数学高考总复习导数的应用
2024高考数学复习：导数及其应用
2024高考数学复习：导数及其应用1.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =.已知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.10.110 B.10.1C.lg10.1D.10.110-2.（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=.若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则()A.(0)0f = B.102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C.(1)(4)f f -=D.(1)(2)g g -=3.曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________，_________.4.若函数()()3221f x x ax a R =-+∈在()0,+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为__________．5.已知函数()()1ln f x x x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.6.已知函数2()(1)e x f x x ax b =--+.（1）讨论()f x 的单调性.（2）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 有一个零点.①21e 22a <≤，2b a >；②102a <≤，2b a ≤.7.已知函数3()ln ()f x x k x k =+∈R ，()f x '为()f x 的导函数.（1）当6k =时：（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值.（2）当3k ≥-时，求证：对任意的1x ，2[1,)x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-.8.已知函数2()12f x x =-.（1）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（2）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值.9.已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x >(1).当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；(2).对任意21[,)e x ∈+∞均有(),2f x a ≤求a 的取值范围.注：e 2.71828=⋯为自然对数的底数.10.设函数2(){(41)43}xf x ax a x a e=-+++(1).若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行,求a (2).若f ()x 在2x =处取得极小值,求a 的取值范围2024高考数学复习：导数及其应用答案1：A解析：依题意，126.7m =-，2 1.45m =-，所以125lg 1.45(26.7)25.252EE =---=，所以122lg25.2510.15E E =⨯=，所以10.11210E E =.故选A.2：BC（转化法）因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象关于直线32x =对称，3535222424f f ⎛⎫⎛⎫-⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即(1)(4)f f -=，所以C 正确；因为(2)g x +为偶函数，所以(2)(2)g x g x +=-，函数()g x 的图象关于直线2x =对称，因为()()g x f x '=，所以函数()g x 的图象关于点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，所以()g x 的周期34222T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，因为(1)(4)f f -=，所以(1)(4)f f ''-=-，即(1)(4)(2)g g g -=-=-，所以D 不正确；因为332222f f ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1722f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1722f f ⎛⎫⎛⎫''-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1711(22)2222g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-⨯-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以B 正确；不妨取()1()f x x =∈R ，经验证满足题意，但(0)1f =，所以选项A 不正确.综上，选BC.（特例法）因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，所以函数()f x 的图象关于直线32x =对称，函数()g x 的图象关于直线2x =对称.取符合题意的一个函数()1()f x x =∈R ，则(0)1f =，排除A ；取符合题意的一个函数()sin f x x =π，则()cos f x x '=ππ，即()cos g x x =ππ，所以(1)cos()g -=π-π=-π，(2)cos 2g =ππ=π，所以(1)(2)g g -≠，排除D.故选BC.3：1e y x =，1ey x=-解析：先求当0x >时，曲线ln y x =过原点的切线方程，设切点为()00,x y ，则由1y x'=，得切线斜率为01x ，又切线的斜率为00y x ，所以0001yx x =，解得01y =，代入ln y x =，得0e x =，所以切线斜率为1e ，切线方程为1e y x =.同理可求得当0x <时的切线方程为1e y x =-.综上可知，两条切线方程为1e y x =，1ey x =-.4：-3解析：解：'()2(3),(0,)f x x x a x =⋅-∈+∞当0a ≤时，'()0f x >()f x ∴在(0,)+∞递增，(0)1f =时，则在(0,)+∞为零点，舍去当0a >时，()f x 在(0,)3a 递减，(,)3a +∞递增，又()f x 只有一个零点，()033af a =⇒=32()231f x x x =-+[]'()6(1),1,1f x x x x =-∈-5、（1）答案：()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞解析：函数的定义域为()0,+∞，又1ln 1)n (l f x x x '=--=-，当()0,1x ∈时，()0f x '>，当()1,+x ∈∞时，()0f x '<，故()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞.（2）因为ln ln b a a b a b -=-，故()()ln 1ln +1b a a b +=，即ln 1ln +1a b a b +=，故11f f a b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设11x a =，21x b=，由(1)可知不妨设101x <<，21x >.因为()0,1x ∈时，()()1ln 0f x x x =->，(),x e ∈+∞时，()()1ln 0f x x x =-<，故21x e <<.先证：122x x +>，若22x ≥，122x x +>必成立.若22x <，要证：122x x +>，即证122x x >-，而2021x <-<，故即证12()(2)f x f x >-，即证：22()(2)f x f x >-，其中212x <<.设()()()2g x f x f x =--，12x <<则()()()()()2ln ln 2ln 2g x f x f x x x x x '''⎡⎤=+-=---=--⎣⎦，因为12x <<，故()021x x <-<，故()ln 20x x -->，所以()0g x '>，故()g x 在()1,2为增函数，所以()()10g x g >=，故()()2f x f x >-，即()()222f x f x >-成立，所以122x x +>成立，综上，122x x +>成立.设21x tx =，则1t >，结合ln 1ln +1a b a b +=，11x a =，21x b=可得：()()11221ln 1ln x x x x -=-，即：()111ln 1ln ln x t t x -=--，故11ln ln 1t t tx t --=-，要证：12x x e +<，即证()11t x e +<，即证()1ln 1ln 1t x ++<，即证：()1ln ln 111t t tt t --++<-，即证：()()1ln 1ln 0t t t t -+-<，令()()()1ln 1ln S t t t t t =-+-，1t >，则()112()ln 11ln ln 111t S t t t t t t -⎛⎫'=++--=+-⎪++⎝⎭，先证明一个不等式：()ln 1x x ≤+.设()()ln 1u x x x =+-，则1()111xu x x x -'=-=++，当10x -<<时，()0u x '>；当0x >时，()0u x '<，故()u x 在()1,0-上为增函数，在()0,+∞上为减函数，故max ()(0)0u x u ==，故()ln 1x x ≤+成立由上述不等式可得当1t >时，112ln 11t t t ⎛⎫+≤< ⎪+⎝⎭，故()0S t '<恒成立，故()S t 在()1,+∞上为减函数，故()()10S t S <=，故()()1ln 1ln 0t t t t -+-<成立，即12x x e +<成立.综上所述，112e a b<+<.6：（1）由题意得()()e 2x f x x a '=-，当0a ≤时，令()0f x '>，得0x >；令()0f x '<，得0x <.所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.当0a >时，令()0f x '=，得0x =或ln 2x a =，①当102a <<时，令()0f x '>，得ln 2x a <或0x >，令()0f x '<，得ln 20a x <<.所以()f x 在(,ln 2)a -∞，(0,)+∞上单调递增，在(ln 2,0)a 上单调递减，②当12a =时，()()e 10x f x x '=-≥且等号不恒成立，所以()f x 在R 上单调递增.③当12a >时，令()0f x '>，得0x <或ln 2x a >；令()0f x '<，得0ln 2x a <<，所以()f x 在(,0)-∞，(ln 2,)a +∞上单调递增，在(0,ln 2)a 上单调递减.（2）选择条件①，证明如下：由（1）知当12a >时，()f x 在(,0)-∞，(ln 2,)a +∞上单调递增，在(0,ln 2)a 上单调递减.所以()f x 在0x =处取得极大值(0)f ，在ln 2x a =处取得极小值(ln 2)f a ，且(0)1f b =-+，(ln 2)(2ln 2)ln 22f a a a a a b a =-+-.由于21e 22a <≤，2b a >，所以(0)0f >，ln 20a >，20b a ->.令()2ln 2g x x x x =-，则()2ln 211ln 2g x x x '=--=-，令()0g x '=，得e 2x =，当1e22x <<时，()0g x '>.当2e e 22x <≤时，()0g x '<.所以()g x 在1e ,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在2e e ,22⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以()g x 在e 2x =处取得极大值e 2g ⎛⎫⎪⎝⎭.由于e e 022g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，102g ⎛⎫> ⎪⎝⎭，2e 02g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()0g x ≥在21e ,22⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立，所以(ln 2)0f a >.当x →-∞时，()f x →-∞，所以()f x 有一个零点，得证.选择条件②，证明如下：由（1）知，当102a <<时，()f x 在(,ln 2)a -∞，(0,)+∞上单调递增，在(ln 2,0)a 上单调递减，所以()f x 在ln 2x a =处取得极大值(ln 2)f a ，在0x =处取得极小值(0)f .由于102a <<，2b a ≤，所以(0)0f <，20b a -≤，ln 20a <，ln 20a a ->，则2ln 20a a a ->，所以(ln 2)0f a <.当x →+∞，()f x →+∞，所以()f x 有一个零点，得证.7：（1）（i ）当6k =时，3()6ln f x x x =+，故26()3f x x x'=+.所以(1)1f =，(1)9f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为19(1)y x -=-，即98y x =-.（ii ）依题意，323()36ln g x x x x x =-++，(0,)x ∈+∞，从而可得2263()36g x x x x x'=-+-，整理可得323(1)(1)()x x g x x -+'=.令()0g x '=，解得1x =.当x 变化时，()g x '，()g x 的变化情况如表：x (0,1)1(1,)+∞()g x '-0+()g x 单调递减极小值单调递增所以函数()g x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值.（2）由3()ln f x x k x =+，得2()3k f x x x'=+.对任意的1x ，2[1,)x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+--⎪⎝⎭.①令1()2ln h x x x x=--，[1,)x ∈+∞.当1x >时，22121()110h x x x x ⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭，由此可得()h x 在[1,)+∞上单调递增，所以当1t >时，()(1)h t h >，即12ln 0t t t-->.因为21x ≥，323331(1)0t t t t -+-=->，3k ≥-，所以()()332322113312ln 33132ln x t t t k t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫-+-+--≥-+---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32336ln 1t t t t =-++-.②由（1）（ii ）可知，当1t >时，()(1)g t g >，即32336ln 1t t t t -++>，故32336ln 10t t t t-++->.③由①②③可得()()()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+-->.所以当3k ≥-时，对任意的1x ，2[1,)x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-.8：()212f x x=-（1）设切点为()()00,x f x ()2f x x'=-()0022f x x '=-=-01x ∴=()111f =∴切线()1121y x -=--213y x ∴=-+（2）()212f x x =-定义域R ，()()f x f x -=.∴()f x 为偶函数()f x 关于y 轴对称∴只须分析0x ≥既可当0x =不合题意舍0t ∴>()2f x x'=-()2f t x '=-：在()()t f t 、处切线()()2122y t t x t --=--令0x =得212y t =+；令0y =时2122t x t +=()()22221211244t S t xy t+===∴x =()0x >()412x g x x+=()()()(2342232412x x x x x x g x x x ++--+'==()0g x '>x >()0g x '<0x <<()min g x g∴==()()()2min min 1324S t g x ∴==9：(1).