甘肃省兰州市第一中学2020届高三数学冲刺模拟考试试题(三)文【含答案】
2020届甘肃省兰州市第一中学高三冲刺模拟考试(二)数学(文)试题(解析版)
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设出 的坐标为 ，依据题目条件，求出点 的轨迹方程 ，
写出点 的参数方程，则 ，根据余弦函数自身的范围，可求得 结果.
【详解】
设 ，则
∵ ，
∴
∴
∴ 为点 的轨迹方程
∴点 的参数方程为 （ 为参数）
所以选B.
【点睛】
本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要构造函数，由导函数确定研究构造的函数的单调性，从而可求出结果.
二、填空题
13．已知多项式 ，则 ________．
【答案】2677
【解析】结合秦九韶算法，将 转化为
，然后由内至外逐步计算即可求出答案
【详解】
令 当 时， ；
则令 ，当 时， ；
，因此， .
故选：C.
【点睛】
本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题．
4．已知 为锐角， ，则 （）
A． B． C．2D．3
【答案】D
【解析】先利用半角公式（或二倍角公式）求得 ，再根据两角和正切公式求结果.
【详解】
∵ 为锐角， ，∴ ，
则 ，
∴ .
又平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ， 平面
平面 平面
（Ⅱ）取 中点 ，由 为等边三角形得
平面 平面 ， 平面 ，
又因为 中， ，
在 中， 边上的高
三棱锥 的体积为 .
【考点】空间中的位置关系、体积计算．
18．已知数列 的前n项和为 ， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求证： .
甘肃省兰州市第一中学2020届高三第一学期期中考试数学试卷
绝密★启用前兰州一中2019-2020-1学期期中考试高三数学（文科）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}|2230,|2,0A x x x B y y x x ≥＝﹣﹣＜＝＝，则A B ＝（ ）A ．13（﹣，）B ．[03，）C ．[13，）D ．13（，）2．若复数z 满足11z i i +（）＝，则复数z 的共轭复数的模为（ ） A ．1BC ．2D ．3．设变量x y ，满足20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数3z x y +＝的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章．当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”．假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁5．若34tan πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则22sin cos αα﹣＝（ ） A ．35 B ．25-C ．1﹣D ．36．在如图所示的程序框图中，若输入的2s ＝，输出的2018s ＞，则判断框内可以填入的条件是（ ）A ．9i ＞B ．10i ≤C ．10i ≥D ．11i ≥7．为了得到函数y sinx ＝的图象，只需将函数26y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ） A ．横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向右平移6π个单位 B ．横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移6π个单位C ．横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向右平移6π个单位D ．横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向左平移6π个单位8．已知三棱锥P ABC ﹣的所有顶点都在球O 的球面上，ABC 的正三角形，PA PB PC ，，两两垂直，则球O 的体积为（ ）A ．2B C ．3π D ．9．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ） A ．215πB ．320π C ．2115π-D ．3120π-10．设为等差数列{}an 的前n 项和，若349627a S S ＝，﹣＝，则该数列的公差d 等于（ ）A ．65-B ．1﹣C ．65D ．111．椭圆()222210x y a b a b+=＞＞的左右焦点分别是12F F 、，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为（ ）A 1-B C D 12．已知函数321f x x x e x ++（）＝﹣1x e-，其中e 是自然对数的底数．若1222f a f a +≤（﹣）（），则实数a 的取值范围是（ ）A ．312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C ．112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，第Ⅱ卷（选择题，共90分）二．填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知()12a =，，()4b k =，，若()()23a ba b +-，则k ＝ ．14．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下：由表中数据，求得线性回归方程0.6y x a =+，根据回归方程，预测加工 个零件所花费的时间为 分钟．15．若等比数列{}*n a n ∈（）N 满足13243010a a a a ++＝，＝，则12n a a a ⋅⋅⋅的最大值为 ．16．已知点F 是抛物线24C y x ：＝的焦点，点M 为抛物线C 上任意一点，过点M 向圆221(1)2x y -+=作切线，切点分别为A B ，，则四边形AFBM 面积的最小值为 ．三．解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17．已知函数()()002f x Asin x A πωϕωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞，＞，＜的部分图象如图所示． （Ⅰ）求函数f x （）的解析式；（Ⅱ）如何由函数2y sinx ＝通过适当图象的变换得到函数f x （）的图象，写出变换过程；（Ⅲ）若142f α⎛⎫=⎪⎝⎭，求6sin πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．18．设ABC ∆的三个内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且满足()20a c BC BA cCA CB +⋅+⋅=． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若b =AB CB ⋅的最小值．19．已知数列{}n a 为等差数列，且1515a a ＝，＝；设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且2n n b S -＝． （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若()•123n n n c a b n ＝＝，，，，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求n T ． 20．设函数365,f x x x x -+∈R （）＝ （Ⅰ）求f x （）的单调区间和极值；并求该曲线在1x ＝处的切线方程． （Ⅱ）若关于x 的方程f x a （）＝有3个不同实根，求实数a 的取值范围． （Ⅲ）已知当1x ∈+∞（，）时，1f x k x ≥（）（﹣）恒成立，求实数k 的取值范围． 21．已知函数()()211122f x lnx x m x m =+-+++． （1）设2x ＝是函数f x （）的极值点，求m 的值，并求f x （）的单调区间； （2）若对任意的10x f x ∈+∞（，），（）＞恒成立，求m 的取值范围． 22．已知直线l的参数方程为1x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．在以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为24240cos sin ρρθρθ+﹣﹣＝． （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于A B ，两点，求•OA OB ． 23．已知函数2123f x x x a g x x +++（）＝﹣，（）＝．（Ⅰ）当2a ＝﹣时，求不等式f x g x （）＜（）的解集； （Ⅱ）设1a ＞﹣，且当1,22a x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，f x g x ≤（）（），求a 的取值范围．。
2020届甘肃省兰州市第一中学高三冲刺模拟考试(二)数学(文)试题
2020年兰州一中高三数学模拟试卷（二）文科数学（考试时间：120分钟 试题满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，集合B ＝{x |x ﹣1＞0}，则（∁R A ）∩B ＝（ ） A ．（1，3）B ．（1，3]C ．[3，+∞）D ．（3，+∞）2．设复数z 满足（z +2i ）•i ＝3﹣4i ，则复数 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若非零实数a ，b 满足 23ab=，则下列式子一定正确的是（ ） A ．b ＞aB ．b ＜aC ．|b |＜|a |D ．|b |＞|a |4．已知α为锐角，3cos 5α=，则tan()42πα+ ＝（ ） A ．B ．C ．2D ．35．已知f （k ）＝k +（﹣1）k ，执行如图所示的程序框图， 若输出k 的值为4，则判断框内可填入的条件是（ ）A ．s ＞3？B ．s ＞5？C ．s ＞15？D ．s ＞10？6．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，﹣2），N （1，0）． 若动点M 满足2MAMO=，则OM ON ⋅的取值范围是（ ） A ．[0，2]B ．[0，2]C ．[﹣2，2]D ．[﹣2，2]7．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1～9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“＝⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1～9这9个数字表示两位数的个数为（ ）zA ．16B ．15C ．14D ．138．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣4x ，则不等式f （x +2）＜5的解集为（ ） A ．（﹣3，7）B ．（﹣4，5）C ．（﹣7，3）D ．（﹣2，6）9．已知双曲线C ：22221x y a b-=，O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C 的两条渐近线交于A ，B 两点，若△OAB 是边长为2的等边三角形，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2213x y -=B ．2213y x -= C ．221124x y -=D ．221412x y -= 10．甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任意想一个数字，记为m ，再由乙猜想甲刚才想的数字，把猜出的数字记为n ，且m ，n ∈{1，2，3}，若|m ﹣n |≤1，则称二人“心有灵犀”，现任意找二人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．11．已知函数()sin(2)6f x x π=-，若方程3()5f x =的解为1212,(0)x x x x π<<<，则12sin()x x -＝（ ） A ．35-B ．45-C ．2-D ．3-12．已知函数f （x ）＝kx ，g （x ）＝2lnx +2e （≤x ≤e 2），若f （x ）与g （x ）的图象上分别存在点M ，N ，使得M ，N 关于直线y ＝e 对称，则实数k 的取值范围是（ ） A ．224,e e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．2,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．24,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．24[,)e+∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知多项式f (x )=2x 5-5x 4-4x 3+3x 2-6x +7，则f (5) =____________. 14．设m ，n 为正数，且m +n ＝2，则1312n m n ++++的最小值为＝ ． 15．设f （x ）是定义在R 上的函数，其导函数为f '（x ），若f （x ）+f '（x ）＞1，f （0）＝2020，则不等式e x f （x ）＞e x +2019（其中e 为自然对数的底数）的解集为 ．16．已知点A 是以BC 为直径的圆O 上异于B ，C 的动点，P 为平面ABC 外一点，且平面PBC ⊥平面ABC ，BC ＝3，PB ＝2，PC ＝，则三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积为 ．三、解答题：共70分。
2020届兰州市高三年级一诊文科数学试卷含答案
2020年兰州市高三诊断考试（文数） 第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.已知集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}*2,B x x n n N==∈，则AB =（ ）{}.0,2,4A {}.2,4B {}.1,3,5C {}.1,2,3,4,5D2.已知复数522iz i=+−，则z =（ ）.5B .13CD3.已知非零向量,a b ，给定:p R λ∃∈，使得a b λ=，:q a b a b +=+，则p 是q 的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件4.若21tan 5722sincos 1212tan2αππα−=，则tan α=（ ）.4A .3B .4C − .3D −5.已知双曲线()222210,0x y a b a b−=>>的一条渐近线过点()2,1−，则它的离心率是（）ABCD 6.已知集合46911,,,,55555A πππππ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，从A 中任选两个角，其正弦值相等的概率是（ ） 1.10A 2.5B 3.5C 3.10D7.表1根据表1及图1得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为1r ，去掉第一年数据后得到的相关系数为2r ，则12r r <；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时草场植被指数。
以上判断中正确的个数是（ ）.0A .1B .2C .3D8.已知函数()ln f x =，且()0.20.2a f =，()3log 4b f =，13log 3c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）.A a b c >> .B c a b >> .C c b a >> .D b c a >>9.已知圆锥的顶点为A ，高和底面圆的半径相等，BE 是底面的一条直径，点D 为底面圆周上的一点，且60o ABD ∠=，则异面直线AB 与DE 所成角的正弦值为（ ）2A 2B 3C 1.3D10.已知函数()()()sin sin cos 0f x x x x ωωωω=+>，若函数()f x 的图象与直线1y =在()0,π上有3个不同的交点，则ω的范围是（ ）13.,24A ⎛⎤ ⎥⎝⎦ 15.,24B ⎛⎤ ⎥⎝⎦ 53.,42C ⎛⎤ ⎥⎝⎦ 55.,42D ⎛⎤⎥⎝⎦11.已知点()4,2M −−，抛物线24x y =，F 为抛物线的焦点，l 为抛物线的准线，P 为抛物线上一点，过P做PQ l ⊥，点Q 为垂足，过P 做FQ 的垂线1l ，1l 与l 交于点R ，则QR MR +的最小值为（ ）.1A + B C .5D12.已知定义在R 上的函数()f x ，()'f x 是()f x 的导函数吗，且满足()()'2x xf x f x x e −=，()1f e =，则()f x 的最小值为（ ）.A e − .B e .C 1e .D 1e− 第II 卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数()2,121,1x x f x x x ⎧<=⎨+≥⎩，则23log 2f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_________.14.已知向量,a b 满足2b =，向量,a b 夹角为120o ，且()a b b +⊥，则向量a b +=____.15. 在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，且2222c a b ab =+−，8a =，1sin23A =，则c =______.16.大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房，蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF ，侧棱'AA 、'BB 、'CC 、'DD 、'EE 、'FF 相互平行且与平面ABCDEF 垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成，瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园.英国数学家麦克劳林通过计算得到''''''1092816o B C D ∠=.已知一个蜂房中'53BB =，26AB =，'''tan 5444082o =，则此蜂房的表面积是________.三、解答题17.（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，18a =−，243a a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()*412n n b n N n a =∈+，n T 为数列{}n b 的前n 项和，若95nT =，求n 的值.18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为平行四边形，点P 在面ABCD 内的射影为A ，1PA AB ==，点A 到平面PBC 的距离为33，且直线AC 与PB 垂直. （1）在棱PD 上找一点E ，使直线PB 与平面ACE 平行，并说明理由； （2）在（1）的条件下，求三棱锥P EAC −的体积.甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进.2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代人治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号，在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值.（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插钎处没有被风蚀）.通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图.（1）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；（2）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记.根据以上直方图，完成列联表：标记不标记合计坡腰坡顶合计并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d−=++++，()2P K k≥0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828已知点F 为椭圆()222210,0x y a b a b+=>>的一个焦点，点A 为椭圆的右顶点，点B 为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F 距离的最大值为3，最小值为1. （1）求椭圆的标准方程；（2）若,M N 在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM //直线BN ，直线AN 、BM 的斜率分别为1k 和2k ，求证：2121k k e ⋅=−（e 为椭圆的离心率）.21.（本小题满分12分）已知函数()211ln 22f x a x x =−−+（a R ∈且0a ≠）.（1）当a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若0a >，讨论函数()f x 的单调性与单调区间；（3）若()y f x =有两个极值点12,x x ，证明：()()129ln f x f x a +<−.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1222x t y t ⎧=−−⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为4πρα⎛⎫=+⎪⎝⎭，曲线2C的直角坐标方程为y =. （1）若直线l 与曲线1C 交于,M N 两点，求线段MN 的长度；（2）若直线l 与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点，点P 在曲线2C 上，求AB AP ⋅的取值范围.23. 【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数()122f x x x =−++，()22g x x x a a =+−−+. （1）求不等式()4f x >的解集；（2）对1x R ∀∈，2x R ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，求a 的取值范围.2020年高三诊断考试试题答案数学（文科）1．B2．A 3．B4．C5．A 6．B7．B8．D9．A 10．C11．D12．D11．【解析】根据抛物线定义PF PQ= 1l ，为FQ 的垂直平分线RF RQ =5QR +MR =FR MR FM ，+³=故选D.12．【解析】由xe x xf x xf 2'=）（-）（，构造函数xx f x F ）（）（=，则xe xx f x xf x F ==2''）（-）（）（，所以可以设c e x F x +=）（，即cx xe x f c e xx f x x+=+=）（）（,，又因为e f =）（1得0=c ，所以x xe x f =）（，由01'=+=）（）（x e x f x得1-=x 且1-<x 时,0'<）（x f ）（x f 在），（1-∞-上为减函数，1->x 时,0'>）（x f ）（x f 在），（∞+-1上为增函数，所以ef x f 11min-=-=）（）（.故答案为D.13．414．615．16.16．【解析】连接''D B BD 、，则''//D B BD ，26''==D B BD '''D C OB 为菱形，2''08'4454tan ,''16'28109'''=︒︒=∠D C B 62232''08'4454tan ''212'=⋅=︒⋅=∴D B OC 33''=C B 34''''22=--=∴BC C B BB CC 2272)3435(62''=+⨯=C C BB S 梯形22162662132276=⨯⨯⨯+⨯=∴表S .17．【解析】（Ⅰ）设等差数列}{n a 的公差是d ，由4213,8a a a =-=得：)38(38d d +-=+-解得2=d ，所以n a n 210+-=.........................................6分92020.4（Ⅱ）设111(2)22(4)12(4+-=+=+=n n n n a n b n n ，59111(2=+-=n T n 得到n=9...................................................12分18．【解析】（Ⅰ）点E 为PD 中点时直线PB 与平面ACE 平行.证明：连接BD ，交AC 于点O ,则点O 为BD 的中点，因为点E 为PD 中点，故OE 为PDB ∆的中位线，则PB OE //,⊂OE 平面ACE ,⊄PB 平面ACE ,所以PB 与平面ACE 平行.....................................5分（Ⅱ）根据题意PB AC ⊥，⊥PA 底面ABCD ,⊂AC 底面ABCD ，则有PA AC ⊥，P PB PA =⋂,所以⊥AC 平面PAB ,则AB AC ⊥设x AC =，3321221311121312⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯==--x x V V PBC A ACB P ，得1=AC 则12111121312121=⨯⨯⨯⨯⨯==--ACD P EAC P V V ......................................12分19．【解析】（Ⅰ）设“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”为事件C()0.80.160.360.6P C =++=.....................................4分（Ⅱ）完成列联表如下：标记不标记合计坡腰302050坡顶203050合计5050100根据列联表，计算得：841.3450505050)20203030(10022>=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K 所以有95%的把握认为，数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关............................12分（Ⅰ）椭圆的标准方程为：22143x y +=.....................................5分（Ⅱ）由⑴可知(2,0),(0,A B ，设AM 的斜率为k ，则BN 斜率也为k故直线AM 的方程为(2)y k x =-，直线BN 的方程为y kx =-由223412(2)x y y k x ì+=ïí=-ïî得22234(2)12x k x +-=，即2222(34)1616120k x k x k +-+-=解得2x =或2281634k x k -=+22281612()3434k k M k k--，++，由223412x y y kx ì+=ïíï=-î得2234(12x kx +-=，即22(34)0k x +-=解得0x =或234x k =+222()3434N k k-，++，22212222222348334123)34862(43)34k k k k kk k k k k k --=+--++==--+212314k k e ×=-=-.....................................12分21．【解析】(Ⅰ)因为32=a 时，,2121ln 32322+=x x x x f --）（所以，x x x f --）（3232'=那么32111'=-=）（，）（f f ，所以曲线）（x f 在））（，（11f 处的切线方程为：），（1132--=-x y 即：0132=--+y x ….................................….............…4分（Ⅱ）因为,3232'2xax x x a x f -+-=-=-）（由0322=-+-a x x 可得:当0412>-=∆a ,)3,0(∈a 时,有,33,3321a x a x --=-+=满足021>>x x ,,0',0∈12<+∞）（）时）和（，（x f x x x 即）上）和（，）在（（+∞,012x x x f 为减函数;,0',12>∈）（）时（x f x x x 即）上，）在（（12x x x f 为增函数.当0'03≤≤∆≥）（，时，x f a 恒成立,所以），）在（（∞+0x f 为减函数综上可知：当30<<a 时，在））和（，（+∞-+--,33330a a 上）（x f 为减函数，在）（a a -+--33,33上，）（x f 为增函数；当3≥a 时，在），（∞+0上,）（x f 为减函数.………8分（Ⅲ）因为）（x f y =有两个极值点,21x x 、则032'2=-+-=xax x x f ）（有两个正根,21x x 、则有，032,04122121>==+>-=∆a x x x x a 即），（30∈a ,所以7ln 121ln 322221212121++-=++-+=+a a a x x x x a x x x f x f ）（-）（）（）（）（若要，）（）（a x f x f ln 921-<+即要02ln ln >+--a a a a 构造函数:2ln ln +--=x x x x x g ）（,则xx x g 1）（-=ln ',易知），）在（（30'x g 上为增函数且02ln 2',011'>-=<-=21）（）（g g,所以存在00001ln 0'21x x x g x ==∈即）（）使，（且）单调递减，（）（）时，（x g x g x x ,0'10<∈）（（）时（x g x g x x ,0)'2,0>∈单调递增.所以）（x g 在(1,2)上有最小值为）（0000000132ln ln )(x x x x x x x g +-=+--=,又因为），（）则，（252121000∈+∈x x x ,所以），（在）（21000∈>x x g 上恒成立,即a x f x f ln 921-<+）（）（成立......................................................................….........12分22.【解析】（Ⅰ）由条件可知直线l 的普通方程为01-=+y x ，曲线1C 的直角坐标方程为02222=+-+y x y x ，根据曲线1C 的直角坐标方程可知1C 为以)1,1(-为圆心，以2为半径的圆，圆心1C 到直线l 的距离22=d ,所以弦6222222=-=）（）（MN ；..........................….........5分（II ）因为曲线2C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x （θ为参数，且[]πθ，0∈），又因为)10(),01(，，B A ，设曲线2C 上点P 的坐标为）（θθsin 2,cos 2P ，则）1,-（），，（θθsin 2cos 211=-=AP AB ，[]πθ，0∈所以，14sin 22+-=⋅）（πθAP AB []πθ，0∈，则14sin 22≤-≤-（πθ，所以[]1221+-∈⋅,AP AB ............................….........10分23.【解析】（Ⅰ）由⎩⎨⎧>+≥⎩⎨⎧>+<<-⎩⎨⎧>-≤41314311413x x x x x x 或或--1解得135>∈<x x x 或或-φ，所以不等式的解集为），（，（∞+⋃-∞-135...............................................5分（II ）因为当2min ==）（时-1x f x ，又因为a a a a x x a a x x x g ++=+--+≥+-++=222222)(）（）（，由题意R R ∈∃∈∀21x x ，，使得）（）（21x g x f ≥成立，则有min min ）（）（x g x f ≥，即a a ++≥222所以有⎩⎨⎧+≥-≥-2222202）（）（a a a ，解之得[]04,a -∈........................................................................10分。
【KS5U解析】甘肃省兰州市第一中学2020届高三冲刺模拟考试(二)数学(文)试题 Word版含解析
， ；
， ；
复数 ， ，
复数 在复平面内对应的点位于第二象限．
故选 ．
【点睛】本题考查共轭复数与复数的坐标表示，属于基础题．
3.若非零实数 、 满足 ，则下列式子一定正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
令 ，则 ， ，将指数式化成对数式得 、 后，然后取绝对值作差比较可得．
【详解】令 ，则 ， ， ， ，
，因此， .
