2017届高考数学一轮复习 第四章 导数检测试题 文
2017届高考数学(文)人教A版(全国)一轮复习测试：第四章 导数及其应用(1)(单元检测)(1)
(建议用时：90分钟)一、选择题1.(2016·赣州模拟)已知集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |log 4x ＜0.5}，则( ) A.A ∩B ＝∅ B.B ⊆A C.A ∩∁R B ＝∅D.A ⊆B解析 A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜2}，∴B ⊆A . 答案 B2.(2015·济南模拟)函数y ＝log 3（2x －1）的定义域为( ) A.[1，＋∞) B.(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析 要使函数有意义，需满足⎩⎨⎧2x －1＞0，log 3（2x －1）≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞12，x ≥1，∴x ≥1.答案 A3.(2016·佛山质检)下列函数中，可以是奇函数的为( ) A.f (x )＝(x －a )|x |，a ∈R B.f (x )＝x 2＋ax ＋1，a ∈R C.f (x )＝log 2(ax －1)，a ∈RD.f (x )＝ax ＋cos x ，a ∈R解析 对于A ，f (－x )＝(－x －a )|－x |＝(－x －a )|x |，若f (－x )＋f (x )＝(－2a )|x |＝0，则a ＝0，∴A 满足；对于B ，f (－x )＝(－x )2－ax ＋1，若f (－x )＋f (x )＝2x 2＋2＝0，则方程无解，则B 不满足；对于C ，由ax －1＞0，不管a 取何值，定义域均不关于原点对称，则C 不满足；对于D ，f (－x )＝－ax ＋cos(－x )＝－ax ＋cos x ，若f (－x )＋f (x )＝2cos x ＝0，则不满足x 为一切实数，则D 不满足. 答案 A4.(2016·哈师大附中检测)设函数f (x )＝ax ln x (a ∈R ，a ≠0)，若f ′(e)＝2，则f (e)的值为( ) A.1B.e2C.eD.2e解析 f ′(x )＝a ln x ＋a ，故f ′(e)＝2a ＝2，得a ＝1， 故f (x )＝x ln x ，f (e)＝e. 答案 C5.(2015·南昌模拟)曲线y ＝x 2＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为( ) A.3x －y －2＝0 B.x －3y ＋2＝0 C.3x ＋y －4＝0D.x ＋3y －4＝0解析 y ′＝2x ＋1x ，故y ′|x ＝1＝3，故在点(1，1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，化简整理得3x －y －2＝0. 答案 A6.(2016·德州模拟)已知函数y ＝f (x )，x ∈R ，则“y ＝f (x )是奇函数”是“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 “y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”⇔“y ＝f (x )是奇函数或偶函数”，所以“y ＝f (x )是奇函数”是“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”的充分不必要条件，故选A. 答案 A7.若三次函数f (x )＝mx 3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则m 的取值范围是( ) A.(－∞，0)B.(－∞，1)C.(－∞，0]D.(－∞，1]解析 f ′(x )＝3mx 2－1，依题意可得m ＜0. 答案 A8.(2015·青岛一模)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，则x 21＋x 22等于( )A.23B.43C.83D.163解析 由题图可知f (1)＝0，f (2)＝0，∴⎩⎨⎧1＋b ＋c ＝0，8＋4b ＋2c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－3，c ＝2.∴f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，∴f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.由图可知x 1，x 2为f (x )的极值点，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝23. ∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－43＝83. 答案 C9.(2016·胶州一中模拟)若函数f (x )＝x 2＋x －a ，则使得“函数y ＝f (x )在区间(－1，1)内有零点”成立的一个必要不充分条件是( ) A.－14≤a ＜2 B.－14≤a ≤2 C.0＜a ＜2D.－14＜a ＜0解析 函数y ＝f (x )在区间(－1，1)内有零点的充要条件为⎩⎨⎧Δ＝1＋4a ≥0，f （1）＞0，解得－14≤a ＜2，故使函数f (x )在区间(－1，1)内有零点的一个必要不充分条件是－14≤a ≤2. 答案 B10.已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.(0，1)D.(0，＋∞)解析 由题知x >0，f ′(x )＝ln x ＋1－2ax ，由于函数f (x )有两个极值点，则f ′(x )＝0有两个不等的正根，即函数y ＝ln x ＋1与y ＝2ax 的图象有两个不同的交点(x >0)，则a >0；设函数y ＝ln x ＋1上任一点(x 0，1＋ln x 0)处的切线为l ，则k l ＝y ′＝1x 0，当l 过坐标原点时，1x 0＝1＋ln x 0x 0⇒x 0＝1，令2a ＝1⇒a ＝12，结合图象知0<a <12，故选B. 答案 B 二、填空题11.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x＋a ，x ≤111－x，x ＞1，且f (0)＝2，则f (f (1))＝________.解析 由题意知f (0)＝e 0＋a ＝1＋a ＝2，故a ＝1，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x＋1，x ≤1，11－x，x ＞1，所以f (f (1))＝f (e ＋1)＝11－（e ＋1）＝－1e .答案 －1e12.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝______.解析 ∵f (x )在x ＝1处取极值，由f ′(x )＝2x （x ＋1）－（x 2＋a ）（x ＋1）2＝x 2＋2x －a（x ＋1）2＝0，∴x ＝1是x 2＋2x －a ＝0的根，∴a ＝3. 答案 313.(2015·陕西卷)设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________.解析 y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x 2 (x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2 (m >0)，因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1，1). 答案 (1，1)14.已知f (x )＝2x 3－6x 2＋3，对任意的x ∈[－2，2]都有f (x )≤a ，则a 的取值范围为________.解析 由f ′(x )＝6x 2－12x ＝0，得x ＝0或x ＝2. 又f (－2)＝－37，f (0)＝3，f (2)＝－5， ∴f (x )max ＝3，又f (x )≤a ，∴a ≥3. 答案 [3，＋∞) 三、解答题15.已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R ).(1)若函数f (x )的图象在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，求a ，b 的值； (2)若函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围. 解 (1)因为f ′(x )＝x －ax (x ＞0)，又f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ln 2＝2＋b ，2－a2＝1，解得a ＝2，b ＝－2ln 2. (2)若函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，则f ′(x )＝x －ax ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≤x 2在(1，＋∞)上恒成立.所以有a ≤1.故实数a 的取值范围是(－∞，1]. 16.已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在x ＝2处取得极值为c －16. (1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3，3]上的最小值. 解 (1)因为f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b ， 由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16， 故有⎩⎨⎧f ′（2）＝0，f （2）＝c －16，即⎩⎨⎧12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16.化简得⎩⎨⎧12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ， f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2). 令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2. 当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＞0， 故f (x )在(－∞，－2)上为增函数；当x ∈(－2，2)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(－2，2)上为减函数； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(2，＋∞)上为增函数. 由此可知f (x )在x ＝－2处取得极大值f (－2)＝16＋c ， f (x )在x ＝2处取得极小值f (2)＝c －16. 由题设条件知16＋c ＝28，解得c ＝12. 此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3， f (2)＝－16＋c ＝－4，因此f (x )在[－3，3]上的最小值为f (2)＝－4.17.(2016·威海模拟)已知关于x 的函数f (x )＝ax －ae x (a ≠0). (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的极值；(2)若函数F (x )＝f (x )＋1没有零点，求实数a 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝－a e x （x －2）（e x ）2＝－a （x －2）e x ，当a ＝－1时，x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：所以，当a ＝－1时，函数f (x )的极小值为f (2)＝－e －2. (2)F ′(x )＝f ′(x )＝－a （x －2）e x.①当a ＜0时，x 变化时，F (x )，F ′(x )的变化情况如下表：若使函数F (x )没有零点，需且仅需F (2)＝ae 2＋1＞0，解得a ＞－e 2， 所以此时－e 2＜a ＜0，②当a ＞0时，x 变化时，F (x )，F ′(x )的变化情况如下表：因为F (2)＞F (1)＞0，且F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－10a ＝e1－10a －10e1－10a ＜e －10e1－10a＜0， 所以此时函数F (x )总存在零点.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－e 2，0).18.(2016·洛阳模拟)设函数f (x )＝ax ＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3.(1)讨论函数h (x )＝f （x ）x 的单调性；(2)如果对任意的s ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围.解 (1)∵h (x )＝a x 2＋ln x ，∴h ′(x )＝－2a x 3＋1x ＝x 2－2ax 3， ①当a ≤0时，h ′(x )＞0，函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a ＞0时，令h ′(x )＞0，得x ＞2a ，即函数h (x )的单调递增区间为(2a ，＋∞)；令h ′(x )＜0，得0＜x ＜2a ，即函数h (x )的单调递减区间为(0，2a ).(2)由g (x )＝x 3－x 2－3，得g ′(x )＝3x 2－2x ＝3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23，∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－258，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－8527，g (2)＝1，∴g (x )max ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 故对任意的s ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立.等价于当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，f (x )＝a x ＋x ln x ≥1恒成立，等价于a ≥x －x 2ln x 恒成立，∴a ≥u (x )max ，记u (x )＝x －x 2ln x ，u ′(x )＝1－2x ln x －x ，u ′(1)＝0. 令m (x )＝1－2x ln x －x ，m ′(x )＝－3－2ln x ，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，∴m ′(x )＝－3－2ln x ＜0，∴m (x )＝u ′(x )＝1－2x ln x －x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上递减，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时，u ′(x )＞0，当x ∈(1，2]时，u ′(x )＜0，即函数u (x )＝x －x 2ln x 在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1上递增，在区间(1，2]上递减，∴u (x )max＝u (1)＝1，从而a ≥1， 即a 的取值范围为[1，＋∞).。
2017版高考数学(鲁、京、津专版理)一轮复习文档：第四章 三角函数、解三角形 4.4 含答案
1．y＝A sin（ωx＋φ）的有关概念y＝A sin(ωx ＋φ）（A>0，ω>0)，x∈R 振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝错误!＝错误!ωx＋φφ2.用五点法画y＝A sin（ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：x错误!错误!错误!错误!错误!ωx＋φ0错误!π错误!2πy＝A sin(ωx＋φ）0A0－A03。
函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin（ωx＋φ）（A〉0,ω>0)的图象的步骤如下:【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1）利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．（×）(2）y＝sin错误!的图象是由y＝sin错误!的图象向右平移错误!个单位得到的．( √)(3）由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点的值确定的．（√）（4)函数f(x）＝A sin(ωx＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．（×)(5）函数y＝A cos（ωx＋φ）的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为错误!.（√）1．y＝2sin错误!的振幅、频率和初相分别为( ）A．2，错误!，－错误! B．2，错误!，－错误!C．2，错误!,－错误!D．2,错误!，－错误!答案A2．为了得到函数y＝sin（2x＋1）的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动错误!个单位长度B．向右平行移动错误!个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行移动1个单位长度答案A解析y＝sin 2x的图象向左平移错误!个单位长度得到函数y＝sin 2(x ＋错误!)的图象，即函数y＝sin(2x＋1)的图象．3．（2015·湖南)将函数f（x）＝sin 2x的图象向右平移φ错误!个单位后得到函数g(x）的图象，若对满足|f(x1）－g（x2)|＝2的x1，x2，有｜x1－x2｜min＝错误!，则φ等于（)A。
山东省2017届高三数学(理)一轮复习专题突破训练：导数及其应用 含解析
山东省2017届高三数学理一轮复习专题突破训练导数及其应用一、选择、填空题1、（2016年山东高考）若函数y =f （x ）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f （x ）具有T 性质。
下列函数中具有T 性质的是（A ）y =sin x （B ）y =ln x (C)y =e x（D ）y =x 32、(临沂市2016届高三11月期中质量检测）函数21x y e =+在点()0,1处切线的斜率为 A.2-B.2 C 。
12-D. 123、(临沂市2016届高三11月期中质量检测）定义在R 上的函数()f x 满足()11f =，且对任意x R ∈都有()12f x '<，则不等式()3312x f x +>的解集为_________。
4、（齐鲁名校协作体2016届高三上学期第二次调研联考）设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，R x ∈∀，有2)()(x x f x f =+-,在),0(+∞上x x f <')(，若m m f m f 22)()2(->--，则实数m 的取值范围为5、（德州市2016届高三上学期期末）32()32f x ax x =++，若'(1)3f -=，则函数在1x =-处的切线方程为A ．35y x =+B ．35y x =-C ．35y x =-+D ．35y x =--6、（济宁市2016届高三上学期期末）已知函数()sin cos f x x x =+，且'()3()f x f x =，则x 2tan 的值是（ )A.34- B.34 C.43- D 。
437、（胶州市2016届高三上学期期末）已知函数()21=cos 4f x xx +，()f x '是函数()f x 的导函数,则()f x '的图象大致是8、（临沂市2016届高三上学期期末）已知函数()321132f x x ax bx c =+++在1x 处取得极大值，在2x 处取得极小值，满足()()121,0,0,1x x ∈-∈,则242a b a +++的取值范围是A.()0,2 B 。
高考总复习一轮数学精品课件 第4章 导数及其应用 素能培优(四) 公切线问题
函数 y=g(x)在点 Q 处的切线方程为 y-ln
比较①和②得
e
1 -1
=
1
③,
2
1
x2= (x-x2),整理得
2
1
y= x+ln x2-1②,
2
(1-1 )e 1 -1 = ln 2 -1④,
两曲线公切线的条数即为该方程组解的组数,
2 -1
' = e ,
21 = e 2 ,
即
4(2 -1)
a= e2 ,设
4(-1)
f(x)= e ,则
4(2-)
f'(x)= e ,令
ae 2 =4x2-4,
f'(x)=0,解得 x=2,
所以 f(x)在(1,2)内单调递增,在(2,+∞)内单调递减,所以
B.3
C.e+1
D.2
解析 设(t,et)是 f(x)图象上的一点,f'(x)=ex,
所以 f(x)在点(t,et)处的切线方程为 y-et=et(x-t),y=etx+(1-t)et①,
令
1 t
g'(x)==e ,解得
-t
-t
-t
2--e
x=e ,所以 g(e )=ln e +2=2-t,所以
[对点训练1](2024·福建南平模拟)已知曲线y=aln x和曲线y=x2有唯一公共
点,且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l,则l的方程为__________.
