概率论测试题
九年级数学概率统计练习题及答案
九年级数学概率统计练习题及答案一、选择题1. 下列各项中，属于概率的是：A. 李明抽到红球的可能性是10%B. 今天下雨的可能性是80%C. 买彩票中奖的可能性是1/1000000D. 扔一次骰子掷出的点数是4的可能性是1/62. 某班级有30个学生，其中有18个男生和12个女生。
从班级中随机选取一个学生，男生和女生被选到的概率相等。
那么，被选到的学生是男生的概率是多少？A. 2/3B. 1/3C. 3/5D. 1/23. 一副扑克牌中有52张牌，其中红心牌有13张。
从扑克牌中随机抽一张牌，抽到红心牌的概率是多少？A. 1/4B. 1/2C. 1/13D. 1/52二、填空题1. 从数字1、2、3、4、5中任意抽取一个数，抽到奇数的概率是_________。
2. 一组数据：10、12、14、16、18中，大于15的数的概率是_________。
3. 一枚硬币抛掷，正面向上的概率是_________。
三、计算题1. 某班级有40个学生，其中有18个男生和22个女生。
从班级中随机选取两个学生，分别计算：a) 选出的两个学生都是男生的概率是多少？b) 选出的两个学生一个是男生一个是女生的概率是多少？2. 一副扑克牌中有52张牌，其中黑色牌有26张。
从扑克牌中随机抽取两张牌，并将它们放回，再抽取一张牌。
计算：a) 三次抽取都是黑色牌的概率是多少？b) 三次抽取中至少有一张黑色牌的概率是多少？四、解答题1. 一组数据：5、7、9、11、13，从中随机抽取一个数。
计算抽取奇数的概率。
答案解析：一、选择题1. D2. A3. A二、填空题1. 3/52. 3/53. 1/2三、计算题1.a) 18/40 × 17/39 = 9/20 × 17/39 = 153/780b) 18/40 × 22/39 + 22/40 × 18/39 = 396/780 = 2/5 2.a) 26/52 × 26/52 × 26/52 = 27/64b) 1 - (26/52 × 26/52 × 26/52) = 37/64四、解答题1. 3/5通过以上习题，希望能够帮助同学们加深对数学概率统计的理解和掌握。
概率论第一章小测试
第一章小测试一、选择题1.设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 不全发生可表示为（ ）A. ABCB. ABCC. C B AD. C B A2.设事件A 和B 互为对立事件，则下列各式不成立的是（ ）A. ()0P AB =B. ()0P AB =C. ()1P A B =D.()1P B A =3.将一枚均匀硬币抛掷3次，则至少有2次出现币值面朝上的概率是（ ）A. 18B. 38C. 12D. 584.盒内有6个产品，其中正品4个次品2个，不放回地一个一个往外取产品，则第二次才取到次品的概率与第二次取产品时取到次品的概率分别为（ ）A. 41153，B. 441515，C. 1133， D. 14315， 5.设两个事件A 和B 相互独立，且()0.5P A =，()0.4P B =， 则()P A B 的值是（ ） A. 0.9 B. 0.8 C. 0.7 D. 0.66.对于任意事件A,B,若A B ⊂,则下列各等式不成立的是（ ）A. B B A =B. φ=B -AC. B B A =D. φ=B A7.设A,B 为任意两个概率不为0的互斥事件，则下列结论中一定正确的是（ ）A. ()()P A B P A =B. ()()()P A B P A P B -=-C. ()()()P AB P A P B =D.()()P A B P A -=8.将一枚均匀硬币抛掷3次，则恰有一次出现币值面朝上的概率是（ ）A. 38B. 18C. 58D. 129. 已知在10只电子元件中，有2只是次品，从其中取两次，每次随机地取一只，作不放回抽取，则第二次取出的是次品的概率是（ ）A. 145B. 15C. 1645D. 84510.设两个事件A 和B 相互独立，且()0.6P A =，()0.3P B =， 则()P A B 的值是（ ） A. 0.3 B. 0.7 C. 0.72 D. 0.911.事件A 、B 、C 中恰有一个事件发生的事件是（ ）A ．ABCB ．C AB C ．C B AD ．C B A C B A C B A ++12．设A 和B 是两个随机事件，则下列关系式中成立的是（ ）A.()()()P A B P A P B -=-B.()()()P AB P A P B =+ C.()()()P A B P A P B -≤- D.()()()P AB P A P B ≤+13.设B A ,满足1)(=B A P ， 则有（ ） A ．A 是必然事件 B ．B 是必然事件C ．Φ=⋂B A D.)B (P )A (P ≥14．已知A ，B 是两个随机事件，且知()0.5P A =，()0.8P B =，则()P AB 的最大值是（ ）A. 0.5B. 0.8C. 1D. 0.315. 设每次试验成功的概率为)10(<<p p ，重复进行试验直到第n 次才取得成功的概率为（ ）A ．1(1)n p p --B ．1(1)n np p --C ．1(1)(1)n n p p --- D.1(1)n p --16． 掷一枚钱币，反复掷4次，则恰有3次出现正面的概率是( ).A ．116B ． 18C ． 110 D.1417．设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 全不发生的事件可表示为（ ）（A ）ABC （B ）C B A （C ）C B A （D ）C B A18．设A 和B 是两个随机事件，且A B ⊂，则下列式子正确的是（ ）（A ）)()(A P B A P = （B ）)()(A P AB P =（C ）)()(B P A B P = （D ）)()()(A P B P A B P -=-19．设A 和B 相互独立，4.0)(,6.0)(==B P A P ，则=)(B A P （ ）（A ）0.4 （B ）0.6 （C ）0.24 （D ）0.520．设c B A P b B P a A P ===)(,)(,)( ，则)(B A P =（ ）（A ）b a - （B ）b c - （C ）)1(b a - （D ）a b -21随机掷两颗骰子，已知点数之和为8，则两颗骰子的点数都是偶数的概率为（ ）（A ）53 （B ）21 （C ）121 （D ）3122．设N 件产品中有n 件是不合格品，从这N 件产品中任取2件，则2件都是不合格品的概率是（ ）（A ）121---n N n （B ）)1()1(--N N n n （C ）2)1(N n n - （D ）)(21n N n -- 23. 设A 和B 是两个随机事件，则下列关系式中成立的是（ ）A ．()()()P AB P A P B -=- B.()()()P A B P A P B =+C.()()()P A B P A P B -≤-D.()()()P A B P A P B ≤+24. 将3个相同的小球随机地放入4个盒子中，则盒子中有小球数最多为一个的概率为（ ）A. 3/32B. 1/16C. 3/8D. 1/825. 同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面朝上的概率为（ ）A ．0.125B ．0.25C ．0.375D ．0.5026. 设在三次独立重复试验中，事件A 出现的概率都相等，若已知三次独立试验中A 至少出现一次的概率为1927，则事件A 在一次试验中出现的概率为（ ）A ． 31 B ．41 C ．61 D ．21 27. 设A 和B 为两个随机事件，且()0P A >，则[()]P A B A =（ ）A. ()P ABB. ()P AC. ()P BD. 128. 已知A ，B 是两个随机事件，且知()0.5P A =，()0.8P B =，则()P AB 的最大值是（ ）A. 0.5B. 0.8C. 1D. 0.329. 设事件A 和B 互斥，且()0P A >，()0P B >，则有（ ）A ．()1P AB =B ．()1()P A P B =-C ．()()()P AB P A P B =D ．()1P A B =30. 设A 、B 相互独立，且()0P A >，()0P B >，则下列等式成立的是（ ）A ．()0P AB =B ．()()()P A B P A P B -=C ．()()1P A P B +=D ．()0P A B =31. 设A 为随机事件，则下列命题中错误的是（ ）A. A 与A 互为对立事件B. A 与A 互斥C. A A =D. A A =Ω32. 设A 与B 相互独立，()0.2P A =，()0.4P B =，则()P A B =（ ）A. 0.2B. 0.4C. 0.6D. 0.833. 检查产品时，从一批产品中任取3件样品进行检查，则可能的结果是：未发现次品，发现一件次品，发现两件次品，发现3件次品。
概率论第一章单元测试题
概率论第一章单元测试题一、判断题（每题1分，共5分）1.事件“A，B至少发生一个”与事件“A，B至多发生一个”是对立事件．（）2.设A与B为任意两个互不相容事件，则P(AB)=P(A)P(B)．（）3.设A与B为任意两事件，则A－B不等于B A．（）4.设A与B互为对立事件，且P(A)>0，P(B)>0，则()0P B A=．（）5.已知P(A)>0，P(B) >0，若A与B互不相容，则A，B一定不独立．（）二、选择题（每题1分，共15分）1.设A，B，C是3个事件，则A发生且B与C都不发生可表示为（）．A．BCA B．CB A C．)S-A D．BC(CB2.设A，B为两个事件，且A≠φ，B≠φ，则)+A+（表示AB)(BA．必然事件B．不可能事件C．A与B不能同时发生 D．A与B恰有一个发生3.对于事件A，B，下列命题正确的是（）．A．若A，B，互不相容，则BA，也互不相容B．若A，B，相容，则BA，也相容C．若A，B，互不相容，且概率都大于零，则BA，也相互独立D．若A，B，相互独立，则BA，也相互独立4.设随机事件A与B相互独立且P(B)=0.5，P(A－B)=0.3，则P(B－A)=（）．A ．0.1B ．0.2 C．0.3D．0.42”的概率是（）．5.在区间（0，1）中随机的取两个数，则事件“两数之和大于3A ．31B ．97C ．32D ． 92 6. 设A 与B 为任意两个互不相容，且P (A )P (B )>0，则必有（ ）．A ．)(1)(B P A P -= B ．)()()(B P A P AB P =C ．1)(=B A PD ．1)(=AB P7. 设A 与B 为任意两个事件，则使P (A －C )=P (A )－P (C )成立的C 为（ ）．A ．A C =B ．B AC = C ．))((B A B A C -=D ．)()(A B B A C --=8. 将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前两个邮筒中投信的概率（ ）．A ．2242B ．2412C C C ．24A 2!D ．4!2! 9. 设A ，B 为随机事件，P (B )>0，()1P A B =，则必有（ ）．A ．)()(A PB A P = B ．B A ⊂C ．)()(B P A P =D ．)()(A P AB P =10. 设随机事件A 与B 互不相容，P (A )=0.4，P (B )=0.2，则()P A B = ( )．A ．0.2B ．0.4C ．0D ．0.511. 设P (A )>0，P (B )>0，则由A 与B 相互独立不能推出（ ）．A ．)()()(B P A P B A P += B ．()()P A B P A =C ．()()P B A P B =D ．)()()(B P A P B A P =12. A ，B 为任意两个事件，则下列叙述正确的是（ ）．A ．)()()(B P A P AB P ≤ B ．)()()(B P A P AB P ≥C ．2)()()(B P A P AB P +≤D ．2)()()(B P A P AB P +≥ 13. 事件A ，B 满足P (A )+P (B )>1，则A 与B 一定（ ）．A ．不相互独立B ．相互独立C ．互不相容D ．不互斥14. 设A ，B ，C 是3个随机事件，且A 与C 相互独立，B 与C 相互独立，则B A 与C相互独立的充要条件是（ ）．