5.3.1_实数与向量积 ppt
实数与向量积及几何意义 PPT课件 图文
M u u u B r1 2 u D u u B r1a 2 -b 1a 2 1b2
22
22
M uuuC ur1u A uC ur1a1b 2 22
M u u u D u r M u u u B r 1u B u D u r 1a 1b 2 22
课堂小结
1.向量数乘的定义 2.向量数乘的运算律 3.向量共线基本定理 4.定理的应用
2.2.3 向 量 数 乘 运 算 及 其 几何意义
温故知新 1、向量加法的三角形法则
A
B
a a a a a a a a aa
注意：
b
b
b b bO b
b
bb
a+b
各向量“首尾相连”，和向量由第一
个向量的起点指向最后一个向量的终点.
温故知新 2、向量加法的平行四边形法则
Db C
a a a a a a a a a a a+b
OA
B
C
N
M
QP
u u u r u u u r u u u r u u C a a a 记: aaa3a
即:
uuur r OC3a.
同理可得:
u u u r r r r r P N ( a ) ( a ) ( a ) 3 a
任意实数，则有：
(1)(a) ()a (2)()aaa (3)(ab) ab
例题解析
例1：计算题
(1)(3)4a
r 12a
(2) 3(ab)2(ab)a
r 5b
(3) (2a3bc)(3ar2brcr)
a=-2b a,b共线
例题解析
例2.u u 如u r 图,已知u 任u u r 意两个非零u u u 向r 量 a, b, 试作 O A a + b , O B a 2 b , O C a 3 b 你能判断
5.3.1实数与向量积ppt
2(ab)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ab
2b
2a
一般地: (a b)ab
运算律：
引
练习(课本)
作业提示9
并进行比较。 a
3(2a)
2a
6a
3(2a)
=
6a
一般地: (a )()a
(2)根据定义,求作向量5a和2a+3a，并进行比较。
a
5a
2a
3a
(2 3 )a 2 a 3 a
一般地：()a a a
(3)并已进知行向a比量较a,。bb,求作向量2 (2a (a +b b) )和 22 aa +2 b2 ，b
有且只有一个实 ,使 数得ba.
运算律
(1)根据定义,求作向量3(2a)和(6a) (a为非零向量), 并进行比较。
(2)根据定义,求作向量5a和2a+3a，并进行比较。
(3)已知向量 a,b,求作向量2(a+b)和2a+2b， 并进行比较。
律练
(1)根据定义,求作向量3(2a)和(6a) (a为非零向量),
实数与向量的积（一）
复习回顾
ab ba
4.向(a量的b)减法c a(bc)b
O
B
ab
a
A
问题1：
aaa OA B C
-a -a -a N M QP
定义：
问题: 若ba,(其中 为实,且 数 a0,)
则a与b的关系是 ? 共什线么
定理
向量b与非零向a量 共线的充要条件
53实数与向量的积
5.3 实数与向量的积 共线条件的选择题例1．已知向量a 、b 是两非零向量，在下列四个条件中，能使a 、b 共线的条件是（ ）①e b a 432=-且e b a 32-=+；②存在相异实数λ、u ，使0=+b a u λ；③0=+b a y x （其中实数x 、y 满足0=+y x ； ④已知梯形ABCD 中，其中a =、b =．A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④分析：A 、B 均含有①，而C 、D 均含有④，所以可先判定①或④．若①能使a 、b 共线，则只有从A 、B 中进一步作出选择，若①不能使a 、b 共线，则应从C 、D 中进一步作出选择．