变式题专题
变式训练题
x2
的平均数是b,且a,b是方程x-4x+3=0的两
个根，求这个样本的众数。
❖ 在直角坐标系中画出以A(-3,0),B(1,0)和C(1,2)为顶点的三角形，并判断三角形的形状。
变式一：求题中a的整数解
变式二：已知方程组
｛
x x
ya7 y3a1
的解x、y满足x>y,求a的取值范围。
变式三：已知方程组｛ 围。
x x
ya7 y3a1
的解x与y的符号相同，求a的取值范
（ - 3 <a<4)
（-1、20、1、2、3）
、a>
1 3
、
统计方程问题
一组样本数据2、3、6、a、7、9，的平均数 是b，且a、b是一元二次方程 - 7x+10=0的一两个根，求这组样本数据的 中位数和从数。
变式训练题
1、当x
时，
x2 5x6 x2 1
有意义？（答案：x≠±1）
变式一：当x
时，x2x25x16 无意义？（x＝1或x＝x2 1
的值为零。（x=6）
变式三：当x＝sin 300
时，求分式
x2 5x 6 x2 1
的值。（x=11）
根式绝对值问题
2、化简 a3 的结果为
x2
变式一:已知一个样本1、4、2、a、3，它的 平均数是b，且a、b是方程 8x+15=0 的两个根，求这个样本的方差。
变式二：已知3、2、a、5、6这五个数字， 其中a是这五个数字的中位数，且a是方 程x-10x+24=0的一介根，求这五个数字 的平均数。
变式三：已知一个样本a、4、2、5、3，它
（答案：-a）
变式一：当1<x<2时，化简 (x 1)2 +︳x-3 ︳的结果是
初中数学中的几道变式训练题
初中数学中的几道变式训练题一、已知：点O是等边△ABC内一点,OA=4，OB=5，OC=3求∠AOC的度数。
变式1：在△ABC中，AB=AC，∠OA=4，OB=6，OC=2求∠AOC的度数。
变式2：如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°, ∠BOC=135°试问:(1)以OA、OB、OC为边能否构成一个三角形?若能,请求出三角形各内角的度数;若不能,请说明理由.(2)如果∠AOB的大小保持不变,那么当∠BOC等于多少度时, 以OA、OB、OC为边的三角形是一个直角三角形?二、已知：C为AB上一点，△ACM和△CBN为等边三角形（如图所示）求证：AN=BMAB COACAB CO（分析：如对此题多做一些引申，既可以培养学生的探索能力，又可培养学生的创新素质）探索一：设CM 、CN 分别交AN 、BM 于P 、Q ，AN 、BM 交于点R 。
问此题中还有其他的边相等以及特殊角、特殊图形吗？给予证明。
探索二：△ACM 和△BCN 如在AB 两旁，其它条件不变，AN=BM 成立吗？探索三：△ACM 和△BCN 分别为以AC 、BC 为底且顶角相等的等腰三角形，其它条件不变，AN=BM 成立吗？探索四：A 、B 、C 三点不在一条直线上时，其它条件不变，AN=BM 成立吗？三、轴对称：已知直线l 及同侧两点A 、B ，试在直线l 上选一点C ，使点C 到点A 、B 的距离和最小。
变式1：如图，请你设计出两种方案的路线和最短的行走路线（画图并说明理由）方案1：小华由家先去河边，再去姥姥家；MACBBAl方案2：小华由家先去姥姥家，再去河边；变式2：已知: AB 、AC 表示两条交叉的小河, P 点是河水化验室, 现想从P 点出发, 先到AB 河取点水样, 然后再到AC 河取点水样, 最后回到P 处化验河水, 怎么走路程最短呢？实验员小王说:“我从P 点笔直向A 走, 同时取好两河水样再原路返回, 这样走, 路最近。
变式训练题
哈力中学：杜广富一，题目 计算：2)32(-．（人教课本P 8 2（4）题） 解 原式=32)32()32(22==-． 点评 大家知道，当a ≥0时，2a 有意义，且a a =2．而当a ＜0时，2a 也有意义，此时||2a a =，进一步的，则等于－a （－a ＞0）．为了预防解题粗心出错（如32)32(2-=-），通常是根据平方（或立方）的意义，先处理掉（好）符号，再按有关顺序和规定运算．演变变式1 填空：（1）94= ；（2）412= ．（答案：（1）32 （2）23） 变式2 当x 时，式子231-x 在实数范围内有意义？ （答案：x ＞32） 变式3 若23-n 是整数，求正整数n 的值（至少写出3个）．（答案：n = 1，2，9，17等．）变式4 是否存在正整数n ，使得231+n 是有理数？若存在，求出一个n 的值；若不存在，请说明理由．解 假设存在正整数n ，使231+n 是有理数，则因为3n + 2是正整数，所以3n + 2应该是一个完全平方数．假设3n + 2等于k （k ≥3，k 是正整数）的平方，则k = 3p 或者3p + 1或者3p + 2，也就是说k 除以3余0或者1或者2，而（3p ）2 除以3余0，（3p + 1）2 = 9p 2 + 6p + 1，（3p + 2）2 = 9p 2 + 12p + 4 除以3都余1，所以没有数的平方除以3余2．表明3n + 2不是完全平方数，从而假设不成立，因此，不存在正整数n ，使231+n 是有理数． 二，题目 计算：65027÷⨯．（人教课本P 15 6（4）题）解 原式=6)23(15625336253322÷⨯=÷⨯=÷⨯⨯⨯= 15．另法 原式=1525965027=⨯=⨯． 点评 进行二次根式的乘除运算时，根据乘法、除法规定（ab b a =⋅（a 、b ≥0），b a ba =（a ≥0，b ＞0）），可以从左往右正向使用（如另法），也可以从右往左逆向使用（法一），往往可视其具体题目的数字特点和结构特征，灵活选用．一般情况是尽可能先把根式化简，大数化小，遇到字母开平方时，必须注意字母的正、负性（或讨论）．演变变式1 填空：（1）50276⨯÷= ；（2）65027⨯÷= ． （答案：（1）310 （2）59） 因为原式=)32(25323⨯÷⨯⨯，2 + 3 = 5，所以设2 = a ，3 = b ，则 5 = a + b ，题目可演变成如下形式：变式2 化简：ab b a a b ÷+⨯23)(．解 原式=)(])([b a a b a b b ⋅÷+⨯= b （a + b ）= ab + b 2．若赋予a 一些不同的值（相应的可得到b 的值），则可得到一组二次根式的乘法除法试题．变式3 甲、乙两同学在化简 xy x y x 5253÷⨯ 时，采用了不同的方法： 甲： 因为x ，y 是二次根式的被开方数，且在分母上，所以x ＞0，y ＞0， 于是令 x = 1，y = 1，代入可得，原式=55125=÷⨯．乙： 原式=xy y x x y x x 55)5(522=⋅⋅⋅÷⋅⋅⋅．从而得出了不同的结果．请指出甲、乙同学的做法是否正确？说明理由．解 甲，乙两同学的做法都不正确． 甲同学犯了以特殊代替一般的错误，虽然最终结果是5． 乙同学对题目形式上的意义理解错误，通常xy y 5是一个整体，是被除式． 正确解法是：原式=5)5()5()5(522=⋅÷⋅=÷⋅⋅⋅y x x y x x xy x y x x ．三，题目 已知13+=x ，13-=y ，求下列各式的值：（1）x 2 + 2xy + y 2； （2）x 2－y 2． （人教课本P 21 6题）解 ∵ 13+=x ，13-=y ，∴ 32=+y x ，x －y = 2，xy = 2．于是 x 2 + 2xy + y 2 =（x + y ）2 =12)32(2=，x 2－y 2 =（x + y ）（x －y ）=34232=⨯．点评 本题属于“给值求值”类型，一般不宜直接代入算值．通常的思路是：先把已知式和待求式进行适当的等价变形化简，充分挖掘出已知式和待求式之间的内在联系，然后再看情况灵活地代入，往往能简捷而巧妙地求值．演变变式1 已知21+=a ，21-=b ，求：（1）22222ba b ab a -++，（2）a b b a -的值．解 由已知可得a + b = 2，22=-b a ，ab =－1．（1）原式=22222))(()(2==-+=-++b a b a b a b a b a ． （2）原式=241222))((22-=-⋅=-+=-ab b a b a ab b a ． 变式2 如果实数a ，b 满足a 2 + 2ab + b 2 = 12，3422=-b a ，求b b a -的值．解 显然b ≠0，于是由已知，得33412))(()(222222==-+=-++=-++b a b a b a b a b a b a b ab a ， ∴ )(3b a b a -=+，即 b a )13()13(+=-， 有32)13)(13()13(13132+=+-+=-+=b a ，因此311)32(1+=-+=-=-ba b b a ． 说明 上述解法，既抓住了已知式的特征（两个等式的左边有公因式，约后能降次，但要注意是否为0啰！），又避免了解方程组的难点．本题还可以进一步求出a 、b 的值．∵ 13+=x ，∴（x －1）2 = 3，得x 2－2x = 2，结合x ≠0，两边除以x ， 得22=-x x ，注意到xy 2-=，则2222)2()2(22x x x x y xy x -+-⋅+=++=4222-+x x ，22224xx y x -=-，得 变式3 若实数x 满足22=-x x ，试求：（1）224x x +；（2）x x 2+；（3）224xx -的值．（答案 （1）8 （2）32± （3）142±）四，题目 无论p 取何值时，方程（x －3）（x －2）－p 2 = 0总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由．（人教课本P 4612题）解 原方程可化为x 2－5x + 6－p 2 = 0．方程根的判别式为 △=（－5）2－4（6－p 2）= 1 + 4p 2，对任何实数值p ，有1 + 4p 2＞0，∴ 方程有两个实数根 x 1 =24152p ++，x 2 =24152p +-，且两个根不相等． 另法 由 p 2 =（x －3）（x －2）= x 2－5x + 6 =41)25()25(6])25(5[2222--=-++-x x x ， 得 41)25(22+=-p x ，无论p 取何值412+p ≥41，因此41252+±=p x ． 点评 解一元二次方程有配方法，公式法或因式分解法．一般来说，公式法对于解任何一元二次方程都适用，是解一元二次方程的主要方法，但在具体解题时，应具体分析方程的特点，选择适当的方法．（1）要判定某个二次方程是否有实数解及有几个解时，常常只须考查方程根的判别式．（2）见到含字母系数的二次方程，在实数范围内，首先应有△≥0；若字母在二次项系数中，则还应考虑其是否为0．