第一章 整除与同余
数论的整除性与同余定理
数论的整除性与同余定理数论是数学的一个重要分支，研究的是整数的性质和规律。
其中，整除性与同余定理是数论中最基本也是最重要的两个概念。
本文将围绕这两个概念展开详细讲解。
整除性是指整数a能被整数b整除，通常用符号“a|b”表示。
如果存在整数c，使得b = ac，我们就说a整除b。
整除性在数论中起着至关重要的作用，它为我们研究整数的性质提供了基础。
数的整除性有很多有趣的性质。
首先是整数的整除关系是反身性、对称性和传递性的。
即对于任意整数a、b、c，有以下性质成立：1. 反身性：a|a，即任意整数都能整除自身。
2. 对称性：如果a|b，则b|a，即如果a能整除b，那么b也能整除a。
3. 传递性：如果a|b，b|c，则a|c，即如果a能整除b，b能整除c，那么a也能整除c。
这些基本性质使得我们可以通过分析整除关系来推导得出更多有关整数的性质。
比如，根据整除性的传递性，我们可以得出一个结论：如果a|b，b|c，则a|c。
这个结论有时被称为“整除与传递”。
它告诉我们，如果一个整数同时整除两个数，那么它也必然整除两个数的最大公约数。
在数论中，同余定理是另一个重要的概念。
同余是指两个整数除以一个正整数m所得的余数相等。
如果a和b满足a≡b(mod m)，我们就说a与b同余，其中“≡”表示同余关系。
同余关系也具有一些有趣的性质。
同余定理可以进一步细分为三个定理：同余定理一、同余定理二和同余定理三。
下面分别进行详细介绍。
1. 同余定理一：如果a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么a + c ≡ b + d (mod m)，a - c ≡ b - d (mod m)。
也就是说，同余的两个数之和、之差在模m下仍然同余。
2. 同余定理二：如果a≡b(mod m)，那么ac≡bc(mod m)。
也就是说，同余的两个数分别与另一个数相乘，在模m下仍然同余。
3. 同余定理三：如果ab≡ac(mod m)，且a与m互质，那么b≡c(mod m)。
初等数论第一章整除
例1:设 x, y 为整数,且5 | x 9 y 则 5 | 8x 7 y
证:因为 8x 7 y
8( x 9 y) 65y
因为5 | x 9 y
所以有
又
5 | 65y
5 | 8x 7 y
例2:证明若3|n,7|n,则21|n
证:因为3|n,所以n= 3n1 又因为7|n,所以 7 | 3n1 显然有 7 | 7n 1 则有 7 | 7n1 2 3n1 即 7 | n1 有 n1 ห้องสมุดไป่ตู้7n2 即有 n 21n2 所以有21|n
注： （1）连续n个整数中必有一个数被n整除。 可作为一个定理，在证明整除问题时非常 有用。 （2）注意整数的各种表示。 例2: 证明若a不是5的倍数，则
与
中有且仅有一个数被5整除
证明: 这四个数有一个是5的倍数 若 5 | a 1或 又 所以 即 a 1, a 1 有且仅有一个数被5整除
n 是整数，所以 3
n2 2
n3 6
是
注:这里用了连续n个整数的乘积是n！的 倍数的结论.
注：连续n个整数的乘积是n！的倍数。 a、当n个整数都大于零时,由
m( m1)( m n1) n!
C
n m n1
而组合数为整数，可知连续n个整数的乘积是n！ 的倍数。 b、当n个整数中有一个为零时，显然成立。
n 注：1、
2、
a b (a b)M1
n
n
a b (a b)M 2 , 2†n
n
3、
(a b) aM3 b ,
n n
例5、试证明任意一个整数与它的各位数 字和的差必能被9整除。
6.11整除和同余(一)
【例1】若p为质数，且p≥5，则p2－1能被24整除。
【例4】试证：质数有无限多个。
【例2】求证：22001＋3是合数。
【例3】若a，b，c是1998的三个不同的质因数，且a＜b＜c， 则(b＋c)a的值为____。
【例5】41名运动员所穿运功衣号码是1，2，…，41，这41个 自然数，问： ⑴能否使这41名运动员站成一排，使任意两个相邻运 动员的号码之和是质数？
特别的，当用2作除数时，余数为0或1，前者被除数称为 偶数，后者被除数称为奇数。
定义：形如2n(n是整数)的数称为偶数，形如2n＋1(n是整 数)的数称为奇数。
性质3：奇数的平方被4除余1；偶数的平方是4的倍数。 性质4：两个整数的和与这两个整数的差就具有相同的奇
偶数。
以上性质很容易从奇偶数定义出发推出，应用这些性质， 就可以解决有关整数中奇偶分析问题。
⑵能否使这41名运动员站成一圈，使任意两个相邻运 动员的号码之和是质数？若能办到，请举一例；若 不能办到，请说明理由。
3
二、约数与倍数 10有约数1，2，5，10，而15有约数1，3，5，15，所以1 是10和15的公约数，5也是10和15的公约数。 几个正整数的公约数有时候不止一个。
定义1： 若a1，a2，…，an是不全为零的整数，且d|a1，d|a2，…， d|an，则d叫做a1，a2，…，an的公约数。公约数中最大的 数叫做最大公约数，记作： (a1，a2，…，an)＝d
定义2： 设a1，a2，…，an都是正整数，如果 (a1，a2，…，an)＝ 1，那么称a1，a2， …，an是互质的数，或简称互质。 互质的数不一定都是质数，如(8，9，14)＝1，但几个质 数一定是互质的数。
特别是，若a1，a2，…，an中任意两个数都互质，即任意 两个数的最大公约数都是1，则称这几个数两两互质。
整除和同余
整除和同余一、整除1、整除的定义：一般地，如a ，b ，c 为整数，b 不为零，a ÷b=c ,即整数a 除以整数b （b 不为零），除得的商c 正好是整数而没有余数，或者说余数为零，那么就称，a 能被b 整除，或者说b 能整除a ，记作 a b 。
否着就称a 不能被b 整除，或b 不能整除a ，记作a b 。
2、数的整除的性质（1）如果a 、b 都能被c 整除，那么他们的和与差也能被c 整除。
即：若果 a c ，b c ，那么b a c ±。
（2）如果b 与c 的积能整除a ，那么b 与c 都能整除a 。
即：如果 a bc ，那么 a b ，a c 。
