《向量与矩阵的范数》PPT课件

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矩阵论课件 3-1向量范数

矩阵论课件 3-1向量范数


x 2 1

x Dn x2
x 0
因为

是的连续函数,
故它在Dn上取到最大值m和最小值M
m x x2

x x

2
M
mx2 x
M x
2

设A C x
(n)
mn
, y
( m)
( m)
( y C m )是范数,则
n
Ax
, x C 也是范数。
(m)
证明
x 0 Ax 0 Ax x
(n)
0 x
(m)
(n)
0
A(x)
(n)
(m)
Ax
x
(n)
x y
A( x y) Ax
( m)
( m)
Ax Ay
( m)
( m) ( n)
Ay
x
( n)
y
在赋范向量空间C n中, 向量的距离定义为
X
A
X AX
T


1 2
X x1 , x2 , , xn
T
试证上述函数是向量范数,称为向量的加权范数或椭圆范数。
证明 因为A是正定对称矩阵,故存在可逆矩阵B,使得A = B T B,进而有
X
A
X AX
T

X
1 2
T
B BX
1 2
T
(BX )
1 2
T
( BX )
p
1 p
n
n
p
1 p
n
p
1 p
i 1
i 1
i 1

《向量和矩阵的范数》PPT课件

《向量和矩阵的范数》PPT课件

h
1
三种常用范数 给定 x (x1, x2 , , xn )T
n
1-范数:
x 1
x1
x2
xn xi
i 1
2-范数: x 2
x12 x22
1
xn2
n
i 1
xi2
2
? 范数: x max{ x1 , x2 ,
,
xn
}
max{
1in
xi
}
h
2
一般范数 给定 x (x1, x2 , , xn )T
1
(n max 1in
xi
p)p
故有 x x n p x
p

p
1
, n p
1limxFra bibliotekxp
p
h
4
范数的等价性 对于任意向量 x R n ,如果存在正数
c1, c2 ,均有
x
p c1
x, q
x q c2
x
,则称范数
p
x

p
x 等价。 q
范数的等价关系具有传递性。如果范数 x 与 x 等价,
(5) I 1,其中 I 为单位阵。
h
14
矩阵范数的另一个等价定义
设 A R nn , x Rn ,矩阵 A 的范数 A max Ax
x 1
h
15
常用的矩阵范数
设 A[aij]nn常用的矩阵范数有行(无穷)范数和列(一)范数。
例如
A
3 0
2
4
n
A
maxaij
1in j1
n
A 1
maxaij
Rnn 上的矩阵序列 A(k) 是收敛于A 的充要条件为

3.1向量和矩阵的范数1

3.1向量和矩阵的范数1
第三章 线性方程组的数值解法
3.1 向量与矩阵的范数 3.2 直接法 3.3 迭代法 3.4 迭代法的收敛性分析

设有方程组
1 1
1 1.0001
x1 x2
2 2.
分析
记为Ax
b,它的精确解为x
2 0
现在考虑常数项的微小变化对方程组解的影响,
即考察方程组
1 1
1 1.0001
y1 y2
x2 2 ...
xn
2
1
)2
--------(1)
x的2 范数或欧氏范数
x 1 x1 x2 ... xn
--------(2)
x的1 范数或平均范数
x
max 1in
xi
--------(3)
x的 范数或最大范数或切比雪夫范数
x
p
(
x1
p
x2
p ...
xn
p
1
)p
--------(4)
x的p 范数, p 1
显然由于 x 和 x 是 x 当p 1和p 2时的特例,并且由于
1
2
p
max
1in
xi
(
x1 p
x2
p ...
xn
p
)
1 p
(n max
1in
xi
p)1p
1
n
p max 1in
xi
max 1in
xi
( p )
x
ห้องสมุดไป่ตู้
p
x ( p 时),
所以
x
也是
x
的特例
p
例3 求下列向量的各种常用范数
2 2.0001

