四川省绵阳南山中学高二上学期期中考试数学(理)试题 (2)
2020年四川省绵阳市南山中学高二上学期期中数学试卷和解析(理科)
2018学年四川省绵阳市南山中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）直线l的方程为，则直线l的倾斜角为（）A．150°B．120°C．60°D．30°2．（5分）抛物线y=﹣x2的准线方程（）A．x=B．y=2 C．x= D．y=43．（5分）下面程序运行的结果是（）A．5，8 B．8，5 C．8，13 D．5，134．（5分）两圆x2+y2=9和x2+y2﹣8x+6y+9=0的公切线条数是（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条5．（5分）设0＜k＜a2，那么双曲线与双曲线有（）A．相同的虚轴B．相同的实轴C．相同的渐近线D．相同的焦点6．（5分）若圆x2+y2﹣4x﹣9=0与y轴的两个交点A．B都在双曲线上，且A、B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．7．（5分）若圆x2+y2﹣2x﹣6y+1=0上恰有三点到直线y=kx的距离为2，则k的值为（）A．或2 B．或C．2 D．8．（5分）已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点M（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A．3 B．C．D．9．（5分）已知l是双曲线C：﹣=1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若•=0，则P到x轴的距离为（）A．B．C．2 D．10．（5分）若方程=2x+m有实数解，则实数m的取值范围是（）A．[﹣，0}）∪[2，+∞）B．[﹣，0）∪（0，] C．（﹣∞，﹣]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）11．（5分）已知△FAB，点F的坐标为（1，0），点A，B分别在图中抛物线y2=4x及圆（x﹣1）2+y2=4的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，那么△FAB的周长的取值范围是（）A．（2，6） B．（4，6） C．（2，4） D．（6，8）12．（5分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点Q为椭圆上一点．△QF1F2的重心为G，内心为I，且，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）点A（2，3，5）关于坐标平面xOy的对称点B的坐标是．14．（5分）执行如图的程序框图，如果输入p=10，则输出的S=．15．（5分）已知F1是双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点，以线段F1O为边作正三角形F1OM，若顶点M在双曲线上，则双曲线的离心率是．16．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作x轴的垂线交抛物线于M，N两点，给出下列五个结论：①△PMN必为直角三角形；②△PMN必为等边三角形；③直线PM必与抛物线相切；④直线PM必与抛物线相交；⑤△PMN的面积为p2．其中正确的结论是．三、解答题（本大题共4小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）直线l经过两直线2x﹣y+4=0与x﹣y+5=0的交点，且与直线l1：x+y﹣6=0平行．（1）求直线l的方程；（2）若点P（a，1）到直线l的距离与直线l1到直线l的距离相等，求实数a的值．18．（12分）已知△ABC的三顶点坐标分别为：．（1）求△ABC的外接圆Γ的标准方程；（2）已知过P（﹣2，﹣3）的直线l被△ABC的外接圆Γ截得的弦长为，求直线l的一般式方程．19．（12分）如果点M（x，y）在运动过程中总满足关系式．（1）说明点M的轨迹是什么曲线并求出它的轨迹方程；（2）O是坐标原点，直线l：y=kx+2交点M的轨迹于不同的A，B两点，求△AOB面积的最大值．20．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣1，0），O为坐标原点，点G（1，）在椭圆上，过点F的直线l交椭圆于不同的两点A、B．（1）求椭圆C的方程；（2）求弦AB的中点M的轨迹方程；（3）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，P为x轴上一点，若PA、PB是菱形的两条邻边，求点P横坐标的取值范围．2018学年四川省绵阳市南山中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）直线l的方程为，则直线l的倾斜角为（）A．150°B．120°C．60°D．30°【解答】解：直线l的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°），直线l的方程为，则tan θ=，解得θ=150°，则直线l的倾斜角为150°，故选：A．2．（5分）抛物线y=﹣x2的准线方程（）A．x=B．y=2 C．x= D．y=4【解答】解：抛物线y=﹣x2的准线方程：x2=﹣8y，它的准线方程为：y=2．故选：B．3．（5分）下面程序运行的结果是（）A．5，8 B．8，5 C．8，13 D．5，13【解答】解：执行程序，有A=5B=8X=5A=8B=13输出8，13故选：C．4．（5分）两圆x2+y2=9和x2+y2﹣8x+6y+9=0的公切线条数是（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【解答】解：圆x2+y2=9表示以（0，0）为圆心，半径等于3的圆．圆x2+y2﹣8x+6y+9=0即（x﹣4）2+（y+3）2=16，表示以（4，﹣3）为圆心，半径等于4的圆．两圆的圆心距等于=5，小于半径之和，大于半径差，故两圆相交，故两圆的公切线的条数为2，故选：B．5．（5分）设0＜k＜a2，那么双曲线与双曲线有（）A．相同的虚轴B．相同的实轴C．相同的渐近线D．相同的焦点【解答】解：∵0＜k＜a2，∴a2﹣k＞0，对于双曲线可知，焦点在x轴，且c2=a2﹣k+b2+k=a2+b2，同理双曲线焦点也在x轴上，且c′2=a2+b2故它们由共同的焦点故选：D．6．（5分）若圆x2+y2﹣4x﹣9=0与y轴的两个交点A．B都在双曲线上，且A、B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：∵圆x2+y2﹣4x﹣9=0与y轴的两个交点A、B都在双曲线上，且A、B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，∴A、B是双曲线的顶点．令x=0，则y=﹣3或y=3，∴A（0，﹣3），B（0，3），在双曲线中，a=3，2c=3×2a=18，∴a=3，c=9，b2=81﹣9=72，因此，双曲线的标准方程是．故选：B．7．（5分）若圆x2+y2﹣2x﹣6y+1=0上恰有三点到直线y=kx的距离为2，则k的值为（）A．或2 B．或C．2 D．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣6y+1=0的圆心C（1，3），半径r==3，∵圆上恰有三点到直线y=kx的距离为2，∴圆心C（1，3）到直线y=kx的距离为1，即d==1，解得k=．故选：D．8．（5分）已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点M（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A．3 B．C．D．【解答】解：依题设P在抛物线准线的投影为P′，抛物线的焦点为F，则F（，0），依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|=|PF|，则点P到点M（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和，d=|PF|+|PM|≥|MF|==．即有当M，P，F三点共线时，取得最小值，为．故选：B．9．（5分）已知l是双曲线C：﹣=1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若•=0，则P到x轴的距离为（）A．B．C．2 D．【解答】解：双曲线C：﹣=1的a=，b=2，c==，即有F1（﹣，0），F2（，0），设渐近线l的方程为y=x，且P（m，m），•=（﹣﹣m，﹣m）•（﹣m，﹣m）=（﹣﹣m）（﹣m）+（﹣m）2=0，化为3m2﹣6=0，解得m=±，则P到x轴的距离为|m|=2．故选：C．10．（5分）若方程=2x+m有实数解，则实数m的取值范围是（）A．[﹣，0}）∪[2，+∞）B．[﹣，0）∪（0，] C．（﹣∞，﹣]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【解答】解：方程=2x+m可化为m=﹣2x；作函数m=﹣2x的图象如下，结合选项可得，实数m的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[2，+∞）；故选：C．11．（5分）已知△FAB，点F的坐标为（1，0），点A，B分别在图中抛物线y2=4x及圆（x﹣1）2+y2=4的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，那么△FAB的周长的取值范围是（）A．（2，6） B．（4，6） C．（2，4） D．（6，8）【解答】解：抛物线的准线l：x=﹣1，焦点F（1，0），圆（x﹣1）2+y2=4的圆心为（1，0），半径为2，由抛物线定义可得|AF|=x A+1，∴△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x A+1+（x B﹣x A）+2=3+x B，由抛物线y2=4x及圆（x﹣1）2+y2=4可得：交点的横坐标为1，∴x B∈（1，3），∴3+x B∈（4，6），故选：B．12．（5分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点Q为椭圆上一点．△QF1F2的重心为G，内心为I，且，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：椭圆的左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），设Q（x0，y0），∵G为△F1QF2的重心，∴G点坐标为G（，），∵，则∥，∴I的纵坐标为，又∵|QF1|+|QF2|=2a，|F1F2|=2c，∴=•|F 1F2|•|y0|，又∵I为△F1QF2的内心，∴||即为内切圆的半径，内心I把△F1QF2分为三个底分别为△F1MF2的三边，高为内切圆半径的小三角形，∴=（|QF 1|+|F1F2|+|QF2|）||，即×2c•|y0|=（2a+2c）||，∴2c=a，∴椭圆C的离心率为e=，∴该椭圆的离心率，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）点A（2，3，5）关于坐标平面xOy的对称点B的坐标是（2，3，﹣5）．【解答】解：点A（2，3，5）关于坐标平面xOy的对称点B的坐标是（2，3，﹣5）．故答案为：（2，3，﹣5）．14．（5分）执行如图的程序框图，如果输入p=10，则输出的S=45．【解答】解：由图可以看出，如果输入p=10，循环体被执行9次，可得程序框图的功能是计算并输出S=1+2+3+…+9的值，S=1+2+3+…+9=45．故答案为：45．15．（5分）已知F1是双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点，以线段F1O为边作正三角形F1OM，若顶点M在双曲线上，则双曲线的离心率是．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F1为（﹣c，0），以线段F1O为边作正三角形F1OM，则可设M（﹣，c），由M在双曲线上，则﹣=1，由e=，b2=c2﹣a2，则e2﹣=1，则e4﹣8e2+4=0，解得，e2=4，即有e=+1或﹣1（舍去）．故答案为：．16．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作x轴的垂线交抛物线于M，N两点，给出下列五个结论：①△PMN必为直角三角形；②△PMN必为等边三角形；③直线PM必与抛物线相切；④直线PM必与抛物线相交；⑤△PMN的面积为p2．其中正确的结论是①③⑤．【解答】解：抛物线方程为y2=2px（p＞0），焦点为F（，0），则P点坐标为（﹣，0），可求出点M（，p），N（，﹣p），∴|PF|=|MN|=p，∴∠MPN=90°，故①正确，②不正确；直线PM的方程为y=x+，联立，整理得y2﹣2py+p2=0，△=4p2﹣4p2=0，∴直线PM与抛物线相切，故③正确，④不正确．△PMN的面积为S=×2p×p=p2．故⑤正确，故答案为：①③⑤．三、解答题（本大题共4小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）直线l经过两直线2x﹣y+4=0与x﹣y+5=0的交点，且与直线l1：x+y﹣6=0平行．（1）求直线l的方程；（2）若点P（a，1）到直线l的距离与直线l1到直线l的距离相等，求实数a的值．【解答】解：（1）由，解得．即两直线的交点为（1，6），∵直线l1：x+y﹣6=0的斜率为﹣1，∴直线l的斜率为﹣1，∴直线l的方程为y﹣6=﹣（x﹣1），即x+y﹣7=0；（2）由题意知，，整理得：|a﹣6|=1．解得：a=7或a=5．18．（12分）已知△ABC的三顶点坐标分别为：．（1）求△ABC的外接圆Γ的标准方程；（2）已知过P（﹣2，﹣3）的直线l被△ABC的外接圆Γ截得的弦长为，求直线l的一般式方程．【解答】解：（1）设△ABC外接圆Γ的方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0则有，解之得，则外接圆Γ的方程：x2+y2+4y﹣21=0，即x2+（y+2）2=25．（2）由（1）及题意知圆心到直线l的距离，①当直线l的斜率不存在时，x=﹣2符合题意②当直线l的斜率存在时设直线l：y+3=k（x+2）即kx﹣y+2k﹣3=0∴解之得，∴，即3x+4y+18=0综上，直线l的一般式方程为x=﹣2或3x+4y+18=0．19．（12分）如果点M（x，y）在运动过程中总满足关系式．（1）说明点M的轨迹是什么曲线并求出它的轨迹方程；（2）O是坐标原点，直线l：y=kx+2交点M的轨迹于不同的A，B两点，求△AOB面积的最大值．【解答】解：（1）设F（，0），F′（﹣，0），∵点M（x，y）在运动过程中，总满足关系式，∴|MF|+|MF′|=2＞|FF′|=2，∴M的轨迹是椭圆，c=，a=，b=1，∴点M的轨迹方程是：．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，∵△=（12k）2﹣36（1+3k2）=36k2﹣36＞0，k2＞1，∴，∴，令，则k2=t2+1，∴当且仅当即时有最大值．20．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣1，0），O为坐标原点，点G（1，）在椭圆上，过点F的直线l交椭圆于不同的两点A、B．（1）求椭圆C的方程；（2）求弦AB的中点M的轨迹方程；（3）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，P为x轴上一点，若PA、PB是菱形的两条邻边，求点P横坐标的取值范围．【解答】解：（1）由题意有a2﹣b2=1，且=1，解得a2=2，b2=1，∴椭圆C的方程为=1．…（2分）（2）设M（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），则x=，y=当x1=x2时，M点的坐标为（﹣1，0）．当x1≠x2时，∵2=1，2=1，两式相减得，∴．又AB过F点，于是AB的斜率为，∴=﹣，整理得x2+2y2+x=0．∵（﹣1，0）也满足上式，∴M的轨迹方程为x2+2y2+x=0．…（6分）（3）设P（m，0），AB的中点M（a，b），由（2）知，a2+2b2+a=0．①∵|PA|=|PB|，∴PM⊥AB．∴k AB•k MP=﹣1，即=﹣1，整理得b2=﹣a2﹣a+am+m，②将②代入①中，得a2+a﹣2am﹣2m=0，化为（a+1）（a﹣2m）=0，∵a≠﹣1，∴m=．由2b2=﹣a2﹣a＞0（当b=0时，AB与x轴垂直，不合题意，舍去），得﹣1＜a＜0，于是﹣＜m＜0，即P点的横坐标的取值范围为（﹣，0）．…（10分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
四川省绵阳市南山中学2013-高二上学期期中考试 数学(理)试题