（3）如果b 、c 都整除a ，且b 和c 互质，那么b 与c 的积能整除a 。
即：如果 a b ， a c ，且（b ，c)=1，那么 a bc 。
（4）如果c 能整除b ，b 能整除a ，那么c 能整除a 。
即：如果 b c ， a b ， 那么 a c 。
（5）推论：如果 1a b ，2a b ，......， n a b ，那么 n n a c a c a c b +++ 2211 。
3、数的整除特征（一）能被3整除的数的特征：能被4（或25）整除的数的特征：能被7（11或13）整除的数的特征：能被8整除的数的特征：能被9整除的数的特征：能被11整除的数的特征：4、带余除法定理：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b 不为零），那么一定存有另外两个整数q 和r ，r ≤0 ， r < b ，使得 r q b a +⨯= 。
5、辗转相除法： 两个整数的最大公约数是能够同时整除它们的最大的正整数。
辗转相除法基于如下原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的相除余数的最大公约数。
例如，252和105的最大公约数是21（252 = 21 × 12；105 = 21 × 5）；因为252 − 105 = 147，所以147和105的最大公约数也是21。
整除同余与不定方程
整除同余与不定方程摘要：一、整除与同余的概念1.整除的定义2.同余的定义二、不定方程的介绍1.不定方程的概念2.不定方程的例子三、整除与同余在不定方程中的应用1.整除在不定方程中的性质2.同余在不定方程中的性质四、不定方程的求解方法1.整除法求解2.同余法求解五、总结1.整除同余与不定方程的关系2.不定方程的求解技巧正文：整除同余与不定方程是数论中的重要概念，它们之间有着密切的联系。
整除是指一个整数可以被另一个整数整除，即余数为零。
同余是指两个整数除以某个整数后的余数相同。
而不定方程是指含有未知数的等式，其解不一定是整数。
本文将探讨整除与同余在不定方程中的性质及应用，并介绍求解不定方程的方法。
首先，我们来回顾一下整除与同余的概念。
整除是指一个整数可以被另一个整数整除，即余数为零。
例如，8 整除12，因为12 除以8 的余数为0。
同余是指两个整数除以某个整数后的余数相同。
例如，11 和19 同余，因为它们除以3 的余数都是2。
不定方程是含有未知数的等式，其解不一定是整数。
例如，x^2 + 3x + 2 = 0 是一个不定方程，其解为x = -1 和x = -2，都是整数。
然而，x^2 + 3x + 3 = 0 是一个不定方程，它没有实数解。
整除与同余在不定方程中的应用非常广泛。
整除在不定方程中的性质可以帮助我们简化问题，例如，如果一个不定方程有整数解，那么它的解一定可以表示为整数的乘积。
同余在不定方程中的性质可以帮助我们找到解的规律，例如，如果两个数同余，那么它们与任意整数的和仍然保持同余关系。
求解不定方程的方法有很多，其中整除法和同余法是常用的方法。
整除法求解不定方程的步骤如下：首先，将方程进行因式分解，然后将未知数表示为整数的乘积，最后根据整数的性质求解方程。
同余法求解不定方程的步骤如下：首先，将方程进行同余变形，然后利用同余性质求解方程。
总之，整除同余与不定方程是数论中的重要概念，它们之间有着密切的联系。
数论中的整除与同余概念
数论中的整除与同余概念整除和同余是数论中的重要概念。
整除指的是一个数被另一个数整除，也就是能够整除有余数为零的关系。
同余则是指两个数除以同一个数所得的余数相等。
这两个概念在数论中有着广泛的应用和深入的研究。
首先，我们来讨论整除的概念。
设a和b是两个整数，如果存在一个整数c，使得b=c*a，我们就说a整除b，记作a|b。
即b能够被 a 整除而没有余数。
整除是一个基本的数学运算，我们通过它可以判断两个数的倍数关系。
例如，如果a|b且a|c，那么我们可以得到a|(b+c)和a|(b-c)。
这是因为有整数d和e，使得b=d*a，c=e*a。
那么b+c=(d+e)*a，b-c=(d-e)*a，它们都可以被a整除。
正是因为整除的这些性质，我们能够通过对整数的整除关系进行研究，揭示整数之间的规律。
整除在数论中扮演着重要的角色，例如在质数的研究中，整除是一个关键概念。
质数指的是除了1和自身外没有其他因数的数，也就是只能被1和自身整除的数。
例如，2、3、5、7等都是质数。
对于一个数n，我们可以通过判断是否有除了1和n外的其他因数来判断n是否为质数。
这个思想就是质数检验的基础。
接下来，我们来深入讨论同余的概念。
给定两个整数a和b，如果它们除以一个正整数m所得的余数相等，即(a-b)能被m整除，我们就说a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)。
同余关系是模m下的一种等价关系，也就是说它满足以下性质：1. 自反性：对于任意的整数a，a≡a(mod m)。
2. 对称性：对于任意的整数a和b，如果a≡b(mod m)，那么b≡a(mod m)。
3. 传递性：对于任意的整数a、b和c，如果a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，那么a≡c(mod m)。
同余关系的一个重要应用是在时钟和日历的计算中。
例如，我们常使用12小时制的时钟，它的小时数是以0到11表示的。
那么如果现在是下午8点，过了6个小时后是几点呢？我们可以通过同余的概念来解决这个问题。
整除同余与不定方程
整除同余与不定方程一、整除同余1.1 定义在数论中，整除同余是指两个数 a 和 b 在模 m 下，它们的差可以被 m 整除。
可以表示为a ≡ b (mod m)。
1.2 性质整除同余具有以下性质：•自反性：a ≡ a (mod m)•对称性：如果a ≡ b (mod m)，那么b ≡ a (mod m)•传递性：如果a ≡ b (mod m)，b ≡ c (mod m)，那么a ≡ c (mod m)•同余定理：如果a ≡ b (mod m) 和c ≡ d (mod m)，那么a ± c ≡ b ± d (mod m)，a × c ≡ b × d (mod m)1.3 应用整除同余在密码学、编码和算法中有广泛应用。