Chapter1_2_向量范数与矩阵范数

Chapter1_2_向量范数与矩阵范数

设 b 精确,A有误差 A ,得到的解为 x x ,即 || A || || A1 || 是关键 的误差放大因子,称为 ( A A的状态数(条件数), b A)( x x) 记为cond (A) , A( x x) A( x x) b ( A A) x ( A A) x b ( A A) x Ax x A1 A( x x) A( I A1 A) x Ax || x || || A1 || || A || || x x || x ( I A1 A)1 A1 Ax || A || 1 (只要 A充分小,使得
算子范数 ( operator norm ),又称为从属的矩阵范数: 由向量范数 || · p 导出关于矩阵 A Rnn 的 p 范数: ||
利用Cauchy 不等式 则 || AB || p || A || p || B || p || Ax || p || A || p max max || Ax || p y | ||x || || y || |x 2 x0 | |x | |p 1 || x || p || Ax || p || A || p || 2 || p x
命题(P26,推论1) 若A对称,则有: || A ||2 ( A)
证明:|| A ||2 max ( A A) max ( A )
T 2
A对称
若 是 A 的一个特征根,则2 必是 A2 的特征根。
max ( A2 ) 2 ( A) 对某个 A 的特征根 成立
又:对称矩阵的特征根为实数,即 2(A) 为非负实数, 所以2-范数亦称为 故得证。 谱范数。

第3章向量和矩阵范数.ppt

第3章向量和矩阵范数.ppt
3、如果A为正交矩阵,则cond ( A)2= 1; 如果A为非奇异矩阵,R为正交矩阵,则 cond ( RA) 2 cond ( AR) 2 cond ( A) 2 .

1 A 0.99
1.99 0.99 , b 0.98 1.97
Im

为A的谱半径。
(A)

定理: ( A) A ,
( Ax x
A 为 A 的任意矩阵范数 Re
x ,
Ax


A x

x A x A ( A) A )
定理1. 设 是Rnn上的一种算子范数 , A Rnn ,
如果 A充分小,使得 A
x
x A
1 1
A 1, 则由上式得
1
A A
A A
A
A
1 A
1 A A
1
A
A
上式表明,当系数矩阵有扰动时,解的扰动仍与 A A1 有关。一般地, A A 越大,解的扰动也越大。
1
条件数的定义
综上分析可知,量 A-1 A 实际上刻划了解对原始数据变化的 灵敏程度,即刻划了方程组的“病态”程度。
A B A B , 对任意A, B两个n阶方阵
(三角)
则称 A 为矩阵A 的范数。
4,
AB A B
(相容性条件)
定理:设A为n阶方阵, 是R 中的向量范数,则
n
Ax A max x x
是一种矩阵范数,
称其为由向量范数 诱导出的矩阵范数。
证:设A (aij )为任意n阶方阵,x为任意n维非零向量。
系数矩阵A的扰动对解的影响

矩阵范数课件

矩阵范数课件
例 : 设 V 数域 F 上的 n 维线性空间,
中的任意一个向量 可唯一地表示成
n i 1
1, 2 ,, n 为其一组基底,那么对于 V
xi i , X x1 , x2 ,, xn F
n
又设 是 F 上的向量范数,则由 所定义的
n
V X
于是有
AB F A F B F
例 4 :对于任意 A C
nn
,定义
1
A [Tr( A A)] 2 证明如此定义的 A 是矩阵 A 的范数。
H
证明: 首先注意到这样一个基本事实, 即 m n 1 2 1
[Tr( A A)] 2 ( aij )
H i 1 j 1
2
由一个例题可知此定义满足范数的性质。
i 1 j 1 k 1 l 2 i 1 j 1 k 1 l 2
m
n
l
2
m
n
l
2
[( aik )( bkj )]
i 1 j 1 m l k 1 k 1 l
( aik )( bkj )
2 2 i 1 k 1 2 F j 1 k 1
n
A
B
2 F
1
表示矩阵AH A 的第 j 个特征值。我们称此范 数为矩阵 A 的谱范数。 (3)
A max( aij ) , i 1, 2, , m
i j 1
n
我们称此范数为矩阵 A 的行和范数。 例 1 :设
2 1 0 0 2 3 A 1 2 0
计算 解:
1 ai
i 1
n
2 ( ai )
i 1
n
2 12