首先判定①能否使a 、b 共线．由向量方程组：⎩⎨⎧-=+=-eb a ,e b a 32432可求得：a b ,e b ,e a 1071071=∴-=-=，∴a 、b 共线，因此可排除C 、D ．而由②可得λ、u 是相异实数，所以λ、u 不同时为0，不防设a b uλu -=∴≠,0，故a 、b 共线，所以排除B ，选择A ．答案：A小结：条件③中当0==y x 时，就不能得到a 、b 共线．其实，在条件③中若添上0≠x ，则不仅可得a 、b 共线，而且可得b a =． 条件④中没有明确AB 、CD 是上、下底，因此它们也可能是两腰，故条件④不能得到a 、b 共线．判断命题真假例1、判断下列命题的真假：（1）若与CD 是共线向量，则D C B A ,,,四点共线． （2）若0=++CA BC AB ，则C B A ,,三点共线． （3）R ∈λ，则a a >λ．（4）平面内任意三个向量中的每一个向量都可以用另外两个向量的线性组合表示．分析：本题涉及平行向量（共线向量）、向量的加法、平面向量基本定理、向量的模、实数与向量的积等重要概念、运算及定理．学习时，应注意这些定义、定理、法则的条件和结论．使用时，注意借用平面向量的几何表示，利用图形直观分析．解：四个命题均是错误的．命题（1）涉及对平面向量与共线向量的理解．由于我们研究的向量是自由向量，故任何一组平行向量均可移到同一条直线．因此平行向量就是共线向量，这与平面几何中所研究的直线或线段的平行、共线有区别．平面几何中平等与共线是指两种不同的位置关系，故这里所说的与共线，不能保证D C B A ,,,四个点在一条直线上，所以命题（1）是不正确的．命题（2）中的0=++CA BC AB ，有C B A ,,三点共线与不共线两种情形．如图所示．因此由0=++不能保证C B A ,,三点一定共线．故命题（2）不正确． 但应提醒，命题（2）的逆命题是真命题，即若C B A ,,三点共线，则0=++CA BC AB ． 命题（3）是比较实数λ与向量a 的乘积所得向量a λ与a 的模的大小． 当0≠a 时，a a ≤≤λλ,1．当0=a 时，不论λ为何实数，0==a a λ． 仅当1>λ，且0≠a 时，a a >λ．故命题（3）也不正确．命题（4）涉及平面向量基本定理，作为表示平面向量的一组基底必须是不共线的两个向量，才能保证平面内任何一个向量的线性组合形式存在而且唯一．忽略了不共线的条件，其结论可能不存在，或虽然存在但不唯一．如图所示，1e 与2e 是共线向量，则a 关于1e 与2e 的线性组合形式不唯一．如图，其中1122,e a e e ==-=．那么22121,3,e a e e a e e a -=+=-=…，形式不唯一，故命题（4）也是不正确的． 正确的表述应为，平面内互不共线的三个向量中的每一个向量中都可以用另外两个向量的线性组合表示．小结：命题的判断是考查对概念、性质、定理等知识的理解，为知识的应用做好铺垫．三点共线及向量共线时参数值例1．设两非零向量1e 和2e 不共线，（1）如果21e e +=，2182e e +=，()213e e -=，求证A ，B ，D 三点共线．（2）试确定实数k ，使21e e k +和21e k e +共线．分析：要证明A ，B ，D 三点共线，须证存在λ使()21e k e +=λ即可 ．而若21e e k +与21e k e +共线，则一定存在λ，使()2121e k e e e k +=+λ．（1）证明 ∵21e e +=，()e e e e e e 553382212121=+=-++=+=，∴，共线，又有公共点B ∴A ，B ，D 三点共线．（2）解 ∵21e e k +与21e k e +共线， ∴存在λ使()2121ek e e e k +=+λ，则()()211e k e k -=-λλ，由于1e 与2e 不共线，只能有⎩⎨⎧=-=-010k k λλ则1±=k ．小结：本题充分地运用了向量共线的充要条件，即与共线⇔存在λ使λ=（正用与逆用）．三角形中向量的运算例1、如图，已知在ABC ∆中，D 是BC 上的一点，且λ=DCBD，试求证：λλ++=1ACAB分析：在要证的等式中，不含向量、，只含有向量与。
