攀枝花学院2011-2012线性代数期末试题
(完整版)线性代数期末测试题及其答案.doc
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题 5 分，共 25 分）1 3 1 1.若0 5 x 0，则__________。
1 2 2x1 x2 x3 02．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。
x1x2x303．已知矩阵A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。
4．已知矩阵A为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。
5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。
二、选择题（每小题 5 分，共 25 分）6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（）A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（）0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（）1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 ．已知矩阵 A, 其特征值为（）51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题（每小题 10 分，共 50 分）1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且 矩 阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E，求。
a1 12212. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111, 2a ,3。
2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时，线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解，无解和有无穷多解？当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。
线性代数期末试卷及详细答案
线性代数期末试卷及详细答案⼀、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每⼩题2分，共10分）1、设1D =3512， 2D =345510200，则D =12D D OO =_____________。
2、四阶⽅阵A B 、，已知A =116，且=B ()1-12A 2A --，则B =_____________。
3、三阶⽅阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。
4、若n 阶⽅阵A 满⾜关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。
5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。
⼆、单项选择题（每⼩题仅有⼀个正确答案，将正确答案的番号填⼊下表内，每⼩题2分，共20分）1、若⽅程13213602214x x x x -+-=---成⽴，则x 是（A ）-2或3；（B ）-3或2；（C ）-2或-3；（D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶⽅阵，则下列正确的公式为（A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+；（B ）()()22A B A+B =A B --；（C ）()()2A E=A E A+E --；（D ）()222AB =A B3、设A 为可逆n 阶⽅阵，则()**A=（A ）A E ；（B ）A ；（C ）nA A ；（D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪⼀个是初等矩阵（A ）100002?? ???；（B ）100010011??；（C ）011101001-?? ?- ? ?；（D ）010002100??- ；5、下列命题正确的是（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++= ，则1,α2α，，m α线性⽆关；（B ）向量组1,α2α，，m α若其中有⼀个向量可由向量组线性表⽰，则1,α2α，，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α，，m α的⼀个部分组线性相关，则原向量组本⾝线性相关；（D ）向量组1,α2α，，m α线性相关，则每⼀个向量都可由其余向量线性表⽰。
大一线性代数期末考试试卷+答案
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。
（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（ ）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。
（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。
（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=TA A （ ）。
① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（ ）。
① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，，， 21中不含零向量3. 下列命题中正确的是( )。
① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。
2011级线性代数答案和评分标准
2011~2012学年第2学期期末考试《线性代数》试卷（A ）标准答案和评分标准一、选 择二、填 空 题（5×4分）1. 0, 108;2. 3, (1,1,T; 3. 1 ; 4. 105011023⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ; 5. 12, 17-- 三、解：1111231113231111242111111051111AB A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-=----- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭21322 217204292-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭………………………………………………5分 111123058111124056111051290T A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=---=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………………………10分四、解：以每个向量作为列构造一个矩阵，对该矩阵施以初等行变换.设()432,,,αααα=A 2132130202243416-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦……………………..