第2章平面向量测试3(苏教版必修4)
(易错题)高中数学必修四第二章《平面向量》检测题(包含答案解析)(4)
一、选择题1．已知O 为正三角形ABC 内一点，且满足()10OA OB OC λλ+++=，若OAB 的面积与OAC 的面积之比为3，则λ=（ ） A ．12B ．14C ．34D ．322．已知非零向量,a b 满足4,2a b ==，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则a b -等于（ ） A ．1B ．25C ．5D ．33．在AOB ∆中，0,5,25,OA OB OA OB AB ⋅===边上的高为,OD D 在AB 上，点E 位于线段OD 上，若34OE EA ⋅=，则向量EA 在向量OD 上的投影为（ ） A ．12或32B ．1C ．1或12D ．324．已知1a =，2b =，则a b a b ++-的最大值等于（ ）A ．4B C ．D ．55．已知正方形ABCD 的边长为2，EF 为该正方形内切圆的直径，P 在ABCD 的四边上运动，则PE PF ⋅的最大值为（ ）A B ．1C ．2D ．226．在ABC 中，D 为AB 的中点，60A ∠=︒且2AB AC AB CD ⋅=⋅，若ABC 的面积为AC 的长为（ ）A ．B ．3C ．3D ．7．在ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，那么下列各式中正确的是（ ） A ．DB DC =B ．2AD DE =C ．2AB AC AD += D ．AB AC BC -=8．在ABC 中，||:||:||3:4:5AB AC BC =，圆O 是ABC 的内切圆，且与BC 切于D 点，设AB a =，AC b =，则AD =（ ）A ．2355a b +B ．3255a b + C ．2133a b +D ．1233a b +9．在ABC ∆中，060BAC ∠=，5AB =，6AC =，D 是AB 上一点，且5AB CD ⋅=-，则BD 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．在直角梯形ABCD 中，0AD AB ⋅=，30B ∠=︒，AB =2BC =，13BE BC =，则（ ）A ．1163AE AB AD =+ B ．1263AE AB AD =+ C ．5163AE AB AD =+ D ．5166AE AB AD =+11．设O 是△ABC 20OB OC ++=，则∠BOC =（ ） A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π12．在ABC 中，D 是BC 边上的一点，F 是AD 上的一点，且满足2AD AB AC =+和20FD FA +=，连接CF 并延长交AB 于E ，若AE EB λ=，则λ的值为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．15二、填空题13．已知平面向量a ，b ，c ，d 满足1a b ==，2c =，0a b ⋅=，1c d -=，则2a b d ++的取值范围为______.14．记集合{|X x b a xc ==+且||||4}a b a b ++-=中所有元素的绝对值之和为(,)S a c ，其中平面向量a ，b ，c 不共线，且||||1a c ==，则(,)S a c 的取值范围是______________．15．已知向量1e ，2e 是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当12OP xe ye =+时，则称有序实数对(),x y 为点P 的广义坐标，若点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，对于下列命题： ① 线段A 、B 的中点的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭； ② A 、B 两点间的距离为(12x x -③ 向量OA 平行于向量OB 的充要条件是1221x y x y =； ④ 向量OA 垂直于向量OB 的充要条件是12120x x y y +=. 其中的真命题是________（请写出所有真命题的序号） 16．在ABC 中，AB AC =，E ，F 是边BC 的三等分点，若3AB AC AB AC +=-，则cos EAF ∠=_______________17．设10AB =，若平面上点P 满足对任意的R λ∈，28AP AB λ-≥，PA PB ⋅的最小值为_______.18．如图，设圆M 的半径为2，点C 是圆M 上的定点，A ，B 是圆M 上的两个动点，则CA CB ⋅的最小值是________.19．已知,a b 都是单位向量，且a 与b 的夹角是120，||a b -=_________________. 20．在ABC 中，2AB =，32AC =，135BAC ∠=︒，M 是ABC 所在平面上的动点，则w MA MB MB MC MC MA =⋅+⋅+⋅的最小值为________．三、解答题21．平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=. （1）求32a b c +-；（2）求满足a mb nc =+的实数m 和n ； （3）若()(2)a kc b a +⊥-，求实数k .22．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,2A -，()1,1B ，()3,1C -. （Ⅰ)求AB 的坐标及AB ；（Ⅱ)当实数t 为何值时，()tOC OB AB +.23．已知在直角坐标系中（O 为坐标原点），()2,5OA =，()3,1OB =，(),3OC x =． （1）若A ，B ，C 共线，求x 的值；（2）当6x =时，直线OC 上存在点M 使MA MB ⊥，求点M 的坐标． 24．已知()3,2a =-，()2,1b =，O 为坐标原点.（1）若ma b +与2a b -的夹角为钝角，求实数m 的取值范围； （2）设OA a =，OB b =，求OAB 的面积.25．已知向量(1,2),(,2),(3,1)==-=-OA OB m OC ，O 为坐标原点． （1）若AB AC ⊥求实数m 的值； （2）在（1）的条件下，求△ABC 的面积．26．已知向量()3,1a =-，()1,2b =-，()n a kb k R =-∈. （1）若n 与向量2a b -垂直，求实数k 的值；（2）若向量()1,1c =-，且n 与向量kb c +平行，求实数k 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】分别取AC 、BC 的中点D 、E ，连接DE 、AE ，由平面向量的线性运算可得OD OE λ=-，进而可得13OAC AEC S S =△△，即可得解.【详解】分别取AC 、BC 的中点D 、E ，连接DE 、AE ，如图，所以DE 是ABC 的中位线，因为()10OA OB OC λλ+++=，所以()OA OC OB OC λ+=-+， 所以OD OE λ=-，所以D 、E 、O 三点共线，所以111363OAC OAB ABC AEC S S S S ===△△△△，所以13OD ED =即12OD OE =-，所以12λ-=-即12λ=.故选：A. 【点睛】本题考查了平面向量共线、线性运算及基本定理的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.2．B解析：B 【解析】因为a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，设这两个向量的夹角为θ，则cos cos 4cos 2cos 2a b πθθθθθ===⇒=，又由2()a b a b -=-且4,2a b ==，所以222()225a b a b a a b b -=-=-⋅+=，故选B.3．A解析：A 【解析】Rt AOB 中，0OA OB ⋅=，∴2AOB π∠=，∵5OA =，25OB =|，∴225AB OA OB =+= ， ∵AB 边上的高线为OD ，点E 位于线段OD 上，建立平面直角坐标系，如图所示； 则)5,0A、(025B ，、设(),D m n ，则OAD BAO ∽，∴OA ADAB OA=， ∴1AD =，∴15AD AB =， 即()(155,255m n =-，，求得45m =， ∴452555D ⎛ ⎝⎭；则45254525,,5555OE OD λλλ⎛⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 45255,55EA λλ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎭；∵34OE EA ⋅=，∴235554λλ⎫⎛⎫⋅-=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭， 解得34λ=或14λ=；∴向量EA 在向量OD上的投影为())1,155ED OD OE λλ⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭，当34λ=时，15102ED ⎛⎫==⎪⎪⎝⎭；当14λ=时，35102ED ⎛== ⎝⎭． 即向量EA 在向量OD 上的投影为12或32，故选A. 4．C解析：C 【分析】利用基本不等式得到222a b a b a b a b ++-++-≤，然后利用平面向量数量积运算求解. 【详解】因为1a =，2b =，所以222222252a b a ba b a b a b ++-++-≤=+=，当且仅当a b a b +=-，即a b ⊥时取等号， 故选：C 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于中档题.5．B解析：B 【分析】作出图形，利用平面向量的线性运算以及数量积的运算性质可得出21P OP E PF =⋅-，求得OP 的最大值，由此可求得PE PF ⋅的最大值. 【详解】 如下图所示：由题可知正方形ABCD 的内切圆的半径为1，设该内切圆的圆心为O ，()()()()2221PE PF OE OP OF OP OP OE OP OE OP OE OP ⋅=-⋅-=-+⋅--=-=-，由图象可知，当点P 为ABCD 的顶点时，2OP 取得最大值2，所以PE PF ⋅的最大值为1.故选：B. 【点睛】本题考查平面向量数量积最值的计算，考查计算能力，属于中等题.6．B解析：B 【分析】设,,AB c AC b ==先化简2AB AC AB CD ⋅=⋅得3c b =，由ABC 的面积为316bc =，即得AC 的长. 【详解】设,,AB c AC b ==由题得2AB AC AB CD ⋅=⋅，所以2()AB AC AB AD AC AB AD AB AC ⋅=⋅-=⋅-⋅， 所以3,3cos cos0,332cAB AC AB AD c b c c b π⋅=⋅∴⨯⨯⨯=⨯⨯∴=. 因为ABC 的面积为431sin 43,1623b c bc π⨯⨯⨯=∴=. 所以24316,33b b =∴= 所以33AC =. 故选：B 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查三角形的面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．C解析：C 【解析】依题意ABC 如图所示：∵D 是BC 的中点 ∴DB CD =，故A 错误 ∵E 是AD 的中点 ∴2AD ED =，故B 错误∵AB AD DB =+，AC AD DC =+∴2AB AC AD DB AD DC AD +=+++=，故C 正确∴()AB AC AD DB AD DC DB DC CB -=+-+=-=，故D 错误 故选C8．B解析：B 【分析】由题得三角形是直角三角形，设3,4,5AB AC BC ===，设,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====求出,,x y z ，再利用平面向量的线性运算求解.【详解】因为||:||:||3:4:5AB AC BC =，所以ABC 是直角三角形，设3,4, 5.AB AC BC ===如图，设,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====由题得34,2,1,35x yy z x y zx z+=⎧⎪+=∴===⎨⎪+=⎩，所以2232()5555 AD ABBD AB BC AB AC AB AB AC=+=+=+-=+3255a b=+.故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．C解析：C【解析】在ABC∆中，060BAC∠=，5,6AB AC==，D 是AB是上一点，且5AB CD⋅=-，如图所示，设AD k AB=，所以CD AD AC k AB AC=-=-，所以21()2556251552AB CD AB k AB AC k AB AB AC k k ⋅=⋅-=-⋅=-⨯⨯=-=-，解得25k=，所以2(1)35BD AB=-=，故选C．10．C解析：C【分析】先根据题意得1AD=，3CD=2AB DC=，再结合已知和向量的加减法运算求解即可得的答案.【详解】由题意可求得1AD=，3CD=所以2AB DC=，又13BE BC=，则()1133AE AB BE AB BC AB BA AD DC=+=+=+++1111333AB AD DC ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1111336AB AD AB ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭115116363AB AD AB AD ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查用基底表示向量，考查运算能力，是基础题.11．B解析：B 【分析】不妨设ABC 的外接圆的半径为1，作2=OF OB ，以,OC OF 为邻边作平行四边形COFE ，可得1,2,7===OC OF OE ，利用余弦定理,再利用两角和余弦公式可得3BOC π∠=【详解】不妨设ABC 的外接圆的半径为1，作2=OF OB ，以,OC OF 为邻边作平行四边形COFE ，+=OC OF OE ，所以1,2,7===OC OF OE 2221723cos sin 21777+-∠==∠=⨯⨯EOC EOC ， 2273cos sin 2272727∠==∠=⨯⨯EOF EOF 3331cos cos()2727727∠=∠+∠==BOC COE EOF 3π∴∠=BOC故选：B 【点睛】本题考查了平面几何和向量的综合，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.12．C解析：C 【分析】首先过D 做//DG CE ，交AB 于G ，根据向量加法的几何意义得到D 为BC 的中点，从而得到G 为BE 的中点，再利用相似三角形的性质即可得到答案. 【详解】如图所示，过D 做//DG CE ，交AB 于G .因为2AD AB AC =+，所以D 为BC 的中点. 因为//DG CE ，所以G 为BE 的中点， 因为20FD FA +=，所以:1:2AF FD =.因为//DG CE ，所以::1:2AE EG AF FD ==，即12AE EG =. 又因为EG BG =，所以14AE EB =， 故14AE EB =. 故选：C 【点睛】本题主要考查了向量加法运行的几何意义，同时考查了相似三角形的性质，属于中档题.二、填空题13．【分析】用几何意义求解不妨设则在圆心在原点半径为2的圆上设则在以为圆心半径为1的圆上运动后形成的轨迹是圆心在原点大圆半径为3小圆半径为1的圆环表示圆环内的点与定点的距离由图形可得最大值和最小值【详解解析：53⎡⎤⎣⎦【分析】用几何意义求解．不妨设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，则(,)C x y 在圆心在原点，半径为2的圆上，设(),d x y '='，则(,)D x y ''在以C 为圆心半径为1的圆上，C 运动后，D 形成的轨迹是圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环，2a b d ++表示圆环内的点D 与定点()2,1P --的距离，由图形可得最大值和最小值． 【详解】令()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，设C 的坐标为(),x y ，C 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆上.设(),d x y '='，D 的坐标为(),x y ''，D 的轨迹为圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环上.()22,1a b d d ++=---表示D 与点()2,1P --的距离，由图可知，故2a b d ++的取值范围为0,53⎡⎤+⎣⎦. 故答案为：0,53⎡⎤+⎣⎦【点睛】本题考查向量模的几何意义，考查模的最值，解题关键是设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，(),d x y '='，固定,a b 后得出了,C D 的轨迹，然后由模2a b d ++的几何意义得出最值．14．【分析】由条件有两边平方可得当时当时可得答案【详解】解：因为所以所以两边平方得化简得设向量的夹角为则当时当时所以集合中所有元素的绝对值之和为因为所以所以所以所以的取值范围为【点睛】关键点点睛：此题考 解析：[3,4)【分析】由条件有|2||||2|||4a xc xc a xc x ++=++=，两边平方可得3xa c x ⋅=-，当0x ≥时，32cos x θ=+，当0x <时，3cos 2x θ=-，可得答案【详解】解：因为||||4a b a b ++-=，b a xc =+，||||1a c == 所以|2||||2|||4a xc xc a xc x ++=++=， 所以|2|4||a xc x +=-，两边平方得，2244168xa c x x x +⋅+=-+，化简得，3xa c x ⋅=-，设向量,a c 的夹角为θ，(0,)θπ∈，则cos 32x x θ=-， 当0x ≥时，32cos x θ=+，当0x <时，3cos 2x θ=-，所以集合X 中所有元素的绝对值之和为233122cos 2cos 4cos θθθ+=+--， 因为(0,)θπ∈，所以20cos 1θ≤<， 所以234cos 4θ<-≤，所以212344cos θ≤<-， 所以(,)S a c 的取值范围为[3,4)【点睛】关键点点睛：此题考查向量数量积的性质的运用，解题的关键是由已知条件得到3xa c x ⋅=-，然后设出向量,a c 的夹角为θ，则当0x ≥时，32cos x θ=+，当0x <时，3cos 2x θ=-，从而可得集合X 中所有元素的绝对值之和为233122cos 2cos 4cos θθθ+=+--，再利用三角函数的有界性可求得结果，考查数学转化思想15．①③【分析】根据点的广义坐标分别为利用向量的运算公式分别计算①②③④得出结论【详解】点的广义坐标分别为对于①线段的中点设为M 根据=（）=中点的广义坐标为故①正确对于②∵（x2﹣x1）A 两点间的距离为解析：①③ 【分析】根据点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，1112OA x e y e ∴=+，2122OB x e y e =+，利用向量的运算公式分别计算①②③④，得出结论.【详解】点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，1112OA x e y e ∴=+，2122OB x e y e =+，对于①，线段A 、B 的中点设为M ，根据OM =12（OA OB +）=12112211()()22x x e y y e +++ ∴中点的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭,故①正确.对于②，∵AB =（x 2﹣x 1）()1212e y y e +-，∴A 、B 两点间的距离为()()2222211212212112()()2x x e y y e x x y y e e -+-+--，故②不一定正确.对于③，向量OA 平行于向量OB ，则t OA OB =，即（11,x y ）=t ()22,x y ,1221x y x y ∴=，故③正确.对于④，向量OA 垂直于向量OB ，则OA OB =0，221211221121220x x e x y x y e e y y e ∴+++=（），故④不一定正确.故答案为①③. 【点睛】本题在新情境下考查了数量积运算性质、数量积定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．【分析】以ABAC 为邻边作平行四边形ABCD 根据得到再根据得到平行四边形ABCD 是菱形则设利用勾股定理分别求得的长度在中利用余弦定理求解【详解】如图所示：以ABAC 为邻边作平行四边形ABCD 则因为所解析：1314【分析】以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABCD ，根据3AB AC AB AC +=-，得到3AD CB =， 再根据AB AC =，得到平行四边形ABCD 是菱形，则CB AD ⊥，设3CB =，利用勾股定理分别求得EF ，,AE AF 的长度，在AEF 中利用余弦定理求解. 【详解】 如图所示：以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABCD ，则,AB AC AD AB AC CB +=-=， 因为3AB AC AB AC +=-，所以3AD CB =，设3CB =3AD =， 因为AB AC =，所以平行四边形ABCD 是菱形， 所以CB AD ⊥，所以AB AC EF ====，所以3AE AF ===，所以2222121113cos 214AE AF EF EAF AE AF +-+-∠===⋅. 故答案为：1314【点睛】本题主要考查平面向量的平行四边形法则以及余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.17．【分析】建立如图所示的坐标系则设则所以从而结合可得对任意恒成立则必然成立可得而从而可求得结果【详解】解：以线段的中点为原点以所在的直线为轴以其中垂线为轴建立直角坐标系则设则所以因为所以化简得由于上述 解析：9-【分析】建立如图所示的坐标系，则(5,0),(5,0)A B -，设(,)P x y ，则(5,),(10,0)AP x y AB =+=，所以2(21010,2)AP AB x y λλ-=+-，从而2(21010,2)AP AB x y λλ-=+-，结合28AP AB λ-≥，可得222100(20040)4404360x x x y λλ-+++++≥，对任意R λ∈恒成立，则0∆≤必然成立，可得4y ≥，而2225PA PB x y ⋅=+-216259x ≥+-≥-，从而可求得结果 【详解】解：以线段AB 的中点为原点，以AB 所在的直线为x 轴，以其中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则(5,0),(5,0)A B -，设(,)P x y ，则(5,),(10,0)AP x y AB =+=， 所以2(21010,2)AP AB x y λλ-=+-，因为28AP AB λ-≥，所以22(21010)464x y λ+-+≥，化简得222100(20040)4404360x x x y λλ-+++++≥， 由于上述不等式对任意R λ∈恒成立，则0∆≤必然成立，222(20040)4100(440436)0x x x y ∆=+-⨯⨯+++≤，解得4y ≥，所以4y ≥或4y ≤-， 因为(5,),(5,)PA x y PB x y =---=--， 所以2225PA PB x y ⋅=+-， 因为x ∈R ，216y ≥，所以2222516259x y x +-≥+-≥-， 即9PA PB ⋅≥-，所以PA PB ⋅的最小值为9-， 故答案为：9-【点睛】此题考查向量的数量积运算，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题18．【分析】延长BC 作圆M 的切线设切点为A1切线与BD 的交点D 结合数量积的几何意义可得点A 运动到A1时在上的投影最小设将结果表示为关于的二次函数求出最值即可【详解】如图延长BC 作圆M 的切线设切点为A1切 解析：2-【分析】延长BC ，作圆M 的切线，设切点为A 1，切线与BD 的交点D ，结合数量积的几何意义可得点A 运动到A 1时，CA 在CB 上的投影最小，设CP x =，将结果表示为关于x 的二次函数，求出最值即可. 【详解】 如图，延长BC ，作圆M 的切线，设切点为A 1，切线与BD 的交点D ，由数量积的几何意义，CA CB ⋅等于CA 在CB 上的投影与CB 之积，当点A 运动到A 1时，CA 在CB 上的投影最小； 设BC 中点P ，连MP ，MA 1，则四边形MPDA 1为矩形； 设CP =x ，则CD =2-x ，CB =2x ，CA CB ⋅=()()222224212x x x x x --⋅=-=--，[]02x ∈，， 所以当1x =时，CA CB ⋅最小，最小值为2-， 故答案为：2-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的几何意义，考查了学生的作图能力以及分析问题解决问题的能力，属于中档题.19．【分析】根据数量积公式得出的值再由得出答案【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了由数量积求模长属于中档题 3【分析】根据数量积公式得出a b ⋅的值，再由2||()a b a b -=-得出答案. 【详解】111cos1202a b ⋅=⨯⨯︒=-22222||()2||2||1113a b a b a a b b a a b b ∴-=-=-⋅+=-⋅+=++=3【点睛】本题主要考查了由数量积求模长，属于中档题.20．【分析】以A 为原点AC 所在直线为x 轴建系如图所示根据题意可得ABC 坐标设可得的坐标根据数量积公式可得的表达式即可求得答案【详解】以A 为原点AC 所在直线为x 轴建立坐标系如图所示：因为所以设则所以=当时 解析：283-【分析】以A 为原点，AC 所在直线为x 轴，建系，如图所示，根据题意，可得A 、B 、C 坐标，设(,)M x y ，可得,,MA MB MC 的坐标，根据数量积公式，可得w 的表达式，即可求得答案.【详解】以A 为原点，AC 所在直线为x 轴，建立坐标系，如图所示：因为2AB =，32AC =135BAC ∠=︒， 所以(0,0),(2,2),(32,0)A B C -，设(,)M x y ，则(,),(2,2),(32,)MA x y MB x y MC x y =--=---=--， 所以(2)(2)w MA MB MB MC MC MA x x y y =⋅+⋅+⋅=++22)(32)(2)(2)x x y y x x y -++-+=22222222834232263()3()333x x y x y -+--=-+--， 当222,33x y ==时，w 有最小值，且为283-， 故答案为：283- 【点睛】解题的关键是建立适当的坐标系，求得点坐标，利用数量积公式的坐标公式求解，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题.三、解答题21．（1）6；（2）58,99m n ==；（3）1118k =-.【分析】（1）利用向量加法的坐标运算得到()320,6a b c +-=，再求模长即可；（2）先写mb nc +的坐标，再根据a mb nc =+使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可.