关于积分学中分部积分法的教学设计
高等数学教案 第17课 分部积分法、几种特殊类型函数的积
17分部积分法、几种特殊类型函数的积分第课课题分部积分法、几种特殊类型函数的积分课时2课时（90 min）教学目标知识技能目标：（1）能熟练地利用分部积分法计算不定积分。
（2）掌握化有理函数为部分分式的方法，并会计算较简单的有理分式函数的积分、三角有理式的积分和无理式的积分。
思政育人目标：通过学习不定积分的分部积分法和几种特殊类型函数的积分，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯。
教学重难点教学重点：分部积分法的相关定理教学难点：用分部积分法计算不定积分，化有理函数为部分分式教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（23 min）→问题讨论（10 min）→课堂测验（10 min）第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤（2 min）⏹【教师】清点上课人数，记录好考勤⏹【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解（23 min）⏹【教师】讲解分部积分法，并通过例题介绍其应用定理1 设函数()u u x=，()v v x=具有连续的导数，则d du v uv v u=-⎰⎰．证明由微分公式d()d duv u v v u=+两边积分得d duv u v v u=+⎰⎰，移项后得d du v uv v u=-⎰⎰．学习分部积分法，及其应用。
边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化第课分部积分法、几种特殊类型函数的积分172我们把公式d du v uv v u=-⎰⎰或d duv x uv u v x''=-⎰⎰称为分部积分公式．例1求ln d x x⎰．解令lnu x=，v x=，由分部积分公式，可得ln d ln dln ln d lnx x x x x x x x x x x x C=-=-=-+⎰⎰⎰．例2求arctan d x x⎰．解令arctanu x=，v x=，由分部积分公式，可得arctan d arctan darctanx x x x x x=-⎰⎰2arctan d1xx x xx=-+⎰2211arctan d(1)21x x xx=-++⎰21arctan ln(1)2x x x C=-++．例3求cos dx x x⎰．解令u x=，cos d dx x v=，即sinv x=，则cos d dsin sin sin d sin cosx x x x x x x x x x x x C ==-=++⎰⎰⎰例4 求e d xx x⎰．解令u x=，e d dx x v=，e xv=，则e d de e e d e ex x x x x xx x x x x x C==-=-+⎰⎰⎰．例5 求2e d xx x⎰．解222e d e2e d e2dex x x x xx x x x x x x=-=-⎰⎰⎰17分部积分法、几种特殊类型函数的积分 第 课32e 2(e e )x x x x x C =--+ 2e (22)x x x C =-++．结论 当被积函数是幂函数与正（余）弦或指数函数的乘积时，可将幂函数设为u ，正（余）弦或指数函数设为v ． 例6 求ln d x x x ⎰．解222111ln d ln d ln d 22x x x x x x x x x x ⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰2211ln 22x x x C ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2211ln 24x x x C =-+． 例7 求arctan d x x x ⎰．解 2arctan d arctan d 2x x x x x =⎰⎰221arctan darctan 22x x x x =-⎰22211arctan d 221x x x x x =-⋅+⎰2221111arctan d 221x x x x x +-=-+⎰22111arctan 1d 221x x x x ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭⎰ 2111arctan arctan 222x x x x C =+-+． 结论 当被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积时，可将对数函数或反三角函数设为u ，幂函数设为v ． 例8 求e sin d x x x ⎰．