…………2分 13020*********00⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦行变换－－⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−→−0000110010101001行变换…………………………6分 故()3=A r ……………………………………………………………………8分321,ααα，为向量组4321,αα,α,α的一个极大无关组…………………………………12分3214αααα++=…………………………………………………………………15分五、解法一：将方程组表示为矩阵形式b Ax =，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a 1111111A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x x ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11a b()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--a a a a a a a a a r r ar r 1110011011111111111121212 b A ………………2分（1）当1≠a 时 ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111001101111111111111a a a a a b A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-−−→−--1211000100013212a r r r r ，得()()3==A b A R R ，因此当1≠a 时，线性方程组有唯一解……………………4分（2）当1=a 时 ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010000001111111111111 a a a b A ………………6分 ()()1==A b A R R ，213=-=-r n ，有两个自由变量即自变量………………8分同解方程组为⎪⎩⎪⎨⎧⋅+⋅+=⋅++=--=32332232100001xx x x x x x x x ……………………………………………10分则12123111010001x x x c c x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（其中21,c c 为任意常数）………………12分解法二、将方程组表示为矩阵形式b Ax =，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a 1111111A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x x ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11a b211111111011(1)11001A a a a a a a ==--=---…………………………3分1 应用Cramer 法则, 0A ≠时有唯一解，即1a ≠时，有唯一解……………..5分2 1a =时，()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010000001111111111111 a a a b A ， ()()1==A b A R R ，213=-=-r n ，有两个自由变量即自变量……………7分同解方程组为⎪⎩⎪⎨⎧⋅+⋅+=⋅++=--=32332232100001xx x x x x x x x ……………………………………………………9分则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10101100121321c c x x x x ，（其中21,c c 为任意常数）…………………12分六、解：⑴()AX X x x x x x x f T=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=321321*********,,则二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=011101110A ……………………..…….2分⑵ 由λλλλλλλλλλ-----=-----=-----=--2111100111110111111111221c c r r A ()()()()212122+--=-+-=λλλλλ得特征值为1,2321==-=λλλ …………………5分1 对应21-=λ，解方程组()02=+X E A由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+0001101012111211122r E A得基础解系 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1111ξ，将1ξ单位化得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111311e …………………6分2 对应132==λλ，解方程组()0=-X E A由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-000000111111111111r E A 得基础解系 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0112ξ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1013ξ，将2ξ，3ξ正交化 …………………8分取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==01122ξη，()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅-=2112101121101,,2222332ηηηηξξη再将2η，3η单位化，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011212e ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=211613e ………………10分将321,,e e e 构造正交矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=62031612131612131T ， 有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100010002AT T T于是求得一正交变换TY X =，将二次型f 化为如下标准形2322212y y y f ++-= …………………13分 （3） 由上述标准形可知，该二次型并不是正定二次型． …………………15分七、证：已知321,,ααα线性无关，4321,αααα,,线性相关，所以4α可由321,,ααα惟一的线性表出，设为 3322114ααααk k k ++=. …………………2分假设()4,45321<-ααααα,,r ，则45αα-也可由321,,ααα惟一的线性表出，令其为 33221145αααααl l l ++=-. ………………4分 从而()()()33322211143322115ααααααααk l k l k l l l l +++++=+++=，………5分 即5α可由321,,ααα线性表出， 故5321,αααα,,线性相关，这与4),,,(5321=ααααr 矛盾. ……………6分因此()4,45321=-ααααα,,r ， …………………7分 故向量组45321,ααααα-,,线性无关. …………………8分。
