必修2第二章平面与平面垂直的判定导学案
2.3.2平面与平面垂直的判定导学案
2.3.2平面与平面垂直的判定导学案1、教学目标依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：●知识与技能使学生经历面面垂直定义及判定定理相关概念的产生过程，掌握并会初步应用两个平面垂直的判定定理.掌握平面与平面垂直的判定定理及其变式，能利用它们解决相关的问题。
●方法与过程通过对面面垂直相关概念及判定定理的探究，培养学生观察、分析、抽象、概括的思维水平,进一步感受转化、类比等思维方法;通过对面面垂直判定定理的应用,进一步培养学生的空间想象、推理论证等水平.●情感态度与价值观通过教师引导学生经历直观感知、操作确认等交流探索活动,激发学生的学习兴趣,使学生经历数学思维的过程,获得成功的体验.2、教学重点、难点●重点两个平面互相垂直的判定定理及其应用.●难点两个平面垂直的判定定理的归纳概括及应用。
●重、难点解决的方法策略本课通过自制模具的演示，为学生提供直观感性的材料，让学生从中自主探索，经历直观感知，操作确认，思辨论证的过程，并借助多媒体的直观演示，有________平面内的任何直线；⑵直线与平面垂直的判定定理为_________________________________________复习2：①什么是二面角？什么是二面角的平面角？②当两个平面所成的二面角____________时，这两个平面互相垂直.。
二、新课导学※探索新知（一）、平面与平面垂直定义问题1：（见课件例1）在正方体ABCD-A’B’C’D’中，二面角A’-AB-D的平面角是多少？问题2：请同学们把自己的数学书打开直立在桌面上，观察书本与桌面的位置有什么关系？※新知1：面面垂直的定义：两个平面所成二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直.如图，α垂直β，记作αβ⊥.※探索新知（二）、平面与平面垂直的判定定理思考1：除了定义，你还能想出什么方法判定两个平面垂直呢？生活中，平面与平面垂直的例子有哪些？合作交流：学校新砌了一面墙怎样检测所砌的墙是否与地面垂直？由此实际问题如何抽象为数学问题呢探究活动：（1）拿起手中书本，让其一边垂直桌面，然后让书本绕这边实行旋转，每旋转大概60度，记录此时书本与桌面的位置关系。
人教版数学必修二2.3.2《平面与平面垂直的判定》教学教案设计
课题:平面与平面垂直的判定(新授课)
1.教学任务分析：通过教学活动，
(1)使学生了解、感受二面角的概念，感受到生活中处处有数学、数学用途广泛,增强学数学的兴趣.
(2)在二面角的概念教学中，让学生体会以下几点：
a.二面角的大小是用平面角来度量的.
b.二面角的平面角的大小由二面角的两个面的位置唯一确定.
c.平面角的两边分别在二面角的两个平面内，且两边都与二面角的棱垂直，由这个角所
确定的平面和二面角的棱垂直.
(3)了解平面与平面垂直的定义,通过探究掌握平面与平面垂直的判定定理.
(4)通过例题教学,探究确定二面角的平面角的方法,会求特殊二面角的大小.
2.教学难点、重点：
(1)重点：
确定二面角，面面垂直判定定理的应用.
(2)难点：
各种情景下确定二面角的平面角.
3.教学方式与手段：
采用“启发式”、“探究式”、“讲练结合”法.
借助多媒体电脑平台.
4.教学基本流程(总体设计)：
从生活实例让学生感性认识二面角
↓
二面角的概念
↓
二面角的平面角
↓
定义两平面垂直
↓
面面垂直的判定
↓
应用、探究
↓
课堂小结、作业
5.页面设计(相应内容逐步演示):
课题:平面与平面垂直的判定
1.二面角概念
2.确定二面角的平面角的方法
3.平面与平面垂直的定义
4.平面与平面垂直的判定定理
5.应用举例
6.小结与作业。
高中数学 第二章2.3.2平面与平面垂直的判定导学案 新人教A版必修2
2.3.2 平面与平面垂直的判定问题导学一、面面垂直的判定活动与探究1在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面△ABC为等边三角形，E∈BB1，且BE＝EB1．求证：平面A1EC⊥平面ACC1A1(注：侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱)．迁移与应用1．如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面共有__________对．2．在四棱锥P－ABCD中，若PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是菱形，求证：平面PAC⊥平面PBD．证明面面垂直有两种基本方法：①定义法：先作(或找)出二面角的平面角，再证明该角是90°；②判定定理法：在一个平面内找(或作)出一条直线，再证明该直线与另一个平面垂直．二、求二面角的大小活动与探究2四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB．(1)求二面角A－PD－C平面角的度数；(2)求二面角B－PA－D平面角的度数；(3)求二面角B－PA－C平面角的度数．迁移与应用1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是BD的中点，二面角C1－AB－C的平面角是__________；二面角C1－BD－C的平面角是__________，其正切值为__________．2．在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，BC⊥AC，则二面角S－BC－A的平面角是__________．求二面角的大小的方法为：一作，即先作出二面角的平面角；二证，即说明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，再求出角的大小．三、线面垂直与面面垂直的综合应用活动与探究3如图，P是矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，又二面角P－CD－B为45°．(1)求证：AF∥平面PEC；(2)求证：平面PEC⊥平面PCD．迁移与应用1．过一条直线和一个平面垂直的平面有( )A．一个B．无数个C．一个或无数个D．0个2．如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．求证：平面EBD⊥平面ABCD．证“面面垂直”转化为“线面垂直”，证“线面垂直”转化为“线线垂直”，即线线垂直→线面垂直→面面垂直．当堂检测1．下列命题中①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是( )A．①③ B．②④ C．③④ D．①②2．对于直线a，b，c和平面α，β，已知a⊂α，b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，则α与β的位置关系是( )A．α⊥β B．α∥βC．α∩β＝l D．不确定3．以等腰直角三角形斜边上的高为棱，把它折成直二面角，则折后两条直角边的夹角为( )A．30° B．45° C．60° D．90°4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AA1C1C与平面C1BD的位置关系是________．5．在四面体A－BCD中，BD＝2a，其余棱长均为a，则二面角A－BD－C的大小为__________．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．答案：课前预习导学【预习导引】1．两个半平面二面角的棱二面角的面α－AB－βP－AB－Qα－l－βP－l －Q2．垂直于l射线OA和OB直二面角预习交流1(1)提示：0°≤θ＜180°(2)提示：二面角α－l－β的平面角∠AOB满足的条件是：①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l．(3)提示：根据等角定理，二面角的平面角的大小与在棱上选取的点的位置无关．3．直二面角预习交流2提示：90°4．垂线a⊥α，a⊂β，则α⊥β预习交流3 提示：要证明两个平面垂直，只需在一个平面内找(或作)一条直线与另一个平面垂直，并证明即可．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：要证明平面A1EC⊥平面ACC1A1，只需在平面A1EC内找一条线与平面ACC1A1垂直．证明：取A1C的中点F，AC的中点G，连接EF，FG，BG，则GF 12AA1．又BE 12AA1，∴GF BE．∴EF∥GB．∵△ABC是等边三角形，∴BG⊥AC．∴EF⊥AC．又AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BG．∴EF⊥AA1．∵AC∩AA1＝A，∴EF⊥平面ACC1A1．∵EF⊂平面A1EC，∴平面A1EC⊥平面ACC1A1．迁移与应用1．32．证明：∵PA⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，∴PA ⊥BD ．∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ．∵PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC ．∵BD ⊂平面PBD ，∴平面PAC ⊥平面PBD ．活动与探究2 思路分析：(1)证明面PAD ⊥面PCD ；(2)，(3)先找出二面角的平面角，再证明该角满足平面角的定义，最后在三角形中求角的大小．