直线L与直线y
(天津专用)2020届高考数学一轮复习考点规范练37直线与方程(含解析)新人教A版
考点规范练37 直线与方程一、基础巩固1.若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,且线段PQ的中点坐标为(1,-1),则直线l的斜率为()A. B.- C.- D.2.若直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行,则m的值为()A.7B.0或7C.0D.43.若直线l1:kx+(1-k)y-3=0和l2:(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直,则k=()A.-3或-1B.3或1C.-3或1D.-1或34.若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2经过定点()A.(0,4)B.(0,2)C.(-2,4)D.(4,-2)5.在同一平面直角坐标系中,直线l1:ax+y+b=0和直线l2:bx+y+a=0的图象可能是()6.若点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,则m2+n2的最小值是()A.2B.2C.4D.27.已知直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是()A.-B.-∪(1,+)C.(-,1)∪D.(-,-1)∪8.已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a的取值范围是.9.设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别求m的值.(1)直线l经过定点P(2,-1);(2)直线l在y轴上的截距为6;(3)直线l与y轴平行;(4)直线l与y轴垂直.10.已知两条直线l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8.当m分别为何值时,l1与l2:(1)相交?(2)平行?(3)垂直?二、能力提升11.若m∈R,则“log6m=-1”是“直线l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x-my-1=0平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.已知点A(7,-4)关于直线l的对称点为B(-5,6),则该对称直线l的方程为()A.6x+5y-1=0B.5x+6y+1=0C.5x-6y-1=0D.6x-5y-1=013.在直角坐标平面内,过定点P的直线l:ax+y-1=0与过定点Q的直线m:x-ay+3=0相交于点M,则|MP|2+|MQ|2的值为()A. B. C.5 D.1014.已知点P(x,y)到A(0,4)和B(-2,0)的距离相等,则2x+4y的最小值为.15.已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当0<a<2时,直线l1,l2与两坐标轴正半轴围成一个四边形,求当a为何值时,四边形的面积最小?三、高考预测16.设两条直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+b=0,已知a,b是方程x2+x+c=0的两个实根,且 ≤c≤,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是()A. B. C. D.考点规范练37直线与方程1.B解析设点P(a,1),Q(7,b),则有-解得--从而可得直线l的斜率为--=-.2.B解析∵直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行,∴m(m-1)=3m×2,∴m=0或m=7,经检验都符合题意.故选B.3.C解析若1-k=0,即k=1,直线l1:x=3,l2:y=,显然两直线垂直.若k≠1,直线l1,l2的斜率分别为k1=-,k2=-.由k1k2=-1,得k=-3.综上k=1或k=-3,故选C.4.B解析直线l1:y=k(x-4)经过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2),又直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,故直线l2经过定点(0,2).5.B解析直线l1的方程可化为y=-ax-b,直线l2的方程可化为y=-bx-a.当a>0,b>0时,-a<0,-b<0,选项B符合.6.C解析(方法一)因为点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,所以4m+3n-10=0.欲求m2+n2的最小值可先求--的最小值.而--表示4m+3n-10=0上的点(m,n)到原点的距离,如图.当过原点和点(m,n)的直线与直线4m+3n-10=0垂直时,原点到点(m,n)的距离最小,最小值为2.故m2+n2的最小值为4.(方法二)由题意知点(m,n)为直线上到原点最近的点,直线与两坐标轴交于A,B,在Rt△OAB中,|OA|=,|OB|=,|AB|=,斜边上的高h即为所求m2+n2的算术平方根,∴S△OAB=·|OA|·|OB|=|AB|·h,∴h=· =2,∴m2+n2的最小值为h2=4.7.D解析设直线的斜率为k,如图.当过定点A的直线经过点B时,直线l在x轴上的截距为3,此时k=-1;当过定点A的直线经过点C时,直线l在x轴上的截距为-3,此时k=.故所求的直线的斜率的取值范围是(-,-1)∪.8.[0,10]解析由题意得,点P到直线的距离为---.又-≤ 即|15-3a|≤ 解得 ≤a≤ 故a的取值范围是[0,10].9.解(1)由于点P在直线l上,即点P的坐标(2,-1)适合方程(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,把点P的坐标(2,-1)代入方程,得2(m2-2m-3)-(2m2+m-1)=2m-6,解得m=.(2)令x=0,得y=--,根据题意可知--=6,解得m=-或m=0.(3)直线与y轴平行,则有---解得m=.(4)直线与y轴垂直,则有---解得m=3.10.解(1)当m=-5时,显然l1与l2相交但不垂直;当m≠-5时,两条直线l1和l2的斜率分别为k1=-,k2=-,它们在y轴上的截距分别为b1=-,b2=.由k1≠k2,得-≠-,即m≠-7,且m≠-1.则当m≠-7,且m≠-1时,l1与l2相交.(2)由得---解得m=-7.则当m=-7时,l1与l2平行.(3)由k1k2=-1,得--=-1,解得m=-.则当m=-时,l1与l2垂直.11.A解析由log6m=-1,得m=.若l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x-my-1=0平行,则直线斜率相等或斜率不存在,解得m=0或m=,则“log6m=-1”是“直线l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x-my-1=0平行”的充分不必要条件.12.D解析由题意可得,直线l是线段AB的垂直平分线.因为A(7,-4),B(-5,6),所以k AB=--=-,所以k l=.又因为线段AB的中点坐标为(1,1),所以直线l的方程为y-1=(x-1),即6x-5y-1=0.13.D解析由题意知P(0,1),Q(-3,0).∵过定点P的直线ax+y-1=0与过定点Q的直线x-ay+3=0垂直,∴点M位于以PQ为直径的圆上.∵|PQ|=,∴|MP|2+|MQ|2=|PQ|2=10.14.4解析由题意得,点P在线段AB的垂直平分线上,则易得点P的轨迹方程为x+2y=3,所以2x+4y≥ · =2=4,当且仅当x=2y=时等号成立,故2x+4y的最小值为4.15.解由--得所以直线l1与l2交于点A(2,2)(如图).易知|OB|=a2+2,|OC|=2-a,连接OA,则S四边形OBAC=S△AOB+S△AOC=×2(a2+2)+×2(2-a)=a2-a+4=-,a∈(0,2),所以当a=时,四边形OBAC的面积最小.16.D解析依题意得|a-b|=--,当 ≤c≤时,≤|a-b|=-≤.因为两条直线间的距离等于,所以两条直线间的距离的最大值与最小值分别是.。
2021届高考数学人教B版大一轮总复习51 直线的倾斜角与斜率、直线方程
课时作业51 直线的倾斜角与斜率、直线方程一、选择题1．直线x ＝π4的倾斜角等于( C ) A ．0 B ．π4 C ．π2 D ．π解析：由直线x ＝π4，知倾斜角为π2.2．如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( D )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2解析：直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2.3．若三点P(1,1)，A(2，－4)，B(x ，－9)共线，则( B ) A ．x ＝－1 B ．x ＝3 C ．x ＝92D ．x ＝1解析：三点P(1,1)，A(2，－4)，B(x ，－9)共线⇒PA →∥PB →，PA →＝(1，－5)，PB →＝(x －1，－10)，得1×(－10)＝－5(x －1)⇒x ＝3.故选B ．4．过点(2,1)且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( A )A ．x ＝2B ．y ＝1C ．x ＝1D ．y ＝2解析：∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为3π4， 依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2， ∴斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x ＝2.5．(2020·湖南衡阳月考)已知直线l 的倾斜角为θ且过点(3，1)，其中sin (θ－π2)＝12，则直线l 的方程为( B )A ．3x －y －2＝0B ．3x ＋y －4＝0C ．x －3y ＝0D ．3x ＋3y －6＝0解析：∵sin (θ－π2)＝12，∴cos θ＝－12，θ＝2π3，则tan θ＝－3，直线的方程为y －1＝－3(x －3)，即3x ＋y －4＝0，故选B ．6．(2020·安徽四校联考)直线l 经过点(1,3)且与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，则直线l 的方程是( A )A ．3x ＋y －6＝0B ．3x －y ＝0C ．x ＋3y －10＝0D ．x －3y ＋8＝0解析：解法1：设直线l 的斜率为k(k<0)，则直线l 的方程为y －3＝k(x －1)．x ＝0时，y ＝3－k ；y ＝0时，x ＝1－3k .所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×(3－k)(1－3k )＝6，整理得k 2＋6k ＋9＝0，解得k ＝－3，所以直线l 的方程为y －3＝－3(x －1)，即3x ＋y －6＝0，故选A ．解法2：依题意，设直线方程为x a ＋y b ＝1(a>0，b>0)，则可得1a ＋3b ＝1且ab ＝12，解得a ＝2，b ＝6，则直线l 的方程为x 2＋y6＝1，即3x ＋y －6＝0，故选A ．7．(2020·郑州质检)已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( A )A ．y ＝3x ＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝3x ＋12D ．y ＝－3x ＋2解析：∵直线x －2y －4＝0的斜率为12，∴直线l 在y 轴上的截距为2，∴直线l 的方程为y ＝3x ＋2，故选A ．8．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( B )A ．13B ．－13C ．－32D ．23解析：依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.9．已知点P(x ，y)在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( A )A ．8B ．2 2C ． 2D ．16解析：∵点P(x ，y)在直线x ＋y －4＝0上，∴y ＝4－x ，∴x 2＋y 2＝x 2＋(4－x)2＝2(x －2)2＋8，当x ＝2时，x 2＋y 2取得最小值8.10．(2020·焦作检测)过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距相等的直线有( B )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：①当所求的直线与两坐标轴的截距都不为0时， 设该直线的方程为x ＋y ＝a ，把(3，－1)代入所设的方程得a ＝2，则所求直线的方程为x ＋y ＝2，即x ＋y －2＝0； ②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时， 设该直线的方程为y ＝kx ，把(3，－1)代入所设的方程得k ＝－13， 则所求直线的方程为y ＝－13x ，即x ＋3y ＝0. 综上，所求直线的方程为x ＋y －2＝0或x ＋3y ＝0， 故选B ．11．已知f(x)＝a sin x －b cos x(a ≠0，b ≠0)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( C )A ．