绵阳南山中学2013年秋季高2012级半期考试数学（理科)试题命题人：张婷婷 审题人：罗伟一、 选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）{}{}221212121.(1,0)240().210.210 .220.2102.(,),1,(,),1,().1.2.3.43.||6||6l x y l A x y B x y C x y D x y A x y x y x y B x y x y x y A B A B C D F F F F M MF MF M -+=--=-+=+-=+-==+==+==+=直线过点且与直线平行，则的方程是已知集合为实数，且为实数，且则的元素个数为，是定点，且，动点满足，则点的轨22222()....4.1(22)()124 .4.22.8.5.4,()1 .(0,).(0,1)161 .(,0).(1,0)166.().A B C D x y m m m m A B C D m x y A B C D S A +=<->+-=-----迹是线段椭圆双曲线抛物线椭圆或的焦距是与有关对抛物线下列描述正确的是开口向下，焦点为开口向下，焦点为开口向左，焦点为开口向左，焦点为执行如图所示的程序框图，输出的值为2.4.8.16B C D 222222167.12(0)()3 .2.3.4.42x y y px p p p A B C D y -==>若双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则的值为2012年11月二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）222221111.(2,).612.2101002270.13.4,.3.14. 200P x y x y x y x y y x F l A B AB AB R π+-++=+++-===已知点的极坐标是，则它的直角坐标是圆和圆的位置关系是过抛物线的焦点作直线，交抛物线于两点若线段中点的横坐标为，则“神舟”五号飞船的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，地球半径为公里，飞船的近地 点（距离地球最近的点）距地球地面公里，远地212212350.15.(1,0)(1,0)(1).1.2.C F F a a C C P C F PF a ->∆点（距离地球最远的点）距地球地面 公里，则飞船轨道的离心率为曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹给出下列 三个结论：①曲线过坐标原点； ②曲线关于坐标原点对称；③若点在曲线上，则的面积不大于 其中，所有正确结论的序号是三、解答题（每题10分，共40分；附加题每题10分，共20分）22121121222122219.1,.3(1) (2)2,..1(0)(,0),(,0).(1)(,x C y C C C C O A B C C OB OA AB x y xOy a b F c a b F c e e +==+=>>-已知椭圆：椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率求椭圆的方程；设为坐标原点，点、分别在椭圆和上，求直线的方程附加题：1如图1，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为已知点，和121212222.2(1) (2).2.1(0)2 4(1).e A B x AF BF AF BF AF x y a b a b F F P -=+=>>+都在椭圆上，其中为椭圆的离心率求椭圆的方程；设、是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，若求直线的斜率如图2，已知椭圆点、为顶点的三角形的周长为一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该2222216.:2150(12).(1)(2)0.17.1,(1,2),.2(1) (2).18.(0,2)(0,4)(,)8. C x y ax y A a x y m C m y C x P C A B P AB AB AB A B x y PA PB y ++--=-++=-=---=-已知圆过点， 求的值；若直线与圆相切，求的值已知双曲线：过点的直线交于两点，且点为线段的中点求直线的方程求弦长的值已知点，，动点满足 (1) (2)(1),()P y x b C D OC OD O b =+⊥求动点的轨迹方程；设中所求轨迹与直线交于两点，且为坐标原点，求的值y图1图2。
四川省绵阳市南山中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷(理科)Word版含解析
四川省绵阳市南山中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．如果抛物线方程为y2=4x，那么它的焦点坐标为（）A．（1，0）B．（2，0）C．（﹣1，0）D．（﹣2，0）2．双曲线x2﹣=﹣1的渐近线方程为（）A．y=±3x B．y=±x C．y=±x D．y=±x3．过点A（2，b）和点B（3，﹣2）的直线的斜率为﹣1，则b的值是（）A．5 B．1 C．﹣5 D．﹣14．圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A．x2+（y﹣2）2=1 B．x2+（y+2）2=1 C．（x﹣1）2+（y﹣3）2=1 D．x2+（y﹣3）2=15．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为（）A．1 B．2 C．3 D．46．直线过点（﹣3，﹣2）且在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为（）A．2x﹣3y=0 B．x+y+5=0C．2x﹣3y=0或x+y+5=0 D．x+y+5=0或x﹣y+1=07．圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切8．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为，过F 2的直线l交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为4，则C 的方程为（ ）A ．+=1 B ．+y 2=1 C ．+=1 D ．+=19．设F 1，F 2是双曲线﹣y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且•=0，则||•||的值等于（ ）A ．2B ．2C ．4D ．810．如果椭圆+=1的一条弦被点（4，2）平分，则该弦所在的直线方程是（ ）A ．x ﹣2y=0B ．2x ﹣3y ﹣2=0C ．x+2y ﹣8=0D ．x ﹣2y ﹣8=011．已知椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF ，若|AB|=10，|BF|=8，cos ∠ABF=，则C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．12．直线y=kx ﹣3与圆（x ﹣3）2+（y ﹣2）2=4相交于M ，N 两点，若|MN|≥2，则k 的取值范围是（ ）A ．[﹣，0]B ．（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）C ．[﹣，] D ．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案直接填在答题卷中的横线上） 13．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，有两点P （1，﹣2，3），M （2，0，4）则两点之间的距离为 ．14．若抛物线y 2=2px 的焦点与双曲线﹣y 2=1的右焦点重合，则抛物线上一点P （2，b ）到抛物线焦点的距离是 ．15．按如图所示的程序运行后输出的结果为 ．16．如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：﹣=1（a ，b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|，则C 的离心率是 ．三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知直线l 1：x+my+6=0．l 2：（m ﹣2）x+3y+2m=0，求实数m 的值使得： （1）l 1，l 2相交；（2）l 1⊥l 2；（3）l 1∥l 2．18．已知平面直角坐标系中两定点为A （2，3），B （5，3），若动点M 满足|AM|=2|BM|． （1）求动点M 的轨迹方程；（2）若直线l ：y=x ﹣5与M 的轨迹交于C ，D 两点，求CD 的长度．19．如图，曲线C 由上半椭圆C 1：+=1（a ＞b ＞0，y ≥0）和部分抛物线C 2：y=﹣x 2+1（y ≤0）连接而成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1的离心率为．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）过点B 的直线l 与C 1，C 2分别交于点P ，Q （均异于点A ，B ），若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程．20．已知过点A （﹣4，0）的动直线l 与抛物线C ：x 2=2py （p ＞0）相交于B 、C 两点．当l 的斜率是时，．（1）求抛物线C 的方程；（2）设BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．四川省绵阳市南山中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷（理科）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．如果抛物线方程为y2=4x，那么它的焦点坐标为（）A．（1，0）B．（2，0）C．（﹣1，0）D．（﹣2，0）【考点】抛物线的简单性质．【分析】先确定焦点位置，即在x轴正半轴，再求出P的值，可得到焦点坐标．【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2，∴焦点坐标为：（1，0）故选A．2．双曲线x2﹣=﹣1的渐近线方程为（）A．y=±3x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线，即，它的a=，b=1，焦点在y轴上，而双曲线的渐近线方程为y=±，∴双曲线的渐近线方程为y=±x，故选：D．3．过点A（2，b）和点B（3，﹣2）的直线的斜率为﹣1，则b的值是（）A．5 B．1 C．﹣5 D．﹣1【考点】直线的斜率．【分析】利用斜率计算公式即可得出．【解答】解：由题意可得： =﹣1，解得b=﹣1．故选：D．4．圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A．x2+（y﹣2）2=1 B．x2+（y+2）2=1 C．（x﹣1）2+（y﹣3）2=1 D．x2+（y﹣3）2=1【考点】圆的标准方程．【分析】法1：由题意可以判定圆心坐标（0，2），可得圆的方程．法2：数形结合法，画图即可判断圆心坐标，求出圆的方程．法3：回代验证法，逐一检验排除，即将点（1，2）代入四个选择支，验证是否适合方程，圆心在y轴上，排除C，即可．【解答】解法1（直接法）：设圆心坐标为（0，b），则由题意知，解得b=2，故圆的方程为x2+（y﹣2）2=1．故选A．解法2（数形结合法）：由作图根据点（1，2）到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为x2+（y﹣2）2=1故选A．解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B，D，又由于圆心在y轴上，排除C．故选：A．5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件2n＞n2，跳出循环，确定输出的n值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环n=1，21＞1；第二次循环n=2，22=4．不满足条件2n＞n2，跳出循环，输出n=2．故选：B．6．直线过点（﹣3，﹣2）且在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为（）A．2x﹣3y=0 B．x+y+5=0C．2x﹣3y=0或x+y+5=0 D．x+y+5=0或x﹣y+1=0【考点】直线的截距式方程．【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为x+y=a，把已知点坐标代入即可求出a的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把已知点的坐标代入即可求出k的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程．【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，把（﹣3，﹣2）代入所设的方程得：a=﹣5，则所求直线的方程为x+y=﹣5即x+y+5=0；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把（﹣3，﹣2）代入所求的方程得：k=，则所求直线的方程为y=x即2x﹣3y=0．综上，所求直线的方程为：2x﹣3y=0或x+y+5=0．故选：C7．圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出半径，求出圆心，看两个圆的圆心距与半径的关系即可．【解答】解：圆O1：x2+y2﹣2x=0，即（x﹣1）2+y2=1，圆心是O1（1，0），半径是r1=1圆O2：x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4，圆心是O2（0，2），半径是r2=2∵|O1O2|=，故|r1﹣r2|＜|O1O2|＜|r1+r2|∴两圆的位置关系是相交．故选 B8．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A． +=1 B． +y2=1 C． +=1 D． +=1【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选：A ．9．设F 1，F 2是双曲线﹣y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且•=0，则||•||的值等于（ ）A ．2B ．2C ．4D ．8【考点】双曲线的应用．【分析】先由已知，得出．再由向量的数量积为0得出直角三角形PF 1F 2，最后在此直角三角形中利用勾股定理及双曲线的定义列出关于的方程，即可解得||•||的值．【解答】解：由已知，则．即，得．故选A ．10．如果椭圆+=1的一条弦被点（4，2）平分，则该弦所在的直线方程是（ ）A ．x ﹣2y=0B ．2x ﹣3y ﹣2=0C ．x+2y ﹣8=0D ．x ﹣2y ﹣8=0【考点】椭圆的简单性质．【分析】设过A 点的直线与椭圆两交点的坐标，分别代入椭圆方程，得到两个关系式，分别记作①和②，①﹣②后化简得到一个关系式，然后根据A 为弦EF 的中点，由A 的坐标求出E 和F 两点的横纵坐标之和，表示出直线EF 方程的斜率，把化简得到的关系式变形，将E 和F 两点的横纵坐标之和代入即可求出斜率的值，然后由点A 的坐标和求出的斜率写出直线EF 的方程即可．【解答】解：设过点A 的直线与椭圆相交于两点，E （x 1，y 1），F （x 2，y 2）， 则有=1①，=1②，①﹣②式可得： +=0，又点A 为弦EF 的中点，且A （4，2），∴x 1+x 2=8，y 1+y 2=4，∴（x 1﹣x 2）﹣（y 1﹣y 2）=0即得k EF ==﹣∴过点A 且被该点平分的弦所在直线的方程是y ﹣2=﹣（x ﹣4），即x+2y ﹣8=0． 故选：C11．已知椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF ，若|AB|=10，|BF|=8，cos ∠ABF=，则C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ． 【考点】椭圆的简单性质．【分析】由已知条件，利用余弦定理求出|AF|，设F ′为椭圆的右焦点，连接BF ′，AF ′．根据对称性可得四边形AFBF ′是矩形，由此能求出离心率e ． 【解答】解：如图所示，在△AFB 中，|AB|=10，|BF|=8，cos ∠ABF=， 由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos ∠ABF=100+64﹣2×10×8× =36，∴|AF|=6，∠BFA=90°，设F ′为椭圆的右焦点，连接BF ′，AF ′． 根据对称性可得四边形AFBF ′是矩形． ∴|BF ′|=6，|FF ′|=10．∴2a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5．∴e==．故选B．12．直线y=kx﹣3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（）A．[﹣，0] B．（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由弦长公式得，当圆心到直线的距离等于1时，弦长等于2，故当弦长大于或等于2时，圆心到直线的距离小于或等于1，解此不等式求出k的取值范围．【解答】解：设圆心（3，2）到直线y=kx+3的距离为d，由弦长公式得，MN=2≥2，故d≤1，即≤1，化简得 8k（k+）≤0，∴﹣≤k≤0，故选A．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案直接填在答题卷中的横线上）13．在空间直角坐标系O﹣xyz中，有两点P（1，﹣2，3），M（2，0，4）则两点之间的距离为．【考点】空间两点间的距离公式．【分析】由空间两点间距离公式，直接求解即可得出结论．【解答】解：∵P（1，﹣2，3），M（2，0，4），∴|PM|==．故答案为14．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右焦点重合，则抛物线上一点P（2，b）到抛物线焦点的距离是 4 ．【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线方程可得它的右焦点坐标，结合抛物线y2=2px的焦点坐标得p=4，利用抛物线的定义，即可得出结论．【解答】解：∵双曲线﹣y2=1中a2=3，b2=1∴c=2，得双曲线的右焦点为F（2，0）因此抛物线y2=2px的焦点（，0）即F（2，0）∴=2，即p=4，∴抛物线上一点P（2，b）到抛物线焦点的距离是2+2=4故答案为4．15．按如图所示的程序运行后输出的结果为22 ．【考点】伪代码．【分析】利用条件语句，确定变量的赋值方法，即可求得结论．【解答】解：由题意，若x ＜0，则将y ﹣3赋给x ；若x ＞0，则将y+3赋给x ∴x=5，y+3=﹣20+3=﹣17，∴x ﹣y=5+17=22 故答案为：22．16．如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：﹣=1（a ，b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|，则C 的离心率是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】依题意可求得直线F 1B 的方程，与双曲线C 的方程联立，利用韦达定理可求得PQ 的中点坐标，从而可得线段PQ 的垂直平分线的方程，继而可求得M 点的坐标，从而可求得C 的离心率．【解答】解：依题意F 1（﹣c ，0），B （0，b ），∴直线F 1B 的方程为：y ﹣b=x ，与双曲线C 的渐近线方程联立得：b 2x 2﹣a 2=0，整理得：b 2x 2﹣2a 2cx ﹣a 2c 2=0，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则x 1，x 2为上面方程的两根，由韦达定理得：x 1+x 2=，y 1+y 2=（x 1+x 2）+2b=，∴PQ 的中点N （，），又直线MN 的斜率k=﹣（与直线F 1B 垂直），∴直线MN 的方程为：y ﹣=﹣（x ﹣），令y=0得M 点的横坐标x=c+=．∵|MF 2|=|F 1F 2|， ∴﹣c=2c ．∴c 2=3b 2=3（c 2﹣a 2），∴c 2=a 2，∴e==．故答案为：．三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知直线l 1：x+my+6=0．l 2：（m ﹣2）x+3y+2m=0，求实数m 的值使得： （1）l 1，l 2相交；（2）l 1⊥l 2；（3）l 1∥l 2． 【考点】直线的一般式方程．【分析】（1）利用两条直线相交时，由方程组得到的一次方程有唯一解，一次项的系数不等于0．（2）当两条直线垂直时，斜率之积等于﹣1，解方程求出m 的值．