当34a =-时，3()ln 04f x x x =-+>．3()4f 'x x =-+=所以，函数()f x 的单调递减区间为03（，），单调递增区间为3+∞（，）．(2).由1(1)2f a≤，得204a <≤．当204a <≤时，()2f x a ≤等价于2212ln 0x a a--≥．令1t a=，则t ≥．设()22ln ,g t t x t =-≥，则()2ln g t g x ≥=-．①.当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭≤()2ln g t g x ≥=-．记1()ln ,7p x x x =--≥，则1()p'x x ==.故x171(,1)71(1,)+∞()p'x 0+()p x 1()7p 单调递减极小值(1)p 单调递增所以，()(1)0p x p ≥=．因此，()2()0g t g p x ≥=≥．②.当211,e 7x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g t g ≥=．令211()(1),,e 7q x x x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()10q'x =+>，故()q x 在211,e 7⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以1()7q x q ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．由（i ）得127127(1)07777q p p ⎛⎫⎛⎫=-<-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以，()<0q x ．因此()0g t g ≥=>．由（i ）（ii ）得对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，),()0t g t ∈+∞≥，即对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2f x a ≤．综上所述，所求a 的取值范围是0,4⎛ ⎝⎦．10：(1).1a =(2).a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭解析：(1).因为2()(41)43xf x ax a x a e ⎡⎤=-+++⎣⎦,所以()()()()()22 2414143212x x x f x ax a e ax a x a e x R ax a x e ⎡⎤⎡⎤--⎡⎤⎣⎦⎣'=-+++++∈=++⎦⎣⎦,()()11.f a e '=-由题设知()10,f '=即()10,a e -=解得1a =.此时()130f e =≠.所以a 的值为1(2).由(1)得()()()()221212x xf x ax a x e ax x e ⎡'=++-⎣⎦-⎤-=.若12a >,则当1,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()'0f x <;当()2,x ∈+∞时,()0f x '>.所以()0f x <在2x =处取得极小值.若12a ≤,则当()0,2x ∈时,1–20,1102x ax x <-≤-<,所以()0f x '>.所以2不是()f x 的极小值点.综上可知,a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭。
高三《导数的应用》说课稿
高三《导数的应用》说课稿以下是作者为大家准备的高三《导数的应用》说课稿（共含4篇），希望对大家有帮助。
篇1：高三《导数的应用》说课稿高三《导数的应用专题》说课稿导数是新课程教材中重要内容，是进一步刻画、研究函数的重要工具，为运用函数思想简捷地解决实际问题提供了广阔的前景。
纵观这几年的高考，考察的力度逐年加大，因此在高三复习中必须引起足够的重视。
在中学数学的新课程中，导数单元作为初等数学和高等数学重要的衔接点，显得格外引人瞩目。
导数的思想及其内涵丰富了对函数等问题的研究方法，已经成为近几年高考数学的一大热点。
另外，导数又具有很强的知识交汇功能，以其为载体的问题情景很多，给师生在复习内容和方法上的选择带来困惑。
从这个意义上说，高三师生采取什么样的策略复习，复习的重点落在何处？显得至关重要。
1、教材分析与考点分析在教材中，导数处于一种特殊的地位。
一方面它是沟通初、高等数学知识的重要衔接点，渗透和加强了对学生由有限到无限的辩证思想的教育，突破了许多初等数学在思想和方法上的障碍，拓宽、优化和丰富了许多数学问题解决的思路、方法和技巧；另一方面它具有很强的知识交汇功能，可以联系多个章节内容，如常与函数、数列、三角、向量、不等式、解析几何等内容交叉渗透，并成为解决相关问题的重要工具。
从高考关于导数单元的考查情况来看，以下两个特点非常明显：（1）循序渐进：从总体上看，高考考查导数的有关知识是循序渐进的过程。
导数的内容刚进入高考数学新课程卷时，其考试要求都是很基本的，以后逐渐加深，分析近几年的高考试题，可以看出高考对导数考查的思路已基本成熟。
考查的基本原则是重点考查导数的概念与应用。
这部分内容的考查一般分为三个层次：第一层次：主要考查导数的概念、求导公式、求导法则和与实际背景有关的问题（如瞬时速度，边际成本，加速度、切线的斜率）第二层次：主要考查导数的.简单应用，包括求函数的极值、最值，求函数的单调区间，证明函数的单调性等。
高考高等数学复习重点偏导数应用
高考高等数学复习重点偏导数应用要说这高考里的高等数学，偏导数的应用那可真是个让人又爱又恨的家伙！对于很多同学来说，它就像是一座隐藏着宝藏但又布满荆棘的神秘岛屿。
咱们先来说说偏导数在几何中的应用。
想象一下，你正在设计一个超级酷炫的立体雕塑，你得知道不同方向上的变化率才能把它的形状雕琢得完美无缺。
比如说，偏导数能帮我们求出曲面在某一点处的切平面方程。
这就好比你要给这个雕塑找一个最合适的底座，让它稳稳地站立在那里，展现出最迷人的姿态。
还记得我之前教过的一个学生小明，那可真是个聪明但又有点粗心的孩子。
有一次做练习题，遇到一个求曲面在某点处切平面方程的题目。
他一开始信心满满，觉得自己肯定能拿下。
可算着算着，就把偏导数的符号给弄混了，结果整个答案都错得离谱。
我看着他那懊恼的样子，又好气又好笑。
我就跟他说：“小明啊，这偏导数就像是你手里的工具，你得把它们认清楚，用对地方，不然可就修不出你想要的雕塑啦！”打那以后，小明每次做这类题目都会格外小心，成绩也有了明显的提高。
再来说说偏导数在优化问题中的应用。
这就像是你要在一堆琳琅满目的商品中，找到那个性价比最高的宝贝。
比如说，工厂要生产一种产品，怎么安排生产才能让成本最低、利润最大？这时候偏导数就派上用场啦。
通过求偏导数为零的点，就能找到可能的极值点。
还有偏导数在物理中的应用，比如热传导问题。
这就好比你要搞清楚一杯热水是怎么慢慢变凉的，温度在不同位置、不同时间的变化规律是怎样的。
同学们，复习偏导数的应用可不能马虎。
要多做练习题，熟悉各种题型。
遇到不会的问题，别着急，多想想，多问问老师和同学。
相信只要你们用心，偏导数这个“小怪兽”一定能被你们打败！就像小明一样，从错误中吸取教训，最终在高考的战场上取得胜利！总之，偏导数的应用在高考高等数学中至关重要。
大家一定要把基础打牢，熟练掌握各种方法和技巧，这样才能在考场上应对自如，取得好成绩！加油吧，同学们！。
2025版高考数学一轮总复习考点突破第3章导数及其应用第1讲导数的概念及运算考点2导数的几何意义
导数的几何意义角度1 求切线方程1．已知f (x )＝(x ＋1)e x，函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程为_2x －y ＋1＝0__. [解析] 由f (x )＝(x ＋1)e x 得f ′(x )＝e x ＋(x ＋1)e x ，所以在x ＝0处的切线的斜率为f ′(0)＝e 0＋(0＋1)e 0＝2，又f (0)＝1，故切点坐标为(0,1)，所以所求的切线方程为y －1＝2x ，即2x －y ＋1＝0.2．(2024·新高考Ⅱ卷)曲线y ＝ln|x |过坐标原点的两条切线的方程为 y ＝1e x y ＝－1ex .[解析] 先求当x >0时，曲线y ＝ln x 过原点的切线方程，设切点坐标为(x 0，y 0)，则由y ′＝1x ，得切线斜率为1x 0，又切线的斜率为y 0x 0， 所以1x 0＝y 0x 0，解得y 0＝1， 代入y ＝ln x ，得x 0＝e ，所以切线斜率为1e ，切线方程为y ＝1ex . 同理可求得当x <0时的切线方程为y ＝－1ex . 综上可知，两条切线方程为y ＝1e x ，y ＝－1ex . 名师点拨：求曲线的切线方程的两种类型1．在求曲线的切线方程时，留意两个“说法”：求曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程和求曲线过点P (x 0，y 0)的切线方程，在点P 处的切线，确定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P 在不在曲线上，点P 不愿定是切点．2．在点P 处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．3．求过点P 的曲线的切线方程的步骤为：第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；其次步：写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)；第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程，求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)可得过点P (x 0，y 0)的切线方程． 注：也可利用f ′(x 1)＝f x 1－f x 0x 1－x 0＝k 切求切点坐标(x 1，y 1)，有几组解就有几条切线．角度2 求切点坐标已知曲线y ＝x 22－3ln x 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( A ) A ．3B ．2C ．1D ．12 [解析] 设切点坐标为(x 0，y 0)，且x 0>0，由y ′＝x －3x ，得切线斜率k ＝x 0－3x 0＝2，∴x 0＝3.故选A ．名师点拨：求切点坐标的方法已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，然后让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．角度3 导数的几何意义如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)－3f ′(3)＝( A )A ．1B ．0C ．2D ．4[解析] 将点(3,1)代入直线y ＝kx ＋2的方程得3k ＋2＝1，得k ＝－13，所以f ′(3)＝k ＝－13，由于点(3,1)在函数y ＝f (x )的图象上，则f (3)＝1，对函数g (x )＝xf (x )求导得g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)－3f ′(3)＝f (3)＝1，故选A ．角度4 求参数的值(或范围)(2024·全国新高考卷Ⅰ)若曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是 (－∞，－4)∪(0，＋∞) .[解析] 导数的几何意义(理性思维、数学探究)因为y ＝(x ＋a )e x ，所以y ′＝(x ＋a ＋1)e x .设切点为A (x 0，(x 0＋a )e x 0)，O 为坐标原点，依题意得，切线斜率k OA ＝y ′|x ＝x 0＝(x 0＋a ＋1)e x 0＝x 0＋a e x 0x 0化简，得x 20＋ax 0－a ＝0.因为曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，所以关于x 0的方程x 20＋ax 0－a ＝0有两个不同的根，所以Δ＝a 2＋4a >0，解得a <－4或a >0，所以a 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．【变式训练】1．(角度1)(2024·全国卷Ⅱ，5分)曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为( C )A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0[解析]依题意得y′＝2cos x－sin x，y′|x＝π＝(2cos x－sin x)|x＝π＝2cos π－sin π＝－2，因此所求的切线方程为y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0，故选C．2. (角度2)曲线y＝f(x)在点P(－1，f(－1))处的切线l如图所示，则f′(－1)＋f(－1)＝( C )A．2 B．1C．－2 D．－1[解析]因为切线l过点(－2,0)和(0，－2)，所以f′(－1)＝0＋2－2－0＝－1，所以切线l的方程为y＝－x－2，令x＝－1，则y＝－1，即f(－1)＝－1，所以f′(－1)＋f(－1)＝－1－1＝－2，故选C．3．(角度3)(2024·贵阳模拟)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，且曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线与直线x＋y＝0垂直，则切点P(x0，f(x0))的坐标为( A )A．(0,0) B．(a,1)C．(1,1) D．(－1,2)[解析]∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，∴a＝1，f′(x)＝3x2＋1，令3x20＋1＝1，得x0＝0，f(x0)＝0，∴切点P(x0，f(x0))的坐标为(0,0)．选A．4．(角度4)(2024·开封市第一次模拟考试)函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x －y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是( B )A．(－∞，－2] B．(－∞，2)C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)[解析]函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解．所以f ′(x )＝1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x. 因为x >0，所以2－1x <2，所以a 的取值范围是(－∞，2)．。
高考数学中的导数概念及其应用实例
高考数学中的导数概念及其应用实例数学是一门理性、逻辑思维和抽象化的学科，而数学高考则是在实现这些特点的同时，注重考查数学知识的应用。
在所有的数学知识点中，导数概念是一个至关重要的知识点。
接下来，我们将深入探讨导数概念及其应用实例。
一、导数概念导数概念最早由连续函数概念发展而来，主要用于刻画函数在某一点的变化率。
假设函数$f(x)$在$x_0$处存在，那么$f(x)$在$x_0$处的导数可以表示为：$lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$当这个极限存在时，称为函数$f(x)$在$x_0$处可导，并表示$f'(x_0)$或$\frac{df}{dx}(x_0)$。
导数概念实际上是一个极限概念，它刻画了函数在某一点附近的局部变化情况。
具体来说，函数$f(x)$在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$表示的是，在极小的变化量$\Delta x$内，函数在$x_0$处的相应变化量$\Delta f(x)$与$\Delta x$之比的极限。
从这个定义出发，我们可以理解导数之间的几何意义。
在平面直角坐标系中，将函数$y=f(x)$上一点$(x_0,f(x_0))$处的切线的斜率定义为该点处的导数$f'(x_0)$。
这意味着，导数是函数值在某一点处的切线斜率。
通过图像，我们还可以理解导数的符号：当函数上升，导数为正；当函数下降，导数为负；对于水平位置，导数为零。
二、导数概念的应用实例在高考数学中，导数概念被广泛应用在各种数学问题中。
这里简要列举几个典型的实例。
1. 最值问题当我们研究一个函数的极值时，导数概念可以为我们提供强有力的工具。
假设函数$f(x)$在$[a,b]$区间内连续，在$(a,b)$内可导。
如果在$x_0\in(a,b)$处$f'(x_0)=0$并且$f''(x_0)>0$（或$f''(x_0)<0$），则$f(x_0)$是函数$f(x)$在$[a,b]$中的极小（或极大）值。
人教A版高考总复习一轮理科数学精品课件 第3章 导数及其应用 指点迷津三 在导数应用中如何构造函数
.
