北京四中八年级(上)期中数学试卷 (2)
北京四中八年级上期中考试数学模拟试卷
2020-2021学年北京四中八年级上期中考试数学模拟试卷解析版一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、不是轴对称图形，故本选项错误；B 、是轴对称图形，故本选项正确；C 、不是轴对称图形，故本选项错误；D 、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B ．2．（3分）世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科学记数法表示为（ ）A ．5.6×10﹣1B ．5.6×10﹣2C ．5.6×10﹣3 D ．0.56×10﹣1 【解答】解：将0.056用科学记数法表示为5.6×10﹣2，故选：B ．3．（3分）若点A （m ，n ）和点B （5，﹣7）关于x 轴对称，则m +n 的值是（ ）A ．2B ．﹣2C ．12D ．﹣12【解答】解：∵点A （m ，n ）和点B （5，﹣7）关于x 轴对称，∴m ＝5，n ＝7，则m +n 的值是：12．故选：C ．4．（3分）化简5x 20xy 的结果是（ ） A ．14 B ．14x C ．14y D ．4y 【解答】解：原式=5x 5x⋅4y=14y ．故选：C ．5．（3分）y ﹣2x +1是4xy ﹣4x 2﹣y 2﹣k 的一个因式，则k 的值是（ ）A ．0B ．﹣1C ．1D ．4【解答】解：原式＝﹣（4x 2+y 2﹣4xy +k ）＝﹣[（2x ﹣y ）2+k ]显然根据平方差公式的特点，两个平方项要异号才能继续分解又由y ﹣2x +1是4xy ﹣4x 2﹣y 2﹣k 的一个因式，可知第二个数是1则k ＝﹣1．故选：B ．6．（3分）已知△ABC 的三边长分别为3，4，5，△DEF 的三边长分别为3，3x ﹣2，2x +1，若这两个三角形全等，则x 的值为（ ）A ．2B ．2或73C ．73或32D ．2或73或32 【解答】解：∵△ABC 与△DEF 全等，当3x ﹣2＝5，2x +1＝4，x =73，把x =73代入2x +1中，2x ﹣1≠4，∴3x ﹣2与5不是对应边，当3x ﹣2＝4时，x ＝2，把x ＝2代入2x +1中，2x +1＝5，故选：A ．7．（3分）分式2y x−3有意义的条件是（ ） A ．x ≠0 B ．y ≠0 C ．x ≠3 D ．x ≠﹣3【解答】解：根据分式有意义的条件，得x ﹣3≠0解得x ≠3．故选：C ．8．（3分）2x −4÷1x −2x 的计算结果为（ ） A ．x x+2 B ．2x x+2 C ．2x x−2 D ．2x(x+2)。
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北京四中初二上期中数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传，下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．2．下列各式不能分解因式的是（ ）． A ．224x x - B ．214x x ++C ．229x y +D ．21m -3．点(3,5)P -关于y 轴的对称点的坐标是（ ）． A ．(3,5)B ．(3,5)-C ．(5,3)-D ．(3,5)--4．如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，若3c m CD =，则点D 到AB 的距离是（ ）． A ．5cm B ．4cm C ．3cmD ．2cm5．下列各式中，正确的是（ ）． A ．3355x xy y--=- B ．a b a bc c +-+-= C ．a b a bc c---=-D ．a ab a a b-=--6．下列命题是真命题的是（ ）． A ．等底等高的两个三角形全等 B ．周长相等的直角三角形都全等C ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等7．如图，D 是等腰Rt ABC △内一点，BC 是斜边，如果将ABD △绕点A 逆时针方向旋转到ACD '△的位置，则ADD '∠的度数（ ）． A ．25︒ B ．30︒ C ．35︒ D ．45︒AC D BD'ACD B8．在等腰ABC △中，已知2AB BC =，20AB =，则ABC △的周长为（ ）． A ．40 B ．50 C ．40或50 D ．无法确定9．已知三角形的两边长分别为5和7，则第三边的中线长x 的范围是（ ）．A ．212x <<B ．57x <<C ．16x <<D ．无法确定 10．如图，在Rt ABC △中，AC BC =，90ACB ∠=︒，AD 平分BAC ∠，BE AD ⊥交AC 的延长线于F ，E 为垂足，则结论： （1）AD BF =；（2）CF CD =；（3）AC CD AB +=；（4）BE CF =；（5）2BF BE =， 其中正确的结论个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本题共20分，每小题2分）11．若式子24x x -有意义，则x 的取值范围是__________．12．计算212293m m +=--__________．13．如图，在ABC △中，AB AC =，20A ∠=︒，线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则CBE ∠为__________度．14．若关于x 的二次三项式2x kx b ++的因式分解为(1)(3)x x --，则k b +的值为__________．15．若7a b +=，5ab =，则22a ab b -+=__________．16．当x 取__________值时，2610x x ++有最小值，最小值是__________．17．某农场挖一条480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，则列出的方程是__________．18．如图，ABC △中，在BC 上截取BD BA =，作ABC ∠的平分线与AD 相交于点P ，连结PC ，若2BD CD =，ABC △的面积为22cm ，则DPC △的面积为__________．19．如图，把ABC △沿EF 对折，叠合后的图形如图所示．若60A ∠=︒，195∠=︒，则2∠的度数为__________．20．如果满足条件“30ABC ∠=︒，1AC =，(0)BC k k =>”的ABC △是唯一的，那么k 的取值范围是__________．FEAC BDEDBC AP D BCA三、解答题21．把多项式分解因式（每题4分，共8分） （1）33312a b ab -； （2）222()4()4x x x x ---+．22．（每题4分，共8分） （1）计算：21111a a a a a ÷----． （2）解方程：542332x x x+=--． 23．（本题5分）已知：如图，A 、B 、C 、D 四点在同一直线上，AB CD =，AE BF ∥且AE BF =． 求证：EC FD =．24．（每题4分，共8分）（1）先化简，再求值：21123369m m m m m ⎛⎫+÷ ⎪-+-+⎝⎭，其中9m =．（2）已知113x y -=，求代数式21422x xy y x xy y----的值．25．列分式方程解应用题：（本题5分）（温馨提示：你可借助图示、表格等形式“挖掘”等量关系） 赵老师为了响应市政府“绿色出行”的号召，上下班由自驾车方式改为骑自行车方式．已知赵老师家距学校20千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是自行车速度的2倍，骑自行车所用时间比自驾车所用时间多59小时．求自驾车和自行车的速度．四、解答题26．（本题4分）某地区要在区域S 内（即COD ∠内部）建一个超市M ，如图所示，按照要求，超市M 到两个新建的居民小区A ，B 的距离相等，到两条公路OC ，OD 的距离也相等．这个超市应该建在何处？（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）27．（本题5分）阅读下列材料：如图，在四边形ABCD 中，已知105ACB BAD ∠=∠=︒，45ABC ADC ∠=∠=︒． 求证：CD AB =． 小刚是这样思考的：由已知可得，60DCA ∠=︒，75DAC ∠=︒，30CAB ∠=︒，180ACB DAC ∠+∠=︒， 由求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形．即过点A 作AE AB ⊥交BC 的延长线于点E ，则AB AE =，E D ∠=∠． ∵在ADC △与CEA △中， 75D E DAC ECA AC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴ADC △≌CEA △， 得CD AE AB ==．请你参考小刚同学思考问题的方法，解决下面问题：如图，在四边形ABCD 中，若180ACB CAD ∠+∠=︒，B D ∠=∠，请问：CD 与AB 是否相等？若相等，请你给出证明：若不相等，请说明理由．ACBDEDBCA28．（本题7分）在等边ABC △中，D 为射线BC 上一点，CE 是ACB ∠外角的平分线，60ADE ∠=︒，EF BC ⊥于F ．（1）如图1，若点D 在线段BC 上． 求证：①AD DE =；②2BC DC CF =+；（2）如图2，若点D 在线段BC 的延长线上，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由．图2ABD CFE图1ACBEDF附加题（满分20分）：1．（本题4分）已知2310a a --=，求62120a a -+=__________． 2．（本题4分）如图，45ABC BCD DAB ∠=∠=∠=︒，2BD =，则四边形ABCD 的面积为__________．3．（本题6分）已知22m n =+，22n m =+，m n ≠，求332m mn n -+的值．4．（本题6分）已知：ABC △中，2ABC ACB ∠=∠，ABC ∠的平分线BD 与ACB ∠的平分线CD 相交于点D ，且CD AB =，求证：60A ∠=︒．DCBA北京四中初二上期中数学试卷答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DCACDDDBCD二、填空题（本题共20分，每小题2分）题号 11 12 13 14 15 答案 4x ≠23m -+ 601-34题号 16 17 18 19 20 答案 3-，1480480420x x -=+21cm 325︒2k =或01k <≤三、解答题21．（1）解：33223123(4)3(2)(2)a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-． （2）解：2222222()4()4(2)(2)(1)x x x x x x x x ---+=--=-+．22．（1）解：原式1(1)(1)11a a aa a a -+=⋅--- 11a aa a +=-- 221(1)(1)a a a a a a -=--- 1(1)a a =--．（2）解：去分母得，54(23)x x -=-， 整理得，77x =， 解得，1x =．经检验，1x =为原方程的解．22．证明：∵AE BF ∥， ∴A FBD ∠=∠． ∵AB CD =，∴AB BC CD BC +=+，即AC BD =． 在AEC △和BFD △中， A FBD AC AE B BD F ∠=∠==⎧⎪⎨⎪⎩， ∴AEC △≌BFD △（SAS ）． ∴EC FD =．24．（1）解：原式233(3)(3)(3)2m m m m m m ++--=⋅-+233(3)(3)(3)2m m m m m m ++--=⋅-+ 22(3)(3)(3)2m m m m m-=⋅-+ 33m m -=+． ∵9=m ， ∴原式931932-==+． （2）解：∵113x y-=，∴3x y xy -=-，21426144232x xy y xy xyx xy y xy xy----==----．25．解：设自行车的速度为x 千米/小时，则自驾车的速度为2x 千米/小时． 依题意得：2020529x x -=， 解得18x =．经检验，18x =是原方程的解，且符合实际意义． 236x =．答：自行车的速度为18千米/小时，则自驾车的速度为36千米/小时．26．解：如图所示，点M 即为所求．27．解：CD 与AB 相等，证明如下： 作AE AB =交BC 延长线于点E ， ∴B E ∠=∠． ∵B D ∠=∠， ∴D E ∠=∠．∵180ACB CAD ∠+∠=︒，180ACB ECA ∠+∠=︒， ∴DAC ECA ∠=∠． 在DAC △和ECA △中，D E DAC ECA AC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴DAC △≌ECA △（AAS ）， ∴CD AE =，∴CD AB =．28．（1）证明：①过点D 作DG AC ∥交AB 于点G ． ∵ABC △是等边三角形， ∴AB AC =，60B ACB ∠=∠=︒， ∴60BDG ACB ∠=∠=︒， ∴60BGD ∠=，∴BDG △是等边三角形， ∴BG BD =， ∴AG DC =．∵CE 是ACB ∠外角的平分线， ∴120DCE AGD ∠=︒=∠． ∵60ADE ∠=︒，∴120ADB EDC ADB DAG ∠+∠=︒=∠+∠， ∴EDC DAG ∠=∠， ∴AGD △≌DCE △． ∴AD DE =．②∵AGD △≌DCE △， ∴GD CE =， ∴BD CE =，∴2BC BD DC DC CF =+=+．（2）①成立；②不成立，此时2BC CF CD =-． 过D 作DG AC ∥交BA 延长线于G ． 同（1）可证明AGD △≌DCE △， ∴AD DE =，GD CE =． ∴BD CE =，在CEF △中，60∠=︒ECF ，90∠=︒CFE ， ∴2=CE CF ．∴2=-=-BC BD CD CF CD ．附加题（满分20分）： 1．【答案】1309【解析】∵2310a a --=，∴231a a =+，∴422(31)9613310a a a a a =+=++=+， ∴822(3310)108966010039271189a a a a a =+=++=+，∴8622120392711891201309(31)12013093131a a a a a a a a -+++++====++．2．【答案】2【解析】延长AD 交BC 于点H ． ∵45ABC BCD DAB ∠=∠=∠=︒， ∴90AHB ∠=︒，∴AHB △与CHD △均为等腰直角三角形． 设CH m =，BH n =，则AH n =，DH m =． 在Rt BHD △中，222BH HD BD +=，∴22224m n +==，则2211=222ABH CDH ABCD S S S m n +=+=四边形△△．故答案为2．3．解：∵22m n =+，22n m =+，∴2222m n n m -=+--， ∴()()m n m n n m +-=-， ∵m n ≠， ∴1m n +=-． ∴332m mn n -+222m m mn n n =⋅-+⋅222mn m mn mn n =+-++ 2()m n =+2=-．4．证明：过点A 作AE BC ∥交BD 延长线于E ，连接CE ． 设AC 、BE 相交于点O ，则1ACB ∠=∠，23∠=∠．∵2ABC ACB ∠=∠， ∴3ACB ∠=∠， ∴OB OC =，12∠=∠， ∴OA OE =． 又∵AOB EOC ∠=∠， ∴AOB △≌EOC △．∴BAC CED ∠=∠，543∠=∠=∠，AB CE =． ∵CD AB =， ∴CD CE =，∴36CED CDE ∠=∠=∠+∠， 又∵57DCE ∠=∠+∠，67∠=∠， ∴60CED CDE DCE ∠=∠=∠=︒， ∴60BAC CED ∠=∠=︒．HDCBA北京四中初二上期中数学试卷部分答案解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．【答案】D【解析】观察可知，D 中的图形为轴对称图形．故选D ．2．【答案】C【解析】2242(2)x x x x -=-；2211()42x x x ++=+；21(1)(1)m m m -=+-．故选C ．3．【答案】A【解析】点(3,5)P -关于y 轴的对称点的坐标是(3,5)．故选A ．4．【答案】C【解析】由角平分线性质定理可知，点D 到AB 的距离是等于3cm CD =．故选C ．5．【答案】D 【解析】3355xxy y --=；a ba bc c +---=；a ba bc c --+=-．故选D ．6．【答案】D【解析】有一边对应相等的两个等边三角形全等为真命题．故选D ．7．【答案】D【解析】由题意知，ABD △≌ACD '△，∴AD AD '=，D AC DAB '∠=∠，∴90D AD D AC CAD DAB CAD ''∠=∠+∠=∠+∠=︒，∴45ADD '∠=︒．故选D ．8．【答案】B【解析】若AB 为底边，则10BC CA ==，不能构成三角形，∴AB 为腰，∴20AC =，10BC =，故ABC △的周长为50．故选B ．9．【答案】C【解析】倍长中线，得到一个边长分别为5，7，2x 的三角形，则75275x -<<+，即16x <<．故答案为C ．10．【答案】D【解析】易证ACD △≌BCF △，则AD BF =，CF CD =．∵AD 平分BAC ∠，AD BF ⊥，∴AB AF =，BE EF =，∴AC CD AC CF AF AB +=+==，2BF BE =．∵BE EF CD CF =>=，即BE CF >．故（1）（2）（3）（5）正确，即正确的结论个数为4．故选D ．二、填空题（本题共20分，每小题2分）11．【答案】4x ≠【解析】由题意，得40x -≠，∴4x ≠．故答案为4x ≠．12．【答案】23m -+ 【解析】2122122(3)1226293(3)(3)(3)(3)(3)(3)3m m m m m m m m m m m +--+=-==---+-+-+-+．故答案为23m -+．13．【答案】60【解析】∵AB AC =，20A ∠=︒，∴80ABC C ∠=∠=︒．∵线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，∴AE BE =，∴20ABE A ∠=∠=︒，∴802060CBE ABC ABE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为60．14．【答案】1-【解析】22(1)(3)43x kx b x x x x ++=--=-+，∴4k =-，3b =，∴1k b +=-．故答案为1-．15．【答案】34【解析】∵7a b +=，5ab =，∴222()239a b a b ab +=+-=，∴2234a ab b -+=．故答案为34．16．【答案】3-，1【解析】22610(3)1x x x ++=++，当3x =-时，有最小值1．故答案为3-，1．17．【答案】480480420x x -=+ 【解析】由题意可知，所列方程为480480420x x -=+．故答案为480480420x x -=+．18．【答案】21cm 3【解析】∵2BD CD =，∴2ABD ACD S S =△△，∴13ACD ABC S S =△△． ∵BD BA =，BP 平分ABD ∠，∴AP PD =，∴12PDC APC ADC S S S ==△△△， ∴1163PDC ABC S S ==△△．故答案为21cm 3．19．【答案】25︒【解析】由折叠性质，易得122A ∠+∠=∠，∴225∠=︒．故答案为25︒．20．【答案】2k =或01k <≤【解析】作30MBN ∠=︒，在射线BN 上任取一点C ，使BC k =．①如图1，当01k <<时，以C 为圆心，1为半径画圆，⊙C 与射线BM 的交点为A ，此时只与圆有唯一的交点，∴ABC △是唯一的．②如图2，当1k =时，以C 为圆心，1为半径画圆，⊙C 与射线BM 的交点为A ，B ， ∴ABC △是唯一的．③如图3，当2k =时，以C 为圆心，1为半径画圆，⊙C 与射线BM 的交点为A ，是唯一的， ∴ABC △是唯一的．故当2k =或01k <≤时，ABC △是唯一的． 故答案为2k =或01k <≤．图1NMC B A图2N M C B A 图3N M C B A。
北京四中初二数学期中试卷
北京四中初二数学期中试卷(考试时间为100分钟，试卷分为A卷、B卷满分为120分) 试卷部分A卷一、选择题：(每小题3分，共24分)1．下列命题中，不正确的是()A．关于某条直线对称的两个三角形全等B．等腰三角形一边上的高、中线及这边所对角的平分线重合C．线段有2条对称轴D．角是轴对称图形2．下列因式分解中，结果正确的是()A．B．C．D．3．要使代数式有意义，则的取值范围是( )A．B．C．D．4．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是()A．B．C．D．5．将一张长与宽的比为2：1的长方形纸片按如图①、②所示的方式对折，然后沿图③中的虚线裁剪，得到图④，最后将图④的纸片再展开铺平，则所得到的图案是()6．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的()A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线的交点7．如图，已知△ABC的六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则与△ABC全等的三角形是( )A．只有乙B．只有丙C．甲和乙D．乙和丙8．如图，已知，，，则为()A．67°B．46°C．23°D．无法确定二、填空题：(每小题2分，共20分)9．已知点和点关于轴对称，那么____________。
10．若，则____________；若，则____________。
11．若，则的值是____________。
12．等腰三角形的一边是3，另一边是8，则它的周长是____________。
13．在平面镜里看到背后墙上的电子钟示数如下图所示，这时实际时间应是____________。
14．如图所示，三角形纸片ABC，，，，沿过点B 的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为____________。
15．如图所示，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且，则的大小等于______。
16．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为____________。
2019-2020北京四中初二上册期中考试试卷数学(含解析).docx
