专题考案(14)函数与方程思想单元检测

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高考数学(理)函数与导数专题14 恒成立及存在性问题(解析版)

函数与导数14 导数及其应用恒成立及存在性问题一、具体目标： 1.导数在研究函数中的应用：①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）。

②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数一般不超过三次）. 2.生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题。

考点透析：1.以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合；2.单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题呈现；3.适度关注生活中的优化问题. 3.备考重点：(1) 熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；(2) 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题. 二、知识概述：一）函数的单调性：1.设函数y =f (x )在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则函数y =f (x )为增函数；如果f ' (x )<0，则函数y ＝f (x )为减函数；如果恒有f ' ( x )＝0，则y =f (x )为常函数.2.应当理解函数的单调性与可导性并无本质的联系，甚至具有单调性的函数并不一定连续．我们只是利用可导来研究单调性，这样就将研究的范围局限于可导函数．3.f (x )在区间I 上可导，那么0)(>'x f 是f (x )为增函数的充分条件，例如f (x )=x 3是定义于R 的增函数，但 f '(0)=0，这说明f '(x )>0非必要条件．)(x f 为增函数，一定可以推出0)(≥'x f ，但反之不一定．4. 讨论可导函数的单调性的步骤：（1）确定)(x f 的定义域；【考点讲解】（2）求)(x f '，令0)(='x f ，解方程求分界点；（3）用分界点将定义域分成若干个开区间；（4）判断)(x f '在每个开区间内的符号，即可确定)(x f 的单调性.5.我们也可利用导数来证明一些不等式．如f (x )、g (x )均在[a 、b ]上连续，(a ，b )上可导，那么令h (x )＝f (x )－g (x )，则h (x )也在[a ，b ]上连续，且在(a ，b )上可导，若对任何x ∈(a ，b )有h '(x )>0且 h (a )≥0，则当x ∈(a ，b )时 h (x )>h (a )=0，从而f (x )>g (x )对所有x ∈(a ，b )成立．二）函数的极、最值： 1．函数的极值 (1)函数的极小值：函数y ＝f(x)在点x ＝a 的函数值f(a)比它在点x ＝a 附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a 叫做函数y ＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y ＝f(x )的极小值． (2)函数的极大值：函数y ＝f(x)在点x ＝b 的函数值f(b)比它在点x ＝b 附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b 叫做函数y ＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y ＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 2．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f(x)在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a ，b ]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a ，b ]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．三）高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点，下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究相关结论：结论1：1212min max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ∀∈∀∈>⇔>；结论2：1212max min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ∃∈∃∈>⇔>；结论3：1212min min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ∀∈∃∈>⇔>；结论4：1212max max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ∃∈∀∈>⇔>；结论5：1212[,],[,],()()()x a b x c d f x g x f x ∃∈∃∈=⇔的值域和()g x 的值域交集不为空.1. 【2019年高考天津理数】已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥【真题分析】在R 上恒成立，则a 的取值范围为（） A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]0,eD ．[]1,e【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立；当1x <时，22()22021x f x x ax a a x =-+≥⇔≥-恒成立，令2()1x g x x =-，则222(11)(1)2(1)1()111x x x x g x x x x -----+=-=-=----112201x x ⎛⎫⎛⎫=--+-≤-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，当111x x-=-，即0x =时取等号，∴max 2()0a g x ≥=，则0a >. 当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥，即ln x a x ≤恒成立，令()ln xh x x=，则2ln 1()(ln )x h x x -'=，当e x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，当0e x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，则e x =时，()h x 取得最小值(e)e h =，∴min ()e a h x ≤=，综上可知，a 的取值范围是[0,e]. 【答案】C2.【优选题】设函数()()21xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数t ，使得()0f t <，则a的取值范围是（） A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】本题考点是函数的单调性、存在性问题的综合应用.令()()()21,xg x e x h x ax a =-=-.由题意知存在唯一整数t ，使得()g t 在直线()h x 的下方.()()21'=+xg x ex ，当12x <-时，函数单调递减，当12x >-，函数单调递增，当12x =-时，函数取得最小值为122e --.当0x =时，(0)1g =-，当1x =时，(1)0g e =>，直线()h x ax a =-过定点()1,0，斜率为a ，故()0a g ->且()113g e a a --=-≥--，解得3,12⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭a e . 【答案】D3.【2019年高考北京】设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e xxf x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()ee e e xx x x a a --+=-+，即()()1e e0xxa -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-.若函数()e e xxf x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x xf x a -'=-≥在R 上恒成立，即2e x a ≤在R 上恒成立，又2e 0x >，则0a ≤，即实数a 的取值范围是(],0-∞. 【答案】(]1,0--∞4.【优选题】已知函数f (x )＝mx 2－x ＋ln x ，若在函数f (x )的定义域内存在区间D ，使得该函数在区间D 上为减函数，则实数m 的取值范围为________．【解析】f ′(x )＝2mx －1＋1x ＝2mx 2－x ＋1x ，即2mx 2－x ＋1<0在(0，＋∞)上有解．当m ≤0时，显然成立；当m >0时，由于函数y ＝2mx 2－x ＋1的图象的对称轴x ＝14m >0，故只需Δ>0，即1－8m >0，解得m <18.故实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，18. 【答案】⎝⎛⎭⎫－∞，18 5.【优选题】若曲线3()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________. 【解析】由题意可知'21()2f x ax x=+，又因为存在垂直于y 轴的切线，所以231120(0)(,0)2ax a x a x x+=⇒=->⇒∈-∞. 【答案】 (,0)-∞ 6.【2018年江苏卷】若函数()()R a ax x x f ∈+-=1223在()∞+，0内有且只有一个零点，则()x f 在[]11，-上的最大值与最小值的和为________．【解析】本题考点是函数的零点、函数的单调性与最值的综合应用. 由题意可求得原函数的导函数为()0262=-='ax x x f 解得3,0ax x ==，因为函数在()∞+，0上有且只有一个零点，且有()10=f ，所以有03,03=⎪⎭⎫⎝⎛>a f a，因此有3,0133223==+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a a ，函数()x f 在[]01，-上单调递增，在[]10，上单调递减，所以有()()10max ==f x f ，()()41min -=-=f x f ，()()3min max -=+x f x f .【答案】–37.【2018年理新课标I 卷】已知函数()x x x f 2sin sin 2+=，则()x f 的最小值是_____________．【解析】本题考点是函数的单调性、最值与三角函数的综合应用. 由题意可()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=+='21cos 1cos 42cos 2cos 42cos 2cos 22x x x x x x x f ，所以当21cos <x 时函数单调减，当21cos >x 时函数单调增，从而得到函数的减区间为 ()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--32,352ππππ，函数的增区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-32,32ππππ，所以当()Z k k x ∈-=,32ππ时，函数()x f 取得最小值，此时232sin ,23sin -=-=x x ，所以()23323232min-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x f ，故答案是233-. 【答案】233-8.【优选题】已知21()ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不等的正实数12x x 、都有1212()()2f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是 . 【解析】由题意可知()'2af x x x=+≥（x ＞0）恒成立，∴22a x x ≥-恒成立，令()()22211g x x x x =-=--+则()max x g a ≥，∵()22g x x x =-为开口方向向下，对称轴为x =1的抛物线，∴当x =1时，()22g x x x =-取得最大值()11=g ，∴1≥a 即a 的取值范围是[1，+∞）．【答案】[)1,+∞9. 【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数32()2f x x ax b =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.【解析】（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得x =0或3ax =. 若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.（2）满足题设条件的a ，b 存在.（i ）当a ≤0时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递增，所以()f x 在区间[0，l ]的最小值为(0)=f b ，最大值为(1)2f a b =-+.此时a ，b 满足题设条件当且仅当1b =-，21a b -+=，即a =0，1b =-．（ii ）当a ≥3时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递减，所以()f x 在区间[0，1]的最大值为(0)=f b ，最小值为(1)2f a b =-+．此时a ，b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，b =1，即a =4，b =1．（iii ）当0<a <3时，由（1）知，()f x 在[0，1]的最小值为3327a a f b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为b 或2a b -+．若3127a b -+=-，b =1，则a =，与0<a <3矛盾.若3127a b -+=-，21a b -+=，则a =或a =-或a =0，与0<a <3矛盾．综上，当且仅当a =0，1b =-或a =4，b =1时，()f x 在[0，1]的最小值为-1，最大值为1．10.【2019年高考浙江】已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x +>（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）对任意21[,)e x ∈+∞均有()f x ≤ 求a 的取值范围．注：e=2.71828…为自然对数的底数．【解析】（1）当34a =-时，3()ln 04f x x x =->．3()4f 'x x =-+=()f x 的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．（2）由1(1)2f a≤，得04a <≤．当04a <≤时，()f x ≤2ln 0x ≥．令1t a=，则t ≥．设()22ln ,g t tx t =≥2()2ln g t t x=-．（i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭≤()2ln g t g x ≥=．记1()ln ,7p x x x =≥，则1()p'x x =-==. 故所以，()(1)0p x p ≥=．因此，()2()0g t g p x ≥=≥．（ii ）当211,e 7x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g t g =…．令211()(1),,e 7q x x x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()10q'x =>，故()q x 在211,e 7⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以1()7q x q ⎛⎫ ⎪⎝⎭„．由（i ）得，11(1)07777q p p ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以，()<0q x ．因此()0g t g =>…．由（i ）（ii ）知对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，),()0t g t ∈+∞…，即对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2f x a „．综上所述，所求a的取值范围是0,4⎛ ⎝⎦．【答案】（1）()f x 的单调递增区间是()3,+∞,单调递减区间是()0,3；（2）0,4⎛ ⎝⎦.1.设函数a ax x x x f -+--=53)(23，若存在唯一的正整数0x ，使得0)(0<x f ，则a 的取值范围是（）A ．)31,0( B ．]45,31( C ．]23,31( D ．]23,45(【解析】当32a =时，3237()322f x x x x =--+，()()20,30f f <<，不符合题意，故排除C ，D.当54a =时，32515()344f x x x x =--+，()()()()10,20,30,40f f f f ><=>，故54a =符合题意.【答案】B2.设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（） A ．3[,1)2e -B ．33[,)24e - C ．33[,)24e D ．3[,1)2e【解析】 ()0(21)xf x e x ax a <⇔-<-，记()(21)xg x e x =-，则题意说明存在唯一的整数0x ，使()g x 的图象在直线y ax a =-下方，【模拟考场】'()(21)x g x e x =+，当12x <-时，'()0g x <，当12x >-时，'()0g x >，因此当12x =-时，()g x 取得极小值也是最小值21()22g e --=-，又(0)1g =-，(1)0g e =>，直线y ax a =-过点（1,0）且斜率为a ，故1(0)1(1)3a g g e a a-->=-⎧⎨-=-≥--⎩，解得312a e≤<．【答案】D3.若函数()()2ln 201x f x a x x a m a a =+-⋅-->≠且有两个零点，则m 的取值范围（） A.()1,3- B.()3,1- C.()3,+∞ D.(),1-∞- 【解析】考查函数()2ln xg x a x x a m =+--，则问题转化为曲线()y g x =与直线2y =有两个公共点，则()()ln 2ln 1ln 2x x g x a a x a a a x '=+-=-+，则()00g '=，当01a <<时，ln 0a <，当0x <时，10x a ->，()1ln 0x a a -<，20x <，则()1ln 20x a a x -+<，当0x >，10x a -<，()1ln 0x a a ->，20x >，则()1ln 20x a a x -+>，此时，函数()2ln xg x a x x a m =+--在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增，同理，当1a >时，函数()2ln xg x a x x a m =+--在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增，因此函数()2ln xg x a x x a m =+--在0x =处取得极小值，亦即最小值，即()()min 01g x g m ==-，)由于函数()()2ln 201x f x a x x a m a a =+-⋅-->≠且有两个零点，结合图象知12m -<，解得13m -<<，故选A. 【答案】A 4. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若当[]1,2x ∈-时()f x m <恒成立，求m 的取值范围【解析】试题分析：（1）由原函数求出导数，通过导数的正负求出相应的单调区间（2）将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，本题中需求函数()f x 的最大值，可通过导数求解.试题解析：（1）由()'2320fx x x =--> 得1x >或()1,+∞（2上递减，在区间[]1,2上递增，又，所以在区间[]1, 2-上max 7f =要使()f x m <恒成立，只需7m >即可.【答案】（1，()1,+∞ 2）7m >5.【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数1()ln f x x a x x=-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，22211()1a x ax f x x x x -+'=--+=-.（i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,)+∞单调递减.（ii ）若2a >，令()0f x '=得，2a x =或2a x =.当)x ∈+∞U 时，()0f x '<；当x ∈时，()0f x '>.所以()f x在)+∞单调递减，在单调递增. （2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >. 由于12121221212121222()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----，所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<.设函数1()2ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <.所以22212ln 0x x x -+<，即1212()()2f x f x a x x -<--. 6.已知函数()ln 2a xf x x x =++．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()()ln 1g x x x f x =+-，若1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x >恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()222112222a x x af x x x x +-'=-+=，令()0f x '=，则2220x x a +-=，480a ∆=+>时，即12a >-，方程两根为11x ==--2x =-122x x +=-，122x x a =-，①当12a ≤-时，0∆≤，()0f x '≥恒成立，()f x 的增区间为()0,+∞；②当102a -<≤时，1220x x a =-≥，10x <，20x ≤，()0,x ∈+∞时，()0f x '≥，()f x 的增区间为()0,+∞；③当0a >时，10x <，20x >，当()20,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()2+x x ∈∞,时，()0f x '>，单调递增；综上，当0a ≤时，()f x 的增区间为()0,+∞；当0a >时，()f x的减区间为(0,1-，增区间为()1-+∞．（2）1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x >恒成立，即ln ln 102a x x x x x ---+>，∴22ln ln 2x a x x x x x <--+，令()221ln ln 22x h x x x x x x x ⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭，()2ln ln 11h x x x x x x '=+---+，()()21ln h x x x '=-，当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()1+x ∈∞,时，()0h x '>，()h x 单调递减； ∴()()min 112h x h ==，∴12a <，则实数a 的取值范围时12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,．【答案】（1）当0a ≤时，()f x 的增区间为()0,+∞；当0a >时，()f x的减区间为(0,1-，增区间为()1-+∞；（2）12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,．7.已知函数f (xln x ．（Ⅰ）若f (x )在x =x 1，x 2(x 1≠x 2)处导数相等，证明：f (x 1)+f (x 2)>8−8ln2；（Ⅱ）若a ≤3−4ln2，证明：对于任意k >0，直线y =kx +a 与曲线y =f (x )有唯一公共点．【解析】（Ⅰ）函数f （x）的导函数1()f x x '=-，由12()()f x f x ''=1211x x -=-，因为12x x ≠12+==≥ 因为12x x ≠，所以12256x x >．由题意得121212()()ln ln ln()f x f x x x x x +=+=．设()ln g x x =，则1()4)4g x x'=，所以所以g （x ）在[256，+∞）上单调递增，故12()(256)88ln 2g x x g >=-，即12()()88ln 2f x f x +>-．（Ⅱ）令m =()e a k -+，n =21()1a k++，则f （m ）–km –a >|a |+k –k –a ≥0， f （n ）–kn –a <)a n k n --≤)n k -<0，所以，存在x 0∈（m ，n ）使f （x 0）=kx 0+a ，所以，对于任意的a ∈R 及k ∈（0，+∞），直线y =kx +a 与曲线y =f （x ）有公共点．由f （x ）=kx +a 得k =设()h x =22ln )1)((12x ag x x x a x h '=-+--+=，其中(n )l g x x -=．由（Ⅰ）可知g （x ）≥g （16），又a ≤3–4ln2，故–g （x ）–1+a ≤–g （16）–1+a =–3+4ln 2+a ≤0，所以h ′（x ）≤0，即函数h （x ）在（0，+∞）上单调递减，因此方程f （x ）–kx –a =0至多1个实根．综上，当a ≤3–4ln 2时，对于任意k >0，直线y =kx +a 与曲线y =f （x ）有唯一公共点． 8.【优选题】已知函数21()(2)2ln 2f x x a x a x =-++(0)a >. （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为2y x b =+，求2a b +的值；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）设函数()(2)g x a x =-+，若至少存在一个0[,4]x e ∈，使得00()()f x g x >成立，求实数a 的取值范围．【解析】本题是函数的综合问题.（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，2()(2)'=-++a f x x a x， ∴1(1)(2)22f a b =-+=+，(1)1(2)22'=-++=f a a ，解得132,2a b ==-，∴210a b +=-．（2）2(2)2(2)()()-++--'==x a x a x x a f x x x，当2a =时，()0(0,)'≥⇒∈+∞f x x ，∴()f x 的单调增区间为(0,)+∞.当02a <<时，由'()0(0,)(2,)f x x a >⇒∈+∞U ，∴()f x 的单调增区间为(0,)a ，(2,)+∞由'()0(,2)f x x a <⇒∈，∴()f x 的单调减区间为(,2)a .当2a >时，由'()0(0,2)(,)f x x a >⇒∈+∞U ，∴()f x 的单调增区间为(0,2)，(,)a +∞由'()0(2,)f x x a <⇒∈，∴()f x 的单调减区间为(2,)a .综上所述：当2a =时，'()0(0,)f x x ≥⇒∈+∞，∴()f x 的单调增区间为(0,)+∞，当02a <<时，∴()f x 的单调增区间为(0,)a ，(2,)+∞，()f x 的单调减区间为(,2)a 当2a >时，∴()f x 的单调增区间为(0,2)，(,)a +∞，()f x 的单调减区间为(2,)a .（3）若至少存在一个0[,4]x e ∈，使得00()()f x g x >，∴212ln 02x a x +>，当[,4]x e ∈时，ln 1x >，∴2122ln xa x>-有解，令212()ln x h x x=-，∴min 2()a h x >.2'22111ln (ln )22()0(ln )(ln )x x x x x x h x x x -⋅-=-=-<， ∴()h x 在[,4]e 上单调递减，min 4()(4)ln 2h x h == ∴42ln 2a >得，2ln 2a >． 9.【2018山东模拟】设函数0),(,)1(31)(223>∈-++-=m R x x m x x x f 其中（Ⅰ）当时，1=m 曲线））（，在点（11)(f x f y =处的切线斜率.（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；（Ⅲ）已知函数)(x f 有三个互不相同的零点0，21,x x ，且21x x <.若对任意的],[21x x x ∈，)1()(f x f > 恒成立，求m 的取值范围.【解析】本小题主要考查导数的几何意义，导数的运算，以及函数与方程的根的关系解不等式等基础知识，考查综合分析问题和解决问题的能力. （1）当1)1(,2)(,31)(1'2/23=+=+==f x x x f x x x f m 故时，所以曲线））（，在点（11)(f x f y =处的切线斜率为1.（2） 12)(22'-++-=m x x x f ，令0)('=x f ，得到m x m x +=-=1,1因为m m m ->+>11,0所以当x 变化时，)(),('x f x f 的变化情况如下表：x )1,(m --∞m -1)1,1(m m +-m +1),1(+∞+m)('x f+0 - 0 +)(x f极小值极大值)(x f 在)1,(m --∞和),1(+∞+m 内减函数，在)1,1(m m +-内增函数。