（3）利用两直线平行时，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求出m 的值． 【解答】解：（1）当l 1和l 2相交时，1×3﹣（m ﹣2）m ≠0，由1×3﹣（m ﹣2）m=0，m 2﹣2m ﹣3=0，∴m=﹣1，或m=3，∴当m ≠﹣1且m ≠3时，l 1和l 2相交．（2）l 1⊥l 2 时，1×（m ﹣2）+m ×3=0，m=，∴当m=时，l 1⊥l 2． （3）∵m=0时，l 1不平行l 2，l 1∥l 2⇔，解得m=﹣1．18．已知平面直角坐标系中两定点为A （2，3），B （5，3），若动点M 满足|AM|=2|BM|． （1）求动点M 的轨迹方程；（2）若直线l ：y=x ﹣5与M 的轨迹交于C ，D 两点，求CD 的长度．【考点】轨迹方程．【分析】（1）利用直接法，可求动点M 的轨迹方程； （2求出圆心到直线的距离，利用勾股定理，求CD 的长度．【解答】解：（1）设M （x ，y ），则（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=4（x ﹣5）2+4（y ﹣3）2，即（x ﹣6）2+（y ﹣3）2=4．（2）圆心（6，3）到直线的距离d==，∴|CD|=2=2．19．如图，曲线C 由上半椭圆C 1：+=1（a ＞b ＞0，y ≥0）和部分抛物线C 2：y=﹣x 2+1（y ≤0）连接而成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1的离心率为．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）过点B 的直线l 与C 1，C 2分别交于点P ，Q （均异于点A ，B ），若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）在C 1、C 2的方程中，令y=0，即得b=1，设C 1：的半焦距为c ，由=及a 2﹣c 2=b 2=1得a=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知上半椭圆C 1的方程为+x 2=1（y ≥0），设其方程为y=k （x ﹣1）（k ≠0），代入C 1的方程，整理得（k 2+4）x 2﹣2k 2x+k 2﹣4=0．（*）设点P （x p ，y p ），依题意，可求得点P 的坐标为（，）；同理可得点Q 的坐标为（﹣k ﹣1，﹣k 2﹣2k ），利用•=0，可求得k 的值，从而可得答案．【解答】解：（Ⅰ）在C 1、C 2的方程中，令y=0，可得b=1，且A （﹣1，0），B （1，0）是上半椭圆C 1的左右顶点．设C 1：的半焦距为c ，由=及a 2﹣c 2=b 2=1得a=2．∴a=2，b=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知上半椭圆C 1的方程为+x 2=1（y ≥0）．易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为y=k （x ﹣1）（k ≠0）， 代入C 1的方程，整理得（k 2+4）x 2﹣2k 2x+k 2﹣4=0．（*） 设点P （x p ，y p ）， ∵直线l 过点B ，∴x=1是方程（*）的一个根，由求根公式，得x p =，从而y p =，∴点P 的坐标为（，）．同理，由得点Q 的坐标为（﹣k ﹣1，﹣k 2﹣2k ）， ∴=（k ，﹣4），=﹣k （1，k+2），∵AP ⊥AQ ，∴ •=0，即[k ﹣4（k+2）]=0，∵k ≠0，∴k ﹣4（k+2）=0，解得k=﹣．经检验，k=﹣符合题意，故直线l 的方程为y=﹣（x ﹣1），即8x+3y ﹣8=0．20．已知过点A （﹣4，0）的动直线l 与抛物线C ：x 2=2py （p ＞0）相交于B 、C 两点．当l 的斜率是时，．（1）求抛物线C 的方程；（2）设BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设出B ，C 的坐标，利用点斜式求得直线l 的方程，与抛物线方程联立消去x ，利用韦达定理表示出x 1+x 2和x 1x 2，根据求得y 2=4y 1，最后联立方程求得y 1，y 2和p ，则抛物线的方程可得．（2）设直线l 的方程，AB 中点坐标，把直线与抛物线方程联立，利用判别式求得k 的范围，利用韦达定理表示出x 1+x 2，进而求得x 0，利用直线方程求得y 0，进而可表示出AB 的中垂线的方程，求得其在y 轴上的截距，根据k 的范围确定b 的范围．【解答】解：（1）设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），由已知k 1=时，l 方程为y=（x+4）即x=2y ﹣4．由得2y 2﹣（8+p ）y+8=0①②∴又∵，∴y 2=4y 1③由①②③及p ＞0得：y 1=1，y 2=4，p=2，即抛物线方程为：x 2=4y ．（2）设l ：y=k （x+4），BC 中点坐标为（x 0，y 0）由得：x 2﹣4kx ﹣16k=0④∴．∴BC 的中垂线方程为∴BC 的中垂线在y 轴上的截距为：b=2k 2+4k+2=2（k+1）2 对于方程④由△=16k 2+64k ＞0得：k ＞0或k ＜﹣4． ∴b ∈（2，+∞）。
四川省南山中学高二数学上学期期中考试 理【会员独享】
绵阳南山中学秋季高半期试数学试题（理工类）考试时间：100分钟 试卷满分：100分一．选择题（每题4分，共48分）1.双曲线x y 222-=8的实轴长是 （ ）A ．2B ．C ． 4D ．2. “x <-1”是“x 2-1>0”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要 3. 函数4()3f x x x=+-在[)2,+∞上（ ） A ．无最大值，有最小值7 B ．无最大值，有最小值1C ．有最大值7，无最小值D ．有最大值1，无最小值4. 与命题“若m M ∈，则n M ∉”等价的命题是 （ ）A ．若m M ∈，则n M ∉B ．若n M ∉， 则m M ∈C ．若m M ∉，则n M ∈D ．若n M ∈，则m M ∉5. 对于任意实数a 、b 、c 、d ，命题：①bd ac d c b a >>>>则若,,0；②22,bc ac b a >>则若 ③b a bc ac >>则若,22；④ba b a 11,<>则若．其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46. 与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点(-的双曲线方程为：（ ） A ．224149x y -= B ．224149y x -= C ．224194y x -= D ．224194x y -= 7. 已知F 是抛物线2y x =的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 （ ）A ．34B ．1C ．54D ．748. 在R 上定义运算⊗：(1)x y x y ⊗=-,若不等式()()1x a x a -⊗+>-对任意实数x 恒成立，则( )A ．11a -<<B ． 02a <<C ．1322a -<<D ．3122a -<<9. 椭圆22162x y +=和双曲线2213x y -=的公共焦点1F 、2F ,P 是两曲线的一个交点，那么12cos F PF ∠的值是 （ ）A ．13 B ．23 C ．73 D ．1410.已知点⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+14),(x x y y x y x P 满足，则1y x +的最大值为( ) A ．2 B ．23 C ．32D ．4 11. 已知1F 、2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△2ABF 是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A．()1++∞ B．(1,1 C．( D． 12.已知P 是椭圆22143x y +=上的一点, 1F 、2F 是椭圆的两个焦点，若12PF F ∆的内切圆半径为12，则12PF PF ⋅的值 （ ） A. 32 B. 94 C. 94- D. 0 二．填空题（每题3分，共12分）13.不等式220x x -++>的解为 ；14.焦点坐标为()0,2F 的抛物线的标准方程是 ；15.直线3440x y --=与圆()()22114x y -+-=交于A 、B 两点，则线段AB 的长为 ；16.动点(),M x y 分别到两定点()()3,03,0-、连线的斜率之乘积为169，设(),M x y 的轨迹为曲线C ， 1F 、2F 分别为曲线C 的左、右焦点，则下列命题中：（1）曲线C 的焦点坐标为()15,0F -、()25,0F ；（2）若01260F MF ∠=,则12F MF S ∆=（3）当0x >时，12F MF ∆的内切圆圆心的横坐标是3；（4）设()6,1A ，则235MA MF +；其中正确命题的序号是： 。
2020-2021学年四川省绵阳市南山中学高二(上)期中数学试卷(理科)
2020-2021学年四川省绵阳市南山中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 抛物线x2=−4y的焦点坐标为()A.(−16, 0)B.(0,−116) C.(0, −1) D.(−1, 0)2. 空间直角坐标系中，点B(2, 1, 6)关于xOz平面的对称点为C，则A(−3, 4, 0)与C的距离为（）A.2√43B.2√21C.√86D.93. 我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得128粒内夹谷14粒，则这批米内夹谷约为（）A.133石B.168石C.337石D.1364石4. 用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1∼160编号，若第1组抽出的号码为6，则第6组中抽取的号码是（）A.66B.56C.46D.1265. 有两组数据如图：其中甲组数据的平均数是88，乙组数据的中位数是89，则m+n的值是（）A.13B.12C.11D.106. 经过点P(0, −1)作直线l，若直线l与连接A(1, −2)，B(2, 1)的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为( )A.[0,π4]∪[34π,π) B.[0,π4] C.[34π,π) D.[0,π4]∪[34π,π]7. 已知直线l1：(3+m)x+4y＝5−3m，l2:2x+(5+m)y＝8平行，则实数m的值为（）A.−7B.−1C.−1或−7D.1338. 已知方程x2m2+n+y2n−3m2=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A.(0, √3)B.(0, 3)C.(−1, √3)D.(−1, 3)9. 如果直线y=−√33x+m曲线y=√1−x2有两个不同的公共点，那么实数m的取值范围是（）A.[1, 2√33 ) B.[√33, 2√33 ) C.(−√33, 2√33] D.(−2√33, 2√33 )10. 斜率为12的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，则|AF|+|BF||AF|⋅|BF|的值为（）A.12B.1C.2D.411. 若圆M:x2+y2+ax+by−ab−6＝0，(a>0, b>0)平分圆N:x2+y2−4x−2y+4＝0的周长，则2a+b的最小值为（）A.8B.9C.16D.2012. 设双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线交于点P．若P到直线BC的距离小于a+c，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A.(1, √2)B.(−∞, √2)C.(1, √2]D.(1, √3)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年四川省绵阳市南山中学高二上学期期中数学复习卷 及答案解析
2020-2021学年四川省绵阳市南山中学高二上学期期中数学复习卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.抛物线x2=4y的焦点坐标是()A. (0,2)B. (2,0)C. (0,1)D. (l,0)2.在空间直角坐标系中，A1是点A(−3,4，0)关于B(−1,2，3)的对称点，则|AA1|=()A. 2√39B. 2√21C. 9D. 2√173.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()A. 134石B. 169石C. 338石D. 1365石4.用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1--160编号，按编号顺序平均分成20组(1--8号，9--16号，…，153--160号).若第16组应抽出的号码为126，则第一组中用抽签方法确定的号码是()A. 4B. 5C. 6D. 75.在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为14，则甲组数据的平均数与乙组数据的中位数之和为()A. 25B. 24C. 21D. 206.经过点P(0,−1)作直线l，若直线l与连接A(1,−2)、B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为()A. [0,π4]∪[34π,π) B. [π4,3π4] C. [34π,π) D.7.直线(3m−1)x+(m−1)y+1=0与直线(m+1)x+(2−2m)y−1=0平行，则m的值为()A. m=1或m=15B. m=17或m=1C. m=17D. m=158.已知方程x2m2+n −y23m2−n=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A. (−1,3)B. (−1,√3)C. (0,3)D. (0,√3)9.若直线y=x+b与曲线y=3−√4x−x2有公共点，则b的取值范围是()A. [1−2√2,3]B. [1−√2,3]C. [−1,1+2√2]D. [1−2√2,1+2√2]10.已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l过点F与抛物线交于A，B两点，若|AF|=3|BF|，则|AB|=()A. 4B. 92C. 132D. 16311.若圆(x−a)2+(y−b)2=b2+1始终平分圆(x+1)2+(y+1)2=4的周长，则b的最大值是()A. −4B. −2C. 4D. 212.设双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AB，AC的垂线交于D，若D到直线BC的距离不小于a+c，则该双曲线的离心率的取值范围是()A. (1,√2]B. (1,2]C. [√2,+∞)D. [2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是______．14.一个抛物线型的拱桥，当水面离拱顶2 米时，水面宽4 米，若水面上升1米，则水面的宽度是______ 米．15.已知圆C：(x−3)2+(y−4)2=1，点A(−1,0)，点P是圆上的动点，则d=|PA|2的最大值为______，最小值为______．16.已知圆C的圆心在直线x−y=0上，过点(2,2)且与直线x+y=0相切，则圆C的方程是_____．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数．18.已知三角形的顶点为A(2,4)，B(1,−2)，C(−2,3)，求BC边上的高AD所在直线的方程．19.求直线l：2x−y−2=0，被圆C：(x−3)2+y2=9所截得的弦长．20.已知点P(2,2)，圆C：x2+y2−8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．求M的轨迹方程．21.已知圆x2+y2=1，过这个圆上任意一点P作y轴的垂线段PD，D为垂足，求线段PD的中点M的轨迹．22.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4，且点(2,√62)在C上．(1)求椭圆的方程；(2)直线l过C的左焦点且与C交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，若|y1−y2|=2413，求l的方程．-------- 答案与解析 --------1.答案：C=1，解析：解：∵抛物线x2=4y中，p=2，p2焦点在y轴上，开口向上，∴焦点坐标为(0,1)，故选：C．先根据标准方程求出p值，判断抛物线x2=4y的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标．)，属基础题．本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，抛物线x2=2p y的焦点坐标为(0,p22.答案：D解析：解：在空间直角坐标系中，A1是点A(−3,4，0)关于B(−1,2，3)的对称点，则|AA1|=2|AB|，|AB|=√(−3+1)2+(4−2)2+(0−3)2=√17．∴|AA1|=2√17．故选：D．直接利用对称知识求解距离即可．本题考查空间两点距离公式的应用，基本知识的考查．3.答案：B解析：本题考查利用数学知识解决实际问题，用样本估计总体，考查学生的计算能力，属于基础题．根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．≈169石，解：由题意，这批米内夹谷约为1534×28254故选B．4.答案：C解析：解：设在第一组中抽取的号码是x(1≤x≤8)由题意可得分段间隔是8又∵第16组应抽出的号码为126∴x+15×8=126∴解得x=6∴第一组中用抽签方法确定的号码是6．按照此题的抽样规则我们可以得到抽出的这20个数成等差数列，a1=x，a16=126，d=8(d是公差)系统抽样形象地讲是等距抽样，系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况，系统抽样属于等可能抽样．5.答案：A解析：本题主要考查茎叶图的应用、众数、中位数、平均数的求法．根据茎叶图求得平均数与中位数即可．解：∵甲组数据众数为14，∴x=4，=15，甲组数据的平均数为9+11+14+14+20+226乙组数据按从小到大的顺序排列：2，2，6，14，21，25，(6+14)=10，∴中位数为12∴甲组数据的平均数与乙组数据的中位数之和为15+10=25．故选A．6.答案：A解析：本题考查了直线的斜率计算公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．如图所示，设直线l的倾斜角为α，α∈[0,π).根据直线l与连接A(1,−2)，B(2,1)的线段总有公共点，可得k PA≤tanα≤k PB．