二次函数6
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结一、二次函数的定义一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数。
其中x是自变量，a为二次项系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一次项，c为常数项。
注意：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量 x的整式。
（2）a,b,c为常数，且a≠0。
（3 ）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。
（4）x的取值范围是任意实数。
（5）函数的右边是一个整式。
思考：二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有何联系区别？联系：(1) 等式一边都是ax2＋bx＋c且a ≠0（2）方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的.区别：前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0二、二次函数的解析式注意：（1）任何二次函数的解析式都可以化成一般式、顶点式或对称式，但并非所有二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2−4ac⩾0时抛物线的解析式才可以用交点式表示．（2）一般地，二次函数解析式的这四种表达形式可以互化．（3）求解二次函数解析式的常用方法：①已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数的解析式；②已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数的解析式；③已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数的解析式；④已知抛物线经过点(x1，k)、(x2，k)时，可用对称式求二次函数的解析式．三、二次函数的图像四、二次函数图像性质五、二次函数图象的平移：口诀：上加下减常数项,左加右减自变量.六、二次函数图象的对称：。
二次函数的图像及性质6
得到的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于
二次函数y=aｘ2+k的性质
y＝ax２+k
a＞0
a〈0
图象
开口 对称性
顶点 增减性
ｋ〉0
k<0
k〉0
k〈0
开口向上
开口向下
ａ的绝对值越大,开口越小
关于y轴对称
(０,k)
顶点是最低点
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
顶点是最高点
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
不同点：a 要越大，抛物线的开 口越小.
y y x 2 8
y 2x2
6
y 1 x2
4
2
2
－4
－2 O
24
x
探究
画出函数 yx2,y1x2,y2x2 的图象，并考虑这些抛物 2
线有什么共同点和不同点．
你画出的图象与图中相同吗?
x ··· －4 -３ -２ -１ ０ 1 2 3 4 ···
y 1 x 2 ··· －8 -4.5 －２ -0。5 0
…二次函数的图像和性质…
1. y＝ａｘ2的函数图像 2. y=ax2 ＋k 的函数图像 3. y＝a(ｘ-h)2的函数图像 4. ｙ=a(x－h)2 ＋k 的函数图像 5. ｙ=ａx2+bx+c 的函数图像
画形如ｙ＝ax２的函数图像：
1、画函数y＝x２的图像;
观察y=x２的表达式,选择适当ｘ值，并计
同，但顶点坐标不同ຫໍສະໝຸດ 函数ｙ＝ ２ｘ2的图象的顶点坐标是（0,0)，而函数y＝2x２＋１的图象的顶点坐标是(0，1).
2、函数y=2x2+1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象 向上平移一个单位得到的．
艺术生高考数学专题讲义：考点6 二次函数与函数的最值
考点六 二次函数与函数的最值知识梳理1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a单调性在x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递减； 在x ∈⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增 在x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递增； 在x ∈⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减 对称性函数的图象关于x ＝－b2a对称① 二次函数f (x )的顶点坐标为(a ,b )，则对称轴为x =a ； ② 二次函数f (x )满足对任意x 总有f (x )=f (a )，则对称轴为x ； ③ 二次函数f (x )满足对任意x 总有f (a +x )=f (a )，则对称轴为x a ；④ 二次函数f (x )满足对任意x 总有f (a +x )=f (b )，则对称轴为x.2．函数的最值前提 函数y ＝f (x )的定义域为D条件 (1)存在x 0∈D ，使得f (x 0)＝M ； (2)对于任意x ∈D ，都有f (x )≤M .(1)存在x 0∈D ，使得f (x 0)＝M ； (2)对于任意x ∈D ，都有f (x )≥M .结论M 为最大值M 为最小值说明：闭区间上的二次函数必有最值. 求二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：定轴定区间、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．典例剖析题型一 二次函数的解析式例1 二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为________． 答案 f (x )＝12(x －2)2－1解析 依题意可设f (x )＝a (x －2)2－1， 又其图象过点(0，1)，∴4a －1＝1，∴a ＝12.∴f (x )＝12(x －2)2－1.变式训练 已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式． 答案 f (x )＝x 2－4x ＋3解析 ∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，∴f (x )的对称轴为x ＝2. 又∵f (x )图象被x 轴截得的线段长为2，∴f (x )＝0的两根为1和3. 设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)．又∵f (x )的图象过点(4,3)，∴3a ＝3，a ＝1.∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2－4x ＋3.解题要点 二次函数解析式的求法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：(1)已知三个点坐标，宜选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式； (3)已知图象与x 轴两交点坐标，宜选用零点式． 题型二 二次函数的图象和性质例2 两个二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 与g (x )＝bx 2＋ax ＋c 的图象可能是________．(填序号)①② ③④答案 ④解析 函数f (x )图象的对称轴为x ＝－b 2a ，函数g (x )图象的对称轴为x ＝－a 2b ，显然－b2a 与－a2b同号，故两个函数图象的对称轴应该在y 轴的同侧．只有④满足． 变式训练 如果函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b (x ∈[a ，b ])的图象关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的最小值为________． 答案 5解析 由题意知⎩⎨⎧－a ＋22＝1，a ＋b ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝6.则f (x )＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5≥5. ∴ f (x )的最小值为5.题型三 闭区间上二次函数最值例3 函数f (x )＝2x 2－2ax ＋3在区间[－1，1]上最小值记为g (a )，求g (a )的函数表达式． 解析 当a <－2时，函数f (x )的对称轴x ＝a2<－1，则g (a )＝f (－1)＝2a ＋5；②当－2≤a ≤2时，函数f (x )的对称轴x ＝a 2∈[－1，1]，则g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝3－a 22；③当a >2时，函数f (x )的对称轴x ＝a2>1，则g (a )＝f (1) ＝5－2a .综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋5（a <－2），3－a22（－2≤a ≤2），5－2a （a >2）.变式训练 设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，若函数的最小值为g (a )，求g (a )． 解析 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∴对称轴为直线x ＝1，当－2<a ≤1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y 取得最小值，即y min ＝a 2－2a ； 当a >1时，函数在[－2，1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y 取得最小值，即y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a ≤1，－1，a >1.