第课分部积分法、几种特殊类型函数的积分174解法一e sin d sin de e sin e cos dx x x xx x x x x x==-⎰⎰⎰e sin cos dex xx x=-⎰e sin e cos e sin dx x xx x x x=--⎰，所以1e sin d e(sin cos)2x xx x x x C=-+⎰．解法二e sin d e d(cos)e(cos)cos d(e)x x x xx x x x x=-=-+⎰⎰⎰e cos e cos d e cos e dsinx x x xx x x x x=-+=-+⎰⎰e cos e sin sin dex x xx x x=-+-⎰e cos e sin e sin dx x xx x x x=-+-⎰，所以1e sin d e(sin cos)2x xx x x x C=-+⎰．例9 求e d x x⎰．解令t x=，则2x t=，d2dx t t=．e d2e d2de2e2e dx t t t tx t t t t t===-⎰⎰⎰⎰2e2e2e2et t x xt C x C=-+=-+．⏹【学生】掌握分部积分法的应用问题讨论（10 min）⏹【教师】组织学生讨论以下问题1．可以用分部积分法的类型有哪些？2．对于各种不同类型的积分，如何选择u，v？通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解17分部积分法、几种特殊类型函数的积分 第 课53．举例说明循环法适用的不定积分的类型．⏹ 【学生】讨论、发言课堂测验 （10 min ）⏹ 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况⏹ 【学生】做测试题目⏹ 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程⏹ 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解 （20 min ）⏹ 【教师】讲解有理函数的积分，并通过例题介绍其应用形如10111011()()n n n n nm m m m mP x a x a x a x a Q x b x b x b x b ----++++=++++的函数称为有理函数，其中m 和n 都是非负整数；012n a a a a ，，，，及012m b b b b ，，，，都是实数，并且0000a b ≠≠，．当n m <时，称这个有理函数为真分式；当nm 时，称这个有理函数为假分式．假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式．例如，322221(1)11111x x x x x x x x ++++==++++． 求真分式的不定积分时，如果分母可因式分解，则先因式分解，然后化成部分分式再积分． 例1 求23d 56x x x x +-+⎰．解 设23356(2)(3)23x x A Bx x x x x x ++==+-+----，则(3)(2)()323A x B x A B x A B x -+-=+--=+，学习有理函数和三角函数有理式的积分。
分部积分法与换元积分法
§2 分部积分法与换元积分法(一) 教学目的：掌握分部积分法与第一、二换元积分法． (二) 教学内容：分部积分法，第一、二换元积分法；．基本要求：熟练掌握分部积分法和换元积分法. (三) 教学建议：(1) 讲解足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题． (2) 总结分部积分法的几种形式：升幂法，降幂法和循环法．一、分部积分法我们讲导数时，知道)()()()(])()([x v x u x v x u x v x u '+'='从而有⎰⎰'+'=dx x v x u dx x v x u x v x u )()()()()()(移项得⎰⎰'-='dx x v x u x v x u dx x v x u )()()()()()(或 ⎰⎰-=)()()()()()(x du x v x v x u x dv x u 我们称这个公式为分部积分公式。
当 ⎰'dx x v x u )()( 不容易积分，但⎰'dx x v x u )()( 容易积分时，我们就可以用分部积分把不容易积分的 ⎰'dx x v x u )()( 计算出来。
例1 求⎰xdx x cos解：若令 x v x v x u sin cos ,=⇒='= ， 代入分部积分公式⎰⎰++=-=C x x x xdx x x xdx x cos sin sin sin cos但若令 2/,cos 2x v x v x u =⇒='= ， 代入分部积分公式dx x x x x xdx x ⎰⎰+=sin 21cos 2cos 22 比原积分还复杂由此可知，在用分部积分公式时，u, v 的选择不是随意的，那个作u , 那个作 v ，应适当选取，否则有可能计算很复杂甚至计算不出来。