（3）关于一元二次方程有实数根问题，一般有三种处理方式（何时选择那种方式要根据具体题目的特点来确定）：① 利用求根公式求出根来；② 利用根与系数的关系将这两个根的和与积表达出来：x 1 + x 2 =a b 2- x 1x 2 =ac ，以便后继作整体代换；③ 将根代入方程中进行整体处理．演变变式1 分别对p 赋值0，2，23-等，可得如下确定的方程： 解方程：（1）x 2－5x + 6 = 0；（2）x 2－5x + 1 = 0；（3）4x 2－20x + 21 = 0． 变式2 当x 取什么范围内的值时，由方程（x －3）（x －2）－p 2 = 0确定的实数p 存在？请说明理由．解 对任意实数p ，有p 2≥0，所以只需p 2 =（x －3）（x －2）≥0，利用同号相乘得正的原理，得x 应满足 ⎩⎨⎧≥-≥-,02,03x x 或 ⎩⎨⎧≤-≤-,02,03x x 解得x ≥3或x ≤2． 表明，当x 取x ≤2或x ≥3范围内的实数时，由方程（x －3）（x －2）－p 2 = 0确定的实数p 存在．变式3 指出方程（x －3）（x －2）－p 2 = 0的实数根所在的范围？解 ∵ 方程有两个不相等的实数根x 1 =2412125p ++，x 2 =2412125p +-， 且对任意实数p ，有1 + 4p 2≥1，∴ 有x 1≥32125=+，x 2≤22125=-， 即方程的实数根所在的范围是x ≤2或x ≥3．变式4 试求y =（x －3）（x －2）的最小值．解 由 y =（x －3）（x －2）= x 2－5x + 6 =41)25()25(6])25(5[2222--=-++-x x x ， 得 y 的最小值为41，当25=x 时取得．五，题目 如图，要设计一幅宽20 cm ，长30 cm 的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3:2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（精确到0.1 cm ）？（人教课本P 5310题）分析 结合图形，阅读理解题意（数形结合）．矩形图案中，长30 cm ，宽20 cm ．现设计了横、竖彩条各2条，且其宽度比为3:2，于是设横彩条宽为3x cm ，则竖彩条的宽就为2x cm ，其长与矩形图案的长宽相关．等量关系式为“使彩条所占面积是图案面积的四分之一”．解 根据题意，设横向彩条的宽为3x ，则竖向彩条的宽为2x ，于是，建立方程，得 20304123422023302⨯⨯=⋅⋅-⨯⨯+⨯⨯x x x x ， 化简，得 12x 2－130x + 75 = 0．解得 611.012133565≈-=x ． 因此横向彩条宽1.8 cm ，竖向彩条宽1.2 cm ． 另法 如图，建立方程，得 203041)620(4630⨯⨯=-+⨯x x x ． 法三 如图，建立方程，得 203043)620)(430(⨯⨯=--x x ． 点评 列一元二次方程解应用题的一般步骤为：（1）设：即设好未知数（直接设未知数，间接设未知数），不要漏写单位；（2）列：根据题意，列出含有未知数的等式，注意等号两边量的单位必须一致；（3）解：解所列方程；（4）验：一是检验是否为方程的解，二是检验是否为应用题的解；（5）答：即答题，怎么问就怎么答，注意不要漏写单位．演变变式1 矩形图案的长、宽不变，但设计的两横两竖彩条的宽度相同，如果彩条的面积是图案面积的四分之一，求彩条的宽． （答案：219525-） 变式2 矩形图案的长、宽不变，现设计一个正中央是与整个矩形长宽比例相同的矩形，其面积是整个矩形面积的四分之三，上下边等宽，左右等宽，应如何设计四周的宽度？解 因为矩形图案的长、宽比为30: 20 = 3:2，所以中央矩形的长、宽之比也应为3:2，设其长为3x ，则宽为2x ，所以 20304332⨯⨯=⋅x x ，得 35=x ，从而上、下边宽为 )32(5105.0)220(-=-=⨯-x x ，左、右宽为 2)32(155.0)330(-=⨯-x ． 变式3 如图，一边长为30 cm ，宽20 cm 的长方形铁皮，四角各截去一个大小相同的正方形，将四边折起，可以做成一个无盖长方体容器．求所得容器的容积V 关于截去的小正方形的边长x 的函数关系式，并指出x解 根据题意可得，V 关于x 的函数关系式为：V =（30－2x ）（20－2x ）x ．即 V = 4x 3－100x 2 + 600x ， x 的取值范围是0＜x ＜10． 变式4 在一块长30 m 、宽20 m 的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占的面积为荒地面积的一半．小明的设计方案如图甲所示，其中花园四周小路的宽度都相等．小明通过列方程，并解方程，得到小路的宽为2.5 m 或22.5 m ．小亮的设计方案如图乙所示，其中花园每个角上的扇形（四分之一圆弧）都相同．解答下列问题：（1）小明的结果对吗？为什么？（2）请你帮小亮求出图乙中的x ？（3）你还有其他设计方案吗？甲 乙解 （1）小明的设计方案：由于花园四周小路的宽度相等，设其宽为x 米．则根据题意，列出方程，得 203021)220)(230(⨯⨯=--x x ，即 x 2－25x + 75 = 0，解得x =213525+或x =213525-．由于矩形荒地的宽是20 m ，故舍去x =213525+，得花园四周小路宽为213525-m ，所以小明的结果不对． （2）小亮的设计方案：由于其中花园的四个角上均为相同的扇形，所以设扇形的半径为x 米，列方程得 2030212⨯⨯=x π，所以πππ310310==x m ．（3）略．六，题目 如图，△ABD ，△AEC 都是等边三角形．BE 与DC 有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？（人教课本P 679题） 解 ∵ △ABD 是等边三角形，∴ AB = AD ，∠BAD = 60︒．同理AE = AC ，∠EAC = 60︒．∴ 以点A 为旋转中心将△ABE 顺时针旋转60︒ 就得到△CAD ，∴ △ABE ≌△ADC ，从而 BE = DC ．另法 ∵ △ABD ，△AEC 都是等边三角形，∴ AB = AD ，AE = AC ，∠BAD =∠EAC = 60︒，于是∠CAD =∠CAB +∠BAD =∠CAB +∠EAC =∠EAB ．从而有 △CAD ≌△EAB ，∴ DC = BE ．点评 由于旋转是刚体运动，旋转前、后的图形全等，所以藉此可以在较复杂的图形中发现等量（或全等）关系，或通过旋转（割补）图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，疏通解题突破口．演变 变式1 如图，△ABC 和△ECD 都是等边三角形， △EBC 可以看作是△DAC 经过什么图形变换得到的？说明理由．（人教课本P 805题） 说明：如上题图，去掉BC ，把D ，A ，E 放在一直线上即得． 本题经过下列各种演变，原来的结论仍保持不变．（1）△ABC 与△CDE 在BC 的异侧．B C D A E C B A E D E A E（2）点C 在BD 的延长线上．（3）C 点在BD 外．（4）△ACD 与△BDE 在BD 的异侧，且D 点在BC 的延长线上．（5）△ABC 与△CDE 都改为顶角相等的等腰三角形，即AB = AC ，CE = DE ，∠BAC =∠CED ．变式2 如图，四边形ABCD ，ACFG 都是正方形，则BG 与CE 有什么关系？说明理由． 变式3 如图，△ABD ，△AEC 都是等腰直角三角形，则BE 与DC 有什么关系？七，题目 如图，⊙O 的直径AB 为10 cm ，弦AC 为6 cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，求BC ，AD ，BD 的长．（人教课本P 93例2）解 ∵ AB 是直径，∴ ∠ACB =∠ADB = 90︒．在Rt △ABC 中，BC 2 = AB 2－AC 2 = 102－62 = 82，即 BC = 8．∵ CD 平分∠ACB ， ∴ =，于是AD = BD ．又在Rt △ABD 中，AD 2 + BD 2 = AB 2，∴ 25102222=⨯===AB BD AD ． 点评 在涉及圆中的有关弧，弦（直径），角（圆心角，圆周角）等问题中，垂径定理，同圆中的关系（在同圆或等圆中，圆心角相等 ⇔ 弧相等 ⇔ 弦相等 ⇔ 弦心距相等 ⇔ 圆周角相等）是转化已知，沟通结论的纽带．其中半圆（或直径）所对的圆周角是直角还联结了勾股定理（将出现代数等式）．演变变式1 在现有已知条件下，可进一步的，求四边形ACBD 的面积等于多少？解 由例题及解答可知，△ACB ，△ADB 都是直角三角形，于是四边形ACBD 的面积等于4925252186212121=⨯⨯+⨯⨯=⋅+⋅=+∆∆BD AD BC AC S S ADB ACB cm 2． 变式2 求内角平分线CE 的长？抽取出图形中的基本图Rt △ABC ，因为AC :BC :AB = 3:4:5，于是，斜边上的高524=⋅=AB BC AC CD ，外接圆半径R = 5（也即斜边上的中线）． 设∠ACB 的平分线为CE ，过E 设为x ，于是x CE 2=，由 BC AC BC x AC x ⋅=⋅+⋅⋅212121，得 C B A E D AC B ED C B AE D B C D AF EG B C A E D7248686=+⨯=+⋅=BC AC BC AC x ， ∴ 7224=CE ． 变式3 如图，AD 是△ABC 外角∠EAC 的平分线，AD 与 三角形的外接圆交于点D ，求证：BD = CD ． 解 因为圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角，所以有∠DAE =∠DCB ，而∠DAC =∠DBC（同所对的圆周角相等），结合题设AD 是∠EAC 的平分线， 则有∠DCB =∠DBC ，所以 BD = CD ．变式4 如图，点A 、B 、C 、D 在同一个圆上，四边形ABCD 的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？（课本P 93练习第1题）解 ∠1 =∠4，∠2 =∠7，∠3 =∠6，∠5 =∠8．变式5 如图，A 、P 、B 、C 是⊙O 上的四点，∠APC =∠CPB = 60︒，判断△ABC 的形状并证明你的结论．（课本P 95第11题）解 ∵ ∠BAC =∠BPC = 60︒，∴ ∠ABC =∠APC = 60︒，因而△ABC 是等边三角形．八，题目 如图，△ABC 中，∠ABC = 50︒，∠ACB = 75︒，点O 是内心，求∠BOC 的度数．