全国高中数学联合竞赛一试(模拟)及答案201334
2013年全国高中数学联赛一试模拟卷(共7套)附详细解答
2013年全国高中数学联赛模拟卷(1)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1. 函数1cos sin 1cos sin ++-=x x x x y 的值域是___________2. 设a , b , c 为RT △ACB 的三边长, 点(m , n )在直线ax +by +c =0上. 则m 2+n 2的最小值是___________3. 若N n ∈，且92422--+n n 为正整数，则.________=n4. 掷6次骰子, 令第i 次得到的数为i a , 若存在正整数k 使得61=∑=ki ia的概率mnp =，其中n m ,是互质的正整数. 则n m 76log log -= .5. 已知点P 在曲线y =e x 上，点Q 在曲线y =lnx 上，则PQ 的最小值是_______6. 已知多项式f (x )满足：222(3)2(35)61017()f x x f x x x x x R +++-+=-+∈, 则(2011)f =_________7. 四面体OABC 中, 已知∠AOB =450,∠AOC =∠BOC =300, 则二面角A －OC －B 的平面角α的余弦值是__________ 8. 设向量)cos sin ,cos sin 2(),,3(θθθθβαa a x x +=+=满足对任意R x ∈和θ∈[0, π2],2||≥+βα恒成立. 则实数a 的取值范围是________________.二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．设数列{}n a 满足0a N +∈,211n n n a a a +=+.求证：当1200+≤≤a n 时,n a a n -=0][. (其中[]x 表示不超过x 的最大整数)．10. 过点)3,2(作动直线l 交椭圆1422=+y x 于两个不同的点Q P ,，过Q P ,作椭圆的切线， 两条切线的交点为M ， ⑴ 求点M 的轨迹方程；⑵ 设O 为坐标原点，当四边形POQM 的面积为4时，求直线l 的方程.11. 若a 、b 、c R +∈，且满足22)4()(c b a b a cb a kabc++++≤++，求k 的最大值。
2013年全国高中数学联赛一试(试题word版,有答案)
2013年全国高中数学联合竞赛一试试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.设集合{2,0,1,3}A =，集合2{,2}B x x A x A =-∈-∉.则集合B 中所有元素的和为 __________.2.在平面直角坐标系xOy 中，点,A B 在抛物线24y x =上，满足4OA OB ⋅=-.F 是抛物线的焦点，则OFA OFB S S ∆∆⋅=______________.3.在ABC ∆中，已知sin 10sin sin ,cos 10cos cos A B C A B C ==，则t a n A 的值为_______.4.已知正三棱锥P ABC -的底面边长为1，高为2，则其内切球半径为__________.5.设,a b 为实数，函数()f x ax b =+满足：对任意[0,1]x ∈，有()1f x ≤.则ab 的最大值 为_________.6.从1,2，…，20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为_________.7.若实数,x y 满足42x y x y -=-，则x 的取值范围是____________________.8.已知数列{}n a 共有9项，其中191a a ==，且对每个{1,2,,8}i ∈ ，均有11{2,1,}2i i a a +∈-， 则这样的数列的个数为_________.二、解答题：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9.（本题满分16分）给定正数数列{}n x 满足12,2,3,n n S S n -≥= .这里1n n S x x =++ . 证明：存在常数0C >，使得2, 1,2,nn x C n ≥⋅=10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为2222 1 (0)x y a b a b+=>>，12,A A 分别为椭圆的左、右顶点，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点.P 为椭圆上不同于 12,A A 的任意一点.若平面中两个点,Q R 满足112211,,QA PA QA PA RF PF ⊥⊥⊥，22,RF PF ⊥试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明.11.（本题满分20分）设函数2()f x ax b =+，求所有的正实数对(,)a b ，使得对任意实数 ,x y ，有()()()()f xy f x y f x f y ++≥。
2013年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准
2013年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．1. 设集合{2,0,1,3}A ，集合2{|,2}B x x A x A ．则集合B 中所有元素的和为 ．答案 5−．解 易知{2,0,1,3}B ．当2,3x 时，222,7x ，有22x A ；而当0,1x 时，222,1x ，有22x A ．因此，根据B 的定义可知{2,3}B ． 所以，集合B 中所有元素的和为5−．2. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 在抛物线24y x 上，满足4OA OB ，F 是抛物线的焦点. 则OFA OFB S S ．答案 2．解 点F 坐标为(1,0)．设1122(,),(,)A x y B x y ，则221212,44y y x x ，故21212121214()16OA OB x x y y y y y y ，即2121(8)016y y ，故128y y ． 21212111()2224OFA OFB S S OF y OF y OF y y =（）． 3. 在ABC 中，已知sin 10sin sin ,A B C cos 10cos cos ,A B C 则tan A 的值为 ．答案 11．解 由于sin cos 10(sin sin cos cos )10cos()10cos A A B C B C B C A ，所以sin 11cos A A ，故tan 11A ．4. 已知正三棱锥P ABC 底面边长为1，高为，则其内切球半径为 ．答案解 如图，设球心O 在面ABC 与面ABP 内的射影分别为H 和K ，AB 中点为M ，内切球半径为r ，则P 、K 、M 共线，P 、O 、H 共线，2PHM PKO ，且,OH OK r PO PH OH r ，MH ABPM ， 于是有1sin5OK MH KPO POPM ，解得r． 5. 设,a b 为实数，函数()f x ax b 满足：对任意[0,1]x ，有()1f x . 则ab 的最大值为 ．答案14． 解 易知(1)(0),(0)a f f b f ，则2221111(0)((1)(0))(0)(1)(1)(1)2444ab f f f f f f f ． 当2(0)(1)1f f ，即12a b 时，14ab ．故ab 的最大值为14． 6. 从1,2,,20 中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为 ．答案 232323．解 设12345a a a a a <<<<取自1,2，…，20，若12345,,,,a a a a a 互不相邻，则123451123416a a a a a ≤<−<−<−<−≤，由此知从1,2,,20 中取5个互不相邻的数的选法与从1,2,,16 中取5个不同的数的选法相同，即516C 种．所以，从1,2,,20 中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为5552016165520202321323C C C C C −=−=． 7. 若实数,x y满足x ，则x 的取值范围是 ． 答案 {0}[4,20] ． 解,(,0)a b a b ，此时22()x y x y a b ，且条件中等式化为2242a b a b ，从而,a b 满足方程22(2)(1)5a b (,0)a b ．如图所示，在aOb 平面内，点(,)a b 的轨迹是以(1,2)为,0a b 的部分，即点O 与弧 ACB 的02, ，从而 2204,20x a b ． 8. 已知数列{}n a 共有9项，其中191a a ，且对每个{1,2,,8}i ，均有112,1,2i i a a，则这样的数列的个数为 ． 答案 491． 解 令1(18)i i ia b i a，则对每个符合条件的数列{}n a ，有 88191111i i i i ia ab a a，且12,1,(18)2i b i ． ① 反之，由符合条件①的8项数列{}n b 可唯一确定一个符合题设条件的9项数列{}n a ．记符合条件①的数列{}n b 的个数为N ．显然(18)i b i 中有偶数个12，即2k 个12；继而有2k 个2，84k 个1．当给定k 时，{}n b 的取法有22882C C k kk 种，易见k 的可能值只有0,1,2，所以224486841C C C C 12815701491N ．因此，根据对应原理，符合条件的数列{}n a 的个数为491．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）给定正数数列{}n x 满足12,2,3,n n S S n −≥= ，这里1n n S x x =++ ．证明：存在常数0C >，使得2,1,2,n n x C n ≥⋅=． 解 当2n ≥时，12n n S S −≥等价于11n n x x x −≥++ ． ① …………………4分对常数114C x =，用数学归纳法证明： 2,1,2,n n x C n ≥⋅= ． ②……………………8分1n =时结论显然成立．又2212x x C ≥=⋅．对3n ≥，假设2,1,2,,1kk x C k n ≥⋅=− ，则由①式知()121n n x x x x −≥+++()21122n x C C −≥+⋅++⋅()223122222n n C C −=++++=⋅ ，所以，由数学归纳法知，②式成立．…………………16分10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为22221(0)x y a b a b ，1A 、2A 分别为椭圆的左、右顶点，1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点．若平面中两个点Q 、R 满足11QA PA ，22QA PA ，11RF PF ，22RF PF ，试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明．解 令c ，则1212(,0),(,0),(,0),(,0)A a A a F c F c ．设001122(,),(,),(,)P x y Q x y R x y ，其中22000221,0x y y a b．