安徽省皖江名校联盟2020届高三第一次联考试题(8月) 数学(文)(含解析)

数 学 (文科)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A {}{}1,2,3,4,3B x x ==<，则A B ＝A. {}1,2,3B. {}1,2C. {}13x x ≤≤D. {}13x x <<2.已知复数(1)z i =，则z =A. 1+B. 1C. iD. i -3.某地甲、乙、丙三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为300，400，500，现为了调查联考数学学科的成绩，采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取一个容量为120的样本，那么在乙学校中抽取的数学成绩的份数为A.30B.40C.50D.80 4.已知0.44log m =，0.44n =，050.4p =，则A. m <n <pB. m <p <nC. p <n <mD. n <p <m 5.已知a ，b 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则 A. a α，a ⊥b ，则b ⊥α B. a ⊥α，a ⊥b ，则b α C. ,,,a b a b ααββ⊂⊂，则αβD. ab =A, ,,,a b a a αααβ,则αβ6.数学老师要从甲、乙、丙、丁、戊5个人中随机抽取3个人检查作业，则甲、乙同时被抽到的概率为 A. 110 B. 15 C. 310 D. 257.已知双曲线2222x y a b-＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为A. B.2 C.D.8.要得到函数3y x =的图象，只需将函数sin 3cos3y x x =+的图象A.向右平移34π个单位长度 B.向右平移2π个单位长度 C.向左平移个4π单位长度 D.向左平移个2π单位长度9.已知实数x ，y 满足200340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则z x y =-+的取值范围是A.[-4,2]B.[-4,0]C.[-2,-4]D.[-2,4]10. 定义在R 上的奇函数f (x )满足，当x ≤0时f (x )＝e x -e —x ，则不等式f (x 2-2x )f (3)＜0的解集为 A.(-1,3) B.(-3,1) C.(-∞，-1)(3，+∞) D.(-∞，-3)(1，+∞) 11. 过原点O 作直线l :(2m +n )x +(m -n )y -2m +2n ＝0的垂线，垂足为P ，则P 到直线x -y +3＝0的距离的最大值为 A.+1 B.+2 C.D.12.已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，斜率为直线l 过点F 与抛物线交于A 、B 两点，过A 、B 作抛物线准线的垂线，垂直分别为C 、D 两点，M 为线段AB 的中点，则△CDM 是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形第Ⅱ卷注意事项:第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效。

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22题第～23题为选考题，考生根据要求作答二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在横线上 13. 13.已知向量a ＝(2，3)，b ＝(-1，m )，且a 与a b +垂直，则m ＝______。

14.已知所有项均为正数的等比数列{}n a 的前项和为S n ，若a 1＝1，S 4＝a 4+21，则公比q ＝_______________。

15.已知锐角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点(sin3，-cos3)，则角θ的值为_______。

16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，A ＝2B ，则c ＝_____。

三、解答题:本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写在答题卡上的指定区域内 17.(本小题满分12分)已知数列{}n a 满足2222111,(1)2(1),n n a n a n a n n n N *+=-+=+∈，设n b ＝2na n(I)求数列{}n b 的通项公式; (II)求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和S n某电器店周年庆举行为期六天的促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，第五天该电器店老板对前五天中参加抽奖活动的人数进行统计，y 表示第x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下:(1)若y 与x 具有线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ＝bx +a ;(Ⅱ)预测第六天的参加抽奖活动的人数(按四舍五入取到整数)参考公式与参考数据:19.(本小题满分12分)如图所示，四棱锥S —ABCD 中，平面SCD 平面⊥ABCD ，∠SDC ＝ ∠BCD ＝∠ADB ＝2∠CBD ＝2∠ABD ＝90°，E 为线段SB 的中点，F 在线段BD 上，且EF ⊥平面ABCD (I)求证:CE ∥平面SAD;(Ⅱ)若BC ＝2，∠ECF ＝45°，求点F 到平面SBC 的距离。

