北京八中怡海分校2015-2016高二上学期期中数学(理)试题含答案

北京八中 怡海分校
2015-2016高二上学期期中试卷
理科 试卷
A 卷
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）.
1. 80x =直线的倾斜角是（ ） A.6π B.3
π C. 56π D.23π 2. 圆2240x y x +-=的圆心坐标和半径分别是（ ）
A.()2,0,2-
B. ()0,2,2
C.()2,0,2
D. ()2,0,4
3. 将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（ ）
A.2π
B.4π
C.8π
D. 16π
4. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A.
13 B.23 C. 1 D. 2
5.关于直线,l m 及平面,αβ，下列命题中正确的是（ ）
A.若,,l m ααβ⋂=则l m
B. 若,l m αα则l m
C.若,,l l αβ⊥则αβ⊥
D. 若,,l l m α⊥则m α⊥
6. 圆()()22221x y ++-=与圆()()222516x y -+-=的位置关系是（ ）
A. 外离
B. 相交
C. 内切
D. 外切
7. 圆2240x y x +-=在点(1,P 处的切线方程是（ ）
A.20x =
B. 40x =
C. 0x =
D. 20x =
8. 已知正方体被过一面对角线和它对面两棱中点的平面截去一个三棱台后的几何体的主视图与俯视图如下，则它的左视图是（ ）
9. 若圆224x y +=与圆224440x y x y ++-+=关于直线l 对称，则直线l 的方程是（ ）
A.0x y +=
B. 0x y -=
C. 20x y -+=
D. +20x y +=
10. 若直线()100,0ax by a b ++=>>过圆228210x y x y ++++=的圆心，则14a b +的最小值为（ ）
A.8
B.12
C.16
D. 20
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）．
11.方程22
0x y x y m +-++=表示一个圆，则实数m 的取值范围是____________;
12. 若直线()3102110ax y x a y ++=+++=与互相平行，则实数a 的值为___________;
13. 已知正六棱柱的地面边长和侧棱长均为2，其三视图中的俯视图如图所示，则其
左视图的面积是______;
14．已知直线l ：30x y -+=被圆()()22
24x a y -+-=截得的弦长为实数a 的值
为___________;
15.长方体的一个顶点在三条棱长分别为3,4,5，若它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的半径是____.
三、解答题（本大题共3小题，共25分）．
16.（8分）已知直线l 经过直线34202x+y+2=0x y +-=与的交点P ，且垂直于直线310x y -+=
（Ⅰ）求直线l 方程；
（Ⅱ）求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S .
17.（8分）如图,在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正
方形，PA ABCD ⊥平面，E 为PD 的中点，求证：
（Ⅰ）PB 平面AEC
（Ⅱ）PCD PAD ⊥平面平面
18.（9分）若半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线43290x y +-=相切。

（Ⅰ）求圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线()500ax y a -+=>与圆相交，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设两交点为,A B ,是否存在实数a 。

使得弦AB 的垂直平分线l 过点()2,4P -?若存在，求出实数a 的值；若不存在，说明理由。

B 卷
一、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．
1. 已知两点()()2,1,1,2A B --，若直线1y kx =-与线段AB 相交，则斜率k 的取值范围是____________;
2. 一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的体积为_________;
3. 由直线1y x =+上的一点向圆()2231x y -+=做切线，则切线长的最小值为______;
4．实数,x y 满足方程2220x y x +-=，则1y
x +的最大值是____________;
5.某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱的长度中，最大的是______
6.在四面体A BCD -中，棱长为4，M 是BC 的中点，点P 在线段AM 上运动，（点P 不与
,A M 重合）
，过点P 做直线l ABC ⊥平面,l 与平面BCD 交于点Q .给出下列命题，其中正确的是_________
①BC ⊥平面AMD
②点Q 一定在直线DM 上
③C AMD V -=二、解答题（本大题共2小题，共20分）．
7（10分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，点()0,3A ,直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上。