【详解】解：（1）由(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=，得3(9,6),(1,2),2(8,2)a b c ==-=∴()()32918,6220,6a b c +-=--+-=，∴23206a b c +-=+=；（2）()(),2,4,mb m m nc n n =-=， ∴()4,2mb nc n m m n +=-+，a mb nc =+，∴()4,2(3,2)a n m m n ==-+，故4322n m m n -=⎧⎨+=⎩，解得58,99m n ==；（3）(3,2),(4,)a kc k k ==，∴()34,2a kc k k +=++，(3,2),2(2,4)a b ==-，∴()25,2b a -=-，()()2a kc b a +⊥-，∴()()20a kc b a +⋅-=，即()()534220k k -+++=，解得1118k =-. 【点睛】 结论点睛：若()()1122,,,a x y b x y == ，则//a b 等价于12210x y x y -=；a b ⊥等价于12120x x y y +=.22．（Ⅰ)(2,1)AB =-，5AB =Ⅱ)3t = 【分析】（Ⅰ）根据点A ，B 的坐标即可求出(2,1)AB =-，从而可求出||AB ；（Ⅱ）可以求出(13,1)tOC OB t t +=-+，根据()//tOC OB AB +即可得出2(1)(1)(13)30t t t +---=-=，解出t 即可．【详解】（Ⅰ)∵()1,2A -，()1,1B ，∴(2,1)AB =- ∴2||25AB ==（Ⅱ)∵()3,1C -，∴(13,1)tOC OB t t +=-+. ∵()tOC OB AB +∴2(1)(1)(13)30t t t +---=-=，∴3t =【点睛】考查根据点的坐标求向量的坐标的方法，根据向量的坐标求向量长度的方法，以及平行向量的坐标关系． 23．（1）52x =；（2）()2,1或2211,55⎛⎫⎪⎝⎭． 【分析】（1）利用//AB BC ，结合向量共线的坐标表示列方程，解方程求得x 的值.（2）设M 点的坐标为()6,3λλ，利用MA MB ⊥，结合向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得λ的值，进而求得M 点的坐标. 【详解】（1）()1,4AB OB OA =-=-；()3,2BC OC OB x =-=- ∵A 、B 、C 共线，∴//AB BC ∴()2430x +-= ∴52x =． （2）∵M 在直线OC 上，∴设()6,3OM OC λλλ== ∴()26,53MA OA OM λλ=-=--()36,13MB OB OM λλ=-=--∵MA MB ⊥∴()()()()263653130λλλλ--+--= 即：24548110λλ-+= 解得：13λ=或1115λ=. ∴()2,1OM =或2211,55OM ⎛⎫=⎪⎝⎭． ∴点M 的坐标为()2,1或2211,55⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】本小题主要考查向量共线、垂直的坐标表示，属于中档题.24．（1）116,,225⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）72S =.【分析】（1）由题意，求得,2ma b a b +-的坐标，令()()20ma b a b +⋅-<，解得65m <，再由当12m =-时，得到2a b -与ma b +方向相反，求得12m ≠-，即可求解； （2）设AOB θ∠=，OAB 面积为S ，则1sin 2S a b θ=⋅，结合向量的夹角公式和向量的坐标运算，即可求解. 【详解】（1）由题意，向量()3,2a =-，()2,1b =，可得()32,21ma b m m +=+-+，()21,4a b -=--，令()()20ma b a b +⋅-<，即32840m m --+-<，解得65m <， 当12m =-时，12ma b a b +=-+， 此时2a b -与ma b +方向相反，夹角为π，不合题意，∴12m ≠-， 综上可得，实数m 的取值范围为116,,225⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）设AOB θ∠=，OAB 面积为S ，则1sin 2S a b θ=⋅， 因为222sin 1cos 1a b a b θθ⎛⎫⋅ ⎪=-=- ⎪⋅⎝⎭， 又由()3,2a =-，()2,1b =， 可得()22222224sin 651649S a b a b a bθ=⋅=-⋅=-=，解得72S =， 即OAB 的面积为72OAB S=. 【点睛】 本题主要考查了向量的角公式，向量的数量积的坐标运算的综合应用，其中解答中熟记向量的基本概念，以及向量的数量积和夹角公式的坐标运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.25．（1）1；（2）【分析】（1）根据向量(1,2),(,2),(3,1)==-=-OA OB m OC ，得到向量,AB AC ，再由AB AC ⊥，利用坐标运算求解.（2）由（1）得到 ,AB AC ，然后由12ABC S AB AC =⨯⨯求解. 【详解】（1）因为向量(1,2),(,2),(3,1)==-=-OA OB m OC ，所以向量(1,4),(4,1)AB m AC =--=--，又因为AB AC ⊥，所以4(1)40m --+=，解得 2m =.（2）由（1）知：(0,4),(4,1)AB AC =-=--，所以4,17AB AC ==所以11422ABC S AB AC =⨯⨯=⨯= 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 26．（1）53-；（2）12-. 【分析】（1）求出()3,12n k k =--+，解方程(3)(7)(12)40k k --⨯-++⨯=即得解；（2）由已知得()1,21kb c k k +=+--，解方程(3)(21)(12)(1)k k k k --⋅--=+⋅+即得解.【详解】（1）由已知得()3,12n a kb k k =-=--+， ()27,4a b -=-， 所以()20n a b ⊥-=，即(3)(7)(12)40k k --⨯-++⨯=，解得53k =-； （2）由已知得()1,21kb c k k +=+--，因为()//n kb c +，所以(3)(21)(12)(1)k k k k --⋅--=+⋅+，解得12k =-. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查向量垂直平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
苏教版必修四第2章平面向量作业题及答案解析：2.2.1
§2.2 向量的线性运算 2．2.1 向量的加法课时目标 1．理解向量加法的法则及其几何意义.2.能用法则及其几何意义正确作出两个向量的和．1．向量的加法的定义已知向量a 和b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则向量OB →叫做a 与b 的和，记作________．即a ＋b ＝OA →＋AB →＝________. 求两个向量和的运算叫做向量的加法． 2．向量的加法法则 (1)三角形法则如图所示，已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量________叫做a 与b 的和(或和向量)，记作________，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝________.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝________＋________＝________. (2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线的非零向量a ，b ，作OA →＝a ，OC →＝b ，则O 、A 、C 三点不共线，以________，________为邻边作________________，则对角线上的向量________＝a ＋b ，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． (3)多边形法则已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的________为始点，第n个向量的________为终点的向量叫做这n 个向量的和向量．即A 1A 2→＋A 2A 3→＋…＋A n A n ＋1＝____________.这个法则叫做向量求和的多边形法则． 3．向量加法的运算律(1)交换律:a ＋b ＝________________.(2)结合律:(a ＋b )＋c ＝________________.一、填空题1．化简AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝________.2．已知菱形ABCD 的边长为1，∠BAD ＝120°，则向量AB →＋AD →的模为________．3．在正六边形ABCDEF 中，AB →＝a ，F A →＝b ，则EC →＝________.(用a ，b 表示)4．如图所示，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论不正确的是______．(填相应结论的序号)①AB →＝CD →，BC →＝DA →； ②AD →＋OD →＝DA →； ③AO →＋OD →＝AC →＋CD →； ④AB →＋BC →＋CD →＝DA →.5．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 的形状一定是________．6．已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，则|AB →＋BC →＋AC →|＝________. 7.如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＝________.8．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|＝________.9.设E 是平行四边形ABCD 外一点，如图所示，化简下列各式 (1)DE →＋EA →＝________； (2)BE →＋AB →＋EA →＝________； (3)DE →＋CB →＋EC →＝________； (4)BA →＋DB →＋EC →＋AE →＝________.10．已知△ABC 是正三角形，给出下列等式: ①|AB →＋BC →|＝|BC →＋CA →|； ②|AC →＋CB →|＝|BA →＋BC →|； ③|AB →＋AC →|＝|CA →＋CB →|； ④|AB →＋BC →＋AC →|＝|CB →＋BA →＋CA →|.其中正确的有______．(写出所有正确等式的序号) 二、解答题11．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．12.如图所示，在平行四边形ABCD 的对角线BD 的延长线和反向延长线上取点F ，E ，使BE ＝DF .求证:四边形AECF 是平行四边形．能力提升13．已知|AB →|＝3，|BC →|＝5，则|AC →|的取值范围是__________．14．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝__________.1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则． 2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．§2.2 向量的线性运算 2．2.1 向量的加法知识梳理1．a ＋b OB →2．(1)AC → a ＋b AC →0 a a(2)OA OC 平行四边形 OB →(3)始点 终点 3．(1)b ＋a (2)a ＋(b ＋c ) 作业设计 1．0解析 原式＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A →＝0.2．1解析 ∵AB →＋AD →＝AC →，且△ABC 为等边三角形， ∴|AB →＋AD →|＝|AC →|＝1. 3．a ＋b解析 EC →＝FB →＝F A →＋AB →＝a ＋b . 4．①②④ 5．平行四边形解析 ∵AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋AD →，∴BC →＝AD →. ∴四边形ABCD 为平行四边形． 6．213解析 |AB →＋BC →＋AC →|＝|AC →＋AC →|＝2|AC →| ＝2AB 2＋BC 2＝213. 7.BC →解析 BC →＋DC →＋BA →＝BC →＋AB →＋BA →＝BC →. 8．2解析 |AB →＋FE →＋CD →|＝|AB →＋BC →＋CD →|＝|AD →|＝2.9．(1)DA → (2)0 (3)DB → (4)DC →或AB → 10．①③④解析 AB →＋BC →＝AC →，BC →＋CA →＝BA →， 而|AC →|＝|BA →|，故①正确； |AB →|≠|BA →＋BC →|，故②不正确； 画图可知③，④正确． 11．解如图所示，OA →表示水流速度，OB →表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，OC →表示船实际航行的速度，∠AOC ＝30°，|OB →|＝5. ∵四边形OACB 为矩形，∴|OA →|＝|AC →|tan 30°＝53，|OC →|＝|OB →|sin 30°＝10，∴水流速度大小为5 3 km/h ，船实际速度为10 km/h.12．证明 AE →＝AB →＋BE →，FC →＝FD →＋DC →，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →，因为FD ＝BE ，且FD →与BE →的方向相同，所以FD →＝BE →，所以AE →＝FC →，即AE 与FC 平行且相等， 所以四边形AECF 是平行四边形． 13．[2,8]解析 |AC →|＝|AB →＋BC →|≤|AB →|＋|BC →|＝8， 且|AC →|＝|AB →＋BC →|≥||AB →|－|BC →||＝2.∴2≤|AC →|≤8. 14．0解析 如图所示，连接AG 并延长交BC 于E 点，点E 为BC 的中点，延长AE 到D 点，使GE ＝ED ，则GB →＋GC →＝GD →，GD →＋GA →＝0， ∴GA →＋GB →＋GC →＝0.。
(典型题)高中数学必修四第二章《平面向量》检测卷(答案解析)
一、选择题1．已知向量a 、b 满足||||2a b a b ==⋅=，若,,1x y R x y ∈+=，则1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭的最小值为（ ） A ．1 B ．3 C ．7 D ．32．如图，在ABC 中，AD AB ⊥，2AD =，3DC BD =，则AC AD ⋅的值为（ ）A ．3B ．8C ．12D ．16 3．已知ABC 中，2AB AC ==，120CAB ∠=，若P 是其内一点，则AP AB ⋅的取值范围是（ ）A ．(4,2)--B ．(2,0)-C ．(2,4)-D ．(0,2)4．若向量a ，b 满足|a 10 ，b =（﹣2，1），a •b =5，则a 与b 的夹角为（ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°5．已知正方形ABCD 的边长为2，EF 为该正方形内切圆的直径，P 在ABCD 的四边上运动，则PE PF ⋅的最大值为（ ）A 2B ．1C ．2D ．226．已知ABC ，若对任意m R ∈，BC mBA CA -≥恒成立，则ABC 为（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不确定 7．已知向量()a 1,2=，()b x,2=-，且a b ⊥，则a b +等于（ ）．A 5B ．5C ．42D 31 8．ABC 是边长为1的等边三角形，CD 为边AB 的高，点P 在射线CD 上，则AP CP ⋅的最小值为（ ）A ．18- B ．116- C ．316- D ．09．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若2FP QF =，则||QF =（ ）A ．8B ．4C ．6D ．310．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(,)m a b b c =++，(,)n c b a =-，若//m n ，则C =（ ）A ．56πB ．23πC ．3πD ．6π 11．如图所示，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，若AD AB AC λμ=+，则λμ=（ ）A ．12B ．13C ．2D ．23 12．已知平面上的非零．．向量a ，b ，c ，下列说法中正确的是（ ） ①若//a b ，//b c ，则//a c ；②若2a b =，则2a b =±；③若23x y a b a b +=+，则2x =，3y =；④若//a b ，则一定存在唯一的实数λ，使得a b λ=.A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题13．已知ABC ，点P 是平面上任意一点，且AP AB AC λμ=+（,λμ∈R ），给出以下命题：①若1AB λ=，1AC μ=，则P 为ABC 的内心；②若1λμ==，则直线AP 经过ABC 的重心；③若1λμ+=，且0μ>，则点P 在线段BC 上；④若1λμ+>，则点P 在ABC 外； ⑤若01λμ<+<，则点P 在ABC 内．其中真命题为______14．已知平面向量,,a b c 满足()()||2,||2||a c b c a b a b -⋅-=-==.则c 的最大值是________.15．圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若2AB AC AO +=，且OA AC =，则向量BA 在向量BC 方向上的投影为_____.16．已知正方形ABCD 的边长为4，若3BP PD =，则PA PB ⋅的值为_________________. 17．已知腰长为2的等腰直角△ABC 中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若2PC =，则()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅的最小值 ________．18．已知平面向量2a =，3b =，4c =，4d =，0a b c d +++=，则()()a b b c +⋅+=______. 19．在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，动点P 满足||1AP =，设向量AP AB AD λμ=+，则λμ+的取值范围为____________.20．在ABC △中，已知4CA =，3CP =，23ACB π∠=，点P 是边AB 的中点，则CP CA ⋅的值为_____.三、解答题21．已知ABC 中C ∠是直角，CA CB =，点D 是CB 的中点，E 为AB 上一点．（1）设CA a =，CD b =，当12AE AB =，请用a ，b 来表示AB ，CE . （2）当2AE EB =时，求证：AD CE ⊥.22．已知a ，b ，c 在同一平面内，且()1,2a =.（1）若35c =，且//a c ，求c ；（2）若2b =，且()()2a b a b +⊥-，求a 与b 的夹角的余弦值. 23．已知()()1,,3,2a m b ==-．(1)若()a b b +⊥，求m 的值；(2)若·1a b =-，求向量b 在向量a 方向上的投影．24．已知单位向量1e ，2e 的夹角为60︒，向量12a e e =+，21b e te =-，t R ∈. （1）若//a b ，求t 的值；（2）若2t =，求向量a ，b 的夹角.25．已知单位向量1e ，2e ，的夹角为23π，向量12a e e λ=-，向量1223b e e =+. （1）若//a b ，求λ的值；（2）若a b ⊥，求||a .26．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边为a ，b ，c ，向量m (2cos sin )2C C =-，， n =(cos2sin )2C C ，，且m n ⊥． （1）求角C ； （2）若22212a b c =+，试求sin()A B -的值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】利用已知条件求出向量a 、b 的夹角，建立直角坐标系把所求问题转化为解析几何问题.【详解】设a 、b 所成角为θ，由||||2==a b ，2a b， 则1cos 2θ=，因为0θπ≤≤ 所以3πθ=， 记a OA =，b OB =,以OA 所在的直线为x 轴，以过O 点垂直于OA 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则()2,0A ，(B ，所以()2,0a OA ==，(1,b OB ==，()(1)2x a xb x -+=-，所以((1)2x a xb x -+=-=，表示点()P x 与点()2,0A 两点间的距离，由,,1x y R x y ∈+=113222ya y b y x ⎛⎫⎛⎛⎫+-=+=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以1322ya y b x ⎛⎫⎛+-=- ⎪ ⎝⎭，表示点()P x 与点3,22Q ⎛ ⎝⎭两点间的距离， ∴1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭的最小值转化为 P 到,A Q 两点的距离和最小，()P x 在直线y =上， ()2,0A 关于直线y =的对称点为(R -，PQ PA ∴+的最小值为QR == 故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查了向量模的坐标运算以及模转化为两点之间距离的转化思想，解题的关键是将向量的模转化为点()P x 到()2,0A 、32Q ⎛ ⎝⎭两点间的距离，考查了运算求解能力. 2．D解析：D【分析】利用AB 、AD 表示向量AC ，再利用平面向量数量积的运算性质可求得AC AD ⋅的值.【详解】()3343AC AD DC AD BD AD AD AB AD AB =+=+=+-=-， AD AB ⊥，则0⋅=AD AB ，所以，()224344216AC AD AD AB AD AD ⋅=-⋅==⨯=.【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．3．C解析：C【分析】以A 为坐标原点，以过点A 垂直于BC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，求出()3,1B --，()3,1C -，设(),P x y ，因为点P 是其内一点，所以3x 3-<<，10y -<<，计算3AP AB x y ⋅=--得最值，即可求解.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：则()0,0A ，因为120CAB ∠=，所以30ABC ACB ∠=∠=，可得2cos303= ，2sin301，所以()3,1B -- ，()3,1C -, 设(),P x y ，因为点P 是其内一点，所以33,10x y <<-<<，()(),3,13AP AB x y x y ⋅=⋅--=--， 当3x =1y =-时AP AB ⋅最大为((()3314-⨯--=，当3,1x y ==-时AP AB ⋅最小为(()3312--=-， 所以AP AB ⋅的取值范围是(2,4)-，故选：C【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是建立直角坐标系，将数量积利用坐标表示，根据点(),P x y 是其内一点，可求出,x y 的范围，可求最值.4．C【详解】 由题意可得22(2)15b =-+=,所以2cos ,52a b a b a b ⋅===⋅,又因为,[0,180]<>∈a b ,所以,45<>=a b ,选C.5．B解析：B【分析】作出图形，利用平面向量的线性运算以及数量积的运算性质可得出21P OP E PF =⋅-，求得OP 的最大值，由此可求得PE PF ⋅的最大值.【详解】如下图所示：由题可知正方形ABCD 的内切圆的半径为1，设该内切圆的圆心为O ，()()()()2221PE PF OE OP OF OP OP OE OP OE OP OE OP ⋅=-⋅-=-+⋅--=-=-，由图象可知，当点P 为ABCD 的顶点时，2OP 取得最大值2，所以PE PF ⋅的最大值为1.故选：B.【点睛】本题考查平面向量数量积最值的计算，考查计算能力，属于中等题.6．C解析：C【分析】在直线AB 上取一点D ，根据向量减法运算可得到DC CA ≥，由垂线段最短可确定结论.【详解】在直线AB 上取一点D ，使得mBA BD =，则BC mBA BC BD DC -=-=，DC CA ∴≥.对于任意m R ∈，都有不等式成立，由垂线段最短可知：AC AD ⊥，即AC AB ⊥， ABC ∴为直角三角形.故选：C .【点睛】本题考查与平面向量结合的三角形形状的判断，关键是能够利用平面向量数乘运算和减法运算的几何意义准确化简不等式.7．B解析：B【分析】由向量垂直可得0a b ⋅=，求得x ，及向量b 的坐标表示，再利用向量加法的坐标运算和向量模的坐标运算可求得模.【详解】 由a b ⊥，可得0a b ⋅=，代入坐标运算可得x-4=0，解得x=4,所以a b + ()5,0=，得a b +=5，选B. 【点睛】求向量的模的方法：一是利用坐标()22,a x y a x y =⇒=+，二是利用性质2a a =，结合向量数量积求解.8．C解析：C【分析】建立平面直角坐标系，()0,P t ，t ≤，则 223(2416⋅=-=--AP CP t t ，进而可求最小值.【详解】以D 点为坐标原点，DC 所在直线为y 轴，DA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，1(,0)2A ，1(,0)2B -，(0,2C ，设()0,P t ，其中2t ≤1(,)2AP t =-，(0,CP t ==，223(16⋅==-AP CP t t ，当t =时取最小值为316-，所以AP CP ⋅的最小值为316-． 故选：C【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，用坐标法求最值问题，考查了运算求解能力，属于一般题目.9．D解析：D【分析】设点()1,P t -、(),Q x y ，由2FP QF =，可计算出点Q 的横坐标x 的值，再利用抛物线的定义可求出QF .【详解】设点()1,P t -、(),Q x y ，易知点()1,0F ，()2,FP t =-，()1,QF x y =--，()212x ∴-=-，解得2x =，因此，13QF x =+=，故选D.【点睛】本题考查抛物线的定义，解题的关键在于利用向量共线求出相应点的坐标，考查计算能力，属于中等题．10．B解析：B【分析】由//m n ，可得()()()0a b a c b b c +⨯--⨯+=.结合余弦定理，可求角C .【详解】(,),(,)m a b b c n c b a =++=-，且//m n ，()()()0a b a c b b c ∴+⨯--⨯+=，整理得222c a b ab =++. 又22212cos ,cos 2c a b ab C C =+-∴=-. ()20,,3C C ππ∈∴=. 