答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)
解析:构造
()
F(x)= ,则
'()·-()
F'(x)= 2 ,当
x<0 时,xf'(x)-f(x)>0,
可以推出当 x<0 时,F'(x)>0,F(x)在(-∞,0)上单调递增.
()
∵F(x)= 为奇函数,
∴F(x)在(0,+∞)上也单调递增.根据f(1)=0可得F(1)=0,F(-1)=0,
起看看常考的几种形式.
F(x)=f(x)sin x,F'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x;
()
'()sin -()cos
F(x)= ,F'(x)=
;
2
sin
si n
F(x)=f(x)cos x,F'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x;
()
'()cos +()sin
F(x)=xnf(x),F'(x)=nxn-1f(x)+xnf'(x)=xn-1[nf(x)+xf'(x)];
()
'()· - -1 ()
F(x)= ,F'(x)=
2
=
'()- ()
.
+1
结论:(1)如果题目中出现nf(x)+xf'(x)形式,构造函数F(x)=xnf(x);
(0,+∞)上也单调递减.根据f(-4)=0可得F(-4)=0,F(4)=0,根据函数的单调性、
导数的简单应用
2022年高考数学总复习：导数的简单应用1．基本初等函数的八个导数公式(1)[f(x)±g(x)]′＝f_′(x)±g′(x).(2)[f(x)·g(x)]′＝f_′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x).(3)[f(x)g(x)]′＝f′(x)·g(x)－f(x)·g′(x)[g(x)](g(x)≠0)．(4)(理)若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝a·y′u.3．切线的斜率函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，因此曲线f(x)在点P 处的切线的斜率k＝f_′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f_′(x0)(x－x0).4．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f_′(x0)>0(f_′(x0)<0)，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增(单调递减)．5．函数的极值设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点x，都有f(x)<f(x0)，那么f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有的点都有f(x)>f(x0)，那么f(x0)是函数的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值．6．函数的最值将函数y＝f(x)在[a，b]内的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．Y易错警示i cuo jing shi1．判断极值的条件掌握不清：利用导数判断函数的极值时，忽视“导数等于零，并且两侧导数的符号相反”这两个条件同时成立．2．混淆在点P处的切线和过点P的切线：前者点P为切点，后者点P不一定为切点，求解时应先设出切点坐标．3．关注函数的定义域：求函数的单调区间及极(最)值应先求定义域．a－1x2＋ax.若f()x为奇函数，则曲线y＝f()x在1．(2018·全国卷Ⅰ，5)设函数f()x＝x3＋()0，0处的切线方程为( D )点()A．y＝－2x B．y＝－xC．y＝2x D．y＝x[解析]因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(0)＝1，所以切线方程为y＝x.2．(2017·全国卷Ⅱ，11)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1的极值点，则f(x)的极小值是( A )A．－1B．－2e－3C．5e－3D．1[解析]函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1则f′(x)＝(2x＋a)e x－1＋(x2＋ax－1)·e x－1＝e x－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1]．由x＝－2是函数f(x)的极值点得f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0，所以a＝－1.所以f(x)＝(x2－x－1)e x－1，f′(x)＝e x－1·(x2＋x－2)．由e x－1>0恒成立，得x＝－2或x＝1时，f′(x)＝0，且x<－2时，f′(x)>0；－2<x<1时，f′(x)<0；x>1时，f′(x)>0.所以x＝1是函数f(x)的极小值点．所以函数f(x)的极小值为f(1)＝－1.故选A．3．(2017·浙江卷，7)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( D )[解析] 观察导函数f ′(x )的图象可知，f ′(x )的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，∴对应函数f (x )的增减性从左到右依次为减、增、减、增． 观察选项可知，排除A ，C ．如图所示，f ′(x )有3个零点，从左到右依次设为x 1，x 2，x 3，且x 1，x 3是极小值点，x 2是极大值点，且x 2>0，故选项D 确，故选D ．4．(文)(2018·全国卷Ⅱ，13)曲线y ＝2ln x 在点(1,0)处的切线方程为y ＝2x －2. [解析] y ′＝2x ，k ＝21＝2，所以切线方程为y －0＝2(x －1)即y ＝2x －2.(理)(2018·全国卷Ⅱ，13)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x . [解析] y ′＝2x ＋1，k ＝20＋1＝2， 所以切线方程为y －0＝2(x －0)，即y ＝2x .5．(2018·天津卷，10)已知函数f (x )＝e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为e. [解析] 因为f (x )＝e x ln x ，所以f ′(x )＝(e x ln x )′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ·ln x ＋e x ·1x ，f ′(1)＝e 1·ln 1＋e 1·11＝e.6．(2018·江苏卷，11)若函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值的和为－3.[解析] 令f (x )＝2x 3－ax 2＋1＝0⇒a ＝2x ＋1x2，令g (x )＝2x ＋1x 2，g ′(x )＝2－2x 3>0⇒x >1⇒g (x )在(0,1)上单调减，在(1，＋∞)上单调增．因为有唯一零点，所以a ＝g (1)＝2＋1＝3⇒f (x )＝2x 3－3x 2＋1， 求导可知在[－1,1]上，f (x )min ＝f (－1)＝－4，f (x )max ＝f (0)＝1， 所以f (x )min ＋f (x )max ＝－3.7．(文)(2018·北京卷，19)设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x . (1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为0，求a ； (2)若f (x )在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围． [解析] (1)因为f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ， 所以f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ，f ′(2)＝(2a －1)e 2， 由题设知f ′(2)＝0，即(2a －1)e 2＝0，解得a ＝12.(2)方法一：由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ＝(ax －1)(x －1)e x若a >1，则当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，1时，f ′(x )<0. 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值．若a ≤1，则当x ∈(0,1)时，ax －1≤x －1<0， 所以f ′(x )>0.所以1不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞)． 方法二：f ′(x )＝(ax －1)(x －1)e x . ①当a ＝0时，令f ′(x )＝0得x ＝1. f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：所以f (x )在②当a >0时，令f ′(x )＝0得x 1＝1a ，x 2＝1.(ⅰ)当x 1＝x 2，即a ＝1时，f ′(x )＝(x －1)2e x ≥0， 所以f (x )在R 上单调递增， 所以f (x )无极值，不合题意．(ⅱ)当x 1>x 2，即0<a <1时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：(ⅲ)当x 1<x 2，即a >1时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：③当a <0时，令f ′(x )＝0得x 1＝1a ，x 2＝1.f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：综上所述，a 的取值范围为(1，＋∞)．(理)(2018·北京卷，18)设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x . (1)若曲线y ＝ f (x )在点(1，f (1))处的切线方程与x 轴平行，求a ； (2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围． [解析] (1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ，所以f ′(x )＝[2ax －(4a ＋1)]e x ＋[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x . f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0，所以a 的值为1. (2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，2时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值． 若a ≤12，则当x ∈(0,2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0，所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是(12，＋∞)．8．(文)(2018·天津卷，20(1)(2))设函数f (x )＝(x －t 1)(x －t 2)(x －t 3)，其中t 1，t 2，t 3∈R ，且t 1，t 2，t 3是公差为d 的等差数列．(1)若t 2＝0，d ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)若d ＝3，求f (x )的极值．[解析] (1)由已知，可得f (x )＝x (x －1)(x ＋1)＝x 3－x ，故f ′(x )＝3x 2－1，因此f (0)＝0，f ′(0)＝－1，又因为曲线y ＝f (x )在点(0, f (0))处的切线方程为y －f (0)＝f ′(0)(x －0)，故所求切线方程为x ＋y ＝0.(2)由已知可得f (x )＝(x －t 2＋3)( x －t 2) (x －t 2－3) ＝( x －t 2)3－9 ( x －t 2)＝x 3－3t 2x 2＋(3t 22－9)x － t 32＋9t 2. 故f ′(x )＝3x 2－6t 2x ＋3t 22－9.令f ′(x )＝0，解得x ＝ t 2－3，或x ＝ t 2＋ 3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：＝(3)3－9×3＝－6 3.(理)(2018·天津卷，20(1)(2))已知函数f (x )＝a x ，g (x )＝log a x ，其中a >1. (1)求函数h (x )＝f (x )－x ln a 的单调区间；(2)若曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))处的切线与曲线y ＝g (x )在点(x 2，g (x 2))处的切线平行，证明x 1＋g (x 2)＝－2ln (ln a )ln a.[解析] (1)由已知，h (x )＝a x －x ln a ，有h ′(x )＝a x ln a －ln a . 令h ′(x )＝0，解得x ＝0.由a >1，可知当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如表：所以函数h (2)由f ′(x )＝a x ln a ，可得曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))处的切线斜率为ax 1ln a . 由g ′(x )＝1x ln a ，可得曲线y ＝g (x )在点(x 2，g (x 2))处的切线斜率为1x 2ln a .因为这两条切线平行，故有ax 1ln a ＝1x 2ln a ，即x 2ax 1(ln a )2＝1.2ln (ln a)两边取以a为底的对数，得log a x2＋x1＋2log a(ln a)＝0，所以x1＋g(x2)＝－ln a.。
高考数学：专题一 第五讲 导数及其应用课件
解得 1<a<6，故 a 的取值范围是(1,6).
题型与方法
方法提炼 利用导数研究函数单调性的一般步骤：
第五讲
(1)确定函数的定义域； (2)求导数 f′(x)；
本 讲 栏 目 开 关
(3)①若求单调区间(或证明单调性)， 只需在函数 f(x)的定义域 内解(或证明)不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0. ② 若 已 知 f(x) 的 单 调 性 ， 则 转 化 为 不 等 式 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在单调区间上恒成立问题求解.
答案
D
考点与考题
第五讲
1 3.(2012· 课标全国)已知函数 f(x)＝ ， y＝f(x)的图 则 lnx＋1－x 象大致为
本 讲 栏 目 开 关
(
)
考点与考题
第五讲
解析
1 当 x＝1 时，y＝ <0，排除 A； ln 2－1
当 x＝0 时，y 不存在，排除 D；
本 讲 栏 目 开 关
当 x 从负方向无限趋近 0 时，y 趋向于－∞，排除 C，
∴当 f′(x)≥0 时，
即 ex(1＋x)≥0，即 x≥－1，
∴x≥－1 时函数 y＝f(x)为增函数.
同理可求，x<－1 时函数 f(x)为减函数. ∴x＝－1 时，函数 f(x)取得极小值.
考点与考题
第五讲
5.(2011· 课标全国)在下列区间中，函数 f(x)＝ex＋4x－3 的零 点所在的区间为 1 A.(－ ，0) 4 1 1 C.( ， ) 4 2 ( C ) 1 B.(0， ) 4 1 3 D.( ， ) 2 4
2025年高考数学总复习课件19第三章第一节导数的概念及运算
(2)求f ′(x0)时，可先求f (x0)，再求f ′(x0)．( × )
(3)曲线y＝f (x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．( × )
第一节
导数的概念及运算
必备知识
落实“四基”
2．已知函数f (x)在x＝x0处的导数为12，则 lim
变化的方向，其大小|f ′(x)|反映了变化的快慢，|f ′(x)|越大，曲线在这点处的切线
越“陡峭”．
第一节
导数的概念及运算
必备知识
落实“四基”
核心考点
提升“四能”
自查自测
知识点二 导数的运算
1．(多选题)(教材改编题)下列导数的运算中正确的是( ABD )
A．(3x)′＝3x ln 3
x sin x－ cos x
导数的概念及运算
考向3
必备知识
落实“四基”
核心考点
提升“四能”
课时质量评价
求参数的值或取值范围
【例3】(1)(2024·江门模拟)若曲线y＝e2ax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0
－sin x
f ′(x)＝_________
f (x)＝cos x
f (x)＝ex
f (x)＝ax(a>0，且a≠1)
f (x)＝ln x
f (x)＝log x(a>0，且a≠1)
ex
f ′(x)＝____
ax ln a
f ′(x)＝_________
1
f ′(x)＝____
x
1
x ln a
f ′(x)＝____
在点(0，f (0))处的切线方程为y－1＝x，即y＝x＋1.