π4 B ．π3 C ．2π3D ．3π4解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x 知函数f(x)的图象关于x ＝π3对称，所以f(0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，所以a ＝－3b ，由直线ax －by ＋c ＝0知其斜率k ＝a b ＝－3，所以直线的倾斜角为2π3，故选C ．二、填空题12．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为x ＋13y ＋5＝0.解析：BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴BC 边上的中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0.13．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y －5＝0.解析：若直线过原点，则直线方程为3x ＋2y ＝0；若直线不过原点，则斜率为1，方程为y ＋3＝x －2，即为x －y －5＝0，故所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y －5＝0.14．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是[－2,2]．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．15．曲线y ＝x 3－x ＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))，因为y ′＝3x 2－1≥－1，所以tan θ≥－1，结合正切函数的图象可知，θ的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 16．已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是线段AB 上的点，则P 到AC ，BC 的距离的乘积的最大值为3.解析：以C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)，则A(0,4)，B(3,0)，直线AB 的方程为x 3＋y4＝1.设P(x ，y)(0≤x ≤3)，所以P 到AC ，BC 的距离的乘积为xy ，因为x 3＋y 4≥2x 3·y 4，当且仅当x 3＝y 4＝12时取等号，所以xy ≤3，所以xy 的最大值为3.17．(2020·武汉市调研测试)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A(8,0)，以OA 为直径的圆与直线y ＝2x 在第一象限的交点为B ，则直线AB 的方程为( A )A ．x ＋2y －8＝0B ．x －2y －8＝0C ．2x ＋y －16＝0D ．2x －y －16＝0解析：如图，由题意知OB ⊥AB ，因为直线OB 的方程为y ＝2x ，所以直线AB 的斜率为－12，因为A(8,0)，所以直线AB 的方程为y －0＝－12(x －8)，即x ＋2y －8＝0，故选A ．18．(2020·河南郑州调研)数学家欧拉在1765年提出定理，三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高线的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点B(－1,0)，C(0,2)，AB ＝AC ，则△ABC 的欧拉线方程为( D )A ．2x －4y －3＝0B ．2x ＋4y ＋3＝0C ．4x －2y －3＝0D ．2x ＋4y －3＝0解析：∵B(－1,0)，C(0,2)，∴线段BC 中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，线段BC 所在直线的斜率k BC ＝2，则线段BC 的垂直平分线的方程为y －1＝－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，即2x ＋4y －3＝0.∵AB ＝AC ，∴△ABC 的外心、重心、垂心都在线段BC 的垂直平分线上，∴△ABC 的欧拉线方程为2x ＋4y －3＝0.故选D ．快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。
高三数学(文理)复习《直线的倾斜角与的斜率、直线方程》专题练(学生版)(无答案)
《直线的倾斜角与斜率、直线的方程》专题练专题1 直线的倾斜角与斜率1.1 求直线的倾斜角与斜率1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是2.直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为3．直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0的倾斜角是4．已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的斜率是5．若过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为6．若经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y 等于7．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为8．已知三点A (2，－3)，B (4,3)，C ⎝⎛⎭⎫5，k 2在同一条直线上，则k 的值为9. 若A (－2,3)，B (3，－2)，C ⎝⎛⎭⎫12，m 三点在同一条直线上，则m 的值为10.若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a 等于11．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为12．直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段PQ 中点是(1，－1)，则l 的斜率是________．13．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率为14．直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么l的斜率为15．若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝55，则l 的斜率为16．已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为1．2 求直线的倾斜角与斜率的取值范围1．若过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是2．已知点(－1,2)和⎝⎛⎭⎫33，0在直线l ：ax －y ＋1＝0(a ≠0)的同侧，则直线l 倾斜角的取值范围是3．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的范围是 4．直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B ．⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2 D ．⎣⎡⎦⎤π4，2π35．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是6．如果直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R)两点，那么直线l 的倾斜角α的取值范围是7．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线的倾斜角α的取值范围是8.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 29．设直线l 的倾斜角为α，且π4≤α≤5π6，则直线l 的斜率k 的取值范围是________．10．若直线l 过点P (－3,2)，且与以A (－2，－3)，B (3,0)为端点的线段相交，则直线l 的斜率的取值范围是________．11.已知两点M (2，－3)，N (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是12.直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．13．已知直线l 过坐标原点，若直线l 与线段2x ＋y ＝8(2≤x ≤3)有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________．14．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 的横坐标的取值范围为专题2 直线方程1．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是2．过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程是3．过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14的直线方程是4．直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010的直线方程是5．已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为6．若直线经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为7.一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝13x 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是.8．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为9．过点(2,1)且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是10．直线过点(5,10)，到原点的距离为5的直线方程是11．直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程是12．过点A (4,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是13．经过点M(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是14．经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是15．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．16．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为______________．17．过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_________．18．直线l过点(－2,2)且与x轴、y轴分别交于点(a,0)，(0，b)，若|a|＝|b|，则直线l的方程为__________ 19．若直线经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为________．20．已知直线l过点P(1,3)，且与x轴，y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6，则直线l的方程是21．一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．22．过A(2,1)，B(m,3)两点的直线l的方程为23．过直线l：y＝x上的点P(2,2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为24．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16．25．已知菱形ABCD 的顶点A ，C 的坐标分别为A (－4,7)，C (6，－5)，BC 边所在直线过点P (8，－1)．求：(1)AD 边所在直线的方程；(2)对角线BD 所在直线的方程．26．如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA 、OB于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．27．求过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点且|AB |＝5的直线方程专题3 直线方程定点图像问题1．如果A ·C ＜0且B ·C ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．直线l 的方程为Ax －By －C ＝0，若A ，B ，C 满足AB >0且BC <0，则直线l 不经过的象限是() A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( )A ．