解：(1)∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ．又四边形ABCD 为正方形，∴CD ⊥AD ．PA ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面PAD ． 又CD ⊂平面PCD ，∴平面PAD ⊥平面PCD ．∴二面角A －PD －C 平面角的度数为90°． (2)∵PA ⊥平面ABCD ， ∴AB ⊥PA ，AD ⊥PA ．∴∠BAD 为二面角B －PA －D 的平面角．又由题意∠BAD ＝90°， ∴二面角B －PA －D 平面角的度数为90°． (3)∵PA ⊥平面ABCD ， ∴AB ⊥PA ，AC ⊥PA ．∴∠BAC 为二面角B －PA －C 的平面角．又四边形ABCD 为正方形，∴∠BAC ＝45°，即二面角B －PA －C 平面角的度数为45°．迁移与应用 1．∠C 1BC ∠C 1OC 2 2．∠SCA活动与探究3 思路分析：(1)取PC 中点G ，可证AF ∥EG ；(2)证明AF ⊥平面PCD ，则EG ⊥平面PCD ，可得平面PEC ⊥平面PCD ．证明：(1)取PC 的中点G ；连接EG ，FG ．∵F 是PD 的中点，∴FG12CD ．又AE 12CD ， ∴AE FG ．∴四边形AEGF 是平行四边形．∴AF ∥EG ． 又AF ⊄平面PEC ，EG ⊂平面PEC ，∴AF ∥平面PEC ． (2)∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ．又∵CD ⊥AD ，且PA ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面PAD ． ∴CD ⊥AF ，CD ⊥PD ．∴∠PDA 是二面角P －CD －B 的平面角，即∠PDA ＝45°． 又∵PA ⊥AD ，F 是PD 中点，∴AF⊥PD．∵PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD．∵AF∥EG，∴EG⊥平面PCD．∵EG⊂平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD．迁移与应用1．C2．证明：如图所示，连接AC，与BD交于点F，连接EF．因为F为ABCD对角线AC 与BD的交点，所以F为AC的中点．又E为SA的中点，所以EF为△SAC的中位线，所以EF∥SC．又SC⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD．又EF⊂平面EBD，所以平面EBD⊥平面ABCD．【当堂检测】1．B 2．D 3．C 4．垂直5．90°。
2.3.2面面垂直的判定导学案
§2.3.2平面与平面垂直的判定1. 掌握平面与平面垂直的判定定理及二面角的定义；2. 掌握平面与平面垂直判定定理的应用，能解决简单的二面角求解问题。
教学重点：平面与平面垂直判定。
教学难点：平面与平面垂直判定和求二面角。
使用说明： （1）预习教材，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成下列问题，总结规律方法；（2）用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容；预习案（20分钟）一．知识链接1．直线与平面垂直的判定定理？2. 直线与平面所成的角的定义？范围？求法？探究案（30分钟）二．新知探究实例：（1）修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度。
（2）发射人造地球卫星时，根据需要，使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度。
（3）随着门的开启，其所在平面与墙所在平面的相交程度在变，怎样描述这种变化呢？问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？它们的取值范围分别是?组长评价： 教师评价：问题3：二面角的有关概念及度量（2）二面角的度量--------二面角的平面角 我们常说“把门开大一些”，是指哪个角大一些？ 应该怎样刻画二两角的大小呢？（模型演示）二面角的平面角：在二面角α—l —β的棱上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角。
说明：（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA ⊥l ，OB ⊥l ”；（2）∠AOB 的大小与点O 在l 上位置无关；（3）二面角的大小可以用它的平面角来度量，范围：],0[πθ∈； （4）直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。
问题4：两个平面互相垂直的概念：。
记作：。
怎样画能体现两个平面垂直？问题5：两个平面垂直的判定定理：。
符号语言：。
作用：。
高中数学必修2导学案 2.3.2平面与平面垂直的判定
§2.3.2 平面与平面垂直的判定学习目标：1. 理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小；2. 理解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系；3. 熟悉线线垂直、线面垂直的转化.学习重点: 平面与平面垂直的判定；学习难点: 如何度量二面角的大小。
课前预习（预习教材P 67~ P 69，找出疑惑之处）复习1：⑴若直线垂直于平面，则这条直线________平面内的任何直线；⑵直线与平面垂直的判定定理为_________________________________________________.复习2：⑴什么是直线与平面所成的角?⑵直线与平面所成的角的范围为_______________.课内探究探究1：二面角的有关概念图11-1问题：上图中，水坝面与水平面、卫星轨道平面与地球赤道平面都有一定的角度.这两个角度的共同特征是什么?新知1：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.图11-2中的二面角可记作：二面角AB αβ--或l αβ--或P AB Q --.图11-2问题：二面角的大小怎么确定呢？新知2：如图11-3，在二面角lαβ--的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线,OA OB，则射线OA和OB构成的AOB∠叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角.反思：⑴两个平面相交，构成几个二面角?它们的平面角的大小有什么关系？⑵你觉的二面角的大小范围是多少？⑶二面角平面角的大小和O点的选择有关吗？除了以上的作法，二面角的平面角还能怎么作？探究2：平面与平面垂直的判定问题：教室的墙给人以垂直于地面的形象，想一想教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？它们的大小是多少？新知3：两个平面所成二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直.如图11-4，α垂直β，记作αβ⊥.图11-4问题：除了定义，你还能想出什么方法判定两个平面垂直呢？新知4：两个平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.l反思：定理的实质是什么?例1 如图11-5，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于,A B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.图11-5例2 如图11-6，在正方体中，求面A D CB''与面ABCD所成二面角的大小（取锐角）.图11-6小结：求二面角的关键是作出二面角的平面角.※动手试试练. 如图11-7，在空间四边形SABC中，ASC∠ =90°，60ASB BSC∠==°，SA SB SC==，B'C'A'DCBAD'⑴求证：平面ASC ⊥平面ABC .⑵求二面角S AB C --的平面角的正弦值.图11-7当堂检测1. 以下四个命题，正确的是（ ）.A.两个平面所成的二面角只有一个B.两个相交平面组成的图形叫做二面角C.二面角的平面角是这两个面中直线所成的角中最小的一个D.二面角的大小和其平面角的顶点在棱上的位置无关2. 对于直线,m n ,平面,αβ,能得出αβ⊥的一个条件是（ ）.A.,//,//m n m n αβ⊥B.,,m n m n αβα⊥=⊂C.//,,m n n m βα⊥⊂D.//,,m n m n αβ⊥⊥3. 在正方体1111ABCD A B C D -中，过,,A C D 的平面与过1,,D B B 的平面的位置关系是（ ）.A.相交不垂直B.相交成60°角C.互相垂直D.互相平行4. 二面角的大小范围是________________.5. 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线的位置关系为_______.课后反思1. 二面角的有关概念，二面角的求法；2. 两个平面垂直的判定定理及应用.知识拓展二面角的平面角的一个常用作法：如图过平面α内一点A ，作AB β⊥于点B ，再作BO l ⊥于O ，连接OA ，则AOB ∠即为所求平面角.(为什么?)课后训练 1．过平面α外两点且垂直于平面α的平面 （ ）()A 有且只有一个 ()B 不是一个便是两个 ()C 有且仅有两个 ()D 一个或无数个2．若平面α⊥平面β，直线n ⊂α，m ⊂β,m n ⊥，则（ ）()A n ⊥β ()B n ⊥β且m ⊥α ()C m ⊥α ()D n ⊥β与m ⊥α中至少有一个成立3．对于直线,m n 和平面,αβ，α⊥β的一个充分条件是（ ）()A m n ⊥，//,//m n αβ ()B ,,m n m n αβα⊥=⊂ ()C //,,m n n m βα⊥⊄ ()D ,,m n m n αβ⊥⊥⊥4．设,,l m n 表示三条直线，,,αβγ表示三个平面，给出下列四个命题：①若,l m αα⊥⊥，则//l m ；②若,m n β⊂是l 在β内的射影，m l ⊥，则m n ⊥；③若,//m m n α⊂，则//n α； ④若,αγβγ⊥⊥，则//αβ． 其中真命题是（ ） ()A ①② ()B ②③ ()C ①③ ()D ③④5：已知平面α∩平面β=直线a ，α、β垂直于平面γ，又平行于直线b ，求证:(1) a ⊥γ；(2)b ⊥γ．6. 如图11-8，AC ⊥面BCD ，BD CD ⊥，设ABC ∠=1θ，2CBD θ∠=，3ABD θ∠=，求证：312cos cos cos θθθ=图11-87. 如图11-8，在正方体中，,E F 是棱A B ''与D C ''的中点，求面EFCB 与面ABCD 所成二面角的正切值.（取锐角）图11-8。
