7.5__探究弹性势能的表达式课堂用
人教版必修2物理：7.5 探究弹性势能的表达式 教案设计
探究弹性势能的表达式【教学重点】1．探究弹性势能公式的过程和所用方法。
2．理论探究的方法。
【教学难点】1．推导拉伸弹簧时，用微分思想和积分思想求解拉力所做功的表达式。
2．图象方法解决问题。
【教学目标】1．理解重力势能。
2．知道重力势能的变化与重力做功的关系。
3．通过实验，验证机械能守恒定律。
理解机械能守恒定律。
用机械能守恒定律分析生活和生产中的有关问题。
4．了解自然界中存在多种形式的能量。
知道能量守恒是最基本、最普遍的自然规律之一。
5．通过能量守恒以及能量转化和转移的方向性，认识提高效率的重要性。
了解能源与人类生存和社会发展的关系，知道可持续发展的重大意义。
【教学过程】探究弹性势能科学探究在于通过学生自主的探索行为，变未知为已知。
其中是否会有实验，不是本质特征。
关于弹性势能表达式的探究，就不含实验。
这一探究活动意在检验以下两点：第一，既然已经知道功可能是能量变化的量度，而且重力势能的表达式确实是通过重力做功的分析得出的，那么能否想到弹性势能的表达式有可能通过弹力做功的分析而得出；第二，是否从前面利用极限思想的实例中受到启发而产生认知的迁移。
对212E kx P 的计算则无任何要求。
弹性势能的改变在射箭比赛中，运动员的手一松开，拉满弦的弯弓在恢复原状时就把利箭发射出去。
可见，发生弹性形变的物体在恢复原状的过程中能够做功，说明它具有能量。
物理学中，把物体因为发生弹性形变而具有的能叫做弹性势能（elastic potential energy ）：拉开弹弓、上紧钟表的发条等，都是让物体具有弹性势能；在弹簧被拉长或被压缩时，弹簧中就存储了弹性势能；弹簧在恢复原状的过程中，它就对外做功。
经验告诉我们，弹性形变越大，在恢复原状时它对外做的功越多，具有的弹性势能就越大。
对于弹性势能的教学，通过具体实例让学生认识发生弹性形变的物体具有弹性势能，弹性势能与形变程度有关；通过迷你小实验体验弹性势能的变化是由弹力做功决定的，这与重力势能具有相同的特点。
必修二7.5探究弹性势能表达式(rk上课自用)
形变量
想一想，弹力做功有何特点？
前一节我们通过重力做功得出了重力势能的表达式， 前一节我们通过重力做功得出了重力势能的表达式， 以及重力做功与重力势能的变化的关系
W G = -△ E P
重力做正功， 重力做正功，EP减少 重力做负功， 重力做负功，EP增加
二、弹簧的弹性势能与弹力做功的关系 弹力做正功 弹性势能减少 正功， 弹力做正功，弹性势能减少 弹力做负功 弹性势能增加 负功， 弹力做负功，弹性势能增加
= ( k ∆ l + 2 k ∆ l + 3 k ∆ l + L） ∆ l
方案三微元法 数理结合
W = F1∆l1 + F2∆l2 + F3∆l3 +L
因为 n∆l
=
= （1+ 2+ 3+ L ） k ∆ l (1+ n ) n = k ∆l 2 2 1 22 2 1 2
2 kn ∆ l + 2 kn∆ l
问题二、 问题二、怎样得到弹性势能的定量表 达式呢？ 达式呢？
重力做功 研究重力势能
类 比 思 想
功是能量转化的量度
弹力做功 研究弹性势能
三、弹力做功求解
F拉=F =k l
l
F
F拉
怎样求弹力 做的功？ 做的功？
方案一—--平均思想 平均思想 方案一
用平均力来求变力做功
与匀变速运动的平均速度为速度的 平均一样，这个与L成正比的拉力的平 均应该也为 ：
在各个小段上，弹力可近似认为是不变的 在各个小段上，弹力可近似认为是不变的 不变
F1、F2、F3 …
W拉＝F11∆l1＋F2∆l2＋F3∆l3＋F4∆l4＋F∆ln 5 W拉＝F ∆l1＋F2∆l2＋F3∆l3＋……＋Fn 5∆l ＋
人教版物理必修二7.5 探究弹性势能的表达式 课件 (共13张PPT)
弹
性
势
弹簧的劲度系数
能 的 表
弹簧的弹 性势能
EP＝21 k l 2
达 式
弹簧的伸长量或压缩量
弹力做 的功
WF＝EP1－EP2
末态的弹 性势能
初态的弹性势能
思 考
能否规定弹 簧任意长度
时的势能为
重力势能有相对性，弹 零势能?
性势能也有相对性吗?
弹性势能具有相对性，一般指相对 于弹簧原长时的弹性势能，即规定 弹簧处于原长时的弹性势能为0。
• 弹性势能的相对性
弹性势能的大小与零势能面 负 的选取有关，一般选取弹 簧自然长度时为零势能面。 A
正 OB
1.弹力做正功，弹性势能减小，物体运动回原点 （A到O或B到O）
2.弹力做负功，弹性势能增大，物体远离原点 （O到A或O到B）
3.弹力做多少正功，弹性势能减少多少，做多少 负功，弹性势能增加多少
• 关于弹性势能下列说法正确的是（ C ） A 当弹簧变长时他的弹性势能一定增大 B 当弹簧变短时他的弹性势能一定变小 C 拉伸长度相同时，k越大弹性势能越大 D 弹簧的行变量越大，劲度系数k越大
将弹簧拉伸或压缩时，通过对弹簧做功，
其他形式的能可以转化为弹性势能，一根 弹簧从原长被拉伸6cm，拉力做功1.8J， 此时弹簧具有的弹性势能为（ ）J，弹簧 从原长被压缩4cm,弹力做功-0.8J，此时弹 簧具有的弹性势能为（ ）J。
第七章 机械能守恒定律
5、探究弹性势能的表达式
观 察
发生弹性形变的物体的各部分之间， 由于有弹力的相互作用，也具有势能，这 种势能叫做弹性势能。
思
考
弹性势能的大小
可能与哪些因素
有关?