ab >0，bc <0B ．ab >0，bc >0C ．ab <0，bc >0D ．ab <0，bc <04．若3π2<α<2π，则直线x cos α＋ysin α＝1必不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．两直线x m －y n ＝a 与x n －y m ＝a (其中a 为不为零的常数)的图象可能是( )6.在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是()7．直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线l恒过定点________．8．不论实数m为何值，直线mx－y＋2m＋1＝0恒过定点.9.设点A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是.10．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S 的最小值及此时直线l的方程．专题4 直线方程的综合应用4.1 与基本不等式相结合求最值问题1．已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA→|·|MB →|取得最小值时直线l 的方程．2．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.2 由直线方程解决参数问题1．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是2．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( )A ．m ≠－32B ．m ≠0C ．m ≠0且m ≠1D ．m ≠13．若过点P (1－a,1＋a )与Q (4,2a )的直线的倾斜角为钝角，且m ＝3a 2－4a ，则实数m 的取值范围是________．4．已知直线l：x－my＋3m＝0上存在点M满足与两点A(－1，0)，B(1，0)连线的斜率k MA与k MB 之积为3，则实数m的取值范围是____________．5．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0<a<2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值．6．直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是() A．[－2,2]B．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C．[－2,0)∪(0,2]D．(－∞，＋∞)4.3 与直线方程有关的最值问题1．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是2．已知直线x＋a2y－a＝0(a是正常数)，当此直线在x轴，y轴上的截距和最小时，正数a的值是3．若直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为________．4.已知动直线l0：ax＋by＋c－3＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，且Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3，则12a＋2c的最小值为.5．过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点.(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程.6.已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y＝2－x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为。
直线与直线的位置关系
直线与直线的位置关系自主梳理1．两直线的位置关系平面上两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况．(1)两直线平行对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔________________________.对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2B2C2≠0)，l1∥l2⇔________________________.(2)两直线垂直对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1·k2＝____.对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝____.2．两条直线的交点两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0l2：A2x＋B2y＋C2＝0，如果两直线相交，则交点的坐标一定是这两个方程组成的方程组的____；反之，如果这个方程组只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是l1和l2的________，因此，l1、l2是否有交点，就看l1、l2构成的方程组是否有________．3．有关距离(1)两点间的距离平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝__________________________________.(2)点到直线的距离平面上一点P(x0，y0)到一条直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝________________________.(3)两平行线间的距离已知l1、l2是平行线，求l1、l2间距离的方法：①求一条直线上一点到另一条直线的距离；②设l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则l1与l2之间的距离d＝探究点一两直线的平行与垂直例1已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0.求满足以下条件的a、b的值：(1)l 1⊥l 2且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且原点到这两条直线的距离相等．例1 解题导引 运用直线的斜截式y ＝kx ＋b 时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况．运用直线的一般式Ax ＋By ＋C ＝0时，要特别注意A 、B 为0时的情况，求解两直线平行或垂直有关的问题并与求直线方程相联系，联立方程组求解，对斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法研究．解 (1)由已知可得l 2的斜率必存在，且k 2＝1－a.若k 2＝0，则a ＝1.由l 1⊥l 2，l 1的斜率不存在，∴b ＝0.又l 1过(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0，∴b ＝3a －4＝－1，矛盾．∴此情况不存在，即k 2≠0.若k 2≠0，即k 1＝a b ，k 2＝1－a 由l 1⊥l 2，得k 1k 2＝a b(1－a)＝－1. 由l 1过(－3，－1)，得－3a ＋b ＋4＝0，解之得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴l 1的斜率存在，∴k 1＝k 2，即a b＝1－a.又原点到两直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1、l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b. 解之得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a 、b 的值为2和－2或23和2. 变式迁移1 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0，(1)试判断l 1与l 2是否平行；(2)l 1⊥l 2时，求a 的值．变式迁移1 解 (1)方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不平行；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1与l 2不平行；当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a 2x －3， l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)， l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2＝11－a ，－3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1， 综上可知，a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行．方法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a(a －1)－1×2＝0.由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a(a 2－1)－1×6≠0，∴l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a (a －1)－1×2＝0a (a 2－1)－1×6≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a (a 2－1)≠6. ∴a ＝－1，故当a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行．(2)方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1与l 2不垂直；当a ≠1且a ≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3， l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)， 由⎝⎛⎭⎫－a 2·11－a ＝－1⇒a ＝23.方法二 由A 1A 2＋B 1B 2＝0， 得a ＋2(a －1)＝0⇒a ＝23.探究点二 直线的交点坐标变式迁移2 △ABC 的两条高所在直线的方程分别为2x －3y ＋1＝0和x ＋y ＝0，顶点A 的坐标为(1,2)，求BC 边所在直线的方程．变式迁移2 解 可以判断A 不在所给的两条高所在的直线上，则可设AB ，AC 边上的高所在直线的方程分别为2x －3y ＋1＝0，x ＋y ＝0，则可求得AB ，AC 边所在直线的方程分别为y －2＝－32(x －1)，y －2＝x －1，即3x ＋2y －7＝0，x －y ＋1＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y －7＝0x ＋y ＝0，得B(7，－7)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝02x －3y ＋1＝0，得C(－2，－1)， 所以BC 边所在直线的方程为2x ＋3y ＋7＝0. 转化与化归思想的应用 例 (12分)已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求：(1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程；(3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程解 (1)设A ′(x ，y )，再由已知∴A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413.[4分] (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点M ′(a ，b )，则得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.[6分]设直线m 与直线l 的交点为N ，则由得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.[8分](3)方法一 在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1,1)，N (4,3)，则M ，N 关于点A (－1，－2)的对称点M ′，N ′均在直线l ′上， 易得M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，[10分]再由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0.[12分]方法二 ∵l ∥l ′，∴设l ′的方程为2x －3y ＋C ＝0 (C ≠1)，∵点A (－1，－2)到两直线l ，l ′的距离相等，∴由点到直线的距离公式得 |－2＋6＋C |22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，解得C ＝－9，[10分] ∴l ′的方程为2x －3y －9＝0.