2023版新高考数学总复习专题四导数的应用 课件
含有参数的不等式要针对具体情况进行分类讨论,但始终要注意定义域 及分类讨论的标准. 2.已知函数的单调性求参数范围 注意参数在导函数解析式中的位置,先尝试分离参数,将问题转化为求解 对应函数的最值问题;若不能分离参数或分离参数后对应函数的单调性 无法利用导数解决,则可以直接转化为求解含参内,函数的极值不一定唯一,在整个定义 域内可能有多个极大值和极小值;2)极大值与极小值没有必然关系,极大 值可能比极小值还小;3)导数等于零的点不一定是极值点(例如: f(x)=x3, f '(x)=3x2,当x=0时, f '(0)=0,但x=0不是函数的极值点);4)对于处处可导的函 数,极值点处的导数必为零. 2.函数的最值 1)一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那 么它必有最大值和最小值,函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
④∃x1∈M,∀x2∈N, f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max.
3.利用导数构造函数解不等式
常见的构造函数模型总结:
1)关系式为“加”型
①f '(x)+f(x)≥0,构造y=exf(x),则y'=[exf(x)]'=ex·[f '(x)+f(x)].
②xf '(x)+f(x)≥0,构造y=xf(x),则y'=[xf(x)]'=xf '(x)+f(x).
x
1 x ln x
,则f '(x)=x
x2
=
1
ln x2
x
,当x>e时,
f
'(x)<0,所以函
数f(x)在(e,+∞)上单调递减,因为t≥2,所以t+3>t+2>e,所以f(t+3)<f(t+2),所
高考总复习一轮数学精品课件 第四章 一元函数的导数及其应用 第一节 导数的概念、几何意义及运算
(+1)
(+1)
(+1)
e
e
e
e
y-2 = 4(x-1),即 y=4x+4.故选 C.
e
e
y'|x=1= =k.在点(1, )处的切
4
2
(2)当 x>0 时,y=ln x,设切点坐标为(x1,ln x1)(x1>0),则由
1
y'=,得切线斜率
1
1
k= ,从而切线方程为 y-ln x1= (x-x1).∵该切线经过原点,
f'(x)= -sin x
f'(x)= axln a
f(x)=ex
f'(x)= ex
f(x)=cos x
f(x)=logax(a>0,且a≠1)
f'(x)=
f(x)=ln x
f'(x)=
1
ln
1
4.导数的四则运算法则
(1)[f(x)±g(x)]'= f'(x)±g'(x) .
(2)[f(x)g(x)]'= f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
,特别地,[cf(x)]'=
'()()-()'()
(3)
()
()
'=
[()]2
(g(x)≠0).
cf'(x) .
5.复合函数的导数
(1)复合函数的概念:一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变
量u,y可以表示成 x 的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复
时,f'(x)就是x的函数,我们称它为函数y=f(x)的导函数(简称为导数),即
人教版高考总复习一轮数学精品课件 主题二 函数 第四章 第一节 导数的概念及其意义、导数的运算
（2）过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.
1
3.[
]′ =
−′
[ ]2
≠0 .
4.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.
自测诊断
1.下列函数的求导正确的是( B )
A. −2 ′ = −2B. cos ′ = cos − sin
C. ln 10 ′ =
A.6.8 m/s2 B.7.6 m/s2 C.7 m/s 2 D.7.8 m/s 2
[解析]因为 = . + . ，所以′ = . + . .令 = ，得
. + . = ，解得 = 或 = −
（舍去），则当
= 时，
′ = . + . × = . ，即速度首次达到 /时的加速度为. / .故选B.
函数 = 在点0 处的导数的几何意义就是曲线 = 在点 0 , 0 处的
切线的斜率
′ 0
_____________.也就是说，曲线
= 在点 0 , 0 处的切线的斜率是_______.
− 0 = ′ 0 − 0
相应的切线方程为______________________.
三、导数的运算
1.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
= （为常数）
0
′ =___
= ( ∈ ，且 ≠ 1)
−1
′ =_______
= sin
cos
′ =______
= cos
−sin
′ =________
= ′ ⋅ .
知识拓展
2023版高考数学一轮总复习第三章导数及其应用第一讲导数的概念及运算课件理
先化为和、差的形式,再求导
根式形式
先化为分数指数幂的形式,再求导
三角形式
先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导
复合形式
先确定复合关系,由外向内逐层求导,必要时可换元
P(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即k= f ＇(x0) .相应地,切线方程为y-f(x0)=
f ＇(x0)(x-x0).
说明 函数y=f(x)在某点处的导数、曲线y=f(x)在某点处切线的斜率和
倾斜角,这三者是可以相互转化的.
考点2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
导数的运算
1.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)=C(C为常数)
y=3x-1,则f(1)+f ＇(1)=
5
.
考向扫描
考向1
导数的运算
1.典例 求下列函数的导数:
(1)y=(x+1)(x+2)(x+3);
2
(2)y=sin (1-2cos );
2
4
2−1
1
(3)y=ln
(x> ).
2+1
2
考向1
解析
导数的运算
(1)因为y=(x+1)(x+2)(x+3)=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,
f ＇(x)=
a
考点2
导数的运算
2.导数的四则运算法则
若f ＇(x),g＇(x)存在,则
(1)[f(x)±g(x)] ＇ =f ＇(x)±g＇(x) ;
(2)[f(x)·g(x)]＇= f ＇(x)g(x)+f(x)g＇(x) ;
高中数学总复习第03章三年高考真题与高考等值卷(导数及其应用)(文科数学)(解析版)
三年高考真题与高考等值卷(导数及其应用)(文科数学)1.导数概念及其几何意义 (1)了解导数概念的实际背景. (2)理解导数的几何意义.2.导数的运算（1）能根据导数定义求函数y =C (C 为常数),y =x ,y =x 2,y =1x的导数. (2)能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax +b )的复合函数)的导数. •常见基本初等函数的导数公式： (C )'=0(C 为常数)；(x n )'=nx n −1,n ∈N ； (sin x )'=cos x ；(cos x )'=−sin x ；(e x )'=e x ；(a x )'=a x ln a (a >0,且a ≠1)；(ln x )'=1x ；(log a x )'=1x log a e (a >0,且a ≠1)•常用的导数运算法则： 法则1：[u (x )±v (x )]'=u '(x )±v '(x ). 法则2：[u (x )v (x )]'=u '(x )v (x )+u (x )v '(x ). 法则3：2()'()()()'()[]'(()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x −=≠ 3.导数在研究函数中的应用(1)了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次). 4.生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题.1．【2019年新课标3文科07】已知曲线y ＝ae x +xlnx 在点（1，ae ）处的切线方程为y ＝2x +b ，则（ ） A ．a ＝e ，b ＝﹣1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e ﹣1，b ＝1D ．a ＝e ﹣1，b ＝﹣1【解答】解：y＝ae x+xlnx的导数为y′＝ae x+lnx+1，由在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x+b，可得ae+1+0＝2，解得a＝e﹣1，又切点为（1，1），可得1＝2+b，即b＝﹣1，故选：D．2．【2019年新课标2文科10】曲线y＝2sin x+cos x在点（π，﹣1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣π﹣1＝0 B．2x﹣y﹣2π﹣1＝0C．2x+y﹣2π+1＝0 D．x+y﹣π+1＝0【解答】解：由y＝2sin x+cos x，得y′＝2cos x﹣sin x，∴y′|x＝π＝2cosπ﹣sinπ＝﹣2，∴曲线y＝2sin x+cos x在点（π，﹣1）处的切线方程为y+1＝﹣2（x﹣π），即2x+y﹣2π+1＝0．故选：C．3．【2019年新课标1文科05】函数f（x）在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x），x∈[﹣π，π]，∴f（﹣x）f（x），∴f（x）为[﹣π，π]上的奇函数，因此排除A；又f（），因此排除B，C；故选：D．4．【2018年新课标2文科03】函数f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（﹣x）f（x），则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，当x＝1时，f（1）＝e0，排除D．当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C，故选：B．5．【2018年新课标1文科06】设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x【解答】解：函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，可得a＝1，所以函数f（x）＝x3+x，可得f′（x）＝3x2+1，曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y＝x．故选：D．6．【2018年新课标3文科09】函数y＝﹣x4+x2+2的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数过定点（0，2），排除A，B．函数的导数f′（x）＝﹣4x3+2x＝﹣2x（2x2﹣1），由f′（x）＞0得2x（2x2﹣1）＜0，得x或0＜x，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得2x（2x2﹣1）＞0，得x或x＜0，此时函数单调递减，排除C，也可以利用f（1）＝﹣1+1+2＝2＞0，排除A，B，故选：D．7．【2017年新课标2文科08】函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（4，+∞）【解答】解：由x2﹣2x﹣8＞0得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），令t＝x2﹣2x﹣8，则y＝lnt，∵x∈（﹣∞，﹣2）时，t＝x2﹣2x﹣8为减函数；x∈（4，+∞）时，t＝x2﹣2x﹣8为增函数；y＝lnt为增函数，故函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（4，+∞），故选：D．8．【2017年新课标1文科08】函数y的部分图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数y，可知函数是奇函数，排除选项B，当x时，f（），排除A，x＝π时，f（π）＝0，排除D．故选：C．9．【2017年新课标1文科09】已知函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x），则（）A．f（x）在（0，2）单调递增B．f（x）在（0，2）单调递减C．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称D．y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称【解答】解：∵函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x），∴f（2﹣x）＝ln（2﹣x）+lnx，即f（x）＝f（2﹣x），即y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，故选：C．10．【2017年新课标3文科07】函数y＝1+x的部分图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数y＝1+x，可知：f（x）＝x是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，则函数y＝1+x的图象关于（0，1）对称，当x→0+，f（x）＞0，排除A、C，当x＝π时，y＝1+π，排除B．故选：D．11．【2017年新课标3文科12】已知函数f（x）＝x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a＝（）A．B．C．D．1【解答】解：因为f（x）＝x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）＝﹣1+（x﹣1）2+a（e x﹣1）＝0，所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2＝a（e x﹣1）有唯一解，等价于函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象与y＝a（e x﹣1）的图象只有一个交点．