第五章向量范数和矩阵范数ppt

第五章向量范数和矩阵范数ppt

欲证结论。
p
例 10 计算向量
α (3i, 0, 4i, 12)T 的p范数,这里 p 1, 2, .
解:
4
|| α ||1
| xk | | 3i | | 4i | | 12 | 19.
k1
|| α ||
max k
|
xk
|
max(3, 0, 4, 12)
12.
4
1
|| α ||2 ( | xk | )2
一、 从向量的长度或模谈起
例 1 复数 x (a, b) a i b j 的长度或模指的是量
|| x || a2 b2 显然复向量 x 的模 || x || 具有下列三条性质:
(1) || x || 0 ,当且仅当 x 时,等号成立。 (2) || x || | | || x || ; ( R)
n
如果 W diag(w1, , wn ),此时|| x ||A ( | wi xi |2 )1/,2
这就是加权范数或椭圆范数名称的由来。 i 1
在现代控制理论中,称二次型函数
V ( x) || x ||2P xH P x
为李雅普诺夫(Lyapunov)函数,这里 P 是正定对
称矩阵。大家已经知道,此函数是讨论线性和非线 性系统稳定性的重要工具。
i
x |
|| xi |
max i
lim
p
| xi || x
| ||
p
是向量范数显然很 。

|
xj
|
max | i
xi
|
,则有
p
|| x || | x j | ( | xi |p )1/ p || x ||p
i 1

向量范数与矩阵范数

向量范数与矩阵范数

任2种范数在刻画收敛性时等价
定理1.2 对 Rn 上的任意二种向量范数|| ·||a ,|| ·||b ,
均有与向量 x 无关的常数 m 与 M (0<m<M),使 下列的关系成立
m x x M x , x Rn.
a
b
a
证明略.
意义:向量x的某一种范数可以任意小(大)时, 该向量的其它任何一种范数也会任意小(大)。
|1| | 2 | | 3 |,
A
1

max

|
5
|

|1|

|
8
|,


14,
| 2 | | 0 | | 2 |
1 5 2
A 2 1
0

3 8 2
|1| | 5 | | 2 |,
A


max

|
2
|

|1|

|
0
|,

13,
| 3 | | 8 | | 2 |
A F
12 22 32

52

12
82




22

02
22

112,
14 21 4
AT
A


21
90
26
4 26 8
❖定义 Rn 上的实值函数‖·‖称为向量范数,如果 对任意的 x, y∈Rn, 它均满足下列3条性质:
(1)正定性: || x ||,且 0 x 0;|| x || 0
(2)齐次性:对 k ,有R

范数及条数PPT课件

范数及条数PPT课件
用Rn表示n维实向量空间,用Cn表示n维复向量空间, 首先将向量长度概念推广到Rn(或Cn)中。
1/109
1. 向量的范数
向量的范数可以看作是描述向量“大小”的一种度量. 范数的最简单的例子,是绝对值函数:x x2 有三个熟知的性质:
(1) x 0 x > 0 x = 0当且仅当x = 0 (2) ax = a x a为常数 (3) x + y ≤ x + y
又称为谱范数。
n
2.
A max
1
x 1 1
Ax max 1 1 j量的1-范数的最大值称为矩阵的列范数。
n
3.
A max
x 1
Ax max 1in
aij
j 1
, 为矩阵的行
向量的1-范数的最大值称为矩阵的行范数。
13
常见的矩阵范数
nn
1
F 范数:A ( F
9
定理 设x Rn , A Rnn ,并在Rn上定义向量范数 || x ||,

|| A || max || Ax || max || Ax ||
x0 || x || ||x||1
为R nn上的矩阵范数, 且称其为算子范数。
证:设A (aij )为任意n阶方阵,x为任意
n维非零向量。因为
Ax A x ,
( A)
max{|
1in
i
|}
为矩阵A的谱半径。
矩阵A的谱半径( A)不是A的一种范数,
但可能与A的任何一种范数有某种关系。
17
例题
求矩阵A
2 2
41的谱半径。
解:由|| I A || 2
1 0
2 4
特征值 1 3 3, 2 3 3。