[12分]方法三 设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，[10分]∵点P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.[12分]2．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( B )A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(－2,4)D ．(4，－2)4．(2009·上海)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( C )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或21．直线3x ＋2y ＋4＝0与2x －3y ＋4＝0( B )A ．平行B ．垂直C ．重合D ．关于直线y ＝－x 对称 C2．(2011·六安月考)若直线x ＋ay －a ＝0与直线ax －(2a －3)y －1＝0互相垂直，则a 的值是( C )A ．2B ．－3或1C ．2或0D ．1或03．已知直线l 的倾斜角为3π4，直线l 1经过点A (3,2)、B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( B )A ．－4B ．－2C ．0D ．211．(14分)(2011·杭州调研)过点P (3,0)作一直线，使它夹在两直线l 1：2x －y －2＝0与l 2：x ＋y ＋3＝0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程．11．解 设点A(x ，y)在l 1上，由题意知⎩⎨⎧x ＋x B 2＝3，y ＋y B 2＝0，∴点B(6－x ，－y)，(6分)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －2＝0，(6－x )＋(－y )＋3＝0，得⎩⎨⎧ x ＝113，y ＝163， ∴k ＝163－0113－3＝8.(12分) ∴所求的直线方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. (14分)。
高三数学直线与直线的位置关系
g3.1075 直线与直线的位置关系一、知识要点（一）平面内两条直线的位置关系有三种：重合、平行、相交。
(二)点到直线的距离、直线与直线的距离1、点P(x 0,y 0)到直线Ax+By+C=0的距离为：d=)0(222200≠++++B A B A CBy Ax2、直线l 1∥l 2，且其方程分别为l 1：Ax+By+C 1=0,l 2：Ax+By+C 2=0,则l 1与l 2的距离为：d=)0(222221≠++-B A B A C C（三）两条直线的交角公式若直线l 1的斜率为k 1，l 2的斜率为k 2，则（1）直线l 1到l 2的角满足：tan )1(1212112-≠+-=k k k k k k θ. （2） 直线l 1与直线l 2所成的角（简称夹角）θ满足：tan )1(1212112-≠+-=k k k k k k θ 说明：（1）当l 1和l 2的斜率都不存在时，所成的角为00；（2）当l 1与l 2的斜率有一个存在时，可画图、观察，根据另一条直线的斜率得出所求的角；（3）l 1到l 2的角1θ不同于l 2到l 1的角2θ，它们满足：πθθ=+21.（四）两条直线的交点:两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数。
二、考试要求掌握两条直线平行与垂直的条件，能够根据直线的方程判定两直线的位置关系；会求两条相交直线的夹角和交点；掌握点到直线的距离公式。
三、基本训练1、点（4，a ）到直线4x －3y =1的距离不大于3，则实数a 的取值范围是………………………（ ）(A )[2，12] (B )[1，12] (C )[0，10] (D )[－1，9]2、两直线的斜率相等是两直线平行的： （ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件3设方程f(x, y)=0表示定直线，M(x 0, y 0)是直线L 外的定点，则方程f(x, y)－f(x 0, y 0)=0表示直线：（ ）A 、过M 与l 相交，但与l 不垂直B 、过M 且与l 垂直C 、过M 与l 平行D 、以上都不对4、已知直线l 和直线m 的方程分别为2x －y+1=0，3x －y=0，则直线m 关于直线l 的对称直线m ′的方程为 。
第九章 第一节 直线与方程
第九章⎪⎪⎪解析几何第一节 直线与方程[考纲要求]1．在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 3．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．4．掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系．5．能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标．6．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．突破点一 直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系[基本知识]1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0，π)． 2．直线的斜率公式(1)定义式：若直线l 的倾斜角α≠π2，则斜率k ＝tan_α.(2)两点式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3．两条直线平行与垂直的判定两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( )(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( )(4)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (5)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× 二、填空题1．过点M (－1，m )，N (m ＋1,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为________． 答案：12．若直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0和直线l 2：3x ＋ay ＋2＝0垂直，则实数a 的值为________． 答案：343．(2019·湖南百所中学检测)若直线l 1：ax ＋y －1＝0与l 2：3x ＋(a ＋2)y ＋1＝0平行，则a 的值为________．答案：14．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是________． 答案：⎣⎡⎭⎫3π4，π[全析考法]考法一 直线的倾斜角与斜率1．直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：斜率k k ＝tan α＞0k ＝0 k ＝tan α＜0不存在 倾斜角α锐角0°钝角90°2．在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k ＝tan α的单调性，如图所示：(1)当α取值在⎣⎡⎭⎫0，π2内，由0增大到π2⎝⎛⎭⎫α≠π2时，k 由0增大并趋向于正无穷大；(2)当α取值在⎝⎛⎭⎫π2，π内，由π2⎝⎛⎭⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 由负无穷大增大并趋近于0.解决此类问题，常采用数形结合思想．[例1] (1)(2019·江西五校联考)已知直线l 与两条直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段P Q 的中点坐标为(1，－1)，那么直线l 的斜率是( )A.23 B.32 C ．－23D ．－32(2)(2019·张家口模拟)直线l 经过A (2,1)，B (1，－m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π4B.⎝⎛⎭⎫π2，π C.⎣⎡⎭⎫π4，π2D.⎝⎛⎦⎤π2，3π4[解析] (1)设P (a,1)，Q (b ，b －7)， 则⎩⎨⎧a ＋b2＝1，1＋b －72＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，所以P (－2,1)，Q (4，－3)，所以直线l 的斜率k ＝1－(－3)－2－4＝－23，故选C.(2)直线l 的斜率k ＝tan α＝1＋m 22－1＝m 2＋1≥1，所以π4≤α＜π2.[答案] (1)C (2)C [方法技巧]求直线倾斜角范围的注意事项直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)． 考法二 两直线的位置关系两直线位置关系的判断方法 (1)已知两直线的斜率存在①两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等； ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1. (2)已知两直线的斜率不存在若两直线的斜率不存在，当两直线在x 轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合．[例2] (1)(2019·武邑中学月考)已知过两点A (－3，m )，B (m,5)的直线与直线3x ＋y －1＝0平行，则m 的值为( )A ．3B ．7C ．－7D ．－9(2)(2019·安徽六安四校联考)设m ∈R ，则“m ＝0”是“直线l 1：(m ＋1)x ＋(1－m )y －1＝0与直线l 2：(m －1)x ＋(2m ＋1)y ＋4＝0垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)由题可知，5－m m ＋3＝－3，解得m ＝－7，故选C.(2)由直线l 1与l 2垂直可得(m ＋1)(m －1)＋(1－m )·(2m ＋1)＝0，解得m ＝0或m ＝1.所以“m ＝0”是“直线l 1：(m ＋1)x ＋(1－m )y －1＝0与直线l 2：(m －1)x ＋(2m ＋1)y ＋4＝0垂直”的充分不必要条件．故选A.[答案] (1)C (2)A [方法技巧]由一般式方程确定两直线位置关系的方法到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．[集训冲关]1.[考法一]已知直线过A (2,4)，B (1，m )两点，且倾斜角为45°，则m ＝( ) A ．3 B ．－3 C ．5D ．－1解析：选A ∵直线过A (2,4)，B (1，m )两点，∴直线的斜率为m －41－2＝4－m .又∵直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率为1，即4－m ＝1，∴m ＝3.故选A.2.[考法一、二]已知倾斜角为θ的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos 2θ的值为( ) A.35B ．－35C.15 D ．－15解析：选B 由题意得－12·tan θ＝－1，∴tan θ＝2，cos 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－41＋4＝－35，故选B.3.[考法二]若直线l 1：ax －(a ＋1)y ＋1＝0与直线l 2：2x －ay －1＝0垂直，则实数a ＝( ) A ．3 B ．0 C ．－3D ．0或－3解析：选D ∵直线l 1与直线l 2垂直，∴2a ＋a (a ＋1)＝0，整理得a 2＋3a ＝0， 解得a ＝0或a ＝－3.故选D.4.[考法二]设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 当a ＝1时，直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0的斜率都是－12，截距不相等，∴两条直线平行，故前者是后者的充分条件；当两条直线平行时，得a 1＝2a ＋1≠－14，解得a ＝－2或a ＝1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选C.突破点二 直线的方程[基本知识]直线方程的五种形式 形式 几何条件 方程 适用范围 点斜式 过一点(x 0，y 0)，斜率k y －y 0＝k (x －x 0) 与x 轴不垂直的直线 斜截式 纵截距b ，斜率k y ＝kx ＋b 与x 轴不垂直的直线 两点式过两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与x 轴、y 轴均不垂直的直线 截距式 横截距a ，纵截距bx a ＋y b ＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0，A 2＋B 2≠0平面直角坐标系内所有直线[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示．