北京四中初二上期中数学试卷一、选择题1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．2．把多项式24a a -分解因式，结果正确的是（ ）． A ．(4)a a - B ．(2)(2)a a +- C ．(2)(2)a a a +- D ．2(2)4a --3．分式21x -有意义，则x 的取值范围是（ ）． A ．1x ≠ B ．1x = C ．1x ≠-D ．1x =-4．点(2,3)A 关于y 轴成轴对称的点的坐标是（ ）． A ．(3,2)- B ．(2,3)-C ．(2,3)--D ．(2,3)-5．在ABC △和A B C '''△中，已知A A '∠=∠，AB A B ''=，添加下列条件中的一个，不能．．使ABC △≌A B C '''△一定成立的是（ ）． A ．AC A C ''=B ．BC B C ''=C ．B B '∠=∠D ．C C '∠=∠6．下列各式中，正确的是（ ）． A ．1a b bab b++= B ．22x y x y-++=- C ． 23193x x x -=--D ．222()x y x y x y x y --=++7．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）． A ．12B ．15C ．12或15D ．188．如图，ABC △中，AB AC =，36A ∠=︒，BD 是AC 边上的高，则DBC ∠的度数是（ ）． A ．18︒B ．24︒C ．30︒D ．36︒9．如图，330∠=︒，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证1∠的度数为（ ）．A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒10．如图，130BAC ∠=︒，若MP 和QN 分别垂直平分AB 和AC ，则PAQ ∠等于（ ）． A ．50︒B ．75︒C ．80︒D ．105︒二、填空题11．已知某种植物花粉的直径为35000纳米，即0.000035米，把0.000035用科学记数法表示为__________．12．分解因式：2363x x -+=__________．13．计算：101()(21)|3|2---+-=__________．14． 如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，AD 平分CAB ∠交BC 于D ，DE AB ⊥于E ．若1c m DE =，则BC =__________cm ．15．如图，已知ABC △是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG CD =，DF DE =，则E ∠=__________度．16．如图，ABC △中，BO 、CO 分别平分ABC ∠、ACB ∠，OM AB ∥，ON AC ∥，10cm BC =，则O M N△的周长=__________cm ．17．已知113x y -=，则代数式21422x xy y x xy y--=--__________．18． 如图ABC △中，AD 平分BAC ∠，4AB =，2AC =，且ABD △的面积为3，则ACD △的面积为__________．19．如图，MN 是正方形ABCD 的一条对称轴，点P 是直线MN 上的一个动点，当PC PD +最小时，PCD ∠=__________．20．如图所示，长方形ABCD 中，4AB =，43BC =，点E 是折线段A D C --上的一个动点（点E 与点A 不重合），点P 是点A 关于BE 的对称点．在点E 运动的过程中，能使PCB △为等腰三角形．．．．．的点E 的位置共有__________个．三、解答题分解因式21．22(2)9(2)x m y m -+-．22．222(1)4x x +-．计算23．3423()39b b ab a a b÷⋅-． 24．21211xx x++-．25．先化简，再求值：21(1)121aa a a -÷+++，其中31a =-．26．解方程：238111x x x +-=--．27．已知：如图，AD AE =，AB AC =，DAE BAC ∠=∠．求证：BD CE =．28．列分式方程解应用题甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇1000字的文章与乙打一篇900字的文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打5个字．问：甲、乙两人每分钟各打多少字？29．小明在做课本中的一道题：如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小明的做法是：如图2，画P C a∥，量出直线b与PC的夹角度数，即直线a，b所成角的度数．（1）请写出这种做法的理由．（2）小明在此基础上又进行了如下操作和探究（如图3）：①以P为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交直线b，PC于点A，D．②连结AD并延长交直线a于点B，请直接写出图3中所有与PAB∠相等的角．（3）请在图3画板内作出“直线a，b所成的跑到画板外面去的角”的平分线（画板内的部分），只要求作出图形，并保留作图痕迹．30．（本题8分）（1）如图（1），已知：在ABC=，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥∠=︒，AB AC△中，90BAC直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE BD CE=+．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在ABC=，D、A、E三点都在直线l上，且△中，AB AC∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE=+是否成立？如成立．请BDA AEC BACα你给出证明．若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是直线l上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为BAC∠平分线上的一点，且ABF △和ACF △均为等边三角形，连接BD 、CE ，若BDA AEC BAC ∠=∠=∠，求证：DF EF =．附加题1．已知:2a b -=，2240a a +-=，则121a b+=+__________．2．已知：x y zb c a c a b a b c==+-+-+-，则()()()b c x c a y a b z -+-+-的值为__________．3．等腰Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，点A 、点B 分别是x 轴、y 轴两个动点，直角边AC 交x 轴于点D ，斜边BC 交y 轴于点E ．（1）如图（1），若(0,1)A ，(2,0)B ，求C 点的坐标．（2）如图（2），当等腰Rt ABC △运动到使点D 恰为AC 中点时，连接DE ，求证：ADB CDE ∠=∠． （3）如图（3），在等腰Rt ABC △不断运动的过程中，若满足BD 始终是ABC ∠的平分线，试探究：线段OA 、OD 、BD 三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由．北京四中初二上期中数学试卷参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 AAABBDBACC二、填空题11．53.510-⨯ 12．23(1)x - 13．4 14．3 15．15 16．10 17．4 18．1.5 19．45 20．4三、解答题21．解：22(2)9(2)x m y m -+-22(2)(9)m x y =-- (2)(3)(3)m x y x y =--+．22．解：222(1)4x x +-22(12)(12)x x x x =+-++ 22(1)(1)x x =-+．23．解：3423()39b b ab a a b ÷⋅-33493272b a aba b b =-⋅⋅22336b a a b =-⋅ 12ab =-．24．解：21211x x x ++-12(1)(1)x x x x -+=-+ 11x=-．25．解：原式211()1121a aa a a a +=-÷++++ 211121a aa a a +-=÷+++ ()211a a a a+=⋅+ 1a =+．当31a =-时，原式3113=-+=．26．解：2(3)(1)81x x x ++-=-，224381x x x ++-=-，44x =， 1x =，经检验：1x =是原方程的增根，所以原方程无解．27．证明：∵DAE BAC ∠=∠，BAE BAE ∠=∠， ∴DAE BAE BAC BAE ∠-∠=∠-∠，即DAB EAC ∠=∠， 在AEC △和ADB △中， AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴AEC △≌ADB △（SAS ），∴BD CE =．28．解：设乙每分钟打x 个字，则甲每分钟打(5)x +个字， 由题意得，10009005x x=+， 得：45x =，检验：45x =是原方程的解，且符合题意． 答：甲每人每分钟打50个字，乙每分钟打45个字．29．解：（1）两直线平行，同位角相等． （2）1PAB PDA BDC ∠=∠=∠=∠， （3）作线段AB 的垂直平分线EF ， 则EF 是所求作的图形．30．解：（1）∵BD l ⊥，CE l ⊥， ∴90BDA AEC ∠=∠=︒， 又∵90BAC ∠=︒，∴90BAD CAE ∠+∠=︒，90BAD ABD ∠+∠=︒， ∴CAE ABD ∠=∠， 在ABD △和CAE △中，90ABD CAE ADB CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴ABD △≌CAE △（AAS ）， ∴BD AE =，AD CE =， ∵DE AD AE =+， ∴DE CE BD =+． （2）成立，∵BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，∴180DBA BAD BAD CAE α∠+∠=∠+∠=︒-， ∴CAE ABD ∠=∠， 在ADB △和CEA △中， ABD CAE ADB CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ADB △≌CEA △（AAS ）， ∴AE BD =，AD CE =， ∴BD CE AE AD DE +=+=． （3）由（2）知，ADB △≌CEA △， ∴AE BD =，DBA CAE ∠=∠， ∵ABF △和ACF △均为等边三角形， ∴60ABF CAF ∠=∠=︒，∴DBA ABF CAE CAF ∠+∠=∠+∠， ∴DBF FAE ∠=∠， ∵BF AF =，在DBF △和EAF △中， FB FA FBD FAE BD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴DBF △和EAF △（SAS ）， ∴DF EF =，BFD AFE ∠=∠，∴60DFE DFA AFE DFA BFD ∠=∠+∠=∠+∠=︒， ∴DEF △为等边三角形． ∴DF EF =．附加题：1．解：由题可知2b a =-，222a a =-， ∴121a b++ 22(1)(1)(2)a a a a -++=+- 232aa a =--3222aaa =-+-2=-．2．解：令x y zk b c a c a b a b c===+-+-+-，则()x k b c a =+-，()y k c a b =+-，()z k a b c =+-， 代入()()()b c x c a y a b z -+-+-()()()()()()b c b c a c a c a b a b a b c =-+-+-+-+-+-， 222222b c ab ac c a bc ab a b ac bc =--++--++--+， 0=．3．（1）如图，过点C 作CF y ⊥轴于点F ， 则ACF △≌ABO △（AAS ）， ∴1CF OA ==，2AF OB ==， ∴1OF =， ∴(1,1)C --．（2）如图，过点C 作CG AC ⊥交y 轴于点G ， 则ACG △≌ABD △（ASA ）， ∴CG AD CD ==，ADB G ∠=∠， ∵45DCE GCE ∠=∠=︒， ∴DCE △≌GCE △（SAS ）， ∴CDE G ∠=∠， ∴ADB CDE ∠=∠．（3）如图，在OB 上截取OH OD =，连接AH ， 由对称性得AD AH =，ADH AHD ∠=∠， ∴AHD ADH BAO BEO ∠=∠=∠=∠， ∴AEC BHA ∠=∠，又∵AB AC =，CAE ABH ∠=∠， ∴ACE △≌BAH △（AAS ）， ∴2AE BH OA ==， ∵2DH OD =， ∴2()BD OA OD =+．北京四中初二上期中数学试卷部分答案解析一、选择题1．【答案】A【解析】轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴．A 选项经过折叠后不能重合．故选：A ．2．【答案】A【解析】24(4)a a a a -=-．故选：A ．3．【答案】A 【解析】分式21x -有意义，则分母10x -≠，解得1x ≠． 故选：A ．4．【答案】B【解析】点(2,3)A 关于y 轴成轴对称的点的坐标其2x =，3y =-，即(2,3)-．故选：B ．5．【答案】B【解析】A 、A A '∠=∠，AB A B ''=，AC A C ''=可利用SAS 条件判定ABC △≌A B C '''△， B 、A A '∠=∠，AB A B ''=，BC B C ''=无法判定ABC △≌A B C '''△，C 、A A '∠=∠，AB A B ''=，AC A C ''=可利用SAS 条件判定ABC △≌A B C '''△，D 、A A '∠=∠，AB A B ''=，C C '∠=∠可利用ASA 条件判定ABC △≌A B C '''△．故选：B ．6．【答案】D【解析】A 、1a b b ab b++≠，本选项错误， B 、22x y x y -+-=-，本选项错误， C 、23193x x x -=-+，本选项错误， D 、222()x y x y x y x y --=++，本选项正确． 故选：D ．7．【答案】B【解析】若腰为3，底边为6，则336+=不能构成三角形．故腰为6，底边为3，则周长为66315++=．故选：B ．8．【答案】A【解析】∵AB AC =， ∴1(180)722B C A ∠=∠=︒-∠=︒， ∵BD AC ⊥，∴9018DBC C ∠=︒-∠=︒．故选：A ．9．【答案】C【解析】1290360∠=∠=︒-∠=︒．故选：C ．10．【答案】C【解析】∵130A ∠=︒，∴50B C ∠+∠=︒，∵MP 和QN 分别垂直平分AB 和AC ，∴BP AP =，AQ CQ =，∴PAB B ∠=∠，QAC C ∠=∠，∴50PAB QAC B C ∠+∠=∠+∠=︒，∴()80PAQ BAC PAB QAC ∠=∠-∠+∠=︒．故选：C ．二、填空题11．【答案】53.510-⨯【解析】把一个绝对值小于1（或者大于等于10）的实数记为10n a ⨯的形式（其中110a <≤），这种记数法叫做科学记数法．把0.000035用科学记数法表示为53.510-⨯． 故答案为：53.510-⨯．12．【答案】23(1)x -【解析】2223633(21)3(1)x x x x x -+=-+=-．故答案为：23(1)x -．13．【答案】4 【解析】101()(21)|3|21342---+-=-+=． 故答案为：4．14．【答案】3【解析】∵AD 平分CAB ∠，DE AB ⊥，AC DC ⊥，∴1CD DE ==，又∵在Rt BDE △中，30B ∠=︒，∴22BD DE ==，∴3cm BC CD BD =+=．故答案为：3．15．【答案】15【解析】∵ABC △是等边三角形，∴60ACB ∠=︒，120ACD ∠=︒，又∵CG CD =，∴30CDG ∠=︒，150FDE ∠=︒，又∵DF DE =，∴15E ∠=︒．故答案为：15︒．16．【答案】10【解析】∵BO 平分ABC ∠，∴ABO MBO ∠=∠，又∵OM AB ∥，∴ABO BOM ∠=∠，∴MBO MOB ∠=∠，∴OM OB =，同理可得ON NC =，∴OMN △的周长为10cm OM ON MN BM MN NC BC ++=++==．故答案为：10．17．【答案】4 【解析】将等式113x y -=两边同时乘以xy ，得3y x xy -=， ∴21422x xy yx xy y ----2()142x y xyx y xy --=--61432xy xyxy xy --=--4=．故答案为：4．18．【答案】1.5【解析】过D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥，∵AD 是BAC ∠的平分线，∴DE DF =， ∵132ABD S AB DE =⋅=△， ∴32DE =， ∴32DF =，∴1 1.52ADC S AC DF =⋅=△． 故答案为：1.5．19．【答案】45【解析】连结PB ，∵MN 垂直平分BC ， ∴PB PC =，∴PD PC PD PB +=+， ∵两点之间直线最短， ∴PB PD BD +≤， ∴PC PD BD +≤，即PC PD +的最短距离为BD ， 此时PC 平分BCD ∠， ∴45PCD ∠=︒． 故答案为：45︒．20．【答案】4【解析】①BP 为等腰三角形一腰长时， 符合点E 的位置有2个， 是BC 的垂直平分线与以B 为圆心BA 为半径的圆的交点即是点P ． ②BP 为底边时，C 为顶点时， 符合点E 的位置有2个， 是以B 为圆心BA 为半径的圆与以C 为圆心BC 为半径的圆的交点即是点P ． ③以PC 为底边，B 为顶点时，这样的等腰三角形不存在， 因为以B 为圆心BA 为半径的圆与以B 为圆心BC 为半径的圆没有交点．故答案为：4．。
北京四中八年级上学期期中数学试卷【解析版】
八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（1998•丽水）把化为最简二次根式是( )A．B． C．D．2．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( )[来源:Z+xx+]A．12，15，20 B．，， C．0.3，0.4，0.5 D．32，42，523．如果点P（﹣m，3）与点P1（﹣5，n）关于y轴对称，则m，n的值分别为( ) A．m=﹣5，n=3 B．m=5，n=3 C．m=﹣5，n=﹣3 D．m=﹣3，n=54．下列等式一定成立的是( )A．+=B．=•C．=x2+1 D．=x5．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为( )A．12m B．13m C．16m D．17m6．已知+=0，则x的取值范围为( )A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2[来源:Z*xx*]7．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=12cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是( ) A．48cm2B．24cm2C．16cm2D．11cm28．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=x上运动，已知直线y=x与x轴的夹角为45°，则当线段AB最短时，点B的坐标为( )A．（0，0）B．（，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，﹣）二、填空题（每小题3分，共21分）9．已知P点在第三象限，且到x轴距离是2，到y轴距离是3，则P点的坐标是__________．10．已知一次函数y=ax+1﹣a，若y随x的增大而减小，则|a﹣1|+=__________．11．如图，在数轴上标注了三段范围，则表示的点落在第__________段内．12．已知Rt△ABC的两边长分别为AB=4，BC=5，则AC=__________．13．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的表示的数为__________．14．如图，直线l1∥l2∥l3，且l1与l3之间的距离为，l2与l3之间的距离为1．若点A，B，C分别在直线l1，l2，l3上，且AC⊥BC，AC=BC，AC与直线l2交于点D，则BD的长为__________．15．如图，在平面直角坐标系中，已知点P（2，1），点A是x轴上的一个动点，当△PAO 是等腰三角形时，点A的坐标为__________．三、解答题（本大题共6小题，满分55分）16．混合运算：（1）（1﹣）﹣1+（π﹣3.14）0﹣；（2）（﹣1）2++（﹣）﹣1．17．现有一块三角形菜地，量得两边长为25米、17米，第三边上的高为15米，求此三角形菜地的面积．18．有一个如图示的长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80cm，高AB=60cm，水深为AE=40cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG=60cm；一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵．（1）小动物应该走怎样的路线才使爬的路线最短呢？请你在图中画出它爬行的路线，并用箭头标注．（2）求小动物爬行的最短路线长？19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．20．如图，直线l1的解析表达式为y=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2，交于点C．（1）求点D的坐标；（2）求直线l2的解析表达式；（3）求△ADC的面积．21．水平放置的容器内原有210毫米高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4毫米，每放入一个小球水面就上升3毫米，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y毫米．（1）只放入大球，且个数为x大，求y与x大的函数关系式（不必写出x大的范围）；（2）仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x小①求y与x小的函数关系式（不必写出x小范围）；②限定水面高不超过260毫米，最多能放入几个小球？[来源:学科网]八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（1998•丽水）把化为最简二次根式是( )A．B． C．D．【考点】最简二次根式．【分析】题目给出的二次根式中，被开方数含有分母，因此需将根号的分母化去．【解答】解：==；故本题选B．【点评】本题化简二次根式的过程：分子、分母同乘以分母的有理化因式，使被开方数不含分母．2．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( )A．12，15，20 B．，， C．0.3，0.4，0.5 D．32，42，52【考点】勾股定理的逆定理．【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、152+122≠202，故不是直角三角形，故此选项不合题意；B、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，故此选项不合题意；C、0.32+0.42=0.52，故是直角三角形，故此选项符合题意；D、（32）2+（42）2=（52）2，故不是直角三角形，故此选项不合题意．故选C．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．3．如果点P（﹣m，3）与点P1（﹣5，n）关于y轴对称，则m，n的值分别为( ) A．m=﹣5，n=3 B．m=5，n=3 C．m=﹣5，n=﹣3 D．m=﹣3，n=5【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】根据已知条件，P点和P1点关于y轴对称，可知n=3，﹣m=5，即可得到m和n．【解答】解：点P和点P1关于y轴对称，根据题意，有n=3，﹣m=5；即m=﹣5，n=3；故选A．【点评】本题主要考查了点关于坐标轴的对称问题；关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变号；关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变号．4．下列等式一定成立的是( )A．+=B．=•C．=x2+1 D．=x【考点】二次根式的混合运算．【分析】根据二次根式的乘法法则、二次根式的化简结合选项进行运算，然后选择正确选项．【解答】解：A、+≠，原式错误，故本选项错误；B、=•，原式错误，故本选项错误；C、=x2+1，计算正确，故本选项正确；D、=﹣x，原式错误，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了二次根式的化简、二次根式的乘法等知识，属于基础题．5．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为( )A．12m B．13m C．16m D．17m【考点】勾股定理的应用．【专题】应用题．【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x，可得AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【解答】解：设旗杆高度为x，则AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x﹣2）2+82=x2，解得：x=17，即旗杆的高度为17米．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．6．已知+=0，则x的取值范围为( )A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2【考点】立方根；算术平方根．【专题】计算题．【分析】已知等式变形，利用绝对值的代数意义化简即可确定出x的范围．【解答】解：已知等式变形得：x﹣2+|x﹣2|=0，即|x﹣2|=2﹣x，∴x﹣2≤0，即x≤2．故选A【点评】此题考查了立方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．7．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=12cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是( ) A．48cm2B．24cm2C．16cm2D．11cm2【考点】勾股定理．【分析】直接利用勾股定理得出a2+b2的值，再利用完全平方公式得出ab的值，进而得出答案．【解答】解：∵在Rt△ABC中，a2+b2=c2=100，∵a+b=12cm，c=10cm，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=144，∴100+2ab=144，则：ab=11，故Rt△ABC的面积是：11cm2．故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理以及完全平方公式的应用，得出a2+b2的值是解题关键．8．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=x上运动，已知直线y=x与x轴的夹角为45°，则当线段AB最短时，点B的坐标为( )A．（0，0）B．（，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，﹣）【考点】一次函数图象上点的坐标特征；垂线段最短．【分析】过点A作AD⊥OB于点D，过点D作OE⊥x轴于点E，先根据垂线段最短得出当点B与点D重合时线段A B最短，再根据直线OB的解析式为y=x得出△AOD是等腰直角三角形，故OE=OA=1，由此可得出结论．【解答】解：过点A作AD⊥OB于点D，过点D作OE⊥x轴于点E，∵垂线段最短，∴当点B与点D重合时线段AB最短．∵直线OB的解析式为y=x，∴△AOD是等腰直角三角形，∴OE=OA=，∴D（﹣，﹣）．故选C．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．[来源:学科网]二、填空题（每小题3分，共21分）9．已知P点在第三象限，且到x轴距离是2，到y轴距离是3，则P点的坐标是（﹣3，﹣2）．【考点】点的坐标．【专题】应用题．【分析】本题根据点在第三象限的特点，横纵坐标都小于0，再根据点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值，进而根据点P到坐标轴的距离判断点P的具体坐标．【解答】解：∵第三象限内的点横坐标＜0，纵坐标＜0，点P到x轴的距离是2，到y轴的距离为3，∴点P的纵坐标为﹣2，横坐标为﹣3，因而点P的坐标是（﹣3，﹣2），故答案为：（﹣3，﹣2）．【点评】此题用到的知识点为：第三象限点的坐标的符号都为负，点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值．10．已知一次函数y=ax+1﹣a，若y随x的增大而减小，则|a﹣1|+=1﹣2a．【考点】一次函数图象与系数的关系．【专题】计算题．【分析】根据一次函数图象与系数的关系得到a＜0，然后根据绝对值的意义和二次根式的性质化简得到原式=﹣a﹣1﹣a，再合并即可．