故选：C.
【点睛】本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题．
4.已知 为锐角， ，则 （）
A. B. C.2D.3
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用半角公式（或二倍角公式）求得 ，再根据两角和正切公式求结果.
【详解】∵ 为锐角， ，∴ ，
【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.
6.在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，若动点 满足 ，则 的取值范围是
【解析】
【分析】
设出 的坐标为 ，依据题目条件，求出点 的轨迹方程 ，
写出点 的参数方程，则 ，根据余弦函数自身的范围，可求得 结果.
7.中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数 的一种方法．例如：3可表示为“ ”，26可表示为“ ”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用 这9数字表示两位数的个数为
A.13B.14C.15D.16
【答案】D
【解析】
首先求出当 时不等式的解集，在根据偶函数的对称性求出当 时不等式的解集，从而求出 的解集，则 ，即可得解.
【精准解析】甘肃省兰州市第一中学2020届高三冲刺模拟考试(二)数学(文)试题
2020年兰州一中高三数学模拟试卷（二）文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}260A x x x =--<，集合{}10B x x =->，则()RA B =（ ）A. ()1,3B. (]1,3C. [)3,+∞ D. ()3,+∞【答案】C 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式计算出集合A 中表示元素范围,然后计算出A R的范围,最后根据交集的含义计算()RA B ⋂的结果.【详解】因为260x x --<,所以()2,3x ∈-即()2,3A =-,所以(][),23,RA =-∞-⋃+∞,又因为()1,B =+∞,所以()[)3,RA B =+∞.故选C.【点睛】本题考查集合的补集与交集混合运算,难度较易,注意一元二次不等式的解集的求解. 2. 设复数z 满足(2)34z i i i +=-，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】先根据(2)34z i i i +=-计算出复数z ，写出其共轭复数z ，即可根据复数的坐标表示选出答案．【详解】设复数z a bi =+，(2)(2)3423z i i ai b i b ∴+=-+=-⇒+=-，4a =-；4a ∴=-，5b =-；∴复数45z i =--，∴45z i =-+，复数z 在复平面内对应的点位于第二象限． 故选B ．【点睛】本题考查共轭复数与复数的坐标表示，属于基础题． 3. 若非零实数a 、b 满足23a b =，则下列式子一定正确的是（ ） A. b a > B. b a < C. b a < D. b a >【答案】C 【解析】 【分析】令23a b t ==，则0t >，1t ≠，将指数式化成对数式得a 、b 后，然后取绝对值作差比较可得．【详解】令23abt ==，则0t >，1t ≠，2lg log lg 2t a t ∴==，3lg log lg 3tb t ==， ()lg lg lg lg 3lg 20lg 2lg 3lg 2lg 3t t t a b -∴-=-=>⋅，因此，a b >. 故选：C.【点睛】本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题． 4. 已知α为锐角，3cos 5α=，则tan 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.13B.12C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】先利用半角公式（或二倍角公式）求得tan2α，再根据两角和正切公式求结果.【详解】∵α为锐角，3cos5α=，∴4sin5α，则2sin2sin cos222tan2cos2cos22αααααα==4sin1531cos215αα===++，∴1tan tan1422tan31421tan tan1422παπαπα++⎛⎫+===⎪⎝⎭--.故选：D【点睛】本题考查半角公式以及两角和正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.5. 已知f（k）＝k+（﹣1）k，执行如图所示的程序框图，若输出k的值为4，则判断框内可填入的条件是（）A. s＞3？B. s＞5？C. s＞10？D. s＞15？【答案】C【解析】【分析】根据程序框图依次计算得到答案.【详解】模拟执行程序框图，可得：k＝1，s＝1，s＝1，不满足判断框内的条件，执行循环体，k＝2，s＝4，不满足判断框内的条件，执行循环体，k＝3，s＝6，不满足判断框内的条件，执行循环体，k＝4，s＝11，此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出k的值为4.因此判断框内的条件可填：s ＞10？ 故选：C .【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力. 6. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2A -，()1,0N ，若动点M满足MA MO= ，则·OM ON 的取值范围是（ ）A. []0,2B. 0,⎡⎣C. []22-,D. -⎡⎣【答案】D 【解析】 【分析】设出M 的坐标为(,)x y ，依据题目条件，求出点M 的轨迹方程22(2)8x y +-=，写出点M 的参数方程，则·22os OM ON θ=，根据余弦函数自身的范围，可求得·OM ON 结果.【详解】设(,)M x y ，则∵MA MO=，()0,2A -=∴2222(2)2()x y x y ++=+∴22(2)8x y +-=为点M 的轨迹方程∴点M的参数方程为2x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数）则由向量的坐标表达式有：·22os OM ON θ=又∵cos [1,1]θ∈-∴2·2cos [22,22]OM ON θ=∈- 故选：D【点睛】考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积，属于中档题.求解轨迹方程的方法有：①直接法；②定义法；③相关点法；④参数法；⑤待定系数法7. 中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1~9这9数字表示两位数的个数为( )A. 13B. 14C. 15D. 16【答案】D 【解析】 【分析】6根算筹可分为1、5,2、4，3、3，再根据图示写出可能的组合，即可得出答案．【详解】根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示2714⨯=个两位数；数字组合3、3，7、7，每组可以表示1个两位数，则可以表示212⨯=个两位数； 则一共可以表示14216+=个两位数； 故选D ．【点睛】本题结合算筹计数法，考查排列与组合，属于基础题，本题的关键在于读懂题意． 8. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x ≥时,2()4f x x x =-,则不等式(2)5f x +<的解集为（ ） A. (3,7)-B. ()4,5-C. (7,3)-D. ()2,6-【答案】C 【解析】 【分析】首先求出当0x ≥时不等式的解集，在根据偶函数的对称性求出当0x <时不等式的解集，从而求出()5f x <的解集，则525x -<+<，即可得解.【详解】当0x ≥时,2()45f x x x =-<的解为05x <≤；当0x <时，根据偶函数图像的对称性知不等式()5f x <的解为5x 0-<<， 所以不等式()5f x <的解集为{}55x x -<<，所以不等式(2)5f x +<的解集为{}{}52573x x x x -<+<=-<<. 故选：C【点睛】本题考查偶函数的性质，涉及一元二次不等式，属于基础题.9. 已知双曲线C ：22221x y a b-=，O 为坐标原点，直线x a =与双曲线C 的两条渐近线交于A ，B 两点，若OAB ∆是边长为2的等边三角形，则双曲线C 的方程为（ ）A. 2213x y -=B. 2213y x -=C. 221124x y -= D.221412x y -= 【答案】A 【解析】 【分析】先根据双曲线性质得3a =，再根据渐近线求得1b =，即得双曲线C 的方程.【详解】由图可知，3a =且一条渐近线的倾斜角为30，所以3b a =，解得1b =，所以双曲线C的方程为2213x y -=.故选：A【点睛】本题考查双曲线的方程，考查基本分析求解能力，属基础题.10. 甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任意想一个数字，记为m ，再由乙猜想甲刚才想的数字，把猜出的数字记为n ，且m ，{}1,2,3n ∈，若1m n -≤，则称二人“心有灵犀”，现任意找二人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ） A.16B.13C.23D.79【答案】D 【解析】 【分析】由m ，{}1,2,3n ∈，分别作分类讨论，可写出9组数据，再结合古典概型公式计算即可 【详解】当1m =时，存在1,2,3n n n ===，3种情况，组合为()()()1,1,1,2,1,3； 当2m =时，存在1,2,3n n n ===，3种情况，组合为()()()2,1,2,2,2,3； 当3m =时，存在1,2,3n n n ===，3种情况，组合为()()()3,1,3,2,3,3；其中符合1m n -≤的组合为： ()()()()()()()1,1,1,2,2,1,2,2,2,3,3,2,3,37种情况， 故两人心有灵犀的概率为：79P = 故选：D【点睛】本题考查古典概型的基本求法，列举法、树状图法常用来求解此种题型，属于基础题11. 已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若方程()35f x =的解为1x ，2x （120x x π<<<），则()12sin x x -=（ ）A.35B. 45-C. 3-D. 【答案】B 【解析】【分析】由题意首先确定函数的对称轴，然后结合题意和三角函数的性质、同角三角函数基本关系和诱导公式即可确定()12sin x x -的值. 【详解】函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴满足：()262x k k Z πππ-=+∈，即()23k x k Z ππ=+∈，令0k =可得函数在区间()0,π上的一条对称轴为3x π=， 结合三角函数的对称性可知1223x x π+=，则：1223x x π=-，()122222sin sin 2sin 2cos 2336x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意：23sin 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且120x x π<<<，故12712312x x πππ<<<<， 2226x πππ<-<，由同角三角函数基本关系可知：24cos 265x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的对称性，诱导公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12. 已知函数21(),()2ln 2,()f x kx g x x e x e e==+≤≤，若()f x 与()g x 的图象上分别存在点M ，N ，使得MN 关于直线y e =对称，则实数k 的取值范围是（ ） A. 224[,]e e-- B. 2[,2]e e-C. 24[,2]e e-D.24[,)e -+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】设()M ,x kx ，则()N ,2x e kx -,推导出2k lnx x=-，由此利用导数性质能求出实数k 的取值范围.【详解】因为函数()()21,2ln 2,f x kx g x x e x e e ⎛⎫==+≤≤⎪⎝⎭的图象上分别存在点M ，N ，使得MN 关于直线y e =对称，所以设()M ,x kx ，则()N ,2x e kx -, 所以22ln 2e kx x e -=+，所以2k lnx x =-，222lnx k x+='-，由0k '=得x e =， 因为21x e e ≤≤，所以1,)x e e⎡∈⎢⎣时，0k '<，2k lnx x =-是减函数； 当2(,x e e ⎤∈⎦时，0k '>，2k lnx x=-是增函数， 所以x e =时，22k lne e e =-=-；当2x e =时，22224k lne e e =-=-， 当1x e=时，2121k ln ee e =-=；所以2min k e=-，2max k e =，所以实数的取值范围是22e e，⎡⎤-⎢⎥⎣⎦, 所以选B.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要构造函数，由导函数确定研究构造的函数的单调性，从而可求出结果.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13. 已知多项式5432()254367f x x x x x x =--+-+，则(5)f =________． 【答案】2677 【解析】 【分析】结合秦九韶算法，将5432()254367f x x x x x x =--+-+转化为()()()()5432()254367254367f x x x x x x x x x x x =--+-+=--+-+，然后由内至外逐步计算即可求出答案【详解】()()()()5432()254367254367f x x x x x x x x x x x =--+-+=--+-+令125,t x =- 当5x =时，12555t =⨯-=；则令214t t x =-，当15,5t x ==时，255421t =⨯-=； 则令323t t x =+，当221,5t x ==时，32153108t =⨯+=；则令436t t x =-，当3108,5t x ==时，410856534t =⨯-=； 则令547t t x =+，当4534,5t x ==时，5534572677t =⨯+=； 故(5)2677f = 故答案为：2677【点睛】本题考查秦九韶算法，将多项式转化为()()()()()254367f x x x x x x =--+-+至关重要，属于中档题14. 设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312n m n ++++的最小值为__________. 【答案】95【解析】 【分析】令1,2a m b n =+=+，则5a b +=，1312n m n ++++可化为111a b++，利用基本不等式可求11a b+的最小值，从而可得所求的最小值. 【详解】令1,2a m b n =+=+，则5a b +=，且13a <<，24b <<， 又1311112n m n a b++=++++， 而()()114222551151115b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++≥+= ⎪⎛⎫+=⨯+⎝⨯ ⎪⎝⎭⎭， 当且仅当52a b ==时等号成立， 故1312n m n ++++的最小值为95. 故答案为：95.【点睛】本题考查多变量代数式的最值问题，一般可用基本不等式来求最值，但需要对原代数式化简变形以便出现和为定值或积为定值的形式，注意利用基本不等式求最值时要验证等号是否成立.15. 设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()'fx ，若()()'1f x f x +>，()02020f =，则不等式()2019xxe f x e >+(其中e 为自然对数的底数)的解集为__________.【答案】()0,∞+ 【解析】 【分析】构造函数()()2019xxg x e f x e =--，由题意，只需解()0>g x 即可，利用导数研究()g x 的单调性即可得到答案.【详解】设()()2019x xg x e f x e =--，不等式()2019x xe f x e >+的解等价于不等式()0>g x 的解，因为''()(()()1)0xg x e f x f x =+->，所以()g x 在R 上单调递增，又(0)(0)120190g f =--=， 所以()0(0)g x g >=，所以0x >，所以原不等式的解集为()0,∞+ 故答案为：()0,∞+【点睛】本题主要考查构造函数利用函数的单调性解不等式，考查学生转化与化归思想，是一道中档题.16. 已知点A 是以BC 为直径的圆O 上异于B ，C 的动点，P 为平面ABC 外一点，且平面PBC ⊥平面ABC ，BC ＝3，PB ＝，PC =P ﹣ABC 外接球的表面积为______．【答案】10π 【解析】 【分析】由O 为△ABC 外接圆的圆心，且平面PBC ⊥平面ABC ，过O 作面ABC 的垂线l ，则垂线l 一定在面PBC 内，可得球心O 1一定在面PBC 内，即球心O 1也是△PBC 外接圆的圆心， 在△PBC 中，由余弦定理、正弦定理可得R .【详解】因为O 为△ABC 外接圆的圆心，且平面PBC ⊥平面ABC ，过O 作面ABC 的垂线l ，则垂线l 一定在面PBC 内，根据球的性质，球心一定在垂线l 上，∵球心O 1一定在面PBC 内，即球心O 1也是△PBC 外接圆的圆心，在△PBC 中，由余弦定理得cos B 222222PB BC PC BP BC +-==⋅，⇒sin B 22=， 由正弦定理得：2PC R sinB =，解得R 10=， ∴三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积为s ＝4πR 2＝10π， 故答案为10π．【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的表面积，将空间问题转化为平面问题，利用正余弦定理是解题的关键，属于中档题．一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题学生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 如图，在四棱锥E ABCD -中，ADE 是等边三角形，侧面ADE ⊥底面ABCD ，其中//AB DC ，24BD DC ==，3AD =，5AB =.（Ⅰ）F 是EC 上一点，求证：平面⊥BDF 平面ADE ；（Ⅱ）求三棱锥C BDE -的体积. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）35. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由勾股定理得BD AD ⊥，再由平面ADE ⊥平面ABCD ， 得BD ⊥平面ADE ，得证； （Ⅱ）由13C BDE E BCD BCD V V S EH --==⋅△，得112336335C BDE V -=⨯= 【详解】（Ⅰ）在ABD △中，4BD =，3AD =，5AB =222AB AD BD ∴+=，BD AD ∴⊥又平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE平面ABCD AD =，BD ∴⊥平面ADE ，BD ⊂平面BDF∴平面⊥BDF 平面ADE（Ⅱ）取AD 中点H ，由ADE 为等边三角形得EH AD ∴⊥ 平面ADE ⊥平面ABCD ，EH ∴⊥平面ABCD ，1·3C BDE E BCD BCD V V S EH --∴==△又因为ADE 中，332EH =， 在ABD △中，AB 边上的高341255⨯==112112(25)342525BCD ABCD ABD S S S ∆∴=-=⨯+⨯-⨯⨯=△ 112336335C BDE V -∴=⨯⨯=∴三棱锥C BDE -的体积为63.考点：空间中的位置关系、体积计算． 18. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，123a =，()1310n n n S nS ++-=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若*112,n n n n a b n S S ++=∈N ，求证：123n b b b +++<.【答案】（1）()3*423,n n a n n -=+⋅∈N ；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）题设中的递推关系可转化为131n n S S n n +=+，利用等比数列的通项公式可求n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项，从而求出n S 后可求{}n a 的通项公式.（2）利用裂项相消法可求{}n b 的前n 项和，从而可证不等式成立. 【详解】（1）∵()1310n n n S nS ++-=，∴131n n S S n n+=+，又12013S =≠，所以113n n S n S n++=， ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以23为首项，3为公比的等比数列，∴1223233n n n S n --=⨯=⨯，223n n S n -=⋅. 当2n ≥时，()()2331=23213423n n n n n n a S S n n n -----=⋅--⋅=+⋅；当1n =时，123a =符合上式，∴()3*423,n n a n n -=+⋅∈N . （2）证明：()1111122112n n n n n n n n nn S S a b S S S S S S +++++-⎛⎫===- ⎪⎝⎭，∴12122311111112n nn b b b S S S S S S +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111111223n S S S +⎛⎫=⨯-<⨯= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查数列通项的求法以及裂项相消法求和，后者应该根据通项的特征选择合适的求和方法.19. 根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如下图显示．()1已知[)30,40、[)40,50、[)50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a ，b 的值；()2该电子商务平台将年龄在[)30,50之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取5人，并在这5人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和为200元的概率． 【答案】(1)0.035a =，0.025b =.(2)35【解析】【详解】试题分析：(1)根据频率直方图中结论：所有频率之和为1，则有：(0.0150.0100.015)101a b ++++⨯=，即有：0.060a b +=，又由条件：[)30,40、[)40,50、[)50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，则有：20.015b a =+，解方程组得：0.035a =，0.025b =；(2) 根据(1)中：0.060a b +=，可得高消费人群所占比例为60100，有利用分层抽样从样本中抽取5人，其中属于高消费人群的为3人，属于潜在消费人群的为2人. 