①当a＝0时，f（x）＝x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；②当a＜0时，由于y＝1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，且y＝a（e x﹣1）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，所以函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y＝a（e x﹣1）的图象的最高点为B（1，2a），由于2a＜0＜1，此时函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象与y＝a（e x﹣1）的图象有两个交点，矛盾；③当a＞0时，由于y＝1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，且y＝a（e x﹣1）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，所以函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y＝a（e x﹣1）的图象的最低点为B（1，2a），由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a＝1，即a，符合条件；综上所述，a，故选：C．12．【2019年天津文科11】曲线y＝cos x在点（0，1）处的切线方程为．【解答】解：由题意，可知：y′＝﹣sin x，∵y′|x＝0＝﹣sin0．曲线y＝cos x在点（0，1）处的切线方程：y﹣1x，整理，得：x+2y﹣2＝0．故答案为：x+2y﹣2＝0．13．【2019年新课标1文科13】曲线y＝3（x2+x）e x在点（0，0）处的切线方程为．【解答】解：∵y＝3（x2+x）e x，∴y'＝3e x（x2+3x+1），∴当x＝0时，y'＝3，∴y＝3（x2+x）e x在点（0，0）处的切线斜率k＝3，∴切线方程为：y＝3x．故答案为：y＝3x．14．【2018年新课标2文科13】曲线y＝2lnx在点（1，0）处的切线方程为．【解答】解：∵y＝2lnx，∴y′，当x＝1时，y′＝2∴曲线y＝2lnx在点（1，0）处的切线方程为y＝2x﹣2．故答案为：y＝2x﹣2．15．【2018年天津文科10】已知函数f（x）＝e x lnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为．【解答】解：函数f（x）＝e x lnx，则f′（x）＝e x lnx•e x；∴f′（1）＝e•ln1+1•e＝e．故答案为：e．16．【2017年新课标1文科14】曲线y＝x2在点（1，2）处的切线方程为．【解答】解：曲线y＝x2，可得y′＝2x，切线的斜率为：k＝2﹣1＝1．切线方程为：y﹣2＝x﹣1，即：x﹣y+1＝0．故答案为：x﹣y+1＝0．17．【2017年天津文科10】已知a∈R，设函数f（x）＝ax﹣lnx的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l 在y轴上的截距为．【解答】解：函数f（x）＝ax﹣lnx，可得f′（x）＝a，切线的斜率为：k＝f′（1）＝a﹣1，切点坐标（1，a），切线方程l为：y﹣a＝（a﹣1）（x﹣1），l在y轴上的截距为：a+（a﹣1）（﹣1）＝1．故答案为：1．18．【2019年天津文科20】设函数f（x）＝lnx﹣a（x﹣1）e x，其中a∈R．（Ⅰ）若a≤0，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若0＜a，（i）证明f（x）恰有两个零点；（i）设x0为f（x）的极值点，x1为f（x）的零点，且x1＞x0，证明3x0﹣x1＞2．【解答】（I）解：f′（x）[ae x+a（x﹣1）e x]，x∈（0，+∞）．a≤0时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．（II）证明：（i）由（I）可知：f′（x），x∈（0，+∞）．令g（x）＝1﹣ax2e x，∵0＜a，可知：g（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，又g（1）＝1﹣ae＞0．且g（ln）＝1﹣a10，∴g（x）存在唯一解x0∈（1，ln）．即函数f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）单调递减．∴x0是函数f（x）的唯一极值点．令h（x）＝lnx﹣x+1，（x＞0），h′（x），可得h（x）≤h（1）＝0，∴x＞1时，lnx＜x﹣1．f（ln）＝ln（ln）﹣a（ln1）ln（ln）﹣（ln1）＜0．∵f（x0）＞f（1）＝0．∴函数f（x）在（x0，+∞）上存在唯一零点1．因此函数f（x）恰有两个零点；（ii）由题意可得：f′（x0）＝0，f（x1）＝0，即a1，lnx1＝a（x1﹣1），∴lnx1，即，∵x＞1，可得lnx＜x﹣1．又x1＞x0＞1，故，取对数可得：x1﹣x0＜2lnx0＜2（x0﹣1），化为：3x0﹣x1＞2．19．【2019年新课标3文科20】已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+2．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当0＜a＜3时，记f（x）在区间[0，1]的最大值为M，最小值为m，求M﹣m的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）＝6x2﹣2ax＝2x（3x﹣a），令f′（x）＝0，得x＝0或x．若a＞0，则当x∈（﹣∞，0）∪（）时，f′（x）＞0；当x∈（0，）时，f′（x）＜0．故f（x）在（﹣∞，0），（）上单调递增，在（0，）上单调递减；若a＝0，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；若a＜0，则当x∈（﹣∞，）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（，0）时，f′（x）＜0．故f（x）在（﹣∞，），（0，+∞）上单调递增，在（，0）上单调递减；（2）当0＜a＜3时，由（1）知，f（x）在（0，）上单调递减，在（，1）上单调递增，∴f（x）在区间[0，1]的最小值为，最大值为f（0）＝2或f（1）＝4﹣a．于是，m，M．∴M﹣m．当0＜a＜2时，可知2﹣a单调递减，∴M﹣m的取值范围是（）；当2≤a＜3时，单调递增，∴M﹣m的取值范围是[，1）．综上，M﹣m的取值范围[，2）．20．【2019年新课标2文科21】已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx﹣x﹣1．证明：（1）f（x）存在唯一的极值点；（2）f（x）＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．【解答】证明：（1）∵函数f（x）＝（x﹣1）lnx﹣x﹣1．∴f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）lnx，∵y＝lnx单调递增，y单调递减，∴f′（x）单调递增，又f′（1）＝﹣1＜0，f′（2）＝ln20，∴存在唯一的x0∈（1，2），使得f′（x0）＝0．当x＜x0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞x0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）存在唯一的极值点．（2）由（1）知f（x0）＜f（1）＝﹣2，又f（e2）＝e2﹣3＞0，∴f（x）＝0在（x0，+∞）内存在唯一的根x＝a，由a＞x0＞1，得，∵f（）＝（）ln0，∴是f（x）＝0在（0，x0）的唯一根，综上，f（x）＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．21．【2019年新课标1文科20】已知函数f（x）＝2sin x﹣x cos x﹣x，f′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．【解答】解：（1）证明：∵f（x）＝2sin x﹣x cos x﹣x，∴f′（x）＝2cos x﹣cos x+x sin x﹣1＝cos x+x sin x﹣1，令g（x）＝cos x+x sin x﹣1，则g′（x）＝﹣sin x+sin x+x cos x＝x cos x，当x∈（0，）时，x cos x＞0，当x时，x cos x＜0，∴当x时，极大值为g（）0，又g（0）＝0，g（π）＝﹣2，∴g（x）在（0，π）上有唯一零点，即f′（x）在（0，π）上有唯一零点；（2）由（1）知，f′（x）在（0，π）上有唯一零点x0，使得f′（x0）＝0，且f′（x）在（0，x0）为正，在（x0，π）为负，∴f（x）在[0，x0]递增，在[x0，π]递减，结合f（0）＝0，f（π）＝0，可知f（x）在[0，π]上非负，令h（x）＝ax，作出图示，∵f（x）≥h（x），a≤0，∴a的取值范围是（﹣∞，0]．22．【2019年北京文科20】已知函数f（x）x3﹣x2+x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）的斜率为l的切线方程；（Ⅱ）当x∈[﹣2，4]时，求证：x﹣6≤f（x）≤x；（Ⅲ）设F（x）＝|f（x）﹣（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[﹣2，4]上的最大值为M（a）．当M（a）最小时，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x），由f′（x）＝1得x（x）＝0，得．又f（0）＝0，f（），∴y＝x和，即y＝x和y＝x；（Ⅱ）证明：欲证x﹣6≤f（x）≤x，只需证﹣6≤f（x）﹣x≤0，令g（x）＝f（x）﹣x，x∈[﹣2，4]，则g′（x），可知g′（x）在[﹣2，0]为正，在（0，）为负，在[]为正，∴g（x）在[﹣2，0]递增，在[0，]递减，在[]递增，又g（﹣2）＝﹣6，g（0）＝0，g（）6，g（4）＝0，∴﹣6≤g（x）≤0，∴x﹣6≤f（x）≤x；（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，F（x）＝|f（x）﹣（x+a）|＝|f（x）﹣x﹣a|＝|g（x）﹣a|∵在[﹣2，4]上，﹣6≤g（x）≤0，令t＝g（x），h（t）＝|t﹣a|，则问题转化为当t∈[﹣6，0]时，h（t）的最大值M（a）的问题了，①当a≤﹣3时，M（a）＝h（0）＝|a|＝﹣a，此时﹣a≥3，当a＝﹣3时，M（a）取得最小值3；②当a≥﹣3时，M（a）＝h（﹣6）＝|﹣6﹣a|＝|6+a|，∵6+a≥3，∴M（a）＝6+a，也是a＝﹣3时，M（a）最小为3．综上，当M（a）取最小值时a的值为﹣3．23．【2018年新课标2文科21】已知函数f（x）x3﹣a（x2+x+1）．（1）若a＝3，求f（x）的单调区间；（2）证明：f（x）只有一个零点．【解答】解：（1）当a＝3时，f（x）x3﹣3（x2+x+1），所以f′（x）＝x2﹣6x﹣3时，令f′（x）＝0解得x＝3，当x∈（﹣∞，3﹣2），x∈（3+2，+∞）时，f′（x）＞0，函数是增函数，当x∈（3﹣2时，f′（x）＜0，函数是单调递减，综上，f（x）在（﹣∞，3﹣2），（3+2，+∞），上是增函数，在（3﹣2上递减．（2）证明：因为x2+x+1＝（x）2，所以f（x）＝0等价于，令，则，仅当x＝0时，g′（x）＝0，所以g（x）在R上是增函数；g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．又因为f（3a﹣1）＝﹣6a2+2a6（a）20，f（3a+1）0，故f（x）有一个零点，综上，f（x）只有一个零点．24．【2018年新课标1文科21】已知函数f（x）＝ae x﹣lnx﹣1．（1）设x＝2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间；（2）证明：当a时，f（x）≥0．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝ae x﹣lnx﹣1．∴x＞0，f′（x）＝ae x，∵x＝2是f（x）的极值点，∴f′（2）＝ae20，解得a，∴f（x）e x﹣lnx﹣1，∴f′（x），当0＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）证明：当a时，f（x）lnx﹣1，设g（x）lnx﹣1，则，由0，得x＝1，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1时，g′（x）＞0，∴x＝1是g（x）的最小值点，故当x＞0时，g（x）≥g（1）＝0，∴当a时，f（x）≥0．25．【2018年新课标3文科21】已知函数f（x）．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程；（2）证明：当a≥1时，f（x）+e≥0．【解答】解：（1）．∴f′（0）＝2，即曲线y＝f（x）在点（0，﹣1）处的切线斜率k＝2，∴曲线y＝f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程方程为y﹣（﹣1）＝2x．即2x﹣y﹣1＝0为所求．（2）证明：函数f（x）的定义域为：R，可得．令f′（x）＝0，可得，当x时，f′（x）＜0，x时，f′（x）＞0，x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0．∴f（x）在（），（2，+∞）递减，在（，2）递增，注意到a≥1时，函数g（x）＝ax2+x﹣1在（2，+∞）单调递增，且g（2）＝4a+1＞0函数f（x）的图象如下：∵a≥1，∴，则e，∴f（x）e，∴当a≥1时，f（x）+e≥0．26．【2018年北京文科19】设函数f（x）＝[ax2﹣（3a+1）x+3a+2]e x．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0，求a；（Ⅱ）若f（x）在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝[ax2﹣（3a+1）x+3a+2]e x的导数为f′（x）＝[ax2﹣（a+1）x+1]e x．曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0，可得（4a﹣2a﹣2+1）e2＝0，解得a；（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）＝[ax2﹣（a+1）x+1]e x＝（x﹣1）（ax﹣1）e x，若a＝0则x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞1，f′（x）＜0，f（x）递减．