分析分不积分公式，我们可总结出下面一个原则：一般应把（相比之下）容易积分，积分后比较简单的函数作为 v '，积分较难或积分后比较复杂的函数作为u例2 求⎰xdx ln⎰xdx ln ⎰⎰+-=⋅-=-=C x x x dx x x x x x xd x x ln 1ln ln ln或解：令t e x t x ==,ln原式C x x x C e te dt e te tde tt t t t +-=+-=-==⎰⎰ln例3 求 ⎰xdx x ln解：⎰⎰=2ln 21ln xdx xdx x [][]C x x x C x x x xdx x x x d x x x +-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=-=⎰⎰222222241ln 2121ln 21ln 21ln ln 21例4 求 ⎰xdx x arctan解：⎰⎰=2arctan 21arctan xdx xdx x[][]C x x x x dx x x x dx x x x x x d x x x ++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-=⎰⎰⎰arctan arctan 21)111(arctan 211arctan 21arctan arctan 2122222222分部积分公式也可以连续用多次例5 求 ⎰dx e x x 2解：xx de x dx e x ⎰⎰=22Ce xe e x dx e xe e x dx xe e x dx e e x x x x x x x x x x x ++-=--=-=-=⎰⎰⎰22)(2222222例6 求⎰bxdx e axcos解： dx bx e a b bx e abxdx e ax x ax ⎰⎰+=sin cos 1cos 再分部积分一次]cos sin 1[cos 1dx bx e a b bx e aa b bx e a ax ax x ⎰-+= 出现循环将上式最后一项移到左端合并整理，得C ba bx a bxb e bxdx e bx a b x a e dx bx e a b ax ax ax ax +++⋅=+=+⎰⎰22222cos sin cos )sin cos 1(cos )1(分部积分使用的类型：一般说下面类型的不定积分dx arctgbx xaxdx xbxdx xdx e xdx x xkkkax km k⎰⎰⎰⎰⎰,cos ,sin ,,log等常用分部积分来计算。
不定积分中分部积分法则的教学设计
不定积分中分部积分法则的教学设计标题：《探究不定积分中分部积分法则的教学设计》引言：不定积分是高中数学中的一大难点，其中分部积分法则是求解不定积分的重要方法之一。
因此，在教学中，如何深入浅出地教授分部积分法则，培养学生的问题解决能力和实际应用能力，是一项重要的任务。
本文将结合教学实践经验，就不定积分中的分部积分法则进行浅谈，并设计一节关于分部积分法则的教学活动，以引导学生主动探究、灵活运用分部积分法则。
一、总体设计：1. 教学目标：- 了解分部积分法则的起源和应用背景；- 掌握分部积分法则的基本内容和应用方法；- 提高学生的实际问题解决能力和创新思维能力。
2. 教学内容：- 分部积分法则的基本概念和原理；- 分部积分法则的应用方法和技巧；- 分部积分法则在实际问题中的应用。
3. 教学方法：- 示范教学：通过具体例子引导学生理解分部积分法则的原理和应用方法；- 探究式教学：引导学生通过实例分析和讨论，主动探索分部积分法则的应用技巧；- 合作学习：组织学生在小组中完成分部积分法则相关问题的解决和探究。
二、教学步骤：步骤一：导入教师通过一个生动的例子引入分部积分法则的概念和应用背景，激发学生对分部积分法则的兴趣。
步骤二：概念讲解教师对分部积分法则的概念进行简要讲解，包括基本原理和公式。
步骤三：示例分析教师以具体的例子演示分部积分法则的应用方法，引导学生跟随思路和步骤进行计算。
步骤四：问题解决教师组织学生在小组中合作解决一些由分部积分法则引发的问题，鼓励学生积极讨论和思考。
步骤五：实践应用教师设计一些与实际问题相关的综合性应用题，让学生通过分部积分法则求解，并分析计算结果的实际意义。
步骤六：总结巩固教师引导学生总结分部积分法则的基本内容和应用方法，并进行概念巩固和习题训练。
三、教学评价：1. 教师评价：- 学生是否能够理解分部积分法则的原理和应用方法；- 学生在解决分部积分法则相关问题时的思维活跃程度；- 学生是否能够熟练应用分部积分法则解决实际问题。
不定积分中分部积分法则的教学设计
不定积分中分部积分法则的教学设计【摘要】不定积分中的分部积分法则是微积分中的重要概念之一，能够帮助我们解决复杂的积分问题。