弹性势能的大小 与形变量有关
7.5探究弹性势能的表达式
蓟县一中 2013---2014 学年度第二学期教案高中一年级物理学科第___14_周第__1_课时二、假设与猜想：弹性势能与哪些因素有关？（演示两个不同的弹簧）演示实验（学生参与、师生互动）：展示两个长度一样，劲度系数不一样的弹簧，请同学到前台演示：第一次将劲度系数小的弹簧拉伸一定长度X1，第二次拉伸更大的长度X2，第三次将两个弹簧一起拉伸同样的长度X2，让同学们这三种情况下哪个弹性势能大？很容易得出结论：E1<E2<E3猜想：弹性势能可能与劲度系数、形变量有关。
<E2<E3猜想：弹性势能可能与劲度系数、形变量有关！< p>三、弹性势能与弹力做功的关系？（类比1并在学生讨论中适时用多媒体展示）老师：请同学们回忆一下我们研究过的重力势能与重力作功的关系，能否通过类比来得出弹力做功与弹性势能的关系呢？学生：讨论并交流得出结论：W T=EP1－EP2，若令EP1=0，则W T=－EP2合作探究：六、怎样计算弹力（变力）的功？（类比2、3用多媒体适时控制展示）老师：刚才我们通过类比得出结论：弹簧弹性势能大小等于克服弹力所做的功，这样我们如果求出了弹力的功，也就可以亮度弹簧的弹性势能了，但问题是弹力是个变力，怎样求这个变力的功呢？是否也可以通过类比的方法来求呢？公式图象“面积”类比3老师：通过以上分析和类比，我们能否也通过图象法与微元法得出变力的功呢？学生：可以学生：可以，用面积求得：由上述探究，我们得出弹性势能的表达式：④怎样计算拉力的功？⑤得出探究结果2．探究方法（在学生讨论出结论后用多媒体展示）猜想与假设、类比、迁移、微元、图象、控制变量、数学推理等。
这节课同学们通过猜想，假设，类比，微元，控制变量等方法，探究了弹簧的弹性势能的表达式，基本掌握了科学探究的一般研究方法。
布置作业：质量检测A组板书设计：7.5探究弹性势能的表达式一、弹性势能定义:发生弹性形变的物体各部分之间,由于弹力的相互作用而具有的势能.二、弹性势能的表达式和重力势能进行比较.。
7.5探究弹性势能的表达式
影
响
猜想：弹性势能
弹
的大小可能与哪
性
些因素有关?
势
能
的
弹性势能的大小
因
与形变量有关
素
弹性势能的大小 与劲度系数有关
弹
力 类比：重力做功
重力势能的变化
做 功 和 弹
重力做正功，重力势能减小 重力做负功，重力势能增加
功 是 能
性
量
势
弹力做功
弹力势能的变化 转
能
变
弹力做正功，弹性势能减小
化 的
弹力做负功，弹性势能增加
5 探究弹性势能的表达式 拉开的弓箭和拉长的橡皮筋可以干什么？
有关弹力的知识
拉开的弓
有关弹力的知识 压 缩 的 弹 簧
有关弹力的知识 拉长的弹簧
第1小讲
发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有 弹力的相互作用而具有的势能叫弹性势能。
本节课我们 主要探究弹 簧被拉长的 情况的弹性 势能的表达 式。
均应该也为 ： F 0 F kl 22
平均拉力对这段位移做功：W Fl 1 kl2
WF弹
1 2
kl2
2
三 探究结论 由弹力做功可得出弹性势能的表达式
W FL 1 kl2 0 1 kl2
2
2
若取原长处为零势能面，则可以得出
弹性势能的表达式
EP
1 kl2 2
弹
性
能否规定弹
势 能
WF＝Ep0－Ep
物体将向右运动，在物体向右运动过程中下列
说法正确的是：
A、弹簧的弹性势能逐渐减小
B、弹簧的弹性势能逐渐增大
C、弹簧的弹性势能先增大再减小
F
D、弹簧的弹性势能先减小再增大
新人教版必修二7.5探究弹性势能的表达式公开课课件
•
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2021/3/172021/3/172021/3/172021/3/17
谢谢观看
第七章：机械能守恒定律
7.5探究弹性势能的表达式
人教版物理必修②
探究１：什么是弹性势能？
发生弹性形变的物体的各部分之间，由 于有弹力的相互作用，也具有势能，这 种势p
1 2
kx2
弹力做功与弹性势能变化的关系
弹力做正功，则弹性势能减少； 弹力作负功，则弹性势能增加。
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
如图所示，在光滑水平面上有一物体，它的
左端连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，
在力F作用下物体处于静止状态，当撤去F后，
物体将向右运动，在物体向右运动的过程中
下列说法正确的是（ ）
A、弹簧的弹性势能逐渐减少
D
B、弹簧的弹性势能逐渐增加
C、弹簧的弹性势
能先增加再减少
D、弹簧的弹性势
能先减少再增加
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/3/172021/3/17Wednesday, March 17, 2021
人教版高中物理必修2教案：7.5 探究弹性势能的表达式含答案
7.5 探究弹性势能的表达式教学目标一、知识与技能理解弹性势能的概念及意义，学习计算变力做功的思想方法。
二、过程与方法1．猜测弹性势能的表达式与哪些因素有关，培养学生科学预测的能力。
2．体会计算拉力做功的方法，体会微分思想和积分思想在物理学上的应用。
三、情感、态度与价值观通过对弹性势能公式的探究过程和所用方法，培养学生探究知识的欲望和学习兴趣，体会弹性势能在生活中的意义，提高物理在生活中的应用意识。
教学重点探究弹性势能公式的过程和所用方法。
教学难点推导拉伸弹簧时，用微分思想和积分思想求解拉力所做功的表达式。
教学过程一、引入新课实验导入装置如图所示：将一木块靠在弹簧上，压缩后松手，弹簧将木块弹出。
分别用一个硬弹簧和一个软弹簧做上述实验，分别把它们压缩后松手，学生认真观察实验现象并叙述。
现象一：同一根弹簧，压缩程度越大时，弹簧把木块推得越远。
现象二：两根等长的软、硬弹簧，压缩相同程度时，硬弹簧把木块弹出得远。
