高考试题中函数与导数的常见类型与解题策略

相切，求 的取值范围； 分别存在几条直线与曲线
相切？
过定点的三次函数的切线条数，是比较老旧的东西。这类问题处理的方法是，先设切点 ，再设切线，再过定点。通过三次方程根的个数来确定切线条数，结论如下。如图
当定点落在
区域Ⅰ有一条切线 区域Ⅱ有三条切线 对称中心有一条切线 在曲线上和过对称中心的切线（除去对称中心）有两条切线 了解这些结论，会对处理三次曲线的切线起到很大的作用。
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只有一个根 只有一个交点
显然
曲线
与直线
只有一个交点

关于二次求导再举一个例子 3.设函数 f ( x) e
x
k 2 x x. 2
⑴若 k 0 ，求 f ( x) 的最小值；⑵若当 x 0 时 f ( x) 1 ，求实数 k 的取值范围. 第二问. f '( x) e kx 1 ， f ( x) e k
(1)定义域： (2)值域：R，无最值，在 ， (3)奇偶性：非奇非偶 (4)单调性：在 (5)零点 (6)渐近线 对于 我们知道 与 图线关于 y 轴对称，相关性质易知 ， ， ， 递减，在 ， 递增 有极小值
方法 2，不分离参数，直接处理 依题意： 时，方程 转化为 的图像与直线 因为 过原点，求 过 的切线， 求得切点为 ， 所以
2
过点 所以
存在
条切线，只要 P 点在（1，-3）和（1，-1）之间即可
曲线的切线有很重要的地位，好多题目可以通过切线得到解决，下面举几个例子： 2.（2014 北京理数，18） 已知函数 求证： 若 对 恒成立，求 的最大值与 就是 的最小值 在 的最小值 这个范围内夹在两条过原点
本题第二问，整理后为 的直线中间。 的最大值
在点（ 与直线
）处的切线与 x 轴交点的横坐标为-2 只有一个交点。 只有一个根。当 ，不成立。
当
方法 ，分离参数， 令 单调性和图像可知， 则
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当 所以
时， 在 处取得最小值 ， 时，曲线与直线 只有一个交点。
本题的背景是一个基本函数（牛顿三叉线） 年开始在高考题中出现牛顿三叉线。基本性质如下：
这个解答题，做为填空题更好一些。
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陕西理数 设函数 若 本题为 恒成立，求实数 的取值范围 恒成立。换元，整理， 恒成立
这类恒成立问题可以利用图像解决，通常和切线有关。 首先设出不等式两端对应的函数 令
这两个图像都过（1,0） 相切时为临界状态，此时 a=1 所以 a 利用图像法解题，以下三个函数的图像与性质，应要求学生掌握
x ln x x 1 ln x ，于是只需要满足 a f ( x)min ( x e, ), f ( x) ， x 1 ( x 1)2 此时既不好找 f ( x ) 的零点，也不好判断它的正负，只好继续求导
令 在 是增函数 在 因为 上为增函数
x ln x 在 x e, 上恒成立， x 1
导数是解决函数问题的有力工具，也是新课标高考命题的热点。 我们要特别关注导数基础考察的三大类 （利用导数的几何意义解决切线的问题， 利用导数判 断函数单调性， 利用导数研究函数的极值最值以及证明不等式） 。 也要关注导数的综合运用， 关注含参问题的分类讨论，关注逆向求参数，关注转化与构造，关注高等数学背景。对于函 数，除了定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性等基本性质外，也要从对称性，凸凹性， 有界性，二阶导数，拐点，渐近线等新角度进行研究探讨，实现学生能力的提升，取得更好 的成绩。
2
（2）
设
被点
，
分成的两部分为 和
除
该函数在 P 点处的切线为 ,且 和 分别完全位于 l 的两侧，求满足条件的 a. 这两题给出的标准答案很繁琐，第一题先是代入，得到一个关于 t 的不等式，再构造函数 第二题是设出切线，再与函数做差，利用恒成立，通过讨论得到结果。 这两个题，如果看出题的本质，解答是很简洁的。本质就是二阶导数的应用。 第一题，观察一下，发现 f(1)=3,不等式变为： 即 。这就是一个下凸函数。我们知道，一阶导数决定单调性，二阶
第二问，这类问题就是双变量函数中的恒成立与能成立问题。这是比较新的类型，双变量恒 成立与能成立问题有一下四种基本类型 类型 1 等价转换思想，函数 只需要 同理 类型 2 等价转换思想，函数 但并不要求大于 同理 的任一函数值大于函数 的所有函数值，故只需 的某些函数值， 的任一函数值均大于函数 的任一函数值，
因此，本题的证明就可以用函数
和
来过渡
6 正数
满足
求证：
这是一个对称轮换不等式，易知在 a=b=c=1 时取等号，但证明很有难度。这类不等式在高考 中出现的可能性不大，但是在自主招生中可能会有出现，希望引起大家的注意。 这类不等式可以通过构造函数利用切线来证明，这就是所谓切线法证明不等式。 证明如下：令 切线为 所以： 相加： 求在 所以： 处的切线 取等条件为
导数决定凸凹性。本题只要原函数的二阶导数大于 0 即可。 所以 所以 。
在中学范畴内的构造问题，大体从三方面考虑：既结构特征，数字特征，图形特征。 第二题，如果在 P 点处的切线将曲线分成两部分，那么 P 点应该是凸凹性改变的那个点。即 二阶导数为 0 的点。 a=
一般来讲，凡是在题目中涉及到函数的凸凹性，都和二阶导数有关。
三：关于不等式恒成立问题
不等式恒成立， 如果这个含参的不等式， 参数能分离出来， 那么可以考虑分离参数构造函数， 然后求这个构造出来的不含参数的函数的最值。 1.若对所有的 x e, 都有 x ln x ax a 成立，求实数 a 的取值范围
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由题意，分离参数，有 a 令 f ( x)
高考试题中函数与导数的常见类型与解题策略
大连一中周亚明 2014.10.8
函数与导数， 是高中数学中最重要的知识版块， 它是高中数学的一条主线。 特别是导数， 应用广泛，综合性强，是高中数学最具有挑战性的内容。也是高考重点考察的内容。在处理 函数与导数的综合题目上， 大多数学生感到非常困难， 无从入手。 如何有效的突破这一难点， 本文通过一些实例，介绍一些既简单又易操作的通性通法。
x x
当 x 0 时，通过对k的讨论，研究二阶导数的正负，从而知道一阶导数的单调性，从而知 道一阶导数的正负，从而知道 f ( x) 的取值范围。综上得 k 的取值范围为 (,1] .