故选：B.【点睛】本题考查向量共线的坐标表示和余弦定理，属于基础题.11．B解析：B【分析】 由向量的运算法则，化简得1344AD AB AC =+,再由AD AB AC λμ=+，即可求得,λμ 的值，即可求解.【详解】由向量的运算法则，可得34=+=+AD AB BD AB BC 313()444AB AC AB AB AC =+-=+, 因为AD AB AC λμ=+，所以13,44λμ==，从而求得13λμ=， 故选:B ．【点睛】该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，即可求得结果，属于基础题. 12．B解析：B 【分析】根据向量共线定理判断①④，由模长关系只能说明向量a ，b 的长度关系判断②，举反例判断③.【详解】对于①，由向量共线定理可知，//a b ，则存在唯一的实数1λ，使得1λa b ，//b c ，则存在唯一的实数2λ，使得2λb c ，由此得出存在唯一的实数12λλ⋅，使得12a c λλ=⋅，即//a c ，则①正确；对于②，模长关系只能说明向量a ，b 的长度关系，与方向无关，则②错误； 对于③，当a b =时，由题意可得()5x y a a +=，则5x y +=，不能说明2x =，3y =，则③错误；由向量共线定理可知，④正确；故选：B.【点睛】本题主要考查了向量共线定理以及向量的定义，属于中档题.二、填空题13．②④【分析】①可得在的角平分线上但不一定是内心；②可得在BC 边中线的延长线上；③利用向量线性运算得出可判断；④得出根据向量加法的平行四边形法则可判断；⑤令可判断【详解】①若则因为是和同向的单位向量则解析：②④【分析】①可得P 在BAC ∠的角平分线上，但不一定是内心；②可得P 在BC 边中线的延长线上；③利用向量线性运算得出=BP BC μ可判断；④得出()1CP CB AC λλμ=++-，根据向量加法的平行四边形法则可判断；⑤令1132=λμ=-，可判断.【详解】 ①若1ABλ=，1ACμ=，则AB AC AP ABAC=+，因为,AB AC ABAC是和,AB AC 同向的单位向量，则P 在BAC ∠的角平分线上，但不一定是内心，故①错误；②若1λμ==，则AP AB AC =+，则根据平行四边形法则可得，P 在BC 边中线的延长线上，故直线AP 经过ABC 的重心，故②正确；③若1λμ+=，且0μ>，则()1=AP AB AC AB AB AC μμμμ=-+-+，即()==AP AB AB AC AC AB μμμ--+-，即=BP BC μ，则点P 在线段BC 上或BC 的延长线上，故③错误；④若1λμ+>，()()11AP AB AC AC λλλμ=+-++-，整理可得()1CP CB AC λλμ=++-，10λμ+->，根据向量加法的平行四边形法则可判断点P 在ABC 外，故④正确；⑤若01λμ<+<，则令1132=λμ=-，，则1132AP AB AC =-+，则根据向量加法的平行四边形法则可判断点P 在ABC 外，故⑤错误. 故答案为：②④. 【点睛】本题考查向量基本定理的应用，解题的关键是正确利用向量的线性运算进行判断，合理的进行转化，清楚向量加法的平行四边形法则.14．【分析】设根据得到取中点为D 又由中点坐标得到再由得到的范围然后由求解【详解】设如图所示：因为所以取中点为D 因为所以解得所以所以点C 是以D 为圆心半径为的圆上运动又因为所以当AOB 共线时取等号所以所以【解析：3【分析】设,,OA a OB b OC c ===，根据||2,||2||a b a b -==，得到||2,||2||AB OA OB ==，取AB 中点为D ，又()()2a c b c CA CB -⋅-=⋅=，由中点坐标得到CD ==⎭2OA OB AB -≤=，得到||OA OD ⎛= 范围，然后由||||||||3c OC OD DC OD =≤+≤+.【详解】设,,OA a OB b OC c ===， 如图所示：因为||2,||2||a b a b -==， 所以||2,||2||AB OA OB ==， 取AB 中点为D ，因为()()2a c b c CA CB -⋅-=⋅=，所以2222||||24AB CB CA CB CA CB CA =-=+-⋅=， 解得228CB CA +=，所以22212322CB CA CD CB CA CB CA ⎛⎫+==++⋅= ⎪⎝⎭所以点C 是以D 3的圆上运动， 又因为2OA OB AB -≤=，所以2OB ≤，当A ，O ，B 共线时，取等号，所以2221||222OA OB OD OB OA OB OA ⎛⎫+==++⋅ ⎪⎝⎭， ()222112104322OB OA AB OB =+-=-≤， 所以||||||||333c OC OD DC OD =≤+≤+≤. 【点睛】关键点点睛：平面向量的中点坐标公式的两次应用：一是22CB CA CD ⎛⎫+= ⎪⎝⎭||2,||2||AB OA OB ==求得定值，得到点C 是以D 为圆心的圆上，实现数形结合；二是||2OA OD ⎛= ⎝⎭2OA OB AB -≤=确定范围，然后由||||||c OC OD DC =≤+求解.15．3【分析】根据向量关系即可确定的形状再根据向量投影的计算公式即可求得结果【详解】因为圆O 为△ABC 的外接圆半径为2若故可得是以角为直角的直角三角形又因为且外接圆半径是故可得则故向量在向量方向上的投影解析：3 【分析】根据向量关系，即可确定ABC 的形状，再根据向量投影的计算公式，即可求得结果.【详解】因为圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若2AB AC AO +=， 故可得ABC 是以角A 为直角的直角三角形.又因为OA AC =，且外接圆半径是2， 故可得224BC OA AC ===，则AB =，AB cos ABC BC ∠==，故向量BA 在向量BC 方向上的投影为32AB cos ABC ⨯∠==. 故答案为：3. 【点睛】本题考查向量数量积的几何意义，属中档题.16．6【分析】建立平面直角坐标系求得点P 的坐标进而得到的坐标再利用数量积的坐标运算求解【详解】如图所示建立平面直角坐标系：则设因为解得所以所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积解析：6 【分析】建立平面直角坐标系，求得点P 的坐标，进而得到,PA PB 的坐标，再利用数量积的坐标运算求解. 【详解】如图所示建立平面直角坐标系：则()()()()04,00,40,44A B C D ，，，，，设(),P x y ，()(),,4,4BP x y PD x y ==--， 因为3BP PD =，()()3434x x y y ⎧=⨯-⎪⎨=⨯-⎪⎩，解得33x y =⎧⎨=⎩，所以()3,3P ，所以()()3,1,3,3PA PB =-=--， 所以()()()33136PA PB ⋅=-⨯-+⨯-=， 故答案为：6. 【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.17．【详解】如图建立平面直角坐标系∴当sin 时得到最小值为故选 解析：48322-【详解】如图建立平面直角坐标系，()((P 2cos θ2sin θA 22B22M 02-，，，，，，，∴()()((42cos θ2θ22cos θ2θ24PA PB PC PM ⎡⎤⋅+⋅=+⋅-++⎣⎦，，()(22cos θ2sin θ2cos θ2sin θ216sin θ322sin θ32⎡⎤⋅+=++⎣⎦，，， 当sin θ1=-时，得到最小值为48322-48322-18．【分析】根据得到然后两边平方结合求得再由求解即可【详解】因为所以所以所以因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算还考查了运算求解的能力属于中档题解析：52【分析】根据0a b c d +++=，得到++=-a b c d ，然后两边平方结合2a =，3b =，4c =，4d =，求得⋅+⋅+⋅a b a c b c ，再由()()a b b c +⋅+=2⋅+⋅+⋅+a b a c b c b 求解即可. 【详解】因为0a b c d +++=， 所以++=-a b c d ，所以()()22++=-a b cd ，所以()()()()2222222+++⋅+⋅+⋅=-a b c a b a c b c d ，因为2a =，3b =，4c =，4d =， 所以132⋅+⋅+⋅=-a b a c b c ， ()()a b b c +⋅+=252⋅+⋅+⋅+=a b a c b c b . 故答案为：52【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．【分析】由已知得应用向量的运算律求出关系利用三角换元结合正弦函数的有界性即可求解【详解】在矩形中令其中最小值最大值分别为的取值范围为故答案为:【点睛】本题考查向量的模长以及向量的数量积运算解题的关键解析：⎡⎢⎣⎦. 【分析】由已知得2||1AP =，应用向量的运算律，求出,λμ关系，利用三角换元结合正弦函数的有界性，即可求解. 【详解】在矩形ABCD 中，,0AB AD AB AD ⊥∴⋅=22222222||()41AP AB AD AB AD λμλμλμ=+=+=+=,令12cos ,sin ,cos sin sin()22λθμθλμθθθϕ==+=+=+，其中1tan 2ϕ=，λμ+最小值、最大值分别为22-,λμ+的取值范围为55,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为:55,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查向量的模长以及向量的数量积运算，解题的关键用换元法将问题转化为求三角函数的最值，属于中档题.20．6【分析】根据平方处理求得即可得解【详解】在中已知点是边的中点解得则故答案为：6【点睛】此题考查平面向量的基本运算关键在于根据向量的运算法则求出模长根据数量积的运算律计算求解解析：6 【分析】 根据()12CP CA CB =+，平方处理求得2CB =，()12CP CA CA CB CA ⋅=+⋅即可得解. 【详解】在ABC △中，已知4CA =，3CP 23ACB π∠=，点P 是边AB 的中点， ()12CP CA CB =+ ()222124CP CA CB CA CB =++⋅ 211316842CB CB ⎛⎫⎛⎫=++⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2CB = 则()()21111162462222CP CA CA CB CA CA CB CA ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=+⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：6 【点睛】此题考查平面向量的基本运算，关键在于根据向量的运算法则求出模长，根据数量积的运算律计算求解.三、解答题21．（1）2AB b a =-，12CE a b =+；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出2CB b =，利用AB CB CA =-与12CE CA AB =+化简可得答案； （2）以C 点为坐标原点，以CB ，CA 为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，设()0,A a ， 求出,2a AD a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2,33a a CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 可得0AD CE ⋅=，进而可得答案.【详解】（1）∵CA a =，CD b =，点D 是CB 的中点， ∴2CB b =，∴2AB CB CA b a =-=-，∵()1112222CE CA AE a AB a b a a b =+=+=+-=+. （2）以C 点为坐标原点，以CB ，CA 为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，设()0,A a ，∴B 点坐标为(),0a ，另设点E 坐标为(),x y ，∵点D 是CB 的中点， ∴点D 坐标为,02a ⎛⎫⎪⎝⎭， 又∵2AE EB =，∴()(),2,x y a a x y -=--，∴23a x =，3a y =， 所以,2a AD a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，2,33a a CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以()20233a a aAD CE a ⋅=⨯+-⨯=， ∴AD CE ⊥.【点睛】方法点睛：平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．22．（1）()3,6c =或()3,6c =--；（2）10-. 【分析】（1）设(),c x y =，由平面向量平行的坐标表示及模的坐标表示可得2y x=⎧=即可得解；（2）由平面向量垂直可得()()20a b a b +⋅-=，再由平面向量数量积的运算可得1a b ⋅=-，最后由cos ,a ba b a b⋅=⋅即可得解. 【详解】（1）设(),c x y =，因为()1,2a =，//a c ，35c =，所以235y x x y =⎧+=⎪⎩36x y =⎧⎨=⎩或36x y =-⎧⎨=-⎩， 所以()3,6c =或()3,6c =--；（2）因为()1,2a =，所以14a =+又()()2a b a b +⊥-，2b =，所以()()22225220a b a b aa b ba b +⋅-=+⋅-=+⋅-⨯=，所以1a b ⋅=-， 所以cos ,5a b a b a b⋅===⨯⋅【点睛】本题考查了平面向量共线及模的坐标表示，考查了平面向量数量积的应用及运算求解能力，属于中档题. 23．（1）8m =（2）【分析】（1）先得到()4,2a b m +=-，根据()a b b +⊥可得()0a b b +⋅=,即可求出m ；（2）根据·1a b =-求出m=2,再根据cos ,a b b a b b a b⋅=⋅求b 在向量a 方向上的投影.【详解】()()14,2a b m +=-；()a b b +⊥；()34220m ∴⋅--=；8m ∴=；()2321a b m ⋅=-=-；2m ∴=；()1,2a ∴=；b ∴在向量a 方向上的投影为cos ,55a b b a b b a b⋅=⋅==-．【点睛】本题主要考查了向量坐标的加法和数量积的运算，向量垂直的充要条件及向量投影的计算公式，属于中档题. 24．（1）1t =-；（2）23π. 【分析】（1）根据题意，设a kb =，则有122112()()e e k e te kte ke +=-=-+，分析可得11ktk=-⎧⎨=⎩，解可得t 的值；（2）根据题意，设向量a ，b 的夹角为θ；由数量积的计算公式可得a 、||b 以及a b ， 由cos a b a bθ⋅=计算可得答案．【详解】（1）∵根据题意，向量12a e e =+，21b e te =-，若//a b ，则设a kb =， 则有122112()()e e k e te kte ke +=-=-+，则有11kt k =-⎧⎨=⎩，解可得1t =-；（2）根据题意，设向量a ，b 的夹角为θ；若2t =，则212b e e =-，则2221||(2)3b e e =-=，则||3b =， 又由12a e e =+，则2212||()3a e e =+=，则||3a =， 又由12213()(2)2a b e e e e =+-=-，则312cos 2||||3a b a b θ-===-⨯，又由0θπ，则23πθ=； 故向量a ，b 的夹角为23π． 【点睛】本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算公式，属于基础题．25．（1）23-；（2 【分析】（1）由//a b ，所以存在唯一实数ｔ，使得b ta =，建立方程组可得答案；（2）由已知求得12e e ⋅，再由a b ⊥得()()1212230e e e e λ-⋅+=，可解得λ，再利用向量的模的计算方法可求得答案. 【详解】（1）因为//a b ，所以存在唯一实数ｔ，使得b ta =，即()121223e e t e e λ+=-， 所以23t tλ=⎧⎨=-⎩，解得23λ=-；（2）由已知得122111cos32e e π⋅=⨯⨯=-，由a b ⊥得()()1212230e e e e λ-⋅+=，即()12+32302λλ⎛⎫-⨯--= ⎪⎝⎭，解得4λ=，所以124a e e =-，所以22121212||416821a e e e e e e =-=+-⋅=||21a =．【点睛】本题考查向量平行的条件和向量垂直的条件，以及向量的模的计算，属于中档题.26．（1）60C =︒；（2. 【分析】（1）利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积公式以及二倍角公式，求得cos C 的值，可得C 的值．（2）利用两角差的正弦公式，正弦定理和余弦定理化简，可得结果． 【详解】（1）由题意知，0m n =，即222cos2sin 02CC -=，21cos 2(1cos )0C C +--=， 22cos cos 10C C +-=，即cos 1C =-，或1cos 2C =， 因为0C π<<，所以60C =︒． （2）2222221122a b c a b c =+⇒-=，222222sin()sin cos sin cos 2222a a c b b b c a A B A B B A R ac R bc+-+--=-=- ()222214442a b c c sinC cR cR R -=====． 【点睛】本题主要考查两个向量数量积公式，两角差的正弦公式，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．。
苏教版高中数学必修4学业分层测评：第二章 平面向量 2.3.2.1 Word版含解析
学业分层测评(十九) 平面向量的坐标运算(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．若点P 的坐标为(2 016,2)，向量PQ →＝(1，－3)，则点Q 的坐标为________． 【解析】 ∵PQ →＝OQ →－OP →， ∴OQ →＝OP →＋PQ → ＝(2 016,2)＋(1，－3) ＝(2 017，－1)． 【答案】 (2 017，－1)2．(2016·如东高一检测)若向量BA →＝(2,3)，CA →＝(4,7)，则BC →＝________. 【解析】 BC →＝BA →＋AC → ＝BA →－CA → ＝(2,3)－(4,7) ＝(－2，－4)． 【答案】 (－2，－4)3．已知点A (－1,5)和向量a ＝(2,3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为________． 【解析】 设B 点坐标为(x ，y )， 则AB →＝(x ＋1，y －5)， ∵AB →＝3a ，∴(x ＋1，y －5)＝3(2,3)＝(6,9)， ∴⎩⎨⎧ x ＋1＝6，y －5＝9，∴⎩⎨⎧x ＝5，y ＝14.【答案】 (5,14)4．若向量a ＝(x ＋3，y －4)与AB →相等，已知A (1,2)和B (3,2)，则x ，y 的值分别为________．【解析】 ∵AB →＝(3,2)－(1,2)＝(2,0)＝(x ＋3，y －4)， ∴⎩⎨⎧ x ＋3＝2，y －4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝4. 【答案】 －1,45．已知a ＋b ＝(1,3)，a －b ＝(5,7)，则a ＝________，b ＝________. 【解析】 由a ＋b ＝(1,3)，a －b ＝(5,7)， ∴2a ＝(1,3)＋(5,7)＝(6,10)，∴a ＝(3,5)， 2b ＝(1,3)－(5,7)＝(－4，－4)，∴b ＝(－2，－2)． 【答案】 (3,5) (－2，－2)6.已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，|OA →|＝2，∠xOA ＝150°，则向量OA →的坐标为________．图2-3-16【解析】 过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，作AC ⊥y 轴于点C ，设A (x ，y )，则x ＝|OA →|cos 150°＝－3，y ＝|OA →|sin 150°＝1.所以OA →的坐标为(－3，1)． 【答案】 (－3，1)7．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP →＝12MN →，则P 点的坐标为________.【导学号：06460056】【解析】 设P (x ，y )，则 MP →＝(x －3，y ＋2)，12MN →＝12(－8,1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－4，y ＋2＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－32，∴P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32 8．已知边长为单位长的正方形ABCD ，若A 点与坐标原点重合，边AB ，AD 分别落在x 轴，y 轴的正向上，则向量2AB →＋3BC →＋AC →的坐标为________．【解析】 ∵AB →＝(1,0)，BC →＝(0,1)， AC →＝AB →＋BC →＝(1,1)， ∴2AB →＋3BC →＋AC →＝2(1,0)＋3(0,1)＋(1,1)＝(3,4)． 【答案】 (3,4) 二、解答题9．(1)已知向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3,2)，求x的值；(2)已知点P 1(2，－1)，P 2(0,5)，点P 在线段P 1P 2上且|P 1P →|＝2|PP 2→|，求P 点的坐标．【解】 (1)∵AB →＝(2,0)，又∵a ＝AB →，∴⎩⎨⎧x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0，∴x ＝－1.(2)设P (x ，y )，则P 1P →＝(x －2，y ＋1)， PP 2→＝(－x,5－y )，∵点P 在线段P 1P 2上且|P 1P →|＝2|PP 2→|， ∴P 1P →＝2PP 2→，∴⎩⎨⎧x －2＝－2x ，y ＋1＝2(5－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23，y ＝3，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3.10．已知△ABC 中，A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M ，N 是AB ，AC 的中点，D 是BC 的中点，MN 与AD 交于点F ，求DF →.【解】 因为A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)， 所以AB →＝(－4，－3)，AC →＝(－3，－5)．又因为D 是BC 的中点，有AD →＝12(AB →＋AC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，－4，而M ，N 分别为AB ，AC 的中点，所以F 为AD 的中点，故有DF →＝12DA →＝－12AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2.能力提升]1．(2016·南通高一检测)在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝________.【解析】 由向量的平行四边形法则可知 AC →＝AB →＋AD →， ∴AD →＝AC →－AB → ＝(1,3)－(2,4) ＝(－1，－1)， ∴BD →＝AD →－AB → ＝(－1，－1)－(2,4) ＝(－3，－5)． 【答案】 (－3，－5)2．(2016·苏州高一检测)已知P 1(5，－1)，P 2(－3,1)，点P (x,2)分P 1P 2→所成的比为λ，则x 的值为________．【解析】 ∵y ＝y 1＋λy 21＋λ， ∴2＝－1＋λ1＋λ， 解得λ＝－3. 所以x ＝x 1＋λx 21＋λ＝5＋(－3)×(－3)1＋(－3)＝－142 ＝－7. 【答案】 －73．已知向量集合M ＝{a|a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{a|a ＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R }，则M ∩N 等于________．【解析】 令(1,2)＋λ1(3,4) ＝(－2，－2)＋λ2(4,5)， 即(1＋3λ1,2＋4λ1) ＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)， ∴⎩⎨⎧1＋3λ1＝－2＋4λ2，2＋4λ1＝－2＋5λ2， 解得⎩⎨⎧λ1＝－1，λ2＝0，故M 与N 只有一个公共元素是(－2，－2)． 【答案】 {(－2，－2)}4．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图2-3-7所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，求λμ的值．图2-3-7【解】以向量a和b的交点为原点建直角坐标系，则a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)，根据c＝λa＋μb⇒(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解之得λ＝－2且μ＝－12，故λμ＝4.。
第2章 平面向量 综合检测 Word版含解析苏教版必修4数学