本文从引言、正文和结论三个部分展开，引言部分主要介绍分部积分法则的重要性，正文部分具体阐述了分部积分法则的定义、应用场景、教学设计步骤、示例演练和练习题，通过这些内容可以帮助学生更好地理解和掌握这一概念。
结论部分对分部积分法则的教学设计进行总结，强调了其在学习和应用中的重要性。
通过本文的讲解，读者能够深入了解分部积分法则的相关知识，并在实际的学习和应用中灵活运用。
【关键词】不定积分、分部积分法则、教学设计、重要性、定义、应用场景、步骤、示例演练、练习题、总结1. 引言1.1 分部积分法则的重要性不定积分中的分部积分法则是微积分中的重要概念之一，它在求解复杂函数的不定积分时起着至关重要的作用。
分部积分法则可以将一个复杂的积分问题转化为两个简单的积分问题，从而简化计算过程，提高计算效率。
通过掌握分部积分法则，学生可以更快地解决各种类型的积分问题，提高解题的准确性和速度。
在实际应用中，分部积分法则常常用于求解含有多个函数乘积的不定积分，如多项式函数、三角函数等。
通过适当地选择分部积分法则的顺序，可以有效地将原积分化简为易于计算的形式，进而求得最终的不定积分结果。
深入理解和熟练运用分部积分法则是学习不定积分的重要基础，对于提升学生的数学计算能力和解题技巧具有重要意义。
通过系统学习和实践，学生可以更好地掌握分部积分法则的运用，为进一步深入学习微积分打下坚实的基础。
2. 正文2.1 分部积分法则的定义不定积分中的分部积分法则是求解复杂积分的一种重要方法，它可以将一个复杂的积分问题分解成两个较简单的积分问题来求解。
分部积分法则的定义可以表述为：设u(x)和v(x)是可导函数，那么对于不定积分∫u(x)v'(x)dx，其积分结果为u(x)v(x)-∫u'(x)v(x)dx。
这个公式可以帮助我们将一个乘积形式的积分问题转化为两个更容易求解的积分问题，从而简化求解过程。
不定积分中分部积分法则的教学设计
不定积分中分部积分法则的教学设计分部积分法是高等数学中的一种重要而又基本的积分方法，它能解决类似，等换元积分法所不能解决的某些类型的积分.本文将对这部分内容进行教学设计，分为两个课时来讲解，主要运用启发式教学法来教学.教学过程设计为三个部分：第一部分，创设问题情境引入分部积分法的定义；第二部分，运用分部积分公式求解不定积分；第三部分，对整堂课的内容进行归纳总结.通过这节课的学习，让学生掌握求积分的一些解题方法和解题技巧。
标签：高等数学分部积分法解题方法一、教材内容分析高等数学的内容是以微积分为主体的，微积分主要包括微分和积分，且极限是微积分的基础，积分与微分互为逆运算。
从整体结构上了解微积分的内容构造，对我们学习其中的分支内容会有很大的帮助。
以华东师范大学数学系编的《数学分析》第三版（上册）为教材来分析，不定积分的分部积分法出现在第八章《不定积分》的第二节的第二部分，它起着一个承上启下的作用，在积分学中占有极其重要的地位，并为后续定积分以及重积分等内容的学习奠定了基础。
换元法和分部积分法是求积分的两种重要方法，在学习了换元积分法后，虽然能求解很多类型的不定积分，但是却不能解决被积函数为两个函数（下面我们所讨论的都是指初等函数）甚至三个函数乘积的不定积分，从而很自然地引出了另一种重要的积分法一一分部积分法，这就说明了学习分部积分法的必要性。
二、学生分析大学生已经具备了较强的分析问题和解决问题的能力，也具备了一定的自主学习能力。
在教学中，应以学生为主体，让学生自主探索、亲自实践，而教师在整个教学过程中起引导作用。
通过前面换元积分法的学习，学生已经具备了一定的基础知识，如果教师再巧妙地引入新课，就能激发起学生强烈的求知欲，使得他们积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，并参与到课堂活动中去，充分发挥他们的主体作用。
根据这部分的教学内容和学生的知识现状，教师应采用启发诱导式的教学模式，并在教学过程中注重培养学生的逻辑思维能力和动手解题能力。
(完整版)分部积分法教案
分部积分法教学目的：使学生理解分部积分法，掌握分部积分法的一般步骤及其应用。
重点：分部积分法及其应用难点：在分部积分法中，要恰当的选取u 和v教学方法：讲练法0 回顾上几节课我们学习了不定积分的求法，要求我们①熟记基本初等函数积分公式表②熟练、灵活的运用第一换元积分法（凑微法）③熟练、灵活的运用第二换元积分法。
凑微法：实质是在被积函数中凑出中间变量的微分；dx x x f dx x f )(')]([)(ϕϕ⎰⎰=)]([)]([x d x f ϕϕ⎰=)(x u ϕ=↓令 du u f ⎰=)(Cx F Cu F +=+=)]([)(ϕ 第二换元积分法：关键是通过适当的变量替换)(t x ϕ=，使得难求的积分易求dt t t f dx x f t x )(')]([)()(ϕϕϕ⎰⎰−−−→−=令 CF(x)C ])([)()]([+=+==⎰t F t d t f ϕϕϕ1引入用我们已经掌握的方法求不定积分⎰⋅xdx x cos分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。