线性代数2012-2013历年(攀枝花学院,附答案)
2012～2013 学年度第 二 学期《线性代数》试卷（ A 卷）适用年级专业：2012级理工、经管类本科教学班 考 试 形 式：（ ）开卷、（ √ ）闭卷二级学院： 行政班级： 学 号： 教 学 班： 任课教师： 姓 名： 注：学生在答题前，请将以上内容完整、准确填写，填写不清者，成绩不计。
一、填空题（每小题 2 分，共 10 分）：1、排列5173642的逆序数为_________________.2、已知四阶行列式D 的第二行元素分别为 1,0,2,1-，他们的代数余子式分别为2,2,1,1-，则 行列式D =____________.3、设A 为4阶方阵，且2A =，则*A -= .4、设A 是43⨯矩阵，且线性方程组Ax b =有唯一解，则A 的列向量组线性 .5、如果一个二次型的标准型为2221235x x x -+，则此二次型的秩为 . 二、选择题（每题 2分，共 10 分，每题只有一个正确答案）：1、若n 阶矩阵A 互换第一, 二行后得矩阵B , 则必有（ ）.()0=+B A A ； ()0=AB B ； ()0=+B A C ； ()0=AB D .2、设,,A B C 为同阶方阵，E 为单位矩阵，若E ABC =，则下列各式中总成立的是（ ）.()A BCA E =； ()B A C B E =； ()C BAC E =； ()D CBA E =.3、 设0Ax =是非齐次线性方程组b Ax =对应的齐次线性方程组， 那么下列叙述正确的是（ ）.()A 如果0Ax =只有零解，那么b Ax =有唯一解; ()B 如果0Ax =有非零解，那么b Ax =有无穷多个解;()C 如果b Ax =有无穷多个解, 那么0Ax =只有零解; ()D 如果b Ax =有无穷多个解, 那么0Ax =有非零解.4、设4阶矩阵A 的特征值为2、2、3、-1，则A =（ ）.()A 6； ()B -6； ()C 12； ()D -12.5、设矩阵A 为正交阵，下列说法错误的是（ ）.()A T A A =； ()B E AA T =； ()C A 的列向量为单位向量；()D 11A =-或.三、计算题（每题8分，共 32分）：1、计算行列式 1123112312131231D --=--.2、已知11112121,3321111A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭, 求TB A .3、已知2110112132X ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，求矩阵X .4、已知齐次线性方程组0Ax =有非零解, 其中142t A -⎛⎫= ⎪⎝⎭, 求t 的值.四、证明题（共8分）已知向量组321,,βββ线性无关，若向量组321,,ααα满足：3211βββα+-= ，3212βββα-+= ，3213βββα++-= ；判断向量组321,,ααα的线性相关性.五、（共 10分）求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------=6063324208421221A 对应的列向量组的秩，并 求一个最大无关组 .六、（共 10分）设三元非齐次线性方程组b Ax =,若()2R A =,且12(1,1,2,0),(0,1,1,0)T T ηη=-=是两个已知解向量,求b Ax =的通解.七、（共 10分）已知方阵0111110a A b ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的特征值为1231, 2.λλλ===-1）求b a ,的值；2）判断A 是否可以对角化.八、（共 10分）已知二次型：323121232221321662355),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++= ，用正交变换化此二次型为标准型，并求正交变换矩阵Q .一、填空题[三基类] [教师答题时间： 2分钟]（每小题 2分，共 10 分）1、12;2、1;3、8;4、无关;5、3.二、选择题[三基类] [教师答题时间： 2分钟]（每题2分，共 10分）1、C ；2、A;3、D ；4、D ；5、A ；三、计算题[三基类][教师答题时间： 15 分钟]（每题8分，共32分），1、解：由1123112312131231D --=--=11231123512131231--- …………（2分）……………（6分）2、解： TB A =111131*********⎛⎫-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭…………（3分）283770-⎛⎫=⎪⎝⎭. …………（5分）3、解： 12110112132X -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭…………（3分） 211011121323-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭…………（3分） 41135123⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭. ……………（2分）4、解： 由 1042t A -==, …………（5分）即 240t +=, …………（2分）得 2t =-. ……………（1分）四、证明题[三基类] [教师答题时间： 5分钟]（8分）证明：由123123111(,,)(,,)111111αααβββ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭， ……（2分） 由04≠=A ，A 可逆，故两个向量组可相互线性表出,因此两个向量组等价. ………（3分） 由向量组321,,βββ线性无关，得123(,,)3R βββ=,有123123(,,)(,,)3R R αααβββ==, ………（2分） 故向量组321,,ααα线性无关 . ………（1分）五、 [一般综合型] [教师答题时间： 5分钟]（10分）解：由⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−→−0000000012001221rA ，……（4分）故向量组的秩为2， ……（3分）最大无关组为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3221和⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0282. ……（3分）六、 [一般综合型] [教师答题时间： 5分钟]（10分）解: 由()2R A =得0Ax =的基础解系含一个非零向量, ......（4分）故T T T（4分） （2分）七、 [一般综合型] [教师答题时间： 5分钟]（10分）解：1）由已知, 0;1 2.b A a b =⎧⎪⎨=--=-⎪⎩……………（3分）得 1,0.a b =-= ………(2分)2）当1λ=时，由111111111000111000A E λ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪-=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， ……（2分） 得 ()1R A E -=，故1λ=对应两个线性无关的特征向量，……(2分) 故 A 可以对角化. …………（1分）八、 [综合型] [教师答题时间：10分钟]（10分）解: 由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=333351315A ………………………………(2分)令0)9)(4(=--=-λλλλE A 得9,4,0321===λλλ。