例如，它们可以用于计算哈希函数、判断两个数是否互质、生成随机数等。
二、不定方程2.1 定义不定方程是指含有未知数的方程，通常需要找到满足方程的整数解或一类整数解。
2.2 一次不定方程一次不定方程是指形式为 ax + by = c 的方程，其中 a、b、c 为已知整数，找到整数解 (x, y)。
这类方程可以使用扩展欧几里得算法求解。
扩展欧几里得算法的步骤如下：1.初始化变量，令 r1 = a，r2 = b，s1 = 1，s2 = 0，t1 = 0，t2 = 1。
2.当r2 ≠ 0 时，执行以下循环：–计算商和余数：q = r1 // r2，r = r1 % r2。
–使用辗转相除法更新变量：r1 = r2，r2 = r；s1 = s2，s2 = s；t1 = t2，t2 = t。
3.当 r2 = 0 时，得到方程的一个解为 (x, y) = (s1, t1)。
2.3 二次不定方程二次不定方程是指形式为 ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 的方程，其中 a、b、c、d、e、f 为已知整数，找到满足方程的整数解 (x, y)。
整除同余与不定方程
整除同余与不定方程一、什么是整除同余与不定方程1.1 整除同余整除同余是数论中的一个重要概念。
当两个整数对于某个给定的正整数n，除以n 所得的余数相等时，我们称这两个整数在模n意义下是同余的。
用符号表示为 a ≡ b (mod n)。
1.2 不定方程不定方程是指形如ax + by = c的方程，其中a、b、c为已知整数，x、y为未知整数。
不定方程的解是指满足方程的整数解。
二、整除同余的性质2.1 传递性如果a ≡ b (mod n)且b ≡ c (mod n)，那么a ≡ c (mod n)。
2.2 同余的加减性如果a ≡ b (mod n)，c ≡ d (mod n)，那么a ± c ≡ b ± d (mod n)。
2.3 同余的乘法性如果a ≡ b (mod n)，c ≡ d (mod n)，那么ac ≡ bd (mod n)。
2.4 同余的幂运算性如果a ≡ b (mod n)，那么a^k ≡ b^k (mod n)，其中k为非负整数。
三、整除同余的应用3.1 寻找整数解在一些问题中，我们需要找出满足一定条件的整数解。
通过运用整除同余的性质，我们可以简化问题的求解过程。
3.2 寻找模n的逆元在模运算中，如果存在一个整数x，使得ax ≡ 1 (mod n)，我们称x为a在模n 下的逆元。
通过整除同余的性质，可以快速求解模n的逆元。
四、不定方程的求解方法4.1 欧几里得算法欧几里得算法是一种求解不定方程ax + by = gcd(a, b)的方法，其中gcd(a, b)表示a和b的最大公约数。
4.2 贝祖等式贝祖等式是一种表示不定方程ax + by = c的解的方法，其中c是a和b的最大公约数的倍数。
4.3 扩展欧几里得算法扩展欧几里得算法是一种求解不定方程ax + by = c的方法，其中c是a和b的最大公约数的倍数，并且可以求得x和y的具体值。
4.4 模线性方程模线性方程是指形如ax ≡ b (mod n)的方程，其中a、b、n为已知整数，x为未知整数。
整除同余与不定方程
整除同余与不定方程
摘要：
一、整除与同余的概念
1.整除
2.同余
二、同余方程和不定方程
1.同余方程
2.不定方程
三、整除同余与不定方程的应用
1.整除同余在数论中的应用
2.不定方程在数学和物理中的应用
正文：
整除同余与不定方程是数学中的重要概念，它们在数学研究中有广泛的应用。
首先，我们需要了解整除和同余的概念。
整除是指一个数可以被另一个数整除，即余数为零。
例如，8 可以被2 整除，因为8 除以2 的余数为0。
同余是指两个整数除以一个正整数的余数相同。
例如，11 和17 除以3 的余数都是1，因此11 和17 同余。
同余方程和不定方程是整除同余的进一步发展。
同余方程是指一个关于同余的方程，例如a mod n = b，其中a、b、n 都是整数。
而不定方程是指一个没有明确给出解的方程，例如x^2 + 2 = 6，其中x 是未知数。
整除同余与不定方程在数学和物理中有广泛的应用。
在数论中，整除同余被用来研究素数和整数之间的关系。
例如，欧拉定理表明，如果a 和n 是互质的正整数，那么a 的欧拉函数值和n 互质的数a^k mod n 的结果是循环的，循环节长度为n-1。
不定方程也在数学和物理中有重要的应用。
例如，在量子力学中，薛定谔方程就是一个关于波函数的不定方程，它描述了量子系统的状态。
在密码学中，不定方程也被用来设计加密和解密算法，例如RSA 算法就是基于大整数分解的不定方程。
总的来说，整除同余与不定方程是数学中的重要概念，它们在数学和物理中有广泛的应用。
备课讲解数论中的整除与同余
备课讲解数论中的整除与同余数论是数学的一个分支，研究的是整数的性质和关系。
在数论中，整除和同余是重要且常见的概念。
本文将详细介绍整除与同余的定义、性质以及应用。
一、整除的定义与性质整除是数论中最基本的概念之一，它描述的是一个整数是否能够被另一个整数整除。
具体来说，如果整数a能被整数b整除，则称a能被b整除，记作b|a。
反之，如果a不能被b整除，则记作b∤a。
1. 整除的传递性：如果a能被b整除，b能被c整除，则a能被c整除。
这是整除关系的一个重要性质，可以简单地通过数学归纳法证明。
2. 整除的性质：对于任意的整数a和b，有以下性质成立：（1）a|a，即任何整数都能被它自身整除；（2）1|a，即任何整数都能被1整除；（3）如果a|b且b|c，则a|c，即整除关系满足传递性；（4）如果a|b且a|c，则a|(bx+cy)，其中x和y为任意整数。
3. 整数的因子与倍数：如果a能被b整除且a≠b，则b称为a的因子，a称为b的倍数。
例如，4能被2整除，2是4的因子，4是2的倍数。
二、同余的定义与性质同余是数论中另一个重要的概念，它描述的是两个整数在除以同一个数后得到相同的余数。
具体来说，如果两个整数a和b除以正整数m得到的余数相等，则称a与b关于模m同余，记作a≡b(mod m)。