20.(本小题满分12分)函数2()ln xf x ae x x =+- (e 为自然对数的底数)，a 为常数，曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为(e +1)x -y =0 (1)求实数a 的值; (Ⅱ)证明:f (x )的最小值大于5ln 24+已知点P 为圆x 2+y 2＝4上一动点，PQ ⊥x 轴于点Q ，若动点M 满足323OM OP OP -=+ (1)求动点M 的轨迹E 的方程;(Ⅱ)过点(1，0)的直线l1l2分别交曲线E 于点A ，C 和B ，D ，且l 1⊥l 2，证明11AC BD+为定值请考生从第22、23题中任选一题做答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分;多涂、多答，按所涂的首题进行评分;不涂，按本选考题的首题进行评分22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为2cos 1cos 2x ϕϕ=⎧⎨+⎩(ϕ为参数)，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为()3R πθρ=∈(1)求曲线C 2的直角坐标方程;(Ⅱ)求曲线C 1与曲线C 2交点的直角坐标23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数()124f x x x =-++ (1)求不等式f (x )＞6的解集;(Ⅱ)若()10f x m --≥恒成立，求实数m 的取值范围数学参考答案（文科）题 号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D B B D C D C A A A C1.【解析】{1,2}AB =，故选B.2.【解析】因为(12)2i z i -=+，所以2(2)12(12)i i iz i i i i++===--，所以z i =-.3.【解析】甲乙丙三所学校抽样比为3：4：5，所以应在丙学校应抽取1120403⨯=. 4.【解析】因为0.40.54log 0.40,41,00.41m n p =<=><=<，所以m p n <<.5.【解析】由a ，b 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，知：在A 中，//a α，a b ⊥，则b 与α相交、平行或b α⊂，故A 错误； 在B 中，a α⊥，a b ⊥，则//b α或b α⊂，故B 错误；在C 中，a α⊂，b α⊂，//a β，//b β，则α与β相交或平行，故C 错误； 在D 中，a b A =，//a α，//b α，//a β，//b β，则由面面平行的判定定理 得//αβ，故D 正确．故选D ．6.【解析】从5个人中随机抽取3人，所有的情况为（甲、乙、丙），（甲、乙、丁），（甲、乙、戊），（甲、丙、丁），（甲、丙、戊），（甲、丁、戊），（乙、丙、丁），（乙、丙、戊），（乙、丁、戊），（丙、丁、戊），共10种，其中满足条件的为（甲、乙、丙），（甲、乙、丁），（甲、乙、戊），共3种，故所求概率310P =. 7．【解析】因为渐近线互相垂直，所以1ba=，又因为一个焦点与圆2240x y x +-=的圆心重合，所以2c =，解得2a b ==，所以离心率为2ca =.8.【解析】因为sin 3cos32sin(3)4y x x x π=+=+， 所以将其图象向左平移4π个单位长度，可得2sin[3()]2sin(2)2sin 244y x x x ππ=++=+π=-，故选C.9.【解析】作出可行域如右图所示，是三角形ABC 内部区域（包含边界）平移直线0:l y x =，当其过点(1,1)A -时，z x y =-+取得最大值，max 112z =+=；当其过点(2,2)C -时，z x y=-+取得最小值，min 224z =--=-.所以z x y =-+的取值范围是[4,2]-.10.【解析】由题意可知，当x R ∈时，1()xx f x e e =-，所以1()0xxf x e e '=+>为R 上的单调递增函数，故由2(2)(3)0f x x f --<，得2(2)(3)f x x f -<，即2230x x --<，解得13x -<<，故选A.11.【解析】(2)()220m n x m n y m n ++--+=整理得(22)(2)0x y m x y n +-+--=，由题意得22020x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 过定点(0,2)Q .因为OP l ⊥，所以点P的轨迹是以OQ 为直径的圆，圆心为(0,1)，半径为1，因为圆心(0,1)到直线30x y -+=的12.【解析】设CD 中点为N ，则1||(||||)2MN AC BD =+. 由抛物线定义可知||||,||||AC AF BD BF ==，所以11||(||||)||22MN AF BF AB =+=.因为直线l 的斜率为2，所以||||CD AB =，进而||||||CN DN AB ==，所以||||||CM DM AB ===，即CDM ∆是等边三角形. 13.【答案】113-【解析】向量(2,3)a =，(1,)b m =-，∴(1,3)a b m +=+，a 与ab +垂直，∴23(3)0m ++=，解得113m =-．14.【答案】4【解析】由题意得4421S a -=，所以321S =，又11,a =，所以331211q S q-==-，解得4q =或5q =-（舍），所以4q =. 15.【答案】32π-【解析】由三角函数的定义可知cos sin 3cos(3)2πθ===-，因为(0,)2πθ∈，所以3(0,)22ππ-∈，又因为cos y x =在(0,)π上单调递减，所以32πθ=-.16.52【解析】由正弦定理可知3cos 24a B b ==，进而21cos cos 22cos 18A B B ==-=.又由余弦定理可得22222495cos 244b c a c c A bc c c +-+--===，所以25148c c -=，解得52c =（另一负根舍去）.解法2，一般求出3cos 4B =后直接运用222323cos 234c B c +-==⨯⨯来求得52c =或2c =，然后再检验2c =是增根.一般学生不会按照标准答案那样再去求解cos A ，然后运用22222495cos 244b c a c c A bc c c+-+--===求解52c =. 17.【解析】（1）因为()()22221121+-+=+n n n a n a n n ，*∈n N ， 所以()12221+-=+n na a n n *∈n N ，即数列{}nb 是等差数列， 因为11a =，所以()12221211n n a a b n n n ==+-=-.……………………………………………6分 （2）因为111111()(21)(21)22121n n b b n n n n +==--+-+， 121n ++-……………………12分 18.