解题要点 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考察对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论题型四 二次函数恒成立问题例4 对于任意实数x ，函数f (x )＝(5－a )x 2－6x ＋a ＋5恒为正值，则a 的取值范围是________． 答案 (－4,4)解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧5－a ＞0，36－4(5－a )(a ＋5)＜0，解得－4＜a ＜4.变式训练 已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，求实数a 的取值范围．解析 2ax 2＋2x －3＜0在[－1,1]上恒成立． 当x ＝0时，适合；当x ≠0时，a ＜32⎝⎛⎭⎫1x －132－16， 因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a ＜12.综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，12. 解题要点 1.二次函数在R 上恒成立的两个常见结论：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则对于x ∈R ， 二次函数f (x )>0恒成立， 二次函数f (x )<0恒成立.2.对于二次函数在某区间上恒成立问题，可以采取分离参数法，然后根据a > f (x )恒成立，则a > f (x )max ，a <f (x )恒成立，则a < f (x )min .当堂练习1．若二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，则f (x )的表达式为______________． 答案 f (x )＝x 2－x ＋1 解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝2x .故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝1，则f (x )＝x 2－x ＋1.2．已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－1)＝f (3)，则f (－3)、c 、f (52) 的大小关系是______________．答案 c ＜f (52)＜f (－3)解析 选.由已知可得二次函数图象关于直线x ＝1对称．又f (－3)＝f (5)，c ＝f (0)＝f (2)，二次函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故有f (－3)＝f (5)＞f (52)＞f (2)＝f (0)＝c .3. 函数y ＝2x 2－8x ＋2在区间[－1，3]上的值域为________． 答案 [－6，12]解析 y ＝2(x －2)2－6.当x ＝2时，y 最小为－6；当x ＝－1时，y 最大为12.4．已知f (x )＝x 2－2mx ＋5在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－∞，2]5．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1，1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解析 (1)由f (0)＝1，得c ＝1，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x .∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. 因此，所求解析式为f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在区间[－1，1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在区间[－1，1]上的最小值大于0即可． ∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在区间[－1，1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0，得m <－1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．课后作业一、 填空题1．函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1,1]，则y 的最小值是________． 答案 －1解析 函数y ＝2x 2－6x ＋3的图象的对称轴为x ＝32＞1，∴函数y ＝2x 2－6x ＋3在x ∈[－1,1]上为单调递减函数，∴y min ＝2－6＋3＝－1.2．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则下列说法正确的是________．(填序号)①a >0,4a ＋b ＝0 ②a <0,4a ＋b ＝0 ③a >0,2a ＋b ＝0 ④a <0,2a ＋b ＝0 答案 ①解析 由f (0)＝f (4)可知x ＝－b2a ＝2，∴b ＋4a ＝0，又f (0)>f (1)知f (x )先减后增，即a >0.3．函数f (x )＝ax 2＋ax －1在R 上恒满足f (x )<0，则a 的取值范围是________． 答案 －4<a ≤0解析 当a ＝0时，f (x )＝－1在R 上恒有f (x )<0；当a ≠0时，∵f (x )在R 上恒有f (x )<0，∴⎩⎨⎧a <0a 2＋4a <0，∴－4<a <0.综上可知：－4<a ≤0.4．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t 都有f (2＋t )＝f (2－t )，那么f (1)、f (2)、f (4)的大小关系是________． 答案 f (2)<f (1)<f (4)解析 ∵f (2＋t )＝f (2－t )，∴f (x )关于x ＝2对称，又开口向上．∴f (x )在[2，＋∞)上单调递增，且f (1)＝f (3)．∴f (2)<f (3)<f (4)，即f (2)<f (1)<f (4). 5．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a (x ∈[0,1])，若f (x )有最小值－2，则a 的值为________． 答案 －2解析 ∵f (x )＝－x 2＋4x ＋a ＝－(x －2)2＋4＋a ，且x ∈[0,1]， ∴f (x )min ＝f (0)＝a ＝－2，∴a ＝－2.6．已知二次函数y ＝x 2－2ax ＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是________． 答案 a ≤2或a ≥3解析 对称轴a ≤2或a ≥3，函数在(2,3)内单调递增．7．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为________． 答案 [1，2]解析 如图，由图象可知m 的取值范围是[1，2]．8．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b 等于________． 答案 2解析 函数f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1在[1，b ]上递增，由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝1f (b )＝bb ＞1，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2－3b ＋2＝0b ＞1，解得b ＝2.9．函数y ＝x 2－2x (x ∈[2,4])的增区间为________． 答案 [2,4]10．函数f (x )＝－x 2＋3x －1，x ∈[3，5]的最小值为 ． 答案 －11解析 f (x )＝－x 2＋3x －1,其对称轴为,所以函数f (x )＝－x 2＋3x －1在[3，5]上递减， 所以当x ＝5时，函数有最小值为－11．11．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋6满足条件f (－1)＝f (3)，则f (2)的值为__________． 答案 6解析 由f (－1)＝f (3)知，对称轴x ＝－b2a ＝1，则b ＝－2a ，所以f (2)＝4a ＋2b ＋6＝6.二、解答题12．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数. 解析 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， 则函数在[－4,2)上为减函数，在(2,6]上为增函数， 所以f (x )min ＝f (2)＝－1，f (x )max ＝f (－4)＝(－4)2－4×(－4)＋3＝35.(2)函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3的对称轴为x ＝－2a2＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上为单调函数， 只需－a ≤－4或－a ≥6，解得a ≥4或a ≤－6. 13．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)在区间[－1,1]上，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方，试确定实数m 的取值范围． 解析 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ， 由f (0)＝1，得c ＝1， 故f (x )＝ax 2＋bx ＋1. ∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由题意得x 2－x ＋1＞2x ＋m 在[－1,1]恒成立， 即x 2－3x ＋1－m ＞0在[－1,1]上恒成立， 设g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，其对称轴为x ＝32，∴g (x )在[－1,1]上单调递减，∴g (1)＝1－3＋1－m ＞0，得m ＜－1， 故m 的取值范围是m ＜－1.。