人教A版数学必修二第二章第十三课时导学案2.3.4平面与平面垂直的性质
§2.3.4 平面与平面垂直的性质学习目标 1. 理解和掌握两个平面垂直的性质定理及其应用；2. 进一步理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化及转化的数学思想.学习过程一、课前准备71~ P 72，找出疑惑之处）复习1：直线与平面垂直的性质定理是_____________________________________________.复习2：直线与平面垂直的判定定理是_____________________________________________.复习3：两个平面垂直的定义是什么?二、新课导学※ 探索新知探究：平面与平面垂直的性质问题1：如图13-1，黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？图13-1问题2：如图13-2，在长方体中，面AADD ''与面ABCD 垂直，AD 是其交线，则直线AA '与AD 关系如何？直线AA '与面ABCD 呢？图13-2反思：以上两个问题有什么共性？你得出了什么结论？请用图形和符号语言把它描述在下面，并试着证明这个结论.黑板地面新知：平面与平面垂直的性质定理 若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.反思：这个定理实现了什么关系的转化?※ 典型例题例1 如图13-3，已知平面,αβ，αβ⊥，直线a 满足a β⊥，a α⊄，求证：a ∥面α.图13-3例2 如图13-4，四棱锥P ABCD -的底面是个矩形，2,AB BC =PAB 是等边三角形，且侧面PAB 垂直于底面ABCD .⑴证明：侧面PAB ⊥侧面PBC ；⑵求侧棱PC 与底面ABCD 所成的角.※ 动手试试练1. 平面α⊥平面β，P α∈，过点P 作平面β的垂线a ，求证：a α⊂.练2. 如图13-5，平面α⊥平面β，AB αβ=，a ∥α，a AB ⊥，求证：a β⊥.图13-5三、总结提升※ 学习小结1. 两个平面垂直的性质定理及应用；可证明线面垂直、线线垂直、线在面内及求直二面角；2. 判定定理和性质定理的交替运用，三种垂直关系的相互转化.※ 知识拓展两个平面垂直的性质还有：⑴如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内一点且垂直于另外一个平面的直线,必在这个平面内；⑵如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个平面的交线垂直于这个平面； ⑶三个两两垂直的平面，它们的交线也两两垂直.你能试着用图形和符号语言描述它们吗?学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列命题错误的是（ ）.A.αβ⊥⇒α内所有直线都垂直于βB.αβ⊥⇒α内一定存在直线平行于βC.α不垂直β⇒α内不存在直线垂直βD.α不垂直β⇒α内一定存在直线平行于β2. 已知αβ⊥，下列命题正确个数有（ ）.①αβ内的已知直线必垂直于内的任意直线②αβ内的已知直线必垂直于内的无数条直线③α内的任一直线必垂直于βA.3B.2C.1D.03. 已知αβ⊥，,a b αβ⊂⊂，b 是α的斜线，a ⊥b ，则a 与β的位置关系是（ ）.A.a ∥βB. a 与β相交不垂直C. a β⊥D.不能确定4. 若平面αβ⊥平面，直线a α⊂，则a 与β的位置关系为_____________________.5. 直线m 、n 和平面α、β满足m n ⊥，m α⊥,αβ⊥，则n 和β的位置关系为__________. 课后作业1. 如图13-6，平面α⊥平面γ，βγ⊥平面平面，l αβ=，求证：l γ⊥.图13-62. 如图13-7，,,CD CD AB αββ⊥⊂⊥，CE ,EF ⊂α，90FEC ∠=°， 求证：面EFD ⊥面DCE .图13-7。
人教新课标版数学高一-必修二导学案 2.3.2平面与平面垂直的判定
时间课时课题 2.3.2平面与平面垂直的判定主备人王建东学习目标正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；学习重点难点学习重点: 平面与平面垂直的判定；学习难点: 如何度量二面角的大小。
学法与教具学习过程备注一、二面角的定义问题1:半平面：二面角：二面角的表示:二面角的平面角:二面角的平面角∠AOB的特点：(1)角的顶点在棱上；(2)角的两边分别在二面角的两个面上；(3)角的两边分别和棱垂直。
特别指出：①二面角的大小是用平面角来度量的，其范围是[0，0180）；②二面角的平面角的大小与棱上点（角的顶点）的选择无关，是有二面角的两个面的位置惟一确定；③二面角的平面角所在的平面和棱是垂直的直二面角:规律：求异面直线所成的角，直线与平面所成的角，平面与平面所成的角最终都转化为线与线相交构成的角。
例1：如图四面体ABCD的棱BD长为2，其余各棱长均为2，求二面角A-BD-C的大小。
二、两个平面互相垂直两个平面互相垂直：两个互相垂直的平面画法：平面α与β垂直，记作：定理:一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
符号语言: AB AB =B AB ββααβ⊥⋂⊂⇒⊥，，图形语言:思想:线面垂直⇒面面垂直判断对错:1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.（ ）2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线，则α⊥β.（ ）3.如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线, 则α⊥β.（ ）例2、已知直线PA 垂直于圆O 所在的平面，A 为垂足，AB 为圆O 的直径，C 是圆周上异于A 、B 的一点。
探究1、四面体P-ABC 的四个面的形状是怎样的?探究2、有哪些直线和平面垂直？探究3、有哪些平面相互垂直？求证：平面PAC ⊥平面PBC关键:找与平面垂直的线.例3：如图P 为ΔABC 所在平面外一点，PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，AE ⊥PB 于E ，AF ⊥PC于F ，求证：⑴平面PAB ⊥平面PBC ；⑵平面AEF⊥平面PBC ；⑶平面AEF ⊥平面PAC 。
人教新课标版数学高一必修2导学案 2.3.2平面与平面垂直的判定教师版
2.3.2平面与平面垂直的判定【教学目标】1.理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角；2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角；3.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直．【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《2.3.2平面与平面垂直的判定》课件“新课导入”部分，让学生与大家分享自己的了解。