【解答】解：根据题意得a＜0，所以原式=﹣a﹣1﹣a=﹣2a﹣1．故答案为﹣2a﹣1．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于y=kx+b，当k＞0，b＞0⇔y=kx+b 的图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k＜0，b＞0⇔y=kx+b 的图象在一、二、四象限；k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．11．如图，在数轴上标注了三段范围，则表示的点落在第③段内．【考点】估算无理数的大小；实数与数轴．【分析】分别利用已知数据的平方得出最接近的数据即可得出答案．【解答】解：∵2.42=5.76，2.62=6.76，2.82=7.84，∴的点落在第③段内．故答案为：③．【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确利用已知数的平得出是解题关键．12．已知Rt△ABC的两边长分别为AB=4，BC=5，则AC=3或．【考点】勾股定理．【专题】分类讨论．【分析】分情况进行讨论，两边长分别为5和4，5可能是直角边也可能为斜边，再根据勾股定理计算出第三边长即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，两边长分别为5和4，∴5可能是直角边也可能为斜边，当5为直角边时，斜边长为：=，当5为斜边时，另一直角边为：=3，综上所述：AC的长为3或．故答案为：3或．【点评】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．13．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的表示的数为．【考点】勾股定理；实数与数轴．【专题】数形结合．【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AM的长，再根据A点表示﹣1，可得M点表示的数．【解答】解：AC===，则AM=，∵A点表示﹣1，∴M点表示﹣1，故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边边长的平方．14．如图，直线l1∥l2∥l3，且l1与l3之间的距离为，l2与l3之间的距离为1．若点A，B，C分别在直线l1，l2，l3上，且AC⊥BC，AC=BC，AC与直线l2交于点D，则BD的长为．[来源:Z_xx_]【考点】全等三角形的判定与性质；平行线之间的距离；勾股定理；等腰直角三角形．【分析】分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，先根据全等三角形的判定定理得出△BCE≌△ACF，故可得出CF及CE的长，在Rt△ACF中根据勾股定理求出AC的长，再由相似三角形的判定得出△CDG∽△CAF，故可得出CD的长，在Rt△BCD中根据勾股定理即可求出BD的长．【解答】解：分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∵∠EBC+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，∴∠EBC=∠ACF，∠BCE=∠CAF，在△BCE与△ACF中，，∴△BCE≌△ACF（ASA）∴CF=BE，CE=AF，∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为，∴CF=BE=1，CE=AF=，在Rt△ACF中，∵AF=，CF=1，∴AC==2，[来源:]∵AF⊥l3，DG⊥l3，∴△CDG∽△CAF，∴=，，解得CD=，在Rt△BCD中，BD==．故答案为：．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．15．如图，在平面直角坐标系中，已知点P（2，1），点A是x轴上的一个动点，当△PAO 是等腰三角形时，点A的坐标为（4，0），（，0）（﹣，0）．【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质．【分析】分类讨论：OP=PA，OP=OA，根据勾股定理，可得OP的长，根据等腰三角形的定义，可得答案．【解答】解：OP=PA时，A（4，0）；OP=PA时，A（，0），（﹣，0）．故答案为：A（4，0），（，0），（﹣，0）．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，分类讨论是解题关键，以防遗漏．三、解答题（本大题共6小题，满分55分）16．混合运算：（1）（1﹣）﹣1+（π﹣3.14）0﹣；（2）（﹣1）2++（﹣）﹣1．【考点】二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．【分析】（1）先算负整数指数幂，0次幂，化简二次根式，再进一步合并即可；（2）先算负整数指数幂，乘方，化简二次根式，再进一步合并即可．【解答】解：（1）原式=﹣+1﹣（2﹣）=﹣+；（2）原式=4﹣2﹣（+1）﹣=3﹣4．[来源:学.科.网Z.X.X.K]【点评】此题考查二次根式的混合运算，掌握运算顺序与化简的方法是解决问题的关键．17．现有一块三角形菜地，量得两边长为25米、17米，第三边上的高为15米，求此三角形菜地的面积．【考点】勾股定理的应用．【分析】根据题意画出图形进而利用勾股定理得出AC的长，即可得出此三角形菜地的面积．【解答】解：如图1所示：过点B作BD⊥AC于点D，当AB=25m，BC=17m，BD=15m，则AD==20（m），故DC==8（m），则AC=28m，故此三角形菜地的面积为：×BD×AC=×15×28=210（m2），如图2所示：过点B作BD⊥AC于点D，当AB=25m，BC=17m，BD=15m，则AD==20（m），故DC==8（m），则AC=12m，故此三角形菜地的面积为：×BD×AC=×15×12=90（m2），答：此三角形菜地的面积为210m2或90m2．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意利用分类讨论得出是解题关键．18．有一个如图示的长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80cm，高AB=60cm，水深为AE=40cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG=60cm；一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵．（1）小动物应该走怎样的路线才使爬的路线最短呢？请你在图中画出它爬行的路线，并用箭头标注．（2）求小动物爬行的最短路线长？[来源:]【考点】平面展开-最短路径问题．【专题】计算题．【分析】（1）做出A关于BC的对称点A′，连接A′G，与BC交于点Q，此时AQ+QG最短；（2）A′G为直角△A′EG的斜边，根据勾股定理求解即可．【解答】解：（1）如图所示，AQ+QG为最短路程．（2）∵在直角△AEG中，AE=40cm，AA′=120，∴A′E=80cm，又EG=60cm，∴AQ+QG=A′Q+QG=A′G==100cm．∴最短路线长为100cm．【点评】本题考查最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．【考点】作图-旋转变换；作图-轴对称变换．【分析】（1）分别找出A、B、C三点关于x轴的对称点，再顺次连接，然后根据图形写出A点坐标；（2）将△A1B1C1中的各点A1、B1、C1绕原点O旋转180°后，得到相应的对应点A2、B2、C2，连接各对应点即得△A2B2C2．【解答】解：（1）如图所示：点A1的坐标（2，﹣4）；（2）如图所示，点A2的坐标（﹣2，4）．【点评】本题考查图形的轴对称变换及旋转变换．解答此类题目的关键是掌握旋转的特点，然后根据题意找到各点的对应点，然后顺次连接即可．20．如图，直线l1的解析表达式为y=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2，交于点C．（1）求点D的坐标；（2）求直线l2的解析表达式；（3）求△ADC的面积．【考点】一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；两条直线相交或平行问题；三角形的面积．【分析】（1）已知l1的解析式，令y=0求出x的值即可；（2）设l2的解析式为y=kx+b，由图联立方程组求出k，b的值；（3）联立方程组，求出交点C的坐标，继而可求出S△ADC．【解答】解：（1）由y=﹣3x+3，令y=0，得﹣3x+3=0，∴x=1，∴D（1，0）；（2）设直线l2的解析表达式为y=kx+b，由图象知：x=4，y=0；x=3，，∴，∴，∴直线l2的解析表达式为；（3）由，解得，∴C（2，﹣3），∵AD=3，∴S△ADC=×3×|﹣3|=．【点评】此题考查的是一次函数的性质，三角形面积的计算等有关知识，利用图象上点的坐标得出解析式是解题关键．21．水平放置的容器内原有210毫米高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4毫米，每放入一个小球水面就上升3毫米，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y毫米．[来源:Z,xx,]（1）只放入大球，且个数为x大，求y与x大的函数关系式（不必写出x大的范围）；（2）仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x小①求y与x小的函数关系式（不必写出x小范围）；②限定水面高不超过260毫米，最多能放入几个小球？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据每放入一个大球水面就上升4毫米，即可解答；（2）①根据y=放入大球上面的高度+放入小球上面的高度，即可解答；②根据题意列出不等式，即可解答．【解答】解：（1）根据题意得：y=4x大+210；（2）①当x大=6时，y=4×6+210=234，∴y=3x小+234；②依题意，得3x小+234≤260，解得：，∵x小为自然数，∴x小最大为8，即最多能放入8个小球．【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数关系式、一元一次不等式．。
北京市四中八年级数学上学期期中考试试题 北师大版
OB（考试时间为100分钟，试卷满分为100分）班级 学号 姓名 分数 一、选择题： （每题3分，共30分）1．下列交通标志是轴对称图形的是 （ ）A. B ． C ． D ．2．下列各式中，正确的是 （ ）A ．39±=±B ．9)3(2=- C ．393-=- D ．2)2(2-=-3．下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是 （ ） A ．21x +B ．221x x +-C ．21x x ++D ．244x x ++4．如果53-x 有意义，则x 可以取的最小整数为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，∠C=30°，AB⊥AD，则下列关系式正确的 为 （ ）A ．BD=CDB ．BD=2CDC ．BD=3CD D ．BD=4CD6．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时平均速度为x 千米/小时，根据题意，得 （ ）A ．253010(180%)60x x -=+ B ．253010(180%)x x-=+C ．302510(180%)60x x -=+ D ．302510(180%)x x-=+7．已知1=-b a ，则a 2－b 2－2b 的值为 （ ） A ．4B ．3C ．1D ．08．已知ΔABC 中，AB=10，BC=15，CA=20，点O 是ΔABC 内角平 分线的交点，则ΔABO 、 ΔBCO 、 ΔCAO 的面积比是 （ ）A ．1:1:1B ．1:2:3CABDA BCDC ．2:3:4D ．3:4:59．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P （2，2），点Q 在y 轴上，△PQO 是等腰三 角形， 满足条件的点Q 的个数为 （ ） A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个10．ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且CD AC AB +=。
北京市第四中学2021-2022学年八年级上学期期中数学试题
北京市第四中学2021-2022学年八年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列运算正确的是（ ） A ．233+=m m mB ．326326⋅=m m mC ．22(3)9=m mD ．66÷=m m m3．如图，点B ，D ，E ，C 在同一条直线上，若ABD ACE △≌△，110AEC ∠=︒，则DAE ∠的度数为（ ）A ．30B ．40︒C ．50︒D ．60︒4．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最少要带第（ ）块去玻璃店就可以买到完全一样的玻璃．A ．①B ．①C ．①D ．①①①5．正方形网格中，AOB ∠的位置如图所示，到AOB ∠两边距离相等的点是（ ）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q6．如图1，将长为(1)x +宽为(1)x -的长方形沿虚线剪去一个宽为1的小长方形（阴影部分），得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示图形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）A ．22(1)21x x x -=-+B ．2(1)x x x x -=-C ．22(1)21x x x +=++D ．2(1)(1)1x x x +-=-7．如图，等边ABC 的边长为3，点M 为AC 边上的一个动点，作MD AB ⊥于点D ，延长CB 使得BF AM =，连接MF 交AB 与点E ，则DE 的长为（ ）A ．34B ．1C ．32D ．28．设a ，b 是实数，定义一种新的运算：2()a b a b ⊕=+，则下列结论：①0a b ⊕=，则0a =且0b =；①a b b a ⊕=⊕；①()a b c a b a c ⊕+=⊕+⊕；①()()a b a b ⊕=-⊕-，正确的有（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题9．0π-=____________．(2)10．计算：()323a b-=________；63÷=_________．a a11．如图，己知12∠=∠，添加一个条件______________，使得ABC ADC△≌△．12．如图，在ABC中，BD是边AC上的高，CE平分ACB∠，交BD于点E，BC=，则BCE的面积为___________．DE=，104AB=，则EBC的周长13．如图，DE是ABC中AC边的垂直平分线，若4BC=，5是_________．14．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是①BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是__15．如图，在△ABC 中，AB=3，AC=5，则 BC 边的中线 AD 的取值范围为_____.16．丽丽在做一道计算题目()()()()24816(21)21212121+++++的时候是这样分析的：这个算式里面每个括号内都是两数和的形式，跟最近学的乘法公式作比较，发现如果添加两数的差作为新的因式，就可以运用平方差公式进行运算，她尝试添了因式(21)-，很快得到计算结果．①()()()()24816(21)21212121+++++=______________；请参考丽丽的方法进行运算：①()()()242048(51)515151++++的值为____________．三、解答题 17．计算：（1）()24(31)x x -+；（2）(2)(3)m n n m +-（3）()3212633-+÷m m m m ；（4）(2)(2)x y z x y z ++--．18．课堂上，老师让同学们计算(3)(3)(41)-+--a b a b a a ．左边文本框中是小朱的解题过程．请你判断其是否正确？如果有错误，请写出正确的解题过程．19．如图，已知AOB ∠．按照以下步骤作图：①以点O 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交OA 、OB 于M 、N 两点；①分别以点M ，N 为圆心，以大于12线段MN 的长为半径作弧，两弧在AOB ∠内部交于点C ．则射线OC 是AOB ∠的角平分线． 根据上面的作法，完成以下问题：（1）使用直尺和圆规，作出射线OC （请保留作图痕迹）； （2）完成下面证明过程．（注：括号里填写推理的依据）．连接MC ，NC ． 在OCM 和OCN 中， ①,,,OM ON OC OC MC NC =⎧⎪=⎨⎪=⎩①≌OCM OCN （ ），①AOC ∠=________（ ）， 即OC 平分AOB ∠．20．如图，ABC 的顶点都是格点（平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点），（1）请画出ABC 关于y 轴对称的A B C '''（其中,,A B C '''分别是A ，B ，C 的对应点，不写画法）；（2）直接写出,,A B C '''三点的坐标．21．化简求值：若231a a -= ，求2(23)(2)(5)--+-a a a 的值．22．如图，,,AB CD AE BC DF BC =⊥⊥，垂足分别为E ，F ，BE CF =．求证：AB CD ∥．23．计算：（1）已知102,103m n ==，求3210m n +的值； （2）已知22()16,()4+=-=x y x y ，求xy 的值．24．如图，已知AB=AC ，E 为AB 上一点，ED ①AC ，ED=AE .求证：BD=CD .25．我们类比学习“三角形全等的判定”获得的经验与方法，对“四边形全等的判定”进行探究．根据全等形的定义，如果四边形满足四条边分别相等，四个角分别相等，就能判定这两个四边形全等． 【初步思考】一定要满足四条边分别相等，四个角也分别相等，才能保证两个四边形全等吗？能否在上述八个条件中选择部分条件，简捷地判定两个四边形全等呢？通过画图可以发现，满足上述八个条件中的四个条件的两个四边形不一定全等，举反例如图1或图2：【深入探究】满足上述八个条件中的五个，能保证两个四边形全等吗？ 小萍所在学习小组进行了研究，她们认为五个条件可分为以下四种类型： ①．一条边和四个角分别相等；①．二条边和三个角分别相等；①．三条边和二个角分别相等；①．四条边和一个角分别相等．（1）小齐认为“①．一条边和四个角分别相等”的两个四边形不一定全等，请你画图举反例说明，并写出分别相等的一条边和四个角．（2）小栗认为“①．四条边和一个角分别相等”的两个四边形全等，请你结合下图进行证明．已知：如图，四边形ABCD 和四边形1111D C B A 中，11AB A B =，11BC B C =，11CD C D =，11=DA D A ，1B B ∠=∠．求证：四边形ABCD ≌四边形1111D C B A ．（3）小熊认为还可以对“①．二条边和三个角分别相等”进一步分类，他以四边形ABCD 和四边形1111D C B A 为例，分为以下几类：①1111111,,,,==∠=∠∠=∠∠=∠AB A B AD A D A A B B C C ； ①1111111,,,,==∠=∠∠=∠∠=∠AB A B AD A D A A B B D D ； ①1111111,,,,==∠=∠∠=∠∠=∠AB A B AD A D B B C C D D ； ①1111111,,,,==∠=∠∠=∠∠=∠AB A B CD C D A A B B C C ．其中能判定四边形ABCD 和四边形1111D C B A 全等的是__________（填序号），概括可得一个“全等四边形的判定方法”，这个判定方法是_________________．26．已知：如图1，在ABC 中，AD 是BAC ∠的平分线．E 是线段AD 上一点（点E 不与点A ，点D 重合），满足2∠=∠ABE ACE ．（1）如图2，若18∠=︒ACE ，且EA EC =，则DEC ∠=________︒，AEB ∠=_______︒．（2）求证：AB BE AC +=．（3）如图3，若BD BE =，请直接写出ABE ∠和BAC ∠的数量关系．27．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．下面我们依次对()n a b +展开式的各项系数进一步研究发现，当n 取正整数时可以单独列成表中的形式：例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应222()2a b a ab b +=++展开式中的系数．（1）根据表中规律，写出5()a b +的展开式；（2）写出12()+a b 展开式中含102a b 项的系数是____________． 28．在平面直角坐标系xOy 中，定义：①“直线y m =”表示过点(0,)m 且平行于x 轴的直线；①若点P 和点1P 关于y 轴对称，点1P 和点2P 关于直线l 对称，则称点2P 是点P 关于直线l 的二次对称点．①若图形T 关于y 轴对称的图形为1T ，图形1T 关于直线l 的对称图形为2T ，则称2T 是图形T 关于直线l 的二次对称图形．例如：点(1,2)Q 关于直线1y =的二次对称点是2(1,0)Q -．已知四点(1,1),(1,3),(3,3),(1,1)----A B C D ．（1）若点E 是点A 关于直线1:2l y =的二次对称点，则点E 的坐标为___________； （2）点B 是点A 关于直线2:l y a =的二次对称点，则a 的值为____________； （3）已知线段CD 关于直线y b =的二次对称图形22C D 与线段BD 有交点，则b 的取值范围为___________．（4）已知ABC 关于直线y t =的二次对称图形为222A B C △．若222A B C △与BCD △无交点，则t 的取值范围为_____________．答案第1页，共2页参考答案：1．D 2．C 3．B 4．C 5．A 6．D 7．C 8．B 9．110． 6327a b - 3a11．AB AD =或34∠=∠或B D ∠=∠ 12．20 13．914．在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上 15．14AD <<16． 3221- 4096514-17．（1）32124x x --；（2）226-+mn m n ；（3）2421m m -+；（4）22242x y yz z --- 18．错误，225-+a b a19．（1）见解析；（2）SSS ，BOC ∠，全等三角形的对应角相等 20．（1）见解析；（2）(2,2),(3,0),(2,2)'''--A B C 21．23(3)19a a -+,22 . 22．见解析 23．（1）72；（2）3 24．见解析.25．（1）见解析；（2）见解析；（3）①①①，有一组邻边和三个角对应相等的两个四边形全等26．（1）36，126；（2）见解析；（3）3180∠+∠=︒ABE BAC 27．（1）54322345510105a a b a b a b ab b +++++；（2）66答案第2页，共2页 28．（1）()1,5- ；（2）2-；（3）1 1.5b -≤≤；（4）2t <-或1t >。
2019-2020北京四中初二第一学期数学期中考试