（人教课本P 1061题） 解 ∵ O 是△ABC 内切圆的圆心（内心），∴ OB ，OC 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线．∵ ∠ABC = 50︒，∠ACB = 75︒， ∴ ∠OBC = 25︒，∠OCB = 37.5︒，因此 ∠BOC = 180︒－25︒－37.5︒ = 117.5︒．点评 抓住“内心与各顶点连线平分每一个内角，且到三条边的距离相等”这些事实，很容易促进角或线段的转化，突破关键，解决问题．演变变式1 已知周长为l 的△ABC 的内切圆半径等于r ，求△ABC 的面积． 解 设内心为O ，连接OA ，OB ，OC ，则OA 、OB 、OC 把△ABC 分割成三个易求的小三角形，其面积的和为：r CA r BC r AB S S S S ACO BCO ABO ABC ⋅+⋅+⋅⋅=++=∆∆∆∆212121=lr CA BC AB 21)(21=++． 变式2 如图，点O 是△ABC 的内心，则A BOC ∠+︒=∠2190． 解 ∵ C B BOC ∠-∠-︒=∠2121180 B C O A BCO A=)180(21180)(21180A C B ∠-︒-︒=∠+∠-︒， ∴ A BOC ∠+︒=∠2190． 说明 变式2有多种不同的解法，如连结AO 并延长，或延长BO 交AC 于D 等等，请读者探究，收获定当不少． 变式3 如图，△ABC 中，∠B ＜∠C ，O 在∠A 的平分线上，求证：AB + OC ＞AC + OB ．证明 ∵ ∠B ＜∠C ，∴ AB ＞AC ，于是在AB 上取点D ， 使AD = AC ，连结OD ，则由已知和作图，可得△AOC ≌△AOD ，进而OC = OD ． 在△OBD 中，有 BD + OD ＞OB ，∴（AB + OC ）－（AC + OB ）=（AB －AD ）+ OD －OB = BD + OD －OB ＞0，故 AB + OC ＞AC + OB ．变式4 如图，△ABC 中，∠B ，∠C 的平分线相交于点O ，过O 的直线DE ∥BC ，DE 分别交AB 、AC 于D 、E ， 求证：DE = BD + CE ．解 由已知DE ∥BC ，BD 、CO 分别平分∠B 、∠C ，可以发 现△BDO 和△CEO 是等腰三角形，于是有BD = DO ，CE = OE ，因此BD + CE = DO + OE = DE ．变式5 如图，B 、C 在射线AD 、AE 上，BO 、CO 分别是∠DBC 和∠ECB 的角平分线．（1）若∠A = 60︒，则∠O 为多少度？ （2）若∠A = 90︒，120︒ 时，∠O 分别是多少度？（3）求∠A 与∠O 的关系式． 解 ∵ BO 、CO 是∠DBC 和∠ECB 的平分线， ∴ ∠DBC = 2∠2，∠ECB = 2∠3，∴ ∠ABC = 180︒－2∠2，∠ACB = 180︒－2∠3．在△ABC 中，∠A +∠ABC +∠ACB = 180︒，∴ ∠A + 180︒－2∠2 + 180︒－2∠3 = 180︒，即∠2 +∠3 = 90︒ + 12∠A ． 在△BOC 中，∠2 +∠3 +∠O = 180︒， ∴ ∠O = 90︒－12∠A ． （1）当∠A = 60︒ 时，∠O = 90︒－12× 60︒ = 60︒． （2）当∠A = 90︒ 时，∠O = 90︒－12× 90︒ = 45︒．当∠A = 120︒ 时，∠O = 90︒－12× 120︒ = 30︒． （3）∠A 与∠O 的关系式为∠O +12∠A = 90︒． 九，题目 画一个正五边形，再作出它的对角线，得到如图所示的五角星．（人教课本P 1172题）D BC O AD BC O A E A BD OE C 4 3 2 1 B A E解 先画一个圆，将圆五等分，分点依次为A ，B ，C ，D ，E ，顺次连结这些点，得正五边形ABCDE ，再作出正五边形的对角线AC ，AD ，BD ，BE ，CE ，即得如图所示的五角星．点评 正多边形与圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧（或把圆心角分成一些相等的角），就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆，如上所示作出的是一个正五角星．演变 变式1 求五角星中五个角的和．解 ∵ ∠AMN =∠B +∠D ，∠ANM =∠C +∠E ， ∴ ∠A +∠B +∠C +∠D +∠E =∠A +∠AMN +∠ANM = 180︒．表明正五角星中五个角的和为180︒．另法 连结CD ，则在△AEF 和△CDF 中， 有 ∠B +∠E = 180︒－∠BFE = 180︒－∠CFD =∠CDF +∠DCF ． 在△ACD 中，∠A +∠ACD +∠ADC = 180︒，即 ∠A +∠ACE +∠DCF +∠ADB +∠CDF = 180︒． ∴ ∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = 180︒． 说明 正五角星中每个角都是36︒．变式2 如变式1的图，在正五角星中存在黄金分割数， 可以证明215-===BE BM BM BN NB MN （参见人教版课本46页“阅读与思考 —— 黄金分割数”），此结论待同学们学习了相似形的有关知识后即可证明．变式3 如图，是将不规则的五角星改为退化的五角星，则其五个角的和等于多少？ 解 如图，将其转化为不规则的五角星，问题立即获解，五个角的和等于180︒，或连结两个顶点后利用三角形内角和定理即可解决．变式4 六角星，七角星，甚至n 角星的各个顶角之和等于多少？解 都等于180︒．说明 解答星型n 边形顶角和的问题关键是根据“三角形的内角和为180︒及其推论”，设法将分散的角归结到某个三角形或四边形中，这是解答此类题目的金钥匙．十，题目 已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3:7．如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，“落在海洋里”与“落在陆地上”哪个可能性更大？（人教课本P 1391题）解 落在海洋里的可能性更大．点评 可能性是指能成为事实的属性．然而世界上有很多事情具有偶然性，人们不能事先判断这些事情是否会发生．概率就是从数量上用来描述（刻画）随机事件发生的可能性的大小．对这一问题，需要充分把陨石抽象成随机地散落，地球也是必须抽象成平辅的面，与生活中通常所看到的质点只能正面地落在面上（不可能弯曲行进而落在背面上）．我们生活的地球，脚下大地的形状并不是无边无际的辽阔平面，而是大致接近于球面．演变 F C B A D E C B A D E M N C B A D E变式1 已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3:7．如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，则“落在海洋里”与“落在陆地上”的概率各是多大？解 落在海洋里的概率为107737=+，落在陆地上的概率为733=+变式2 扎到正三角形的内切圆（即阴影部分）区域的概率为（ ）．A ．21 B ．π63 C ．π93 D ．π33 解 设正三角形的边长为单位1，则正三角形的面积为43，正三角形的内切圆半径6330tan 21=︒=r ，内切圆的面积为12)63(2ππ=，针扎到正三角形的内切圆（即阴影部分）区域的概率为ππ934312=÷，选C ． 变式3 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率． 解 以x 和y 分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人 能够会面的条件是∣x －y ∣≤15．在平面直角坐标系中，点（x ，y ）的所有可能结果是边长为60的正方形，而可能会面的时间由图中的 阴影部分所表示，所以两人能会面的概率为167604560222=-=P ． 说明 把上述问题抽象成如下模型是：设在面积为S 的区域中有任意一个小区域A ，小区域的面积为S A ，则任意投点，点落入A 中的可能性大小与S A 成正比，而与A 的位置及形状无关，为SS P A =． 注意，如果是在一个线段上投点，那么面积则改为长度；如果是一个立方体内投点，则面积就改为体积．。
百分数应用题变式练习
1.一本故事书，小红第一天读了全书的20%，第二天比第一天多读了15页，这时还有一半没读，这本书一共有多少页？2.一本书，小静第一天读了12.5%，第二天读了37.5%，第二天比第一天多读了32页，这本书共有多少页？3.小红两天读完一本故事书，第一天读了这本书的40%，比第二天少读15页．这本书共有多少页？4.王明读一本故事书，第一天读了25页，第二天读了35页，第二天比第一天多读（）A．25% B．40% C．20% D．30%5.小红读一本书，第一天读了15页，比第二天多读5页，已知第二天读了全书的1/7，全书有多少页？6.小明看一本书，第一天看了全书的1/5，第二天比第一天多看14页，剩下的25页第三天看完，这本书共有多少页？7.小明读一本书，第一天读了15页，第二天读了余下的1/4，这时，未读的与已读的页数比是6：5，这本书共有几页？8.小明三天看一本书，第一天看了全书的25%，第二天看了全书的30%，第二天比第一天多看了21页，这本书共多少页？9.小明看一本书，第一天看了全书的1/5，第二天比第一天多看14页，剩下的25页第三天看完，这本书共有多少页？10.一本书，第一天看全书的20%，第二天看了全书的25%，第二天比第一天多看10页，这本书共有多少页？11.一本书第一天读了全书的20%，第二天读了余下的25%，问哪一天读的数书多？12.一本书，第一天读了全书的20%，第二天读了11页，还剩25%没有读，则这本一共多少页？13.※陈震同学读一个故事书，第一天读了180页，比第二天读的多25%，第二天读的是全书的1/6，这本书共有多少页？14.※小刚读一本外国名著，第一天读了全书的一半少15页，第二天读了余下的一半多10页，还剩下65页没有读．这本书一共有页．小芳读一本书，第一天读了全书的25%，第二天读的页数比全书的2/5少7页，还有35页没读完，这本书共多少页？15.小红读一本故事书，第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多2页，最后一天读了78页，这本书共有多少页？16.看一本书，第一天看了全书的25%，第二天看了120页，这时已读与未读页数的比是2：3，这本书多少页？17.小华3天读完一本书，第一天读了全书的2/9，第二天读了38页，第二天比第一天多读14页，这本书共多少页？18.淘气读一本故事书，第一天读了全书的1/3，第二天读了全书的1/4，第一天比第二天多读了10页．这本书有页．19. 小红读一本书，第一天读了全书的1/6，第二天读的比全书的3/8多4页，还有95页没有读．这本书共多少页？20.李英读一本书，第一天读了全书的1/3，第二天读的比全书的25%还多18页，这时读了的页数和没读的比是3：1，这本书共有多少页？21.淘气读一本书，第一天读了全书的2/15，第二天比第一天多读了3页，这时已读的页数与剩下页数的比是3：7，淘气第二天读多少页？22.汪洋读一本故事书，第一天读了总页数的2/15，第二天比第一天多读了15页，两天正好读了总页数的1/3．这本书一共多少页？23.小明读一本书，第一天读了全书的2/15，第二天比第一天多读6页，这时已读的页数是剩下页数的3/7，这本书一共多少页？。