（Ⅰ）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆圆C 的切线，求切线的方程； （Ⅱ）若圆C 上存在点M ，使得2MA MO =，求圆心C 的横坐标的取值范围。

8.（10分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，各个侧面均是边长为2的正方形，D 为线段AC 的中点。

（Ⅰ）求证：BD ⊥平面11ACC A ；
（Ⅱ）求证：直线1AB 平面1BC D ；
（Ⅲ）设M 为线段1BC 上任意一点，在1BC D ∆内的平面区域（包括边界）是否存在点E ，使CE DM ⊥，并说明理由。

北京八中怡海分校
2015-2016高二上学期期中试卷 理科 试卷
参考答案
A 卷
一、选择题（满分50分）
二、填空题（满分25分）
（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题（满分25分） 16．（本小题满分8分）
（Ⅰ）由 解得 的坐标是（，设直线的方程为所求直线的（Ⅱ）由直线的方程知它在轴、轴上的截距分别是所以直线与两坐标轴围成三角形的面积17．（本小题满分8分）
（Ⅰ）连结BD ，AC 交于O ．
∵ABCD 是正方形，∴AO=OC ，OC= 12
AC 连结EO ，则EO 是△PBD 的中位线，可得EO ∥PB
∵EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB∥平面AEC
（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴CD⊥PA
又∵ABCD是正方形，可得AD⊥CD，且PA∩AD=A
∴CD⊥平面PAD ∵CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD 18．（本小题满分9分）
（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．
由于圆与直线4x+3y-29=0相切，且半径为5，
所以，
即|4m-29|=25．因为m为整数，故m=1．
故所求圆的方程为（x-1）2+y2=25．
（Ⅱ）把直线ax-y+5=0，即y=ax+5，
代入圆的方程，消去y，
整理，得（a2+1）x2+2（5a-1）x+1=0，
由于直线ax-y+5=0交圆于A，B两点，
故△=4（5a-1）2-4（a2+1）＞0，
即12a2-5a＞0，
由于a＞0，解得a＞，
所以实数a的取值范围是（）．
（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，
则直线l的斜率为，
l的方程为，
即x+ay+2-4a=0
由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，
所以1+0+2-4a=0，解得．
由于，故存在实数
使得过点P（-2，4）的直线l垂直平分弦AB．
B 卷
一、填空题（满分30分）
二、解答题（满分20分）
7.解：
（Ⅰ）联立得:
解得:
∴圆心
． 当时满足题意; 当时,设切线为:可得圆心到切线的距离即 解得:
(舍去)或 则所求切线为或;
（Ⅱ）设点(),M x y 由知:
化简得:
∴点M 的轨迹为以()0,1为圆心, 2为半径的圆,可记为圆D
又∵点M 在圆C 上,
∴圆C 与圆D 的关系为相交或相切,
∴
其中
∴ 解得:
8.（Ⅰ）因为三棱柱的侧面是正方形，
所以，，， 所以底面ABC 。

因为BC ⊂底面ABC ，所以。

由已知可得，ABC ∆为正三角形。

因为D 是AC 中点，所以BD AC ⊥。

因为1AC CC C ⋂=，所以BD ⊥平面11ACC A ；
（Ⅱ）如下图，连接1BC 交1BC 于点O ，连接OD ，可知点O 为1BC 的中点。

因为点D 是AC 中点，所以1AB OD 。

又因为OD ⊂平面1BC D ，1AB ⊄平面1BC D ， 所以直线1AB 平面1BC D 。

（Ⅲ）在1BC D ∆内的平面区域（包括边界）存在一点E ，使CE DM ⊥。

此时点E 是在线段1C D 上。

证明如下： 如下图，过C 作1CE C D ⊥交线段1C D 于E ，
由（1）可知BD ⊥平面11ACC A ，
而CE ⊂平面11ACC A ，所以BD CE ⊥。

又11,CE C D BD C D D ⊥⋂=，所以CE ⊥平面1BC D 。

又DM ⊂平面1BC D ，所以CE DM ⊥。