2 ex-y-e=0
解析 设曲线 g(x)=aln x 和曲线 f(x)=x2 在公共点(x0,y0)处的切线相同,
2017版高考数学(文)(全国)一轮复习文档：第四章 三角函数、解三角形 4.5 含答案
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β（C（α－β）) cos（α＋β）＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C(α＋β））sin（α－β）＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S（α－β)) sin（α＋β）＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S（α＋β)) tan（α－β)＝错误!(T（α－β）)tan(α＋β)＝错误!(T(α＋β）)2．二倍角公式sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan 2α＝2tan α1－tan2α。
3．公式的逆用、变形等（1)tan α±tanβ＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)；(2）cos2α＝错误!，sin2α＝错误!；(3）1＋sin 2α＝（sin α＋cos α）2,1－sin 2α＝（sin α－cos α）2，sin α±cos α＝2sin错误!.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”）（1)存在实数α，β，使等式sin（α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √）（2)在锐角△ABC中，sin A sin B和cos A cos B大小不确定．（×)（3）公式tan（α＋β)＝错误!可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)（1－tan αtan β）,且对任意角α，β都成立．( ×）（4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.（√）（5）两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．（√）1．化简错误!等于（）A．1 B.错误!C。
错误!D．2答案C解析原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!。
2．若错误!＝错误!，则tan 2α等于( )A．－错误! B.错误!C．－错误! D.错误!答案B解析由错误!＝错误!，等式左边分子、分母同除cos α得，错误!＝错误!,解得tan α＝－3,则tan 2α＝错误!＝错误!.3．（2015·重庆)若tan α＝错误!，tan(α＋β）＝错误!,则tan β等于（) A。
2017届高考数学(文)人教A版(全国)一轮复习测试：第四章 导数及其应用(2)(单元检测)(1)
第四章 导数及其应用 (建议用时：80分钟)1.已知函数f (x )＝ln x ＋x 2＋ax (a ∈R ).若函数f (x )在其定义域上为增函数，求a 的取值范围.解 法一 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， ∵f (x )＝ln x ＋x 2＋ax ，∴f ′(x )＝1x ＋2x ＋a . ∵函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴f ′(x )≥0，即1x＋2x ＋a ≥0对x ∈(0，＋∞)都成立. ∴－a ≤1x ＋2x 对x ∈(0，＋∞)都成立.∵当x ＞0时，1x ＋2x ≥21x ·2x ＝22，当且仅当1x ＝2x ，即x ＝22时取等号.∴－a ≤22，即a ≥－2 2. ∴a 的取值范围为[－22，＋∞). 法二 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， ∴f (x )＝ln x ＋x 2＋ax ， ∴f ′(x )＝1x ＋2x ＋a ＝2x 2＋ax ＋1x .方程2x 2＋ax ＋1＝0的判别式Δ＝a 2－8.①当Δ≤0，即－22≤a ≤22时，2x 2＋ax ＋1≥0，此时，f ′(x )≥0对x ∈(0，＋∞)都成立，故函数f (x )在定义域(0，＋∞)上是增函数.②当Δ＞0，即a ＜－22或a ＞22时，要使函数f (x )在定义域(0，＋∞)上为增函数，只需2x 2＋ax ＋1≥0对x ∈(0，＋∞)都成立. 设h (x )＝2x 2＋ax ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧h （0）＝1＞0，－a 4＜0，解得a ＞0.故a ＞2 2.综合①②得a 的取值范围为[－22，＋∞).2.(2016·胶州一中模拟)设f (x )＝ax 3＋bx ＋c (a ≠0)为奇函数，其图象在点(1，f (1))处的切线与直线x －6y －7＝0垂直，导函数f ′(x )的最小值为－12.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调增区间，并求函数f(x)在[－1，3]上的最大值和最小值. 解(1)因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c所以c＝0，又f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－12，所以b＝－12.由题设知f′(1)＝3a＋b＝－6.所以a＝2，故f(x)＝2x3－12x.(2)f′(x)＝6x2－12＝6(x＋2)(x－2).当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况表如下：所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞).因为f(－1)＝10，f(3)＝18，f(2)＝－82，f(－2)＝82，当x＝2时，f(x)min＝－82；当x＝3时，f(x)max＝18.3.(2016·湖北七市(州)联考)已知函数f(x)＝13x3＋1－a2x2－ax－a，x∈R，其中a＞0.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(－2，0)内恰有两个零点，求a的取值范围. 解(1)f′(x)＝x2＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a).由f′(x)＝0，得x＝－1或x＝a(a＞0).当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：故函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，(a ，＋∞)；单调递减区间是(－1，a ). (2)由(1)知f (x )在区间(－2，－1)内单调递增， 在区间(－1，0)内单调递减，从而函数f (x )在区间(－2，0)内恰有两个零点当且仅当⎩⎨⎧f （－2）＜0，f （－1）＞0，f （0）＜0，解得0＜a ＜13.所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13.4.(2015·合肥模拟)已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 3＋ax 2－x ＋2.(1)如果函数g (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1，求函数g (x )的解析式；(2)对任意x ∈(0，＋∞)，2f (x )≤g ′(x )＋2恒成立，求实数a 的取值范围. 解 (1)g ′(x )＝3x 2＋2ax －1由题意3x 2＋2ax －1＜0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1，即3x 2＋2ax －1＝0的两根分别是－13，1.将x ＝1或－13代入方程3x 2＋2ax －1＝0，得a ＝－1. 所以g (x )＝x 3－x 2－x ＋2.(2)由题意2x ln x ≤3x 2＋2ax －1＋2在x ∈(0，＋∞)上恒成立， 可得a ≥ln x －32x －12x ， 设h (x )＝ln x －32x －12x ，则h ′(x )＝1x －32＋12x 2＝－（x －1）（3x ＋1）2x 2，令h ′(x )＝0，得x ＝1或－13(舍)，当0＜x ＜1时，h ′(x )＞0，当x ＞1时，h ′(x )＜0，所以当x ＝1时，h (x )取得最大值，h (x )max ＝－2，所以a ≥－2，所以a 的取值范围是[－2，＋∞). 5.(2015·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝e 2x －a ln x . (1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数； (2)证明：当a ＞0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a .解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2e 2x －ax (x ＞0).当a ≤0时，f ′(x )＞0，f ′(x )没有零点；当a ＞0时，因为y ＝e 2x 单调递增，y ＝－ax 单调递增， 所以f ′(x )在(0，＋∞)单调递增.又f ′(a )＞0，当b 满足0＜b ＜a 4且b ＜14时， f ′(b )＜0，故当a ＞0时，f ′(x )存在唯一零点.(2)证明 由(1)，可设f ′(x )在(0，＋∞)的唯一零点为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0.故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0).由于2e2x 0－a x 0＝0，所以f (x 0)＝e2x 0－a ln x 0＝a2x 0－a ln a 2e2x 0＝a 2x 0－a ln a 2＋2ax 0＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a .故当a ＞0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a .6.(2016·烟台模拟)已知函数f (x )＝x 3＋x ＋k 在(b ，f (b ))处的切线方程为4x －y －1＝0(b ＞0).m (x )＝f (x )－x 3－1－a ln x ，g (x )＝－1＋ax ，(a ∈R ).(1)求k ，b 的值；(2)设函数h (x )＝m (x )－g (x )，求函数h (x )的单调区间；(3)若在[1，e](e ＝2.718…)上存在一点x 0，使得m (x 0)＜g (x 0)成立，求a 的取值范围.解 (1)由题意知：f ′(x )＝3x 2＋1，因为f (x )＝x 3＋x ＋k 在(b ，f (b ))处的切线方程为4x －y －1＝0，其中b ＞0.所以⎩⎨⎧3b 2＋1＝4，b 3＋b ＋k ＝4b －1，解得⎩⎨⎧b ＝1，k ＝1.(2)h (x )＝x ＋1＋a x －a ln x .h ′(x )＝1－1＋a x 2－a x ＝x 2－ax －（1＋a ）x 2＝（x ＋1）[（x －（1＋a ）]x 2.①当a＋1＞0时，即a＞－1时，当x∈(0，1＋a)时，h′(x)＜0，当x∈(1＋a，＋∞)时，h′(x)＞0，所以h(x)在(0，1＋a)上单调递减，在(1＋a，＋∞)上单调递增.②当a＋1≤0，即a≤－1时，当x∈(0，＋∞)时，h′(x)＞0，所以函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增.(3)在[1，e]上存在一点x0，使得m(x0)＜g(x0)成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h(x)＜0.即函数h(x)＝x＋1＋ax－a ln x在[1，e]上的最小值小于零.由(2)可知①当a＋1≥e，即a≥e－1时，h(x)在[1，e]上单调递减，所以h(x)的最小值为h(e)，由h(e)＝e＋1＋ae－a＜0可得a＞e2＋1e－1，因为e2＋1e－1＞e－1，所以a＞e2＋1e－1；②当a＋1≤1，即a≤0时，h(x)在[1，e]上单调递增，所以h(x)最小值为h(1)，由h(1)＝1＋1＋a＜0可得a＜－2；③当1＜a＋1＜e，即0＜a＜e－1时，可得h(x)最小值为h(1＋a)，因为0＜ln(a＋1)＜1，所以0＜a ln(a＋1)＜a，所以h(1＋a)＝2＋a－a ln(1＋a)＞2，此时h(1＋a)＜0不成立.综上可得所求a的范围是a＞e2＋1e－1，或a＜－2.。
高考总复习一轮数学精品课件 第4章 导数及其应用 课时规范练29 利用导数研究函数的零点
数 f(x)在(0,+∞)内有两个不同的零点.
1 2 3 4 5 6
5.(2024·辽宁锦州模拟)已知函数f(x)=x3-aln x.
(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;
(2)函数f(x)在区间(1,e]上存在两个不同的零点,求实数a的取值范围.
1 2 3 4 5 6
2 1
解 (1)当 a=1 时,f(x)=x -ln x,定义域为(0,+∞),f'(x)=3x - =
(1)若a=1,求f(x)的单调区间;
(2)讨论函数f(x)的零点个数.
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解 (1)函数定义域为R,当a=1时,f(x)=e2x-ex-x,
所以f'(x)=2e2x-ex-1=(2ex+1)(ex-1).
当x<0时,f'(x)<0,当x>0时,f'(x)>0,则函数f(x)在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)
1
1
所以 f(x)在(0,2),(a,+∞)内单调递增,在(2,a)内单调递减.
1
综上所述,当 a=2时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间;
1
1
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当 0<a<2时,f(x)的单调递增区间为(0,a),(2,+∞),单调递减区间为(a,2);
1
1
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当 a> 时,f(x)的单调递增区间为(0, ),(a,+∞),单调递减区间为( ,a).
内单调递增,即函数f(x)的单调递减区间是(-∞,0),单调递增区间是(0,+∞).
(2)当a=1时,由(1)知,f(x)min=f(0)=0,因此函数f(x)只有1个零点.
2017年高考数学一轮复习讲练测 专题3.5 导数的综合(测)(浙江版)(解析版) 含解析
班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选择中,只有一个是符合题目要求的。
)1.【【百强校】2016届宁夏石嘴山三中高三下三模】已知a 是常数，函数3211()(1)232f x x a x ax =+--+的导函数'()y f x =的图像如图所示，则函数()|2|x g x a =-的图像可能是（ ）【答案】D2. 【2015—2016学年江西省宜春市奉新一中高二下第一次月考】如x yO2图所示，连结棱长为2cm 的正方体各面的中心得一个多面体容器,从顶点A 处向该容器内注水，注满为止.已知顶点B 到水面的高度h 以每秒1cm 匀速上升,记该容器内水的体积3()V cm 与时间()t s 的函数关系是()V t ,则函数()V t 的导函数()y V t ='的图像大致是( ）【答案】D()()()()22311422222223333V t t t t =⨯⨯-⨯⨯-⨯-=--， ∴()()()()()2'2'21,2212y V t t t y V t t t ==≤==-<≤3。
若函数f （x ）＝a （x 3－x ）的递减区间为33(，则实数a 的取值范围是( )A ．（0,＋∞）B ．（－1,0）C ．（1，＋∞）D ．(0，1）【答案】A【解析】∵f ′(x ）＝a （3x 2－1)＝3a (x+(x ,x时,要使f ′(x ）＜0，必须有a ＞0.故选A.4。
【【百强校】2017届四川省成都市高中毕业班摸底】曲线sin y x x =在点(,0)P π处的切线方程是（ ）A ．2y x ππ=-+B ．2y x ππ=+ C ．2y x ππ=-- D ．2y x ππ=-【答案】A【解析】试题分析：()sin y f x x π==，()'sin cos f x x x π=+,()'f ππ=-,曲线sin y x x =在点(,0)P π处的切线方程是()2y x x ππππ=--=-+,故选A 。
2017届高考数学(理科全国通用)一轮总复习习题：阶段滚动月考卷(四) 含答案
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阶段滚动月考卷(四）立体几何(时间：120分钟分值:150分)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1。
（滚动单独考查）（2016·重庆模拟）已知集合A=｛0，1,m}，B=｛x｜0〈x<2｝，若A∩B={1，m｝,则m的取值范围是（) A。
（0，1) B。
（1，2)C.(0，1)∪（1，2）D。
（0,2）2。
（滚动单独考查）（2016·长春模拟）如图，点A，B在圆C上，则·的值( ）A。
只与圆C的半径有关B.只与弦AB的长度有关C.既与圆C的半径有关，又与弦AB的长度有关D。
是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值3.设m，n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A。
若α⊥β，m⊂α,n⊂β，则m⊥nB。
若m⊥α，m∥n，n∥β,则α⊥βC。
若m⊥n，m⊂α,n⊂β,则α⊥βD.若α∥β,m⊂α，n⊂β，则m∥n4。
已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（)A.cm3B。
2πcm3C。
cm3D。
3πcm35。
(滚动交汇考查)已知x>0，y〉0，lg2x+lg8y=lg2，则+的最小值是（)A。
2 B.2 C.2D。
46.(2016·青岛模拟）设α,β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线。
命题p：若α⊥β,l⊂α，m⊂β,则l∥m；命题q：若l∥α,m⊥l，m⊂β,则β⊥α,则下列命题为真命题的是( ）A。
p或q B。
p且qC。
p或q D。
p且q7。
(2016·长沙模拟）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正（主)视图的面积不可能等于（）A。
1 B。
C.D。
8。
已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为( ）A. B. C. D.9.如图，在四面体ABDC中，AB=1，AD=2,BC=3,CD=2，∠ABC=∠DCB=,则二面角A-BC—D的大小为( ）A。
高考数学一轮复习 第四章 导数检测试题 文 北师大版
