等差数列复习讲义

等差数列复习讲义
【知识梳理】
1．等差数列的有关定义
（1）一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的 等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等差数列．符号表示为____________ (*,n N d ∈为常数)． （2）数列,,a A b 成等差数列的充要条件是__________，其中A 叫做a ，b 的__________． 2．等差数列的有关公式
（1）通项公式：n a = ，n m a a =+ (,*m n N ∈)．
（2）前n 项和公式：n S = ＝ ＝ 。

结论：21(21)(*)n n S n a n N -=-∈。

说明： 1,,,,n n a d n a S “知三求二”。

3．等差数列的前n 项和公式与函数的关系
21()22
n d d
S n a n =
+-。

数列{}n a 是等差数列的充要条件是其前n 项和公式n S = 。

4．等差数列的性质
（1）若(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈，则有 ，特别地，当2m n p +=时， 。

（2）等差数列中，232,,,m m m m m S S S S S -- 成等差数列。

（3）等差数列的单调性：若公差0d >，则数列为 ；若0d <，则数列为 ；若0d =，则数列为 。

【典型例题】
题型一、等差数列的基本量运算
例1 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知102030,50a a ==，
（1）求通项n a ；（2）若242n S =，求n 。

变式：设等差数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，它的前10项和10110S =，且124,,a a a 成等比数列，求公差d 和通项公式n a 。

练习：1、（2010辽宁）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若363,24S S ==，则9a = 。

2、（2012福建）等差数列{}n a 中，15410,7a a a +==，则数列{}n a 的公差为 。

3、（2012北京）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若1231
,2
a S a =
=，则2a = ，n S = 。

4、已知等差数列1,,a b ，等比数列3,2,5a b ++，则该等差数列的公差为 。

5、设数列{}n a 满足1236,4,3a a a ===，且数列1{}(*)n n a a n N +-∈是等差数列，求数列{}n a 的通项公式． 4、（2010山东）已知等差数列{}n a 满足：3577,26,{}n a a a a =+=的前n 项和为n S 。

（1）求n a 及n S ；（2）令2
1
(*)1
n n b n N a =
∈-，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

题型二、等差数列中范围与最值问题
例2、设1,a d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足56150S S +=则d 的取值范围是 。

变式：在等差数列{}n a 中，1110
1a
a <-，若它的前n 项和n S 有最大值，那么{}n S 中最小的是第_____项
练习：1、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若780,0a a ><，则下列结论正确的是（ ） A ．78S S < B ．1516S S < C ．130S > D ．150S >
2、等差数列{}n a 中，191725,a S S ==，数列{}n a 最大值是 。

3、（2011·厦门）已知数列{}n a 满足122(*)n n n a a a n N ++=+∈，它的前n 项和为n S ，且3610,72a S ==。

若
1
302
n n b a =
-，求数列{}n b 的前n 项和的最小值． 4、（2012湖北）（1）已知等差数列{}n a 前三项的和为3-，前三项的积为8.求等差数列{}n a 的通项公式； （2）等差数列{}n a 中,“111146,0,77a a S ≥>≤，且公差d ，首项1a 均为整数”，求等差数列{}n a 的通项公式．
题型三、等差数列性质的应用
例3、若一个等差数列的前5项之和为34，最后5项之和为146，且所有项的和为360，求这个数列的项数．
变式、已知数列{}n a 是等差数列．
（1）前四项和为21，末四项和为67，且前n 项和为286，求n ；（2）若220,38n n S S ==，求3n S ； （3）若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．
练习：1、在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则9111
3
a a -
的值为 。

2、（2010·湖南师大附中）若等差数列{}n a 的前5项之和525S =，且23a =，则7a = 。

3、（2013年石家庄模拟）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且8310S S -=，则11S 的值为 。

4、在数列{}n a 中，若点(,)n n a 在经过点(5,3)的定直线l 上，则数列{}n a 的前9项和9S = 。

5、（2009海南、宁夏）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知211210,38m m m m a a a S -+--+==，则m = 。

6、（2010泰安）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若5359a a =，则95
S
S = 。

7、两个等差数列{},{}n n a b ，其前n 项和分别为,n n S T ，若对n +∈N 有
7223n n S n T n +=+成立，则55
a b = 。

8、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知33
2220122012(1)2013(1)1,(1)2013(1)1a a a a -+-=-+-=-，则
2013S = 。

题型四、等差数列综合应用
例2、已知数列{}n a 中，1131,2(2,*)5n n a a n n N a -=
=-≥∈，数列{}n a 满足1(*)1
n n b n N a =∈-。

（1）求证：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列{}n a 中的最大值和最小值，并说明理由．
变式、已知数列{}n a 的首项为13a =，通项n a 与前n 项和n S 之间满足12(2)≥n n n a S S n -=⋅． （1）求证：1
{
}n
S 是等差数列，并求公差；（2）求数列{}n a 的通项公式．
练习1、已知点1
(1)3
,是函数()x f x a =（0a >且1a ≠）的图象上一点，等比数列{}n a 的前n 项和为()f n c -，
数列{}(0)n n b b >的首项为c ，且前n 项和n S 满足11(2)n n n n S S S S n ---=+≥． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式．（2）若数列11{
}n n b b +⋅前n 项和为n T ，问1000
2009
n T >的最小正整数n 是多少?
2、（2010广东湛师附中）在数列{}n a 中，1111,30(2)n n n n a a a a a n --=+-=≥。

（1）证明数列1
{}n a 是等差数列；
（2）求数列{}n a 的通项； （3）若1
1
n n a a λλ++≥对任意2n ≥的整数恒成立，求实数λ的取值范围．
3、数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，点1(,)n n S S +在直线1
1(*)n y x n n N n
+=
++∈上． （1）求证：数列{}n S
n
是等差数列；（2）若数列{}n b 满足2n a n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ；
4、已知数列{}n a 中，15a =且1221(2n n n a a n -=+-≥且*)n N ∈． （1）求23,a a 的值。

（2）是否存在实数λ，使得数列{
}2n n
a λ
+为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
5、在等差数列{}n a 中，16171836a a a ++=-，其前n 项和为n S 。

（1）求n S 的最小值，并求出n S 取最小值时n 的值．（2）求12||||||n n T a a a =+++ 。