由古典概率模型的求法：令高消费的人为,,A B C ，潜在消费的人为,a b ，从中取出三人，例举总共有：,,,,,,,,,,ABC ABa ABb ACa ACb BCa BCb Aab Bab Cab 这10种情况，其中,,,ABa ABb ACa ,,ACb BCa BCb 为获得代金卷总和为200元的情况，运用概率公式可求出三人获得代金券总和为200元的概率.试题解析：(1) 根据频率直方图中结论：所有频率之和为1，则有：(0.0150.0100.015)101a b ++++⨯=，即有：0.060a b +=，又由条件：[)30,40、[)40,50、[)50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，则有：20.015b a =+，解方程组得：0.035a =，0.025b =根据(1)中：0.060a b +=，可得高消费人群所占比例为60100，有利用分层抽样从样本中抽取5人，其中属于高消费人群的为3人，属于潜在消费人群的为2人. 令高消费的人为,,A B C ，潜在消费的人为,a b ，从中取出三人，总共有：,,,,,,,,,,ABC ABa ABb ACa ACb BCa BCb Aab Bab Cab 10种情况， 其中,,,,,ABa ABb ACa ACb BCa BCb 为获得代金卷总和为200元的情况，因此，三人获得代金券总和为200元的概率为35. 考点：考查统计与概率的相关知识20. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(2,2)A ，点B 在抛物线C 上，且满足2OF FB FA =-（O 为坐标原点）.（1）求抛物线C 的方程；（2）过焦点F 任作两条相互垂直的直线l 与l D '，直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，直线l D '与抛物线C 交于M ，N 两点，OPQ △的面积记为1S ，OMN 的面积记为2S ，求证：221211S S +为定值. 【答案】（1）24y x =（2）见解析 【解析】 【分析】（1）先根据条件解得B 点坐标，代入抛物线方程解得p ，即得结果；（2）先设直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式求得1S 与2S ，最后代入化简221211S S +得结果. 【详解】（1）设11(,)B x y 11(,0),2(,0)(4,4)222p p pF OF FB FA x p y ∴=-⇒=--+- 11114,404,422p px p y x y =--+-=∴== 因为点B 在抛物线C 上，2242424p p y x ∴=⋅∴=∴=（2）由题意得直线l的斜率存在且不为零，设:1lx my =+，代入24y x =得2440y my --=，所以1212124,4||y y m y y y y +==-∴-==因此1211||1S 2y y =-⨯=2S =因此22222212211111114(1)4(1)4(1)44(1)m S S m m m m+=+=+=++++ 【点睛】本题考查抛物线方程以及直线与抛物线位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.21. 已知函数()2ln f x x x x =-+（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明当2a ≥时，关于x 的不等式()2(1)12a f x x ax <-+-恒成立；【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）令()()()221111122a g x f x x ax lnx ax a x ⎡⎤⎛⎫=--+-=-+-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值，从而证出结论即可； 解析：（1）()()2121'210x x f x x x x x-++=-+=＞，由f'（x ）＜0，得2x 2﹣x ﹣1＞0．又x ＞0，所以x ＞1，所以f （x ）的单调递减区间为（1，+∞），函数f （x ）的单增区间为（0，1）． （2）令()()()221111122a g x f x x ax lnx ax a x ⎡⎤⎛⎫=--+-=-+-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()()()2111'1ax a x g x ax a x x-+-+=-+-=，因为a≥2，所以()()11'a x x a g x x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， 令g'（x ）=0，得1x a =，所以当()10'0x g x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，＞，当1x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，g'（x ）＜0， 因此函数g （x ）在10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，是增函数，在1x a⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，是减函数， 故函数g （x ）的最大值为()2111111()1122g ln a a lna a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()12h a lna a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为()12204h ln =-＜，又因为h （a ）在a∈（0，+∞）是减函数， 所以当a≥2时，h （a ）＜0，即对于任意正数x 总有g （x ）＜0， 所以关于x 的不等式恒成立．点睛：这个题目考查的是利用导数研究函数的单调性和最值问题；证明不等式的恒成立问题；证明不等式恒成立问题一般采用以下方法：其一可以转化为函数最值问题，使得函数最值大于或者小于0；其二可以转化为两个函数的不等式关系，使得一个函数的最小值大于另一个函数的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为x y φφ⎧=⎪⎨=⎪⎩（φ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线3C 的极坐标方程为()0π,R θααρ=<<∈，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是曲线3C 与2C 的交点，A 、B 均异于原点O，且AB =α的值. 【答案】（1）(223x y +=，()2211x y -+=；（2）512π或1112π. 【解析】 【分析】（1）由题意消去参数即可得曲线1C 的普通方程，由极坐标方程、直角坐标方程转化公式可得2C 的直角坐标方程；（2）由题意结合极坐标方程、直角坐标方程转化公式可得曲线1C 的极坐标方程，设()1,A ρα，()2,B ρα，由ρ的几何意义可得4sin 6AB πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由特殊角的三角函数值即可得解.【详解】（1）由曲线1C 的参数方程消参可得曲线1C的普通方程为(223x y +=；曲线2C 极坐标方程可变为22cos ρρθ=，∴2C 的直角坐标方程为222x y x +=即()2211x y -+=；（2）曲线1C 化极坐标方程为ρθ=，设()1,A ρα，()2,B ρα，则1ρα=，22cos ρα=，∴122cos 4sin 6AB πρρααα⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，由AB =sin 62πα⎛⎫-=± ⎪⎝⎭， ∵0απ<<，∴5666πππα-<-<，∴64ππα-=或364ππα-=， ∴512πα=或1112πα=. 【点睛】本题考查了直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的转化，考查了ρ的几何意义的应用及运算求解能力，属于中档题.23. 已知函数()2f x x m x =--+（m R ∈），不等式()20f x -≥的解集为(] 4-∞，. （1）求m 的值；（2）若0a >，0b >，3c >，且22a b c m ++=，求()()()113a b c ++-的最大值. 【答案】（1）6m =（2）32 【解析】 【分析】()1利用绝对值不等式的解法求出不等式的解集,得到关于m 的方程,求出m 的值即可;()2由()1知6m =可得,212a b c ++=，利用三个正数的基本不等式a b c ++≥,构造和是定值即可求出()()()113a b c ++-的最大值. 【详解】（1）∵()2f x x m x =--+，()2222f x x m x ∴-=----+，所以不等式()20f x -≥的解集为(] 4-∞，, 即为不等式20x m x ---≥的解集为(] 4-∞，，- 21 - ∴2x m x --≥的解集为(] 4-∞，, 即不等式()222x m x --≥的解集为(] 4-∞，， 化简可得,不等式()()2220m m x ++-≥的解集为(] 4-∞，， 所以242m +=,即6m =. （2）∵6m =，∴212a b c ++=.又∵0a >，0b >，3c >，∴()()()()()()12231132a b c a b c ++-++-= ()()()333122311211232232323a b c a b c ++++-⎡⎤++⎛⎫⎛⎫≤===⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当且仅当1223a b c +=+=-,212a b c ++=等号成立,即3a =，1b =，7c =时，等号成立，∴()()()113a b c ++-的最大值为32.【点睛】本题主要考查含有两个绝对值不等式的解法和三个正数的基本不等式a b c ++≥的灵活运用;其中利用212a b c ++=构造出和为定值即()()()1223a b c ++-+-为定值是求解本题的关键;基本不等式a b +≥取最值的条件:一正二定三相等是本题的易错点;属于中档题.。
2020届甘肃省兰州市一中2017级高三高考冲刺一模考试数学(文)试卷及解析
2020届甘肃省兰州市一中2017级高三高考冲刺一模考试数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)一､选择题1.设集合{|2}A x Z x =∈≤,2{|1}B y y x ==-,则A B ⋂的子集个数为（ ）A. 4B. 8C. 16D. 32 【答案】C分析：求出集合A,B,得到A B ⋂,可求A B ⋂的子集个数 详解：{}{|2}{|22}2,1,0.1,2A x Z x x Z x =∈≤=∈-≤≤=--,2{|1}{|1},B y y x y y ==-=≤ {}2,1,0,1,A B ∴⋂=--A B ⋂的子集个数为4216.=故选C.2.已知复数z 满足(4)1i z i +=+,则z 的虚部为（ ）A. i -B. iC. 1-D. 1【答案】C【解析】根据复数的除法运算可得z ,再根据复数的概念可得答案.【详解】(4)1i z i +=+,141i z i i +∴+==-, 3z i ∴=--,∴复数z 的虚部为1-.故选：C.3.如图是某学校高三年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y 关于测试序号x 的函数图象,为了容易看出一个班级的成绩变化,将离散的点用虚线连接,根据图象,给出下列结论：①一班成绩始终高于年级平均水平,整体成绩比较好；②二班成绩不够稳定,波动程度较大；③三班成绩虽然多次低于年级平均水平,但在稳步提升.其中错误的结论的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】看图分析,①比较一班与年级平均成绩的大小；②看二班的成绩波动；③看三班的平均成绩,以及增减性,即可得到答案.【详解】由图可知,一班成绩始终高于年级平均水平,整体成绩比较好,故①正确； 二班的成绩有时高于年级整体成绩,有时低于年级整体成绩,特别是第六次成绩远低于 年级整体成绩,可知二班成绩不稳定,波动程度较大,故②正确；三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平,只有第六次高于年级整体成绩,但在稳步提升,故③正确.∴错误结论的个数为0.故选：A.4.我们从这个商标中抽象出一个图像如图,其对应的函数可能是( )A. ()211f x x =-B. ()211f x x =+C. ()11f x x =-D. ()11f x x =- 【答案】D【解析】。
2020年甘肃省兰州市第一中学高考冲刺模拟考试(三)数学试题(附答案解析)
2020年甘肃省兰州市第一中学高考冲刺模拟考试（三）数学试题一、单选题1．已知1z ，2z ∈C ．“120z z ==”是“1||z 220z +=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．设集合1{|}2S x x =>-，31{|21}x T x -=<，则S T =（ ）A ．∅B ．1{|}2x x <-C ．1{|}3x x >D ．22a x a+=3．将5本不同的书全部分给甲乙丙三人，每人至少一本，则不同的分法总数为（ ） A ．50B ．120C ．150D ．3004．将函数()sin 22sin cos 44f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列关于()g x 的结论错误．．的是（ ） A ．()g x 的最小正周期为πB ．()g x 的图象关于点,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．()g x 的图象关于直线512x π=对称 D ．()g x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增 5．若0.330.30.3,0.3,3a b c ===，则,,a b c 的大小顺序是（ ） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b a c <<6．某地为了调查去年上半年A 和B 两种农产品物价每月变化情况，选取数个交易市场统计数据进行分析，用i a 和i b 分别表示A 和B 两的当月单价均值（元/kg ），下边流程图是对上述数据处理的一种算法（其中2,3a b ==），则输出的值分别是（ ）A ．11,6060S T ==B ．71,3060S T == C ．77,3030S T == D ．17,6030S T == 7．（福建省厦门市2018届二模）已知某正三棱锥的侧棱长大于底边长，其外接球体积为，三视图如图所示，则其侧视图的面积为（ ）A ．B ．2C ．4D ．68．已知函数()()1f x x R +∈为奇函数，且当1≥x 时，()121,121,21x x f x x x -⎧-≤<⎪=⎨≥⎪-⎩；定义在{}1x x≠上的函数()g x 满足()()2g x g x -=，当1x >时，()()2log 1g x x =-，若存在实数1x ，使得()()1f x g k =成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[)(]1,11,3-B ．131,,322⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．13,11,22⎡⎫⎛⎤⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦D ．(][),13,-∞-+∞9．已知函数()()2ln xxf x e ex-=++，则使得()()230f x f x -+>成立的x 的取值范围是（ ）A ．()1,3-B ．()(),33,-∞-+∞C ．()(),13,-∞-+∞D ．()3,3-10．函数()f x 是定义在区间()0,∞+上的可导函数，其导函数为()f x '，且满足()()20xf x f x '+>，则不等式(2020)(2020)3(3)32020x f x f x ++<+的解集为( )A ．{}|2017x x >-B ．{}|2017x x <-C ．{}|20200x x -<<D ．{}|20202017x x -<<-11．在直角ABC ∆中，BCA ∠=90°，1CA CB ==，P 为AB 边上的点且AP AB λ=，若CP AB PA PB ⋅≥⋅，则λ的取值范围是（ ）A ．2,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,22⎡+⎢⎣⎦D ．1122⎡⎢⎣⎦12．已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过作圆x 2+y 2=a 2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ，且|BC|=|CF 2|，则双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．√10C ．√5+2√3D ．√5−2√3二、填空题13．曲线()2ln 1y x x =+在1x =处的切线方程为______.14．若连结正三角形各边中点得到的三角形与原三角形的面积之比为14，类比到正四面体中，连结正四面体的中心得到的四面体与原四面体的体积之比为__________．15．若a ≥262()x ay y x -的展开式中的常数项的最小值为__________． 16．已知椭圆22221(0)x y a b c a b+=>>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若以2F 为圆心，b c -为半径作圆2F ，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且PT 的最小值不小于()2a c -，则椭圆的离心率e 的取值范围是________.三、解答题17．如图，圆锥顶点为.底面圆心为，其母线与底面所成的角为.和是底面圆上的两条平行的弦，轴与平面所成的角为，（Ⅰ）证明：平面与平面的交线平行于底面；（Ⅱ）求.18．已知函数()ln 1x f x x+=. （1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）若对任意的1x >，恒有()ln 11x k kx -++≤成立，求k 的取值范围；（3）证明：()()2222ln 2ln 3ln 21,22341n n n n N n n n +--++⋅⋅⋅+<∈≥+.19．在平面直角坐标系xOy 中，设直线1:x tl y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线2cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）求直线l 与曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 的坐标为(1,0)，且直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求||||PA PB ⋅的值. 20．已知正项等比数列{}n a 中，112a =，且234,,1a a a -成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若224log n n b a -=，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 21．大庆实验中学在高二年级举办线上数学知识竞赛，在已报名的400名学生中，根据文理学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：（1）估算一下本次参加考试的同学成绩的中位数和众数；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数； （3）已知样本中有一半理科生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的文理科生人数相等．试估计总体中理科生和文科生人数的比例．22． 设不等式2120x x -<--+<的解集为M ，,a b M ∈.（1）证明：111364a b +<； （2）若函数()2123f x x x =++-，关于x 的不等式()()22log 32f x a a -->恒成立，求实数a 的取值范围.23．在平面直角坐标系中，()1,0M ，()4,0N ，动点R 满足2RN RM =．()1求点R 的轨迹方程C ；()2过点()0,1P 的直线l 与()1中的轨迹方程C 交于点A ，B ，与x 轴交于点Q ，设QA PA λ=，QB PB μ=，求证：λμ+为定值．【答案与解析】1．A根据充分条件和必要条件的定义分析可得答案.显然“120z z ==”是“1||z 220z +=”的充分条件，当121,z z i ==时，满足1||z 220z +=，但是不满足120z z ==，所以“120z z ==”不是“1||z 220z +=”的必要条件，所以“120z z ==”是“1||z 220z +=”的充分不必要条件.故选：A本题考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题. 2．D先解出集合T,然后集合T 与集合S 取交集即可.{}{}{}313101|21|22|310|3x x T x x x x x x --⎧⎫=<=<=-<=<⎨⎬⎩⎭,集合12S x x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，则11{|}23S T x x ⋂=-<< 故选：D本题考查集合的交集运算，属于基础题. 3．C分析：分两种情况：一人得3本，另两个人各得1本；一人得1本，另两个人各得2本，分别求出不同的分法即可得结果.详解：分两种情况：一人得3本，另两个人各得1本，有31253260C A A =种分法，一人得1本，另两个人各得2本，有11253490C A A =种分法，共有9060150+=种分法，故选C.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.4．C按照函数平移后的规律将()g x 的函数解析式写出，一一判断各个选项可得答案.解：()sin 2sin 2sin 2cos2224f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而()2212412g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于A ：T π=，()g x 的最小正周期为π，故A 正确； 对于B ：024g π⎛⎫=⎪⎝⎭，()g x 的图象关于点,024π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故B 正确； 对于C ：5112g π⎛⎫=⎪⎝⎭，不是取最值，故()g x 的图象不关于直线512x π=对称，故C 错误； 对于D ：当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,121212x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，由正弦函数性质可得()g x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，故D 正确. 故选：C .本题主要考查正弦型函数的图像与性质及函数的平移，根据已知条件得出平移后的函数解析式式解题的关键. 5．D借助中间值1以及指数函数,30.3x xy y ==的单调性，即得解.由指数函数,30.3x xy y ==的单调性可知：30.300.30.310.3<<=，00.313<3<故选：D本题考查了指数函数单调性在比较大小中的应用，考查了学生数学运算的能力，属于基础题. 6．D流程图功能为求方差：17[0.040.010.0100.040.04]630T =+++++= 11[00.010.0400.010.04]660S =+++++= ，选D.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通。