2.6 用三种方式表示二次函数6
【学习目标】通过学生实际解题过程，达到灵活掌握用解析式、列表、画图这三种方法表示二次函数。
【学习重点】三种方法表示二次函数的优缺点；为解决函数类实际问题打下坚实的基础。
【学习难点】三种方法表示二次函数的优缺点；为解决函数类实际问题打下坚实的基础。
【学习过程】 一、课前准备1、填写下表:2、正方形的边长是4cm ，假设边长增加x cm 时，正方形的面积增加ycm 2，则y 与x 的函数关系式为 3、已知函数22)2(－m xm y -=是y 关于x 的二次函数，则m 的值是二、自主学习活动一：1、已知矩形周长20cm ，并设它的一边长为x cm ，面积为ycm 2。
y 随x 的而变化的规律是什么？你能分别用函数表达式，表格和图象表示出来吗？ (1) 用函数表达式表示:y = (2) 用表格表示:(3)用图象表示：2、（1）在上述问题中,自变量x的取值范围是（2）当x= 时,长方形的面积最大，最大面积是活动二：课堂练习1、两个数相差2,设其中较大的一个数为x,它们的积y。
（1）用函数表达式表示：y=（2）用表格表示：【课堂小测】1、若两个数的差为3，若其中较大的数为x，则它们的积y与x的函数表达式为2、边长为6cm的正方形铁片，中间剪去一个边长为x cm的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y（cm2）与x（cm）之间的函数表达式为3、一根长为100m的铁丝围成一个矩形的框子，其中一边长为x cm，面积为2ycm，则y与x 之间的函数表达式为4、二次函数y=－x2＋bx＋c图象的顶点坐标是（－1，－3），则b、c的值是（）A、b=2，c=4B、b=2，c=4C、b=－2，c=4D、b=－2，c=－45、抛物线2)5y的顶点坐标是（）=x-(3+A、（0，0）B、（5，0）C、（0，5）D、（-5，0）【课后延伸】1、已知函数y=x2＋bx＋1的图象经过点（3，2）。
（1）求二次函数的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标。
高中数学竞赛专题精讲6二次函数(含答案)
6二次函数(2)二次方程问题其实质就是其相应二次函数的零点(图象与x轴的交点)问题，因此，二次方程的实根分布问题，即二次方程的实根在什么区间内的问题，借助于二次函数及其图象利用形数结合的方法来研究是非常有益的。
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的二实根为x1,x2，(x1＜x2)，Δ=b2-4ac，且α、β(α＜β)是预先给定的两个实数。
1．当两根都在区间(α,β)内，方程系数所满足的充要条件：∵α＜x1＜x2＜β，对应的二次函数f (x)的图象有下列两种情形(图1)当a＞0时的充要条件是：Δ＞0，α＜-b/2a＜β，f(α)＞0，f (β)＞0当a＜0时的充要条件是：Δ＞0，α＜-b/2a＜β，f(α)＜0，f (β)＜0两种情形合并后的充要条件是：Δ＞0，α＜-b/2a＜β，af(α)＞0，af (β)＞0 ①2．当两根中有且仅有一根在区间（α，β）内，方程系数所满足的充要条件：∵α＜x1＜β或α＜x2＜β，对应的函数f(x)的图象有下列四种情形（图2）从四种情形得充要条件是：f (α)·f (β)＜0 ②3．当两根都不在区间［α，β］内方程系数所满足的充要条件：（1）两根分别在区间［α，β］之外的两旁时：∵x1＜α＜β＜x2，对应的函数f(x)的图象有下列两种情形（图3）：当a＞0时的充要条件是：f (α)＜0，f (β)＜0当a＞0时的充要条件是：f (α)＞0，f (β)＞0两种情形合并后的充要条件是：af (α)＜0，af (β)＜0 ③（2）两根分别在区间［α，β］之外的同旁时：∵x1＜x2＜α＜β或α＜β＜x1＜x2，对应函数f(x)的图象有下列四种情形（图4）：当x1＜x2＜α时的充要条件是：Δ＞0，-b/2a＜α，af (α)＞0 ④当β＜x1＜x2时的充要条件是：Δ＞0，-b/2a＞β，af (β)＞0 ⑤二次函数与二次不等式前面提到，一元二次不等式的解集相应于一元二次函数的正值、负值区间。
二次函数 —— 初中数学第六册教案-初中数学二次函数教案
二次函数——初中数学第六册教案|初中数学二次函数教案〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向〖大纲要求〗1．理解二次函数的概念；2．会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；3．会平移二次函数y＝ax (a≠0)的图象得到二次函数y＝a(ax＋m) ＋k 的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；4．会用待定系数法求二次函数的解析式；5．利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。
内容（1）二次函数及其图象如果y=ax +bx+c(a,b,c是常数，a≠0),那么，y叫做x的二次函数。
二次函数的图象是抛物线，可用描点法画出二次函数的图象。
（2）抛物线的顶点、对称轴和开口方向抛物线y=ax +bx+c(a≠0)的顶点是，对称轴是，当a>0时，抛物线开口向上，当a y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 xA B C D3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x＝，求这条抛物线的解析式。
4．考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：已知抛物线y＝ax ＋bx＋c（a≠0）与x轴的两个交轴交点的个数为（）(Ａ)０(Ｂ)１(Ｃ)２(Ｄ)３１４、下列各图中能表示函数和在同一坐标系中的图象大致是（）(Ａ) (Ｂ) (Ｃ) (Ｄ)15．平面三角坐标系内与点（3，－5）关于ｙ轴对称点的坐标为（）（A）（－3,5）（B）（3,5）（C）（－3，－5）（D）（3，－5）16．下列抛物线，对称轴是直线ｘ＝的是（）（A）ｙ＝ｘ（B）ｙ＝ｘ＋2ｘ（C）ｙ＝ｘ＋ｘ＋2（D）ｙ＝ｘ－ｘ－217．函数ｙ＝中，ｘ的取值范围是（）（A）ｘ≠0（B）ｘ＞（C）ｘ≠（D）ｘ＜18．已知A（0,0），B（3,2）两点，则经过A、B两点的直线是（）（A）ｙ＝ｘ（B）ｙ＝ｘ（C）ｙ＝3ｘ（D）ｙ＝ｘ＋119．不论ｍ为何实数，直线ｙ＝ｘ＋2ｍ与ｙ＝－ｘ＋4 的交点不可能在（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限 20．某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直，（如图）如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流下落点B离墙距离OB是（）（A）2米（B）3米（C）4米（D）5米三．解答下列各题（21题6分，22----25每题4分，26-----28每题6分，共40分）21．已知：直线ｙ＝ｘ＋ｋ过点A（4，－3）。
二次函数课件ppt
主要知识点回顾
01 02
二次函数的定义
二次函数是一种特殊的函数形式，表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a 、b、c为常数，a≠0。它的图像为抛物线，具有开口方向、顶点、对称 轴等特征。
二次函数的性质
二次函数具有极值、单调性、最值等性质，这些性质在解决实际问题中 有着广泛的应用。
二次函数的性质
开口方向
总结词
指二次函数图像的向上或向下方 向。
详细描述
二次函数开口方向取决于二次项 系数a的正负。当a>0时，开口向 上；当a<0时，开口向下。
顶点坐标
总结词
指二次函数图像的最高或最低点坐标。
详细描述
二次函数的顶点坐标通常由二次项系数a、一次项系数b及常数项c决定，一般表 达式为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)。
逐步深入学习
学习二次函数要由浅入深，从基础知识点开始学习，逐步深入掌握其 应用方法，提高自己的解题能力和思维水平。
对未来的展望
拓展应用领域
二次函数是数学中一个非常重要的概念，其应用领域广泛，未来可以将其应用到各个领域 中，如物理学、经济学、工程学等。
深化研究
二次函数还有许多未被探索的领域和性质，未来可以通过不断深化研究来发现新的理论和 应用成果。
学习目标
01
02
03
04
理解二次函数的基本概念和形 式。
掌握二次函数的图像和性质。
学会应用二次函数解决实际问 题。
熟悉二次函数与一元二次方程 的关系。
CHAPTER 02
二次函数的基本概念
二次函数定义
形如y=ax^2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)的函数称为二次函数。 其中x为自变量，y为因变量。
二次函数知识点