(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上) 1.设平面向量a ＝(3，5)，b ＝(－2，1)，则a －2b ＝________．解析：∵a ＝(3，5)，b ＝(－2，1)，∴a －2b ＝(3，5)－2(－2，1)＝(7，3)．答案：(7，3)2.在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且|AB →|＝|BC →|，那么四边形ABCD 为________．解析：由AB →＝DC →可得四边形ABCD 是平行四边形，由|AB →|＝|BC →|得四边形ABCD 的一组邻边相等，一组邻边相等的平行四边形是菱形．答案：菱形3.已知A (4，1)，B (1，－12)，C (x ，－32)，若A 、B 、C 共线，则x 等于________． 解析：∵AB →＝(－3，－32)，BC →＝(x －1，－1)， 又∵AB →∥BC →，∴(－3)·(－1)－(－32)·(x －1)＝0 得－32(x －1)＝3，解得x ＝－1. 答案：－14.有下列命题：①AB →＋BC →＋AC →＝0；②(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ；③若AB →的起点为A (2，1)，终点为B (－2，4)，则BA →与x 轴正向夹角的余弦值是45.其中正确命题的序号是________． 解析：∵AB →＋BC →＋AC →＝2AC →，∴①错；②是数量积的分配律，正确；在③中，BA →＝(4，－3)与x 轴正向夹角的余弦值是45，故③正确． 答案：②③5.点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的________．解析：∵OA →·OB →＝OB →·OC →，∴OB →·(OA →－OC →)＝0，∴OB →·CA →＝0，∴OB ⊥CA .同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB ，∴O 为垂心．答案：垂心6.若|a |＝|b |＝1，a ⊥b 且2a ＋3b 与k a －4b 也互相垂直，则k 的值为________． 解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，又∵(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，∴(2a ＋3b )·(k a －4b )＝0，得2k a 2－12b 2＝0，又a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b |2＝1，解得k ＝6. 答案：67.已知a ＝(3，4)，b ⊥a ，且b 的起点为(1，2)，终点为(x ，3x )，则b 等于________． 解析：b ＝(x －1，3x －2)，∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，即3(x －1)＋4(3x －2)＝0，解得x ＝1115，所以b 等于(－415，15)． 答案：(－415，15) 8.等边△ABC 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，那么a ·b ＋b ·c ＋c ·a 等于________．解析：由已知|a |＝|b |＝|c |＝1，∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝cos 120°＋cos 120°＋cos 120°＝－32. 答案：－329.若向量a 、b 、c 是单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________．解析：由3a ＋λb ＋7c ＝0，得7c ＝－3a －λb ，∴(7c )2＝(－3a －λb )2＝9a 2＋6λa ·b ＋λ2b 2，∴λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝5或－8. 答案：－8或510.在▱ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线交CD 于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝________．解析：如图． ∵△DEF ∽△BEA ，∴DF AB ＝DE EB ＝13.∴DF ＝13AB ＝13DC . ∴CF ＝23DC .∴AF →＝AC →＋CF → ＝a ＋23CD →＝a ＋23(CO →＋OD →) ＝a ＋23⎝⎛⎭⎫－12a ＋12b ＝23a ＋13b . 答案：23a ＋13b 11. 已知a 、b 、a －b 的模分别为2，3，7，则a 与b 的夹角为________．解析：∵(a －b )2＝7，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝7，∴a ·b ＝3；∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，又θ∈[0，π]，∴θ＝π3. 答案：π312.已知向量a 、b 的夹角为π3，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋b ||a －b |的值是________． 解析：∵a ·b ＝|a ||b |cos π3＝2×1×12＝1， ∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝22＋2×1＋12＝7，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝22－2×1＋1＝3， ∴|a ＋b |2|a －b |2＝3×7＝21，∴|a ＋b ||a －b |＝21.答案：2113.已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －b ，c ⊥d ，则m 的值为________．解析：a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝3，∵c ⊥d ，∴c ·d ＝0，即(3a ＋5b )(m a －b )＝0，∴3m a 2＋(5m －3)a ·b －5b 2＝0，∴27m ＋3(5m －3)－20＝0，解得m ＝2942.答案：294214.在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BD ＝3DC ，若P 是AD 边上一动点且AD ＝2，则P A →·(PB →＋3PC →)的最小值为________．解析：因为PB →＝PD →＋DB →，PC →＝PD →＋DC →，且DB →＝－3DC →，所以PB →＋3PC →＝PD →＋DB →＋3(PD →＋DC →)＝4PD →.设|P A →|＝x (0≤x ≤2)，故P A →·(PB →＋3PC →)＝P A →·4PD →＝－4x (2－x )≥－4，所以当x ＝1时，P A →·(PB →＋3PC →)的最小值为－4.答案：－4二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分14分)如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M 、N 是DC 、BA的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试以a 、b 为基底表示BC →、MN →.解：∵AB ∥CD 且AB ＝2CD ，∴DC →＝12AB →＝12b ； 又AD →＝a ， ∴AC →＝AD →＋DC →＝a ＋12b ； 又BC →＝AC →－AB →，∴BC →＝a ＋12b －b ＝a －12b ； 过D 作DE ∥MN ，则E 为AN 中点，∴AE →＝14b ； ∴MN →＝DE →＝AE →－AD →＝14b －a . 16.(本小题满分14分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为120°.求(1)(2a －b )·(a ＋3b )；(2)|a －b |.解：a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝2×3×(－12)＝－3， (1)(2a －b )(a ＋3b )＝2a 2＋5a ·b －3b 2＝8－15－27＝－34.(2)|a －b |＝（a －b ）2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝4＋6＋9＝19.17.(本小题满分14分)已知：在△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，AB 上的中线CD ＝m ，求证：a 2＋b 2＝12c 2＋2m 2. 证明：∵BC →＝BD →＋DC →，AC →＝AD →＋DC →，两式平方相加可得a 2＋b 2＝12c 2＋2m 2＋2(BD →·DC →＋AD →·DC →)，∵BD →·DC →＋AD →·DC →＝|BD →||DC →|·cos ∠ADC ＋|AD →||DC →|cos ∠CDB ＝0，∴a 2＋b 2＝12c 2＋2m 2.18.(本小题满分16分)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(m ，2)，它们的夹角为θ，当m 取何值时，θ为(1)直角；(2)锐角；(3)钝角？ 解：由a ＝(2，1)，b ＝(m ，2)得 |a |＝5，|b |＝m 2＋4，a ·b ＝2m ＋2.(1)θ为直角⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0⇔2m ＋2＝0⇔m ＝－1.(2)θ为锐角⇔⎩⎨⎧x 1x 2＋y 1y 2＞0，x 1x 2＋y 1y 2≠ x 21＋y 21·x 22＋y 22⇔⎩⎨⎧2m ＋2＞0，2m ＋2≠5·m 2＋4⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＞－1，（m －4）2≠0 ⇔m ＞－1且m ≠4.(3)θ为钝角⇔⎩⎨⎧x 1x 2＋y 1y 2＜0，x 1x 2＋y 1y 2≠－x 21＋y 21·x 22＋y 22⇔⎩⎨⎧2m ＋2＜0，2m ＋2≠－5·m 2＋4⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－1，（m －4）2≠0⇔m ＜－1. 故当m ＝－1时，θ为直角．当m ＞－1且m ≠4时，θ为锐角．当m ＜－1时，θ为钝角．19.(本小题满分16分)设OA →＝(2，5)，OB →＝(3，1)，OC →＝(6，3)，在OC →上是否存在点M ，使MA →⊥MB →？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设存在点M (x ，y )满足条件，则OM →＝λOC →＝(6λ，3λ)(0<λ≤1)，∴MA →＝(2－6λ，5－3λ)，MB →＝(3－6λ，1－3λ)．∵MA →⊥MB →，∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝1115. ∴OM →＝(2，1)或⎝⎛⎭⎫225，115，故存在点M (2，1)或点M ⎝⎛⎭⎫225，115满足题意．20.(本小题满分16分)某人在静水中游泳，速度为43千米/时，他在水流速度为4千米/时的河中游泳．(1)若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？(2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？解：(1)如图(1)，设人游泳的速度为OB →，水流的速度为OA →，以OA →、OB →为邻边作▱OACB ，则此人的实际速度为OA →＋OB →＝OC →，由勾股定理知|OC →|＝8，且在R t △ACO 中，∠COA ＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/时．(2)如图(2)，设此人的实际速度为OD →，水流速度为OA →，则游速为AD →＝OD →－OA →，在R t △AOD 中，|AD →|＝43，|OA →|＝4，|OD →|＝42，cos ∠DAO ＝33.故此人沿与河岸的夹角余弦为33的逆着水流的方向前进，实际前进的速度大小为42千米/时．。
苏州新区二中必修四第二章《平面向量》测试(含答案解析)
一、选择题1．已知ABC 为等边三角形，2AB =，ABC 所在平面内的点P 满足1AP AB AC --=，AP 的最小值为（ ）A 1B ．1C ．1D 12．已知ABC 中，2AB AC ==，120CAB ∠=，若P 是其内一点，则AP AB ⋅的取值范围是（ ） A ．(4,2)--B ．(2,0)-C ．(2,4)-D ．(0,2)3．已知圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x上，线段AB 为圆C的直径，则PA PB ⋅的最小值为（） A ．2B ．52 C ．3 D ．72 4．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( ) A ．1()2a b + B ．1()2a b - C ．12a b + D ．12a b +5．已知向量(3,0)a =，(0,1)b =-，(,3)c k =，若(2)a b c -⊥，则k =（ ） A ．2B ．2-C ．32D ．32-6．已知两个非零向量a ，b 的夹角为23π，且=2a b -，则·ab 的取值范围是（ ） A ．2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．[)2,0-C ．2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．[)1,0-7．已知向量12AB ⎛⎫= ⎝⎭，5AC =，3AB BC ⋅=，则BC =（ ）A ．3B ．C ．4D ．8．已知ABC ∆为等边三角形，则cos ,AB BC =( )A ．B ．12-C ．12D 9．直线0ax by c 与圆22:4O x y +=相交于M ，N 两点，若222c a b =+，P 为圆O 上任意一点，则PM PN ⋅的取值范围为（ ）A ．[2,6]-B ．[]2,4-C ．[]1,4D ．[1,4]-10．ABC 中，5AB =，10AC =，25AB AC =，点P 是ABC 内（包括边界）的一动点，且32()55AP AB AC R λλ=-∈，则||AP 的最大值是( )A ．332B ．37C ．39D ．4111．已知2a b ==，0a b ⋅=，()()0c a c b -⋅-=，若2d c -=，则d 最大值为（ ） A ．22B ．122+C ．222+D ．4212．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(,)m a b b c =++，(,)n c b a =-，若//m n ，则C =（ ）A ．56π B ．23π C ．3πD ．6π 二、填空题13．如图，已知四边形ABCD ，AD CD ⊥，AC BC ⊥，E 是AB 的中点，1CE =，若//AD CE ，则AC BD ⋅的最小值为___________.14．在ABC 中，AB AC =，E ，F 是边BC 的三等分点，若3AB AC AB AC +=-，则cos EAF ∠=_______________15．在ABC 中，90,6C CA CB ∠=︒==，P 为ABC 所在平面内一动点，则()CP AP BP ⋅+的最小值为________．16．已知0a b c ++=，3a =，4b =，5c =，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=______； 17．如图,在△ABC 中,13AN NC =,P 是BN 上的一点,若AP =m 211AB AC +,则实数m 的值为_____.18．已知ABC 的三边长3AC =，4BC =，5AB =，P 为AB 边上任意一点，则()CP BA BC ⋅-的最大值为______________.19．在AOB 中，已知1OA =，3OB =2AOB π∠=.若点C ，D 满足971616OC OA OB =-+，()12CD CO CB =⋅+，则CD CO ⋅的值为_______________.20．已知夹角为θ的两个单位向量,a b ，向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，则c 的最大值为______.三、解答题21．三角形ABC 中，D 为BC 上一点，2BD DC =，设AD a =，AC b =，可以用a ，b 来表示出AD ，方法如下：方法一：23AD AB A D BC B B ==++，∵BC AC AB =-，∴21212()33333AD AB AC AB AB AC a b =+-=+=+. 方法二：13AC CD AC AD CB =+=+，∵CB AB AC =-，∴11212()33333AD AC AB AC AB AC a b =+-=+=+. 方法三：如图所示，过点D 作AC 的平行线，交AB 于点E ，过点D 作AB 的平行线，交AC 于点F ，则四边形AEDF 为平行四边形.∵//DF AB 且2BD DC =，∴13FD CD AB CB ==，13FD AE AB ==.∵//ED AC ，2BD DC =.∴23ED BD AC BC ==，得23ED AF AC ==.∴12123333AD AE ED AE AF AB AC a b =+=+=+=+. 请参照上述方法之一(用其他方法也可)，解决下列问题：（1）三角形ABC 中，D 为BC 的中点，设AB a =，AC b =，试用a ，b 表示出AD ；（2）设D 为直线BC 上任意一点(除B ､C 两点)，BD kDC =.点A 为直线BC 外任意一点，AB a =，AC b =，证明：存在唯一实数对λ，μ，使得：AD a b λμ=+，且1λμ+=.22．如图，在扇形OAB 中，120AOB ∠=︒，半径2OA OB ==，P 为弧AB 上一点.（1）若OA OP ⊥，求PA PB ⋅的值； （2）求PA PB ⋅的最小值. 23．解答下列问题：（1）求平行于直线3x+4y- 2=0,且与它的距离是1的直线方程； （2）求垂直于直线x+3y -5=0且与点P( -1,0)的距离是3105的直线方程.24．已知||4,||2a b ==，且a 与b 夹角为120︒， 求：（1）||a b +； （2）a 与a b +的夹角.25．已知()()cos ,sin ,2sin ,2cos OP OQ θθθθ==+-，其中[)0,2θ∈π，求PQ 的最大值，并指出PQ 取得最大值时OP 与OQ 夹角的大小． 26．已知a =（1，2）b =（-3，2），当k 为何值时． （1）ka b +与3a b -垂直； （2）ka b +与3a b -平行．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】计算出AB AC +的值，利用向量模的三角不等式可求得AP 的最小值. 【详解】2222222cos123AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC π+=++⋅=++⋅=，所以，23AB AC +=， 由平面向量模的三角不等式可得()()231AP AP AB AC AB AC AP AB AC AB AC =--++≥---+=-.当且仅当AP AB AC --与AB AC +方向相反时，等号成立. 因此，AP 的最小值为231-. 故选：C. 【点睛】结论点睛：在求解向量模的最值时，可利用向量模的三角不等式来求解：a b a b a b -≤±≤+. 2．C解析：C 【分析】以A 为坐标原点，以过点A 垂直于BC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，求出()3,1B --，()3,1C-，设(),P x y ，因为点P 是其内一点，所以3x 3-<<，10y -<<，计算3AP AB x y ⋅=--得最值，即可求解.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：则()0,0A ，因为120CAB ∠=，所以30ABC ACB ∠=∠=， 可得2cos303=，2sin301，所以()3,1B -- ，)3,1C-,设(),P x y ，因为点P 是其内一点，所以33,10x y -<<-<<，()(),3,13AP AB x y x y ⋅=⋅-=--，当3x =-1y =-时AP AB ⋅最大为((()3314-⨯---=， 当3,1x y ==-时AP AB ⋅最小为(()3312--=-， 所以AP AB ⋅的取值范围是(2,4)-， 故选：C【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是建立直角坐标系，将数量积利用坐标表示，根据点(),P x y 是其内一点，可求出,x y 的范围，可求最值. 3．B解析：B 【分析】将PA PB ⋅转化为2||2PC -，利用圆心到直线的距离求得||PC 的取值范围求得PA PB ⋅的最小值. 【详解】()()()()PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA ⋅=+⋅+=+⋅-2222||||||22PC CA PC =-=-≥-52=.故选B. 【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.4．D解析：D 【分析】根据向量的加法的几何意义即可求得结果. 【详解】在ABC ∆中，M 是BC 的中点， 又,AB a BC b ==， 所以1122AM AB BM AB BC a b =+=+=+， 故选D. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目.5．B解析：B 【分析】求出2a b -)=，利用向量垂直数量积为零列方程求解即可.【详解】由(3,0)a =，(0,1)b =-，得2a b -)=，若(2)c a b -⊥，则(2)?0a b c -=，0,2k +=∴=-.故选B. 【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答. 6．C解析：C 【分析】对=2a b -两边平方后，结合2·cos 3a b a b π=⋅进行化简可得：224a b b +⋅+=；由基本不等式可得222a b a b +⋅，于是推出403a b<⋅，再结合平面向量数量积即可得解． 【详解】因为2a b -=，所以 2224a a b b -⋅+=，所以2222cos 43b b a a π-⋅+=，即224a a b b +⋅+=， 由基本不等式的性质可知，222a ba b +⋅，403a b∴<⋅， 所以212·cos ,0323a b a b a b π⎡⎫=⋅⋅=-⋅∈-⎪⎢⎣⎭． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查平面向量数量积运算，考查利用基本不等式求最值，难度一般.对于平面向量的模长问题，一般采用平方处理，然后结合平面向量数量积的运算公式求解即可．7．B解析：B 【分析】首先设出点A （0,0）、C （x ，y ）的坐标，由已知条件5AC =，3AB BC ⋅=列出关于x 、y 的方程组，然后根据向量的差的计算性质表示出向量BC 的坐标形式，并表示出向量BC 的模，将以上列出的关于x 、y 的式子整体带入即可求得BC .【详解】 设(0,0)A ,(),C x yBC AC AB =-()13,,2x y ⎛⎫⎝- =⎪⎪⎭13,2x y ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭= 3AB BC ⋅=1313,,322x y ⎛⎫⎛⎫∴⋅--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即38x y += （1）5AC =又2225x y ∴+= （2） 2213()22C x y B ⎛⎫-+- ⎪ ⎝=⎪⎭ 22(3)1x y x y =+-++将（1）（2）代入上式解得：258132BC =-+=故选B 【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及向量模的计算，其中考查了整体代换的思想方法，属于中档题目，计算中选择合适的解题方法，尽量要避免通过解方程求解点C 的坐标然后再求解向量BC 的模，否则就会大大的增加计算量，甚至出现解题错误.8．B解析：B 【分析】判断,AB BC 两向量夹角容易出错，是23π，而不是3π【详解】由图发现,AB BC 的夹角不是B 而是其补角23π，21cos ,cos32AB BC π<>==- 【点睛】本题考查的是两向量夹角的定义，属于易错题，该类型题建议学生多画画图.9．A解析：A 【分析】取MN 的中点A ，连接OA 、OP ，由点到直线的距离公式可得1OA =，于是推出1cos 2AON ∠=，1cos 2MON ∠=-，而||||cos 2OM ON OM ON MON ⋅=⋅∠=-， ()()PM PN OM OP ON OP ⋅=-⋅-()224cos OM ON OPOP OM ON AOP =⋅+-⋅+=-∠，其中cos [1,1]AOP ∠∈-，从而得解. 【详解】解：取MN 的中点A ，连接OA 、OP ，则OA MN ⊥，∵222c a b =+，∴点O 到直线MN 的距离221OA a b==+，在Rt AON 中，1cos 2OA AON ON ∠==， ∴2211cos 2cos 12122MON AON ⎛⎫∠=∠-=⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴1||||cos 2222OM ON OM ON MON ⎛⎫⋅=⋅∠=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴()()PM PN OM OP ON OP ⋅=-⋅-2()OM ON OP OP OM ON =⋅+-⋅+24222||||cos OP OA OP OA AOP =-+-⋅=-⋅∠24cos AOP =-∠，当OP ，OA 同向时，取得最小值，为242-=-； 当OP ，OA 反向时，取得最大值，为246+=. ∴PM PN ⋅的取值范围为[]2,6-. 故选：A. 【点睛】本题考查点到直线距离公式、向量的数量积运算、直线与圆的方程，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查运算求解能力.10．B解析：B 【分析】以A 为原点，以AB 所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，根据向量的坐标运算求得3)y x =-，当该直线与直线BC 相交时，||AP 取得最大值．【详解】解：ABC 中，5AB =，10AC =，25AB AC =，510cos 25A ∴⨯⨯=，1cos 2A =，60A ∴=︒，90B =︒； 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系， 如图所示，5AB =，10AC =，60BAC ∠=︒，(0,0)A ∴，(5,0)B ，(5C，，设点P 为(,)x y ，05x ，03y ，3255AP AB AC λ=-， (x ∴，3)(55y =，20)(55λ-，(32λ=-，)-，∴32x y λ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，3)y x ∴-，①直线BC 的方程为5x =，②，联立①②，得5x y =⎧⎪⎨=⎪⎩此时||AP 最大，||AP ∴=故选：B ．【点睛】本题考查了向量在几何中的应用问题，建立直角坐标系是解题的关键，属于中档题． 11．C解析：C【分析】不妨设(2,0),(0,2)a b ==，设(,),(,)c m n d x y ==，则由()()0c a c b -⋅-=求出点(,)a b 满足的关系（点(,)C a b 在一个圆上），而2d c -=表示点(,)D x y 在以(,)C a b 为圆心，2为半径的圆上，d 表示该圆上的点到原点的距离，由几何意义可得解． 【详解】 ∵2a b ==，0a b ⋅=，∴不妨设(2,0),(0,2)a OA b OB ====，如图，设(,)c OC m n ==，(,)d OD x y ==，则()()(2,)(,2)(2)(2)0c a c b m n m n m m n n -⋅-=-⋅-=-+-=，即22(1)(1)2m n -+-=，∴点(,)C m n 在以(1,1)M 2M 上， 又2d c -=，∴(,)D x y 在以(,)C a b 为圆心，2为半径的圆C 上， 则2d OC ≤+，当且仅当D 在OC 延长线上时等号成立，又OC 的最大值是圆M 的直径22∴d 最大值为222．故选：C ．【点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模，解题关键是引入坐标表示向量，用几何意义表示向量，求解结论．12．B解析：B【分析】由//m n ，可得()()()0a b a c b b c +⨯--⨯+=.结合余弦定理，可求角C .【详解】(,),(,)m a b b c n c b a =++=-，且//m n ，()()()0a b a c b b c ∴+⨯--⨯+=，整理得222c a b ab =++. 又22212cos ,cos 2c a b ab C C =+-∴=-. ()20,,3C C ππ∈∴=. 故选：B.