中考数学考点总动员系列专题：14反比例函数（含解析）

5=-褥
故另一个交点坐标为（- 1, —6.
考点:正比例函数与反比例函数考点典例四、反比例函数与一次函数的交点问题
【例4】甘肃兰州第11题）如图，反比例函数），=± a<0与一次函数y=x + 4的图像交于A、4两点的横
X
坐标分别为-3、-1,则关于克的不等式勺<X + 4 x<0的解集为（）
A. ；v<-3
两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。
3、反比例函数的性质当k>0时”函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x的增大而减小。当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，随x的增大而增大。 4、反比例函数解析式的确定确定及课是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y =&中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应
2
2
2
• S/.KO=S/Mf+SabcT,
.\1bD*OF=- X (EF-OE) =- X (3-OE)二』-10E二」(k,-匕)…②，
22
2
22 2
由①②两式解得OE=1,
则k「k二二2.
故选D.
考点:反比例函数图象上点的坐标特征.
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征:反比例函数厂& （k为常数,kWO）的图象是双曲线,
1 .四川自贡第12题）一次函数y尸匕x+b和反比例函数九=幺（k：・k#0）的图象如图所示，若y〉y,,则x
x
的取值范围是（）
A. -2（工<0 或 x>l B. - 2<x<l 【答案】D.
C. xV-2 或 x>l
D. k<-2 或 0<x<l