由1122,QA PA QA PA 可知111010()()0A Q A P x a x a y y，① 221010()()0A Q A P x a x a y y． ②…………………5分将①、②相减，得102()0a x x ，即10x x ，将其代入①，得220100x a y y ，故22010x a y y ，于是22000,x a Q x y ． …………………10分 根据1122,RF PF RF PF ，同理可得22000,x c R x y． …………………15分 因此2222200000x a x c b QR y y y ，由于0(0,]y b ，故QR b （其中等号成立的充分必要条件是0y b ，即点(0,)P b 为 ）． …………………20分 11. （本题满分20分）求所有的正实数对(,)a b ，使得函数2()f x ax b 满足：对任意实数,x y ，有()()()()f xy f x y f x f y ．解 已知条件可转化为：对任意实数,x y ，有22222()(())()()ax y b a x y b ax b ay b ． ①先寻找,a b 所满足的必要条件．在①式中令0y ，得22()()b ax b ax b b ，即对任意实数x ，有2(1)(2)0b ax b b ．由于0a ，故2ax 可取到任意大的正值，因此必有10b ，即01b ． …………………5分在①式中再令y x ，得422()()ax b b ax b ，即对任意实数x ，有2422()2(2)0a a x abx b b ． ②将②的左边记为()g x ．显然20a a （否则，由0a 可知1a ，此时22()2(2)g x bx b b ，其中0b ，故()g x 可取到负值，矛盾），于是 2222222()()()(2)ab ab g x a a x b b a a a a 222()(22)11b b a a x a b a a0 对一切实数x 成立，从而必有20a a ，即01a ． …………………10分进一步，考虑到此时01b a ，再根据(22)01b g a b a，可得22a b ．至此，求得,a b 满足的必要条件如下：01b ，01a ，22a b ． ③…………………15分下面证明，对满足③的任意实数对(,)a b 以及任意实数,x y ，总有①成立，即222222(,)()(1)()2(2)h x y a a x y a b x y axy b b对任意,x y 取非负值．事实上，在③成立时，有2(1)0,0a b a a ，(22)01ba b a，再结合222x y xy ，可得2222(,)()(1)(2)2(2)h x y a a x y a b xy axy b b2222()2(2)a a x y abxy b b22()(22)11b b a a xy a b a a0 ． 综上所述，所求的正实数对(,)a b 全体为{(,)|01,01,22}a b b a a b ． …………………20分。
高中数学联赛的模拟试题及答案
全国高中数学联赛模拟试题第一试一、 选择题：（每小题6分，共36分）1、空间中n （n ≥3）个平面，其中任意三个平面无公垂面．那么，下面四个结论（1） 没有任何两个平面互相平行；（2） 没有任何三个平面相交于一条直线； （3） 平面间的任意两条交线都不平行；（4） 平面间的每一条交线均与n -2个平面相交． 其中，正确的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）42、若函数y =f (x )在[a ,b ]上的一段图像可以近似地看作直线段，则当c ∈(a ,b )时，f (c )的近似值可表示为（A ）()()2b f a f + （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+2b a f （C ）()()()()()a b b f a c a f c b --+-（D ）()()()[]a f b f a b ac a f ----3、设a ＞b ＞c ，a +b +c =1，且a 2+b 2+c 2=1，则（A ）a +b ＞1 （B ）a +b =1 （C ）a +b ＜1 （D ）不能确定，与a 、b 的具体取值有关4、设椭圆12222=+b y a x 的离心率23=e ，已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0P 到椭圆上的点的最远距离是47，则短半轴之长b =（A ）161 （B ）81 （C ）41（D ）215、S ={1,2,…,2003}，A 是S 的三元子集，满足：A 中的所有元素可以组成等差数列．那么，这样的三元子集A 的个数是（A ）32003C （B ）2100221001C C + （C ）2100221001A A + （D ）32003A6、长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，AC 1为体对角线．现以A 为球心，AB 、AD 、AA 1、AC 1为半径作四个同心球，其体积依次为V 1、V 2、V 3、V 4，则有 （A ）V 4＜V 1+V 2+V 3 （B ）V 4=V 1+V 2+V 3 （C ）V 4＞V 1+V 2+V 3（D ）不能确定，与长方体的棱长有关二、 填空题：（每小题9分，共54分）1、已知k ==βαβαcos cos sin sin 33，则k 的取值范围为 ．2、等差数列{a n }的首项a 1=8，且存在惟一的k 使得点(k ,a k )在圆x 2+y 2=102上，则这样的等差数列共有 个．3、在四面体P -ABC 中，P A =PB =a ，PC =AB =BC =CA =b ，且a ＜b ，则b a的取值范围为 ．4、动点A 对应的复数为z =4(cos θ+isin θ)，定点B 对应的复数为2，点C 为线段AB 的中点，过点C 作AB 的垂线交OA 与D ，则D 所在的轨迹方程为 ．5、∑=200313k k被8所除得的余数为 ． 6、圆周上有100个等分点，以这些点为顶点组成的钝角三角形的个数为 ．三、 （20分）已知抛物线y 2=2px (p ＞0)的一条长为l 的弦AB ．求AB 中点M 到y轴的最短距离，并求出此时点M 的坐标．四、 （20分）单位正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，正方形ABCD 的中心为点M ，正方形A 1B 1C 1D 1的中心为点N ，连AN 、B 1M ． （1）求证：AN 、B 1M 为异面直线； （2）求出AN 与B 1M 的夹角．五、 （20分）对正实数a 、b 、c ．求证：c abc b ac b a bc a 888222+++++≥9．第二试一、 （50分）设ABCD 是面积为2的长方形，P 为边CD 上的一点，Q 为△P AB 的内切圆与边AB 的切点．乘积P A ·PB 的值随着长方形ABCD 及点P 的变化而变化，当P A ·PB 取最小值时， （1）证明：AB ≥2BC ； （2）求AQ ·BQ 的值．二、 （50分）给定由正整数组成的数列⎩⎨⎧+===++n n n a a a a a 12212,1（n ≥1）．（1）求证：数列相邻项组成的无穷个整点(a 1,a 2)，(a 3,a 4)，…，(a 2k -1,a 2k )，…均在曲线x 2+xy -y 2+1=0上．（2）若设f (x )=x n +x n -1-a n x -a n -1，g (x )=x 2-x -1，证明：g (x )整除f (x )．三、 （50分）我们称A 1,A 2,…,A n 为集合A 的一个n 分划，如果 （1）A A A A n = 21；（2）∅≠j i A A ，1≤i ＜j ≤n ．求最小正整数m ，使得对A ＝{1,2,…,m }的任意一个13分划A 1,A 2,…,A 13，一定存在某个集合A i (1≤i ≤13)，在A i 中有两个元素a 、b满足b ＜a ≤89b ．参考答案第一试二、填空题：1、⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛--1,2121,1 ； 2、17；3、⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,32； 4、()134122=+-y x ；5、4；6、117600．三、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--≥-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<<2222,2,2,20,8,20,8p pl p l M p l p l p l M p l p l ． 四、（1）证略；（2）32arccos．五、证略．第二试一、（1）证略（提示：用面积法，得P A ·PB 最小值为2，此时∠APB ＝90°）； （2）AQ ·BQ =1．二、证略（提示：用数学归纳法）．三、m =117．。
全国高中数学联合竞赛试题一试
竞赛试卷全国高中数学联合竞赛试题（ B 卷）一试一、填空题（每小题8 分，共 64 分，）1.函数 f (x)x524 3x 的值域是.2.已知函数 y( a cos2 x3) sin x 的最小值为 3 ，则实数a的取值范围是.3.双曲线 x 2y2 1 的右半支与直线x100围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是.4.已知 { a n} 是公差不为0的等差数列， { b n } 是等比数列，其中a1 3,b11, a2b2 ,3a5b3，且存在常数,使得对每一个正整数n都有a n logb n，则.5.函数f ()a2x3 x2(a0,a1) 在区间x [ 1,1]上的最大值为8，则它在这个区间上的x a最小值是.6.两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜，否则轮由另一人投掷 . 先投掷人的获胜概率是.7.正三棱柱 ABC A1B1C1的9条棱长都相等，P 是CC1的中点，二面角B A1 P B1, 则sin.8.方程 x y z2010 满足 x y z 的正整数解（x,y,z）的个数是.二、解答题（本题满分56 分）9.（16分）已知函数 f ( x)ax3bx 2cx d (a0)，当0x 1时，f (x) 1，试求 a 的最大值 .10. （ 20分）已知抛物线 y 26x上的两个动点A( x1 , y1)和B( x2 , y2 ) ，其中x1x2且 x1x2 4 .线段 AB 的垂直平分线与x轴交于点C，求ABC 面积的最大值.11.（ 20 分）证明：方程2x35x 2 0 恰有一个实数根r ，且存在唯一的严格递增正整数数列{ a n } ，使得2r a1r a2r a3.5加试A1.（40 分）如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线 BD 与 AC交于点 N，直线 CD 与 AB 交于点 M ．求证：若OK⊥ MN ，则 A， B， D， C 四点共圆．OB CEKDQPNM2.（ 40分）设 k是给定的正整数， r k1．记 f ( 1( )r ) f ( r ) r ，r2f (l ) (r ) f ( f (l1) (r )), l 2 ．证明：存在正整数m，使得f(m)(r )为一个整数．这里，x 表示不小于实数 x 的最小整数，例如：11，11．23. （ 50 分）给定整数n2，设正实数a1, a2,, a n满足 a k 1, k1, 2,, n ，记A k a1a2ak , k 1, 2, , n ．kn nn 1 ．求证：a k A kk 1k 124. （ 50 分）一种密码锁的密码设置是在正n 边形A1A2A n的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？2010 年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准（ B 卷）说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题 4分为一个档次，第10、11 小题 5 分为一个档次，不要增加其他中间档次。