A ．A 与B 相互独立 B ．A 与B 互不相容C ．AB 与C 相互独立D ．AB 与C 互不相容15. 某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为43，他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概率是( )．A ．343⎪⎭⎫ ⎝⎛B ．41432⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛C ．43412⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛D ．4341223⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛C 三、填空题（每题2分，共30分）1. 设Ω为随机试验的样本空间A ，为随机事件，且{}=05x x Ω≤≤，A={}12x x ≤≤，B={}02x x ≤≤，试求：=B A ，B －A= ．2. 设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率是91，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则P (A ) = ．3. 若111(),(),()432P A P B A P A B ===,则()P A B = ． 4. 若()0.4,()0.3,()0.5P A P B P A B ===,则()P A B -= ．5. 从10个整数0，1，2，…，9中任取4个不同的数字，此4个数字组成4位偶数的概率 ．此4个数字组成4位奇数的概率 ．6. 将3只球随机地放入4个杯子中去,则杯子中球的最大个数为3的概率 ．杯子中球的最大个数为2的概率 ．7. 一批产品共100件，次品率为10%，每次从中任取一件，取后不放回且连续3次，则第三次才取到合格品的概率为 ．8. 某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P｛孩子得病｝=0.6，P｛母亲得病/孩子得病｝=0.5,P｛父亲得病/母亲及孩子得病｝=0.4则母亲及孩子得病而父亲未得病的概率．9.在一次考试中某班学生数学和外语的及格率都是0.7，且这两门课是否及格相互独立，现从该班任选一名学生，该生数学及外语只有一门及格的概率．10.已知10把钥匙中有3把能打开门，现任取两把，则能打开门的概率为．11.掷两颗骰子，则点数之和为偶数或小于5的概率．12.甲盒装有5只红球,4只白球;乙盒装有4红球,5只白球;先从甲盒中任取两球放入乙盒,然后从乙盒任取一球,则取到白球的概率．13.某种商品的商标为“MAXAM”，其中有两个字母脱落，有人捡起随意放回，则放回后仍为“MAXAM”的概率．14.已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者.今从男女人数相等的人群中随机挑选一人，恰好是色盲患者，则此人是男性的概率．15.某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T，各电梯正在运行的概率均为0.75，则在此时刻至少有1台电梯在运行的概率．在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率．四、计算题（40分）1.（2分）将15名新生随机地平均分配到3个班级中去，这15名新生中有3名是优等生，求（1）每个班级各分配到一名优等生的概率（2）3名优等生分配在同一班级的概率2.（8分）一学生接连参加同一课程的两次考试．第一次及格的概率为p，若第一次及p.格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为2(1) 若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率．(2) 若已知他第二次及格了，求他第第一次及格的概率．解：设A i=“第i次及格”，i=1，2.3.（5分）甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少？4.（7分）雨伞掉了，落在图书馆中的概率为%.0；落50，这种情况下找回的概率为80在教室里的概率为%20，这种30，这种情况下找回的概率为60.0；落在商场的概率为%情况找回的概率为05.0，求：（1）找回雨伞的概率；（2）雨伞被找回，求它掉在图书馆的概率．5.（10分）每箱产品有10件，其中次品从0到2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品为不合格而拒收．由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为2%，一件次品被误判为正品的概率为10%．求检验一箱产品能通过验收的概率．6.（5分）在100件产品有5件次品，从中连续取二件,每次取一件,取后不放回，试求：(1) 第一次取得次品后第二次取得正品的概率；(2) 第二次才取得正品的概率．7.（3分）已知电路如图所示，若A,B,C 损坏与否相互独立，且它们损坏的概率分布为0.3，0.2，0.1，求电路断电的概率五、证明题（10分）1. （5分）设A ，B 为两个随机事件，0()1P B <<，()()P A B P A B =，证明：A 与B 相互独立．2.（5分）设事件A ，B ，C 的概率都是21，且)()(C B A P ABC P =，证明：21)()()()(2-++=BC P AC P AB P ABC P ．。
概率论习题试题集
11. 将8本书任意放到书架上，求其中3本数学书恰排在一起的概率。
12. 某人买了大小相同的新鲜鸭蛋，其中有a只青壳的，b只白壳的，他准备将青壳蛋加工成咸蛋，故将鸭蛋一只只从箱中摸出进行分类，求第k次摸出的是青壳蛋的概率。
13. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客。
问一个订货为4桶白漆、3桶黑漆，2桶红漆的顾客，能按所定颜色如数得到订货的概率是多少？14. 将12名新技工随机地平均分配到三个车间去，其中3名女技工，求：（1）每个车间各分配到一名女技工的概率；（2）3名女技工分配到同一车间的概率。
15．从6双不同的手套中任取4只，求其中恰有两只配对的概率。
16．从0，1，2，......，9十个数中随机地有放回的接连取三个数字，并按其出现的先后排成一列，求下列事件的概率：（1）三个数字排成一奇数；（2）三个数字中0至多出现一次；（3)三个数字中8至少出现一次；（4）三个数字之和等于6。
（利用事件的关系求随机事件的概率）17. 在1~1000的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被4整除，又不能被6整除的概率是多少？18. 甲、乙两人先后从52张牌中各抽取13张，（1）若甲抽后将牌放回乙再抽，问甲或乙拿到四张A的概率；（2）若甲抽后不放回乙再抽，问甲或乙拿到四张A的概率。
19. 在某城市中发行三种报纸A,B,C，经调查，订阅A报的有45%，订阅B报的有35%，订阅C报的有30%，同时订阅A及B的有10%，同时订阅A及C的有8%，同时订阅B及C的有5%，同时订阅A,B,C 的有3%。
试求下列事件的概率：（1）只订A报的；（2）只订A及B报的；（3）恰好订两种报纸。
20．某人外出旅游两天，据预报，第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3，两天都下雨的概率为0.1，试求：（1）至少有一天下雨的概率；（2）两天都不下雨的概率；（3）至少有一天不下雨的概率。
概率论与数理统计第一章测试题
第一章 随机事件和概率一、选择题1. 设A, B, C 为任意三个事件, 则与A 一定互不相容的事件为（A ）C B A ⋃⋃ （B ）C A B A ⋃ （C ） ABC （D ）)(C B A ⋃2.对于任意二事件A 和B, 与 不等价的是（A ）B A ⊂ （B ）A ⊂B （C ）φ=B A （D ）φ=B A3. 设 、 是任意两个事件, , , 则下列不等式中成立的是（ ）.A ()()P A P A B < .B ()()P A P A B ≤.C ()()P A P A B > .D ()()P A P A B ≥4. 设 , , , 则（ ）.A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立.C 事件A 与B 相互对立 .D 事件A 与B 互不独立5. 设随机事件 与 互不相容, 且 , 则 与 中恰有一个发生的概率等于（ ）.A p q + .B p q pq +-.C ()()11p q -- .D ()()11p q q p -+-6. 对于任意两事件 与 , （ ）.A ()()P A P B - .B ()()()P A P B P AB -+.C ()()P A P AB - .D ()()()P A P A P AB +- 7. 若 、 互斥, 且 , 则下列式子成立的是（ ）.A ()()P A B P A = .B ()0P B A >.C ()()()P AB P A P B = .D ()0P B A =8. 设 , 则下列结论中正确的是（ ）.A 事件A 、B 互不相容 .B 事件A 、B 互逆.C 事件A 、B 相互独立 .D A B ⊃9. 设 、 互不相容, , 则下列结论肯定正确的是（ ）.A A 与B 互不相容 .B ()0P B A >.C ()()()P AB P A P B = .D ()()P A B P A -=10. 设 、 、 为三个事件, 已知 , 则 （ ）.A 0.3 .B 0.24 .C 0.5 .D 0.2111. 设A, B 是两个随机事件, 且0<P(A)<1, P(B)>0, , 则必有（A ）)|()|(B A P B A P = （B ）)|()|(B A P B A P ≠（C ）)()()(B P A P AB P = （D ）)()()(B P A P AB P ≠12. 随机事件A, B, 满足 和 , 则有（A ）Ω=⋃B A （B ）φ=AB （C ） 1)(=⋃B A P （D ）0)(=-B A P13. 设随机事件A 与B 互不相容, , , 则下面结论一定成立的是（A ）A, B 为对立事件 （B ） , 互不相容 （C ） A, B 不独立 （D ）A, B 独立14．对于事件A 和B, 设 , P(B)>0, 则下列各式正确的是（A ）)()|(B P A B P = （B ）)()|(A P B A P = （C ） )()(B P B A P =+ （D ）)()(A P B A P =+15. 设事件A 与B 同时发生时, 事件C 必发生, 则（A ）1)()()(-+≤B P A P C P （B ）1)()()(-+≥B P A P C P（C ） )()(AB P C P = （D ）)()(B A P C P ⋃=16. 设A,B,C 是三个相互独立的随机事件, 且0<P(C)<1。
概率论习题一
第一章(A)A、AB互斥B、A、B互斥C A、B互斥D A、B互斥2、以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则A表示(C)A甲种产品滞销，乙种产品畅销B、甲乙两种产品均畅销C甲产品滞销或乙产品畅销D甲乙两种产品均滞销3、设A、B为两个事件，若AB,则一定有(B)A P(AB)=P(B)B、P(AB)=RB)CP(B|A)=P(B)D、P(A|B)=P(B)4、设AB为两个随机事件，则p(AB),P(AB),P(A)+P(B)由小到大的顺序是(A) AP(AB)<p(AB)<P(A)+P(B)BP(A)+P(B)<P(AB)<p(AB)Cp(AB»<P(AB)<P(A)+P(B)DP(AB)<P(A)+P(B)<p(AB)5、设AB为两个事件，且0<P(A)<1,RB)>0,P(B|A)=P(B|A),则必有(C)A、P(A|B)=P(A|B)RP(A|B)乎P(A|BCP(A|B)=P(A)D、P(A|B)=P(B)6、设A、B、C为三个相互独立的随机事件，且有0<P(C)<1,则下列事件不相互独立的是(A)A AC与CB AB与C C A B与CD A B与C7、在一次实验中，事件A发生的概率为p(0<p<1),进行n次独立重复试验，则事件A 之多发生一次的概率为(D)A1p n B p n C11P N D1p n np1p n18、对飞机连续射击三次，每次发射一枚炮弹，事件A(i=1,2,3)表示第i次射击击中飞机，则“至少有一次击中飞机”可表示为A,A2A3,“至多击中一次”表示为A〔A2A3A，2A3A1A2A3AA2A39、设A、B为随机事件，则ABAB=B10、若事件A、B互不相容，则PAB=P(A),PBA=RB),若事件A、B相互独立,则PAB=P(A)P(B),PBA=P(B)P(A)11、已知P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(B|A)=0.6,则PAB=0.6,PAB0.75.12、已知P(A)=0.5,P(B)=0.4，若A、B相互独立，则PAB=0.7.13、根据调查所知，一个城镇居民三口之家每年至少用600元买粮食的概率是0.5,至少用4000元买副食的概率是0.64,至少用600元买粮食同时用4000元买副食的概率为0.27,则一个三口之家至少用600元买粮食或至少用4000元买副食的概率为。