【解析】（1）依题意：()11234535x =++++=， ()146102322135y =++++=，………………………………………………………2分 所以 51521()()ˆ()iii ii x x y y bx x ==--=-∑∑()()()()()()()()()()()()()()()222221341323613331013432313532213=1323334353--+--+--+--+---+-+-+-+- 5.3=， ˆ13 5.33 2.9a=-⨯=-，………………………………………………………7分 故所求回归直线方程为ˆ 5.3 2.9yx =-.……………………………………………………8分 （2）将x=6,代入ˆ 5.3 2.9yx =-中，得ˆ 5.36 2.928.929y =⨯-=≈， 故预测第八天的参加抽奖活动的人数为29.………………………………………………12分19. 【解析】（1）证明：因为平面SCD ⊥平面ABCD ， 平面SCD平面ABCD CD =，SD CD ⊥，SD ⊂平面SCD ，故SD ⊥平面ABCD ；又EF ⊥平面ABCD ，故//EF SD ；因为EF ⊄平面SAD ，SD ⊂平面SAD ，故//EF 平面SAD ； 取SA 中点G ，连接GE ，GD ，则//GE AB ，且12GE AB =； 因为090BCD ABC ∠=∠=，故//CD AB ，故//GE CD ； 由角度关系可知，12CD AB =，故CD GE =， 即四边形CDGE 为平行四边形，//CE GD ；又因为CE ⊄平面SAD ，GD ⊂平面SAD ，故//CE 平面SAD .………………………6分 （2）由（I ）可知，F 是线段BD 的中点.在等腰直角△BCD 中，2==CD BC ，则22=BD ， 在Rt ECF ∆中，045ECF ∠=，所以122EF CF BD ===， 所以222SD EF ==，23SC =.……………………………………………………8分 易知是点F 到平面SBC 的距离是点D 到平面SBC 的距离的一半，过D 作平面SBC 的垂线，交平面SBC 于点M ，则易知M 一定在线段SC 上，由SC DM SD CD ⋅=⋅得26SD CD DM SC ⋅==，所以点F 到平面平面SBC 的距离为6.……………………12分20.【解析】（1）对()f x 求导可得1()2xf x ae x x'=+-，所以(1)1f ae '=+. 由曲线()f x 在1x =处的切线方程为(1)0e x y +-=可知11ae e +=+，故1a =.（2）证明：由（1）知2()ln x f x e x x =+-，得1()2xf x e x x'=+-， 又再次求导易知21()20xf x e x''=++>，所以()f x '在(0,)+∞上单调递增.注意到1142111()40,()120422f e f e ''=+-<=+->，所以由零点存在性定理可知存在011(,)42x ∈，使得0()0f x '=，即000120x e x x +-=，即00012x e x x =-.当00x x <<时，()f x 单调递减；当0x x >时，()f x 单调递增.于是0222000000000011()()ln 2ln (1)ln 1x f x f x e x x x x x x x x x ≥=+-=-+-=-+--， 易知200001()(1)ln 1f x x x x =-+--在11(,)42上单调递减， 所以015()()()ln 224f x f x f ≥>=+. 21.【解析】（1）设(,)M x y ，0(P x ，0)y ，则0(Q x ，0)，所以(,)OM x y =，0(OP x =，0)y ，0(OQ x =，0)．由32322OM OP OQ -=+，得000x x y y⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 即00,x x y y ==，………………………………………………………………………2分 因为22004x y +=，代入整理得22143x y +=， 即为M 的轨迹为椭圆22143x y +=.………………………………………………………4分 （2）证明：当AC 的斜率为零或斜率不存在时，11117||||3412AC BD +=+=.……5分 当AC 的斜率k 存在且0k ≠时，AC 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22143x y +=，并化简得2222(34)84120k x k x k +++-=． 设1(A x ，1)y ，2(C x ，2)y ，则221212228412,3434k k x x x x k k -+=-=++，……………7分 1222|||12(1)34AC x x k k =-+==+，因为直线BD 的斜率为1k -，所以2222112[1()]12(1)||14334()k k BD k k+-+==++-，所以22221134437||||12(1)12(1)12k k AC BD k k +++=+=++，………………………………11分 综上，117||||12AC BD +=，是定值.………………………………………………12分 22.【解析】（I ）依题意，曲线2C 的直角坐标方程为3y x =.…………………………2分将cos ,sin x y ρθρθ==代入曲线23:2cos 2C m ρρα=-，整理即得3C 的直角坐标方程为22220x y mx +-+=.…………………………………5分（II ）因为曲线1C 的参数方程为2cos ,1cos 2,x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），所以曲线C 的直角坐标方程为[]()212,22y x x =∈-， ………………………………7分 联立23,1,2y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩解方程组得0,0,x y =⎧⎨=⎩或3,6,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 根据x 的范围应舍去3,6,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩故交点的直角坐标为(0,0).……………………………10分23.【解析】（1）依题意，1246x x -++>，当2x <-时，原式化为1246x x --->，解得3x <-，故3x <-； 当21x -≤≤时，原式化为1246x x -++>，解得1x >，故无解； 当1x >时，原式化为1246x x -++>，解得1x >，故1x >； 综上所述，不等式()6f x >的解集为()(),31,-∞-+∞；………………………………5分（3）因为()124122123f x x x x x x x x =-++=-++++≥-++≥， 当且仅当2x =-时，等号成立.故()10f x m --≥恒成立等价于13m -≤；即313m -≤-≤，解得24m -≤≤ 故实数m 的取值范围为[2,4]-.……………………………………………………………10分。