师生共同分析，得出结论：上述实验中，弹簧被压缩时，要发生形变，在恢复原状时能够对木块做功，因而具有能量，这种能量叫做弹性势能。
教师：弹性势能的大小与哪些因素有关？弹性势能的表达式应该是怎样的？这节课我们就来探究这些问题。
二、新课教学教师：我们在学习重力势能时，是从哪里开始入手进行分析的？这对我们讨论弹性势能有何启示？学生思考后回答：学习重力势能时，是从重力做功开始入手分析的。
讨论弹性势能应该从弹力做功入手分析。
教师点评：通过知识的迁移，找到探究规律的思想方法，形成良好的思维习惯。
教师：当弹簧的长度为原长时，它的弹性势能为零，弹簧被拉长或被压缩后，就具有了弹性势能，我们类比重力势能猜测一下：弹性势能与哪些因素有关？学生思考讨论，教师点拨归纳：（1）重力势能与高度h成正比，弹性势能是否也与弹簧的伸长量（或缩短量）有关？若有关，是否是简单的正比关系？（2）重力做功，重力势能发生变化，重力做功在数值上等于重力势能的变化量。
高一物理《7.5探究弹性势能的表达式》课件
A、物体对弹簧做的功与弹簧的压缩量成正比 B、物体向墙壁移动相同的距离，弹力做的功不相等 C、弹力做正功，弹簧的弹性势能减小 D、弹力做负功，弹簧的弹性势能增加
已知物体质量为m，用一劲度系数为k的弹 簧将其缓慢的拉离地面h高处，则拉力做的 功为多少？
x
h
W拉 Ep E弹
回
顾 ：
v
v
匀
变
v0
速0 直
线
运
动
的
v
tt
vvvv2143 v0
v0
0
tt
位
移
v
与
0 t1 t2 t3 t4 t t v
速 度
v0
v0
关
0
tt
系
0
tt
弹
性
F拉
势 能 的 表 达 式
拉力所做 的功等于 图线与横 轴所围的
面积
F5 F4 F3
F2
F0 1
W拉＝21 k Δl 2
Δl l
Δl1 Δl2 Δl3 Δl4 Δl5
练 在水平面上竖直放置一轻质弹簧，有一物 习 体在它的正上方自由落下，在物体压缩弹簧
速度减为零时 C
A．物体的重力势能最大
B．物体的动能最大
C．弹簧的弹性势能最大
D．弹簧的弹性势能最小
E、在未接触弹簧时，小球加速度不变， 在压缩弹簧的过程中加速度逐渐减小
一竖直弹簧下端固定于水平地面上，
小球从弹簧的正上方高为h的地方自由下
弹
力
重力做功
重力势能的变化
做
功
重力做正功，重力势能减小
和
重力做负功，重力势能增加
弹
学案4：7.5探究弹性势能的表达式
7.5 探究弹性势能的表达式【学习目标】1．弹力对物体做正功，弹簧的弹性势能减少，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加。
弹力做了多少功，弹性势能就变化多少。
2．弹簧的弹性势能的大小跟劲度系数和形变量有关，其表达式为E p ＝12kl 2，其中l 表示弹簧的形变量而不是长度。
3．弹簧的弹性势能也具有相对性，一般取弹簧处于原长时弹性势能为零。
【知识梳理】一、弹性势能1．概念：发生 的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能。
2．弹性势能与重力势能同属于势能，由此，影响弹性势能的因素猜想如下：[说明](1)弹性势能大小与弹力做功有关，弹力做正功，弹性势能减小，弹力做负功，弹性势能增大。
(2)弹性势能大小与弹簧形变量大小有关，形变越大，弹性势能越大。
[选一选]关于弹性势能，下列说法错误的是( )A ．发生弹性形变的物体都具有弹性势能B ．只有弹簧在发生形变时才具有弹性势能C ．弹性势能可以与其他形式的能相互转化D ．弹性势能在国际单位制中的单位是焦耳二、弹性势能(变化)大小探究1．弹力做功特点：随弹簧的变化而变化，还因弹簧的不同而不同。
2．弹力做功与弹性势能的关系3.“化变为恒”求拉力做的功W总＝F1Δl1＋F2Δl2＋……＋F nΔl n。
4．F-l图象面积意义：表示的值。
[注意]对于同一个弹簧伸长和压缩相同的长度时弹性势能是一样的，所以对于某一弹性势能可能对应着弹簧伸长和压缩两个不同的状态。
[判一判]1．不同弹簧发生相同的形变量时弹力做功相同( )2．同一弹簧发生不同的形变量时弹力做功不同( )3．弹簧弹力做正功时，弹簧弹性势能增加( )4．作用在同一弹簧上的拉力越大，弹簧的弹性势能越大( )【重点难点突破】知识点一、对弹性势能的理解1.弹性势能的产生及影响因素2．弹性势能的两个特性(1)系统性：弹性势能是发生弹性形变的物体上所有质点因相对位置改变而具有的能量，因此弹性势能具有系统性。
(2)相对性：弹性势能的大小与选定的零势能位置有关，对于弹簧，一般规定弹簧处于原长时的势能为零势能。
学案1：7.5探究弹性势能的表达式
7.5探究弹性势能的表达式课程学习目标1.知道探究弹性势能表达式的方法。
2.理解弹性势能的概念,会分析决定弹簧弹性势能大小的相关因素。
3.体会探究过程中的猜想、分析和转化的方法。
4.领悟求弹力做功时,通过细分过程化变力为恒力的思想方法。
课程导学建议重点难点:体验知识迁移、类比的推理方法,用微积分思想求解拉力所做功的表达式。
教学建议:教学可通过生活实例,如撑竿跳高,给学生感性认识,引导学生类比重力做功与重力势能的关系,来研究弹力做功与弹性势能的关系。
对于求变力做功可引导学生类比匀变速直线运动位移的求法,进行知识迁移,利用微元法得到弹性势能的表达式,逐步把微积分思想渗透到学生思维中。
导入新课:目前男子跳高的世界纪录是2.45米(1993年巴西的索托马约尔),而男子撑竿跳高的世界纪录是6.16米(2014年法国的李纳德·拉维莱涅),为什么撑竿跳高能跳那么高?运动员撑的竿子是一般的硬竿子吗?(当今使用的是玻璃纤维竿)竿子与运动成绩有什么关系?知识体系梳理1.弹性势能:发生弹性形变的物体的各部分之间,由于有弹力的相互作用,也具有势能,这种势能叫作弹性势能。
2.影响弹性势能的因素(1)与形变量l有关,l越大,弹性势能越大。
(2)与劲度系数k有关,k越大,弹性势能越大。
3.如图所示,把拉伸弹簧的过程分为很多小段,拉力在每个小段可以认为是恒力,它在各段做功之和可以代表拉力在整个过程做的功。