x＝1处f（x）取得极大值，不符题意；若a＞0，且a＝1，则f′（x）＝（x﹣1）2e x≥0，f（x）递增，无极值；若a＞1，则1，f（x）在（，1）递减；在（1，+∞），（﹣∞，）递增，可得f（x）在x＝1处取得极小值；若0＜a＜1，则1，f（x）在（1，）递减；在（，+∞），（﹣∞，1）递增，可得f（x）在x＝1处取得极大值，不符题意；若a＜0，则1，f（x）在（，1）递增；在（1，+∞），（﹣∞，）递减，可得f（x）在x＝1处取得极大值，不符题意．综上可得，a的范围是（1，+∞）．27．【2018年天津文科20】设函数f（x）＝（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3），其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．（Ⅰ）若t2＝0，d＝1，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若d＝3，求f（x）的极值；（Ⅲ）若曲线y＝f（x）与直线y＝﹣（x﹣t2）﹣6有三个互异的公共点，求d的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3），t2＝0，d＝1时，f（x）＝x（x+1）（x﹣1）＝x3﹣x，∴f′（x）＝3x2﹣1，f（0）＝0，f′（0）＝﹣1，∴y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣0＝﹣1×（x﹣0），即x+y＝0；（Ⅱ）d＝3时，f（x）＝（x﹣t2+3）（x﹣t2）（x﹣t2﹣3）9（x﹣t2）＝x3﹣3t2x2+（39）x9t2；∴f′（x）＝3x2﹣6t2x +39，令f′（x）＝0，解得x＝t 2或x＝t 2；当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表；22，22，∴f（x）的极大值为f（t2）9×（）＝6，极小值为f（t2）96；（Ⅲ）曲线y＝f（x）与直线y＝﹣（x﹣t2）﹣6有三个互异的公共点，等价于关于x的方程（x﹣t2+d）（x﹣t 2）（x﹣t2﹣d）+（x﹣t2）﹣60有三个互异的实数根，令u＝x﹣t2，可得u3+（1﹣d2）u +60；设函数g（x）＝x3+（1﹣d 2）x+6，则曲线y＝f（x）与直线y＝﹣（x﹣t2）﹣6有3个互异的公共点，等价于函数y＝g（x）有三个不同的零点；又g′（x）＝3x2+（1﹣d2），当d2≤1时，g′（x）≥0恒成立，此时g（x）在R上单调递增，不合题意；当d2＞1时，令g′（x）＝0，解得x1，x2；∴g（x）在（﹣∞，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上也单调递增；∴g（x）的极大值为g（x1）＝g（）60；极小值为g（x2）＝g（）6；若g（x2）≥0，由g（x）的单调性可知，函数g（x）至多有两个零点，不合题意；若g（x2）＜0，即27，解得|d|，此时|d|＞x2，g（|d|）＝|d|+60，且﹣2|d|＜x1；g（﹣2|d|）＝﹣6|d|3﹣2|d|+60，从而由g（x）的单调性可知，函数y＝g（x）在区间（﹣2|d|，x1），（x1，x2），（x2，|d|）内各有一个零点，符合题意；∴d的取值范围是（﹣∞，）∪（，+∞）．28．【2017年新课标2文科21】设函数f（x）＝（1﹣x2）e x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围．【解答】解：（1）因为f（x）＝（1﹣x2）e x，x∈R，所以f′（x）＝（1﹣2x﹣x2）e x，令f′（x）＝0可知x＝﹣1±，当x＜﹣1或x＞﹣1时f′（x）＜0，当﹣1x＜﹣1时f′（x）＞0，所以f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上单调递减，在（﹣1，﹣1）上单调递增；（2）由题可知f（x）＝（1﹣x）（1+x）e x．下面对a的范围进行讨论：①当a≥1时，设函数h（x）＝（1﹣x）e x，则h′（x）＝﹣xe x＜0（x＞0），因此h（x）在[0，+∞）上单调递减，又因为h（0）＝1，所以h（x）≤1，所以f（x）＝（1+x）h（x）≤x+1≤ax+1；②当0＜a＜1时，设函数g（x）＝e x﹣x﹣1，则g′（x）＝e x﹣1＞0（x＞0），所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，又g（0）＝1﹣0﹣1＝0，所以e x≥x+1．因为当0＜x＜1时f（x）＞（1﹣x）（1+x）2，所以（1﹣x）（1+x）2﹣ax﹣1＝x（1﹣a﹣x﹣x2），取x0∈（0，1），则（1﹣x0）（1+x0）2﹣ax0﹣1＝0，所以f（x0）＞ax0+1，矛盾；③当a≤0时，取x0∈（0，1），则f（x0）＞（1﹣x0）（1+x0）2＝1≥ax0+1，矛盾；综上所述，a的取值范围是[1，+∞）．29．【2017年新课标1文科21】已知函数f（x）＝e x（e x﹣a）﹣a2x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）＝e x（e x﹣a）﹣a2x＝e2x﹣e x a﹣a2x，∴f′（x）＝2e2x﹣ae x﹣a2＝（2e x+a）（e x﹣a），①当a＝0时，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在R上单调递增，②当a＞0时，2e x+a＞0，令f′（x）＝0，解得x＝lna，当x＜lna时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞lna时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，③当a＜0时，e x﹣a＞0，令f′（x）＝0，解得x＝ln（），当x＜ln（）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞ln（）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，综上所述，当a＝0时，f（x）在R上单调递增，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，当a＜0时，f（x）在（﹣∞，ln（））上单调递减，在（ln（），+∞）上单调递增，（2）①当a＝0时，f（x）＝e2x＞0恒成立，②当a＞0时，由（1）可得f（x）min＝f（lna）＝﹣a2lna≥0，∴lna≤0，∴0＜a≤1，③当a＜0时，由（1）可得：f（x）min＝f（ln（））a2ln（）≥0，∴ln（），∴﹣2a＜0，综上所述a的取值范围为[﹣2，1]30．【2017年新课标3文科21】已知函数f（x）＝lnx+ax2+（2a+1）x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＜0时，证明f（x）2．【解答】（1）解：因为f（x）＝lnx+ax2+（2a+1）x，求导f′（x）2ax+（2a+1），（x＞0），①当a＝0时，f′（x）1＞0恒成立，此时y＝f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当a＞0，由于x＞0，所以（2ax+1）（x+1）＞0恒成立，此时y＝f（x）在（0，+∞）上单调递增；③当a＜0时，令f′（x）＝0，解得：x．因为当x∈（0，）f′（x）＞0、当x∈（，+∞）f′（x）＜0，所以y＝f（x）在（0，）上单调递增、在（，+∞）上单调递减．综上可知：当a≥0时f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＜0时，f（x）在（0，）上单调递增、在（，+∞）上单调递减；（2）证明：由（1）可知：当a＜0时f（x）在（0，）上单调递增、在（，+∞）上单调递减，所以当x时函数y＝f（x）取最大值f（x）max＝f（）＝﹣1﹣ln2ln（）．从而要证f（x）2，即证f（）2，即证﹣1﹣ln2ln（）2，即证（）+ln（）≤﹣1+ln2．令t，则t＞0，问题转化为证明：t+lnt≤﹣1+ln2．…（*）令g（t）t+lnt，则g′（t），令g′（t）＝0可知t＝2，则当0＜t＜2时g′（t）＞0，当t＞2时g′（t）＜0，所以y＝g（t）在（0，2）上单调递增、在（2，+∞）上单调递减，即g（t）≤g（2）2+ln2＝﹣1+ln2，即（*）式成立，所以当a＜0时，f（x）2成立．31．【2017年北京文科20】已知函数f（x）＝e x cos x﹣x．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）函数f（x）＝e x cos x﹣x的导数为f′（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，可得曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝e0（cos0﹣sin0）﹣1＝0，切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1；（2）函数f（x）＝e x cos x﹣x的导数为f′（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，令g（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，则g（x）的导数为g′（x）＝e x（cos x﹣sin x﹣sin x﹣cos x）＝﹣2e x•sin x，当x∈[0，]，可得g′（x）＝﹣2e x•sin x≤0，即有g（x）在[0，]递减，可得g（x）≤g（0）＝0，则f（x）在[0，]递减，即有函数f（x）在区间[0，]上的最大值为f（0）＝e0cos0﹣0＝1；最小值为f（）cos．32．【2017年天津文科19】设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）＝x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）＝e x f（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y＝g（x）和y＝e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x＝x0处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）＝x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，可得f'（x）＝3x2﹣12x﹣3a（a﹣4）＝3（x﹣a）（x ﹣（4﹣a）），令f'（x）＝0，解得x＝a，或x＝4﹣a．由|a|≤1，得a＜4﹣a．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，a），（4﹣a，+∞），单调递减区间为（a，4﹣a）；（Ⅱ）（i）证明：∵g'（x）＝e x（f（x）+f'（x）），由题意知，∴，解得．∴f（x）在x＝x0处的导数等于0；（ii）解：∵g（x）≤e x，x∈[x0﹣1，x0+1]，由e x＞0，可得f（x）≤1．又∵f （x 0）＝1，f '（x 0）＝0，故x 0为f （x ）的极大值点，由（I ）知x 0＝a ． 另一方面，由于|a |≤1，故a +1＜4﹣a ，由（Ⅰ）知f （x ）在（a ﹣1，a ）内单调递增，在（a ，a +1）内单调递减，故当x 0＝a 时，f （x ）≤f （a ）＝1在[a ﹣1，a +1]上恒成立，从而g （x ）≤e x 在[x 0﹣1，x 0+1]上恒成立． 由f （a ）＝a 3﹣6a 2﹣3a （a ﹣4）a +b ＝1，得b ＝2a 3﹣6a 2+1，﹣1≤a ≤1． 令t （x ）＝2x 3﹣6x 2+1，x ∈[﹣1，1]， ∴t '（x ）＝6x 2﹣12x ，令t '（x ）＝0，解得x ＝2（舍去），或x ＝0．∵t （﹣1）＝﹣7，t （1）＝﹣3，t （0）＝1，故t （x ）的值域为[﹣7，1]． ∴b 的取值范围是[﹣7，1]．考查函数的单调性、极值、最值，利用函数的性质求参数范围；与方程、不等式等知识相结合命题，强化函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的应用意识；题型以解答题为主，一般难度较大.1．若曲线x y e =在0x =处的切线与ln y x b =+的切线相同，则b =（ ） A ．2 B ．1 C ．1−D ．e【答案】A 【解析】函数xy e =的导数为y '＝e x ，曲线xy e =在x ＝0处的切线斜率为k ＝0e =1， 则曲线x y e =在x ＝0处的切线方程为y ﹣1＝x ； 函数ln y x b =+的导数为y '＝1x ，设切点为（m ，n ），则1m＝1，解得m ＝1，n ＝2， 即有2＝ln1+b ，解得b ＝2． 故选：A ．2．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()1xf x ex =+，给出下列命题：①当0x >时，()()1x f x e x =−； ②函数()f x 有2 个零点；③()0f x >的解集为()()1,01,−⋃+∞； ④12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x −<.其中真命题的序号是（ ）. A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．③④【答案】D 【解析】解：由题意可知0x >时，0x −<，()()()11xx f x ex e x −−−=−+=−−，因为奇函数，所以()()()1x f x f x e x −=−−=−，所以命题①不成立；0x <时，()()1xf x e x =+，此时()f x 有1个零点1x =−，当0x >，()()1x f x e x −=−，此时()f x 有1个零点1x =，又()f x 为R 上的奇函数，必有()00f =，即总共有3个零点，所以命题②错误； 当0x >时，()()10xf x ex −=−>，可求得解集为()1,+∞，当0x <时，()()10x f x e x =+>，可求得解集为()1,0−，所以命题③成立； 当0x <时，()()2xf x ex '=+，令()0f x '=，通过函数的单调性可求得此时()f x 的值域为21,0e ⎡⎫−⎪⎢⎣⎭，则当0x >时()f x 的值域为210,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以有()()12221f x f x e −≤<，所以命题④成立. 故选：D3．若函数()sin 2f x x =在区间()12,x x 内恰有两个极值点，且()()121f x f x +=，则12x x −的取值范围为（ ） A ．,2ππ⎛⎤⎥⎝⎦B ．