通过互相交流，引入本节课要学习的知识.二、自主学习知识点一二面角1．定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．2．相关概念：①这条直线叫二面角的棱，②两个半平面叫二面角的面．3．画法：4．记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q，或P－AB－Q.5.二面角的平面角：若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.知识点二平面与平面垂直1．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)画法：记作：α⊥β.2．判定定理文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形语言符号语言l⊥α，l⊂β⇒α⊥β三、合作探究问题1观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状．数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？答案二面角．问题2平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？答案二面角的平面角．问题3建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直．当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？答案都是垂直．探究点1定义法判定两平面垂直例1如图，在四面体ABCD中，BD＝2a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.求证：平面ABD⊥平面BCD.解因为△ABD与△BCD是全等的等腰三角形，所以取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，BD⊥CE.在△ABD中，AB＝a，BE＝12BD＝22a，所以AE＝AB2－BE2＝22a.同理CE＝22a，在△AEC中，AE＝CE＝22a，AC＝a.由于AC2＝AE2＋CE2，所以AE⊥CE，所以AE⊥面BCD.又AE⊂面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD.反思与感悟 1.利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两平面垂直，其判定的方法是：(1)找出两相交平面的平面角；(2)证明这个平面角是直角；(3)根据定义，这两个相交平面互相垂直．2．此类问题在证明平面角是直角时常用勾股定理的逆定理，解答时要特别注意．探究点2面面垂直的判定定理判定两平面垂直例2如图，在四棱锥P-ABCD中，若PA⊥平面ABCD且ABCD是菱形．求证：平面PAC⊥平面PBD.证明∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA.∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.又∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.反思与感悟利用面面垂直的判定定理证明两平面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中的一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直．探究点3求二面角的大小例3如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点．(1)求点C 到平面A 1ABB 1的距离；(2)若AB 1⊥A 1C ，求二面角A 1－CD －C 1的平面角的余弦值．解 (1)由AC ＝BC ，D 为AB 的中点，得CD ⊥AB ，又CD ⊥AA 1，故CD ⊥面A 1ABB 1，所以C 到平面A 1ABB 1的距离为CD ＝BC 2－BD 2＝ 5.(2)如图，取D 1为A 1B 1的中点，连接DD 1，则DD 1∥AA 1∥CC 1.又由(1)知CD ⊥面A 1ABB 1，故CD ⊥A 1D ，CD ⊥DD 1，所以∠A 1DD 1为所求的二面角A 1－CD －C 1的平面角． 因CD ⊥面A 1ABB 1，AB 1⊂面A 1ABB 1，所以AB 1⊥CD ，又已知AB 1⊥A 1C ，A 1C ∩CD ＝C ，所以AB 1⊥面A 1CD ，故AB 1⊥A 1D ，从而∠A 1AB 1、∠A 1DA 都与∠B 1AB 互余，因此∠A 1AB 1＝∠A 1DA ，所以Rt △A 1AD ∽Rt △B 1A 1A .因此AA 1AD ＝A 1B 1AA 1，即AA 21＝AD ·A 1B 1＝8， 得AA 1＝2 2.从而A 1D ＝AA 21＋AD 2＝2 3.所以，在Rt △A 1DD 1中，cos ∠A 1DD 1＝DD 1A 1D ＝AA 1A 1D ＝63. 反思与感悟 求二面角的大小应注意做题的顺序，一般情况下，是先作出二面角的平面角，然后证明它是二面角的平面角，接着是求出这个角的值，最后说明二面角为多少度．这个过程可以简记为：作(找)、证、求、答．四、当堂测试1．直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是()A．平行B．可能重合C．相交且垂直D．相交不垂直答案 C解析由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.2．下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是()A．①③B．②④C．③④D．①②答案 B解析①不符合二面角定义，③从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角．故选B.3.如图，已知Rt△ABC，斜边BC⊂α，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO ＝45°，则二面角A－BC－O的大小为________．答案60°解析如图所示，在平面α内，过O作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.∵AO⊥α，BC⊂α，∴AO⊥BC.又∵AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD.而AD⊂平面AOD，∴AD⊥BC.∴∠ADO 是二面角A －BC －O 的平面角．由AO ⊥α，OB ⊂α，OC ⊂α，知AO ⊥OB ，AO ⊥OC .又∠ABO ＝30°，∠ACO ＝45°，∴设AO ＝a ，则AC ＝2a ，AB ＝2a .在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∴BC ＝AC 2＋AB 2＝6a ，∴AD ＝AB ·AC BC ＝2a ·2a 6a＝233a . 在Rt △AOD 中，sin ∠ADO ＝AO AD ＝a 233a ＝32. ∴∠ADO ＝60°.即二面角A －BC －O 的大小是60°.4.如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点．求证：面EFC ⊥面BCD .证明 ∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴EF ⊥BD .∵CB ＝CD ，F 是BD 的中点，∴CF ⊥BD .又EF ∩CF ＝F ，∴BD ⊥面EFC .∵BD ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD .五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?1．求二面角的步骤简称为“一作二证三求”．2．作二面角的三种常用方法(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α－l－β的平面角．(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角，如图③，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．3．证明两个平面垂直的主要途径(1)利用面面垂直的定义；(2)利用面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．。
高中数学《2.12平面与平面垂直的判定》导学案 新人教A版必修2
山西省原平市第一中学高中数学《2.12平面与平面垂直的判定》导学案新人教A版必修2§2 12平面与平面垂直的判定一、学习目标1. 使学生了解二面角、平面与平面垂直的概念；2. 使学生理解平面与平面垂直的判定定理。
2. 使学生逐渐掌握严谨的论证方法。
二、文本研读问题一：请阅读P67练习后至P68观察前的内容，回答下列问题。
1. 二面角的概念半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为，二面角：，叫做二面角。
这条直线叫做，这两个半平面叫做。
图形表示：；；符号表示：；；2. 二面角的平面角在二面角 l 的棱上任取．．． ．和． ．内．分别．．．．一点O, 以点O为垂足，在半平面作，则射线OA和OB构成的 AOB叫做。
注意：(1) AOB的大小与点O的位置无关。
(2)画图时，应使OA、OB分别与表示半平面 、 的平行四边形的不平行于棱l的边平行。
二面角的度量：二面角的大小用它的平面角来度量，二面角的平面角就说这个二面角是直二面角：叫做直二面角。
二面角的取值范围是问题二：请阅读P68观察后至P69例3前的内容，完成下列问题。
2.用文字语言叙述平面与平面垂直的判定定理3. 用符号语言叙述平面与平面垂直的判定定理并画出相应图形。
三、合作探究如图，正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体,使G1、G2、G2三点重合,重合后的点记为G.(1)列举出其四个面中各对互相垂直的面；(2)求二面角S EF G的余弦值。
四、交流、点评五、实战演练1.以下能判断 AOB是二面角 l 的平面角的是( )(A) O l, OA l, OB l；(B) O l, OA , OB ；(C) O l, l 平面AOB, A , B ；(D) OA l, OB l , OA .2.若AB是 O的直径，PA垂直于 O所在平面，C是 O上不同于A、B的任意一点。