4.弹性势能的表达式是E p=kΔl2。
基础学习交流1.是不是只有弹簧才具有弹性势能?2.对于发生形变的弹簧,它的弹性势能大小与哪些因素有关?3.弹簧的弹性势能变化与什么力做功有必然关系?重点难点探究主题1:决定弹簧弹性势能大小的相关因素问题:如图所示,将弹簧的一端固定,用小钢球将弹簧压缩至最短,而后突然释放,小钢球将被弹出去。
从动力学角度来说,释放弹簧后,弹簧对和它接触的小球产生了力的作用,因此小球被弹开。
从能量的角度来说,弹簧被压缩后,就具有了弹性势能,释放后,弹力对小球做了功,弹簧把自身的能量转化为小球的动能,小球获得了能量,因此会被弹开。
【学霸笔记】物理必修二7.5探究弹性势能的表达式
新课标物理学讲义----力学 第七章 机械能守恒定律 1 第五节 探究弹性势能的表达式
一、探究弹性势能的表达式
1、弹性势能：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于弹力的相互作用而具有的势能。
2、猜想相关量：k 、x
3、步骤：（弹簧弹力做功与弹簧伸长量之间的关系）
①结论：弹簧弹力做正功，弹性势能减小；弹簧弹力做负功，弹性势能增大。
②弹簧弹力做功等于弹性势能变化的负值。
p F E W ∆-=
③研究弹簧弹力做功
4、弹力做功分析：
面积法（平均作用力法）：
()()()()()
222212212111221x x k x x kx kx W x x F F W F F --=-+-==-+-= ()12212221222
1212P P P E E kx kx x x k W E -=-=-=-=∆ 5、结论：22
1kx E P = 二、弹性势能
1、表达式：22
1kx E P = 2、理解：
①弹簧的弹性势能只与k 、x 有关，与研究对象的运动情况等都无关。
②弹性势能为一状态量，即某时刻发生形变量时弹簧具有的能量。
③弹性势能为相对量，表达式选取的势能零点为原长。
（一般与原长为势能零点） ④弹性势能为标量，如果取原长为势能零点，则弹性势能具有非负性。
⑤同一根弹簧，拉伸或压缩同样的形变量，弹性势能相同。
⑥使用范围：弹簧。
无特殊说明橡皮筋也适用。
⑦弹性势能具有系统性，即它是发生弹性形变的物体各部分由于弹力而共同具有的能量。
3、小球在弹簧弹力作用下的做功能量分析：
O →A
A →O
O →B
B →O。
人教版必修二7.5探究弹性势能的表达式
(AB)
A. 任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能
B. 任何具有弹性势能的物体一定发生了弹性形变
C. 物体只要发生形变，就一定具有弹性势能
D. 弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关
回忆：匀变速直线运动的位移怎样计算
v
v
voo
t
voo
t
v
v
voo
在v t
图象中， t 物体voo 的位移： t
x S面积
拉力做功的计算方法
F
F
o F
l
o F
l
k l
o
l
o
求变力做功的方法：
l l
在F
l
图象中： W
S面积
1 2
K L2
4、弹簧的弹性势能的表达式
说明：
EP
1 2
W外→E弹
3、怎样计算拉力所做的功？
把拉伸弹簧的过程分为很 多小段，拉力在每小段可 以认为是恒力，它在各段 做功之和可以代表拉力在 整个过程做的功
F为变力，如何求 其做的功？
微元法求变力的功：
W1=F1ΔL1 W2=F2ΔL2 W3=F3ΔL3 … … W=W1+W2+W3+…
=F1ΔL1+F2ΔL2+F3ΔL3+…
7.5《探究弹性势能的表达式》
一、弹性势能的概念
发生弹性形变的物体各部分之间由于弹 力的相互作用而具有的势能
二、探究弹性势能的表达式
1、弹性势能的表达式可能与哪几个物理 量有关？（类比、猜想）
1、弹簧的长度
2、劲度系数
2、弹簧的弹性势能与拉力所做的功有什么 关系？（类比、进一步建构功能关系思想）
7[1].5《探究弹性势能的表达式》上课用课件
![7[1].5《探究弹性势能的表达式》上课用课件](https://img.taocdn.com/s3/m/c750d8e59b89680203d825ce.png)
W1 ︰W2 =1︰3。
点悟 上述解法采用了教材探究弹性势能表达式的 研究方法， 图象直观地进行分析。 研究方法，即应用F—l图象直观地进行分析。若记 得弹性势能的表达式， 得弹性势能的表达式，也可由弹性势能的表达式进 行计算。由于拉力做功增加了弹簧的弹性势能， 行计算。由于拉力做功增加了弹簧的弹性势能，故 有
第七章： 第七章：机械能守恒定律
两张图中的物体有什 么共同点？ 么共同点？
1、什么是弹性势能？ 、什么是弹性势能？
发生弹性形变的物体的各部分之间， 发生弹性形变的物体的各部分之间，由于 弹性形变的物体的各部分之间 弹力的相互作用 也具有势能， 的相互作用， 有弹力的相互作用，也具有势能，这种势 能叫做弹性势能。 能叫做弹性势能。
1 1 2 3 2 1 2 2 W 1 = kl W2 = k ( 2l ) − kl = kl 2 2 2 2
︰ ︰
所以， 所以，W1与W2的比值
W1︰W2=
1 2 3 2 kl - kl =1︰3。 ︰ 。 2 2
如图5—34所示，劲度系数为 的轻质弹簧一端 所示， 例3: 如图 所示 劲度系数为k的轻质弹簧一端 固定， 另一端与物块拴接， 物块放在光滑水平面上。 固定 ， 另一端与物块拴接 ， 物块放在光滑水平面上 。 现用外力缓慢拉动物块，若外力所做的功为W， 现用外力缓慢拉动物块，若外力所做的功为 ，则物 块移动了多大的距离？ 块移动了多大的距离？ 提示 外力所做的功等于弹 簧弹性势能的增加。 簧弹性势能的增加。 若以E 解析 若以 p表示弹簧最终的弹性势能，则 外力所做 的功 1
猜一猜： 猜一猜： 弹性势能的表达式可能会是怎样的？ 弹性势能的表达式可能会是怎样的？
k∆l, k∆l , k∆l , k ∆l, k ∆l , k ∆l ...