解：如图所示，设直线l的倾斜角为α，α∈[0,π)．k PA=−1+20−1=−1，k PB=−1−10−2=1．∵直线l与连接A(1,−2)，B(2,1)的线段总有公共点，∴−1≤tanα≤1．∴α∈[0,π4]∪[3π4,π)．故选：A．7.答案：B解析：本题考查根据两直线平行求参数的值，注意要检验，直线不能重合，属于基础题．由两条直线平行可得(3m−1)×(2−2m)=(m−1)×(m+1)，求出m的值，再检验．解：由直线(3m−1)x+(m−1)y+1=0与直线(m+1)x+(2−2m)y−1=0平行则(3m−1)×(2−2m)=(m−1)×(m+1)，解得：m=1或m=17当m=1时，两直线方程分别为：2x+1=0，2x−1=0，满足条件．当m=17时，两直线方程分别为：−47x−67y+1=0，87x+127y−1=0，满足条件．故选B．8.答案：A解析：本题主要考查双曲线的性质．利用双曲线的性质可得解得−m2<n<3m2，再由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2+n+3m2−n=4，即m2=1，所以−1<n<3，即可得．解：由题意得(m2+n)(3m2−n)>0，解得−m2<n<3m2．由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2+n+3m2−n=4，即m2=1，所以−1<n<3．故选A．9.答案：A解析：解：如图所示：曲线y=3−√4x−x2，即(x−2)2+(y−3)2=4(1≤y≤3,0≤x≤4)，表示以A(2,3)为圆心，以2为半径的一个半圆．=2，由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，可得√2∴b=1+2√2，或b=1−2√2．结合图象可得1−2√2≤b≤3，故选：A．曲线即(x−2)2+(y−3)2=4(1≤y≤3)，表示以A(2,3)为圆心，以2为半径的一个半圆，由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，解得b.结合图象可得b的范围．本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．10.答案：D解析：由题意画出图形，设出A、B所在直线方程，与抛物线方程联立，由抛物线焦半径公式及已知列式求得k，得到A，B的横坐标，则答案可求．本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．解：如图，抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F(1,0)， 设AB 所在直线方程为y =k(x −1)(k >0)， 联立{y =k(x −1)y 2=4x ，得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0．解得x A ·x B =1①.由|AF|=３|BF|，得x A +1=３(x B +1)， ∴x A =３x B +２，② 联立①②可得： ∴x A =３，x B =1３， 则|AB|=x A +x B +2=３+1３+2=１６３． 故选：D ．11.答案：B解析：本题考查圆与圆的位置关系，注意公共弦所在直线方程的求法．解：两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程：(2a +2)x +(2b +2)y −a 2−1=0， 由题意知该直线过点(−1,−1)，所以a 2+2a +2b +5=0， 即(a +1)2+2b +4=0， 所以2b +4≤0， 即b ≤−2．故b 的最大值是−2． 故选B ．12.答案：C解析：解：由题意，A(a,0)，B(c,b 2a )，C(c,−b 2a )，由双曲线的对称性知D 在x 轴上， 设D(x,0)，则由BD ⊥AC 得−−b 2a c−x⋅b 2ac−a=−1，∴c −x =−b 4a 2(a−c)，∵D 到直线BC 的距离不小于a +c ， ∴c −x =|−b 4a 2(a−c)|≥a +c ，∴b 4a 2≥c 2−a 2=b 2，∴b 2a2≥1 ∴c 2−a 2a 2≥1，∴c 2a 2≥2， ∴e ≥√2，∴双曲线的离心率的取值范围是[√2,+∞)， 故选：C ．由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设D(x,0)，则由BD ⊥AC 得−−b 2ac−x⋅b 2ac−a=−1，求出c −x ，利用D到直线BC 的距离不小于a +c ，即可得出结论．本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出交点D 的坐标是解决本题的关键．考查学生的计算能力．13.答案：0.1解析：本题考查方差的求法，属于基础题．先求出平均数，然后利用方差计算公式计算方差即可． 解：∵数据4.8，4.8，5.2，5.5，5.6的平均数为： x =15(4.8+4.9+5.2+5.5+5.6)=5.2，[(4.8−5.2)2+(4.9−5.2)2+(5.2−5.2)2+∴该组数据的方差：S2=15(5.5−5.2)2+(5.6−5.2)2]=0.1．故答案为0.1．14.答案：2√2解析：解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A(2,−2)代入x2=my，得m=−2，∴x2=−2y，代入B(x0,−1)得x0=√2，故水面宽为2√2米．故答案是：2√2．先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=−1代入抛物线方程求得x0进而得到答案．本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．15.答案：33+8√233−8√2，解析：解：圆心与A的距离|CA|=√(−1−3)2+(0−4)2=4√2，圆的半径为1，则d=|PA|2的最大值为(4√2+1)2=33+8√2，最小值为(4√2−1)2=33−8√2，故答案为33+8√2；33−8√2．求出圆心与A的距离|CA|=√(−1−3)2+(0−4)2=4√2，圆的半径为1，即可得出结论．本题考查点与圆的位置关系，考查距离的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．16.答案：(x−1)2+(y−1)2=2解析：本题考查直线与圆的位置关系以及圆的标准方程的计算，关键是求出圆的圆心，属于基础题．)2，解根据题意，设圆C的圆心为(a,a)，半径为r，结合题意可得r2=(a−2)2+(a−2)2=(√1+1可得a的值，即可得圆心的坐标，据此求出r的值，由圆的标准方程即可得答案．解：根据题意，圆C的圆心在直线x−y=0上，设圆C的圆心为(a,a)，半径为r；又由圆C过点(2,2)且与直线x+y=0相切，则有r2=(a−2)2+(a−2)2=(√1+1)2，解可得a=1，即圆心的坐标为(1,1)，则r2=(a−2)2+(a−2)2=2，则圆C的方程为(x−1)2+(y−1)2=2；故答案为：(x−1)2+(y−1)2=2．17.答案：解：(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5=0.04．同理，在[0.5,1)，(1,5，2]，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02．由1−(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a，解得a=0.30．(2)由(1)知，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为：0.06+0.04+0.02=0.12．由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为：300000×0.12=36000．(3)设中位数为x吨．∵前5组的频率之和为：0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5，而前4组的频率之和为：0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5，∴2≤x≤2.5．由0.50×(x−2)=0.5−0.48，解得x=2.04．故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．解析：(1)由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出a．(2)先求出100位居民月均用水量不低于3吨的频率，由此能估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数．(3)设中位数为x吨，利用频率分布直方图列出方程，能估计居民月均用水量的中位数．本题考查实数值的求法，考查频数、中位数的估计，考查频率分布直方图等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．18.答案：解：∵B(1,−2)、C(−2,3)，∴BC的斜率是3−(−2)−2−1=−53，∴BC 边上的高的斜率为35，又∵BC 边上的高过A(2,4)点，∴BC 边上的高所在直线的方程为y −4=35(x −2)，即3x −5y +14=0．解析：求出BC 的斜率，可得BC 边上的高的斜率，利用点斜式，可求BC 边上的高所在直线的方程． 本题考查直线方程，考查学生的计算能力，属于基础题．19.答案：解：圆(x −3)2+y 2=9的圆心为C(3,0)，半径r =3，∵点C 到直线直线l ：2x −y −2=0的距离d =2=4√55， ∴根据垂径定理，得直线l ：2x −y −2=0被圆(x −3)2+y 2=9截得的弦长为：l =2√r 2−d 2=2√32−(4√55)2=2√1455．解析：算出已知圆的圆心为C(3,0)，半径r =3.利用点到直线的距离公式，算出点C 到直线直线l 的距离d ，由垂径定理加以计算，可得直线l 被圆截得的弦长．本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．20.答案：解：圆C 的方程可化为x 2+(y −4)2=16，所以圆心为C(0,4)，半径为4．设M(x,y)，则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y −4)，MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x,2−y)．由题设知CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，…..(6分)故x(2−x)+(y −4)(2−y)=0，即(x −1)2+(y −3)2=2．由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x −1)2+(y −3)2=2.…..(12分)解析：圆C 的方程可化为x 2+(y −4)2=16，由此能求出圆心为C(0,4)，半径为4，设M(x,y)，则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y −4)，MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x,2−y).由题设知CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，由此能求出M 的轨迹方程．本题考查点的轨迹方程的求法，考查圆的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程和性质的合理运用．21.答案：解：设点M 的坐标为(x,y)，点P 的坐标为(x 0,y 0).∵PD ⊥y 轴于D ，∴点D 坐标为(0,y 0)，∵M 为PD 的中点，∴{x =x 02y =y 0+y 02=y 0，即{x 0=2x y 0=y (1) ∵P(x 0,y 0)在圆上，∴x 02+y 02=1(2)把(1)代入(2)得4x 2+y 2=1，即x 214+y 2=1．∴的轨迹是一个椭圆．解析：设出点M 的坐标为(x,y)，点P 的坐标为(x 0,y 0)，由PD ⊥y 轴得到D 的坐标，再由M 为PD 的中点把P 的坐标用M 的坐标表示，代入圆的方程得答案．本题考查了轨迹方程的求法，考查了代入法，是中档题．22.答案：解：(1)∵2a =4，即a =2，∵点(√2,√62)在C 上， ∴2a 2+64b 2=1，∴b 2=3，∴C 的方程为x 24+y 23=1，(2)当直线l 的斜率为0时，|y 1−y 2|=0≠2413，故直线l 的斜率必不为0，设直线l 的方程为x =my −1，联立{x 24+y 23=1x =my −1，消x 可得(3m 2+4)y 2−6my −9=0， ∴y 1+y 2=6m3m 2+1，y 1y 2=−93m 2+4，△>恒成立，∴|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√36m 2(3m 2+4)2+363m 2+4=12√m 2+13m 2+4， 从而12√m2+13m 2+4=2413，则36m 4−73m 2−105=(m 2−3)(36m 2+35)=0，解得m =±√3，故l的方程为x±√3y+1=0．解析：(1)先求出a=2，再将点代入即可求出b，可得椭圆方程，(2)直线l的斜率为0时，|y1−y2|=0≠2413，故直线l的斜率必不为0，设直线l的方程为x=my−1，联立{x24+y23=1x=my−1，消x可得(3m2+4)y2−6my−9=0，根据韦达定理即可求出本题考查椭圆的性质和方程的求法，考查联立直线方程和椭圆方程消去未知数，运用韦达定理，考查化简整理和运算能力，属于中档题．。
2020-2021学年四川省绵阳市南山中学高二上学期期中数学试卷及答案解析
2020-2021学年四川省绵阳市南山中学高二上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.直线x+2y+1=0在x轴上的截距是()A. 1B. −1C. 0.5D. −0.52.在空间直角坐标系中，点A(5,4,3)，则A关于平面yOz的对称点坐标为()A. (5,4,−3)B.C. (−5,−4,−3)D. (−5,4,3)3.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2018石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()A. 222石B. 220石C. 230石D. 232石4.用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8,9～16,…,153～160)，若第16组得到的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是()A. 8B. 6C. 4D. 25.已知直线l1：(m−2)x−y+5=0与l2：(m−2)x+(3−m)y+2=0平行，则实数m的值为()A. 2或4B. 1或4C. 1或2D. 46.经过点P(0,−1)作直线l，若直线l与连接A(1,−2)，B(2,1)的线段总有公共点，则斜率k的取值范围为()A. [−1,1]B. (−1,1)C. (−∞,−1]∪[1,+∞)D. (−∞,−1)∪(1,+∞)7.已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为()A. 32B. 33C. 34D. 358.已知点(4,0)到双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)渐近线的距离为√2，则该双曲线的离心率为()A. 87B. 2√147C. 2√2D. √79.若直线y=x+b与曲线y=3−√4x−x2有公共点，则b的取值范围是()A. [1−2√2,3]B. [1−√2,3]C. [−1,1+2√2]D. [1−2√2,1+2√2]10.已知方程x2m2+n −y23m2−n=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A. (−1,3)B. (−1,√3)C. (0,3)D. (0,√3)11.已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l过点F与抛物线交于A，B两点，若|AF|=3|BF|，则|AB|=()A. 4B. 92C. 132D. 16312.若圆(x−a)2+(y−b)2=b2+1始终平分圆(x+1)2+(y+1)2=4的周长，则a，b满足的关系是()A. a2+2a+2b−3=0B. a2+b2+2a+2b+5=0C. a2+2a+2b+5=0D. a2−2a−2b+5=0二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某个年级有男生390人，女生210人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为20的样本，则此样本中男生人数为______．14.如图是抛物线形拱桥，当水面在图中位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为___________米．15.已知A(−2,0)，B(2,0)，点P在圆(x−3)2+(y−4)2=4上运动，则|PA|2+|PB|2的最小值是______．16.已知直线l：x+ay−1=0(a∈R)是圆C：x2+y2−4x−2y+1=0的对称轴．过点A(−4,a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数．18.已知△ABC的顶点为A(0,5)，B(1,−2)，C(−3,−4)．(1)求BC边上的中线AD的长；(2)求AB边上的高所在的直线方程．)作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过19.已知抛物线C：y2=2px过点P(1,1).过点(0,12点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点．20.已知点P为曲线C：x2+y2=4上的任意一点，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在曲线C上运动时，求线段PD的中点M的轨迹方程，并说明点M轨迹是什么？21.已知圆C：x2+y2−4x−4y+4=0．(1)求圆C的圆心坐标和半径；(2)直线l过点A(4,0)、B(0,2)，求直线l被圆C截得的弦长．22.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，过右焦点且垂直于x轴的直线l1与椭圆C交于A，B两点，且|AB|=√2，直线l2：y=k(x−m)(m∈R,m>34)与椭圆C交于M，N两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点R(54,0)，若RM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅RN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是一个与k无关的常数，求实数m的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：令y=0，则x+1=0，解得x=−1，即直线在x轴上的截距为−1故选：B．