高中数学概率论测试题
高中数学概率论测试题在高中数学的学习中，概率论是一个充满趣味和挑战的领域。
它不仅能帮助我们理解生活中的各种随机现象，还能培养我们的逻辑思维和数学应用能力。
接下来，让我们一起通过一些测试题来深入探索概率论的奇妙世界。
一、选择题1、从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A 至少有一个黑球与都是黑球B 至少有一个黑球与至少有一个红球C 恰有一个黑球与恰有两个黑球D 至少有一个黑球与都是红球答案：C解析：A 选项中，“至少有一个黑球”包含“都是黑球”，不是互斥事件；B 选项中，“至少有一个黑球”和“至少有一个红球”都包含“一个黑球一个红球”的情况，不是互斥事件；C 选项中，“恰有一个黑球”和“恰有两个黑球”不能同时发生，是互斥事件，且不是对立事件；D 选项中，“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，是互斥事件，且是对立事件。
2、已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1)，且P(2≤X≤4) ＝ 06826，则 P(X ＞ 4) ＝（）A 01588B 01587C 01586D 01585答案：B解析：因为随机变量 X 服从正态分布 N(3,1)，所以图象关于 x ＝ 3对称。
P(2≤X≤4) ＝ 06826，所以 P(X ＞ 4) ＝ 05 05×06826 ＝ 01587 。
3、甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是 p1，乙解决这个问题的概率是 p2，那么恰好有 1 人解决这个问题的概率是（）A p1p2B p1(1 p2) ＋ p2(1 p1)C 1 p1p2D 1 （1 p1)（1 p2)答案：B解析：恰好有1 人解决这个问题，分两种情况：甲解决，乙没解决，概率为 p1(1 p2)；乙解决，甲没解决，概率为 p2(1 p1)。
所以恰好有 1 人解决这个问题的概率是 p1(1 p2) ＋ p2(1 p1) 。
二、填空题1、从 1，2，3，4，5 这 5 个数字中，随机抽取 3 个数字组成一个三位数，其中奇数的个数为_____。
概率单元测试题及答案大全
概率单元测试题及答案大全一、选择题1. 一个袋子里有3个红球和2个蓝球，随机取出一个球，下列哪个事件的概率最大？A. 取出红球B. 取出蓝球C. 取出白球D. 取出黑球答案：A2. 投掷一枚公正的硬币，出现正面的概率是多少？A. 0.2B. 0.5C. 0.8D. 1答案：B3. 如果事件A和事件B是互斥的，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，那么P(A∪B)是多少？A. 0.1B. 0.3C. 0.7D. 无法确定答案：C二、填空题4. 一个骰子有6个面，每个面出现的概率是________。
答案：1/65. 如果一个事件的概率为0，那么这个事件是________。
答案：不可能事件6. 一个事件的概率为1，表示这个事件是________。
答案：必然事件三、计算题7. 一个袋子里有5个白球和5个黑球，随机取出2个球，求取出的2个球都是白球的概率。
答案：首先计算取出第一个白球的概率为5/10，然后计算在取出第一个白球后，再取出第二个白球的概率为4/9。
所以，两个都是白球的概率为(5/10) * (4/9) = 2/9。
8. 一个班级有30个学生，其中15个男生和15个女生。
随机选择3个学生，求至少有1个女生的概率。
答案：首先计算没有女生的概率，即选择3个男生的概率为(15/30) * (14/29) * (13/28)。
然后用1减去这个概率，得到至少有1个女生的概率为1 - [(15/30) * (14/29) * (13/28)]。
四、简答题9. 什么是条件概率？请给出一个例子。
答案：条件概率是指在某个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。
例如，如果我们知道一个班级中有50%的学生是左撇子，那么在随机选择一个学生是左撇子的条件下，这个学生是数学专业的学生的概率。
10. 请解释什么是独立事件，并给出一个例子。
答案：独立事件是指一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率。
例如，投掷一枚公正的硬币两次，第一次的结果不会影响第二次的结果。
大学概率论习题及答案
《经济应用数学三（概率论）》综合测试题（二）一、单项选择题1．设A，B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。
A.B.C.D.2．从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记：A=“取到2只白球”则=（）。
A.取到2只红球B.取到1只红球C.没有取到白球D.至少取到1只红球3．事件A，B相互独立，且（）。
A.0.46B.0.42C.0.56D.0.144．下列函数为正态分布密度的是（）。
A.B.C.D.5．设随机变量服从, 其分布密度函数为, 则（）。
A.0B.1C.D.6．设随机变量的密度函数为，则。
A.0B.C.1D.7．设随机变量X的可能取值为, 随机变量Y的可能取值为,如果, 则随机变量X 与Y （）。
A.一定不相关B.一定独立C.一定不独立D.不一定独立8．若二维随机变量的联合概率密度为，则系数（）。
A.B.C.1D.9．对随机变量来说，如果，则可断定不服从（）。
A.二项分布B.指数分布C.泊松分布D.正态分布10．设服从参数为的指数分布，则（）。
A.B.C.D.二、填空题1．若事件A与B互斥，P(A)=0.6,P(A∪B)=0.8,则2．随机变量X服从区间 [1，4]上的均匀分布，则P { 0＜X＜3} = __________。
3．设随机变量的概率分布为，则__________。
4．设二维随机变量（X,Y）的联合分布律为：则a=________,b=________。
5．设服从正态分布，则D(-2X+1)= ________三、计算题1．设某产品的合格率为80% 。
检验员在检验时合格品被认为合格的概率为97%，次品被认为合格的概率为2%。
（1）求任取一产品被检验员检验合格的概率；（2）若一产品通过了检验，求该产品确为合格品的概率。
2．设打一次电话所用时间X（分钟）服从参数为的指数分布，如果某人刚好在你前面走进公用电话亭，求你等待时间在10分钟到20分钟之间的概率。
3．已知随机向量的联合概率分布为（1）求的边缘分布；（2）判断与是否独立；4．设系统由100个相互独立的部件组成, 运行期间每个部件损坏的概率为0.1, 至少有85个部件是完好时系统才能正常工作。
概率测试题及答案
概率测试题及答案一、选择题1. 一个骰子掷出6点的概率是：A. 1/3B. 1/6C. 1/2D. 1答案：B2. 抛一枚硬币，正面朝上和反面朝上的概率相等，这个概率是：A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 2/3答案：A3. 如果一个事件的发生不影响另一个事件的发生，这两个事件被称为：A. 互斥事件B. 独立事件C. 必然事件D. 不可能事件答案：B二、填空题1. 概率的基本性质是：概率的值介于________和1之间。
答案：02. 如果事件A和事件B是互斥的，那么P(A∪B) = P(A) + P(B) -P(A∩B)，其中P(A∩B) = ________。
答案：0三、简答题1. 什么是条件概率？请给出条件概率的公式。
答案：条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率的公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(B)≠ 0。
四、计算题1. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取一个球，求抽到红球的概率。
答案：抽到红球的概率为P(红球) = 5/(5+3) = 5/8。
2. 有3个独立事件A、B、C，它们各自发生的概率分别为P(A) = 0.3，P(B) = 0.4，P(C) = 0.5。
求事件A和事件B同时发生的概率。
答案：事件A和事件B同时发生的概率为P(A∩B) = P(A) × P(B) = 0.3 × 0.4 = 0.12。
五、论述题1. 论述什么是大数定律，并给出一个实际生活中的例子。
答案：大数定律是概率论中的一个概念，它指出随着试验次数的增加，事件发生的相对频率趋近于其概率。
例如，在抛硬币的实验中，随着抛硬币次数的增加，正面朝上的频率会趋近于1/2，即硬币正面朝上的概率。
概率论第一章测试题及答案考研
概率论第一章测试题及答案考研### 概率论第一章测试题及答案#### 一、选择题1. 某事件A的概率为0.5，那么事件A的补事件的概率是多少？A. 0.5B. 0.3C. 0.2D. 0.72. 以下哪个不是概率论的公理？A. 非负性B. 归一性C. 互斥性D. 可加性#### 二、填空题1. 概率论中，一个事件的概率范围在_________之间。
2. 如果事件A和事件B是互斥的，那么P(A∪B) = __________。
#### 三、简答题1. 简述什么是条件概率，并给出一个条件概率的计算公式。
2. 解释什么是独立事件，并给出两个事件独立性的判断条件。
#### 四、计算题1. 已知事件A和事件B的概率分别为P(A)=0.3，P(B)=0.4，且P(A∩B)=0.1。
求：- P(A|B)- P(B|A)#### 五、论述题1. 论述随机试验与随机事件的区别，并给出一个生活中的例子。
#### 答案#### 一、选择题1. 答案：A. 0.5解析：事件A的补事件概率等于1减去事件A的概率，即P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0.5 = 0.5。
2. 答案：C. 互斥性解析：概率论的三个公理是：非负性（每个事件的概率非负），归一性（所有事件的概率之和为1），可加性（互斥事件的概率之和等于它们各自概率的和）。
互斥性不是概率论的公理，而是可加性的应用条件。
#### 二、填空题1. 答案：[0,1]解析：概率论中，任何事件的概率值都在0和1之间。
2. 答案：P(A) + P(B)解析：如果事件A和事件B是互斥的，那么它们不会同时发生，所以它们的并事件概率等于它们各自概率的和。
#### 三、简答题1. 条件概率是指在已知某个事件B发生的条件下，事件A发生的相对概率，计算公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
2. 独立事件是指两个事件的发生互不影响，它们的独立性判断条件是P(A∩B) = P(A)P(B)。
概率论测试题
其中X 与Y相互独立
求：E( X 3Y ), D( X 3Y ),
E[( X Y )2 ], E(Z 2 2Z 4)
3、设( X , Y )～N (1, 1, 4, 4, 0.5), Z X Y , 求： XZ
4、写出切比雪夫不等式的定理内容