高一数学必修二2.3.1直线与平面垂直的判定2.3.2平面与平面垂直的判定导学案(解析版)
2.3.1直线与平面垂直的判定 2.3.2平面与平面垂直的判定一、课标解读（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理； （2）使学生掌握直线和平面所成角的概念（3）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（4）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（5）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。
二、自学导引问题1：（1）请同学们观察图片，说出旗杆与地面、树干与地面的位置有什么关系？（2）请把自己的数学书打开直立在桌面上，观察书脊与桌面的位置有什么关系？ （3）思考：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？有什么生活实例能验证这一关系呢？直线与平面垂直的定义：用符号语言表示为：问题2：如图，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个实验：过△ABC 的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD ，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD 、DC 与桌面接触）.观察并思考：①折痕AD 与桌面垂直吗？DCBA②如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在的平面垂直？ 直线与平面垂直的判定定理：用符号语言表示为：问题3：直线与平面所成角的概念？问题4：怎样作出二面角的平面角？问题5：平面与平面垂直的定义？问题6：两个平面互相垂直的判定方法有哪些？ 三、典例精析例1 已知两两垂直所在平面外一点，是PC PB PA ABC P ,,∆,H 是ABC ∆ 的垂心.求证：⊥PH 平面ABC变式训练1 如图所示，ABC PA O C O AB 平面上的一点，为圆的直径，为圆⊥, F CP AF E BP AE 于于⊥⊥,.求证：AEF BP 平面⊥例2 如图所示,已知 60,90=∠=∠=∠CSA BSA BSC ,又SC SB SA ==. 求证:平面SBC ABC 平面⊥变式训练２ 如图所示,在四面体ABCD 中,AC CD CB AD AB a BD =====,2 =a ,求证:平面BCD ABD 平面⊥._ C例3 如图所示,已知的斜线，是平面内，在平面ααOA BOC ∠且AOCAOB ∠=∠=60,a OC OB OA ===,a BC 2=,求所成的角与平面αOA .变式训练3 如图所示，在矩形ABCD 中，3,33==BC AD ,沿着对角线BD 将BCD ∆折起，使点C 移到'C 点，且'C 点在平面ABD 上的射影O 恰在AB 上.（1）求证：D AC BC ''平面⊥（2）求直线AB 与平面D BC '所成角的正弦值四、自主反馈1. 如图BC 是Rt ⊿ABC 的斜边，过A 作⊿ABC 所在平面α 垂线AP ，连PB 、PC ，过A 作AD ⊥BC 于D ，连PD ，那么图中直角三角形的个数是 （ ）A ．4个B ．6个C ．7个D ．8个2.下列说法正确的是 ( ) A ．直线a 平行于平面M ，则a 平行于M 内的任意一条直线 B ．直线a 与平面M 相交，则a 不平行于M 内的任意一条直线C ．直线a 不垂直于平面M ，则a 不垂直于M 内的任意一条直线D ．直线a 不垂直于平面M ，则过a 的平面不垂直于M3.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，AC =AA 1=a ，则点A 到平面A 1BC 的距离是 ( )A.aB. 2aC.22a D. 3a 4.已知PA 、PB 、PC 是从点P 发出的三条射线，每两条射线的夹角都是60︒，则直线PC 与平面PAB 所成的角的余弦值为 。
面面垂直的判定导学案
课题：平面与平面垂直的判定课型：新授课编写人：王小平课时：1课时班级：使用时间：9、17 审核人：郑运忠一、复习回顾二面角及二面角的平面角的定义问题1平面几何中两条直线垂直是怎样定义的？能否类比两条直线垂直的定义，如何定义两个平面互相垂直？问题2如何画两个相互垂直的平面？平面α与平面β垂直，记作什么？问题探究点二两个平面垂直的判定问题1判定两个平面互相垂直，除了定义外，能否利用线面垂直进行判定呢？问题2如何用符号语言表达面面垂直的判定定理？二、解决问题例1如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.跟踪训练1如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？三、当堂检测1．直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是( )A.平行B.可能重合C.相交且垂直D.相交不垂直2．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD ＝32，则二面角B－AC－D的余弦值为()A.13B.12C.223D.323、如图，在四面体ABCD中，CB＝CDAD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)EF∥面ACD；(2)面EFC⊥面BCD.四、小结：1、两个平面垂直的主要途径2．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的的．五、作业;见篇子。
人教版高中数学(必修二)导学案：2.3.2平面和平面垂直的判定(无答案)
高二数学 SX-G2-B2-U2-L2.3.22.3.2 《平面与平面垂直的判定》导学案编写人： 审核：高二数学组 编写时间：一、教学目标：1、掌握二面角及其平面角的相关知识2．掌握面面垂直的定义和判定定理；并用来解决相关知识二、教学重难点平面与平面垂直的判定；三、教法指导:1、阅读教材，查阅资料。
四、知识链接:1、二面角的定义：__________________________________________________，下图中的二面角可记作： ；也可记作： 。
如果将棱记作l ，那么这个二面角记作： 或 。
2、二面角的大小由 来度量，二面角的 是多少度，就说这个二面角是多少度。
平面角是直角的二面角叫做直二面角。
例1：如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求： （ⅰ）二面角C-BB 1-A 的大小（必做） （ⅱ）二面角C-BD-B 1的大小（必做）五、教学过程: (一) 二面角问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？ACBB 1A 1DC 1D 1它们有什么共同的特征？问题3、二面角的有关概念角二面角图形A边顶点 O B边Aβ棱lB α定义从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形构成射线—点（顶点）一射线表示∠AOB问题5（二）平面与平面垂直的定义及其判定定理定义定理三种语言知识小结：平面与平面垂直的判定方法有哪些？（三）例题分析题型一、面面垂直的定义及判定定理的应用例1 如图，在四面体ABCD中，2a ，AB=AD=CB=CD=AC=a 求证：平面ABD⊥平面BCD.练习：如图，在三棱锥V ABC -中，90oVAB VAC ABC ∠=∠=∠=，试判断平面VBA 与平面VBC 之间的位置关系，并说明理由。
题型二 二面角的求法例2已知:如图在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角B-A 1C 1-B 1的正切值. 思路分析：解答求二面角问题的关键是根据已知条件先找出或作出平面角.练习：在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中：（1）二面角A 1-AB-D 的大小为：（2）二面角D 1-AB-D 的大小为： （3）二面角D 1-BC-D 的大小为题型三 二面角的定义及面面垂直判定定理的内容 例3 判断是非:（1）两个相交平面组成的图形叫做二面角.（ ）（2）异面直线a 、b 分别和一个二面角的两个面垂直，则a 、b 组成的角与这个二面角的平面角相等或互补.（ ）（3）二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角.（ ） （4）二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.（ ）VABC（5）若平面α⊥平面β,则α内的所有直线都与β垂直.（ ）（6）若平面α和平面β不垂直，则平面α内所有直线与β都不垂直.（ ）变式：过空间一点引和二面角两个面垂直的射线，则此二射线夹角和二面角的平面角的大小是（ ）A.相等B.互补C.相等或互补D.以上都不对 六、当堂检测1．已知PA ⊥正方形ABCD 所在的平面，垂足为A ，连结,,,,PB PC PD AC BD ，则互相垂直的平面有 （ ）()A 5对 ()B 6对 ()C 7对 ()D 8对2．