甘肃兰州一中2020届高考冲刺模拟试卷3 数学(文)(含答案)
甘肃兰州一中2020届高考冲刺模拟试卷3数学（文）第 Ⅰ 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}21|A x log x =<，集合{}|2B y y x ==-，则A B =( )A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．()0,2D ．[)0,+∞2．若复数z ＝1+i +i 2+i 3+…+i 2021，则复数z 对应的点在第( )象限 A ．一B ．二C ．三D ．四3．已知非零向量a b ，满足4b a ＝，且2)+(a a b ⊥，则a 与b 的夹角为( ) A ． B ． C ． D ．4．为了得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos 2y x =的图象( ) A ．向左平移512π个单位 B ．向右平移512π个单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向左平移6π个单位 5．已知3log 0.8a =，0.83b =， 2.10.3c =，则( ) A ．a ab c <<B ．ac b c <<C ．ab a c <<D ．c ac b <<6．函数()ln |||sin |f x x x =+（,x ππ-≤≤且0x ≠）的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．7．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家.他一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面，特别是在探索圆周率π的精确度上，首次将“π”精确到小数点后第七位，即 3.1415926π=，在此基础上，我们从“圆周率”第三到第八位有效数字中随机取两个数字a ，b ，则事件“||3a b -≤”的概率为( ) A ．13B ．815C ．23D ．7158．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的圆弧为14圆周，则该几何体的体积为( )A ．12π+B ．136π+ C ．12π+ D ．1233π+ 9．“斐波那契数列”是数学史上一个著名数列，最初是由意大利数学家斐 波那契于1202年通过兔子繁殖问题提出来的．在斐波那契数列{}n a中，11a =，21a =，()*21n n n a a a n N ++=+∈．某同学设计了一个如图所示的求斐波那契数列前n 项和S 的程序框图，若88S =，那么内填入( )A ．7≤iB ．8≤iC ．9≤iD ．10≤i10．已知函数()()lg ,1lg 2,1x x f x x x ≥⎧=⎨--<⎩，()3g x x =，则方程()()1f x g x =-所有根的和等于( )A ．1B ．2C ．3D ．411．现有边长均为1的正方形､正五边形､正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为1l ，2l ，3l ，4l ，则( )A ．1234l l l l <<<B ．1234l l l l <<=C ．1234l l l l ===D ．1234l l l l ==<12．已知函数()x x f x xe e =-，函数()g x mx m =-（0m >），若对任意的1[22]x ∈-，，总存在2[22]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数m 的取值范围是( )A ．21[3,]3e -- B ．2[,)e +∞ C ．21[,]3eD ．1[,)3+∞第 Ⅱ 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若x ，y 满足约束条件1123x x y -≤≤⎧⎨+≤⎩，则x y -的最小值为______________.14．已知l 为曲线ln a x y x +=在(1,)a 处的切线，当直线l 与坐标轴围成的三角形面积为12时，则实数a 的值为____________.15．已知三棱锥D ABC -四个顶点均在半径为R 的球面上，且2AB BC ==，2AC =，若该三棱锥体积的最大值为43，则这个球的表面积为__________. 16．如图，在平面直角坐标系xOy ，中心在原点的椭圆与双曲线交于,,,A B C D 四点，且它们具有相同的焦点12,F F ，点12,F F 分别在 ,AD BC 上，则椭圆与双曲线离心率之积12e e ⋅=______________.三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*22,n n S a n N =-∈.（Ⅰ）求证：数列{}n a 为等比数列； （Ⅱ）设数列2{}n a 的前n 项和为n T ，求证：2nnS T 为定值； （Ⅲ）判断数列{}3nn a -中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论. 18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知13BCC π∠=，1BC =，12AB C C ==，点E 是棱1C C 的中点.（Ⅰ）求证：1C B ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求1BA 与平面11A B E 所成角的正弦值.19．某城市对一项惠民市政工程满意程度（分值：分）进行网上调查，有2000位市民参加了投票，经统计，得到如下频率分布直方图（部分图）：现用分层抽样的方法从所有参与网上投票的市民中随机抽取n 位市民召开座谈会，其中满意程度在[0,20)的有5人．（Ⅰ）求n 的值，并填写下表（2000位参与投票分数和人 数分布统计）； 满意程度（分数）[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]人数（Ⅱ）求市民投票满意程度的平均分（各分数段取中点值）；（Ⅲ）若满意程度在[0,20)的5人中恰有2位为女性，座谈会将从这5位市民中任选两位发言，求男性甲或女性乙被选中的概率．20. 已知函数3()ln ()f x x a x a R =-∈. （ Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（ Ⅱ）若函数()y f x =在区间(1,]e 上存在两个不同零点，求实数a 的取值范围.21. 已知圆()22:11M x y ++=，圆()22:19N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（ Ⅰ）求C 的方程；（ Ⅱ）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求AB ．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为252x m ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，以x 轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系相同的长度单位.圆C 的方程为25,l ρθ=被圆C 2. （Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为(5)m ，且0m >，求PA PB +的值.23．已知()2121f x x x =++-. （Ⅰ）解不等式()(1)f x f >； （Ⅱ）若不等式11()(0,0)f x m n m n ≥+>>对任意x ∈R 的都成立，证明：43m n +≥. 参考解答1．D 【解析】{}|02A x x =<<，{}|0B y y =≥；∴[)0,A B =+∞．故选D ．2．D 【解析】z ＝1+i+i 2+i 3+…+i 2019+3434i i-+＝（1+i ﹣1﹣i ）+…+（1+i ﹣1﹣i ）+534i +＝0+5(34)(34)(34)i i i -+-＝345i-，∴复数z 对应的点在第四象限．3．C 【解析】220a b a ∴⋅+＝2()()20++2+20a a a b a a b a b ⊥∴⋅∴⋅，＝，＝， 即220cos a a a b b +〈，〉＝.224240b a a a cos a b ∴＝，＋〈，〉＝，12cos ,,,23a b a b π∴〈〉=-∴〈〉=.4．B 【解析】因为sin26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，且cos2y x ==sin 22x π⎛⎫+⎪⎝⎭=sin 24x π⎛⎫+⎪⎝⎭，所以由φ4x π++= 6x π-，知5φ6412πππ=--=-，即只需将cos2y x =的图像向右平移512π个单位，故选B.5．C 【解析】33log 0.8log 10a =<=,0.80331b =>=,()2.10.30,0.3c =∈,故0a <,1b >,01c <<.对A,若()10a ab a b <⇒-<,不成立.故A 错误.对B,因为1c b <<,故B 错误.对C,ab a c <<成立.对D, 因为0ac c <<,故D 错误.6．D 【解析】函数()ln |||sin |f x x x =+（,x ππ-≤≤且0x ≠）是偶函数，排除B ；当0x >时，()ln sin f x x x =+，可得：()1cos f x x x '=+，令1cos 0x x+=，作出1y x=与cos y x =-图像如图： 可知两个函数有一个交点，就是函数的一个极值点，()ln 1fππ=>，排除C ；当0x x =时，()00f x '=，故()00,x x ∈时，函数()f x 单调递增，()0,x x π∈时，函数()f x 单调递减，排除A.7．B 【解析】由题意可知第三到第八位有效数字为4，1，5，9，2，6，则取到数字a ，b 的情况有(4,1)，(4,5)，(4,9)，(4,2)，(4,6)，(1,5)，(1,9)，(1,2)，(1,6)，(5,9)，(5,2)，(5,6)，(9,2)，(9,6)，(2,6)，共15种，其中符合条件的有8种，故所求概率815P =.故选：B.8．B 【解析】根据三视图知，该几何体是三棱锥与14圆锥体的组合体，如图所示；则该组合体的体积为21111111212323436V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+；所以对应不规则几何体的体积为136π+．故选B ．9．B 【解析】按照程序框图运行程序，输入1a =，1b =，3i =，则112S =+=，112c =+=，224S =+=，1a =，2b =，满足所填条件，循环；4i =，123c =+=，437S =+=，2a =，3b =，满足所填条件，循环； 5i =，235c =+=，7512S =+=，3a =，5b =，满足所填条件，循环； 6i =，358c =+=，12820S =+=，5a =，8b =，满足所填条件，循环； 7i =，5813c =+=，201333S =+=，8a =，13b =，满足所填条件，循环； 8i =，91321c =+=，332154S =+=，13a =，21b =，满足所填条件，循环； 9i =，132134c =+=，543488S =+=，21a =，34b =，不满足所填条件，输出结果88S =，∴所填条件应为8i ≤.故选：B .10．C 【解析】设点(),x y 是函数lg ,1y x x =≥图象上任意一点，它关于点()1,0的对称点为()'',x y ，则22,0x x x x y y y y +==-⎧⎧∴⎨⎨+=='-''⎩'⎩，代入lg y x =，得()()'''''lg 2,lg 2,1y x y x x -=-∴=--≤.∴函数lg ,1y x x =≥的图象与函数()lg 2,1y x x =--≤的图象关于点()1,0对称，即函数()()lg ,1lg 2,1x x f x x x ≥⎧=⎨--<⎩的图象关于点()1,0对称，易知函数()f x 在定义域R 上单调递增.又函数()3g x x =的图象关于原点()0,0对称，∴函数()1y g x =-的图象关于点()1,0对称，且函数()1y g x =-在定义域R 上单调递增.又()()0111,1f g x =-=∴=是方程()()1f x g x =-的一个根.当1x ≥时，令()()()()31lg 1h x x x g x f x -=--=-，则()h x 在[)1,+∞上单调递减.()()3833313132lg 210,lg lg lg100,20222282102h h h h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<=-=-=>∴< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=，根据零点存在定理，可得()h x 在3,22⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点1x ，根据()h x 的单调性知()h x 在()1,+∞上有且只有一个零点1x ，即方程()()1f x g x =-在()1,+∞上有且只有一个根1x .根据图象的对称性可知方程()()1f x g x =-在(),1-∞上有且只有一个根2x ，且122x x +=.故方程()()1f x g x =-所有根的和等于1213x x ++=.11．B 【解析】由题意可知，它们的中心滚动一周的运动轨迹都是圆心角为2π的弧长， 设半径分别为r 1，r 2，r 3，r 4，由题意可知，半径为中心与顶点的距离， 又因为正方形、正五边形、正六边形的边长均为1，圆的半径为1，对于正方形，如图所示：，∵∠AOB ＝90°，∴122r =； 对于正五边形，如图所示：，∵∠AOB ＝72°＜90°，∠OAB ＝∠OBA ＝54°＜72°， ∴r 1＜r 2＜1；对于正六边形，如图所示：，∠AOB ＝60°，∴△AOB 为等边三角形，∴r 3＝OA ＝1； 而 r 4＝1，又因为l 1＝2π•r 1，l 2＝2π•r 2，l 3＝2π•r 3，l 4＝2π•r 4，所以l 1＜l 2＜l 3＝l 4，故选：B ． 12．B 【解析】由题意，函数()(1)xf x e x =-的导数为()xf x xe '=，当0x >时，()0f x '>，则函数()f x为单调递增；当0x <时，()0f x '<，则函数()f x 为单调递减，即当0x =时，函数()f x 取得极小值，且为最小值1-，又由()2223,(2)f e f e --=-=，可得函数()f x 在[2,2]-的值域2[1,]e -，由函数()(0)g x mx m m =->在[2,2]-递增，可得()g x 的值域[3,]m m -，由对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得12()()f x g x =，可得2[1,][3,]e m m -⊆-，即为231m m e-≤-⎧⎨≥⎩，解得2m e ≥，故选B.13．3-【解析】作出不等式组表示的可行域，由123x x y =-⎧⎨+=⎩可得12x y =-⎧⎨=⎩，设()1,2A -.当直线0x y z --=经过点A 时，z 取得最小值3-.故答案为：3-.14．0或34【解析】因为2'1ln a x y x --=，所以'(1)1y a =-，所以切线的方程为：(1)(1)y a a x -=--，令0x =得：21y a =-；令0y =得：121ax a-=-，所以211|21|1||||22|1|2a S x y a -=⋅⋅=⋅=-，解得：a =0或34.15．28916π【解析】设△ABC 的外接圆的半径为r ，因为2AB BC ==2AC =，所以222AB BC AC +=，AB BC ⊥.112ABC S AB BC =⨯⨯=.设D 到平面ABC 的距离为h ，因为三棱锥体积的最大值为43，即max max 14133V h =⨯⨯=，所以max 4h =.设球体的半径为R ，则222(4)1R R -+=，解得178R =. 221728944()816S R πππ==⨯=.16．1【解析】设椭圆和双曲线方程分别为()221122111,0x y a b a b +=>>，()222222221,,0x y a b a b -=>，设点()0,B c y ，由点B 既在椭圆上也在双曲线上，则有2202211222111y c a b a c b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得22221101111b ac c y a a a a -===-2202222222221y c a b c a b ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，解得22222202222b c a c y a a a a -===-,则()22212121212c a a c c a a a a a a ++=+=， 即2121211c c c a a a a ⎛⎫⎛⎫=⇒= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，121e e ∴=.17．【解析】（1）当1n =时，1122,S a =-，解得12a =.当2n ≥时，()()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，即12n n a a -=. 因为10a ≠，所以12nn a a -=，从而数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2nn a =. （2）因为()2224nn n a ==，所以2124n na a +=，故数列{}2n a 是以4为首项，4为公比的等比数列， 从而()()2221224112nnnS-==--，()()414441143n nn T -==--，所以232nn S T =.（3）假设{}3nn a -中存在第,,()m n k m n k <<项成等差数列，则()2333n m k n m k a a a -=-+-，即()233232nm m k kn a -=-+-.因为m n k <<，且*,,m n k N ∈，所以1n k +≤.因为()112332323232nm m k k m m n n n a ++-=-+-≥-+-，所以332n m m -≥-，故矛盾，所以数列{}3nn a -中不存在三项成等差数列.18．【解析】（1）由题意，因为1BC =，12CC =，13BCC π∠=，由余弦定理可得13BC因为22211BC BC CC +=，所以1BC BC ⊥，又因为AB ⊥侧面11BB C C ，所以1AB BC ⊥，又由AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABC ，所以直线1C B ⊥平面ABC . （2）在11BB C C 中，1BC CE ==且13BCC π∠=，可得1BE =，又由1111B C C E ==且123BC E π∠=，所以13B E =.又因为112BB C C ==，则22211BE B E B B +=，即1BE B E ⊥，因为AB ⊥平面11BB C C ，所以11A B ⊥平面11BB C C ，则11A B BE ⊥，又由11A B ⊆平面11A B E ，1B E ⊆平面11A B E 且1111A B B E B ⋂=，则11BE A B E ⊥，则1BA E ∠为所求1BA 与平面11A B E 所成角，在直角1A BE ∆中，所以112sin 422BE BA E BA ===∠. 19．【解析】（1）易知投票满意度分数在区间[0,20)的人数为20000.00520200⨯⨯=，由20052000n=，解得50n =．所以分数在区间[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]的人数分别为320,400,600,480．填入下表得：满意程度（分数）[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]人数200320400600480（2）市民投票满意程度的平均分为200320400600480103050709058.420002000200020002000⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （3）设5人中2位女性为a ，乙，3位男性为甲，,b c ，则基本事件有（a ，甲），(,),(,)a b a c ，（乙，甲），（乙，b ），（乙，c ），（a ，乙），（甲，b ），（甲，c ），(,)b c 共10个，其中男性甲或女性乙被选中的事件有（a ，甲），（乙，甲），（乙，b ），（乙，c ），（a ，乙），（甲，b ），（甲，c ），共7个，所以男性甲或女性乙被选中的概率为710． 20．【解析】（1）∵()323'3(0)a x af x x x x x-=-=>.①若0a ≤时，()'0f x >，此时函数在()0,+∞上单调递增；②若0a >时，又()33'0x af x x-==得33a x =33a x ⎛∈ ⎝时()'0f x <，此时函数在33a ⎛ ⎝上单调递减；当3,3a x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时()'0f x >，此时函数在3,3a ⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增； （2）由题意知：3ln x a x =在区间(]1,e 上有两个不同实数解，即函数y a =图像与函数()3ln xg x x=图像有两个不同的交点，因为()()()223ln 1'ln x x g x x -=，令()'0g x =得3x e =所以当(3x e ∈时，()'0g x <，函数在(3e 上单调递减，当3,x e e ⎤∈⎦时，()'0g x >，函数在3,e e ⎤⎦上单调递增；则()3min 3g x ge e ==，而311272791272727ln e g e e e ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，且()327g e e =<，要使函数y a =图像与函数()3ln x g x x=图像有两个不同的交点，所以a 的取值范围为(33,e e ⎤⎦. 21．【解析】依题意，圆M 的圆心(1,0)M -，圆N 的圆心(1,0)N ，故42PM PN +=>，由椭圆定义可知，曲线C 是以M 、N 为左右焦点的椭圆（左顶点除外），其方程为221(2)43x y x +=≠； （2）对于曲线C 上任意一点(,)P x y ，由于|PM|-|PN|=2R-2≤3-1=2（R 为圆P 的半径），所以R=2，所以当圆P 的半径最长时，其方程为22(2)4x y -+=；若直线l 垂直于x 轴，易得23AB =；若直线l 不垂直于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1QP RQMr =，解得(4,0)Q -，故直线l ：(4)y k x =+；有l 与圆M 2311kk =+，解得24k =±；当24k =时，直线224y x =+187AB =；同理，当24k =-时，187AB =. 22．【解析】（Ⅰ）由25sin ρθ=得22250,x y +-=即(2255x y +-=. 直线的普通方程为50x y m +-=， 被圆C 22，即05522m +--=解得33m m ==-或. （Ⅱ）法1：当3m =时，将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程得，())223225tt-+=，即223220t t -+=，由于(2324420∆=-⨯=>，故可设12t t ，是上述方程的两实根，所以12123221t t t t ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，又直线l 过点(5P ，故由上式及t 的几何意义得，PA PB += 122(|t |+|t |)= 122(t +t )= 32 法2：当3m =时点(35P ，，易知点P 在直线l 上. 又223555+>，所以点P 在圆外.联立(2255350x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+--=⎩消去y 得，2320x x -+=.不妨设((21+51,2+5A B ，、，所以PA PB +=22232=23．【解析】（Ⅰ）()()1f x f >就是21215x x ++->.（1）当12x >时，()()21215x x ++->，得1x >. (2)当112x -≤≤时，()()21215x x +-->，得35>，不成立.（3）当1x <-时，()()21215x x -+-->，得32x <-.综上可知，不等式()()1f x f >的解集是()312⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，. （Ⅱ）因为()()2121222122213x x x x x x ++-=++-≥+--=， 所以113m n+≤. 因为0m >，0n >时，1112m n mn +≥13mn≤23mn ≥.所以423m n mn +≥.。