( )(2)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )(3)不经过原点的直线都可以用x a ＋yb ＝1表示．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× 二、填空题1．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为______________． 答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝02．(2019·开封模拟)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 斜率的－14的直线方程为____________．答案：3x ＋4y ＋15＝03．已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为____________．解析：由已知，得BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12，且直线BC 边上的中线过点A ，则BC 边上中线的斜率k ＝－113，故BC 边上的中线所在直线方程为y ＋12＝－113⎝⎛⎭⎫x －32，即x ＋13y＋5＝0.答案：x ＋13y ＋5＝0[全析考法]考法一 求直线方程[例1] (2019·湖北十堰模拟)已知菱形ABCD 的顶点A ，C 的坐标分别为A (－4,7)，C (6，－5)，BC 边所在直线过点P (8，－1)．求：(1)AD 边所在直线的方程； (2)对角线BD 所在直线的方程． [解] (1)k BC ＝－5－(－1)6－8＝2，∵AD ∥BC ，∴k AD ＝2.∴AD 边所在直线的方程为y －7＝2(x ＋4)， 即2x －y ＋15＝0. (2)k AC ＝－5－76－(－4)＝－65.∵菱形的对角线互相垂直， ∴BD ⊥AC ，∴k BD ＝56.∵AC 的中点(1,1)，也是BD 的中点，∴对角线BD 所在直线的方程为y －1＝56(x －1)，即5x －6y ＋1＝0.[方法技巧]求直线方程的注意事项(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)．考法二 与直线方程有关的最值问题[例2] (1)已知直线x ＋a 2y －a ＝0(a 是正常数)，当此直线在x 轴，y 轴上的截距和最小时，正数a 的值是( )A ．0B ．2 C. 2D ．1(2)若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)[解析] (1)直线x ＋a 2y －a ＝0(a 是正常数)在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和1a ，此直线在x 轴，y 轴上的截距和为a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1时，等号成立．故当直线x ＋a 2y －a ＝0在x 轴，y 轴上的截距和最小时，正数a 的值是1，故选D.(2)令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，因为14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．[答案] (1)D (2)C [方法技巧]与直线方程有关的最值问题的解题思路(1)借助直线方程，用y 表示x 或用x 表示y ； (2)将问题转化成关于x (或y )的函数；(3)利用函数的单调性或基本不等式求最值．[集训冲关]1.[考法一]已知直线l 过点P (1,3)，且与x 轴，y 轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6，则直线l 的方程是( )A ．3x ＋y －6＝0B ．x ＋3y －10＝0C ．3x －y ＝0D ．x －3y ＋8＝0解析：选A 设直线l 的方程为x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意得⎩⎨⎧1a ＋3b ＝1，12ab ＝6，解得a ＝2，b ＝6.故直线l 的方程为x 2＋y6＝1，即3x ＋y －6＝0.故选A.2.[考法一]过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_________． 解析：当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ；当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1(a ≠0)，即x －y ＝a (a ≠0)，把(－3,5)代入，得a ＝－8， 所以直线方程为x －y ＋8＝0.故所求直线方程为y ＝－53x 或x －y ＋8＝0.答案：y ＝－53x 或x －y ＋8＝03.[考法二]已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________.解析：直线l 1可写成a (x －2)＝2(y －2)，直线l 2可写成2(x －2)＝a 2(2－y )，所以直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154.当a ＝12时，面积最小． 答案：12突破点三 直线的交点、距离与对称问题[基本知识]1．两条直线的交点2．三种距离类型 条件距离公式两点间的距离点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2点到直线的距离点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2两平行直线间的距离 两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( ) (2)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2.( ) (3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( )(4)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB的中点在直线l 上．( )答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ 二、填空题1．已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 的值为________． 答案：2－12．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为________． 答案：8233．当0＜k ＜12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第________象限．答案：二4．(2018·忻州检测)在平面直角坐标系中，点(0,2)与点(4,0)关于直线l 对称，则直线l的方程为______________．答案：2x －y －3＝0[全析考法]考法一 距离问题[例1] (2019·北京西城期中)已知直线l 经过点P (－2，1)． (1)若点Q (－1，－2)到直线l 的距离为1，求直线l 的方程； (2)若直线l 在两坐标轴上截距相等，求直线l 的方程．[解] (1)当直线l 的斜率不存在时，即直线l 的方程为x ＝－2，符合要求； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)， 整理得kx －y ＋2k ＋1＝0，Q (－1，－2)到直线l 的距离d ＝|－k ＋2＋2k ＋1|k 2＋(－1)2＝|k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43，所以直线l 的方程为4x ＋3y ＋5＝0.(2)由题知，直线l 的斜率k 一定存在且k ≠0，故可设直线l 的方程为kx －y ＋2k ＋1＝0， 当x ＝0时，y ＝2k ＋1，当y ＝0时，x ＝－2k ＋1k ， ∴2k ＋1＝－2k ＋1k ，解得k ＝－1或－12，即直线l 的方程为x ＋2y ＝0或x ＋y ＋1＝0. [方法技巧]1．解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．2．求两条平行线间的距离要先将直线方程中x ，y 的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解．也可以转化成点到直线的距离问题．考法二 对称问题[例2] 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． [解] (1)设A ′(x ，y )，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413.所以A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又因为m ′经过点N (4,3)，所以由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )， 因为P ′在直线l 上，所以2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0. [方法技巧]1．中心对称问题的两种类型及求解方法2．轴对称问题的两种类型及求解方法[集训冲关]1.[考法一]“C ＝2”是“点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3，则有|1＋3＋C |12＋(3)2＝3，解得C ＝2或C ＝－10，故“C ＝2”是“点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3”的充分不必要条件，故选B.2.[考法二]直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程是( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：选A 在所求直线上任取一点P (x ，y )，则点P 关于x 轴的对称点P ′(x ，－y )在已知的直线3x －4y ＋5＝0上，所以3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0，故选A.3.[考法一]已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是________________．解析：当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x－1)，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝04.[考法二]若直线l 与直线2x －y －2＝0关于直线x ＋y －4＝0对称，则直线l 的方程为________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －2＝0，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，即两直线的交点坐标为(2,2)，在直线2x －y －2＝0上取一点A (1,0)，设点A 关于直线x ＋y －4＝0的对称点的坐标为(a ，b )，则⎩⎨⎧ba －1＝1，a ＋12＋b2－4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3，即点A 关于直线x ＋y －4＝0的对称点的坐标为(4,3)，则直线l 的方程为y －23－2＝x －24－2，整理得x －2y ＋2＝0.答案：x －2y ＋2＝0[课时跟踪检测][A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(2019·合肥模拟)直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B. 3 C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．(2019·永州模拟)已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，则直线l 1与直线l 2之间的距离为( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选B 由平行线间的距离公式可知，直线l 1与直线l 2之间的距离为|1＋1|2＝ 2.3．(2019·成都月考)当点P (3,2)到直线mx －y ＋1－2m ＝0的距离最大时，m 的值为( ) A. 2 B ．0 C ．－1D ．1解析：选C 直线mx －y ＋1－2m ＝0过定点Q (2,1)，所以点P (3，2)到直线mx －y ＋1－2m ＝0的距离最大时，P Q 垂直直线，即m ·2－13－2＝－1，∴m ＝－1，故选C.4．(2019·济宁模拟)过点(－10,10)且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为( )A ．x －y ＝0B ．x ＋4y －30＝0C ．x ＋y ＝0或x ＋4y －30＝0D ．x ＋y ＝0或x －4y －30＝0解析：选C 当直线经过原点时，此时直线的方程为x ＋y ＝0，满足题意．