单位，i 3＋3i 等于( ) A ．14－312i B ．14＋312i C ．12＋36i D ．12－36i 6．已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝3＋2i 2＋i 2，则z 1z 2等于( ) A ．－4＋3iB ．3＋4iC ．3－4iD ．4－3i二、填空题7．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________．8．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z ＝________． 9．复数z ＝－21＋3i，则1＋z ＋z 2＝________． 10．若z ∈C ，ω＝3z ＋23z －2为纯虚数，则|z |的值为______．三、解答题11．已知复数z＝()()i2i-13-i12++，若z2＋az＋b＝1＋i(a，b∈R)，求a＋b的值．12．已知复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z的共轭复数z．参考答案1．A 2．A3．D 4．B 5．B 6．D7．18．－2i9．010．2311．解：由z ＝()()i 2i -13-i 12++，得z ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i＝1－i ，又z 2＋az ＋b ＝1＋i ，∈(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ，∈(a ＋b )＋(－2－a )i ＝1＋i ，∈a ＋b ＝1．12．解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i 且|z |＝a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1．∈ 因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i ，而(3＋4i)z 是纯虚数，所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0．∈由∈∈联立，解得⎩⎨⎧ a ＝45，b ＝35，或⎩⎨⎧ a ＝－45，b ＝－35.所以z ＝45－35i ，或z ＝－45＋35i ．。

人教版数学高二课时作业3复数代数形式的乘除运算

3.2.2 复数代数形式的乘除运算一、选择题1．复数－i ＋1i等于( ) A ．－2iB.12i C ．0 D ．2i2．设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z 等于( )A ．－3B ．3C ．－3iD ．3i3．已知复数z 1＝3－b i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2是实数，则实数b 等于( ) A ．6B ．－6C ．0 D.164．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则z i＋i·z 等于( ) A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i5．已知复数z 满足2z ＋m z －3＝i ，且z 的实部与虚部之和为0，则实数m 等于( ) A ．－3B ．－1C ．1D ．36．已知复数z ＝4＋b i 1－i(b ∈R )的实部为－1，则复数z －b 在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．－1＋2iD ．－1－2i二、填空题8．已知a ＋2i i＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________. 9．若复数z 满足(3－4i)z ＝4＋3i ，|z |＝________.10．如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则复数z 1z 2对应的点位于第________象限．三、解答题11．已知复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i. (1)求z 的共轭复数z ；(2)若az ＋b ＝1－i ，求实数a 与b 的值．12．已知i 是虚数单位，且复数z 满足(z －3)(2－i)＝5.(1)求z 及|z －2＋3i|；(2)若z ·(a ＋i)是纯虚数，求实数a 的值．13.已知z 是复数，z ＋2i 与z 1－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．四、探究与拓展14．复数a －2i 1＋2i(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为________． 15．已知复数z ＝(a ＋2i)(1－b i)，其中i 是虚数单位．(1)若z ＝5－i ，求a ，b 的值；(2)若z 的实部为2，且a >0，b >0，求证：2a ＋1b≥4.答案精析1．A 2.A 3.A 4.C 5.B 6.C 7.B8．1 9.1 10.二11．解 (1)z ＝－2i ＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i＝1＋i. ∴z ＝1－i.(2)a (1＋i)＋b ＝1－i ，即a ＋b ＋a i ＝1－i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，a ＝－1，解得a ＝－1，b ＝2. 12．解 (1)∵(z －3)(2－i)＝5，∴z ＝52－i ＋3＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＋3 ＝(2＋i)＋3＝5＋i.∴|z －2＋3i|＝|3＋4i|＝32＋42＝5. (2)由(1)可知，z ＝5＋i ，∴z ·(a ＋i)＝(5＋i)(a ＋i)＝(5a －1)＋(a ＋5)i.又z ·(a ＋i)是纯虚数，∴5a －1＝0且a ＋5≠0，解得a ＝15. 13．解 z 是复数，z ＋2i 与z 1－i 均为实数，可设z ＝x －2i ，x －2i 1－i＝(x －2i )(1＋i )2 ＝2＋x ＋(x －2)i 2，可得x ＝2.