三年级变式应用题
三年级变式应用题1．39个同学在操场上跳绳，每3人一组，可以分成多少组？2．4棵杨树苗48元，3棵松树苗63元，哪种树苗每棵的价钱贵一些？3．三（1）班小朋友做玩具，一共做了48个，送给幼儿园15个，其余的平均分给一年级3个班，每班可以分得几个？4．张教师带100元去商场买3个小足球，找回了7元，你能知道每个小足球多少元吗？5．一本《故事大王》共65页，小明打算4天看完，小花打算6天看完，小明平均每天要看多少页？小花呢？6．张大伯家养了18只鸭，养鸡的只数是鸭的2倍，张大伯家养鸡和鸭一共多少只？7．停车场有大汽车45辆，小汽车比大汽车多17辆，大汽车和小汽车一共有多少辆？8．明明有42张邮票，芳芳比他少15张，他们俩人一共有邮票多少张？9．一件上衣45元，裤子比上衣便宜12元，买一套衣服要多少元？10．小白兔拔了14个萝卜，小灰兔拔的是它的3倍。
小白兔比小灰兔少拔了多少棵？11．校园里有水杉树24棵，松树的棵数是水杉树的3倍。
水杉树和松树一共有多少棵？水杉树比松树少多少棵？12．公园里有黑天鹅28只，白天鹅的只数比黑天鹅的3倍多9只。
白天鹅有多少只？13．三年级去图书馆借书，上午借了420本，下午比上午多借20本。
这一天三年级共借书多少本？14．用6个边长1厘米的小正方形拼成一个大长方形，拼成的长方形的长和宽各是多少厘米？周长是多少厘米？15．一个长方形操场，长55米，宽35米，小华沿操场的边跑了2圈，跑了多少米？16．用一根线正好围成一个边长是8厘米的正方形。
这根线长多少厘米？17．养鱼场去年放养鱼苗896尾，今年放养的鱼苗数是去年的2倍。
今年放养多少尾？18．科学馆上午有3批学生来参观，每批169人，下午又有213名学生前来参观。
这一天一共有多少学生来参观？19．一头牛一天要吃32千克草。
2头牛4天要吃多少千克草？20．有一块土地，用来种西红柿，用来种茄子，其余用种西瓜。
西瓜占地几分之几？21．李大伯家养了200只鸡，第一天先卖128只，平均每只鸡可卖9元，李大伯这天能卖多少元？剩下的鸡第二天卖，每8只装一笼，能装多少笼？22．48个同学去采集昆虫标本，每3人分一组，可以分成多少组？23．同学们要种93棵树，已经种了18棵，剩下的树苗平均分给5个小组，每个小组还要种多少棵？24．上海市六月份降水量是42毫米，七月份比六月份少了14毫米。
变式题专题
举例三
等腰直角△ABC的斜边BC与另一等腰直角△DCE DF。 （1）如图，猜想AF与DF的关系，并证明你的猜想。
D A B
的斜边CE在同一条直线上，点F是BE的中点，连结AF、
C
F
E
D
A
B
C
F
E
G
（2）将上图中△DCE绕点C顺时针旋转α(0°<α < 45°)，连结BE，点F为BE中点，连结AF、DF，则（1） 中AF与DF的关系，是否发生变化，请说明理由。
H F A G B C E D I
（ 2 ） 如图四边形ABCD为梯形，AD//BC，AD：BC=1：2，
点E是AD上任意一点，（不与A、D重合），连结BE、CE， 以BE、CE为边作平行四边形BEFG、平行四边形CEHI，并且 FG过点A，HI过点D。梯形ABCD的面积记作S， △ ABG 、
△ AEF 、 △ DEH 、 △ DCI的面积分别记作S1、S2、S3、S4，
A
D B C
F
E
（3）将△DCE绕点C顺时针旋转到点B，C，D在一条直线上，
①AF与DF有怎样关系？
②连结AD，取BC、CE、AD的中点依次为H、M、N。
判断△HMN的形状，并证明你的结论。
A N B
H
C
D
M F
E
A
N
B
C
H
D
F
M
E
G
（4）将△DCE绕点C顺 时针旋转到CD ⊥ BC， 如图，取BE中点F，连 结AF、DF、AD，取BC、 CE、AD的中点依次为H、 M、N，判断△HMN的 形状并证明。
试确定S1+S2+S3+S4与S的关系，并说明理由。
变式题专题
试确定S1+S2+S3+S4与S的关系，并说明理由。
F A E H D
I G B C
（3）四边形ABCD为任意四边形，点E、F、G、H分别为AD、 AB、BC、CD的中点，连结EF、FG、GH、HE，分别以EF、 FG、GH、HE为边向外作平行四边形，且经过四边形ABCD各顶 点，四边形ABCD的面积记作S， △ AFJ、△AEI 、△ DEF…… △ BFK的面积依次记作S1、S2、S3……S8， 试确定S1+S2+S3+……+S8与S的关系，并说明理由。
变式题的意义及作用： 变式题的意义及作用：
对一道题进行适当的演变、引申、拓展，不仅 能提高学生的应变能力、探索能力，还能激发学生 思维的广阔性，发散性。使学生从不同的角度去观 察问题，思考问题，从而提高学生思维过程的整体 性、严密性，培养学生的综合素质。教学中教师要 深入细致的钻研课标，研究教材，深入挖掘习题潜 在的功能。即通过一个典型的例题，最大可能的覆 盖知识点，把分散的知识点串联成一条线，往往会 起到意想不到的效果，有利于知识的构建。
有三种情况，给了一种情况的结论，侧重 于全等三角形，相似三角形及三角形面积等， 通过一种情况的结论去猜想其它的两种情况， 并对其中一种猜想，加以证明，辅助线常用连 结、延长、补图、旋转等。
一 、在△ABC中，AB=AC，点O是BC的中点，点D是直 线BC上一点（不与B、C重合），过点D作DE⊥AB，垂足 为E，DF⊥AC，垂足为F，将△DEB沿DB对折，点E的对 应点为G，将△DFC沿DC对折，点F的对应点为H，连结 OG、OH。 (1)当点D与点O重合时，易证OG=OH
变式练习题
变式练习题一、选择题1. 某公司生产一种产品，其固定成本为100万元，每件产品的成本为10元。
如果该公司希望获得的利润为50万元，那么该公司需要生产并销售多少件产品？A. 1万件B. 5万件C. 10万件D. 15万件2. 一个数列的前三项分别为2, 3, 5，每一项都是前一项的平方根。
请问该数列的第四项是多少？A. 7B. 8C. 9D. 113. 一个圆的半径为10厘米，那么它的周长是多少？A. 20π厘米B. 40π厘米C. 60π厘米D. 80π厘米二、填空题1. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为3厘米和4厘米，求斜边的长度为______厘米。
2. 一个函数f(x)=2x^2+3x+1，求它的导数f'(x)为______。
3. 将一个长为6厘米，宽为4厘米的矩形纸板剪去四个角，每个角剪去的是一个边长为1厘米的正方形，求剪后纸板的周长为______厘米。
三、计算题1. 计算下列不定积分：∫(3x^2-2x+1)dx。
2. 已知一个物体从静止开始下落，受到的阻力与速度成正比，比例系数为0.1，求物体下落5秒后的速度。
3. 某企业生产一种产品，其边际成本为C(x)=0.1x+1，固定成本为10万元，边际收入为R(x)=0.3x+20，求该企业在生产多少产品时能够达到收支平衡。
四、简答题1. 请解释什么是边际成本，并举例说明它在企业决策中的应用。
2. 描述一下什么是导数，并解释它在物理和工程学中的应用。
3. 解释一下什么是不定积分，并说明它与定积分的区别。
五、应用题1. 某公司计划投资一个新项目，该项目的初始投资成本为500万元，预计每年能够带来的净现金流入为100万元。
如果公司的资本成本率为10%，计算该项目的净现值。
2. 某工厂生产一种产品，每件产品的销售价格为50元，生产成本为30元。
如果工厂希望获得的利润为100万元，计算工厂需要生产并销售多少件产品。
3. 某公司计划发行债券，债券的面值为1000元，票面利率为5%，期限为5年，如果市场利率为4%，计算该债券的发行价格。
二年级变式题10道
以下是10道适合二年级学生的数学变式题：
1. 小明有5个苹果，小红有3个苹果，小华有10个苹果。
小明给小华多少个苹果后，小华的苹果数量是小明的两倍？
2. 小明和小强一起跳绳，小明跳了30下，小强跳的是小明的两倍少10下，小强跳了多少下？
3. 小华和小丽一起做手工，小华做了8朵花，小丽做的花是小华的两倍，小丽做了多少朵花？
4. 一根绳子长20米，剪去一半后，再剪去一半，还剩多少米？
5. 小明有10个球，小红有20个球，小红给小明多少个球后，两人的球一样多？
6. 小明和小华一起画图，小明画了3个正方形，小华画的正方形是小明的两倍，小华画了多少个正方形？
7. 小明有5支铅笔，小华有10支铅笔，小华给小明多少支铅笔后，两人的铅笔一样多？
8. 小明和小丽一起做数学题，小明做了10道题，小丽做的题数是小明的两倍少5道，小丽做了多少道题？
9. 小明和小强一起做手工，小明做了8个纸鹤，小强做的纸鹤是小明的两倍，小强做了多少个纸鹤？
10. 一块巧克力蛋糕重50克，小明吃了半块后，还剩下多少克？
这些题目旨在提高学生的数学思维和问题解决能力。
通过变式题的形式，学生可以在不同的情境中理解和运用数学概念和方法。
小学生变式练习题
小学生变式练习题1. 加法变式练习题- 题目：小明有5个苹果，小华给了他3个苹果，现在小明一共有多少个苹果？- 答案：5 + 3 = 82. 减法变式练习题- 题目：班级里有20名学生，放学后有5名学生离开了，现在班级里还有多少名学生？- 答案：20 - 5 = 153. 乘法变式练习题- 题目：一个班级有6行，每行有8个座位，这个班级一共有多少个座位？- 答案：6 × 8 = 484. 除法变式练习题- 题目：老师有48支铅笔，平均分给6个学生，每个学生能分到多少支铅笔？- 答案：48 ÷ 6 = 85. 混合运算变式练习题- 题目：小丽有24元钱，她买了3个笔记本，每个笔记本5元，然后她又买了4支铅笔，每支铅笔2元，小丽一共花了多少钱？- 答案：(3 × 5) + (4 × 2) = 15 + 8 = 236. 时间计算变式练习题- 题目：如果现在是下午3点，再过2小时30分钟是几点？- 答案：3点 + 2小时30分钟 = 5点30分7. 货币计算变式练习题- 题目：小刚有10元钱，他买了一个5元的玩具，然后又买了2个2元的冰淇淋，小刚还剩下多少钱？- 答案：10 - 5 - (2 × 2) = 10 - 5 - 4 = 18. 面积计算变式练习题- 题目：一个正方形的边长是4米，这个正方形的面积是多少平方米？- 答案：4 × 4 = 169. 体积计算变式练习题- 题目：一个长方体的长是5厘米，宽是3厘米，高是2厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？- 答案：5 × 3 × 2 = 3010. 分数计算变式练习题- 题目：如果一个蛋糕被分成了8份，小芳吃了其中的3份，她吃了蛋糕的几分之几？- 答案：3/8这些练习题旨在帮助小学生通过不同的数学问题来巩固和提高他们的数学能力。