甘肃省兰州市2020年高考实战模拟考试数学文科试题含答案【推荐】.doc
兰州市2020年高考实战模拟考试文科数学第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合M 二{一1,0,1,2,3}，N 二{x|x2 -2x5}，则Mf^N 二（）A {1,2}B . {2,3}C • {-1,0,3}D . {0,1,2}a —i2. 设i是虚数单位，若复数D （a- R）的实部与虚部相等，则a二（）1 +iA. -1 B . 0 C . 1 D . 23. 已知等差数列{a.}的公差为2，若a1,a3,a4成等比数列，则a^ （）A. 2 B . 0 C . -2 D . -4F ⑴口口$ 4叫呻jr4. 已知向量 a =（sin ：• ,cos ：•），b =（cos :,sin -），且a 与b 的夹角为 v ,则“ | a - b |=1 ” 是“ v - —”3 的（）A.充分不必要条件 B •必要不充分条件 C. 充要条件 D •既不充分也不必要5. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A. 2014 B . 2015 C. 2016 D . 2017x 一0 I 16.若变量x, y满足约束条件^>0 ，则z = 2x U(—)y的最大值为( )、3x + 4y 兰12 2A. 16 B . 8 C. 4 D . 3数，则这两函数奇偶性相同的概率为(1C.28.某几何体的三视图如图所示，则下列说法正确的是(1① 该几何体的体积为 —；6② 该几何体为正三棱锥；3③ 该几何体的表面积为 一 •、3；2④ 该几何体外接球的表面积为 3二.!KK正视圈 伺辄图A .①②③B .①②④ C. ①③④ D .②③④2 21 29. 若直线ax by ^0(a 0, b 0)把圆(x 4) (y 1) =16分成面积相等的两部分， 则——--2a b的最小值为( )A . 10B . 8 C. 5 D. 410. 已知长方体ABCD-ABGD 1中，AA 二AB 二'•，一 , AD =1，则异面直线BC 和GD 所成角的 余弦值为( )A .丄B .卫C. 辽 D .二43 6 611. 以F(0, &)( p - 0)为焦点的抛物线C 的准线与双曲线x 2 - y 2 =2相距相交于M ,N 两点，若2MNF 为正三角形，则抛物线 C 的方程为()7.已知函数：①y =x 3 • 3x 2:②y x ._xe e_2:③y 3 _ x=log 2:④y = xs in x ，从中任取两个函 3 + xA. y2 =2、6x B . y2 =4.6x C. x2 =2、、6y D . x2 =4,6y12. 已知奇函数f (x)是R上的单调函数，若函数y = f(2x2“厂f「-x)只有一个零点，贝U实数'的值是( )73D .88第U 卷(共90 分)二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)x 2v 213. 双曲线二牙=1(a 0,b ■ 0)的一条渐近线的方程为y 二x ，则该双曲线的离心率a be = ________ .14. 观察下列式子：1, 1 2 1 , 1 2 3 2 1, 12 3 4 3 21，…，由以上可推测出一 个一般性结论：对于 n • N*，则1 • 2 • III • n •川• 2 • 1二 ___________ . i i1i15. 已知函数：① f (x)二 2sin(2 x ):② f (x)二 2sin(2 x ):③ f (x)二 2sin( x ):④3 6 2 31 HTtf(x)=2sin( x ) •其中，最小正周期为 二且图象关于直线x对称的函数序号是 ___________ .2 3316. 对于正整数n ，设曲线y 二x n(1 - x)在x = 2的切线与平面直角坐标系的 y 轴交点的纵坐标为，则数列｛log 2丑｝的前10项等于 _____________ . n 十1三、 解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 在二ABC 中，A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，若 tan A tanC=、3(tan AtanC-1). (1) 求角B ;(2) 如果b = 2，求 ABC 面积的最大值.18. 随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们交流的一种形式，某机构对“使用微信交流”的态度进行(1)若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面 2 2列联表，并判断是否有 99%的把握 认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关；A.C.年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁前人数合计赞成不赞成合计(2)若从年龄在［55,65)的被调查人中随机选取 2人进行追踪调查，求 2人中至少有1人不赞成“使 用微信交流”的概率•参考数据:0」5 0.100-05 0.025 0.010 0,005 0.00] *02.072 '2.7063.841[5_02466357,87910,828n(ad - ftc):苏莎齐二莎齐其中"”办"〃)ABCDEFG 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE _平面ABCD ，EF//AB ，EG//AD ，EF 二 EG=1.(2) 在AC 上是否一点H ，使得EH //平面CFG ?若存在，求出 CH 的长；若不存在，请说明理 由•'1 '20. 已知函数f(x)的导函数为f (X )，且f(x) f (1)x xl nx .2(1) 求函数f (x)的极值；(2) 若k • Z ，且f (x) • k(x -1)对任意的x • (1/ :-)都成立，求k 的最大值. 21. 已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为£(-2,0)，点B(2还 在 椭圆C 上，直线y 二kx(k=0)与椭圆C 交于P,Q 两点，直线 AP, AQ 分别与y 轴交于点M ,N . (1)求椭圆C 的方程；19.如图所示的空间几何体C(1) 求证：平面 CFG _平面ACE ；（2）以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4 :坐标系与参数方程X = 2C0S V在平面直角坐标系中，已知点B（1,1），曲线C的参数方程为_ （二为参数），以坐标原点0y =43s in 6为极点，以X轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A的极坐标为（4、2,一），直线I的极坐标方程为4「cosC…一）=a，且I过点A ；过点B与直线I平行的直线为h，h与曲线C相交于两点M , N •4（1）求曲线C上的点到直线I距离的最小值；（2）求| MN |的值•23. 选修4-5 :不等式选讲已知函数f（x） =|X -1| |X a|.（1 ）当a =3时，解关于x的不等式|x -1| |x ■ a | ■ 6 ；（2）若函数g（x）= f （x）-1 3 • a |存在零点，求实数a的取值范围.试卷答案一、选择题1-5 DBACC 6-10 ADBBA 11 、12：DC、填空题13. 2 14. n215. ②16.55三、解答题_tan A 亠 tan C -. 17. (1 )••• tan A tanC = 3(tan Atan C -1)，即 31 -tan Atan C2*2 b2(2)在AABC 中，由余弦定理有， cosB = ?2ac2 2-a c -2ac ,ac 辽4，当且仅当a =c =2时，取等号,••••ABC 的面积 S=〔acsi n B _ 丄3 4 、3 , 242 nGd-比厂 =50X(10X3-10X2"?=」l.：.!■ . .1：= ■ I?： - JI.' 'll所以有99%的把握认为年龄45岁为分界点对使用微信交流的态度有差异；(H)设年龄在［55,65)中不赞成“使用微信交流”的人为A 、B 、C ,赞成“使用微信交流”的人为a,b , 则从5人中随机选取2人有AB, AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,ab , 10个结果；其中2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的有AB, AC, Aa, Ab, BC, Ba, Bb, Ca, Cb , 9个结果，所以2人中至少9有1人不赞成“使用微信交流”的概率为 P 二一.1019.(I)证明：连接 BD 交AC 于点O ，贝U BD _ AC设AB , AD 的中点分别为 M , N ，连接MN ，则MN // BD ,连接 FM , GN ，则 FM // GN 且 FM -GN ，所以 MN // FG ，所以 BD // FG 由于AE —平面ABCD ，所以 AE — BD••• tan (A C) - - 一 3，又•••A B C -二，•• tan B - . 3由于B 为三角形内角，故Bji-3疋 9.98 > 6.635,根据公式计算故. ABC 的面积的最大值为：318. (I )由以上统计数据填写下面 2X 2列联表，如下;所以FG _ AC , FG _ AE，所以FG _平面ACE所以平面CFG _平面ACE .CH =EQ =(2)设平面ACE交FG于Q，则Q为FG的中点，连接EQ,CQ，取CO的中点为H，则CH //EQ , 所以四边形EQCH为平行四边形，所以EH //CQ ,H，使得EH //平面CFG，且CH所以，在AC上是存在一点所以EH //平面CFG，' 1 '20. ( 1) f (x) f (1) 1 ln x，2- ' 1 ' ' 所以f (1) f (1) 1 In 1，即f (1)=22所以f (x)二x xlnx，f'(x) =2 In x，令f，(x)二2 In x <0，解得x :: e2，即x (0,e2)时，f'(x) ：：：0, x (e 二：：)时,所以函数f(x)在(0,e冷上单调递减，在(e==)上单调递增，所以函数f(x)在x=e，处取得极小值f(e2) = -e，，没有极大值.f (x) 0，(2 )由(1)及题意知，k ：：：^^ = x x|nx对任意的％，(1, •：:)都成立,X—1 X—1令g(x) =△x^(x 1)，则g (x)x —1 x -ln x -2(x-1)21 x—1 令h(x)=x -ln x - 2(x 1)，则h (x) =10，x x所以函数h(x)在(1, •：：)上为增函数，因为h(3)=1-l n3：：：0, h(4)=2-l n 4 • 0 ,所以方程h(x)=0 存在唯一实根x0，且ln x°-2，X。
2020年甘肃省兰州一中高考数学冲刺模拟试卷(理科)(三)
2020年甘肃省兰州一中高考数学冲刺模拟试卷（理科）（三）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|x−1<5}，B={x|−4x+8<0}，则A∩B=()A. {x|x<6}B. {x|x>2}C. {x|2<x<6}D. ⌀2.若复数z=1+i+i2+i3+⋯+i2021，则复数z对应的点在第()象限A. 一B. 二C. 三D. 四3.已知非零向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=4|b⃗ |，|b⃗ |∈[1,√3]且(a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =1，记θ是向量a⃗与b⃗ 的夹角，则θ的最小值是()A. π6B. π4C. 13D. π34.为了得到函数y=sin(2x−π3)的图象，可以将函数y=cos2x的图象()A. 向左平移5π12个单位 B. 向右平移5π12个单位C. 向右平移π6个单位 D. 向左平移π6个单位5.已知a=log30.8，b=30.8，c=0.32.1，则()A. a<ab<cB. ac<b<cC. ab<a<cD. c<ac<b6.函数f(x)=ln|x|+|sinx|(−π≤x≤π且x≠0)的图象大致是()A. B.C. D.7.甲乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球赢球的概率为12，甲接发球赢球的概率为25，则在比分为10：10后甲先发球的情况下，甲以13：11赢下此局的概率为( ) A. 225 B. 310 C. 110 D. 325 8. 我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为14圆周，则该不规则几何体的体积为( ) A. 1+π2 B. 13+π6 C. 1+2π D. 13+2π3 9. 如果执行如图所示的程序框图，输入正整数N(N ≥2)和实数a 1，a 2，…，a n ，输出A ，B ，则( )A. A +B 为a 1，a 2，…，a n 的和B. A+B2为a 1，a 2，…，a n 的算术平均数C. A 和B 分别是a 1，a 2，…，a n 中最大的数和最小的数D. A 和B 分别是a 1，a 2，…，a n 中最小的数和最大的数10. 已知函数f(x)={lgx,x ≥1−lg(2−x),x <1，g(x)=x 3，则方程f(x)=g(x −1)所有根的和等于( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 411. F 是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B.若2AF⃗⃗⃗⃗⃗ =FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则C 的离心率是( ) A. 2√33 B. √143 C. √2 D. 212. 已知函数f(x)=xe x −e x ，函数g(x)=mx −m(m >0)，若对任意的x 1∈[−2,2]，总存在x 2∈[−2,2]使得f(x 1)=g(x 2)，则实数M 的取值范围是( )A. [−3e −2,13]B. [e 2,+∞)C. [13,e 2]D. [13,+∞) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线y =cosx −x2在点(0,1)处的切线方程为______．14. (2x 2+x −1)5的展开式中x 的系数是______．15. 如图，在平面直角坐标系xOy ，中心在原点的椭圆与双曲线交于A ，B ，C ，D 四点，且它们具有相同的焦点F 1，F 2，点F 1，F 2分别在AD ，BC 上，则椭圆与双曲线离心率之积e 1⋅e 2=______．16. 如图，四棱锥P −ABCD 中，底面为四边形ABCD.其中△ACD 为正三角形，又DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .设三棱锥P −ABD ，三棱锥P −ACD 的体积分别是V 1，V 2，三棱锥P −ABD ，三棱锥P −ACD 的外接球的表面积分别是S 1，S 2.对于以下结论：①V 1<V 2；②V 1=V 2；③V 1>V 2；④S 1<S 2；⑤S 1=S 2；⑥S 1>S 2.其中正确命题的序号为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n −2，n ∈N ∗．(1)求数列{a n }的通项公式．(2)设数列{a n 2}的前n 项和为T n ，求S 2nT n ． (3)判断数列{3n −a n }中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论．18.已知，图中直棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是菱形，其中AA1=AC=2BD=4.又点E，F，P，Q分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上运动，且满足：BF=DQ，CP−BF=DQ−AE=1．(1)求证：E，F，P，Q四点共面，并证明EF//平面PQB；(2)是否存在点P使得二面角B−PQ−E的余弦值为√55？如果存在，求出CP的长；如果不存在，请说明理由．19.已知圆C1：x2+y2=2，圆C2：x2+y2=4，如图，C1，C2分别交x轴正半轴于点E，A.射线OD分别交C1，C2于点B，D，动点P满足直线BP与y轴垂直，直线DP与x轴垂直．(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点E作直线l交曲线C与点M，N，射线OH⊥l与点H，且交曲线C于点Q.问：1|MN|+1|OQ|2的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由．20.为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委给出所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定．数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X都在[70,100)内，在以组距为5画分数的频率分布直方图(设“频率组距=Y”)时，发现Y满足Y={8n−109300,n≤16115−k⋅120−n,n>16，n∈N∗，5n≤X<5(n+1)．(1)试确定n的所有取值，并求k；(2)组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛；分数在[95,100)的参赛者评为一等奖；分数在[90,95)的同学评为二等奖，但通过附加赛有111的概率提升为一等奖；分数在[85,90)的同学评为三等奖，但通过附加赛有17的概率提升为二等奖(所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级).已知学生A和B均参加了本次比赛，且学生A在第一阶段评为二等奖．(i)求学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级的概率；(ii)已知学生A和B都获奖，记A，B两位同学最终获得一等奖的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．21.已知函数f(x)=alnx−x+a，g(x)=kx−xlnx−b，其中a，b，k∈R．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意a∈[1,e]，任意x∈[1,e]，不等式f(x)≥g(x)恒成立时最大的k记为c，当b∈[1,e]时，b+c的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=m−√2ty=√5+√2t(t为参数).以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位．圆C的方程为ρ=2√5sinθ，l被圆C截得的弦长为√2．(Ⅰ)求实数m的值；(Ⅱ)设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为(m,√5)，且m>0，求|PA|+|PB|的值．23.已知f(x)=2|x+1|+|2x−1|．(Ⅰ)解不等式f(x)>f(1)；(Ⅱ)若不等式f(x)≥1m +1n(m>0,n>0)对任意的x∈R都成立，证明：m+n≥43．答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合A={x|x−1<5}={x|x<6}，集合B={x|−4x+8<0}={x|x>2}，所以A∩B={x|2<x<6}故选C．根据一次不等式解出集合A，集合B，在求交集即可．本题考查简单的绝对值不等式和分式不等式，以及集合的运算问题，属基本题．2.【答案】A【解析】解：∵i2022=(i4)505⋅i2=−1．复数z=1+i+i2+i3+⋯+i2021=1−i20221−i =1−(−1)1−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i，则复数z对应的点(1,1)在第一象限．故选：A．利用等比数列求和公式、复数的周期性即可得出z，进而利用几何意义即可得出结论．本题考查了等比数列求和公式、复数的周期性及其运算法则、复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：由(a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =1可得a⃗⋅b⃗ =1+|b|2，|a⃗|=4|b⃗ |，∴4|b|2⋅cosθ=1+|b|2，即cosθ=1+|b|24|b|2=14+14|b|2当|b|2=1时，夹角θ取得最小值，即cosθ=12，∴θ的最小值为π3；故选：D．由(a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =1可得a⃗⋅b⃗ =1+|b|2，利用数量积运算性质，即可求解夹角θ的最小值；本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查三角函数图象的平移变换，以及诱导公式的应用，属于基础题．先根据诱导公式进行化简y=cos2x为正弦函数的类型，再由左加右减上加下减的原则可确定平移的方案．【解答】解：由题意y=cos2x=sin(2x+π2)，函数y=sin(2x+π2)的图象经过向右平移5π12个单位，得到函数y=sin[2(x−5π12)+π2]=sin(2x−π3)的图象．所以将y=cos2x的图象向右移动5π12个单位即可得到的图象．故选B．5.【答案】C【解析】解：∵a<0，b>1，0<c<1，∴ab<a<c．故选：C．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性以及函数的导数的应用，函数的极值，考查转化思想以及计算能力，为中档题．利用函数的奇偶性排除选项，通过函数的导数求解函数的极值点的个数，求出f(π)的值，推出结果即可．【解答】解：函数f(x)=ln|x|+|sinx|(−π≤x≤π且x≠0)是偶函数，故排除A．当x>0时，f(x)=lnx+sinx，得f′(x)=1x +cosx，令1x+cosx=0，作出y=1x与y=−cosx图象如图：可知两个函数有一个交点，就是函数f(x)在(0,π]上有一个极值点，故排除D．f(π)=lnπ>1，故排除C．故选B．7.【答案】C【解析】解：在比分为10：10后甲先发球的情况下，甲以13：11赢下此局分两种情况：①后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为P1=12⋅35⋅12⋅25=350；②后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为P2=12⋅25⋅12⋅25=125所以，所求事件概率为：P1+P2=110．故选：C．在比分为10：10后甲先发球的情况下，甲以13：11赢下此局分两种情况①后四球胜方依次为甲乙甲甲，②后四球胜方依次为乙甲甲甲，由此利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件加法公式能求出所求事件概率．