2011级线性代数期末复习试题解答
2011级线性代数期末复习题一．选择题 1. 已知向量组4321,,,αααα线性无关，则向量组[（C ）]（A ）14433221,,,αααααααα++++线性无关。
（B ）14433221,,,αααααααα----线性无关。
（C ）14433221,,,αααααααα-+++线性无关。
（D ）14433221,,,αααααααα--++线性无关。
()A 对应向量组线性相关。
12233441,,,αααααααα∴++++线性相关。
类似（B ）,(D)对应向量组线性相关。
2. 设A ，B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有[（A ） ] （A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 （B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 （D ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关。
12(,,,)=000AX=00AX=0R(A)m r r n n A B A b b b B B r⨯⨯=⇒≠⇒⇒<L K （，，，）的每一列是的解；有非零解A 的列向量组线性相关;00T T AB B A =⇒=⇒B 的行向量组线性相关.3. 对非齐次线性方程组b Ax =及其导出组0=Ax ，应有[（C ）]成立。
（A ）若0=Ax 仅有零解，则b Ax =无解；（B ）若0=Ax 有非零解，则b Ax =有无穷多解； （C ）若b Ax =有无穷多解，则0=Ax 有非零解； （D ）若b Ax =有惟一解，则0=Ax 有非零解。
注意：齐次方程有解，通常推不出非齐次方程也有解。
4.设A 为n m ⨯矩阵，齐次线性方程有0=Ax 仅有零解的充要条件是[（A ） ] （A ）A 的列向量线性无关； （B ）A 的列向量线性相关； （C ）A 的行向量线性无关；（D ）A 的行向量线性相关。
5.若在非齐次线性方程组m n A x b ⨯=中，系数矩阵A 的秩为r ，则[（A ） ] （A ）m r =时, b Ax =有解 （B ）n m =时， b Ax =有惟一解 （C ）n r =时, b Ax =有惟一解（D ）n r <时, b Ax =有无穷解 注意增广矩阵B 的行数为m.R(A)=m,则R(B)=m 。
2010-2011第一学期线性代数期末试卷A(1)及答案
西南财经大学200 － 200 学年第 学期专业 科 级（ 年级 学期）学 号 评定成绩 （分） 学生姓名 担任教师《线性代数》期末闭卷考试题（下述 一 — 四 题全作计100分， 两小时完卷）考试日期：试 题 全 文：一、 填空题（共5小题，每题2分）1、211121112---= 2、设A 是m n ⨯矩阵，B 是p m ⨯矩阵，则T T A B 是______矩阵。
3、设αβ、线性无关，则k αββ+、线性无关的充要条件是_______。
4、设αβ、为n 维非零列向量，则T R ()αβ=_________。
5、设3阶矩阵-1A 的特征值为-1、2、1，则A =_____。
二、选择题（共10小题，每题2分）1、设A 、B 为n 阶矩阵，则下列说法正确的是（ ）（A ）、=B+AA B + （B ）AB =BA（C ）、T(AB )=TTA B （D ）若AB A =，则B E =2、若某个线性方程组相应的齐次线性方程组仅有零解，则该线性方程组（ ） （A)、有无穷解 （B)、有唯一解 （C)、无解 （D ）、以上都不对3、一个向量组的极大线性无关组（ ）（A)、个数唯一 （B)、个数不唯一（C)、所含向量个数唯一 (D)、所含向量个数不唯一 4、若3阶方阵A 与B 相似，且A 的特征值为2、3、5，则B-E =（ ）。
(A)、 30 （B)、 8 （C)、11 (D)、75、若m n ⨯矩阵A 的秩为m,则方程组A X B =（ ）。
（A)、有唯一解 （B ）、有无穷解 (C)、有解 （D)、 可能无解6、设A 为3阶方阵，且1A 2=，则1*2A A -+=( )。
（A)、 8 （B)、16 （C)、10 (D)、127、已知行列式D 的第一行元素都是4，且D=-12，则D 中第一行元素代数余子式之和为（ ）。
（A)、0 （B)、-3 （C)、-12 （D)、4 8、设A 、B 都是正定矩阵，则（ ） （A)、AB,A+B 一定都是正定矩阵（B)、AB 是正定矩阵，A+B 不是正定矩阵（C)、AB 不一定是正定矩阵，A+B 是正定矩阵 （D)、AB 、A+B 都不是正定矩阵9、设A 是n 阶方阵，且k A O =(k 是正整数)，则（ ）（A ）、A O = （B ）、A 有一个不为零的特征值 (C)、 A 的特征值全为零 （D ）、A 有n 个线性无关的特征向量 10、已知2阶实对称矩阵A 满足232A A E O -+=，则A （ ） （A)、正定 （B)、半正定 （C ）、负定 （D)、不定三、计算题（共8小题，每题8分）1、计算四阶行列式01001100100k k k k2、设100110111A⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭，且*22A BA BA E=-，求B3、设111111kA kk⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭，求R(A)4、考虑向量组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1412,2615,1012,31407,023154321ααααα (1) 求向量组的秩;(2) 求此向量组的一个极大线性无关组,并把其余向量分别用该极大线性无关组表示.5、设T α)0,2,1(1=, Tααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, Tβ)3,3,1(-=, 试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.6、设12314315A a-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭有一个2重特征值，求a 的值并讨论A 是否可对角化。
攀枝花学院2011-2012线性代数期末试题
攀枝花学院2010-2011线性代数重修期末试题一、选择题（每小题 3 分，共 15 分。
请将答案填在下面的表格内）1、行列式000120000300004=（ ）. A ：24 B ： -24 C 10 D -102、A 是一个3阶方阵，且 |A | ＝3，则矩阵 2A -的行列式值为（ ） A 、4 B 、-4 C 、24 D 、-243、向量组123(1,2,3),(,1,1),(1,1,0)T T k ααα===-线性无关，则（ ） A 、 k ≠0 B 、k ≠2 C 、k ≠4 D 、k ≠34、齐次线性方程組 1230x x x ++= 的基础解系有（ ）个 A 、1 B 、1或2 C 、2 D 、35、设A 的特征值为3，1，2，则行列式228A A E +-=（ ）A 、 6B 、 0C 、 360D 、 36二、填空题（每题 3 分，共 15 分）1、在四阶行列式|a ij |展开项中， 14233142a a a a 项的符号是 。
2、矩阵A=020001300⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭则A -1=3、已知向量组123,,a a a 线性无关，则向量组122331,,a a a a a a +--线性相关性是____________。
4、 n 元线性方程组AX=B, 已知()R A r =，则当___ 时方程组有唯一解。