1某型号火炮的命中率为08现有一架敌机即将入侵如果欲以9993从装有10个白球和6个黑球的袋中取出一球不知是什么颜色且没有放回然后再次从袋中随机取两个球结果均为白球问首次取出的是白球的概率是多少
1、某型号火炮的命中率为0.8, 现有一架敌机即将入侵， 如果欲以 99.9 % 的概率击中它，则需配备此型号火炮多少 门？
5、如图所示电路中，开关 a、b、c、d 打开或关闭的 概率均为1/2，且相互独立 求（1）灯亮的概率。
（2）已见灯亮，开关a与b 同时关闭的概率。
1、在区间（-1, 2）上随机取一个数 X，试写出 X 的概率密
度函数，并求出 P( X 0) 的值。
2、设随机变量X 的分布律为
X -2 P 1/3
1、（X，Y）的联合分布律为
已知：P(Y 1 | X 1) 0.5
求:（1）a，b 的值
XY
1
-1 0.1
0 a
1 0.2
（2）X, Y 的边缘分布律
（3） P( X 1 | Y 1)
（4）判断X,Y是否相互独立
2 0.1 0.2 b
2、 已知 ( X, Y ) 服从圆域 x2 + y2 r2 上的均匀分布,
-1
0
1
1/3 1/4 1/12
求：随机变量 X 1 的分布函数
3、设在一次概率考试中，学生的成绩服从N(75,225)， 满分为100分，共有200名学生参加考试。求这次考试中 不及格（小于60分）的人数,以及70到80的人数。
概率论考试题及答案
概率论考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 某校有100名学生，其中60名男生和40名女生。
随机抽取1名学生，该学生是女生的概率是多少？A. 0.4B. 0.6C. 0.8D. 1.0答案：A2. 抛一枚均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的概率相等，那么连续抛掷3次硬币，得到至少两次正面朝上的概率是多少？A. 0.5B. 0.75C. 0.875D. 0.625答案：D3. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取2个球，那么两个球都是红球的概率是多少？A. 1/6B. 1/3C. 1/2D. 2/5答案：D4. 如果事件A的概率是0.3，事件B的概率是0.4，且A和B互斥，那么A和B至少有一个发生的概率是多少？A. 0.7B. 0.5C. 0.6D. 0.4答案：A5. 一个骰子被抛掷，那么得到的点数是偶数的概率是多少？A. 0.5B. 0.33C. 0.25D. 0.16答案：A二、填空题（每题3分，共15分）6. 概率论中的_______定义了事件发生的可能性大小。
答案：概率7. 如果事件A和事件B是独立的，那么P(A∩B) = _______。
答案：P(A) * P(B)8. 随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么X的概率质量函数为：P(X=k) = _______。
答案：(λ^k / k!) * e^(-λ)9. 在连续概率分布中，随机变量X的取值范围是无限的，其概率密度函数f(x)满足________。
答案：∫f(x)dx = 110. 两个事件A和B互斥的充分必要条件是P(A∩B) = _______。
答案：0三、解答题（共25分）11. 一个工厂有3台机器生产同一种零件，每台机器在一小时内正常运转的概率分别为1/2、2/3和3/4。
假设这些机器相互独立，求至少有两台机器在一小时内正常运转的概率。
答案：首先，我们可以计算出每台机器不正常运转的概率，然后找出至少两台机器正常运转的组合情况。
概率论考试题及答案
概率论考试题及答案在学习概率论的过程中，一场考试是检验学生掌握程度的重要方式。
下面将为大家介绍一些概率论考试题及其答案，希望能够帮助大家更好地复习和准备考试。
1. 选择题1.1 在一副标准扑克牌中，抽取一张牌，观察到它是黑桃的情况下，再次从该扑克牌中抽取一张牌，观察该牌是红桃的概率是多少？A. 1/4B. 1/2C. 1/13D. 1/3答案：D. 1/31.2 掷一枚骰子，观察到一个正整数出现的情况下，再次掷骰子，观察到另一个正整数出现的概率是多少？A. 1/12B. 1/6C. 1/36D. 1/18答案：B. 1/62. 计算题2.1 有一个有12个不同数字的骰子，抛出两次。
求两次得到的和是偶数的概率。
答案：一共有6 * 6 = 36 种可能的结果。
其中，和为偶数的情况有：(1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6) 共计18种。
因此，所求概率为18/36 = 1/2。
2.2 一副扑克牌中，黑桃、红桃、梅花、方块各有13张，从中抽取五张牌，求至少有一张黑桃的概率。
答案：总共抽取5张牌，共有C(52,5)种取法。
不抽取黑桃的情况有C(39,5)种取法。
因此，至少有一张黑桃的情况有C(52,5) - C(39,5) 种取法。
所求概率为[C(52,5) - C(39,5)] / C(52,5)。
3. 应用题3.1 有甲、乙两个工人分别制作产品A和产品B，已知甲的合格率为85%，乙的合格率为90%。
如果随机抽查一件产品是合格的，求这件产品是乙制作的概率。
答案：假设事件A为产品合格，事件B为产品由乙制作。
根据题意，可得P(A|B) = 90%，P(A|B') = 85%，P(B) = 1/2，P(B') = 1/2。
概率论数理统计复习测验题
模拟试卷一、单项选择题：(每题2分，共14分)1.同时掷两颗骰子，消失的点数之和为10的概率为( )a 1 n 1 「5 c 7A. -B.—C∙— D.—4 12 12 122,设A,3为相互独立的随机大事，则下列正确的是( )A.P(B | A)=尸(A | B) B, P(B∣ A)=尸(A)C. P(A∖ B) = P(B)D. P(AS) = P(A)P(B)3.一个随机变量的数学期望和方差都是2,那么这个随机变量不行能听从()A.二项分布B.泊松分布C.指数分布D.正态分布4.设X听从正态分布N(2,4),Y听从参数为2的泊松分布，且X与丫相互独立，则D(2X-Y) =.A.14B.16C.18D.205.设x与y是任意两个连续型随机变量，它们的概率密度分别为力和心(χ),则.A.∕1 (x) + f2(x)必为某一随机变量的概率密度B.3(/。
) +力。
))必为某一随机变量的概率密度C./；(工)-力*)必为某一随机变量的概率密度D.力。
)力(幻必为某一随机变量的概率密度6.设X,,X2√-,Xπ是总体X的简洁随机样本，O(X) = ,,记1 n 1 //x=-Yx if s2 =——y(X,.-X)2，则下列正确的是建 /=1 "1 /=1A. S是。
的无偏估量量B. S是。
的极大似然估量量c.S2是，的无偏估量量 D.S与又独立7.假设检验时，当样本容量肯定时,若缩小犯第一类错误的概率,则犯其次类错误的概率( ).A.变小B.变大C.不变D.不确定1O2,在三次独立试验中，大事A消失的概率相等,若已知A至少消失一次的概率等于则27大事A在一次试验中消失的概率为3,若X〜N(l,4), y~N(L3)且X与y独立，则X — y〜4.设x和y是两个相互独立且听从同一分布的连续型随机变量，则P｛X>Y｝=.5.设随机变量X的分布未知，E(X) = μ , D(X) = σ29则采用切比雪夫不等式可估量P(∖X~μ∖< 2。
概率论习题全部
习题一 1习题一1. 用集合的形式写出以下随机试验的样本空间与随机事件A ：〔1〕掷两枚均匀骰子，观察朝上面的点数，事件A 表示“点数之和为7”；〔2〕记录某 总机一分钟内接到的呼唤次数，事件A 表示“一分钟内呼唤次数不超过3次”；〔3〕从一批灯泡中随机抽取一只，测试它的寿命，事件A 表示“寿命在2 000到2 500小时之间”.2. 投掷三枚大小相同的均匀硬币，观察它们出现的面.〔1〕试写出该试验的样本空间；〔2〕试写出以下事件所包含的样本点：A ={至少出现一个正面}，B ={出现一正、二反}，C ={出现不多于一个正面}；〔3〕如记i A ={第i 枚硬币出现正面}〔i =1，2，3〕，试用123,,A A A 表示事件A ，B ，C .3. 袋中有10个球，分别编有号码1～10，从中任取1球，设A ＝{取得球的号码是偶数}，B ＝{取得球的号码是奇数}，C ={取得球的号码小于5}，问以下运算表示什么事件：〔1〕A B ；〔2〕AB ；〔3〕AC ；〔4〕AC ；〔5〕C A ；〔6〕B C ；〔7〕A C -.4. 在区间上任取一数，记112A x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，1342B x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，求以下事件的表达式：〔1〕A B ；〔2〕AB ；〔3〕AB ，〔4〕A B .5. 用事件A ，B ，C 的运算关系式表示以下事件：〔1〕A 出现，B ，C 都不出现；〔2〕A ，B 都出现，C 不出现；〔3〕所有三个事件都出现；〔4〕三个事件中至少有一个出现；〔5〕三个事件都不出现；〔6〕不多于一个事件出现；〔7〕不多于二个事件出现；〔8〕三个事件中至少有二个出现.6. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三个产品，设表示事件“第次抽到废品”，试用的运算表示以下各个事件：〔1〕第一次、第二次中至少有一次抽到废品；〔2〕只有第一次抽到废品；〔3〕三次都抽到废品；〔4〕至少有一次抽到合格品；〔5〕只有两次抽到废品.7. 接连进行三次射击，设={第i 次射击命中}〔i ＝1，2，3〕，试用表示下述事件：〔1〕A ={前两次至少有一次击中目标}；〔2〕B ={三次射击恰好命中两次}；]2,0[i A i i A i A 321,,A A A工程数学 概率统计简明教程〔第二版〕2 〔3〕C ={三次射击至少命中两次}；〔4〕D ={三次射击都未命中}.8. 盒中放有a 个白球b 个黑球，从中有放回地抽取r 次〔每次抽一个，记录其颜色，然后放回盒中，再进行下一次抽取〕.记={第i 次抽到白球}〔i ＝1，2，…，r 〕，试用{}表示下述事件：〔1〕A ={首个白球出现在第k 次}；〔2〕B ={抽到的r 个球同色}，其中1k r ≤≤.*9. 试说明什么情况下，以下事件的关系式成立：〔1〕ABC =A ；〔2〕A B C A =.i A i A习题二 3习题二1. 从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率.2. 一口袋中有5个红球及2个白球.从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球.设每次取球时口袋中各个球被取到的可能性相同.求：〔1〕第一次、第二次都取到红球的概率；〔2〕第一次取到红球、第二次取到白球的概率；〔3〕两次取得的球为红、白各一的概率；〔4〕第二次取到红球的概率.3. 一个口袋中装有6只球，分别编上号码1～6，随机地从这个口袋中取2只球，试求： 〔1〕最小号码是3的概率；〔2〕最大号码是3的概率.4. 一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样.接连取2次，每次随机地取1只，试求以下事件的概率：〔1〕2只都是合格品；〔2〕1只是合格品，一只是不合格品；〔3〕至少有1只是合格品.5. 从某一装配线上生产的产品中选择10件产品来检查.假定选到有缺陷的和无缺陷的产品是等可能发生的，求至少观测到一件有缺陷的产品的概率，结合“实际推断原理”解释得到的上述概率结果.6. 某人去银行取钱，可是他忘记密码的最后一位是哪个数字，他尝试从0～9这10个数字中随机地选一个，求他能在3次尝试之中解开密码的概率.7. 掷两颗骰子，求以下事件的概率：〔1〕点数之和为7；〔2〕点数之和不超过5；〔3〕点数之和为偶数.8. 把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8人，试求这三名学生住在不同宿舍的概率.9. 总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位秘书，求以下事件的概率： 〔1〕事件A ={其中恰有一位精通英语}；〔2〕事件B ={其中恰有两位精通英语}；〔3〕事件C ={其中有人精通英语}.10. 