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】B【解析】解：根据三视图知，该几何体是三棱锥与14圆锥体的组合体，如图所示；则该组合体的体积为V=13×12×1×1×2+13×14π×12×2=13+π6；所以对应不规则几何体的体积为13+π6．故选：B．根据三视图知该几何体是三棱锥与14圆锥体的所得组合体，结合图中数据计算该组合体的体积即可．本题考查了简单组合体的体积计算问题，也考查了三视图转化为几何体直观图的应用问题，是基础题．9.【答案】C【解析】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数其中A为a1，a2，…，a n中最大的数，B为a1，a2，…，a n中最小的数故选：C．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数．本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：通过图象可以知道函数y=f(x)，y=g(x−1)图象都关于点(1,0)对称，并且两个函数图象有三个交点，所以和为3．故选：C．在坐标系中画出两个函数的图象，判断函数的对称性，然后求解零点的和即可．本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查数形结合以及函数的对称性的判断，是中档题．11.【答案】A【解析】解：由题意得右焦点F(c,0)，设一渐近线OA 的方程为y =ba x ， 则另一渐近线OB 的方程为y =−ba x ， 设A(m,bm a)，B(n,−bn a)，∵2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴2(c −m,−bm a)=(n −c,−bn a)，∴2(c −m)=n −c ，−2bm a=−bn a，∴m =34c ，n =32c ， ∴A(34c,3bc 4a )．由FA ⊥OA 可得，斜率之积等于−1， 即3bc 4a −03c 4−c ⋅ba =−1，∴a 2=3b 2，∴e =ca=√a 2+b 2a=2√33， 故选：A ．设一渐近线OA 的方程为y =b a x ，设A(m,b a m)，B(n,−bn a)，由2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求得点A 的坐标，再由FA ⊥OA ，斜率之积等于−1，求出a 2=3b 2，代入e =ca=√a 2+b 2a进行运算．本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，同时考查向量的共线的坐标表示，求得点A 的坐标是解题的关键．12.【答案】B【解析】解：f(x)=e x (x −1)的导数为f′(x)=xe x ， 当x >0时，f(x)递增；x <0时，f(x)递减， 即x =0时，f(x)取得极小值，且为最小值−1； 由f(−2)=−3e −2，f(2)=e 2， 可得f(x)在[−2,2]的值域为[−1,e 2]，由g(x)=mx−m(m>0)在[−2,2]递增，可得g(x)的值域为[−3m,m]，由对任意的x1∈[−2,2]，总存在而x2∈[−2,2]，使得f(x1)=g(x2)，可得[−1,e2]⊆[−3m,m]，即为−3m≤−1<e2≤m，解得m≥e2，故选：B．由题意可得f(x)在[−2,2]的值域包含于g(x)的值域，运用导数和函数的单调性，即可得到所求范围．本题考查任意存在性问题解法，注意运用转化思想，考查函数的值域的求法，以及运算能力和推理能力，属于中档题．13.【答案】x+2y−2=0【解析】【分析】本题主要考查函数求导以及某点处导数的几何意义，根据直线的点斜式方程即可得到切线方程．本题属基础题．根据对曲线方程求导，然后将x=0代入导数方程得出在点(0,1)处的斜率，然后根据直线的点斜式方程即可得到切线方程．【解答】解：由题意，可知：，．x，曲线在点(0,1)处的切线方程：y−1=−12整理得：x+2y−2=0．故答案为：x+2y−2=0．14.【答案】5【解析】解：∵(2x2+x−1)5的展开表示5个因式(2x2+x−1)的乘积，只要有一个因式取x，其余的因式都取(−1)，即可得到含x的项，故含x的系数为C51⋅C44⋅(−1)4=5，故答案为：5．由题意根据乘方的意义，排列组合的知识，求出(2x 2+x −1)5的展开式中x 的系数． 本题主要考查乘方的意义，排列组合的应用，属于基础题．15.【答案】1【解析】 【分析】本题考查了椭圆、双曲线离心率求解，属于中档题． 点B(c,y 0)代入椭圆、双曲线方程可得b 12a 1=b 22a 2.⇒a 12−c 2a 1=c 2−a 22a 2⇒a 1c+a 2c=c a 1+c a 2⇒e 1+e 2=1e 1+1e 2⇒e 1e 2=1即可． 【解答】解：设椭圆方程为：x 2a 12+y 2b 12=1，双曲线方程为：x 2a 22−y 2b 22=1．且a 12=b 12+c 2,a 22=c 2−b 22， 点B(c,y 0)代入椭圆、双曲线方程可得b 12a 1=b 22a 2．⇒a 12−c 2a 1=c 2−a 22a 2⇒a 1−c 2a 1=c 2a 2−a 2⇒a 1+a 2=c 2a 1+c 2a 2⇒a 1c +a 2c =c a 1+c a 2⇒e 1+e 2=1e 1+1e 2⇒ e 1e 2=1故答案为1．16.【答案】①⑤【解析】解：不妨设|AD|=2，又△ACD 为正三角形，由DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0， 即有DB ⊥AC ，所以∠ADB =30°，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 得DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，化简可以得|DB|=4√33，∴∠DAB =90°，易得S △ABD <S △ACD ，故V 1<V 2，由于∠ADB =∠ACD =60°，所以△ABD 与△ACD 的外接圆相同(四点共圆)， 所以三棱锥P −ABD ，三棱锥P −ACD 的外接球相同，所以S 1=S 2． 故答案为：①⑤．利用已知条件，推出DB ⊥AC ，然后推出V 1<V 2，说明三棱锥P −ACD 的外接球相同，然后推出结果． 本题考查直线与直线垂直的判定，几何体的体积与面积的求法，考查逻辑推理能力以及计算能力，是中档题．17.【答案】解：(1)∵S n =2a n −2，n ∈N ∗，∴当n =1时，a 1=2a 1−2，解得a 1=2．当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2a n −2−(2a n−1−2)，化为：a n =2a n−1， ∴数列{a n }是等比数列，首项为2，公比为2． ∴a n =2n ． (2)S n =2(2n −1)2−1=2(2n −1)．a n 2=4n ，∴数列{a n 2}的前n 项和为T n =4(4n −1)4−1=4(4n −1)3．∴S 2n T n=2(4n −1)×34(4n −1)=32．(3)假设数列{3n −a n }中存在三项成等差数列，由3n −a n =3n −2n ． 分别设为第s ，k ，m 项，1≤s <k <m ． 则2(3k −2k )=3s −2s +3m −2m ，化为：3k (3m−k −2)+3s =2s +2k (2m−k −2)， 显然左边大于右边，因此不成立，故数列{3n −a n }中不存在三项成等差数列，因此假设不成立．【解析】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、大小关系比较，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)由S n =2a n −2，n ∈N ∗，可得当n =1时，a 1=2a 1−2，解得a 1.当n ≥2时，a n =S n −S n−1，化简即可得出．(2)利用等比数列的前n 项和公式可得S n ，利用等比数列的通项公式可得a n 2，即可得出数列{a n 2}的前n 项和为T n ．(3)假设数列{3n −a n }中存在三项成等差数列，由3n −a n =3n −2n .分别设为第s ，k ，项，1≤s <k <m.则2(3k −2k )=3s −2s +3m −2m ，化为：3k (3m−k −2)+3s =2s +2k (2m−k −2)，比较左边右边大小关系即可得出结论．18.【答案】(1)证法1：在棱CC 1，DD 1分别取点M ，N ，使得QN =PM =1，易知四边形MNQP 是平行四边形，所以MN//PQ ，联结FM ，MN ，NE ，则AE =ND ，且AE//ND 所以四边形ADNE 为矩形，故AD //NE ，同理，FM//BC//AD且NE =MF =AD ，故四边形FMNE 是平行四边形，所以EF//MN ，所以EF//PQ 故E ，F ，P ，Q 四点共面又EF//PQ ，EF ⊄平面BPQ ，PQ ⊂平面BPQ ， 所以EF//平面PQB ．证法2：因为直棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，∴AC ⊥BD ，AA 1⊥底面ABCD ， 设AC ，BD 交点为O ，以O 为原点，分别以OA ，OB ，及过O 且与AA 1平行的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则有A(2,0，0)，B(0,1，0)，C(−2,0，0)，D(0,−1,0)，设BF =a ，a ∈[1,3]，则E(2,0，a −1)，F(0,1，a)，P(−2,0，a +1)，Q(0,−1,a)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,1)，QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,1)，所以EF//PQ ，故E ，F ，P ，Q 四点共面．又EF//PQ ，EF ⊄平面BPQ ，PQ ⊂平面BPQ ，所以EF//平面PQB ．(2)平面EFPQ 中向量EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,1)，EQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1,1)，设平面EFPQ 的一个法向量为(x 1,y 1,z 1)，则{−2x 1+y 1+z 1=0−2x 1−y 1+z 1=0，可得其一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,2,2)．平面BPQ 中，BP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1,a +1)，BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,a)，设平面BPQ 的一个法向量为n ⃗ =(x 2,y 2,z 2)，则{−2x 2−y 2+(a +1)z 2=0−2y 2+az 2=0，所以取共一个法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(a +2,2a,4)． 若|cos〈n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ 〉|=|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ √5⋅√(a+2)2+a 2+16|=√55，则(a +10)2=5a 2+4a +8，即有a 2−4a −23=0，a ∈[1,3]，解得a =2±3√2∉[1,3]，故不存在点P 使之成立．【解析】(1)证法1：在棱CC 1，DD 1分别取点M ，N ，使得QN =PM =1，说明四边形MNQP 是平行四边形，证明MN//PQ ，联结FM ，MN ，NE ，则AE =ND ，且AE//ND ，推出四边形FMNE 是平行四边形，EF//MN ，EF//PQ 然后证明EF//平面PQB ．证法2：设AC ，BD 交点为O ，以O 为原点，分别以OA ，OB ，及过O 且与AA 1平行的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．利用向量证明EF//PQ ，然后证明EF//平面PQB ．(2)求出平面EFPQ 的一个法向量，平面BPQ 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可． 本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．19.【答案】解：方法一：(1)如图设∠BOE =α，则B(√2cosα,√2sinα)，D(2cosα,2sinα)，所以x P =2cosα，y P =√2sinα．所以动点P 的轨迹C 的方程为x 24+y 22=1．方法二：(1)当射线OD 的斜率存在时，设斜率为k ，OD 方程为y =kx ， 由{y =kx x 2+y 2=2得y P 2=21+k 2，同理得x P 2=41+k 2，所以x P 2+2y P 2=4，即有动点P 的轨迹C 的方程为x 24+y 22=1．当射线OD 的斜率不存在时，点(0,±√2)也满足．(2)由(1)可知E 为C 的焦点，设直线l 的方程为x =my +√2(斜率不为0时)， 且设点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由{x =my +√2x 2+2y 2=4，得(m 2+2)y 2+2√2my −2=0，所以{y 1+y 2=−2√2mm 2+2y 1y 2=−2m 2+2，所以1|MN|=√1+m 2|y 1−y 2|=m 2+24(m 2+1)， 又射线OQ 方程为y =−mx ，代入椭圆C 的方程得x 2+2(my)2=4，即x Q2=41+2m 2，y Q2=4m 21+2m 2，1|OQ|2=1+2m 24(m 2+1)，所以1|MN|+1|OQ|2=m 2+24(m 2+1)+1+2m 24(m 2+1)=34，又当直线l 的斜率为0时，也符合条件．综上，1|MN|+1|OQ|2为定值，且为34．【解析】(1)方法一：设∠BOE =α，求出B(√2cosα,√2sinα)D(2cosα,2sinα)，所以x P =2cosα，y P =√2sinα.然后求解动点P 的轨迹C 的方程．方法二：当射线OD 的斜率存在时，设斜率为k ，OD 方程为y =kx ，由{y =kx x 2+y 2=2得y P 2=21+k 2，同理得x P 2=41+k 2，所以x P 2+2y P 2=4即有动点P 的轨迹C 的方程．(2)由(1)可知E 为C 的焦点，设直线l 的方程为x =my +√2(斜率不为0时)， 且设点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由{x =my +√2x 2+2y 2=4得(m 2+2)y 2+2√2my −2=0，利用韦达定理，结合弦长公式，转化求解即可．本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，设而不求思想方法的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．20.【答案】解：(1)根据题意，X 在[70,100)内，按组距为5可分成6个小区间，分别是[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100)， ∵70≤X <100，由5n ≤X <5(n +1)，n ∈N ∗， ∴n =14，15，16，17，18，19， 每个小区间对应的频率值分别是P =5Y ={8n−10960,n =14,15,1613−5k ⋅120−n ,n =17,18,19．360+1160+1960+1−5k(13+12+1)=1，解得k =350， ∴n 的对值是14，15，16，17，18，19，k =350． (2)(i)由于参赛学生很多，可以把频率视为概率，由(1)知，学生B 的分数属于区间[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100)的概率分别是： 360,1160,1960,1460,1160,260， 我们用符号A ij (或B ij )表示学生A(或B)在第一轮获奖等级为i ，通过附加赛最终获奖等级为j ， 其中j ≤i(i,j =1,2，3)，记W =“学生B 最终获奖等级不低于学生A 的最终获奖等级”， 则P(W)=P(B 1+B 21+B 22A 22+B 32A 22)=P(B 1)+P(B 21)+P(B 22)P(A 22)+P(B 32)P(A 22)=260+1160⋅111+1160⋅1011⋅1011+1460⋅17⋅1011=51220． (ii) 学生A 最终获得一等奖的概率是P(A 21)=111， 学生B 最终获得一等奖的概率是P(B 1′+B 21′)=2602760+11602760×111=227+1127×111=19，P(ξ=0)=(1−111)(1−19)=8099， P(ξ=1)=111⋅(1−19)+(1−111)⋅19=1899，P(ξ=2)=111⋅19=199， ∴ξ的分布列为：Eξ=0⋅8099+1⋅1899+2⋅199=2099．【解析】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，属于较难题．(1)X 在[70,100)内，按组距为5可分成6个小区间，分别是[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100)，由70≤X <100，由5n ≤X <5(n +1)，n ∈N ∗，能求出n 的对值和k ．(2)(i)由于参赛学生很多，可以把频率视为概率，学生B 的分数属于区间[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100)的概率分别是360,1160,1960,1460,1160,260，用符号A ij (或B ij )表示学生A(或B)在第一轮获奖等级为i ，通过附加赛最终获奖等级为j ，其中j ≤i(i,j =1,2，3)，记W =“学生B 最终获奖等级不低于学生A 的最终获奖等级”，由此能求出学生B 最终获奖等级不低于学生A 的最终获奖等级的概率． (ii) 学生A 最终获得一等奖的概率是P(A 21)=111，学生B 最终获得一等奖的概率是P(B 1′+B 21′)=2602760+11602760×111=227+1127×111=19，ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．21.【答案】解：(1)∵f(x)=alnx −x −a(x >0,a ∈R)，∴f′(x)=ax −1=a−x x，∵x >0，a ∈R ．∴①当a ≤0时，f(x)的减区间为(0,+∞)，没有增区间； ②当a >0时，f(x)的增区间为(0,a)，减区间为(a,+∞)； (2)原不等式f(x)≥g(x)恒成立⇔k ≤a(1+lnx)−x+xlnx+bx，∵a ∈[1,e]，x ∈[1,e]， ∴a(1+lnx)−x+xlnx+bx≥1+lnx−x+xlnx+bx，令g(x)=1+lnx−x+xlnx+bx⇒g′(x)=−lnx+x−bx 2，令p(x)=−lnx +x −b ⇒p′(x)=−1x +1≥0⇒p(x)=−lnx +x −b 在(1,+∞)上递增； ①当p(1)≥0时，即b ≤1，∵b ∈[1,e]，所以b =1时x ∈[1,e]，p(x)≥0⇒g′(x)≥0， ∴g(x)在[1,e]上递增，∴c =g(x)min =g(1)=b ⇒b +c =2b =2．②当p(e)≤0，即b ∈[e −1,e]时x ∈[1,e]，p(x)≤0⇒g′(x)≤0， ∴g(x)在[1,e]上递减； ∴c =g(x)min =g(e)=b+2e⇒b +c =b+2e+b ∈[e +1e ,e +2e +1]．③当p(1)p(e)<0时，p(x)=−lnx +x −b 在上递增；存在唯一实数x 0∈(1,e)，使得p(x 0)=0，则当x ∈(1,x 0)时⇒p(x)<0⇒g′(x)<0，当x ∈(x 0,e)时⇒p(x)>0⇒g′(x)>0，∴c =g(x)min =g(x 0)=1+lnx 0−x 0+x 0lnx 0+b x 0=lnx 0+1x 0， ∴b +c =lnx 0+1x 0+x 0−lnx 0=x 0+1x 0.此时b =x 0−lnx 0， 令ℎ(x)=x −lnx ⇒ℎ′(x)=1−1x =x−1x >0⇒ℎ(x)在[1,e]上递增，b ∈(1,e −1)⇒x 0∈(1,e)，∴b +c ∈(2,e +1e )．综上所述，b +c ∈[2,e +2e +1]．【解析】(1)求导可得f′(x)=a−x x ，然后分a ≤0及a >0两种情况讨论即可得出单调性； (2)依题意，分析可知k ≤a(1+lnx)−x+xlnx+b x ，而a(1+lnx)−x+xlnx+b x ≥1+lnx−x+xlnx+b x ，构造g(x)=1+lnx−x+xlnx+b x ，则g′(x)=−lnx+x−bx 2，令p(x)=−lnx +x −b,则p′(x)=−1x +1，故p(x)=−lnx +x −b 在(1,+∞)上递增，利用导数分p(1)≥0，可得此时c =g(x)min =g(1)=b ⇒b +c =2b =2，当p(e)≤0，c =g(x)min =g(e)=b+2e ⇒b +c =b+2e +b ∈[e +1e ,e +2e+1]，当p(1)p(e)<0，c =g(x)min =g(x 0)=1+lnx 0−x 0+x 0lnx 0+b x 0=lnx 0+1x 0，则b +c =lnx 0+1x 0+x 0−lnx 0=x 0+1x 0，再利用导数求其最值即可． 本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想，推理能力及计算能力，属于较难题目．22.【答案】解：(Ⅰ)由ρ=2√5sinθ得x 2+y 2−2√5y =0，即x 2+(y −√5)2=5.………………(2分) 直线的普通方程为x +y −m −√5，被圆C 截得的弦长为√2，所以圆心到的距离为√2，即√5−m−√5|√2=√2，解得m =3或m =−3.………………(5分)(Ⅱ)当m =3时，将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程得，(3−√2t)2+(√2t)2=5，即2t 2−3√2t +2=0．由于△=(3√2)2−4×4=2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以{t 1+t 2=3√22t 1t 2=1又直线l 过点P(3,√5)，故由上式及t 的几何意义，得|PA|+|PB|=2(|t 1|+|t 2|)=2(t 1+t 2)=3√2.………………(10分)【解析】(Ⅰ)先将圆C的方程化成直角坐标方程，直线l化成普通方程，再由圆心到直线的距离以及勾股定理列式可得；(Ⅱ)联立直线l与圆C的方程，根据韦达定理以及参数的几何意义可得．本题考查了参数方程化成普通方程根，属中档题．23.【答案】解：(Ⅰ)f(x)>f(1)就是2|x+1|+|2x−1|>5．(1)当x>12时，2(x+1)+(2x−1)>5，得x>1．(2)当−1≤x≤12时，2(x+1)−(2x−1)>5，得3>5，不成立．(3)当x<−1时，−2(x+1)−(2x−1)>5，得x<−32．综上可知，不等式f(x)>f(1)的解集是(−∞,−32)∪(1,+∞)．(Ⅱ)因为2|x+1|+|2x−1|=|2x+2|+|2x−1|≥|(2x+2)−(2x−1)|=3，所以1m +1n≤3．因为m>0，n>0时，1m +1n≥2√1mn，所以2√1mn≤3，得√mn≥23．所以m+n≥2√mn≥43．【解析】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．(Ⅰ)分3种情况去绝对值，解不等式组可得；(Ⅱ)先求出f(x)的最小值，再求出√mn的取值范围，再由基本不等式可证．。
甘肃省兰州市第一中学2020届高三冲刺模拟考试(三)数学(文)试题+Word版含答案
A．[3e2 , 1] 3
B．[e2 , )
C．[1 , e2 ] 3
)
D．[1 , ) 3