1. 同余的性质：对于任意的整数a、b和正整数m，有以下性质成立：（1）自反性：a≡a(mod m)；（2）对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；（3）传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)；（4）同余关系的加减法：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a±c≡b±d(mod m)；（5）同余关系的乘法：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd(mod m)。
2. 同余类：对于给定的正整数m，每个整数a都与某个在0到m-1之间的整数对应。
六年级奥数全教程
第一章 数与计算第一单元 同余问题1．知识前提。
（1） 整除：如果整数a 除以自然数b ,所得的商恰好是整数而没有余数(余数是0),我们就称a 能被b 整除或b 能整除a 。
（2） 乘方的意义：求n 个相同因数的乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
n 个相同因数a 相乘，即n aa a a •L 14243个，记做n a 。
其中a 叫做底，n 叫做指数，na 读做a 的n 次方。
（3） 幂的运算法则：① 同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
即m n m n a a a +•=。
② 幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即 ()mn nm a a =。
③ 积的乘方，等于把积的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。
即 ()nn n ab a b =•。
2．同余如果两个整数的a 、b 除以同一个自然数m 所得的余数相同，那么就说a 、b 对于m 是同余的，记为a =?h （mod m ）。
我们把m 称为模。
如果a 、b 对于m 是同余的，那么a 与b 的差能被m 整除；反之，如果a 与b 的差能被M 整除，那么a 、b 对于m 是同余的。
3．规律、方法应用。
（1） 反身性规律：a 和a 对于m 同余。
（2） 对称性规律：a 和b 对于m 同余，那么b 和a 对于m 同余。
（3） 传递性规律：如果a 和b 对于m 同余，b 和c 对于m 同余，那么a 和c 对于m 同余。
（4） 同余的加减法、乘法规律：如果a 和b 对于m 同余，c 和d 对于m 同余，那么a ＋c ，和b ＋d ，a －c 和b －d ，a c 和bd 对于m 同余。
（5） 同余的乘方规律：如果a 和b 对于m 同余，那么n a 和n b 也对于m 同余。
（6） 同余的连加规律：1a 和1b 对于m 同余，2a 和2b 对于m 同余，3a 和3b 对于m 同余……na 和nb 对于m 同余，那么123n a a a a +++L 和123n b b b b +++L 也对于m 同余。
整除同余与不定方程
整除同余与不定方程摘要：一、引言1.整除与同余的概念2.不定方程的定义及背景二、整除与同余1.整除的定义与性质2.同余的定义与性质3.整除与同余的关系三、不定方程1.不定方程的概念与例子2.不定方程的解法与性质3.不定方程在数学中的应用四、整除同余与不定方程的关系1.整除同余与不定方程的联系2.利用整除同余解决不定方程的案例五、总结1.整除同余与不定方程的重要性2.研究整除同余与不定方程的意义与价值正文：一、引言整除与同余是代数学中的基本概念，而不定方程作为代数学中的一个重要分支，也具有广泛的应用。
本文将围绕这三个主题展开讨论，分析它们之间的关系及其在数学中的应用。
二、整除与同余1.整除的定义与性质整除是指一个整数除以另一个整数后，余数为零。
例如，8 整除12，因为12 除以8 的余数为0。
整除具有传递性、可交换性和结合性等性质。
2.同余的定义与性质同余是指两个整数除以某个整数后，余数相同。
例如，11 和17 同余，因为它们除以3 的余数都是1。
同余具有自反性、对称性和传递性等性质。
3.整除与同余的关系整除是同余的特殊情况，即当除数为1 时，同余就是整除。
另外，同余可以转化为整除，方法是将同余问题转化为整除问题，然后再用整除的性质解决问题。
三、不定方程1.不定方程的概念与例子不定方程是指含有未知数的等式，其中未知数的次数大于等于1。
例如，x^2 + 2x + 1 = 0 是一个二次不定方程。
2.不定方程的解法与性质求解不定方程的方法有多种，如因式分解法、代数余数定理等。
而不定方程的性质包括有解性、无解性、有唯一解、有无穷多解等。
3.不定方程在数学中的应用不定方程在数学中有着广泛的应用，如在密码学、计算机科学、组合数学等领域都有重要的应用价值。
四、整除同余与不定方程的关系1.整除同余与不定方程的联系整除同余与不定方程之间存在密切的联系。
例如，求解不定方程时，有时需要利用整除同余的性质将问题进行转化。
整除同余与不定方程
整除同余与不定方程1.引言整除同余和不定方程是数论中的基础概念和重要研究领域。
它们在代数数论、数论几何以及密码学中都有广泛的应用。
本文将从简单到复杂，由浅入深地介绍整除同余和不定方程的相关概念和性质，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。
2.整除同余2.1 整除的定义在整数集中，如果某个整数a可以除尽另一个整数b，则称a整除b，记作a | b。
4整除12，我们可以表示为4 | 12。
2.2 同余的定义在整数集中，如果两个整数a和b除以一个正整数m得到的余数相同，则称a与b对模m同余，记作a ≡ b (mod m)。
12被5除的余数为2，7被5除的余数也为2，所以我们可以表示为12 ≡ 7 (mod 5)。