②凑微法失效。
x x cos ↔③第二类换元积分法解：不妨设 t x tx arccos cos ==则 原方程dt t t t ⎰--⋅⋅211arccos 更为复杂所以凑微法和第二换元积分法都失效。
反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：（假设u 、 v 为两个函数） 已知： '')'(uv v u v u +=⋅对上式两边积分得：⎰⎰+=dx uv vdx u uv ''移项得： ⎰⎰-=vdx u uv dx uv ''观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：⎰dx uv '中v ’为导数形式。
故，我们可以尝试来解一下上面的积分。
C x x x xdxx x x dxx x xdxx ++=-==↓⋅⎰⎰⎰cos sin sin 'sin ')(sin cos 形式一样先要化的和要求积分的真是：山重水复疑无路，柳暗花明又一村。
不定积分中分部积分法的教学探讨——以经管类学生为例
S t a n d a r d C l a s s r o o m /标准课堂225（云南师范大学文理学院，云南 昆明 650222）摘要：不定积分是微积分中的重要内容，分部积分法是求解不定积分的一种重要方法。
《微积分》是经管类学生的必修课，一般安排在大一学年。
大一经管类学生数学基础薄弱，对不定积分的学习有一定的困难。
文章根据大一学生的学习特点，对不同的班级实施不同的教学设计。
通过对比不同班级的教学效果，总结出较能使学生掌握的教学设计，使经管类学生能更好地掌握分部积分法。
关键词：微积分；不定积分；分部积分法大学数学是大自然的基本语言，是应用模式探索世界物质机理的主要手段，对于大学非数学专业的学生而言，大学数学的教育，其意义远远不仅仅是学习一种专业的工具而已。
《微积分》这门课，主要针对理工类学生和经管类学生开设，一般安排在大一学年教学。
大一新生刚从高中步入大学，好多学习方法仍在使用学习高中知识的方法，即主要用死记硬背、代公式来达到掌握知识点的目的。
因此，在设计教学设计时要根据学生的这一学习特点来设计数学教学。
另，经管类学生中有部分来自文科班，本身在高中阶段对数学的要求就没有理科生要求那么严格，所以基础相对来说要薄弱一些，这就要求教学设计时要尽量兼顾大部分同学的学习水平。
不定积分是《微积分》中的重要内容，即在已知函数求导问题的基础上考虑其逆问题：把已知导数求其函数，即求一个未知函数，使其导数恰好是某一已知函数。
这种由导数或微分求原函数的逆运算称为不定积分。
故研究不定积分的解法就变得至关重要。
不定积分的解法分为直接积分法、第一换元法、第二换元法、分部积分法、有理函数积分法、无理函数积分法。
直接积分法即直接利用基本积分公式，直接求出不定积分的方法。
但能直接用直接积分法计算的不定积分是十分有限的；换元积分法是将复合函数的求导法则反过来用于不定积分，通过适当的变量替换（即换元），把某些不定积分换为可利用基本积分公式的形式，再计算出不定积分；有些积分前两种方法无法解决，得使用分部积分法。
不定积分中分部积分法的教学设计
不定积分中分部积分法的教学设计
作者：胡珍妮代雪珍肖楠
来源：《读与写·教育教学版》2018年第12期
摘要：分部积分法是求不定积分中最基本的方法之一，常用于被积函数为两种不同类型函数乘积的积分，对高职学生来说这既是难点也是易错点，但其使用是有一定技巧的，如能灵活运用往往能够化难为易。
笔者结合自己近几年的教学实践对其教学设计做简单阐述。
关键词：不定积分分部积分法教学设计特殊函数综合使用
中图分类号：O151 文献标识码：A 文章编号：1672-1578（2018）12-0036-02。
关于积分学中分部积分法的教学设计
关于积分学中分部积分法的教学设计作者：袁安锋来源：《教育教学论坛》2014年第28期摘要：高等数学（微积分）是高等教育中非常重要的一门平台基础课，其教学质量的提高具有重要意义。
分部积分法是高等数学中的一个难点和易错点。
本文通过教学体会总结了分部积分法的教学设计以及教学技巧。
在教学中按照该设计和技巧能快速让学生掌握该知识点，而且学生在处理该类问题时不容易犯错。
关键词：教学设计；高等数学；分部积分法中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）28-0273-02引言：随着大众化教育的到来，高校招生规模不断扩大，越来越多的学生进入高校深造学习，进入大学的学生数学总体水平明显的降低，层次参次不齐，不少学生高考数学成绩过低，基础差，对数学失去信心和兴趣，缺乏学习动力。
作为地方性院校，这些现象表现更是突出。
《高等数学》课程是所有理工类、经管类必选的课程。
而《高等数学》课程的核心是微积分学。