若三个平面γβα,,，之间有α⊥γ，β⊥γ，则α与β （ ）()A 垂直 ()B 平行()C 相交 ()D 以上三种可能都有3．在四面体ABCD 中，3,2AB AC AD ===，且60DAC BAC BAD ∠=∠=∠=o， 求证：平面BCD ⊥平面ADC4．如图，四棱锥P ABCD -是的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，,E F 分别是,AB PD的中点，又二面角P CD B --的大小为45o， （1）求证：//AF 面PEC ；（2）求证：平面PEC ⊥平面PCD ； （3）设2,AD CD ==A 到平面PEC 的距离；A BCDPEFBADC5．三棱锥P ABC -中，,PB PC AB AC ==，点D 为BC 中点，AH PD ⊥于H 点，连BH ， 求证：平面ABH ⊥平面PBC七、教学反思：八．课后巩固1、如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足l=β∩γ，l ∥α，m ⊂α，m ⊥γ，那么有（ ）A.α⊥γ和l ⊥mB.α∥γ和m ∥βC.m ∥β且l ⊥mD.α∥β和α⊥γ 2、正方体AC 1中，M 、N 分别是棱A 1B 1和A 1D 1的中点，则截面AMN 与平面A 1MN ，所成的角的正弦值是（ ） A.552 B.83C.322D.36 3．如图正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F M N 分别是111111,,,A B BC C D B C 的中点， 求证：平面MNF ⊥平面ENF 。
人教A版高中数学必修二第二章直线、平面垂直的判定及其性质导学案新
数学必修二第二章《2.3 直线、平面垂直的判定及其性质》导学案【学习目标】（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；（2）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论；（3）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”“两个平面互相垂直”的概念；（4）使学生掌握两个平面垂直的判定定理；（5）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用【重点难点】重点：直线与平面垂直的定义和判定定理的探究；平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小【学法指导】实物观察，类比归纳，语言表达【知识链接】空间点、直线、平面之间的位置关系【学习过程】一.预习自学1.线面垂直定义：如果一条直线l和平面α内的，我们就说直线l和平面α互相垂直，记作，其中直线l叫做平面的垂线，平面α叫做直线l的 , 直线与平面的交点叫做垂足.2.直线与平面垂直的判定定理：3.平面的斜线：4.直线和平面所成的角：5.二面角：6.二面角的平面角：7．面面垂直两个平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直.记作两平面垂直的判定定理：8.直线和平面垂直的性质定理：9.两平面垂直的性质定理：二.典型例题例1. 已知PA ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任意一点，过A 点作AE ⊥PC 于点E ，求证：AE ⊥平面PBC点评：证明直线与平面垂直的常用方法有：利用线面垂直的定义；利用线面垂直的判定定理；利用“若直线a ∥直线b ，直线a ⊥平面α，则直线b ⊥平面α”例2.在正方体ABCD —A 1B 1C 1 D 1中, 求AC 1与面ADD 1 A 1所成的角的正弦值为 .例3.在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，B 1C 1=A 1C 1，A 1B ⊥AC 1，求证：A 1B ⊥B 1C例4.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1，CD 的中点 （1）求证：AD ⊥D 1F ；（2）求AE 与D 1F 所成的角；（3）证明平面AED ⊥平面A 1FD 1例5.正四棱锥P-ABCD 中，AB =4，高为2，求二面角P-BC -D 的大小.三.课堂检测1.若直线a 与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a 垂直的直线 （ ） A ．只有一条 B ．有无数条 C ．所有直线 D ．不存在12.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有 （ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．1个或无数个 3.已知直线m ⊥平面α，直线⊂n 平面β，下列说法正确的有 （ ）①若n m ⊥则,//βα ②若βα⊥，则m //n ③若m //n ，则βα⊥④若,//m n αβ⊥则A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4.下列命题，其中正确的命题有①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面 ③直线m ⊥平面α，直线n ⊥m ，则n ∥α④a 、b 是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a 、b 都平行且与a 、b 距离相等 ⑤直线l 垂直于平面α内的无数条直线,则l ⊥α5.在正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是G 1G 2、G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1、G 2、G 3三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S —EFG 中必有A. SG ⊥平面EFGB. SD ⊥平面EFGC. FG ⊥平面SEFD. GD ⊥平面SEF6.在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形ABCD 满足条件_______时，有A 1C ⊥B 1D 17.在三棱锥S —ABC 中，N 是S 在底面ABC 上的射影，且N 在△ABC 的AB 边的高CD 上，点M ∈SC ，截面MAB 和底面ABC 所成的二面角M —AB —C 等于∠NSC ，求证：SC ⊥截面MAB 8.如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E PC 的中点.求证：平面PAC ⊥平面BDE ．四.归纳小结 五.课外作业1.已知直线a 、b 和平面βα,，下列命题中错误的是（ ） A ．若αα⊥⊥b a b a 则,,//B ．若b a b a //,//,,则βαβα⊥⊥C ．若b a b a //,//,//,//则βαβαD ．若b a b a ⊥⊥⊥⊥则,,,βαβα2. A 、B 是二面角α—l —β的棱l 上两点，P 是面β内一点，PB ⊥l 于点B ，PA 和l 所成的角为450，PA 和面α所成的角为300，则二面角α—l —β 的大小为（ ）A ．45B ．30C ．600D ．7503.若直线l 与平面所成角为3π，直线a 在平面内，且与直线l 异面，则直线l 与直线a 所成的角的取值范围是（ ） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡π32 0，B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3π 0，C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π 3π，D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡π32 3π，4.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为CC 1的中点，AC 交BD 于点O ，求证：A 1O ⊥平面MBD.5.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是BC 、CD 、CC 1的中点. 求证：面EFG ⊥面AA 1C 1C .6.如图，在正三棱锥S —ABC 中，E 、F 分别是侧棱SA 、SB 的中点，且平面CEF ⊥平面SAB . （1）若G 为EF 的中点，求证：CG ⊥平面SAB ；（2）求此三棱锥的侧面积与底面积的比值.7.在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AB =2，BC =a ，又侧棱PA ⊥底面ABCD （1）当a 为何值时，BD ⊥平面PAC ?试证明你的结论;（2）当a =4时，求证：BC 边上存在一点M ，使得PM ⊥DM ;（3）若在BC 边上至少存在一点M ，使PM ⊥DM ，求a 的取值范围.2.3 直线、平面垂直的判定及其性质答案二.典型例题 例3 例4.（2）900 例5. 450三.课堂检测⊥1.B2.D3.B4.②④5.A6. AC BD五.课外作业a≥2a= (2)M为中点时（3）4。
人教新课标版数学高一A版必修2导学案 2.3.2平面与平面垂直的判定