实数与矢量的积 说课 课件
设计意图 引导学生进 行课堂小结， 并对学法给 予指导
小结
教学环节
教学程序
设计意图 巩固所学知识，强 化基本技能的培训， 培养学生良好的学 习品质。
课本P110 2、3、4、5
布置作业 板书设计
五．单元课结评价：
本节课的设计最大的特色在于向量共线定理 的应用过程中例题的安排，按照一定的梯度，从 直接应用到间接应用，符合学生的认知规律，特 别是体现了向量知识在解决几何问题的便捷性， 也符合高考考纲中要求学生熟练掌握以向量为工 具解决问题的能力，其次本节课对教学疑点有作 进一步的阐明，不仅发现问题也解决了问题，达 到很好的教学效果。
一般地，实数 与向量 a 的积是一个向量， 记作 a 它的长度与方向规定如下： 1、| a |=| || a | a 方向与a 的方向相同， 2、当 ＞0时， a方向与 a 的方向相反， 当 ＜0时， a = 0 当 =0时 ，
教学环节
教学程序
设计意图
运算律
实数与向量的积也可称 为数乘向量，它与向量 运算律的给出采用开 的加法、减法以及它们 门见山的方式，但可 的混合运算称为向量的 说明证明这些运算律 线性运算。 成立的关键，是证明 根据实数与向量的定义， 等式两边的向量的模 可以得出下面的运算律： 相等，且方向相同。 1、 ( a) ( )a
教学环节
教学程序
设计意图 由数与数的积的概 念推广到实数与向 量的积，这不仅符 合从已知到未知的 探索规律，也对后 面启发学生发现向 量的线性运算与代 数运算中实数乘法 的运算律的相似性 作了一个铺垫。
在代数运算中， a+a+a=3a，故实数乘法 可以看成是相同实数加法 引入课题 的简便计算方法，所以相 同向量的求和运算也有类 似的简便计算，由此引入 本节的课题“实数与向量 的积”
实数与向量的乘积
实数与向量的应用
实数与向量的乘积在物理、工程 等领域有着广泛的应用，如力的 合成与分解、速度的计算等。
03
实数与向量的乘积运算
乘积的运算规则
结合律
对于任意实数λ、μ和向量a，有λ(μa) = (λμ)a。
分配律
对于任意实数λ、μ和向量a、b，有(λ + μ)a = λa + μa，λ(a + b) = λa + λb。
来得到。
在工程中的应用
结构力学
在工程学中，实数与向量的乘积被广泛应用 于结构力学。例如，桥梁或建筑物的结构分 析需要考虑各种力的作用，这些力可以用向 量表示，并通过实数与向量的乘积进行计算 和分析。
电气工程
在电气工程中，电流、电压和电场强度等物 理量都是向量。实数与向量的乘积可以用来 计算电路中的功率、能量等参数。
03
代数性质
实数与向量的乘积满足一系列代数性 质，如结合律、分配律等，这些性质 使得向量运算更加灵活和方便。
对未来研究的展望
拓展应用领域
实数与向量的乘积作为一种基础的数学工具，在物理、工程、计算机图形学等领域有广泛的应用。未来可以进一步探 索其在其他领域的应用，如机器学习、数据分析等。
高维向量空间的研究
目前对实数与向量的乘积的研究主要集中在二维和三维向量空间。未来可以拓展到更高维度的向量空间，研究高维空 间中实数与向量的乘积的性质和应用。
与其他数学概念的结合
实数与向量的乘积可以与其他数学概念相结合，如矩阵、张量等，产生更丰富的数学结构和性质。未来 可以探索这些结合所带来的新的数学理论和应用。
THANKS
实数与向量的积PPT优选课件
1
复 习 向量的加法(三角形法则)
引入练习 如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.