第 Ⅱ 卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．若
x
，
A．1 2
B． 1 36
C．1 2
D． 1 2 33
9．“斐波那契数列”是数学史上一个著名数列，最初是由意大利数学家斐
波那契于 1202 年通过兔子繁殖问题提出来的．在斐波那契数列an
中， a1 1 ， a2 1， an2 an1 an n N * ．某同学设计了一个如
图所示的求斐波那契数列前 n 项和 S 的程序框图，若 S 88 ，那么
内
填入( )
A． i 7
B． i 8
C． i 9
D． i 10
10．已知函数
f
x
lg x, x 1
lg 2 x, x
1，
g x
x3 ，则方程
f x g x 1 所有根的和等于( )
A．1
B．2
C．3
11．现有边长均为 1 的正方形､正五边形､正六边形
及半径为 1 的圆各一个，
A． , 2
B． , 2
C． 0, 2
D．0,
2．若复数 z＝1+i+i2+i3+…+i2021，则复数 z 对应的点在第( )象限
A．一
B．二
C．三
D．四
3．已知非零向量 a，b 满足 b ＝4 a ，且 a (2a+b) ，则 a 与 b 的夹角为( )
甘肃省兰州市第一中学2020届高三冲刺模拟考试(二)数学(文)试题
甘肃省兰州市第一中学2020届高三冲刺模拟考试（二）数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}260A x x x =--<，集合{}10B x x =->，则()R A B =（ ） A ．()1,3B ．(]1,3C ．[)3,+∞ D ．()3,+∞ 2．设复数z 满足(2)34z i i i +=-，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．若非零实数a 、b 满足23a b =，则下列式子一定正确的是（ ）A ．b a >B ．b a <C ．b a <D ．b a > 4．已知α为锐角，3cos 5α=，则tan 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．13 B ．12C ．2D ．3 5．已知f （k ）＝k +（﹣1）k ，执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为4，则判断框内可填入的条件是（ ）A ．s ＞3？B ．s ＞5？C ．s ＞10？D ．s ＞15？6．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2A -，()1,0N ，若动点M 满足MA MO = ，则·OM ON 的取值范围是（ ）A ．[]0,2B ．0,⎡⎣C ．[]22-,D ．-⎡⎣ 7．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1~9这9数字表示两位数的个数为( )A ．13B ．14C ．15D ．168．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x ≥时,2()4f x x x =-,则不等式(2)5f x +<的解集为（ ）A ．(3,7)-B ．()4,5-C ．(7,3)-D ．()2,6-9．已知双曲线C ：22221x y a b-=，O 为坐标原点，直线x a =与双曲线C 的两条渐近线交于A ，B 两点，若OAB ∆是边长为2的等边三角形，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2213x y -= B ．2213y x -= C ．221124x y -= D ．221412x y -= 10．甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任意想一个数字，记为m ，再由乙猜想甲刚才想的数字，把猜出的数字记为n ，且m ，{}1,2,3n ∈，若1m n -≤，则称二人“心有灵犀”，现任意找二人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）A ．16B ．13C ．23D ．7911．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若方程()35f x =的解为1x ，2x （120x x π<<<），则()12sin x x -=（ ）A ．35B ．45- C．3- D．12．已知函数21(),()2ln 2,()f x kx g x x e x e e==+≤≤，若()f x 与()g x 的图象上分别存在点M ，N ，使得MN 关于直线y e =对称，则实数k 的取值范围是（ ） A ．224[,]e e -- B ．2[,2]e e - C ．24[,2]e e - D ．24[,)e -+∞二、填空题13．已知多项式5432()254367f x x x x x x =--+-+，则(5)f =________． 14．设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312n m n ++++的最小值为__________. 15．设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()'f x ，若()()'1f x f x +>，()02020f =，则不等式()2019x x e f x e >+(其中e 为自然对数的底数)的解集为__________.16．已知点A 是以BC 为直径的圆O 上异于B ，C 的动点，P 为平面ABC 外一点，且平面PBC ⊥平面ABC ，BC ＝3，PB ＝PC =则三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积为______．三、解答题17．如图，在四棱锥E ABCD -中，ADE 是等边三角形，侧面ADE ⊥底面ABCD ，其中//AB DC ，24BD DC ==，3AD =，5AB =.（Ⅰ）F 是EC 上一点，求证：平面⊥BDF平面ADE ； （Ⅱ）求三棱锥C BDE -的体积.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，123a =，()1310n n n S nS ++-=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若*112,n n n n a b n S S ++=∈N ，求证：123n b b b +++<.19．根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如下图显示．()1已知[)30,40、[)40,50、[)50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a ，b 的值；()2该电子商务平台将年龄在[)30,50之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取5人，并在这5人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和为200元的概率．20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(2,2)A ，点B 在抛物线C 上，且满足2OF FB FA =-（O 为坐标原点）.（1）求抛物线C 的方程；（2）过焦点F 任作两条相互垂直的直线l 与l D '，直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，直线l D '与抛物线C 交于M ，N 两点，OPQ △的面积记为1S ，OMN 的面积记为2S ，求证：221211S S +为定值. 21．已知函数()2ln f x x x x =-+ （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明当2a ≥时，关于x 的不等式()2(1)12af x x ax <-+-恒成立； 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为x y φφ⎧=⎪⎨=⎪⎩（φ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）已知曲线C 3的极坐标方程为(0,)R θααπρ=<<∈，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，A 、B 均异于原点O ，且||AB =求实数α的值．23．已知函数()2f x x m x =--+（m R ∈），不等式()20f x -≥的解集为(] 4-∞，. （1）求m 的值；（2）若0a >，0b >，3c >，且22a b c m ++=，求()()()113a b c ++-的最大值.参考答案1．C【解析】【分析】先根据一元二次不等式计算出集合A 中表示元素范围,然后计算出A R 的范围,最后根据交集的含义计算()R A B ⋂的结果. 【详解】因为260x x --<,所以()2,3x ∈-即()2,3A =-,所以(][),23,R A =-∞-⋃+∞, 又因为()1,B =+∞,所以()[)3,R A B =+∞.故选：C.【点睛】本题考查集合的补集与交集混合运算,难度较易,注意一元二次不等式的解集的求解. 2．B【分析】先根据(2)34z i i i +=-计算出复数z ，写出其共轭复数z ，即可根据复数的坐标表示选出答案．【详解】设复数z a bi =+，(2)(2)3423z i i ai b i b ∴+=-+=-⇒+=-，4a =-； 4a ∴=-，5b =-；∴复数45z i =--，∴45z i =-+， 复数z 在复平面内对应的点位于第二象限．故选B ．【点睛】本题考查共轭复数与复数的坐标表示，属于基础题．3．C【分析】令23a b t ==，则0t >，1t ≠，将指数式化成对数式得a 、b 后，然后取绝对值作差比较可得．【详解】令23a b t ==，则0t >，1t ≠，2lg log lg 2t a t ∴==，3lg log lg 3t b t ==， |lg ||lg ||lg |(lg3lg 2)||||0lg 2lg3lg 2lg3t t t a b -∴-=-=>⋅，因此，||||a b >. 故选：C.【点睛】 本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题．4．D【分析】 先利用半角公式（或二倍角公式）求得tan2α，再根据两角和正切公式求结果. 【详解】∵α为锐角，3cos 5α=，∴4sin 5α， 则2sin 2sin cos222tan 2cos 2cos 22αααααα==4sin 1531cos 215αα===++， ∴1tan tan 1422tan 31421tan tan 1422παπαπα++⎛⎫+=== ⎪⎝⎭--. 故选：D【点睛】本题考查半角公式以及两角和正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.5．C【分析】根据程序框图依次计算得到答案.【详解】模拟执行程序框图，可得：k ＝1，s ＝1，s ＝1，不满足判断框内的条件，执行循环体，k ＝2，s ＝4，不满足判断框内的条件，执行循环体，k ＝3，s ＝6，不满足判断框内的条件，执行循环体，k ＝4，s ＝11，此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出k 的值为4.因此判断框内的条件可填：s ＞10？故选：C .【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.6．D【分析】设出M 的坐标为(,)x y ，依据题目条件，求出点M 的轨迹方程22(2)8x y +-=，写出点M 的参数方程，则·22os OM ON θ=，根据余弦函数自身的范围，可求得·OM ON 结果.【详解】设(,)M x y ，则∵MA MO =，()0,2A -=∴2222(2)2()x y x y ++=+∴22(2)8x y +-=为点M 的轨迹方程∴点M的参数方程为2x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数）则由向量的坐标表达式有：·22os OM ON θ=又∵cos [1,1]θ∈-∴2·2[OM ON θ=∈-故选：D【点睛】考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积，属于中档题.求解轨迹方程的方法有：①直接法；②定义法；③相关点法；④参数法；⑤待定系数法7．D【分析】6根算筹可分为1、5,2、4，3、3，再根据图示写出可能的组合，即可得出答案．【详解】根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示2714⨯=个两位数；数字组合3、3，7、7，每组可以表示1个两位数，则可以表示212⨯=个两位数； 则一共可以表示14216+=个两位数；故选D ．【点睛】本题结合算筹计数法，考查排列与组合，属于基础题，本题的关键在于读懂题意． 8．C【分析】首先求出当0x ≥时不等式的解集，在根据偶函数的对称性求出当0x <时不等式的解集，从而求出()5f x <的解集，则525x -<+<，即可得解.【详解】当0x ≥时,2()45f x x x =-<的解为05x <≤；当0x <时，根据偶函数图像的对称性知不等式()5f x <的解为5x 0-<<，所以不等式()5f x <的解集为{}55x x -<<，所以不等式(2)5f x +<的解集为{}{}52573x x x x -<+<=-<<.故选：C【点睛】本题考查偶函数的性质，涉及一元二次不等式，属于基础题. 9．A 【分析】先根据双曲线性质得a =1b =，即得双曲线C 的方程.【详解】由图可知，a =30，所以3b a =，解得1b =，所以双曲线C 的方程为2213x y -=.故选：A 【点睛】本题考查双曲线的方程，考查基本分析求解能力，属基础题. 10．D 【分析】由m ，{}1,2,3n ∈，分别作分类讨论，可写出9组数据，再结合古典概型公式计算即可 【详解】当1m =时，存在1,2,3n n n ===，3种情况，组合为()()()1,1,1,2,1,3； 当2m =时，存在1,2,3n n n ===，3种情况，组合为()()()2,1,2,2,2,3； 当3m =时，存在1,2,3n n n ===，3种情况，组合为()()()3,1,3,2,3,3；其中符合1m n -≤的组合为： ()()()()()()()1,1,1,2,2,1,2,2,2,3,3,2,3,37种情况， 故两人心有灵犀的概率为：79P = 故选：D 【点睛】本题考查古典概型的基本求法，列举法、树状图法常用来求解此种题型，属于基础题 11．B 【解析】 【分析】由题意首先确定函数的对称轴，然后结合题意和三角函数的性质、同角三角函数基本关系和诱导公式即可确定()12sin x x -的值. 【详解】函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴满足：()262x k k Z πππ-=+∈，即()23k x k Z ππ=+∈，令0k =可得函数在区间()0,π上的一条对称轴为3x π=， 结合三角函数的对称性可知1223x x π+=，则：1223x x π=-，()122222sin sin 2sin 2cos 2336x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意：23sin 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且120x x π<<<，故12712312x x πππ<<<<， 2226x πππ<-<，由同角三角函数基本关系可知：24cos 265x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的对称性，诱导公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．B 【分析】设()M ,x kx ，则()N ,2x e kx -,推导出2k lnx x=-，由此利用导数性质能求出实数k 的取值范围. 【详解】因为函数()()21,2ln 2,f x kx g x x e x e e ⎛⎫==+≤≤ ⎪⎝⎭的图象上分别存在点M ，N ，使得MN 关于直线y e =对称，所以设()M ,x kx ，则()N ,2x e kx -, 所以22ln 2e kx x e -=+，所以2k lnx x =-，222lnx k x+='-，由0k '=得x e =， 因为21x e e ≤≤，所以1,)x e e⎡∈⎢⎣时，0k '<，2k lnx x =-是减函数； 当2(,x e e ⎤∈⎦时，0k '>，2k lnx x=-是增函数， 所以x e =时，22k lne e e =-=-；当2x e =时，22224k lne e e =-=-， 当1x e=时，2121k ln ee e =-=；所以2min k e=-，2max k e =，所以实数的取值范围是22e e，⎡⎤-⎢⎥⎣⎦, 所以选B. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要构造函数，由导函数确定研究构造的函数的单调性，从而可求出结果. 13．2677 【分析】结合秦九韶算法，将5432()254367f x x x x x x =--+-+转化为()()()()5432()254367254367f x x x x x x x x x x x =--+-+=--+-+，然后由内至外逐步计算即可求出答案 【详解】()()()()5432()254367254367f x x x x x x x x x x x =--+-+=--+-+令125,t x =- 当5x =时，12555t =⨯-=；则令214t t x =-，当15,5t x ==时，255421t =⨯-=； 则令323t t x =+，当221,5t x ==时，32153108t =⨯+=； 则令436t t x =-，当3108,5t x ==时，410856534t =⨯-=；则令547t t x =+，当4534,5t x ==时，5534572677t =⨯+=； 故(5)2677f = 故答案为：2677 【点睛】本题考查秦九韶算法，将多项式转化为()()()()()254367f x x x x x x =--+-+至关重要，属于中档题 14．95【分析】令1,2a m b n =+=+，则5a b +=，1312n m n ++++可化为111a b++，利用基本不等式可求11a b+的最小值，从而可得所求的最小值. 【详解】令1,2a m b n =+=+，则5a b +=，且13a <<，24b <<， 又1311112n m n a b++=++++， 而()()114222551151115b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++≥+= ⎪⎛⎫+=⨯+⎝⨯ ⎪⎝⎭⎭， 当且仅当52a b ==时等号成立， 故1312n m n ++++的最小值为95. 故答案为：95.【点睛】本题考查多变量代数式的最值问题，一般可用基本不等式来求最值，但需要对原代数式化简变形以便出现和为定值或积为定值的形式，注意利用基本不等式求最值时要验证等号是否成立.15．()0,∞+ 【分析】构造函数()()2019xxg x e f x e =--，由题意，只需解()0>g x 即可，利用导数研究()g x的单调性即可得到答案. 【详解】设()()2019x xg x e f x e =--，不等式()2019x xe f x e >+的解等价于不等式()0>g x 的解，因为''()(()()1)0xg x e f x f x =+->，所以()g x 在R 上单调递增，又(0)(0)120190g f =--=， 所以()0(0)g x g >=，所以0x >，所以原不等式的解集为()0,∞+ 故答案为：()0,∞+ 【点睛】本题主要考查构造函数利用函数的单调性解不等式，考查学生转化与化归思想，是一道中档题. 16．10π 【分析】由O 为△ABC 外接圆的圆心，且平面PBC ⊥平面ABC ，过O 作面ABC 的垂线l ，则垂线l 一定在面PBC 内，可得球心O 1一定在面PBC 内，即球心O 1也是△PBC 外接圆的圆心， 在△PBC 中，由余弦定理、正弦定理可得R . 【详解】因为O 为△ABC 外接圆的圆心，且平面PBC ⊥平面ABC ，过O 作面ABC 的垂线l ，则垂线l 一定在面PBC 内，根据球的性质，球心一定在垂线l 上，∵球心O 1一定在面PBC 内，即球心O 1也是△PBC 外接圆的圆心，在△PBC 中，由余弦定理得cos B 22222PB BC PC BP BC +-==⋅，⇒sin B 2=，由正弦定理得：2PC R sinB =，解得R 2=， ∴三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积为s ＝4πR 2＝10π， 故答案为10π． 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的表面积，将空间问题转化为平面问题，利用正余弦定理是解题的关键，属于中档题．一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.17．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ. 【分析】（Ⅰ）由勾股定理得BD AD ⊥，再由平面ADE ⊥平面ABCD ， 得BD ⊥平面ADE ，得证；（Ⅱ）由13C BDE E BCD BCD V V S EH --==⋅△，得11235C BDE V -=⨯= 【详解】 （Ⅰ）在ABD △中，4BD =，3AD =，5AB =222AB AD BD ∴+=，BD AD ∴⊥又平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE平面ABCD AD =，BD ∴⊥平面ADE ，BD ⊂平面BDF∴平面⊥BDF 平面ADE（Ⅱ）取AD 中点H ，由ADE 为等边三角形得EH AD ∴⊥ 平面ADE ⊥平面ABCD ，EH ∴⊥平面ABCD ，1·3C BDE E BCD BCD V V S EH --∴==△又因为ADE 中，2EH =， 在ABD △中，AB 边上的高341255⨯== 112112(25)342525BCD ABCD ABD S S S ∆∴=-=⨯+⨯-⨯⨯=△11235C BDE V -∴=⨯=∴三棱锥C BDE -.考点：空间中的位置关系、体积计算． 18．（1）()3*423,n n a n n -=+⋅∈N ；（2）证明见解析.【分析】（1）题设中的递推关系可转化为131n n S S n n +=+，利用等比数列的通项公式可求n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项，从而求出n S 后可求{}n a 的通项公式.（2）利用裂项相消法可求{}n b 的前n 项和，从而可证不等式成立. 【详解】（1）∵()1310n n n S nS ++-=，∴131n n S S n n+=+，又12013S =≠，所以113n n S n S n++=， ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以23为首项，3为公比的等比数列，∴1223233n n n S n --=⨯=⨯，223n n S n -=⋅. 当2n ≥时，()()2331=23213423n n n n n n a S S n n n -----=⋅--⋅=+⋅；当1n =时，123a =符合上式，∴()3*423,n n a n n -=+⋅∈N . （2）证明：()1111122112n n n n n n n n n n S S ab S S S S S S +++++-⎛⎫===- ⎪⎝⎭，∴12122311111112n nn b b b S S S S S S +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111111223n S S S +⎛⎫=⨯-<⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查数列通项的求法以及裂项相消法求和，后者应该根据通项的特征选择合适的求和方法.19．