【点睛】本题考查向量共线的坐标表示和余弦定理，属于基础题.二、填空题13．【分析】令结合题中已知条件得出通过根据数量积的概念以及二次函数的性质可得结果【详解】令因为所以又因为是的中点所以故可得所以当时取得最小值故答案为：【点睛】关键点点睛：将表示成根据几何关系将所需量用表 解析：1-【分析】令ACD θ∠=，结合题中已知条件得出2CAD πθ∠=-，2CAB πθ∠=-，2sin AC θ=，22sin AD θ=，通过()AC BD AC BA AD ⋅=⋅+，根据数量积的概念以及二次函数的性质可得结果.【详解】令ACD θ∠=，因为AD CD ⊥，AC BC ⊥，//AD CE ，所以BCE θ∠=，2ACE CAD πθ∠=∠=-，又因为E 是AB 的中点，1CE =，所以2AB =，1CE =，CBA θ∠=，2CAB πθ∠=-，故可得2sin AC θ=，22sin AD θ=，所以()AC BD AC BA AD AC BA AC AD ⋅=⋅+=⋅+⋅ 2222sin 2cos 2sin 2sin cos 4sin 4sin 22ππθπθθθθθθ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-++⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2214sin 12θ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 当21sin 2θ=时，AC BD ⋅取得最小值1-， 故答案为：1-.【点睛】关键点点睛：将BD 表示成BA AD +，根据几何关系将所需量用θ表示，将最后结果表示为关于θ的函数.14．【分析】以ABAC 为邻边作平行四边形ABCD 根据得到再根据得到平行四边形ABCD 是菱形则设利用勾股定理分别求得的长度在中利用余弦定理求解【详解】如图所示：以ABAC 为邻边作平行四边形ABCD 则因为所 解析：1314【分析】以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABCD ，根据3AB AC AB AC +=-，得到3AD CB =， 再根据AB AC =，得到平行四边形ABCD 是菱形，则CB AD ⊥，设3CB =EF ，,AE AF 的长度，在AEF 中利用余弦定理求解.【详解】如图所示：以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABCD ，则,AB AC AD AB AC CB +=-=， 因为3AB AC AB AC +=-， 所以3AD CB =，设3CB =3AD =，因为AB AC =，所以平行四边形ABCD 是菱形，所以CB AD ⊥，所以223333,223AB AC EF ⎛⎫⎛⎫==+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以22332126AE AF ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以2222121113993cos 21421212AE AF EF EAF AE AF +-+-∠===⋅⋅. 故答案为：1314【点睛】本题主要考查平面向量的平行四边形法则以及余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.15．【分析】建立坐标系利用向量的坐标运算公式将用的坐标表示利用配方法求得最小值【详解】由题意可建立如图所示的直角坐标系易知设则故当且仅当时取得等号∴所求最小值为故答案为：【点睛】本题考查向量的数量积的坐 解析：9-【分析】建立坐标系，利用向量的坐标运算公式将()CP AP BP ⋅+用(),P x y 的坐标表示，利用配方法求得最小值.【详解】由题意可建立如图所示的直角坐标系，易知()()()6,0,0,6,0,0A B C ，设(),P x y ，则(,),(6,),(,6)CP x y AP x y BP x y ==-=-， 故2233()(26)(26)229922CP AP BP x x y y x y ⎛⎫⎛⎫⋅+=-+-=-+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 当且仅当32x y ==时取得等号， ∴所求最小值为9-，故答案为：9-.【点睛】本题考查向量的数量积的坐标运算和配方法求最值，关键在于建立坐标系，用(),P x y 的坐标表达所求的向量的数量积，属中档题.16．【分析】由已知得再两边平方求得代入可求得答案【详解】因为所以又因为所以即又所以所以所以故答案为：【点睛】本题考查向量的线性运算向量的数量积以及向量的模的计算属于中档题解析：25-【分析】 由已知得()c a b =-+，再两边平方22+2+25a a b b⋅=，求得0a b ⋅=，代入可求得答案.【详解】 因为0a b c ++=，所以()c a b =-+，又因为5c =，所以()225a b +=，即22+2+25a a b b ⋅=，又3a =，4b =， 所以9+2+1625a b ⋅=，所以0a b ⋅=，所以()()20+25a b b c c a a b c b a c c c ⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+=⋅-=-=-，故答案为：25-.【点睛】本题考查向量的线性运算，向量的数量积，以及向量的模的计算，属于中档题.17．【解析】由得设=n 所以+n=+n()=(1-n)=m 由n=得m=1-n= 解析：311 【解析】 由13AN NC =,得14AN AC =. 设BP =n BN ,所以AP AB BP AB =+=+n BN=AB +n (AN AB -)=(1-n )14AB n AC +=m 211AB AC +. 由14n=211,得m=1-n=311. 18．9【分析】根据题意建立直角坐标系用坐标法解决即可得答案【详解】解：根据题意如图建立直角坐标系∴∴∴∴的最大值为故答案为：【点睛】本题考查坐标法表示向量向量的数量积运算线性运算的坐标表示等是中档题 解析：9【分析】根据题意，建立直角坐标系，用坐标法解决即可得答案.【详解】解：根据题意，如图建立直角坐标系，∴ ()0,3A ()4,0B ，()0,0C ，∴ ()4,3AB =-，()()()0,34,34,33CP CA AP CA AB λλλλλ=+=+=+-=-，[]0,1λ∈， ∴ ()()()[]4,330,3990,9CP BA BC CP CA λλλ⋅-=⋅=-⋅=-∈∴()CP BA BC ⋅-的最大值为9.故答案为：9 .【点睛】本题考查坐标法表示向量，向量的数量积运算，线性运算的坐标表示等，是中档题. 19．【分析】以为基底向量表示再由数量积的运算律定义计算即可【详解】∵∴D 为OB 的中点从而∴∵∴∴故答案为：【点睛】本题考查平面向量的数量积需要根据题意确定基底向量再根据平面向量基本定理表示所求的向量数量 解析：1564【分析】以,OA OB 为基底向量表示CD CO ，，再由数量积的运算律、定义计算即可．【详解】 ∵1()2CD CO CB =+，∴D 为OB 的中点，从而12OD OB =， ∴97191161621616CD CO OD OA OB OB OA OB =+=-+=+ ∵1OA =，OB =2AOB π∠=，∴0OA OB ⋅= ∴9197()()16161616CD CO OA OB OA OB ⋅=+⋅- 221(817)256OA OB =-1(8173)256=-⨯1564=. 故答案为：1564． 【点睛】 本题考查平面向量的数量积，需要根据题意确定基底向量，再根据平面向量基本定理表示所求的向量数量积，进而根据数量积公式求解．属于中档题.20．【分析】建立平面直角坐标系设出向量的坐标得出向量的终点的轨迹方程再运用点与圆的位置关系可以得到的最大值【详解】由已知建立平面直角坐标系设又所以所以点在以为圆心以为半径的圆上所以的最大值为所以的最大值 解析：cossin 22θθ+【分析】建立平面直角坐标系，设出向量a b c ，，的坐标，得出向量c 的终点C 的轨迹方程，再运用点与圆的位置关系可以得到||c 的最大值.【详解】由已知建立平面直角坐标系，设()()()10cos ,sin ,,OA a OB b OC c x y θθ======，，，又()()0a c b c -⋅-=， 所以()22+1+cos sin +cos 0x x y y θθθ-⋅-⋅=， 所以点C 在以1+cos sin ,22P θθ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，以sin 2R θ=为半径的圆上，所以c 的最大值为+cos +sin 222OP R θθθ==， 所以c 的最大值为cossin 22θθ+， 故答案为：cossin 22θθ+. 【点睛】本题考查求向量的模的最值，建立平面直角坐标系，设出向量坐标，得出向量的终点的轨迹方程是解决本题的关键，属于中档题. 三、解答题21．（1）1122AD a b =+；（2）证明过程见详解. 【分析】（1）根据题干中所给的方法，结合向量的线性运算，可分别求解；（2）根据题干中所给的方法，由向量的线性运算，用a ，b 表示出AD ，即可得出结论成立.【详解】（1）因为D 为BC 的中点，方法一： 12AD AB BD AB BC =+=+，∵BC AC AB =-， ∴11221)22(221AD AB AC AB AB AC a b =+-=+=+； 方法二： 21AC CD AC AD CB =+=+，∵CB AB AC =-， ∴111221)2(221AD AC AB AC AB AC a b =+-=+=+； 方法三：如图所示，过点D 作AC 的平行线，交AB 于点E ，过点D 作AB 的平行线，交AC 于点F ，则四边形AEDF 为平行四边形.∵//DF AB 且BD DC =，∴21FD CD AB CB ==，21FD AE AB ==. ∵//ED AC ，BD DC =.∴12ED BD AC BC ==，得12ED AF AC ==. ∴11212212AD AE ED AE AF AB AC a b =+=+=+=+； （2）因为D 为直线BC 上任意一点(除B ､C 两点)，BD kDC =，显然1k ≠-； 所以1k BD BC k =+，11CB k CD =+， 方法一： 1AD AB BD AB BC k k =+++=，∵BC AC AB =-， ∴1111111()k k k AD AB AC AB AB AC a b k k k k k +++++=+-=+=+； 即存在唯一实数对1k k λ=+，11k μ=+，使得：AD a b λμ=+，且1λμ+=； 方法二：11A AC CD AC CB D k =++=+，∵CB AB AC =-， ∴11111111()k k k k AD AC AB AC A k k B AC a b k ++=+-=+++=++； 即存在唯一实数对11k λ=+，1k k μ=+，使得：AD a b λμ=+，且1λμ+=； 方法三：若点D 位于点B 左侧，如图，过点D 作//DM AB ，过点A 作//AM BC ，交DM 于点M ，则AMDB 为平行四边形，1k AM BD BC k ==+，所以11()AD AB AM AB BC AB k k k k AC AB =++=-+++=111111k k AB AC a b k k k k ++++=+=+； 即存在唯一实数对1k k λ=+，11k μ=+，使得：AD a b λμ=+，且1λμ+=； 若点D 位于点C 右侧，如图，过点D 作//DN AC ，过点A 作//AN BC ，交DN 于点N ，则ANDC 为平行四边形， 11AN CD BC k ==+，因此11A AC AN AC CB D k =++=+111111(1)k k k AB AC AB AB AC a b k k k k k +++=+++-+=+=， 即存在唯一实数对1k k λ=+，11k μ=+，使得：AD a b λμ=+，且1λμ+=； 若点D 位于BC 之间，则0k >；如图所示，过点D 作AC 的平行线，交AB 于点P ，过点D 作AB 的平行线，交AC 于点Q ，则四边形APDQ 为平行四边形.∵//DQ AB 且BD DC =，∴11QD CD AB C k B =+=，11Q k D AP AB =+=， ∵//PD AC ，BD DC =.∴1PD BD AC BC k k =+=，得1k k PD AQ AC =+=. ∴111111AD AP AQ AB AC k k a b k k k k =+=++=++++； 即存在唯一实数对1k k λ=+，11k μ=+，使得：AD a b λμ=+，且1λμ+=； 综上，存在唯一实数对λ，μ，使得：AD a b λμ=+，且1λμ+=. 【点睛】思路点睛：利用平面向量的一组基底表示向量时，只需根据向量的线性运算法则，结合平面向量基本定理，逐步求解即可.22．（1）223-；（2）2-. 【分析】（1）先通过倒角运算得出30POB ∠=︒，120APB ∠=︒，再在POB 中，由余弦定理可求得62PB =-，然后根据平面向量数量积的定义cos PA PB PA PB APB ⋅=⋅∠，代入数据进行运算即可得解；（2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设()2cos ,2sin P αα，其中20,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，结合平面向量数量积的坐标运算，用含有α的式子表示出PA PB ⋅，再利用三角恒等变换公式和正弦函数的图象即可得解.【详解】（1）当OA OP ⊥时，如图所示，∵120AOB ∠=︒，∴1209030POB ∠=︒-︒=︒，18030752OPB ︒-︒∠==︒，∴7545120APB ∠=︒+︒=︒，在POB 中，由余弦定理，得 222222cos 22222cos30843PB OB OP OB OP POB =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯︒=- ∴84362PB =-=，又222PA OA ==∴1cos 22622232PA PB PA PB APB ⎛⎫⋅=⋅∠=⨯-=- ⎪⎝⎭（2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()2,0A ，∵120AOB ∠=︒，2OB =，∴(3B -，设()2cos ,2sin P αα，其中20,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()()22cos ,2sin 12cos 32sin PA PB αααα⋅=--⋅-- 2222cos 4cos 23sin 4sin αααα=--+-+2cos 2324sin 26πααα⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭. ∵20,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴5,666πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin ,162πα⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴当62ππα+=，即3πα=时，PA PB ⋅取得最小值为2-.【点睛】本题考查平面向量的坐标表示，考查平面向量的数量积，考查余弦定理，考查三角函数的图象与性质，属于中档题．23．（1）3x+4y+3=0或3x+4y-7=0 (2) 3x-y+9=0或3x-y-3=0【详解】试题分析：（1）将平行线的距离转化为点到线的距离，用点到直线的距离公式求解；（2）由相互垂直设出所求直线方程，然后由点到直线的距离求解.试题解：（1）设所求直线上任意一点P （x ，y ），由题意可得点P 到直线的距离等于1，即34215x y d +-==，∴3x+4y-2=±5，即3x+4y+3=0或3x+4y-7=0．（2）所求直线方程为30x y c -+=，由题意可得点P 到直线的距离等于3105，即331010cd -+==∴9c =或3c =-，即3x-y+9=0或3x-y-3=0． 考点：1.两条平行直线间的距离公式；2.两直线的平行与垂直关系 24．（1）232）6π.【分析】（1）由已知利用向量的数量积的 定义可求||||cos120a b a b =︒，然后由222||()2a b a b a a b b +=+=++可求（2）设a 与a b +的夹角θ，代入向量的夹角公式2()cos ||||423a ab a a a b θ+==+⨯可求θ 【详解】解：（1）||4a =，||2b =，且a 与b 夹角为120︒∴1||||cos12042()42a b a b =︒=⨯⨯-=-∴222||()2164a b a b a a b b +=+=++=+-（2）设a 与a b +的夹角θ 则2()3cos ||||42383a ab aa ab θ+====+⨯0θπ ∴6πθ=.【点睛】 本题主要考查了向量的数量积的定义及向量的数量积的性质的简单应用，属于基础试题 25．π-【分析】利用向量模的坐标表示求出2PQ ，由余弦函数的单调性知当θπ=时2PQ 取最大值18即PQ 取最大值OP 、OQ 的坐标，由cos ,OP OQ OP OQ OP OQ⋅<>=⋅即可求得两向量的夹角.【详解】222(2sin cos )(2cos sin )PQ θθθθ=+-+--22228sin cos 4sin 4cos 2sin cos sin cos 4cos 4sin 2sin cos θθθθθθθθθθθθ=+++--++--+108cos θ=- 又[)0,2θπ∈，所以当θπ=时，cos θ取得最小值1-，2PQ 取最大值18，即当θπ=时，PQ 取最大值此时(1,0)OP =-，(23)OQ =，，cos ,1OP OQOP OQ OP OQ ⋅<>===⨯⋅，所以PQ 取得最大值时OP 与OQ 夹角为π- 【点睛】 本题考查向量数量积的坐标表示、向量模的坐标表示、向量夹角的计算，属于中档题. 26．（1）19； （2）13-. 【分析】（1）由题意，求得(3,22),3(10,4)ka b k k a b +=-+-=-，根据因为ka b +与3a b -垂直，列出方程，即可求解；（2）根据ka b +与3a b -平行，列出方程，即可求解.【详解】（1）由题意，向量(1,2),(3,2)a b ==-，则(3,22),3(10,4)ka b k k a b +=-+-=-，因为ka b +与3a b -垂直，所以()(3)10(3)4(22)0ka b a b k k +⋅-=--+=，即2380k -=，解得19k =.（2）若ka b +与3a b -平行，则满足4(3)10(22)0k k ---+=，即2480k -+=，解得13k =-.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以向量垂直和平行的判定及应用，其中解答中熟练应用向量的坐标运算公式，根据向量垂直和平行，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.。
平面向量(必修4第二章)过关测试题
平面向量（必修4第二章）过关测试题时间：90分钟 满分：150分一、选择题（每小题5分，共50分）1 若三点(2,3),(3,),(4,)A B a C b 共线，则有（ ）A 3,5a b ==-B 10a b -+=C 23a b -=D 20a b -=2 设00,a b 分别是与,a b方向相同的单位向量，则下列结论中正确的是（ ）A 00a b =B 001a b ⋅=C 00||||2a b +=D 00||2a b +=3 设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=OP ，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是（ ） A2 B3 C 23 D 324 若平面向量与向量)2,1(-=a 的夹角是o 180，且53||=b ，则=( )A )6,3(-B )6,3(-C )3,6(-D )3,6(-5 已知平面向量(3,1)a = ，(,3)b x =- ，且a b ⊥，则x =（ ）A 3-B 1-C 1D 36 向量(2,3)a = ，(1,2)b =-，若ma b + 与2a b - 平行，则m 等于A 2-B 2 C21D 12- 7 若,a b 是非零向量且满足(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥ ，则a 与b 的夹角是（ ）A6π B 3π C 32π D 65π 8 已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为060，那么3a b += （ ） A7 B 10 C 13 D 49 已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分别是（ ）A 0,24B 24,4C 16,0D 4,010 若平面向量与向量)1,2(=a 平行，且52||=b ，则=( )A )2,4(B )2,4(--C )3,6(-D )2,4(或)2,4(--二、填空题（每小题4分，共28分）11 若(2,2)a =-，则与a 垂直的单位向量的坐标为__________12 若3a = ,2b = ，且与的夹角为060，则a b -=13 若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥ ，则向量a 与b14 若1a = ,2b = ，a 与b 的夹角为060，若(35)a b +⊥ ()ma b - ，则m 的值为 .15 若菱形ABCD 的边长为2，则AB CB CD -+=__________16 若→a =)3,2(，→b =)7,4(-，则→a 在→b 上的投影为________________17 已知)1,2(=a与)2,1(=b ，要使b t a +最小，则实数t 的值为___________三、解答题（5小题，共72分）18 （14分）如图，ABCD 中，,E F 分别是,BC DC 的中点，G 为交点，若AB =a，=b ，试以a ，b 为基底表示、BF 、CG19 （14分）已知(1,2)a =,)2,3(-=,当k 为何值时，（1）ka b + 与3a b -垂直？（2）ka + b 与3a -b 平行？平行时它们是同向还是反向？20 （14分）试证明：平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和21 （15分）平面向量11),(2a b =-=，若存在不同时为0的实数k 和t ，使2(3),,x a t b y ka tb =+-=-+ 且x y ⊥ ，试求函数关系式()k f t =22 （14分）如图，在直角△ABC 中，已知BC a =，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问BC PQ 与的夹角θ取何值时⋅的值最大？并求出这个最大值参考答案1 C (1,3),(2,3),//326,23AB a AC b AB AC b a a b =-=-⇒-=--=2 C 因为是单位向量，00||1,||1a b ==3 C 12(2sin cos ,2cos sin ),PP θθθθ=+---12PP ==≤= 4 A 设(,2),0b ka k k k ==-< ，而53||=b3,(3,6)k b ==-=-5 C 31(3)0,1x x +⨯-==6 D (2,3)(1,2)(21,32)ma b m m m m +=+-=-+2(2,3)(2,4)(4,1)a b -=--=- ，则121128,2m m m -+=+=-7 B 22222211220,20,,,cos 2a a b a a b b a b a b a b a b aθ-=-======8 C3a b +=== 9 D2(2cos 2sin 1),|2|a b a b θθ-=+-===4，最小值为010 D 设(2,),b ka k k ==，而||b =,(4,2),(4,2)k b ==±=-- 或二、填空题 11(,),(,)2222--或设所求的向量为22(,),220,1,2x y x y x y x y -=+===±127a b -=13 0120 221()0,0,c o s 2a b a a b a a a b a ba bθ-+=+====-,或画图来做 14 238(35)a b + 22()3(53)50ma b ma m a b b -=+--=3(53)2cos60540,823m m m +-⨯⨯-⨯==15 2 2A B C BC D A B B C C D A C C D A D-+=++=+==16cos a b a bθ==17 45- a tb +=== 45t =-时即可三、解答题18 解：1122DE AE AD AB BE AD a b b a b =-=+-=+-=-1122BF AF AB AD DF AB b a a b a =-=+-=+-=-G 是△CBD 的重心，111()333CG CA AC a b ==-=-+19 解：(1,2)(3,2)(3,22)ka b k k k +=+-=-+3(1,2)3(3,2)(10,4)a b -=--=-（1）()ka b +⊥ (3)a b -，得()ka b + (3)10(3)4(22)2380,19a b k k k k -=--+=-==（2）()//ka b + (3)a b - ，得14(3)10(22),3k k k --=+=-此时1041(,)(10,4)333ka b +=-=-- ，所以方向相反20 证明：记,,AB a AD b == 则,AC a b =+ ,DB a b =-222222()()22AC DB a b a b a b +=++-=+ 222222AC DB a b ∴+=+21 解：由11),(,)22a b =-=得0,2,1a b a b === 22222[(3)]()0,(3)(3)0a t b ka tb ka ta b k t a b t t b +--+=-+--+-=33311430,(3),()(3)44k t t k t t f t t t -+-==-=-22 解：,0.AB AC AB AC ⊥∴⋅=,,,()()AP AQ BP AP AB CQ AQ AC BP CQ AP AB AQ AC =-=-=-∴⋅=-⋅-.cos 2121)(222222θa a a a AC AB AP a AP AB AC AP a +-=⋅+-=⋅+-=-⋅--=⋅+⋅--=⋅+⋅-⋅-⋅=.0.,)(0,1cos 其最大值为最大时方向相同与即故当CQ BP BC PQ ⋅==θθ。
苏教版高中数学必修4章末练测：第二章平面向量(含参考答案).docx