新课讲解
b
例题讲解 a o
作法:在平面中任取 一点o,
过O作OA= a
定理讲解
课堂练习
a
A
小结回顾 2020/10/18
a+b 过A作AB= b
则OB= a+b. bB
2
复 习 向量的加法(平行四边形法则)
a 新课讲解
2a+2b，并进行比较。 3(2a)
例题讲解 定理讲解 课堂练习
b
a
3(2a)=
6a
2a2b
ab
小结回顾 2020/10/18
2 ( a b ) 2 a 2 b2a
2b
7
复习
设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有 引入练习 ①λ(μa)=(λμ) a
②(λ+μ) a=λa+μa
问题1：如果 b=λa ,
新课讲解
那么，向量a与b是否共线？
例题讲解
问题2：如果 向量a与b共线 那么，b=λa ？
定理讲解
课堂练习 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是 有且只有一个实数λ，使得 b=λa
小结回顾 2020/10/18
9
复习 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只
当λ<0时,λa的方向与a方向相反； 例题讲解 特别地，当λ=0或a=0时, λa=0
定理讲解 课堂练习 小结回顾 2020/10/18
课本P105-1,2 (比较两个向量时,主要看它们的长度 和方向)
6
复 习 (1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为
实数与向量积及几何意义
实数与向量积及几何意义1.点积（内积）：点积，也称为内积或数量积，是两个向量的一个二元运算。
对于给定的两个n维向量A和B，其点积定义为：A·B=A1B1+A2B2+…+AnBn其中A1,A2,…,An和B1,B2,…,Bn表示向量A和B的分量。
点积有以下几个重要性质：（1）交换律：A·B=B·A；（2）分配律：(A+B)·C=A·C+B·C；（3）结合律：k(A·B)=(kA)·B=A·(kB)其中k是一个实数；（4）A·A=，A，^2，其中，A，表示向量A的长度。
点积的几何意义是通过向量的长度和夹角来描述向量之间的关系。
具体来说，A·B是A和B的长度的乘积与它们之间的夹角的余弦的乘积。
特别地，当A·B=0时，表示向量A和B垂直或正交；当A·B>0时，表示向量A和B之间的夹角小于90度；当A·B<0时，表示向量A和B之间的夹角大于90度。
这个性质对于判断两个向量之间的几何关系非常有用。
2.叉积（外积）：叉积（也称为向量积、外积或叉乘）是两个向量的二元运算。
对于给定的三维向量A和B，其叉积定义为：A×B=(A2B3-A3B2,A3B1-A1B3,A1B2-A2B1)其中A1,A2,A3和B1,B2,B3表示向量A和B的分量。
叉积有以下几个重要性质：（1）反交换律：A×B=-B×A；（2）分配律：A×(B+C)=A×B+A×C(B×C)×D=(A×D)×(B×C)其中A,B,C和D是向量；（3）结合律：k(A×B)=(kA)×B=A×(kB)其中k是一个实数；（4）A×B=0当且仅当A和B共线。
叉积的几何意义是通过向量的长度和夹角来描述平面上的向量之间的关系。
实数与向量的积PPT教学课件
A．AO B．BO C． CO D． DO
06《世界分区 －东亚和日本》
一、东亚概况
1、位置和范围
东亚在亚洲的东部、太平洋的西侧,包括 中国、朝鲜、韩国、蒙古和日本等国家 ( 见下图)。其中朝鲜、蒙古同我国接壤, 日本、韩国与我国隔海相望。
• ①森林多，山区是我国森林资源主要分布地区: 最大 林区是东北原始林区包括大小兴安岭和长白山,第二 大林区是西南原始林区包括喜马拉雅山南坡和雅鲁藏 布江大拐变处以及横断山区,第三是东南丘陵人工次 生林区包括台闽赣等;