2013年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)
知 u 2 6 （当且仅当 x y z
30
，等号成立）
3
所以 u 的最大值为 2 6 。 接下来，我们考虑 u 的最小值。不妨设 x y z ，则由 x2 y2 z2 10 得 x 2 10 ，
3
又 u 6 x 2 6 y 2 6 z 2 6 x 2 6 y 2 6 z 2 6 x 2 2 x 2
3
2013B 7、设 a, b 为实数，函数 f x ax b 满足：对任意 x 0,1 ， f x 1，则 ab 的最大值
为．
1
◆答案：
4 ★解析：由题意得 a f (1) f (0) ， b f (0)
所 以 ab f (0) f (1) f (0) f (0) 1 f (1)2 1 f 2 (1) 1 f 2 (1) 1 ， 当 且 仅 当
Байду номын сангаас
MH 3 AB 3 , PM MH 2 PH 2
1
2 5
3
,
6
6
12
6
2013 年全国高中数学联合竞赛试题）（B 卷） 第 1 页 共 7 页
所以 r OK sin KPO MH 1 ,解得 r 2
2 r OP
MP 5
6
2013B 5、在区间 0, 中，方程 sin12x x 的解的个数为
3
3
3
411
法二：由 abc 1 得 a a 3 b 3 c 3 。
2a2
所以
b2
c2
1
a2
a2
a2
2013年全国高中数学联赛A卷一试真题+答案 Word版可编辑
2013年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1. 设集合{}3,1,0,2=A ，集合{}A x A x xB ∉-∈-=22,.则集合B 中所有元素的和为__________.2. 在平面直角坐标系xOy 中，点B A ,在抛物线x y 42=上，满足4-=⋅OB OA ，F 是抛物线的焦点，则=⋅∆∆OFB OFA S S __________.3. 在ABC ∆中，已知C B A sin sin 10sin =，C B A cos cos 10cos =，则A tan 的值为__________.4. 已知正三棱锥ABC P -底面边长为1，高为2，则其内切球半径为 .5. 设b a ,为实数，函数()b ax x f +=满足：对任意[]1,0∈x ，有()1≤x f .则ab 的最大值为________.6. 从20,,2,1 中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为__________.7. 若实数y x ,满足y x y x -=-24，则x 的取值范围是__________.8. 已知数列{}n a 共有9项，其中191==a a ，且对每个{}8,,2,1 ∈i ，均有⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈+21,1,21i i a a ，则这样的数列个数为__________.二、解答题9. 给定正整数列{}n x 满足 ,3,2,21=≥-n S S n n ，这里n n x x x S +++= 21.证明：存在常数0>C ，使得 ,2,1,2=⋅≥n C x nn .10. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为12222=+by a x ()0>>b a ，1A 、2A 分别为椭圆的左、右顶点，1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点.若平面中两个点Q 、R 满足11PA QA ⊥，22PA QA ⊥，11PF RF ⊥，22PF RF ⊥，试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明.11. 求所有的正实数对()b a ,，使得函数()b ax x f +=2满足：对任意实数y x ,，有()()()()y f x f y x f xy f ≥++.答案：1、5- 代元素检验，2-、3-满足条件，故和为5-；2、2 记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121,4y y A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222,4y y B ，故0416212221=++y y y y ，821-=y y ，()0,1F ，24222121==⋅=⋅∆∆y y y OF y OF S S OFB OFA ；3、11 ()10sin 10cos sin sin cos cos cos cos AA CBC B C B A +-=+-=+-=，所以A A cos 11sin =， 11cos sin tan ==AAA ； 4、62 Sr V 31=，其中r 为内切球半径，S 为表面积，根据数据可算出， 12624331=⨯⨯=V ，()32363212134322=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯⨯+=S ，故62=r ； 5、41 一次函数区间端点取最值，故⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤11b a b ，由于121222≤++⇒≤+ab b a b a ，且ab b a 222≥+，故4114≤⇒≤ab ab ，取“=”时，21==b a ； 6、323232 20个数选5个共有520C 种情况，5个数全不相邻共有516C 种情况（插空法），故至少有两个 相邻的概率为3232321520516=-C C ；7、{}[]20,40 由题意0≥≥y x ，令0≥-=y x m ，0≥=y n ，故22n m x +=，等式可化为m n n m 2422=-+，即()()52122=-+-n m ，故n m ,为圆上的点，且0≥m ，0≥n ，再根据几何意义，x 为满足等式的点()n m ,到坐标原点的距离的平方，算出∈x {}[]20,40 ；8、491 由于119892312==⨯⨯⨯a a a a a a a a ，且⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=+21,1,21i i a a ，故每一个比值在选取数值时，选21-的 比值个数为偶数，结合8个比值成绩为1，可知选21-的个数与选2的个数必相同，故整体分为 3类：①全选1，1种选法；②2个21-，2个2，4个1，4202628=⨯C C 种； ③4个21-，4个2，7048=C 种；综上，共有491704201=++种选法，故由491个数列；9、证明：2≥n 时，12-≥n n S S 等价于121-+++≥n n x x x x ， 下面我们对常数141x C =用数学归纳法证明n n C x 2⋅≥； 当1=n 时，24111⨯≥x x 显然成立；2=n 时，2x 211241⨯=≥x x 也成立； 当3≥=k n 时，假设kk C x 2⋅≥成立，有121-+++≥n n x x x x 可得k k x x x x +++≥+ 211()k C C C x 222321⋅++⋅+⋅+≥ ()k C 2222322++++= 12+⋅=k C 成立，故由数学归纳法可得nn C x 2⋅≥成立.10、证明：令22b a c -=，则()0,1a A -，()0,2a A ，()0,1c F -，()0,2c F .设()00,y x P ，()11,y x Q ，()22,y x R ，其中()010220220≠=+y by a x ，由11PA QA ⊥，22PA QA ⊥可知，()()0010111=+++=⋅y y a x a x P A Q A ，()()0010122=+--=⋅y y a x a x P A Q A ，两式相减可得()0201=+x x a ，即01x x -=，反代可解得02201y a x y -=，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--02200,y a x x Q ； 同理可解得⎪⎪⎭⎫⎝⎛--02200,y c x x R ，故02y b QR =，由于(]b y ,00∈，所以b QR ≥. 11、解：由题意，0>a ，0>b ，()()()()b ay b ax b y x a b xy a ++≥++++2222；①取0=x ，不等式化为()()0222≥-+-b b y ab a 恒成立，故100202≤<⇒⎩⎨⎧≥-≥-b b b ab a ； ②取x y -=，不等式化为()()0222242≥-+--b b aby yaa 恒成立，故1002<<⇒>-a a a ，此时，仍需满足()0222222222≥-+--⎪⎭⎫ ⎝⎛---b b a a b a a a ab y a a 恒成立，故022222≥-+--b b a a b a ， 化简得022≤-+b a ；综上，不等式成立可推出022,10,10≤-+<<≤<b a a b ；同时，由不等式可得()()()()()()()()()22222222222bb axy y xab a xy aa bay b ax b y x a b xy a -+++-+-=++-++++，其中xy y x 222≥+，在推出条件下，可得 故(){}22,10,10,≤+≤<<<b a b a b a . ()()()()()()()()()()()02211222222222222≥---+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-++-+-≥++-++++b a a b a b xy a a b b axy xy ab a xy a a bay b ax b y x a b xy a。
全国高中数学联合竞赛试试题及答案