二次函数（知识点）1. 二次函数的概念：一般地，如果y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a ≠0)，其中二次项中x 的次数必须是2并且二次项的系数不能为0，那么这样的函数y 叫做x 的二次函数.2.二次函数y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a ≠0)的图象及画法二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象是对称轴平行于y 轴(或是y 轴本身)的抛物线.几个不同的二次函数.如果二次项系数a 相同，那么其图象的开口方向、形状完全相同，只是顶点的位置不同. 一 用描点法画图象首先确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称地画图.画结构图时应抓住以下几点：对称轴、顶点、与x 轴的交点、与y 轴的交点. 二 用平移法画图象由于a 相同的抛物线y=ax 2+bx+c 的开口及形状完全相同，故可将抛物线y=ax 2的图象平移得到a 值相同的其它形式的二次函数的图象.步骤为：利用配方法或公式法将二次函数化为y=a(x-h)2+k 的形式，确定其顶点(h ，k)，然后做出二次函数y=ax 2的图象.将抛物线y=ax 2平移，使其顶点平移到(h ，k).3.（1）函数y=ax 2(a ≠0)的图象与性质：a 的符号图象开口方向 顶点坐标 对称轴增减性最大(小)值a>0向上(0，0)y 轴或说直线x=0 x>0时，y 随x 增大而增大 x<0时，y 随x 增大而减小当x=0时，y 最小=0a<0向下(0，0)y 轴或说直线x=0 x>0时，y 随x 增大而减小 x<0时，y 随x 增大而增大当x=0时，y 最大=0顶点是坐标原点(0,0)，对称轴是y 轴或直线x=0的抛物线的解析式形式为220)0(ax x a y =+-=）（0≠a（2）函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象及其性质:a 的符号图象开口方向 顶点坐标对称轴 增减性 最大(小)值 a>0向上(0，c)y 轴或说 直线x=0x>0时，y 随x 增大而增大 x<0时，y 随x 增大而减小 当x=0时， y 最小=ca<0向下(0，c)y 轴或说 直线x=0x>0时，y 随x 增大而减小 x<0时，y 随x 增大而增大当x=0时， y 最大=c顶点在y 轴上其坐标为（0，c ），对称轴是y 轴或直线x=0的抛物线的解析式形式为y=a （x-0）2+c=ax 2+c （3）抛物线y=ax 2与y=ax 2±c 之间的关系是：形状大小相同，开口方向相同，对称轴相同，而顶点位置和抛物线的位置不同． （4）抛物线之间的平移规律：抛物线y=ax 2向上平移c 个单位可以得到抛物线 y=ax 2+c ；抛物线y=ax 2向下平移c 个单位可以得到抛物线 y=ax 2-c ；4.（1）二次函数 y=ax 2+bx+c 的图像的性质二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象是一条抛物线.它的顶点坐标是（a b ac a b 44,22--），对称轴是直线x=ab 2-函数 二次函数y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a ≠0) 图象a>0a<0性质 (1)当a>0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸，顶点（a b ac a b 44,22--）有最低点，存在最小值，对称轴为x=a b 2-，当x=a b 2-，y 最小值=ab ac 442-。
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结在数学中，二次函数的最高阶必须是二次的。
在数学中，二次函数主要研究学生对公式的应用，是数学知识的重点。
二次函数知识点总结有哪些？一起来看看二次函数知识点总结，欢迎查阅！数学二次函数知识点归纳计算方法1.样本平均数：⑴ ;⑵若，，…， ,则(a―常数，，，…，接近较整的常数a);⑶加权平均数：;⑷平均数是刻划数据的集中趋势(集中位置)的特征数。
通常用样本平均数去估计总体平均数，样本容量越大，估计越准确。
2.样本方差：⑴ ;⑵若, ,…, ,则(a―接近、、…、的平均数的较“整”的常数);若、、…、较“小”较“整”，则;⑶样本方差是刻划数据的离散程度(波动大小)的特征数，当样本容量较大时，样本方差非常接近总体方差，通常用样本方差去估计总体方差。
3.样本标准差：三、应用举例(略)初三数学知识点：第四章直线形重点相交线与平行线、三角形、四边形的有关概念、判定、性质。
☆ 内容提要☆一、直线、相交线、平行线1.线段、射线、直线三者的区别与联系从“图形”、“表示法”、“界限”、“端点个数”、“基本性质”等方面加以分析。
2.线段的中点及表示3.直线、线段的基本性质(用“线段的基本性质”论证“三角形两边之和大于第三边”)4.两点间的距离(三个距离：点-点;点-线;线-线)5.角(平角、周角、直角、锐角、钝角)6.互为余角、互为补角及表示方法7.角的平分线及其表示8.垂线及基本性质(利用它证明“直角三角形中斜边大于直角边”)9.对顶角及性质10.平行线及判定与性质(互逆)(二者的区别与联系)11.常用定理：①同平行于一条直线的两条直线平行(传递性);②同垂直于一条直线的两条直线平行。
12.定义、命题、命题的组成13.公理、定理14.逆命题二、三角形分类：⑴按边分;⑵按角分1.定义(包括内、外角)2.三角形的边角关系：⑴角与角：①内角和及推论;②外角和;③n 边形内角和;④n边形外角和。
⑵边与边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
6.2二次函数的图象和性质(6)
§6.2 二次函数的图象和性质（6）教案备课时间: 主备人:教学目标：1．能根据实际问题列出函数关系式、2．使学生能根据问题的实际情况，确定函数自变量x的取值范围。
3．通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识。
重点难点：根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围，既是教学的重点又是难点。
教学过程：一、复习旧知1．通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(1)y＝6x2＋12x；(2)y＝－4x2＋8x－102. 以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分别是多少?二、范例有了前面所学的知识，现在我们就可以应用二次函数的知识去解决两个实际问题；例1、要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大?例2．某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。
将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?例3。
用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框。
应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大?最大透光面积是多少?小结：让学生回顾解题过程，讨论、交流，归纳解题步骤：(1)先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；(2)研究自变量的取值范围；(3)研究所得的函数；(4)检验x的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值：(5)解决提出的实际问题。
三、课堂练习1：求下列函数的最大值或最小值。
(1)y ＝－x 2－4x ＋2 (2)y ＝x 2－5x ＋14(3)y ＝5x 2＋10 (4)y ＝－2x 2＋8x2。
已知一个矩形的周长是24cm 。
(1)写出矩形面积S 与一边长a 的函数关系式。
2023中考九年级数学分类讲解 - 第六讲 二次函数(含答案)(全国通用版)
第六讲 二次函数专项一 二次函数的图象和性质知识清单一、二次函数的概念一般地，形如 （a ，b ，c 为常数，a≠0）的函数叫做二次函数．其中ｘ是自变量，a ，b ，c 分别是函数解析式的二次项系数、 和常数项． 二、二次函数的图象和性质1. 二次函数的图象是一条 ．其一般形式为y =ax 2+bx +c ，由配方法可化成y =a （x -h ）2+k 的形式，其中h=2ba-，k=244ac b a -．2. 二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象和性质3. 二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与系数a ，b ，c 符号的关系ab ＜0（a ，b 异号）对称轴在y 轴右侧 c决定抛物线与y 轴的交点c ＞0 交点在y 轴正半轴 c =0 交点在原点 c ＜0交点在y 轴负半轴考点例析例1 抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（-1，0），（3，0），且与y 轴交于点（0，-5），则当x=2时，y 的值为（ ）A ．-5B ．-3C ．-1D ．5分析：画出抛物线的大致图象，可知抛物线的对称轴为x=1，根据抛物线的对称性可求出y 的值． 例2 一次函数y=ax+b 的图象如图1所示，则二次函数y=ax 2+bx 的图象可能是（ ）A B C D分析：根据一次函数y=ax+b 的图象经过的象限得出a ＜0，b ＞0，可知二次函数y=ax 2+bx 的图象开口向下，对称轴在y 轴右侧．例3 二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图2所示，下列说法中，错误的是（ ） A ．对称轴是x=12B ．当-1＜x ＜2时，y ＜0C ．a+c=bD ．a+b ＞-c图2分析：由图可知，对称轴是x=1+22-=12，选项A 正确；当-1＜x ＜2时，函数图象在x 轴的下方，所以当-1＜x ＜2时，y ＜0，选项B 正确；当x=-1时，y=a-b+c=0，所以a+c=b ，选项C 正确；当x=1时，y=a+b+c ＜0，所以a+b ＜-c ，选项D 错误．例4二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，对称轴为x ＝12，且经过点（2，0）．有下列说法：①abc ＜0；②﹣2b +c ＝0；③4a +2b +c ＜0；④若112y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，252y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，是抛物线上的两点，则y 1＜y 2；图1⑤14b +c ＞m （am +b ）+c （其中m ≠12）．其中正确的有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个图3分析：由抛物线的开口方向、对称轴的位置、与y 轴的交点可得a ，b ，c 的符号，从而可得abc 的正负；由对称轴x=2b a -=12，得b=-a ，由图象易知当x=-1时，y=a-b+c=﹣2b+c ＝0；根据抛物线经过点（2，0），可得4a+2b+c=0；根据“开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越大”可判断y 1与y 2的大小；由图象知当x ＝12时，y 有最大值为14a+12b+c=14b +c ，由此可判断14b +c 与m （am +b ）+c 的大小关系．