2024年新高考版数学专题1_3.5 函数与方程及函数的综合应用(分层集训)

A.2
B.3
答案 B
C.4
D.5
)
3.(2022南京师范大学附中期中,7)用二分法研究函数f(x)=x3+2x-1的零点
时,第一次计算,得f(0)<0,f(0.5)>0,第二次应计算f(x1),则x1等于 (
A.1
B.-1
答案 C
C.0.25
D.0.75
)
4.(多选)(2022湖南师大附中三模,11)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)=f(x
1.(2023届长春六中月考,7)若函数f(x)=ln x+x2+a-1在区间(1,e)内有零点,则
实数a的取值范围是 (
A.(-e2,0)
C.(1,e)
答案 A
B.(-e2,1)
D.(1,e2)
)
2.(2017课标Ⅲ,文12,理11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,
A型
0.4
3
B型
0.3
4
C型
0.5
3
D型
0.4
4
则保温效果最好的双层玻璃的型号是 (
A.A型
答案 D
B.B型
C.C型
D.D型
)
3.(2020课标Ⅲ理,4,5分)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行
病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数
I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=
1 e
K
0.23( t 53)
,其中K为最大确诊病例数.
当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3) (

中考数学专题复习14《二次函数图像与性质》(2021年整理)

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2017年中考数学专题练习14《二次函数图像与性质》【知识归纳】1．一般地，形如的函数叫做二次函数，当a ，b 时,是一次函数． 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是，对称轴是直线x= ，顶点坐标是（，）. 3．抛物线的开口方向由a 确定,当a ＞0时，开口 ;当a ＜0时，开口；a 的值越，开口越．4．抛物线与y 轴的交点坐标为．当c ＞0时，与y 轴的半轴有交点；当c ＜0时，与y 轴的半轴有交点；当c ＝0时,抛物线过． 5．若a ＞0，当x ＝2ba -时，y 有最小值，为；若a ＜0，当x ＝2ba-时，y 有最大值，为．6．当a ＞0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而；当a ＜0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而，在对称轴的右侧．y 随x 的增大而． 7．当m ＞0时,二次函数y ＝ax 2的图象向平移个单位得到二次函数y ＝a （x ＋m ）2的图象；当k ＞0时,二次函数y ＝ax 2的图象向平移个单位得到二次函数y ＝ax 2＋k 的图象．平移的口诀：左“ ”右 “ ”；上“ ”下“ ”．【基础检测】1．（2016•兰州)二次函数y=x 2﹣2x+4化为y=a （x ﹣h ）2+k 的形式，下列正确的是（ )A ．y=（x ﹣1)2+2 B ．y=（x ﹣1)2+3 C ．y=（x ﹣2）2+2 D ．y=(x ﹣2)2+4 2.当x 为实数时,代数式x 2﹣2x ﹣3的最小值是．3．（2016•永州)抛物线y=x 2+2x+m ﹣1与x 轴有两个不同的交点，则m 的取值范围是( ）A ．m ＜2B ．m ＞2C ．0＜m≤2 D．m ＜﹣24。

高三复习数学81_函数与方程思想(有答案)

8.1 函数与方程思想一、选择题1. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则数列{a n }的公比为（）A.25B.12C.49D.132. 若a >1，则双曲线x 2a 2−y 2(a+1)2=1的离心率e 的取值范围是（）A.[√2,√5]B.(1,√2)C.(√3,√5)D.(√2,√5)3. 已知a ∈[−1,1]，不等式x 2+(a −4)x +4−2a >0恒成立，则x 的取值范围为（）A.(−∞,1)∪(3,+∞)B.(−∞,2)∪(3,+∞)C.(1,3)D.(−∞,1)∪(2,+∞)4. 若2x +5y ≤2−y +5−x ，则有( )A.x −y ≤0B.x +y ≥0C.x −y ≥0D.x +y ≤05. 如图，A 是单位圆与x 轴的交点，点P 在单位圆上，∠AOP =θ(0<θ<π)，OQ →=OA →+OP →，四边形OAQP 的面积为S ，当OA →⋅OP →+S 取得最大值时θ的值为（）A.π3B.π6C.π2D.π46. （2013·西安模拟）已知函数f(x)=cos x(x ∈(0,2π))有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )=m 有两个不同的实根x 3，x 4．若把这四个数按从小到大的排列构成等差数列，则实数m 的值为（）A.√32B.−12C.−√32D.−12 二、填空题若方程sin2x+2sin x+a=0有解，则实数a的取值范围是________．对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x2+px>4x+p−3成立的x的取值范围是________．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0，且g(−3)=0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是________．三、解答题（2013·贵阳模拟）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，S7=70，且a1，a2，a6成等比数列．求数列{a n}的通项公式；设b n=2S n+48n，数列{b n}的最小项是第几项，并求出该项的值．如图，椭圆C:x2+y2m=1(0<m<1)的左顶点为A，M是椭圆C上异于点A的任意一点，点P与点A关于点M对称．若点P的坐标为(95,4√35)，求m的值；若椭圆C上存在点M，使得OP⊥OM，求m的取值范围．已知函数f(x)=ax3+(2−a)x2−x−1(a>0)．若a=4，求f(x)的单调区间；设x1，x2，1为关于x的方程f(x)=0的实根，若x1x2∈[12,2]，求a的取值范围．参考答案与试题解析8.1 函数与方程思想一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】等比数使的前n种和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】双曲体的某性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】二次明数织性质直线与都连位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】指数体数白单调员与说殊点【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案向量在于何中侧应用扇形常积至式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】正弦射可的图象根的验河性及洗的个会判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题【答案】此题暂无答案【考点】正弦射可的图象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】必要条水表综分条近与充要条件的判断一元二次正等式的解且【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】奇偶性与根调性的助合函数奇明性研性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】数使的种和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】圆锥曲三的综合度题椭圆较标准划程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用验我研究务能的单调性根的验河性及洗的个会判断函数零都问判定定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