由于部分学生数学基础差，加上教授课程的教师教法不得当，部分同学学习这门课程会觉得比较吃力，每学期不及格的同学有很多，直接影响着学生的毕业率。
随着时代的发展，这种趋势更是有扩大的迹象。
笔者通过自己的教学体会，总结了关于分部积分法的教学处理技巧。
分部积分法是《高等数学》课程中积分学的一种重要的方法。
它是由微分学中的公式（uv）'=u'v+uv'推导得来。
分部积分公式为■udv=uv-■vdu。
应用分部积分法，关键是和的选取。
原则是使用分部积分公式后■vdu比原来的■udv要容易积分（至少不能比前面的积分还麻烦）。
很多经典的教材（如同济大学版《高等数学》[1]、复旦大学版《数学分析》[2]）都是这样处理的：如对于积分■xcosxdx，利用公式■uv'dx=uv-■u'vdx，选取u=x，v'=cosx，然后套公式计算。
对于数学基础好的同学，这样讲授不成问题，但是对于数学基础差的同学来说就很困难。
定积分的换元积分法及分部积分法教案
定积分的换元积分法及分部积分法教案在数学学科中，定积分是重要的概念之一，它用于计算曲线下的面积以及求解一些与曲线相关的问题。
在定积分的计算过程中，换元积分法（也被称为代换法）和分部积分法是两种常用的方法。
本文将分别介绍这两种方法的基本思想、应用场景以及具体的计算步骤。
一、换元积分法换元积分法是一种通过引入新的自变量来简化被积函数的积分形式的方法，常用于求解复杂函数的积分。
其基本思想是将被积函数中的一个部分替换为新的变量，从而使得替换后的函数更易于求积分。
换元积分法的基本步骤如下：1. 选取合适的代换变量。
通常选择函数中的某一部分作为代换变量，希望将其替换为一个新的单变量函数。
2. 进行变量代换。
将选取的代换变量与原函数进行替换，得到含有新变量的复合函数。
3. 求解新函数的导数和逆函数。
根据链式法则，计算出新函数的导数，并求出其逆函数。
4. 替换变量并求积分。
将原函数中的变量用代换变量表示，将被积函数转化为新的积分形式。
最后，根据积分的基本性质求解出最终的积分结果。
换元积分法常用于求解包含复杂函数的积分，通过选择合适的代换变量，可以将原函数转化为更加简单的形式，使得计算过程更加容易和高效。
在实际应用中，对于具体的函数形式，需要灵活选择代换变量，以获得最佳的换元效果。
二、分部积分法分部积分法是求解积分中的乘积形式时常用的一种方法，用于将乘积形式的积分转化为更易求解的形式。
它基于求导法则中的乘积法则，通过对原函数进行分部积分，将原积分问题转化为简化后的积分问题。
分部积分法的基本步骤如下：1. 选择分部积分的形式。
对于被积函数中的乘积形式，选择其中一个函数进行求导，另一个函数进行积分。
2. 计算分部积分后的结果。
通过应用乘积求导法则，对原函数进行求导和积分，得到分部积分后的结果。
3. 化简并重复应用。
如果分部积分后的新积分形式仍然是乘积形式，则继续应用分部积分法进行反复化简，直到积分变得简单易解为止。
4. 求解最终的积分结果。
不定积分分部积分法教学小记
不定积分分部积分法教学小记不定积分分部积分法是高等数学中一个重要的概念，用于解决复杂的积分问题。
在教学过程中，如何有效地让学生掌握这一方法成为了教师们的一项重要任务。
本文将结合自己的教学实践，分享一些关于不定积分分部积分法教学的经验和心得。
一、引入方法在教学不定积分分部积分法时，首先要让学生了解这一方法的基本原理。
通过举例说明，让学生理解分部积分法的实质是对不定积分进行分解，然后再进行适当的组合，以简化或者化简原积分式。
例如可以通过求解\int udv = uv - \int vdu 的方法让学生了解分部积分法的基本原理，这样学生在学习过程中就能够更加理解不定积分分部积分法。
二、应用范围在教学中，要让学生认识到不定积分分部积分法在解决复杂函数的积分方面有很大的应用价值。
同时通过一些典型的例子，可以引导学生逐步掌握分部积分法的应用技巧。
例如对于一些复杂的三角函数、指数函数、对数函数、幂函数的积分，采用分部积分法可以事半功倍，这些都是要向学生重点强调的。
三、案例分析在教学实践中，通过一些经典的积分例子，让学生逐步领会不定积分分部积分法的实际应用。
可以引导学生计算\int x e^x dx，通过适当的分解和组合，让学生掌握分部积分法的具体操作流程。
通过反复训练和应用，让学生掌握不定积分分部积分法的解题技巧。
四、难点突破在教学不定积分分部积分法时，往往会遇到一些难点问题。
对于一些混合函数的积分问题，学生很容易迷失在具体的计算过程中。
在教学中，需要针对这些具体的问题，进行系统的讲解和训练。
可以通过一些分步骤演算的方式，引导学生逐步理解和掌握分部积分法的具体操作技巧。
五、巩固训练在教学不定积分分部积分法后，需要给学生一定的时间进行课后作业的巩固训练。
通过一些典型的计算题目，让学生在课后进行综合性的训练和巩固。