5,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦C ．3,4ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．35,44ππ⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】作出函数()sin2f x x =图像如图所示，因为()()121f x f x +=，所以()()1200f x f x ≥≥，，由图得当1x 是A 的横坐标，2x 是B 的横坐标时，函数满足()()121f x f x +=，在4ππ（，）之间只有一个极值点，但是只要x 的范围向左右扩展一点，则有两个极值点，所以123||||=44x x πππ−>−. 当1x 是O 的横坐标，2x 是C 的横坐标时，函数满足()()121f x f x +=，在544ππ（，）之间有两个极值点，所以1255|||0|=44x x ππ−≤−. 所以1235||44x x ππ<−≤. 故选：D4．已知函数()4cos f x x x π=+，对于[]0,2x ∈，都有()13xf ax e −+…，则实数a 的取值范围是（ ）A ．22111,22e e ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦ B ．211,22e e ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦ C ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[),e +∞【答案】B 【解析】由题得当[]0,2x ∈时，()4cos f x x x π=+, 所以()4sin 0f x x ππ'=−>， 所以函数f(x)在[0,2]上单调递增， 因为f(1)=4+cosπ=3，所以()1xf ax e −+…f(1),所以1x ax e −+≤1，因为1x ax e −+≤1且0≤1x ax e −+≤2所以0≤1x ax e −+≤1.当1x ax e −+≤1时，所以x ax e ≤，当x=0时，显然成立.当0＜x≤2时，(),xe a g x x ≤=()()221x x x e x e x e g x x x ='−−=，所以g(x)在（1,2）单调递增，在（0,1）单调递减，所以()()min 1g x g e ==，所以a e ≤.当1x ax e −+≥0时，1x ax e ≥−，当x=0时，显然成立.当0＜x≤2时，()()211,x x x e e x e a h x h x x x −−+≥=∴='，令()()1,10x x x k x e x e k x e x =−+∴=+>'，所以k(x)在（0，2）单调递增，所以k(x)>k(0)=0,所以函数()0,h x '>所以函数h(x)在（0,2]上单调递增，所以h(x)最大值=h(2)=212e −. 所以212e a −≥. 综上得21e 2e a −≤≤.故选：B5．如图，在正方形OABC 内任取一点M ，则点M 恰好取自阴影部分内的概率为（）A ．14B ．13C ．25D ．37【答案】B【解析】由图可知曲线与正方形在第一象限的交点坐标为（1，1），由定积分的定义可得：S 阴1=⎰（1dx ＝（x 3223x −）101|3=， 设“点M 恰好取自阴影部分内”为事件A ，由几何概型中的面积型可得： P （A ）11313S S ===阴正方形， 故选：B ．6．设函数是定义在上的函数，是函数的导函数，若为自然对数的底数，则不等式的解集是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】令，因为， 则， 故递增， 而，故，即 即，故，即不等式的解集为，故选A ．7．已知函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫−⎪⎝⎭，其导函数为()f x '.若()tan [()]f x x f x x '=⋅+，且(0)0f =，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是增函数B ．()f x 是减函数C ．()f x 有极大值D ．()f x 有极小值【答案】A【解析】 解：设函数()()cos g x f x x =•因为()()tan f x x f x x ⎡⎤=⋅+⎣'⎦化简可得sin ()[()]cos x f x f x x x'=+， 即为()cos sin ()sin f x x xf x x x '−=•， 故()sin g x x x '=•， 因为(,)x 22ππ∈−−所以()sin g x x x 0'=•≥恒成立， 所以()y g x =在(,)x 22ππ∈−−上单调递增，又因为(0)0f =，所以()()cos g 0f 000=•=，所以当(,0)2x π∈−时，()0<g x ， 当(0,)2x π∈时，()0>g x ，()()cos ()sin ()[]cos cos 2g x g x x g x x f x x x '•+''==， 当(,0)2x π∈−时，()0<g x ，()0g x '>，cos 0x >，sin 0x <， 故()()cos ()sin ()[]cos cos 2g x g x x g x x f x 0x x'•+''==>恒成立； 当(0,)2x π∈时，()0>g x ，()0g x '>，cos 0x >，sin 0x >， 故()()cos ()sin ()[]cos cos 2g x g x x g x x f x 0x x '•+''==>恒成立； 所以()y f x 0''=≥在(,)x 22ππ∈−−上恒成立，故()y f x =在(,)x 22ππ∈−−上单调递增，故函数没有极值，不可能单调递减所以选A.8．已知函数23ln ,1(),46,1x x f x x x x −≤⎧=⎨−+>⎩若不等式()|2|f x x a ≥−对任意(0,)x ∈+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．13,3e⎡⎤−⎢⎥⎣⎦ B ．[3,3ln 5]+ C ．[3,4ln 2]+ D ．13,5e ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】解：由题意得：设g(x)=|2|x a −，易得a ＞0，可得2,2g(x)=2,2a x a x ax a x ⎧−≥⎪⎪⎨⎪−+⎪⎩＜，g(x)与x 轴的交点为(,0)2a ， ① 当2a x ≥，由不等式()|2|f x x a ≥−对任意(0,)x ∈+∞上恒成立，可得临界值时，()g()f x x 与相切，此时2()46,1f x x x x =−+>，()2,2a g x x a x =−≥， 可得'()24f x x =−，可得切线斜率为2，242x −=，3x =，可得切点坐标（3，3），可得切线方程：23y x =−，切线与x 轴的交点为3(,0)2,可得此时322a =，3a =， 综合函数图像可得3a ≥；② 同理，当2a x ＜，由()g()f x x 与相切， （1）当2()46,1f x x x x =−+>，()2,2a g x x a x =−+＜，可得'()24f x x =−，可得切线斜率为-2，242x −=−，1x =，可得切点坐标（1，3），可得切线方程25y x =−+，可得5a =，综合函数图像可得5a ≤，（2）当()3ln ,1f x x x =−≤，()2,2a g x x a x =−+＜，()g()f x x 与相切，可得'1()f x x=-， 此时可得可得切线斜率为-2，12x −=−，12x =，可得切点坐标1(,32)2In +, 可得切线方程：1(32)2()2y In x −+=−−，242y x In =−++可得切线与x 轴的交点为2(2,0)2In +，可得此时2222a In =+，42a In =+， 综合函数图像可得42a In ≤+，综上所述可得342a In ≤≤+，故选C.9．已知曲线处的切线方程为，则_____．【答案】3【解析】由，得，则，∴．得．∴，即．∴，则．∴．故答案为：3．10．已知函数处取得极小值，则________．【答案】1【解析】由题意得．因为函数在处取得极小值，所以，解得．当时，，所以当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数取得极小值．因此为所求．故答案为：1．11．已知曲线1ln x y x a =+在1x =处的切线l 与直线230x y +=垂直，则实数a 的值为__________． 【答案】25【解析】 '211y x ax =−+，当1x =时，导数为11a−+.由于切线l 与直线230x y +=垂直，故切线的斜率为32，即1312a −+=，解得25a =. 12．定义在R 上的奇函数的导函数满足，且，若，则不等式的解集为______． 【答案】【解析】的周期为定义在上的奇函数 ①时，令，则，即单调递减 又不等式的解集为 ②时，时，不等式成立 综上所述：本题正确结果：13．已知函数的图象是以点为中心的中心对称图形，，曲线在点处的切线与曲线在点处的切线互相垂直，则__________．【答案】【解析】由，得，解得，所以.又，所以.因为，由，得，即.故答案为：14．我们常用以下方法求形如函数的导数：先两边同取自然对数，再两边同时求导得，于是得到，运用此方法求得函数的单调递减区间是____________.【答案】【解析】因为，所以,两边同时求导得,因此， 由，得,即单调递减区间是.15．关于x 的方程ln 2x kx x −=在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个实根，则实数k 的最小值是_________. 【答案】221e e + 【解析】 解：ln 2x kx x −= 可变形为：k ＝2ln 2x x x+， 设f （x ）＝2ln 2x x x +，x ∈1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， f ′（x ）＝312ln 2x x x −− ， 设g （x ）＝1﹣2lnx ﹣2x ，x ∈1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦ g ′（x ）＝22x−− ＜0， 即y ＝g （x ）为减函数，1230g e e ⎛⎫=−> ⎪⎝⎭ ，()120g e e =−−< ，所以01,x e e ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使()00g x = ； 即y ＝f （x ）在01,x e ⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数，在()0,x e 为减函数， 又212f e e e ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭ ，()2121e f e f e e +⎛⎫=> ⎪⎝⎭； 关于x 的方程ln 2x kx x −= 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 上有两个实根，等价于y ＝f （x ）的图象与直线y ＝k 的交点个数有两个，所以实数k 的最小值是221e e+ 。
高考数学第一轮知识点总复习 第二节 导数的应用(Ⅰ)
解 (1)由已知f′(x)=3 -a,x2 ∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数， ∴f′(x)=3 -ax≥2 0在(-∞,+∞)上恒成立， 即a≤3 x在2 x∈R上恒成立. ∵3 x≥2 0,∴只需a≤0. 又a=0时，f′(x)=3 ≥x20,f(x)= -1在x3R上是增函数， ∴a≤0. (2)由f′(x)=3 -ax≤2 0在(-1,1)上恒成立，得a≥3 在x∈x2(-1,1)上恒成立. ∵-1＜x＜1,∴3 ＜3,∴只需a≥3. 当a≥3时，f′(x)=x32 -a在x∈(-1,1)上恒有f′(x)＜0, 即f(x)在（-1,1）上为x减2 函数，∴a≥3. 故存在实数a≥3,使f(x)在(-1,1)上单调递减.
学后反思 利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便， 但应注意f′(x)>0 ［或f′(x)<0］仅是f(x)在某个区间上为增函数（或减函数）的充分条 件，在(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)上递增（或递减）的充要条件应 是f′(x)≥0［或f′(x)≤0］，x∈(a,b)恒成立，且f′(x)在(a,b)的任意子区 间内都不恒等于0.这就是说， 函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f′(x0)=0. 因此，在已知函数f(x)是增函数（或减函数）来求参数的取值范围时， 应令f′(x)≥0［或f′(x)≤0］恒成立，解出参数的取值范围（一般可用 不等式恒成立理论求解），然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0， 若能恒等于0，则参数的这个值应舍去,若f′(x)不恒为0，则由f′(x)≥0 ［或f′(x)≤0］恒成立解出的参数的取值范围.
高考总复习一轮数学精品课件 第4章 导数及其应用 课时规范练27 利用导数研究不等式恒(能)成立问题
故m的取值范围为(8-4ln 2,+∞).
1 2 3 4 5 6
2.(2024·四川广安模拟)已知函数f(x)=ln x-2ax.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若f(x)≤0恒成立,求a的取值范围.
1 2 3 4 5 6
解 (1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且
故m的取值范围为(-∞,1].
1 2 3 4 5 6
1 2
x
5.(2024·湖南长沙模拟)已知f(x)=e - x -ax-1(a∈R).
2
(1)当a=0时,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.
1 2 3 4 5 6
解
1
x
(1)当a=0时,f(x)=e 2
e
4.(2024·江苏无锡模拟)已知函数f(x)=-x+ln x,g(x)=xex-2x-m.
(1)求函数f(x)的极值点;
(2)若f(x)≤g(x)恒成立,求实数m的取值范围.
1 2 3 4 5 6
解
1-
(1)由已知可得,函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)= ,
令f'(x)=0,解得x=1,当0<x<1时,f'(x)>0;
1
2
所以 a≤x ln x+ 恒成立.
令 g(x)=x ln
2
1
x+ ,x>0,则
2 3 ln + 3 -1
g'(x)=
.