当直线不经过原点时，设直线方程为x 4a ＋y a ＝1，把点(－10,10)代入可得a ＝152，故直线方程为x 30＋2y 15＝1，即x ＋4y －30＝0.综上所述，可知选C.5．(2019·深圳月考)若两直线kx －y ＋1＝0和x －ky ＝0相交且交点在第二象限，则k 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1]C ．(0,1)D ．(1，＋∞)解析：选A 由题意知k ≠±1.联立⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋1＝0，x －ky ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝k1－k 2，y ＝11－k 2，∴⎩⎨⎧k1－k 2＜0，11－k 2＞0，∴－1＜k ＜0.故选A.6．(2019·银川月考)点P (2,5)关于x ＋y ＋1＝0对称的点的坐标为( ) A ．(6,3) B ．(3，－6) C ．(－6，－3)D ．(－6,3)解析：选C 设点P (2,5)关于x ＋y ＋1＝0的对称点为Q (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －5a －2·(－1)＝－1，a ＋22＋b ＋52＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝－3，即P (2,5)关于x ＋y ＋1＝0对称的点的坐标为(－6，－3)．故选C.[B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·广州月考)已知点A (1，3)，B (－1,33)，则直线AB 的倾斜角是( ) A ．60° B ．30° C ．120°D ．150°解析：选C 设直线AB 的倾斜角为α. ∵A (1，3)，B (－1,33)， ∴k AB ＝33－3－1－1＝－3，∴tan α＝－3，∵0°≤α＜180°，∴α＝120°.故选C.2．(2019·惠阳月考)点A (2,5)到直线l ：x －2y ＋3＝0的距离为( ) A ．2 5B.55C. 5D.255解析：选C 点A (2,5)到直线l ：x －2y ＋3＝0的距离为d ＝|2－10＋3|1＋4＝ 5.故选C.3．(2019·安庆模拟)若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( )A ．7 B.172 C ．14D ．17解析：选B 直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，求得m ＝172.4．已知点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( ) A ．8 B ．2 2 C. 2D ．16解析：选A 因为点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，所以x 2＋y 2的最小值即为原点到直线x ＋y －4＝0距离的平方，d ＝|－4|1＋1＝22，d 2＝8.5．(2019·重庆第一中学月考)光线从点A (－3,5)射到x 轴上，经x 轴反射后经过点B (2,10)，则光线从A 到B 的距离为( )A ．5 2B ．2 5C ．510D ．10 5解析：选C 点B (2,10)关于x 轴的对称点为B ′(2，－10)，由对称性可得光线从A 到B 的距离为|AB ′|＝(－3－2)2＋[5－(－10)]2＝510.故选C.6．(2019·黄陵期中)不论m 为何值，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点( ) A.⎝⎛⎭⎫1，－12 B ．(－2,0) C ．(2,3)D ．(9，－4)解析：选D ∵直线方程为(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5， ∴直线方程可化为(x ＋2y －1)m ＋(－x －y ＋5)＝0.∵不论m 为何值，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝0，－x －y ＋5＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－4.故选D. 7．(2018·成都五校联考)已知A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．2x ＋y －7＝0B ．x ＋y －5＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x －y －1＝0解析：选B 由|PA |＝|PB |得点P 一定在线段AB 的垂直平分线上，根据直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，可得A (－1，0)，将x ＝2代入直线x －y ＋1＝0，得y ＝3，所以P (2,3)，所以B (5,0)，所以直线PB 的方程是x ＋y －5＝0，选B.8．(2019·大庆一中期末)设点A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－52∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－43，52 C.⎣⎡⎦⎤－52，43 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞ 解析：选B 直线ax ＋y ＋2＝0过定点P (0，－2)，可得直线PA 的斜率k PA ＝－52，直线PB 的斜率k PB ＝43.若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则－52＜－a ＜43，解得－43＜a ＜52，故选B.9．(2019·河南新乡期末)三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0构成一个三角形，则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．k ∈R 且k ≠±1，k ≠0C ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠－10D ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠1解析：选C 由l 1∥l 3，得k ＝5；由l 2∥l 3，得k ＝－5；由x －y ＝0与x ＋y －2＝0，得x ＝1，y ＝1，若(1,1)在l 3上，则k ＝－10.若l 1，l 2，l 3能构成一个三角形，则k ≠±5且k ≠ －10，故选C.10．(2019·淮安期末)若三条直线x ＋y －2＝0，mx －2y ＋3＝0，x －y ＝0交于一点，则实数m 的值为________．解析：直线x ＋y －2＝0，x －y ＝0的交点为(1,1)，所以m －2＋3＝0，解得m ＝－1. 答案：－111．与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是________________．解析：l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则|c ＋6|＝⎪⎪⎪⎪c ＋32，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0.答案：12x ＋8y －15＝012．直线l ：x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________．解析：设直线l 的倾斜角为θ，依题意知，θ≠π2，直线l 的斜率k ＝－33cos α，∵cos α∈[－1,1]，∴k ∈⎣⎡⎦⎤－33，33，即tan θ∈⎣⎡⎦⎤－33，33.又θ∈[0，π)，∴θ∈⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π 13．已知直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与两点A (－1，0)，B (1,0)连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则实数m 的取值范围是________________．解析：设M (x ，y )，由k MA ·k MB ＝3， 得y x ＋1·y x －1＝3，即y 2＝3x 2－3. 联立⎩⎨⎧x －my ＋3m ＝0，y 2＝3x 2－3，得⎝⎛⎭⎫1m 2－3x 2＋23m x ＋6＝0. 要使直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与两点A (－1，0)，B (1,0)连线的斜率k MA与k MB 之积为3，则Δ＝⎝⎛⎭⎫23m 2－24⎝⎛⎭⎫1m 2－3≥0，即m 2≥16.所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－66∪⎣⎡⎭⎫66，＋∞. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－66∪⎣⎡⎭⎫66，＋∞ 14．(2019·江苏如皋联考)“m ＝3”是“两直线l 1：mx ＋3y ＋2＝0和l 2：x ＋(m －2)y ＋m －1＝0平行”的________条件．(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个填空)解析：若l 1∥l 2，则m (m －2)－3＝0，解得m ＝3或m ＝－1(此时两直线重合，舍去)，所以m ＝3，必要性成立；若m ＝3，k 1＝k 2，l 1∥l 2，充分性成立，所以“m ＝3”是“两直线l 1：mx ＋3y ＋2＝0和l 2：x ＋(m －2)y ＋m －1＝0平行”的充要条件．答案：充要15．(2019·四川达州月考)已知直线l 过点(1,2)且在x ，y 轴上的截距相等．(1)求直线l 的一般方程；(2)若直线l 在x ，y 轴上的截距不为0，点P (a ，b )在直线l 上，求3a ＋3b 的最小值． 解：(1)①截距为0时，l ：y ＝2x ；②截距不为0时，k ＝－1，l ：y －2＝－(x －1)， ∴y ＝－x ＋3.综上，l 的一般方程为2x －y ＝0或x ＋y －3＝0.(2)由题意得l ：x ＋y －3＝0，∴a ＋b ＝3，∴3a ＋3b ≥23a ·3b ＝23a ＋b ＝63，当且仅当a ＝b ＝32时，等号成立，∴3a ＋3b 的最小值为6 3.16．已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？解：(1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0.由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1， 所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0. 所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线， 最大距离为|－5|5＝ 5.。
2020高三数学一轮复习(人教版理)：课时作业52直线的倾斜角与斜率、直线方程
4．过点(－10,10)且在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 4 倍的直线的 方程为( )
A．x－y＝0 B．x＋4y－30＝0 C．x＋y＝0 或 x＋4y－30＝0 D．x＋y＝0 或 x－4y－30＝0
解析 由题意，当直线经过原点时，直线的方程为 x＋y＝0；当直线不 经过原点时，设直线的方程为4xa＋ay＝1，则－4a10＋1a0＝1，解得 a＝125，此 时直线的方程为3x0＋125y＝1，即 x＋4y－30＝0。故选 C。
答案 x＋13y＋5＝0
10．已知直线 l 过坐标原点，若直线 l 与线段 2x＋y＝8(2≤x≤3)有公共 点，则直线 l 的斜率的取值范围是________。
解析 设直线 l 与线段 2x＋y＝8(2≤x≤3)的公共点 为 P(x，y)。则点 P(x，y)在线段 AB 上移动，且 A(2,4)， B(3,2)，设直线 l 的斜率为 k。又 kOA＝2，kOB＝23。如 图所示，可知23≤k≤2。所以直线 l 的斜率的取值范围 是32，2。
－cosθ＝3 5 5，②
sinθ＝25 5， 由①②解得
cosθ＝－ 55，
所以 tanθ＝－2，即 l 的斜
率为－2。故选 D。 答案 D
15．如图，已知 A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，E(－1,0)，F(1,0)，一束光线 从 F 点出发射到 BC 上的 D 点，经 BC 反射后，再经 AC 反射，落到线段 AE 上(不含端点)，则直线 FD 的斜率的取值范围为________。
答案 C
5．(2019·广州质检)若直线 l 与直线 y＝1，x＝7 分别交于点 P，Q，且
线段 PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线 l 的斜率为( )
直线方程习题课
特别地, 原点O与任一点P ( x , y )的距离 : | OP | x2 y2
(2).平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0的距离公式是
d
| Ax0 By0 C | A B
2 2
当A=0或B=0时,公式仍然成立.