学案9：7.5探究弹性势能的表达式
7.5 探究弹性势能的表达式【学习目标】1. 理解弹性势能的概念及其物理意义。
2. 理解弹力的功与弹性势能变化的关系。
3. 进一步了解功和能的关系，树立能量观点。
【课前预习】1．________________的物体的各部分之间，由于____________________，也具有势能，这种势能叫做弹性势能．研究弹性势能要从分析____________入手，对弹簧来说，规定____________________，它的弹性势能为零，当弹簧____________________，就具有了弹性势能．2．(1)弹簧的弹性势能与弹簧被拉伸的长度l有关，并且，拉伸的长度l越大，弹性势能______，但不一定是________关系；(2)即使拉伸的长度l相同，劲度系数k不同的弹簧的弹性势能也不一样，并且拉伸的长度l相同时，k越大，弹性势能________．3．根据功是____________________可知，弹性势能的变化量与拉力对弹簧做功的关系为____________．4．设弹簧的劲度系数为k，当弹簧被拉伸l时，把这一拉伸过程分为很多小段，它们的长度分别是Δl1、Δl2、Δl3……各个小段上拉力可以近似认为是不变的，分别为F1、F2、F3……，所做的功分别为________________．5．v－t图线下的面积代表________，F－l图线下的面积代表______；当所分成的小段非常短时，F－l图线与l轴所围成的区域形状是__________，该区域的面积为________，所以弹性势能的表达式是________________．【课堂探究】一、探究弹性势能的表达式探究1.如图所示，在光滑水平面上用物块向左压缩弹簧一定距离后，把物块静止释放，我们多做几次实验发现，同一根弹簧，压缩的长度越大，物体被弹开的速度越大.不同弹簧，在压缩量相同时，劲度系数越大，物体被弹开的速度越大.(1)由此我们猜测，弹簧的弹性势能可能与哪些因素有关？(2)我们在研究重力势能的时候，是从分析重力做功入手的，由此你得到什么启发？探究2.如图所示，弹簧处于原长时，其右端位于A点.现将弹簧由A点缓慢拉到B点，使其伸长Δl(仍处于弹性限度内)：(1)在从A拉到B的过程中弹簧的弹性势能如何变化？弹性势能与拉力做的功有什么关系？(2)拉力F是恒力吗？怎样计算拉力的功？(3)作出F－Δl图象并类比v－t图象中面积的含义，思考F－Δl图象中“面积”有何物理意义？当Δl＝x时，其表达式是怎样的？【知识深化】1.探究思路及方法(1)猜想：弹性势能与弹簧的劲度系数和形变量有关.(2)探究思路：弹性势能的变化量与弹力做功相等.2.弹性势能的推导根据胡克定律F＝kx，作出弹力F与弹簧伸长量x关系的F－x图线，根据W＝Fx知，图线与横轴所围的面积应等于F所做的功，即W＝kx·x2＝12kx2，所以E p＝12kx2.3.对弹性势能的理解(1)产生原因：物体发生了形变，而且物体各部分间有弹力的作用.(2)大小的影响因素：弹簧的劲度系数和形变量.例1. 关于弹性势能，下列说法中正确的是()A.只有弹簧发生弹性形变时才具有弹性势能，其他物体发生弹性形变时是不会有弹性势能的B.弹簧伸长时有弹性势能，压缩时没有弹性势能C.在弹性限度范围内，同一个弹簧形变量越大，弹性势能就越大D.火车车厢底下的弹簧比自行车车座底下的弹簧硬，则将它们压缩相同的长度时，火车车厢底下的弹簧具有的弹性势能小【归纳总结】1.弹性势能的系统性：弹性势能是发生弹性形变的物体上所有质点因相对位置改变而具有的能量，因此弹性势能具有系统性.2.弹性势能的相对性：弹性势能的大小与选定的零势能位置有关，对于弹簧，一般规定弹簧处于原长时的弹性势能为零.注意：对于同一个弹簧，伸长和压缩相同的长度时，弹簧的弹性势能是相同的.跟踪练习1关于弹簧的弹性势能，下列说法中正确的是()A.当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大B.当弹簧变短时，它的弹性势能一定减小C.若选弹簧自然长度时的弹性势能为0，则其他长度的弹性势能均为正值D.若选弹簧自然长度时的弹性势能为0，则伸长时弹性势能为正值，压缩时弹性势能为负值二、弹力做功与弹性势能变化的关系探究3.如图所示，物体与弹簧相连，物体在O点时弹簧处于原长，把物体向右拉到A处静止释放，物体会由A向A′运动，则：(1)物体由A向O运动的过程中，弹力做什么功？弹性势能如何变化？(2)物体由O向A′运动的过程中，弹力做什么功？弹性势能如何变化？【知识深化】1.弹力做功与弹性势能变化的关系(1)关系：弹力做正功时，弹性势能减少，弹力做负功时，弹性势能增加，并且弹力做多少功，弹性势能就变化多少.(2)表达式：W弹＝－ΔE p＝E p1－E p2.2.使用范围：在弹簧的弹性限度内.注意：弹力做功和重力做功一样，也和路径无关，弹性势能的变化只与弹力做功有关.例2. 如图所示，处于自然长度的轻质弹簧一端与墙接触，另一端与置于光滑地面上的物体接触，现在物体上施加一水平推力F，使物体缓慢压缩弹簧，当推力F做功100 J时，弹簧的弹力做功________J，以弹簧处于自然长度时的弹性势能为零，则弹簧的弹性势能为________J.跟踪练习2如图所示，轻弹簧下端系一重物，O点为其平衡位置(即重力和弹簧弹力大小相等的位置)，今用手向下拉重物，第一次把它直接拉到A点，弹力做功为W1，第二次把它拉到B点后再让其回到A点，弹力做功为W2，则这两次弹力做功的关系为()A.W1<W2B.W1＝2W2C.W2＝2W1D.W1＝W2三、利用F－x图象求解变力做功的问题例3. 弹簧原长l0＝15 cm，受拉力作用后弹簧逐渐伸长(仍在弹性限度内)，当弹簧伸长到长度为l1＝20 cm时，作用在弹簧上的力为400 N，问：(1)弹簧的劲度系数k为多少？(2)在该过程中弹力做了多少功？【名师点拨】当力F与位移x成线性关系时，求该力做功的方法1.图象法：F－x图象与x坐标轴围成的面积，即为F在这段位移x上所做的功.2.平均值法：求出某段位移x上力的平均值F，利用W＝F x得出力F在这段位移x上所做的功.【课堂达标】1.(多选)关于弹性势能，下列说法中正确的是()A.任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能B.