因为复数(z ＋a i)2＝(2－2i ＋a i)2＝－a 2＋4a ＋4(a －2)i ，因为复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2＋4a >0，4(a －2)>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <4，a >2，即2<a <4.所以实数a 的取值范围为(2,4)．14．4解析 a －2i 1＋2i ＝(a －2i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝a －4－2(a ＋1)i 5 ＝a －45－2(a ＋1)5i. ∵复数a －2i 1＋2i是纯虚数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －45＝0，－2(a ＋1)5≠0，解得a ＝4.15．(1)解由复数z ＝(a ＋2i)(1－b i)，又z ＝5－i ，得(a ＋2i)(1－b i)＝(a ＋2b )＋(2－ab )i ＝5－i ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＝5，2－ab ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝32.(2)证明若z 的实部为2，即a ＋2b ＝2.∵a >0，b >0且a ＋2b ＝2，∴12(a ＋2b )＝1， ∴2a ＋1b ＝12(2a ＋1b)(a ＋2b ) ＝12(4＋4b a ＋a b) ≥12(4＋2 4b a ·a b)＝4. 当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝1，b ＝12时取等号，∴2a ＋1b≥4.。

课时作业16：3．2.2　复数代数形式的乘除运算

3.2.2 复数代数形式的乘除运算1．设复数z 1＝1＋2i ，z 2＝2－i ，i 为虚数单位，则z 1z 2等于( )A ．4＋3iB ．4－3iC ．－3iD ．3i答案 A解析 z 1z 2＝(1＋2i)(2－i)＝2－i ＋4i ＋2＝4＋3i.2．已知复数z ＝3i －54＋7i，则复数z 的虚部为( ) A.165 B ．－4765 C.4765 D.4765i 答案 C解析 z ＝(3i －5)(4－7i )(4＋7i )(4－7i )＝12i ＋21－20＋35i 16＋49＝1＋47i 65＝165＋4765i. 3．若复数z 满足z ＝(1＋i)⎝⎛⎭⎫72＋12i (i 为虚数单位)，则z 的模为( ) A. 5 B ．5 C ．2 6 D ．25答案 B解析 z ＝72＋12i ＋72i －12＝3＋4i ，所以|z |＝5. 4．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( )A ．6－4iB ．－6－4iC ．6＋4iD ．－6＋4i答案 D解析 (1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.5．已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z 等于( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i答案 C解析由(z －1)i ＝1＋i ，两边同乘以－i ，则有z －1＝1－i ，所以z ＝2－i.6．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a b的值为________．答案 2解析因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R ，所以1＋b ＝a 且1－b ＝0，解得a ＝2，b ＝1，所以a b＝2. 7．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z ＝2i 31＋i，则z ＝________. 答案－1＋i解析 z ＝2i 31＋i ＝－2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝－1－i ，所以z ＝－1＋i. 8．设z ＝1－i(i 是虚数单位)，则在复平面内z 2＋2z对应的点位于第________象限．答案四解析由z ＝1－i 得，z 2＋2z ＝(1－i)2＋21－i＝－2i ＋2(1＋i )2＝－2i ＋1＋i ＝1－i ，对应的点位于第四象限．9．计算下列各题：(1)⎝⎛⎭⎫－12＋32i (2－i)(3＋i)； (2)(2＋2i )2(4＋5i )(5－4i )(1－i ). 解 (1)⎝⎛⎭⎫－12＋32i (2－i)(3＋i)＝⎝⎛⎭⎫－12＋32i (7－i) ＝3－72＋73＋12i. (2)(2＋2i )2(4＋5i )(5－4i )(1－i )＝4i (4＋5i )5－4－9i ＝－20＋16i 1－9i＝－4(5－4i )(1＋9i )(1－9i )(1＋9i )＝－4(41＋41i )82＝－2－2i. 10．(1)设z ＝(1－4i )(1＋i )＋2＋4i 3＋4i，求|z |； (2)已知z ∈C ，解方程z ·z －2z i ＝1＋22i.解 (1)z ＝1＋i －4i ＋4＋2＋4i 3＋4i ＝7＋i 3＋4i＝(7＋i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i ) ＝25－25i 25＝1－i ， ∴|z |＝12＋(－1)2＝ 2.(2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由z ·z －2z i ＝1＋22i ，可得(x ＋y i)(x －y i)－2(x －y i)i ＝1＋22i ，化简得x 2＋y 2－2y －2x i ＝1＋22i.∴⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2y ＝1，－2x ＝22，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1. ∴z ＝－2＋i.11．已知复数z 1＝3－b i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2是实数，则实数b 等于( ) A ．