2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题变式题1-6题
∴R=2r，
∴母线与底面所成角的余弦值= = ，
∴母线与底面所成角是60°．
故选C．
变式题6提升
20.从半径为6cm的圆形纸片上剪下一个圆心角为 的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥 接缝处不重叠 ，那么这个圆锥的高为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先设所围成圆锥的底面半径为r，高为h，由题意得出母线长和底面圆半径，即可求出结果.
【详解】对于A选项，当 时， ，正弦函数 在区间 上不单调，则函数 在区间 上不单调；
对于B选项，当 时， ，正弦函数 在区间 上不单调，则函数 在区间 上不单调；
对于C选项，当 时， ，正弦函数 在区间 上不单调，则函数 在区间 上不单调；
对于D选项，当 时， ，正弦函数 在区间 上单调递减，则函数 在区间 上单调递减.
令
所以函数的增区间为 .
故选：D
【点睛】本题主要考查三角函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
变式题3巩固
24.函数 在下列某个区间上单调递增，这个区间是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】∵函数
∴
令 ，则 .
∴当 时， ，即函数 的一个单调增区间为 .
故选A.
变式题4提升
故选：D.
【点睛】本题考查正弦型函数在区间上单调性的判断，一般要结合 的取值范围，计算出角的取值范围，结合正弦函数的单调性来判断，考查推理能力，属于中等题.
变式题2基础
23.函数 的单调递增区间是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】由题得 ，
一年级数学变式练习题目
一年级数学变式练习题目在一年级的数学学习中，练习题目是提高学生数学技能的重要手段之一。
为了帮助一年级的小学生巩固并提高他们的数学能力，我们为大家准备了一些数学变式练习题目。
通过解答这些题目，学生们可以巩固对数学知识点的理解，并培养他们的逻辑思维和解决问题的能力。
1. 四则运算请逐步解答以下四则运算题目：a) 2 + 3 = ?b) 5 - 1 = ?c) 4 × 2 = ?d) 8 ÷ 4 = ?2. 数字排序按照从小到大的顺序排列以下数字：8, 3, 6, 9, 2, 53. 数字填空请填写下列数字的正确数值，使其满足等式：a) 8 + ___ = 12b) 9 - ___ = 6c) 5 × ___ = 20d) 16 ÷ ___ = 44. 图形辨认请仔细观察以下图形，并回答问题：a) 图形A由几个正方形组成？b) 图形B由几个三角形组成？c) 哪个图形是长方形？5. 数学问题请根据下列问题选择正确的答案：a) 如果有3个苹果，再添上2个苹果，我会有几个苹果？1) 2个2) 3个3) 4个b) 2 + 3 = ?1) 42) 53) 6c) 5 块巧克力分给2个人，每个人能得到几块？1) 2块2) 3块3) 4块6. 数字比较请填写大于 (>), 小于 (<) 或等于 (=) 的符号，使下列表达式成立：a) 5 ___ 3b) 4 ___ 6c) 7 ___ 77. 数字连线请将相对应的数字、图形或数量用线连接起来：1) 数字5和图形五边形2) 数字2和图形长方形3) 数字10和图形圆形8. 数学拼图请根据下列提示将数字填入正确的位置，使拼图完整：提示：每行、每列和对角线上的数字之和应该相等。
__ 3 ____ __ 65 __ __9. 数学推理请根据已知条件，选择正确的答案：条件：如果2 + 3 = 5，那么4 + 1 = ?1) 52) 63) 810. 数字迷宫请从起点S走到终点E，只能沿着箭头方向移动，并填写每一步所经过的数字：S --> 2 --> 5 --> 9 --> E通过以上的一年级数学变式练习题目，学生们将能够巩固基本的数学知识点，培养数学思维和解决问题的能力。
全等三角形中的变式练习题[最新]
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全等三角形中的变式训练题一、基本图形例：已知如图，AB⊥DC于B，且BD=BA，BE=BC。
求证：⑴DE=AC ⑵DE⊥AC变式一、将上题中的△DBE沿DC方向平移至下图中的各种情况时，还有DE=AC、DE⊥AC吗？为什么？变式二：如图所示，在正方形ABCD中，E是正方形边AD上一点，F是BA延长线上一点，并且AF=AE，已知△ABE≌△ADF。
⑴在图中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE与△ADF完全重合；⑵指出图中线段BE与DF之间的关系。
变式三：已知：如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BE⊥AC，FD=CD，求证：BF=AC二、基本图形在△ABC中,∠ACB＝90o,AC＝BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E. （10分）⑴当直线MN绕点C旋转到图⑴的位置时,求证: DE＝AD＋BE⑵当直线MN绕点C旋转到图⑵的位置时,求证: DE＝AD－BE;⑶当直线MN绕点C旋转到图⑶的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系.变式二：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD是中线，AF⊥BD于F，过C 作AB垢平行线交AF的延长线于点E，求证：⑴∠ABD=∠FAD ⑵AB=2CE三、基本图形例：已知：如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD，求证：BE=CF变式：如图，BD=CD，∠ABD+∠ACD=180°，求证：AD平分∠BAC四、基本图形在△ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB 的中点P 处，将三角板绕P 点旋转，三角板的两直角边分别交AC 、CB 于D 、E 两点，如图1、图2所示。
问PD 与PE 有何大小关系？在旋转过程中，还会存在与图1、图2不同的情形吗？若存在，请在图3中画出，并选择图2或图3为例加以证明，若不存在请选择图2加以证明。
六年级下册变式练习题
六年级下册变式练习题一、单项选择题1. 下列选项中，哪个词的读音与其他三个不同？A. 青蛙B. 轻松C. 美丽D. 轻工2. 下列选项中，哪个词与其他三个不属于同一类别？A. 桌子B. 椅子C. 照片D. 沙发3. 钢笔、铅笔、铅笔盒，依次按一定规律排列，下面的选项中符合这个规律的是：A. 铅笔、钢笔、铅笔盒B. 铅笔、铅笔盒、钢笔C. 铅笔盒、钢笔、铅笔 D. 铅笔盒、铅笔、钢笔4. 下面选项中，哪个词的意义与其他三个不同？A. 跟随B. 追随C. 顺随D. 追尾5. "猫"与"狗"之间的关系，与下列选项中的哪组词语的关系最相似？A. 电视机 - 电影B. 出租车 - 飞机C. 桌子 - 椅子D. 鸟 -树二、填空题6. 哪个数字能够填入下面的空格中？2, 4, 6, ___, 10答案：87. 下列选项中，哪个词能够填入下面的空格中？河流：海洋山岳：___答案：丘陵8. 下列选项中，哪个数字能够填入下面的空格中？10, 8, 6, ___, 2答案：49. 用适当的词语填空：领导者：团队教师：___答案：学生10. 将下列称呼与对应的人物名字进行匹配：姑姑：父亲的姐妹叔叔：母亲的弟弟阿姨：外公的女儿答案：根据个人情况填写三、解答题11. 小明拿了3本书，第二天又拿回去了2本，第三天又拿了2本，最后他有几本书？答案：3本12. 有一串数字：1, 4, 7, 10, 13, ___, 19。
请写出这串数字的规律，并给出缺失的数字。
答案：递增3，缺失的数字为1613. 请列举出5种你知道的动物，每种动物在大脑中进行分类（例如：哺乳动物、鸟类等）。
答案：根据个人情况回答14. 请解决下面的数学问题：小明有5个苹果，小华给了他3个苹果，小红又给了他2个苹果，那么小明一共有多少个苹果？答案：10个苹果15. 将下列单词按照字母顺序排列：球足米蓝全答案：全球米蓝足以上是六年级下册变式练习题的部分内容，希望能对您的学习有所帮助。
高中数学新教材变式题汇总1
一、集合与函数1．（人教版第14页B 组第1题） 已知集合{}1,2A =，集合B 满足{}1,2AB =，则集合B 有 个.变式1：已知集合{}1,2A =，集合B 满足A B A =，集合B 与集合A 之间满足的关系是解：B A ⊆变式2：已知集合A 有n 个元素，则集合A 的子集个数有 个，真子集个数有 个 解：子集个数有2n 个，真子集个数有21n -个 变式3：满足条件{}{}1,21,2,3A =的所有集合A 的个数是 个解：3必须在集合A 里面，A 的个数相当于2元素集合的子集个数，所以有4个. 设计意图：考察集合的运算与集合之间的关系 2．（人教版第14页A 组第10题）已知集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，求()R C AB ，()RC A B ，()R C A B ，()R A C B变式1：已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B 等于A.[1,4)- B (2,3) C (2,3] D (1,4)- 解：答案为C ，集合{}{}||1|2|31A x x x x x =->=><-或，所以{}|13U C A x x =-≤≤，集合{}{}2|680|24B x x x x x =-+<=<<， 所以()U C A B 为(2,3]变式2：设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B 等于（ ）A ．RB ．{},0x x R x ∈≠ C ．{}0 D ．∅ 解：[0,4]A =，[4,0]B =-，所以(){0}R R C AB C =，故选B 。
