2013丽水竞赛试题

2013年丽水市高中数学竞赛试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
1．已知0x 是x
x f x 1)21()(+
=的一个零点，)0,(),,(0201x x x x ∈-∞∈，则 （▲） A ．0)(,0)(21<<x f x f B ．0)(,0)(21<>x f x f
C ． 0)(,0)(21>>x f x f
D ．0)(,0)(21><x f x f
2.等差数列{}n a 中，01>a ，13853a a =，则部分和n S 中最大的是 （▲）
A ．10S
B ．11S
C ．20S
D ．21S 3．若实数x ，y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩
且x y +的最大值为9，则实数m = （▲）
A ．2-
B ．1-
C ．2
D ．1
4．已知两点M(0，2)，N(－3，6)到直线l 的距离分别为1和3，则满足条件的直线l 的条数是 （▲）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．无数条
5．设数列}{n a 满足：21=a ，n
n a a 111-=+，记数列}{n a 的前n 项之积为n P ，则2014P 的值为 （▲）
A ．2-
B ．1-
C ．2
D ．1
6．设函数1()1f x x
=-．若f (a )＝f (b )，且0＜a ＜b ，则ab 的取值范围是 （▲） A ．(0,)+∞ B ．(1,)+∞ C ．[)1,+∞ D ．[)2,+∞
7.设平面点集{}
221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ⎧
⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭，则A B 所表示的平面图形的面积为 （▲）
A .34
π B .35π C .47π D .2
π 8．若关于y x ,的方程组⎩⎨⎧=-=+k y kx k y x 222
22仅有一组实数解，则符合条件的实数k 的个数是（▲）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．已知△ABC 的三边a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 所对的角依次为A ，B ，C ．则sin B +cos B 的取值范围是 （▲）
A ．[21，]2
B ．（1，]2
C ．[2
1，1+]23 D ． (1，1+]23
10．定义在R 上的函数()f x 满足(+2)=2(f x f x ，当x ∈[0，2)时，
[)[)2 1.50,1()(0.5)1,2x x x x f x x -⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩
，若[4,2]x ∈--时，1()42t f x t ≥-恒成立，则实数 t 的取值范围是 （▲）
A ．[2-，0) (0，l)
B ．[2-，0) [l ，+∞)
C ．[2-，l]
D ．(-∞，2-] (0，l]
二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分.
11．已知向量a ，b 满足π2,,3
==<>=a b a b ，则以向量2+a b 与3-a b 表示的有向线段 为邻边的平行四边形的面积为 ▲ ．
12．函数2
1)(2
+-=x x x f 的值域是 ▲ ． 13．已知sin 22sin 4θ=，则tan(2)tan(2)
θθ+-= ▲ ． 14．在△ABC 中，AB =3，AC =5，∠BAC =60º，若点P
是△ABC 所在平面内一点，且AP =2，则PB PC ⋅ 的最大值为 ▲ ．
15．已知数列{}n a 为正项等比数列，且 34125a a a a +--=，则56a a +的最小值是 ▲ ．
16．已知函数)(x f 满足对一切R x ∈都有
()(+f x f 成立，若方程
x x f 2013)(2012=有9个不同的实根，则这9个实数根之和为 ▲ ．
17．在集合{1，2，3，…，99，100}中挑出50个元素，从大到小排列依次为a 1，a 2，…，a 50，
其余50个元素从小到大排列依次为b 1，b 2，…，b 50，则50502211b a b a b a -++-+- 所有可能的取值的集合为 ▲ ．
三、解答题：本大题共3小题，每小题17分，满分51分.
18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A =60︒，5sin B =3sinC ，且△ABC ． （1）求a ，b ，c 的值；
（2）若把△ABC 的每边都加上相同的长度(0)x x >，试判断△ABC 是什么三角形？并说明
理由.
19．已知整数列{}n a 满足31a =-，74a =，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等
比数列．
(1) 求数列{}n a 的通项公式；
(2) 求出所有的正整数m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=．
22.已知函数()=(1-2-)f x a x b （a ，b 为常数且>0a ）的图像关于直线1=2
x 对称. （1）求实数b 的值；
（2）若0x 满足00(())=f f x x ，但00()f x x ≠，则称0x 为函数()f x 的二阶周期点，如果
()f x 有两个二阶周期点，试确定a 的取值范围.。