甲袋中有3只白球，7只红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球，现从两个袋中各取一球，求两球颜色相同的概率.11. 有一轮盘游戏，是在一个划分为10等份弧长的圆轮上旋转一个球，这些弧上依次标着0～9十个数字.球停止在那段弧对应的数字就是一轮游戏的结果.数字按下面的方式涂色：0看作非奇非偶涂为绿色，奇数涂为红色，偶数涂为黑色.事件A ={结果为奇数}，事件B ={结果为涂黑色的数}.求以下事件的概率：〔1〕)(A P ；〔2〕)(B P ；〔3〕()P A B ；〔4〕)(AB P .12. 设一质点一定落在xOy 平面内由x 轴，y 轴及直线x +y =1所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，即落在这三角形内任何区域上的可能性与这区域的面积成正比，计算这质点落在直线x =的左边的概率. 13. 甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6 h ，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率.31工程数学 概率统计简明教程〔第二版〕4 14. 已知B A ⊂，4.0)(=A P ，6.0)(=B P ，求：〔1〕)(),(B P A P ；〔2〕()P A B ；〔3〕)(AB P ；〔4〕)(),(B A P A B P ；〔5〕)(B A P .15. 设A ，B 是两个事件，已知P 〔A 〕，P 〔B 〕，()P A B ，试求：P 〔A -B 〕与P 〔B -A 〕.*16. 盒中装有标号为1~r 的r 个球，今随机地抽取n 个，记录其标号后放回盒中；然后再进行第二次抽取，但此时抽取m 个，同样记录其标号，这样得到球的标号记录的两个样本，求这两个样本中恰有k 个标号相同的概率.习题三 5习题三1. 已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P 及条件概率8.0)(=A B P ，试求)(AB P 及)(B A P .2. 一批零件共100个，次品率为10％，每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取得正品的概率.3. 某人有一笔资金，他投入基金的概率为，购买股票的概率为，两项投资都做的概率为. 〔1〕已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？〔2〕已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？4. 罐中有m 个白球，n 个黑球，从中随机抽取一个，假设不是白球则放回盒中，再随机抽取下一个；假设是白球，则不放回，直接进行第二次抽取，求第二次取得黑球的概率.5. 一个食品处理机制造商分析了很多消费者的投诉，发现他们属于以以下出的6种类型:如果收到一个消费者的投诉，已知投诉发生在保质期内，求投诉的原因是产品外观的概率.6. 给定5.0)(=A P ，3.0)(=B P ，15.0)(=AB P ，验证下面四个等式：)()(A P B A P =；)()(A P B A P =；)()(B P A B P =；)()(B P A B P =.7. 已知甲袋中装有6只红球，4只白球，乙袋中装有8只红球，6只白球.求以下事件的概率：〔1〕随机地取一只袋，再从该袋中随机地取一只球，该球是红球；〔2〕合并两只口袋，从中随机地取1只球，该球是红球.8. 设某一工厂有A ，B ，C 三间车间，它们生产同一种螺钉，每个车间的产量，分别占该厂生产螺钉总产量的25％、35％、40％，每个车间成品中次货的螺钉占该车间出产量的百分比分别为5％、4％、2％.如果从全厂总产品中抽取一件产品，〔1〕求抽取的产品是次品的概率；〔2〕已知得到的是次品，求它依次是车间A ，B ，C 生产的概率.9. 某次大型体育运动会有1 000名运发动参加，其中有100人服用了违禁药品.在使用者中，假定有90人的药物检查呈阳性，而在未使用者中也有5人检验结果显示阳性.如果一个运发动的药物检查结果是阳性，求这名运发动确实使用违禁药品的概率. 10. 发报台分别以概率和发出信号“*”和“—”.由于通信系统受到干扰，当发出信号“*”时，收报台未必收到信号“*”，而是分别以概率和收到信号“*”和“—”.同样，当发出信号“—”时，收报台分别以概率和收到信号“—”和“*”.求：〔1〕收报台收到信号“*”的概率；〔2〕当收报台收到信号“*”时，发报台确是发出信号“*”的概率.*11. 甲袋中有4个白球6个黑球，乙袋中有4个白球2个黑球.先从甲袋中任取2球投入乙袋，然后再从乙袋中任取2球，求从乙袋中取到的2个都是黑球的概率.12. 设事件B A ,相互独立.证明：B A ,相互独立，B A ,相互独立.13. 设事件A 与B 相互独立，且p A P =)(，q B P =)(.求以下事件的概率：工程数学 概率统计简明教程〔第二版〕 6 (),(),().P A B P A B P A B 14. 已知事件A 与B 相互独立，且91)(=B A P ，)()(B A P B A P =.求：)(),(B P A P . 15. 三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为，，，求此密码被译出的概率.16. 设六个相同的元件，如以下图所示那样安置在线路中.设每个元件不通达的概率为p ，求这个装置通达的概率.假定各个元件通达、不通达是相互独立的.*17. 〔配对问题〕房间中有n 个编号为1~n 的座位.今有n 个人〔每人持有编号为1~n 的票〕随机入座，求至少有一人持有的票的编号与座位号一致的概率.〔提示：使用概率的性质5的推广，即对任意n 个事件12,,,n A A A ，有 1121111111()()(1)()(1)().)k k n nk k i j k i j n k k n i i n i i i n P A P A P A A P A A P A A =≤<≤=--≤<<<≤⎛⎫=-+⎪⎝⎭+-++-∑∑∑ *18. 〔波利亚〔Pólya 〕罐子模型〕罐中有a 个白球，b 个黑球，每次从罐中随机抽取一球，观察其颜色后，连同附加的c 个同色球一起放回罐中，再进行下一次抽取.试用数学归纳法证明：第k 次取得白球的概率为a a b+〔1k ≥为整数〕.〔提示：记{}k A k =第次取得白球，使用全概率公式1111()=()()+()()k k k P A P A P A A P A P A A 及归纳假设.〕 19. 甲乙两人各自独立地投掷一枚均匀硬币n 次，试求：两人掷出的正面次数相等的概率.20. 假设一部机器在一天内发生故障的概率为，机器发生故障时全天停止工作.假设一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生3次故障的概率.21. 灯泡耐用时间在1 000 h 以上的概率为，求：三个灯泡在使用1 000 h 以后最多只有一个坏了的概率.22. 某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T ，各电梯正在运行的概率均为，求：〔1〕在此时刻所有电梯都在运行的概率；〔2〕在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率；〔3〕在此时刻至少有1台电梯在运行的概率.23. 设在三次独立试验中，事件A 在每次试验中出现的概率相同.假设已知A 至少出现一次的概率等于2719，求事件A 在每次试验中出现的概率)(A P . *24. 设双胞胎中为两个男孩或两个女孩的概率分别为a 及b .今已知双胞胎中一个是男孩，求另一个也是男孩的概率.25. 两射手轮流打靶，谁先进行第一次射击是等可能的.假设他们第一次的命中率分别为及，而以后每次射击的命中率相应递增，如在第3次射击首次中靶，求是第一名射手首先进习题三7行第一次射击的概率.26. 袋中有2n-1个白球和2n个黑球，今随机〔不放回〕抽取n个，发现它们是同色的，求同为黑色的概率.*27. 3个外形相同但可区分的球随机落入编号1~4的四个盒子，〔1〕求恰有两空盒的概率；〔2〕已知恰有两空盒，求有球的盒子的最小编号为2的概率.工程数学 概率统计简明教程〔第二版〕8 习题四1. 以下给出的数列，哪些可作为随机变量的分布律，并说明理由.〔1〕15i i p =(0,1,2,3,4,5)i =； 〔2〕6)5(2i p i -=(0,1,2,3)i =； 〔3〕251+=i p i (1,2,3,4,5)i =. 2. 试确定常数C ，使i C i X P 2)(== (0,1,2,3,4)i =成为某个随机变量X 的分布律，并求：〔1〕(2)P X >；〔2〕1522P X ⎛⎫<< ⎪⎝⎭；〔3〕(3)F 〔其中F 〔·〕为X 的分布函数〕. 3. 一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的数字.从这口袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X 的分布律与分布函数.4. 一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4，5.从中随机地取3个，以X 表示取出的3个球中最大号码，写出X 的分布律和分布函数.5. 在相同条件下独立地进行5次射击，每次射击时击中目标的概率为，求击中目标的次数X 的分布律.6. 从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件一件地抽取产品.设每次抽取时，所面对的各件产品被抽到的可能性相等.在以下三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数X 的分布律：〔1〕每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品；〔2〕每次取出的产品都不放回这批产品中；〔3〕每次取出一件产品后总以一件正品放回这批产品中.7. 设随机变量X ),6(~p B ，已知)5()1(===X P X P ，求p 与)2(=X P 的值.8. 一张试卷印有十道题目，每个题目都为四个选项的选择题，四个选项中只有一项是正确的.假设某位学生在做每道题时都是随机地选择，求该位学生未能答对一道题的概率以及答对9道以上〔包括9道〕题的概率.9． 市120接听中心在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为t 的泊松分布，而与时间间隔的起点无关〔时间以小时计算〕：求：〔1〕某天中午12点至下午3点没有收到紧急呼救的概率；〔2〕某天中午12点至下午5点至少收到1次紧急呼救的概率.10． 某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量X 服从参数4=λ的泊松分布.问在月初进货时，要进多少才能以99％的概率充分满足顾客的需要？11. 有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为 1.在某天该段时间内有1 000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率.12. 设鸡下蛋数X 服从参数为λ的泊松分布，但由于鸡舍是封闭的，我们只能观察到从鸡舍输出的鸡蛋.记Y 为观察到的鸡蛋数，即Y 的分布与给定>0X 的条件下X 的分布相同，今求Y 的分布律.习题四 9 〔提示：()(0),1,2,.P Y k P X k X k ===>=对于〕13. 袋中有n 把钥匙，其中只有一把能把门打开，每次抽取一把钥匙去试着开门.试在：〔1〕有放回抽取；〔2〕不放回抽取两种情况下，求首次打开门时试用钥匙次数的分布律.14. 袋中有a 个白球、b 个黑球，有放回地随机抽取，每次取1个，直到取到白球停止抽取，X 为抽取次数，求()P X n ≥.15. 据统计，某高校在2010年上海世博会上的学生志愿者有6 000名，其中女生3 500名.现从中随机抽取100名学生前往各世博地铁站作引导员，求这些学生中女生数X 的分布律.16. 设随机变量X 的密度函数为2,()0,x f x ⎧=⎨⎩0,x A <<其他,试求：〔1〕常数A ;〔2〕)5.00(<<X P . 