令y=0解得x值即为直线在x轴上的截距．本题考查直线的截距，理解截距的意义是解决问题的关键，属基础题．2.答案：D解析：本题考查空间坐标系对称问题，属于基础题目．解：在空间直角坐标系中，点A(5,4,3)，则A关于平面yOz的对称点坐标为(−5,4，3)．故选：D．3.答案：A解析：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．≈222石.解：由题意，这批米内夹谷约为2018×28254故选A．4.答案：B解析：本题考查系统抽样，系统抽样形象地讲是等距抽样，系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况，系统抽样属于等可能抽样．解：设在第一组中抽取的号码是x(1≤x≤8)，由题意可得分段间隔是8，又∵第16组应抽出的号码为126，∴x+15×8=126，∴解得x=6，∴第一组中用抽签方法确定的号码是6，故选B．5.答案：A解析：此题考查两直线的平行的判断，关键是对判定方法的熟练掌握，注意检验直线重合的情况．解：因为两直线平行，所以(m−2)(3−m)=(−1)(m−2)，解得m=2或m=4，经检验m=2或m=4符合题意．故选A．6.答案：A解析：本题考查了直线相交问题、斜率计算公式，属于基础题．由于直线l与连接A(1,−2)、B(2,1)的线段总有公共点，可得k PB≤k≤k PA，再利用斜率计算公式即可得出．解：k PA==−1，k PB==1．∵直线l与连接A(1,−2)、B(2,1)的线段总有公共点，∴k PB≤k≤k PA，∴−1≤k≤1．故选A．7.答案：A解析：本题考查了中位数和平均数问题，考查茎叶图的读法，是一道基础题．由茎叶图结合中位数的定义可得乙组数据的中位数，再由甲、乙两组数据的中位数相同可得m的值，最后由平均数的定义可求出甲组数据的平均数．解：由茎叶图可知，乙组数据为：21，32，34，36，∴乙组数据的中位数为32+342=33，又∵甲、乙两组数据的中位数相同，∴m=3，∴甲组数据的平均数为27+33+363=32，故选A．8.答案：B解析：本题考查了双曲线的简单性质，以及离心率和渐近线方程，属于基础题．根据点到直线的距离公式可得√a2+b2=√2，化简整理可得a，c关系，即可求出双曲线的离心率．解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)渐近线方程为y=±bax，即bx±ay=0，∵点(4,0)到双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)渐近线的距离为√2，∴√a2+b2=√2，∴a2+b2=8b2，∴a2=7b2=7(c2−a2)∴8a2=7c2，∴e=ca =2√147，故选：B．9.答案：A解析：解：如图所示：曲线y=3−√4x−x2，即(x−2)2+(y−3)2=4(1≤y≤3,0≤x≤4)，表示以A(2,3)为圆心，以2为半径的一个半圆．由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，可得|2−3+b|√2=2，∴b=1+2√2，或b=1−2√2．结合图象可得1−2√2≤b≤3，故选：A．曲线即(x−2)2+(y−3)2=4(1≤y≤3)，表示以A(2,3)为圆心，以2为半径的一个半圆，由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，解得b.结合图象可得b的范围．本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．10.答案：A解析：本题主要考查双曲线的性质．利用双曲线的性质可得解得−m2<n<3m2，再由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2+n+3m2−n=4，即m2=1，所以−1<n<3，即可得．解：由题意得(m2+n)(3m2−n)>0，解得−m2<n<3m2．由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2+n+3m2−n=4，即m2=1，所以−1<n<3．故选A ．11.答案：D解析：由题意画出图形，设出A 、B 所在直线方程，与抛物线方程联立，由抛物线焦半径公式及已知列式求得k ，得到A ，B 的横坐标，则答案可求．本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．解：如图，抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F(1,0)，设AB 所在直线方程为y =k(x −1)(k >0)，联立{y =k(x −1)y 2=4x，得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0． 解得x A ·x B =1①.由|AF|=３|BF|，得x A +1=３(x B +1)，∴x A =３x B +２，②联立①②可得：∴x A =３，x B =1３，则|AB|=x A +x B +2=３+1３+2=１６３． 故选：D ． 12.答案：C解析：解：∵圆(x −a)2+(y −b)2=b 2+1始终平分圆(x +1)2+(y +1)2=4的周长， ∴两圆的公共弦必过(x +1)2+(y +1)2=4的圆心，两圆相减得相交弦的方程为−2(a+1)x−2(b+1)y+a2+1=0，将圆心坐标(−1,−1)代入可得a2+2a+2b+5=0．故选C．根据两圆平行圆的周长，得到条件关系，即可得到结论．本题主要考查圆与圆的位置关系的应用，要求熟练掌握圆的相关性质．13.答案：13解析：本题考查分层抽样方法，属于基础题．先根据男生和女生的人数求出年级总人数，用要抽取得男生人数除以总人数得到每个个体被抽到的概率，用抽取样本容量乘以概率，得到结果．×20=13．解：根据分层抽样的特点，此样本中男生人数为390390+210故答案为13．14.答案：2√6解析：本题考查抛物线的应用，考查利用抛物线解决实际问题的能力，属于基础题．先建立直角坐标系，设抛物线的方程为x2=my，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=−3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A(2,−2)代入x2=my，得m=−2∴x2=−2y，代入B(x0,−3)得x0=√6，故水面宽为2√6m.故答案为2√6．15.答案：26解析：解：∵点A(−2,0)，B(2,0)，设P(a,b)，则|PA|2+|PB|2=2a2+2b2+8，由点P在圆(x−3)2+(y−4)2=4上运动，(a−3)2+(b−4)2=4令a=3+2cosα，b=4+2sinα，所以|PA|2+|PB|2=2a2+2b2+8=2(3+2cosα)2+2(4+2sinα)2+8=66+24cosα+32sinα).=66+40sin(α+φ)，(tanφ=34所以|PA|2+|PB|2≥26.当且仅当sin(α+φ)=−1时，取得最小值．∴|PA|2+|PB|2的最小值为26．故答案为：26．由点A(−2,0)，B(2,0)，设P(a,b)，则|PA|2+|PB|2=2a2+2b2+8，由点P在圆(x−3)2+(y−4)2= 4上运动，通过三角代换，化简|PA|2+|PB|2为一个角的三角函数的形式，然后求出最小值．本题考查直线的一般式方程与两点间距离公式的应用，具体涉及到直线方程秘圆的简单性质，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．16.答案：6解析：解：由圆C：x2+y2−4x−2y+1=0得，(x−2)2+(y−1)2=4，所以C(2,1)为圆心、半径为2，由题意可得，直线l：x+ay−1=0经过圆C的圆心(2,1)，故有2+a−1=0，得a=−1，则点A(−4,−1)，即|AC|=√(2+4)2+(1+1)2=√40，所以切线的长|AB|=√|AC|2−r2=√40−4=6，故答案为：6．利用配方法求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay−1=0经过圆C的圆心(2,1)，求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．本题考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题．17.答案：解：(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5=0.04．同理，在[0.5,1)，(1,5，2]，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02．由1−(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a，解得a=0.30．(2)由(1)知，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为：0.06+0.04+0.02=0.12．由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为：300000×0.12=36000．(3)设中位数为x吨．∵前5组的频率之和为：0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5，而前4组的频率之和为：0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5，∴2≤x≤2.5．由0.50×(x−2)=0.5−0.48，解得x=2.04．故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．解析：(1)由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出a．(2)先求出100位居民月均用水量不低于3吨的频率，由此能估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数．(3)设中位数为x吨，利用频率分布直方图列出方程，能估计居民月均用水量的中位数．本题考查实数值的求法，考查频数、中位数的估计，考查频率分布直方图等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．18.答案：解：(1)∵△ABC的顶点为A(0,5)，B(1,−2)，C(−3,−4)，∴D(−1,−3)，∴BC边上的中线AD的长：|AD|=√(0+1)2+(5+3)2=√65；(2)k AB =−4+2−3−1=25，∴AB 边上的高所在的直线方程为：y +4=−52(x +3)，即5x +2y +23=0．解析：(1)由中点坐标公式求出D(−1,−3)，由此能求出BC 边上的中线AD 的长；(2)先求出k AB =25，由此能求出AB 边上的高所在的直线方程．本题考查线段长和直线方程的求法，考查中点坐标公式、点斜式方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 19.答案：解：(1)∵y 2=2px 过点P(1,1)，∴1=2p ，解得p =12，∴y 2=x ，∴焦点坐标为(14,0)，准线为x =−14，(2)证明：设过点(0,12)的直线方程为y =kx +12，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， ∴直线OP 为y =x ，直线ON 为：y =y2x 2x ， 由题意知A(x 1,x 1)，B(x 1,x 1y 2x 2)， 由{y =kx +12y 2=x，可得k 2x 2+(k −1)x +14=0， ∴x 1+x 2=1−kk 2，x 1x 2=14k 2∴y 1+x 1y 2x 2=kx 1+12+x 1(kx 2+12)x 2=2kx 1+x 1+x 22x 2=2kx 1+1−k k 22×14k 2x 1 =2kx 1+(1−k)⋅2x 1=2x 1，∴A 为线段BM 的中点．解析：【试题解析】本题考查了抛物线的简单性质，以及直线和抛物线的关系，灵活利用韦达定理和中点的定义，属于较难题．(1)根据抛物线过点P(1,1)，代值求出p ，即可求出抛物线C 的方程，焦点坐标和准线方程；(2)设过点(0,12)的直线方程为y =kx +12，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，根据韦达定理得到x 1+x 2=1−k k 2，x 1x 2=14k 2，根据中点的定义即可证明．20.答案：解：设P(x 0,y 0)，M(x,y)，D(x 0,0)，∵M 是PD 的中点，∴{x 0=x y 0=2y ，又P 在圆x 2+y 2=4上， ∴x 02+y 02=4，即x 2+4y 2=4，x 24+y 2=1．∴线段PD 的中点M 的轨迹方程是x 24+y 2=1． 轨迹是椭圆．解析：设P(x 0,y 0)，M(x,y)，D(x 0,0)，由M 是PD 的中点，可得关系式，又P 在圆x 2+y 2=4上，可得x 02+y 02=4，代入化简即可得出．本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、轨迹方程的求法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.答案：解：(1)圆的标准方程为(x −2)2+(y −2)2=4，圆心坐标为(2,2)，半径为r =2(2)直线l ：x 4+y 2=1即x +2y −4=0，圆心(2,2)到直线l 的距离d =2√5，所以弦长=2√r 2−d 2=8√55．解析：(1)圆的方程化为标准方程，即可求圆C 的圆心坐标和半径；(2)求出直线l 的方程，圆心到直线的距离，即可求直线l 被圆C 截得的弦长．本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 22.答案：解：(1)联立x =c 和椭圆方程，解得y =±b 2a ，故2b 2a =√2， 又e =c a =√22，a 2=b 2+c 2，联立三式，解得a =√2，b =1，c =1，故椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立方程y =k(x −m)和椭圆x 2+2y 2=2，消y 得(1+2k 2)x 2−4mk 2x +2k 2m 2−2=0，△=16m2k4−4(1+2k 2)(2k 2m 2−2)=8(2k 2−m 2k 2+1)>0，∴x 1+x 2=4mk 21+2k 2，x 1x 2=2m 2k 2−21+2k 2，RM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅RN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−54)(x 2−54)+y 1y 2=x 1x 2−54(x 1+x 2)+2516+k 2(x 1−m)(x 2−m) =(1+k 2)x 1x 2−(54+mk 2)(x 1+x 2)+2516+k 2m 2=(3m 2−5m+2)k 21+2k 2−716，又RM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅RN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是一个与k 无关的常数，∴3m 2−5m +2=0， ∴m 1=1，m 2=23.∵m >34，∴m =1．当m =1时，△>0，直线l 1与椭圆C 交于两点，满足题意．解析：本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和基本量的关系，考查向量数量积的坐标表示，以及联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和化简整理的运算能力，属于中档题．(1)令x =c ，求得A ，B 的纵坐标，可得弦长|AB|，结合离心率公式和a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到所求椭圆方程；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立方程y =k(x −m)和椭圆x 2+2y 2=2，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，化简整理，可得k 的系数为0，解方程，即可得到所求m 的值．。
四川省绵阳市南山中学高二上学期半期考数学(理)试题