6 B ．－6 C ．0 D.16 答案 A解析 ∵z 1z 2＝3－b i 1－2i ＝(3－b i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝3＋2b ＋(6－b )i 5是实数， ∴6－b ＝0，∴实数b 的值为6，故选A.12．设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( )A.34B.43 C ．－43D ．－34答案 A解析 ∵z 2＝t ＋i ，∴z 2＝t －i ，∴z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝3t ＋4＋(4t －3)i.又∵z 1·z 2∈R ，∴4t －3＝0，∴t ＝34. 13．若复数z 满足3＋4i i ＝z 1＋i，则z 等于( ) A ．7＋iB ．7－iC ．7＋7iD ．－7＋7i 答案 A解析 ∵3＋4i i ＝z 1＋i，∴z ＝(3＋4i )(1＋i )i ＝7i －1i ＝7＋i. 14．定义一种运算：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝ad －bc .则复数⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －12 3i 的共轭复数是________．答案－1－3i解析 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －12 3i ＝3i(1＋i)＋2＝－1＋3i ， ∴其共轭复数为－1－3i.15．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率为________．答案 16解析 (m ＋n i)(n －m i)＝mn －m 2i ＋n 2i ＋mn ＝2mn ＋(n 2－m 2)i.若复数(m ＋n i)(n －m i)为实数，则m 2＝n 2，即(m ，n )共有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)6种情况，所以所求概率为636＝16. 16．设z 是虚数，ω＝z ＋1z是实数，且－1<ω<2. (1)求|z |的值及z 的实部的取值范围；(2)设μ＝1－z 1＋z，求证：μ为纯虚数． (1)解因为z 是虚数，所以可设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则ω＝z ＋1z ＝(x ＋y i)＋1x ＋y i＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋x x 2＋y 2＋⎝⎛⎭⎫y －y x 2＋y 2i. 因为ω是实数，且y ≠0，所以y －y x 2＋y2＝0，即x 2＋y 2＝1. 所以|z |＝1，此时ω＝2x .又－1<ω<2，所以－1<2x <2.所以－12<x <1，即z 的实部的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1.(2)证明 μ＝1－z 1＋z ＝1－(x ＋y i )1＋(x ＋y i )＝(1－x －y i )(1＋x －y i )(1＋x ＋y i )(1＋x －y i ) ＝(1－x －y i )(1＋x －y i )(1＋x )2＋y 2＝1－x 2－y 2－2y i 1＋2x ＋x 2＋y 2. 因为x 2＋y 2＝1，所以μ＝－y 1＋xi. 又因为y ≠0且1＋x ≠0，所以μ为纯虚数．。

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3.2.2 复数代数形式的乘除运算
课时目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律． 3．理解共轭复数的概念．
1．复数的乘法法则
设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝________________. 2．复数乘法的运算律对任意z 1、z 2、z 3∈C ，有
交换律 z 1·z 2＝________
结合律 (z 1·z 2)·z 3＝__________
乘法对加法的分配律
z 1(z 2＋z 3)＝__________
3.共轭复数
设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，则z ＝________叫z 的共轭复数．若b ≠0，则z 叫虚数z 的 ________虚数，且z ＋z ＝______，z －z ＝______，两共轭复数在复平面内所对应点关于________对称． 4．复数的除法
a ＋
b i
c ＋
d i
＝____________＝____________ (c ＋d i≠0)． 5．i 的乘方
设i 为虚数单位，则i 1
＝________，i 2
＝________， i 3
＝________，i 4
＝______.
一、选择题
1．若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2等于( ) A ．4＋2i B ．2＋i C ．2＋2i D ．3＋i
2．已知复数z ＝1＋i ，则z 2－2z
z －1
等于( )
A ．2i
B ．－2i
C ．2
D ．－2 3．设z ＝3＋i ，则
1
z
等于( )
A ．3＋i
B ．3－i C.
310i ＋110 D.310＋110
i 4．设a 是实数，且a 1＋i ＋1＋i 2
是实数，则a 等于( )
A.12 B ．1 C.3
2
D ．2 5．设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数
t
等于( )
A.34
B.43 C ．－43 D ．－34 6．设a ，b 为实数，若复数
1＋2i
a ＋
b i
＝1＋i ，则( ) A ．a ＝32，b ＝1
2 B ．a ＝3，b ＝1
C ．a ＝12，b ＝3
2 D ．a ＝1，b ＝3
题号 1 2 3 4 5 6 答案
二、填空题 7．已知
a ＋2i
i
＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________.