一元二次函数、方程和不等式单元检测卷(含解析)—2024-2025学年高一上学期数学必修第一册

第二章一元二次函数、方程和不等式（单元检测卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是( )A.A≤BB.A≥BC.A＜B或A＞BD.A＞B2.设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝( )A.－4B.－2C.2D.43.下列选项中，使不等式x＜1x＜x2成立的x的取值范围是( )A.{x|x＜－1}B.{x|－1＜x＜0}C.{x|0＜x＜1}D.{x|x＞1}4.设m>1，P＝m＋4m－1，Q＝5，则P，Q的大小关系为( )A.P<QB.P＝QC.P≥QD.P≤Q5.某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式(组)表示是( )A.Error!B.Error!Error! D.Error!6.若0≤x≤6，则x(8－x)的最大值为( )A.163B.4C.433D.57.若不等式x2＋ax＋b＜0(a，b∈R)的解集为{x|2＜x＜5}，则a，b的值为( )A.a＝－7，b＝10B.a＝7，b＝－10C.a＝－7，b＝－10D.a＝7，b＝108.已知不等式ax2－2ax－2＜0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是( )A.{a|－1≤a≤0}B.{a|－2＜a＜0}C.{a|－2＜a≤0}D.{a|a＜－2或a≥0}二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.已知2<x<3，2<y<3，则( )A.6<2x＋y<9B.2<2x－y<3C.－1<x－y<1D.4<xy<910.若x＞y＞0，则下列不等式成立的是( )A.x2＞y2B.－x＞－yC.1x＜1yD.xy＜x＋1y＋111.若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列选项中正确的是( )A.ab有最大值14B.a ＋b 有最小值1C.1a＋1b有最小值4 D.a2＋b2有最小值22三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上．12.已知关于x的不等式x2－5ax＋b＞0的解集为{x|x＜1或x＞4}，则a＋b＝________13.已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________14.已知实数a＞0，b＞0，且a2＋4b2＝8，则a＋2b的最大值为________；4a＋2＋12b的最小值为________四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(13分）已知a∈R且a≠1，试比较11－a与1＋a的大小．16.(16分）解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0，0≤a≤1．17.(16分）已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．18.(16分）已知y＝x＋2x2＋x＋1(x＞－2)．(1)求1y的取值范围；(2)当x为何值时，y取得最大值？19.(16分）某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S的最大允许值是多少？(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？参考答案及解析：一、选择题1.B 解析：因为A －B ＝a 2＋3ab －(4ab －b 2)＝＋34b 2≥0，所以A≥B ．2.B 解析：集合A ＝{x|x 2－4≤0}＝{x|－2≤x ≤2}，B ＝{x|2x ＋a ≤0}＝，由A ∩B ＝{x|－2≤x ≤1}，可得－a2＝1，则a ＝－2．故选B ．3.A 解析：取x ＝－2，知符合x ＜1x ＜x 2，即－2是此不等式的解集中的一个元素，所以可排除选项B ，C ，D ．4.C 解析：∵m>1，∴P ＝m ＋4m －1＝m －1＋4m －1＋1≥2(m －1)·4m －1＋1＝5，当且仅当m －1＝4m －1，即m ＝3时等号成立．∴P ≥Q ，故选C ．5.D 解析：由题中x 不低于95，即x ≥95；y 高于380，即y ＞380；z 超过45，即z ＞45．6.B 解析：因为0≤x ≤6，所以8－x ＞0，所以x(8－x)≤x ＋(8－x)2＝4，当且仅当x ＝8－x ，即x ＝4时，等号成立．故所求最大值为4．7.A 解析：不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为{x|2＜x ＜5}，则对应方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根为2和5，即Error! 解得a ＝－7，b ＝10．故选A ．8.C 解析：对任意实数x ，不等式ax 2－2ax －2＜0恒成立，①当a ＝0时，－2＜0恒成立，符合题意，②当a ≠0时，则Error!解得－2＜a ＜0．综上所述，实数a 的取值范围为{a|－2＜a ≤0}．故选C ．二、选择题9.ACD 解析：∵2<x<3，2<y<3，∴4<xy<9．∴4<2x<6，6<2x ＋y<9，∴－3<－y<－2，－1<x －y<1，1<2x －y<4．故选ACD ．10.AC 解析：对于A ，当x ＞y ＞0时，x 2＞y 2，A 成立；对于B ，当x ＞y ＞0时，－x ＜－y ，B2b(a )2-{a x |x 2⎫≤-⎬⎭不成立；对于C，当x＞y＞0时，xxy＞yxy，即1x＜1y，C成立；对于D，xy－x＋1y＋1＝x(y＋1)－y(x＋1)y(y＋1)＝x－yy(y＋1)，∵x＞y＞0，∴x－y＞0，∴xy－x＋1y＋1＞0，即xy＞x＋1y＋1，D不成立．故选AC．11.AC　解析：1＝a＋b≥2ab，所以ab≤14，当且仅当a＝b＝12时，等号成立，所以ab有最大值14，所以A正确； a ＋b≥2ab，2ab≤2，所以 a ＋b的最小值不是1，所以B错误；1a＋1b＝a＋bab＝1ab≥4，所以1a＋1b有最小值4，所以C正确；a2＋b2≥2ab，2ab≤12，所以a2＋b2的最小值不是22，所以D错误．故选AC．三、填空题12.答案：5　解析：根据不等式x2－5ax＋b＞0的解集为{x|x＜1或x＞4}，知方程x2－5ax＋b＝0的两个根是1和4，则5a＝1＋4，b＝1×4，解得a＝1，b＝4，所以a＋b＝5．13.答案：3≤z≤8　解析：∵z＝－12(x＋y)＋52(x－y)，－2≤－12(x＋y)≤12，5≤52(x－y)≤152，∴3≤－12(x＋y)＋52(x－y)≤8，∴3≤z≤8．14.答案：4，3 2　解析：∵a＞0，b＞0，16＝2(a2＋4b2)≥(a＋2b)2，∴a＋2b≤4，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，∴a＋2b的最大值为4．∵(a＋2＋2b)·＝8ba＋2＋a＋22b＋5≥24＋5＝9，∴4a＋2＋12b≥9a＋2b＋2≥94＋2＝32，当且仅当a＝2，b＝1时等号成立，∴4a＋2＋12b的最小值为3 2．41(a22b++四、解答题15.解：因为11－a －(1＋a)＝a 21－a，可得①当a ＝0时，11－a ＝1＋a ；②当a ＞1时，a 21－a＜0，所以11－a＜1＋a ；③当a ＜1且a ≠0时，a 21－a ＞0，所以11－a＞1＋a ．综上可知，当a ＝0时，11－a＝1＋a ；当a ＞1时，11－a＜1＋a ；当a ＜1且a ≠0时，11－a＞1＋a ．16.解：由x 2－x －a 2＋a<0得，(x －a)[x －(1－a)]<0，0≤a ≤1①当1－a>a ，即0≤a<12时，a<x<1－a ；②当1－a ＝a ，即a ＝12时，<0，不等式无解；③当1－a<a ，即12<a ≤1时，1－a<x<a ．综上所述，当0≤a<12时，解集为{x|a ＜x ＜1－a}；当a ＝12时，解集为∅；当12<a ≤1时，解集为{x|1－a ＜x ＜a}．17.解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，又x>0，y>0，则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy ，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64．(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，∵x ＞0，y ＞021(x 2则x ＋y ＝·(x ＋y)＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22x y ·8yx＝18．当且仅当x ＝12，y ＝6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为18．18.解：(1)设x ＋2＝t ，则x ＝t －2，t ＞0(x ＞－2)．故1y ＝x 2＋x ＋1x ＋2＝(t －2)2＋(t －2)＋1t＝t 2－3t ＋3t＝t ＋3t－3≥23－3，∴1y≥23－3．(2)由题意知y ＞0，故欲使y 最大，必有1y 最小，此时t ＝3t ，t ＝3，x ＝3－2，y ＝123－3＝23＋33，∴当x ＝3－2时，y 最大，最大值为23＋33．19.解：(1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而仓库面积即顶部面积，故S ＝xy ．依题意，得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式，得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0．因为S ＋16＞0，所以S －10≤0，故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100．(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，求得x ＝15，即铁栅的长是15米．82(x y。

2022届高考数学一轮专题复习_函数与方程思想(含解析)

3.已知点A是椭圆＋＝1上的一个动点，点P在线段OA的延长线上，且 · ＝48，则点P的横坐标的最大值为( )
A．18 B．15 C．10D.
答案：C 当点P的横坐标最大时，射线OA的斜率k＞0，设OA：y＝kx，k＞0，与椭圆＋＝1联立解得xA＝ .又 · ＝xAxP＋k2xAxP＝48，解得xP＝＝＝，令9＋25k2＝t＞9，即k2＝，则xP＝＝ ×25 ＝80 ≤80× ＝10，当且仅当t＝16，即k2＝时取等号，所以点P的横坐标的最大值为10，故选C.
10.已知函数f(x)＝ ,x∈[0,1].
(1)求f(x)的单调区间和值域；
(2)设a≥1,函数g(x)＝x3－3a2x－2a,x∈[0,1],若对于任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得g(x0)＝f(x1)成立,求a的取值范围.
解：(1)f′(x)＝＝－ .
令f′(x)＝0,解得x＝或x＝ (舍去).
从而当x∈[0,1]时,有g(x)∈[g(1),g(0)].又g(1)＝1－2a－3a2,g(0)＝－2a,
即当x∈[0,1]时,有g(x)∈[1－2a－3a2,－2a].对于任意x1∈[0,1],f(x1)∈[－4,－3],
存在x0∈[0,1]使得g(x0)＝f(x1)成立,则[1－2a－3a2,－2a]⊇[－4,－3].即
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表：
x
0
1
f′(x)
不存在
－
0
＋
不存在
f(x)
－
－4
－3
∴函数f(x)的单调增区间是 ,单调减区间是 .
当x∈[0,1]时,f(x)的值域为[－4,－3].
(2)g′(x)＝3(x2－a2).∵a≥1,当x∈(0,1)时,g′(x)<3(1－a2)≤0,因此当x∈(0,1)时,g(x)为减函数,

中考数学专题复习专题三大数学思想方法第四节方程思想与函数思想训练

专题三5大数学思想方法第四节方程思想与函数思想类型十五方程思想在实际生活中的应用例15Q （ 2018-台湾中考）某商店将巧克力包装成方形、圆形礼盒出售，且每盒方形礼盒的价钱相同，每盒圆形礼盒的价钱相同.阿郁原先想购买3盒方形礼盒和7盒圆形礼盒，但他身上的钱会不足240元，如果改成购买7盒方形礼盒和3盒圆形礼盒，他身上的钱会剩下240元.若阿郁最后购买10盒方形礼盒，则他身上的钱会剩下多少元？（）A. 360B. 480C. 600D. 720【分析】设每盒方形礼盒x元，每盒圆形礼盒y元，根据阿郁身上的钱数不变列出方程，再根据阿郁最后购买10盒方形礼盒求解即可.【自主解答】17.（2018 •新疆中考）某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但5这次每支的进价是第一次进价的4倍，购进数量比第一次少了30支.则该商店第一次购进的铅笔，每支的进价是元.类型十六方程思想在几何中的应用例150 （ 2018 ・湖南湘1M中考）如图，AB是以。

为圆心的半圆的直径，半径COLAQ点M是AB上的动点, 且不与点A C, B重合，直线AM交直线OC于点D,连结0M h l CM.（1）若半圆的半径为10.①当/AOM= 60°时，求DM勺长；②当AM= 12时，求DM的长.(2)探究：在点M运动的过程中，/ DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【分析】(1)①当/AOM= 60°时，^AMO是等边三角形，从而可知/ MOD 30° , Z D= 30° ,所以DM OM = 10;②过点M乍M口OA于点F,设AF= x,。

已10 —x,利用勾股定理即可求出x的值.易证明△ AMQ/XADQ从而可知AD的长度，进而可求出MD勺长度.(2)根据点M的位置分类讨论，然后利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可求出答案.【自主解答】心命题研究专家点拨数与形的组合历来都是公认的求解数学问题的理想方法，它会使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化，几何方面的计算题便是求某些未知数的值，都可以用方程来解决.要根据两边相等、勾股定理、相似三角形中的比例线段、题目中本身具有的等量关系等建立方程，从而达到解决问题的目的.18.(2018 •山东潍坊中考)如图，点M是正方形ABCDi CD上一点，连结AM彳DH AM于点E, BF AM 于点F,连结BE.(1)求证：AE= BF;已知AF= 2,四边形ABED勺面积为24,求/ EBF的正弦值.(2)类型十七方程思想在函数中的应用例17。

《方程与函数思想》-练习题

“方程与函数思想”练习
练习A
1. 小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车。

车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了骑车速度匀速行驶。

下面是行驶路程s(米)关于时间t(分)的函数图像，那么符合这个同学行驶情况的图像大致是（）
A B C D
练习B
2.已知等腰三角形的周长是16cm ，底边长是ycm ，腰长是x cm ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数自变量的取值范围.
练习C
3.小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距2400m 的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以96m /min 速度从邮局同一条道路步行回家，小明在邮局停留2min 后沿原路以原速返回，设他们出发后经过t min 时，小明与家之间的距离为1
s m ，小明爸爸与家之间的距离为2s m ，图中折线OABD 、线段EF 分别表示1s 、2s 与t 之间的函数关系的图象.
（1）求2s 与t 之间的函数关系式；
（2）小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？。