17． 设随机变量X 的密度函数为()e x f x A -=()x -∞<<+∞，求：〔1〕系数A ；〔2〕)10(<<X P ；〔3〕X 的分布函数.18． 证明：函数22e ,0,()0,0,xc x x f x c x -⎧⎪≥=⎨⎪<⎩〔c 为正的常数〕可作为一个密度函数.19. 经常往来于某两地的火车晚点的时间X 〔单位：min 〕是一个连续型随机变量，其密度函数为23(25),55,()5000,x x f x ⎧--<<⎪=⎨⎪⎩其他. X 为负值表示火车早到了.求火车至少晚点2 min 的概率.20. 设随机变量X 的分布函数为0()1(1)e x F x x -⎧=⎨-+⎩,0,,0,x x ≤>求X 的密度函数，并计算)1(≤X P 和)2(>X P .21. 设随机变量X 在(1,6)上服从均匀分布，求方程012=++Xt t 有实根的概率.22. 设随机变量X 在)1,0(上服从均匀分布，证明：对于0,0,1a b a b ≥≥+≤，()P a X b b a ≤≤=-，并解释这个结果.23. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X 〔单位：min 〕是一随机变量，它服从51=λ的指数分布，其密度函数为51e ()50x f x -⎧⎪=⎨⎪⎩,0,,x >其它.某顾客在窗口等待服务，假设超过10 min ，工程数学 概率统计简明教程〔第二版〕10 他就离开.〔1〕设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率；〔2〕设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到服务而离开的概率.24. 以X 表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间〔单位：min 〕，X 的分布函数是0.21e ,0,()0,x x F x -⎧->=⎨⎩其他. 求：〔1〕X 的密度函数；〔2〕P 〔至多等待2 min 〕；〔3〕P 〔至少等待4 min 〕；〔4〕P 〔等待2 min 至4 min 之间〕；〔5〕P 〔等待至多2 min 或至少4 min 〕.25. 设随机变量X 的分布函数为()arctan ()F x A B x x =+-∞<<+∞，求：〔1〕常数A ，B ；〔2〕(1)P X <；〔3〕随机变量X 的密度函数.26. 设随机变量X 服从)1,0(N ，借助于标准正态分布的分布函数表计算：〔1〕)2.2(<X P ;〔2〕)76.1(>X P ;〔3〕)78.0(-<X P ;〔4〕)55.1(<X P ;〔5〕)5.2(>X P ;〔6〕确定a ，使得99.0)(=<a X P .27. 设随机变量X 服从)16,1(-N ，借助于标准正态分布的分布函数表计算：〔1〕)44.2(<X P ;〔2〕)5.1(->X P ;〔3〕)8.2(-<X P ;〔4〕)4(<X P ;〔5〕)25(<<-X P ;〔6〕)11(>-X P ;〔7〕确定a ，使得)()(a X P a X P <=>.28. 设随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，且二次方程240t t X ++=无实根的概率为12，求μ的值. 29. 某厂生产的滚珠直径X 服从正态分布)01.0,05.2(N ，合格品的规格规定直径为2.02±，求滚珠的合格率.30. 某人上班路上所需的时间)100,30(~N X 〔单位：min 〕，已知上班时间是8：30.他每天7：50分出门，求:〔1〕某天迟到的概率；〔2〕一周〔以5天计〕最多迟到一次的概率.习题五11习题五1. 二维随机变量),(Y X 只能取以下数组中的值：〔0，0〕，〔-1，1〕，11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，〔2，0〕，且取这些组值的概率依次为125,121,31,61.求这二维随机变量的分布律，并写出关于X 及关于Y 的边缘分布律.2. 一口袋中有四个球，它们依次标有数字1，2，2，3.从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球.设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同.以Y X ,分别记第一、二次取得的球上标有的数字，求),(Y X 的分布律及)(Y X P =.*3. 从3名数据处理经理、2名高级系统分析师和2名质量控制工程师中随机挑选4人组成一个委员会，研究某项目的可行性.设X 表示从委员会选出来的数据处理人数，Y 表示选出来的高级系统分析师的人数，求：〔1〕X 与Y 的联合分布律；〔2〕()P X Y ≥.*4. 盒中有4个红球4个黑球，不放回抽取4次，每次取1个，X ={前2次抽中红球数}，Y ={4次共抽中红球数}，求〔1〕二维随机变量),(Y X 的联合分布律：〔2〕给定1X =，Y 的条件分布律.5. 箱子中装有10件产品，其中2件是次品，每次从箱子中任取一件产品，共取2次.定义随机变量Y X ,如下：⎩⎨⎧=10X ,,若第一次取出正品,若第一次取出次品,⎩⎨⎧=10Y ,,若第二次取出正品,若第二次取出次品,分别就下面两种情况〔1〕放回抽样，〔2〕不放回抽样.求：〔1〕二维随机变量),(Y X 的联合分布律; 〔2〕关于X 及关于Y 的边缘分布律;〔3〕X 与Y 是否独立，为什么？6. 设二维随机变量),(Y X的联合密度函数为01,01,(,)0,x y f x y <<<<=⎩其他.求：〔1〕关于X 及关于Y 的边缘密度函数；〔2〕110,022P X Y ⎛⎫≤≤≤≤ ⎪⎝⎭. 7. 设二维随机变量),(Y X 服从在区域D 上的均匀分布，其中区域D 为x 轴，y 轴及直线y =2x +1围成的三角形区域.求：〔1〕),(Y X 的联合密度函数；〔2〕110,044P X Y ⎛⎫-<<<< ⎪⎝⎭；〔3〕关于X 及关于Y 的边缘密度函数；〔4〕X 与Y 是否独立，为什么？8. 设二维随机变量),(Y X 服从在区域D 上的均匀分布，其中D 为由直线x +y =1，x +y =-工程数学 概率统计简明教程〔第二版〕121，x -y =1，x -y =-1围成的区域.求：〔1〕关于X 及关于Y 的边缘密度函数；〔2〕()P X Y ≤；〔3〕X 与Y 是否独立，为什么？9. 设随机变量X ，Y 是相互独立且分别具有以下分布律：写出表示),(Y X 的联合分布律.10． 设进入邮局的人数服从参数为λ的泊松分布，每一个进入邮局的人是男性的概率为p 〔0<p <1〕，X 为进入邮局的男性人数，Y 为女性人数，求:〔1〕关于X 及关于Y 的边缘分布律；〔2〕X 与Y 是否独立，为什么？11. 设X 与Y 是相互独立的随机变量，X 服从[0,0.2]上的均匀分布，Y 服从参数为5的指数分布，求：),(Y X 的联合密度函数及)(Y X P ≥.12. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为(34)e (,)0x y k f x y -+⎧=⎨⎩,0,0,x y >>其他,求：〔1〕系数k ;〔2〕)20,10(≤≤≤≤Y X P ;〔3〕证明X 与Y 相互独立.13. 已知二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧-=0)1(),(y x k y x f ,01,0,x y x <<<<其他,，〔1〕求常数k ;〔2〕分别求关于X 及关于Y 的边缘密度函数；〔3〕X 与Y 是否独立？为什么.14. 设随机变量X 与Y 的联合分布律为：且53)01(===X Y P ，求：〔1〕常数a ，b 的值；〔2〕当a ，b 取〔1〕中的值时，X 与Y 是否独立，为什么？*15. 对于第2题中的二维随机变量),(Y X 的分布，求当2=Y 时X 的条件分布律.习题五13*16. 对于第7题中的二维随机变量),(Y X 的分布，求：〔1〕1110442P X Y ⎛⎫-<<<< ⎪⎝⎭；〔2〕当102X x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭时Y 的条件密度函数()Y X f y x . *17. 设二维连续型随机变量),(Y X ，证明：对任何x ，有()()()d ,Y P X x P X x Y y f y y +∞-∞≤=≤=⎰其中()Y f 为Y 的边缘密度函数.工程数学 概率统计简明教程〔第二版〕14习题六1. 设随机变量的分布律为求出:〔1〕2+X ;〔2〕1+-X ;〔3〕2X 的分布律.2. 设随机变量服从参数1=λ的泊松分布，记随机变量⎩⎨⎧=10Y ,11.X X ≤>若,若试求随机变量Y 的分布律.3. 设随机变量的分布密度为⎩⎨⎧=02)(x x f ,01,,x <<其他,求出以下随机变量的密度函数：〔1〕X 2；〔2〕1+-X ；〔3〕2X .4. 对圆片直径进行测量.测量值服从上的均匀分布，求圆片面积的密度函数.5. 设随机变量服从正态分布），（10N ，试求随机变量函数2Y X =的密度函数)(y f Y .6. 设随机变量服从参数1=λ的指数分布，求随机变量函数e X Y ＝的密度函数)(y f Y .7. 设随机变量服从，证明：服从，其中为两个常数且.8. 设随机变量在区间]2,1[-上服从均匀分布，随机变量⎪⎩⎪⎨⎧-=101Y 0,0,0.X X X >=<，若，若，若试求随机变量函数Y 的分布律.9. 设二维随机变量的分布律:X X X X )6,5(Y X X X )1,0(N a X +σ),(2σa N σ,a 0>σX ),(Y X习题六15求以下随机变量的分布律:〔1〕;〔2〕;〔3〕;〔4〕. 10. 设随机变量,相互独立，且11,4XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,4Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 〔1〕记随机变量，求的分布律； 〔2〕记随机变量，求的分布律.从而证实：即使，服从同样的分布，与的分布并不一定相同.*11. 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，给定X k =，Y 的条件分布为参数为k ，p 的二项分布〔0<p <1，k 为非负整数〕.求:〔1〕Y 的分布律；〔2〕X -Y 的分布律；〔3〕证明：Y 与X -Y 相互独立. 〔提示：()()(),0,1,.k yP Y y P Y y X k P X k y +∞=======∑〕12. 设二维随机变量X ，Y 的联合分布律为:求:〔1〕max(,)U X Y =的分布律； 〔2〕),min(Y X V =的分布律； 〔3〕(,)U V 的联合分布律.13. 设二维随机变量()Y X ,服从在Ｄ上的均匀分布，其中Ｄ为直线0,0==y x ，2,2==y x 所围成的区域，求X Y -的分布函数及密度函数.*14. 设随机变量X ，Y 相互独立，且有相同的分布(0,1)N ，U X Y =-，V X Y =-，求:〔1〕U 的密度函数；〔2〕V 的密度函数.15. 设二维随机变量,X Y 的分布密度为),(y x f ，用函数f 表达随机变量Y X +的密度函数.16. 设随机变量2~(,)X N a σ，2~(,)Y N b τ，且X ，Y 相互独立，Z X Y =+，求Z X x =的条件分布密度函数.17. 用于电脑接线柱上的保险丝寿命服从参数2.0=λ的指数分布.每个接线柱要求两个这样的保险丝，这两个保险丝有独立的寿命X 与Y .〔1〕其中一个充当备用件，仅当第一个保险丝失效时投入使用.求总的有效寿命Z ＝X +Y 的密度函数.〔2〕假设这两个保险丝同时Y X +Y X -X 2XY X Y Y X Z +=Z X U 2=U X Y Y X +X 2工程数学 概率统计简明教程〔第二版〕16独立使用，则求有效寿命max(,)U X Y =的密度函数.18. 设随机变量X ，Y 相互独立，且都服从区间〔0，1〕上的均匀分布，记Z 是以X ，Y 为边长的矩形的面积，求Z 的密度函数.*19. 设随机变量X ，Y 相互独立，且都服从区间〔0，1〕上的均匀分布，求XZ Y=的密度函数.