2．3.2 平面与平面垂直的判定1．了解二面角及其平面角的概念，并会求二面角的大小． 2．掌握两个平面互相垂直的定义和画法．3．理解并掌握两个平面垂直的判定定理，并能解决有关面面垂直的问题．1．二面角概念平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为______．从一条直线出发的两个______所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的____，这两个半平面叫做二面角的____图示平面角文字在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于____的射线，则这两条射线构成的____叫做这个二面角的平面角图示符号OA α，OB β，α∩β＝l ，O ∈l ，OA ⊥l ，OB ⊥l∠AOB 是二面角的平面角范围 [0，π] 规定二面角的大小可以用它的______来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是____的二面角叫做直二面角记法棱为l ，面分别为α，β的二面角记为______．如图所示，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P ，Q ，将这个二面角记作二面角______二面角是从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形；平面上可以把角理解为一个旋转量，二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成的．二面角定量地反映了两个相交平面的位置关系．(1)二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置唯一确定的，与选择棱上的点的位置无关．(2)平面角的两边分别在二面角的两个面内，且两边都与二面角的棱垂直，这个角所确定的平面与棱垂直．【做一做1－1】如图所示的二面角可记为()A．αβl B．M-l-N C．l-M-N D．lβα【做一做1－2】如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，不作辅助线，写出二面角A1-AB-D的一个平面角为__________．2.平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是________，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作______．(2)画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的____垂直．如图所示．图形语言符号语言l⊥α，______α⊥β作用判断两个平面____平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．通常我们将其记为：线面垂直，则面面垂直．因此处理面面垂直问题(即空间问题)转化为处理线面垂直问题，并进一步转化为处理线线垂直问题(即平面问题)来解决．【做一做2】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面ABCD⊥平面BDD1B1.答案：1．半平面半平面棱面棱角平面角直角α-l-βP-l-Q【做一做1－1】 B【做一做1－2】∠A1AD(或∠B1BC)2．(1)直二面角α⊥β(2)横边(3)垂线lβ垂直【做一做2】证明：∵BB1⊥AB，BB1⊥BC，AB∩BC＝B，∴BB 1⊥平面ABCD.又BB1平面BDD1B1，∴平面ABCD⊥平面BDD1B1.1．理解二面角及其平面角剖析：(1)二面角是一个空间图形，而二面角的平面角是平面图形，二面角的大小通过其平面角的大小来表示，体现了由空间图形向平面图形转化的思想．(2)二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不是两条直线的夹角，因此，二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.(3)两个平面相交，可以构成四个二面角，其中相对的两个二面角大小相等，相邻的两个二面角大小互补．2．处理翻折问题的关键剖析：处理翻折问题的关键是对翻折前的平面图形与翻折后的立体图形进行对比，有哪些位置关系和相关量发生了变化；如果发生变化，那么发生了怎样的变化，还有哪些没有发生变化，切不可混淆不清．例如：在正△ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，满足AE∶EB＝C F∶F A＝CP∶PB＝1∶2，如图①.将△AE F沿E F折起到△A1E F的位置，使二面角A1-E F-B成直二面角，连接A1B，A1P，如图②.下面探讨平面BA1E是否与平面BEP垂直．根据图①，由平面几何的知识，可得E F⊥AE，E F⊥BE.在图②中，这两个位置关系没有变化，而点A，B，E的相对位置关系发生了变化，翻折前这三点共线，但是翻折后不共线．不妨设正三角形的边长为3，则在图③中，取BE的中点D，连接D F.∵AE∶EB＝C F∶F A＝1∶2，∴A F＝AD＝2.而∠A＝60°，∴△AD F为正三角形．又AE＝DE＝1，∴E F⊥AD.则在图②中，A1E⊥E F，BE⊥E F，∴∠A1EB为二面角A1-E F-B的一个平面角．∴∠A1EB＝90°.∴A1E⊥BE.又BE∩E F＝E，∴A1E⊥面BEP.又∵A1E平面BA1E，∴平面BA1E⊥平面BEP.题型一：求二面角的大小【例1】如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角D1-BC-D的平面角的大小．反思：异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角统称为空间角，其求解方法相同，步骤是：①作出它们的平面角；②证明所作的角满足定义；③将作出的角放在三角形中，计算出平面角的大小，又简称为“一作二证三计算”．题型二：证明两个平面垂直【例2】如图所示，把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD ＝AC，求证：平面ABD⊥平面ABC.反思：(1)证明平面与平面垂直的方法有两个：①利用定义：证明二面角的平面角为直角，如本题证法二；②利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直，如本题证法一．(2)根据面面垂直的定义判定两个平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角．通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直．其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．题型三：易错辨析易错点错认二面角的平面角【例3】如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且PA＝2AD，二面角P-CD-A的平面角为θ，则tan θ＝__________.错解：∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA是二面角P-CD-A的平面角，∴θ＝∠PCA，在Rt△PAC中，PA⊥AC，AC＝2AD，又PA＝2AD，∴PA＝2AC，＝2，故填 2.∴tan θ＝tan∠PCA＝PAAC错因分析：错解中，错认为∠PCA是二面角P-CD-A的平面角，其实不然，其原因在于PC，AC与二面角P-CD-A的棱CD不垂直．反思：二面角的平面角要满足条件：①顶点在棱上；②两边分别在两个面内；③两边与棱均垂直．这三个条件缺一不可，本题错解中不满足条件③.答案：【例1】解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC⊥CD，BC⊥CC1，CD∩CC1＝C，∴BC⊥平面D1C.又D 1C平面D1C，∴BC⊥D1C，∴∠D1CD是二面角D1-BC-D的平面角．在△D1CD中，D1D⊥CD，D1D＝CD，∴∠D1CD＝45°.∴二面角D1-BC-D的平面角的大小是45°.【例2】证明：证法一：取AB的中点O，如图所示，连接OD，OC.∵AD＝DB，∴DO⊥AB.又△ABD≌△ABC，∴OD＝OC＝12AB，又△ABC是等腰直角三角形，∴OC＝22AC，又CD＝AC，∴OC＝22CD，∴OD2＋OC2＝2OC2＝CD2，∴DO⊥OC.又AB平面ABC，OC平面ABC，AB∩OC＝O，∴DO⊥平面ABC.又DO平面ABD，∴平面ABD⊥平面ABC.证法二：取AB的中点O，连接OD，OC，如图所示．则有OD⊥AB，OC⊥AB，即∠COD是二面角C-AB-D的平面角．设AC＝a，则OC＝OD＝22a.又∵CD＝AD＝AC，∴CD＝a，∴CD2＝OC2＋OD2.∴△COD是直角三角形，即∠COD＝90°.∴二面角C-AB-D是直二面角，即平面ABD⊥平面ABC. 【例3】 21．如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B-PA-C的大小等于__________．2．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且E F∥AB，若二面角C1-E F-C等于45°，则B F＝__________.3．在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如图所示，则在三棱锥P-ABC 的四个面中，互相垂直的面有__________对．4．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD.求证：平面PDC⊥平面PAD.答案：1．90° 2.1 3.34．证明：∵PA⊥平面AC，CD平面AC，∴PA⊥CD.∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.又∵CD平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD.。