高考冲刺-函数与方程的思想习题及答案

高考函数与方程的思想类型一、函数思想在方程中应用 1.已知155=-acb （a 、b 、c ∈R ），则有（） (A) ac b 42> (B) ac b 42≥ (C) ac b 42< (D) ac b 42≤2.若关于x 的方程cos2x －2cos x ＋m ＝0有实数根，则实数m 的取值范围是________3.已知函数 32()f x ax bx cx d =+++的图象如下，则（）（A ）(),0b ∈-∞ (B)()0,1b ∈ (C) (1,2)b ∈ (D)(2,)b ∈+∞4.若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有大于1的解，则实数a 的取值范围是( )A ．a <253-B ．a ≤－8C ．a <133- D ．a ≤－45.设函数3y x =与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是（）A ．(01)，B ．(12)，C ．(23)，D ．(34)，类型二、函数思想在不等式中的应用6.当(12)x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是；7.已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，求x 的取值范围．8.对于满足0≤p ≤4的实数p ，使x 2＋px >4x ＋p －3恒成立的x 的取值范围是________类型三、函数思想在数列中的应用9.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知123=a ，12S >0，13S <0，（1）求公差d 的取值范围；（2）指出1S 、2S 、3S …，12S 中哪一个最大，并说明理由。

10.已知等差数列的公差，对任意都有，函数．（1）求证：对任意，函数的图象过一定点．（2）若，函数f(x)与x 轴的一个交点为（），且，求数列的通项公式．（3）在（2）的条件下，求．类型四、函数思想在立体几何中的应用 11.如图，已知面，于D ，．（1）令，，试把表示为x 的函数，并求其最大值；（2）在直线PA 上是否存在一点Q ，使成立？类型五、利用方程思想处理解析几何问题 12.直线与圆相切，则a 的值为（）A ．B ．C ．1D ．13.（2016 全国I 卷高考）在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H . （I ）求OH ON；（II ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由. 14.直线和双曲线的左支交于A 、B 两点，直线l 过点P(－2，0)和线段AB 的中点M ，求l 在y 轴上的截距b 的取值范围．类型六、函数思想在三角中的应用 15.求的取值范围。

高中数学必修一函数与方程思想检测题

函数与方程思想单元检测一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设直线ax+by+c =0的倾角为α，且sin α+cos α=0，则a , b 满足（）A ．a+b =1 B.a - b =1 C.a+b =0 D.a - b =02．设f -1(x )是函数f (x ) = log 2 (x +1)的反函数，若[1 + f -1 (a )][1 + f -1 (b )]=8，则f (a+b )的值为（）A ．1 B.2 C.3 D.log 233．已知y = f (x )是偶函数，且其图象C 与x 轴有4个交点，则方程f (x )=0的所有实根之和为（）A ．4 B.2 C.1 D.04．已知函数y = f (x )的图象为曲线C ，直线l : x = a (a 为常数)，则曲线C 与直线l 交点的个数为（）A ．至多有一个 B.只有一个 C.至少有一个 D.没有5．f (x )与g (x )是R 上的两个可导函数，若f ˊ（x ）＞g (x ),则f ˊ(x ) - g (x )可能是（）A ．y=lg x B.y =2 x C.y = -2x -1 D.y= -x1 6.已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0 ，1]时，f (x )= x ,那么在区间[-1，3]内，关于x 的方程f (x ) = kx +k +1(k ∈R 且k ≠-1，k ≠0)的根的个数（）A ．不可能有三个 B.最少有一个，最多有四个C ．最少有一个，最多有三个 D.最少有二个，最多有四个7．方程sin(x -4 )=x 41实数解的个数是（） A ．1 B.2 C.3 D.48．设甲、乙两地的距离为a (a ＞0) , 小王以骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数的图象为（）9．若函数f (x )=(1-m ) x 2-2mx -5是偶函数，则f (x ) （）A ．先增后减 B.先减后增 C.单调递增 D.单调递减10．设x ∈R ，如果a ＜lg(│x - 2│+│x + 8│)恒成立，那么（）A ．a ≥1 B.a ＞1 C.0＜a ≤1 D.a ＜111．已知函数f (x )对任意x , y ∈R 都有f (x +y )= f (x )+f (y )，且f (2)=4 , 则f (-1)= （）A ．-2 B.1 C.0.5 D.212．已知函数y = f (2x )的图象，作y = f (1-2x )的图象时，应将y = f (2x )图象（），再作关于y 轴的对称图形.A ．先向右平移1个单位 B.先向左平移1个单位C ．先向右平移21个单位 D.先向左平移21个单位二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上 .13 .函数y =2 x 在[0，1]上的最大值与最小值之和为 .14.已知函数)]41([),0(3),0(log )(2f f x x ＞x x f x 则⎩⎨⎧≤=的值为 . 15 .若函数1)(----==a x a x x f y 的反函数y = f -1(x )的图象对称中心是（-1， 3），则实数a = .16.已知集合A ={(x , y ) |y = x 2+mx +2}, B ={(x ,y ) |y = x +1且0＜x ＜2}，如果A ∩B ≠φ，则实数m 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .17.（本小题满分12分）已知二次函数f (x )= ax 2+bx (a ,b 为常数，且a ≠0)满足条件f (x -1) = f (3 - x )，且方程f (x )=2 x 有等根.（1）求f (x )的解析式；（2）是否存在实数m ,n (m ＜n ) ,使f (x )的定义域和值域分别为[m ,n ]和[4m ,4n ]？如果存在，求出m ,n 的值；如果不存在，说明理由.18.（本小题满分12分）设f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，并且f (x ) - g (x ) = x 2 - x ，求f (x )和g (x )的表达式 .19.（本小题满分12分）已知不等式32)1(log 121212111+-+++++a ＞n n n a 对于大于的1的一切自然数n 恒成立，试求参数a 的取值范围 .20. （本小题满分12分）对于函数f (x )，若 f (x ) = x ，则称x 为f (x )的“不动点”；若f [ f (x )] = x ，则称x 为f (x )的“稳定点”.若函数f (x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A= {xlf (x)= x}, B={xlf [ f (x)]= x} .A ；（1）求证：B（2）若f (x) = ax2-1(a∈R , x∈R)，且A=B≠ф，求实数a的取值范围.21.（本小题满分12分）我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地都在采用价格调控等手段来达到节水的目的，某市用水收费的方法是：水费= 基本费+ 超额费+ 损耗费 .若每月用水量不超过最低限量a m3时，只付基本费8元和每户的定额耗费c元；若用水量超过a m3时，除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每1m3付b元的超额费.据长期的统计资料显示，每户每月的定额损耗费不超过5元.该市某一家庭今年第一季度的用水量和支付费如下表所示：根据上表中的数据，求a ,b ,c .22.（本小题满分14分）已知函数y= f (x)= x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，其图象C：在x=1处的切线与直线l:6x+2y+5=0平行.（1）求函数的单调区间；（2）求函数的极大值与极小值的差；（3）若x∈[1，3]时，f (x)＞1-4 c2恒成立，求实数c的取值范围.(14) 函数与方程思想单元检测答案一、选择题：1．D2. B 易求得f -1(x )=2 x -1 ,由[1+f -1(a )][1+f -1(b )]=8,得2 a+b =8 .3. D4 . A 根据函数的定义可知，当x = a 在函数y = f (x )的定义域内时，曲线C 与直线l 交点的个数只有一个；否则，曲线C 与直线l 无交点 .5. B6. B y = kx+k +1过点（-1，1），结合y = f (x )的图象（如下图），易知只有B 项正确，7. C8. D9. B 由偶函数的定义f (-x )= f (x )得m = 0.10. D11. A 令x = y =0,得f (0)=0；又令x=y =1，得f (1)=2；再令 x = -1 , y =1,得f (-1)+f (1)=f (0) =0 .12. D二、填空题：13．3 14. 91 15.2 易知y =f (x )的图象对称中心是（3，-1）. 而由y =f (x )=-1---a x a x , 得y +1= -)1(1+-a x . 这说明函数y = f (x )的图象对称中心是(a +1,-1)，故a +1=3 .16. (]1,-∞- 由题意知方程x 2+（m -1）x +1=0在（0，2）上有解，因此可考虑分离参数m ，转化为求函数的值域问题 .故m -1=2112-≤--=--xx x x ,当x =1时取等号 .故m ≤ -1 . 三、解答题：17．解：（1）∵方程ax 2+bx -2x = 0有等根， ∴△=(b -2)2=0，得b =2 .由f (x -1)= f (3-x )知此函数图象的对称轴方程为x = -ab 2=1,得a = -1 . 故f (x )= -x 2+2x .（2）∵f ( x )=-(x -1)2+1≤1 ， ∴4n ≤1，即n ≤41 . 而抛物线y = -x 2+2x 的对称轴为x =1， ∴当 n ≤41时，f (x )在[m,n ]上为增函数 . 若满足题设条件的m , n 存在，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-⎩⎨⎧==,42,42,4)(,4)(22n n n m m m n n f m m f 即解得⎩⎨⎧-==-==,20,20n n m m 或或又m ＜n ≤41,所以m = -2,n =0 .这时，定义域为[-2，0]，值域为[-8，0] 由以上知满足条件的m , n 存在，且 m = -2，n =0 .18.解：∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数， ∴f (-x )= -f (x ) , g (-x )=g (x )由已知得f (-x )-g (-x )=x 2+x ，从而-f (x )-g (x )=x 2+x ，即f （x ）+g （x ）=-x 2-x由⎩⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=-,)(,)(,)()(,)()(222x x g x x f x x x g x f x x x g x f 得 ∴f (x )= -x , g (x )= -x 219.解：构造函数nn n n f 212111)(+++++= ， 0)22)(12(111221121)()1(＞n n n n n n f n f ++=+-+++=-+ . 由此可知，关于n (n ＞1，n ∈N +)的函数f (n )在[)+∞,2上是单调递增函数，又n 是大于1的自然数，故127)2()(=≥f n f . 要使32)1(l o g 121)(+-a ＞n f a 对于大于1的一切自然数n 恒成立，必须有)251,1(.1)1(log ,12732)1(log 121+∈--+-a ＜a ＜a a a 所以即 . 20．（1）证明：若A =φ，则A ⊆B 显然成立；若A ≠φ，设t ∈A ，则f (t )= t , f [f (t )]=f (t )= t , 即t ∈B ，从而A ⊆B .（2）解：A 中元素是方程f (x )=x , 即ax 2-1= x 的实根 .由A ≠φ，知a =0或⎩⎨⎧≥+=∆≠,041,0a a 即a ≥ -41. B 中元素是方程a (ax 2-1) 2-1=x ，即a 3x 4-2a 2x 2-x +a -1=0的实根 .由A ⊆B 知上述方程的左边一定含有一个因式ax 2-x -1,即方程可化为（ax 2-x -1）（a 2x 2+ax -a +1）=0 .因此，要使A =B ，即方程（a 2x 2+ax -a +1）=0①没有实根或实根是方程ax 2-x -1=0②的实根 .若①没有实根，则△1= a 2 - 4a 2 (1-a )＜0 , 解得a ＜43 . 若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有a 2x 2 = ax +a ,代入①有2ax +1=0 .解得x = -a 21, 再代入②得,012141=-+aa 解得43=a . 故a 的取值范围是[-43,41] . 21.解：设某月用水量为x m 3，支付费用为y 元，则有⎩⎨⎧+-+≤≤+=＞a.②,)(8①,0,8x c a x b a x c y 由表知第二、三月份的水费均大于13元，故用水量15m 3、22m 3均大于最低限量a m 3,于是就有⎩⎨⎧+-+=+-+=.)22(833.)15(819c a b c a b 解得b =2,从而有2a =19+c . ③ 再考虑一月份用水量是否超过最低限量，不妨设9＞a ，将x =9代入②式，得9=8+2（9-a ）+c ，即2a =26+c ,这与③式相矛盾.所以9≤a.从而可知一月份的付款方式应选①式，因此，就有8+c =9,得c =1. 故a =10 ，b =2 ，c =1.22．解：（1）由题意得y ′=3x 2+6ax +3b , k l = -3 . 故⎩⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++='-=++='==.0.1.031212,336321b a b a y b a y x x 得故y ′=3x 2-6x .令y ′＞0，得x ＜0或x ＞2 .所以单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（-∞，0）和（2，+∞） .(2)由（1）知x =0时取极大值c ，x =2时取极小值c – 4,所以极大值与极小值之差为4 .(3)函数在区间[1，3]上有最小值f (2)=c – 4,要使x ∈[1，3]时，f (x )＞1-4c 2恒成立，只需c - 4＞1-4c 2,所以c ＜-45或c ＞1 .。