第2章平面向量（数学苏教版必修4）建议用时实际用时满分实际得分120分钟150分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上）1.已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，则向量OD等于.2. 有下列四个关系式：①|a·b|=|a|·|b|;②|a·b|≤|a|·|b|;③|a·b|≥|a|·|b|;④|a·b|≠|a|·|b|.其中正确的关系式是.3.在△ABC中，AB边上的高为CD,若CB=a,CA=b,a·b=0,|a|=1,|b|=2,则AD= .4.已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,则|b|= .5.设x，y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|= .6.设a=(13，tan )，b=(cos ，32)，且a∥b，则锐角的值为.7.点P为△ABC所在平面内任一点，且PA+PB+PC=AB，则点P与△ABC的位置关系是.8.对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是.○1若a·b=0，则a=0或b=0;○2若λa=0，λ=0或a=0;○3若a2=b2，则a=b或a=-b;○4若a·b=a·c，则b=c.9. 在△ABC所在平面存在一点O使得OA+ OB + OC= 0，则面积= .10.若将向量a=（1，2）绕原点按逆时针方向旋转π4得到向量b，则b的坐标是.11.已知平面上三点A、B、C满足|AB|=3，|BC|=4，|CA|=5，则AB·BC+BC·CA+CA·AB的值等于.12.已知点A（1，-2），若向量AB与a=（2，3）同向，|AB|=213，则点B的坐标为.13. 设OA=(3，1)，OB=(-1，2)，OC⊥OB, BC ∥OA,又OD+OA=OC，则OD的坐标是.14.若对n个向量a1，a2，…，a n存在n个不全为零的实数k1,k2,…,k n，使得k1a1+k2a2+…+k n a n=0成立，则称向量a1,a2,…,a n为“线性相关”.依此规定，能说明a1=(1,2),a2=(1,-1)，a3=(2,10)“线性相关”的实数k1,k2,k3依次可以取（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）.二、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共80分）15.(15分)设a，b，c，d∈R，求证：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）. 16.（15分）已知实数a，b，c，d，求函数f（x）=2222()()x a b x c d+++-+的最小值.17.（21分）平面内给定三个向量a＝（3，2），b ＝（-1，2），c=（4，1）.（1）求满足a=m b+n c的实数m,n；（2）若（a+k c）∥(2b-a)，求实数k；（3）设d=(x,y)满足（d-c）∥(a+b)，且|d-c|＝1，求向量d. 18.（14分）设平面内两向量a与b互相垂直，且|a|=2，|b|=1，又k与t是两个不同时为零的实数.（1）若x=a+（t-3）b与y=-k a+t b垂直，求k关于t的函数表达式k=f（t）；（2）求函数k=f（t）的最小值.19.（15分）一条河的两岸平行，河的宽度d为500 m，一条船从A处出发航行到河的正对岸B处，船航行的速度|v1|=10 km/h，水流速度|v2|=4 km/h，那么v1与v2的夹角（精确到1°）多大时，船才能垂直到达对岸B处？船行驶多少时间？（精确到0.1 min）第2章平面向量（数学苏教版必修4）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6．7． 8． 9． 10． 11． 12．13． 14．二、解答题15.16. 17. 18. 19.第2章 平面向量（数学苏教版必修4）答案一、填空题1. a +c -b 解析：如图，点O 到平行四边形三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a 、b 、c ， 结合图形有OD =OA +AD =OA +BC =OA +OC -OB =a +c -b .2. ○2 解析：|a ·b |=|a ||b ||cos θ|≤|a |·|b |,其中θ为a 与b 的夹角.3.45a -45b 解析：利用向量的三角形法则求解. 如图，∵ a ·b =0，∴ a ⊥b ，∴ ∠ACB =90°， ∴ AB =22AC BC +=5.又CD ⊥AB ,∴ AC 2=AD ·AB ，∴ AD =455. A DOB CC b aA D B∴ AD =45AB =45（a -b ）=45a -45b . 4.5 解析：｜a +b ｜2=a 2+2a ·b +b 2=|a |2+2a ·b +|b |2=50，即5+2×10+|b |2=50,∴ |b |=5.5. 解析：利用平面向量共线和垂直的条件求解. ∵ a =（x ,1）,b =（1,y ）,c =（2,-4）, 由a ⊥c 得a ·c =0,即2x-4=0,∴ x =2. 由b ∥c ,得1×（-4）-2y =0,∴ y =-2. ∴ a =（2,1）,b =（1,-2）.∴ a +b =（3,-1）,∴ |a +b |=223(1)+-=.6.π6解析：∵ a ∥b ，∴ 13×32-t a n cos =0，即sin =12，∴ =π6.7. P 在AC 边上 解析：∵ PA +PB +PC =AB ，∴ PA +PC =AB +BP =AP ，即PC =2AP . ∴ A 、C 、P 三点共线，即P 在AC 边上. 8.○2 解析：取a =（1，0），b =（0，-1），满足条件a ·b =0，a 2=b 2，但不能推得a =0或b =0，a =b 或a =-b ，故选项○1、○3均假；向量数量积运算不满足消去律，故选项○4假. 9.13解析：∵ OA + OB + OC = 0 ，∴ OB + OC = AO ， 设 OB + OC =OD ， ∴O 是AD 的中点， 要求面积之比的两个三角形是同底的三角形， ∴面积之比等于三角形的高之比，∴比值是13， 10. （22-，322） 解析：设b =（x ，y ），则|b |=|a |=，a ·b =|a ||b |·cos π4=××22=522，即x 2+y 2=5，x+2y =522，解得x =22-，y =322（舍去x =322，y =22）.故b =（22-，322）. 11.-25 解析：∵|AB |2+|BC |2=|CA |2，∴ △ABC 为直角三角形，AB ⊥BC ， cos A =35，cos C =45. ∴原式=3×4×0+4×5×(45-)+5×3×(35-)=25-.12.（5，4） 解析：设AB =（x ，y ），∵ AB 与a 同向， ∴ AB =λa （λ>0），即（x ，y ）=λ（2，3）.∴ 2,3.x y λλ=⎧⎨=⎩又|AB |=2，∴ x 2+y 2=52.∴ 4λ2+9λ2=52，解得λ=2（负值舍去）.∴ 点B 的坐标为（5，4）.13. 1 解析：设OC =(x ,y ),由OC ⊥OB ,得-x+2y =0.① 由BC =OC -OB =(x+1,y-2), BC ∥OA , 得(x+1)-3(y-2)=0.②由①②联立，解得x =14,y =7.故OD =OC -OA =(14，7)-(3，1)=(11，6).14.只要写出-4c ,2c ,c (c ≠0)中一组即可，如-4，2，1等 解析：由k 1a 1+k 2a 2+k 3a 3＝0得12313,12323,20,421002k k k k k k k k k k ++==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩∴ k 1=-4c ,k 2=2c ,k 3=c (c ≠0). 二、解答题15.证明：引入向量a =（a ，b ），b =（c ，d ）. 设向量a 、b 的夹角为，则（ac+bd ）2=（a ·b ）2=（|a ||b |cos ）2≤（|a ||b |）2=（a 2+b 2）（c 2+d 2）. 16.解：引入向量a =（x+a ，b ），b =（c-x ，d ）， 则原函数变为f （x ）=|a |+|b |.∴ f （x ）=|a |+|b |≥|a +b |=22()()x a c x b d ++-++=22()()a c b d +++. ∴ 函数f （x ）的最小值为22()()a c b d +++. 17.解：（1）因为a =m b +n c ,所以（3，2）＝（-m+4n ,2m+n ）,所以5,43,9228.9m m n m n n ⎧=⎪-+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩（2）因为（a +k c ）∥(2b -a ),又a + k c =(3+4k ,2+k ),2b -a =(-5,2), 所以2（3+4k ）+5（2+k ）＝0，即k =-1613. （3）因为d -c =(x-4,y-1),a +b =(2,4), 又（d -c ）∥(a +b ),|d -c |=1，所以22554,4,4(4)2(1)0,55(4)(1)1,25251,155x x x y x y y y ⎧⎧=+=-⎪⎪---=⎧⎪⎪⎨⎨⎨-+-=⎩⎪⎪=+=-⎪⎪⎩⎩解得或.所以d =（5254,155++）,或d =（5254,155--）. 18.解：（1）∵ a ⊥b ，∴ a ·b =0.又x ⊥y ，∴ x ·y =0，即［a +（t-3）b ］·（-k a +t b ）=0，-k a 2-k （t-3）a ·b +t a ·b +t （t-3）b 2=0. 将|a |=2，|b |=1代入上式得-4k+t 2-3t =0， 即k =f （t ）=14（t 2-3t ）. （2）由（1）知k =f （t ）=14（t 2-3t ）=14（t-32）2916-, ∴ 当t =32时，k 最小=916-. 19.解：如图，根据向量的平行四边形法则和解三角形知识可得| v 1|2=| v |2+| v 2|2，得| v |=2212-v v =22104-≈9.2（km/h ）. ∵ cos （π-）=21v v =410=25，∴ π-≈1130π，即≈1930π=114°，时间t =d v ≈0.59.2=592（h ）,即约3.3 min. 答：v 1与v 2的夹角约为114°时船才能垂直到达对岸B 处，大约行驶3.3 min.v 1 vA v 2。
2021年苏教版第2章平面向量测试3(苏教版必修4)
高一数学(下)单元测试题六(数学四第二章)平 面 向 量一、选择1、下列命题正确的是(D )A | a | =| b |⇒ a =bB | a | >| b |⇒ a >bC a =b ⇒ a ∥bD |a | = 0⇒ a =02、已知≠1e 0，λ∈R, a =1e +λ2e ,b =2e 1, 则a 与b 共线的条件( A )A λ=0B 2e =0C 1e ∥2eD λ=0 或1e ∥2e3、已知A(！，2)，B(4，0)，C(8，6)，D(5，8)四点，则四边形ABCD 是( B )A 、梯形B 、矩形C 、菱形D 正方形4、设点P 在有向线段AB 的延长线上，P 分所成AB 的比为λ，则(A )A λ〈 -1B -1〈 λ〈 0C 0〈 λ〈 1D λ 〉15、△ABC 中acosA=bcosB ，则△ABC 为(D )A 等腰三角形B 等腰直角三角形C 直角三角形D 等腰或直角三角形 6、若a =(1,1) b =(1,-1) c =(-1,2) 向量，则c 等于 ( B ) A -21a +23b B 21a -23b C 23a -21b D -23+21b7、设a 、b 、c 是任意的非零向量，且相互不共线，则①(a •b)c-(c •a)b=0 ②|a|-|b|<|a-b|③(b •c)a-(c •a)b 不与C 垂直 ④ (3a+2b)(3a-2b)=9|a|2-4|b|2中正确的命题有( D )A 、①②B 、②③C 、③④D 、②④8、已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1，2)，B(4，1)C(0，-1)则△ABC 是( B )A 等腰三角形B 等腰直角三角形C 直角三角形D 以上均不对二、填空1、若点A(-1，2) B(2，3) C(3，-1)且AD =2AB -3BC ，则点D 的坐标为(2，16)2、如果P(1，1)，A(2，3) B(8，-3)且C 、D 顺次为AB 的三等分点，则PC 和PD 的坐C E AD B xy标分别为(3，0)，(5，-2)3、设P=(2，7)，Q=(X ，-3)，则P 与Q 的夹角为钝角时X 的取值范围为( -∞, 221 )4、已知a+b=2i-8j ，a-b=-8i+16j ，则a •b= -63三、解答1、求等腰直角三角形中的两直角边上的中线所成的角为钝角。
(好题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试(包含答案解析)(3)
一、选择题1．如图，在ABC 中，AD AB ⊥，2AD =，3DC BD =，则AC AD ⋅的值为（ ）A ．3B ．8C ．12D ．162．ABC ∆中，AB AC ⊥，M 是BC 中点，O 是线段AM 上任意一点，且2AB AC ==，则OA OB OA OC +的最小值为（ ）A ．-2B ．2C ．-1D ．13．已知两个单位向量a ，b ，其中向量a 在向量b 方向上的投影为12．若()()2a b a b λ+⊥-，则实数λ的值为（ ）A ．14-B ．12-C ．0D ．12 4．已知向量()2,3a =，()4,2b =，那么向量a b -与a 的位置关系是（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．夹角是锐角 D ．夹角是钝角5．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，5cos 6A =，若O 为ABC ∆的外心（即三角形外接圆的圆心），且AO mAB nAC +=，则2n m -=（ ） A ．199 B ．4122- C ．111- D ．17116．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝13BC ，则AM ·MN ＝（ ） A ．6 B ．4 C ．3 D ．27．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( )A ．1()2a b +B ．1()2a b -C ．12a b +D ．12a b +8．已知向量()a 1,2=，()b x,2=-，且a b ⊥，则a b +等于（ ）． A ．5 B ．5 C ．42 D ．319．已知向量13,22AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，5AC =，3AB BC ⋅=，则BC =（ ） A ．3 B ．32 C ．4 D ．42 10．直线0ax by c 与圆22:4O x y +=相交于M ，N 两点，若222c a b =+，P 为圆O 上任意一点，则PM PN ⋅的取值范围为（ ） A ．[2,6]-B ．[]2,4-C ．[]1,4D ．[1,4]- 11．ABC 中，5AB =，10AC =，25AB AC =，点P 是ABC 内（包括边界）的一动点，且32()55AP AB AC R λλ=-∈，则||AP 的最大值是( ) A ．33 B ．37 C ．39 D ．41 12．已知2a b ==，0a b ⋅=，()()0c a c b -⋅-=，若2d c -=，则d 最大值为（ ）A ．22B ．122+C ．222+D ．42 二、填空题13．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，且2BE EA =，若3AB AC AD EC ⋅=⋅，则AB AC的值为___________.14．已知平面向量,,a b c 满足()()||2,||2||a c b c a b a b -⋅-=-==.则c 的最大值是________.15．已知平面非零向量,,a b c 两两所成的角相等，1a b c ===，则a b c ++的值为_____．16．已知3a =，2b =，()()2318a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为_____． 17．已知平面向量2a =，3b =，4c =，4d =，0a b c d +++=，则()()a b b c +⋅+=______.18．ABC 中，2AB BA BC =⋅，0OA OC AB ++=，且1OA AB ==，则CA CB ⋅=______.19．如图所示，已知OAB ，由射线OA 和射线OB 及线段AB 构成如图所示的阴影区（不含边界）.已知下列四个向量：①12=+OM OA OB ； ②23143OM OA OB =+；③33145=+OM OA OB ；④44899=+OM OA OB .对于点1M ，2M ，3M ，4M 落在阴影区域内（不含边界）的点有________（把所有符合条件点都填上）20．已知ABC 的重心为G ，过G 点的直线与边AB 和AC 的交点分别为M 和N ，若AM MB λ=，且AMN 与ABC 的面积之比为2554，则实数λ=__________. 三、解答题21．已知平面非零向量a ，b 的夹角是23π. （1）若1a =，27a b +=，求b ；（2）若()2,0a =，(),3b t =，求t 的值，并求与a b -共线的单位向量e 的坐标. 22．设()2,0a →=，(3b →=. （1）若a b b λ→→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭，求实数λ的值； （2）若(),m x a y b x y R →→→=+∈，且23m =，m →与b →的夹角为6π，求x ，y 的值. 23．已知向量()1,2a =-，()3,1b =-.（1）若()a b a λ+⊥，求实数λ的值；（2）若2c a b =-，2d a b =+，求向量c 与d 的夹角. 24．已知向量(1,2),(,2),(3,1)==-=-OA OB m OC ，O 为坐标原点．（1）若AB AC ⊥求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，求△ABC 的面积．25．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =.（1）若35b =，且//a b ，求b 的坐标；（2）若2c =，且()()2a c a c +⊥-，求a 与c 的夹角θ的余弦值.26．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量(1,2)a =-，(1,)b k =．（1）若()a a b ⊥+，求实数k 的值；（2）若对于平面xOy 内任意向量c ，都存在实数λ、μ，使得c a b λμ=+，求实数k 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】利用AB 、AD 表示向量AC ，再利用平面向量数量积的运算性质可求得AC AD ⋅的值.【详解】()3343AC AD DC AD BD AD AD AB AD AB =+=+=+-=-， AD AB ⊥，则0⋅=AD AB ，所以，()224344216AC AD AD AB AD AD ⋅=-⋅==⨯=.故选：D.【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 2．C解析：C【分析】根据向量求和的平行四边形法则可以得出2OA OB OA OC OA OM ⋅+⋅=⋅，再利用向量的数量积的运算可以得到22OA OM OA OM ⋅=-⋅，因为2OA OM +=，代入计算可求出最小值.【详解】解：在直角三角形ABC 中，2AB AC ==，则BC =M 为BC 的中点，所以AM =设OA x =，(0x ≤≤()2OA OB OA OC OA OB OC OA OM ⋅+⋅=⋅+=⋅)()2222OA OM xx x =-⋅=-= 221x ⎛=-- ⎝⎭所以当2x =，即22OA =时，原式取得最小值为1-. 故选：C.【点睛】方法点睛：（1）向量求和经常利用平行四边形法则转化为中线的2倍；（2）利用向量三点共线，可以将向量的数量积转化为长度的乘积； （3）根据向量之间模的关系，二元换一元，转化为二次函数求最值即可. 3．C 解析：C 【分析】 记a 与b 的夹角为θ，则a 在b 上的投影为1cos 2a θ=，然后向量垂直转化为数量积为0可计算λ． 【详解】 记a 与b 的夹角为θ，则a 在b 上的投影为cos a θ，则1cos 2a θ=， ∵()()2a b a b λ+⊥-，∴()()()221322221(2)022a b a b a b a b λλλλλλ+⋅-=-+-⋅=-+-⋅==， 故0λ=，故选：C ． 【点睛】结论点睛：本题考查平面向量的数量积及其几何意义．向量垂直的数量积表示． （1）设,a b 向量的夹角为θ，则a 在b 方向上的投影是cos a b a b θ⋅=；（2）对两个非零向量,a b ，0a b a b ⊥⇔⋅=． 4．D解析：D【分析】首先根据题中所给的向量的坐标，结合向量数量积运算法则，求得其数量积为负数，从而得到其交集为钝角.因为()2,3a =，()4,2b =，222()23(2432)131410a b a a a b -⋅=-⋅=+-⨯+⨯=-=-<，所以向量a b -与a 的位置关系是夹角为钝角，故选：D.【点睛】该题考查的是有挂向量的问题，涉及到的知识点有向量数量积的运算律，数量积坐标公式，根据数量积的符号判断其交集，属于简单题目. 5．D解析：D【分析】设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，从而得到·0?0OD AB OE AC ==，，坐标化构建m ，n 的方程组，解之即可.【详解】设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，又OD AD AO =-， 即11222m OD AB mAB nAC AB nAC -=--=-， 同理122n OE AE AO AC mAB -=-=-， 因为212·||?02m OD AB AB nAB AC -=-=， 所以124502m n -⨯-=，又212·||?02n OE AC AC mAB AC -=-=， 所以129502n m -⨯-=，联立方程组124502129502m n n m -⎧⨯-=⎪⎪⎨-⎪⨯-=⎪⎩， 解得922811m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以17211n m -=. 故选D【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、三角形外心的性质、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．C【分析】 根据向量的运算法则，求得12AM AD AB =+，2132MN AD AB =-+，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】由题意，作出图形，如图所示：由图及题意，根据向量的运算法则，可得12AM AD DM AD AB =+=+， 2132MN CN CM CB CD =-=-21213232BC DC AD AB =-+=-+， 所以2212121||||23234AM MN AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21936334=-⨯+⨯=. 故选C ．【点睛】本题主要考查了向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟练应用向量的运算法则和向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 7．D解析：D【分析】根据向量的加法的几何意义即可求得结果.【详解】在ABC ∆中，M 是BC 的中点，又,AB a BC b ==，所以1122AM AB BM AB BC a b =+=+=+， 故选D.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目. 8．B解析：B【分析】由向量垂直可得0a b ⋅=，求得x ，及向量b 的坐标表示，再利用向量加法的坐标运算和向量模的坐标运算可求得模.【详解】由a b ⊥，可得0a b ⋅=，代入坐标运算可得x-4=0，解得x=4,所以a b + ()5,0=，得a b +=5，选B.【点睛】 求向量的模的方法：一是利用坐标()22,a x y a x y =⇒=+，二是利用性质2a a =，结合向量数量积求解.9．B解析：B【分析】首先设出点A （0,0）、C （x ，y ）的坐标，由已知条件5AC =，3AB BC ⋅=列出关于x 、y 的方程组，然后根据向量的差的计算性质表示出向量BC 的坐标形式，并表示出向量BC 的模，将以上列出的关于x 、y 的式子整体带入即可求得BC .【详解】 设(0,0)A ,(),C x yBC AC AB =-()1,,22x y ⎛⎫ ⎝- =⎪⎪⎭1,22x y ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭= 3AB BC ⋅=11,32222x y ⎛⎫⎛∴⋅--= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭即38x y += （1）5AC =又2225x y ∴+= （2）(C x B ==将（1）（2）代入上式解得： 258132BC =-+=故选B【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及向量模的计算，其中考查了整体代换的思想方法，属于中档题目，计算中选择合适的解题方法，尽量要避免通过解方程求解点C 的坐标然后再求解向量BC 的模，否则就会大大的增加计算量，甚至出现解题错误.10．A解析：A【分析】取MN 的中点A ，连接OA 、OP ，由点到直线的距离公式可得1OA =，于是推出1cos 2AON ∠=，1cos 2MON ∠=-，而||||cos 2OM ON OM ON MON ⋅=⋅∠=-， ()()PM PN OM OP ON OP⋅=-⋅-()224cos OM ON OPOP OM ON AOP =⋅+-⋅+=-∠，其中cos [1,1]AOP ∠∈-，从而得解.【详解】 解：取MN 的中点A ，连接OA 、OP ，则OA MN ⊥，∵222c a b =+，∴点O 到直线MN 的距离221OA a b ==+， 在Rt AON 中，1cos 2OA AON ON ∠==， ∴2211cos 2cos 12122MON AON ⎛⎫∠=∠-=⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴1||||cos 2222OM ON OM ON MON ⎛⎫⋅=⋅∠=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，∴()()PM PN OM OP ON OP ⋅=-⋅-2()OM ON OP OP OM ON =⋅+-⋅+24222||||cos OP OA OP OA AOP =-+-⋅=-⋅∠ 24cos AOP =-∠，当OP ，OA 同向时，取得最小值，为242-=-；当OP ，OA 反向时，取得最大值，为246+=.∴PM PN ⋅的取值范围为[]2,6-.故选：A.【点睛】本题考查点到直线距离公式、向量的数量积运算、直线与圆的方程，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查运算求解能力.11．B解析：B【分析】以A 为原点，以AB 所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，根据向量的坐标运算求得3)y x =-，当该直线与直线BC 相交时，||AP 取得最大值．【详解】解：ABC 中，5AB =，10AC =，25AB AC =，510cos 25A ∴⨯⨯=，1cos 2A =，60A ∴=︒，90B =︒； 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系， 如图所示，5AB =，10AC =，60BAC ∠=︒，(0,0)A ∴，(5,0)B ，(5C，，设点P 为(,)x y ，05x ，03y，3255AP AB AC λ=-， (x ∴，3)(55y =，20)(55λ-，(32λ=-，)-，∴32x y λ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，3)y x ∴=-，①直线BC 的方程为5x =，②，联立①②，得5x y =⎧⎪⎨=⎪⎩此时||AP 最大， 22||5(23)37AP ∴=+=．故选：B ．【点睛】本题考查了向量在几何中的应用问题，建立直角坐标系是解题的关键，属于中档题． 12．