第四章检测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1、已知定义在R上的函数2()sinxf x e x x x=+-+，则曲线()y f x=在点(0,(0))f处的切线方程是A．21y x=-B．1y x=+C．32y x=-D．23y x=-+2、设2()3xf x x e=，则(2)f'=A．12e B．12e2 C．24e D．24e23 ．已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一,且其导函数y=f’(x)的图像如右图所示,则该函数的图像是4．曲线33y x x=-上切点为(2,2)P-的切线方程是（）（A）916y x=-+（B）920y x=-（C）2y=-（D）916y x=-+或2y=-5 ．设P为曲线C：223y x x=++上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则点P横坐标的取值范围为 ( )A．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B．[]1,0- C．[]0,1D．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦6 ．函数2()f x x bx a=-+的图象如图所示，则函数()ln()g x x f x'=+的零点所在的区间是（）A．11(,)42B．1(,1)2C．（1，2） D．(2,3)A DCB7、已知e 为自然对数的底数，函数y x =e x的单调递增区间是A . )1,⎡-+∞⎣B ．(1,⎤-∞-⎦C ．)1,⎡+∞⎣D ．(1,⎤-∞⎦8 ．设函数)(x f 的定义域为R ,)0(00≠x x 是)(x f 的极大值点,以下结论一定正确的是（ ）A ．)()(,0x f x f R x ≤∈∀B ．0x -是)(x f -的极小值点C ．0x -是)(x f -的极小值点D ．0x -是)(x f --的极小值点9．家电下乡政策是应对金融危机，积极扩大内需的重要举措．我市某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定的时间T 内完成预期运输任务Q 0，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如下图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )10已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ） （A ）0x R ∃∈，0()0f x =（B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形（C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减 （D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x =11、三次函数32()f x x bx cx d =+++),,(R d c b ∈在区间[1,2]-上是减函数，那么b c +的取值范围是 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-215,B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-215, C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-215, D ．⎥⎦⎤⎝⎛-∞-215,A ．αβγ>>B ．βαγ>>C ．γαβ>>D ．βγα>>12．已知函数1()(*)n f x x n N +=∈的图象与直线1x =交于点P ，若图象在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，则12013log x ＋22013log x ＋…＋20122013log x 的值为（ ）A ．－1B ． 1－log 20132012C ．-log 20132012D ．1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴,则a =____________.14已知)1('2)(2xf x x f +=，则=)0('f .15.设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，'()0f x >，且1()02f -=，则不等式()0f x <的解集为__________．16、函数()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = ． 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知函数1331(223+-+=x m mx x x f ），m ∈R . （Ⅰ）当1=m 时，求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程； （Ⅱ）若)(x f 在区间(2,3)-上是减函数，求m 的取值范围.18．(本题满分12分)已知a∈R,函数f(x)=2x 3-3(a+1)x 2+6ax(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (Ⅱ)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值.19．(本题满分12分)某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r是瓶子的半径，单位是cm，已知每出售1 mL饮料，制造商可获利0.2分，且制造商制作的瓶子的最大半径为6 cm.试求出瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大或最小．20．(本题满分12分)设函数()()2()2ln 11f x x x =---． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调递增区间；（II ）若关于x 的方程()230f x x x a +--=在区间[]2,4内恰有两个相异的实根，求实数a 的取值范围．21. （本小题满分12分）设函数2()2xk f x e x x =--. （Ⅰ）若0k =，求()f x 的最小值； （Ⅱ）若1k =，讨论函数()f x 的单调性.22．(本题满分12分)已知函数()e ,x f x x =∈R .(Ⅰ) 求f (x )的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;(Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线2112y x x =++有唯一公共点.(Ⅲ) 设a <b , 比较2a b f +⎛⎫⎪⎝⎭与()()f b f a b a --的大小, 并说明理由.参考答案1、【答案】B【解析】令0x =，解得(0)1f =. 对()f x 求导，得()f x 'x e =+2x −1+cosx ，令0x =，解得(0)1f '=，故切线方程为1y x =+.选B. 2、【答案】D【解析】函数的导数为2'()63x x f x xe x e =+，所以222222'(2)6232121224f e e e e e =⨯+⨯=+=，选D.3、【答案】B 【解析】由导函数图像可知函数的函数值在[-1,1]上大于零，所以原函数递增，且导函数值在[-1,0]递增，即原函数在[-1,1]上切线的斜率递增，导函数的函数值在[0,1]递减，即原函数在[0,1]上切线的斜率递减，所以选B4、【答案】A【解析】导数2'33y x =-则切线斜率2332=9k =-⨯-，所以切线方程为(2)9(2)y x --=--，即切线为916y x =-+选A. 5、答案：A【解析】设00(,)P x y ，倾斜角为α，22y x '=+，则[]0tan 220,1k x α==+∈,解得011,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，故选A 6、B 7、B8、【答案】D【解析】本题考查的是函数的极值．函数的极值不是最值，A 错误；因为)(x f --和)(x f 关于原点对称，故0x -是)(x f --的极小值点，D 正确．211ln ,,00,02y x x y x y x x x x''=-∴=->∴<Q 由≤，解得-1≤≤1,又≤1,故选B 9、【答案】B解析 由题意可知，运输效率越来越高，只需曲线上点的切线的斜率越来越大即可，观察图形可知，选项B 满足条件，故选B. 10、【答案】C【解析】若0c =则有(0)0f =，所以A 正确。
福建省2017届高三数学文一轮复习专题突破训练：导数及其应用 含答案
福建省2017届高三数学文一轮复习专题突破训练导数及其应用一、选择、填空题1、（2016年全国I 卷）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（A ）[]1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C)11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦2、(2016年全国I 卷）函数2||2e x y x=-在[2,2]-的图象大致为3、(2015年全国I 卷）已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则a =。
4、（福州市2016届高三5月综合质量检测）已知a ∈R ,函数321()23f x x ax ax =-++的导函数()f x '在(),1-∞内有最小值．若函数()()f x g x x '=，则（A ）()g x 在()1,+∞上有最大值 （B ）()g x 在()1,+∞上有最小值 （C ）()g x 在()1,+∞上为减函数（D ）()g x 在()1,+∞上为增函数5、(福州一中、福州三中、福安二中2016届高三下学期模拟联考）已知函数()()()11,14ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则方程()f x ax =恰有两个不同的实根时,实数a 的取值范围是(A ）)e1,0(（B))e1,41[（C)10,4⎛⎫⎪⎝⎭（D ）)e ,41[ 6、（南平市2016届高三3月质量检查）已知函数）（x f ＝x x x x ee x e e --+++sin ，其导函数记为）（xf '，则（）（）（）（2016--2016-20162016f f f f '+'+—（）（）（2016-20162016f f f +'+-（）2016--f '-）（）（）（）（2016--2016-20162016f f f f '+'+= (A ）2016 （B ）0 (C)1（D ）27、（泉州市2016届高三第二次(5月）质量检查)已知函数()()321xf x x a x ax a e ⎡⎤=+--+⎣⎦,若0x =是()f x 的一个极大值点,则实数a 的取值范围为 ．8、（泉州五校2016届高三12月联考）下面四个图中有一个是函数321()1(0)3f x x ax a R a =-+∈≠且的导函数'()f x 的图象，则(1)f -等于( )A ．13-B ．13C ．73D ．1533-或9、（厦门市2016届高三第二次（5月）质量检查）若函数)0(cos )(>=ωωx x f 在区间），（43-ππ上有且只有两个极值点,则ω的取值范围是( )A . [)32，B . (]32，C 。
江苏省2017届高三数学一轮复习专题突破训练：导数及其应用 含答案
江苏省2017年高考一轮复习专题突破训练导数及其应用一、填空题1、（无锡市2016届高三上期末)过曲线1(0)y x x x=->上一点0(,)P x y 处的切线分别与x 轴，y 轴交于点A 、B ，O 是坐标原点，若OAB ∆的面积为13,则0x =2、（2014年江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线),(y 2为常数b a xbax +=过点)5,2(P -，且该曲线在点P 处的切线与直线0327x =++y 平行,则b a +的值是 ▲ ．3、（2013年江苏高考）抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部与边界）.若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 。
4、(南通市2016届高三一模）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与曲线)0(2>=x xy 和)0(3>=x x y 均相切,切点分别为),(11y x A 和),(22y x B ,则21x x 的值是5、函数f(x ） =xe x 在点A （0,f （0））处的切线斜率为＿＿＿＿6、已知函数321()13f x xx ax =+++，若函数()f x 在区间[2,]a -上单调递增，则实数a 的取值范围是7、过曲线C:y=x x ln 上点（1，()1f ）处的切线方程为 。
8、设函数32()1f x x ax x =-+-在点(1，f （1））的切线与直线x + 2y －3 = 0垂直，则实数a 等于＿＿9、(苏锡常镇四市2015届高三教情况调研（一)）若曲线321:612C y axx x=-+与曲线2:e xCy =在1x =处的两条切线互相垂直，则实数a 的值为10、（2015届江苏苏州高三9月调研）函数()321122132f x axax ax a =+-++的图象经过四个象限的充要条件是 ▲11、（常州市2015届高三上期末)曲线cos y x x =-在点22⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线方程为 ▲12、（常州市武进区2015届高三上期期中考试）函数()f x 是定义在R上的偶函数，(2)0f -=,且0x >时，()()0f x xf x '+>，则不等式()0>xf x 的解集是 ▲二、解答题1、（2016年江苏高考）已知函数()(0,0,1,1)xx f x ab a b a b =+>>≠≠。
(好题)高中数学选修1-1第四章《导数应用》检测卷(答案解析)(1)
一、选择题1．对任意0x >，若不等式2e ln e xa x ax x++≥恒成立(e 为自然对数的底数)，则正实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,e]B ．2(0,e ]C ．2[,e]eD ．22[,e ]e2．已知函数()f x 定义域为R ，其导函数为f x ，且()()30f x f x '->在R 上恒成立，则下列不等式定成立的是（ ） A ．()()310f e f <B ．()()210f e f < C ．()()310f e f >D ．()()210f e f >3．已知函数21ln 22y x a x x =--在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．34a ≤-B ．1a ≤-C ．1a ≤D ．01a ≤≤4．已知函数4213(),42f x x x mx n =-++其中m ，n 为正整数，若函数()f x 有极大值，则m 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．甲乙两人进行乒乓球友谊赛，每局甲胜出概率是()01p p <<，三局两胜制，甲获胜概率是q ，则当q p -取得最大值时，p 的取值为（ ）A ．12B ．12-C ．12+D ．236．已知对任意实数x 都有()()2xf x f x e '-=，()01f =-，若()()1f x k x >-恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞B ．323,42e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．()121,4eD ．()321,4e7．已知函数()13log xf x e x =-,给出下列两个命题:命题:p 若01x ≥,则()03f x ≥;命题[)0:1,q x ∃∈+∞,()03f x =.则下列叙述错误的是( )A ．p 是假命题B ．p 的否命题是:若01x <,则()03f x <C ．[):1,q x ⌝∀∈+∞,()3f x ≠D ．q ⌝是真命题8．已知函数()()()0ln 10xe xf x x x ax x -⎧-<⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的图象上存在关于原点对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),1e -∞-B ．()1,e -+∞C ．[)1,e -+∞D ．(],1e -∞-9．定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x '+<，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．(3)2(2)2ef f e +<+ B ．(3)2(2)2ef f e +>+ C ．(3)2(2)2f e ef +<+D ．(3)2(2)2f e ef +>+10．设()f x 是定义在R 上的偶函数，()f x '为其导函数，()20f =，当0x >时，有()()'>xf x f x 恒成立，则不等式()0xf x <的解集为（ ）A ．()2,2-B ．()(),20,2-∞-C ．()()2,00,2-D ．()()2,02,-+∞11．若函数(1),()21,x x e x af x x x a⎧-+=⎨-->⎩有最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．211[,)22e --+∞ B ．21[,)2e -+∞ C ．[2-，)+∞D ．211(2,]22e--- 12．已知函数()()()22ln 0f x a e x xa =->，1,1D e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若所有点()(),s f t (s ，t D ∈)所构成的平面区域面积为2e 1-，则a =（ ） A ．eB ．1e 2- C ．1 D ．2e e - 二、填空题13．已知函数1()ln (0)a x f x x a x x a e=++-<，若()0f x ≥在[)2,x ∈+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为___________.14．已知函数()2cos sin 2f x x x =+，则()f x 的最大值是__________．15．已知函数3223,01()21,1x x m x f x mx x ⎧-+≤≤=⎨-+>⎩，若函数()f x 的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为________．16．函数()31443f x x x =-+的极大值为______. 17．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()1xf x '<，且(1)1f =，则不等式(31)ln(31)1f x x ->-+的解集是________．18．已知函数()(0)x f x ae a =>与2()2(0)g x x m m =->的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数m 变化时，实数a 的取值范围为______________. 19．函数()2sin f x x ax =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减，则实数a 的取值范围为______.20．已知函数22(0)()4(0)x e x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，若x R ∀∈，()f x mx ≥，则实数m 的取值范围是________． 三、解答题21．已知函数()xae f x x =，0a ≠，0x >，若函数()f x 的最小值为e （e 为自然对数的底数）．（1）求实数a 的值； （2）方程1()0f x m x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭在[]1,2有解，求m 的取值范围． 22．已知函数()21xx x f x e+-=. （1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的方程； （2）求函数()y f x =的极值. 23．已知函数()3213 1.3f x x x x =+-- （1）求函数()f x 的极值；（2）求函数()f x 在区间[]5,4-上的最大值与最小值． 24．已知函数()ln 1ln f x x x x x =+--．（Ⅰ）设函数()y f x =在1x =和x e =处的切线交直线1y =于,M N 两点，求||MN ； （Ⅱ）设()0f x 为函数()y f x =的最小值，求证：()0102f x -<<． 25．已知()ln ,(0,],R f x ax x x e a =-∈∈.（1）当1a =时，求()f x 的单调性和极值; （2）若()3f x ≤有解，求a 的取值范围.26．已知函数()ln f x x ax =-有两个不同的零点()1212,x x x x <，其中e 2.71828=是自然对数的底数.（1）求实数a 的取值范围； （2）求证：（i ）1x <；（ii ）212x x ->.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】将不等式化简并换元，构造函数2()ln e (e)f t t a t t =-+≥，则min ()0f t ≥即可，对函数求导，判断导函数零点与区间端点的关系，分类讨论得出函数的单调性和最小值，代入求解可得正实数a 的取值范围． 【详解】22e e e ln e ln e 0x x x a x ax a x x x ++≥⇔-+≥，令e x t x=(由e e x x ≥可知e t ≥)， 则2ln e 0t a t -+≥，设2()ln e (e)f t t a t t =-+≥，则min ()0f t ≥即可，易得()1(e)a t a f t t t t-'=-=≥， ①当0e a <≤时，()0f t '≥，所以此时()(e)y f t t =≥是增函数，故2min ()(e)e e 0f t f a ==-+≥，解得2e e a ≤+，又0e a <≤，所以0e a <≤；②当e a >时，则()y f t =在[,)e a 上递减，在(,)a +∞上递增，故min ()()f t f a =，min ()0()0f t f a ≥⇔≥，所以2ln e 0a a a -+≥，设2()ln e (e)g a a a a a =-+>，故()0g a ≥即可，而()ln (e)g a a a '=->，显然()0g a '<，即()y g a =在(e,)+∞上递减，又2(e )0g =，而()0g a ≥，所以2()(e )g a g ≥，所以2e a ≤，又e a >，因此2e e a <≤.综上所述，0e a <≤或2e e a <≤，即2(0,e ]a ∈. 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题，考查导数在单调性和最值中的应用，考查分类讨论思想，关于恒成立问题的几种常见解法总结如下： 1.参变分离法，将不等式恒成立问题转化为函数求最值问题；2.主元变换法，把已知取值范围的变量作为主元，把求取值范围的变量看作参数；3.分类讨论，利用函数的性质讨论参数，分别判断单调性求出最值；4.数形结合法，将不等式两端的式子分别看成两个函数，作出函数图象，列出参数的不等式求解．2．