归纳：（1）几种常见代数式的判断①2a ±b 2b a-与±1比较②a ±b +c 令x ＝±1，看纵坐标 ③4a ±2b +c 令x ＝±2，看纵坐标 ④9a ±3b +c令x ＝±3，看纵坐标⑤3a +c ，3b -2c 等关于a ，c 或b ，c 的代数式 一般由②③④式与①式结合判断（2①当已知抛物线的解析式及相应点的横坐标时，可先求出相应点的纵坐标，然后比较大小．ꎻ②利用抛物线上的对称点的纵坐标相等，把各点转化到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性比较大小． ③利用“开口向上，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越小；开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越大”也可以比较大小． 跟踪训练1.已知二次函数y=（a-1）x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＞0 B ．a ＞1 C ．a≠1 D ．a ＜12.二次函数y=x 2+4x+1的图象的对称轴是（ ）A ．x=2B ．x=4C ．x=-2D ．x=-4 3.关于二次函数y=2（x-4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ） A ．有最大值4B ．有最小值4C ．有最大值6D ．有最小值64.一次函数y=ax+b （a≠0）与二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A B C D5.如图3，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C．有下列结论：①ac＞0；②当x＞0时，y随x的增大而增大；③3a+c=0；④a+b≥am2+bm．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4第5题图6.定义：[a，b，c]为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[m，1-m，2-m]的二次函数的一些结论：①当m=1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m=2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值；④如果m＜0，当x＞12时，y随x的增大而减小．其中所有正确结论的序号是．专项二确定二次函数的解析式知识清单用待定系数法求二次函数的解析式时，若已知条件给出了图象上任意三点（或任意三组对应值），可设解析式为；若给出顶点坐标为（h，k），则可设解析式为；若给出抛物线与x轴的两个交点为（x1，0），（x2，0），则可设解析式为.考点例析例在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的解析式为（）A．y＝﹣x2﹣4x+5 B．y＝x2+4x+5 C．y＝﹣x2+4x﹣5 D．y＝﹣x2﹣4x﹣5分析：由抛物线的解析式求得抛物线的顶点坐标与点C的坐标，然后结合中心对称的性质，求得新抛物线的顶点坐标，用待定系数法求出新抛物线的解析式．跟踪训练1.若抛物线y=x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为4，对称轴为直线x=2，P为这条抛物线的顶点，则点P 关于x轴的对称点的坐标是（）A．（2，4）B．（-2，4）C．（-2，-4）D．（2，-4）2.在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了如图所示直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3），同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数解析式各不相同，其中a的值最大为（）A．52B．32C．56D．12第2题图专项三二次函数图象的平移知识清单二次函数图象的平移规律平移前的解析式平移方向及距离平移后的解析式口诀顶点坐标y=a（x-h）2+k （a≠0）向左平移m个单位长度y=a（x-h+m）2+k左加右减纵坐标不变向平移m个单位长度y=a（x-h-m）2+k向上平移m个单位长度y=a（x-h）2+k+m上加下减横坐标不变向平移m个单位长度y=a（x-h）2+k-m平移前后ａ值不变例将抛物线y=-x2-2x+3向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线必定经过（）A．（-2，2）B．（-1，1）C．（0，6）D．（1，-3）分析：先将y=-x2-2x+3转化成顶点式y=a（x-h）2+k，再利用二次函数的平移规律：左加右减，上加下减，得出平移后抛物线的解析式，最后把各选项的点代入判断即可．跟踪训练1.将抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移2个单位长度，以下说法错误的是（）A．开口方向不变B．对称轴不变C．y随x的变化情况不变D．与y轴的交点不变2.抛物线的函数解析式为y=3（x-2）2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数解析式为（）A．y=3（x+1）2+3 B．y=3（x-5）2+3 C．y=3（x-5）2-1 D．y=3（x+1）2-13.已知抛物线y=a（x-h）2+k与x轴有两个交点A（-1，0），B（3，0），抛物线y=a（x-h-m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（）A．5 B．-1 C．5或1 D．-5或-14.已知抛物线y=x2+kx-k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（）A．-5或2 B．-5 C．2 D．-25.把抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为．6.如图，二次函数y=（x-1）（x-a）（a为常数）的图象的对称轴为x=2．（1）求a的值．（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的解析式．第6题图专项四二次函数与一元二次方程的关系知识清单二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的关系：Δ=b2-4ac一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系Δ>0有两个不等的实数根有两个不同的公共点Δ=0有两个相等的实数根只有唯一的公共点Δ<0无实数根没有公共点考点例析例已知关于x的一元二次方程x2+x-m=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）二次函数y=x2+x-m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x-m=0的解．分析：（1）由方程x2+x-m=0有两个不相等的实数根，可得Δ>0，列不等式即可求出m的取值范围；（2）根据二次函数图象的对称性，可得二次函数y=x2+x-m的图象与x轴的另一个交点，从而得到一元二次方程x2+x-m=0的解．解：跟踪训练1.已知直线y=kx+2过第一、二、三象限，则直线y=kx+2与抛物线y=x2-2x+3的交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．1或22.已知二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见表格，有下列结论：①c=2；②b2-4ac＞0；③方程ax2+bx=0的两根为x1=-2，x2=0；④7a+c＜0．其中正确的有（）3.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y=x2+2x+k与x轴只有一个交点，则k=．4.对于任意实数a，抛物线y=x2+2ax+a+b与x轴都有公共点，则b的取值范围是．5.武汉）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c=0．下列四个结论：①若抛物线经过点（-3，0），则b=2a；②若b=c，则方程cx2+bx+a=0一定有根x=-2；③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2．其中正确的是．（填序号）专项五二次函数的应用知识清单构建二次函数模型解决实际问题的一般步骤：（1）审题，分析问题中的变量和常量；（2）建立二次函数模型表示它们之间的关系；（3）充分结合已知条件，利用函数解析式或图象等得出相应问题的答案，或把二次函数解析式用顶点坐标公式或用配方法化为顶点式，确定出二次函数的最大（小）值；（4）结合自变量的取值范围和问题的实际意义，检验结果的合理性.考点例析例1某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件．设该商品每件的销售价为x 元，每个月的销售量为y件．（1）求y与x的函数解析式；（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？分析：（1）根据“该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件”列出y与x的函数解析式；（2）设每个月的销售利润为w元，根据等量关系“利润=（售价-进价）×销量”列出函数解析式，配方后根据二次函数的性质求解．解：例2某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数解析式为y=-16（x-5）2+6．