2.3 重要性质整除同余关系具有以下重要性质： - 若a ≡ b (mod m)，则对任意整数k，都有a + km ≡b (mod m)； - 若a ≡ b (mod m)，则对任意整数k，都有ak ≡ bk (mod m)； - 若a ≡ b (mod m)，且c ≡d (mod m)，则a + c ≡ b + d (mod m)和ac ≡ bd (mod m)； - 若a ≡ b (mod m)，则a的n次幂与b的n次幂对模m同余。
3.不定方程3.1 不定方程的概念不定方程是指方程中有未知数，并且要求寻找整数解的方程。
ax + by = c就是一个不定方程，其中a、b和c是给定的整数，而x和y是未知数。
3.2 整数解与不定方程对于不定方程ax + by = c，如果存在整数解(x0, y0)，则称该不定方程有整数解。
3.3 整数解的存在性根据欧几里得算法和裴蜀定理，不定方程ax + by = c有整数解的充分必要条件是：gcd(a, b) | c，其中gcd(a, b)表示a和b的最大公约数。
4.应用与拓展整除同余和不定方程在数论中有着广泛的应用，并且在实际应用中有很多拓展。
4.1 应用1：代数数论整除同余和不定方程在代数数论中是非常重要的。
数论基础知识
一些基本的数论知识：1、整除与同余a∣b,b∣a⇒a=bp∣a⇔a≡0(mod p)带余除法a=bp+r(0≤r<b)⇔a≡r(mod p)2、完全平方数（以下a∈Z+）a2≡0or1(mod4)a2≡0or1or4(mod8)a2≡0or1(mod3)a2≡0or±1(mod5)3、完全立方数a3≡0or±1(mod7)a3≡0or±1(mod9)整数集合可以按模n的余数来分类，每一个这样的类称为模n的同余类，若该同余类中的数与n互素，则称这样的同余类为模n的缩同余类。
4、完全剩余系在n个同余类中各任取一个数作为代表，这样的n个数称为模n 的一个完全剩余系（完系）c1,c2,…,cn是模n的一个完系⇔c1,c2,…,cn模n互不同余若c1,c2,…,cn是模n的一个完系，(a,n)=1，b∈Z，则ac1+b,ac2+b,…,acn+b也是模n的一个完系5、欧拉函数φ(n)表示小于n且与n互素的正整数的个数(a,b)=1⇒φ(ab)=φ(a)φ(b)（积性函数）p为素数⇒φ(pl)=pl−pl−16、简约剩余系在模n的φ(n)个缩同余类中各任取一个数作为代表，这样的φ(n)个数称为模n的一个简约剩余系（缩系）c1,c2,…,cφ(n)是模n的一个缩系⇔c1,c2,…,cφ(n)模n互不同余且均与n互素若c1,c2,…,cφ(n)是模n的一个缩系，(a,n)=1，则ac1,ac2,…,ac φ(n)也是模n的一个缩系7、最大公约数与最小公倍数(a,b)[a,b]=ab(a,b)=d⇒(ad,bd)=1（将非互素情况转为互素情况）d∣a,d∣b⇒d∣(a,b)d∣ab,(d,b)=1⇒d∣a8、裴蜀定理：a,b不全为0，则存在整数x,y，使得ax+by=(a,b)a,b互素⇔存在整数x,y，使得ax+by=19、唯一分解定理每个大于1的正整数n可唯一表示成n=p1α1p2α2…pkαk，其中p1,p2,…,pk是互不相同的素数，α1,α2…,αk是正整数，这称为n的标准分解正约数个数τ(n)=(α1+1)(α2+1)…(αk+1)正约数之和σ(n)=1−p1α1+11−p1⋅1−p2α2+11−p2⋅ (1)pkαk+11−pkn的标准分解中p的幂次vp(n)=∑l=1∞[npl]=[np]+[np2]+…10、升幂定理（LTE引理）（1）n为正整数，x,y为整数，p为奇素数，且p∤x，p∤y，p∣x−y，则vp(xn−yn)=vp(x−y)+vp(n)（2）n为正奇数，x,y为整数，p为奇素数，且p∤x，p∤y，p∣x+y，则vp(xn+yn)=vp(x+y)+vp(n)（3）n为正整数，x,y为奇整数，4∣x−y，则v2(xn−yn)=v2(x−y)+v2(n)（4）n为正偶数，x,y为奇整数，则v2(xn−yn)=v2(x−y)+v2(x+y)+v2(n)−111、威尔逊定理：p为素数⇔(p−1)!≡−1(mod p)12、欧拉定理：设n>1为整数，a是与n互素的任一整数，则aφ(n)≡1(mod n)13、费马小定理：设p是素数，a是与p互素的任一整数，则ap−1≡1(mod p)14、中国剩余定理：设m1,m2,…,mk是k个两两互素的正整数，b1,b2,…,bk为任意整数，则同余方程组{x≡b1(mod m1)x≡b2(mod m2)……x≡bk(mod mk)在模m1m2…mk意义下有唯一解x。
大学整除与同余教案设计
教学目标：1. 理解整除与同余的概念，掌握整除与同余的基本性质。
2. 学会利用整除与同余的性质解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
教学重点：1. 整除与同余的概念及基本性质。
2. 应用整除与同余的性质解决实际问题。
教学难点：1. 理解整除与同余的性质，并能灵活运用。
2. 将实际问题转化为整除与同余问题。
教学用具：1. 多媒体课件2. 白板或黑板3. 练习题教学过程：一、导入1. 复习初中阶段学习的整除概念，引导学生回顾整除的定义和性质。
2. 提出问题：如何判断一个数能否被另一个数整除？3. 引入整除与同余的概念，激发学生的学习兴趣。
二、新课讲授1. 整除与同余的概念（1）整除：如果整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数，且没有余数，那么我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
（2）同余：如果整数a除以整数b（b≠0），除得的余数是整数c，那么我们就说a与b同余，记作a≡c（mod b）。
2. 整除与同余的性质（1）性质1：如果a能被b整除，那么a与b同余。
（2）性质2：如果a≡c（mod b），那么a-b能被b整除。
（3）性质3：如果a≡c（mod b），那么a+b≡c+b（mod b）。
3. 应用整除与同余的性质解决实际问题（1）判断一个数能否被另一个数整除。
（2）求解同余方程。
（3）解决实际问题，如日期、时间、密码等。
三、课堂练习1. 填空题：判断下列各数能否被3整除。
2. 选择题：下列哪个数与8同余？3. 应用题：求2008年2月29日到2010年2月28日共经过了多少天？四、课堂小结1. 回顾整除与同余的概念、性质及应用。