数学试卷（时间：100分钟 满分：120分）班级： 分层班级： 姓名： 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列四个汽车标志图中，不是．．轴对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ． 2. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）． A ．()x a b ax bx -=- B ．()()222111x y x x y -+=-++ C ．()()2111y y y -=+- D ．()ax bx c x a b c ++=++3. 在平面直角坐标系中，点A ，点B 关于y 轴对称，点A 的坐标是()28,-，则点B 的坐标是（ ）． A ．()28,-- B ．()28, C ．()28,- D ．()82,4. 已知3x =是分式方程31kx =-的解，那么实数k 的值为（ ）． A ．1 B ．32C ．6D ．95. 如图，已知△ABC ≌△DCB ，AB =10，∠A =60°，∠ABC =80°，那么下列结论中错误的是（ ）． A ．∠D =60° B ．∠DBC =40° C ．AC =DB D ．BE =106. 下列算式中，你认为正确的是（ ）．A ．1b a a b b a -=---B ．11b aa b÷⋅=C ．1133a a -= D ．()22211a b a b a b a b -⋅=-++ 7. 在三角形内，到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）．A ．三条高的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条边的垂直平分线的交点D ．三条中线的交点8. 某工程队准备修建一条长1200米的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20%，结果提前两天完成任务，若设原计划每天修建道路x 米，则根据题意可列方程为（ ）．A ．()120012002120x %x -=+ B ．()120012002120%x x -=- C ．()120012002120%x x -=+ D ．()120012002120x %x-=-9. 对于非零实数a 、b ，规定11a b b a⊗=-，若()2211x ⊗-=，则x 的值为（ ）． A ．56 B ．54 C ．32 D ．16-10. 如图，D 为∠BAC 的外角平分线上一点并且满足BD =CD ，∠DBC =∠DCB ，过D 作DE ⊥AC 于E ，DF ⊥AB 交BA 的延长线于F ，则下列结论：①△CDE ≌△BDF ； ②CE =AB +AE ； ③∠BDC =∠BAC ； ④∠DAF =∠CBD ． 其中正确的结论有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题（每小题2分，共16分）11. 若分式21x x -+的值为0，则x 的值为 ．12. 23-= ；用科学记数法表示= ．13. 化简：224816x x x x --+ = ．14. 若2226100a b a b +--+=，则a b += ．15. 如图，AC =DC ，BC =EC ，请你添加一个适当的条件： ，使得△ABC ≌△DEC ．（第15题图） （第16题图）ABCDEF16. 如图，△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，AE 是BC 边上的中线，过点C 作CF ⊥AE ，垂足为点F ，过点B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于点D ，BD =2，则△ABE 的面积为 ．17. 若关于x 的分式方程2322x m mx x++=--的解为正实数，则实数m 的取值范围是 ．18. 下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程： 已知：直线l 和l 外一点P ．（如图18-1） 求作：直线l 的垂线，使它经过点P ． 作法：如图18-2．（1）在直线l 上任取两点A ，B ；（2）分别以点A ，B 为圆心，AP ，BP 长为半径作弧，两弧相交于点Q ； （3）作直线PQ ．所以直线PQ 就是所求的垂线．请回答：该作图的依据是． （图18-1） （图18-2）三、解答题19. （8分）将下列各式因式分解：（1）221218x x -+； （2）()2x a b a b --+．20. （5分）先化简22144111x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，再选一个适当的数代入求值．21. （5分）解分式方程：2311xx x x +=--．22. （5分）如图，点A 、B 、C 、D 在同一直线上，BE ∥DF ，∠A =∠F ，AB =FD ．求证：AE =FC ．23. （6分）下面是某同学对多项式()()2242464x x x x -+-++进行因式分解的过程．解：设24x x y -=，原式=()()264y y +++()()2222816444y y y x x .=++=+=-+（1）该同学因式分解的结果是否彻底？．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ．（2）请你模仿以上方法尝试对多项式()()222221x x x x --++进行因式分解．24. （6分）如图，△ABC 中，∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线相交于点D ． （1）请你利用尺规作图作出点D ；（2）过点D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若AB =6，AC =3，则BE = ．25. （5分）列方程或方程组解应用题：为了响应市政府“绿色出行”的号召，小张上下班由自驾车方式改为骑自行车方式．已知小张单位与他家相距20千米，上下班高峰时段，自驾车的平均速度是自行车平均速度的2倍，骑自行车所用时间比自驾车所用时间多23小时．求自驾车平均速度和自行车平均速度各是多少？ABC26.（7分）如图，BC⊥CA，BC=CA，DC⊥CE，DC=CE，直线BD与AE交于点F，与AC交于点G，连接CF．（1）BD和AE的大小关系是，位置关系是；请给出证明；（2）求证：CF平分∠BFE．27. （7分）三条边都相等的三角形叫做等边三角形，它的三个角都是60°．△ABC是等边三角形，点D 在BC 所在直线上运动，连接AD ，在AD 所在直线的右侧作∠DAE =60°，交△ABC 的外角∠ACF 的角平分线所在直线于点E ． （1）如图27-1，当点D 在线段BC 上时，请你猜想AD 与AE 的大小关系，并给出证明；（2）如图27-2，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，依据题意补全图形，请问上述结论还成立吗？请说明理由．（图27-1） （图27-2）附加卷（20分）1. （4分）分解因式：（1）2244x y y -+-= ；（2）2244243x xy y x y -+-+-= ． 2. （4分）若关于x 的分式方程7311mxx x +=--无解，则实数m = ．3. （4分）阅读下面材料，并解答问题．将分式42231x x x +--拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为21x -，可设()()422231x x x x a b +-=-++.则()()422242231x x x x a b x x ax a b +-=-++=-+-+()421x a x a b =+--+11231a a ,a b b -==⎧⎧∴∴⎨⎨-+=-=-⎩⎩()()()()()22224222222212112311211111x x x x x x x x x x x x -+--++-∴==-=+------ 这样，分式42231x x x +--被拆分成了一个整式22x +与一个分式211x -- 的和． 根据上述作法，将分式422681x x x +--拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．4. （8分）如图4-1，点A 、D 在y 轴正半轴上，点B 、C 分别在x 轴上，CD平分∠ACB ，与y 轴交于D 点，∠CAO =90°﹣∠BDO ． （1）求证：AC =BC ；（2）如图4-2，点C 的坐标为（4，0），点E 为AC 上一点，且∠DEA =∠DBO ，求BC +EC 的长；（图4-1） （图4-2）（3）如图4-3，过D 作DF ⊥AC 于F 点，点H 为FC 上一动点，点G 为OC 上一动点，当H 在FC 上移动、点G 在OC 上移动时，始终满足∠GDH =∠GDO +∠FDH ，试判断FH 、GH 、OG 这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．（图4-3）参考答案一、选择题1．B 2．C 3．A 4．C 5．D6．D 7．B 8．A 9．A 10．D二、填空题11．2 12．19，431410.-⨯ 13．4x x - 14．4 15．AB DE =，或ACB DCE ∠=∠，或ACD BCE ∠=∠16．4 17．6m <且2m ≠18．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线三、解答题19．（1）()223x -； （2）()()()11a b x x -+- 20．12x x +-，选取的值不能是12,± 21．3x = 22．证()ABE FDC ASA ∆∆≌23．（1）不彻底；()42x - ；（2）设22x x y -=，则原式=()()()()2242211211y y y x x x ++=+=-+=- 24．（2）25．自驾车的平均速度为30km/h ，自行车的平均速度为15km/h26．（1）BD AE,BD AE =⊥，证明：∵BC ⊥CA ，DC ⊥CE ，∴∠ACB=∠DCE=90°，∴∠BCD=∠ACE ，在△BCD 与△ACE 中，，∴△ACE ≌△BCD ；∴∠CBD=∠CAE ，∵∠BGC=∠AGE ，∴∠AFB=∠ACB=90°，∴BF ⊥AE ；（2）过C 作CH ⊥AE 于H ，CI ⊥BF 于I ，法1：∵△BCD ≌△ACE ，∴AE=BD ，S △ACE =S △BCD ，∴CH=CI ，∴CF 平分∠BFH ．法2：可证△BCI ≌△ACH ．27．（1）证60B ACE ,BAD CAE,AB AC ∠=∠=∠=∠= ⇒ ABD ACE ∆∆≌；（2）证120ABD ACE ,∠=∠= BAD CAE ∠=∠， AB=AC ⇒ ABD ACE ∆∆≌．附加卷1．（1）()()22x y x y +--+；（2）()()2321x y x y ---+.2．7或33．()()224222221716817111x x x x x x x x -+-+-==+---- 4． （1）证明：∵∠CAO=90°﹣∠BDO ，∴∠CAO=∠CBD ．又∵，CD=CD ， ∴△ACD ≌△BCD （AAS ）． ∴AC=BC ．（2）解：过D 作DN ⊥AC 于N 点，如右图所示： ∵∠ACD=∠BCD ，∠DOC=∠DNC=90°，CD=CD∴△DOC ≌△DNC （AAS ），∴DO=DN ，OC=NC.又∵∠DEA=∠DBO ，∠DOB=∠DNC=90° y xB DO C A∴△BDO≌△EDN（AAS），∴BO=EN．∴BC+EC=BO+OC+NC﹣NE=2OC=8．（3）GH=FH+OG．证明：由（1）知：DF=DO，在x轴的负半轴上取OM=FH，连接DM，如右图所示：在△DFH和△DOM中，∴△DFH≌△DOM（SAS）．∴DH=DM，∠1=∠ODM．∴∠GDH=∠1+∠2=∠ODM+∠2=∠GDM．在△HDG和△MDG中，∴△HDG≌△MDG（SAS）．∴MG=GH，∴GH=OM+OG=FH+OG．yxFDO CAGHM12。
2018-2019学年北京四中八年级(上)期中数学试卷解析版
2018-2019学年北京四中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共30分，四个选项中只有一个正确答案）1．（3分）计算5﹣2的结果是（）A．﹣10B．﹣25C．D．﹣2．（3分）图中全等的三角形是（）A．Ⅰ和ⅡB．Ⅱ和ⅣC．Ⅱ和ⅢD．Ⅰ和Ⅲ3．（3分）下列各式变形中，是因式分解的是（）A．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1B．2x2+2x＝2x2（1+）C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4D．x4﹣1＝（x2+1）（x+1）（x﹣1）4．（3分）如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB＝CD B．∠BCA＝∠DCA C．∠BAC＝∠DAC D．∠B＝∠D＝90°5．（3分）下列分式中，最简分式是（）A．B．C．D．6．（3分）如图，已知钝角△ABC，老师按如下步骤尺规作图：步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①，步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D．步骤3：连接AD，交BC延长线于点H．小明说：图中的BH⊥AD且平分AD．小丽说：图中AC平分∠BAD．小强说：图中的C为BH的中点认为（）A．小明说得对B．小丽说的对C．小强说的对D．他们都不对7．（3分）学完分式运算后，老师出了一道题“化简：”．小明的做法是：原式＝；小亮的做法是：原式＝（x+3）（x﹣2）+（2﹣x）＝x2+x﹣6+2﹣x＝x2﹣4；小芳的做法是：原式＝．其中正确的是（）A．小明B．小亮C．小芳D．没有正确的8．（3分）如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，在格点F、G、H、I中选出一个点与点D、点E 构成的三角形与△ABC全等，则符合条件的点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．（3分）若a2﹣2a﹣3＝0，代数式的值是（）A．﹣B．C．﹣3D．310．（3分）关于x的分式方程＝3的解是负数，则字母m的取值范围是（）A．m＜3B．m＜3且m≠2C．m＞﹣3D．m＞﹣3且m≠﹣2二、填题（每题2分，共12分）11．（2分）当分式有意义的时候，x的取值范围是．12．（2分）研究表明，H1N1流感球形病毒细胞的直径约为0.00000156m，用科学记数法表示这个数为．13．（2分）如果≠0，那么代数式•（2m+n）的值是．14．（2分）＝+．15．（2分）如图，△ABC≌△ADE且BC、DE交于点O，连接BD、CE，则下列四个结论①BC＝DE；②∠ABC ＝∠ADE；③∠BAD＝∠CAE；④BD＝CE，其中一定成立的有．16．（2分）已知a n＝（n＝1，2，3，……），b1＝2（1﹣a1），b2＝2（1﹣a1）（1﹣a2）…，b n＝2（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n）则通过计算推测出b n表达式为b n＝（用含n的代数式表示）三、解答题（共10大题58分，在答题纸书写，保留解答过程，仅有答案不得分）17．（8分）因式分解（1）2a2b﹣8b（2）xy3﹣10xy2+25xy18．（8分）计算（1）a5b3+（﹣a3b）•（﹣3a）2；（2）÷（m+2﹣）19．（5分）已知：如图，点A、B、C、D在同一直线上，且AB＝CD，AE∥BF，AE＝BF．求证：∠E＝∠F．20．（5分）先化简1﹣÷，再任取一个你喜欢的x的值，代入求值．21．（5分）如图，BE、CF分别是钝角△ABC（∠A＞90°）的高，在BE上截取BP＝AC，在CF的延长线截取CQ ＝AB，连结AP、AQ，请推测AP与AQ的数量和位置关系，并加以证明．22．（5分）解方程：．23．（5分）根据《中国铁路中长期发展规划》，预计到2020年底，我国建设城际轨道交通的公里数是客运专线的2倍．其中建设城际轨道交通约投入8000亿元，客运专线约投入3500亿元．据了解，建设每公里城际轨道交通与客运专线共需1.5亿元．预计到2020年底，我国将建设城际轨道交通和客运专线分别约多少公里？24．（5分）将两个全等的△ABC和△DBE按图1方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E 落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于F．（1）求证：AF+EF＝DE；（2）若将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转角a，且60°＜α＜180°，其他条件不变，如图2，请直接写出此时线段AF、EF与DE之间的数量关系．25．（6分）如下表，方程1、方程2、方程3．是按照一定规律排列的一列方程（1）猜想方程1的解，并将它们的解，填在图中的空白处．﹣＝1﹣＝1﹣＝1（2）若方程﹣＝1（a＞b）的解是x1＝6，x2＝10，猜想a、b的值．（3）请写出这列方程中的第n个方程和它的解．26．（6分）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在△ABC中，AB＝9，AC＝5，BC边上的中线AD的取值范围．（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：①延长AD到Q使得BQ＝AD；②再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；③利用三角形的三边关系可得4＜AQ＜14，则AD的取值范围是．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中（2）请写出图1中AC与BQ的位置关系并证明；（3）思考：已知，如图2，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠F AC＝90°，试探究线段AD 与EF的数量和位置关系，并加以证明．四、陬加题（12题每题4分，34题每题6分）27．（4分）如图，已知△ABD≌△ACE，且∠ABC＝∠ACB，则图中一共有多少对全等三角形？（）A．3对B．4对C．5对D．6对28．（4分）已知x2﹣2x﹣3是多项式3x3+ax2+bx﹣3的因式（a、b为整数）则a＝，b＝．29．（6分）如果一个正整数能写成a2+3b2的形式（其中a、b均为自然数），则称之为婆罗摩笈多数，比如7和31均是婆罗摩笈多数，因为7＝22+3×12，31＝22+3×32．（1）请证明：28和217都是婆罗摩笈多数；（2）请证明：任何两个婆罗摩笈多数的乘积依旧是婆罗摩笈多数．30．（6分）请阅读下述材料：下述形式的繁分数叫做有限连分数，其中n是自然数，a0是整数，a1，a2，a3…，a n是正整数：a0+其中a0，a1，a2，a3，…a n称为部分商．按照以下方式，可将任意一个分数转化为连分数的形式：a＝，则a＝3+；考虑的倒数，有＝1+，从而a＝3+，再考虑的倒数，有＝3+，于是得到a的连分数展开式，是他有4个剖分商：3，1，3，3；a＝＝3+．可利用连分数来求二元一次不定方程的特殊解，以49x﹣13y＝1为例，首先将写成连分数的形式，如上所示；其次，数部分商的个数，本例是偶数个部分商（奇数情况见下例）；最后计算倒数第二个渐进分数3+＝从而x0＝4，y0＝15是一个特解考虑不定方程49x﹣34y＝1，先将写成连分数的形式：＝1+意到此联分数有奇数个部分商：将之改写为偶数个部分商的形式：＝1+计算倒数第二个渐进分数：1+＝，所以x0＝25，y0＝36，是49x﹣34y＝1的一个特解对于分式，有类似的连分式的概念，利用将分数展开为连分数的方法，可以将分式展开为连分式，例如的连分式展开式如下，它有3个部分商：x2﹣x+2，x+2，x﹣；x2﹣x+2+，再例如＝1+，他有4个部分商：1，x，x﹣1，x请阅读上述材枓，利用所讲述的方法，解决下述两个问题（1）找出两个关于x的多项式p和q，使得（x2+x+1）p﹣（x2+1）q＝1（2）找出两个关于x的多项式u和v，使得（x3+2x2+x+1）u﹣（x2+x+1）v＝12018-2019学年北京四中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分，四个选项中只有一个正确答案）1．【解答】解：5﹣2＝＝．故选：C．2．【解答】解：A选项中条件不满足SAS，不能判定两三角形全等；B选项中条件对应边不相等，不能判定两三角形全等；C选项中条件不满足SAS，不能判定两三角形全等；D选项中条件满足SAS，能判定两三角形全等．故选：D．3．【解答】解：A a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1中不是把多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；B2x2+2x＝2x2（1+）中不是整式，故B错误；C（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4是整式乘法，故C错误；Dx4﹣1＝（x2+1）（x2﹣1）＝（x2+1）（x+1）（x﹣1），故D正确．故选：D．4．【解答】解：在△ABC和△ADC中∵AB＝AD，AC＝AC，∴当CB＝CD时，满足SSS，可证明△ABC≌△ACD，故A可以；当∠BCA＝∠DCA时，满足SSA，不能证明△ABC≌△ACD，故B不可以；当∠BAC＝∠DAC时，满足SAS，可证明△ABC≌△ACD，故C可以；当∠B＝∠D＝90°时，满足HL，可证明△ABC≌△ACD，故D可以；故选：B．5．【解答】解：A、原式为最简分式，符合题意；B、原式＝＝，不合题意；C、原式＝＝，不合题意；D、原式＝＝，不合题意，故选：A．6．【解答】解：连接CD，BD．由作图可知：CA＝CD，BD＝BA，∴直线BC是线段AD的垂直平分线，∴BH⊥AD且平分AD，故小明的说法正确，故选：A．7．【解答】解：+＝﹣＝﹣＝＝＝1．所以正确的应是小芳．故选：C．8．【解答】解：由图形可知AB＝，AC＝3，BC＝，GD＝，DE＝，GE＝3，DI＝3，EI＝，所以G，I两点与点D、点E构成的三角形与△ABC全等，故选：B．9．【解答】解：移项，得a2﹣2a＝3．＝＝，故选：B．10．【解答】解：＝3，方程两边同时乘以x+1得：2x﹣m＝3（x+1），解得：x＝﹣m﹣3，∵x+1≠0，∴x≠﹣1即﹣m﹣3≠﹣1，解得：m≠﹣2，又∵方程的解是负数，∴﹣m﹣3＜0，解不等式得：m＞﹣3，综上可知：m＞﹣3且m≠﹣2，故选：D．二、填题（每题2分，共12分）11．【解答】解：依题意得：2x+1≠0，解得：x≠﹣．故答案是：x≠﹣．12．【解答】解：0.000 001 56＝1.56×10﹣6m．13．【解答】解：原式＝•（2m+n）＝，设＝k，则m＝3k、n＝2k，所以原式＝＝＝，故答案为：．14．【解答】解：﹣＝＝﹣＝﹣2．故答案为：﹣215．【解答】解：∵△ABC≌△ADE∴AB＝AD，BC＝DE，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC∴∠BAD＝∠CAE故答案为：①②③16．【解答】解：由题意可得，a1＝，a2＝，a3＝，…，a n＝，则b1＝2×（1﹣）＝2×＝，b2＝，b3＝，b4＝，…，b n＝，故答案为：．三、解答题（共10大题58分，在答题纸书写，保留解答过程，仅有答案不得分）17．【解答】解：（1）2a2b﹣8b＝2b（a2﹣4）＝2b（a﹣2）（a+2）；（2）xy3﹣10xy2+25xy＝xy（y2﹣10xy+25）＝xy（y﹣5）2．18．【解答】解：（1）a5b3+（﹣a3b）•（﹣3a）2＝a5b3+（﹣a3b）•9a2＝b；（2）÷（m+2﹣）＝＝＝＝﹣．19．【解答】证明：∵AB＝CD，AE∥BF，∴AC＝BD，∠A＝∠FBD，∵AE＝BF，∴△EAC≌△FBD，∴∠E＝∠F．20．【解答】解：1﹣÷＝1﹣＝1﹣＝＝，当x＝2时，原式＝＝．21．【解答】解：AP＝AQ，AP⊥AQ，理由如下：∵CF⊥AB，BE⊥AC，∴∠AEB＝∠AFC＝90°，∴∠ABE＝∠ACQ＝90°﹣∠BAC．∵BP＝AC，CQ＝AB，在△APB和△QAC中，，∴△APB≌△QAC（SAS）．∴∠BAP＝∠CQA，AP＝AQ，∵∠CQA+∠QAF＝90°，∴∠BAP+∠QAF＝90°．即AP⊥AQ22．【解答】解：去分母，得x（x+2）﹣（x2﹣4）＝2，去括号，得x2+2x﹣x2+4＝2，整理，得2x＝﹣2，解得x＝﹣1，检验：将x＝﹣1代入（x+2）（x﹣2）＝﹣3≠0，∴x＝﹣1是原方程的解．23．【解答】解：设我国将建设城际轨道交通专线x公里，可得：，解得：x＝5000，2x＝10000经检验x＝5000是原方程的解，答：我国将建设城际轨道交通和客运专线分别约5000，10000公里．24．【解答】证明：（1）连接BF，∵△ABC≌△DBE∴BC＝BE，DE＝AC，AB＝BD，∵BE＝BC，BF＝BF∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL）∴EF＝CF∴DE＝AC＝AF+CF＝AF+EF（2）连接BF，∵△ABC≌△DBE∴BC＝BE，DE＝AC，AB＝BD，∵BE＝BC，BF＝BF∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL）∴EF＝CF∴AF＝AC+CF＝DE+EF25．【解答】解：（1）填写如下：﹣＝1﹣＝1﹣＝1故答案为：3，4；（2）若方程﹣＝1（a＞b）的解是x1＝6，x2＝10，则有a＝12，b＝5；（3）归纳得：第n个方程为﹣＝1，它的解为x1＝n+2，x2＝2n+2．26．【解答】解：（1）延长AD到Q使得BQ＝AD，连接BQ，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△QDB和△ADC中，，∴△QDB≌△ADC（SAS），∴BQ＝AC＝5，在△ABQ中，AB﹣BQ＜AQ＜AB+BQ，∴4＜AQ＜14，∴2＜AD＜7，故答案为：2＜AD＜7；（2）AC∥BQ，理由：由（1）知，△QDB≌△ADC，∴∠BQD＝∠CAD，∴AC∥BQ；（3）EF＝2AD，AD⊥EF，理由：如图2，延长AD到Q使得BQ＝AD，连接BQ，由（1）知，△BDQ≌△CDA（SAS），∴∠DBQ＝∠ACD，BQ＝AC，∵AC＝AF，∴BQ＝AF，在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ABC+∠DBQ＝180°，∴∠BAC+ABQ＝180°，∵∠BAE＝∠F AC＝90°，∴∠BAC+∠EAF＝180°，∴∠ABQ＝∠EAF，在△ABQ和△EAF中，，∴△ABQ≌△EAF，∴AQ＝EF，∠BAQ＝∠AEF，延长DA交EF于P，∵∠BAE＝90°，∴∠BAQ+∠EAP＝90°，∴∠AEF+∠EAP＝90°，∴∠APE＝90°，∴AD⊥EF，∵AD＝DQ，∴AQ＝2AD，∵AQ＝EF，∴EF＝2AD，即：EF＝2AD，AD⊥EF．四、陬加题（12题每题4分，34题每题6分）27．【解答】解：∵△ABD≌△ACE，∴AE＝AD，CE＝BD，∠ABD＝∠ACE，∴BE＝CD，在△BFE与△CFD中，，∴△BFE≌△CFD（AAS），在△BCD与△CBE中，∴△BCD≌△CBE（SSS），∴BD＝CE，在△BDE与△CED中，，∴△BDE≌△CED（SSS），∴共有4对全等三角形．故选：B．28．【解答】解：设另一个因式是：mx+n，则（x2﹣2x﹣3）（mx+n）＝mx3+（n﹣2m）x2+（﹣3m﹣2n）x﹣3n＝3x3+ax2+bx ﹣3则：解得：故答案是：﹣5，﹣11．29．【解答】证明：（1）∵28＝12+3×32＝28，217＝132+3×42＝217，∴28和217都是婆罗摩笈多数．（2）设一个婆罗摩笈多数为x＝a2+3b2，另一个婆罗摩笈多数为y＝c2+3d2，xy＝（a2+3b2）•（c2+3d2）＝a2c2+3a2d2+3b2c2+9b2d2＝（ac）2+（3bd）2+6abcd﹣6abcd+3a2d2+3b2c2＝（ac+bd）2+3（ad﹣bc）2因此，任何两个婆罗摩笈多数的乘积依旧是婆罗摩笈多数．30．【解答】解：（1），计算倒数第二个渐进分数：，∴p＝x，q＝x+1，（2），计算倒数第二个渐进分数：，∴u＝x+1，v＝x2+2x，。
北京四中2020-2021学年上学期初中八年级期中考试数学试卷
C．三条高线的交点D．三条边的垂直平分线的交点
8．某工程队准备修建一条长1200米的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20％，结果提前两天完成任务，若设原计划每天修建道路x米，则根据题意可列方程为（）.