• ②丘陵可发展林果，丘陵多己开辟为梯田、果园、或 栽培经济林木;
• ③名山成旅游资源，少数挺拔峻峭的山峰成为名山和
• (2)东亚的气候显著成因
• 东亚是世界上季风气候最显著的地区之一。冬季盛 行偏北风,风由寒冷的西伯利亚和蒙古高原吹向太 平洋,风力强劲( 图),受其影响,大部分地区气候寒 冷干燥。夏季盛行偏南风,风从太平洋、印度洋带 来丰沛的水汽( 图)。降水由沿海向内陆减少。
亚洲亚洲东部一月的气压和风向
亚洲东部七月的气压和风向
• 朝鲜、日本最早都曾使用汉字,至今日本文字中仍 保留不少汉字。朝鲜的音乐、舞蹈在隋唐时已传 入中国。
二、日本
• 1、日本的地理位置:
• 中国一衣带水的近邻
日本位于亚洲的东部，东
濒太平洋，西面濒临日本
海，隔海与中国、朝鲜、
韩国和俄罗斯相望。
• 2、日本的领土组成和
太 平
概况
洋
• 日本领土是由北海道、本
• 4、居民
• 1 人口超一亿
• 2 单一民族——大和民族 • 3 兼有东西方文化特点
实数与向量的积3(PPT)5-1
|3a|=3|a|
N M QP PN PQ QM MN =(-a)+(-a)+(-a) 记作-3a
-3a与a方向相反
|-3a|=3|a|
?ɑ动批评缺点；指责：有意见要当面提，别在背地里～人。 【褒称】①〈书〉动用赞美的言辞来称呼。②名赞美的称呼；含有褒义的称呼。 【褒词】名褒 义词。 【褒奖】动表扬和奖励：～有功人员｜在大桥落成庆典上，许多先进工作者受到了～。 【褒扬】动表扬：～先进。 【褒义】名字句里含有的赞许或 好的意思：～词。 【褒义词】名含；https:// 贵州人事考试网 ；有褒义的词，如“坚强”、“勇敢”等。也叫褒词。 【?】①〈书〉 小瓜。②见页〖马?儿〗。 【雹】冰雹。 【雹灾】名冰雹造成的灾害。 【雹子】?名冰雹的通称。 【薄】形①扁平物上下两面之间的距离小（跟“厚”相对， 下??同）：～板｜～被｜～片｜这种纸很～◇家底～。②（感情）冷淡；不深：待他的情分不～。③（味道）不浓；淡：酒味很～。④（土地）不肥沃：这 儿地～，产量不高。 【薄饼】名一种面食，用烫面做饼，很薄，两张相叠，烙熟后能揭开。 【薄脆】名①一种糕点，形状多样，薄而脆。②一种油炸面食， 薄而脆。 【饱】（飽）①形满足了食量（跟“饿”相对）：我～了，一点也吃不下了。②形饱满：谷粒儿很～。③足足地；充分：～经风霜。④满足：一～ 眼福。⑤中饱：克扣军饷，以～私囊。 【饱餐】动饱饱儿地吃：～了一顿｜～容易诱发心绞痛。 【饱尝】动①充分地品尝：～美味。②长期经受或体验：～ 艰苦。 【饱读】动大量阅读：～经史。 【饱嗝儿】名吃饱后打的嗝儿。 【饱含】动充满：眼里～着热泪｜胸中～着对祖国的热爱。 【饱汉不知饿汉饥】īī 比喻处境好的人，不能理解处于困境中的人的痛苦和难处。 【饱和】动①在一定温度和压力下，溶液所含溶质的量达到最大限度，不能再溶解。②泛指事物 在某个范围内达到最高限度：目前市场上洗衣机的销售已接近～。 【饱经沧桑】ī形容经历过很多世事变迁。 【饱经风霜】ī形容经历过很多艰难困苦。 【饱 览】动充分地看；尽情地观赏：～名山胜景｜航天旅行，可～天外奇观。 【饱满】形①丰满：颗粒～。②充足：精神～｜～的热情。 【饱食终日】一天到晚 吃得饱饱的，形容无所事事。 【饱学】形学识丰富：～之士。 【饱以老拳】用拳头狠狠地打。 【饱雨】〈方〉名透雨。 【宝】（寶、寳）①名珍贵的东西：
实数与向量的积.ppt[下学期] 新人教版
![实数与向量的积.ppt[下学期] 新人教版](https://img.taocdn.com/s3/m/ae1246a0d0f34693daef5ef7ba0d4a7303766c56.png)
You made my day!