〔提示：使用1()()()()d ()d Z Y F z P Z z P Z z Y y f y y P X yz y =≤=≤==≤⎰⎰，其中用到X 与Y 的独立性.〕习题七17习题七1. 设随机变量的分布律为求：〔1〕()E X ;〔2〕)1(+-X E ;〔3〕)(2X E ;〔4〕()D X .2. 设随机变量服从参数为λ的泊松分布〔0>λ〕，且已知((2)(3))2E X X --=，求λ的值.3. 设表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为，试求2X 的数学期望2()E X .4. 国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X 是一个随机变量.它在[2 000，4 000]〔单位：吨〕上服从均匀分布.假设每售出一吨，可得外汇3万美元，假设销售不出而积压，则每吨需保养费1万美元.问应组织多少货源，才能使平均收益最大？5. 一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率相应为，，.假设各部件的状态相互独立，以表示同时需要调整的部件数，试求的数学期望()E X 和方差()D X .6. 设随机变量X 有分布律:1()(1,2,),k k p P X k pq k -====其中01,1p q p <<=-，称X 服从具有参数p 的几何分布，求()E X 和()D X .〔提示：由幂级数逐项求导的性质可知211011k k k k kq q q ∞∞-=='⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑ ,21(1)k k k k q∞-=-=∑3012)11k k q q q q ∞=''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 7. 设随机变量的密度函数为1()e 2x f x -=，求:〔1〕()E X ;〔2〕)(2X E 的值.8. 某商店经销商品的利润率的密度函数为2(1)0,x -⎧=⎨⎩,01,x <<其他,求()E X ，()D X .9. 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，求1(1)E X -+.X X X X X X X )(x f工程数学 概率统计简明教程〔第二版〕1810. 设随机变量X 服从参数为p 的几何分布，0M >为整数，max(,)Y X M =，求()E Y .*11. 设随机变量X 有分布律：(),0,1,2,,k M N M k n k p P X k k n M N n -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭====∧⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中min(,)n M n M ∧=.12(1):.12(1)n n n n n n m m m m m m ⎛--⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭提示使用*12. 将已写好n 封信的信纸随机地装入已写好的n 个收信人的对应地址的信封，假设有一封信的信纸的收信人与信封一致时，称之为有一个配对.今X 为n 封已随机装好的信的配对数，求(),()E X D X .111111,:(1,2,,),,(),()0,cov(,),()=()2cov(,).ni i i i j i n n ni j i j i=1i j j i X i n X X E X E X X X X D X D X X X =-==+⎛⎧=== ⎨ ⎩⎝⎫+⎪⎭∑∑∑∑第封信配对,提示记有先求其他及使用公式13. 设随机变量的概率密度为1e ,0,()0,0,x x f x x -⎧>=⎨≤⎩求()E X ，)2(X E ，2(e )X E X -+，()D X .14. 设随机向量的联合分布律为:求,(),(),(2),(3),(),(),cov(,),.X Y E X E Y E X Y E XY D X D Y X Y ρ-15. 盒中有3个白球和2个黑球，从中随机抽取2个，X ，Y 分别是抽到的2个球中的白球数和黑球数，求X 与Y 之间的相关系数Y X ,ρ.16. 设随机变量相互独立，它们的密度函数分别为22e ()0x X f x -⎧=⎨⎩,0,,0,x x >≤44e ()0y Y f y -⎧=⎨⎩,0,,0,y y >≤求)(Y X D +.*17. 设随机变量1,,n X X 独立，具有公共的〔0，1〕上的均匀分布，令1min ,i i nY X ≤≤=求(),()E Y D Y .X ),(Y X Y X ,习题七19*18. 设随机变量X 有密度函数1e ,0,()()0,xx x f x ααλλα--⎧>⎪=Γ⎨⎪⎩其他λα>>（0，0为常数），则称X 服从具有参数αλ（，）的伽玛分布，记为~X αλΓ（，），其中10()e d y y y αα∞--Γ⎰=.有性质：对任意实数x ，有(1)()x x x Γ+=Γ，特别对正整数n 有(1)!n n Γ+= .今设1~(,)Y αλΓ，2~(,)Z αλΓ，且Y 与Z 相互独立，ZW Y=，求()E W 1:()().Z E W E E Z E Y Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭提示使用独立性,有 *19. 设随机变量X 服从参数为〔a ，b 〕的贝搭分布，即有密度11()(1),01,()()()0,a b a b x x x a b f x --Γ+⎧-<<⎪ΓΓ=⎨⎪⎩其他,求(),()E X D X .[提示：已知贝搭函数1110:(,)(1)d ,.t t t αβαββαββαβαβ--⎛⎫ΓΓ=- ⎪Γ⎝⎭⎰()()提示已知贝搭函数有关系式(,)=(+) 20. 验证：当),(Y X 为二维连续型随机变量时，按公式()(,)d d E X xf x y y x +∞+∞-∞-∞=⎰⎰及按公式()()d E X xf x x +∞-∞=⎰算得的()E X 值相等.这里，),(y x f ,)(x f 依次表示X Y X ),,(的分布密度，即证明：()(,)d d E X xf x y y x +∞+∞-∞-∞=⎰⎰()d xf x x +∞-∞=⎰21. 设二维随机变量服从在A 上的均匀分布，其中A 为x 轴，y 轴及直线x +y +1=0所围成的区域，求：〔1〕()E X ;〔2〕)23(Y X E +-;〔3〕)(XY E 的值.22. 设随机变量的联合密度函数为212,01,(,)0,y y x f x y ⎧≤≤≤=⎨⎩其他.求()E X ，()E Y ， ()E XY ，22()E X Y +，()D X ，()D Y .23. 设随机变量相互独立，且()()1E X E Y ==，()2D X =，()3D Y =.求：〔1〕22(),()E X E Y ；〔2〕)(XY D .24. 袋中有2n个外形完全相同的球，其中n k ⎛⎫⎪⎝⎭个标有数字k 〔k =0，1，…，n 〕，从中不放回抽取m 次〔每次取1个〕，以X 表示取到的m 个球上的数字之和，求E 〔X 〕.),(Y X ),(Y X Y X ,。
概率论
一、单元测试题1．选择题：（1）掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3”的概率是（）（A）；（B）；（C）；（D）（2）设则下列正确的为（）（3）设事件与互斥，且，则下列结论正确的是（）（4）设，则下列结论正确的是（）2．填空题：（1）若，则。
（2）某射手在三次射击中至少命中一次的概率为0.875，则这射手在一次射击中命中的概率为。
(3) 设为两相互独立的事件，，则。
（4）已知，，则。
（5）将数字写在5张卡片，任意取出三张排列成三位数，这个数是奇数的概率。
（6）假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中随意取出一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为。
的概率进入每一房间，而且每3．设有n个房间，分给n个人，每个人都以1/n间房间里的人数没有限制，试求不出现空房的概率。
4．设某种动物由出生而活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，问现年龄为20岁的这种动物活到25岁的概率为多少？5．在空战训练中甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为0.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率是0.3；若甲机未被击落，则再进攻乙机，击落乙机的概率是0.4，求在这几个回合中：（1）甲机被击落的概率；（2）乙机被击落的概率6．轰炸机要完成任务，必须是驾驶员找到目标，同时投弹员投中了目标。
设驾驶员甲和乙找到目标的概率分别为0.9和0.8；投弹员丙和丁在驾驶员找到目标的情况下，投中目标的概率分别为0.7和0.6。
现在要装备两架轰炸机，问甲、乙、丙、丁应如何两两配合，才能使完成任务的概率最大？7．玻璃杯成箱出售，每箱内有20只，假设各箱含有0，1，2只次品的概率分别为0.8，0.1，0.1。
一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，随意取一箱，任取4只察看，如有次品则退货；否则买下。
试求 1）买下的概率；（2）在顾客买下的一箱中恰有2只次品的概率；（3）若退货，在所退的一箱中只有1只次品的概率；（4）在顾客买下的一箱中确实没有次品的概率。
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第一章测试题一、填空题()()11,P(AB)0,(AC)P(BC ,1.)416P A P P B P C ======则事件A,B,C 全不发生的概已知（）率为（）2.,(A)0.5,(B)0.6P(B|A)0.8A B P P B ===设事件满足，，则P （A ）=()3.P =p =q =∅已知（A ），P （B ）且AB ，则A 与B 恰有一个发生的概率为（）4.====A B P 设事件，满足（A ）0.4，P （B ）0.3，P （A B ）0.6，则P （AB ）（）5.r r ≤设有（3<r 365）个人，并设每人的生日在一年365天中的每一天的可能性为均等性，则此个人中恰有3个人生日相同（其他人的生日各不相同）的概率为（）6.103张奖券中含有张中奖的奖券，现有三人各买1张，则恰有一人中奖的概率为（）7.n n<N N 将个小球随机放到（）个盒子中去，则某指定盒子中至多有1球的概率是（）8.48081一袋中有两个黑球和若干个白球，现有放回地摸球次，若至少摸到一次白球的概率为，则袋中白球数是（）9.a b k k+袋中有个白球，个黑球，现从中一次取球，则第次和第1次取得不同颜色球的概率是（）111110.,,,5436A B C D 四人独立破译一份密码，已知每人能破译的概率分别为，，，，则密码最终能破译的概率为（）11.若在区间（0,1）内任取两个数，则事件“两数之和小于1.2”的概率为（）。