A． B．
C． D．
9．对于非零实数 ，规定 ，若 ，则 的值为
A．1B． C．6D．9
5．如图，已知△ABC≌△DCB，AB=10，∠A=60°，∠ABC=80°，那么下列结论中错误的是（）.
A．∠D=60°B．∠DBC=40°C．AC=DBD．BE=10
6．下列算式中，你认为正确的是（）.
A． B．1÷ . =l
C． D．
7．到 的三顶点距离相等的点是 的是()
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2-2x）（x2-2x+2）+1进行因式分解．
26．如图，△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D．
（1）请你利用尺规作图作出点D；
（2）过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB=6，AC=3，则BE=________.
27．列方程或方程组解应用题：
B.没把一个多项式转化成几个整式积，故B错误；
C.把一个多项式转化成几个整式积，故C正确；
D.没把一个多项式转化成几个整式积，故D错误；
故选C.
3．D
【分析】
根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
【详解】
∵点A，点B关于y轴对称，点A的坐标是(2，−8)，
∴点B的坐标是(−2，-8)，
（3）作直线PQ．
所以直线PQ就是所求的垂线．
请回答：该作图的依据是_________________________________________．
2019-2020学年北京四中八年级(上)期中数学试卷 -(含答案解析)
2019-2020学年北京四中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.在下列学校校徽图案中，是轴对称图形的是()A. B. C. D.2.某种流感病毒的直径是0.000000085米，这个数据用科学记数法表示为()A. 0.85×10−7B. 85×10−7C. 8.5×10−8D. 8.5×1083.若点(a,−3)与点(2,b)关于y轴对称，则a，b的值为()A. a=2，b=3B. a=2，b=−3C. a=−2，b=3D. a=−2，b=−34.约分：6a2b3abc=()A. 2ac B. 2abc C. a2cD. 2c5.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是()A. (a+3)(a−3)=a2−9B. a2−b2=(a+b)(a−b)C. a2−4a−5=(a−2)2−9D. x2−4+3x=(x−2)(x+2)+3x6.如图是两个全等三角形，则∠1=()A. 62°B. 72°C. 76°D. 66°7.要使分式1x−1有意义，则x的取值范围是()A. x≠1B. x=1C. x=−1D. x≠−18.计算a3·(1a)2的结果是()A. aB. a5C. a6D. a89.如图，已知△ABC，AB<BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC，则下列选项正确的是()A. B.C. D.10.如图，将一张长方形纸片的角A、E分别沿着BC、BD折叠，点A落在处，点E落在边上的处，则∠CBD的度数是()A. 85∘B. 90∘C. 95∘D. 100∘二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.若分式x−2x−1的值为零，则x=______．12.分解因式：8x2y−18y=______．13.化简：m−1m ÷m−1m2=______．14.已知△ABC中，DE垂直平分AB，如果△ABC的周长为22，AB=10，则△ACD的周长为______．15.如图，OP平分∠AOB，PB⊥OB，OA=8cm，且△POA的面积为12cm2，则PB的长为．16.若x+1x =3，则分式x2x4+x2+1的值是______．17.△ABC中，AB=9，AC=7，则中线AD之长的范围________．18.阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一角等于已知角．已知：∠AOB(图1)，求作：∠FBE，使得∠FBE=∠AOB小明解答如图2所示：老师说：“小明作法正确．”请回答：(1)小明的作图依据是______；(2)他所画的痕迹弧MN是以点______为圆心，______为半径的弧．三、计算题（本大题共2小题，共16.0分）19.分解下列因式：(1)2x2−8xy+8y2；(2)3x2−27；(3)4+12(x−y)+9(x−y)2．20.解方程：5x−4x−2=4x+103x−6−1．四、解答题（本大题共8小题，共50.0分）21.已知：点D在BC边上，AB=AD，BC=DE，AC=AE，求证：∠1=∠2．22. 先化简，再求值：(x −1−3x+1)÷x 2−4x+4x+1，其中x =−4．23. 作图题：如图，在10∗10的方格纸中，有一个格点四边形ABCD(即四边形的顶点都在格点上)．(1)在给出的方格纸中，画出四边形ABCD 关于直线I 对称的图形A 1B 1C 1D 1的面积;(2)若小正方形的边长是1，求四边形A 1B 1C 1D 1的面积．24. 为加快交通建设，促进经济发展，国家发改委于2015年批准武汉至十堰高铁孝感至十堰段建设，该工程于2015年开工，预计2019年完成并开通运营．原来武汉至十堰动车铁路全长约490km ，建成后的高铁路段全长约460km，预测届时从武汉至十堰高铁比动车平均每小时快9倍，高铁14比动车少用1.5小时，问该段高铁平均每小时多少km？25.如图，已知△ABC(1)利用尺规作图：①在边AC下方作∠CAE=∠ACB；②在射线AE上截取AD=BC；③连结CD，记CD交AB于点G.(尺规作图要求保留作图痕迹．不写作法)(2)请写出按要求作图后所有全等的三角形：______．26.(1)如图1，利用网格线，作出三角形关于直线l的对称图形．(2)如图2，利用网格线：①在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等；②在射线AP上找一点Q，使QB=QC.此时QB与QC的位置关系是______．27.化简√6．√3+√2−√528.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.D为BC边上任一点，连接AD，过D作DE⊥AD，且DE=AD.连接BE，探究BE与AB 的位置关系，并说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，故此选项正确；故选：D．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答即可．此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．2.答案：C解析：解：0.000000085米，这个数据用科学记数法表示为8.5×10−8．故选：C．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.答案：D解析：【分析】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律，根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得a、b的值．【解答】解：∵点(a,−3)与点(2,b)关于y轴对称，∴a=−2，b=−3，故选D．4.答案：A解析：【分析】本题考查了约分，对分子分母分解因式，并找出公因式是解题的关键．①先找出分子分母的公因式，然后约去即可；②把分子分母分解因式，然后约去公因式即可．【解答】解：6a2b3abc =2ac，故选A．5.答案：B解析：【分析】本题考查了因式分解的意义.把一个多项式分解成几个整式的积的形式叫因式分解，先看等式左边是否是一个多项式，等式右边是否是几个整式的积的形式即可．【解答】A.本选项是多项式乘多项式，不是因式分解；B.本选项是因式分解；C.本选项不是因式分解；D.本选项不是因式分解．故选B．6.答案：C解析：【分析】根据全等三角形的对应角相等解答．本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．【解答】解：第一个图中，∠1=180°−42°−62°=76°，∵两个三角形全等，∴∠1=76°，故选C．7.答案：A解析：【分析】本题主要考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．分式有意义的条件是分母不等于零．【解答】有意义，解：∵分式1x−1∴x−1≠0．解得：x≠1．故选A．8.答案：A解析：【分析】本题考查了分式的乘除法，分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算．先算出分式的乘方，再约分．【解答】=a，解：原式=a3⋅1a2故选A．9.答案：D解析：解：∵PB+PC=BC，而PA+PC=BC，∴PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上，即点P为AB的垂直平分线与BC的交点．故选：D．由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在AB 的垂直平分线上，于是可判断D选项正确．本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线定理的判定．10.答案：B解析：【分析】此题考查了折叠的性质与平角的定义，解题的关键是掌握翻折的性质.由折叠的性质，即可得：∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，然后由平角的定义，即可求得∠A′BC+∠E′BD=90°，则可求得∠CBD的度数．【解答】解：根据折叠的性质可得：∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，∵∠ABC+∠A′BC+∠E′BD+∠EBD=180°，∴2∠A′BC+2∠E′BD=180°，∴∠A′BC+∠E′BD=90°，∴∠CBD=90°．故选B．11.答案：2解析：解：由分式的值为零的条件得x−2=0且x−1≠0，由x−2=0，解得x=2，故答案为2．根据分式的值为零的条件可以求出x的值．本题考查了分式的值为零的条件，具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可．12.答案：2y(2x+3)(2x−3)解析：解：原式=2y(4x2−9)=2y(2x+3)(2x−3)，故答案为：2y(2x+3)(2x−3)原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13.答案：m解析：解：原式=m−1m ⋅m2m−1=m．故答案为：m．原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14.答案：12解析：解：∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∵△ABC的周长为22，AB=10，∴AB+AC+BC=10+AC+BC=22，解得，AC+BC=12，∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+CD+DB=AC+BC=12，故答案为：12．根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据三角形的周长公式计算即可．本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．15.答案：3cm解析：【分析】本题考查的是角平分线的性质，三角形的面积，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．过点P作PD⊥OA于点D，由三角形的面积公式可求出PD，再根据角平分线的性质即可得出结论．【解答】解：过点P作PD⊥OA于点D，∵OP平分∠AOB，PB⊥OB，∴PD=PB，∵OA=8cm，∴S△POA=12OA⋅PD=12×8⋅PD=12，∴PD=PB=3(cm)．故答案为3cm．16.答案：18解析：解：把x+1x =3，两边平方得：(x+1x)2=x2+1x2+2=9，即x2+1x2=7，则原式=1x2+1x2+1=18．故答案为：18．已知等式两边平方，利用完全平方公式化简求出x2+1x2的值，原式变形后代入计算即可求出值．此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17.答案：1<AD<8解析：【分析】本题考查了三角形的三边关系及三角形全等的判定与性质，先作辅助线，延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，先证明△ABD≌△ECD，在△AEC中，由三角形的三边关系定理得出答案．【解答】解：延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，∵{BD=CD∠ADB=∠EDC AD=DE，∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴CE=AB，∵AB=9，AC=7，∴CE=9，设AD=x，则AE=2x，∴2<2x<16，∴1<x<8，∴1<AD<8．故答案为1<AD<8．18.答案：(1)三边对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等；(2)E；CD．解析：解：(1)连接CD、EF，由小明的作图知，OC=OD=BE=BF，CD=EF，在△OCD和△BEF中，∵{OC=BE OD=BF CD=EF，∴△OCD≌△BEF(SSS)，∴∠FBE=∠AOB，∴小明的作图依据是三边对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等，故答案为：三边对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等；(2)他所画的痕迹弧MN是以点E为圆心，CD的长度为半径的弧，故答案为：E、CD．【分析】(1)根据作图痕迹知OC=OD=BE=BF，CD=EF，证△OCD≌△BEF得∠FBE=∠AOB，从而得出答案；(2)根据尺规作图步骤可知．本题考查了基本作图和全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．19.答案：解：(1)2x2−8xy+8y2原式=2(x2−4xy+4y2)=2(x−2y)2；(2)原式=3(x2−9)=3(x+3)(x−3)；(3)原式=[3(x−y)+2]2=(3x−3y+2)2．解析：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键．(1)首先提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式即可；(2)原式提取3，再利用平方差公式分解即可；(3)利用完全平方公式分解可得．20.答案：解：去分母得：15x−12=4x+10−3x+6，移项合并得：14x=28，解得：x=2，经检验x=2是增根，分式方程无解．解析：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．21.答案：证明：在△ABC与△ADE中，{AB=AD BC=DE AC=AE，∴△ABC≌△ADE(SSS)，∴∠ABC=∠ADE，∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠ABC+∠BAD，∴∠CDE =∠BAD ，即∠1=∠2．解析：此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SSS 证明△ABC≌△ADE ．根据SSS ，即可证得△ABC≌△ADE ，利用三角形的外角性质和等式的性质证明即可．22.答案：解：(x −1−3x+1)÷x 2−4x+4x+1 =(x −1)(x +1)−3x +1⋅x +1(x −2)2=x 2−1−3x +1⋅x +1(x −2)2=(x +2)(x −2)x +1⋅x +1(x −2)2=x+2x−2，当x =−4时，原式=−4+2−4−2=−2−6=13．解析：根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．23.答案：解：①四边形A 1B 1C 1D 1如图所示；②四边形A 1B 1C 1D 1的面积=3×3−12×1×2−12×1×3，=9−1−1.5，=9−2.5，=6.5．解析：本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． ①根据网格结构找出点A 、B 、C 、D 关于直线l 的对称点A 1、B 1、C 1、D 1的位置，然后顺次连接即可；②利用四边形所在的正方形的面积减去四周两个小直角三角形的面积，列式计算即可得解． 24.答案：解：设该段高铁的平均速度为xkm/ℎ，依题意列方程，4901423x =460x +32，解得，x=230，经检验，x=230是原方程的根，答：该段高铁的平均速度230km/ℎ．解析：设该段高铁的平均速度为xkm/ℎ，找出合适的等量关系，列方程求解即可．本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂原题，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．25.答案：△ACD≌△CAB、△ADG≌△CBG解析：【分析】(1)根据题目要求作图即可得；(2)先根据AC=CA、∠DAC=∠BCA、AD=CB证△ACD≌△CAB，得∠D=∠B，再结合∠AGD=∠CGB、AD=CB可证△ADG≌△CBG．本题主要考查作图−复杂作图，熟练掌握做一个角等于已知角和全等三角形的判定与性质是解题的关键．【解答】解：(1)如图所示；(2)在△ACD和△CAB中，∵{AC=CA∠DAC=∠BCA AD=CB，∴△ACD≌△CAB(SAS)，∴∠D=∠B，在△ADG和△CBG中，∵{∠D=∠B∠AGD=∠CGB AD=CB，∴△ADG≌△CBG(AAS)，故答案为：△ACD≌△CAB、△ADG≌△CBG．26.答案：(1)如图所示：；(2)①如图所示，点P即为所求；②垂直解析：【分析】此题主要考查了轴对称变换以及角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质，正确借助网格是解题关键．(1)直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；(2)①借助网格得出∠CAB的角平分线；②借助网格得出Q点位置，进而得出QB与QC的位置关系．【解答】解：(1)见答案(2)①见答案②如图所示，点Q即为所求；QB与QC的位置关系是垂直．故答案为：垂直．27.答案：解：原式=√2)2√6+(√3)2√5)2√3+√2−√5=(√2+√3)2−(√5)2√3+√2−√5=√2+√3+√5)(√2+√3−√5)√3+√2−√5=√2+√3+√5．解析：本题考查的是二次根式的混合运算和分母有理化.掌握分母有理化是关键.根据原式的特点将分子加上(√2)2+(√3)2−(√5)2，式子的值不变，然后将分子按照完全平方公式和平方差公式进行变形，再与分母约分即可．28.答案：解：AB⊥BE.理由如下：如图，过点E作EM⊥BD，交DB延长线于点M．∵∠ACB=90°，DE⊥AD，∴∠ADC+∠EDM=90°，∠ADC+∠DAC=90°，∴∠DAC=∠EDM．又DE=AD，∠C=∠M=90°，∴△EMD≌△DCA(AAS)，∴EM=CD，MD=CA=BC，∴MD−BD=BC−BD，∴BM=CD=EM，∴∠MEB=∠MBE=45°．∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠ABC=45°，∴∠ABE=180°−∠MBE−∠ABC=90°，∴AB⊥BE．解析：过点E作EM⊥BD，交DB延长线于点M，由“AAS”可证△EMD≌△DCA，可得EM=CD，MD=CA=BC，可得EM=BM，由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=45°=∠MBE，可得∠ABE= 90°，即AB⊥BE．本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．。
2020-2021学年北京四中八年级(上)期中数学试卷含答案
2020-2021学年北京四中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列轴对称图形中，有4条对称轴的图形是（）A．B．C．D．2．（3分）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a6C．a3+a3＝2a6D．a8÷a4＝a2 3．（3分）下列变形属于因式分解的是（）A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4B．x﹣1＝x（1−1x）（x≠0）C．x3+2x2+1＝x2（x+2）+1D．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）4．（3分）在平面直角坐标系上，已知点A关于直线x＝1对称的点为B（﹣2，4），则点A的坐标为（）A．（4，4）B．（﹣2，﹣2）C．（2，4）D．（3，4）5．（3分）电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB＝210MB，1MB＝210KB，1KB＝210B．某视频文件的大小约为1GB，1GB等于（）A．230B B．830B C．8×1010B D．2×1030B6．（3分）已知a﹣2b＝10，ab＝5，则a2+4b2的值是（）A．100B．110C．120D．1257．（3分）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（）A．ab B．（a+b）2C．（a﹣b）2D．a2﹣b28．（3分）如图所示，三角形纸片被正方形纸板遮住了一部分，小明根据所学知识画出了一个与该三角形完全重合的三角形，那么这两个三角形完全重合的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA9．（3分）我们利用尺规作图，可以作一个角（∠A'O'B'）等于已知角（∠AOB），如下所示：（1）作射线O'A'；（2）以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D；（3）以O'为圆心，OC为半径作弧，交O'A'于C'；（4）以C'为圆心，OC为半径作弧，交前面的弧于D'；（5）连接O'D'作射线O'B'，则∠A'O'B'就是所求作的角．以上作法中，错误的一步是（）A．（2）B．（3）C．（4）D．（5）10．（3分）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）A．△ABC的周长B．△AFH的周长C．四边形FBGH的周长D．四边形ADEC的周长二、填空题（每小题2分，共16分）11．（2分）分解因式：3ma2﹣3mb＝．12．（2分）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，则点P、Q、M、N中在∠AOB的平分线上是点．13．（2分）已知3x+2y﹣2＝0，则8x•4y＝．14．（2分）如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF．根据图中标示的角度，则∠EAF的度数为．15．（2分）已知关于x的代数式x2+bx+c，设代数式的值为y，则y＝x2+bx+c．下表中列出了当x分别取…，﹣1，0，1，2，3，4，5，…，m，m+1…时对应的y值．x…﹣1012345…m m+1…y…1052125n…p q…（1）表中n的值为；（2）当x＝时，y有最小值，最小值是；（3）p q．（填＜，＞，＝）16．（2分）已知等腰三角形的一个外角的度数为108°，则顶角的度数为．17．（2分）已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧MN，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；（3）作射线OP交CD于点Q．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是．①CP∥OB；②CP＝2QC；③∠AOP＝∠BOP；④CD⊥OP．18．（2分）如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有个．三、解答题19．（8分）因式分解：（1）4x2﹣9；（2）4ab2﹣4a2b﹣b3．20．（16分）计算下列各题（1）（x﹣3y）（﹣6x）；（2）（6x4﹣8x2y）÷2x2；（3）（x﹣1）（x+2）；（4）（x+y﹣3）（x﹣y+3）21．（5分）先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）2﹣a（2a﹣3b），其中a=−12，b＝1．22．（6分）已知：如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，且OA＝OD，求证：OB＝OC．23．（6分）小宇遇到了这样一个问题：已知：如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上，且满足OB＞2OA．求作：线段OB上的一点C，使△AOC的周长等于线段OB的长．以下是小宇分析和求解的过程，请补充完整：首先画草图进行分析，如图1所示，若符合题意的点C已经找到，即△AOC的周长等于OB的长，那么由OA+OC+AC＝OB＝OC+BC，可以得到OA+AC＝．对于这个式子，可以考虑用截长的办法，在BC上取一点D，使得BD＝AO，那么就可以得到CA＝．若连接AD，由．（填推理的依据），可知点C在线段AD的垂直平分线上，于是问题的解法就找到了．请根据小宇的分析，在图2中完成作图（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）．24．（6分）阅读材料小明遇到这样一个问题：求计算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得多项式的一次项系数．小明想通过计算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法．他决定从简单情况开始，先找（x+2）（2x+3）所得多项式中的一次项系数，通过观察发现：也就是说，只需用x+2中的一次项系数1乘以2x+3中的常数项3，再用x+2中的常数项2乘以2x+3中的一次项系数2，两个积相加1×3+2×2＝7，即可得到一次项系数．