全国高中数学联合竞赛一试一、选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分）1．函数f (x)54x x 2 在 ( ,2) 上的最小值是（ C ）A ． 0 2 xB ． 1C ．2D ． 3[ 解 ]当 x2 时， 2 x 0，因此f (x)1(4 4x x 2 ) 1 (2 x)21 x)2 x2 x(212 x2 ，当且仅当2 x 时上式取等号．而此方程有解x 1(,2)，因此f ( x) 在(,2) 上的最小值为 2．x2{ x x22．设 A[ 2,4) ，B ax 4 0}，若BA ，则实数 a 的取值范围为（ D ）A ． [1,2)B ． [1,2]C ． [0,3]D ． [0,3)[ 解 ] 因 x 2ax 4 0有两个实根x 1 a4 a 2 ，x 2 a4 a 2 ，24 24故 BA等价于x 12 且 x 24 ，即a4a 2 2 且a4 a 24 ，解之得 0 a3 ．2 4243．甲乙两人进行乒乓球比赛， 约定每局胜者得1 分，负者得 0 分，比赛进行到有一人比对方多2 分或打满 6 局时停止．设甲在每局中获胜的概率为2，乙在每局中获胜的概率为 1，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望 E33为 ...（ B ）A.241 .B.266 .C.274 . . D.670818181243[解法一 ] 依题意知， 的所有可能值为2，4， 6 设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为( 2 ) 2 ( 1 ) 2 5 ．3 3 9若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有P (2)5，....P(4) ( 4)( 5) 20， .... P(6) (4)216 ，99 9 81981故 E 2 54 206 16266 ．98181 81[ 解法二 ] 依题意知， 的所有可能值为 2，4，6.令A k 表示甲在第 k 局比赛中获胜，则 A k 表示乙在第 k 局比赛中获胜．由独立性与互不相容性得P(2) P( A 1A 2) P( A 1 A 2 ) 5 ，9P(4)P( A 1A 2A 3A 4) P( A 1 A 2 A 3A 4) P( A 1A 2 A 3 A 4 ) P( A 1A 2A 3A 4)2[( 2)3 (1) (1)3( 2)] 20 ，3 3 3 3 81P(6)P( A 1A 2 A 3 A 4 ) P( A 1 A 2A 3A 4) P( A 1 A 2 A 3A 4) P( A 1A 2 A 3 A 4 )4( 2)2 (1)216 ， 故E254 206 16 266 ． 3 381981 81 81564 cm2，则这 三个正方体的体积之和为4 ．若 三个棱 长 均为整数（单 位： cm ）的正 方体的表面积之和为（ A ）A. 764 cm 3 或 586 cm 3B. 764 cm 3.C. 586 cm 3 或 564 cm 3D. 586 cm 3[ 解 ]设 这 三 个 正 方 体 的 棱 长 分 别 为 a,b,c ， 则 有 6 a 2b 2c 25 ， a2b2c294 ，不妨设6 41 ab c 10，从而 3c 2 a 2 b 2 c 2 94 ， c 231．故 6 c 10 ． c 只能取 9，8，7， 6．若 c9 ，则 a 2 b 294 92 13 ，易知 a2 ， b3 ，得一组解 (a, b, c)(2,3,9) ．若 c8 ，则 a 2b 2 94 64 30 ， b 5 ．但 2b 2 30 ， b 4 ，从而 b4 或 5．若 b5 ，则 a 2 5 无解，若 b4 ，则 a 2 14 无解．此时无解．若 c 7 ，则 a 2 b 2 94 49 45 ，有唯一解 a 3， b 6 ．若 c6 ，则 a 2 b 294 36 58 ，此时 2b 2 a 2 b 2 ， 2 29 ．故b 6 ，但bc 6 ，故 b 6 ，此时a258 b58 3622 无解．a 2,a 3,综上，共有两组解b 3, 或b 6,c 9 c 7.体积为V 1233393764 cm 3或V 2 33 63 73 586 cm 3．x y z 0,的有理数解 (x, y, z) 的个数为5．方程组xyz z 0,（ B ）xy yz xz y 0A.1B. 2C. 3D. 4x y，， x，[ 解 ] 若 z 0 ，则 解得 xxy y0.0 或y 1.y 0若 z 0，则由xyz z 0得 xy 1．①由 x y z 0 得 z x y ．②将②代入 xy yz xz y 0 得x2y2xyy 0．③由①得 x 1，代入③化简得 ( y1)( y 3 y1) 0.y3y1 0 无有理数根，故 y 1，由①得 x1 ，由②得 z 0 ，与 z0 矛盾，故该方程组共有两组易知 yx 0, x1,有理数解y 0,或y 1,z 0z 0.6． 设ABC 的内角 A, B, C 所对的边 a,b,c 成等比数列，则sin Acot Ccos A的取值范围是（ C ）sin B cot C cos BA.(0,)B.(0, 5 1)2C.(51,51)D.(51,)2 2 aq 2，而 2[ 解 ] 设 a, b, c 的公比为 q ，则 b aq, csin A cot C cos A sin AcosC cos Asin Csin B cot C cos B sin B cosC cosB sin C sin( A C) sin( B) sin B b q ．sin(B C) sin( A) sin A a因此，只需求 q 的取值范围．因 a, b, c 成等比数列，最大边只能是 a 或 c ，因此 a, b,c 要构成三角形的三边，必需且只需a bc且b c a ．即有不等式组a aq aq 2 ,q 2q 1 0,15 q5 1 ,22aq 2即q 2解得aq aq1 0.q5 1或 q5 1 .22从而 5 1q5 1 ，因此所求的取值范围是(5 1, 5 1)．2222二、填空题（本题满分54 分，每小题 9 分）7．设 f ( x)ax b ，其中 a, b 为实数， f 1 ( x) f (x) ，f n 1 ( x)f ( f n ( x)) ，n 1,2,3,，若f 7 (x) 128 x381，则 a b . 5.[ 解 ]由题意知f n ( x) a n x (a n1a n 2a 1)ba nx a n1b，a 1由f 7 ( x)128 x 381 得 a7128 ，a 71 b381，因此a2 ， b3 ， a b5 ．a 11，则8 f ( x) cos2 x 2a(1 cosx)的最小值为a 23．．设22[ 解 ]f ( x)1 2a 2a cos x2cos x2(cosx a )2 1 a 2 2a 1，2 2(1) a 2 时， f ( x) 当 cosx 1 时取最小值 1 4a ；(2) a2时， f ( x) 当 cosx 1 时取最小值 1；(3)2 a 2时，f ( x) 当cos xa时取最小值 1 a 2 2a 1．22 又 a2 或a2时， f ( x) 的最小值不能为1 ，1 a 21，解得 a2故2a 12 3 ， a 2 3 (舍去 )．229．将 24 个志愿者名额分配给 3 个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有. 222..种．[解法一 ]用 4 条棍子间的空隙代表 3 个学校，而用 表示名额．如||||表示第一、二、三个学校分别有 4，18，2 个名额．若把每个 “ ”与每个 “”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜ ”，故不同的分配方法相当于24 2 26 个|位置（两端不在内）被 2 个 “｜”占领的一种 “占位法 ”．”相当于在 24 个 “ ”之间的 23 个空隙中选出2253种．“每校至少有一个名额的分法 2 个空隙插入 “｜”，故有 C 23 又在 “每校至少有一个名额的分法 ”中 “至少有两个学校的名额数相同 ”的分配方法有 31 种．综上知，满足条件的分配方法共有 253－31＝222 种．[ 解法二 ].设分配给 3 个学校的名额数分别为 x 1 , x 2 , x 3 ，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程x 1 x 2 x 3 24 ．的正整数解的个数，即方程 x 1 x 2 x 321 的非负整数解的个数，它等于3 个不同元素中取 21 个元素的可重组合：H 321C 2321C 232253 ．又在 “每校至少有一个名额的分法 ”中 “至少有两个学校的名额数相同 ”的分配方法有 31 种．综上知，满足条件的分配方法共有253 －31＝222 种．10．设数列 { a n } 的前 n 项和 S n 满足： S na nn 1 ，n 1,2, ，则通项 a n =11 ．n(n 1)2nn( n 1)[ 解 ] a n 1 S n 1 S n n a n 1 n 1 a n ，(n 1)(n n( n 1)2)即 2 a n 1 n 2 2 1 1 a n(n 1)(n 2) n 1 n(n 1)=2a n1，1)( n 2)n( n 1)( n由此得2( a n11)a n1．(n 1)( n 2) n(n1)令b n a n1，b 1 a 1 1 1( a 10 )，n( n 1) 22有 b11b ，故 b n 1 ，所以 a n11．n2 nnnn( n 1) 答12图12211．设 f ( x) 是定义在 R 上的函数，若 f (0) 2008 ，且对任意 xR ，满足f ( x 2)f ( x) 3 2 x ， f ( x 6) f ( x) 63 2 x，则 f ( 2008) =220082007．[解法一 ] 由题设条件知f ( x 2) f ( x) ( f ( x 4) f ( x 2))( f (x6) f ( x4)) ( f (x6)f (x))3 2x 2 3 2x4 63 2x 3 2x ， 因此有f ( x 2) f ( x) 3 2 x ，故f (2008)f (2008)f (2006) f (2006)f (2004)f (2) f (0)f (0)3200620042 21) f (0)(22341003 11 f (0)4 1220082007．2x，则[解法二 ] 令 g ( x)f (x)g( x 2) g ( x)x 2xxx，f (x 2) f ( x) 223 23 2g( x 6) g ( x)f ( x6) f ( x)x 6x63 x63 x，222 2即g( x2) g( x), g( x 6) g (x) ，故 g( x) g (x 6)g( x 4) g (x 2)g( x) ，得 g( x) 是周期为 2 的周期函数，所以f (2008) g(2008) 22008g (0)22008 220082007 ．12．一个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为4 6 的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是72 3．[解] 如答 12图 1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为 r ，作平面 A 1 B 1 C 1 //平面 ABC ，与小球相切于点 D ，则小球球心 O 为正四面体P A1 11 的中心，1 1 1，垂足D 为A1 11 的中心．B CPO 面ABCB C因V P A 1 B 1C 11PDS A 1BC 1134 V OA 1B 1C 114S A 1 B 1C 1 OD ，3故PD4OD4r，从而PO PD OD 4r r 3r ．记此时小球与面PAB 的切点为 P 1 ，连接 OP 1 ，则22 2 2 ．PPPOOP 1 (3r ) r 2 2r1考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为 PAB ) 相切时的情况， 易知小球在面 PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为P 1 EF ，如答 12 图 2．记正四面体的棱长为 a ，过P 1 作 PM 1PA 于M ．因MPP 1， 有PMPP 1 cosMPP 1 2 2r3 6r ， 故 小三 角 形的 边长26P 1 EP 2AP M2 ．