高三数专题复习第二轮第4讲函数与方程的思想方法试题

第4讲函数与方程的思想方法本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

一、知识整合函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着亲密的联络，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)-y＝0通过方程进展研究。

就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表如今两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或者构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，到达化难为易，化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。

函数与方程的思想是中学数学的根本思想，也是历年高考的重点。

1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或者构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。

函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是擅长利用函数知识或者函数观点观察、分析和解决问题。

2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或者方程组，或者者构造方程，通过解方程或者方程组，或者者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。

方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是擅长利用方程或者方程组的观点观察处理问题。

方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.3．(1) 函数和方程是亲密相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。

函数问题〔例如求反函数，求函数的值域等〕可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点。

(2) 函数与不等式也可以互相转化，对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。

《函数与方程思想》过关检测题

、ls$mw<-/,4题「答'要不内线-封密1.号考名姓二一级班校学第十一专题《函数与方程思想》过关检测题(本卷满分150分，考试时间120分钟)-、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.21 .已知二次函数 f (x)二ax bx c 对一切x R，满足f (1「x)二f (1 • x)，且f (一1) ：：：0, f(0) ■ 0，则( )A、a+b+c^OB、bca+cC、cc2bD、a、b、c> 02. f(x)=x3 bx c是［-1,1］上的增函数，且f(_［)讦(丄)2 2:::0 ,则方程f (x)工0在［-1,1］内( )A、可能有三个实数根B、可能有两个实数根C、有唯一的实数根D、没有实数根)3.已知函数y = f (x)是偶函数，且y = f(x-2)在［0,2］上是单调减函数，则(A、f (0) ：：： f (-1) ：： f(2)C、f (-1) ：： f(2) ：： f (0)f(-1)：：： f(0) ：：： f(2)f(2)：：： f(-1) ：：： f(0)JI4 .关于函数f(x) =4sin(2x )(^ R)，有下列命题: ①由 f (xj = f(X2)= 0可得捲-X2必是二的整数倍；②y = f (x)的表达式可改写为八4cos(2x U)；® y=f(x)的图象关于点序号是(A、①②5.已知函数函数解析式可以为(1y = f (2x - 2)xy = f( 1)2|ln x|(-一,0)对称；④y = f(x)的图象关于直线6)B、②③C①③f (x)二sin二x的图象的一部分如图)31x 对称.其中正确的命题6f(2x -1)f(--^)2 26.函数y〒e|lnx|-|x-1|的图象大致是( y $7 .在y 二2x, y 二logf (x1 x2)2A、0D②④O 1 x1),y1的函数图象所对应的y u1 '■(2)-1 -11y111 Jy1.A—11O h O11 x(1)22 x, y = x , y = cos2x这四个函数中，当f(x1) f(x2)恒成立的函数的个数是(0 ：：： X1 ：：：X2 ::: 1 时，使2B、18 .若0 .： x ，则2x与3sin x的大小关系是(2C、2A、2x 3sinxB、2x 3sinxC、2x = 3sinxD、与x的取值有关19•方程a |x| =| log a x| (a . 0且a=1)的实根的个数是( )A 、 1B 、 2C 、 310.直角梯形 ABCD 如图(1),动点P 从B 点出发，由设点P运动的距离为x ， ABP 的面积为f (x)，如果函数y = f (x)的图象如图(2)，则AABC 的面积为( ) A 、 10B 、 39——C 、26D 、36A二、填空题：本大题共 6小题，每小题4分，共24分.2 111.已知 f (x) =1 +x + log 2 x ，贝U f (6) = _______________ .12•若方程x 2 -2(2 —a)x +5 —a =0的两根都大于2,贝U a 丘_________________________________________________________________________ 13•若x 、y 是关于m 的方程m 2 -2am a 0的两个根，则(x -1)2 • (y- 1)2的最小值为 _________ .214.函数y=log 、,ax +3ax+a+2)定义域为R ，则a 的整数值为_________________________________________________________________________3H15 •设函数 f (x) = x (x R)，若 0 时，f (msin J f (1 - m) 0 恒成立，2则实数m 的取值范围是 _______________________ . 16 •点集 C 1、C 2、C 3、C 4分别表示函数 f<x) =3x , f 2(x) =3凶，f 3(x)=3」，f 4(x) =3^的图象，给出以下四个命题：①C 1 C 2 ； C 4 C 3 :③C 1 C 3 =C 4C 2 :④C 1 C 3=C 2 “C 4.其中正确的命题是 ______________________ .三、解答题：本大题共 6小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .17 (本小题满分13分)已知关于x 的方程sin 2 x • acosx -2a = 0有实数解，求实数 a 的取值范围.18 (本小题满分13分)111 1 2已知不等式log a (a -1) •—对一切大于1的自B >C >D > A 沿边运动,Dc屮然数nn+1 n+2 2n 12 3都成立，求实数a的取值范围.13 2已知x =1是函数f (x) = mx -3(m 1)x • nx • 1的一个极值m、n R, m ::: 0.(I)求m与n的关系式；(n)求f (x)的单调区间；(川)当x • ［ -1,1］时，函数y = f (x)的图象上任一点的切线斜率恒大于的取值范围.占其中八、、、/、I 3m，求m20 (本小题满分13分)4x已知f(x) 乩.1 + |x|(I)判断f (x)的单调性和奇偶性，并说明理由；(n)若f (x)的定义域为［a,b］时，其值域也为［a,b］(其中a ：：：b), 数a、b的值.试求所有实图形F i上的任一点与图形F2上的任一点的距离中的最小值，叫做图形F i与图形F2的距离.(I)求图形y _2x与图形y空cosx的距离；(n)已知曲线C i : y = 2』x2+ 右+1 与圆C2 : (x—1)2 +(y —1)2 =r2(r >0)的Jl5距离为一15，求r的值.922 (本小题满分12分)3 2已知f(x)=x bx cx d在(-二,0)上是增函数，在［0,2］上是减函数，且方程f(x) =0有三个根，它们分别为〉、2、1 .(I)求c 的值；(n)求证：f(1)_2 ；(川)求|二一：【|的取值范围.。

易错题库-(学生卷)函数与方程的思想专题复习

数学解题思想之一——函数与方程的思想专题复习函数与方程的思想是美丽多彩的数学森林中的两朵奇葩，在数学思维的界域里，闪烁着智慧的熠熠光芒。

函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考经久不衰的热点和重点。

函数的思想，就是用运动和变化的观点、集合对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。

方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。

有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。

函数与方程的思想方法，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用．伟大数学家笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。

宇宙世界，充斥着等式和不等式。

我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有等式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。

而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f (x)，就可以看作关于x、y的二元方程 f (x)－y＝0。

可以说，函数的研究离不开方程。

列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。

函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。

它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。

一般地，函数思想是构造函数，从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是： f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。