5、二次型的矩阵为A=213130301-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，则二次型123(,,)f x x x =____ _ __________三、计算行列式或矩阵（每题 8 分，共 24分）1、计算31111311113111132、已知 A=10000111k ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ k 取什么值时可逆，并求A -1. 3、判别矩阵221241111-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭的正定性四、一般综合（每题 10 分，共 20 分）1、已知A=121121242⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭， 求8A 。
线性代数2010-2011(攀枝花学院期末试题)
攀枝花学院2010-2011线性代数期末试题一、选择题（每小题 3 分，共 15 分。
请将答案填在下面的表格内）1、三阶行列式的第2行元素为：2、1、3，它们的余子式值分别是：1、2、3，则此行列式的值为（ ）.A ：13B ： 9C -9D 02、A 是一个3阶方阵，且 |A | ＝5，则A 的伴随阵*A 的行列式值为（ ） A 、0 B 、5 C 、125 D 、253、向量组12,,,(2)S S ααα≥ 线性无关的充要条件是（ ） A 、 12,,,S ααα 中没有一个零向量 B 、12,,,S ααα 中任意两个向量不成比例C 、12,,,S ααα 中任意一个向量都不可由其余向量线性表示D 、向量组12,,,S ααα 的秩等于向量的维数4、齐次线性方程組 123123123000x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 有非零解，则λ=（ ）A 、1B 、1或-2C 、-2D 、35、设11412001A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦且A的特征值为0，1，2，则x =（ ） A 、 1 B 、 2 C 、 3 D 、 4二、填空题（每题 3 分，共 15 分）1、在四阶行列式|a ij |展开项中，含元素1431,a a 的有 。
2、矩阵A =031021300⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭则A -1=3、已知向量组123,,a a a 线性无关，若向量组122331,,a ka a a a a +--线性相关，则____________k =4、 方程1230x x x ++=的通解为___ __5、二次型2221231231223(,,)224f x x x x x x x x x x =-++-的矩阵是____ ___________三、计算行列式或矩阵（第1,2题 8 分，第3题10分，共 26分）1、31111300103010032、已知 A=211132310--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 求A -1.3、已知A=100110011⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭， 求10A 。
(2021年整理)高等代数2011-2012第一学期期末试卷答案
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（完整）高等代数2011-2012第一学期期末试卷答案高等代数2011—2012第一学期期末试卷答案课程名称:《高等代数》参考答案及评分标准（A 卷）考试(考查）：考试 时间：200 年 月 日 本试卷共7页，满分100 分； 考试时间:120 分钟答题前请将密封线内的项目填写清楚一．选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.请在每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案,并将其号码填入题后的括号内)。
1．在[]F x 里一定能整除任意多项式的多项式是 【 B 】 A ．零多项式 B ．零次多项式 C ．本原多项式 D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k 【 C 】A ．4B ．3C ．2D ．13．A ,B 是n 阶方阵，则下列结论成立的是 【 C 】A .AB O A O ≠⇔≠且B O ≠ B 。
0A A O =⇔=C ．0AB A O =⇔=或B O =D . 1||=⇔=A I A4．设n 阶矩阵A 满足220A A I --=，则下列矩阵哪个不可逆 【 B 】A 。
2A I +B 。
A I +C ．A I -D .A5．设A 为3阶方阵，且1)(=A r ，则 【 A 】 A 。
线性代数期末习题库及答案.docx
一、计算下列行列式: 1、 3、 5、 7、 《线性代数》补充练习 练习一 行列式2、1 -1 1力- -2 1 0 0 01 -1Z + 1 -1 ?4、-211 Z-1 1 -1 —°10 =二？ z + l -11 -10 0 0 -2 11O 10 0-22-1 -1 -1 -12 0-1 -1 A-1 -1 -1 -?6、 0-z A- 1 --1 -1 2-1-1-12-1 -1 -1 2-1k0 1 1 1 1 1 1 =?1 — a a 0 0 00 1 1 … 1 1 -11 — Q a1 0 1 … 1 10 -1 1 — Q a 0 =? 8、D … =11… 1 1-1 1 — Cla1 1 1 … 0 1 0 0 0-1 1 — a111 … 1 0babD 51 0 0 … 0 11 1 0 …0 0 D” =0 1 1 … 0 00 …1 19、 -?10、、若下面的齐次线性方程组有非零解，求2的取值。
兀1 +加3=0 2x l _无 =0 加1 + x 2 =0 x 3 + 2X 4 = 0 三、用克莱姆法则解线性方程组:兀]+ x2+兀 3 =a+b+cax x+ bx2+ cx3=a2 +b2 +c2其中a、b、c为互不相等的常数。
bcx、+ acx2+ abx3=3abc练习二线性方程组一、选择题：(1)设n阶方阵A的秩r<n,则在A的n个行向量中( )(A)必有r个行向量线性无关；(B)任意r个行向量均可构成极大无关组；(C)任意r个行向量均线性无关；(D)任一个行向量均可由其他r个行向量线性表示(2)若向量组a, p, 丫线性无关；a, p, 6线性相关，贝)(A)a必可由B, y, 6线性表示；(B) B必不可由a, y, 6线性表示；(C) 6必可由a, B, 丫线性表示；(D) 6必不可由a, B, 丫线性表示；(3)设有向量组a ]= (1, -1, 2, 4) ,a2= (0, 3, 1, 2) a 3= (3, 0, 7, 14),a 4= (1, -2, 2, 0) ,a 5= (2, 1, 5, 10)则该向量组的极大线性无关组是( )(A) a a 2, a 3(B) a” a 2, a 4(C) a” a 2, a 5 (D) a 1； a 2, a 4, a 5(4)设A为mXn矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是：( )(A)A的列向量线性无关；(B) A的列向量线性相关；(C) A的行向量线性无关；(D) A的行向量线性相关。
线性代数期末试题及答案