向量和矩阵的范数课件

向量和矩阵的范数课件
平移不变性
对于任意向量x和任意实数a,||x + a|| = ||x||。
三角不等式
对于任意向量x和y,||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||。
向量范数的计算方法
欧几里得范数
对于向量x = [x1, x2, ..., xn]^T,||x|| = sqrt(Σ(xi^2))。
无穷范数
对于向量x = [x1, x2, ..., xn]^T,||x|| = max(abs(xi))。
定义
向量是一个具有n个实数或复数分量 的一维数组,通常表示为 $mathbf{a} = (a_1, a_2, ldots, a_n)$。
表示
向量可以用箭头表示,例如 $mathbf{a}$,并在每个分量旁标出 其数值。
矩阵的定义和表示
要点一
定义
矩阵是一个由m行n列的实数或复数组成的矩形阵列,表示 为$A = begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ldots & a_{1n} a_{21} & a_{22} & ldots & a_{2n} vdots & vdots & ddots & vdots a_{m1} & a_{m2} & ldots & a_{mn} end{bmatrix}$。
在数值分析中的应用
1 2 3
数值稳定性
范数可以用于评估算法的数值稳定性,例如,在 求解线性方程组时,范数可以用于衡量算法的收 敛性和误差。
矩阵近似
范数可以用于衡量矩阵的近似程度,例如,在计 算矩阵的逆或特征值时,范数可以用于评估算法 的精度。
数值逼近

向量和矩阵的范数PPT75页

向量和矩阵的范数PPT75页
去何所道,托体同山阿。 57、春秋多佳日,登高赋新诗。 58、种豆南山下,草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ,带月 荷锄归 。道狭 草木长 ,夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ,但使 愿无违 。 59、相见无杂言,但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕,亭亭月将圆。
61、奢侈是舒适的,否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学,如日出之阳;壮而好学 ,如日 中之光 ;志而 好学, 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也,匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里,与其说好 的教师 是幸福 ,不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战,就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿

第二章 向量与矩阵的范数 PPT课件

第二章 向量与矩阵的范数 PPT课件

n i 1
bi q )
1
1
ab(
1 p
1 q
)
n i1
p ai
p n q i1 bi
q
Minkowski不等式:设
a1,a2,L ,an T , b1,b2,L ,bn T Cn
则对任何 p 1都有
n
(
ai bi p ) 1 p ( n
ai p ) 1 p ( n
1 1 1 pq
可得
i1
n
(
ai bi p ) 1 p ( n
ai p ) 1 p ( n
bi p ) 1 p
i 1
i 1
i 1
几种常用的范数
定义:设向量 a1, a2,L , an T ,对任
意的数 p 1 ,称 n
( p
ai p ) 1 p
i 1
为向量 的 p 范数。
2
F
2
例2 设 X 是向量的范数,则
AX A max
X 0 X
满足矩阵范数的定义,且 A 是与向量范
X 相容的矩阵范数。
证明 首先我们验证此定义满足范数的四 条性质。非负性,齐次性与三角不等式易 证。现在考虑矩阵范数的相容性。
由A
AX max
X 0 X
AX
A AX A X
n
n
1n
1
ai bi p ( ai p ) p ( ai bi p )q
i1
i1
i1
n
1n
1
( bi p ) p ( ai bi p )q
i1
i1
n
1
n
1n
1
[( bi p ) p ( bi p ) p ]( ai bi p )q

向量与矩阵的范数 PPT

向量与矩阵的范数 PPT
|λ | || X ||= ||λ X ||= || A X || ≤|| A || || X ||
由X ≠0 ,所以 || X || >0 , 故有: |λ | ≤|| A || 所以特征值的最大值≤||A||,即ρ(A)≤||A||
定理3.7 设A为任意n阶方阵,则对任意 矩阵范数||A||,有: ρ(A)≤||A|| 定理3.8 设A为n阶对称方阵,则有:
i 1
(3)向量的∞—范数:
||
X
||
max
1in
|
xi
|
n
(4)向量的p—范数: || X ||p p | xi |p
(1≤p≤∞)
i 1
例 :设 x=(1 , -4, 0, 2)T 求它的向量范数
n
n
X 1
xk =7 || X ||2
xi2 21
k 1
向量序列的收敛问题
定义:假定给定了Rn空间中的向量序列
X(1),X(2),...,X(k),...,简记为{X(k)},其中
X(k)=(x1(k),x2(k),...,xn(k))T,若X(k)的每一个分 量xi(k)都存在极限xi,即
lim xi(k)
k

xi
(i 1,2,...,n)
则称向量X= (x1,x2,...,xn)T为向量序列 {X(k)}的极限,或者说向量序列{X(k)}收敛
||A||2= ρ(A)
|| A ||2 ( AT A) ( A2 ) (A )2 (A )
ATA=A2
矩阵序列的收敛性
定义 设Rn×n中有矩阵序列{A(k)|A(k)=(aij(k))},

lim

第四章 向量和矩阵范式

第四章 向量和矩阵范式

例4.2 设x=(1, 0, -1, 2)T, 计算
x 1, x
解:

, x
2
x
1
=1+0+|-1|+2=4
2 2 2 2
x 2 1 0 (1) 2 6
x

max( 1,0, 1,2) 2
x 定理4.1 对于任意向量x ,有 lim p
p
x

证: ∵ x
当A为对称矩阵时 | 1 | cond(A) 2 , | n | 其中1, n为A的绝对值最大和最小的特征值.
条件数的性质:
1. 对任何非奇异矩阵A,都有
cond(A)v 1;
2. 设矩阵A非奇异且常数c 0,则cond(cA)v cond(A)v ;
3. 如果A为正交矩阵,则cond( A)2 1; 如果A为非奇异矩阵,R为正交矩阵,则 cond(RA)2 cond(AR)2 cond(A)2 ;
是由内积导出的向量范数。
记笔记
§4.2 向量和矩阵的范数
n p i 1
上述范数都是 p范数 || X || p (| xi | ) 的特例
• 当不需要指明使用哪一种向量范数时,就用记号||.|| 泛指任何一种向量范数。 • 有了向量的范数就可以用它来衡量向量的大小和表示
1 p
向量的误差。
• 设x*为Ax=b的精确解,x为其近似解,则其绝对误差
x* R n , 记 一向量序列,
x x , x ,, x
* * 1 * 2
x
(k )
x

(k ) 1
,x
(k ) 2
,, x
(k ) T n
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(2) 齐次性: k k , k 为任
意数。
(3) 三角不等式:对于V 中的任意两个
向量, 都有

例 : 在 n 维线性空间 Cn中,对于任意的
向量 (a1, a2, , an ) Cn 定义
n
(1) 1
ai
i 1
(2)
n
( 2
证明: 首先注意到这样一个基本事实,

[Tr( AH
1
A)] 2

(
m
n
21
aij ) 2
i1 j1
由上一个例题可知此定义满足范数的性质。
Frobenious范数的性质:
(1)如果 A 1 2
n ,那么
n
A 2 F
2 i2
i 1
n
(2) A 2 TR( AH A) F
xi
2
)
1 2

(X
H
X )1 2
i 1
根据Hoider不等式可以得到
2
mn
mn
AX 2 2
aij x j ( aij x j )2
i1 j1
i1 j1
m n
2n
2
[( aij )( x j )]
i1 j1
j 1
m n
2n
2
(
aij )( x j )
证明:此定义的非负性,齐次性是显然的。
利用Minkowski不等式容易证明三角不等式。 现在我们验证乘法的相容性。
设 ACml , B Cln ,则
mn l
2
mn l
AB 2 F
aikbkj
( aik bkj )2
i1 j1 k 1
i1 j1 k 1
1 A
1 A
这里 A 是矩阵 A 的算子范数。
特征值估计
• 粗略估计 • 圆盘定理
定理1 (Schur)设 A 的特征值为 λ1,L , λn ,则
(1) | λ1 |2 + L + | λn |2 ? || A ||2F (2) | Re( λ1) |2 + L + | Re( λn) |2 ? || B ||2F (3) | Im( λ1) |2 + L + | Im( λn) |2 ? || C ||2F
A 表示按照某一确定法则与矩阵 A 相对
应的一个实数,且满足
(1)非负性:当 A 0, A 0 只有 且仅有当 A 0, A 0
(2) 齐次性: kA k A , k 为任
意复数。 (3) 三角不等式:对于任意两个同种形
状矩阵 A, B 都有
AB A B
(4)矩阵乘法的相容性:对于任意两个可以
i1 j1
j 1
A 2X 2
F
2
于是有
AX A X
2
F
2
例 2 :设 X 是向量的范数,则
AX
A max
X i
X 0

满足矩阵范数的定义,且 A 是与向量范
X 相容的矩阵范数。
i
证明:首先我们验证此定义满足范数的四
条性质。非负性,齐次性与三角不等式易
证。现在考虑矩阵范数的相容性。
i1 k 1
j1 k 1
A B
例 2 :设矩阵 A Cnn ,证明:
A

n
max i, j
aij
是矩阵范数。
证明:非负性,齐次性和三角不等式容易 证得。现在我们考虑乘法的相容性。设
A Cnn , B Cnn ,那么
n
n
AB
n max i, j
aik bkj
0 6 9
所以
A 2