任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变C.物体只要发生形变，就一定具有弹性势能D.弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关2.(多选)如图所示，一个物体以速度v0冲向与竖直墙壁相连的轻质弹簧，墙壁和物体间的弹簧被物体压缩，在此过程中，以下说法正确的是()A.物体对弹簧做的功与弹簧的压缩量成正比B.物体向墙壁运动相同的位移，弹力做的功不相等C.弹簧的弹力做正功，弹性势能增加D.弹簧的弹力做负功，弹性势能增加3.如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁相连，另一端与一质量为m的木块相连，木块放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k，弹簧处于自然状态，用水平力F缓慢拉木块，使木块前进l，求这一过程中拉力对木块做了多少功.【参考答案】【课前预习】1．发生弹性形变 有弹力的相互作用 弹力做功 弹簧长度为原长时 被拉长或被压缩后2．(1)越大 正比 (2)越大3．能量变化的量度 大小相等4．F 1Δl 1、F 2Δl 2、F 3Δl 3……5．位移 功 三角形 12kl 2 E p ＝12kl 2 【课堂探究】探究1.【答案】 (1)与劲度系数和形变量有关(2)可以通过探究弹力做功来研究弹性势能.探究2.【答案】 (1)弹簧的弹性势能变大.拉力做的功越多，弹簧储存的弹性势能越大且拉力做的功等于弹簧的弹性势能.(2)拉力F 不是恒力，故不能用W ＝F Δl 计算拉力的功.若将从A 到B 的过程分成很多小段Δl 1、Δl 2、Δl 3…，在各个小段上拉力可近似认为是不变的.各小段上拉力做的功分别是F 1Δl 1、F 2Δl 2、F 3Δl 3…，拉力在整个过程中做的功W ＝F 1Δl 1＋F 2Δl 2＋F 3Δl 3＋….(3)根据胡克定律，F －Δl 图象是一条过原点的倾斜直线，如图.阴影部分面积代表拉力做的功即弹性势能，当Δl ＝x 时，E p ＝12kx 2，k 为弹簧的劲度系数，x 为弹簧的伸长量.例1.【答案】 C【解析】 所有发生弹性形变的物体都具有弹性势能，A 错；弹簧伸长和压缩时都具有弹性势能，B 错；根据弹性势能的表达式E p ＝12kx 2知C 对；火车车厢底下的弹簧比自行车车座底下的弹簧劲度系数大，所以压缩相同长度时火车车厢底下的弹簧具有的弹性势能大，D 错. 跟踪练习1 【答案】 C【解析】 如果弹簧原来处在压缩状态，当它变长时，它的弹性势能应该减小，当它变短时，它的弹性势能应该增大，在原长处它的弹性势能最小，A 、B 错；由于弹簧处于自然长度时的弹性势能最小，若选弹簧自然长度时的弹性势能为0，则其他长度时的弹性势能均为正值，C 对，D 错.探究3.【答案】 (1)正功 减少 (2)负功 增加例2. 【答案】 －100 100【解析】 在物体缓慢压缩弹簧的过程中，推力F 始终与弹簧弹力等大反向，所以推力F 做的功等于克服弹簧弹力所做的功，即W 弹＝－W F ＝－100 J.由弹力做功与弹性势能的变化关系知，弹性势能增加了100 J.跟踪练习2 【答案】 D【解析】 弹力做功与路径无关，只与初、末位置有关，两次初、末位置相同，故W 1＝W 2，D 正确.例3.【答案】 (1)8 000 N/m (2)－10 J【解析】 (1)根据胡克定律F ＝kx 得k ＝F x ＝F l 1－l 0＝4000.20－0.15N/m ＝8 000 N/m. (2)由于F ＝kx ，作出F －x 图象如图所示，求出图中阴影部分的面积，即为弹力做功的绝对值，由于在伸长过程中弹力F 的方向与位移x 的方向相反，故弹力F 在此过程中做负功，W ＝－12×0.05×400 J ＝－10 J.【课堂达标】1.【答案】 AB 【解析】 发生弹性形变的物体的各部分之间，由于弹力作用而具有的势能，叫做弹性势能，所以，任何发生弹性形变的物体都具有弹性势能，任何具有弹性势能的物体一定发生了弹性形变.物体发生了形变，若是非弹性形变，无弹力作用，则物体就不具有弹性势能.弹簧的弹性势能除了跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关外，还跟弹簧的劲度系数有关.故选A 、B.2.【答案】 BD【解析】 由W ＝12kx 2知，选项A 错误；弹簧开始被压缩时弹力小，弹力做的功也少，弹簧的压缩量变大时，物体移动相同的距离做的功多，故选项B 正确；物体压缩弹簧的过程，弹簧的弹力与弹力作用点的位移方向相反，所以弹力做负功，弹性势能增加，故选项C 错误，选项D 正确.3.【答案】 12kl 2 【解析】 解法一 缓慢拉动木块，可认为木块处于平衡状态，故拉力大小等于弹力大小，即F ＝kx .因该力与位移成正比，故可用平均力F ＝kx 2求功. 当x ＝l 时，W ＝F ·l ＝12kl 2解法二画出力F随位移x的变化图象.当位移为l时，F＝kl，由于力F做功的大小与图象中阴影部分的面积相等，则W＝12(kl)·l＝12kl2.。
课件7： 7.5 探究弹性势能的表达式
3．弹性势能与弹力做功的关系． 如图所示，O 为弹簧的原长处．
(1)弹力做负功时：如物体由 O 向 A 运动(压缩) 或者由 O 向 A′运动(伸长)时，弹性势能增大，其他形 式的能转化为弹性势能．
(2)弹力做正功时：如物体由 A 向 O 运动，或者 由 A′向 O 运动时，弹性势能减小，弹性势能转化为 其他形式的能．
答案：B
知识点二 弹性势能大小(变化)的探究 提炼知识 1．弹力功特点． 随弹簧形变量的变化而变化，还因劲度系数的不 同而不同． 2．弹力功与拉力功的关系：拉力功等于克服弹 力做的功．
3．“化变为恒”求拉力功． W 总＝F1Δl1＋F2Δl2＋F3Δl3＋…＋FnΔln. 4．“F－l”图象面积意义：表示力 F 做功的值．
的能量
能量
两种势能分别以弹力、重力的存在为前 提，又由物体的初、末位置来决定．同 联系 属机械能的范畴，在一定条件下可相互 转化