南山中学实验学校2016年秋季高2015级半期考试数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题 共48分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线26y mx =--与直线(3)7y m x =-+平行，则m 的值为（ ） A ．-1 B ．1或-1 C ．1 D ．32.某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100的样本，记作①；某学校高一年级有12名女排运动员，要从中选出3名调查学习负担情况，记作②.那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是（ ）A ．①用简单随机抽样法；②用系统抽样法B ．①用分层抽样法；②用简单随机抽样法C ．①用系统抽样法；②用分层抽样法D ．①用分层抽样法；②用系统抽样法 3.抛物线28x y =的焦点F 的坐标是（ ）A ．(2,0)-B ．(2,0)C ．(0,2)-D ．(0,2) 4.过点(3,1)A -且在两坐标轴上截距相等的直线有（ ） A ．1条 B ．2条 C. 3条 D ．4条5.某单位为了了解办公楼用电量y （度）与气温x （℃）之间的关系，随机统计了四个工作量与当天平均气温，并制作了对照表：由表中数据得到线性回归方程2y x a =-+，当气温为4-℃时，预测用电量均为（ ） A ．68度 B ．52度 C. 12度 D ．28度 6.圆22(2)5x y ++=关于y 轴对称的圆的方程为（ ） A ．22(2)5x y -+= B ．22(2)5x y +-=C. 22(2)(2)5x y +++= D ．22(2)5x y ++=7.已知ABC ∆中，,A B 的坐标分别为(0,2)和(0,2)-，若三角形的周长为10，则顶点C 的轨迹方程是（ ）A ．22195x y +=（0y ≠）B ．2213620x y +=（0y ≠） C. 22159x y +=（0x ≠） D ．2213236x y +=（0x ≠） 8.已知双曲线2222:1y x C a b -=（(0,0)a b >>）的离收率为53，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．34y x =±B ．43y x =± C. 3y x =± D ．2y x =±9.直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于,M N 两点，若MN ≥k 的取值范围是（ ）A ．3[,0]4-B ．[33-C. [ D ．2[,0]3- 10.椭圆2214x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的（ ）A ．3倍B ．4倍 C. 5倍 D ．7倍11.已知点F 是双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ∆是钝角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．(1,)+∞B ．(1,2) C. (1,1+ D ．(2,)+∞12.已知P 是抛物线24y x =上一动点，则点P 到直线:230l x y -+=和y 轴的距离之和的最小值是（ ）A 1 D ．2第Ⅱ卷（非选择题 共52分）二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13.已知点(3,1,4)A --，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为 ．14.在某电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差是 ．15.已知,x y 满足关系21x y =-1yx +的取值范围是 ． 16.给出下列命题：①直线310x y +-=的倾斜角是23π；②已知过抛物线2:2C y px =（0p >）的焦点F 的直线与抛物线C 交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，则有2124p x x =，212y y p =-；③已知12,F F 为双曲线2222:1x y C a b -=的左、右焦点，点P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，则12PF F ∆的内心I 始终在一条直线上，其中所有正确命题的序号为 ．三、解答题 （本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知直线l 经过点(2,5)P -，且斜率为34-. （1）求直线l 的方程；（2）若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程.18. 下图是某市有关部门根据该市干部的月收入情况，作抽样调查后画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4000，请根据该图提供的信息解答下列问题：（图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000,1500)（1）求样本中月收入在[2500,3500)的人数；（2）为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本和各组中按月收入用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1500,2000)的这段应抽多少人？ （3）试估计样本数据的中位数.19. 已知：圆22:8120C x y y +-+=，直线:20l ax y a ++=. （1）当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；（2）当直线l 与圆C 相交于,A B 两点，且22AB =时，求直线l 的方程.20. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22，椭圆上任意一点到右焦点F 的距离的最大值21.（1）求椭圆的方程；（2）已知点(,0)C m 是线段OF 上一个动点（O 为坐标原点），是不存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于,A B 两点，使得AC BC =，并说明理由南山中学实验学校2016年秋季高2015级半期考试数学试题（理科）答案一、选择题1-5: CBDBA 6-10: ACABC 11、12：DC二、填空题13. (3,1,4)-- 14.4515. [1,1]- 16.②③ 三、解答题17.解：（1）由点斜式方程得，35(2)4y x -=-+，∴34140x y +-=. （2）设m 的方程为340x y c ++=，则由平等线间的距离公式得，1435c +=，解得：2c =或29-. ∴3410x y ++=或34290x y +-= 18.解：（1）由样本频率分布直方图可知：第一组的频率为10.00085000.4P =⨯= 由第一组的频数为4000有：样本总体个数4000100000.4N ==（人） 又由样本频率分布直方图可知：月收入在[1500,2000)的频率是10.40.20.150.050.2P =----=故月收入在[2500,3500)的人数有0.210000200⨯=（人）（2）由样本频率分布直方图可知：收入在[1500,2000)的频率为20.2P =，故人数是2000又抽样比为：100110000100=，故月收入在[1500,2000)的这段应抽1200020100⨯=（人）（3）2000150017502+=.19.解：圆22:8120C x y y +-+=化成标准方程为22(4)4x y +-=，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2. （1）若直线l 与圆C2=，解得34a =-.（2）过圆心C 作CD AB ⊥，则根据题意和圆的性质，得222412CD CD DA AC DA AB ⎧=⎪⎪⎪+==⎨⎪⎪==⎪⎩，解得7a =-或1a =- 故所求直线方程为7140x y -+=或20x y -+=. 20.解：（1）因为21c e a a c ⎧==⎪⎨⎪+=+⎩所以a =1c =∴1b =，椭圆方程为：2212x y +=. （2）由（1）得(1,0)F ，所以01m ≤≤，假设存在满足题意的直线l ，设l 的方程为(1)y k x =-，代入2212x y +=，得2222(12)4220k x k x k +-+-= 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122412k x x k +=+，21222212k x x k -•=+121222(2)12ky y k x x k-+=+-=+，设AB 的中点为M ，则2222(,)1212k k M k k -++ ∵AC BC =，∴CM AB ⊥，即1CM AB k k •=-∴22242201212k km k k k --+•=++ ∴2(12)m k m -=∴当102m ≤<时，12m k m =±-，即存在这样的直线l当112m ≤≤，k 不存在，即不存在这样的直线l。
四川省绵阳市南山中学203.高二数学上学期期中试卷 理(无答案)新人教A版
绵阳南山中学2013年秋季高2012级半期考试数学（理科)试题一、 选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）{}{}221212121.(1,0)240().210.210 .220.2102.(,),1,(,),1,().1.2.3.43.||6||6l x y l A x y B x y C x y D x y A x y x y x y B x y x y x y A B A B C D F F F F M MF MF M -+=--=-+=+-=+-==+==+==+=I 直线过点且与直线平行，则的方程是已知集合为实数，且为实数，且则的元素 个数为，是定点，且，动点满足，则点的轨22222()....4.1(22)()124 .4.22.8.5.4,()1 .(0,).(0,1)161.(,0).(1,0)166.() .A B C D x y m m m m A B C D m x y A B C D S A +=<->+-=-----迹是线段椭圆双曲线抛物线椭圆或的焦距是与有关对抛物线下列描述正确的是开口向下，焦点为开口向下，焦点为开口向左，焦点为开口向左，焦点为执行如图所示的程序框图，输出的值为2.4.8.16B C D 2012年11月二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）22222222222222167.12(0)()3 .2.3.48.12516() .540.340.450.4309.1(0,0)x y y px p p p A B C D x y C C A x y B x y C x y D x y x y P a b x y a b a b-==>±=±=±=±=->>+=+若双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则的值为已知双曲线的焦点、顶点恰好分别是椭圆＋＝的长轴端点、焦点，则双曲线的渐近线方程为设点是双曲线＝与圆121223,()10.4.3 () F F PF PF B C D y x F A B O AF AOB A B C D ===∆在第一象限的交点，、分别是双 曲线的左、右焦点，且则双曲线的离心率为过抛物线的焦点的直线交该抛物线于，两点，为坐标原点若，则的面积为222221111.(2,).612.2101002270.13.4,.3.14. 200P x y x y x y x y y x F l A B AB AB R π+-++=+++-===已知点的极坐标是，则它的直角坐标是圆和圆的位置关系是过抛物线的焦点作直线，交抛物线于两点若线段中点的横坐标为，则“神舟”五号飞船的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，地球半径为公里，飞船的近地 点（距离地球最近的点）距地球地面公里，远地212212350.15.(1,0)(1,0)(1).1.2.C F F a a C C P C F PF a ->∆点（距离地球最远的点）距地球地面 公里，则飞船轨道的离心率为曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹给出下列 三个结论：①曲线过坐标原点； ②曲线关于坐标原点对称；③若点在曲线上，则的面积不大于 其中，所有正确结论的序号是三、解答题（每题10分，共40分；附加题每题10分，共20分）2222216.:2150(12).(1)(2)0.17.1,(1,2),.2 (1) (2).18.(0,2)(0,4)(,)8.C x y ax y A a x y m C m y C x P C A B P AB AB AB A B P x y PA PB y ++--=-++=-=---=-u u u r u u u rg 已知圆过点， 求的值； 若直线与圆相切，求的值已知双曲线：过点的直线交于两点，且点为线段的中点求直线的方程求弦长的值已知点，，动点满足 (1) (2)(1),().P y x b C D OC OD O b =+⊥求动点的轨迹方程；设中所求轨迹与直线交于两点，且为坐标原点，求的值22121121222122219.1,.3(1) (2)2,..1(0)(,0),(,0).(1)(,x C y C C C C O A B C C OB OA AB x y xOy a b F c a bF c e e +==+=>>-u u u r u u u r 已知椭圆：椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率求椭圆的方程；设为坐标原点，点、分别在椭圆和上，求直线的方程附加题：1如图1，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为已知点，和12121222212.2(1) (2).2.1(0)21).e A B x AF BF AF BF AF x y a b a b F F P -=+=>>都在椭圆上，其中为椭圆的离心率求椭圆的方程；设、是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，若求 直线的斜率如图2，已知椭圆的离心率为点、为顶点的三角形的周长为一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的12.(1) (2).PF PF A B C D AB CD AB CD λλλ+=g 任一点，直线和与椭圆的交点分别为、和、 求椭圆和双曲线的标准方程；是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请 说明理由y 图1附加题1．（本题满分10分）10分）。
四川省绵阳南山2023-2024学年高二上学期期中考试数试题含解析
绵阳南山2023年秋季高2022级半期考试数学试题（答案在最后）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10x +=的一个方向向量为（）A.(1,0)B.(0,1)C.(1,1)D.不存在【答案】B 【解析】【分析】先求出直线的倾斜角，再结合方向向量的定义，即可求解．【详解】直线10x +=的倾斜角为π2x =，故直线的一个方向向量为(0,1)．故选：B ．2.关于椭圆22142x y +=，以下说法正确的是（）A.长轴长为2B.焦距为C.离心率为12D.左顶点的坐标为()【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆的性质判断.【详解】椭圆22142x y +=中，2,a b c ===，故长轴长为24a =，焦距2c =，离心率为22c a =，左顶点的坐标为()2,0-，故只有B 正确.故选：B3.已知直线():10l mx y m +-=∈R 是圆22:4210C x y x y +-++=的对称轴，则m 的值为（）A.1B.1-C.2D.3【答案】A【解析】【分析】由圆的方程可得圆心坐标，根据圆心在直线l 上可求得结果.【详解】由圆C 方程得：圆心()2,1C -，直线l 是圆C 的对称轴，∴圆心C 在直线l 上，即2110m --=，解得：1m =.故选：A.4.已知直线1:220l mx y +-=与直线2:5(3)50l x m y ++-=，若12//l l ，则m =（）A.2或5-B.2-或5C.5D.5-【答案】D 【解析】【分析】根据平行直线的判断方法求解即可.【详解】因为12//l l ，所以()()()3255552m m m m ⎧+=⨯⎪⇒=-⎨⋅-≠⨯-⎪⎩，故选：D5.阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A ，B ，则所有满足PA PBλ=（0λ>，且1λ≠）的点P 的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点(1,0)P ，(1,0)Q -，动点M 满足MP =，记M 的轨迹为C ，则轨迹C 围成图形的面积是（）A.2πB.4πC.8πD.16π【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件确定轨迹C 是圆，利用圆的性质求出其半径即可计算.【详解】设(,)M x y ，由点(1,0)P ，(1,0)Q -，动点M 满足MP =，得()()22222221212MP MQ x y x y =⇒-+=++，则()222261038x x y x y +++=⇒++=，所以轨迹C 围成的图形为圆，其半径平方28r =，所以圆的面积为8π.故选：C6.点()2,1P --到直线l ：()()()131240R x y λλλλ+++--=∈的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（）A.3250x y +-=B.；340x y +-=C.2310x y -+= D.；2310x y -+=【答案】A 【解析】【分析】由直线方程确定定点(1,1)C ，根据PC l ⊥时点线距离最大，两点坐标求距离，结合垂直关系求参数，进而写出直线方程.【详解】由直线l ：2(34)0x y x y λ+-++-=，令2013401x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩，所以直线l 过定点(1,1)C ，仅当PC l ⊥时，点线距离最大为||PC =而23PC k =，此时32l k =-，即1331123λλλ+-=-⇒=+，所以直线l 为4102033x y +-=，即3250x y +-=.故选：A7.已知正四棱锥S ABCD -侧面和底面的棱长都为2，P 为棱BC 上的一个动点，则点P 到平面SAD 的距离是（）A.13 B.14C.23D.3【答案】D 【解析】【分析】证明BC ∕∕平面SAD ，可得故点P 到平面SAD 的距离即为点B 到平面SAD 的距离，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.【详解】解：由题可知BC AD ∕∕，AD ⊂平面SAD ，BC ⊄平面SAD ，所以BC ∕∕平面SAD ，故点P 到平面SAD 的距离即为点B 到平面SAD 的距离，如图建立空间直角坐标系：则)A，()B，(S，()0,D ，所以(AS =，()AD =，()AB =u u u r，设平面SAD 的法向量为(),,n x y z =，则有00AS n AD n ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，可取()1,1,1n =- ，则点B 到平面SAD 的距离为263AB n n⋅=即点P 到平面SAD 的距离为263.故选：D.8.设椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A 、B 关于原点对称，且满足0FA FB ⋅=，3FB FA FB ≤≤，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A.5,13⎫⎪⎪⎣⎭B.210,24⎣⎦C.212⎤-⎥⎣⎦D.)1,1-【答案】B 【解析】【分析】设椭圆的左焦点F '，由椭圆的对称性结合0FA FB ⋅=，得到四边形AFBF '为矩形，设AF n '=，AF m =，在直角ABF △中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到222m n c n m b+=，再根据3FB FA FB ≤≤，得到m n 的范围，从而利用对勾函数的值域得到22b a 的范围，进而由c e a ==即可得解.