8．设x 、y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝5
1－3i
，则x ＋y ＝
__________________________________________________________. 9．若实数x ，y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，则xy ＝______. 三、解答题
10．计算：3＋4i
4－3i ＋9＋2i.
11.已知z，ω为复数，(1＋3i)z为纯虚数，ω＝z
2＋i
，且|ω|＝52，求ω. 能力提升
12．复数z＝i
1＋i
在复平面上对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
13．已知复数z1＝i(1－i)3，
(1)求|z1|；
(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．
1．复数代数形式的乘除运算
(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．
(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．
2．复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化．
答案
知识梳理
1．(ac －bd )＋(ad ＋bc )i 2.
交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1
结合律 (z 1·z 2)·z 3＝
z 1·(z 2·z 3) 乘法对加法的分配律
z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3
3.a －b i 共轭 2a 2b i x 轴
4.
(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i ) (ac ＋bd )＋(bc －ad )i
c 2＋
d 2
5．i －1 －i 1 作业设计
1．A [∵z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ， ∴z 1·z 2＝(1＋i)(3－i)＝3＋3i －i －i 2
＝3＋2i ＋1＝4＋2i.]
2．A [z 2－2z z －1＝(1＋i )2－2(1＋i )1＋i －1＝2i －2－2i i
＝
－2i ＝－2i
i
2＝2i.] 3．D [
1
z
＝13－i ＝3＋i 10＝310＋i
10.] 4．B [∵a 1＋i ＋1＋i 2＝a －a i 2＋1＋i 2＝a ＋12＋1－a 2i 为实数，∴1－a
2
＝0，∴a ＝1.]
5．A [∵z 2＝t ＋i ，∴z 2＝t －i.
z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝3t ＋4＋(4t －3)i ，
又∵z 1·z 2∈R ，∴4t －3＝0，∴t ＝3
4.]
6．A [∵1＋2i
a ＋
b i
＝1＋i ，
∴a ＋b i ＝1＋2i 1＋i ＝(1＋2i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3＋i
2，
∴a ＝32，b ＝1
2.]
7．1 解析 ∵
a ＋2i
i
＝b ＋i ，∴a ＋2i ＝b i －1.
∴a ＝－1，b ＝2，∴a ＋b ＝1. 8．4 解析 x
1－i ＋y 1－2i ＝5
1－3i
⇒x (1＋i )
(1－i )(1＋i )＋y (1＋2i )(1＋2i )(1－2i )
＝
5(1＋3i )
(1－3i )(1＋3i )
⇒12x (1＋i)＋1
5
y (1＋2i) ＝(12x ＋15y )＋(12x ＋25y )i ＝1
2(1＋3i) ⇒⎩⎪⎨⎪⎧
12x ＋15y ＝1212x ＋25y ＝3
2⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1，
y ＝5，
∴x ＋y ＝4. 9．1
解析由(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，得(x ＋y )＋(x －y )i ＝2.
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ＝2，x －y ＝0.即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，y ＝1.∴xy ＝1.
10．解
3＋4i 4－3i ＋9＋2i ＝(3＋4i )i 4i －3i
2＋9＋2i
＝
(3＋4i )i
3＋4i
＋9＋2i
＝9＋3i.
11．解设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1＋3i)z ＝a －3b ＋(3a ＋b )i ，由题意，得a ＝3b ≠0. ∵|ω|＝|z
2＋i |＝52，∴|z |＝a 2＋b 2
＝510，
将a ＝3b 代入上式，得a ＝±15，b ＝±5，故ω＝±15＋5i
2＋i
＝±(7－i)．
12．A [∵z ＝i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋1
2i ，
∴复数z 在复平面上对应的点位于第一象限．] 13．解方法一 (1)z 1＝i(1－i)3
＝i(－2i)(1－i) ＝2－2i ，
∴|z 1|＝22
＋(－2)2
＝2 2.
方法二 |z 1|＝|i(1－i)3
|＝|i|×|1－i|3
＝1×(2)3
＝2 2. (2)∵|z |＝1，
∴设z ＝cos θ＋isin θ， |z －z 1|＝|cos θ＋isin θ－2＋2i| ＝(cos θ－2)2
＋(sin θ＋2)2
＝
9＋42sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π4.
∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝1时，|z －z 1|2
取得最大值
9＋42，从而得到|z －z 1|的最大值为22＋1.。