（1）求雕塑高OA；（2）求落水点C，D之间的距离；（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE=10 m，EF=1.8 m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．分析：（1）根据给出的抛物线的函数解析式，令x=0，求出点A的纵坐标，可得出雕塑高OA；（2）根据给出的抛物线的函数解析式，令y=0，求出点D的横坐标，可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC的长，结合CD=OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离；（3）将x=10代入函数解析式y=-16（x-5）2+6求出y的值，将求出的y值与1.8比较后即可得出顶部F是否会碰到水柱．解：跟踪训练1.某快餐店销售A，B两种快餐，每份利润分别为12元，8元，每天卖出份数分别为40份，80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．2.某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/吨，加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（吨）之间的关系为m=50+0.2x，销售价y（万元/吨）与原料的质量x（吨）之间的关系如图所示．（1）求y与x之间的函数解析式；（2）设销售收入为p（万元），求p与x之间的函数解析式；（3）原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润=销售收入-总支出）第2题图3. 如图①是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24 m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF 为1.5 m ，以桥拱顶点O 为原点，桥面为x 轴建立平面直角坐标系． （1）求桥拱顶部O 离水面的距离．（2）如图②，桥面上方有3根高度均为4 m 的支柱CG ，OH ，DI ，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1 m ． ①求出其中一条钢缆抛物线的函数解析式；②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．① ②第3题图专项六 二次函数中的分类讨论思想分类讨论思想就是按照一定的标准，把研究对象分成为数不多的几个部分或几种情况，然后逐个加以解决，最后予以总结作出结论的思想方法．我们在运用分类讨论思想时，必须遵循下列两个原则：一是要有分类意识，善于从问题的情境中抓住分类对象；二是要找出科学合理的分类标准，应当满足互斥、无漏、最简原则. 引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面:①由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；②由数学变形所需要的限制条件引起的讨论；③由图形的不确定性引起的讨论；④由于题目含有字母引起的讨论等等． 考点例析例 已知关于x 的二次函数y 1=x 2+bx+c （实数b ，c 为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x=1，求此二次函数的解析式； （2）若b 2-c=0，当b-3≤x≤b 时，二次函数的最小值为21，求b 的值；（3）记关于x 的二次函数y 2=2x 2+x+m ，若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，总有y 2≥y 1，求实数m 的最小值．分析：（1）将（0，4）代入二次函数y 1=x 2+bx+c ，可求得c ，由对称轴为x=-2b=1，可求出b ；（2）二次函数y 1=x 2+bx+c 图象的对称轴为x=-2b ，需要分三种情况：b ＜-2b ，b-3＞-2b 和b-3≤-2b≤b 进行分类讨论；（3）设函数y 3=y 2-y 1，根据二次函数图象的增减性进行求解． 解：跟踪训练科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y1（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度y2（米）与它的运动时间x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．（1）直接写出y1与x之间的函数解析式；（2）求出y2与x之间的函数解析式；（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？参考答案专项一二次函数的图象和性质例1 A 例2 D 例3 D 例4 B1．B 2．C 3．D 4．C 5．B6．①②③专项二确定二次函数的解析式例 A1．A 2．A专项三二次函数图象的平移例 B1．D 2．C 3．C 4．B 5．y=2x2+4x6. 解：（1）因为y=（x-1）（x-a）=x2-（a+1）x+a，图象的对称轴为x=2，所以+12a=2，解得a=3．（2）由（1），知a=3，则该二次函数的解析式为y=x²-4x+3．所以二次函数的图象向下平移3个单位后经过原点．所以平移后图象所对应的二次函数的解析式是y=x²-4x．专项四二次函数与一元二次方程的关系例（1）由题意，知Δ＞0，即1+4m＞0，解得m＞-14．（2）二次函数y=x2+x-m图象的对称轴为x=-12，所以该函数图象与x轴的两个交点关于直线x=-12对称．由图可知抛物线与x轴的一个交点为（1，0），所以另一个交点为（-2，0）．所以一元二次方程x2+x-m=0的解为x1=1，x2=-2．1．C 2．B 3．1 4．①②④专项五二次函数的应用例1 （1）y=300-10（x-60）=-10x+900．（2）设每个月的销售利润为w元．由（1），知w=（x-50）y=（x-50）（-10x+900）=-10x2+1400x-45 000=-10（x-70）2+4000．因为-10＜0，所以当x=70时，w有最大值为4000．所以该商品每件的销售价为70元时，每个月的销售利润最大，最大利润是4000元．x2=11．所以OD=11 m．．因为从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，所以OC=OD=11 m．所以CD=OC+OD=22 m1．12642．解：（1）设y与x之间的函数解析式为y=kx+b．w（万元）．（3）设销售利润为所以原料的质量x为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是65.2万元．3. 解：（1）根据题意，知点F的坐标为（6，-1.5），可设拱桥侧面所在抛物线的函数解析式为y1=a1x2．=a2（x-6）2+1．（2）①根据题意，知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其解析式为y2②设彩带的长度为L m．所以当x=4时，L 最小值=2．答：彩带长度的最小值是2 m ．专项六 二次函数中的分类讨论思想例 （1）因为二次函数的图象经过点（0，4），所以c=4．（2）当b 2-c=0时，b 2=c ，此时函数的解析式为y 1=x 2+bx+b 2． 根据题意，分三种情况：所以（b-3）2+b （b-3）+b 2=21，解得b 3=4，b 4=-1（舍去）．（3）由（1），知二次函数的解析式为y 1=x 2-2x+4．设函数y 3=y 2-y 1=x 2+3x+m-4． 所以当x=0时，y 3即y 2-y 1有最小值m-4，所以m-4≥0，即m≥4．所以m 的最小值为4． 跟踪训练解：（1）y 1=5x+30．（2）当x=6时，y 1=5×6+30=60．因为y 2的图象是过原点的抛物线，所以可设y 2=ax 2+bx ． 因为点（1，35），（6，60）在抛物线y 2=ax 2+bx 上，所以=35366=60.a b a b ++⎧⎨⎩，解得=5=40.a b ⎩-⎧⎨，所以y 2=-5x 2+40x ．所以y 2与x 的函数解析式为y 2=-5x 2+40x ． （3）设小钢球和无人机的高度差为y 米． 令y 2=0，则-5x 2+40x=0，解得x=0或x=8．因为6＜x≤8，所以当x=8时，y的最大值为70．70米．。
二次函数知识点汇总(全)72116
二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：y=-2x 22y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型2-321． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x，求这条抛物线的解析式。
第6章 二次函数--习题解析
（2008•上海）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，以点A（0，-3）为圆心，5为半径作圆A，交x轴于B，C两点，交y轴于点D，E两点．（1）求点B，C，D的坐标；（2）如果一个二次函数图象经过B，C，D三点，求这个二次函数解析式；（3）P为x轴正半轴上的一点，过点P作与圆A相离并且与x轴垂直的直线，交上述二次函数图象于点F，当△CPF中一个内角的正切之为12时，求点P的坐标．由题意可知AC=5，OA=3，根据勾股定理可知，OC=4，可知C点坐标，同理求出B点坐标，OA=3，AD=5，求出OD=2，求出D点坐标．（1）∵点A的坐标为（0，-3），线段AD=5，∴点D的坐标（0，2）．连接AC，在Rt△AOC中，∠AOC=90°，OA=3，AC=5，∴OC=4．∴点C的坐标为（4，0）；同理可得点B坐标为（-4，0）．（2）已知B，C，D三点坐标，设出解析式，代入即可求出函数解析式．设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，由于该二次函数的图象经过B，C，D三点，则0=16a-4b+c0=16a+4b+c2=c解得a=-18b=0c=2∴所求的二次函数的解析式为y=-18x2+2；（3）根据图象可知，正切为1，则∠cpf为直角，设出P点坐标，然后表示出CP，PF的长度，然后分情况讨论PFCP=12还是CPPF=12，或是两者都可，求出P点坐标．设点P坐标为（t，0），由题意得t＞5，且点F的坐标为（t，-18t2+2），PC=t-4，PF=18t2-2，∵∠CPF=90°，∴当△CPF中一个内角的正切值为12时，①若CPPF=12时，即t-418t2-2=12，解得t1=12，t2=4（舍）；②当PFCP12时，18t2-2t-4=12解得t1=0（舍），t2=4（舍），所以所求点P的坐标为（12，0）．解答解：（1）∵点A的坐标为（0，-3），线段AD=5，∴点D的坐标（0，2）．（1分）连接AC，在Rt△AOC中，∠AOC=90°，OA=3，AC=5，∴OC=4．（1分）∴点C的坐标为（4，0）；（1分）同理可得点B坐标为（-4，0）．（1分）（2）设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，由于该二次函数的图象经过B，C，D三点，则0=16a-4b+c0=16a+4b+c2=c（3分）解得a=-18b=0c=2∴所求的二次函数的解析式为y=-18x2+2；（1分）（3）设点P坐标为（t，0），由题意得t＞5，（1分）且点F的坐标为（t，-18t2+2），PC=t-4，PF=18t2-2，∵∠CPF=90°，∴当△CPF中一个内角的正切值为12时，①若CPPF=12时，即t-418t2-2=12，解得t1=12，t2=4（舍）；（1分）②当PFCP=12时，18t2-2t-4=12解得t1=0（舍），t2=4（舍），（1分）所以所求点P的坐标为（12，0）．（1分）。