【详解】如图所示：设椭圆的左焦点F '，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF '为平行四边形，又0FA FB ⋅=，则FA FB ⊥，所以平行四边形AFBF '为矩形，故2AB FF c '==，设AF n '=，AF m =，则BF n =，在直角ABF △中，2m n a +=，2224m n c +=，所以()()2222222444mn m n m nac b =+-+=-=，则22mn b =，所以22222m n m n c n m mn b ++==，令m t n =，得2212c t t b+=，又由3FB FA FB ≤≤，得[]1,3mt n=∈，因为对勾函数1y t t=+在[]1,3上单调递增，所以2221102,3c t b t ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，所以2251,3c b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即2222222511,3a a b c b b b -⎡⎤-==∈⎢⎥⎣⎦，则2282,3a b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故2231,82b a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以,24c e a ==⎢⎣⎦，所以椭圆离心率的取值范围是,24⎣⎦.故选：B.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用椭圆的对称性证得四边形AFBF '为矩形，再利用椭圆的定义与勾股定理，结合条件得到关于,,a b c 的齐次不等式，从而得解.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列命题中正确的是（）A.若,,,A B C D 是空间任意四点，则有0AB BC CD DA +++=B.在空间直角坐标系中，已知点()1,2,3P ，点P 关于坐标原点对称点的坐标为()1,2,3---C.若对空间中任意一点O ，有111442OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面D.任意空间向量,,a b c满足()()a b c a b c= 【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，结合向量的线性运算，即可求解；对于B ，结合空间点对称的性质，即可求解；对于C ，结合空间向量的基本定理，即可求解；对于D ，结合空间向量的数量积运算法则，即可求解．【详解】A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则0AB BC CD DA AC CD DA AD DA +++=++=+=，故A 正确；点(1P ,2,3)，点P 关于坐标原点对称点的坐标为(1-,2-,3)-，故B 正确；111442OP OA OB OC =++ ，满足1111442++=，故P ,A ,B ,C 四点共面，故C 正确；()a b c ⋅⋅ 表示与c 共线的向量，()a b c ⋅⋅表示与a 共线的向量，二者不一定相等，故D 错误．故选：ABC ．10.彗星是太阳系中具有明亮尾巴的天体，它们的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.某彗星测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心约2个天文单位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心约6个天文单位，且近日点、远日点及太阳中心同在一条直线上，则轨道方程可以为（以“天文单位”为单位）（）A.2211612x y += B.221164x y += C.2211216x y += D.22142x y +=【答案】AC 【解析】【分析】由已知可得2a c -=，6a c +=，即可解得椭圆方程.【详解】由已知可得2a c -=，6a c +=，则4a =，2c =，b =，当椭圆焦点在x 轴上时，椭圆方程为2211612x y+=；当椭圆焦点在y 轴上时，椭圆方程为2211612y x+=，即2211216x y +=；故选：AC.11.已知圆()22:15C x y +-=，直线280l x y --=:，点P 在直线l 上运动，直线PA ，PB 分别切圆C于点A ，B .则下列说法正确的是（）A.四边形PACB 的面积最小值为B.M 为圆C 上一动点，则MP 最小值为C.PA 最短时，弦AB 直线方程为2410x y --=D.PA 最短时，弦AB 【答案】ACD 【解析】【分析】根据已知，结合图形，利用直角三角形、圆的性质、直线方程以及点到直线的距离公式、勾股定理计算求解.【详解】对于A ，由切线长定理可得PA PB =，又因为CA CB =，所以PAC PBC ≅△△，所以四边形PACB 的面积2PAC S S PA AC ==⋅= ，因为PA ==，当CP l ⊥时，CP 取最小值，且min CP ==所以四边形PACB 的面积的最小值为S ==，故A 正确；对于B ，因为min CP ==MP 最小值为min CP r -=-=B 错误；对于C ，由题意可知点A ，B ，在以CP 为直径的圆上，设(28,)P a a +，其圆的方程为：()()()22222811424a a a x a y ++-+⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭，化简为()2228(1)0x a x y a y a -++-++=，与方程()2215x y +-=相减可得：(28)(1)(4)0a x a y a ++--+=，则直线AB 的方程为(28)(1)(4)0a x a y a ++--+=，当PA 最短时，CP l ⊥，则111282a a -⨯=-+，解得3a =-，故直线AB 的方程为2410x y --=，故C 正确；对于D ，当PA 最短时，圆心C 到直线2410x y --=的距离2d ==，所以弦AB 长为==D 正确.故选：ACD.【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于C 的判断，解答时要注意结合圆的公共弦方程的求解，求出直线AB 方程，然后利用垂径定理求出弦长.12.已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，P 为空间中一点，下列论述正确的是（）A.若112AP AD = ，则异面直线BP 与1C D 所成角的余弦值为3B.若[]()10,1BP BC BB λλ=+∈三棱锥1P A BC -的体积是定值C.若[]()110,12BP BC BB λλ=+∈，有且仅有一个点P ，使得1A C ⊥平面1AB PD.若[]()10,1AP AD λλ=∈ ，则异面直线BP 和1C D 所成角取值范围是ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】BD【解析】【分析】A ：P 为1AD 中点，连接1,,BP BC BD ，若,E O 分别是1,BC BD 中点，连接1,OE ED ，找到异面直线BP 与1C D 所成角为1OED ∠或其补角，求其余弦值；B ：P 在11B C （含端点）上移动，△PBC 面积恒定，1A 到面PBC 的距离恒定，即可判断；C ：若,E F 分别是11,BB CC 中点，P 在EF （含端点）上移动，证明1A C ⊥面11AB D ，易知要使1A C ⊥面1AB P ，则P 必在面11AB D 内，即可判断；D 构建空间直角坐标系，设(0,,2),[0,2]P a a a -∈，应用向量夹角的坐标表示求1cos ,BP C D <>，进而判断夹角的范围.【详解】A ：由112AP AD =，即P 为1AD 中点，连接1,,BP BC BD ，若,E O 分别是1,BC BD 中点，连接1,OE ED ，则1//OE C D ，又1BE PD =且1//BE PD ，即1BED P 为平行四边形，所以1//BP ED ，所以异面直线BP 与1C D 所成角，即为1OED ∠或其补角，而112OE DC ==1ED =，1OD =，故1cos6OED ∠==，故A 错误；B ：由[]()10,1BP BC BB λλ=+∈知：P 在11B C （含端点）上移动，如下图示，△PBC 面积恒定，1A 到面PBC 的距离恒定，故1P A BC -的体积是定值，故B 正确；C ：若,E F 分别是11,BB CC 中点，由[]()110,12BP BC BB λλ=+∈知：P 在EF（含端点）上移动，由CD ⊥面11ADD A ，CD ⊂面1DCA ，则面11ADD A ⊥面1DCA ，由11AD A D ⊥，面11ADD A ⋂面11DCA A D =，1AD ⊂面11ADD A ，所以1AD ⊥面1DCA ，1AC ⊂面1DCA ，则1AD ⊥1AC ，同理可证：1AB ⊥1AC ，由1AD 1AB A =，1AD 、1AB ⊂面11AB D ，故1A C ⊥面11AB D ，而面1AB P ⋂面111AB D AB =，要使1A C ⊥面1AB P ，则P 必在面11AB D 内，显然EF ⊄面11AB D ，故C 错误；D ：由[]()10,1AP AD λλ=∈知：P 在1AD （含端点）上移动，如图以1A 为原点，11111,,A B A D A A 分别为,,x y z 轴建系，则()12,2,0C ，()0,2,2D ，()2,0,2B ，则()12,0,2C D =-，设()[]0,,2,0,2P a a a -∈，则()2,,BP a a =--，所以1cos ,BP C D ==[]20,2a x -=∈，当=2a ，即=0x 时，1cos ,0BP C D = ，此时直线BP 和1C D 所成角是π2；当2a ≠，即(]0,2x ∈时，则1cos ,BP C D == ，当112t x ==，即=0a 时，1cos ,BP C D取最大值为2，直线BP 和1C D 所成角的最小值为π4，故D 正确.故选：BD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知圆221:()36C x a y -+=与圆222:(2)4C x y +-=内切，则=a ______.【答案】±【解析】【分析】利用两圆内切的定义表达式即可求得.【详解】由圆221:()36C x a y -+=知圆心为1(,0),C a 半径为16,r =由圆222:(2)4C x y +-=知圆心为2(0,2)C ,半径为22,r =因两圆内切，故1212||||C C r r =-，即4=，解得：a =±故答案为：±14.已知实数x ，y 满足224460x y x y +--+=，则的最大值为______.【答案】【解析】【分析】将224460x y x y +--+=为圆上的点(),x y 到()0,0的距离，求解即可.【详解】将224460x y x y +--+=，化为()()22222x y -+-=，如图所示：该曲线为圆心()22r =,,,(),x y 到()0,0的距离，的最大值为圆心()2,2到()0,0的距离加上半径r =，≤+=的最大值为故答案为：15.已知F 是椭圆22:132x y C +=的左焦点，M 是椭圆C 上的动点，点53N （，），则MN MF -的最小值为______.【答案】5-5-+【解析】【分析】设椭圆的右焦点()1,0F '，利用椭圆的定义将||||MN MF -转化成MN MF '+-，根据三点共线以及点点距离公式进行求解即可．【详解】不妨设椭圆C 的右焦点()1,0F '，因为点M 是椭圆C 上的动点，所以2MF MF a +=='则()MN MF MN MF MN MF -=-=+-''NF ≥'-，当且仅当N ，M ，F '三点共线时，等号成立，又5NF =='，则||||MN MF -的最小值为5-．故答案为：5-16.如图，两个正方形ABCD ，CDEF 的边长都是6，且二面角A CD E --为60︒，M 为对角线AC 靠近点A 的三等分点，N 为对角线DF 的中点，则线段MN =______.【答案】【解析】【分析】用,,DA DC DE 表示MN ,平方求模即可.【详解】根据题意，,,DE DC DA DC ⊥⊥所以ADE ∠即为二面角A CD E --的平面角，即ADE ∠=60︒，因为,DF DE DC =+ N 为为对角线DF 的中点，所以11()22DN DF DE DC ==+ ,又M 为对角线AC 靠近点A 的三等分点，则11().33AM AC DC DA ==- 所以1233DM DA AM DC DA =+=+uuu u r uu u r uuu r uuu r uu u r,所以112()()233MN DN DM DC DE DC DA =-=+-+ 211362DA DC DE =-++uu u r uuu r uuu r ,所以22211()362MN DA DC DE =-++ 2224112219364936DA DC DE DA DC DA DE DC DE =++-⋅-⋅+⋅uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r 41121363636066014936432=⨯+⨯+⨯--⨯⨯⨯+=.所以MN = 所以线段MN =四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过直线2390x y +-=与380x y --=的交点P .（1）若直线l 与直线3410x y +-=垂直，求直线l 的方程；（2）若直线l 在坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【答案】（1）433y x =-（2）4y x =-+或13y x =.【解析】【分析】（1）由题意求出交点P 的坐标，利用两直线垂直求出l 的斜率，结合直线的点斜式方程即可求解；（2）根据题意设直线方程，分别求出直线与坐标轴的截距，列方程，解之即可求解.【小问1详解】由2390,380,x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得3,1,x y =⎧⎨=⎩即()3,1P .因为直线l 与直线3410x y +-=垂直，所以直线l 的斜率为43，所以直线l 的方程为41(3)3y x -=-，即433y x =-；【小问2详解】显然，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()13y k x -=-，令0x =，解得13=-y k ，令0y =，解得13=-x k，所以1313-=-k k ，解得1k =-或13k =，所以直线l 的方程为4y x =-+或13y x =.18.已知圆C 的圆心在直线2y x =-上，且圆C 经过点()2,1A -，与直线10x y +-=相切.（1）求圆C 的方程；（2）过点()1,2B 作圆C 的切线，求切线方程的斜率.【答案】（1）()()22122x y -+=+（2）【解析】【分析】（1）设出圆心坐标，相切转化为斜率关系即可求解；（2）直线与圆相切转化为圆心到直线的距离即可求解.【详解】（1）由题意，圆心在直线2y x =-上，可设圆心坐标为(),2C a a -，圆与直线10x y +-=相切，圆过点()2,1A -且A 在直线10x y +-=，.2112AC a k a -+∴==-，解得1a =，所以圆心坐标()1,2-，半径12122r --==，所以圆的方程为()()22122x y -+=+（2）由题，设切线方程是()21y k x -=-，即20kx y k -+-=，由于直线与圆相切，故2|(2)2|21k k k --+-=+，解得7k =±19.已知ABC 的顶点B 的坐标为()1,2-，AB 边上的中线CM 所在的直线方程为210x y -+=，BAC ∠的平分线所在的直线方程为7120x y +-=．（1）求点A 的坐标；（2）求直线AC 的方程【答案】（1）()2,2-（2）34140x y -+=【解析】【分析】（1）设点A 的坐标，可得AB 中点的坐标，且该点在直线7120x y +-=上，结合两直线的位置关系列出方程组，解之即可求解；（2）利用点关于直线对称的关系求出点B 关于直线7120x y +-=的对称点B '的坐标，结合直线的点斜式方程即可求解.【小问1详解】设点(),A m n ，则AB 中点M 的坐标为12,22m n +-⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题意知点A 在直线7120x y +-=上，点M 在直线210x y -+=上，所以71201221022m n m n +-=⎧⎪⎨+-⨯-+=⎪⎩解得2,2.m n =-⎧⎨=⎩即点A 的坐标为()2,2-．【小问2详解】设点B 关于直线7120x y +-=的对称点为B '，则由角的对称性知点B '在直线AC 上，设点B '的坐标为(),x y ，则点BB '的中点坐标为12,22x y +-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2111712712022y x x y ⎧+⎛⎫⨯-=- ⎪⎪⎪-⎝⎭⎨+-⎪+⨯-=⎪⎩解得2,5,x y =⎧⎨=⎩即点B '的坐标为()2,5．直线AB '的斜率为()523224k -==--，所以直线AB '即AC 的方程为()3224y x -=+，即34140x y -+=．20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，设点()0,A b ，在12AF F △中，122F AF π∠=，周长为2+.（1）求椭圆C 的方程；（2）过左焦点1F 作倾斜角为3π的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，求△OMN 的面积.【答案】（1）2212x y +=（2）7【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质即可求解，（2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，进而根据弦长公式以及点到直线的距离公式即可求解.【小问1详解】由121ππ24F AF F AO ∠=⇒∠=a ∴=，①又12AF F △的周长为2+，222a c ∴+=+联立①②，解得1a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴椭圆方程为2212x y +=【小问2详解】直线l 的方程为:1)y x =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由)22121x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，271240x x ++=，因为直线过椭圆内焦点，所以0∆>恒成立，12127x x +=-，1247x x =，12||7MN x =-=，原点O 到直线MN的距离为2d ==，所以OMN的面积12727S =⨯=.21.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥底面,,ABCD E F 分别是,PC AD 中点．（1）求证：DE //平面PFB ；（2）若PB 与平面ABCD 所成角为45 ，求平面PFB 与平面EDB 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）75555【解析】【分析】（1）设G 为PB 中点，连接,GE FG ，证明DE //FG 即可；（2）利用向量法求出两个平面的法向量，再利用平面与平面的夹角公式计算即可.