A解析：A 【分析】构造函数()()3xf xg x e=，由()()30f x f x '->得0g x ，进而判断函数()g x 的单调性，判断各选项不等式. 【详解】()()3x f x g x e =，则()()()()()()3323333x x x xf x e f x e f x f xg x e e ⋅--=='''， 因为()()30f x f x '->在R 上恒成立， 所以0g x在R 上恒成立，故()g x 在R 上单调递减， 所以()()10g g <，即()()3010f f e e<，即()()310f e f <， 故选：A. 【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.3．B解析：B 【分析】 由函数21ln 22y x a x x =--在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，知'0y ≥在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，分离参数，求最值得答案. 【详解】 因为函数21ln 22y x a x x =--在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增， 所以22'20a x x ay x x x--=--=≥在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，所以222(1)1a x x x ≤-=--在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，所以1a ≤-， 故选：B. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关根据函数在给定区间上单调增求你参数的取值范围的问题，解题方法如下：（1）利用函数在给定区间上单调递增，得到其导数大于等于零在给定区间上恒成立； （2）求导；（3）分离参数，求最小值，得结果.4．A解析：A 【分析】对()f x 进行求导得3()3f x x x m '=-+，构造新函数3()3,h x x x m x R =-+∈，利用导数研究函数()h x 的单调性，结合题意，可知函数()f x 有极大值，则()()1010h h ⎧->⎪⎨<⎪⎩，求解不等式且结合m ，n 为正整数，即可得出结果.【详解】 由题可知，4213()42f x x x mx n =-++()x R ∈， 则3()3f x x x m '=-+，设3()3,h x x x m x R =-+∈，则2()33h x x '=-，令2()330h x x '=-=，解得：121,1x x =-=，则当1x <-或1x >时，()0h x '>；当11x -<<时，()0h x '<，所以()h x 在区间()(),1,1,-∞-+∞上单调递增；在区间()1,1-上单调递减， 又因为函数()f x 有极大值， 则()()1010h h ⎧->⎪⎨<⎪⎩，即()()120120h m h m ⎧-=+>⎪⎨=-<⎪⎩，解得：22m -<<，而m ，n 为正整数，所以m 的值为1. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，从而求参数值，构造新函数且利用导数求出单调区间是解题的关键，考查转化思想和运用能力.5．C解析：C 【分析】采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜：甲净胜二局，前二局甲一胜一负，第三局甲胜，由此能求出甲胜概率，进而求得的最大值. 【详解】采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜： 甲净胜二局概率为2p ；前二局甲一胜一负，第三局甲胜概率为12(1)C p p p -⋅22(1)p p =-则22(1)q p p p =+-，得q p -222(1)p p p p =+--3223p p p =-+-(01)p <<， 设3223y p p p =-+-，(01)p <<， 则2661y p p '=-+-336()(66p p -+=--- 则函数y在33(0,),(,1)66-+单调递减，在33(,66-+单调递增，故函数在p =处取得极大值，也是最大值. 故选：C. 【点睛】本题考查了概率的求法和应用以及利用导数求函数最值的方法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用，属于中档题.6．D解析：D 【分析】由导数的运算求出()f x ，然后用分离参数法得出1x >时，(21)1x e x k x -<-，1x <时，(21)1x e x k x ->-，再设(21)()1x e x h x x -=-，求出()h x 在1x >时最小值，在1x <时的最大值，从而可得k 的范围． 【详解】因为()()2xf x f x e '-=，所以()()2x f x f x e '-=，即()2x f x e '⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以()2x f x x c e =+（c 为常数），()(2)x f x e x c =+，由(0)1f c ==-，()(21)x f x e x =-，不等式()()1f x k x >-为(21)(1)xe x k x ->-，1x =时，不等式为0e >，成立，1x >时，(21)1x e x k x -<-，1x <时，(21)1x e x k x ->-， 设(21)()1x e x h x x -=-，则2(23)()(1)x xe x h x x -'=-，当312x <<或01x <<时，()0h x '<，当32x >或0x <时，()0h x '>，所以()h x 在(0,1)和31,2⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭和(,0)-∞上是增函数，1x >时，()h x 在32x =时取得极小值也最小值32342h e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由(21)1x e x k x -<-恒成立得324k e <，1x <时，()h x 在0x =时取得极大值也是最大值(0)1h =，由(21)1x e x k x ->-恒成立得1k >，综上有3214k e <<． 故选：D ． 【点睛】本题考查导数的运算，考查用导数研究不等式恒成立问题，用分离参数法转化为求函数的最值是解题关键，解题时注意分类讨论思想的应用．7．D解析：D 【分析】分析函数()13log xf x e x =-为增函数，若01x ≥，求出[)1,x ∈+∞时函数的值域，结合命题间的基本关系即可得答案. 【详解】由函数的解析式可得函数的定义域为： ()0,∞+, 且导函数()10ln 3xf x e x '+=>， 则函数单调递增，结合()1131log 1e f e =-=， 可得当1≥x 时，函数的值域为[),e +∞.据此可知p 是假命题， q 是真命题， q ⌝是假命题. 结合全称命题与特称命题的关系可得：p 的否命题是：若01x <,则()03f x <.[):1,q x ⌝∀∈+∞，()3f x ≠故选：D 【点睛】本题通过考查函数的单调性和极值来考查命题间的基本关系，属于中档型综合题.8．C解析：C 【分析】转化条件为当0x >时，ln 1x e x x a x--=有解，令()ln 1,0x e x x g x x x --=>，通过导数确定()g x 的取值范围即可得解.若()f x 的图象上存在关于原点对称的点， 则当0x >时，()()ln 1x ex x ax ----=++有解，即当0x >时，ln 1x e x x ax =++有解，所以当0x >时，ln 1x e x x a x--=有解，令()ln 1,0x e x x g x x x--=>，则()()()2ln 1ln 1xx e x x e x x g x x -----'=()()()221111xx x e x e x x x ----+==， 当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减， 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以()()min 11g x g e ==-，()[)1,g x e ∈-+∞， 所以[)1,a e ∈-+∞. 故选：C. 【点睛】本题考查了函数与方程的综合应用及利用导数研究方程有解问题，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.9．A解析：A 【分析】设()()2xxF x e f x e =-，求导并利用()()2f x f x '+<可得()F x 在R 上单调递减，根据(2)(3)F F >可得结果.【详解】设()()2x xF x e f x e =-，则[]()()()2()()2x x x xF x e f x e f x e ef x f x '''=+-=+-，因为()()2f x f x '+<，所以()()()20F x e f x f x ''⎡⎤=+-<⎣⎦，所以()F x 在R 上单调递减，则(2)(3)F F >，即2233(2)2(3)2e f e e f e ->-，故(3)2(2)2ef f e +<+． 故选：A. 【点睛】本题考查了构造函数解决导数问题,考查了利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题.10．B解析：B构造函数()()f xg x x=，易知()g x 在()0,∞+上单调递增，由()f x 是定义在R 上的偶函数可推出()g x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，故()g x 在(),0-∞上也单调递增，且()()220g g =-=.而不等式()0xf x <的解可等价于即()0g x <的解，从而得解. 【详解】解：设()()f x g x x =，0x ≠，则()()()'2xf x f x g x x -'=， ∵当0x >时，有()()'xf x f x >恒成立，∴当0x >时，()0g x '>，()g x 在()0,∞+上单调递增，∵()f x 是定义在R 上的偶函数， ∴()()()()f x f x g x g x x x--===---，即()g x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数， ∴()g x 在(),0-∞上也单调递增. 又()20f =，∴()()2202f g ==，∴()20g -=. 不等式()0xf x <的解可等价于即()0g x <的解， ∴02x <<或2x <-， ∴不等式的解集为()(),20,2-∞-.故选：B . 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，考查函数的单调性，利用了构造思想，导函数的运用，属于中档题．11．A解析：A 【分析】由x a >时，()21f x x =--递减，且无最大值，可得x a 时，()f x 取得最大值M ，且21M a --，求出x a 时，()f x 的导数和单调区间、极大值，讨论2a <-，判断单调性，可得最大值，解不等式判断无解，则2a -，求出最大值，解不等式即可得到所求a 的范围. 【详解】解：由x a >时，()21f x x =--递减，可得()21f x a <--，无最大值，函数(1),()21,x x e x af x x x a⎧-+=⎨-->⎩有最大值，可得x a 时，()f x 取得最大值M ，且21M a --，由()(1)x f x x e =-+的导数为()(2)x f x x e '=-+，可得2x >-时，()0f x '<，()f x 递减；2x <-时，()0f x '>，()f x 递增. 即有()f x 在2x =-处取得极大值，且为最大值2e -.若2a <-，则()f x 在(-∞，]a 递增，可得()()f x f a (1)aa e =-+，由题意可得(1)21a a e a -+≥--，即得(1)210aa e a +--≤， 令(1))1(2aa e g a a +--=，则()(2)20ag a a e '=+-<，(2)a <-， 则()g a 在(),2-∞-递减，可得2(2)0()3g a g e ->-=-+>，则不等式(1)210a a e a +--≤无实数解.故2a -，此时在2x =-处()f x 取得最大值，为2e --，故221e a ----， 解得21122a e --， 综上可得，a 的范围是211[22e--，)+∞. 故选：A. 【点睛】本题考查了分段函数的最值问题，考查转化思想，以及分类讨论思想方法，注意运用导数，求出单调区间和极值､最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题.12．D解析：D 【分析】求得导函数()'f x ，确定()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，从而可得题中平面区域面积，解之可得a . 【详解】解：()()2222a e x f x a e x x -⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭，因为1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0a >，所以()0f x '>，()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()f x 在1,1e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为()22,a e e a ⎡⎤+⎣⎦， 因为所有点()(),s f t (s ，t D ∈)所构成的平面区域面积为2e 1-， 所以()221211a e e e e ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭，解得2ea e =-， 故选：D .【点睛】本题考查用导数求函数的值域，解题方法是求出导函数，用导数确定函数的单调性，求得值域区间，然后可计算出题设平面区域面积，得出结论．二、填空题13．【分析】根据不等式恒成立得到在上恒成立令函数对其求导判定其在区间上的单调性得到在上恒成立再令利用导数的方法求出其最大值即可得出结果【详解】由在上恒成立得：在上恒成立易知当时令函数则在上恒成立则单调递 解析：[,0)e -【分析】根据不等式恒成立，得到ln ln a a x x x x e e ---≥-在[2,)x ∈+∞上恒成立，令函数()ln (01)g t t t t =-<<，对其求导，判定其在区间[2,)+∞上的单调性，得到ln x a x≥-在[2,)x ∈+∞上恒成立，再令()(2)ln xF x x x=-≥，利用导数的方法求出其最大值，即可得出结果. 【详解】由()0f x ≥在[2,)x ∈+∞上恒成立，得：ln ln a a x x x x e e ---≥-在[2,)x ∈+∞上恒成立，易知当[2,)x ∈+∞，0a <时，01a x <<，01x e -<<，令函数()ln (01)g t t t t =-<<，则1()10g t t'=->在()0,1t ∈上恒成立，则()g t 单调递增，故有a x x e -≥，则log ln xx xa e x-≥=-在[2,)x ∈+∞上恒成立， 令()(2)ln x F x x x=-≥，则21ln ()(ln )x F x x '-=，由()0F x '=得x e =，所以()2x e ∈,时，()0F x '>，则()F x 单调递增；,)[x e ∈+∞时，()0F x '<，则()F x 单调递减；故max ()()F x F e e ==-，则a e ≥-，所以0e a -≤<. 故答案为：[,0)e -. 【点睛】 方法点睛：由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.14．【分析】求导后利用导数的正负求得函数的单调区间利用单调性求得函数的最大值【详解】由题意知是周期为的偶函数当时得的减区间为当时的增区间为所以当时取最大值故答案为：【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最【分析】求导后利用导数的正负求得函数的单调区间，利用单调性求得函数的最大值. 【详解】2()2sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)f x x x x x x x '=-+=-+-=--+由题意知()f x 是周期为2π的偶函数， 当()0f x '≤时，得()f x 的减区间为52,2()66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 当()0f x '≥时，()f x 的增区间为5132,2()66Z k k k ππππ⎡⎤++⎢⎥∈⎣⎦，所以当2()6x k k Z ππ=+∈时，()f x 取最大值2．【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，意在考查学生的数学运算的学科素养，属中档题.15．【分析】利用导数求得在区间上的单调性和最值对分成三种情况进行分类讨论由此求得的取值范围【详解】当时所以在区间上递减最大值为最小值为当时在区间上没有零点在区间上递增而所以在区间上没有零点所以不符合题意解析：1(0,)2【分析】利用导数求得()f x 在区间[]0,1上的单调性和最值，对m 分成0,0,0m m m <=>三种情况进行分类讨论，由此求得m 的取值范围. 【详解】当01x ≤≤时，()()'26661fx x x x x =-=-，所以()f x 在区间[]0,1上递减，最大值为()0f m =，最小值为()11f m =-.当0m <时，()f x 在区间[]0,1上没有零点，在区间()1,+∞上递增， 而2110m -⨯+>，所以()f x 在区间()1,+∞上没有零点.所以0m <不符合题意.当0m =时，3223,01()1,1x x x f x x ⎧-≤≤=⎨>⎩，所以()f x 在区间[)0,+∞上有唯一零点()00f =，所以0m =不符合题意.当0m >时，()f x 在区间[]0,1和区间()1,+∞上递减，要使()f x 的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则需0102110m m m >⎧⎪-≤⎨⎪-⨯+>⎩，解得102m <<.综上所述，m 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：1(0,)2【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.16．【分析】求函数导数解得的根判断导函数在两侧区间的符号即可求解【详解】由解得或时当时是的极大值点函数的极大值为故答案为：【点睛】本题主要考查了基本初等函数的求导公式二次函数的图象以及函数极大值点的定义 解析：283【分析】求函数导数，解得()0f x '=的根，判断导函数在2x =±两侧区间的符号，即可求解. 【详解】()31443f x x x =-+,2()4,f x x '∴=-由()0f x '=解得2x =±，2x ∴<-或2x >时，()0f x '>，当22x -<<时，()0f x '<， 2x ∴=-是()f x 的极大值点，∴函数的极大值为128(2)(8)8433f -=⨯-++=， 故答案为：283【点睛】本题主要考查了基本初等函数的求导公式，二次函数的图象，以及函数极大值点的定义及其求法，属于中档题.17．【分析】构造函数利用导数判断单调性再利用单调性解不等式即可【详解】构造函数则依题意知即在上是减函数又因为所以所以的解为即即的解为所以的解为即即解集是故答案为：【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式解析：12,33⎛⎫⎪⎝⎭【分析】构造函数()()ln 1(0)g x f x x x =-->，利用导数判断单调性，再利用单调性解不等式即可. 【详解】构造函数()()ln 1(0)g x f x x x =-->，则1()1()()xf x g x f x x x'-''=-=，依题意知()0g x '<，即()()ln 1g x f x x =--在0,上是减函数.又因为(1)1f =，所以(1)(1)ln110g f =--=，所以()(1)g x g >的解为01x <<，即()ln 10f x x -->即()ln 1f x x >+的解为01x <<，所以(31)ln(31)1f x x ->-+的解为0311x <-<，即1233x <<，即解集是12,33⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：12,33⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式，属于中档题.18．【分析】设切点为根据已知得求出得构造函数求出的范围即可【详解】设切点为则整理得由解得由上可知令则因为所以在上单调递减所以即故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义利用导数求参数的范围考查计算求解能力解析：280,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【分析】设切点为()00,A x y ，根据已知得0000()(),()()f x g x f x g x ='='，求出02x >，得04x x a e=，构造函数4(),2x xh x x e =>，求出()h x 的范围即可. 【详解】 设切点为()00,A x y ，(),()4xf x aeg x x '='=则0020024x x ae x m ae x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，整理得20004200x x m x m ⎧=-⎪>⎨⎪>⎩， 由200240m x x =->，解得02x >.