2. 强调整除与同余在解决实际问题中的重要性。
五、课后作业1. 完成课后习题，巩固所学知识。
2. 查阅资料，了解整除与同余在其他领域的应用。
教学反思：本节课通过引入实际问题，引导学生理解整除与同余的概念，并掌握其基本性质。
在教学过程中，注重培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
整除与同余解析
定理２ (加减法与乘法)
a b(mod m), c d(mod m) a c b d(mod m)
定理３ (除法)
a c b d(mod m)
a c b c(mod m),c 0 a b(mod m )
特别地
(c, m)
a c b c(mod m), (c,m) 1 a b(mod m)
(a b)2 (a2 b2 )(4ab 1)
由此可得 a b (a b)(4ab 1) a b,
这显然是矛盾的. ∴ a b.
二.奇偶性分析与同余分析
同余理论是确定整数问题的重要而有力的 工具之一,用途十分广泛.同余理论的应用几乎 遍及数论的大多数问题. 同余分析是带余除法 的变形和深入,实质就是通过余数将研究的整 数进行分类,使它们余数的特征展现出来,方便 了问题的解决.
n
m
2.若在 ai bi中,除某一项外,其余各项都能
c c 被 整i除1 ,则i1这一项也能被 整除.
3.若 (a,b) 1,且a bc,则 a c.
4.若 (a,b) 1, 且a c,b c, 则 ab c.
5.若 p为素数,且 p bc,则 p b 或 p c.
例1 求证:对整数 x和 y,若 2x 3y、9x 5y中一
b3c bc3 bc(b2 c2 ), c3a ca3 ca (c2 a2 )
a3b ab3、b3c bc3、c3a ca3 中至少有一个能被5
整除. 综上,结论成立.
注：上述证明先利用整除性质简化问题, 再根 据给定数的特征, 采用分类讨论、考察完全平 方数的特征性质等方法, 使整除性逐步暴露出 来.本题如果用余数分析法则比较方便(见后面 同余分析).
奇偶性分析实质是模为 2 的一种特殊的同 余分析.
整除性与同余定理
对于同余定理问题，要熟练掌握扩展欧几里得算法、中国剩余定理等 技巧，善于将问题转化为同余方程进行求解。
04
在解题过程中，要注意细节和特殊情况的处理，避免因为粗心大意而 导致错误。
04 拓展延伸：费马小定理 和欧拉定理
费马小定理内容阐述
费马小定理是数论中的一个 重要定理，它给出了在模一 个质数p的情况下，任意整数
物理学
在量子力学和相对论等领域，同余定理可用于描 述物理现象的对称性和周期性规律。
06 总结回顾与展望未来
关键知识点总结
整除性定义
整除是数学中的一个重要概念，表示一个整数可以被另一个整数除尽，没有余数。整除性在数论、代数等领 域有广泛应用。
同余定理
同余定理是数论中的基本定理之一，它描述了整数在模运算下的性质。同余定理包括费马小定理、欧拉定理 等，是解决许多数论问题的基础。
k2使得a=b+k1m，c=d+k2m。
则
03
ac=(b+k1m)(d+k2m)=bd+(bk2+dk1)m+k1k2m
^2。
证明过程展示
因为m整除k1m和k2m，所以m也整除k1k2m^2，进而m整除ac-bd。
因此，ac≡bd(mod m)。
03 典型问题解析与技巧指 导
涉及整除性问题分类
整除性与同余定理
汇报人：XX
2024-01-29
目录
CONTENTS
• 整除性基本概念与性质 • 同余定理介绍与证明 • 典型问题解析与技巧指导 • 拓展延伸：费马小定理和欧拉定理 • 实际应用举例与探讨 • 总结回顾与展望未来
01 整除性基本概念与性质
整除定义及例子
第二次课-- 整除与同余
最大公因子定理
定理1 设a，b是两个不全为零的整数，则存 在两个整数u，v，使 (a，b)= ua+vb．
第一章 整除与同余
证明 设Z是全体整数集合，构造如下一个集合： S = {xa+ybx，yZ}． S中的元素显然大于等于0． 设d是S中的最小正整数，设 d = ua+vb． 现在我们证明da且db．做带余除法： a = qd+r，0 r d． 于是 r = a – qd = a – q(ua+vb) = (1–qu)a – qvb． 这说明r也可表示为a，b的组合，则rS． 由于d是S中的最小者，所以r = 0．故da．同理db． 设c是a，b的任意公因子，由ca和cb得cua+vb．故 d是a，b的最大公因子，证毕．
第一章 整除与同余
互素
定义3：设a，b是两个不全为0的整数，如果(a，b) = 1，则称a，b互素． 推论：a，b互素的充分必要条件是：存在u，v，使 ua+vb = 1． 证明 必要条件是定理1的特例，只需证充分条件． 如果存在u，v，使 ua+vb = 1． 则由(a，b)(ua+vb)，得(a，b)1， 所以(a，b) = 1．
例8 a = 2，b = 3．它们的公倍数集合为 {0，6，12，18，…}． 而[2，3] = 6．
第一章 整除与同余
最小公倍数与最大公约数关系
定理1.1.2 1）设d是a，b的任意公倍数，则 [a，b] d． ab 2） a，b a，b） ，特别地，如果(a，b) = 1， （ [a，b] = |ab|．
第一章 整除与同余
Eratosthenes筛法
定理1.2.3 设a是任意大于1的整数，则a的除1外最小正因子q 是一素数，并且当a是一合数时，
§1.1整除的概念及带余除法
第一章整数的可除性整除性理论是初等数论的基础。
本章要介绍带余数除法，辗转相除法，最大公约数，最小公倍数，算术基本定理以及它们的q，使得成立，则称a能被b整除，a是b的倍数，b是a的约数（因数或除数），并且使用记号b∣a；如果不存在整数q使得a = bq成立，则称a不被b整除，记为显然每个非零整数a称这四个数为a的平凡约数，a下面的结论成立：∣a⇔±b∣±a；(ⅱ) c ∣b，b∣a⇒c∣a；(ⅲ) b∣a i，i = 1, 2, …, n⇒b∣a1q1+a2q2+…+a n q n，此处q i（i = 1, 2, , n）是任意的整数；(ⅳ) b∣a ⇒bc∣ac，此处c是任意的非零整数；(ⅴ) b∣a，a≠ 0 ⇒|b|≤|a|；b∣a且|a|<|b|⇒a = 0。