延续上面的方法，求计算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得多项式的一次项系数，可以先用x+2的一次项系数1，2x+3的常数项3，3x+4的常数项4，相乘得到12；再用2x+3的一次项系数2，x+2的常数项2，3x+4的常数项4，相乘得到16；然后用3x+4的一次项系数3，x+2的常数项2，2x+3的常数项3，相乘得到18．最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46．参考小明思考问题的方法，解决下列问题：（1）计算（x+4）（4x+3）所得多项式的一次项系数为．（2）计算（x+1）（3x﹣2）（2x+5）所得多项式的一次项系数为．（3）若x2﹣3x+1是x4+ax2+bx+2的一个因式，求a、b的值．25．（7分）如图1，点D是等腰三角形ABC外一点，AB＝AC，∠BDC＝2∠ABC，过点A作AE⊥BD于点E，（1）依据题意，补全图形．（2）求证：DE ＝BE +CD ．（3）如图2，AD 与BC 交于点F ，当F 是AD 的中点时，翻折△BCD 得到△BCG ，连接AG ，求证：A ，G 两点到直线BC 的距离相等．四、附加题（共4小题，满分20分）26．（4分）若k 为正奇数，则(−k −k −k ⋯−k)k ︸k 个k= ；若k 为正偶数，则(−k −k −k ⋯−k)k ︸k 个k= ．27．（3分）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a ，小正方形地砖面积为b ，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD ．则正方形ABCD 的面积为 ．（用含a ，b 的代数式表示）28．（8分）小明同学研究如下问题：从1，2，3，…，n （n 为整数，且n ≥3）这n 个整数中任取a （1＜a ＜n ）个整数，这a 个整数之和共有多少种不同的结果？他采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．他进行了如下几个探究： 探究一：（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 表①所取的2个整数1，21，32，32个整数之和345如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表②所取的2个整数1，21，31，42，32，43，42个整数之和345567如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种不同的结果．（4）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种不同的结果．探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种不同的结果．（2）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥4）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种不同的结果．探究三：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥5这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有种不同的结果．归纳结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3这n个整数中任取a（1＜a＜n）个整数，这a个整数之和共有种不同的结果．拓展延伸：从1，2，3，…，36这36个整数中任取个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）．29．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC，60°＜∠BAC＜120°，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到点D，点E与点D关于直线BC对称，连接CD，CE，DE．（1）依题意补全图形；（2）判断△CDE的形状，并证明；（3）请问在直线CE上是否存在点P，使得PB﹣P A＝CD成立？若存在，请用文字描述出点P的准确位置，并画图证明；若不存在，请说明理由．2020-2021学年北京四中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列轴对称图形中，有4条对称轴的图形是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，有5条对称轴，故此选项不符合题意；B、是轴对称图形，有3条对称轴，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，有1条对称轴，故此选项不符合题意；D、是轴对称图形，有4条对称轴，故此选项符合题意；故选：D．2．（3分）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a6C．a3+a3＝2a6D．a8÷a4＝a2【解答】解：A，a2•a3＝a5；B、（a2）3＝a6；C、a3+a3＝2a3；D、a8÷a4＝a4；故选：B．3．（3分）下列变形属于因式分解的是（）A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4B．x﹣1＝x（1−1x）（x≠0）C．x3+2x2+1＝x2（x+2）+1D．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）【解答】解：A．从左边到右边的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B．从左边到右边的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C．从左边到右边的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；D．从左边到右边的变形，属于因式分解，故本选项符合题意．故选：D．4．（3分）在平面直角坐标系上，已知点A关于直线x＝1对称的点为B（﹣2，4），则点A的坐标为（）A．（4，4）B．（﹣2，﹣2）C．（2，4）D．（3，4）【解答】解：∵点A关于直线x＝1对称的点为B（﹣2，4），∴点A的坐标为（4，4）．故选：A．5．（3分）电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB＝210MB，1MB＝210KB，1KB＝210B．某视频文件的大小约为1GB，1GB等于（）A．230B B．830B C．8×1010B D．2×1030B【解答】解：由题意得：1GB＝210×210×210B＝210+10+10B＝230B，故选：A．6．（3分）已知a﹣2b＝10，ab＝5，则a2+4b2的值是（）A．100B．110C．120D．125【解答】解：∵a﹣2b＝10，ab＝5，∴a2+4b2＝（a﹣2b）2+4ab＝102+4×5＝120．故选：C．7．（3分）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（）A．ab B．（a+b）2C．（a﹣b）2D．a2﹣b2【解答】解：中间部分的四边形是正方形，边长是a+b﹣2b＝a﹣b，则面积是（a﹣b）2．故选：C．8．（3分）如图所示，三角形纸片被正方形纸板遮住了一部分，小明根据所学知识画出了一个与该三角形完全重合的三角形，那么这两个三角形完全重合的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【解答】解：由图可知，三角形两角及夹边还存在，∴根据可以根据三角形两角及夹边作出图形，所以，依据是ASA．故选：D．9．（3分）我们利用尺规作图，可以作一个角（∠A'O'B'）等于已知角（∠AOB），如下所示：（1）作射线O'A'；（2）以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D；（3）以O'为圆心，OC为半径作弧，交O'A'于C'；（4）以C'为圆心，OC为半径作弧，交前面的弧于D'；（5）连接O'D'作射线O'B'，则∠A'O'B'就是所求作的角．以上作法中，错误的一步是（）A．（2）B．（3）C．（4）D．（5）【解答】解：（4）错误．应该是以C'为圆心，CD为半径作弧，交前面的弧于D'；故选：C．10．（3分）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）A．△ABC的周长B．△AFH的周长C．四边形FBGH的周长D．四边形ADEC的周长【解答】解：∵△GFH为等边三角形，∴FH＝GH，∠FHG＝60°，∴∠AHF+∠GHC＝120°，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，∴∠GHC+∠HGC＝120°，∴∠AHF＝∠HGC，∴△AFH≌△CHG（AAS），∴AF＝CH．∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，∴BE＝FH，∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF，＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），＝AB+BC．∴只需知道△ABC的周长即可．故选：A．二、填空题（每小题2分，共16分）11．（2分）分解因式：3ma2﹣3mb＝3m（a2﹣b）．【解答】解：原式＝3m（a2﹣b）．12．（2分）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，则点P、Q、M、N中在∠AOB的平分线上是Q 点．【解答】解：点P、Q、M、N中在∠AOB的平分线上是Q点．故答案为Q．13．（2分）已知3x+2y﹣2＝0，则8x•4y＝4．【解答】解：由3x+2y﹣2＝0可得：3x+2y＝2，所以8x•4y＝23x+2y＝22＝4，故答案为：4．14．（2分）如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF．根据图中标示的角度，则∠EAF的度数为134°．【解答】解：连接AD ，∵D 点分别以AB 、AC 为对称轴，画出对称点E 、F ， ∴∠EAB ＝∠BAD ，∠F AC ＝∠CAD ， ∵∠B ＝62°，∠C ＝51°，∴∠BAC ＝∠BAD +∠DAC ＝180°﹣62°﹣51°＝67°， ∴∠EAF ＝2∠BAC ＝134°， 故答案为134°．15．（2分）已知关于x 的代数式x 2+bx +c ，设代数式的值为y ，则y ＝x 2+bx +c ．下表中列出了当x 分别取…，﹣1，0，1，2，3，4，5，…，m ，m +1…时对应的y 值． x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 … m m +1 … y…1052125n…pq…（1）表中n 的值为 10 ；（2）当x ＝ 2 时，y 有最小值，最小值是 1 ； （3）p ＜ q ．（填＜，＞，＝）【解答】解：（1）由表格可得：{(−1)2−b +c =10c =5， 解得{b =−4c =5．则y ＝x 2﹣4x +5，当x ＝5时，n ＝52﹣4×5+5＝25﹣20+5＝10． 故答案为：10；（2）由（1）知，y ＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1， 当x ＝2时，y 有最小值，最小值是1，故答案为：2，1；（3）由（1）知，y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，则该函数的对称轴为直线x＝2，当x＞2时，y随x的增大而增大，∵2＜m＜m+1，∴p＜q．故答案为：＜．16．（2分）已知等腰三角形的一个外角的度数为108°，则顶角的度数为72°或36°．【解答】解：∵一个外角为108°，∴三角形的一个内角为72°，当72°为顶角时，其他两角都为54°、54°，当72°为底角时，其他两角为72°、36°，所以等腰三角形的顶角为72°或36°．故答案为：72°或36°．17．（2分）已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧MN，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；（3）作射线OP交CD于点Q．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是②③④．①CP∥OB；②CP＝2QC；③∠AOP＝∠BOP；④CD⊥OP．【解答】解：由作图可知，OC＝OD，PC＝PD，OP平分∠AOB，∴OP垂直平分线段CD，故③④正确，∵△PCD是等边三角形，PQ⊥CD，∴CQ＝DQ，∴CP＝2QC，故②正确，故答案为②③④．18．（2分）如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有8个．【解答】解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；∴这样的顶点C有8个．故答案为：8．三、解答题19．（8分）因式分解：（1）4x2﹣9；（2）4ab2﹣4a2b﹣b3．【解答】解：（1）原式＝（2x+3）（2x﹣3）；（2）原式＝﹣b（4a2﹣4ab+b2）＝﹣b（2a﹣b）2．20．（16分）计算下列各题（1）（x﹣3y）（﹣6x）；（2）（6x4﹣8x2y）÷2x2；（3）（x﹣1）（x+2）；（4）（x+y﹣3）（x﹣y+3）【解答】解：（1）（x﹣3y）（﹣6x）＝﹣6x2+18xy；（2）（6x 4﹣8x 2y ）÷2x 2 ＝3x 2﹣4y ；（3）（x ﹣1）（x +2） ＝x 2+2x ﹣x ﹣2 ＝x 2+x ﹣2；（4）（x +y ﹣3）（x ﹣y +3） ＝[x +（y ﹣3）][x ﹣（y ﹣3）] ＝x 2﹣（y ﹣3）2 ＝x 2﹣y 2﹣9+6y ．21．（5分）先化简，再求值：（a +b ）（a ﹣b ）+（a ﹣b ）2﹣a （2a ﹣3b ），其中a =−12，b ＝1． 【解答】解：原式＝a 2﹣b 2+a 2﹣2ab +b 2﹣2a 2+3ab ＝ab ， 当a =−12，b ＝1时，原式=−12．22．（6分）已知：如图，AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ，且OA ＝OD ，求证：OB ＝OC ．【解答】证明：∵AD 与BC 相交于点O ， ∴∠AOB ＝∠DOC ， ∵AB ∥CD ， ∴∠B ＝∠C ，在△AOB 和△DOC 中， {OA =OD∠AOB =∠DOC ∠B =∠C， ∴△AOB ≌△DOC 中（AAS ）， ∴OB ＝OC ．23．（6分）小宇遇到了这样一个问题：已知：如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上，且满足OB＞2OA．求作：线段OB上的一点C，使△AOC的周长等于线段OB的长．以下是小宇分析和求解的过程，请补充完整：首先画草图进行分析，如图1所示，若符合题意的点C已经找到，即△AOC的周长等于OB的长，那么由OA+OC+AC＝OB＝OC+BC，可以得到OA+AC＝BC．对于这个式子，可以考虑用截长的办法，在BC上取一点D，使得BD＝AO，那么就可以得到CA＝DC．若连接AD，由线段的垂直平分线的判定．（填推理的依据），可知点C在线段AD的垂直平分线上，于是问题的解法就找到了．请根据小宇的分析，在图2中完成作图（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）．【解答】解：如图，△AOC即为所求．故答案为：BC，DC，线段的垂直平分线的判定．24．（6分）阅读材料小明遇到这样一个问题：求计算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得多项式的一次项系数．小明想通过计算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法．他决定从简单情况开始，先找（x+2）（2x+3）所得多项式中的一次项系数，通过观察发现：也就是说，只需用x+2中的一次项系数1乘以2x+3中的常数项3，再用x+2中的常数项2乘以2x+3中的一次项系数2，两个积相加1×3+2×2＝7，即可得到一次项系数．延续上面的方法，求计算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得多项式的一次项系数，可以先用x+2的一次项系数1，2x+3的常数项3，3x+4的常数项4，相乘得到12；再用2x+3的一次项系数2，x+2的常数项2，3x+4的常数项4，相乘得到16；然后用3x+4的一次项系数3，x+2的常数项2，2x+3的常数项3，相乘得到18．最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46．参考小明思考问题的方法，解决下列问题：（1）计算（x+4）（4x+3）所得多项式的一次项系数为19．（2）计算（x+1）（3x﹣2）（2x+5）所得多项式的一次项系数为1．（3）若x2﹣3x+1是x4+ax2+bx+2的一个因式，求a、b的值．【解答】解：（1）（x+4）（4x+3）所得多项式的一次项系数为1×3+4×4＝19，故答案为：19；（2）（x+1）（3x﹣2）（2x+5）所得多项式的一次项系数为1×（﹣2）×5+3×1×5+2×1×（﹣2）＝1，故答案为：1；（3）由x4+ax2+bx+2中4次项系数为1、常数项为2可设另一个因式为x2+mx+2，则（x2﹣3x+1）（x2+mx+2）＝x4+ax2+bx+2，∴{1×m−3×1=01×2+1×1+(−3)×m=a −3×2+1×m=b，解得：{m=3a=−6 b=−3．25．（7分）如图1，点D是等腰三角形ABC外一点，AB＝AC，∠BDC＝2∠ABC，过点A作AE⊥BD于点E，（1）依据题意，补全图形．（2）求证：DE＝BE+CD．（3）如图2，AD与BC交于点F，当F是AD的中点时，翻折△BCD得到△BCG，连接AG，求证：A，G两点到直线BC的距离相等．【解答】解：（1）如图1所示：（2）过点A 作AH ⊥CD ，交DC 的延长线于H ， ∵AE ⊥BD ，AH ⊥DH ， ∴∠AED ＝∠H ＝90°， ∴∠EDH +∠EAH ＝180°， ∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ，∵∠BAC +∠ABC +∠ACB ＝180°， ∴∠BAC +2∠ABC ＝180°， 又∵∠BDC ＝2∠ABC ， ∴∠BDC +∠BAC ＝180°， ∴∠BAC ＝∠EAH ， ∴∠BAE ＝∠CAH ， 在△ABE 和△ACH 中， {∠AEB =∠H∠BAE =∠CAH AB =AC， ∴△ABE ≌△ACH （AAS ）， ∴AE ＝AH ，BE ＝CH ， 在Rt △AED 和Rt △AHD 中，{AE =AH AD =AD， ∴Rt △AED ≌Rt △AHD （HL ）， ∴DE ＝DH ， ∴DE ＝BE +CD ；（3）如图3，过点A 作AG ⊥BC 于G ，连接GD 交BC 于N ，∵翻折△BCD 得到△BCG ， ∴BN ⊥GD ，GN ＝DN ， ∵F 是AD 的中点， ∴AF ＝DF ，在△AGF 和△DNF 中， {∠AFG =∠DFN∠AGF =∠DNF AF =DF， ∴△AGF ≌△DNF （AAS ） ∴AG ＝DN ， ∴AG ＝GN ，∴A ，G 两点到直线BC 的距离相等． 四、附加题（共4小题，满分20分）26．（4分）若k 为正奇数，则(−k −k −k ⋯−k)k ︸k 个k= ﹣k 2k ；若k 为正偶数，则(−k −k −k ⋯−k)k ︸k 个k= k 2k ．【解答】解：若k 为正奇数，则(−k −k −⋯−k)k ︸k 个k=（﹣k 2）k ＝（﹣1）k k 2k ＝﹣k 2k ，若k 为正偶数，则(−k −k −⋯−k)k ︸k 个k=（﹣k 2）k ＝（﹣1）k k 2k ＝k 2k ．故答案为：﹣k2k，k2k．27．（3分）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a，小正方形地砖面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为（a+b）．（用含a，b的代数式表示）【解答】解：如图，连接DK，DN，∵∠KDN＝∠MDT＝90°，∴∠KDM＝∠NDT，∵DK＝DN，∠DKM＝∠DNT＝45°，∴△DKM≌△DNT（ASA），∴S△DKM＝S△DNT，∴S四边形DMNT＝S△DKN=14a，∴正方形ABCD的面积＝4×14a+b＝a+b．故答案为（a+b）．28．（8分）小明同学研究如下问题：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取a（1＜a＜n）个整数，这a个整数之和共有多少种不同的结果？他采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．他进行了如下几个探究：探究一：表①所取的2个整数1，21，32，32个整数之和345如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表②所取的2个整数1，21，31，42，32，43，4 2个整数之和345567如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有7种不同的结果．（4）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有（2n ﹣3）种不同的结果．探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有4种不同的结果．（2）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥4）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有（3n ﹣8）种不同的结果．探究三：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥5这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有（4n﹣15）种不同的结果．归纳结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3这n个整数中任取a（1＜a＜n）个整数，这a个整数之和共有（an﹣a2+1）种不同的结果．拓展延伸：从1，2，3，…，36这36个整数中任取7或29个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）．【解答】解：根据探究一：（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有3种不同的结果；（3）∵1+2＝3，1+3＝4，1+4＝5，1+5＝6，2+5＝7，3+5＝8，4+5＝9，∴从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有7种不同的结果．故答案为：7；（4）根据探究一：从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有3种不同的结果；从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有5种不同的结果；从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有7种不同的结果；所以从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有（2n ﹣3）种不同的结果．故答案为：（2n﹣3）；探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和分别为：6，7，8，9，共有4种不同的结果．（2）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥4）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有（3n ﹣8）种不同的结果．故答案为：4；（3n﹣8）；探究三：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥5这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有（4n﹣15）种不同的结果．故答案为：（4n﹣15）；归纳结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3这n个整数中任取a（1＜a＜n）个整数，这a个整数之和共有（an﹣a2+1）种不同的结果．故答案为：（an﹣a2+1）；拓展延伸：当n＝36时，36a﹣a2+1＝204，解得a1＝7，a2＝29．所以从1，2，3，…，36这36个整数中任取7或29个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果．29．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC，60°＜∠BAC＜120°，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到点D，点E与点D关于直线BC对称，连接CD，CE，DE．（1）依题意补全图形；（2）判断△CDE的形状，并证明；（3）请问在直线CE上是否存在点P，使得PB﹣P A＝CD成立？若存在，请用文字描述出点P的准确位置，并画图证明；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）补全图形如图1：（2）△CDE为等边三角形，理由如下：连接BD，设BC与DE交于F，如图2：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵线段AB绕点A逆时针旋转60°得到点D，∴AD＝AB＝AC，∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∠ACD＝∠ADC，∴∠ABD＝∠ADB＝60°，∴∠ABC+∠DBC＝60°，∴∠ACB+∠DBC＝60°，在△BCD中，∠DBC+∠BDC+∠DCB＝180°，∴∠DBC+∠ADB+∠ADC+∠DCB＝180°，∴∠DBC+∠ADB+∠ACD+∠DCB＝180°，∴∠DBC+∠ADB+∠ACB+∠DCB+∠DCB＝180°，即60°+60°+2∠DCB＝180°，∴∠DCB＝30°，∵点E与点D关于直线BC对称，∴∠ECF＝∠DCB＝30°，CD＝CE，∴∠DCE＝60°．∴△CDE是等边三角形；（3）存在，作AG⊥BC于G，直线CE与AG的交点即为点P，理由如下：延长AG、CD交于点Q，连接QB，BD，由（2）可知，∠PCQ＝60°，点P与Q关于BC对称，∴PC＝QC，∴△PCQ为等边三角形，∴∠QPC＝60°，∴∠APC＝120°，∵AG⊥BC，AC＝AB，∴AG垂直平分BC，PG＝QG，∴PB＝PC＝QB＝QC，∴四边形PBQC是菱形，∴CP＝BQ＝CQ＝PB，∠PBQ＝∠PCQ＝60°，∠DQB＝120°＝∠APC，∵QB＝QC，∴∠QBC＝∠QCB，∴∠ABQ ＝∠ACQ ，由（2）得：△ABD 为等边三角形， ∴∠ABD ＝60°＝∠PCQ ，∴∠ABQ ﹣∠ABD ＝∠ACQ ﹣∠PCQ ， ∴∠DBQ ＝∠ACP ，在△ACP 和△DBQ 中，{∠ACP =∠DBQCP =BQ ∠APC =∠DQB ，∴△ACP ≌△DBQ （ASA ）， ∴AP ＝DQ ，∵PB ＝CQ ，CQ ﹣DQ ＝CD ， ∴PB ﹣AP ＝CD 即PB ﹣P A ＝CD 成立．。