平面与平面垂直的判定导学案
平面与平面垂直的判定学习目标：1、理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单的二面角的大小2、理解两平面垂直的定义以及判定定理，会用定理进行平面与平面垂直的判定教学重点：两平面垂直的定义以及判定定理 教学难点：二面角的平面角的理解 自学设计：1、二面角的定义：__________________________________________________，下图中的二面角可记作： ；也可记作： .如果将棱记作l ，那么这个二面角记作：或 .2、二面角的大小由 来度量，二面角的是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 例1：如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求：（ⅰ）二面角C-BB 1-A 的大小（必做） （ⅱ）二面角C-BD-B 1的大小（必做）练习：长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，BC=BB 1=1，写 出下列二面角的大小：（1）A 1-AD-C__________； （2）C 1-BA-C_______；（3）A-CC 1-D_______（4）A 1-AD-B_______ 3、两平面,αβ垂直，记作： .两平面垂直的判定方法：定义法：判定定理： 用符号表示为例2、如图，AB 是O 的直径，PA 垂直于O 所在的平面，C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点，求证：平面PAC ⊥平面PBC.你认为证明两个平面垂直的思路是怎样的？________________________________________ 练习：如图，在三棱锥V ABC -中，90oVAB VAC ABC ∠=∠=∠=，试判断平面VBA 与平面VBC 之间的位置关系，并说明理由.VABC A A达标练习：1、如图所示：在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中：（1）二面角A 1-AB-D 的大小为： （必做） （2）二面角D 1-AB-D 的大小为： （必做） （3）二面角D 1-BC-D 的大小为2、已知四面体P ABC -中，PA ⊥平面,90oABC ABC ∠=，则四面体中互相垂直的面有 对，分别是： 3、若一个二面角的两个面所在的平面分别平行于另一个二面角的两个面所在的平面，则这两个二面角的关系为 （ ）A 、相等B 、互补C 、相等或互补D 、无法确定 4、在四面体ABCD 中，2,BD a AB AD CB CD AC a ======.求证：平面ABD ⊥平面BCD .5、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.求证：（1）PA ∥平面BDE;（2）平面PAC ⊥平面BDE .6、如图，已知在△ABC 中，,//AB AC AD EC = ,EC ABC ⊥平面2CE AD =且.求证：平面BDE ⊥平面BCE .ECDABA A 1B CDB 1D 1C 1。
平面与平面垂直的判定(导学案)
平面与平面垂直的判定(导学案)目标学习：（1）使学生正确理解和掌握二面角的有关概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生体会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
（4）通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生体会数学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。
学习重点：平面与平面垂直的判定。
学习难点：平面与平面垂直的判定和求二面角。
学习过程（预习教材P67- P69，找出疑惑之处）探究 1：二面角的概念观察与分析1、小组长组织小组同学思考分析，右图中，水坝面与水平面、卫星轨道平面与地球赤道平面都有一定的角度.这两个角度的共同特征是什么?小组长组织小组同学阅读教材p67-68,完成下面问题：1.二面角的有关概念：称为半平面，_______________________________________组成的图形叫做二面角；___________________叫做二面角的棱；_________________________ 叫做二面角的面；2.二面角的画法：3.二面角的表示：小组长组织小组同学思考：二面角的大小怎么确定呢？小组长组织小组同学阅读教材p68,完成下面问题：_________________________________ _叫做二面角的平面角；二面角的大小可用_______________来度量；________________________ _叫做直二面角；反思：⑴两个平面相交，构成几个二面角?它们的平面角的大小有什么关系？⑵你觉的二面角的大小范围是多少？⑶二面角平面角的大小和O 点的选择有关吗？二面角的平面角还能怎么作？探究 2：平面与平面垂直的判定方法观察与分析2、小组长组织小组同学思考分析：教室的墙给人以垂直于地面的形象，想一想教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？它们的大小是多少？除了定义，你还能想出什么方法判定两个平面垂直呢？小组长组织小组同学阅读教材p68-69,完成下面问题：叫两个平面互相垂直；两个互相垂直的平面画法：平面α与平面β垂直记作________；2.平面与平面垂直的判定定理：____________________________；这个定理说明要证明平面与平面垂直，可通过证明_____________________垂直来实现。
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2.3.2 平面与平面垂直的判定
【学习目标】
① 理解两平面垂直的定义以及判定定理 ② 平面与平面垂直的判定的简单应用 【重点难点】
重点：面面垂直判定定理的理解 难点：面面垂直判定定理的简单应用 【使用说明及学法指导】
阅读课本P67~P69，完成下列题目 预习案
一、知识梳理
1、_________________________________________________________叫做直二面角，
2、平面与平面垂直的判定定理: __________________________________________________
符号表示： ；这个定理说明要证明平面与平面垂直，可通过
证明______________________垂直来实现。
二、问题导学
1、如何判定面面垂直，
2、利用判定定理证明面面垂直的关键是什么？ 三、预习自测 1、判断题
①.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.（ ） ②.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线，则α⊥β.（ ） ③. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线, 则α⊥β.（ ） 2、填空题：
①.过平面α的一条垂线可作_____个平面与平面α垂直. ②.过一点可作_____个平面与已知平面垂直.
③.过平面α的一条平行线可作____个平面与α垂直.
3、已知四面体P ABC -中，PA ⊥平面,90o
ABC ABC ∠=，则四面体中互相垂直的面有 对，分别是：
C
A
探究案
【例1】如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点，求证：平面PA C ⊥平面PBC 。
【例2】 在正方体1111D C B A ABCD -中，求证：平面⊥11A ACC 平面BD A 1.
D 1
C 1
A 1
C
B
A
变式训练1：.如图所示，在三棱锥A-BCD 中，AB=AD ，∠ABC=∠ADC=900
，E
为BD 的中点， 求证：（1）平面AEC ⊥平面BCD ；
（2）∠AEC 是二面角A-BD-C 的平面角。
课堂检测
1、过空间一点的三条直线两两垂直，则此三直线的任意两条确定的三个平面中，
互相垂直的个数是 （ ）
A ．0 B. 1 C. 2 D.3
2、三棱锥A-BCD 中，若AD ⊥BC,BD ⊥AD ，△BCD 是锐角
三角形，那么必有（ ）
A ：平面ABD ⊥平面ADC
B ：平面ABD ⊥平面AB
C ：
C ：平面BC
D ⊥平面ADC D ：平面ABC ⊥平面BCD
3、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，Ｅ，Ｆ，Ｇ分别是AA 1, C 1D 1,
A 1D 1,中点，
求证：平面BB
1D 1D ⊥平面EFG
F
E C
A 1
1E
A
B
C
D。