r6a小球与面 PAB 不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）3 ( a 2 答12图2S PAB S PEF 1(a 2 6r )2 ) 3 2ar 6 3r 2 ．.........4又 r1 ， a 4 6 ，所以SPABSPEF24 3 63 18 3 ．1由对称性，且正四面体共 4 个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为72 3 ．三、解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分）13．已知函数 f ( x) | sin x |的图像与直线y kx (k 0) 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为，求证：cos12......．sin sin 34[ 证 ]f ( x) 的图象与直线 ykx (k0)的三个交点如答13 图所示，且在 (3) 内相切，其,2切点为 A(, sin )，( , 3)．25分由于 f( x)cosx ，x ( ,3) ，所以sin2答 13图cos，即tan．10 分因此coscossin sin 32sin 2 cos1 15 分4sincoscos 2 sin 24sin cos21 tan 4 tan21．....................20 分414．解不等式log 2 ( x 12 3x 10 5 x 8 3x 6 1)1 log2 ( x 4 1) ．[解法一 ] 由1log 2 (x 41)42)，且log 2 y 在 (0,) 上为增函数，故原不等式等价于log 2 (2 xx 12 3x 10 5x 83x 6 12x 4 2 ． ..............即...... x 12 3x 10 5x 8 3x 6 2x 41 0 ． .............. 5分分组分解 ... x 12 x 10 x 82x 10 2x 8 2 x 6 4x 8 4x 6 4x 4 x 6 x 4 x 2 x 4 x 2 1 0 ，( x 8 2x 6 4x 4 x 2 1)(x 4x 2 1) 0 ，.......... .. 10分所以 ... x 4x 21 0 ，(x215)( x215) 0．15 分22所以x2125 ，即x1 5或x1 5 ．22故原不等式解集为(, 51(5 1)．.20 分)2,424[解法二 ] 由1log 2 (x 1)2)，且log 2 y 在 (0, ) 上为增函数，故原不等式等价于log 2 (2 xx 123x 10 5x 8 3x 6 1 2x 4 2 ．.............. 5分即2 1 x 63x 4 3x 21 2x2 2 ( x 21)3 2( x 21)，x 2x 6( 12)32( 12 ) ( x 21)32( x21)，.10 分xt 3 x令g (t)2t ，则不等式为g ( 12 ) g( x 21) ，3x显然g(t )2t 在 R 上为增函数，由此上面不等式等价于t1 x2 1，15 分x 2即 ( x 2 )2x21 0，解得 x25 1.( x 25 1舍去)，22故原不等式解集为(,5 1 (5 1 )．.20 分2 ) 2,15．如题 15 图， P 是抛物线 y 22 x 上的动点， 点 B, C 在 y 轴上，圆 (x 1)2y21 内切于 PBC，求PBC面积的最小值．[ 解 ] 设 P( x 0 , y 0 ), B(0, b ), C (0, c) ，不妨设 b c ．直线 PB 的方程 : yby 0bx ，x 0化简得( y 0b)xx 0 y x 0 b0 ．又圆心(1,0) 到PB的距离为1，y 0 b x 0 b1，5分( y 0b)2x 02故( y 0 b)2 x 02 ( y 0 b )2 2x 0b ( y 0b) x 02 b 2，易知x 0 2 ，上式化简得 ( x 0 2)b 2 2 y 0 b x 0 0 ，同理有( x 022 y 0 c x 0．.............10 分2) c所以 bc2y 0 ，bcx 0 x0 ，则x 0 2 2(b c)24x 024 y 028x0 ．题15图( x 0 2)2因P( x 0 , y 0 ) 是抛物线上的点，有 y 02 2 x 0 ，则( b c)24x 02 ， b c 2x 0 ． ...... 15 分( x 0 2)2x 0 2所以S PBC1(b c) x 0x 0 2x 0 ( x 0 2)4 42 x 0 x 022 44 8 ．当( x 0 2) 2 4 时，上式取等号，此时x 0 4, y 02 2 ．因此S PBC 的最小值为8．20 分。
全国高中数学联赛模拟卷(6)(一试+二试 附详细答案)
全国高中数学联赛模拟试题(6)一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 设函数32()3614f x x x x =+++，且()1f a =，()19f b =，则a b += ．2. 圆内接四边形,1,2,3, 4.ABCD AB BC CD DA ====则此圆的半径为 ．3. 函数xx xx y cos sin 1cos sin ++=的值域是 ．4. 函数 y =的最大值是 ．5. 设22()53196|53196|f x x x x x =-++-+，则(1)(2)+(50)f f f ++⋅⋅⋅的值为 ．6. 已知椭圆2221(1)x y a a +=>，Rt ABC ∆以()0,1为直角顶点，边,AB BC 与椭圆交于两点,.B C 若ABC ∆面积的最大值为278，则a 的值为 ． 7. 如果正整数a 的各位数字之和等于5，那么称a 为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列123,,,,a a a 若2012,n a =则3n a = ．8. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的25个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有 种（用数字作答）.二、解答题（共56分）9. (16分)已知椭圆的两个焦点为12(1,0),(1,0)F F -，且椭圆与直线y x =. （1）求椭圆的方程；（2）过1F 作两条互相垂直的直线12,l l ，与椭圆分别交于,P Q 及,M N ，求四边形PMQN 面积的最大值与最小值.P n10．(20分) 在xoy 平面上有一系列点111222(,),(,),(,),n n n P x y P x y P x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,对每个正整数n ,点n P 位于函数2(0)y x x =≥的图象上．以点n P 为圆心的⊙n P 与x 轴都相切，且⊙n P 与⊙1n P +彼此外切．若11x =,且1n n x x +<（*n N ∈）． （1）求证：数列1{}nx 是等差数列； （2）设⊙n P 的面积为n S，n T =求证：对任意*n N ∈，均有n T <．11. (20分) 设0,0,0,x y z >>>求证：333.2x y z xy yz zxx y y z z x ++++≥+++二试一．（40分）设a 、b 、c 为正实数，证明：()()()()3525252333aa b b c c a b c -+-+-+≥++.二．（40分）设O 和I 分别为ABC ∆的外心和内心，ABC ∆的内切圆与边,,BC CA AB 分别相切于点,,D E F ，直线FD 与CA 相交于点P ，直线DE 与AB 相交于点Q ，点,M N 分别为线段,PE QF 的中点，求证：OI MN ⊥.三．（50分）若三元正整数组(,,)a b c 满足a b c ≤≤，(,,)1a b c =且()|n n n a b c a b c ++++，则称(,,)a b c 为“n -幂次”的.例如：（1，2，2）是“5-幂次”的.（1）求所有的三元组，使得对所有1n ≥，该数组是“n -幂次”的.（2）求所有的三元组，使之是“2009-幂次”的和“2010-幂次”的但不是“2012-幂次”的.四．（50分）如图，在7×8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子.如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连.现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连.问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由.全国高中数学联赛模拟试题参考答案一试一、填空题（每小题8分，共64分） 1．-2.解：由()()332()361413110f x x x x x x =+++=++++，令3()3g y y y =+，则()g y 为奇函数且单调递增.而()()3()131101f a a a =++++=, ()()3()1311019f b b b =++++=,所以(1)9g a +=-,(1)9g b +=,(1)9g b --=-,从而(1)(1)g a g b +=--,即11a b +=--, 故2a b +=-.2.24. 解：连BD ，设BAD θ∠=，那么BCD πθ∠=-，设四边形外接圆半径为R.ABD ∆中，由余弦定理知22214214cos 178cos BD θθ=+-⨯⨯=-BCD ∆中，由余弦定理知22223223cos()1312cos BD πθθ=+-⨯⨯-=+这样由178cos 1312cos θθ-=+解出1cos ,sin 5θθ==所以5BD ==. 在ABD ∆中，由正弦定理，2sin BD R θ==，从而得到R =.3. 11,11,22⎡⎫⎛⎤---⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦.解：设=sin +cos ++.224t x x x x x π⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭因为-1s i n +1,4x π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭所以.22≤≤-t 又因为2=1+2sin cos ,t x x 所以2-1sin cos =2t x x ,所以2-11-1==212t t y t ⨯+，所以.212212-≤≤--y 因为-1t ≠，所以121-≠-t ，所以-1y ≠.所以函数值域为.212,11,212⎥⎦⎤⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-+-∈ y4. 解：函数的定义域为[15]，，且0y ≥.根据柯西不等式有：5y =22≤=5时，等号成立，即12727x =时函数取最大值5. 660.解：由于253196(4)(49)x x x x -+=--，因此449x ≤≤时，2531960x x -+≤，均有()f x =0.因此：(1)(2)...(50)(1)(2)(3)(50)f f f f f f f +++=+++，代入数据得：原式22222(153196)2(2532196)2(3533196)2(505350196)660=-++-⨯++-⨯++-⨯+= 6. 3.解：不妨设AB 的方程()10y kx k =+>，则AC 的方程为11y x k=-+. 