可以组织一些小组讨论和比赛，让学生在实际操作中进一步巩固和提升自己的不定积分分部积分法的技能。
六、拓展应用在教学不定积分分部积分法后，可以引导学生进一步了解不定积分分部积分法在实际问题中的应用。
单元教学设计《积分及其应用》
单元教学设计《积分及其应用》
一、教学目标
1. 理解积分的概念和基本性质；
2. 掌握积分的计算方法和技巧；
3. 学会运用积分解决实际问题。
二、教学内容及安排
第一课时：积分的定义和性质
- 介绍积分的概念和定义；
- 讲解积分的性质，包括线性性质、可加性和区间可加性等；- 给出积分的基本公式，如幂函数积分、三角函数积分等。
第二课时：积分的计算方法
- 介绍定积分和不定积分的概念；
- 讲解积分的计算方法，包括换元法、分部积分法等；
- 给出一些常见函数的积分表。
第三课时：积分的应用
- 介绍积分的几何应用，如求曲线下的面积、与坐标轴所围成的面积等；
- 给出一些实际问题，引导学生运用积分解决问题，如求平均值、求体积等。
三、教学方法
1. 针对每一课时的内容设计小组合作研究任务，让学生在小组中互相讨论、合作解决问题；
2. 结合教学内容设计综合性实践活动，如实际测量、建模等，培养学生的实际应用能力；
3. 使用多媒体教学手段，辅助讲解和示范计算方法，提高学生的理解和记忆效果。
四、教学评价
1. 以课堂小组讨论和合作解决问题的表现为主要评价依据；
2. 考察学生对积分概念和性质的理解程度；
3. 评估学生对积分计算方法和应用的掌握情况；
4. 结合教学中的实践活动，评估学生的实际应用能力。
五、教学资源
1. 教材：《高中数学教程》第三册；
2. 多媒体教学软件；
3. 实践活动所需的测量工具、模型等。
以上是对单元教学设计《积分及其应用》的概述，希望能够帮助到您。
定积分换元法与分部法教案
定积分换元法与分部法教案教案内容：一、引言定积分是微积分学中的重要概念之一，它被广泛应用于求解曲线下面积、求解平均值、求解弧长等问题。
而在计算定积分时，换元法与分部法是两种常用的方法。
本教案将详细介绍定积分中的换元法与分部法，并通过案例讲解它们的具体应用。
二、换元法换元法是通过引入一个新的变量来简化被积函数的形式，从而更容易进行积分运算。
下面我们以一个简单的例子来说明换元法的基本思想和步骤。
例子1：计算∫(2x+1)^2 dx，其中被积函数为(2x+1)^2。
解：我们首先进行变量替换，令u=2x+1，那么x=(u-1)/2。
同时计算du/dx=2，可以得到dx=du/2。
将这些结果代入原式中得到：∫(2x+1)^2 dx = ∫u^2 (du/2) = 1/2 ∫u^2 du = 1/2 * (u^3/3) + C，其中C 为常数。
最后将u=(2x+1)带回，得到最终结果为1/6 (2x+1)^3 + C。
通过这个例子，我们可以总结出换元法的一般步骤和注意事项：1. 将被积函数中的一部分或全部替换成新的变量，构造一个合适的换元公式。
2. 计算新变量对应的微分形式，并将其代入原式中进行变换。
3. 进行简化和积分运算。
4. 将新变量转换回原变量，并得到最终结果。
三、分部法分部法（也称为积分法）是求解含有乘积形式的函数积分时常用的方法。
它基于积分的乘法法则，通过选取合适的被积函数和积分函数，将原积分问题转化为两个较简单的积分问题。
以下是分部法的一般步骤和一个案例来说明：步骤：1. 选取合适的被积函数和积分函数。
2. 计算分部积分公式∫u dv = uv - ∫v du。
3. 通过代入具体值计算被积函数和积分函数的值，并将结果代入分部积分公式。
4. 对右侧的两个积分进行继续的分部积分，直到能够得到可直接求解的积分表达式。
例子2：计算∫x ln(x) dx。
解：我们选取被积函数u = ln(x) 和积分函数dv = x dx。
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Ｘ Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ ｘ ｃ － ｓ ｉ ｎ ｘ ， Ｘ Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ ｃ 。 ｓ ｘ ｄ （ 等 ） 。
这 样 』 ｘ ｃ 。 ｓ ｘ ｄ ｘ ＝ 』 ｘ ｄ ｓ ｉ ｎ ｘ ＝ ｘ ｓ ｉ ｎ ｘ 一 』 ｓ ｉ ｎ ｘ ｄ ｘ ＝ ｘ ｓ ｉ ｎ ｘ ＋ ｅ ｏ ｓ ｘ ＋ ｃ 。
２ ． 被 积 函数 是 两类不 同函数 乘积 的情 形 。
例２ 求不 定积分ｆ ｘ ｃ 。 ｓ ｘ ｄ ｘ 。
分析 ： 提示学生思考 ： 这个时候什么是ｕ ， 什么是ｖ 呢？ 学 生 首 先 会 想 到Ｕ ＝ Ｘ Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ ， Ｖ ＝ Ｘ ，这 样 按 照 学 生 的思 路 先算 一
的积 分 比原 来 的积 分更 复杂 了 ， 这 样处 理不 合适 。