我们，还在路上……
教学目的
• 掌握实数与向量积解决一些问题，培养 学生运算分析能力与数形结合能力
• 教学重点与难点： • 实数与向量积的运用方法与技巧 • 教学方法 ：尝试、启发 • 教学工具：电脑辅助
练习课
诊断练习
(1)AB BC ___AC_______,OA OB _B_A________;
(2)AC CD DA ___0 _______,
AB BC AD __D__A___;
(3) 3 5a ____1_5a____; (4)2(a b) 7(a b) ____1__5a___9_b_____; (5)(a 3b c) (4a 3b 5c) _3_a_ __6_b__6_c___; (6)已知平行四边形ABCD 中，AC a, BD b则
D
C
E
F
A
B
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月1日星期二2022/3/12022/3/12022/3/1 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/12022/3/12022/3/13/1/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/12022/3/1March 1, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/12022/3/12022/3/12022/3/1
行于第三边，且 三等 边于 的第 一 . 半
已知A ：B中 C， D、E分别A是 B 、A
向量积_精品文档
向量积1. 引言向量积是向量运算中的一种重要概念。
它在物理学、工程学和计算机科学等领域中广泛应用。
本文将介绍向量积的定义、计算方法、性质以及应用。
2. 向量积的定义向量积，又称为叉乘或叉积，是两个向量的一种二元运算。
给定空间中的两个向量a和b，它们的向量积用符号a × b表示。
向量积的结果是一个新的向量，垂直于原先两个向量所在的平面。
3. 向量积的计算方法向量积的计算方法可以通过以下公式表示：a ×b = |a| |b| sinθ n其中，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模（长度），θ表示夹角，n是单位矢量，垂直于向量a和向量b所在的平面，其方向由右手法则确定。
4. 向量积的性质向量积具有以下几个重要性质：4.1 非交换性向量积不满足交换律，即a × b ≠ b × a。
这是因为向量积的结果不仅与两个向量的模和夹角有关，还与向量的顺序有关。
4.2 分配律向量积满足分配律，即a × (b + c) = a × b + a × c。
这意味着可以先计算向量的和，然后再进行向量积的运算。
4.3 零向量如果两个向量a和b平行或其中任一向量为零向量，那么它们的向量积为零向量，即a × b = 0。
4.4 模的性质向量积的模等于两个向量的模的乘积与夹角的正弦值的乘积，即|a × b| = |a| |b| sinθ。
5. 向量积的应用向量积在多个领域中有广泛的应用，下面将介绍其中的几个应用：5.1 物理学中的力矩在物理学中，力矩是一个重要的概念。
力矩的大小可以通过向量积计算得到。
对于一个力F作用在物体上，该力关于某一点O的力矩定义为力F与从点O到作用点的向量的向量积。
5.2 电磁学中的洛伦兹力在电磁学中，洛伦兹力是描述带电粒子在磁场中受力的基本定律。
洛伦兹力F 可以通过带电粒子的电荷q、电场强度E以及磁场强度B进行计算，公式为F =q(E + v × B)。
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( 一般地： ) a a a
(3)已知向量 a,b,求作向量2(a+b)和2a+2b， 并进行比较。
a
b
2(a b ) 2a 2b
2(a b )
a b
2b
2a
一般地: ( a b ) a b
运算律：
引
练习(课本)作业提示9实数与向量的积（一）复习回顾
ab ba (a b) c
B
a b
4.向量的减法
a ( b c) b
O
a
A
问题1：
a O A
a B
a C N
-a M
-a
-a Q P
定义：
问题:
若 b a , ( 其中 为实数 , 且 a 0 , ) 则 a 与 b的关系是什么 ?
律练
(1)根据定义,求作向量3(2a)和(6a) (a为非零向量), 并进行比较。
a
2a
3(2 a )
6a
3(2 a )
=
6a
一般地:
( a ) ( ) a
(2)根据定义,求作向量5a和2a+3a，并进行比较。
a
5a
2a
3a
( 2 3) a 2 a 3a
共线
定
向量 b 与非零向量 有且只有一个实数
理
a 共线的充要条件是
, 使得 b a .
运算律 (1)根据定义,求作向量3(2a)和(6a) (a为非零向量), 并进行比较。
(2)根据定义,求作向量5a和2a+3a，并进行比较。
(3)已知向量 a,b,求作向量2(a+b)和2a+2b， 并进行比较。