【典例 2】(多选)如图所示，轻质弹簧竖直 放置在水平地面上，它的正上方有一金属块从高 处自由下落，从金属块刚与弹簧接触到第一次速 度为零的过程中( )
A．重力一直做正功，重力势能增加 B．金属块速度最大时，弹簧的弹性势能最小 C．弹力一直做负功 D．金属块的速度为零时，弹簧的弹性势能最大
(2)设施加力 F 前弹簧压缩了 h0， 则 mg＝kh0.① 施加力 F 后木块再次处于平衡状态时有 F＋mg＝k(h0＋h)．② 联立①②两式解得弹簧的劲度系数 k＝Fh＝05.100 N/m＝500 N/m. 答案：(1)4.5 J (2)500 N/m
拓展二 弹性势能与重力势能的比较
如图所示，将固定于竖直弹簧下端的小球由平衡位置 O(小 球原来静止位置)向下拉至位置 M 由静止释放，则从释放点 M 到最高点 N(此时小球加速度小于 g)过程中：
7.5 探究弹性势能的表达式3.情境互动课型5 探究弹性
2.（多选）以下关于弹性势能的说法正确的是（ CD ） A.形变的物体都具有弹性势能 B.形变越大的物体具有的弹性势能越大 C.形变的物体可能没有弹性势能 D.具有弹性势能的物体可能同时具有重力势能
21
3.如图所示，在光滑的水平面上有一物体，它的左端
连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F作用下
类比：重力做正功，重力势能减小；重力做负功，重力势能增加。
探究结论：弹力做功等于弹性势能的减少量.
即 W E p1 E p2
10
3.探究怎样计算拉力所做的功？ 类比重力
弹簧弹力时刻 等于拉力
重力做的功都可以简单地用重力与物体在竖直方向 移动的距离的乘积来表示。 WG mgh
11
W拉=Ep
18
1.弹性势能:
发生弹性形变的物体各部分之间由于弹力的相互作用
而具有的势能，叫做弹性势能。
2.弹簧的弹性势能的表达式
Ep弹 =
1 kl 2 2
3.科学探究方法:
猜想与假设、设计方案、逻辑推理、对假说进行修正
与推广 4.物理思维方法：
类比、迁移、微元法、图像法
19
1.(多选)关于弹性势能，下列说法中正确的是( AB ) A.任何发生弹性形变的物体都具有弹性势能 B.任何具有弹性势能的物体，都一定发生了弹性形变 C.物体只要发生形变就一定有弹性势能 D.弹簧的弹性势能只跟弹簧的形变量有关
Δl1 Δl2 ΔΔll3 Δl4 Δl5
F拉
15
4.检验探究结果 弹性势能的表达式 k:弹簧的劲度系数
Ep弹
1 2
kl 2
l:弹簧的伸长量或压缩量
与开始探究时提 出的猜想相符吗?
16
教学设计6： 7.5 探究弹性势能的表达式
示：将一木块靠在弹簧上，压缩后松手，弹簧将木块弹出.分别用一个硬弹簧和一个软弹簧做上述实验，分别把它们压缩后松手，观察现象.结合手中的弹簧，压缩或者拉伸弹簧，感受一下弹簧中存储的能量得出结论：弹性势能可能与劲度系数、形变量有关。
即：1）弹簧的形变量Δl 有关。
2）弹簧的劲度系数k 有关 。
讨论老师提出的问题，回忆研究过的重力势能与重力做功的关系，弹性势能也是势能，能否通过类比来得出弹力做功与弹性势能的关系呢？类比重力势能改变量与重力做功有关： G P = - W E即：重力做正功重力势能减小；重重力做功G W mgh =弹簧的弹力与弹簧的形变量有关= 弹∆F k l 可见拉动弹簧随着形变量的改变弹力是改变的， 缓慢拉弹簧可知 拉弹=F F 由G P = -∆W E若取弹簧原长时弹簧弹性势能为零可知克服弹簧弹力做功即拉力做功与弹簧的弹性势能相等即：P 拉=E W不能直接用lcos W F α=来求拉W 思考、讨论如何求弹簧弹力（变力）做功活动9回忆在必修1中，为了求匀变速直线运动的位移，对变速运动中求位移我们曾经用过一种办法——微分小组讨论利用微分法得出：在F-∆l图像中图线与横轴围成的面积即为拉力做的功，结合三角形面积公式求得弹性势能的表达式2P12拉＝=∆E W k l提出问题：怎样求弹力这个变力所做的功呢？是否也可以通过类比的方法来求呢？多媒体展示图像法求匀变速直线运动的位移，教师引导学生回忆，类比的方法可以求拉动弹簧时拉力的功。
让不同小组选出代表展示多媒体展示微分法求弹力功体验解决问题的方法培养学生学习的兴趣实施方案借助多媒体教室完成教学材料教材、自主学习丛书、使用建议1、较好的地方：本节课的设计，强调学生的探究过程和方法的体验，以学生为参与的主体进行小组探究，教师作为学生探究的参与者，随时与学生交流，为学生提供帮助。
对学过的知识进行了复习和巩固，学生在用到时没有陌生感，解决问题应用比较熟练。
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练 单项 习 在光滑的水平面上，物体A以较大的速度va向
右运动，与较小速度vb向同一方向运动的、连 有轻质弹簧的物体B发生相互作用，如图所示。 在相互作用的过程中，弹簧的弹性势能最大 时： A、va >vb v v B、va <vb B A C、va =vb D、无法确定
A B
练习： 如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧一 端固定，另一端与物块拴接，物块放在光滑水 平面上。现用外力缓慢拉动物块，若外力所做 的功为W，则物块移动了多大的距离？ F
练 习
多项
如图，在一次“蹦极”运动中， 人由高空跃下到最低点的整个 过程中，下列说法正确的是： A.重力对人做正功
B.人的重力势能减小了 C.“蹦极”绳对人做负功 D.“蹦极”绳的弹性势能增加了
练 习
单项
如图所示，在光滑的水平面上有一物体，它的左 端连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F作 用下物体处于静止状态。当撤去F后，物体将向右 运动，在物体向右运动过程中下列说法正确的是： A、弹簧的弹性势能逐渐减小 B、弹簧的弹性势能逐渐增大 C、弹簧的弹性势能先增大再减小 F B D、弹簧的弹性势能先减小再增大
观 察
三张图中的 物体有什么 共同点？
探究１：什么是弹性势能？
发生弹性形变的物体各部分之间，由 于有弹力的相互作用，也具有势能， 这种势能叫做弹性势能。
思 考
探究2 弹性势能的大小 可能与哪些因素有关?