由22211y kx x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2222(1)20a k x a kx ++=2222,1B a k x a k -⇒=+ 由222111y x k x y a ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：2222()20a k x a kx +-=2222,C a k x a k ⇒=+由弦长公式可得：AB AC ==于是 2442222224211(1)2212(1)()()1ABC k k k kSAB AC a a a k a k a k a k∆++===+++++. 令12t k k=+≥，有44222222222,(1)(1)ABC a ta Sa a t a a t t∆==-+-+因为2222(1)2(1),a a t a a t -+≥- 21a t a-=时等号成立. 因此当21a t a -=时，3max 2(),1ABC a S a ∆=-令32227(3)(839)018a a a a a =⇒---=-.解得：)3,a a a ===舍.又21=21a t a a -≥⇒≥+a ∴=舍去. 3.a ∴= 7. 100013.解：∵方程12k x x x m +++= 的非负整数解的个数为1m m k C +-.而使11,0(2)i x x i ≥≥≥的整数解个数为12m m k C -+-.现取5m =，可知，k 位“吉祥数”的个数为43().k P k C +=∵4445(1)1,(2)5,P C P C ====46(3)15,P C ==并且对于四位“吉祥数”1abc ，其个数为满足4a b c ++=的非负整数解个数，即443115C +-=个，而2012是形如2abc 的数中的第2个“吉祥数”，因此2012是第1+5+15+15+2=38个“吉祥数”，即382012a =，从而38,3114.n n ==又4378(4)35,(5)56,P C P C ====而51()151********.k P k ==++++=∑∴从小到大的前2个六位“吉祥数”是：100004,100013.∴第114个“吉祥数”是100013，即3100013.n a = 8.33800.解：使2个a 既不同行也不同列的填法有2255200C A =种，同样，使2个b 既不同行也不同列的填法也有2255200C A =种，故由乘法原理，这样的填法共有20020040000⨯=种.其中不符合要求的有两种情况：2个a 所在的方格内都填有b 的情况有200种；2个a 所在的方格内仅有1个方格内填有b 的情况有122516252406000C A =⨯=种.所以，符合题设条件的填法共有40000200600033800--=种.二．解答题（共56分）9.解：（1） 设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>.它与直线y x =1个交点，所以方程组22221x y ab y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩只有一解，即2222222()30b a x x a a b +-+-=只有一根（重根）2222222()4()(3)0a b a a b ∴∆=--+-=，化简得223a b +=又 焦点为（-1,0），（1,0），∴221a b -=，∴2221a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴椭圆方程为：2212x y +=.（2）若PQ 斜率不存在（或为0），则||||22PMQNPQ MN S ⋅===四边形 ①若PQ 斜率存在，设为(0)k k ≠，则MN 的斜率为1k-， ∴直线PQ 的方程为=+y kx k .设PQ 与椭圆交点坐标()1122(,),,P x y Q x y ，P n联立方程2212y kx k x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，12,x x 为方程2222(21)4220k x k x k +++-=的根，12||||=PQ x x a ∴=-=22121k k +=+同理221||2k MN k +=+.||||42MN PQ S ⋅∴==四边形PMQN2424242121124()2522252k k k k k k k ++=-++++ 24214()24104k k k =-=++22114()124410k k -+⨯+22448k k +≥= ，当且仅当21k =时等号成立， 2211(0,]1184410k k∴∈+⨯+，221116=4(),21294410S k k ⎡⎫∴-∈⎪⎢⎣⎭+⨯+四边形PMQN ② 综合①②可得：PMQN S 四边形的面积的最小值为169，最大值为2. 10．(20分) 解：（1）依题意，⊙n P 的半径2n n n r y x ==， ⊙n P 与⊙1n P +彼此外切， 11n n n n P P r r ++∴=+，1n n y y +=+． 两边平方，化简得 211()4n n n n x x y y ++-=,即 22211()4n n n n x x x x ++-=,10n n x x +>> ， ∴112n n n n x x x x ++-=， 即1112()n n n N x x +-=∈，∴ 数列1{}nx 是等差数列． (2) 由题设，11x =，∴111(1)2n n x x =+-⋅，即121n x n =-， 2244(21)n n n n S r y x n ππππ====-，n T =222111]35(21)n =++++-≤111]1335(23)(21)n n ++++⋅⋅-⋅-1111111[(1)()()]23352321n n ⎫+-+-++-⎬--⎭11(1)]221n +--=< 11. (20分) 证明：223()044()x x y x y x y x y ---=≥++ ，∴234x x y x y -≥+.进而可得323.4x x xyx y -≥+类似的3234y y yzy z -≥+，3234z z zx z x -≥+. ∴3332223334x y z x xy y yz z zx x y y z z x -+-+-++≥+++2223()4x y z xy yz zx++---=3()42xy yz zx xy yz zx xy yz zx ++---++≥=二试一．（40分）设a 、b 、c 为正实数，证明：()()()()3525252333aa b b c c a b c -+-+-+≥++.证明：注意到，当0a >时，有()5235323223(2)1(1)(1)a a a a a a a a a -+-+=--+=---3222(1)(1)(1)(1)(1)0a a a a a a =--=-+++≥.所以()5233(2)a a a -+≥+.因此，我们只需证明：3333(2)(2)(2)()a b c a b c +++≥++.为此，我们证明更一般的结论： 对任意正实数,,(1,2,3)i i i x y z i =，均有：3111222333()()()x y z x y z x y z ++++++≥. （1）事实上，由于3121112223331()3x x x x y z x y z x y z =≤++++++++同理，3121112223331()3y y y x y z x y z x y z ≤++++++++，3121112223331()3z z z x y z x y z x y z ≤++++++++，上述3个不等式相加可知（1）式成立.所以3333333(2)(2)(2)(11)(11)(11)()a b c a b c a b c +++=++++++≥++，原命题得证. 二．（40分）设O 和I 分别为ABC ∆的外心和内心，ABC ∆的内切圆与边,,BC CA AB 分别相切于点,,D E F ，直线FD 与CA 相交于点P ，直线DE 与AB 相交于点Q ，点,M N 分别为线段,PE QF 的中点，求证：OI MN ⊥.证明：考虑ABC ∆与截线PFD ，由梅涅劳斯定理，有1CP AF BDPA FB DC⋅⋅=, 所以PA AF BD AF s aCP FB DC DC s c-=⋅==-（s 为ABC ∆的半周长） 于是PA s aCA a c -=-，因此()b s a PA a c-=-，这样()()()2b s a s c s a PE PA AE s a a c a c---=+=+-=-- ()()()()()()21,2s c s a s c s a s a ME PE MA ME AE s a a c a c a c-----===-=--=--- ()()()()2s c s a s c MC ME EC s c a c a c ---=+=+-=--，于是2MA MC ME ⋅=.因为ME 是点M 到ABC ∆的内切圆的切线长，所以2ME 是点M 到内切圆的幂，而MA MC ⋅是点M 到ABC ∆外接圆的幂，等式2MA MC ME ⋅=表明点M 到到ABC ∆外接圆与内切圆的幂相等，因此点M 在ABC ∆外接圆与内切圆的根轴上，同理，点N 也在在ABC ∆外接圆与内切圆的根轴上，故OI MN ⊥.三．（50分）若三元正整数组(,,)a b c 满足a b c ≤≤，(,,)1a b c =且()|n n n a b c a b c ++++，则称(,,)a b c 为“n -幂次”的.例如：()1,2,2是“5-幂次”的.（1）求所有的三元组，使得对所有1n ≥，该数组是“n -幂次”的.（2）求所有的三元组，使之是“2009-幂次”和“2010-幂次”的,但不是“2012-幂次”的.解（1）设(,,)a b c 满足条件，则由222()|a b c a b c ++++得2222()|()()a b c a b c a b c ++++-++，于是()|2()a b c ab bc ca ++++. （1）由333()|a b c a b c ++++，得333222()|()()()a b c a b c a b c a b c ab bc ca ++++-++++--- 于是()|3a b c abc ++ （2）对于任意素因子5p ≥，若|()p a b c ++，则|p abc .不妨设|p a ，则0(mod )b c p +≡.又由（1）式可得0(mod )bc p ≡，于是0(mod )b c p ≡≡，这与(,,)1a b c =矛盾，故a b c ++无大于3的素因子.对于因子3，若3|()a b c ++，与上面相同的推理可得3不整除abc ，故由（2）式知，()a b c ++至多含3的一次因子.对于因子2，若2|()a b c ++，则由(,,)1a b c =，可知,,a b c 的奇偶性为两奇一偶，此时2()2(mod 4)ab bc ca ++≡，所以由（1）式知，()a b c ++至多含2的一次因子；综上所述，我们有()|6a b c ++，由,,a b c 为正整数，容易求得符合条件的数组为（1，1，1），（1，1，4）.（2）记n n n n T a b c =++，注意到多项式:()()()()f x x a x b x c =---=32()()x a b c x ab bc ca x abc -+++++-，则32()()()0f a a a b c a ab bc ca a abc =-+++++-=，故32()()a a b c a ab bc ca a abc =++-+++，两边同乘以3n a -，得123()()()n n n n a a b c a ab bc ca a abc a ---=++-+++，对,b c 有类似的结论，将三者相加，得123()()n n n n T a b c T ab bc ca T abcT ---=++-+++.