2023-2024学年北京四中八年级(上)期中数学试卷(含解析)
2023-2024学年北京四中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．（2分）下列博物院的标识中是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．（2分）如图，用三角板作△ABC的边AB上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）A．B．C．D．3．（2分）下列计算正确的是（ ）A．（4ab）2＝4a2b2B．a2⋅a3＝a6C．a2+a2＝a4D．（﹣3a3b）2＝9a6b24．（2分）如图，△ABC被木板遮住了一部分，其中AB＝6，则AC+BC的值不可能是（ ）A．11B．9C．7D．55．（2分）根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）A．B．C．D．6．（2分）如图，已知AD∥BC，欲用“边角边”证明△ABC≌△CDA，需补充条件（ ）A．AB＝CD B．∠B＝∠D C．AD＝CB D．∠BAC＝∠DCA 7．（2分）如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连接CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连接AP，则∠PAH的度数（ ）A．随着θ的增大而增大B．随着θ的增大而减小C．不变D．随着θ的增大，先增大后减小8．（2分）用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面，并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．如图所示的三个“半正密铺”图案可以依次用记号（4，8，8），（3，6，3，6），（3，3，4，3，4）表示．下列记号中，不能表示“半正密铺”图案的是（ ）A．（3，12，12）B．（3，4，6，4）C．（3，3，4，12）D．（3，4，3，3，6）二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9．（2分）计算：（π﹣3.14）0＝ ；＝ ．10．（2分）要使分式有意义，则x的取值范围是 ．11．（2分）一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形是 边形．12．（2分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是20°，则等腰三角形的顶角等于 ．13．（2分）如图，∠ABC＝60°，AB＝3，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP是直角三角形时，t ＝ ．14．（2分）有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和10，则正方形A，B的面积之和为 ．15．（2分）数学课上，老师提出问题：任画两条长度不等的线段a、b，利用“尺规作图”作Rt△ABC使所画线段分别为三角形的一条直角边和斜边．在交流讨论环节，小明看到小勇所作之图如下，请你回答下列问题：所以，Rt△ABC为所求作的三角形．（1）在以下作图步骤中，小勇的作图顺序可能是 ；（只填序号）①以点B为圆心，BA的长为半径画弧，交射线AG于点D；②画直线BF；③分别以点A，D为圆心，大于线段AB的长为半径画弧，交于点F；④以点A为圆心，线段b的长为半径画弧，交直线BF于点C，连接AC；⑤画射线AG，并在AG上截取线段AB＝a．（2）∠ABC＝90°的理由是 ．16．（2分）在等边△ABC中，M、N、P分别是边AB、BC、CA上的点（不与端点重合），对于任意等边△ABC，下面四个结论中：①存在无数个△MNP是等腰三角形；②存在无数个△MNP是等边三角形；③存在无数个△MNP是等腰直角三角形；④存在一个△MNP在所有△MNP中面积最小．所有正确结论的序号是 ．二、解答题（本大题共8小题，第17题每小题24分，共24分，第18，19，20，21，23题每题6分，第22，24题每题7分，共68分）17．（24分）（1）计算：；（2）计算：20222﹣2020×2024 （需简便运算）；（3）计算：（15x2y﹣10xy2）÷5xy；（4）计算：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）；（5）因式分解：（x+m）2﹣（x+n）2；（6）因式分解：3ax2+6axy+3ay2．18．（6分）如图，A，C，D三点共线，△ABC和△CDE落在AD的同侧，AB∥CE，BC＝DE，∠B＝∠D，求证：（1）△ABC≌△CDE；（2）AB+CE＝AD．19．（6分）先化简：，再从0，﹣1，﹣2，2中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．20．（6分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC顶点都在网格线的交点上，点A坐标为（﹣4，﹣1），点B坐标为（﹣1，﹣1），点C坐标为（﹣3，3）．（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；（2）请写出点B关于x轴对称点的坐标为 ；（3）点P在y轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，则点P的坐标为 ．21．（6分）中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：原文释义甲乙丙为定直角．如图2，∠ABC为直角，以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；乙与己及庚相连作线．以点B 为圆心，以任意长为半径画弧，交射线BA ，BC 分别于点D ，E ；以点D 为圆心，以BD 长为半径画弧与交于点F ；再以点E 为圆心，仍以BD 长为半径画弧与交于点G ；作射线BF ，BG ．（1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；（2）根据（1）完成的图，直接写出∠DBG ，∠GBF ，∠FBE 的大小关系．22．（7分）如图（1），等边△ABC 中，D 是AB 边上的动点，以CD 为一边，向上作等边△EDC ，连接AE ．（1）△DBC 和△EAC 会全等吗？请说说你的理由；（2）试说明AE ∥BC 的理由；（3）如图（2），将（1）动点D 运动到边BA 的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE ∥BC ？证明你的猜想．23．（6分）阅读下列材料：对于多项式x 2+x ﹣2，如果我们把x ＝1代入此多项式，发现x 2+x ﹣2的值为0，这时可以确定多项式中有因式（x﹣1）；同理，可以确定多项式中有另一个因式（x+2），于是我们可以得到：x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2）．又如：对于多项式2x2﹣3x﹣2，发现当x＝2时，2x2﹣3x﹣2的值为0，则多项式2x2﹣3x﹣2 有一个因式（x﹣2），我们可以设2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（mx+n），解得m＝2，n＝1．于是我们可以得到：2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（2x+1）请你根据以上材料，解答以下问题：（1）当x＝ 时，多项式6x2﹣x﹣5的值为0，所以多项式6x2﹣x﹣5有因式 ，从而因式分解6x2﹣x﹣5＝ ；（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多项式：x3﹣7x+6．24．（7分）如图1，已知△ABC是等边三角形，点E在射线AB上，且∠ACE＝2α，在射线CE上取点D使得CD＝CA，连接AD并延长交射线CB于点F．（1）当0°＜2α＜60°时，①∠DAB＝ ；（请用含α的代数式表示）②求证：CE+BE＝CF；（2）当60°＜2α＜120°时，请根据题意补全图2，并写出线段CE，BE，CF间的数量关系 ．第二部分附加题（共10分）25．（5分）找规律．第1组：，42+32＝52；第2组：，82+152＝172；第3组：，122+352＝372；……（1）请写出第4组等式 ， ；（2）请写出第n组等式 ， ；（3）若k2+96032＝96052（k＞0）则k＝ ．26．（5分）为了比较两个实数的大小，常用的方法是判定这两个数的差的符号，我们称这种方法为“作差比较法”．要比较两个代数式的大小，同样可以采用类似的方法．因此，可以利用不等式比较大小．如果要证明A＞B，只需要证明A﹣B＞0；同样的，要证明A ＜B，只需要证明A﹣B＜0．例如：小明对于命题：任意的实数a和b，总有a2+b2≥2ab，当a＝b并且只有a＝b时，等号成立，给出了如下证明：证明：∵a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2≥0，∴a2+b2≥2ab，当a＝b并且只有a＝b时，等号成立．（1）请仿照小明的证明方法，证明如下命题：若a，b，x，y≥0，且a≥x，则（a﹣x）2+（b﹣y）2≤（a+b﹣x）2+y2．（2）若a1≥a2≥……≥a n≥0，b1≥b2≥……≥b n≥0，且a1+a2+……+a n＝b1+b2+……+b n＝1，求（a1﹣b1）2+（a2﹣b2）2+……+（a n﹣b n）2的最大值．2023-2024学年北京四中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：B．2．【解答】解：△ABC的边AB上的高是经过点C与AB垂直，故选：A．3．【解答】解：A．（4ab）2＝16a2b2，故A错误，不符合题意；B．a2⋅a3＝a5，故B错误，不符合题意；C．a2+a2＝2a2，故C错误，不符合题意；D．（﹣3a3b）2＝9a6b2，故D正确，符合题意．故选：D．4．【解答】解：在△ABC中，AC+BC＞AB，∵AB＝6，∴AC+BC＞6，∴AC+BC的值不可能是5，故选：D．5．【解答】解：原式＝﹣＝，故选：D．6．【解答】解：添加的条件是AD＝CB，理由是：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SAS），故选：C．7．【解答】解：∵将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，∴BC＝BP＝BA，∴∠BCP＝∠BPC，∠BPA＝∠BAP，∵∠CBP+∠BCP+∠BPC＝180°，∠ABP+∠BAP+∠BPA＝180°，∠ABP+∠CBP＝90°，∴∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，∵∠CPA＝∠AHC+∠PAH＝135°，∴∠PAH＝135°﹣90°＝45°，∴∠PAH的度数是定值，故选：C．8．【解答】解：A、∵正三角形一个内角为60°，正十二边形一个内角为150°，60°+2×150°＝360°，∴（3，12，12）可以得到“半正密铺”图案，故不符合题意；B、∵正三角形一个内角为60°，正方形一个内角为90°，正六边形一个内角为120°，60°+2×90°+120°＝360°，∴（3，4，6，4）可以得到“半正密铺”图案，故不符合题意；C、∵2×60°+90°+150°＝360°，∴（3，3，4，12）可以得到“半正密铺”图案，故不符合题意；D、3×60°+90°+120°＝390°≠360°，∴（3，4，3，3，6）不可以得到“半正密铺”图案，故符合题意；故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9．【解答】解：（π﹣3.14）0＝1；＝．故答案为：0；﹣．10．【解答】解：∵x﹣3≠0，∴x≠3．故答案为：x≠3．11．【解答】解：由题意可得：180°•（n﹣2）＝150°•n，解得n＝12．故多边形是十二边形．12．【解答】解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是70°；当高在三角形外部时（如图2），顶角是110°．故答案为：70°或110°．13．【解答】解：分两种情况：①当∠APB＝90°时，过A作AP⊥BC于点P，∵∠ABC＝60°，AB＝3，∴BP＝，∵动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，∴t＝；②当∠BAP＝90°时，过A作P'A⊥AB交BC于点P'，∵∠ABC＝60°，AB＝3，∴BP'＝6，∵动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，∴t＝6，综上所述，当△ABP是直角三角形时，t＝或6，故答案为：或6．14．【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图甲得a2﹣b2﹣2（a﹣b）b＝1即a2+b2﹣2ab＝1，由图乙得（a+b）2﹣a2﹣b2＝10，2ab＝10，所以a2+b2＝11，故答案为：11．15．【解答】解：（1）⑤①③②④，故答案为：⑤①③②④；（2）∠ABC＝90°的理由是：等腰三角形的三线合一；故答案为：等腰三角形的三线合一．16．【解答】解：如图1中，满足AM＝BN＝PC，可证△PMN是等边三角形，这样的三角形有无数个．如图2中，当NM＝NP，∠MNP＝90°时，△MNP是等腰直角三角形，这样的三角形有无数个（见图3）．故①②③正确，△PNM的面积不存在最小值（面积可以接近O，没有最小值）．故答案为①②③．二、解答题（本大题共8小题，第17题每小题24分，共24分，第18，19，20，21，23题每题6分，第22，24题每题7分，共68分）17．【解答】解：（1）原式＝﹣6a3b2；（2）原式＝20222﹣（2022﹣2）×（2022+2）＝20222﹣（20222﹣22）＝20222﹣20222+22＝4；（3）原式＝15x2y÷5xy﹣10xy2÷5xy＝3x﹣2y；（4）原式＝4x2+12xy+9y2﹣（4x2﹣y2）＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+y2＝12xy+10y2；（5）（x+m）2﹣（x+n）2＝（x+m+x+n）（x+m﹣x﹣n）＝（2x+m+n）（m﹣n）；（6）3ax2+6axy+3ay2＝3a（x2+2xy+y2）＝3a（x+y）2．18．【解答】证明：（1）∵AB∥CE，∴∠A＝∠ECD，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（AAS）；（2）∵△ABC≌△CDE；∴AC＝CE，AB＝CD，∴AB+CE＝CD+AC＝AD．19．【解答】解：＝＝．∵x≠±2且x≠0，∴x＝﹣1时，．20．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）B（﹣1，﹣1）关于x轴的对称点的坐标为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）；（3）设P（0，m），由题意×3×|m+1|＝×3×4，∴m＝3或﹣5，∴P（0，3）或（0，﹣5）．故答案为：（0，3）或（0，﹣5）．21．【解答】解：（1）如图，射线BG，BF即为所求．（2）∠DBG＝∠GBF＝∠FBE．理由：连接DF，EG，则BD＝BF＝DF，BE＝BG＝EG，即△BDF和△BEG均为等边三角形，∴∠DBF＝∠EBG＝60°，∵∠ABC＝90°，∴∠DBG＝∠GBF＝∠FBE＝30°．22．【解答】解：（1）△DBC和△EAC会全等证明：∵∠ACB＝60°，∠DCE＝60°∴∠BCD＝60°﹣∠ACD，∠ACE＝60°﹣∠ACD ∴∠BCD＝∠ACE在△DBC和△EAC中，∵，∴△DBC≌△EAC（SAS），（2）∵△DBC≌△EAC∴∠EAC＝∠B＝60°又∠ACB＝60°∴∠EAC＝∠ACB∴AE∥BC（3）结论：AE∥BC理由：∵△ABC、△EDC为等边三角形∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°∠BCA+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE在△DBC和△EAC中，∵，∴△DBC≌△EAC（SAS），∴∠EAC＝∠B＝60°又∵∠ACB＝60°∴∠EAC＝∠ACB∴AE∥BC．23．【解答】解：（1）当x＝1时，6x2﹣x﹣5＝6×12﹣1﹣5＝0，所以多项式6x2﹣x﹣5有因式x﹣1，即6x2﹣x﹣5＝（x﹣1）（6x+5）．故答案为：1，x﹣1，（x﹣1）（6x+5）；（2）当x＝1时，x3﹣7x+6＝13﹣7×1+6＝0，所以x3﹣7x+6＝（x﹣1）（x2+x﹣6）＝（x﹣1）（x+3）（x﹣2）．24．【解答】（1）①解：∵CD＝CA，∴∠CAD＝∠CDA，∵∠ACE＝2α，∴∠CAD＝（180°﹣2α）＝90°﹣α，∵△ABC为等边三角形，∴∠CAB＝60°，∴∠DAB＝∠CAD﹣∠CAB＝90°﹣α﹣60°＝30°﹣α，故答案为：30°﹣α；②证明：在CF上截取CM＝CE，连接DM，BD，∵∠ABC＝60°，∠DAB＝30°﹣α，∴∠F＝60°﹣（30°﹣α）＝30°+α，∵CD＝CB，∠DCM＝∠BCE，CM＝CE，∴△CMD≌△CEB（SAS），∴∠CMD＝∠CEB，DM＝BE，∴∠DEB＝∠DMF，∵∠DEB＝∠DAB+∠CDA＝120°﹣2α，∴∠DMF＝120°﹣2α，∴∠MDF＝180°﹣30°﹣α﹣120°+2α＝30°+α，∴∠F＝∠MDF，∴DM＝MF，∴BE＝MF，∴CF＝CM+MF＝CE+BE；（2）解：补全图形如下：在CE上截取CN＝CF，连接BN，BD，则CA＝CB＝CD，同（1）可知△BCN≌△DCF（SAS），∴∠CNB＝∠CFD，∴∠BNE＝∠BFD，∵∠BCE＝2α﹣60°，CD＝CB＝CA，∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣2α）＝90°﹣α，∴∠DAB＝60°﹣（90°﹣α）＝α﹣30°，∴∠E＝∠CDA﹣∠DAB＝120°﹣2α，∵∠CFD＝90°﹣α+60°＝150°﹣α，∴∠CNB＝150°﹣α，∴∠BNE＝30°+α，∴∠NBE＝180°﹣∠BNE﹣∠E＝30°+α，∴∠BNE＝∠NBE，∴BE＝NE，∴CE＝NC+NE＝CF+BE．故答案为：CE＝CF+BE．第二部分附加题（共10分）25．【解答】解：∵第1组：，42+32＝52；第2组：，82+152＝172；第3组：，122+352＝372；∴（1）请写出第4组等式，162+632＝652；故答案为：，（2）请写出第n组等式＝，（4n）2+（4n2﹣1）2＝（4n2+1）2；故答案为：＝，（4n）2+（4n2﹣1）2＝（4n2+1）2；（3）∵k2+96032＝96052（k＞0），设x+（x+2）＝k，则x（x+2）＝9603，解得x＝97，k＝196，故答案为：196．26．【解答】（1）证明：由题意得，（a﹣x）2+（b﹣y）2﹣（a+b﹣x）2﹣y2＝（a﹣x）2﹣（a+b﹣x）2+（b﹣y）2﹣y2＝（a﹣x+a+b﹣x）（a﹣x﹣a﹣b+x）+（b﹣y+y）（b﹣y﹣y）＝﹣b（2a+b﹣2x）+b（b﹣2y）＝b（﹣2a﹣b+2x+b﹣2y）＝2b（x﹣a﹣y）．∵a，b，x，y≥0，且a≥x，∴x﹣a≤0，﹣y≤0．∴x﹣a﹣y≤0．∴2b（x﹣a﹣y）≤0．∴（a﹣x）2+（b﹣y）2﹣（a+b﹣x）2﹣y2≤0．∴（a﹣x）2+（b﹣y）2≤（a+b﹣x）2+y2．（2）解：设a1≥b1，∵b1≥b2≥……≥b n≥0，b1+b2+……+b n＝1，∴b1≥．又++……+≤+b1b2+……+b1b n＝b1（b1+b2+……+b n）＝b1，∴b1（a1+a2+……+a n）＝a1b1+b1（a2+……+a n）≤a1b1+a1（a2+……+a n）≤a1b1+a2b2+…+a n b n+a1a2+a2a3+……+a n﹣1a n．∴a1b1+a2b2+…+a n b n≥b1（a2+……+a n）﹣（a1a2+a2a3+……+a n﹣1a n）．∴（a1﹣b1）2+（a2﹣b2）2+……+（a n﹣b n）2＝（++……+）﹣2（a1b1+a2b2+…+a n b n）+（++……+）≤（++……+）﹣2b1（a1+a2+……+a n）+2（a1a2+a2a3+……+a n﹣1a n）+b1＝（a1+a2+……+a n）2﹣2b1+b1＝1﹣2b1+b1＝1﹣b1≤1﹣＝．∴（a1﹣b1）2+（a2﹣b2）2+……+（a n﹣b n）2的最大值为．。
北京市四中八年级(上)期中数学试卷
2010-2011学年北京市四中八年级（上）期中数学试卷2010-2011学年北京市四中八年级（上）期中数学试卷一、选择题：（1～6小题每题4分，7～12小题每题3分，共42分）．C D．3．（4分）如图，已知AB=DC，AD=BC，E、F在DB上两点且BF=DE，若∠AEB=120°，∠ADB=30°，则∠BCF=（）4．（4分）如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）分）（2003•黑龙江）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC，BD为折痕，则∠CBD的度数为（）5．（46．（4分）如图所示，BE⊥AC于点D，且AD=CD，BD=ED，若∠ABC=54°，则∠E=（）8．（3分）下列运算中，正确的个数是（）①=±4；②；③．9．（3分）（2009•江苏）如图，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AC=DF，∠A=∠D，∠B=∠E；其中能使△ABC≌△DEF的条件共有（）10．（3分）如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系11．（3分）如图，AB⊥BC于B，BE⊥AC于E，∠1=∠2，D为AC上一点，AD=AB，则（）12．（3分）已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC=60°，AB=BC=2，对角线BD平分∠ABC，E是BC的中点，P 是对角线BD上的一个动点，则PE+PC的最小值为（）．C．二、填空题：（每小题2分，共16分）13．（2分）的平方根是_________，若（x+1）2=2，则x=_________．14．（2分）已知点（2，x）和点（y，3）关于y轴对称，则（x+y）2011=_________．15．（2分）某人在湖水中看到一串字符在水中的倒影为，则该串字符在实际中的内容应该是_________．16．（2分）如图，已知点O为△ABC内角平分线的交点，过点O作MN∥BC，分别交AB于AC点M、N，若AB=12，AC=14，则△AMN的周长是_________．17．（2分）设实数x，y满足，则x=_________，y=_________．18．（2分）如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等边三角形的高为1，则OE+OF的值为_________．19．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为_________．20．（2分）如图所示，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是_________．①P在∠A的平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．三、解答题：21．（3分）计算：．22．（9分）将下列各式因式分解：（1）2x2﹣4x﹣6；（2）（x+2）（x﹣3）﹣6；（3）x2（y2﹣1）+2x（y2﹣1）+（y2﹣1）．23．（5分）（2005•武汉）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知∠ADC=∠BCD，AD=BC，求证：AO=BO．24．（4分）在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣l，O），C（﹣1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，在右面的坐标系中画出△A2B2C2，并写出它的三个顶点的坐标．25．（5分）已知，如图，AD为△ABC的角平分线，∠C=2∠B．求证：AB=AC+CD．26．（5分）如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF．27．（5分）如图：△ABC是等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1，求AD的长．28．（6分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，试判断CF与GB的大小关系，并证明你的结论．四、附加题29．求证：是整数．30．已知，如图，AD为△ABC的内角平分线，且AD=AB，CM⊥AD于M．求证：AM=（AB+AC）．31．试证明：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等，较大的边所对的角也较大．2010-2011学年北京市四中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（1～6小题每题4分，7～12小题每题3分，共42分）．C D．3．（4分）如图，已知AB=DC，AD=BC，E、F在DB上两点且BF=DE，若∠AEB=120°，∠ADB=30°，则∠BCF=（）4．（4分）如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）5．（4分）（2003•黑龙江）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC，BD为折痕，则∠CBD的度数为（）6．（4分）如图所示，BE⊥AC于点D，且AD=CD，BD=ED，若∠ABC=54°，则∠E=（）CBD= CBD=×8．（3分）下列运算中，正确的个数是（）①=±4；②；③．