变式3．已知集合{}|110,P x N x =∈≤≤集合{}2|60,Q x R x x =∈+-=则PQ 等于（A ）{}1,2,3 （B ）{}2,3 （C ）{}1,2 （D ）{}2 解：集合{}{}2|603,2Q x R x x =∈+-==-，所以答案为D.设计意图：结合不等式考察集合的运算3．（北师大版第21页B 组第2题）已知集合{}31,3,A a =-，{}1,2B a =+，是否存在实数a ，使得B A ⊆，若存在，求集合A 和B ，若不存在，请说明理由.变式1：已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，2m }．若B A ⊆，则实数m ＝ ． 解：由已知22212101m m m m m =-⇒-+=⇒=变式2：{}2|60A x x x =+-=，{}|10B x mx =+=，且A B A =，则m 的取值范围是______ .解：{}{}2|603,2A x R x x =∈+-==-，当B =Φ时，0m =，当0m ≠时，1x m =-，所以12m-=或13m -=-，所以12m =-或13m =-，所以110,,23m ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭变式3：设{}2|40A x x x =+=，{}22|2(1)10B x x a x a =+++-=且A B B =，求实数a 的值.解：{}4,0A =-，因为AB B =，所以B A ⊆，所以B =Φ或{}4B =-或{}0B =或{}4,0B =-，当B =Φ时，224(1)4(1)01a a a ∆=+--<⇒<-，当{}4B =-或{}0B =时， 01a ∆=⇒=-，{}0B =符合题意，当{}4,0B =-时，2402(1)401a a -+=-+⎧⎨-⨯=-⎩1a ⇒= 所以1a ≤-或1a =设计意图：结合参数讨论考察集合运算4．（北师大版第38页B 组第1题）设函数3()32f x x =-，1()23g x x =-，求函数()()f x g x 的定义域.变式1： 函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是A.),31(+∞- B. )1,31(- C. )31,31(- D. )31,(--∞解：由13101301<<-⇒⎩⎨⎧>+>-x x x ，故选B.变式2：设()x x x f -+=22lg，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为A. ()()4,00,4 -B. ()()4,11,4 --C. ()()2,11,2 --D. ()()4,22,4 --解：选 C.由202x x +>-得，()f x 的定义域为{}|22x x -<<。
2020年高考全国1数学理高考真题变式题1-5题-(解析版)
2020年高考全国1数学理高考真题变式题1-5题原题11．若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ） A ．0 B ．1 C 2D ．2变式题1基础2．复数45i z =-（其中i 为虚数单位），则2i z +=（ ） A 7B ．5 C ．7 D ．25变式题2基础3．复数z ＝i （1－i ）的模| z |＝（ ） A 2B ．2 C ．1 D ．3变式题3巩固 4．已知复数1iiz +=（其中i 为虚数单位），则z =（ ） A ．1 B 2 C 3D ．2变式题4巩固5．已知z 为复数，若()1i 2i z ⋅-=（i 是虚数单位），则z =（ ） A ．1 B 2 C ．12D 2 变式题5巩固6．在复平面内，复数z 所对应的点在射线2(0)y x x =-≥上，且5z z =（ ） A ．12i - B ．12i -+ C ．2i - D ．2i -+变式题6提升7．已知i 为虚数单位，复数()32(1)z i ai =+-为纯虚数，则||z =（ ）A ．0B ．12C ．2D ．5原题28．设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A ．–4 B ．–2 C ．2 D ．4变式题1基础9．设A={x|－1≤x ＜2}，B={x|x ＜a}，若A∩B≠φ，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜2 B ．a ＞－2 C ．a ＞－1 D ．－1＜a≤210．设集合{}|A x x a =>，集合{}1,1,2=-B ，若A B B =，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．(),1-∞ C ．()1,-+∞ D ．(),1-∞-变式题3巩固11．已知{1A =-，2}，{|10}B x mx =+=，若A B A =，则实数m 的取值所成的集合是( )A ．11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．1,0,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭变式题4巩固12．已知{}0M x x a =-=，}{10N x ax =-=，若M N N =，则实数a 的值为( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．0或1或－1变式题5巩固13．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤1或x ≥3}，集合B ＝{x |k ＜x ＜k ＋1，k ＜2}，且()U B A ⋂≠∅，则( )A ．k ＜0B ．k ＜2C ．0＜k ＜2D ．−1＜k ＜2变式题6提升14．设集合}{2230A x x x =+->，集合}{2210,0,B x x ax a =--≤>若A B 中恰含有一个整数 ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．()1,+∞原题315．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A 51-B 51- C 51+ D 51+ 变式题1基础16．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为6，点P 到底面ABC 的距离为3，则三棱锥的表面积是（ ） A ．3B ．183C ．273D ．363变式题2基础17．棱长为a 的正四面体的表面积是（ ） A 23 B 23 C 23 D 23a变式题3巩固18．如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与该棱锥的高夹角为45︒，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（ ）A 3B 2C 3D 3变式题4巩固19．为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”.如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所7，则正六棱锥与正六棱柱的高的比值为（ ）A 3B ．23C 3D ．12变式题5巩固20．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，现已知该四棱锥的高与斜高的比值为45，则该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值是（ ）A ．45B ．35C ．125D ．512变式题6提升21．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称为攒尖．依其平面有圆形攒尖，三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也四有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑．如图所示．某园林建筑屋顶为六角攒尖，它的主轮廓可近似看作一个正六棱锥（底面为正六边形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心）．若正六棱锥的侧棱与高线所成的角为α，则其外接球半径与侧棱长的比值为（ ）A ．12cos αB ．12sin αC ．2sin αD ．2cos α原题422．已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2 B ．3C ．6D ．9变式题1基础23．已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为15，到y 轴的距离为12，则p 的值为（ ） A ．3 B ．6C ．9D ．12变式题2基础24．如图所示，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，交其准线于点C ，若|||BC BF =，且||4AF =+p 的值为（ ）A ．1B ．2C ．52D ．3变式题3巩固25．若抛物线22x py =（0p >）上一点(),1A m 到其焦点的距离为2，则m =（ ） A ．2±B ．22±C ．±1 D ．2±变式题4巩固26．已知()01,A y 为抛物线()2:20C y px p =>上一点，O 是坐标原点，点A 到C 的焦点的距离为2，则OA =（ ） A ．2 B 5C ．4D ．5变式题5巩固27．已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，点()00,A x y 在抛物线E 上，若0||2AF y ==，则p =（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8变式题6提升28．