由上可知004x x a e =，令4()xx h x e=，则4(1)()x x h x e -'=. 因为2x >，所以4(1)4()0,()x xx xh x h x e e-'=<=在(2,)+∞上单调递减， 所以280()h x e <<，即280,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故答案为：280,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数求参数的范围，考查计算求解能力，属于中档题.19．【分析】首先求出函数的导数依题意可得在上恒成立参变分离根据余弦函数的性质求出参数的取值范围；【详解】解：因为所以因为函数在上的单调递减所以在上恒成立即在上恒成立因为在上单调递减所以所以即故答案为：【 解析：[2,)+∞【分析】首先求出函数的导数，依题意可得()2cos 0f x x a '=-≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，参变分离，根据余弦函数的性质求出参数的取值范围； 【详解】解：因为()2sin f x x ax =-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以()2cos f x x a '=-， 因为函数()2sin f x x ax =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减， 所以()2cos 0f x x a '=-≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立， 即2cos a x ≥在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， 因为()2cos g x x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()max 02cos02g x g === 所以2a ≥，即[)2,a ∈+∞ 故答案为：[)2,+∞ 【点睛】本题考查根据函数的单调性求参数的取值范围，利用导数研究函数的单调性，属于中档题.20．【分析】由函数的解析式分类讨论利用分离参数结合导数和基本不等式即可求解【详解】由题意函数（1）当时由可得即设可得当时单调递减；当时单调递增所以即；（2）当时由可得当时显然成立；当时可得因为当且仅当时 解析：[4,2]e -【分析】由函数的解析式，分类讨论，利用分离参数，结合导数和基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，函数22,0,()4,0,x e x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，（1）当0x >时，由()f x mx ≥，可得2xe mx ≥，即2xe m x≤，设2()x e g x x =，可得22(21)()x e x g x x-'=， 当102x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当12x >时，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以min 1()22g x g e ⎛⎫==⎪⎝⎭，即2m e ≤； （2）当0x ≤时，由()f x mx ≥，可得24x mx +≥， 当0x =时显然成立； 当0x <时，可得4m x x ≥+，因为444x x x x ⎛⎫+=--+≤- ⎪-⎝⎭，当且仅当1x =-时取等号， 所以4m ≥-.综上可得，实数m 的取值范围是[4,2]e -， 故答案为：[4,2]e -. 【点睛】本题主要考查了函数的恒成立问题的求解，以及分段函数的性质的应用，其中解答中根据分段函数的分段条件，合理分类讨论，利用分离参数，结合导数和基本不等式求解是解答的关键，着重考查了转化思想，分类讨论思想，以及推理与运算能力.三、解答题21．（1）1；（2）2[,]52--e e；【分析】（1）求导然后分类讨论0a <与0a >两种情况，求出最小值即可计算a 的值；（2）参变分离将等式转化为21-=+x e m x ，设2()1=+xe g x x ，然后求导判断单调性，求解最值，即可得m 的取值范围. 【详解】（1）22(1)()x x x axe ae ae x f x x x'--==，当0a <时，函数在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，此时函数有最大值，与题意不符；当0a >时，函数在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以()min (1)===f x f ae e ，可得1a =；（2）1()0f x m x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭在[]1,2有解，即2(1)0++=x e m x 在[]1,2有解，即21-=+x e m x 在[]1,2有解，设2()1=+xe g x x ，()()2221()01-'=≥+x x e g x x 恒成立，所以()g x 在[]1,2上单调递增，2minmax ()(1),()(2)25====e e g x g g x g ，所以225≤-≤e e m ，得252-≤≤-e em ，所以m 的取值范围为2[,]52--e e.【点睛】（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最小值问题．（2）若可导函数()f x 在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为()0f x '≥ （或()0f x '≤）恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．22．（1）210x y --=；（2）极小值为e -，极大值为25e. 【分析】（1）求出函数的导数，计算()()0,0f f '的值，求出函数的切线方程即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式求出函数的单调区间，求出函数的极值即可. 【详解】（1）函数()21xx x f x e +-=定义域为R ，且()()()()()22211x x x x x e x x e f x e ''+-⋅-+-'=()()22211=xxxx e x x e e+⋅-+-⋅22=x x x e -++()()12=xx x e-+-， ∵曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线斜率()02k f ='=，又()01f =-，则切点为()0,1-，∴所求切线方程为()()120y x --=-即210x y --=. （2）∵()()()12xx x f x e-+-'=又>0x e ， 由()0f x '=得1x =-或2x =，当(),1x ∈-∞-和()2,+∞时，()0f x '<，此时()f x 为减函数；当()1,2x ∈-时，()0f x '>，此时()f x 为增函数，由()f x 的单调性知函数的极小值为()1f e -=-，极大值为()22525=f e e -=. 【点睛】本题考查函数的切线方程、极值的问题，关键点是由导数的几何意义可求出切线方程，第二问求出导函数利用单调性求出函数的极值，考查了学生的基础知识、计算能力． 23．（1）答案见解析；（2）最大值是733，最小值是83-．【分析】（1）求得导函数，并计算()0f x '=的根，列表判断极值即可得结果； （2）根据（1）的极值再比较()853f -=-，()7343f =的大小即可得最值. 【详解】解：（1）函数()321313f x x x x =+--的定义域为R ． ()()()22331f x x x x x '=+-=+-．令()0f x '=，解得3x =-，或1x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示．因此，当3x =-时，函数f x 有极大值，并且极大值为38f -=， 当1x =时，函数()f x 有极小值，并且极小值为()318f =-． （2）由（1）知，函数()f x 在区间[]5,4-上， 极大值为()38f -=，极小值为()318f =-． 又由于()853f -=-，()7343f =， 所以函数()f x 在区间[]5,4-上的最大值是733，最小值是83-．【点晴】方法点晴：求极值的方法步骤：1、求函数定义域；2、求导函数并解方程()0f x '=的根；3、列表判断极值.24．（Ⅰ）2||1e MN e =-；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）求出导函数，得切线方程，然后求得交点,M N 坐标后可得线段长MN ； （Ⅱ）由零点存在定理得()'f x 存在一个零点0(1,2)x ∈，并求出最小值0()f x ，利用0()0f x '=化简0()f x 后根据0(1,2)x ∈可证上得结论．【详解】解：（Ⅰ）函数()f x 的导函数为11()1ln 1ln f x x x x x'=+--=-． 所以1(1)1,()1f f e e''=-=-．又因为(1)0,()0f f e ==， 因此()y f x =在1x =和x e =处的切线方程分别为1y x =-+和1()e y x e e-=-． 令1y =，可得M 和N 的坐标分别为(0,1)和2,11e e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，故2||1e MN e =-．（Ⅱ）因为1()ln f x x x'=-在(0,)+∞上单调递增，而1(1)10,(2)ln 202f f ''=-<=->， 所以必然存在0(1,2)x ∈，满足()00f x '=，且当()00,x x ∈）时()0f x '<，当()0,x x ∈+∞时()0f x '>． 即()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，当0x x =时，()f x 取得最小值()00000ln 1ln f x x x x x =+--． 由()00f x '=可得001ln x x =，所以()00012f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 当0(1,2)x ∈时，00152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()0102f x -<<． 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的最值．求最值时在极值点0x 不能直接求出时，对极值点（最值点）0x 进行定性分析：确定其取值范围，利用注意0()0f x '=得出0x 满足的性质，代入0()f x 化简表达式后再求解．25．（1）当01x <<时，()f x 单调递减；当1x e <≤时，()f x 单调递增；极小值为1，无极大值；（2）(2,e ⎤-∞⎦.【分析】（1）求导得()11'1x f x x x -=-=，进而得函数的单调区间与极值； （2）根据题意3ln x a x x≤+在(]0,x e ∈时有解，设()3ln x g x x x =+，(]0,x e ∈，进而求函数()g x 的最大值即可得取值范围.【详解】解:(1)由题意，函数()ln f x x x =-，则()11'1x f x x x-=-=， 当01x <<时，()'0f x <，()f x 单调递减;当1x e <≤时()'0f x >，()f x 单调递增.∴()f x 的极小值为()11f =，无极大值.(2)∵()(]ln ,0,f x ax x x e =-∈， ∴ln 3ax x -≤在(]0,x e ∈时有解，即3ln x a x x≤+在(]0,x e ∈时有解， 令()3ln x g x x x =+，(]0,x e ∈，则()2231ln 'x g x x x -=-+22ln x x+=-. 令()'0g x =，得21x e =，当210x e<<时，()'0g x >，()g x 单调递增; 当21x e e <≤时，()'0g x <，()g x 单调递减. ∴()2222132max g x g e e e e ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭， ∴实数a 的取值范围是(2,e ⎤-∞⎦. 【点睛】不等式恒成立或能成立，转化为函数的最值与参数的关系，设I 是定义域的子集，通常有：min ,()()x I a g x a g x ∀∈<⇔<，max ,()()x I a g x a g x ∀∈>⇔<，max ,()()x I a g x a g x ∃∈<⇔<，min ,()()x I a g x a g x ∃∈>⇔<.26．（1）10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【分析】（1）函数()ln f x x ax =-有两个不同的零点，等价于ln x a x =在(0,)+∞上有两个不同的实根，记ln ()x g x x=，对函数求导判断单调性，可得实数a 的取值范围； （2）（i ）将()1212,x x x x <代入方程并参变分离，利用分析法可知，需证明111ln 20x x x e -+>，构造()ln 2,(1,)h x x x x e x e =-+∈，求导判断单调性与最值即可证明不等式成立；（ii ）设()()()21ln 11x x x x x ϕ-=->+，对函数求导判断单调性可得：()()21ln 011x x x x ->>>+，由1122ln ln x ax x ax =⎧⎨=⎩，两式作差可得2121ln x x a x x =-，利用证得的不等式进行放缩，可得不等式成立．【详解】（1）函数()ln f x x ax =-有两个不同的零点()1212,x x x x <，变量分离得ln x a x=在(0,)+∞上有两个不同的实根，记ln ()x g x x =，则21ln ()x g x x -'= 当(0,)x e ∈时，()0,()'>g x g x 单调递增； 当(,)x e ∈+∞时，()0,()g x g x '<单调递减.且0x →时，()g x →-∞；x →+∞时，()0g x → 故10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （2）（i ）因为12,x x 是ln x ax =的两根，由（1）可知121x e x <<<，且1122ln ln x ax x ax =⎧⎨=⎩(只涉及变量1x ，故只用11ln x ax =)，所以11ln x a x =要证211111111120ln 20x ax ax x e x x x e a<⇔->⇔-+>⇔-+> 构造函数()ln 2,(1,)h x x x x e x e =-+∈，则()ln 10h x x '=-<，()h x 在()1,e 上递减 所以()()0>=h x h e ，原不等式成立.（ii ）解析1：放缩设()()()21ln 11x x x x x ϕ-=->+，则()()()()222114011x x x x x x ϕ-'=-=>++恒成立， ()x ϕ∴在()1,+∞单调递增，()()10x ϕϕ>=，即()()21ln 011x x x x ->>>+ 由1122ln ln x ax x ax =⎧⎨=⎩，可得221211221212112121ln ln ln 121x x x x x x a x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭==>⋅=---++，从而212x x a >-，则21112x x x a ->->，要证明：212x x ->，只需证>11ae a ⇔>⇔<，证毕! 解析2：对数平均不等式 由对数平均不等式2112211ln ln 2x x x x a x x -+=<-，所以122x x a+>，由（i）可知11x a-<，所以212x x a >->，从而21x x -=，即212x x -=，只需> 下同解法1.【点睛】方法点睛：本题考查导数研究函数的单调性与零点问题，考查导数证明不等式，设函数()y f x =在[],a b 上连续，在(),a b 上可导，则：1.若()0f x '>，则()y f x =在[],a b 上单调递增；2.若()0f x '<，则()y f x =在[],a b 上单调递减．。
(好题)高中数学选修1-1第四章《导数应用》检测卷(有答案解析)(1)
一、选择题1．已知函数32()22sin 524x f x x x π⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭，且()22(34)12f t t f t -+-+<，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(1,4) B ．(,1)(4,)-∞⋃+∞ C ．(4,1)-D ．(,4)(1,)-∞-+∞2．若关于x 的方程2lnx ax x -=在0,上有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],1-∞-B ．(),1-∞-C ．[)1,-+∞D ．()1,-+∞3．将一个边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方盒．若该方盒的体积为2，则a 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．3324．函数()cos f x x x =⋅的导函数为()f x '，则()f x 与()f x '在一个坐标系中的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x '<-，则下列式子成立的是（ ） A ．(2020)(2021)f ef > B ．(2020)(2021)f ef < C ．(2020)(2021)ef f > D ．(2020)(2021)ef f <6．下列不可能是函数()()()xx f x xee Z αα-=-∈的图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数()()()110ln x f x x x++=>，若()1kf x x >+恒成立，则整数k 的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．58．某企业拟建造一个容器(不计厚度，长度单位：米)，该容器的底部为圆柱形，高为l ，底面半径为r ，上部为半径为r 的半球形，按照设计要求容器的体积为283π立方米.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，半球形部分每平方米建造费用为4万元，则该容器的建造费用最小时，半径r 的值为（ ） A ．1B 32C 34D ．29．已知定义域为R 的函数 f x （） 的导函数为'f x （） ，且满足'24f x f x （）﹣（）＞ ，若 01f =（）﹣ ，则不等式22x f x e +（）＞ 的解集为（ ）A ．∞（0，+）B ．1+∞（﹣，）C ．0∞（﹣，）D ．1（﹣，﹣）∞ 10．若函数(1),()21,x x e x af x x x a⎧-+=⎨-->⎩有最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．211[,)22e --+∞ B ．21[,)2e -+∞ C ．[2-，)+∞ D ．211(2,]22e --- 11．已知函数()()()2122x x f x m e m R =+++∈有两个极值点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．10e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．111e⎛⎫--- ⎪⎝⎭，C ．1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，D ．()0+∞，12．设函数()f x 的定义域为R ，其导函数是()f x '，若()()()20,01'+<=f x f x f ，则不等式()2xf x e ->的解集是（ ） A ．()0,1B ．()1,+∞C ．()0,∞+D ．(),0-∞二、填空题13．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，()20f -=，且当0x >时()()20f x xf x x'-<，则不等式()()2110x f x -->的解集是______. 14．已知1a >，若对于任意的1[,)3x ∈+∞，不等式()4ln 3e ln xx x a a -≤-恒成立，则a的最小值为______. 15．已知一个母线长33米的圆锥形容器，则当该容器的容积最大时，其高为___________米.16．对于任意12,[1,)x x ∈+∞，当21x x >时，恒有2121(ln ln )2()a x x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是___________.17．已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，其导函数为()f x '. 当0x ≥时，()()1xf x f x '>-. 若对任意x ∈R ，不等式()()0x x x e f e e ax axf ax -+->恒成立，则正整数a 的最大值为_____.18．已知函数()f x 对定义域内R 内的任意x 都有()()4f x f x =-，且当2x ≠，其导数()f x '满足()()2xf x f x ''<，若()30f =，则不等式()0xf x >的解集为__________.19．