复变函数与积分变换-第三章

幂级数在收敛圆内内闭一致收敛
3.幂级数的性质
在收敛圆内幂级数具有连续性、可积性4.2.5和解 析性4.2.4
4.幂级数的运算
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2015-1-31
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4.3 Taylor级数表示
1.Taylor展开定理
设函数 f(z)以z0为圆心的圆周CR内解析，则对于圆
n 1
收敛与发散
若 wn 的前n项和 Sn w j 有极限（n）,

n
则称该级数收敛，且称此极限值为该无穷级数的
和；否则称为发散。
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n 1
j 1
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收敛的充分必要条件－－定理4.1.3
考察级数

z
n 1


n
的敛散性
(1) n i 考察级数 n n2 的敛散性 n 1
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Department of Electronic Engineering 3.复变函数项级数
概念
形如 w1 ( z ) w2 ( z ) wn ( z ) wn ( z )
(k ) f ( k ) ( z ) wn ( z) n 1
n 1
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4.2幂级数
1.幂级数概念
形如 an ( z z0 ) 的级数被称为以z0为中心
n
的幂级数，其中an是复变常数。 定理4.2.1（阿贝尔定理）
n 1
n a ( z z ) n 0 发散，则 n 1
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收敛半径的求法：定理4.2.2；定理4.2.3
D'Alembert公式
an R lim n a n 1 1 an
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例2把函数
1
1 z
1
2
展开成 数
z
的幂级
• 解: 函数 1 z 在
2
z 1 内处处解析 ,
• 由公式(4.1.7)
1 n 1 z z 2 1 z n , z 1 1 z
举例
函数 f(z)=sin z/z 在0<|z|< 内的Laurent级数开
函数 f(z)=1/(1-z2) 分别在1<|z|< 和 0<|z-1|<2内的 Laurent级数展开
连续，则该级数在B内连续
n 1

级数 wn ( z ) 在C上一致收敛，且wn(z)
在C上连续，则
C n 1
n 1
w ( z)dz w ( z)dz
n n 1 C n


级数 wn ( z ) 在B内一致收敛f(z)，且
解析 性— 4.1.9
wn(z)在B内解析，则f(z)在B内解析，且
设 wn un ivn (n 1,2,) ，则级数 充分必要条件是 vn皆为实数。
u
n 1

n
和 vn 都收敛，其中un和
n 1

w
n 1

n
收敛的
绝对收敛与条件收敛—定义4.1.4
称级数
w 是绝对收敛的，如果 | w
n 1 n n 1 n 1 n n 1
开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。
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1.洛朗级数（双边幂级数）
a n ( z z0 ) n a 2 ( z z0 ) 2 a1 ( z z0 ) 1 a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 ) 2 an ( z z0 ) n
n 1
| f ( z ) S n ( z ) | 其中S n ( z ) wk ( z )
n
M判别法
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《复变函数与积分变换》 k 1
性质
连续性 -- 4.1.7 可积性 -- 4.1.8
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级数 wn ( z ) 在B内一致收敛，且wn(z)
n 1
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2.幂级数的收敛圆与收敛半径
若存在正数R，使得当|z-z0|<R时，级数
n a ( z z ) n 0 n 1
收敛；而得当|z-z0|>R时，级数
n
称R为级数 an ( z z0 ) 的收敛半径，其中|z-z0|<R被称 为收敛圆。
• 收敛环的确定
设正幂部分的收敛半径为R1；而负幂部分在变换
=1/(z-z0)下的级数的收敛半径为1/R2 ，则其在
|z-z0|>R2外收敛。如果R2<R1，那么双边幂级数就
在环状域 R2<|z-z0|<R1 内收敛，所以 R2<|z-z0|<R1
给出了双边幂级数的环状收敛域，称为收敛环。
双边幂级数在收敛环内绝对内闭一致收敛。
函数 f(z)在B内解析的充分必要条件为 f(z)在B内 任一点的邻域内可展成幂级数（定理4.3.2）
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2.几个初等函数的幂级数展开式
直接方法
间接方法 函数 f(z)=arctan z 在z=0点的Taylor级数展开 函数 f(z)=sin z 在z=0点的Taylor级数展开 函数 f(z)=1/(1-z)2 在z=0点的Taylor级数展开 待定系数法 函数 f(z)=tan z 在z=0点的Taylor级数展开


n
| 是收敛的
n
称级数 而
w
n 1

w 是条件收敛的，如果 | w
是收敛的
| 是发散的，
n
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举例
1 i / n 考察级数 1 e 的敛散性 n n 1
CR2
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说明
1 (n) an f ( z 0 ) n!
Laurent级数展开的唯一性 Laurent级数中的z0点可能是奇点，也可能不是奇点
收敛范围的极限的确定
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R2<|z-z0|
R1
R2
z0
收敛环 R2<|z-z0|<R1
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• 双边幂级数的性质 定理
R1 R2
B
z0
n a ( z z ) 0 的收敛环B为R2<|z-z0|<R1， 设双边幂级数 n
4.1 复数项级数与复变函数项级数
1.复数序列
概念 收敛与发散
定理4.1.1 定理4.1.2
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2.复数项级数 概念
形如 w1 w2 wn wn 的表达

式被称为复数项级数，其中wn是复数。
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第四章 级数
• • • • • 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 复数项级数 幂级数 Taylor级数表示 Laurent级数表示 孤立奇点的分类
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则 f ( z)
(1) 在B内连续；
(2) 在B内解析，且于B内可逐项可导； (3) 在B内可逐项积分。
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n
a (z z )
n 0

n
n
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urent展开定理
• 把上式两边逐项求导,即得所求的展开式
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1 z 2
1
1 2 z 3z 2 4 z 3 1 nz n1 , z 1.
n
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• 解析函数的一个等价命题
n
级数
n 1
w ( z )收敛的充分必要条件是 u ( x, y)