设抛物线22y px = (0p >)的焦点为F ,准线为l ,过焦点的直线分别交抛物线于,A B 两点,分别过,A B 作l 的垂线,垂足为,C D .若3AF BF =,且三角形CDF 3则p 的值为A 23B 3C 6D 26原题529．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（ ） A ．y a bx =+ B ．2y a bx =+ C ．e x y a b =+ D ．ln y a b x =+变式题1基础30．2021年8月27日教育部在其网站发布了2020年全国教育事业发展统计公报，其中“十三五”时期全国高等教育在学总规模和毛入学率如下图所示，则下列四个回归方程类型中最适合作为毛入学率y 和年份数x 的回归方程类型是（ ）A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．x y a be =+D ．ln y a b x =+变式题2基础31．根据如下样本数据得到的线性回归方程为ˆˆY bX a =+，则（ ）A ．ˆ0a>，ˆ0b > B ．ˆ0a>，ˆ0b <变式题3巩固32．我国在2020年如期完成了新时代脱贫攻坚目标任务，脱贫攻坚战取得全面胜利，历史性地解决了绝对贫困问题，并全面建成了小康社会．现就2013—2019年年末全国农村贫困人口数进行了统计，制成如下散点图：据此散点图，下面4个回归方程类型中最适宜作为年末贫困人数y 和年份代码x 的回归方程类型的是（ ） A ．y a bx =+ B ．by a x=+ C ． e x y a b =+ D ．ln y a b x =+变式题4巩固33．在一次数学建模活动中，某同学采集到如下一组数据： x 2-1-0 1 2 3 y 0.24 0.5112.023.988.02以下四个函数模型（a ，b 为待定系数）中，最能反映y 与x 的函数系的是（ ）A ．y a bx =+B ．x y a b =+C ．log b y a x =+D ．by a x=+变式题5巩固34．某医院医疗攻关小组在一项实验中获得一组关于症状指数y 与时间t 之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，以下回归模型最能拟合y 与t 之间关系的是（ ）A ．2y kt =B ．2log y t =C ．3y t =D ．t y =变式题6提升35．下图是一组实验数据得到的散点图，以下函数中适合作为y 与x 的回归方程的是（ ）A ．y ax b =+B ．()2y b x a c =⋅++ C ．log a y b x c =⋅+D ．x y b a c =⋅+参考答案：1．D【分析】由题意首先求得22z z -的值，然后计算其模即可.【详解】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-.故2222z z -=-=.故选：D.【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题. 2．B【分析】由复数加法求得2i z +，然后由复数模的运算求解．【详解】解：∵45i z =-，∵i 23i 4z +=-，∵25i z +==， 故选：B. 3．A【分析】直接计算模即可【详解】1i z =+，z ==故选：A 4．B【分析】直接利用模的性质求解即可. 【详解】1i 1ii i 1z ++====. 故选：B. 5．B【分析】先根据()1i 2i z ⋅-=求出复数z ，然后可求模长. 【详解】因为()1i 2i z ⋅-=，所以()()()2i 1i 2i1i 1i 1i 1i z +===-+--+，所以z ==故选：B. 6．A【分析】根据复数的几何意义设复数的代数形式，由复数的模的计算公式列方程求出复数.【详解】设2(0)z a ai a =-≥，∵z ∵22(2)5a a +-=，解得1a =，∵12z i =-， 故选：A. 7．D【分析】先化简复数z ，根据纯虚数可求a ，然后可求复数的模长. 【详解】(2i)(1i)(2)(21)i z a a a =--=--+， 因为z 为纯虚数，所以2,a =则5i z =-，||5z =. 故选：D. 8．B【分析】由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值.【详解】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤， 求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a-=，解得：2a =-.故选：B.【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 9．C【详解】在数轴上表示出集合A ，B 即可得a 的取值范围为a >－1.，选C.点睛：将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时，应注意子集与真子集的区别，此类问题多与不等式(组)的解集相关．确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解． 10．D【分析】根据A B B =，得到B A ⊆，由集合A 与集合B ，确定出a 的取值范围即可. 【详解】A B B =，B A ∴⊆，集合{}|A x x a =>，集合{}1,1,2=-B ，(),1a ∴∈-∞-.故选：D. 11．D【分析】A B A =，可得B A ⊆，B =∅，{}1-，{2}．对m 分类讨论即可得出． 【详解】A B A =，B A ∴⊆，B ∴=∅，{}1-，{2}． 0m =时，B =∅，满足条件．0m ≠时，10m -+=，或210m +=，解得1m =或12-．综上可得：实数m 的取值所成的集合是{0，1，1}2-． 故选：D 12．D【分析】分别求出集合M ，再根据M N N =得到集合间的包含关系，然后解出a 即可【详解】由题意{}M a = ，又MN N =，N M ∴⊆N ∴有可能是{}a 或者∅当{}N a =时，此时有210a -= ，解得1a =± 当N =∅时，此时0a = 综上，实数a 的取值为0或±1 故选：D 13．C【分析】根据集合的交并补运算，再结合数轴即可求解. 【详解】∵U ＝R ，A ＝{x |x ≤1或x ≥3}，∵UA ＝{x |1＜x ＜3}．∵B ＝{x |k ＜x ＜k ＋1，k ＜2}，∵当()=U B A ⋂∅时，有k ＋1≤1或k ≥3(不合题意，舍去)，如图所示，∵k ≤0，∵当()U B A ⋂≠∅时，0＜k ＜2，故选:C ． 14．A【分析】先化简集合A ，再根据函数y =f （x ）=x 2﹣2ax ﹣1的零点分布，结合A ∩B 恰有一个整数求解.【详解】A ={x |x ＜﹣3或x ＞1}，函数y =f （x ）=x 2﹣2ax ﹣1的对称轴为x =a ＞0， 而f （﹣3）=6a +8>0，f （﹣1）=2a >0，f （0）<0，故其中较小的零点为（-1，0）之间，另一个零点大于1，f （1）<0， 要使A ∩B 恰有一个整数， 即这个整数解为2， ∵f （2）≤0且f （3）＞0，即44109610a a --≤⎧⎨-->⎩，解得：3443a a ⎧≥⎪⎪⎨⎪<⎪⎩， 即34≤a ＜43，则a 的取值范围为34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故答案为：A.【点睛】本题主要考查集合的交集运算的应用以及二次函数的零点分布问题，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题. 15．C【分析】设,CD a PE b ==，利用212PO CD PE =⋅得到关于,a b 的方程，解方程即可得到答案.【详解】如图，设,CD a PE b ==，则PO =由题意212PO ab =，即22142a b ab -=，化简得24()210b b a a -⋅-=，解得b a =.故选：C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题. 16．C【分析】利用已知条件求解斜高，然后求解正三棱锥的表面积．【详解】解：由题意可知底面三角形的中心到底面三角形的边的距离为：163=所以这个正三棱锥的侧面积为：1362⨯⨯⨯216sin 602⨯︒= 所以正三棱锥的表面积为故选：C ． 17．D【分析】根据正四面体表面积公式计算出正确选项.【详解】依题意棱长为a 的正四面体的表面积是224a =. 故选：D 18．D【分析】设底面边长为a ，根据线面夹角得到PO =，计算PE =，计算面积比较得到答案.【详解】如图所示：设底面边长为a ，,AC BD 交于点O ，则PO ⊥平面ABCD ，侧棱与该棱锥的高夹角为45PCO ∠=︒，故PO CO ==， E 为BC 中点，连接,OE PE ，则2a OE =，PE ==，212PBC S a =△，2ABCD S a =，PBC ABCD S S =△ 故选：D.19．D【分析】设出正六棱柱底面边长为a ，可知正六棱柱的高为2a ，再通过正六棱锥与正六棱可得正六棱锥的高，这样就可以得到答案.【详解】设正六棱柱底面边长为a ，由题意可知正六棱柱的高为2a ，则可知正六棱柱的侧面积为26212a a a ⨯⨯=.设正六棱锥的高为h ，可知正六棱锥侧面的一个三角形的边为a所以正六棱锥的侧面积为1632a ⨯⨯=h a =⇒=， 所以六棱锥与正六棱柱的高的比值为122a a =. 故选：D. 20．B【分析】根据题意，设四棱锥底面的边长为2a ，高为h ，斜高为1h .由四棱锥的高与斜高的比值为45，找出a 与1h 的关系式，结合面积公式，即可得到该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值.【详解】设该四棱锥底面的边长为2a ，高为h ，斜高为1h ，根据题意得1222145h h h a h ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即135a h =，从而该四棱锥底面面积为22136425a h =，侧面面积为221111312424255ah h h ⨯⨯=⨯=，故该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值是2211361232555h h ÷=. 故选：B. 21．A【分析】设底面中心为H ，连接PH ，由正棱锥性质知，PH ⊥底面ABCDEF ，则APH α∠=，求得sin a PA α=，设正六棱锥外接球半径为R ，可求得tan aPH α=，在直角AOH △中，利用勾股定理求得sin 2a R α=，即可求得RPA的比值. 