2
令 h(x)=2x3ln x+x3-1,则 h'(x)=x2(6ln x+5),
高考数学导数应用实例
高考数学导数应用实例1. 下列函数中，哪个函数的导数在x=0时为0？A. y=x^3B. y=x^2C. y=x^4D. y=x^52. 求函数y=x^3-3x^2+2x在x=1时的导数值。
3. 设函数f(x)=x^2-4x+3，求f(x)的导数f'(x)。
4. 函数f(x)=lnx在x=1时的导数值是多少？5. 求函数y=x^2e^x的导数。
6. 设函数f(x)=x^2-4x+3，求f(x)的导数f'(x)在x=1时的值。
7. 求函数y=sinx的导数。
8. 设函数f(x)=e^x-2x+1，求f(x)的导数f'(x)。
10. 设函数f(x)=x^2+2x+1，求f(x)的导数f'(x)。
11. 求函数y=sin^2x的导数。
12. 设函数f(x)=x^3-2x^2+x，求f(x)的导数f'(x)。
13. 求函数y=cos^2x的导数。
14. 设函数f(x)=x^4-3x^3+2x^2，求f(x)的导数f'(x)。
15. 求函数y=tanx的导数。
16. 设函数f(x)=x^3-2x^2+x，求f(x)的导数f'(x)在x=1时的值。
17. 求函数y=secx的导数。
18. 设函数f(x)=x^4-3x^3+2x^2，求f(x)的导数f'(x)在x=1时的值。
20. 设函数f(x)=x^4-3x^3+2x^2，求f(x)的导数f'(x)在x=2时的值。
21. 求函数y=arctanx的导数。
22. 设函数f(x)=x^3-2x^2+x，求f(x)的导数f'(x)在x=2时的值。
23. 求函数y=arcsinx的导数。
24. 设函数f(x)=x^4-3x^3+2x^2，求f(x)的导数f'(x)在x=3时的值。
25. 求函数y=arccosx的导数。
26. 设函数f(x)=x^3-2x^2+x，求f(x)的导数f'(x)在x=3时的值。
[高考数学]导数的应用
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[高考数学]导数的应用
导数的应用主要可以分为物理、化学、经济、生物、管理等方面，这在我们日常学习和生活中起着十分重要的作用。
在物理方面，导数主要用于求解轨迹问题、运动学问题及某些其他物理问题。
比如重力加速度可以使用导数求解，当时间变化时，它可以表征速度和加速度之间的变化规律；另外，函数曲线在解决机械物理问题、电力学问题也是极为重要的。
在化学中，导数用于密度测定和反应速率的测定中，比如反应的速率和反应的势能可以用导数来表示，从而了解反应的规律等。
在经济学领域，导数可以用来计算收益率，比如我们可以利用导数来计算两个收益率之间的变化规律，从而了解收益率的发展趋势，使做出更好的决策；此外，还可以用导数来分析实时的变动价格，并根据这些变动情况来研究行业发展趋势，以及做出合理的投资决策。
在生物学领域，导数可以用来研究群落的构成及结构的变化，以及生物群落的动态演变规律；此外，导数也可以用来研究生物调节系统，及研究正常生活过程中生理过程和机体发展过程中活跃物质的变化，以及配比调节环境所产生的影响等。
在管理方面，我们可以使用导数研究不同管理措施对企业经营所产生的影响，比如改变经营模式、更改产品策略等，从企业经营状况中可以计算出对相关经营指标及收益的变化；此外，还可以用于预测财务及市场的变化，计算不同策略的收益或亏损率，从而有效实施市场经济策略。
总之，导数在物理、化学、经济、生物、管理等方面的应用非常广泛，它是解决具体问题和研究问题较好方法。
在高考数学中，对导数有一定的要求，对导数的应用要求学生不仅掌握基本概念，而且要能用做问题分析，从而解决具体问题，及为研究物理、化学、经济、生物和管理等方面提供重要的理论依据。
高考数学中的求导与导数应用
高考数学中的求导与导数应用数学作为高中阶段的核心科目之一，在高考中所占比重较高。
而求导与导数应用作为数学中的重要部分，更是出现频率极高。
让我们深入探讨一下高考数学中的求导与导数应用。
一、求导的概念求导，在数学中是指求函数变化率的方法，是微积分中的一个重要概念。
具体来说，就是在函数的某一点上求函数的导数，导数表示函数在该点的变化速度。
而求导的过程就是用微小的自变量变化量除以函数值的变化量，当自变量变化量无限趋近于0时得到的极限就是函数在该点的导数。
二、导数应用之极值问题高考数学中的极值问题是求解函数最大值或最小值的问题，这个问题的求解与导数相关。
对于一个连续函数，如果在某处导数为0，也就是函数达到了极值点。
在求解过程中，我们可以先求函数的导数，然后令导数为0，解得该点的横坐标，再将横坐标代入函数中求纵坐标，就可以得到该点的极值。
三、导数应用之函数图像分析函数图像分析是高考数学中非常重要的一部分，导数应用也是其中很重要的一个组成部分。
我们可以通过导数来判断函数在某个区间内的单调性、平稳性、拐点等，从而画出函数的草图。
举个例子，对于函数y=2x^3-3x^2+1，我们可以先求出其导数y'=6x^2-6x，然后分析导数图像的拐点、单调性等，就可以得出函数的草图。
如下图所示：四、导数应用之几何问题在几何问题中，导数应用也极其重要。
例如，对于一条直线和一个圆的相交问题，可以通过求导的方法得出直线与圆的切点，然后再结合相关几何知识来解决问题。
还有在物理问题中，导数也扮演了重要角色。
例如，我们可以通过对位移函数求导，得出物体的速度函数；再对速度函数求导，得出其加速度函数，从而解决物理问题。
五、总结与思考高考数学中的求导与导数应用可以说是非常广泛的，几乎贯穿了整个高考数学。
尤其是在考察考生的分析与解决问题能力时，求导与导数应用更能够展现出优秀考生的水平。
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数学高考总复习：导数的应用编稿：林景飞责编：严春梅一、知识结构：二、高考考点：1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；2.了解函数在一点处的导数的定义和掌握导数的几何意义；3.熟记基本导数公式；4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则；5.了解复合函数的求导法则会求某些简单函数的导数；6.理解可导函数的单调性与其导数的关系，能利用导数研究函数的单调性；7.了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)，会求给定函数的极大值、极小值，会求给定函数在闭区间上的最大值、最小值；8.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念及其基本定理。
三、知识要点：（一）导数的相关概念1、导数的物理意义：事物的瞬时变化率，如：表示运动物体在时刻的瞬时速度；气球半径关于体积的导数就是气球的瞬时膨胀率等.2、导数的几何意义：过曲线y=f(x)上任意一点(x,y)的切线的斜率就是f(x)在x处的导数，即。
也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0, f(x0))处的切线的斜率是，切线方程为。
（二）求导数的方法：1、几种常见函数的导数公式：①；②(a∈Q)；③；④；⑤⑥⑦⑧2、导数的四则运算法则：①；②；③（三）导数的应用1、求切线方程的一般方法，可分两步：（1）求出函数在处的导数；（2）利用直线的点斜式得切线方程。
（注意：求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上，可用上法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程.）2、判定函数的单调性（1）函数f(x)在区间(a,b)内是单调递增或递减的判定可依据单调性定义也可利用导数，应根据问题的具体条件适当选用方法，有时须将区间(a,b)划分成若干小区间，在每个小区间上分别判定单调性。
（2）函数的单调性与其导数的关系：设函数y=f(x)在某个区间内可导，则当时f(x)为增函数；当时f(x)为减函数。
3、求函数的极值与最值（1）函数极值只反映函数在某点附近值的大小情况。
在某区间上函数的极值可能有若干个，而且极小值未必小于极大值。
仅是函数f(x)在点x0处有极值的必要条件，点x0是f(x)的极值点，当且仅当在x0的左右的符号产生变化。
（2）函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。
连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一。
（3）在实际问题中，要由实际问题的背景构造出相应的函数关系式y=f(x),并注明其定义域，当在定义域内只有一个解时，并且最值一定存在，则此点即为函数f(x)的最值点。
（四）定积分的概念及其应用1.定积分的定义：如果函数在区间[a,b]上连续，用分点将区间_______分为n个小区间，在每个小区间上任取一点（i=1,2,3…,n），作和式，当时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做在区间[a,b]上的定积分.记作__________2.定积分的性质：（1）（为常数）（2）（3）（其中）3.微积分基本定理：如果，且在上_______，则=_______,其中_________叫做的一个原函数.由于___________也是的原函数，其中c为常数.一般地，原函数在上的改变量简记作____________.因此，微积分基本定理可以写成形式：=_______________=_________________.注：求定积分主要是要找到被积函数的________，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于_________.由此，求导运算与求原函数运算互为______________.4.定积分的几何意义：设函数在区间上连续.在上，当时，定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形的面积.在上，当时，由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下方，定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；在上，当既取正值又取负值时，曲线的某些部分在轴的上方，而其他部分在轴下方，如果我们将在轴上方的图形的面积赋予正号，在轴下方的图形的面积赋予符号，那么在一般情形下，定积分的几何意义是曲线，两条直线与轴所围成的各部分面积的代数和.5. 应用定积分求面积（1）如图，由曲线及直线围成图形的面积公式为：（2）如图，在区间上，，则曲边梯形的面积为6.利用定积分求平面图形面积的步骤：（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；（3）写出定积分表达式；（4）求出平面图形的面积.7．利用函数的奇偶性求积分：若函数在区间上是奇函数，则；若函数在区间上是偶函数，则；四、经典例题：例1．求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）；解：（1）（2）（法一）（法二）（3）例2．运动曲线的方程为：，求t=3时的速度，加速度。
分析：由导数的物理意义知，t=3时的速度就是求函数在t=3时的导数值，t=3时的加速度就是求速度函数在t=3时的导数值。
解：运动曲线的速度为：t=3时的速度：运动曲线的加速度为：t=3时的加速度：例3：运用微积分定理求定积分（1）；（2），求函数在区间上的积分.（3）；（4）。
解：（1）（2）（3）∵是奇函数，是偶函数。
∴，∴（4）（法一）设，则表示个圆，由积分的概念可知，所求积分就是圆的面积,所以（法二）令，则当从0变到时，相应的t自0变到所以，点评：当被积式为分段函数时，应分段积分；求定积分最常用的方法是微积分基本定理，但有时不易找到原函数，此时可以用其他方法：利用定积分的几何意义，利用函数的奇偶性等。
例4：求由曲线围成的平面图形的面积.解：由得A (1,1)；由得B(2,4)所求面积：例5．对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是解：，令x=0，求出切线与y轴交点的纵坐标为，所以，则数列的前n项和点评：本题主要考查利用导数求切线方程，再与数列知识结合起来，解决相关问题。
例6．已知函数在与x＝1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x∈[－1，2]，不等式恒成立，求c的取值范围。
解：（1），由，得，b＝－2，函数f（x）的单调区间如下表：所以函数f（x）的递增区间是与递减区间是（2），x∈[－1，2]，当时，为极大值，而，则为最大值要使（x∈[－1，2]）恒成立，只需,解得.例7．请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如图所示）。
试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO1为，则由题设可得正六棱锥底面边长为：（单位：）故底面正六边形的面积为：=（单位：）帐篷的体积为：（单位：）求导得令，解得（不合题意，舍去），，当时，，为增函数；当时，，为减函数∴当时，最大答：当OO1为时，帐篷的体积最大，最大体积为。
点评：本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力.例8．设是函数的一个极值点.（Ⅰ）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（Ⅱ）设，.若存在使得成立，求的取值范围.解：（Ⅰ）,由，得，即得，令，得或，由于x＝3是极值点，所以，当，即时，在区间上，，为减函数；在区间上，，为增函数；在区间上，，为减函数。
当，即时，在区间上，，为减函数；在区间上，，为增函数；在区间上，，为减函数。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，所以f (x)在区间[0，4]上的值域是又在区间[0，4]上是增函数，且它在区间[0，4]上的值域是，由于，所以只需且，解得<.故a的取值范围是（0，）。
点评：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。
五、高考真题：1. （2007全国卷II）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3B．2C．1D．答案：A2. （2007天津卷）已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．分析：本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．解：（Ⅰ）当时，，，又，所以曲线在点处的切线方程为，即．（Ⅱ）．由于，以下分两种情况讨论．（1）当时，令，得到，．当变化时，的变化情况如下表：所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数．函数在处取得极小值，且，函数在处取得极大值，且．（2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数．函数在处取得极大值，且．函数在处取得极小值，且．3.（2007安徽卷）设（Ⅰ）令，讨论在（0，＋∞）内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有.分析：本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．解：（Ⅰ）根据求导法则有，故，于是，列表如下：故知在内是减函数，在内是增函数，所以在处取得极小值．（Ⅱ）由知，的极小值．于是由上表知，对一切，恒有．从而当时，恒有，故在内单调增加．所以当时，，即．故当时，恒有．4. （2007湖北卷）已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．（I）用表示，并求的最大值；（II）求证：（）．分析：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．解：（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同．，，由题意，．即，由得：，或（舍去）．即有．令，则．于是当，即时，；当，即时，．故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为．（Ⅱ）设，则．故在为减函数，在为增函数，于是函数在上的最小值是．故当时，有，即当时，．5.（2007山东卷）设函数,其中.(I)当时,判断函数在定义域上的单调性;(II)求函数的极值点;(III)证明对任意的正整数,不等式都成立.分析：(I)通过判断导函数的正负来确定函数的单调性，是和定义域共同作用的结果；（II）需要分类讨论，由（I）可知分类的标准为（III）构造新函数为证明不等式“服务”，构造函数的依据是不等式关系中隐含的易于判断的函数关系。
解：(I)函数的定义域为.，令，则在上递减，在上递增，.当时，，在上恒成立.即当时,函数在定义域上单调递增。
（II）分以下几种情形讨论：（1）由（I）知当时函数无极值点.（2）当时，，时，时，时，函数在上无极值点。
（3）当时，解得两个不同解，.当时，，，此时在上有唯一的极小值点.当时，在都大于0 ，在上小于0 ，此时有一个极大值点和一个极小值点.综上可知：时，在上有唯一的极小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，函数在上无极值点。