故若有3()|n a b c T -++，且2()|n a b c T -++，则必有()|n a b c T ++.由此，取2012n =，知不存在符合条件的正整数组.四.（50分）如图，在7×8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子.如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连.现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连.问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由.解：最少要取出11个棋子，才可能满足要求.其原因如下：如果一个方格在第i 行第j 列，则记这个方格为(i ，j ).第一步证明若任取10个棋子，则余下的棋子必有一个五子连珠，即五个棋子在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连.用反证法.假设可取出10个棋子，使余下的棋子没有一个五子连珠.如图1，在每一行的前五格中必须各取出一个棋子，后三列的前五格中也必须各取出一个棋子.这样，10个被取出的棋子不会分布在右下角的阴影部分.同理，由对称性，也不会分布在其他角上的阴影部分.第1、2行必在每行取出一个，且只能分布在(1，4)、(1，5)、(2，4)、(2，5)这些方格.同理(6，4)、(6，5)、(7，4)、(7，5)这些方格上至少要取出2个棋子.在第1、2、3列，每列至少要取出一个棋子，分布在(3，1)、(3，2)、(3，3)、(4，1)、(4，2)、(4，3)、(5，1)、(5，2)、(5，3)所在区域，同理(3，6)、(3，7)、(3，8)、(4，6)、(4，7)、(4，8)、(5，6)、(5，7)、(5，8)所在区域内至少取出3个棋子.这样，在这些区域内至少已取出了10个棋子.因此，在中心阴影区域内不能取出棋子.由于①、②、③、④这4个棋子至多被取出2个，从而，从斜的方向看必有五子连珠了.矛盾.图1 图2第二步构造一种取法，共取走11个棋子，余下的棋子没有五子连珠.如图2，只要取出有标号位置的棋子，则余下的棋子不可能五子连珠.综上所述，最少要取走11个棋子，才可能使得余下的棋子没有五子连珠.。
2013年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2013年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2013A1、设集合{}3,1,0,2=A ,集合{}A x A x xB ∉-∈-=22,|，则集合B 中所有元素的和为◆答案：5-★解析：易得{}0,1,2,3---⊆B ，验证即可得{}2,3--=B ，所以所求为532-=--2013A 2、在平面直角坐标系xOy 中，点B A ,在抛物线x y 42=上，满足4-=⋅OB OA ，F 是抛物线的焦点，则OFA ∆与OFB ∆的面积之比为◆答案：2★解析：由题意得()0,1F ，设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121,4y y A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛222,4y y B ，代入4-=⋅OB OA 得821-=y y ，所以OFA ∆与OFB ∆的面积之比为241212=y y OF 2013A 3、在ABC ∆中，已知C B A sin sin 10sin ⋅=，C B A cos cos 10cos ⋅=，则A tan 的值为◆答案：11★解析：由于()()A C B C B C B A A cos 10cos 10cos cos sin sin 10cos sin =+-=-=-，即11tan =A 2013A 4、已知正三棱锥ABC P -的底面边长为1，高为2，则其内切球半径为◆答案：62★解析：如图，设球心O 在面ABC 和面ABP 内的射影分别是H 和K ，AB 中点为M ，内切球半径为r ，则M K P ,,共线，H O P ,,共线，090=∠=∠PKO PHM ，且r OK OH ==，r OH PH PO -=-=2，6363==AB MH ,635212122=+=+=PH MH PM ,所以51sin 2==∠==-MP MH KPO OP OK rr ,解得62=r 2013A 5、设b a ,为实数，函数b ax x f +=)(满足：对任意]1,0[∈x ，都有1)(≤x f ，则ab 的最大值为◆答案：1★解析：由题意得)0()1(f f a -=，)0(f b =所以()41)1(41)1(41)1(21)0()0()1()0(222≤≤+⎪⎭⎫⎝⎛--=-⋅=f f f f f f f ab ，当且仅当1)1()0(2±==f f ，即21±==b a 时，41=ab ，故所求最大值为41。
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全国高中数学联合竞赛一试(模拟) 试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ C ）A ．0B ．1C ．2D ．3[解] 当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x x x +-+==+---2≥2=，当且仅当122x x=--时上式取等号．而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2．2．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为 （ D ） A ．[1,2)- B ．[1,2]- C ．[0,3] D ．[0,3) [解] 因240x ax --=有两个实根12a x =22a x =故B A ⊆等价于12x ≥-且24x <，即22a -且42a ，解之得03a ≤<．3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 （ B ） A.24181 B. 26681 C. 27481 D. 670243 [解法一] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为22215()()339+=．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有 5(2)9P ξ==， 4520(4)()()9981P ξ===，2416(6)()981P ξ===，故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．[解法二] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.令k A 表示甲在第k 局比赛中获胜，则k A 表示乙在第k 局比赛中获胜． 由独立性与互不相容性得12125(2)()()9P P A A P A A ξ==+=， 1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++332112202[()()()()]333381=+=，1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++2221164()()3381==，故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．4．若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564 cm 2，则这三个正方体的体积之和为 （ A ） A. 764 cm 3或586 cm 3 B. 764 cm 3 C. 586 cm 3或564 cm 3 D. 586 cm 3[解] 设这三个正方体的棱长分别为,,a b c ，则有()2226564a b c ++=，22294a b c ++=，不妨设110a b c ≤≤≤<，从而2222394c a b c ≥++=，231c >．故610c ≤<．c 只能取9，8，7，6．若9c =，则22294913a b +=-=，易知2a =，3b =，得一组解(,,)(2,3,9)a b c =．若8c =，则22946430a b +=-=，5b ≤．但2230b ≥，4b ≥，从而4b =或5．若5b =，则25a =无解，若4b =，则214a =无解．此时无解．若7c =，则22944945a b +=-=，有唯一解3a =，6b =．若6c =，则22943658a b +=-=，此时222258b a b ≥+=，229b ≥．故6b ≥，但6b c ≤=，故6b =，此时2583622a =-=无解．综上，共有两组解2,3,9a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3,6,7.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩体积为3331239764V =++=cm 3或3332367586V =++=cm 3．5．方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为 （ B ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4[解] 若0z =，则00.x y xy y +=⎧⎨+=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，或11.x y =-⎧⎨=⎩， 若0z ≠，则由0xyz z +=得1xy =-． ① 由0x y z ++=得z x y =--． ②将②代入0xy yz xz y +++=得220x y xy y ++-=． ③ 由①得1x y=-，代入③化简得3(1)(1)0y y y ---=. 易知310y y --=无有理数根，故1y =，由①得1x =-，由②得0z =，与0z ≠矛盾，故该方程组共有两组有理数解0,0,0x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或1,1,0.x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ 6．设ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则sin cot cos sin cot cos A C AB C B++的取值范围是（ C ）A. (0,)+∞B.C.D. )+∞[解] 设,,a b c 的公比为q ，则2,b aq c aq ==，而sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A CB C B B C B C++=++ s i n ()s i n ()s i ns i n ()s i n ()s i nA CB B b q BC A A a ππ+-=====+-． 因此，只需求q 的取值范围．因,,a b c 成等比数列，最大边只能是a 或c ，因此,,a b c 要构成三角形的三边，必需且只需a b c +>且b c a +>．