【详解】如图，设底面中心为H ，底面边长为a ，连接PH ，AH ， 底面ABCDEF 为正六边形，AH a ∴= 由正棱锥性质知，PH ⊥底面ABCDEF又侧棱PA 与高PH 所成的角为α，APH α∠=，则sin AH a PA PA α==，即sin aPA α= 设正六棱锥外接球球心为O ，半径为R ，连接AO ,则OP OA R ==，OH PH PO PH R =-=- tan AH a PH PH α==，tan aPH α∴= 在直角AOH △中，222AO OH AH =+，即222tan a R R a α⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭222221tan sin cos tan 22tan 2sin cos sin 2tan a a a R a a a ααααααααα⎛⎫+ ⎪++⎝⎭∴==⋅=⋅=sin 1sin 2sin 22cos sin aR a PA ααααα∴===故选：A【点睛】方法点睛：本题考查正六棱锥的外接球，空间几何体与球接、切问题的求解方法：求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解，考查学生的空间想象能力与计算能力，属于中档题. 22．C【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A pAF x =+=，即1292p =+，解得6p .故选：C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题. 23．B【解析】首先设点()00,A x y ，然后根据条件列式，求p 的值. 【详解】设()00,A x y ，则0015212p x x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：6p . 故选：B 24．B【分析】由抛物线的定义结合已知可得直线l 的倾斜角为45°，进而求出A 点坐标，再由抛物线定义结合AF 的值求解.【详解】过B 作准线的垂线BB '，垂足为B '，则||BB BF '=，由|||BC BF =，得直线l 的倾斜角为45°．设()00,A x y ，由||4AF =+0|22p x AF -==+022px ∴=+．又0||2p AF x =+，24p ∴+=+2p ∴=．故选B. 25．D【分析】用焦半径公式解方程算出p 即可获解.【详解】∵抛物线22(0)x py p =>上的点(,1)A m 到焦点的距离为2， ∵122p+=，即2p =，则24x y =， ∵24m =，则2m =±. 故选：D. 26．B【分析】由抛物线定义可得122p+=，求得2p =进而求得()1,2A ±即可得解. 【详解】根据抛物线定义易知122p+=，所以2p =， 所以抛物线2:4C y x =， 所以()1,2A ±，所以OA =故选：B 27．A【分析】利用抛物线的定义和点()00,A x y 在抛物线E 上得到关于0,p x 的方程，联立方程组即可求解.【详解】由抛物线的定义可知，0||22pAF x =+=， 因为点()00,A x y 在抛物线2:2(0)E y px p =>上，所以02y =，即02x p =，代入022px +=，解得2p =． 故选：A【点睛】本题考查抛物线的定义及其方程；考查运算求解能力；属于基础题. 28．C【解析】首先根据线条长度关系解出A 、B 点横坐标12x x 、（用p 表示）， 然后利用三角形面积公式列出一个关于p 的方程，解出p 即可. 【详解】过点B 作BM l ∥交直线AC 于点M ，交x 轴于点N ， 设点()()1122,,A x y B x y 、， 由3AF BF =得 12322p p x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 即123x x p -=……∵， 又因为NF AM ∥, 所以14NF BF AM AB ==, 所以()1214NF x x =-， 所以()212142pOF ON NF x x x =+=+-=……∵， 由∵∵可解得123,26p px x ==， 在Rt ABM ∆中，1283AB x x p p =++=， 124=3AM x x p -=，所以BM p ==，所以132CDF S P ∆==,解得p =p =（舍去）， 故选：C【点睛】本题考查抛物线及其标准方程和抛物线的几何性质，利用焦点弦的性质是解答本题的关键. 29．D【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近， 因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是ln y a b x =+. 故选：D.【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题. 30．A【分析】结合散点图的变化趋势进行判断，即可得到答案.【详解】根据图象可知，函数图象随着自变量的变大，函数值增长速度基本不变，再由图象的形状结合选项，可判定函数y a bx =+符合要求. 故选：A 31．B【分析】作散点图，由散点图确定ˆa，ˆb 的正负. 【详解】画出散点图，由图可得ˆ0a>，ˆ0b <． 故选：B. 32．A【分析】结合散点图中点的分布特征即可得出结果.【详解】由散点图可知所有的点几乎分布在一条直线上，结合选项可知选A, 故选：A. 33．B【分析】根据题设中表格中的数据画出散点图，结合图象和选项，得到答案. 【详解】由表格中的数据，作出数据的散点图，如图所示，数据散点图和指数型函数的图象类似，所以选项B 最能反映,x y 之间的函数关系. 故选：B.34．B【分析】观察散点图的变化趋势，并结合选项中的函数图像选出答案即可.【详解】由图可知，散点几乎落在一条曲线周围，图像单调递增且增长的速度越来越缓慢，结合选项中的函数的图像，函数2y kt =，3y t =和t y =的图像单调递增，但是增长速度越来越快，故排除ACD ，而函数2log y t =图像单调递增且速度越来越缓慢，所以选项B 符合题意，最能拟合y 与t 之间的关系. 故选：B 35．D【分析】由散点图的趋势，结合基本函数的图象特征判断. 【详解】由散点图知：x →+∞时，0y →且0y >， 则回归曲线拟合指数函数， 故选：D ．答案第13页，共1页。
中考数学 变式题专题
引例
1.已知，如图在等腰△ABC中，AB=AC，O是底边BC上 的一点，OD⊥AB于D, OE⊥AC于E.AB=AC=6， OD =2， OE =3，
（1）求△ABC的面积；
S △ABC = S △ABO + S △ACO
S △ABC=15
（2）在（1）的前提下，若BM是一腰上的高，求
BM的长
C重合，它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E．
当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1)，
2
易证：OD+OE= OC．
当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论
是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数
阳光的幸福是如钻石般耀眼
老师的幸福是因为知识在延续
愿我们努力进取，永不言败
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如图1，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，根据“平行四边形 的对角线互相平分”可知：OA=OC。
即△ABD与△CDB中BD边上的中线相等。
（1）若AE、CF分别是△ABD与△CDB的角平分线（如图2），求证AE=CF。
18米 苗圃园
图1
18米 甲乙
图2
18米
甲乙
门
门
图3
对一道题进行适当的演变、延伸、拓展，不 仅提高了学生的应变能力、探究能力还能激发学 生思维的广阔性，发散性。这就要求教师要深入 细致的研究新课标，研究教材，深入研究习题潜 在的功能。
一滴水可以折射太阳光辉，一道题也常常散 发出智慧的光芒，只要我们在教和学的过程中做 题一道、变式一类、猜想一串、探讨一番，定能 打开学生智慧的大门，为他们创造更美好的明天。
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C
D
A
图1
B
典例探讨
例题 如图2 在△ABC中，AE⊥BC于E，AE=BE，BF⊥AE于D， 试说明DE=CE
证明： ∵AE⊥BC， BF⊥AE（已知） ∴ ∠ CAE+ ∠C= ∠DBE+ ∠D= 90。 （直角三角形两个锐角互余） ∴ ∠CAE= ∠DBE(同角的余角相等) 在△ACE和△BDE中， ∠CAE= ∠DBE（已证） AE=BE（已知） ∠AEC= ∠BED= 90。 (垂直的定义) ∴ △ACE≌ △BDE（ASA） ∴DE=CE（全等三角形对应边相等）
变式二 在变式一中 ，若连接CD，将△CDE绕点E顺时针 旋转一定的角度得到图4，请判断BD和AC的关系是否发生 变化？如图5，将△CDE绕点E逆时针旋转一定的角度呢？
图4
图5
变式三
如图6、7，若将变式二中的等腰三角形变为等边三 角形，其他条件不变，则BD和AC的关系又如何？ BD与AC的夹角是多少度呢？
图2
变式一 如图3 ，在△ABC中，AE⊥BC于E， AE=BE，D是AE上的一点，且DE=CE，请判断BD 和AC有何数量关系和位置关系？并说明理由。
图3
《变式二 》 在变式一中 ，若连接CD，是△CDE绕点E顺时 针旋转一定的角度，请判断BD和AC的关系是否发 生变化？
如果将已知条件改为“AE=BE，CE=DE, ∠AEB= ∠DEC= ”那么BD与CA的夹角又是 多少
变式四
在变式二中，若EM（如图8）请 猜想AD和EM什么关系？并证明你猜想的正 确性.
复习提问：
如图1，要得到△ABC≌△BAD，除去公共边AB外， 请再添加两个条件使它们全等，你有哪几种方法？
AC=BD ，BC=AD (SSS) AC=BD，∠CAB= ∠DAB（SAS） BC=AD ，∠CAB= ∠DAB（SAS） ∠CAB= ∠DAB，∠CAB= ∠DAB（ASA） ∠CAB= ∠DAB， ∠C= ∠D（AAS） ∠CAB= ∠DAB， ∠C= ∠D（AAS）