378.二次函数6杨勇
x二次函数y =ax +bx +c 的图象和性质(第6课)【目标导航】1.会利用三种形式求抛物线的解析式.2.会利用二次函数的图象和性质解决有关问题.【课堂操练】例1 抛物线21y x m x m ()=-+-+与y 轴交于点（0，3）．（1）求出m 的值并画出此抛物线； （2）求它与x 轴交点和抛物线顶点的坐标； （3）x 取什么值时，抛物线在x 轴的上方；（4）x 取什么值时，y 的值随x 的增大而减小？答案：(1) m =3 画图略; （2）与x 轴的交点坐标为(-1 , 0 )和(3 , 0 ) ,顶点坐标为(1 , 4 ) . (3) -1<<x <3(4) x >1例2二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，确定下列各代数式的正负. （1）abc ；（2）2a b +；（3）2a b -；（4）a b c ++；（5）a b c -+.答案：（1） > 0 ; (2) > 0 ; (3) > 0 ; (4 ) < 0 ; (5) > 0 ;练一练：1.已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的部分图象如图所示，它的顶点的横坐标为1-，由 图象可知关于x 的方程20ax bx c ++=的两根为11x =，2x = ．答案：-32、（2011四川重庆）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)则下列结论中正确的是( )A ． a >0B ． b ＜0C ． c ＜0D ． a ＋b ＋c >0答案：D3.已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：①0>abc ；②c a b +<；③024>++c b a ；④b c 32<；⑤)(b am m b a +>+，（m ≠1的实数）．其中正确的结论有__________.（填序号）答案：③④⑤4、（2011江苏宿迁）已知二次函数y ＝ax ＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）A ．a ＞0B ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大C ．c ＜0D ．3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根答案：D5、 （2011山东济宁）已知二次函数2y ax bx c =++中，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示： 点A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）在函数的图象上，则当112,x <<234x <<时，1y 与2y 的大小关系正确的是（ ）A ．12y y >B ． 12y y <C ． 12y y ≥D ． 12y y ≤ 答案：B6.在Rt ABC ∆中， 90=∠C ，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，已知10=c ， Rt ABC ∆的面积为24，求抛物线abx x b a y ++-=2)(的顶点坐标．答案：由题意得 222101242a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ 可以求得 1448a b ab +=⎧⎨=⎩∴ 所求的抛物线为x x y 48142+-=，顶点坐标为(712, 7288)7. （2011湖南怀化）已知：关于x 的方程012)31(2=-+--a x a ax（1） 当a 取何值时，二次函数12)31(2-+--=a x a ax y 的对称轴是x=-2； （2） 求证：a 取任何实数时，方程012)31(2=-+--a x a ax 总有实数根.【答案】(1)解：∵二次函数12)31(2-+--=a x a ax y 的对称轴是x=-2∴22)31(-=---aa 解得a =-1经检验a =-1是原分式方程的解.所以a =-1时，二次函数12)31(2-+--=a x a ax y 的对称轴是x =-2； （2）1）当a =0时，原方程变为-x -1=0，方程的解为x = -1；2）当a ≠0时，原方程为一元二次方程，012)31(2=-+--a x a ax ， 当时，042≥-ac b 方程总有实数根， ∴()[]0)12(4a 312≥----a a整理得，0122=+-a a0)1(2≥-a∵a ≠0时 0)1(2≥-a 总成立所以a 取任何实数时，方程012)31(2=-+--a x a ax 总有实数根.例3已知x 1，x 2 是关于x 的方程22x x m p p m ()()()()--=--的两个实数根．（1）求x 1，x 2 的值；（2）若x 1，x 2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m ，p 满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．答案：( 1 ) x 1=p , x 2 = m – p +2 .( 2 ) 当p = 22+m 时, 此直角三角形的面积最大，最大值为8)2(2+m 。
二次函数知识点
一、基本概念：一般地，形如2y axbx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．二、基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如：2. 平移规律概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法2： ⑴c bx axy ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx axy ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位四、二次函数()2y a x h k =-+与2y axbx c=++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac bh k a a -=-=，． 五、二次函数2y axbx c=++图象的画法五点绘图法：一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y axbx c=++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴ab x 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．。
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确定二次函数的解析式.典型例题回顾：大家知道：一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们在确定一次函数)0(≠+=k b kx y 的关系式时，通常需要两个独立的条件：确定反比例函数)0(≠=k xk y 的关系式时，通常只需要一个条件：如果要确定二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的关系式，又需要几个独立的条件呢？ 例1 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点A （0，-1），B （1，0），C （-1，2）； （2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y 轴交于点（0，1）；（3）已知抛物线与x 轴交于点M （-3，0），（5，0），且与y 轴交于点（0，-3）； （4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x 轴两交点间的距离为4．分析：（1）根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为c bx ax y ++=2的形式；（2）根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为3)1(2--=x a y ，再根据抛物线与y 轴的交点可求出a 的值；（3）根据抛物线与x 轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为)5)(3(-+=x x a y ，再根据抛物线与y 轴的交点可求出a 的值；（4）根据已知抛物线的顶点坐标（3，-2），可设函数关系式为2)3(2--=x a y ，同时可知抛物线的对称轴为x=3，再由与x 轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x 轴的两个交点为（1，0）和（5，0），任选一个代入2)3(2--=x a y ，即可求出a 的值． 