C解析：C【分析】不妨设(2,0),(0,2)a b ==，设(,),(,)c m n d x y ==，则由()()0c a c b -⋅-=求出点(,)a b 满足的关系（点(,)C a b 在一个圆上），而2d c -=表示点(,)D x y 在以(,)C a b 为圆心，2为半径的圆上，d 表示该圆上的点到原点的距离，由几何意义可得解．【详解】 ∵2a b ==，0a b ⋅=，∴不妨设(2,0),(0,2)a OA b OB ====，如图，设(,)c OC m n ==，(,)d OD x y ==，则()()(2,)(,2)(2)(2)0c a c b m n m n m m n n -⋅-=-⋅-=-+-=，即22(1)(1)2m n -+-=，∴点(,)C m n 在以(1,1)M 2M 上， 又2d c -=，∴(,)D x y 在以(,)C a b 为圆心，2为半径的圆C 上， 则2d OC ≤+，当且仅当D 在OC 延长线上时等号成立，又OC 的最大值是圆M 的直径2∴d 最大值为222．故选：C ．【点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模，解题关键是引入坐标表示向量，用几何意义表示向量，求解结论．二、填空题13．【分析】将作为平面向量的一组基底再根据平面向量基本定理用表示出再由即可得出结论【详解】因为在中D 是的中点E 在边上且所以又所以即所以故答案为： 3【分析】将AB AC 、作为平面向量的一组基底，再根据平面向量基本定理用AB AC 、表示出AD EC ⋅，再由3AB AC AD EC ⋅=⋅即可得出结论.【详解】因为在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，且2BE EA =， 所以111()()()223AD EC AB AC AC AE AB AC AC AB ⎛⎫⋅=+⋅-=+⋅-= ⎪⎝⎭22111263AC AB AB AC -+⋅, 又3AB AC AD EC ⋅=⋅，所以2211026AC AB -=，即||3AB AC =， 所以=3AB AC314．【分析】设根据得到取中点为D 又由中点坐标得到再由得到的范围然后由求解【详解】设如图所示：因为所以取中点为D 因为所以解得所以所以点C 是以D 为圆心半径为的圆上运动又因为所以当AOB 共线时取等号所以所以【解析：33+ 【分析】 设,,OA a OB b OC c ===，根据||2,||2||a b a b -==，得到||2,||2||AB OA OB ==，取AB 中点为D ，又()()2a c b c CA CB -⋅-=⋅=，由中点坐标得到232CB CA CD ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，再由2OA OB AB -≤=，得到2||2OA OB OD ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的范围，然后由||||||||3c OC OD DC OD =≤+≤+求解. 【详解】 设,,OA a OB b OC c ===， 如图所示：因为||2,||2||a b a b -==，所以||2,||2||AB OA OB ==，取AB 中点为D ，因为()()2a c b c CA CB -⋅-=⋅=，所以2222||||24AB CB CA CB CA CB CA =-=+-⋅=，解得228CB CA +=， 所以22212322CB CA CD CB CA CB CA ⎛⎫+==++⋅= ⎪⎝⎭所以点C 是以D 3的圆上运动，又因为2OA OB AB -≤=，所以2OB ≤，当A ，O ，B 共线时，取等号， 所以2221||222OA OB OD OB OA OB OA ⎛⎫+==++⋅ ⎪， ()2110432OB ==-≤，所以||||||||33c OC OD DC OD =≤+≤+≤.【点睛】 关键点点睛：平面向量的中点坐标公式的两次应用：一是CB CD ⎛= ||2,||2||AB OA OB ==求得定值，得到点C 是以D 为圆心的圆上，实现数形结合；二是||2OA OD ⎛= ⎝⎭2OA OB AB -≤=确定范围，然后由||||||c OC OD DC =≤+求解. 15．3或0【分析】由于三个平面向量两两夹角相等可得任意两向量的夹角是或由于三个向量的模已知当两两夹角为时直接算出结果；当两两夹角为时采取平方的方法可求出三个向量的和向量的模【详解】由题意三个平面向量两两 解析：3或0【分析】由于三个平面向量两两夹角相等，可得任意两向量的夹角是0或120︒，由于三个向量的模已知，当,,a b c →→→两两夹角为0时，直接算出结果；当,,a b c →→→两两夹角为120︒时，采取平方的方法可求出三个向量的和向量的模． 【详解】 由题意三个平面向量两两夹角相等，可得任意两向量的夹角是0或120︒，当,,a b c →→→两两夹角为0时，,,a b c →→→方向相同，则3a b c →→→++=；当,,a b c →→→两两夹角为120︒时，由于1a b c ===，则2222222a b c a b c a b a c b c →→→→→→→→→++=+++⋅+⋅+⋅111211cos120211cos120211cos1200=+++⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒=，则20a b c →→→++=，∴0a b c →→→++=.综上a b c →→→++的值为3或0.故答案为：3或0.【点睛】本题考查平面向量的模的求法，涉及向量的夹角和向量的数量积运算，解题的关键是理解向量夹角的定义，考查运算能力.16．【分析】利用平面向量数量积的运算律可求得的值利用平面向量数量积的定义可求得与的夹角的余弦值由此可求得与的夹角【详解】设与的夹角为则所以故答案为：【点睛】本题考查利用平面向量数量积的运算律与定义求向量 解析：3π【分析】利用平面向量数量积的运算律可求得a b ⋅的值，利用平面向量数量积的定义可求得a 与b 的夹角的余弦值，由此可求得a 与b 的夹角.【详解】 3a =，2b =，()()2223618a b a b a a b b +⋅-=-⋅-=-，2222618362183a b a b ∴⋅=-+=-⨯+=，设a 与b 的夹角为θ，则1cos 2a b a b θ⋅==⋅，0θπ≤≤，所以，3πθ=. 故答案为：3π. 【点睛】本题考查利用平面向量数量积的运算律与定义求向量的夹角，考查计算能力，属于中等题. 17．【分析】根据得到然后两边平方结合求得再由求解即可【详解】因为所以所以所以因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算还考查了运算求解的能力属于中档题解析：52【分析】根据0a b c d +++=，得到++=-a b c d ，然后两边平方结合2a =，3b =，4c =，4d =，求得⋅+⋅+⋅a b a c b c ，再由()()a b b c +⋅+=2⋅+⋅+⋅+a b a c b c b 求解即可.【详解】因为0a b c d +++=，所以++=-a b c d ，所以()()22++=-a b c d ，所以()()()()2222222+++⋅+⋅+⋅=-a b c a b a c b c d ， 因为2a =，3b =，4c =，4d =，所以132⋅+⋅+⋅=-a b a c b c ， ()()a b b c +⋅+=252⋅+⋅+⋅+=a b a c b c b . 故答案为：52 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．3【分析】由得出由得是中点在直角三角形中求出角再根据数量积的定义计算【详解】由得所以又所以是中点如图中所以所以故答案为：3【点睛】本题考查向量的数量积解题关键由已知数量积为0得出直角三角形由向量的线 解析：3【分析】由2AB BA BC =⋅得出AB AC ⊥，由0OA OC AB ++=得O 是BC 中点，在直角三角形中求出角C ，再根据数量积的定义计算．【详解】由2AB BA BC =⋅得22()0AB BA BC AB AB BC AB AB BC AB AC -⋅=+⋅=⋅+=⋅=，所以AB AC ⊥，又0OA OC AB OB OC ++=+=，所以O 是BC 中点，如图Rt ABC 中，1AB =，1OA OB OC ===，所以30C =︒，22213AC =-=，所以23cos303CA CB ⋅=⨯︒=．故答案为：3．【点睛】本题考查向量的数量积，解题关键由已知数量积为0得出直角三角形，由向量的线性运算得出O 是BC 中点．19．①②④【分析】射线与线段的公共点记为根据平面向量基本定理可得到由在阴影区域内可得实从而且得出结论【详解】解：设在阴影区域内则射线与线段有公共点记为则存在实数使得且存在实数使得从而且又由于故对于①中解解析：①②④【分析】射线OM 与线段AB 的公共点记为N ，根据平面向量基本定理，可得到(1)ON tOA t OB =+-，由M 在阴影区域内可得实1r ≥，从而(1)OM rtOA r t OB =+-，且(1)1rt r t r +-=≥得出结论【详解】解：设M 在阴影区域内，则射线OM 与线段AB 有公共点，记为N ，则存在实数(0,1]t ∈，使得(1)ON tOA t OB =+-，且存在实数1r ≥，使得OM rON =，从而(1)OM rtOA r t OB =+-，且(1)1rt r t r +-=≥．又由于01t ≤≤，故(1)0r t -≥．对于①中1,(1)2rt r t =-=，解得313,r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故①满足条件．对于②中31,(1)43rt r t =-=，解得139,1213r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故②满足条件，对于③31,(15)4rt r t =-=，解得19,152019r t ==，不满足1r ≥，故③不满足条件， 对于④,(189)49rt r t =-=，解得,4133r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故④满足条件．故答案为：①②④．【点睛】本题主要考查平面向量基本定理，向量数乘的运算及其几何意义，属于中档题． 20．5或【分析】利用重心的性质把AG 用AMAN 表示再由MGN 三点共线得关于的方程再由三角形面积比得关于的另一方程联立即可求得实数入的值【详解】如图设因为G 为的重心所以因为三点共线所以即①②由①②解得或故 解析：5或54【分析】利用重心的性质，把AG 用AM 、AN 表示，再由M ，G ，N 三点共线得关于,u λ的方程，再由三角形面积比得关于,u λ的另一方程，联立即可求得实数入的值.【详解】如图，设AN AC μ→→=，因为G 为ABC 的重心， 所以11111(1)3333AG AB AC AM AN λμ=+=++， 因为,,M G N 三点共线， 所以111(1)133λμ++=，即112uλ+=①， 5425ABC AMN S S ∆∆=， 1sin 542125sin 2AB AC A AM AN A ⋅⋅∴=⋅⋅， 1154(1)25u λ∴+⋅=②， 由①②解得，559u λ=⎧⎪⎨=⎪⎩或 5456u λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故答案为：5或54 【点睛】关键点点睛：根据重心及三点共线可求出λ和u 的关系，再根据三角形的面积比得出λ和u 的另一关系，联立方程求解是关键，属于中档题.三、解答题21．（1）32；（2）1t =-，31,2e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，或31,2e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 【分析】 （1）对27a b +=进行平方，利用数量积公式可求得b ；（2）根据向量坐标运算的夹角公式可求得t ，设单位向量e 的坐标根据模长和共线可得答案.【详解】（1）向量a ，b 的夹角是23π，由27a b +=得()()()22222224144cos 73a b a b a b b b π+=++⋅=++=， 解得32b =，1b =-舍去，所以32b =. （2）()2,0a =，(),3b t =，由向量a ，b 的夹角是23π得221cos 322ta b π===-⨯⨯，解得1t =-，1t =舍去，因为(2,3)(3,a b t -=--=，设单位向量(,)e x y =，所以221x y +=，又e 与a b -共线， 所以3y =，求得212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以31,2e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，或31,2e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了向量的数量积、夹角、模长的运算，考查了向量的坐标运算及单位向量. 22．（1）12λ=；（2）1x =，1y =或1x=-，2y =. 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算即可求解；（2）由模的向量坐标运算及夹角的向量坐标运算联立方程即可求解.【详解】（1）∵()2,0a →=，(b →=，∴()2,a b λλ→→-=-，∵a a b λ→→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭， ∴0a b b λ→→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即240λ-=，∴12λ=. （2）∵()2,0a →=，(b →=，∴()2m x a y b x y →→→=+=+，又m →=，∴()222312x y y ++=，又cos 62m b m b π→→→→⋅===， 即23x y +=，由()22231223x y y x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩， 解得11x y =⎧⎨=⎩或12x y =-⎧⎨=⎩， ∴1x =，1y =或1x =-，2y =.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，考查了垂直关系，夹角公式，模的运算，属于中档题. 23．（1）1；（2）34π. 【分析】（1）先求得a λb +，然后利用()0a b a λ+⋅=列方程，解方程求得λ的值. （2）求得,c d 的坐标，利用夹角公式计算出c 与d 的夹角的余弦值，由此求得c 与d 的夹角.【详解】（1）由()1,2a =-，()3,1b =-得()13,2a b λλλ+=-+-，因为()a b a λ+⊥，所以()0a b a λ+⋅=，所以()()13220λλ--++-=， 即550λ-+=，解得1λ=；（2）由()1,2a =-，()3,1b =-得 ()25,5c a b =-=-，()25,0d a b =+=，所以25c d ⋅=-，52c =，5d =，设向量c 与d 的夹角为θ，则cos2θ==- 又因为[]0,θπ∈，所以34πθ=， 即向量c 与d 的夹角为34π. 【点睛】 本小题主要考查向量垂直的坐标表示，考查向量夹角的计算，考查向量线性运算的坐标表示，属于中档题.24．（1）1；（2）【分析】（1）根据向量(1,2),(,2),(3,1)==-=-OA OB m OC ，得到向量,AB AC ，再由AB AC ⊥，利用坐标运算求解.（2）由（1）得到 ,AB AC ，然后由12ABC S AB AC =⨯⨯求解. 【详解】（1）因为向量(1,2),(,2),(3,1)==-=-OA OB m OC ，所以向量(1,4),(4,1)AB m AC =--=--，又因为AB AC ⊥，所以4(1)40m --+=，解得 2m =.（2）由（1）知：(0,4),(4,1)AB AC =-=--， 所以4,17AB AC ==所以11422ABC S AB AC =⨯⨯=⨯= 【点睛】 本题主要考查平面向量的数量积的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.25．（1）(3,6)b =或(3,6)b =--；（2）10-. 【分析】（1）设(,)b x y =，由//a b ，和35b =，列出方程组，求得,x y 的值，即可求解； （2）由()()2a c a c +⊥-，求得3a c ⋅=-，结合夹角公式，即可求解.【详解】（1）设(,)b x y =，因为//a b ，所以2y x =， ①又因为35b =，所以2245x y +=， ②由①②联立，解得(3,6)b =或(3,6)b =--.（2）由已知()()2a c a c +⊥-，可得()()22220a c a c a c a c +⋅-=--⋅=， 又由5a =，2c =，解得3a c ⋅=-，所以35cos a c a c θ⋅==- 【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算，以及平面向量的数量积的坐标运算的应用，意在考查运算与求解能力，属于基础题.26．（1）2k =-；（2）2k ≠-．【分析】（1）根据向量垂直，其数量积等于0，利用向量数量积公式得到对应的等量关系式，求得结果；（2）平面xOy 内任意向量c ，都存在实数λ、μ，使得c a b λμ=+，其等价结果为向量(1,2)a =-和向量(1,)b k =是两个不共线向量，根据坐标关系得到结果.【详解】（1）若()a a b ⊥+，则有()0a a b ⋅+=，即20a a b +⋅=，又因为(1,2)a =-，(1,)b k =，所以222[(1)2](1)120a a b k +⋅=-++-⋅+=，即5120k -+=，解得2k =-；（2）对于平面xOy 内任意向量c ，都存在实数λ、μ，使得c a b λμ=+，所以向量(1,2)a =-和向量(1,)b k =是两个不共线向量，所以121k -⋅≠⋅，即2k ≠-，所以实数k 的取值范围是2k ≠-.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，平面向量基本定理，一组向量可以作为基底的条件，属于基础题目.。
数学苏教版必修4 第2章 平面向量 综合检测 Word版含解析
(时间：分钟，满分：分)一、填空题(本大题共小题，每小题分，共分．请把答案填在题中横线上)设平面向量＝(，)，＝(－，)，则－＝．解析：∵＝(，)，＝(－，)，∴－＝(，)－(－，)＝(，)．答案：(，)在四边形中，＝，且＝，那么四边形为．解析：由＝可得四边形是平行四边形，由＝得四边形的一组邻边相等，一组邻边相等的平行四边形是菱形．答案：菱形已知(，)，(，－)，(，－)，若、、共线，则等于．解析：∵＝(－，－)，＝(－，－)，又∵∥，∴(－)·(－)－(－)·(－)＝得－(－)＝，解得＝－.答案：－有下列命题：①＋＋＝；②(＋)·＝·＋·；③若的起点为(，)，终点为(－，)，则与轴正向夹角的余弦值是.其中正确命题的序号是．解析：∵＋＋＝，∴①错；②是数量积的分配律，正确；在③中，＝(，－)与轴正向夹角的余弦值是，故③正确．答案：②③点是三角形所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点是△的．解析：∵·＝·，∴·(－)＝，∴·＝，∴⊥.同理⊥，⊥，∴为垂心．答案：垂心若＝＝，⊥且＋与－也互相垂直，则的值为．解析：∵⊥，∴·＝，又∵(＋)⊥(－)，∴(＋)·(－)＝，得－＝，又＝＝，＝＝，解得＝.答案：已知＝(，)，⊥，且的起点为(，)，终点为(，)，则等于．解析：＝(－，－)，∵⊥，∴·＝，即(－)＋(－)＝，解得＝，所以等于(－，)．答案：(－，)等边△的边长为，＝，＝，＝，那么·＋·＋·等于．解析：由已知＝＝＝，∴·＋·＋·＝°＋°＋°＝－.答案：－若向量、、是单位向量，且满足＋λ＋＝，与的夹角为，则实数λ＝．解析：由＋λ＋＝，得＝－－λ，∴()＝(－－λ)＝＋λ·＋λ，∴λ＋λ－＝，解得λ＝或－.答案：－或在▱中，与交于点，是线段的中点，的延长线交于点.若＝，＝，则＝．解析：如图．∵△∽△，∴＝＝.∴＝＝.∴＝.∴＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＝＋.答案：＋已知、、－的模分别为，，，则与的夹角为．解析：∵(－)＝，∴－·＋＝，∴·＝；∴θ＝＝，又θ∈[，π]，∴θ＝.答案：已知向量、的夹角为，＝，＝，则＋－的值是．解析：∵·＝＝××＝，∴＋＝＋·＋＝＋×＋＝，－＝－·＋＝－×＋＝，∴＋－＝×＝，∴＋－＝.答案：已知＝，＝，与的夹角为°，＝＋，＝－，⊥，则的值为．解析：·＝°＝，∵⊥，∴·＝，即(＋)(－)＝，∴＋(－)·－＝，∴＋(－)－＝，解得＝.答案：在△中，为边上一点，＝，若是边上一动点且＝，则·(＋)的最小值为．解析：因为＝＋，＝＋，且＝－，所以＋＝＋＋(＋)＝.设＝(≤≤)，故·(＋)＝·＝－(－)≥－，所以当＝时，·(＋)的最小值为－.答案：－二、解答题(本大题共小题，共分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (本小题满分分)如图，梯形中，∥，且＝，、是、的中点，设＝，＝，试以、为基底表示、.解：∵∥且＝，∴＝＝；又＝，∴＝＋＝＋；又＝－，∴＝＋－＝－；过作∥，则为中点，∴＝；∴＝＝－＝－.(本小题满分分)已知＝，＝，与的夹角为°.求()(－)·(＋)；()－.。
苏教版数学高二-必修四第2章《平面向量》检测卷
章末过关检测卷(二) 第2章 平 面 向 量(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·辽宁卷)已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎪⎫45，－35 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 答案: A2．(2014·广东卷)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(3，1)，则b －a ＝ ( ) A ．(－2，1) B ．(2，－1) C ．(2，0) D ．(4，3) 答案: B3．已知a ＝()－1，2，b ＝()3，m ，若a ⊥b ，则m 的值为( ) A ．1 B.32 C ．2 D ．4答案: B4．(2014·重庆卷)已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3 D.152答案: C5．已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为20 N ，合力与F 1的夹角为π3，那么F 2的大小为 ( ) A ．10 N B ．10 2 N C ．10 3 N D ．20 N 答案: C6．(2013·大纲全国卷)已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1 答案: B7．设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，当c ＝λa ＋μb ()λ，μ∈R ，且λ＋μ＝1时，点C 在( )A ．在线段AB 上 B ．在直线AB 上C ．在直线AB 上，除去点AD ．在直线AB 上，除去点B 答案: B8．已知 a ＝()0，1，b ＝()2，0， 则||2a ＋b ＝( ) A. 3 B ．2 2 C ．8 D ．12答案: B9． (2013·福建卷)在四边形ABCD 中，AC →＝(1，2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为( )A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10解析：∵AC →·BD →＝(1，2)·(－4，2)＝－4＋4＝0，∴AC →⊥BD →.∴S 四边形ABCD＝12|AC →|·|BD →|＝12×5×25＝5. 答案：C10．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，|BC →|2＝16，|AB →＋AC→|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．1 解析：由|BC |2＝16，得|BC |＝4. |AB→＋AC →|＝|AB →－AC |＝|BC →|＝4， 而|AB →＋AC →|＝2|AM →|，故|AM →|＝2. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1，2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________．解析：a ＋b ＝(1，m －1)，由(a ＋b )∥c 得1×2－(m －1)×(－1)＝0，所以m ＝－1.答案：－112．(2014·重庆卷)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________．解析：先求向量a 的模，再由向量的数量积的定义求解． ∵a ＝(－2，－6)， ∴|a |＝（－2）2＋（－6）2＝210.∴a ·b ＝210×10cos 60°＝10. 答案：1013．(2014·江西卷)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________．解析：先计算两个向量的模和数量积，再利用向量的夹角公式求解． ∵|a |＝（3e 1－2e 2）2＝9＋4－12×1×1×13＝3，|b |＝（3e 1－e 2）2＝9＋1－6×1×1×13＝22，∴a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22＝9－9×1×1×13＋2＝8. ∴cos β＝83×22＝223.答案：22314．(2013·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t )，OB →＝(2，2)，若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．解析：利用向量垂直的充要条件，列方程求解． ∵∠ABO ＝90°，∴AB →⊥OB →. ∴OB→·AB →＝0. 又AB→＝OB →－OA →＝(2，2)－(－1，t )＝(3，2－t )， ∴(2，2)·(3，2－t )＝6＋2(2－t )＝0. ∴t ＝5. 答案：5三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知a ＝()1，2，b ＝()－3，2，若ka ＋2b 与2a －4b 平行，求实数k 的值．解析：∵ka ＋2b ＝k ⎝⎛⎭⎫1，2＋2⎝⎛⎭⎫－3，2＝⎝⎛⎭⎫k －6，2k ＋4， 2a －4b ＝2⎝⎛⎭⎫1，2－4⎝⎛⎭⎫－3，2＝⎝⎛⎭⎫14，－4，又ka ＋2b 与2a －4b 平行，∴⎝⎛⎭⎫k －6⎝⎛⎭⎫－4－⎝⎛⎭⎫2k ＋4×14＝0.解得k ＝－1.16．(本小题满分12分)设||a ＝||b ＝1，||3a －2b ＝3，求||3a ＋b 的值．解析：由⎪⎪⎪⎪3a －2b ＝3得9a 2－12a ·b ＋4b 2＝9.又||a ＝||b ＝1，∴a ·b ＝13.故⎪⎪⎪⎪3a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫3a ＋b 2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝9＋6×13＋1＝2 3.17.(本题满分14分)(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，求t 的值．解析：∵a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12，∴b ·c ＝·b ＝0，即ta ·b ＋(1－t )b 2＝0，所以t2＋1－t ＝0，解得t ＝2.18．(本题满分14分)(2013·北京卷)已知点A (1，－1)，B (3，0)，C (2，1)，若平面区域D 由所有满足AP →＝λAB →＋μAC →(1≤λ≤2，0≤μ≤1)的点P 组成，求平面区域D 的面积．解析：利用向量的坐标运算公式表示出点P 坐标满足的关系式，利用数形结合思想求解．设P (x ，y )，则AP →＝(x －1，y ＋1)，由题意知AB →＝(2，1)，AC →＝(1，2)．由AP→＝λAB →＋μAC →知(x －1，y ＋1)＝λ(2，1)＋μ(1，2)， 即⎩⎨⎧2λ＋μ＝x －1，λ＋2μ＝y ＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2x －y －33，μ＝2y －x ＋33.∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴⎩⎨⎧3≤2x －y －3≤6，0≤2y －x ＋3≤3.作出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分)，由图可知平面区域D 为平行四边形，可求出M (4，2)，N (6，3)，故|MN |＝5.又x －2y ＝0与x －2y －3＝0之间的距离为d ＝35，故平面区域D 的面积为S ＝5×35＝3.19.(本小题满分14分)如图，质量为2.0 kg 的木块，在平行于斜面向上的拉力15 N 作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行s ＝2.0 m 的距离，请分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功(g ＝10 m/s 2)．解析：重力G ＝mg ＝20 N ，位移与重力夹角是120°，W 重＝G ·s ＝||G ||s cos 120°＝－20()J .支持力做功：由于N 与s 的夹角为90°，所以W 支＝0.拉力做功： W 拉＝F ·s ＝||F ||s cos 0°＝30()J .20．(本小题满分14分)已知向量OA →， OB →， OC → 满足条件 OA →＋OB →＋OC →＝0，⎪⎪⎪⎪OA →＝⎪⎪⎪⎪OB →＝⎪⎪⎪⎪OC →＝1. 求证：△ABC 为正三角形．证明：∵OA→＋OB →＋OC →＝0， ∴OA→＋OB →＝－OC →， ∴⎝⎛⎭⎫OA →＋OB →2＝⎝⎛⎭⎫－OC →2.∴⎪⎪⎪⎪OA →2＋⎪⎪⎪⎪OB →2＋2OA →·OB →＝⎪⎪⎪⎪OC →2. ∴OA→·OB →＝－12. ∴cos ∠AOB ＝OA →·OB →⎪⎪⎪⎪OA →⎪⎪⎪⎪OB →＝－12. ∴∠AOB ＝120°.同理∠AOC ＝120°，∠COB ＝120° 即OA→，OB →，OC →中任意两个夹角为120°. 故△ABC 为正三角形．。