本题的另一个处理方法是利用泰勒展开式 先证明 要 上面解法中证明 只要 恒成立，想法来源于 右端保留三项便是 通过泰勒展开式我们可以将指数函数对数函数和多项式函数建立起联系， 最终利用多项式函 数解决问题。 这类问题 2010全国卷，2010湖北卷，2012天津卷都考过 关于泰勒展开式，下列结论应该了解 恒成立 即可。所以 的泰勒展开式。
一：函数的单调性，极值与最值
1.（2010 山东） 已知函数 时，讨论 设 使 求实数 的单调性 当 时，对任意 存在
的取值范围
第一问，这类问题是高考试题中最常见的一类，关于含有参数的函数的单调性，通常有着固 定的解法。一般是，对函数求导，让导数为 0，得到一个含有参数的方程。再研究这个方程 的根。 主要考虑这个方程有没有根， 如果没有根， 意味着导数恒正或恒负， 函数递增或递减。 如果方程有根，要考虑有几个根，这些根是否在函数的定义域里。通过这些根将定义域分成 若干个子区间，最后再每个子区间里判断导数的正负，从而解决函数单调性的问题。这种分 类讨论高考一直在重点考察。
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类型 3 等价转换思想，函数 的某些函数值大于函数 的任一函数值， 只要有 的函数值大于函数 的函数值，故只需 同理 类型 4 等价转换思想，函数 的某些函数值大于函数 都只要求有这样的函数值，不要求所有的函数值，故只需 同理 的某些函数值
二：函数的切线问题
1. 北京卷文数， 已知函数 求 在区间 上的最大值； 若过点 存在 条直线与曲线 问过点 ， ， ， 只需要写出结论
时，
易知： 在 广义对称轴 若 即证： 令 所以 所以
， 递增，在 ， ，可令 等价于
递减，
时，
先证明，对任意
由于 ，
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上述解法，主要是通过广义对称轴，构造出不等式，将双变量函数转化为单变量函数。从而 使关于 的不等式得到简化。再利用单调性，使求证问题得到证明。 2.二阶导数 （1）已知函数 f ( x) x 2 x a ln x ，当 t 1时，不等式 f (2t 1) 2 f (t ) 3 恒成立， 求实数 a 的取值范围。
当一阶导数的零点和正负很难判断时， 通常要二次求导， 利用二阶导数的正负得到一阶导数 的单调性，从而知道一阶导数的正负。二次求导是很重要的手段。 这个题要是利用图像去解，非常简洁
x e, 时 在 上方，临界状态为 过
斜率问题。
关于图像的应用，再举一个例子 2.（2014 新课标 2，文，21 题） 函数 曲线 （1）求 a （2）证明：当 时，曲线 依题意： 时，方程 有下面两种方法：
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关于不等式恒成立问题，数形结合是一种简洁的方法，当函数图像可画，参数几何意义明显 的时候，要大胆应用。不等式恒成立是高考永恒的主题！ 已知 令 只要它们在 恒成立，求 这两个函数都过 有公切线即可 下凸， 上凸
两个函数求导，在
处斜率相等，a=1
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5.2013 全国卷： 当 时，求证：
分析一下，当 时 再研究一下 与 的关系 一个上凸一个下凸，有公切线
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： ： ： ： ： ：
四：函数与导数的综合应用
函数与导数的综合应用，类型很多。下面简略说说单峰函数的广义对称和二阶导数问题。 1.单峰函数的广义对称问题 。 单峰函数 ，存在一个极大值点 x=m。 在极值点的两侧，当 有 称 x=m 为函数 的广义对称轴。 在这种广义对称中，以 ，m, 之间的关系为背景的考题时常出现，下面给出一种处理这类 问题的方法。 湖南文 已知 求 的单调区间 证明：当 题