) 设a 与b 是两个整数，b > 0，则存在q 和r ，使得a = bq + r ，0 ≤ r <b (2) 成立且q 。
中的q 叫做a 被b 除所得的不完全商，r 叫做a 被例1 若1n >，且111n n -+ 求n222x y z +=的整数解能否全是奇数？为什300”位于哪个字母的下面A B C D E F G1 2 3 45 6 78 9 10 1112 13 1415 16 17 ……. 解：观察可以发现两行7个数组成一组故300=7×42+6与6同在字母D 的下面例4 a 除以b 商为c ，余数为r ，则am 除以bm 商为 ， 余数为 。
m N +∈某整数除以3余2，除以4余1，该整数除以12，余 ？三、整除的特征从正整数121n n N a a a a a a -=的末位a 起向左每k 个数码分为一节，最后剩下若有不足k 个数码的也为一节，记为()1()(),,,k k t k A A A并记()1()()()k k k t k S N A A A =+++----数节和1()1()2()()()(1)t kk k k t k S N A A A A -'=-++-----数节代数和 1、设d 是10k 的约数，则()k d N d A ⇔推论：能被2或5整除的数的特征是：这个数的末一位数能被2或5整除。
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例1：
a=10 ,b=2则有 10；若a=10,b=100有10100 则有2 则有 有
例2：
是任意整数， 设a是任意整数，a ≠0, 则a0． 是任意整数 ．
第一章 整除与同余
即0是任意整 数的倍数
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• 注：定义1并没有指明整数a, b是否可以是 负数！ • 所以，a, b可以是负数！
第一章 整除与同余
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带余除法： 带余除法：
例3 1）a = –37， b= 5，则 ） ， ， –37 = (−8)×5+3，r = 3． − × ， ． 2）a = 67，b= 7，则 ） ， ， 67 = (9)×( 7)+4，r = 4． × ， ．
第一章 整除与同余
第一章 整除与同余
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最大公因子（性质） 最大公因子（性质）
简单性质： 简单性质 1. (a,b)=(-a,b)=(a,-b)=(-a,-b) 2. (0,a)=|a| 3. (1,a)=1
第一章 整除与同余
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最大公因子（求解） 最大公因子（求解）
第一章 整除与同余
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整除的基本性质（证明）： 整除的基本性质（证明）：
证明： 证明： （2）因为 b，则存在整数 1，使 ）因为a ，则存在整数q b = q1a ① 又因为b ，则存在整数q2， 又因为 c，则存在整数 ，使 c = q2b ② 于是将①式带入②式有： 于是将①式带入②式有： c = q2b = q1q2a = qa， ， 其中q 其中 = q1q2． 故ac． ．
第一章 整除与同余
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证明1
已知a，b，使r0=a， r1=b， r0=q1r1+r2，0 ≤r2＜r1; r1=q2r2+r3， 0 ≤r3＜r2; … rn-3=qn-2rn-2+rn-1 rn-2=qn-1rn-1+rn，0 ≤r ＜r ; rn-1 =qnrn rn=（a，b）
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最大公因子（定义） 最大公因子（定义）
定义2： 定义 ： 1）设a，b是两个整数，如果整数 a且cb， 是两个整数， ） ， 是两个整数 如果整数c 且 ， 称为a， 的公因子． 则c称为 ，b的公因子． 称为 2）设c>0是两个不全为零的整数 ，b的公因 是两个不全为零的整数a， 的公因 ） > 是两个不全为零的整数 如果a， 的任何公因子都整除 的任何公因子都整除c， 子，如果 ，b的任何公因子都整除 ，则c 称为a， 的最大公因子，记为c= ， ． 称为 ，b的最大公因子，记为 (a，b)．
第一章 整除与同余
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例2’ ：
是整数， 设a是整数，则(-)1a． 是整数 ．
即(-)1是任意 整数的因子
第一章 整除与同余
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整除的基本性质： 整除的基本性质：
1. 如果 a且ab，则b = a或b = −a． 如果b 且 ， 或 ． 2. 如果 b且bc，则ac． 如果a 且 ， ． 3. 如果ca且cb，则cua+vb，其中 ，v 如果 且 ， ，其中u， 是整数． 是整数．
最大公因子（求解） 最大公因子（求解）
欧几里德除法（辗转相除法 欧几里德除法（辗转相除法）： 已知a，b，使r0=a，r1=b， r0=q1r1+r2，0 ≤r2＜r1; r1=q2r2+r3， 0 ≤r3＜r2; 此方法扩展可用 … 于求元素的逆元 rn-2=qn-1rn-1+rn， 0 ≤rn＜rn-1; rn-1=qnrn rn=（a，b）
第一章 整除与同余