(3).两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是
三、例题分析
例3、已知圆的方程是x2＋y2＝4，求经过点 P( 3 ,1)的圆的切线方程
解：设圆心为O，切线为l ∴设切线方程：y 1 k ( x 3) 整理得：kx y 1 3k 0 ∵点P ( 3 ,1) 在圆x2＋y2＝4上 ∴点P是切点 ∴OP⊥l
3 ∵kOP＝ 3 3 0 ∴k＝ 3 ∴切线方程为： 3x y 4 0
直线与方程
(习题课)
一、复习 1.直线的斜率公式 经过两点P1（x1，y1），P2（x1，y1）的直线斜率公式
y2 y1 k x2 x1
(x1 x2 )
2.两直线平行与垂直的判定 若两条直线l1，l2，斜率都存在，且不重合
l1 // l2 l1 // l2 l1⊥l2
k1 // k2
5.过点P(3, 0)有一条直线l , 它夹在两条直线l1 : 2 x y 2 0 l2 : x y 3 0之间的线段恰被点P平分, 求直线l的方程.
8x-yห้องสมุดไป่ตู้24=0
2 2 y x 6 x 10 x 4 的 2、设x∈R，则函数
最小值是 3 2
l P B’ P’ A x
x 2 解得 即P(2,5) y 5
直线方程
4 例1、已知直线经过点A（6，- 4），斜率为 ， 3
求直线的点斜式和一般式方程.
例2、把直线l 的方程x–2y+6= 0化成斜截式， 求出直线l 的斜率和它在x轴与y轴上的截距
y
.
B
.A
O
x
例3、设直线l 的方程为 （m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6，根据下列 条件确定m的值： （1） l 在X轴上的截距是-3； （2）斜率是-1.
2、关于直线的方程 y y 0 k ( x x0) ，说法正确的是（ ） A、可以表示任何直线
B、不能表示过原点的直线
C、不能表示与轴垂直的直线
D、不能表示与轴垂直的直线
3、经过点（- 2 ，2）倾斜角是300的直线的方程是
（A）y＋ 2 = 3（ x－2）
3
（B）y+2= 3（x－ 2）
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
x y 1 a b
bx ay ( ab) 0
上述四式都可以写成直线方程的一般形式：
Ax+By+C=0, A、B不同时为0。
直线的一般式方程:
Ax+By+C=0（A，B不同时为0）
注意
对于直线方程的一般式，一般作如下约定：
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
y1≠y2 x1≠x2 说明(1)这个方程由直线上两点确定;
(2)当直线没有斜率或斜率为0时,不能用
两点式求出它们的方程.(此时方程如何得到?)
例1.求过下列两点的直线的 两点式方程， 再化成斜截式方程： (1) P 1 ( 2,1)、P 2 (0, 3); ( 2) A(0,5)、B (5,0); (3)C ( 4,5)、D (0,0).
直线与圆练习试题及答案
直线与圆练习第Ⅰ卷 (选择题 共40分)一、选择题(10³4′＝40′)1.直线l 与直线y =1、x-y -7=0分别交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点为(1,-1)，则直线l 的斜率为( ) A.23 B.32 C.-32 D.-23 2.点P 在直线2x +y +10=0上，P A 、PB 与圆422=+y x 分别相切于A 、B 两点，则四边形P AOB 面积的最小值为 ( )A.24B.16C.8D.43.已知直线1l ：y =x ,2l ：ax -y =0，其中a 为实数，当这两直线的夹角θ∈(0,12π)时，a 的取值范围为 ( )A.(0，1)B.(33,3)C.(33,1)∪(1,3)D.(1,3) 4.设a 、b 、k 、p 分别表示同一直线的横截距、纵截距、斜率和原点到直线的距离，则有( )A.)1(2222k p k a +=B.k =ab C.b a 11+=p D.a =-kb 5.已知直线x +3y -7=0，kx-y -2=0和x 轴、y 轴围成四边形有外接圆，则实数k 等于 ( )A.-3B.3C.-6D.66.若圆222r y x =+(r >0)上恰有相异两点到直线4x -3y +25=0的距离等于1，则r 的取值范围是( )A.［4，6］B.[4,6）C.（4,6]D.(4，6)7.直线1l :0=++c by ax ,2l :0=++p ny mx ,则bnam =-1是1l ⊥2l 的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8.过圆422=+y x 外一点P(4，-1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为 ( )A.4x -y -4=0B.4x +y -4=0C.4x +y +4=0D.4x -y +4=09.倾斜角为60°，且过原点的直线被圆222)()(r b y a x =-+-(r >0)截得弦长恰好等于圆的半径，则a 、b 、r 满足的条件是 ( ) A.)3(|3|3a b b a r ≠-= B.)3(|3|23a b b a r ≠-= C.)3(|3|3a b b a r ≠+= D.)3(|3|23a b b a r ≠-=10.直线y =kx +1与圆0922=--++y kx y x 的两个交点关于y 轴对称，则k 为 ( )。
2021年高中数学一轮复习·直线：第1节 直线的倾斜角与斜率
的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k
表示，即
，倾斜角是 90°的直线没有斜率．当直线与 x 轴平行或重合时,
,
. ②过两点的直线的斜率公式．经过两点
的直线的斜率公式
为
.
3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为 90°的直线斜 率不存在． 4.直线的倾斜角 、斜率 k 之间的大小变化关系：
倾斜角的取值范围时，常借助正切函数 y＝tan x 在[0，π)上的单调性求解，这里特别要注意，
正切函数在[0，π)上并不是单调的；(2)过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率范围
时，应注意倾斜角为π时，直线无斜率． 2
【变式探究】 (1)直线 xsin α－y＋1＝0 的倾斜角的变化范围是( )
【基础知识】
第 1 节 直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
①定义．当直线 l 与 x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准，x 轴的正方向与直线 l 向上的方向
之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角．当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0°.