8.设A 为三阶方阵, 且3=A , 则 12-=A .一、填空题（每小题2分，共20分）1.行列式=-203297302233241.2.设014111112--=D ，则=++333231A A A .3.设 , 231102 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A , 102324171⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=B 则= )( TAB . 4.设052=-+I A A ，则=+-1)2(I A .5.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100120121A ，*A 是A 的伴随矩阵，则=-1*)(A .6.A 、A 分别为线性方程组b AX =的系数矩阵与增广矩阵，则线性方程组b AX =有解的充分必要条件是 .7.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=30511132a A ，且秩(A )=2，则=a .9.向量组1(1,2,1,1),T α=-,)0,3,0,2(2T=αT )1,4,2,1(3--=α的秩等于 . 10.设21,αα是)3(≥n n 元齐次线性方程组OAX =的基础解系，则=)(A r .二、选择题（每小题2分，共20分）1.已知101yxy x aA =，则A 中元素a 的代数余子式11A 等于（ ）.A.1- B .1 C .a - D .a2.已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-，它们的余子式的值分别为1,1,2,3-，则=A （ ）.A .3B .3-C .5D .5-3.B A ,均为n 阶矩阵，且2222)(BAB AB A ++=+，则必有（ ）.A.B A = B .I A = C .I B = D .BA AB =4.设A 、B 均为n 阶矩阵，满足O AB =，则必有（ ）.A.0=+B A B .））B r A r ((= C .O A =或O B = D .0=A 或0=B5.设33⨯阶矩阵),,(1γβα=A ，),,(2γβα=B ，其中γβαα,,,21均为3维列向量，若2=A ，1-=B ，则=+B A （ ）.A.4 B .4- C .2 D .16.设B AX =为n 个未知数m 个方程的线性方程组，,)(r A r =下列命题中正确的是（ ）.A .当n m =时，B AX =有唯一解 B .当n r =时，B AX =有唯一解C .当m r =时，B AX =有解D .当n r <时，B AX =有无穷多解7.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=λ++=+λ+=++λ000321321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ（ ）.A .1或2B .1或－2C .－1或2D .－1或－28.n 阶矩阵A 的秩r n =的充分必要条件是A 中（ ）.A.所有的r 阶子式都不等于零 B .所有的1r +阶子式都不等于零 C.有一个r 阶子式不等于零 D .有一个r 阶子式不等于零, 且所有1r +阶子式都等于零9.设向量组,),,1(21T a a =α,),,1(22T b b =αT c c ),,1(23=α，则321,,ααα线性无关的充分必要条件是 （ ）.A.c b a ,,全不为0 B .c b a ,,不全为0 C .c b a ,,互不相等 D .c b a ,,不全相等10.已知21,ββ为b AX =的两个不同的解，21,αα为其齐次方程组0A X =基础解系，21,k k 为任意常数，则方程组b AX =的通解可表成（ ）.A.2)(2121211ββααα-+++k kB .2)(2121211ββααα++-+k k线性代数期末试题答案一、填空题（每小题2分，共20分）1.52.03. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1031314170 4. )(31I A - 5.1/211/2011/2001/2-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭6.)()(A r A r =7.6=a8. 38 9.2 10.2-n二、选择题（每小题2分，共20分）1.B2.C3.D4.D5.A6.C7.B8.D9.C 10.B 三、（8分)解：3211324-824823592373(1)373125212412411131D -===-----18361836(1)1313241=-=-=-四、（10分）解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=14191269629303212114321011324TAA （2）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=--461351341)2(1E A (3) 由XA AX2+=，得A XE A =-)2(A E A X 1)2(--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=9122692683321011324461351341五、（12分）解：将方程组的增广矩阵A 用初等行变换化为阶梯矩阵：22112411411242110228018211240134(1)(4)00(4)2k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎢⎥----⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-→-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎣⎦⎣⎦+-⎢⎥-⎣⎦A所以，⑴ 当1k≠-且4k ≠时，()()3r r ==A A ，此时线性方程组有唯一解．⑵ 当1k =-时，()2=A r ，()3=A r ，此时线性方程组无解．⑶ 当4k=时，()()2==A A r r ，此时线性方程组有无穷多组解．此时，原线性方程组化为132334x x x x =-⎧⎨=-⎩ 因此，原线性方程组的通解为13233334x x x x x x=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩或者写为123034101x x C x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦x (C R)∈六、（10分）解：记向量组4321,,,αααα对应矩阵为A 并化为行阶梯形矩阵为12341223122324130212(,,,)12030013062300002634000A αααα--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-----⎪ ⎪ ⎪ ⎪==→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭所以向量组4321,,,αααα的秩为3且它的一个最大无关组为：123,,ααα或124,,ααα1004101020013000000A -⎛⎫⎪ ⎪- ⎪→⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭41231432αααα=--+ 七、（12分）解：（1）.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=61826239131039131024511810957245113322311312A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→0000000039131015801为自由未知量。
线性代数期末考试试题C及解答
一、（36分）填空（2分 18）
1、四阶行列式 的展开式中有一项 ，此项前面应带的的符号