证明 设Z是全体整数集合．做一个如下集合： 电子科技大学 计算机科学与工程学院 S = {xa+ybx，y∈Z}． S中的元素显然大于等于0． 最大公因子定理证明 设d是S中的最小正整数，则d可表示为a，b的组合， 设 d = ua+vb． 现在我们证明da且db．做带余除法： a = qd+r，0 ≤ r < d． 于是 r = a – qd = a – q(ua+vb) = (1–qu)a – qvb． 这说明r也可表示为a，b的组合，则r∈S． 由于d是S中的最小正整数，所以只有r = 0．故 da．同理db． 设c是a，b的任意公因子，由ca和cb得cd = 第一章 整除与同余 ua+vb．故d是a，b的最大公因子，证毕．
第一章 （性质）
互素有如下性质： 互素有如下性质 1）如果cab且(c，a) = 1，则cb． 2）如果ac，bc，且(a，b) = 1，则abc． 3）如果(a，c) = 1，(b，c) = 1，则(ab，c) = 1．
第一章 整除与同余
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最大公因子定理
定理1 设a，b是两个不全为零的整数，则存 定理 在两个整数u，v，使 d= ua+vb． （ 其中d=(a，b) ） ，
第一章 整除与同余
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• 注：存在两个整数u，v，使a,b的最大公因 子d= ua+vb成立 成立．但是c= ua+vb成立,并 成立 不能说明c是最大公因子。 • 例如：a = 10, b=100, u =2, v = 4(u,v可以 任意选取)，c = 420
第一章 整除与同余
性质2：如果 且 ， 性质 ：如果ab且bc，则ac
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整除的基本性质（证明）： 整除的基本性质（证明）：
性质3：如果c 且 ， 性质 ：如果 a且cb，则cua+vb，其中 ，v是整数 ，其中u， 是整数 证明： 证明： （3）因为 a，则存在整数 1，使 ）因为c ，则存在整数q a = q1c ① 两边同乘以整数u， 两边同乘以整数 ，有 ua=p1c (其中 1=uq1) ② 其中p 其中 同理cb，有 同理 ， 其中p vb=p2c (其中 2=vq2) ③ 其中 ②+③ 得出： ③ 得出： pc=ua+vb 其中p=p1+p2=uq1+vq2 ， 其中 故cua+vb． ．
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信息安全数学基础
廖永建
第一章 整除与同余
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第一章 整除与同余
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第一章 整除与同余
主要内容 • 整除的基本概念（掌握） 整除的基本概念（掌握） • 素数（掌握） 素数（掌握） • 同余的概念（掌握） 同余的概念（掌握）
第一章 整除与同余
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整除的基本性质（补充）： 整除的基本性质（补充）： (1) ab<=> -ab<=> a-b <=> -a-b <=> ab
（2）b≠0且ab =>a≤b
第一章 整除与同余
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第一章 整除与同余
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1.1 整除
定义1：
是任意两个整数， 设a，b是任意两个整数，其中 ≠0，如果存在一个整数 ，使 ， 是任意两个整数 其中b≠ ，如果存在一个整数q， a = qb，则我们称 整除 ，或a被b整除，记为 a，此时称 整除a， 整除， ，则我们称b整除 被 整除 记为b ， b是a的因子，a是b的倍数． 是 的因子， 是 的倍数．
第一章 整除与同余
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互素
定义3： 定义 ：a，b是两个整数，如果(a，b) = 1，则称a， b互素 互素． 互素 推论： 推论：a，b互素的充分必要条件是：存在u，v，使 ua+vb = 1． 证明 必要条件是定理1的特例，只需证充分条件． 如果存在u，v，使 ua+vb = 1． 则由(a，b)(ua+vb)，得(a，b)1， 所以(a，b) = 1． 整除性质3
第一章 整除与同余
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整除的基本性质（证明）： 整除的基本性质（证明）：
证明： 证明：
性质1：如果 且 ， 性质 ：如果ba且ab，则b = a或b = −a． 或 ．
（1）由ba，根据整除定义我们可以得出：存在整数q1使 ） 根据整除定义我们可以得出：存在整数 a = q1b ， 同理； 同理；由ab，则存在整数 2使 ，则存在整数q b = q2a． ． 于是a 于是 = q1b = q2q1a ．所以 q2q1 = 1， ， 由于q 是整数， 由于 1，q2是整数，则 q2 = q1 = 1，或q2 = q1 = −1． ， ． 故b = a或b = −a． 或 ． 命题得证。 命题得证。
方法1：因子分解 例4：a=60=2×2 ×3 ×5 ，b=36=2 ×2 ×3×3 观察得：c=（a，b）= 2 2 ×3=12 c= a b = 2×2 3=12
方法2（一般方法）： 欧几里德除法 欧几里德除法也称 为辗转相除法 辗转相除法。 辗转相除法
第一章 整除与同余
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n n-1
rn=(*1)(r0-q1r1) +(*2) r1 =(*1)r0 +(*2-q1) r1; rn=(*1)r2 + (*2) r1; … rn=rn-2-qn-1(rn-3-qn-2rn-2 ) =(1-qn-2qn-1 ) rn-2-qn-1rn-3 rn=rn-2-qn-1rn-1 rn=（a，b）