如图，现有一个圆锥形的铁质毛坯材料，底面半径为6，高为8.某工厂拟将此材料切割加工成一个圆柱形构件，并要求此材料的底面加工成构件的一个底面，则可加工出该圆柱形构件的最大体积为__________.20．函数()31443f x x x =-+的极大值为______. 三、解答题21．已知函数()ln 1xf x x=-. （1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求()f x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦的最大值和最小值.22．已知R a ∈，函数()1ln f x ax x =--在1x =处取得极值. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数b 的取值范围 23．已知函数()()2xf x e ax a R =-∈.（1）若12a =，求函数()f x 的单调区间 （2）当[]2,3x ∈时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．24．已知函数()ln 1f x a x =，a R ∈.（1）若函数()f x 在()1,+∞上单调递减，求a 的取值范围； （2）若函数()f x 存在最大值，且最大值不大于0，求a 的值. 25．已知函数()1ln f x x x =--. （1）求证：()0f x ≥；（2）求证：对于任意正整数n ，2111111222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 26．已知函数()ln 2f x x x x =-. （1）求函数()f x 的最小值；（2）求函数()()g x f x x e =+-的单调区间；（3）若函数()()h x f x mx =-在[)1,x ∈+∞单调递增，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】先利用二倍角公式和诱导公式化简函数，构造()()6g x f x =-为R 上单调递增的奇函数，再转化不等式为()22(34)g t t g t -<-，利用单调性解不等式即得结果. 【详解】解：33()26cos 2sin 62f x x x x x x x π⎛⎫=++-+=+++⎪⎝⎭令3()()62sin g x f x x x x =-=++，则2()32cos 0g x x x '=++>，()()g x g x -=-， 故()g x 在R 上单调递增，且()g x 为奇函数.不等式()22(34)12f t t f t -+-+<，即()226(34)60f t t f t --+-+-<， 即()22(34)0g t t g t -+-+<，则()22(34)g t t g t -<- 故2234t t t -<-，即2540t t -+<，所以14t <<． 故选：A. 【点睛】 方法点睛：利用函数奇偶性和单调性解不等式问题：（1）()f x 是奇函数，图像关于原点中心对称，利用奇函数性质将不等式()()12f g x f g x ⎡⎤⎡⎤<⎣⎦⎣⎦形式，再利用单调性得到()1g x 和()2g x 的大小关系，再解不等式即可；（2）()f x 是偶函数，图像关于y 轴对称，利用偶函数性质将不等式()()12f g x f g x ⎡⎤⎡⎤<⎣⎦⎣⎦形式，再利用单调性得到()1g x 和()2g x 的大小关系，再解不等式即可.2．B解析：B 【分析】通过分离参数变成ln x a x x=-，构造函数()ln x f x xx =-，利用导数求其单调区间和值域，数形结合写出a 的取值范围. 【详解】2lnx ax x -=故ln xa x x=- 则()ln x f x xx=- ()2'221ln 1ln 1x x x f x x x---=-= 设()21ln g x x x =--，0x >故()'120g x x x=--< ()21ln g x x x =--在0,上为减函数，10g .故()0,1∈x 时()'0f x >；()1,∈+∞x 时()'0f x <.故()ln x f x xx=-在0,1上为增函数，在1,上为减函数.()()max 11f x f ==-，且0,x →时()f x →-∞；,x →+∞时()f x →-∞y a =与()ln x f x x x=-的图象要有两个交点则a 的取值范围为(),1-∞-. 故选：B 【点睛】方程在某区间上有解的问题，可通过分离参数，构造函数，利用导数求该区间上单调区间和值域，得出参数的取值范围.3．C解析：C 【分析】设出小正方形的边长，表示出方盒的体积，然后求导，判断出单调性，然后求解最大值即可. 【详解】设截去的小正方形边长为x ，则方盒高为x ，底边长为2a x -，所以()22,0,2a V a x x x ⎛⎫=-⋅∈ ⎪⎝⎭，则()224(2)(2)(6)V a x x a x x a x a '=-+-=--，令0V '=，得2a x =（舍） 或6a x =，当06ax <<时，0V '>，单调递增；当62a a x <<时，0V '<，单调递减；由题意，则23max 2263627a a a a V V a ⎛⎫⎛⎫==-⋅=≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a ≥，故a 的最小值为3. 故选：C. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．4．A解析：A 【分析】分析函数()f x 、()f x '的奇偶性，以及2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭、()f π'的符号，利用排除法可得出合适的选项. 【详解】函数()cos f x x x =的定义域为R ，()()()cos cos f x x x x x f x -=--=-=-， 即函数()cos f x x x =为奇函数，()cos sin f x x x x '=-，函数()f x '的定义域为R ，()()()()cos sin cos sin f x x x x x x x f x ''-=-+-=-=，函数()f x '为偶函数，排除B 、C 选项；22f ππ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，()1f π'=-，则()02f f ππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭''.对于D 选项，图中的偶函数为()f x '，由02f π⎛⎫'< ⎪⎝⎭，()0f π'<与题图不符，D 选项错误， 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.5．A解析：A 【分析】构造函数()()xg x e f x =，求导判定函数单调性，根据单调性得(2020)(2021)g g >化简即可. 【详解】解：依题意()()0f x f x '+<，令()()xg x e f x =，则()(()())0xg x f x f x e ''=+<在R 上恒成立， 所以函数()()xg x e f x =在R 上单调递减， 所以(2020)(2021)g g >即20202021(2020)(2021)(2020)(2021)e e e f f f f >⇒>故选：A. 【点睛】四种常用导数构造法：（1）对于不等式()()0f x g x ''+> (或0<) ，构造函数()()()F x f x g x =+． （2）对于不等式()()0f x g x ''->(或0<) ，构造函数()()()F x f x g x =-．（3）对于不等式()()0f x f x '+>(或0<) ，构造函数()()xF x e f x =．（4）对于不等式()()0f x f x '->(或0<) ，构造函数()()xf x F x e =． 6．B解析：B 【分析】 由函数()()xx f x xee α-=-，分0a =， a 为正整数，a 为正偶数，a 为正奇数，a 为负整数分析其定义域，奇偶性和单调性判断. 【详解】当0α=时，()xxf x e e -=-其定义域为{}|0x x ≠，关于原点对称，又()()()xx x x f x ee e ef x ---=-=--=-，所以()f x 是奇函数，且单调递增，没有选项符合题意；当α为正整数时，()()xx f x x ee α-=-的定义域为R ，图象经过原点，当0x >时， ()()11()())(x x x x x xf x x e e e e x e e x x x ααααα-----'⎡⎤⎡⎤==-+++⎣⎦+⎣-⎦，因为0,0xxx x e ee e --->+>，所以()0f x '>，则()f x 递增，又存在0M >，当x M >时，随着x 的增大，()'f x 的变化率越来越大， 若α为正偶数，则()f x 是奇函数，此时C 选项符合题意； 若α为正奇数，则()f x 是偶函数，此时A 选项符合题意； 当α为负整数时，()()xx f x xee α-=-的定义域为{}|0x x ≠，当α为负奇数，()()()()xx f x x e e f x α--=--=，()f x 为{}|0x x ≠上的偶函数，无选项符合；当α为负偶数时且4α≤-时，()()()()xx f x x ee f x α--=--=-，()f x 为{}|0x x ≠上的奇函数， 当0x >时，()()211(())x x x x f x x e e x x x x x e e x ααααααα----+⎛⎫+--+ ⎪-⎝'⎡⎤=+=⎦⎭⎣， 令()2,0x x S x e x x αα-+=+>-， 则()()()()()2222222xxxxx x S x e x x e ααααα---+-'=-=-⨯--，令(),0x x x x αϕ->=，则()01xx ϕ'<=，故(),0xx x x αϕ->=为减函数，而()00ϕα=->，()()()23ln ln 2ln t t t αααϕ---+=+=-，其中2t =≥，令()232ln ,2u t t t t t =+-≥，则()()2223,2t t u t t t+-'=≥，则()()22232+440tt +-≤⨯-<，故()232ln ,2u t t t t t =+-≥为减函数，所以()2ln 240u t ≤-<，()()ln 0ϕα-<，所以存在()00x ∈+∞,，使得当()00,x x ∈时，()0x ϕ>即()0S x '<， 当()0,x x ∈+∞时，()0x ϕ<即()0S x '>，故()S x 在()00,x 为减函数，在()0,x +∞为增函数，因为()00S =，故()00S x <，而当x a >-时，()0S x >，故存在()10,x ∈+∞，使得当()10,x x ∈时，()0S x <即()0f x '<，当()1,x x ∈+∞时，()0S x >即()0f x '>，所以()f x 在()10,x 上为减函数，在()1,x +∞为增函数， 又当0x >时，()0f x >恒成立，故D 选项符合题意. 对任意的整数α，当α为非负整数时，()f x 在0x =处有定义，且()f x '在0x =不间断，故B 不符合题意，当α为负整数时，()f x 在0x =处没有定义，故B 不符合题意， 故选：B. 【点睛】方法点睛：对于知式选图问题的解法：1、从函数的定义域，判断函数图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置；2、从函数的单调性，判断函数图象的变换趋势；3、从函数的奇偶性，判断函数图象的对称性；4、从函数的周期性，判断函数图象图的循环往复；5、从函数的特殊点，排除不和要求的图象；7．B解析：B 【分析】 将不等式化为()()111ln x x k x +++>，令()()()111ln x g x xx ++=+，求出导函数，利用导数判断函数的单调性，从而可得()02,3x ∃∈使()00g x '=，进而可得()()001()g x x x g ≥=+，即求.【详解】()()()1ln 10x f x x x++=>， ()1k f x x ∴>+可化为()111ln x k x x ++>+ 即()()111ln x x k x+++>， 令()()()111ln x g x xx ++=+， 则()()()()21ln 11111x x x x ln x g x x +++---++⎡⎤⎣⎦'= ()211x ln x x --+=令()()11h x x ln x =--+， 则()111h x x '=-+，()0,x ∈+∞时， ()0h x '>，()g x '∴在()0,∞+单调递增.又()()1ln 32ln 420,30,49g g --''=<=> ()02,3x ∃∈使()00g x '=，即()0011ln x x +=-.当()00,x x ∈时，()()0,g x g x '<单调递减， 当0(,)x x ∈+∞时，()()0,g x g x '>单调递增，()()000001ln 1))1(()(1x x g x x x x g +∴≥==+++， ()02,3x ∈，()013,4x +∴∈，∴正整数k 的最大值为3.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查了导数研究不等式恒成立问题，解题的关键根据函数的单调性确定存在()02,3x ∈，使得()00g x '=，考查了分离参数法求范围.8．C解析：C 【分析】根据体积公式用r 表示出l ，得出费用关于r 的函数，利用导数求出函数的极小值点即可. 【详解】解：由题意知2323142282333V r l r r l r πππππ=+⨯=+=， 故33322222282282282333333V r r r l r r r r r πππππ---===-=， 由0l >可知r <. ∴ 建造费用()3222221282562344611723r y rl r r r r r r rπππππππ-=+⨯+⨯⨯=⨯+=+，(0r <<，则()3221445614r y r r rπππ-'=-=.当(r ∈时，0y '<，r ∈时，0y '>.当r =.故选：C . 【点睛】本题考查数学建模能力，利用导数求解最值问题，考查运算能力，是中档题.9．A解析：A 【解析】 设()()22xf x F x e+=，则()()()224xf x f x F x e'--'=，∵f (x )−2f ′(x )−4>0，∴F ′(x )>0,即函数F (x )在定义域上单调递增， ∵f (0)=−1,∴F (0)=1，∴不等式f (x )+2>e 2x 等价为不等式()221e xf x +>等价为F (x )>F (0)，解得x >0，故不等式的解集为(0,+∞)， 本题选择A 选项.10．A解析：A 【分析】由x a >时，()21f x x =--递减，且无最大值，可得x a 时，()f x 取得最大值M ，且21M a --，求出x a 时，()f x 的导数和单调区间、极大值，讨论2a <-，判断单调性，可得最大值，解不等式判断无解，则2a -，求出最大值，解不等式即可得到所求a 的范围. 【详解】解：由x a >时，()21f x x =--递减，可得()21f x a <--，无最大值，函数(1),()21,x x e x af x x x a ⎧-+=⎨-->⎩有最大值，可得x a 时，()f x 取得最大值M ，且21M a --，由()(1)xf x x e =-+的导数为()(2)xf x x e '=-+，可得2x >-时，()0f x '<，()f x 递减；2x <-时，()0f x '>，()f x 递增. 即有()f x 在2x =-处取得极大值，且为最大值2e -.若2a <-，则()f x 在(-∞，]a 递增，可得()()f x f a (1)aa e =-+，由题意可得(1)21a a e a -+≥--，即得(1)210aa e a +--≤， 令(1))1(2aa e g a a +--=，则()(2)20ag a a e '=+-<，(2)a <-， 则()g a 在(),2-∞-递减，可得2(2)0()3g a g e ->-=-+>，则不等式(1)210aa e a +--≤无实数解.故2a -，此时在2x =-处()f x 取得最大值，为2e --，故221e a ----， 解得21122a e --， 综上可得，a 的范围是211[22e--，)+∞. 故选：A. 【点睛】本题考查了分段函数的最值问题，考查转化思想，以及分类讨论思想方法，注意运用导数，求出单调区间和极值､最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题.11．B解析：B 【分析】求导()()1xf x x m e '=++，将问题转化为()()1xf x x m e '=++有两个不同的零点，也即是关于x 的方程1xxm e --=有两个不同的解，构造函数()x x g x e=，求导()1x xg x e-'=，分析导函数取得正负的区间，从而得函数()g x 的单调性和最值，从而可得选项.【详解】函数()f x 的定义域为R ，()()'1x fx x m e =++，因为函数()f x 有两个极值点，所以()()1xf x x m e '=++有两个不同的零点，故关于x 的方程1xxm e --=有两个不同的解， 令()x x g x e =，则()1xxg x e-'=，当(,1)x ∈-∞时， ()0g x '>，当(1,+)x ∈∞时，()0g x '<，所以函数()g x 在区间(,1)-∞上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减， 又当x →-∞时，()g x →-∞；当x →+∞时，()0g x →， 且0,()0x g x >>()11g e=，故101m e <--<，即111m e --<<-. 故选：B. 【点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性、最值、极值，关键在于构造合适的函数，参变分离的方法的运用，属于中档题.12．D解析：D 【分析】构造新函数2()()xg x ef x =，求导后可推出()g x 在R 上单调递减，而2()x f x e ->可等价于20()1(0)x e f x e f >=，即()(0)g x g >，故而得解． 【详解】 令2()()xg x ef x =，则2()[2()()]xg x e f x f x ''=+，2()()0f x f x +'<，()0g x '∴<，即()g x 在R 上单调递减，(0)1f =，2()x f x e -∴>可等价于20()1(0)x e f x e f >=，即()(0)g x g >，0x ∴<，∴不等式的解集为(,0)-∞．故选：D ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、解不等式，构造新函数是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．二、填空题13．【分析】设则为偶函数由则在是上单调递增在是上单调递减设即求解分和两种情况解不等式和【详解】设由当时即所以在是上单调递增为奇函数则为偶函数在是上单调递减即（）设当时即由为奇函数则所以由在是上单调递增所 解析：()()1,13,-+∞【分析】设()()f x g x x =，则()g x 为偶函数，由()()()2xf x f x g x x'-'=， 则()g x 在()0+∞，是上单调递增，()g x 在()0-∞，是上单调递减，设1x t -=，即求解()0f t >，分0t >和0t <两种情况解不等式()0g t >和()0g t <.【详解】 设()()f x g x x =，由()()()2xf x f x g x x '-'= 当0x >时()()20f x xf x x'-<，即()0g x '>，所以()g x 在()0+∞，是上单调递增. ()y f x =为奇函数，则()()f x g x x=为偶函数，()g x 在()0-∞，是上单调递减 ()()2110x f x -->,即()10f x ->（1x ≠）设1x t -=，当0t >时，()0f t >，即()()0f t g t t=> 由()20f -=，()y f x =为奇函数，则()20f =，所以()20g =由()g x 在()0+∞，是上单调递增，()0g t >，所以2t >，即12x ->，所以3x > 当0t <时，()0f t >，即()()0f t g t t=< 由()20f -=，则()20g -=，根据()g x 在()0-∞，是上单调递减 所以当()0g t <时，则20t -<<，即210x -<-<，所以11x -<< 综上所述：不等式()()2110x f x -->的解集是：()()1,13,-+∞故答案为：()()1,13,-+∞【点睛】关键点睛：本题考查构造函数讨论单调性解不等式，解答本题的关键是构造函数()()f x g x x =，由()()()2xf x f x g x x'-'=结合条件和奇偶性得出其单调性， 属于中档题. 14．【分析】不等式等价变形利用同构函数的单调性得解【详解】令∴在上单调递增∵∴∴恒成立令只需∴单调递增∴单调递减时的最大值为∴∴的最小值为故答案为：【点睛】不等式等价变形同构函数是解题关键解析：3e【分析】不等式等价变形()()()4ln 3ln 3ln 3ln xxxe x x a a x x a a e e-≤-⇔-≤-，利用同构函数()ln f x x x =-的单调性得解【详解】()()4ln 3ln 3ln 3ln x x e x x a a x x ae a x -≤-⇔-≤--()()3ln 3ln x x x x ae ae ⇔-≤-令()ln f x x x =-，()111x f x x x-'=-=， ∴()f x 在[)1,+∞上单调递增.