12.p n A A 设在一次试验中事件发生的概率为，现重复进行次独立试验，则事件至多发生一次的概率为（）13.a h l l o o halloo 将，，，，，这六个字母任排一行，则拍成的概率为14.1042设件产品中有件不合格品，从中任取件，已知所取的2件中有1件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为（）15.%%%设一批产品中的一、二、三等品各占60，30，10，先从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为（）二、单项选择题1.,. =-=-==A B A P B 设为随机事件，则下列各式中正确的是（）（AB ）P(A)P （B ） B. P （A B ）P （A ）P （B ）C. P （A ）P （A-B ） D. P （AB ）P(A)+P(B)2.. B.C. A A A 若用事件表示“甲产品畅销，乙产品滞销”，则事件表示（）甲产品滞销，乙产品畅销甲、乙两产品均畅销甲产品滞销 D.甲产品滞销或乙产品畅销3.A. P -=A B A 设，为随机事件，则下列各式中不能恒成立的是（）（A B ）P(A)-P(AB) B. P(AB)=P(B)P(A|B),其中P （B ）>0C. P(A B)=P(A)+P(B) D. P(A)+P()=14.A. P P 1. P =+AB C ≠∅≥≤≤若，则下列各式中错误的是（）（AB ）0 B.（AB ）（A B ）P （A ）P （B ） D.P(A-B)P(A)5.. A,B B. =. = D. P(A-B)=P(A)AB A A B C AB ≠∅∅若，则（）为对立事件6.,A. . B A A B P C ⊂若则（）（A ）<P(B) B. P(B-A)>0若不发生则也不发生 D. 若B 发生则A 必发生1117.. P min{P } B. A n {}()nnni i A P Ai Ai P Ai ==≤≠Ω≤≤∑∑下列关于概率的不等式，不正确的是（）（AB ）（A ），P （B ）若，则（A ）<1C. P()P(A1A2A ) D. P 8.今有十张电影票，其中只有两张座号在第一排，现采取抽签方式发放给10名同学，则（）A. 先抽者有更大可能性抽到第一排座票B. 后抽者更可能获得第一排座票C. 各人抽签结果与抽签顺序无关D. 抽签结果受抽签顺序的制约12121212129.10052=≥设件产品中有件不合格产品，今从中依次取件。
设A 表示第一次取得合格品，A 表示第二次取得合格品，则下列叙述中错误的是（）A. P （A ）P （A ） B. P(A A )依赖于抽取方式（放回与不放回）C. P （A ）P （A ） D. P （A A ）不依赖抽取方式10.====A B P ∅，为随机事件，且（AB ）0，则（）A. AB B. AB 未必是不可能事件C. A 与B 对立 D. P （A ）0或P （B ）011.,,0()1 B. . D. A B C P C A B C A B C C AC C AB C<<-设是三个相互独立的事件。
且，则下列给定的四对事件中，可能不独立的是（）A. 与与与与12.. P +-P +-= D. P =A B C A ≤≥当事件与同时发生，事件也随之发生，则（）（C ）P （A ）P （B ）1 B.（C ）P （A ）P （B ）1C. P （C ）P （AB ）（C ）P （A B ）13.0()1,0()1,|+|=P A P B P A B <<<<设且（A B ）P （）1，则（）A. A 与B 不相容 B. A 与B 相容C. A 与B 不独立 D. A 与B 独立14.0()1|+|=== . P =A B P A P B B A D <<∅⊂设，为两个随机事件，，且（A B ）P （A ）1，则（）A. P （AB ）0 B. AB C. （B ）1215.02,(0)/411111111. + B. + C. + D. +424222y ax x a A A πππππ<<->向半圆内任投一点，该点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比，则线段OA 与x 轴的夹角小于的概率为（）三、解答题1.掷两颗骰子，事件A,B,C,D 分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”， “点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”，写出样本空间及事件AB ，A ∪B ，AC ，BC ，A-B-C-D 中的样本点。
2.事件A,B,C 表示某城市居民分别订阅日报，晚报，体育报。
试用A,B,C 表示 以下事件:(1)只订阅日报 （2）只订日报和晚报 （3）只订一种报 （4）正好订两种报 （5）至少订阅一种报 （6）不订阅任何报 （7）至多订阅一种报 （8）三种报纸都订阅 （9）三种报纸不全订阅 3.从0到9十个数字中任取三个不同的数字，求下面事件的概率12={}A ={}A 三个数字中不含0和5，三个数字中不含0或54.从一副去掉王牌的扑克牌（52张）中任取3张，求取出的3张牌中至少有2 张花色相同的概率5.一汽车沿一街道行驶，要经过三个有信号灯的路口，每处信号灯为红、黄、绿，红、绿灯显示时间相等且为黄灯时间的2倍，三处信号相互独立，求此汽车首次遇到红灯前已通过的路口数X 的概率6.有三个箱子，第一箱中有4个黑球1个白球，第二箱中有3个黑球3个白球，第三个箱中有3个黑球5个白球，现随机取一个箱子，再从这个箱中取出一球， 求（1）取到一个白球的概率 （2）当取到一个白球时，它取自第二箱的概率7.在第6题的题设下。
随机取一个箱子，再从这个箱中依次取出两球，求：（1）取到两个白球的概率；（2）取到一个白球一个黑球的概率8.甲乙两人轮流对一个目标射击，命中率分别为0.6和0.5.已知目标被命中3次时即被摧毁。
若甲先开始射击，求：（1）甲第3次射击时摧毁目标的概率； （2）甲至多射击5次独中3枪摧毁目标的概率四、证明题1.事件A,B,C 满足AB ⊂C ，证明P +-（C ）≥P （A ）P （B ）1 2.设0<P(A)<1,证明：事件A 与B 独立的充要条件是P （B|A ）=P （B|A ）第二章自测题一、填空题1.设随机变量X 的概率分布分别为P （X=1）=0.2，P （X=2）=0.3，P （X=3）=0.5，其分布函数F （X ）=（）2．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2}，则P{X>2}的值为（）3.设X 的分布函数F （x ）如下，则X 的概率分布列为0 x<-10.4 -1x<1()0.8 1x<31 x 3F x ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩≤≤≥ 4.设随机变量X 的概率密度为1/3 0x 12/9 3x 6()0 f x ⎧⎪=⎨⎪⎩≤≤≤≤其他，若k 使得P{X ≥k}=2/3,则k 的取值范围为（）5.设X 的密度函数为3x 0x 1()20 f x ⎧⎪=⎨⎪⎩≤≤其他，则P{X>14}为（）6．设随机变量Y 在区间[]1,6上服从均匀分布，则方程2x +x+1=0Y 有实根的概率为（）7.设X~2x 0<x<1()0 f x ⎧=⎨⎩其他，对X 的三次独立重复观察中，事件{X ≤0.5}出现的次数为随机变量Y ，则P{Y=2}=8.设X 的分布函数 0 x<0Asinx 0x ()21 x>2F x ππ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩≤≤，则A=（），P （|X|<6π）=() 9.利用正态分布有关结论，有2-x-22-1x -x+e dx 2π+∞∞=⎰（2）（44）（）10.设X~2N σ（2，）且P{2<X<4}=0.3,则P{X<0}=()11设随机变量X~2N （10，0.02），已知其标准化量分Φ（2.5）布函数=0.9938，则X 落在区间（9,。
95,10.05）内的概率为（）12.设X~U （0，2），则Y=2X 在（0,4）内的概率密度()Y y =f ()13.设随机变量X 的分布列P{X=k}=1n，k=1,2，…n ，则D （X ）=14.已知X 服从参数为λ的泊松分布，且E 【（x-1）（x-2）】=1，则λ=（）15..在100次独立重复试验中，若一次实验的成功率为p ，则使成功次数X 的标准差取得最大值（）时，p 的值是（）16.设随机变量0.10.1 x>0~()0 x 0x e X f x -⎧=⎨⎩≤，则D （2x+1）=（） 17.设X 服从区间[-1,2]上的均匀分布，-1 X<00 X=01 X>0Y ⎧⎪=⎨⎪⎩，则D （Y ）=18.设随机变量X 的概率密度函数2211()xx f x e π-+-=，则E(X)=( ),()D X =19.设随机变量~(0,1)X N ，3Y X =，则E(Y)=20.设X 为随机变量，E （X ）=μ，D （X ）=2σ，则{||4}P X μσ-<≥（） 二、单项选择题1.设X~B （2，p ），Y~B （3，p ），若P{X ≥1}=59，则P{Y ≥1}=（）19118.B. C. D. 279327A2.设X 服从[1,5]上的均匀分布，则（）b-a 3. P{a X b}=B. P{3<X<6}=441. P{0<X<4}=1 D. P{-1<X 3}=2A C ≤≤≤3.设X 服从参数λ的指数分布，则下列叙述中错误的是（）-x 1-e x . =x<0. x>0,P{X>x}=e . s>0,t>0,P{X>s+t|X>s}=P{X>t}D. xA FBC λλλ-⎧⎨⎩≥0（X ）0 对任意的有对任意的有为任意实数4.~X N μ设（，4），则（）-1.~{P 0}=42. P{X-2}=1-(1) D.0X A N C μμμ>Φ（0,1） B.≤≥25.~{|X-|<}A. B. C. D.X N μσσμσ设（，），则随着的增大，P 将（）单调增大单调减少保持不变增减不定2212121212126.~~N p =P{X -4}p =+= B. C. D.1X N P p p p p p p p p μμμμ<>+=设（，4），Y (,5),记≤，（Y ≥5），则（）A. 7.~=={|X|>2}=A. 0.2417B.0.3753C. 0.3830D. 0.8664X N ΦΦ设（1,4），（0.5）0.6915，（1.5）0.9332，则P （）228.~-x-~=b-a-{a x b}=-{|X-|k }=2k -k X N X μσμμσσμμσσμσΦΦΦΦ设（，），则下列叙述中错误的是（）A. （0,1）B. F （X ）（）C.P ≤≤（）（）D.P ≤（）1，（>0）29.~{2<x<4}=0.4,P{x<2}=()A. 0.2 B. 0.3 C. 0.6 D.0.8X N P σ设（3，），且则10.~f x x {X 0}=P{X 0} B.F(x)=1-F(-x) C. P{X 1}=P{X 1} D.f x =f -x X N 若（1,1），记其密度函数为（），分布函数为F （），则A. P ≤≥≤≥（）（） aa11.~f x f x =f -x x a 1a =-f x dx a =-f x dx 2.-a =a -a =a -X C F ⎰⎰设（），且（）（），F （）为X 的分布函数，则对任意实数有A.F(-)1（） B.F(-)（）（）F （） D.F （）2F(）1x x xx x12.f x 1y-31y-3-f -f -22221y+31y+3-f -f -2222X 设随机变量的分布密度函数为（），则Y=-2X+3的密度函数为A.（） B.（）C.（） D.（）13.=min{X,2}A. B.C. D.X 设随机变量服从指数分布，则随机变量Y 的分布函数为连续函数至少有两个间断点为阶梯函数恰好有一个间断点14.8855 B.1- C.1- D.3e 3e 2e 2e某种产品表面上的疵点数服从泊松分布，平均每件上有1个疵点，若规定疵点数不超过1的为一等品，价值10元；疵点数大于1不多于3的为二等品，价值8元；疵点大于3的为废品，则产品的废品率为A. 15.x =7616B. C.9 D.63e 3e接上题，任取一件产品，设其价值为X ，则E （）A. 16.~(,),()=2.4=n=6p=0.4 B.n=6p=0.1C.n=8p=0.3D.n=24p=0.1X B n p E X D 设随机变量且，（X ）1.44，则A.，，，， 217.()=-1()=3[3(2)].18B.9C.30D.36X E X D X E X A +=设随机变量，已知，，则2218..()()[()] B.D(2X+3)=2D(X)C.E(3Y+6)=3E(Y)+6 D.D[E(X)]=0A E X D X E X =+下式中错误的是222219.()().[] 1 B.~(0,1)()().()[()] D.E(X )[E(X)]X E X X E X A D D X D X C E X E X --=下列叙述中正确的是≤≥220.X E X =D X =P{|X-|3}1181A. B. C. D.939911P 1X i iμσμσ≥≤≤≤≥=+设为随机变量，（），（），则满足（ ）、现有三个厂家生产的三台仪器，第i 场的不合格率为（i=1,2,3）,以表示三台仪器中的合格产品数，求恰有2台仪器合格的概率。