在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。

对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。

中考数学专项讲解函数与方程思想试题

2021年中考数学专项讲解函数与方程思想知识梳理方程是研究数量关系的重要工具，在处理生活中实际问题时，根据与未知量之间的联络及相等关系建立方程或者方程组，从而使问题获得解决的思想方法称为方程思想．而函数的思想是用运动、变化的观点，研究详细问题中的数量关系，再用函数的形式把变量之间的关系表示出来．函数与方程思想在中学数学中有着广泛的应用，也是中考必考的内容．典型例题【例1】如图：在△ABC中，BA=BC=20 cm，AC=30 cm，点P从点A出发，沿AB以每秒4 cm的速度向点B运动；同时Q点从C点出发，沿CA以每秒3 cm的速度向点A运动．设运动的时间是为x秒．(1)当x为何值时，PQ∥BC?(2)△APQ能否与△CQB相似?(3)假设能．求出AP的长；假设不能．请说明理由．【解】(1)根据题意AP=4xcm，AQ=AC－QC=(30－30x)cm，假设PQ∥BC，那么AP AQAB AC=．那么43032030x x-=，解得103x=．所以当103x=s时，PQ∥BC．(2)因为∠A=∠C，所以当AP AQCQ CB=或者AP AQCB CQ=时，△APQ能与△创作；朱本晓创作；朱本晓 CQB 棚以．①当AP AQ CQ CB=时，4303320x x x -=，解得109x =． ②当AP AQ CB CQ =时，4303203x x x -=，解得x 1=5，x 2=－10(舍去)．所以AP=4x=20．所以当409AP =cm 或者20 cm 时，△APQ 与△CQB 相似．【解题反思】由相似三角形的对应边成比例，可列出分式方程，从而求解；在一个角对应相等的前提下考虑两个三角形相似时，有两种情况，不可遗漏．【例2】某企业HY100万元引进一条农产品加工消费线，假设不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万元，该消费线投产后，从第1年到第x 年的维修、保养费用累计为y(万元)，且y=a x 2+bx ，假设第1年的维修、保养费为2万元，第2年的维修、保养费为4万元．(1)求y 的解析式； (2)投产后，这个企业在第几年就能收回HY?【解】 (1)由题意，把x=1时，y=2和x=2时，y=2+4=6，代入y=a x 2+bx ，得2426a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，所以y=x 2+x (2)设y ′=33x －100－x 2－x ，那么y ′=－x 2+32x －100=－(x －16) 2+156．由于当1≤x≤16时，y′随x的增大而增大，且当x=1、2、3时，y′的值均小于0，当x=4时，y′=－12 2+156>0，投产后该企业在第4年就能收回本钱．【解题反思】用函数思想解决实际问题，要关注自变量与函数之间的关系，注意：此题中的y是从第1年到第x年的维修、保养费用总和．【例3】某村响应HYHY“减轻农民负担，进步农民生活程度〞的号召，该村实行医疗制度，村委会规定：(一)每位村民年初交纳医疗基金a元；(二)村民个人当年治疗花费的医疗费(以的收据为准)，年底按以下方法处理．设一位村民当年治疗花费的医疗费用为x元，他个人实际承当的医疗费用(包括医疗费中个人承当的局部和缴纳的医疗基金)为y元．(1)当0≤x≤b时，y=________；当b<x≤5000时，y=_______(用含a、b、c、x的代数式表示)创作；朱本晓创作；朱本晓 (2)下表是该村3位村民2021年治疗花费的医疗费和个人实际承当的费用，根据表格中的数据，求a 、b 、c 的值；写出y 与x 之间的函数关系式；并计算村民个人一年最多承当医疗费为多少元．(3)下表是小强同学一家2021年治疗花费的医疗费用：请你帮助小强计算参加医疗保险后村集体为他们家所承当的费用．【解】(1)a a +(x －b)c ％ (2)假设b ≤40，那么()()()0000004030(1)9050(2)15080(3)a b c a b c a b c +-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩②－①得，c=40，③－②得，c=50，结果矛盾，∴b>40，这样①不成立，应为a =30，代入②和③中，解得c=50，b=50．∴当0≤x ≤50时，y=30；当50<x ≤5000时，y=30+(x －50)50％=0．5x+5；当x>5000时，y=2505，∴村民个人一年最多承当医疗费为2505元；(3)全家医药费合计200+100+10+30+20=360，个人应该承当的药费之和(0．5×200+5)+(0．5×100+5)+30+30+30=250，集体为他们家承当的药费360－250=110(元)．【解题反思】此题的关键是确定a的范围，这里采用了反证法来说明b>40．综合训练1．假如关于x的方程3211axx x=-+-无解，那么a的值是__________．2．如图，矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4 cm，矩形ABCD的周长为32 cm，求AE的长．3．如图，△ABC中，AC=4，AB=5，D是线段AC上一点(点D不与点A 重合，可与点C重合)，E是线段AB上一点，且∠ADE=∠B．设AD=x，BE=y．(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)写出y的取值范围．4．如图，某农场要用总长24 m的木栏建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长12m)，且中间隔有一道木栏，设鸡场的宽AB为xm，面积创作；朱本晓为S m2；(1)求S关于x的函数关系式；(2)假设鸡场的面积为45 m2，试求出鸡场的宽AB的长；(3)鸡场的面积能否到达50 m2?假设能，请给出设计方案；假设不能，请说明理由．5．某空HY加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进展空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油油箱余油量为Q2吨，加油时间是为t分钟，Q1、Q2与t之间的函数关系如下图，结合图象答复以下问题：(1)加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油?将这些油全部加给运输飞机需多少分钟?(2)求加油过程中，运输飞机的余油量Q1(吨)与时间是t(分钟)的函数关系式；(3)运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需10小时到达目的地，油料是否够用?说明理由．创作；朱本晓6．近几年我高速公路的建立有了较大的开展，有力的促进了我的经济建立，正在修建中的某段高速公路要招标，现有甲、乙两个工程队，假设甲、乙两队，24天可以完成，需费用120万元；假设甲队单独做20天后，剩下的工程由乙队做，还需40天才能完成，这样需要费用110万元．问：(1)甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少天?(2)甲、乙两队单独完成此项工程，各需要费用多少万元?7．，关于x的一元二次方程mx2－(3m+2)x+2m+2=0(m>0)．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设方程的两个实数根分别为x1、x2(其中x1<x2)，假设y是关于m的函数，且y=x2－2x1，求这个函数的解析式；(3)在(2)的条件下，结合函数的图象答复：当m满足什么条件时，y≤－m+3?8．：△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，假设关于x的方程x2－2(b+c)x+2bc+a2=0有两个相等的实数根，且△ABC的面积为8，创作；朱本晓42a(1)试判断△ABC的形状并求b、c的长；(2)假设点P为线段AB边上的一个动点，PQ∥AC交BC于点Q，以PQ 为一边作正方形PQMN，使得点B与线段MN不在线段PQ的同侧，设正方形PQMN与△ABC的公一共局部的面积为S，BP的长为x．①试写出S与x之间的函数关系式；②当P点运动到何处时，S的值是3．9．(02)抛物线y=a x2+bx+c经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点． (1)求此抛物线的解析式和顶点M的坐标，并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线．(2)假设点(x0，y0)在抛物线上，且0≤x0≤4，试写出y0的取值范围．(3)设平行于y轴的直线x=t交线段BM于点P(点P能与点M重合，不能与点B重合)，交x轴于点Q，四边形AQPC的面积为S．①求S关于t的函数关系式以及自变量t的取值范围．②求S获得最大值时，点P的坐标．③设四边形OBMC的面积为S′，判断是否存在点P，使得S=S′．创作；朱本晓假设存在，求出点P的坐标，假设不存在，请说明理由．10．动点P(2m－1，－2m+3)和反比例函数kyx=(k<0)．(1)假设对一实在数m，动点P始终在一条直线l上，试求l的解析式．(2)设O为坐标原点，直线l与x轴相交于点M，与y轴相交于点N，与反比例函数的图象相交于A，B两点(点A在第四象限)．①证明：△OAM≌△OBN；②假如△AOB的面积为6，求反比例函数解析式．参考答案1．2和3 2．6cm 3．(1)455y x=-+ (2)955y≤< 4．(1)S=x(24－3x)=－3x2+24x(x≥4)；〔2〕－3x2+24x=45，解得：x1=3(舍去)，x2=5，∴鸡场的宽AB的长为5米．(3)－3x2+24x=50，3x2－24x+50=0，△=242－4×3×50<0∴此方程无实数解，∴鸡场的面积不能到达50米2．5．(1)由图象知，加油飞机的加油油箱中装载了30吨的油，全部加给运输飞机需10分钟． (2)设Q1=kt+b，那么406910bk b=⎧⎨=+⎩，2.940kb=⎧∴⎨=⎩，创作；朱本晓创作；朱本晓 ∴Q=2．9t+40(0≤t ≤10)．(3)根据图象可知运输飞机的耗油量为每分钟0．1吨，∴10小时的耗油量为10×60×0．1=60(吨)<69(吨)，∴油料够用．6．(1)30 120 (2)135 607．(1)△=(3m+2) 2－4×m ×(2m+2)=m 2+4m+4=(m+2) 2 m>0，∴ (m+2) 2>0，即A>0，∴方程有两个不相等的实数根． (2)x 1=1，222x m =+，∴ 2122y x x m=-=． (3)在直角坐标系中的第一象限内分别画出2y m =和y=－m+3的图象，观察图象得：当1≤m ≤2时，y ≤－m+3．8．(1)△ABC 是等腰直角三角形，b=c=4；(2)①当0<x ≤2时，S=x 2；当2<x ≤4时，S=－x 2+4x、3． 9．(1)y=－x 2+2x+3，M(1，4)，图略．(2)－5≤y 0≤4(3)①29322t S t =-++(1≤t<3) ②9342⎛⎫ ⎪⎝⎭， ③不存在．15'2S =，假设S=S ′，那么29315222t t -++=，整理得29602t t -+=． 812404∆=-<，∴此方程没有实数根，∴不存在点P ，使得S=S ′．创作；朱本晓 10．(1)设l ：y=k ′x+b ，当m=0时，P 1 (－1，3)，当m=1时，P 2(1，1)，带入l ：y=k ′x+b 得，3'1'k b k b =-+⎧⎨=+⎩，解得'12k b =-⎧⎨=⎩，∴l ：y=－x+2，经检验满足条件．(2)①解方程组2k y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，得x 2－2x+k=0，解得1A x =+，1B x =，代入求得，1A y =-，1B y =+，OA =OB =．∴OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA ；M(2，0)，N(0，2)，∴OM=ON ，∴∠OMN=∠ONM=45°，∴∠ONB=∠OMA=135°，∴△OAM ≌△OBN ．②26AOB MON APM S S S =+=，又12222MON S =⨯⨯=，2AOM S ∴=，代入得：(11222⨯-+⨯=3=，∴k=－8，∴反比例函数的解析式为8y x =-．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