(1)0.035a =，0.025b =.(2)35【详解】试题分析：(1)根据频率直方图中结论：所有频率之和为1，则有：(0.0150.0100.015)101a b ++++⨯=，即有：0.060a b +=，又由条件：[)30,40、[)40,50、[)50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，则有：20.015b a =+，解方程组得：0.035a =，0.025b =；(2) 根据(1)中：0.060a b +=，可得高消费人群所占比例为60100，有利用分层抽样从样本中抽取5人，其中属于高消费人群的为3人，属于潜在消费人群的为2人. 由古典概率模型的求法：令高消费的人为,,A B C ，潜在消费的人为,a b ，从中取出三人，例举总共有：,,,,,,,,,,ABC ABa ABb ACa ACb BCa BCb Aab Bab Cab 这10种情况，其中,,,ABa ABb ACa ,,ACb BCa BCb 为获得代金卷总和为200元的情况，运用概率公式可求出三人获得代金券总和为200元的概率.试题解析：(1) 根据频率直方图中结论：所有频率之和为1，则有：(0.0150.0100.015)101a b ++++⨯=，即有：0.060a b +=，又由条件：[)30,40、[)40,50、[)50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，则有：20.015b a =+，解方程组得：0.035a =，0.025b =根据(1)中：0.060a b +=，可得高消费人群所占比例为60100，有利用分层抽样从样本中抽取5人，其中属于高消费人群的为3人，属于潜在消费人群的为2人. 令高消费的人为,,A B C ，潜在消费的人为,a b ，从中取出三人，总共有：,,,,,,,,,,ABC ABa ABb ACa ACb BCa BCb Aab Bab Cab 10种情况， 其中,,,,,ABa ABb ACa ACb BCa BCb 为获得代金卷总和为200元的情况， 因此，三人获得代金券总和为200元的概率为35. 考点：考查统计与概率的相关知识20．（1）24y x =（2）见解析【分析】（1）先根据条件解得B 点坐标，代入抛物线方程解得p ，即得结果；（2）先设直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式求得1S 与2S ，最后代入化简221211S S +得结果. 【详解】 （1）设11(,)B x y 11(,0),2(,0)(4,4)222p p pF OF FB FA x p y ∴=-⇒=--+- 11114,404,422p px p y x y =--+-=∴== 因为点B 在抛物线C 上，2242424p p y x ∴=⋅∴=∴=（2）由题意得直线l 的斜率存在且不为零，设:1l x my =+，代入24y x =得2440y my --=，所以1212124,4||y y m y y y y +==-∴-==因此1211||1S 2y y =-⨯=2S =因此22222212211111114(1)4(1)4(1)44(1)m S S m m m m+=+=+=++++ 【点睛】本题考查抛物线方程以及直线与抛物线位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题. 21．（1）见解析；（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）令()()()221111122a g x f x x ax lnx ax a x ⎡⎤⎛⎫=--+-=-+-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值，从而证出结论即可； 解析：（1）()()2121'210x x f x x x x x-++=-+=＞，由f'（x ）＜0，得2x 2﹣x ﹣1＞0．又x ＞0，所以x ＞1，所以f （x ）的单调递减区间为（1，+∞），函数f （x ）的单增区间为（0，1）．（2）令()()()221111122a g x f x x ax lnx ax a x ⎡⎤⎛⎫=--+-=-+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()()()2111'1ax a x g x ax a x x-+-+=-+-=，因为a≥2，所以()()11'a x x a g x x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， 令g'（x ）=0，得1x a =，所以当()10'0x g x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，＞，当1x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，g'（x ）＜0，因此函数g （x ）在10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，是增函数，在1x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，是减函数，故函数g （x ）的最大值为()2111111()1122g ln a a lna a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令()12h a lna a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为()12204h ln =-＜，又因为h （a ）在a∈（0，+∞）是减函数， 所以当a≥2时，h （a ）＜0，即对于任意正数x 总有g （x ）＜0，所以关于x 的不等式恒成立．点睛：这个题目考查的是利用导数研究函数的单调性和最值问题；证明不等式的恒成立问题；证明不等式恒成立问题一般采用以下方法：其一可以转化为函数最值问题，使得函数最值大于或者小于0；其二可以转化为两个函数的不等式关系，使得一个函数的最小值大于另一个函数的最大值．22．（1）22(3x y +=，22(1)1x y -+=；（2）512πα=或1112πα=． 【分析】（1）利用22cos sin 1φφ+=可得曲线1C 的普通方程 ，将2cos ρθ=左右两边同时乘以ρ，再化为直角坐标方程；（2）将曲线3C 与曲线12,C C 的极坐标方程分别联立，求出,A B 两点的极径，则||A B AB ρρ=-，可求得实数α的值.【详解】（1）由曲线C 1的参数方程x y φφ⎧=⎪⎨=⎪⎩（φ为参数），即cos sin φφ==，得曲线C 1的普通方程为22(3x y +=，因为cos ,sin x y ρθρθ==，由曲线C 2的极坐标方程2cos ρθ=，得C 2的直角坐标方程为22(1)1x y -+=；（2）曲线C 1化为极坐标方程为ρθ=，设()()12,,,A B ραρα，则12,2cos ραρα==，∴|||2cos |4sin 6AB πααα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由||AB =sin 62πα⎛⎫-=± ⎪⎝⎭， ∵5666πππα-<-<，∴64ππα-=或364ππα-=， ∴512πα=或1112πα=． 【点睛】本题考查直线的参数方程与极坐标方程，是高考的重要考点，解题的关键是熟练掌握极坐标与直角坐标的互化，属于中档题．23．（1）6m =（2）32【分析】()1利用绝对值不等式的解法求出不等式的解集,得到关于m 的方程,求出m 的值即可; ()2由()1知6m =可得,212a b c ++=，利用三个正数的基本不等式a b c ++≥,构造和是定值即可求出()()()113a b c ++-的最大值.【详解】（1）∵()2f x x m x =--+，()2222f x x m x ∴-=----+，所以不等式()20f x -≥的解集为(] 4-∞，, 即为不等式20x m x ---≥的解集为(] 4-∞，， ∴2x m x --≥的解集为(] 4-∞，, 即不等式()222x m x --≥的解集为(] 4-∞，， 化简可得,不等式()()2220m m x ++-≥的解集为(] 4-∞，， 所以242m +=,即6m =. （2）∵6m =，∴212a b c ++=.又∵0a >，0b >，3c >，∴()()()()()()12231132a b c a b c ++-++-= ()()()333122311211232232323a b c a b c ++++-⎡⎤++⎛⎫⎛⎫≤===⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当且仅当1223a b c +=+=-,212a b c ++=等号成立,即3a =，1b =，7c =时，等号成立，∴()()()113a b c ++-的最大值为32.【点睛】本题主要考查含有两个绝对值不等式的解法和三个正数的基本不等式a b c ++≥的灵活运用;其中利用212a b c ++=构造出和为定值即()()()1223a b c ++-+-为定值是求解本题的关键;基本不等式a b +≥取最值的条件:一正二定三相等是本题的易错点; 属于中档题.。
甘肃省兰州一中2020届高三考前冲刺模拟(四)数学试题
甘肃省兰州一中2020年高考冲刺模拟题（四）数 学 试 题第1卷（选择题）一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，每小题5分，共60分．1．（理）复数3=A ． 1B ． iC ．12-D ．12-- （文）已知全集U=N ，集合A={1,3,5,7,9），B={0，3，6，9，12}，则A （C U B ）=A ．{2,5,9}B ．{1,5,7}C ．{3,7}D ．{l,3,7}2．不等式21143x x ≥-的解集为（） A ．3(0,)[1,3]4B ．3(0,)(0,]4-∞C ．（—∞，3)[1,3]4D ．3(0,)(0,4-∞）[1,3] 3．（理）已知函数31()2,()x f x f x +-=是f （x ）的反函数，若mn =16（m,n ∈R ），则11()()f m f n --+的值为A ．一2B ．1C ．4D ．10（文）函数y=—0)x ≥的反函数是A ．2()4x y x R =∈ B ．24x y =（x ≤0）C ．24y x =()x R ∈D ．24y x =（x ≤0）4．（理）如果随机变量2(,),3,4,(11)N E D P ξμσξξξ-==-<≤且则等于A ．2Φ（1）－1B ．Φ（2）—Φ（4）C ．Φ（1）一Φ（12） D ．Φ（2）一Φ（1）（文）某学校高一学生210人，高二学生270人、高三学生300人，校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取刀名学生进行问卷调查．如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为A ．10B ．9C ．8D ．7．5．（理）若实数x ，y 满足222210;2421.x y x y y x y x ⎧+--+≤-⎨-≤≤⎩则的最大值为 A ．4B ．2C ．1D ．0（文）若实数x ，y 满足10,01x y yx x -+≤⎧⎨<≤⎩则的最小值是A ．4B ．2C ．1D ．06．（理）在数列{n a }中，a 1=1，S n 是其前n 项和，当n ≥2时，a n =2S n-1，那么11lim 3n n n S S →∞++=-A ．3B ．13C ．一3D ．一13（文）在等比数列{n a }中，a 1 =2，前n 项和为S n ，若S 3=a 3+83，则a 6A ．2243B ．281C ．113D ．47．8个人坐成一排，若要调换其中3个人中每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同的调换方式共有A ．38C 种B ．238C 种C ．3288C A 种D ． 338C 种8．（理）设函数()cos sin ,()f x x x f x =-把的图象按向量（m ，0）平移后，图象恰为函数y=f ′（x ）的图象，则m 的值可以是 A ．2πB ．一2πC ．4πD ．一4π（文）将函数y= sin 2x 的图象向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，得到厂（x ）的图象，则f （2π）的值是 A ．1B ．2C ．-1D ．09．已知正四棱锥S -ABCD 中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为A ．1BC ．2D ．310．已知P 为椭圆2212516x y +=上的点，F 1，F 2为椭圆焦点，△PF 1F 2是直角三角形，则点P 到椭圆右准线的距离为A ．402033或 B ．403433或 C ．341633或 D ．342033或 11．已知曲线33()f x ax bx =+过点P （一l ，2），且曲线y=f(x ）在点P 处的切线恰好与直线x-3y=0垂直，若y=f （x ）在区间【m,m+l 】上单调递增，则m 的取值范围是 A ．[-3,0] B ．（一∞，-3][0,+ ∞）C ．[-3,-1] [0,2]D ．（一∞，-1J [2,+ ∞）12．在正三棱锥S-ABC 中，M ，N 分别是棱SC 、BC 的中点，，且MN ⊥AM ，若侧棱，则正三棱锥S-ABC 外接球的表面积是 A ．12π B ．32πC ．36πD ．48π第Ⅱ卷二、填空题：”本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．(理)函数1sin 2cos xy x+=-的最大值是 .（文）△ABC 中，若tanA=125-，则cosA= .14．设（5x 12—x 13）n 的展开式的各项系数之和为M ，且二项式系数之和为N ，若M-N=992，则n= .15．若P 是棱长为3的正四面体内任意一点，则P 到这个四面体各面的距离之和= . 16．过抛物线y 2=2px （p>0）的焦点F 且斜率为43的宣线交抛物线于A ，B 两点，若(1)AF FB λλ=>，，则λ .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）若m>0．函数f （x ）=5m 十n 一mcos 2x 一4msinx 电义域为[0，2π]，值域为【1，7】（理）求函数g （x ）=m —nsin2x —mcos 2x （x ∈R ）的最小正周期和最值． （文）求函数g （x ）=mnsinx —2ncosx （x ∈R ）的最小正周期和最值，18．（12分）已知各项都是正数的数列{n a }的前n 项和为S n ，且对任意n *N ∈都有33332123()n n a a a a S ++++.（I ）求证：22;n n n a S a =-（II ）（文）求数列{n a }的通项公式；（理）若13(1)2()n an n n b λλ-=-⋅∈为非零常数,n N*，问是否存在整数λ，使得对任意n ∈N*，都有1.n n b b +>19．（12分）如图，已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1每条棱长均为a ，M 为棱A 1C 1上的动点． （I ）当M 在何处时，BC 1∥平面MB 1A?证明你的结论； （II ）若BC 1∥平面MB 1A ，求平面MB 1A 与平面ABC 所成锐二面角的大小．20．（12分）甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则是：在一局比赛中，先得11分的一方为胜方；10平后，先得2分的一方为胜方．根据以往的比赛情况，甲乙双方在每一分的争夺中甲获胜的概率为平p （0<p<1）， （I ）若p 为0．6，求一局比赛中甲以8:9落后的情况下以1210获胜的概率; （II ）求一局比赛中甲以14：12获胜的概率．21．（理）（12分）已知函数()(2)(1)2ln f x a x x =---.（I ）当a=l 时，求f （x ）的极值； （II ）若函数()f x 在（0，12）上恒大子零，求实数a 的最小值． （文）已知函数3()..f x x x =-（I ）设M （00,()f λλ）是函数图象上的一点，求点M 处的切线方程：（II ）证明过点N （2，1）可以作曲线3()f x x x =-的三条切线．。
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17．设数列{an}的前 n 项和为 Sn ，且 Sn 2an 2, n N * . （Ⅰ）求证：数列 {an } 为等比数列； S2n （Ⅱ）设数列{an2} 的前 n 项和为 Tn ，求证： Tn 为定值；
f
x 在定义域
R
上单调递增.
又函数
g
x
x3
的图象关于原点
0,
0对称，函数
y
g
x
1 的图象关于点
1,
0
对称，
且函数
y
g
x
1 在定义域
R
上单调递增.又
f
1
g
1 1
0, x
1
是方程
f x g x 1
的一个根.
当x
1时，令 h x
f
x g x 1
lg x x 13 h x 1,
半径最长时，
AB
求．
22．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 x m 2t y 5 2t （ t 为参数）.以原点 O 为极点，以 x 轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，
两坐标系
相同的长度单位.圆 C 的方程为 2 5 sin , l 被圆 C 截得的弦长为 2 . （Ⅰ）求实数 m 的值；
，
y
满足约束条件
x
2
y
3
，则
x
y
的最小值为______________.
14．已知 l
为曲线
y
a
ln x
x
在
(1, a)
处的切线，当直线 l
与坐标轴围成的三角形面积为
1 2 时，则实数 a 的值为____________.
15．已知三棱锥 D ABC 四个顶点均在半径为 R 的球面上，且 AB BC 2 ， 4
（Ⅱ）设圆 C 与直线 l 交于点 A、B，若点 P 的坐标为 (m, 5) ，且 m 0 ，求 PA PB
的值.
f (x) 2 x 1 2x 1
23．已知
.
（Ⅰ）解不等式 f (x) f (1) ；
（Ⅱ）若不等式
f
(x)
1 m
1 n
(m
0, n
0)
对任意
x
R
的都成立，证明：
m
n
4 3
.
甘肃省兰州第一中学 2020 年高考冲刺模拟试题（三）
x
y
x y
2 0
,
x y
2 x y
，代入
y
lg
x
，得
y'
lg
2 x'
, y' lg
2 x'
, x' 1
.
函数 y lg x, x 1 的图象与函数 y lg 2 x, x 1的图象关于点 1, 0对称，即函数
f
x
lg x, x 1
lg 2 x,
x
1 的图象关于点 1, 0对称，易知函数
文科数学 参考解答
1．D【解析】
A
x
|
0
x
2 ，
B
y
|
y
0；
A
B
0,
．故选
D
．
3 4i 2．D【解析】z＝1+i+i2+i3+…+i2019+ 3 4i ＝（1+i﹣1﹣i）+…+（1+i﹣1﹣i）
5
5(3 4i)
3 4i
+ 3 4i ＝0+ (3 4i)(3 4i) ＝ 5 ，∴复数 z 对应的点在第四象限．
i 9 ， c 13 21 34 ， S 54 34 88 ， a 21， b 34 ，不满足所填条件，输出结
果 S 88 ，所填条件应为 i 8 .故选： B .
10．C【解析】设点
x,
y
是函数
y
lg
x,
x
1
图象上任意一点，它关于点
1,
0
的对称点为
x', y' ，
则
)
A． , 2
B． , 2
0, 2
C．
0,
D．
2．若复数 z＝1+i+i2+i3+…+i2021，则复数 z 对应的点在第( )象限
A．一
B．二
C．三
D．四
3．已知非零向量
a，b 满足
b
＝4
a
，且
a
(2a+b)
，则
a
与
b
的夹角为(
)
A．
B．
C．
D．
4．为了得到函数
y
sin
2x
3
时，函数
f
x 单调递减，排除
A.
7．B【解析】由题意可知第三到第八位有效数字为 4，1，5，9，2，6，则取到数字 a ， b 的
情况有 (4,1) ， (4,5) ， (4,9) ， (4, 2) ， (4, 6) ， (1,5) ， (1,9) ， (1, 2) ， (1, 6) ， (5, 9) ，
数分布统计）；
满意程度（分数） [0, 20)
[20, 40) [40, 60) [60,80) [80,100]
人数 （Ⅱ）求市民投票满意程度的平均分（各分数段取中点值）；
（Ⅲ）若满意程度在[0, 20) 的 5 人中恰有 2 位为女性，座谈会
将从这 5 位市民中任选两位发言，求 男性甲或女性乙被选中的概率．
x
0
时，
f
x
ln
x
sin
x
，可得：
f
x
1 x
cos
x
，令
1 x
cos
x
0
，作出
y
1 x
与
y
cos
x
图像如图：
f ln 1
可知两个函数有一个交点，就是函数的一个极值点，
，
排除 C；当 x x0 时， f x0 0 ，故 x 0, x0 时，函数 f x单调递
增，
x x0,
2
2
2 a a b＝0 a (2a+b)，＝a ，(2＝a+b) 0 2 a +a b 0
3．C【解析】
，
2
2 2
2 a a b co〈s a，b〉＝0 b ＝4，a＋〈2，a〉＝4 a cos a b 0
即
.
，
cos a,
b
1
,
a, b
2
2
3.
4．B【解析】因为
精确到小数点后第七位，即 3.1415926 ，在此基础上，我们从“圆周率”第三到第 八位有效数字中随机取两个数字 a ， b ，则事件“ | a b | 3 ”的概率为( )
1 A． 3
8 B． 15
2 C． 3
7 D． 15
1 8．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的圆弧为 4 圆周，则该几何体的体积为( )
在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为 l1 ， l2 ，
l3 ， l4 ，则( )
A． l1 l2 l3 l4
B． l1 l2 l3 l4
C． l1 l2 l3 l4
D． l1 l2 l3 l4
12．已知函数 f (x) xex ex ，函数 g(x) mx m （ m 0 ），若对任意的 x1 [2，2] ，总
D． c ac b
6．函数 f x ln | x | | sin x | （ x , 且 x 0 ）的大致图象是( )
A．
B．
C．
D．
7．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家.他一生钻研自然科学，其主要贡献在
数学、天文历法和机械制造三方面，特别是在探索圆周率 的精确度上，首次将“ ”
则该组合体的体积为 3 2
34
3 6 ；所以对应不规
1 则几何体的体积为 3 6 ．故选 B． 9．B【解析】按照程序框图运行程序，输入 a 1， b 1， i 3 ， 则 S 11 2 ， c 11 2 ， S 2 2 4 ， a 1， b 2 ，满足所填条件，循环；
i 4 ， c 1 2 3 ， S 4 3 7 ， a 2 ， b 3 ，满足所填条件，循环； i 5 ， c 2 3 5 ， S 7 5 12 ， a 3 ， b 5 ，满足所填条件，循环； i 6 ， c 3 5 8 ， S 12 8 20 ， a 5 ， b 8 ，满足所填条件，循环； i 7 ， c 5 8 13 ， S 20 13 33 ， a 8 ， b 13 ，满足所填条件，循环； i 8 ， c 9 13 21， S 33 21 54 ， a 13， b 21 ，满足所填条件，循环；
b 1,0 c 1.
对 A,若 a ab a 1 b 0 ,不成立.故 A 错误.对 B,因为 c 1 b ,故 B 错误.对 C,
ab a c 成立.
对 D, 因为 ac 0 c ,故 D 错误.
6．D【解析】函数 f x ln | x | | sin x | （ x , 且 x 0 ）是偶函数，排除 B；当
20. 已知函数 f (x) x3 a ln x(a R) .
（ Ⅰ）讨论函数 f (x) 的单调性；
（ Ⅱ）若函数 y f (x) 在区间 (1, e] 上存在两个不同零点，求 实数 a 的取值范围.
M : x 12 y2 1 N : x 12 y2 9
21. 已知圆