解：①=4③的算术平方根．记为9．（3分）（2009•江苏）如图，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AC=DF，∠A=∠D，∠B=∠E；其中能使△ABC≌△DEF的条件共有（）10．（3分）如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系11．（3分）如图，AB⊥BC于B，BE⊥AC于E，∠1=∠2，D为AC上一点，AD=AB，则（）12．（3分）已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC=60°，AB=BC=2，对角线BD平分∠ABC，E是BC的中点，P 是对角线BD上的一个动点，则PE+PC的最小值为（）．C．=．二、填空题：（每小题2分，共16分）13．（2分）的平方根是±3，若（x+1）2=2，则x=﹣1±．解：∵=9∴±，±±14．（2分）已知点（2，x）和点（y，3）关于y轴对称，则（x+y）2011=1．15．（2分）某人在湖水中看到一串字符在水中的倒影为，则该串字符在实际中的内容应该是wp31285qb．16．（2分）如图，已知点O为△ABC内角平分线的交点，过点O作MN∥BC，分别交AB于AC点M、N，若AB=12，AC=14，则△AMN的周长是26．17．（2分）设实数x，y满足，则x=2，y=4．解：∵，∴y=018．（2分）如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等边三角形的高为1，则OE+OF的值为1．=OE+OF=BCAB=19．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为40°．20．（2分）如图所示，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是①②③④．①P在∠A的平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．三、解答题：21．（3分）计算：．2+22．（9分）将下列各式因式分解：（1）2x2﹣4x﹣6；（2）（x+2）（x﹣3）﹣6；（3）x2（y2﹣1）+2x（y2﹣1）+（y2﹣1）．23．（5分）（2005•武汉）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知∠ADC=∠BCD，AD=BC，求证：AO=BO．∵∵24．（4分）在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣l，O），C（﹣1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，在右面的坐标系中画出△A2B2C2，并写出它的三个顶点的坐标．25．（5分）已知，如图，AD为△ABC的角平分线，∠C=2∠B．求证：AB=AC+CD．26．（5分）如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF．27．（5分）如图：△ABC是等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1，求AD的长．28．（6分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，试判断CF与GB的大小关系，并证明你的结论．四、附加题29．求证：是整数．是整数．30．已知，如图，AD为△ABC的内角平分线，且AD=AB，CM⊥AD于M．求证：AM=（AB+AC）．EF=ACAC AD=AB ACEF=EM=ACAE=AD=AM=AE+EM=（AM=EF=EM=31．试证明：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等，较大的边所对的角也较大．参与本试卷答题和审题的老师有：zjx111；心若在；gbl210；HJJ；xiawei；wenming；sjzx；bjy；HLing；haoyujun；开心；冯延鹏；cair。
北京四中2020—2021学年初二上期中考试数学试题及答案
第6题图DCBA北京四中2020—2021学年初二上期中考试数学试题及答案（考试时刻：100分钟 满分：120分）姓名： 班级： 成绩: ____________一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1.下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.2.把多项式24a a -分解因式，结果正确的是（ ）A. ()4a a -B. (2)(2)a a +-C. (2)(2)a a a +-D. 2(2)4a -- 3.分式有意义，则x 的取值范畴是（ ）A ． x ≠1B ． x =1C ． x ≠﹣1D ． x =﹣14. 点A （2,3）关于y 轴成轴对称的点的坐标是（ ） A ．（3,-2） B ．（-2, 3） C ．（-2,-3） D ．（2,-3）5. 在△ABC 和△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，添加下列条件中的一个，不能．．使△ABC ≌△A′B′C′一定成立的是（ ）． A ．AC =A′C ′ B ．BC=B ′C ′ C ．∠B=∠B ′ D ．∠C=∠C ′ 6. 下列各式中，正确的是（ ）．A ．1a b b ab b ++= B ．22x y x y-++=-C ． 23193x x x -=-- D ．222()x y x y x y x y --=++ 7.等腰三角形的两边长分别为3和6，则那个等腰三角形的周长为（ ） A ． 12B ． 15C ． 12或15D ． 188.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 是AC 边上的高， 则∠DBC 的度数是（ ）A ．18°B ．24°C ．30°D ．36°第8题图 9.如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直截了当撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°10.如图，∠BAC=130°，若MP 和QN 分别垂直平分AB 和AC ，则∠PAQ 等于（ ）A ．50°B ．75°C ．80°D ．105°第9题图 第10题图二、填空题（本题共20分，每小题2分）11.已知某种植物花粉的直径为35000纳米，即0.000035米，把0.000035用科学记数法表示为 _____________________.12. 分解因式：=+-3632x x ．13．运算：=-+---|3|)12()21(01__ ____．14. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ．若DE=1cm ，则BC =_______ cm ． 第14题图 15.如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG=CD ， DF=DE ，则∠E=_____度．第15题图 第16题图 第18题图 16.如图，△ABC 中，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ，OM ∥AB ，ON ∥AC ， BC ＝10cm ，则ΔOMN 的周长＝______cm ．DCBAE17. 已知113x y -=，则代数式21422x xy yx xy y----= .18. 如图ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，4=AB ，2=AC ，且ABD ∆的面积为3，则ACD ∆的面积为 。
北京四中2019-2020学年八年级上期中考试数学试题及答案.doc
北京四中 2019-2020学年八年级上期中考试数学试题及答案（考试时间： 100 分钟 满分： 120 分）姓名：班级： 成绩 : ____________一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）A.B. C. D.2. 把多项式 a 2 4a 分解因式，结果正确的是（ ）A. a a 4B.(a 2)( a 2)C. a(a2)( a 2) D. (a 2) 243. 分式 有意义，则 x 的取值范围是（）A ．x ≠1B ．x=1C ． x ≠﹣ 1D ． x=﹣14. 点 A （ 2,3）关于 y 轴成轴对称的点的坐标是（）A ．（ 3,-2）B ．（ -2, 3）C ．（ -2,-3）D ．（ 2,-3）5. 在 △ABC 和 △A ′B ′中C ′，已知∠ A= ∠A ′， AB=A ′B ′，添加下列条件中的一个，不能 使△ ABC ≌△ A ′B ′一C ′定成立的是（ ）．．．A ．AC =A ′C ′B ． BC=B ′C ′ C ．∠ B=∠B ′D ．∠ C=∠ C ′ 6. 下列各式中，正确的是（）．A ． a b 1 bB ．x yx y abb22C ．x 31 D ．x yx 2 y 2x 29 x 3x y ( x y) 27. 等腰三角形的两边长分别为 3 和 6，则这个等腰三角形的周长为（）ADA．12B． 15C．12 或 15D．188.如图，△ ABC中， AB＝AC，∠ A＝36°， BD是 AC边上的高，则∠ DBC的度数是（）A． 18° B ．24° C ．30° D ．36°第 8 题图9.如图，∠ 3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1 的度数为（）A．30° B ．45°C．60°D．75°10.如图，∠ BAC=130°，若 MP 和 QN 分别垂直平分 AB 和 AC，则∠ PAQ等于（）A．50°B．75°C．80°D．105°第 9 题图二、填空题（本题共20 分，每小题 2 分）第 10 题图11.已知某种植物花粉的直径为 35000 纳米，即 0.000035 米，把 0.000035 用科学记数法表示为 _____________________.12. 分解因式：3 2 6x3．x13．计算：(1)1 ( 2 1)0 | 3 | __ ____． C2 D14. 如图，在 Rt △ABC中，∠ C=90°，∠ B=30°， AD平分∠ CAB交 BC于 D，DE⊥ AB于 E．若DE=1cm，AEB则 BC =_______ cm．第 14 题图15.如图，已知△ ABC是等边三角形，点 B、C、D、E 在同一直线上，且 CG=CD，DF=DE，则∠ E=_____度．第 15 题图第16题图第18题图16.如图，△ ABC中， BO、CO分别平分∠ ABC、∠ ACB，OM∥ AB，ON∥AC，BC＝10cm，则 OMN的周长＝ ______cm．17. 已知11 3 ，则代数式2x14xy 2 y = . x y x 2xy y18. 如图ABC中，平分BAC，AB 4 ， AC 2 ，且的面积为 3 ，则 ACD的面积为AD ABD。
北京市第四中学2019-2020学年度第一学期期中考试 八年级数学
2019-2020 学年度北京四中八年级上学期期中数学试卷考试时间为100 分钟试卷满分为120 分班级：姓名：学号：（A 卷共100 分）一、选择题（每题 3 分，共30 分）1、剪纸是中华传统文化中的一项瑰宝，下列剪纸图案中不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2、某种流感病毒的直径在0.00 000 012 米左右，将0.00 000 012 用科学记数法表示应为（）A.0.12×10-6 B. 12×10－8C. 1.2×10－6D. 1.2×10－73、点（－2，3）关于y轴对称的点的坐标是（）A. （2，－3）B.（2，3）C.（－2，－3）D.（3，－2）4、下列约分正确的是（）5、下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A. 4x2－1= (2x +1)(2x－1)B. a(x +y +1)= ax +a y +aB. (x +3 y)(x－3 y)= x2－9 y2 D. a2c－a2b +1= a2 (c－b)+16、若右图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则∠1 的度数为（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°A.x ≠3B.x＞3C.x＜3D.x = 38、计算( －2ab )3的结果是（）在数学课上老师提出如下问题： 小米的做法如下： 如图：（1）作射线 O’A’；（2）以点 O 为圆心，任意长为半径作弧，交 OA 于点 C ， 交 OB 于点 D ；（3）以点 O’为圆心，OC 为半径作弧 C’E’，交 O’A’于点 C’； （4）以点 C’为圆心，CD 为半径作弧，交弧 C’E’于 D’； （5）过点 D’作射线 O’B’. 所以∠A’O’B’就是所求作的角.尺规作图：作∠A’O’B’=∠AOB. 已知：∠AOB. 求作：∠A’O’B’=∠AOB.9、小米在用尺规作图作△ABC 边 AC 上的高 BH ，作法如下：①分别以点 D 、E 为圆心，大于1DE 的长为半径作弧，两弧交于 F ；2②作射线 BF ，交边 AC 于点 H ；③以 B 为圆心，BK 长为半径作弧，交直线 AC 于点 D 和 E ； ④取一点 K ，使 K 和 B 在 AC 的两侧；所以，BH 就是所求作的高，其中顺序正确的作图步骤是（ ） A. ①②③④ B. ④③②① C. ②④③① D. ④③①② 10、如图，在△ABC 中，∠C=40°，将△ABC 沿着直线 l 折叠， 点 C 落在点 D 的位置，则∠1－∠2 的度数是（ ） A. 40° B. 80° C. 90° D. 140° 二、填空题（每题 3 分，共 24 分）12、分解因式： x 2 y －4 y =.13、计算： 6x 2• y y x= .14 题图15 题图17 题图14、如图，DE 是△ABC 中 A C 边的垂直平分线，若 B C=8，AB=10，则△EBC 的周长是 .15、如图，在△ABC 中，BD 是边 AC 上的高，CE 平分∠ACB ，交 BD 于点 E ，DE=2，BC=5，则△BCE 的面积为 .17、如图，在△ABC 中，AB=3，AC=5，则 B C 边的中线 A D 的取值范围为 . 18、阅读下面材料：老师说：“小米的做法正确.”请回答：小米的作图依据是.三、解答题（共46 分，19 题10 分，20 题-25 题每题各 6 分）19、分解因式：（1）(a－b)2+3(a－b) （2）2ax2－12ax+18a20、已知，如图，点D 在△ABC 的BC 边上，AC∥BE，BC=BE，∠ABC=∠E. 求证：AB=DE.23、如图，在每个小正方形的边长均为1 个单位长度的方格纸中，有线段AB 和直线MN，点A、B、M、N均在小正方形的顶点上，在方格纸中画四边形ABCD（四边形的各顶点均在小正方形的顶点上），使四边形ABCD 是以直线MN 为对称轴的轴对称图形，点A 的对称点为点D，点B 的对称点为点C.24、列方程或列方程组解应用题.老京张铁路是1909 年由“中国铁路之父”詹天佑主持设计建造的中国第一条干线，铁路全程约210 千米，用“人”字形铁轨铺助的方式解决了火车上山的问题. 京张铁路是2022 年北京至张家口冬奥会的重点配套交通基础设施，全长约175 千米，预计2019 年底建成通车. 京张高铁的预设平均速度将是老京张铁路的5 倍，可以提前5 个小时到达，求京张高铁的平均速度.“SSA”）是否能判定两个三角形全等时，我们25、在探究两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等（设计不同情形进行探究：（1）例如，当∠B 是锐角时，如图1，BC=EF，∠B=∠E=90°，在射线EM 上有点D，使DF=AC，用尺规画出符合条件的点D，则△ABC 和△DEF 的关系是；A.全等B. 不全等C. 不一定全等图 1我们进一步发现如果能确定这两个三角形的形状，那么“SSA”是成立的.（2）例如，已知：如图，在锐角△ABC 和锐角△DEF 中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E. 求证：△ABC≌△DEF.B 卷（共 20 分）1、（本题 6 分）学农期间我们完成了每日一题，进一步研究了角的平分线. 工人师傅常用角尺平分一个任意角. 作法如下： 如图，∠AOB 是一个任意角，在边 OA 、OB 上分别取 OM=ON ， 移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与 M 、N 重合. 过角尺顶点 C 的射线 OC 便是∠AOB 的平分线. 我们发现利用 SSS 证明两个三角形全等，从而证明∠AOC=∠BOC. 学习了轴对称的知识后，我们知道角是轴对称图形，角平分线 所在直线就是它的对称轴，爱动脑筋的小慧同学利用轴对称图形的性质发现了一种画角平分线的方法. 方法如下：如图 1，将两个全等的三角形纸片△DEF 和△MNL 的一组对应边分别与∠AOB 的一边共线，同时这条边所对顶点落在∠AOB 的另一条边上，则△DEF 和△MNL 的另一组对应边的交点 P 在 ∠AOB 的平分线上.图 1图 2（1）小慧的做法正确吗？说明理由：小旭说：利用轴对称的性质，我只用刻度尺就可以画角平分线.（提示：刻度尺可以度量出相等的线段）（2）请你和小旭一样，只用刻度尺画出图 2 中∠QRS 的角平分线.（保留作图痕迹，不写作法）2、（本题 7 分）学农期间，我们了解了任意有理数均可化为有限连分数，例如：把 3.21 化成连分数.解：整数分离：3.21=3+0.21小数化分数：3.21=3+21 100真分数部分化为分子是一的繁分数： 3.21= 3+1 100 21此时， 100 是假分数，重复以上步骤，分离其整数部分，将100 写成4+ 21，如此继续下去：21 21 16其中a 0 ， a 1 ， a 2 ， a 3都是整数.例如，将无理数 x = 3+ 13 化成无限连分数的方法如下：因为当 x = 3+ 13时，2 2x 2 = 3x +1，所以两边同时除以 x ，得x = 3+ 1，x请你仿照上例完成下列填空，将无理数.设 y = 2 +1 ①，计算(2 +1)( 2－1)=，3、（本题7 分）已知：如图，直角△ABC 中，AC=BC，∠C=90°，∠CAB=∠ABC=45°，过点B 作射线BD⊥AB 于B，点P 为BC 边上任一点，在射线上取一点Q，使得PQ=AP.（1）请依题意补全图形；（2）试判断AP 和PQ 的位置关系，并加以证明.。
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27．（5 分）阅读下列材料： 如图 1，在四边形 ABCD 中，已知∠ACB=∠BAD=105°，∠ABC=∠ADC=45°．求证：
CD=AB． 小刚是这样思考的：由已知可得，∠CAB=30°，∠DAC=75°，∠DCA=60°，∠ACB+
∠DAC=180°，由求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形．即过点 A 作 AE ⊥AB 交 BC 的延长线于点 E，则 AB=AE，∠E=∠D． 在△ADC 与△CEA 中， ∵ ∴△ADC≌△CEA， 得 CD=AE=AB． 请你参考小刚同学思考问题的方法，解决下面问题：
北京四中八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分） 1．（3 分）剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传．下面四幅
剪纸作品中，属于轴对称图形的是（Βιβλιοθήκη ）A．B．C．
2．（3 分）下列各式不能分解因式的是（ ）
A．2x2﹣4x
B．
C．x2+9y2
D． D．1﹣m2
如图 2，在四边形 ABCD 中，若∠ACB+∠CAD=180°，∠B=∠D，请问：CD 与 AB 是否相等？若相等，请你给出证明；若不相等，请说明理由．
28．（7 分）在等边△ABC 中，D 为射线 BC 上一点，CE 是∠ACB 外角的平分线， ∠ADE=60°，EF⊥BC 于 F．
（1）如图 1，若点 D 在线段 BC 上．求证：①AD=DE；②BC=DC+2CF；
是（ ）
A．2＜x＜12
B．5＜x＜7
C．1＜x＜6
D．无法确定
10．（3 分）如图，在△ABC 中，BC=AC，∠ACB=90°，AD 平分∠BAC，BE⊥AD 交
AC 的延长线于 F，垂足为 E．则结论：①AD=BF；②CF=CD；③AC+CD=AB；④
BE=CF；⑤BF=2BE
其中正确结论的个数是（ ）
分线 CD 相交于点 D，且 CD=AB，求证：∠A=60°．
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北京四中八年级（上）期中数学试卷
参考答案
一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分） 1．C；2．C；3．A；4．C；5．D；6．D；7．D；8．B；9．C；10．D；
二、填空题（本题共 20 分，每小题 2 分） 11．x≠4；12． ；13．60°；14．﹣1；15．34；16．﹣3；1；17． ﹣
和自行速度各是多少．
四、解答题 26．（4 分）某地区要在区域 S 内 （即∠COD 内部） 建一个超市 M，如图所示，
按照要求，超市 M 到两个新建的居民小区 A，B 的距离相等，到两条公路 OC， OD 的距离也相等．这个超市应该建在何处？（要求：尺规作图，不写作法， 保留作图痕迹）
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．
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14．（2 分）若关于 x 的二次三项式 x2+kx+b 因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则 k+b
的值为
．
15．（2 分）若 a+b=7，ab=5，则 a2﹣ab+b2=
．
16．（2 分）当 x 取
值时，x2+6x+10 有最小值，最小值是
．
17．（2 分）某农场开挖一条长 480 米的渠道，开工后，每天比原计划多挖 20 米，
结果提前 4 天完成任务，如果设原计划每天挖 x 米，那么根据题意可列方程
为
．
18．（2 分）如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC=90°，在 BC 上截取 BD=BA，
作∠ABC 的平分线与 AD 相交于点 P，连结 PC，若 BD=2CD，△ABC 的面积为
2cm2，则△DPC 的面积为
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按逆时针方向旋转到△ACD′的位置，则∠ADD′的度数是（ ）
A．25°
B．30°
C．35°
D．45°
8．（3 分）在等腰△ABC 中，已知 AB=2BC，AB=20，则△ABC 的周长为（ ）
A．40
B．50
C．40 或 50
D．无法确定
9．（3 分）已知三角形的两边长分别为 5 和 7，则第三边的中线长 x 的取值范围
5．（3 分）下列各式中，正确的是（
A．
C．3cm ）
B．
D．2cm
C．
D．
6．（3 分）下列命题是真命题的是（ ） A．等底等高的两个三角形全等 B．周长相等的直角三角形都全等 C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 D．有一边对应相等的两个等边三角形全等
7．（3 分）如图，D 是等腰 Rt△ABC 内一点，BC 是斜边，如果将△ABD 绕点 A
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（2）如图 2，若点 D 在线段 BC 的延长线上，（1）中的两个结论是否仍然成立？ 请说明理由．
29．（4 分）已知 a2﹣3a﹣1=0，求 a6+120a﹣2=
．
30．（4 分）如图中，∠ABC=∠BCD=∠DAB=45°，BD=2，求四边形 ABCD 的面积
为
．
31．（6 分）已知：m2=n+2，n2=m+2（m≠n），求：m3﹣2mn+n3 的值． 32．（6 分）已知：△ABC 中，∠ABC=2∠ACB，∠ABC 的平分线 BD 与∠ACB 的平
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题（本题共 20 分，每小题 2 分）
11．（2 分）若式子 有意义，则 x 的取值范围是
．
12．（2 分）计算
=
．
13．（2 分）如图，等腰三角形 ABC 中 AB=AC，∠A=20°，线段 AB 的垂直平分线
交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，连接 BE，则∠CBE=
．
19．（2 分）如图，把△ABC 沿 EF 对折，叠合后的图形如图所示．若∠A=60°，∠
1=90°，则∠2 的度数为
．
20．（2 分）如果满足条件“∠ABC=30°，AC=1，BC=k（k＞0）”的△ABC 是唯一的，
那么 k 的取值范围是
．
三、解答题 21．（8 分）把多项式分解因式：
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3．（3 分）点 P（﹣3，5）关于 y 轴的对称点的坐标是（ ）
A．（3，5）
B．（3，﹣5）
C．（5，﹣3） D．（﹣3，﹣5）
4．（3 分）如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于 D，若 CD=3cm，
则点 D 到 AB 的距离 DE 是（ ）
A．5cm
B．4cm
的值．
25．（5 分）列分式方程解应用题：（温馨提示：你可借助图示、表格等形式“挖 掘”等量关系）
赵老师为了响应市政府“绿色出行”的号召，上下班由自驾车方式改为骑自行车方 式．已知赵老师家距学校 20 千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是自行车 速度的 2 倍，骑自行车所用时间比自驾车所用时间多 小时．求自驾车速度
18． ；19．30°；20．k=2 或 0＜k≤1；
=4；
三、解答题
21．
；22．
；23．
；24．
；25．
；
四、解答题
26．
；27．
；28．
；29．1309；30．2；31．；32．
；
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（1）3a3b﹣12ab3；
（2）（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）+4．
22．（8 分）（1）计算：
；
（2）解方程：
．
23．（5 分）已知：如图，A、B、C、D 四点在同一直线上，AB=CD，AE∥BF 且 AE=BF．
求证：EC=FD．
24．（8 分）（1）先化简，再求值：（
）
，其中 m=9；
（2）已知 =3，求代数式