即有不等式组22,a aq aq aq aq a ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩即2210,10.q q q q ⎧--<⎪⎨+->⎪⎩解得11,22q q q ⎧<<⎪⎪⎨⎪><⎪⎩从而1122q <<，因此所求的取值范围是．二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3,n =，若7()128381f x x =+，则a b += 5 .[解] 由题意知12()(1)n n n n f x a x a a a b --=+++++11n na a xb a -=+⋅-，由7()128381f x x =+得7128a =，713811a b a -⋅=-，因此2a =，3b =，5a b +=．8．设()cos 22(1cos )f x x a x =-+的最小值为12-，则a=．[解] 2()2cos 122cos f x x a a x =---2212(cos )2122a x a a =----，(1) 2a >时，()f x 当cos 1x =时取最小值14a -； (2) 2a <-时，()f x 当cos 1x =-时取最小值1； (3) 22a -≤≤时，()f x 当cos 2a x =时取最小值21212a a ---． 又2a >或2a <-时，()f x 的最小值不能为12-， 故2112122a a ---=-，解得2a =-2a =-舍去)．9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 222 种．[解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用*表示名额．如||||********表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．若把每个“*”与每个“|”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜”，故不同的分配方法相当于24226+=个位置（两端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”．“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“*”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有223C 253=种． 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．[解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为123,,x x x ，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程12324x x x ++=．的正整数解的个数，即方程12321x x x ++=的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：2121232323H C C 253===． 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种． 10．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)n n n S a n n -+=+，1,2,n =，则通项n a =112(1)nn n -+．[解] 1111(1)(2)(1)n n n n n n n a S S a a n n n n +++-=-=--++++，即 2n n a n n n n n n a ++++-++-+=+)1(111)2)(1(221=)1(1)2)(1(2+++++-n n a n n n ， 由此得 2)1(1))2)(1(1(1++=++++n n a n n a n n ． 令1(1)n n b a n n =++，111122b a =+= (10a =)，有112n n b b +=，故12n n b =，所以)1(121+-=n n a nn ． 11．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足 (2)()32x f x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2008(f =200822007+．[解法一] 由题设条件知答12图1(2)()((4)(2))((6)(4))((6)())f x f x f x f x f x f x f x f x +-=-+-+-+-+++-24323263232x x x x ++≥-⋅-⋅+⋅=⋅， 因此有(2)()32x f x f x +-=⋅，故(2008)(2008)(2006)(2006)(2004)(2)(0)(0)f f f f f f f f =-+-++-+2006200423(2221)(0)f =⋅+++++10031413(0)41f +-=⋅+- 200822007=+． [解法二] 令()()2x g x f x =-，则2(2)()(2)()2232320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≤⋅-⋅=，6(6)()(6)()226326320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≥⋅-⋅=，即(2)(),(6)()g x g x g x g x +≤+≥，故()(6)(4)(2)()g x g x g x g x g x ≤+≤+≤+≤， 得()g x 是周期为2的周期函数，所以200820082008(2008)(2008)2(0)222007f g g =+=+=+．12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为[解] 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r ，作平面111A B C //平面ABC ，与小球相切于点D ，则小球球心O 为正四面体111P A B C -的中心，111PO A B C ⊥面，垂足D 为111A B C 的中心．因11111113P A B C A B C V S PD -∆=⋅1114O A B C V -=⋅111143A B C S OD ∆=⋅⋅⋅，故44PD OD r ==，从而43PO PD OD r r r =-=-=．记此时小球与面PAB 的切点为1P ，连接1OP ，则2211PP PO OP =-==． 考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB )相切时的情况，易知小球在面PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为1PEF ，如答12图2．记正四面体答13图答12图2的棱长为a ，过1P 作1PM PA ⊥于M ． 因16MPP π∠=，有11cos PM PP MPP =⋅==，故小三角形的边长12P E P AP M r=-=． 小球与面PAB 不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）1PAB PEF S S ∆∆-22())a a =--2=-． 又1r =，a =1PAB P EF S S ∆∆-==由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．已知函数|sin |)(x x f =的图像与直线y kx = )0(>k 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，求证：2cos 1sin sin 34ααααα+=+． [证] ()f x 的图象与直线y kx =)0(>k 的三个交点如答13图所示，且在3(,)2ππ内相切，其切点为(,sin )A αα-，3(,)2παπ∈． …5分由于()cos f x x '=-，3(,)2x ππ∈，所以sin cos ααα-=-，即tan αα=． …10分 因此cos cos sin sin 32sin 2cos αααααα=+ 14sin cos αα=…15分22cos sin 4sin cos αααα+=21tan 4tan αα+=214αα+=． …20分 14．解不等式121086422log (3531)1log (1)x x x x x ++++<++．[解法一] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于1210864353122x x x x x ++++>+．即 1210864353210x x x x x +++-->． …5分 分组分解 12108x x x +- 1086222x x x ++- 864444x x x ++- 642x x x ++- 4210x x ++->，864242(241)(1)0x x x x x x +++++->， …10分所以 4210x x +->，22(0x x >．…15分所以2x >，即x <x >故原不等式解集为51(,()2--∞+∞． …20分 [解法二] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于1210864353122x x x x x ++++>+． …5分即6422232262133122(1)2(1)x x x x x x x x +<+++++=+++， )1(2)1()1(2)1(232232+++<+x x xx ， …10分 令3()2g t t t =+，则不等式为221()(1)g g x x<+， 显然3()2g t t t =+在R 上为增函数，由此上面不等式等价于题15图2211x x<+， …15分 即222()10x x +->，解得2x >(2x <)，故原不等式解集为51(,()2--∞+∞． …20分 15．如题15图，P 是抛物线22y x =上的动点，点B C ,在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆，求PBC ∆面积的最小值．[解] 设00(,),(0,),(0,)P x y B b C c ，不妨设b c >．直线PB 的方程:00y b y b x x --=，化简得 000()0y b x x y x b --+=．又圆心(1,0)到PB 的距离为1，1= ， …5分故22222000000()()2()y b x y b x b y b x b -+=-+-+，易知02x >，上式化简得2000(2)20x b y b x -+-=，同理有2000(2)20x c y c x -+-=． …10分 所以0022y b c x -+=-，002x bc x -=-，则 22200020448()(2)x y x b c x +--=-．因00(,)P x y 是抛物线上的点，有2002y x =，则22204()(2)x b c x -=-，0022x b c x -=-． …15分 所以00000014()(2)4222PBC x S b c x x x x x ∆=-⋅=⋅=-++-- 48≥+=．当20(2)4x -=时，上式取等号，此时004,x y ==±因此PBC S ∆的最小值为8． …20分。