15 。
练习 :设
0 1 i
1 0 0
A 1 0 0 或 A 0 1 0
i 0 0
0 0 1
分别计算这两个矩阵的 A , A , A
和A 。
1
2

F
例 2 :证明:对于任何矩阵 A Cmn 都有
AH AT A
k 1

n max i, j
k 1
aik
bkj

n
n
max i,k
aik
max k, j
bkj
n max i,k
aik
n max k, j
bkj
A B
因此 A 为矩阵 A 的范数。
例 3 :对于任意 A Cmn,定义
m n
21
A ( F
aij ) 2
i1 j1
可以证明 A 也是矩阵 A 的范数。我们称此 范数为矩阵 A 的Frobenious范数。
1
ai
i 1
(2)2-范数
n
( 2
ai
2
)
1 2

( H )1 2
i 1
也称为欧氏范数。
(3)
-范数 lim
p
p
定理:


max 1in
ai
证明:令
x

max
1in
ai
,则
yi ai x , i 1, 2, , n
于是有

n
x(
p
常用的矩阵P--范数为 A , A 和 A 。
1
2

定理:设 A Cmn ,则
m
(1)
A 1
max( j i1
aij
),
j 1, 2,
,n
我们称此范数为矩阵A 的列和范数。
(2)
A
2

max( j
j
(
AH
A))
1 2
,
j ( AH A)
表示矩阵AH A 的第 j 个特征值。我们称此范 数为矩阵 A 的谱范数。
最后证明 A 与 X 是相容的。
i

由上面的结论可知
AX
A

i
X

AX A X

i

这说明 A 与 X 是相容的。
i

定义:上面所定义的矩阵范数称为由向量范
数 X 所诱导的诱导范数或算子范数。由
向量 P--范数 X 所诱导的矩阵范数称为矩
阵P--范数。即 p
AX
A max
p
p
X 0 X
ai
2
)
1 2
i 1
(3)


max 1in
ai
证明:
, ,
1
2

都是 Cn上的范数,并且还有
(1)' n

1

(2)' n
2
1
2
(3)' n

2

引理(Hoider不等式):设
a1,a2, ,an T , b1,b2, ,bn T Cn
(A) max{1 , 2 , , n }
为矩阵 A 的谱半径。
例 1 :设 A Cmn ,那么
(A) A
这里 A 是矩阵 A 的任何一种范数。
例 2 :设 A 是一个正规矩阵,则
(A) A 2
证明:因为
A 2 max
2
X 0
AX X
2
2 2
max X 0
X H AH AX XHX
n
(3)
A


max( i
j 1
aij
),
i 1, 2,
,m
我们称此范数为矩阵 A 的行和范数。
例 1 :设
2 1 0 A 0 2 3
1 2 0
计算 A ,A ,A 和 A 。
1
2

F
解: A 5 1
A 23 F
A 5
因为
5 0 0
AH A 0 9 6
相乘的矩阵 A, B ,都有
AB A B
那么我们称 A 是矩阵 A 的范数。
例 1:对于任意 A Cmn ,定义
mn
A aij
i1 j1
可以证明如此定义的 A 的确为矩阵 A 的范
数。
证明:只需要验证此定义满足矩阵范数的 四条性质即可。非负性,齐次性与三角不 等式容易证明。现在我们验证乘法的相容
AX AX H A X H
*
*
*
A X *
例:已知矩阵范数
mn
A A *
aij
i1 j1
求与之相容的一个向量范数。
解:取 0 1
0 T 。设
X x1 x2
xn T
那么
n
X X H *
xi

X 1
i 1
矩阵的谱半径及其性质
定义:设 A Cmn ,A 的 n 个特征值为 1, 2, , n ,我们称
第四章 向量与矩阵的范数
定义: 设V 是实数域 R(或复数域 C )上 的 n 维线性空间,对于V 中的任意一个向量 按照某一确定法则对应着一个实数,这个
实数称为 的范数,记为 ,并且要求
范数满足下列运算条件:
(1)非负性:当 0, 0 只 有且仅有当 0, 0
设 B 0 ,那么
ABX
A(BX )
AB max
max(
Hale Waihona Puke iX 0X
X 0 BX
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