∵1a >，1[,)3x ∈+∞，∴[)3,1,x e x a ∈+∞，∴33xx eae x x a ⇔≤⇔≤恒成立，令()3x x g x e =，只需max ()a g x ≥，()33x xg x e -'=，∴1[,1),()0,()3x g x g x ∈'>单调递增，∴(1,),()0,()x g x g x ∈+∞'<单调递减，1x ∴=时，()g x 的最大值为3e，∴3a e ≥，∴a 的最小值为3e.故答案为：3e【点睛】不等式等价变形，同构函数()ln f x x x =-是解题关键.15．【分析】设圆锥的高为米可得出底面圆的半径为求出圆锥形容器的体积关于的表达式利用导数可求得的最大值及其对应的的值【详解】设圆锥形容器的高为米半径为米由勾股定理可得其中圆锥形容器的体积为则令由于可得当时 解析：3【分析】设圆锥的高为h 米，可得出底面圆的半径为r =V 关于h 的表达式，利用导数可求得V 的最大值及其对应的h 的值. 【详解】设圆锥形容器的高为h 米，半径为r 米，由勾股定理可得2227h r +=，2227r h ∴=-，其中0h <<圆锥形容器的体积为()()2231112727333V r h h h h h πππ==-=-， 则()29V h π'=-，令0V '=，由于(h ∈，可得3h =.当03h <<时，0V '>；当3h <<0V '<.所以，当3h =时，圆锥形容器的体积V 取得最大值. 故答案为：3. 【点睛】方法点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.16．【分析】构造函数求得的取值范围化简不等式求得的取值范围【详解】构造函数依题意任意当时表示函数在区间上任意两点连线的斜率故当时对于任意当时不等式成立当时对于任意当时不等式恒成立可转化为恒成立故综上所述 解析：(,2]-∞【分析】构造函数()()ln 1f x x x =≥，求得()'fx 的取值范围，化简不等式2121(ln ln )2()a x x x x -<-求得a 的取值范围.【详解】构造函数()()ln 1f x x x =≥，()(]'10,1f x x=∈， 依题意任意12,[1,)x x ∈+∞，当21x x >时，2121ln ln 0,0x x x x ->->，2121ln ln x x x x --表示函数()f x 在区间[1,)+∞上任意两点连线的斜率，故()2121ln ln 0,1x x x x -∈-. 当0a ≤时，对于任意12,[1,)x x ∈+∞，当21x x >时，不等式2121(ln ln )2()a x x x x -<-成立.当0a >时，对于任意12,[1,)x x ∈+∞，当21x x >时，不等式2121(ln ln )2()a x x x x -<-恒成立可转化为2121ln ln 2x x x x a -<-恒成立，故(]21,0,2a a≥∈. 综上所述，实数a 的取值范围是(,2]-∞. 故答案为：(,2]-∞ 【点睛】求解不等式恒成立问题，可考虑采用分离常数法，结合导数来求解..17．2【分析】令利用可得在单调递增不等式恒成立等价于即当时分离参数可得可求出正整数的最大值为2再检验当时对于不等式恒成立即可求解【详解】因为定义在上的函数关于轴对称所以函数为上的偶函数令则因为当时即所以解析：2 【分析】令()()g x xf x x =-，利用()()1xf x f x '>-可得()g x 在[)0,+∞单调递增，不等式()()0x x x e f e e ax axf ax -+->恒成立等价于()()x g e g ax >，即e x ax >，当0x >时，分离参数可得()xe a h x x<=，可求出正整数a 的最大值为2，再检验当2a =时，对于0x <，不等式恒成立，即可求解. 【详解】因为定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称， 所以函数()f x 为R 上的偶函数，令()()g x xf x x =-，则()()()1g x f x xf x ''=+-，因为当0x ≥时，()()1xf x f x '>-，即()()()10g x f x xf x ''=+->， 所以()g x 在[)0,+∞单调递增， 不等式()()0xxxe f e eax axf ax -+->恒成立，即()()xx xe f eeaxf ax ax ->-，即()()x g e g ax >，所以e x ax >，当0x >时，()xe a h x x <=，则()()21x e x h x x-'=， 可得()h x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增， 所以()()min 1h x h e ==， 所以a e <，此时最大的正整数a 为2，2a =对于0x <时，e x ax >恒成立，综上所述：正整数a 的最大值为2， 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是构造函数()()g x xf x x =-，利用导数判断出()g x 在[)0,+∞单调递增，不等式恒成立即()()x g e g ax >，利用单调性可得e x ax >，再分类参数求最值.18．【分析】由可得对称轴是由可得从而得出判断的单调区间再结合即可得不等式的解集【详解】因为函数对定义域内内的任意都有所以对称轴是因为满足即所以当时单调递增当时单调递减又因为所以时时时当与同号时所以的解集 解析：()(),01,3-∞⋃【分析】由()()4f x f x =-，可得()f x 对称轴是2x =，由()()2xf x f x ''<可得()()20x f x '-<，从而得出判断()f x 的单调区间，再结合()30f =，即可得不等式()0xf x >的解集.【详解】因为函数()f x 对定义域内R 内的任意x 都有()()4f x f x =-， 所以()f x 对称轴是2x =，因为()f x '满足()()2xf x f x ''<，即()()20x f x '-<， 所以当2x <时()0f x '>，()f x 单调递增， 当2x >时()0f x '<，()f x 单调递减， 又因为()()130f f ==，所以1x <时，()0f x <，13,x <<时，()0f x >，3x >时，()0f x <， 当x 与()f x 同号时，()0xf x >， 所以()0xf x >的解集为：()(),01,3-∞⋃， 故答案为：()(),01,3-∞⋃ 【点睛】本题主要考查了函数的对称性和单调性，导数的符号决定原函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题.19．【分析】利用几何体的轴截面进行计算结合导数求得圆柱形构件的最大体积【详解】画出圆锥及圆柱的轴截面如下图所示其中四边形为矩形设圆柱的底面半径为即则即所以圆柱的体积为由于所以在区间上单调递增；区间上单调 解析：1283π 【分析】利用几何体的轴截面进行计算，结合导数求得圆柱形构件的最大体积. 【详解】画出圆锥及圆柱的轴截面如下图所示.其中8,6AG GC GB ===，AG BC ⊥，四边形HIDE 为矩形. 设圆柱的底面半径为()06x x <<，即GI GH x ==， 则AG DI CG IC =，即()844686633DI DI x x x =⇒=-=--.所以圆柱的体积为()()22332444886333V x x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-=⨯-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，06x <<.()()()()'22431244443V x x x x x x x πππ=-+=-⨯-=-⨯⨯-， 由于06x <<，所以()V x 在区间()0,4上()'0V x >，()V x 单调递增；区间()4,6上()'0V x <，()V x 单调递减.所以()V x 在4x =处取得极大值也即是最大值为：()()()3244412824646496323333V ππππ=-+⨯=-+=⨯=. 故答案为：1283π【点睛】本小题主要考查圆锥的最大内接圆柱有关计算，考查利用导数求最值，属于中档题.20．【分析】求函数导数解得的根判断导函数在两侧区间的符号即可求解【详解】由解得或时当时是的极大值点函数的极大值为故答案为：【点睛】本题主要考查了基本初等函数的求导公式二次函数的图象以及函数极大值点的定义 解析：283【分析】求函数导数，解得()0f x '=的根，判断导函数在2x =±两侧区间的符号，即可求解. 【详解】()31443f x x x =-+,2()4,f x x '∴=-由()0f x '=解得2x =±，2x ∴<-或2x >时，()0f x '>，当22x -<<时，()0f x '<， 2x ∴=-是()f x 的极大值点，∴函数的极大值为128(2)(8)8433f -=⨯-++=， 故答案为：283【点睛】本题主要考查了基本初等函数的求导公式，二次函数的图象，以及函数极大值点的定义及其求法，属于中档题.三、解答题21．（1）2y x =-；（2）最大值为11e -，最小值为221e-. 【分析】（1）先求导函数，计算切线斜率()11k f '==，再计算切点，利用点斜式写切线方程即可；（2）先利用导数判断函数单调性，再结合单调性求函数最值即可. 【详解】 （1）函数()ln 1x f x x =-，则()21ln xf x x-'=，()11f '∴=，()11f =-， ∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()11y x --=-，即2y x =-；（2）()f x 的定义域为()0,∞+，且()21ln xf x x -'=， 令()0f x '>，得0x e <<；令()0f x '<，得x e >，∴函数()f x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，2min max 221()()1,()()1f x f e f x f e e e==-==-. 【点睛】 方法点睛：（1）求曲线切线方程的一般步骤是：①求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在P 处导数不存在，切线方程为0x x =）；②由点斜式求得切线方程00()()y y f x x x '-=⋅-. （2）利用导数研究函数()f x 的最值的步骤：①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<得到单调性；③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可. 22．（1）在(0,1)上单调递减，在()1,+∞上单调递增；（2）211b e -≤.【分析】（1）对函数求导得()11ax f x a x x-'=-=，由题意，()110f a '=-=，得1a =，再代入计算()0f x '>与()0f x '<，即可得单调性；（2）参变分离得1ln ()1=+-≥xg x b x x ，利用恒成立方法，对函数1ln ()1x g x x x=+-求导，判断单调性，求最小值即可. 【详解】（1）函数的定义域为(0,)+∞，()11ax f x a x x-'=-=，由题意，()110f a '=-=，所以1a =，即1()x f x x'-=，由()0f x '>得1x >，由()0f x '<得01x <<，故函数()f x 在(0,1)上单调递减，在()1,+∞上单调递增. （2）1ln ()21xf x bx b x x≥-⇒+-≥，令1ln ()1x g x x x =+-，则min ()≥g x b 成立，2ln 2()x g x x-'=，由()0g x '>，得2x e >，由()0g x '<，得20x e <<， 故()g x 在2(0,)e 上递减，在2(,)e +∞上递增，2min 21()()1==∴-x g e e g ，即211b e-≤. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．23．（1）函数()xf x e x =-的单调递增区间为()0,∞+；单调递减区间为(),0-∞；（2）2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． 【分析】 （1）当12a =时，()xf x e x =-，利用导数可求得函数()f x 的单调递增区间和递减区间；（2）由参变量分离法得出min2x e a x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，利用导数求出函数()xe g x x =在区间[]2,3上的最小值，由此可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）当12a =时，()x f x e x =-，()1xf x e '=-， 令()0f x '=，得0x =．令()0f x '>，得0x >：令()0f x '<，得0x <．所以函数()xf x e x =-的单调递增区间为()0,∞+，单调递减区间为(),0-∞；（2）()202xxe f x e ax a x =-≥⇔≤对任意的[]2,3x ∈恒成立，即min2x e a x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，设()xe g x x =﹐则()()21x e x g x x-'=，显然当[]2,3x ∈时()0g x '>恒成立． ()g x ∴在[]2,3单调递增，()n2mi ()22g x g e ∴==，22224e e a a ∴≤⇒≤，所以2,4 e a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦． 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥. 24．（1）12a ≤；（2）12a =. 【分析】（1）对函数求导，根据题中条件，得到()0f x '≤在()1,+∞上恒成立，推出a ≤()1,+∞上恒成立，进而可得出结果；（2）对函数求导，先讨论0a ≤，判断函数在定义域上单调，无最值，舍去；再讨论0a >，利用导数的方法研究函数的单调性，得出最大值，进而可求出结果. 【详解】（1）因为()ln 1f x a x =，所以()0a f x x '=≤在()1,+∞上恒成立，所以a ≤在()1,+∞上恒成立，又1x >12>，所以只需12a ≤即可，即a 的取值范围是12a ≤；（2）因为函数()ln 1f x a x =的定义域为()0,∞+， 为使函数()f x 存在最大值，则()f x 在定义域内不单调； 因为()a f x x '=， 当0a ≤时，()0a f x x '=-<在()0,∞+上显然恒成立，所以()f x 在定义域上单调递减，无最值，不满足题意； 当0a >时，由()0a f x x '==可得24x a =， 所以当()20,4x a∈时，()0af x x '=>，则()f x 单调递增；当()24,x a ∈+∞时，()0a f x x '=<，则()f x 单调递减；所以()()()()22max 4ln 412ln 221f x f a a a a a a ===-+，又最大值不大于0，即()()()2max42ln 2210f x f a a a a ==-+≤， 令()ln 1h x x x x =-+，0a >，则()10110h =-+=， 又()ln 11ln h x x x '=+-=，当()0,1x ∈时，()ln 0h x x '=<，则()ln 1h x x x x =-+单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()ln 0h x x '=>，则()ln 1h x x x x =-+单调递增， 所以()()min 10h x h ==，即()()22ln 221h a a a a =-+的最小值为0，此时12a =， 为使()2ln 2210a a a -+≤恒成立，只能()2ln 2210a a a -+=，即12a =. 综上，12a =. 【点睛】 思路点睛：利用导数的方法研究函数的最值问题时，一般需要先对函数求导，根据导数的方法研究函数单调性，求出极值，结合题中条件，即可求出最值.（有时解析式中会含有参数，求解时，要讨论参数的不同取值范围，再判断函数的单调性，进行求解） 25．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）求导根据导数()0f x '>，()0f x '<求出最小值()10f =进而有()0f x ≥成立（2）有（1）得ln 1≤-x x ，令112nx =+得11ln 122n n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，不等式通项可加性相加，根据等比数列求和化简即可证明. 【详解】解：（1）由题意得()111x f x x x-'=-= 当1x >时()0f x '>，()f x 单调增 当01x <<时()0f x '<，()f x 单调减 所以()f x 的最小值为()10f =， 所以()()01x f f ≥=即()0f x ≥成立 （2）由（1）知ln 1≤-x x 令112nx =+得11ln 122n n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭ 所以2212111111ln 1ln 1ln 1222222n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++<++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111221111212nn ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭==-< ⎪⎝⎭-即22111ln 1111ln 222e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅++<= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以2111111222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】已知不等式证明问题常用的方法： （1）证明()min f x a ≥或()max f x a ≤；（3）构造两个函数()()f x g x <，证明()min max ()f x g x <26．（1）e -；（2）单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞；（3）1m ≤-. 【分析】（1）求导可得()ln 1f x x '=-，令'()0f x =得x e =，分别讨论()0,x e ∈和(),x e ∈+∞时导函数的正负，可得()f x 的单调性，即可求得最小值；（2）求导可得()ln g x x e =-'，由'()0g x =得1x =，分别讨论()0,1x ∈和()1,x ∈+∞时导函数的正负，可得()g x 单调区间；（3）所求等价于()()h x f x mx =-在[)1,x ∈+∞单调递增，即ln 1m x ≤-恒成立，根据x 的范围，即可求得ln 1x -的最小值，即可得答案.【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()ln 1f x x '=-， 由'()0f x =得x e =，所以当()0,x e ∈时，'()0f x <，()f x 单调递减， 当(),x e ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增，所以函数()f x 的最小值为()f e e =-； （2）()ln g x x x x ex =--，()ln g x x '=， 由'()0g x =得1x =，所以当()0,1x ∈时，'()0g x <，()g x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，'()0g x >，()g x 单调递增，所以()g x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞；（3）()ln 1h x x m '=--，因为函数()()h x f x mx =-在[)1,x ∈+∞单调递增， 所以()ln 10h x x m =--≥'在[)1,x ∈+∞恒成立，即ln 1m x ≤-， 因为[)1,x ∈+∞，所以min (ln 1)ln111x -=-=-， 所以1m ≤-； 【点睛】解题的关键是熟练掌握利用导数求解函数的单调区间、极值（最值）的方法，并灵活应用，在已知单调区间求参数时，可转化为恒成立问题，若()m t x <，需要min ()m t x <，若()m t x >，需max ()m t x >，考查计算化简的能力，属中档题.。
高三数学一轮复习 3-4导数测试卷学案
年 月 日
第 周
星期
编号
课题
导数测试卷
课型
知识梳理
① . 导数的概念
（一）导数的定义
1．导数的原始定义：
2．导函数的定义何意义：
2.导数的物理意义：
（三）概念部分题型：
的导数
主要有两种：求切线方程和瞬时速度，考试重点为求切线方程。
② 导数的运算
（一）常见函数的导数
二、解答题
15.（*）已知函数
（Ⅰ）求 的单调增区间；
（Ⅱ）求 上的最值．
16. （*）设函数 ，已知 是奇函数。
（Ⅰ）求 、 的值。（Ⅱ）求 的单调区间与极值
17．（**）设函数 在 及 时取得极值．
（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对于任意的 ，都有 成立，求c的取值X围．
18．（**）.已知函数
（1）若函数 的图象在 处的切线方程为 ，
11（**）．在曲线 的切线中斜率最小的切线方程是____________.
12.（**）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ，则曲线 在点 处切线的斜率为_______________.