【小问1详解】设G 为PB 中点，连接,GE FG ，又,E F 分别是PC AD ､中点，所以11,22FD AD GE BC ==，//GE BC ，又底面ABCD 是正方形，所以FD GE =，//GE FD ，故四边形FDEG 为平行四边形，则DE //FG ，由DE ⊄平面,PFB FG ⊂平面PFB ，则DE //平面PFB .【小问2详解】由题意知45PBD ∠= ，以D为原点，构建空间直角坐标系，令1AB =，则PD DB ==，所以()()(1211,1,0,0,0,0,0,,,,0,0,222B D E F P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()(111,1,0,0,,,1,1,,,1,0222DB DE PB FB ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令(),,m x y z = 为平面EDB的一个法向量，则01022m DB x y m DE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令y =，即()1m =- ，令(),,n a b c = 为平面PFB的一个法向量，则0102n PB a b n FB a b ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令2a =，即2,1,2n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以cos ,55m n m n m n ⋅===，即平面PFB 与平面EDB夹角的余弦值55．22.如图，设P 是圆2212x y +=上的动点，点D 是点P 在x 轴上的射影，点M 在DP的延长线上，且3MDPD =.（1）当点P 在圆上运动时，求动点M 的轨迹方程；（2）记动点M 的轨迹为曲线C ，过点(3,2)P 作两条相异直线分别与曲线C 相交于,A B 两点，若直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，且120k k +=，试判断直线AB 的斜率是否为定值？并说明理由.【答案】（1）221(0)1612y x y +=≠（2）是定值，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意，设(),M x y ，由条件||3||3MD PD =代入计算，化简即可得到结果；（2）方法一：设直线AB l 的方程为y kx m =+，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算化简，即可得到结果；方法二：设PA :()132y k x =-+，联立椭圆方程，表示出,A B 坐标，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】设(),M x y ，(),p p P x y ，因为点D 是P 在x 轴上的射影，M 是线段PD 上一点，且||3||3MD PD =，所以32p p x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，因为(),p p P x y 在圆2212x y +=上，所以223122x y ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，化简得2211612y x +=，因为0PD ≠，所以0y ≠，∴动点M 的轨迹方程为221(0)1612y x y +=≠.【小问2详解】法一：由题意可知直线AB l 的斜率存在且不过点()3,2P ，设直线AB l 的方程为y kx m =+，()320k m +-≠，()11A x y ，()22,B x y ，由224348y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 整理得()2223463480k x kmx m +++-=，需满足()224812160k m ∆=+->，则122634km x x k +=-+，212234834m x x k -=+，因为120k k +=，12121222033y y k k x x --∴+=+=--，12121222112(32)03333kx m kx m k k m x x x x ⎛⎫+-+-∴+=++-+= ⎪----⎝⎭，()12121262(32)039x x k k m x x x x +-∴++-⋅=-++，将122634km x x k +=-+，212234834m x x k -=+，代入得222266342(32)03486393434km k k k m m km k k --+++-⋅=-+⋅+++，化简得238240k km k m +--+=，即()()223240km m k m -+-+=，整理得()()2320k k m -+-=，而320k m +-≠，2k ∴=，所以直线AB 的斜率为定值，其定值为2.法二：由题意可设PA :()132y k x =-+，由()1223211612y k x y x ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，得()()2222111113418122736360k x k k x k k +--+--=，设()11,A x y ，则2111121273636334p k k x x x k --⨯=⨯=+，2111219121234k k x k --=+，()2111112162483234k k y k x k --+=-+=+，2211112211912126248,3434k k k k A k k ⎛⎫----+ ⎪++⎝⎭，同理2222222222912126248,3434k k k k B k k ⎛⎫----+ ⎪++⎝⎭，120k k += ，则21k k =-，2211112211912126248,3434k k k k B k k ⎛⎫+--++∴ ⎪++⎝⎭，2211112211122111112211624862483434429121291212243434ABk k k k k k k k k k k k k k k --+-++-++-∴===--+---++为定值.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；。
2020-2021学年四川省绵阳市南山中学高二上学期期中(理科)数学试卷 (解析版)
2020-2021学年四川省绵阳市南山中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．抛物线x2＝﹣4y的焦点坐标为（）A．（﹣16，0）B．C．（0，﹣1）D．（﹣1，0）2．空间直角坐标系中，点B（2，1，6）关于xOz平面的对称点为C，则A（﹣3，4，0）与C的距离为（）A．2B．2C．D．93．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得128粒内夹谷14粒，则这批米内夹谷约为（）A．133石B．168石C．337石D．1364石4．用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，若第1组抽出的号码为6，则第6组中抽取的号码是（）A．66B．56C．46D．1265．有两组数据如图：其中甲组数据的平均数是88，乙组数据的中位数是89，则m+n的值是（）A．13B．12C．11D．106．经过点P（0，﹣1）作直线l，若直线l与连接A（1，﹣2），B（2，1）的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（）A．B．C．D．7．已知直线l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m，l2：2x+（5+m）y＝8平行，则实数m的值为（）A．﹣7B．﹣1C．﹣1或﹣7D．8．已知方程+＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（0，）B．（0，3）C．（﹣1，）D．（﹣1，3）9．如果直线y＝﹣x+m曲线y＝有两个不同的公共点，那么实数m的取值范围是（）A．[1，）B．[，）C．（﹣，]D．（﹣，）10．斜率为的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，则的值为（）A．B．1C．2D．411．若圆M：x2+y2+ax+by﹣ab﹣6＝0，（a＞0，b＞0）平分圆N：x2+y2﹣4x﹣2y+4＝0的周长，则2a+b的最小值为（）A．8B．9C．16D．2012．设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线交于点P．若P到直线BC的距离小于a+c，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（﹣∞，）C．（1，]D．（1，）二、填空题（共4小题）.13．已知一组数据4.7，4.8，5.2，5.3，5.5，则该组数据的方差是．14．一抛物线型拱桥，当桥顶离水面2米时，水面宽4米，若水面下降2米，则水面宽为．15．已知点A（﹣2，﹣2），B（4，﹣2），点P在圆x2+y2＝4上运动，则|PA|2+|PB|2的最小值是．16．已知方程：x2+y2﹣（4m+2）x﹣2my﹣m＝0，（m∈R）．①该方程表示圆，且圆心在直线x﹣2y﹣1＝0上；②始终可以找到一条定直线与该方程表示的曲线相切；③当m＝﹣1时，该方程表示的曲线关于直线l：x﹣y+1＝0的对称曲线为C，则曲线C上的点到直线l的最大距离为；④若m≥1，过点（﹣1，0）作该方程表示的面积最小的曲线的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在的直线方程为4x+y﹣2＝0．以上四个命题中，是正确的有.（填序号）三、解答题：本大题共6小题，共70分，其中17题10分，其余每题12分。
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四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线l 的方程为0133=-+y x ，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．0150 B ．0120 C ．060 D ．0302．抛物线82x y -=的准线方程是（ ）A ．321=x B ．2=y C ．41=x D ．4=y 3．如图程序运行的结果是（ ）A ．5,8B ．8,5C ．8,13D ．5,134．两圆922=+y x 和096822=++-+y x y x 的公切线的条数为（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条5．若20a k <<，则曲线12222=+--k b y k a x 与曲线12222=-by a x 有（ ） A ．相同的虚轴 B ．相同的实轴 C ．相同的渐近线 D ．相同的焦点 6．已知圆09422=--+x y x 与y 轴的两个交点B A ,都在某双曲线上，且B A ,两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为（ ）A ．136922=-x y B ．172922=-x y C ．193622=-x y D ．197222=-x y 7．若圆016222=+--+y x y x 上恰有三点到直线kx y =的距离为2，则k 的值为（ ）A ．21或2 B ．43或34 C ．2 D ．34 8．已知点P 是抛物线x y 22=上的一个动点，则点P 到点)2,0(A 的距离与P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（ ） A ．29B ．5C ．2D ．2179．已知l 是双曲线C ：14222=-y x 的一条渐近线，P 是l 上的一点，21,F F 分别是C 的左右焦点，若021=⋅PF ，则点P 到x 轴的距离为（ ）A ．2B ．2C ．362 D ．3610．若方程m x x +=-212有实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．),2[)0,3[+∞- B ．]3,0()0,3[ - C ．),2[]3,(+∞--∞ D ．),2[]2,(+∞--∞11．已知FAB ∆，点F 的坐标为)0,1(，点B A ,分别在图中抛物线x y 42=及圆4)1(22=+-y x 的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，那么FAB ∆的周长的取值范围是（ ）A ．)6,2(B ．)6,4(C ．)4,2(D ．)8,6(12．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，点Q 为椭圆上一点.21F QF ∆的重心为G ，内心为I ，且21F F λ=，则该椭圆的离心率为（ ）A ．21B ．22C ．31D ．32第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．点)5,3,2(A 关于坐标平面xoy 的对称点B 的坐标是 ． 14．执行如图的程序框图，如果输入10=p ，则输出的=S ．15．已知1F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左焦点，以线段O F 1为边作正三角形OM F 1，若顶点M 在双曲线上，则双曲线的离心率是 ．16．已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，F 关于原点的对称点为P ，过F 作x 轴的垂线交抛物线于N M ,两点，给出下列五个结论： ①PMN ∆必为直角三角形； ②PMN ∆必为等边三角形； ③直线PM 必与抛物线相切； ④直线PM 必与抛物线相交； ⑤PMN ∆的面积为2p . 其中正确的结论是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．直线l 经过两直线042=+-y x 与05=+-y x 的交点，且与直线1l ：06=-+y x 平行. （1）求直线l 的方程；（2）若点)1,(a P 到直线l 的距离与直线1l 到直线l 的距离相等，求实数a 的值. 18．已知ABC ∆的三顶点坐标分别为：)0,21(),7,0(),3,0(C B A -. （1）求ABC ∆的外接圆Γ的标准方程；（2）已知过)3,2(--P 的直线l 被ABC ∆的外接圆Γ截得的弦长为212，求直线l 的一般式方程.19．如果点),(y x M 在运动过程中总满足关系式32)2()2(2222=++++-y x y x .（1）说明点M 的轨迹是什么曲线并求出它的轨迹方程；（2）O 是坐标原点，直线l ：2+=kx y 交点M 的轨迹于不同的B A ,两点，求AOB ∆面积的最大值.20．已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为)0,1(-F ，O 为坐标原点，点)22,1(G 在椭圆上，过点F 的直线l 交椭圆于不同的两点B A ,. （1）求椭圆C 的方程；（2）求弦AB 的中点M 的轨迹方程；（3）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于B A ,两点，P 为x 轴上一点，若PB PA ,是菱形的两条邻边，求点P 横坐标的取值范围.试卷答案一、选择题1-5：ABCBD 6-10：BDDAC 11、12：BA 二、填空题13．)5,3,2(- 14．45 15．13+ 16．①③⑤ 三、解答题 17．（1）⎩⎨⎧=+-=+-05042y x y x 解得⎩⎨⎧==61y x ，即交点坐标为)6,1(.∵直线1l ：06=-+y x 的斜率为11-=k ， ∴直线l 的斜率为1-=k∴直线l 的方程为)1(6--=-x y ，即07=-+y x .（2）由题知222211|)6(7|11|71|+---=+-+a ，整理得1|6|=-a ， 解得7=a 或5=a .18、解：（1）设ABC ∆外接圆Γ的方程：022=++++F Ey Dx y x则有⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=++021210749039F D F E F E ，解之得⎪⎩⎪⎨⎧-===2140F E D ，则外接圆Γ的方程：021422=-++y y x ，即25)2(22=++y x . （2）由（1）及题意知圆心到直线l 的距离2)21(522=-=d ①当直线l 的斜率不存在时，2-=x 符合题意②当直线l 的斜率存在时设直线l ：)2(3+=+x k y 即032=-+-k y kx ∴21|322|2=+-+=k k d 解之得43-=k ，∴)2(433+-=+x y ，即01843=++y x综上，直线l 的一般式方程为2-=x 或01843=++y x .19、解：(1)1322=+y x . （2）由⎪⎩⎪⎨⎧+==+21322kx y y x 得0912)31(22=+++kx x k ，∵03636)31(36)12(222>-=+-=∆k k k ,12>k221221319,3112kx x k k x x +=+-=+， 22212212131164)(||221k k x x x x x x S +-=-+=-⨯=，令)0(12>-=t k t ，则122+=t k ， ∴234364362≤+=+=tt t t S当且仅当332=t 即321±=k 时有最大值.20、解：（1）由题意有122=-b a ，且1)22(1222=+ba，解得1,222==b a ， ∴椭圆C 的方程为1222=+y x . （2）设),(y x M ，),(),,(2211y x B y x A ，则2,22121y y y x x x +=+=， 当21x x =时，M 点的坐标为)0,1(-.当21x x ≠时，∵122121=+y x ，122222=+y x ， 两式相减得))((2))((21212121y y y y x x x x -+-=-+，∴2121222x x y y y x---=⋅，又AB 过F 点，于是AB 的斜率为102121+-=--x y x x y y ，∴12+-=x y y x ， 整理得0222=++x y x . ∵)0,1(-也满足上式，∴M 的轨迹方程为0222=++x y x .（3）设)0,(m P ，AB 的中点),(b a M ，由（2）知，0222=++a b a ① ∵||||PB PA =， ∴AB PM ⊥. ∴1-=⋅MP AB k k ，即11-=-⋅+ma ba b ，整理得m am a a b ++--=22② 将②代入①中，得0222=--+m am a a ，化为0)2)(1(=-+m a a ， ∵1-≠a ，∴2a m =， 由0222>--=a a b （当0=b 时，AB 与x 轴垂直，不合题意，舍去），得01<<-a ， 于是021<<-m ，即P 点的横坐标的取值范围为)0,21(-.。