解:（1）设二次函数关系式为c bx ax y ++=2，由已知，这个函数的图象过（0，-1），可以得到c= -1．又由于其图象过点（1，0）.（-1，2）两点，可以得到⎩⎨⎧=-=+31b a b a解这个方程组，得a=2，b= -1．所以，所求二次函数的关系式是1222--=x x y ．（2）因为抛物线的顶点为（1，-3），所以设二此函数的关系式为3)1(2--=x a y ，又由于抛物线与y 轴交于点（0，1），可以得到3)10(12--=a ，解得4=a ．所以，所求二次函数的关系式是1843)1(422+-=--=x x x y ． （3）因为抛物线与x 轴交于点M （-3，0）.（5，0），所以设二此函数的关系式为)5)(3(-+=x x a y ．又由于抛物线与y 轴交于点（0，3），可以得到)50)(30(3-+=-a ，解得 51=a ．所以，所求二次函数的关系式是35251)5)(3(512--=-+=x x x x y ．（4）根据前面的分析，本题已转化为与（2）相同的题型，请同学们自己完成． 归纳反思确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式： （1）一般式：)0(2≠++=a c bx ax y ，给出三点坐标可利用此式来求．（2）顶点式：)0()(2≠+-=a k h x a y ，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求． （3）交点式：)0)()((21≠--=a x x x x a y ，给出三点，其中两点为与x 轴的两个交点)0,(1x .)0,(2x 时可利用此式来求．例2 有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6 m ， 跨度为8 m ，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．(1) 求这条抛物线所对应的函数关系式；(2) 若要在隧道壁上点P (如图)安装一盏照明灯，灯离地 面高4.5 m ．求灯与点B 的距离．分析：先观察图象，挖掘已知条件，确定设适当的解析式. 解：(1) 由题意，设抛物线所对应的函数关系为y = ax 2 + 6 (a ＜9)，∵ 点A (－4，0)或B (4，0)在抛物线上，∴ 6)4(02+-⋅=a ， 得 83-=a ．故抛物线的函数关系式为6832+-=x y ．(2) 将 y = 4.5代入6832+-=x y 中，得x = ± 2．∴ P (－2，4.5)，Q (－2，0)，于是∣PQ ∣= 4.5，∣BQ ∣= 6， 从而5.725.5665.4||22==+=PB ．所以照明灯与点B 的距离为7.5 m ．强化练习一、选择题1．已知：函数c bx ax y ++=2的图象如图：那么 函数解析式为（ ）A ．322++-=x x yB ．322--=x x yC ．322+--=x x y D.322---=x x y2．若所求的二次函数的图象与抛物线1422--=x x y 有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，则所求二次函数的函数关系式为 （ ） A ．y=-x 2+2x-4 B.y=ax 2-2ax-3(a ＞0) C ．y=-2x 2-4x-5 D. y=ax 2-2ax+a-3(a ＜0) 二、解答题3.如图，在直角坐标系中，Rt △AOB 的顶点坐标分别为A(0，2)，O(0，0)，B(4，0)，把△AOB 绕O 点按逆时针方向旋转90°得到△COD. (1) 求C ，D 两点的坐标;(2) 求经过C ，D ，B 三点的抛物线的解析式;（3）设(2)中抛物线的顶点为P ，AB 的中点为M ，试判断△PMB 是钝角三角形.直角三角形还是锐角三角形，并说明理由.x第1题图AB第6题图4.已知抛物线2(1)8y a x x b =-++的图象的一部分如图所示，抛物线的顶点在第一象限，且经过点A(0，-7)和点B. (1)求a 的取值范围；(2)若OA=2OB ，求抛物线的解析式.5．已知二次函数322+--=x x y 的图象与x 轴相交于A.B 两点，与y 轴交于C 点（如图所示），点D 在二次函数的图象上，且D 与C 关于对称轴对称，一次函数的图象过点B ，D.（1）求点D 的坐标； （2）求一次函数的解析式；（3）根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围； 6．某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽1.6m ，涵洞顶点O 到水面的距离为2.4m ，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？7．如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系是35321212++-=x x y ，问此运动员把铅球推出多远？8．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元.市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克.在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）.设销售单价为x 元，日均获利为y 元.（1）求y 关于x 的二次函数关系式，并注明x 的取值范围； （2）将（1）中所求出的二次函数配方成ab ac a b x a y 44)2(22-++=的形式，写出顶点坐标；在直角坐标系画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？9．某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件．为了获O第7题图得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x （十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y 是x 的二次函数，它们的关系如下表：（1）求y 与x 的函数关系式；（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S （十万元）与广告费x （十万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？10．如图，在正方形ABCD 中，AB=2，E 是AD 边上一点(点E与点A ，D 不重合)．BE 的垂直平分线交AB 于M ，交DC 于N ．(1)设AE=x ，四边形ADNM 的面积为S ，写出S 关于x 的函 数关系式； (2)当AE 为何值时，四边形ADNM 的面积最大?最大值是多 少?11.已知抛物线y ＝x 2－2x ＋m 与x 轴交于点A （x 1，0）,B （x 2，0）（x 2＞x 1）， (1) 若点P （－1，2）在抛物线y ＝x 2－2x ＋m 上，求m 的值；（2）若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋m 与抛物线y ＝x 2－2x ＋m 关于y 轴对称，点Q 1（－2，q 1）,Q 2（－3，q 2）都在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋m 上，则q 1,q 2的大小关系是（请将结论写在横线上，不要求写解答过程）；（3）设抛物线y ＝x 2－2x ＋m 的顶点为M ，若△AMB 是直角三角形，求m 的值. 12．某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其它生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品.(1)如果增加x 台机器，每天的生产总量为y 个，请你写出y 与x 之间的关系式； (2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？ 13．某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲第10题图正在投篮，已知球出手时离地面高920m ，与篮圈中心的水平距离为7m ，当球出手后水平距离为4m 时到达最大高度4m ，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m. （1）建立如图的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m 处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m ，那么他能否获得成功？14. 已知抛物线y=x 2+(2n-1)x+n 2-1 (n 为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时， 求出它所对应的函数关系式； (2)设A 是(1)所确定的抛物线上位于x 轴下方.且在对称轴左侧的一个动点，过A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点D ，再作AB ⊥x 轴于B ，DC ⊥x 轴于C.①当BC=1时，求矩形ABCD 的周长；②试问矩形ABCD 的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A 点的坐标；如果不存在，请说明理由.15．甲车在弯路作刹车试验，收集到的数据如下表所示：（1）请用上表中的各对数据（x ，y ）作为点的坐标，在图10所示的坐标系中画出甲车刹车距离y （米）与 速度x （千米/时）的函数图象，并求函数的解析式. （2）在一个限速为40千米/时的弯路上，甲、乙两车相向而行，同时刹车，但还是相撞了.事后测得甲、乙两车的刹车距离分别为12米和10.5米，又知乙车的刹车距离y （米）与速度x （千米/时）满足函数14y x =，请你就两车的速度方面分析相撞的原因.16．已知二次函数c bx ax y ++=2.(1）当a=1，b=一2，c=1时，请在如图的直角坐标系中画出此时二次函数的图象；时）第16题图（2）用配方法求该二次函数的图象的顶点坐标．。