13动量矩定理Y

J T 2 mgl
其中 m, l 已知， T 可测得，从而求得
J。
6. 查表法
均质物体的转动惯量 简 图 转动惯量 惯性半 径
m 2 J zC l 12 m 2 Jz l 3
物体 的形 状 细直 杆
体积
z
C
l 2 3
l z 3
薄壁 圆筒
J z mR2
z R
2Rlh
mi y1 0 得
J z J zC md 2
【注】：刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值。
要求记住三个转动惯量 （1） 均质圆盘对盘心轴的 2 mR 转动惯量
2
（2） 均质细直杆对一端的 ml 2 转动惯量
3
（3） 均质细直杆对中心轴 2 ml 的转动惯量
12
4．组合法
例13-5：已知杆长为l 质量为 m1 ，圆盘半径为r 质量为 m 2 。 求： J O 。
[例13-6]
均质圆盘，质量 m，求圆盘绕 O 轴的动量矩。
1 2 J C mr 2
J O J C me2
1 2 2 mr me 2 O 1 2 2 m( r 2e ) 2 1 2 2 LO J O m( r 2e ) 2

e
C
r
5．实验法
例：求对 O 轴的转动惯量。 解： 将曲柄悬挂在轴 O 上，作微幅摆动。 由
M O ( F ) (r F ) ( xi yj zk ) ( Fxi Fy j Fz k ) ( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
M O ( F ) yFz zFy
M z (mv ) ml
§13-1 质点的动量矩定理
一.质点对轴的动量矩 定义：质点的动量对轴之矩称为质点对轴的动量矩， 记作 M z (mv )
M z (mv ) 是代数 量，从 z 轴正向
看，逆时针为正， 顺时针为负。
二．质点的动量矩定理
作用在质点上的合力为 F