为；三阶行列式 第三行元素的代数余子式之和 =。
2、当 时，向量组
线性相关，此时向量组 ， ， 的一个极大无关组为。
3、设向量 ，则 ， ，矩阵 的秩 。
4、设 为四阶方阵，且 =2，则 =， （其中 为矩阵 的伴随矩阵）， 的行向量组线性关。
1、计算四阶行列式：
2、已知矩阵 ， 满足矩阵方程 ，
求矩阵 。
共6页第3页
3、设三阶矩阵 ，且 ，
求：（1） ；（2）
4、已知 为三阶矩阵 的特征值， 为 属于特征值 的特征向量，求 的值；并判断 能否与对角形矩阵相似，说明理由。
共6页第4页
三、（12分）设线性方程组 。
问： 取何值时，方程组有无穷多解；此时求出方程组的通解。
共6页第5页
四、（15分）设二次型 ，
1、写出此二次型的系数矩阵 ；
2、 取何值时，此二次型正定；
3、当 时，该二次型在正交变换 下化为标准形 ，求出此正交变换 。
共6页第6页
五、（10分）证明题（5分+5分）
1、 阶矩阵 满足 。求证：矩阵 可逆，并求 。
2、 中，向量组 线性无关， 为 阶矩阵，使向量组 线性相关，问矩阵 应满足什么条件，并给出证明。
5、 为 矩阵，齐次线性方程组 有非零解的充分必要条ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为，
此时 的一个基础解系中含个解向量。
6、设二阶矩阵 ，且对角形矩阵 ，则 ；又矩阵 与 相似，则 ， 。
7、设三阶矩阵 ， 且矩阵 均不可逆，则 的三个特征值为，又实对称矩阵 与 相似，则二次型 的秩为，且此二次型的规范形是。
攀枝花学院大一下线性代数期末试题
攀枝花学院大一下线性代数期末试题 一、填空题（每题 3 分，共 15 分）：1、已知三阶行列式D 的第三列元素分别为1,3,2，对应的代数余子式分别为3,2,1-，则行列式D =__;__________2、设A 为3阶方阵，且0A a =≠，则*A = ；3、若A 为n 阶方阵，且0A =，则A 的列向量组的线性相关性为 ；4、设3阶矩阵A 的特征值为2、3、4，则E A += ；5、若二次型的矩阵为120251012A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，则此二次型的正定性是： . 二、选择题（每题 3分，共 15 分，每题只有一个正确答案）：1、设四阶行列式D=4ij a ，下列是其展开式中一项的是（ ）；（A ）；122331a a a （B ）；12233124a a a a (C) 12233144a a a a ；(D)；12233144a a a a - ；2、设,,A B C 为同阶方阵，E 为单位矩阵，若E ABC =，则下列各式中总成立的是（ ）； （A ）B C A E =； （B ）A C B E =； （C ）B A C E =； （D ）C B A E =；3、设A 是34⨯矩阵，则齐次线性方程组0A x =（ ）；（A ）无解； （B ）只有零解； （C ）有非零解； （D ）以上都有可能； 4、向量组12,,,r ααα 线性无关的充分必要条件是（ ）；（A ）12,,,r ααα 中任意1r -个向量线性无关；（B ）12,,,r ααα 中不含有零向量；（C ）12,,,r ααα 的秩为r ；（D ）12,,,r ααα 中存在一个向量,它不能由其余向量线性表示； 5、设矩阵A 为正交阵，下列说法错误的是（ ）；（A ）T A A =； （B ）E AA T =； （C ）A 的列向量为单位向量；（D ）；或11-=A三、计算题（每题6分，共 18分）：1、求 111111()0111111xx f x x x== 的根.2、已知A X B =,其中204112317A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭, 221042B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 求矩阵X . 3、已知齐次线性方程组0A x =有非零解, 其中142t A -⎛⎫=⎪⎝⎭, 求t 的值. 四、证明题（共10分）设向量123,,ααα线性无关，若1123βααα=++，223βαα=+，33βα=，证明：123,βββ，线性无关.五、（共 10分）已知向量组：1(1,2,4,1)Tα=-， 2(1,2,2,2)Tα=---，3(0,4,6,1)Tα=- ，4(3,2,3,2)Tα=-，求该向量组的一个最大无关组，并由最大无关组线性表示其余向量.六、（共 10分）设非齐次线性方程组13123123 +21322x x x x x x x ax b=-⎧⎪-+-=⎨⎪-+=⎩, 当,a b 为何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？并求无穷多解时的通解。
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攀枝花学院2010-2011线性代数重修期末试题
一、选择题（每小题 3 分，共 15 分。
请将答案填在下面的表格内）
1、行列式
00012
000
03000
04
=（ ）. A ：24 B ： -24 C 10 D -10
2、A 是一个3阶方阵，且 |A | ＝3，则矩阵 2A -的行列式值为（ ） A 、4 B 、-4 C 、24 D 、-24
3、向量组123(1,2,3),(,1,1),(1,1,0)T T k ααα===-线性无关，则（ ） A 、 k ≠0 B 、k ≠2 C 、k ≠4 D 、k ≠3
4、齐次线性方程組 1230x x x ++= 的基础解系有（ ）个 A 、1 B 、1或2 C 、2 D 、3
5、设A 的特征值为3，1，2，则行列式228A A E +-=（ ）
A 、 6
B 、 0
C 、 360
D 、 36
二、填空题（每题 3 分，共 15 分）
1、在四阶行列式|a ij |展开项中， 14233142a a a a 项的符号是 。
2、矩阵A=020001300⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
则A -1
=
3、已知向量组123,,a a a 线性无关，则向量组122331,,a a a a a a +--线性相关性是
____________。
4、 n 元线性方程组AX=B, 已知()R A r =，则当___ 时方程组有唯一解。
5、二次型的矩阵为A=213130301-⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭
，则二次型123(,,)f x x x =____ _ __________
三、计算行列式或矩阵（每题 8 分，共 24分）
1、计算
3
111
1
31111311
11
3
2、已知 A=10000111k ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
-⎝⎭ k 取什么值时可逆，并求A -1. 3、判别矩阵221241111-⎛⎫
⎪
-- ⎪ ⎪-⎝⎭
的正定性
四、一般综合（每题 10 分，共 20 分）
1、已知A=121121242⎛⎫ ⎪
--- ⎪ ⎪⎝⎭
， 求8A 。
2、问a 取何值时，非齐次线性方程组1231231
2311
x x x a
ax x x x x ax ++=⎧⎪
-+=⎨⎪++=⎩有无穷解？ 并求出其通解
五、证明题（每题 10 分，共10 分）
设123,,ααα是齐次方程0AX =的基础解系，证明：1231212,,ααααααα+++-也是齐次方程0AX =的基础解系。
六、综合计算题（每题 8 分，共 16 分）
1、设向量组为：
()()()()
12341,1,3,1,
1,1,1,3,5,2,8,9,
1,3,1,7T
T
T
T
αααα==--=--=-
求该向量组的秩及其一个最大无关组，并将不属于最大线性无关组的向量用最大线性无关组
线性表示.