l
弹性势能的大小 与形变量有关
弹性势能的大小 与劲度系数有关
2. 弹 探究３：弹性势能表达式怎样？ 性 势 猜一猜： 能 弹性势能的表达式可能会是怎样的？ 表 kl , kl 2 , kl 3 , k 2 l , k 2 l 2 , k l ... 达 式
探究４：弹性势能与弹力做功有什么关系？
类比重力所做的功与重力势能的关系：
WG EP1 EP 2 EP
弹性势能与弹力做功的关系
1 2 1 2 W E ＝ k l1 k l2 P 2 弹 2
减少 【小结】1.弹力对物体做正功, 弹性势能____,做了 减少多少 多少正功, 弹性势能就________ 增加 2. .弹力对物体做负功, 弹性势能_____,做了 增加多少 多少负功, 弹性势能就________
如何求匀变速直线 运动的位移的？
弹 力 做 功 的 表 达 式
拉力所做 的功等于 图线与横 轴所围的 面积
F
F5 F4 F3 F2 F 01
W拉＝ 1 k Δl 2 2
Δl Δl
Δl 1 Δl 2 Δl 3 Δl 4 Δl 5
F = k Δl
F拉
Δl
我们求得拉力做功：
1 2 则弹力做功： W弹 kl 2
举重时杠铃的重力与 它的位置高低无关
弹簧的弹力与它伸长的多少 有关
设置情景：
Δl
F拉=F =k Δl
F F拉
怎样求弹力 做的功？ 拉力做功能否直接用
W=Flcosα？
注意：缓慢拉动弹簧时， 弹力与拉力等大反向， 可先求拉力做功！
可见：这是一个变力做功问题，如何求解这个拉力做功？
方案一：——平均思想
把弹簧从A到B的过程分成很多小段
Δl1,Δl2,Δl3…
F1、F2、F3 …
在各个小段上，弹力可近似认为是不变的 W拉＝F11Δl1＋F2Δl2＋F3Δl3＋F4Δl4＋FΔln 5 W拉＝F Δl1＋F2Δl2＋F3Δl3＋……＋Fn 5Δl
怎 样 计 算 这 个 求 和 式 ？
W＝F1Δl1＋F2Δl2＋F3Δl3＋…
F
W E p E p mg m g mg mg (h ) mg (h ) k 2k 2k
2 2kBiblioteka m练习：如图所示，轻质弹簧直立在水平地面上， 将质量为m的物块轻轻地放在弹簧上，达到稳定 状态时弹簧被压缩了L，则此时弹簧具有的弹性 势能为多大？ 练习： 如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与 物块拴接，物块放在光滑水平面上。现用外力缓 慢拉动物块，使物块移动了距离L，在此过程中 外力所做的功为W，则弹簧的劲度系数为多大？
后续探究：
１、我们刚才以弹簧伸长为例研究了弹性势 能，那么弹簧压缩会怎样？ ２、弹性势能有没有正负之分？ ３、能否规定弹簧某一任意长度为零势能？ ４、其他能发生弹性形变的物体如橡皮绳的 弹性势能表达式怎样？
练 习
多项
关于弹性势能，下列说法中正确的是： A、任何发生弹性形变的物体都具有弹性势 能 B、任何具有弹性势能的物体，都一定是发 生了弹性形变 C、物体只要发生形变就一定有弹性势能 D、弹簧的弹性势能只跟弹簧的形变量有关
提示 外力所做的功等 于弹簧弹性势能的增加
1 W E kl 2
p
2
所以，弹簧的伸长量亦即物块移动的距离。 l
2W k
练习： 如图所示，质量为m物体静止在地面上， 物体上面连着一个直立的轻质弹簧，弹簧的劲度 系数为k。现用手拉住弹簧上端，使弹簧上端缓 慢提升高度h，此时物体已经离开地面，求拉力 所做的功。
。
1 2 W拉 kl 2
说明这一过程弹性势能增加了：
1 2 EP kl 2
弹 性 势 能 的 表 达 式
EP
2/2 ＝kl
l为弹簧的伸长或缩短量
k为弹簧的劲度系数
【问题】弹性势能也有相对性吗?在上面的探 究过程中,我们规定弹簧处于自然状态下,也就 是既不伸长也不缩短时的势能为零势能,能不 能规定弹簧某一任意长度时的势能为零势能? 弹性势能也具有相对性
m F
用平均力来求变力做功
与匀变速运动的平均速度为速度的 平均一样，这个与L成正比的拉力的平 均应该也为 ：
0 F k l F 2 2
平均拉力对这段位移做功：
1 2 W F l k l 2
方案二：微元法、数形结合
A
Δl 1 Δl 2 Δl 3 Δl 4 Δl 5 B
Δl
F拉 怎样计 算这个 求和公 式？