现上面的计算错误。笔者认为为避免上面的错误 ，同时也 让学生接受知识了解其来龙去脉 ， 所以采取下面循序渐进 的方法来教授该知识点 。前提是 只要求学生熟练掌握分部 积 分 法 的第 二个 公式 ：
解 ： 』 ｘ ｃ ｏ ｓ ｘ ｄ ｘ ＝ 』 ｘ ｄ ｓ ｉ ｎ ｘ ＝ ｘ ｓ ｉ ｎ ｘ 一 』 ｓ ｉ ｎ ｘ ｄ ｘ ＝ ｘ ｓ ｉ ｎ ｘ ＋ ｅ ｏ ｓ ｘ ＋ ｃ 。
ｆ ｄ ｖ ： ｕ 一 ｆ ｄ 。
１ ． 被积 函数 是 单类 函数 的情 形 。
例ｌ 求不定 积分 Ｊ ｌ ｎ ｘ ｄ ｘ 。
分析 ： 直 接套 分 部积 分公 式 ， 让 学 生对 比公 式找 准什 么 是Ｕ ， 什 么 是ｖ 。
解 ： 』 ｌ ｎ ｘ ｄ ｘ ＝ ｘ ｌ ｎ ｘ 一 』 ｘ ｄ ｌ ｎ ｘ ＝ ） 【 ｌ ｎ ｘ 一 』 ｘ ÷ ｄ ｘ ＝ ｎ ｘ － ｘ ＋ ｃ 。
文章 编 号 ： １ ６ ７ ４ — ９ ３ ２ ４ （ ２ ０ １ ４ ） ２ ８ — ０ ２ ７ ３ — ０ ２
引言：随着大众化教育的到来 ，高校招生规模不断扩 大， 越来越多的学生进入高校深造学习， 进人大学的学生数 学总体水平明显的降低 ， 层次参次不齐 ， 不少学生高考数学 成绩过低 ， 基础差 ， 对数学失去信心和兴趣 ， 缺乏学习动力 。 作为地方性院校 ，这些现象表现更是突出。《 高等数学》 课 程是所有理工类 、 经管类必选的课程 。而《 高等数学》 课程 的核 心 是微 积 分 学 。 由 于部 分 学生 数 学 基 础差 ， 加 上 教 授 课 程 的 教师 教 法 不得 当 ， 部 分 同学 学 习这 门课 程 会 觉 得 比 较吃力 ， 每学期不及格 的同学有很 多， 直接影响着学生 的毕 业率。 随着时代 的发展 ， 这种趋势更是有扩大的迹象。 笔者 通过 自己的教学体会 ， 总结 了关于分部积分法 的教学处理 技巧。 分部积分法是《 高等数学》 课程 中积分学的一种重要的 方法 。 它是 由微 分学 中的公 式 ｕ ｖ ） ’ ＝ ｕ ’ ｖ ＋ ｕ ｖ 帷 导得 来 。 分 部
ｆ ｘ ２ ｓ ｉ ｎ ｘ ｄ ｘ ，
显然后面出现两个积分 ， 比前面麻烦 ， 这样处理就不合
适了。
前面的积分还麻烦 ） 。 很多经典 的教材（ 如同济大学版《 高等数学》 ＿ ｌ Ｊ 、 复旦 大
ｒ
学版《 数学分析 ） 都是这样处理的： 如对于积分 ｆ ｘ ｃ ｏ ｓ ｘ ｄ ｘ ，
下：
积分公式为 Ｊ ｕ ｄ ｖ ＝ ｕ ｖ 一『 ｖ ｄ ｕ 。
， Ｊ
应用分部积分法 ，关键是和的选取 。原则是使用分部
ｒ ｒ
积分公式后 Ｉ ｖ ｄ ｕ ｔ Ｌ 原来的 Ｉ ｕ ｄ ｖ 要容易积分 （ 至少不能比
Ｊ Ｊ
ｆ ｘ ｃ 。 ｓ ｘ ｄ ｘ ＝ ｘ ￣ ｘ ｃ 。 ｓ ｘ — ｆ ｘ ｄ （ ｘ ｃ ｏ ｓ ｘ ） ＝ 。 ｓ ｘ — ｆ ｘ ｃ 。 ｓ ｘ ｄ ｘ ＋
误： Ｊ ｘ ｃ 。 ｓ ｘ ｄ ｘ ＝ ｘ ｃ ０ ｓ ｘ — Ｊ ｃ ｏ ｓ ｘ ｄ ｘ 者 所 在 的学校 是 普通 二类 本科 院 校 ，很 多学 生就 出
而 』 ｘ ｃ 。 ｓ Ｘ ｄ ｘ ＝ 』 ｃ 。 ｓ ｘ ｄ （ 萼 ） ＝ 萼 ｃ 。 ｓ ｘ ＋ 』 萼 ｓ ｉ ｎ ｘ ｄ ｘ ， 后 面
此 时引导学生 ，有没有 简单 的方法呢？我们 可以把
利 用公式ｆ ｕ ｖ ・ ｄ ｘ ＝ ｕ ｖ — ｆ ｕ ｔ ｖ ｄ ｘ ， 选取 Ｕ ＝ Ｘ ， Ｖ Ｉ ＝ ｃ Ｏ Ｓ Ｘ 然后套 公式
计算 。对 于数学基础好 的同学 ， 这样讲授不成 问题 ， 但是对 于数 学 基 础 差 的 同学 来 说 就很 困难 。很 多 学 生不 理 解 ， 就 采取下列方式 ， 直接让Ｕ ＝ Ｘ ， Ｖ ＝ Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ ， 从而出现下面的计算错
摘要 ： 高等数 学（ 微积分 ） 是 高等教 育中非常重要 的一 门平 台基础课 ， 其教 学质量 的提 高具有 重要意义。 分部积分法是 高等数 学 中 的一 个难 点和 易错 点 。 本 文 通 过教 学体 会 总 结 了分部 积 分法 的教 学设 计 以及 教 学技 巧 。 在教 学 中按 照 该设 计 和技巧 能快速让学生掌握该知识 点， 而且学生在处理该类问题 时不容 易犯错 。 关键词 ： 教 学设计 ； 高等数 学； 分部积分 法 中 图分 类 号 ： Ｇ ６ ４ ２ ． ４ １ 文 献 标 志码 ： Ａ
２ ０１４ 年 ７ 月 第 ２ ８期
教 育教 学论 坛
Ｅ Ｄ ＵＣ ＡＴＩ ＯＮ ＴＥ Ａ ＣＨＩ Ｎ Ｇ Ｆ ＯＲ ＵＭ
Ｊｕ １ ． ２ ０１ ４ Ｎ Ｏ． ２８
关于积分学 中分部积分 法的教学设 计
袁安锋
（ 北京 联合 大学 基础 部 ， 北京 １ ０ ０ １ ０ １ ）