13．（***）若函数 有三个单调区间，则 的取值X围是____．
14．（***）若函数 , 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，当 时, ，且有 ，则不等式 的解集是________________________
1． ________________________2． _____________________
3． ______________________4． _______________________
5． _____________________6． ____________________
2017高考一轮复习 导数综合复习题【范本模板】
2017高考复习导数1.一．选择题(共26小题）1．(2015•福建模拟）如图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（）A．B．C．D．2．(2015秋•湖北期中）已知函数y=f(1﹣x)的图象如图所示，则y=f（1+x）的图象为(）A．B．C．D．3．（2015秋•水富县校级月考)直角梯形OABC,直线x=t左边截得面积S=f（t）的图象大致是（）A．B．C．D．4．(2014•河东区一模）若方程f（x)﹣2=0在（﹣∞，0）内有解，则y=f(x)的图象是（）A．B．C．D．5．（2014•东湖区校级三模）如图,在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，M、N分别在AD1，BC上移动,并始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN=x，MN=y，则函数y=f(x）的图象大致是（)A．B．C．D．6．（2014•河南模拟）函数f（x）=xcosx的导函数f′（x）在区间［﹣π，π]上的图象大致是（)A．B．C．D．7．（2014•安阳一模）已知f（x）=，则下列叙述中不正确的一项是(）A．f（x﹣1）的图象B．|f（x）|的图象C．f（﹣x)的图象D．f（|x｜）的图象8．(2014春•三亚校级期末)给定一组函数解析式：①;②；③；④；⑤；⑥；⑦，如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（)A．⑥③④②⑦①⑤B．⑥④②③⑦①⑤C．⑥④③②⑦①⑤D．⑥④③②⑦⑤①9．（2013秋•历下区校级期中)在下列各图中，y=ax2+bx与y=ax+b（ab≠0）的图象只可能是(）A．B．C．D．10．(2013•东坡区校级一模)函数f(x）=log2｜x|，g(x）=﹣x2+2，则f(x)•g（x）的图象只可能是（）A．B．C．D．11．(2012•安徽模拟）已知函数f(x）=，则下列关于函数y=f（f（x）)+1的零点个数的判断正确的是（）A．当a＞0时，有4个零点；当a＜0时，有1个零点B．当a＞0时，有3个零点;当a＜0时，有2个零点C．无论a为何值,均有2个零点D．无论a为何值，均有4个零点12．（2016春•双鸭山校级期中）设函数f（x)可导,则等于（）A．f′（1）B．3f′(1)C．D．f′（3)13．（2016春•郑州校级期中）若函数y=f(x)在区间（a,b）内可导，且x0∈（a,b)，则的值为（)A．f′(x0）B．2f′（x0）C．﹣2f′（x0）D．014．（2016春•沈丘县期中）一个物体的运动方程为s=1﹣t+t2其中s的单位是米，t是单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒15．（2016春•海淀区期中）若小球自由落体的运动方程为s（t）=（g为常数），该小球在t=1到t=3的平均速度为，在t=2的瞬时速度为v2，则和v2关系为(）A．＞v2B．＜v2C．=v2D．不能确定16．（2015春•山西校级月考）已知f（x）=，则f′（2015）=（）A．2015B．﹣2015C．2016D．﹣201617．（2015春•兰山区期中）函数y=xcosx﹣sinx的导数为（)A．xsinxB．﹣xsinxC．xcosxD．﹣xcosx18．(2013秋•沈阳期末）函数f（x）=•sinx的导数为()A．f′（x）=2•cosxB．f′(x）=•cosxC．f′（x）=2•cosxD．f′（x）=•cosx19．（2013春•抚顺县期中）在等比数列{a n}中,a1=2,a4=8，函数f（x）=x（x﹣a1）(x﹣a2）…（x﹣a4），则f′（0)=(）A．0B．20C．24D．2820．(2011•湖南模拟）函数f1(x）=cosx﹣sinx,记f2（x）=f1′（x）,f3（x）=f2′(x)，…f n（x）=f n﹣1′（x），（n∈N*，n≥2）,则=（）A．B．C．0D．200821．（2016春•红桥区期中）下列函数求导运算正确的有（）①（3x）′=3x log3e；②（log2x）′=；③(e x）′=e x；④（）′=x；⑤（x•e x)=e x（1+x)A．1个B．2个C．3个D．4个22．（2016•榆林二模）设曲线在点(3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=(）A．2B．C．D．﹣223．（2015秋•陕西校级期末）已知函数y=f（x）的图象如图，则f′（x A）与f′(x B）的大小关系是（)A．f′(x A）＞f′（x B）B．f′（x A)＜f′(x B）C．f′（x A）=f′(x B)D．不能确定24．（2014•郑州一模）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3B．2C．1D．25．（2014•上海二模）已知f（x)=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是(）A．（0，1］B．（1，+∞)C．（0，1）D．[1,+∞)26．（2014春•宜城市校级期中）已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A．（0，］B．［，）C．（,]D．[,π)二．选择题（共4小题)27．(2012•长宁区二模）设定义域为R的函数若关于x的函数y=2f2（x）﹣3f(x）+1的零点的个数为．28．（2015•内江四模)已知，则函数y=2f2（x)﹣3f（x）+1的零点的个数为个．29．(2015•宁波模拟)设函数f(x）=，则f（f（2））=，函数y=f（f（x)）的零点个数为．30．已知f(x)=x(2015+lnx)，若f″（x0）=2016，则x0=．2017高考复习导数1。
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第四章检测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求) 1、已知定义在R 上的函数2()sin x f x e x x x =+-+，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程是A ．21y x =-B ．1y x =+C ．32y x =-D ．23y x =-+2、设2()3x f x x e =，则(2)f '=A ．12eB ．12e 2C ．24eD ．24e 23 ．已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一,且其导函数y=f’(x)的图像如右图所示,则该函数4．曲线33y xx =-上切点为(2,2)P -的切线方程是（ ）（A ）916y x =-+ （B ）920y x =- （C ）2y =- （D ）916y x =-+或2y =- 5 ．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则点P 横坐标的取值范围为 ( ) A ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．[]1,0-C ．[]0,1D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦6 ．函数2()f x x bx a =-+的图象如图所示，则函数()ln ()g x x f x '=+的零点所在的区间是（ ）A ．11(,)42 B ．1(,1)2C ．（1，2）D ． (2,3)7、已知e 为自然对数的底数，函数y x =e x的单调递增区间是A . )1,⎡-+∞⎣B ．(1,⎤-∞-⎦C ．)1,⎡+∞⎣D ．(1,⎤-∞⎦8 ．设函数)(x f 的定义域为R ,)0(00≠x x 是)(x f 的极大值点,以下结论一定正确的是（ ）A ．)()(,0x f x f R x ≤∈∀B ．0x -是)(x f -的极小值点C ．0x -是)(x f -的极小值点D ．0x -是)(x f --的极小值点9．家电下乡政策是应对金融危机，积极扩大内需的重要举措．我市某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定的时间T 内完成预期运输任务Q 0，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如下图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )10已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ） （A ）0x R ∃∈，0()0f x =（B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形（C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减 （D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x =11、三次函数32()f x x bx cx d =+++),,(R d c b ∈在区间[1,2]-上是减函数，那么b c +的取值范围是 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-215,B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-215, C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-215, D ．⎥⎦⎤⎝⎛-∞-215,A ．αβγ>>B ．βαγ>>C ．γαβ>>D ．βγα>>12．已知函数1()(*)n f x x n N +=∈的图象与直线1x =交于点P ，若图象在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，则12013log x ＋22013log x ＋…＋20122013log x 的值为（ ）A ．－1B ． 1－log 20132012C ．-log 20132012D ．1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴,则a =____________. 14已知)1('2)(2xf x x f +=，则=)0('f .15.设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，'()0f x >，且1()02f -=，则不等式()0f x <的解集为__________．16、函数()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = ． 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)已知函数1331(223+-+=x m mx x x f ），m ∈R . （Ⅰ）当1=m 时，求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程； （Ⅱ）若)(x f 在区间(2,3)-上是减函数，求m 的取值范围.18．(本题满分12分)已知a∈R,函数f(x)=2x 3-3(a+1)x 2+6ax(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (Ⅱ)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值.19．(本题满分12分)某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r是瓶子的半径，单位是cm，已知每出售1 mL饮料，制造商可获利0.2分，且制造商制作的瓶子的最大半径为6 cm.试求出瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大或最小．20．(本题满分12分)设函数()()2()2ln 11f x x x =---． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调递增区间；（II ）若关于x 的方程()230f x x x a +--=在区间[]2,4内恰有两个相异的实根，求实数a 的取值范围．21. （本小题满分12分）设函数2()2xk f x e x x =--. （Ⅰ）若0k =，求()f x 的最小值； （Ⅱ）若1k =，讨论函数()f x 的单调性.22．(本题满分12分)已知函数()e ,x f x x =∈R .(Ⅰ) 求f (x )的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;(Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线2112y x x =++有唯一公共点.(Ⅲ) 设a <b , 比较2a b f +⎛⎫⎪⎝⎭与()()f b f a b a --的大小, 并说明理由.参考答案1、【答案】B【解析】令0x =，解得(0)1f =. 对()f x 求导，得()f x 'x e =+2x −1+cosx ，令0x =，解得(0)1f '=，故切线方程为1y x =+.选B. 2、【答案】D【解析】函数的导数为2'()63x x f x xe x e =+，所以222222'(2)6232121224f e e e e e =⨯+⨯=+=，选D.3、【答案】B 【解析】由导函数图像可知函数的函数值在[-1,1]上大于零，所以原函数递增，且导函数值在[-1,0]递增，即原函数在[-1,1]上切线的斜率递增，导函数的函数值在[0,1]递减，即原函数在[0,1]上切线的斜率递减，所以选B4、【答案】A【解析】导数2'33y x =-则切线斜率2332=9k =-⨯-，所以切线方程为(2)9(2)y x --=--，即切线为916y x =-+选A. 5、答案：A【解析】设00(,)P x y ，倾斜角为α，22y x '=+，则[]0tan 220,1k x α==+∈,解得011,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，故选A 6、B 7、B8、【答案】D【解析】本题考查的是函数的极值．函数的极值不是最值，A 错误；因为)(x f --和)(x f 关于原点对称，故0x -是)(x f --的极小值点，D 正确．211ln ,,00,02y x x y x y x x x x''=-∴=->∴< 由≤，解得-1≤≤1,又≤1,故选B 9、【答案】B解析 由题意可知，运输效率越来越高，只需曲线上点的切线的斜率越来越大即可，观察图形可知，选项B 满足条件，故选B. 10、【答案】C【解析】若0c =则有(0)0f =，所以A 正确。
由32()f x x ax bx c =+++得32()f x c x ax bx -=++，因为函数32y x ax bx =++的对称中心为（0,0），所以32()f x x ax bx c =+++的对称中心为(0,)c ,所以B 正确。
由三次函数的图象可知，若0x 是f(x)的极小值点，则极大值点在0x 的左侧，所以函数在区间（-∞, 0x ）单调递减是错误的，D 正确。
选C. 11、12、【答案】A【解析】函数的导数为'()=(1)n f x n x +，所以在1x =处的切线斜率为'(1)=1k f n =+，所以切线斜率为1(1)(1)y n x -=+-，令0y =得1n nx n =+，所以1220121220121=2320132013x x x =⨯⨯⨯ ，所以20131201322013201220131log log log log 12013x x x ++==- ，选A. 二、填空题 13、【答案】12【解析】本题考查切线方程、方程的思想.依题意''112,210,x y ax y a x ==-=-=所以12a =。
14、【答案】-4【解析】函数的导数为'()22'(1)f x x f =+，所以'(1)22'(1)f f =+，解得'(1)2f =-，所以2()4f x x x =-，所以'()24f x x =-，所以'(0)4f =-。
15、【答案】11(,)(0,)22-∞-【解析】因为函数()f x 为奇函数。
当0x <时，'()0f x >，函数单调递增，所以11()()022f f -==，由图象可知，不等式()0f x <的解为12x <-或102x <<，即不等式的解集为11(,)(0,)22-∞- 。
16、答案：4【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立；当x＞0 即[]1,1x ∈-时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331a x x ≥- 设()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x -=， 所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而a ≥4；当x ＜0 即[)1,0-时，()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x -，()()'4312x g x x-=0> ()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma 14n g x g =-=，从而a ≤4，综上a ＝4三、解答题17、解：（Ⅰ）当1=m 时，321()313f x x x x =+-+， 又2'()23f x x x =+-，所以'(2)5f =. 又5(2)3f =， 所以所求切线方程为 55(2)3y x -=-，即153250x y --=. 所以曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为025315=--y x .（Ⅱ）因为2232('m mx x x f -+=）， 令'(0f x =），得3x m =-或x m =.当0m =时，2'(0f x x =≥）恒成立，不符合题意. 当0m >时，()f x 的单调递减区间是(3,)m m -，若()f x 在区间(2,3)-上是减函数，则32,3.m m -≤-⎧⎨≥⎩解得3m ≥.当0m <时，()f x 的单调递减区间是(,3)m m -，若()f x 在区间(2,3)-上是减函数，则2,3 3.m m ≤-⎧⎨-≥⎩，解得2m ≤-. 综上所述，实数m 的取值范围是3m ≥或2m ≤-.18、解:(Ⅰ)当1a =时,32()266(2)1624124f x x x x f =-+∴=-+=,所以2()6126(2)242466f x x x f ''=-+∴=-+=,所以()y f x =在(2,(2))f 处的切线方程是:46(2)680y x x y -=-⇒--=;(Ⅱ)因为22()66(1)66[(1)]6(1)()f x x a x a x a x a x x a '=-++=-++=--①当1a >时,(,1][,)x a ∈-∞+∞ 时,()y f x =递增,(1,)x a ∈时,()y f x =递减,所以当[0,2||]x a ∈时,且2||2a >,[0,1][,2||]x a a ∈ 时,()y f x =递增,(1,)x a ∈时,()y f x =递减,所以最小值是32223()23(1)63f a a a a a a a =-++=-;②当1a <-时,且2||2a >,在[0,2||]x a ∈时,(0,1)x ∈时,()y f x =递减,[1,2||]x a ∈时,()y f x =递增,所以最小值是(1)31f a =-;综上所述:当1a>时,函数()y f x =最小值是233a a -;当1a <-时,函数()y f x =最小值是31a -;19、解析 由于瓶子的半径为r ，所以每瓶饮料的利润是y ＝f (r )＝0.2×43πr 3－0.8πr 2＝0.8π(r 33－r 2)，0<r ≤6.f ′(r )＝0.8π(r 2－2r )， 当r ＝2时，f ′(r )＝0.当r ∈(0,2)时，f ′(r )<0；当r ∈(2,6)时，f ′(r )>0.因此，当半径r >2时，f ′(r )>0，它表示f (r )单调递增，即半径越大，利润越高；半径r <2时，f ′(r )<0，它表示f (r )单调递减，即半径越大，利润越低．所以半径为2 cm 时，利润最小，这时f (2)<0，表示此种瓶装饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．半径为6 cm 时，利润最大．21．(本题满分12分) 【北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文】已知函数211()22f x x =-与函数()ln g x a x =在点(1,0)处有公共的切线，设()()()F x f x mg x =-(0)m ≠. （I ） 求a 的值（Ⅱ）求()F x 在区间[1,e]上的最小值. 20、（1）函数()f x 的定义域为()1,+∞， ∵()()221()2111x x f x x x x -⎡⎤'=--=-⎢⎥--⎣⎦，∵1x >，则使()0f x '>的x 的取值范围为()1,2，故函数()f x 的单调递增区间为()1,2．（2）方法1：∵()()2()2ln 11f x x x =---，∴()2()3012ln 10f x x x a x a x +--=⇔++--=．令()()12ln 1g x x a x =++--， ∵23()111xg x x x -'=-=--，且1x >，由()03()03g x x g x x ''>><<<得，得1．∴()g x 在区间[2,3]内单调递减，在区间[3,4]内单调递增，故2()30f x x x a +--=在区间[]2,4内恰有两个相异实根 (2)0,(3)0,(4)0.g g g ≥⎧⎪⇔<⎨⎪≥⎩即30,42ln 20,52ln 30.a a a +≥⎧⎪+-<⎨⎪+-≥⎩解得：2ln 352ln 24a -≤<-．综上所述，a 的取值范围是[)2ln35,2ln 24--．21、20．解：（Ⅰ）0k =时，()x f x e x =-，'()1x f x e =-.当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >.所以()f x 在(,0)-∞上单调减小，在(0,)+∞上单调增加故()f x 的最小值为(0)1f =（Ⅱ）若1k =，则21()2x f x e x x =--，定义域为R .'()1x f x e x ∴=--，()1x f x e ''=-由()0 f x ''≥得0x ≥，所以()f x '在[)0,+∞上递增，由()0 f x ''<得0x <，所以()f x '在(),0-∞上递减，所以，min ()(0)0f x f ''==，故()0f x '≥.所以()f x 在R 上递增.22、解:(Ⅰ) f (x)的反函数x x g ln )(=,则y=g(x)过点(1,0)的切线斜率k=(1)g'.1(1)g'x1(x)g'==⇒=k .过点(1,0)的切线方程为:y = x+ 1 (Ⅱ) 证明曲线y=f(x)与曲线1212++=x x y 有唯一公共点,过程如下. 则令,,121121)()(22R x x x e x x x f x h x ∈---=---= 0)0('',0)0('0)0(,1)('')(',1)('===-=--=h h h e x h x h x e x h x x ，，且的导数 因此,单调递增时当单调递减时当)('0)(''0;)('0)(''0x h y x h x x h y x h x =⇒>>=⇒<<0)(,0)0(')('===≥=⇒x R x h y h x h y 个零点上单调递增，最多有一在所以 所以,曲线y=f(x)与曲线1212++=x x y 只有唯一公共点(0,1).(证毕) (Ⅲ) 设)(2)()2()()2()()(2)()(a b b f a b a f a b a b a f b f b f a f -⋅⋅--+⋅+-=---+ a ab b a e a b e a b a b a b e a b e a b ⋅-⋅⋅--++-=-⋅⋅--+⋅+-=-)(2)2()2()(2)2()2( 令xx x e x e x x g x e x x x g ⋅-+=⋅-++=>⋅-++=)1(1)21(1)(',0,)2(2)(则. ）上单调递增，在（的导函数∞+>⋅=⋅-+=0)('所以,0)11()('')('x g e x e x x g x g x x ,且,0)0(,),0()(0)('.0)0('=+∞>=g x g x g g 而上单调递增在，因此0)(),0(>+∞x g 上所以在.,0)2(2)(0b a e x x x g x x <>⋅-++=>且时，当0)(2)2()2(>⋅-⋅⋅--++-∴-a ab e a b e a b a b 所以a b a f b f b f a f -->+)()(2)()(,b <a 时当。