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(14) 函数与方程思想单元检测一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设直线ax+by+c =0的倾角为α，且sin α+cos α=0，则a , b 满足（） A ．a+b =1 B.a - b =1 C.a+b =0 D.a - b =0 2．设f -1(x )是函数f (x ) = log 2 (x +1)的反函数，若[1 + f -1 (a )][1 + f -1 (b )]=8，则f (a+b )的值为（） A ．1 B.2 C.3 D.log 23 3．已知y = f (x )是偶函数，且其图象C 与x 轴有4个交点，则方程f (x )=0的所有实根之和为（） A ．4 B.2 C.1 D.0 4．已知函数y = f (x )的图象为曲线C ，直线l : x = a (a 为常数)，则曲线C 与直线l 交点的个数为（） A ．至多有一个 B.只有一个 C.至少有一个 D.没有5．f (x )与g (x )是R 上的两个可导函数，若f ˊ（x ）＞g (x ),则f ˊ(x ) - g (x )可能是（） A ．y=lg x B.y =2 x C.y = -2x -1 D.y= -x16.已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0 ，1]时，f (x )= x ,那么在区间[-1，3]内，关于x 的方程f (x ) = kx +k +1(k ∈R 且k ≠-1，k ≠0)的根的个数（） A ．不可能有三个 B.最少有一个，最多有四个 C ．最少有一个，最多有三个 D.最少有二个，最多有四个 7．方程sin(x -4 )=x 41实数解的个数是（） A ．1 B.2 C.3 D.48．设甲、乙两地的距离为a (a ＞0) , 小王以骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数的图象为（）9．若函数f (x )=(1-m ) x 2-2mx -5是偶函数，则f (x ) （） A ．先增后减 B.先减后增 C.单调递增 D.单调递减10．设x ∈R ，如果a ＜lg(│x - 2│+│x + 8│)恒成立，那么（） A ．a ≥1 B.a ＞1 C.0＜a ≤1 D.a ＜111．已知函数f (x )对任意x , y ∈R 都有f (x +y )= f (x )+f (y )，且f (2)=4 , 则f (-1)= （） A ．-2 B.1 C.0.5D.212．已知函数y = f (2x )的图象，作y = f (1-2x )的图象时，应将y = f (2x )图象（），再作关于y 轴的对称图形.A ．先向右平移1个单位 B.先向左平移1个单位 C ．先向右平移21个单位 D.先向左平移21个单位二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上 . 13 .函数y =2 x 在[0，1]上的最大值与最小值之和为 .14.已知函数)]41([),0(3),0(log )(2f f x x ＞x x f x则⎩⎨⎧≤=的值为 . 15 .若函数1)(----==a x ax x f y 的反函数y = f -1(x )的图象对称中心是（-1， 3），则实数 a= .16.已知集合A ={(x , y ) |y = x 2+mx +2}, B ={(x ,y ) |y = x +1且0＜x ＜2}，如果A ∩B ≠φ，则实数m 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17.（本小题满分12分）已知二次函数f (x )= ax 2+bx (a ,b 为常数，且a ≠0)满足条件f (x -1) = f (3 - x )，且方程 f (x )=2 x 有等根.（1）求f (x )的解析式；（2）是否存在实数m ,n (m ＜n ) ,使f (x )的定义域和值域分别为[m ,n ]和[4m ,4n ]？如果存在，求出m ,n 的值；如果不存在，说明理由.18.（本小题满分12分）设f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，并且f (x ) - g (x ) = x 2 - x ，求f (x )和g (x )的表达式 .19.（本小题满分12分）已知不等式32)1(log 121212111+-+++++a ＞n n n a 对于大于的1的一切自然数n 恒成立，试求参数a 的取值范围 .20. （本小题满分12分）对于函数f (x )，若 f (x ) = x ，则称x 为f (x )的“不动点”；若f [ f (x )] = x ，则称x 为f (x )的“稳定点”.若函数f (x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A= {xlf (x)= x}, B={xlf [ f (x)]= x} .A ；（1）求证：B（2）若f (x) = ax2-1(a∈R , x∈R)，且A=B≠ф，求实数a的取值范围.21.（本小题满分12分）我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地都在采用价格调控等手段来达到节水的目的，某市用水收费的方法是：水费= 基本费+ 超额费+ 损耗费 .若每月用水量不超过最低限量a m3时，只付基本费8元和每户的定额耗费c元；若用水量超过a m3时，除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每1m3付b元的超额费.据长期的统计资料显示，每户每月的定额损耗费不超过5元.该市某一家庭今年第一季度的用水量和支付费如下表所示：根据上表中的数据，求a ,b ,c .22.（本小题满分14分）已知函数y= f (x)= x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，其图象C：在x=1处的切线与直线l:6x+2y+5=0平行.（1）求函数的单调区间；（2）求函数的极大值与极小值的差；（3）若x∈[1，3]时，f (x)＞1-4 c2恒成立，求实数c的取值范围.(14) 函数与方程思想单元检测答案一、选择题： 1．D2. B 易求得f -1(x )=2 x -1 ,由[1+f -1(a )][1+f -1(b )]=8,得2 a+b =8 .3. D4 . A 根据函数的定义可知，当x = a 在函数y = f (x )的定义域内时，曲线C 与直线l 交点的个数只有一个；否则，曲线C 与直线l 无交点 .5. B6. B y = kx+k +1过点（-1，1），结合y = f (x )的图象（如下图），易知只有B 项正确，7. C 8. D9. B 由偶函数的定义f (-x )= f (x )得m = 0.10. D11. A 令x = y =0,得f (0)=0；又令x=y =1，得f (1)=2；再令 x = -1 , y =1,得f (-1)+f (1)=f (0) =0 . 12. D二、填空题：13．3 14.9115. 2 易知y =f (x )的图象对称中心是（3，-1）. 而由y =f (x )=-1---a x ax ,得y +1= -)1(1+-a x .这说明函数y = f (x )的图象对称中心是(a +1,-1)，故a +1=3 .16. (]1,-∞- 由题意知方程x 2+（m -1）x +1=0在（0，2）上有解，因此可考虑分离参数m ，转化为求函数的值域问题 .故m -1=2112-≤--=--xx x x ,当x =1时取等号 .故m ≤ -1 . 三、解答题：17．解：（1）≧方程ax 2+bx -2x = 0有等根， ≨△=(b -2)2=0，得b =2 . 由f (x -1)= f (3-x )知此函数图象的对称轴方程为x = -ab2=1,得a = -1 . 故f (x )= -x 2+2x .（2）≧f ( x )=-(x -1)2+1≤1 ， ≨4n ≤1，即n ≤41 . 而抛物线y = -x 2+2x 的对称轴为x =1， ≨当 n ≤41时，f (x )在[m,n ]上为增函数 .若满足题设条件的m , n 存在，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-⎩⎨⎧==,42,42,4)(,4)(22n n n m m m n n f m m f 即解得⎩⎨⎧-==-==,20,20n n m m 或或又m ＜n ≤41,所以m = -2,n =0 .这时，定义域为[-2，0]，值域为[-8，0] 由以上知满足条件的m , n 存在，且 m = -2，n =0 .18.解：≧f (x )为奇函数，g (x )为偶函数， ≨f (-x )= -f (x ) , g (-x )=g (x ) 由已知得f (-x )-g (-x )=x 2+x ，从而-f (x )-g (x )=x 2+x ，即f （x ）+g （x ）=-x 2-x由⎩⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=-,)(,)(,)()(,)()(222x x g x x f x x x g x f x x x g x f 得 ≨f (x )= -x , g (x )= -x 2 19.解：构造函数nn n n f 212111)(+++++=， 0)22)(12(111221121)()1(＞n n n n n n f n f ++=+-+++=-+ . 由此可知，关于n (n ＞1，n ∈N +)的函数f (n )在[)+∞,2上是单调递增函数，又n 是大于1的自然数，故127)2()(=≥f n f . 要使32)1(l o g 121)(+-a ＞n f a 对于大于1的一切自然数n 恒成立，必须有)251,1(.1)1(log ,12732)1(log 121+∈--+-a ＜a ＜a a a 所以即 . 20．（1）证明：若A =φ，则A ⊆B 显然成立；若A ≠φ，设t ∈A ，则f (t )= t , f [f (t )]= f (t )= t , 即t ∈B ，从而A ⊆B .（2）解：A 中元素是方程f (x )=x , 即ax 2-1= x 的实根 . 由A ≠φ，知a =0或⎩⎨⎧≥+=∆≠,041,0a a 即a ≥ -41.B 中元素是方程a (ax 2-1) 2-1=x ，即a 3x 4-2a 2x 2-x +a -1=0的实根 .由A ⊆B 知上述方程的左边一定含有一个因式ax 2-x -1,即方程可化为（ax 2-x -1）（a 2x 2+ax -a +1）=0 .因此，要使A =B ，即方程（a 2x 2+ax -a +1）=0①没有实根或实根是方程ax 2-x -1=0②的实根 .若①没有实根，则△1= a 2 - 4a 2 (1-a )＜0 , 解得a ＜43 . 若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有a 2x 2 = ax +a ,代入①有2ax +1=0 .解得x = -a 21, 再代入②得,012141=-+aa 解得43=a . 故a 的取值范围是[-43,41] .21.解：设某月用水量为x m 3，支付费用为y 元，则有⎩⎨⎧+-+≤≤+=＞a.②,)(8①,0,8x c a x b a x c y 由表知第二、三月份的水费均大于13元，故用水量15m 3、22m 3均大于最低限量a m 3,于是就有⎩⎨⎧+-+=+-+=.)22(833.)15(819c a b c a b 解得b =2,从而有2a =19+c . ③ 再考虑一月份用水量是否超过最低限量，不妨设9＞a ，将x =9代入②式，得9=8+2（9-a ）+c ，即2a =26+c ,这与③式相矛盾.所以9≤a.从而可知一月份的付款方式应选①式，因此，就有8+c =9,得c =1. 故a =10 ，b =2 ，c =1.22．解：（1）由题意得y ′=3x 2+6ax +3b , k l = -3 .故⎩⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++='-=++='==.0.1.031212,336321b a b a y b a y x x 得故y ′=3x 2-6x .令y ′＞0，得x ＜0或x ＞2 .所以单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（-≦，0）和（2，+≦） .(2)由（1）知x =0时取极大值c ，x =2时取极小值c – 4,所以极大值与极小值之差为4 .(3)函数在区间[1，3]上有最小值f (2)=c – 4,要使x ∈[1，3]时，f (x )＞1-4c 2恒成立，只需c - 4＞1-4c 2,所以c ＜-45或c ＞1 .。