2、已知方阵20010022,02021100A a B b --⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，且A 与B 相似，
1）求,a b 的值；
2）求可逆矩阵P ，使得1P AP B -=.
答案
一、[教师答题时间： 5 分钟] 选择题（每小题 3 分，共 15 分。
请将答案填在下面的表格内）
1、 B
2、 D
3、A
4、C
5、 B
二、填空题（每题 3 分，共 15 分）[教师答题时间： 4 分钟]
1、负号
2、1
3
120000010⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
3、线性无关
4、r n =
5、
222
12312232326x x x x x x x +--+
三、计算行列式或矩阵（每题8分，共24 分）
1、[三基类][教师答题时间： 4 分钟]
答：
3111131111311113=611
111311
11311113
=………………（2分）
=61111020000200
2
………………（4分）
=48………………………………（2分）
2、[三基类][教师答题时间： 3 分钟]
答：100
000111
k k =≠-时…………（2
分）
1
00100100100
100010010
0111001001
11
1k k k
⎛⎫
⎪⎛⎫ ⎪
⎪
⎪= ⎪
⎪ ⎪- ⎪⎝
⎭ ⎪- ⎪⎝⎭
（4分）
1A -=10010
0111k k
⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝
⎭
（2分）
3、[三基类][教师答题时间： 4 分钟]
答：123221
22
20,40,2412024
111--=>=
=>=--=>-- （6分）
f ∴是正定的。
………………………………（2
分）
四、一般综合题（每题 10 分，共 20 分）
1、[一般综合类][教师答题时间： 5 分钟
解：2121121121121121121242242242A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪
=------=--- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（6分）
8121121242A ⎛⎫ ⎪
=--- ⎪ ⎪⎝⎭
（4分）
2、[一般综合类][教师答题时间： 3 分钟]
解：21111
1111101111110011a a A a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
=-=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
……………………（5
分）
………当a=1时有无穷解 （3分）
通解为：X=k 001⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
(k 为任意实数) （2分）
五、证明题（共 10 分）[一般综合类][教师答题时间： 4分钟] 证明：123,,ααα 是齐次方程0AX =的基础解系
∴ 齐次方程0AX =的基础解系应含向量的个数为3.
1231212,,ααααααα+++-为齐次方程0AX =的解 （3分）
()()1231212123111,,,,111100αααααααααα⎛⎫
⎪
+++-=- ⎪ ⎪⎝⎭
1111113100R ⎛⎫
⎪
-= ⎪ ⎪⎝⎭
,123,,ααα线性无关。
（5分）
所以1231212,,ααααααα+++-线性无关。
所以1231212,,ααααααα+++-也是齐次方程0AX =的基础解系。
（2分）
六、综合计算题（每题 8 分，共 16 分）
1、[综合类][教师答题时间： 5 分钟]
答：()123431
01115121
1237012,,,231810
001
3970
0αααα⎡⎤⎢
⎥--⎡⎤⎢
⎥⎢⎥--⎢⎥⎢
⎥=→⎢
⎥⎢⎥-⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
………………………………………….……（4分）
∴向量组的秩为2，
其中一个最大无关组为12,αα………….…..…（2分）
312372
2
ααα=-
4122ααα=+……………..………………………………...……（2分）
2、[综合类][教师答题时间： 8 分钟]
答：1）22002
2(2)(2)2
11A E a a a λ
λλλλλλλ
---=-=-+--+-- A 与B 相似
b=-2;a=0; （2分）
2）当11λ=-时
1
01002
120122
1
2000A E -⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
………………………...……（1分） 1021ξ⎛⎫
⎪
∴=- ⎪ ⎪⎝⎭
..…（1分）
当22λ=时
4001002222011211000A E -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 2011ξ⎛⎫
⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭
……………..…（1分）
当32λ=-时
4001002222011211000A E -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+=-→-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 3211ξ-⎛⎫
⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭……………..…（1分） 1230
2(,,)2
111
1
1P ξξξ-⎡⎤⎢⎥∴==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1
122P A P --⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
………..…（2分）。