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第二章平面向量单元练习（必修4）一、填空题1．若有以下命题：① 两个相等向量的模相等； ② 若a 和b 都是单位向量，则b a =；③ 相等的两个向量一定是共线向量； ④ b a //，b c //，则c a //；⑤ 零向量是唯一没有方向的向量； ⑥ 两个非零向量的和可以是零。
其中正确的命题序号是 。
2. 在水流速度为4h km /的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8h km /的速度航行，则船自身航行速度大小为____________h km /。
3. 任给两个向量a 和b ，则下列式子恒成立的有________________。
① ||||||b a b a +≥+ ② ||||||b a b a -≥- ③||||||b a b a +≤- ④ ||||||b a b a -≤-4. 若a AB 3=，a CD 5-=且||||BC AD =，则四边形ABCD 的形状为________。
5．梯形ABCD 的顶点坐标为)2,1(-A ，)4,3(B ，)1,2(D 且DC AB //，CD AB 2=，则点C 的坐标为___________。
6. ABC ∆的三个顶点坐标分别为),(11y x A ，)(22y x B ，)(33y x C ，若G 是ABC ∆的重心，则G 点的坐标为__________，=++GC GB GA __________________。
7. 若向量)1,1(=a ，)1,1(-=b ，)2,1(-=c ，则=c ___________(用a 和b 表示)。
8. 与向量)4,3(=a 平行的单位向量的坐标为 ________________。
9. 在ABC ∆中，已知7=AB ，5=BC ，6=AC ，则=∙BC AB ________________。
10.设)3,(x a =，)1,2(-=b ，若a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是 __ ____。
苏教版高中数学必修4第2章《平面向量》章末测试题(学生版).docx
& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为__________． 2．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝__________. 3．已知|a |＝4，|b |＝6，a 与b 的夹角为60°，则|3a －b |＝__________.4．在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，且AB →·AC →＝8，则这个三角形的形状是__________． 5．若A (－1，－2)，B (4,8)，C (5，x )，且A ，B ，C 三点共线，则x ＝__________. 6．已知向量a ＝(6,2)与b ＝(－3，k )的夹角是钝角，则k 的取值范围是__________．7．若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于x 轴，b ＝(2，－1)，则a ＝__________.8．如图，半圆O 中AB 为其直径，C 为半圆上任一点，点P 为AB 的中垂线上任一点，且|CA →|＝4，|CB→|＝3，则AB →·CP →＝__________. 9．给出下列命题：①若a 与b 为非零向量，且a ∥b 时，则a －b 必与a 或b 中之一的方向相同；②若e 为单位向量，且a ∥e ，则a ＝|a |e ；③a ·a ·a ＝|a |3；④若a 与b 共线，又b 与c 共线，则a 与c 必共线，其中假命题有__________．10．若向量AB →＝(3，－1)，n ＝(2,1)，且n ·AC →＝7，那么n ·BC →＝__________.11．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为__________．12．设M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，|BC →|2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|等于__________．13．平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA →＝a ，OB →＝b ，则△OAB 的面积等于__________．14．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np .下面说法错误的是__________．①若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0； ②a ⊙b ＝b ⊙a ；③对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )；④(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |2.二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)已知向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k 的值；(2)设d ＝(x ，y )满足(d －c )∥(a ＋b )且|d －c |＝1，求d.17．(本小题满分14分)如图所示，一艘小船从河岸A 处出发渡河，小船保持与河岸垂直的方向行驶，经过10 min 到达正对岸下游120 m 的C 处，如果小船保持原来的速度逆水向上游与岸成α角的方向行驶，则经过12.5 min 恰好到达正对岸B 处，求河的宽度d .鑫达捷& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &鑫达捷19．(本小题满分16分)以原点和A (5,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，若B ＝90°，求点B 和AB →的坐标． 20．(本小题满分16分)如图所示，在Rt △ABC 中，已知BC ＝a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问PQ →与BC →夹角θ取何值时，BP →·CQ →的值最大？并求出这个最大值．。
数学苏教版必修4 第2章 平面向量 综合检测
(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把★答案★填在题中横线上) 1.设平面向量a ＝(3，5)，b ＝(－2，1)，则a －2b ＝________．解析：∵a ＝(3，5)，b ＝(－2，1)，∴a －2b ＝(3，5)－2(－2，1)＝(7，3)．★答案★：(7，3)2.在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且|AB →|＝|BC →|，那么四边形ABCD 为________．解析：由AB →＝DC →可得四边形ABCD 是平行四边形，由|AB →|＝|BC →|得四边形ABCD 的一组邻边相等，一组邻边相等的平行四边形是菱形．★答案★：菱形3.已知A (4，1)，B (1，－12)，C (x ，－32)，若A 、B 、C 共线，则x 等于________． 解析：∵AB →＝(－3，－32)，BC →＝(x －1，－1)， 又∵AB →∥BC →，∴(－3)·(－1)－(－32)·(x －1)＝0 得－32(x －1)＝3，解得x ＝－1. ★答案★：－14.有下列命题：①AB →＋BC →＋AC →＝0；②(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ；③若AB →的起点为A (2，1)，终点为B (－2，4)，则BA →与x 轴正向夹角的余弦值是45.其中正确命题的序号是________． 解析：∵AB →＋BC →＋AC →＝2AC →，∴①错；②是数量积的分配律，正确；在③中，BA →＝(4，－3)与x 轴正向夹角的余弦值是45，故③正确． ★答案★：②③5.点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的________．解析：∵OA →·OB →＝OB →·OC →，∴OB →·(OA →－OC →)＝0，∴OB →·CA →＝0，∴OB ⊥CA .同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB ，∴O 为垂心．★答案★：垂心6.若|a |＝|b |＝1，a ⊥b 且2a ＋3b 与k a －4b 也互相垂直，则k 的值为________． 解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，又∵(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，∴(2a ＋3b )·(k a －4b )＝0，得2k a 2－12b 2＝0，又a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b |2＝1，解得k ＝6. ★答案★：67.已知a ＝(3，4)，b ⊥a ，且b 的起点为(1，2)，终点为(x ，3x )，则b 等于________． 解析：b ＝(x －1，3x －2)，∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，即3(x －1)＋4(3x －2)＝0，解得x ＝1115，所以b 等于(－415，15)． ★答案★：(－415，15) 8.等边△ABC 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，那么a ·b ＋b ·c ＋c ·a 等于________．解析：由已知|a |＝|b |＝|c |＝1，∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝cos 120°＋cos 120°＋cos 120°＝－32. ★答案★：－329.若向量a 、b 、c 是单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________．解析：由3a ＋λb ＋7c ＝0，得7c ＝－3a －λb ，∴(7c )2＝(－3a －λb )2＝9a 2＋6λa ·b ＋λ2b 2，∴λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝5或－8.★答案★：－8或510.在▱ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线交CD 于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝________．解析：如图． ∵△DEF ∽△BEA ，∴DF AB ＝DE EB ＝13.∴DF ＝13AB ＝13DC . ∴CF ＝23DC .∴AF →＝AC →＋CF → ＝a ＋23CD →＝a ＋23(CO →＋OD →) ＝a ＋23⎝⎛⎭⎫－12a ＋12b ＝23a ＋13b . ★答案★：23a ＋13b 11. 已知a 、b 、a －b 的模分别为2，3，7，则a 与b 的夹角为________．解析：∵(a －b )2＝7，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝7，∴a ·b ＝3；∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，又θ∈[0，π]，∴θ＝π3. ★答案★：π312.已知向量a 、b 的夹角为π3，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋b ||a －b |的值是________． 解析：∵a ·b ＝|a ||b |cos π3＝2×1×12＝1， ∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝22＋2×1＋12＝7，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝22－2×1＋1＝3，∴|a ＋b |2|a －b |2＝3×7＝21，∴|a ＋b ||a －b |＝21.★答案★：2113.已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －b ，c ⊥d ，则m 的值为________．解析：a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝3，∵c ⊥d ，∴c ·d ＝0，即(3a ＋5b )(m a －b )＝0，∴3m a 2＋(5m －3)a ·b －5b 2＝0，∴27m ＋3(5m －3)－20＝0，解得m ＝2942.★答案★：294214.在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BD ＝3DC ，若P 是AD 边上一动点且AD ＝2，则P A →·(PB→＋3PC →)的最小值为________．解析：因为PB →＝PD →＋DB →，PC →＝PD →＋DC →，且DB →＝－3DC →，所以PB →＋3PC →＝PD →＋DB →＋3(PD →＋DC →)＝4PD →.设|P A →|＝x (0≤x ≤2)，故P A →·(PB →＋3PC →)＝P A →·4PD →＝－4x (2－x )≥－4，所以当x ＝1时，P A →·(PB →＋3PC →)的最小值为－4.★答案★：－4二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分14分)如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M 、N 是DC 、BA的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试以a 、b 为基底表示BC →、MN →.解：∵AB ∥CD 且AB ＝2CD ，∴DC →＝12AB →＝12b ； 又AD →＝a ，∴AC →＝AD →＋DC →＝a ＋12b ； 又BC →＝AC →－AB →，∴BC →＝a ＋12b －b ＝a －12b ； 过D 作DE ∥MN ，则E 为AN 中点，∴AE →＝14b ； ∴MN →＝DE →＝AE →－AD →＝14b －a . 16.(本小题满分14分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为120°.求(1)(2a －b )·(a ＋3b )；(2)|a －b |.解：a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝2×3×(－12)＝－3， (1)(2a －b )(a ＋3b )＝2a 2＋5a ·b －3b 2＝8－15－27＝－34.(2)|a －b |＝（a －b ）2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝4＋6＋9＝19.17.(本小题满分14分)已知：在△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，AB 上的中线CD ＝m ，求证：a 2＋b 2＝12c 2＋2m 2. 证明：∵BC →＝BD →＋DC →，AC →＝AD →＋DC →，两式平方相加可得a 2＋b 2＝12c 2＋2m 2＋2(BD →·DC →＋AD →·DC →)，∵BD →·DC →＋AD →·DC →＝|BD →||DC →|·cos ∠ADC ＋|AD →||DC →|cos ∠CDB ＝0，∴a 2＋b 2＝12c 2＋2m 2. 18.(本小题满分16分)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(m ，2)，它们的夹角为θ，当m 取何值时，θ为(1)直角；(2)锐角；(3)钝角？解：由a ＝(2，1)，b ＝(m ，2)得|a |＝5，|b |＝m 2＋4，a ·b ＝2m ＋2.(1)θ为直角⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0⇔2m ＋2＝0⇔m ＝－1.(2)θ为锐角⇔⎩⎨⎧x 1x 2＋y 1y 2＞0，x 1x 2＋y 1y 2≠ x 21＋y 21·x 22＋y 22⇔⎩⎨⎧2m ＋2＞0，2m ＋2≠5·m 2＋4⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＞－1，（m －4）2≠0 ⇔m ＞－1且m ≠4.(3)θ为钝角⇔⎩⎨⎧x 1x 2＋y 1y 2＜0，x 1x 2＋y 1y 2≠－x 21＋y 21·x 22＋y 22⇔⎩⎨⎧2m ＋2＜0，2m ＋2≠－5·m 2＋4⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－1，（m －4）2≠0⇔m ＜－1. 故当m ＝－1时，θ为直角．当m ＞－1且m ≠4时，θ为锐角．当m ＜－1时，θ为钝角．19.(本小题满分16分)设OA →＝(2，5)，OB →＝(3，1)，OC →＝(6，3)，在OC →上是否存在点M ，使MA →⊥MB →？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设存在点M (x ，y )满足条件，则OM →＝λOC →＝(6λ，3λ)(0<λ≤1)，∴MA →＝(2－6λ，5－3λ)，MB →＝(3－6λ，1－3λ)．∵MA →⊥MB →，∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝1115. ∴OM →＝(2，1)或⎝⎛⎭⎫225，115，故存在点M (2，1)或点M ⎝⎛⎭⎫225，115满足题意．20.(本小题满分16分)某人在静水中游泳，速度为43千米/时，他在水流速度为4千米/时的河中游泳．(1)若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？(2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？解：(1)如图(1)，设人游泳的速度为OB →，水流的速度为OA →，以OA →、OB →为邻边作▱OACB ，则此人的实际速度为OA →＋OB →＝OC →，由勾股定理知|OC →|＝8，且在R t △ACO 中，∠COA ＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/时．(2)如图(2)，设此人的实际速度为OD →，水流速度为OA →，则游速为AD →＝OD →－OA →，在R t △AOD 中，|AD →|＝43，|OA →|＝4，|OD →|＝42，cos ∠DAO ＝33.故此人沿与河岸的夹角余弦为33的逆着水流的方向前进，实际前进的速度大小为42千米/时．。
苏教版高中数学必修四第二章平面向量精选题
2. 在水流速度为4 的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8 的速度航行，则船自身航行速度大小为____________ 。
3. 任给两个向量 和 ，则下列式子恒成立的有________________。
4. 若 ， 且 ，则四边形 的形状为________。
5．梯形 的顶点坐标为 ， ， 且 ， ，则点 的坐标为___________。
三、解答题
1．求与向量 ， 夹角相等的单位向量 的坐标．
2．试证明：平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和
3．设非零向量 ，满足 ，求证：
4．已知 ， ，其中 ．
(1)求证： 与 互相垂直；
(2)若 与 的长度相等，求 的值( 为非零的常数)．
[提高训练C组]
一、选择题
1．若三点 共线，则有（ ）
若 则 是钝角三角形 若 ，则 是直角三角形
若 ，则 是等腰三角形 若 ，则 是直角三角形 若 ，则△ABC是正三角形
二、解答题（本大题共6小题，共90分，请在答题卷指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.已知 且 ， ，
计算
16.设 、 、 分别是 的边 、 、 上的点，且
， ，若记 ， ，试用 ， 表示 、 、 。
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作 ∥ 由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量
数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．
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高一数学（下）单元测试题六（数学四第二章）平 面 向 量
一、选择
1、下列命题正确的是（D ）
A | a | =| b |⇒ a =b
B | a | >| b |⇒ a >b
C a =b ⇒ a ∥b
D |a | = 0⇒ a =0
2、已知≠1e 0，λ∈R, a =1e +λ2e ,b =2e 1, 则a 与b 共线的条件（ A ）
A λ=0
B 2e =0
C 1e ∥2e
D λ=0 或1e ∥2e
3、已知A （！，2），B （4，0），C （8，6），D （5，8）四点，则四边形ABCD 是（ B ）
A 、梯形
B 、矩形
C 、菱形
D 正方形
4、设点P 在有向线段AB 的延长线上，P 分所成AB 的比为λ，则（A ）
A λ〈 -1
B -1〈 λ〈 0
C 0〈 λ〈 1
D λ 〉1
5、△ABC 中acosA=bcosB ，则△ABC 为（D ）
A 等腰三角形
B 等腰直角三角形
C 直角三角形
D 等腰或直角三角形 6、若a =(1,1) b =(1,-1) c =(-1,2) 向量，则c 等于 ( B ) A -21a +23b B 21a -23b C 23a -21b D -23+2
1b
7、设a 、b 、c 是任意的非零向量，且相互不共线，则①(a •b)c-(c •a)b=0 ②|a|-|b|<|a-b| ③(b •c)a-(c •a)b 不与C 垂直 ④ （3a+2b ）(3a-2b)=9|a|2-4|b|2中正确的命题有（ D ）
A 、①②
B 、②③
C 、③④
D 、②④
8、已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A （1，2），B （4，1）C （0，-1）则△ABC 是（ B ）
A 等腰三角形
B 等腰直角三角形
C 直角三角形
D 以上均不对
二、填空
1、若点A （-1，2） B （2，3） C （3，-1）且AD =2AB -3BC ，则点D 的坐标为（2，16）
C E A
D B x
y 2、如果P （1，1），A （2，3） B （8，-3）且C 、D 顺次为AB 的三等分点，则PC 和PD 的坐标分别为（3，0），（5，-2）
3、设P=（2，7），Q=（X ，-3），则P 与Q 的夹角为钝角时X 的取值范围为 （ -∞, 2
21 ）
4、已知a+b=2i-8j ，a-b=-8i+16j ，则a •b= -63
三、解答
1、求等腰直角三角形中的两直角边上的中线所成的角为钝角。
2、向量b =(-3,1) c =(2,1) 若向量a 与b 共线，求| b+a |的最小值。
3、在△ABC 中，BC =a ，CA =b,AB =c,且a •b=b •c=c •a ，试判断△ABC 的形状，并证明你的结论。
4、四边形ABCD 中，AB =a, BC =b , CD =c, DA =d 且a •b=b •c=c •d=d •a ，问该四边形ABCD 是什么图形？
平面向量 答案
三、解答题
1、以CB 所在直线为X 轴，以CA 所在直线
为Y 轴，以CB 长1个单位建立直角坐标系 A （0，1），B （0，21），D （21，0），E （0，2
1） ∴AD =（21，-1），BE =（-1，2
1） ∴AD ∙BE =-1，∣AD ∣=25 ∣BE ∣=2
5 设AD 与BE 的夹角为θ，则cos θ=-5
4 ∴θ=π-arccos 5
4
2、解：设a =k c =(2k,k)
则b +a =(-3+2k,1+k)
∴∣b +a ∣=5)1()32(22≥++-k k
∴b +a ∣的最小值为5。
3．解：∵a ∙b =b ∙c ∴b ∙ (a -c )=0, ∵∆ABC 中,a +b +c =0, ∴b =-(a +c )代入得-(a +c ) ∙
(a -c ) =0，即 a 2-c 2=0, ∴∣a ∣=∣c ∣, 同理可
得 ∣a ∣=∣b ∣, ∴∆ABC 为正三角形。
4．解：∵a ∙b =b ∙c , ∴b ∙ (a -c )=0,
即b ⊥ (a -c )；同理可得d ⊥ (a -c ),由题显然有b ∥d ,
同理可得a ∥c , ∴四边形ABCD 是平行四边形，又b ⊥(a -c ), a ∥c ,
∴b ⊥a ，∴四边形ABCD 是矩形。