mz mv mv y x mvx y
( b)
p mvo 0
第十三章 动量矩定理
复习:§6–3 力对点的矩和力对轴的矩
1、力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢
三要素： (1）大小:力F与力臂的乘积 （2）方向:转动方向 （3）作用面：力矩作用面.
MO ( F ) r F
r xi yj zk
动量定理和质心运动定理不能解决质点或质系绕轴转动 时的动力学问题，由动量矩定量来求解。
• 动量矩：度量质点或质系 绕某轴（或某点）转动时 运动的强弱的物理量。 • 如图示数学摆，可视为质 点m绕水平Oz轴运动。质 点绕Oz的运动强度与mv有 关还与L有关。因此质点动 量的大小与其到O点垂直距 离的乘积，称为质点M对 Oz轴的动量矩。代数量， 逆正顺负。
2.力对轴的矩
M z ( F ) M O ( Fxy ) Fxy h
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内）， 力对该轴的矩为零. 力对任一轴之矩，等于力在垂直于该轴平面上的 分力对轴于平面交点之矩
力对轴之矩代数量的正负号
1、从z正向看：逆‘+’；顺‘-’； 2、右手‘+’；反之为‘-’
FT
解：研究小球
e d LO M O (F ) dt e M O(F ) 0
e d LO M O (F ) dt
e M O(F ) 0
o
r
M
v0
LO cost
m v1 r 2
FT
FN FT
n
mg
mv0 r
§13-3 刚体绕定轴的转动微分方程
解：取系统为研究对象
W LO J O vR g JO W LO ( R )v R g
v R
应用动量矩定理
O
F
Ox
mg
M
(e)
WR
dLO M (e) dt
WR 2 a W 2 (JO R ) g
v W
JO W dv ( R) WR R g dt
例13-4：两小球质量皆为 m ，初始角速度 0 。 求：剪断绳后， 角时的 。忽略杆、轴的质量及 轴承摩擦.
例13-5：已知杆长为l 质量为 m1 ，圆盘半径为d 质量为 m 2 。 解：
J O J O杆 J O盘
J O杆
J O盘
1 2 m1l 3
1 d 2 d 2 m2 ( ) m2 (l ) 2 2 2
3 2 2 m2 ( d l ld ) 8 1 2 3 2 2 J O m1l m2 ( d l ld ) 3 8
x
F Fx i Fy j Fz k
力对点O的矩在三个坐标轴上的投影为
M O ( F ) zFx xFz
y
M O ( F ) xFy yFx M z ( F )
z
力对点之矩矢在通过该点的任一轴上的投影等于力对该轴之矩.
练习：均质细长直杆长L，质量m1，与质量为m2,半径 为r的均质圆盘固结。已知角速度为,试求对转轴的 动量矩。 解：
LOz JOz
JOz JOz杆 JOz盘
1 J Oz 杆 m1 L2 3 1 J Oz 盘 m2 r 2 m2 ( L r ) 2 2 1 1 2 2 2 LO J O m1L m2 r m2 L r 2 3
证明：
J zC mi ( x y )
2 1 2 1
2
J z m i r m i (x y )
2 2
mi [ x ( y1 d ) ]
2 1 2
J z mi ( x y ) 2d mi y1 d mi
2 1 2 1 2
mi y1 因为 yC 0 mi
[例13-2] 已知: 轮的质量分布在半径为r的圆周上，忽略 摩擦， PA > PB;P; r. 求α.
解: 取轮、两重物及绳索为质点系， 受力分析如图示。 质点系对定轴 O 的动量矩为：
PA PB P LO v r v r v r g g g
所有外力对 定轴之矩：
M O PAr PB r ( PA PB )r
J z mi ri
2
单位：kg· m2
1. 简单形状物体的转动惯量计算 （1）均质细直杆对一端的转动惯量 （杆的质量为m,长度为l）
m 1 2 J z 2 x dx ml l 12 1 2 J z ml 12 l 1 2 2 m J z ' x dx ml 0 l 3
三.质点动量矩守恒 如mz F 0，则mz mv 常数。
舞蹈或滑冰运动员原地 旋转如何改变转速的？ （摩擦不计）
即：作用在质点上的合力对于某固定轴之矩为零，则 质点对该轴的动量矩守恒。
应用：已知质点在某一状态下的运动要素求在另一状态下的运动要素（速度， 位置坐标）
例题：
2
l 2 0
1 2 ml Jz 3
（2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量 (质量分布在半径为R的圆周上)
J z mi R 2 R 2 mi mR 2
J z mR
2
（3）均质圆柱或圆盘对中心轴的转动惯量
mi 2 ri dri A
m 式中： A R2

Fy x Fx y mz F

dmz mv 结论： mz F dt

结论：质点对某固定轴的动量矩对于时间的导数等于作 用在质点上的合力对于同一轴之矩。
应用：质点转动动力学的两类基本问题：
1、已知力矩（或力）求质点运动；
2、已知运动，求力矩（或力）
dmz mv dv y dx m x vy dt dt dt dy dvx m y vx dt dt
dvx m xm y dt dt ma y x max y
dv y
dmz mv 结论： mz F dt
dt g g g
(e)
dv PA PB P 由动量矩定理： [ r r r )] ( PA PB )r
a g PA PB dv a---轮的切向加速度， r r PA PB P dt
例13-3
均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对转轴的转动惯量为 JO。圆轮在重物带动下绕固定轴O 转动，已知重物重量 FOy 为W。 求：重物下落的加速度
解：取绳、球、杆、轴作质点系
0 时， Lz 2ma0 a 2ma20
1
0 时， Lz 2m(a l sin ) 2
2
由
Lz1 Lz2 ，得
2
a 0 (a l sin ) 2
【作业】
o
r
M
v0
质量为m 的小球系于细绳的一端， 绳的另一端穿过光滑水平面上的 小孔O，令小球在此水平面上沿半径 为r的圆周作匀速运动，其速度为v0 ， 如将绳下拉，使圆周半径缩小为 r / 2， 问此时小球的速度 v1 ？
一. 定轴转动刚体对轴的动量矩
Lz mz (mi vi ) mi vi ri
mi ri ri mi ri
刚体z对轴的转动惯量
2
J z mi ri
2
Lz J z
定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴的 转动惯量与其角速度的乘积。