②范围：倾斜角 的范围为
．
2．直线的斜率
①定义．一条直线的倾斜角
0，π A. 2 B．(0，π)
ππ －，
π 0，
3π，π
C. 4 4 D. 4 ∪ 4
(2)已知线段 PQ 两端点的坐标分别为 P(－1，1)和 Q(2，2)，若直线 l：x＋my＋m＝0 与
线段 PQ 有交点，则实数 m 的取值范围是________．
【针对训练】 1、经过两点 A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为 ，则 y＝( )
【典例讲解】 【例 1】 (1)设直线 l 的方程为 x＋ycos θ＋3＝0(θ∈R)，则直线 l 的倾斜角α的范围 是( )
2021_2022年高中数学第三章直线与方程3
直线的交点坐标与距离公式一、选择题1．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (2,6)，B (－4,3)，C (2，－3)，则点A 到BC 边的距离为( )A ．92B ．922C ．255D ．4 3[答案] B[解析] BC 边所在直线的方程为y －3－3－3＝x ＋42＋4，即x ＋y ＋1＝0；则d ＝|2×1＋6×1＋1|2＝922.2．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为( ) A ．4 B ．21313 C ．52613 D ．72010 [答案] D[解析] 3x ＋y －3＝0变形为6x ＋2y －6＝0，可知m ＝2，则d ＝|1－－6|62＋22＝71020. 3．若点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为( ) A ．79 B ．－13C ．－79或－13D ．79或13[答案] C[解析] 由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－79. 4．若点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 的坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2)[答案] C[解析] 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x 0＋y 0－5＝0|x 0－y 0－1|2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2y 0＝－1.5．与直线2x ＋y ＋1＝0的距离为55的直线方程为( ) A ．2x ＋y ＝0B ．2x ＋y －2＝0C ．2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0D ．2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0[答案] D[解析] 根据题意可设所求直线方程为2x ＋y ＋C ＝0(C ≠1)，因为两直线间的距离等于55，所以|C －1|22＋12＝55，解得C ＝0或C ＝2，所以所求直线方程为2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0.故选D ．6．(2013·广东改编)直线l 垂直于直线y ＝x ＋1，原点O 到l 的距离为1，且l 与y 轴正半轴有交点，则直线l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0[答案] A[分析] 所求直线l 与直线y ＝x ＋1垂直，可以直接设直线l 的方程为y ＝－x ＋b ，与y 轴正半轴有交点，确定截距范围，再利用原点到直线的距离等于1求参数，得直线方程．[解析] 因为直线l 与直线y ＝x ＋1垂直，所以直接设直线l 的方程为y ＝－x ＋b ，又l 与y 轴正半轴有交点，知b >0，即x ＋y －b ＝0(b >0)的距离|0＋0－b |12＋12＝1，求得b ＝2(b ＝－2舍去)，所以所求直线l 的方程为x ＋y －2＝0.二、填空题7．两条直线l 1：3x ＋4y ＋1＝0和l 2：5x ＋12y －1＝0相交，则其顶点的角平分线所在直线的方程为_________.[答案] 7x －4y ＋9＝0,8x ＋14y ＋1＝0[解析] 设P (x ，y )是所求直线上的任意一点，则点P 到l 1，l 2的距离相等，即|3x ＋4y ＋1|32＋42＝|5x ＋12y －1|52＋122，整理，得所求直线的方程为7x －4y ＋9＝0,8x ＋14y ＋1＝0. 8．过点A (－3,1)的所有直线中，与原点距离最远的直线方程是_________.[答案] 3x －y ＋10＝0[解析] 当原点与点A 的连线与过点A 的直线垂直时，距离最大．∵k OA ＝－13，∴所求直线的方程为y －1＝3(x ＋3)，即3x －y ＋10＝0.三、解答题9．已知正方形的中心为直线2x －y ＋2＝0和x ＋y ＋1＝0的交点，其一边所在直线的方程为x ＋3y －5＝0，求其它三边的方程．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x ＋y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，即该正方形的中心为(－1,0)．所求正方形相邻两边方程3x －y ＋p ＝0和x ＋3y ＋q ＝0. ∵中心(－1,0)到四边距离相等， ∴|－3＋p |10＝610，|－1＋q |10＝610， 解得p 1＝－3，p 2＝9和q 1＝－5，q 2＝7，∴所求方程为3x －y －3＝0,3x －y ＋9＝0，x ＋3y ＋7＝0.10．求经过点P (1,2)的直线，且使A (2,3)，B (0，－5)到它的距离相等的直线方程． [分析] 解答本题可先设出过点P 的点斜式方程，注意斜率不存在的情况，要分情况讨论，然后再利用已知条件求出斜率，进而写出直线方程．另外，本题也可利用平面几何知识，先判断直线l 与直线AB 的位置关系，再求l 方程．事实上，l ∥AB 或l 过AB 中点时，都满足题目的要求．[解析] 方法1：当直线斜率不存在时，即x ＝1，显然符合题意，当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，即直线方程为y －2＝k (x －1)，由条件得|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|5－k ＋2|k 2＋1，解得k ＝4， 故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0.方法2：由平面几何知识知l ∥AB 或l 过AB 中点． ∵k AB ＝4，若l ∥AB ，则l 的方程为4x －y －2＝0. 若l 过AB 中点(1，－1)，则直线方程为x ＝1， ∴所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0.规律总结：针对这个类型的题目常用的方法是待定系数法，即先根据题意设出所求方程，然后求出方程中有关的参量．有时也可利用平面几何知识先判断直线l 的特征，然后由已知直接求出直线l 的方程．能力提升一、选择题1．P ，Q 分别为3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋6＝0上任一点，则|PQ |的最小值为( ) A ．95 B ．185C ．3D ．6[答案] C[解析] |PQ |的最小值是这两条平行线间的距离．在直线3x ＋4y －12＝0上取点(4,0)，然后利用点到直线的距离公式得|PQ |的最小值为3.2．过两直线x －3y ＋1＝0和3x ＋y －3＝0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条 [答案] B[解析] 联立方程组⎩⎨⎧x －3y ＋1＝0，3x ＋y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32，即交点坐标为(12，32)，它到原点的距离恰好等于1，故满足条件的直线共有1条． 3．到两条直线l 1：3x －4y ＋5＝0与l 2：5x －12y ＋13＝0的距离相等的点P (x ，y )必定满足方程( )A ．x －4y ＋4＝0B ．7x ＋4y ＝0C ．x －4y ＋4＝0或4x －8y ＋9＝0D ．7x ＋4y ＝0或32x －56y ＋65＝0 [答案] D[解析] 结合图形可知，这样的直线应该有两条，恰好是两条相交直线所成角的平分线．由公式可得|3x －4y ＋5|32＋－42＝|5x －12y ＋13|52＋－122，即3x －4y ＋55＝±5x －12y ＋1313，化简得7x ＋4y ＝0或32x －56y ＋65＝0.4．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( ) A ．8 B ．2 2 C ． 2 D ．16[答案] A[解析] x 2＋y 2表示直线上的点P (x ，y )到原点距离的平方，∵原点到直线x ＋y －4＝0的距离为|－4|2＝22，∴x 2＋y 2最小值为8.故选A ． 二、填空题5．已知点A (1,1)，B (2,2)，点P 在直线y ＝12x 上，则当|PA |2＋|PB |2取得最小值时点P 的坐标为_________.[答案] (95，910)[解析] 设P (2t ，t )，则|PA |2＋|PB |2＝(2t －1)2＋(t －1)2＋(2t －2)2＋(t －2)2＝10t2－18t ＋10＝10(t 2－95t ＋1)＝10(t －910)2＋1910，当t ＝910时，|PA |2＋|PB 2|取得最小值，即P (95，910)． 6．已知平面上一点M (5,0)，若直线上存在点P 使|PM |＝4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线是“切割型直线”的是_________.[答案] ②③[解析] 根据题意，看所给直线上的点到定点M 的距离能否取4.可通过求各直线上的点到M 的最小距离，即点M 到直线的距离来分析．①d ＝5＋12＝32＞4，故直线上不存在点到M 距离等于4，不是“切割型直线”；②d ＝2＜4，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M 的距离等于4，是“切割型直线”；③d ＝2032＋42＝4，直线上存在一点，使之到点M 距离等于4，是“切割型直线”；④d ＝115＝1155＞4，故直线上不存在到M 距离等于4的点，不是“切割型直线”，故填②③.三、解答题7．过点(2,3)的直线l 被两平行直线l 1：2x －5y ＋9＝0与l 2：2x －5y －7＝0所截线段AB 的中点恰在直线x －4y －1＝0上，求直线l 的方程．[解析] 设线段AB 的中点P 的坐标为(a ，b )，由点P 到直线l 1，l 2的距离相等，得|2a －5b ＋9|22＋－52＝|2a －5b －7|22＋－52，整理得2a －5b ＋1＝0.又点P 在直线x －4y －1＝0上，所以a －4b －1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2a －5b ＋1＝0a －4b －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝－1，即点P 的坐标为(－3，－1)．又直线l 过点(2,3)，所以直线l 的方程为y －－13－－1＝x －－32－－3，即4x －5y ＋7＝0.8．在△ABC 中，A (3,2)，B (－1,5)，点C 在直线3x －y ＋3＝0上，若△ABC 的面积为10，求点C 的坐标．[解析] 由题知|AB |＝3＋12＋2－52＝5，∵S △ABC ＝12|AB |·h ＝10，∴h ＝4.设点C 的坐标为(x 0，y 0)，而AB 的方程为y －2＝－34(x －3)，即3x ＋4y －17＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧3x 0－y 0＋3＝0，|3x 0＋4y 0－17|5＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝53，y 0＝8.∴点C 的坐标为(－1,0)或(53，8)．。
第1讲 直线的方程
2．直线方程的五种形式 名称 点斜式 方程 适用范围 不含垂直于 x 轴的直线 不含垂直于 x 轴的直线 不含直线 x＝x1 (x1≠x2)和直线 y＝y1 (y1≠y2) 不含垂直于坐标 轴和过原点的直 线 平面直角坐标系 内的直线都适用
y－y0＝k(x－x0)
斜截式
y＝kx＋b
y－y1 x－x1 ＝ y2－y1 x2－x1
π 上的图象，理解直线 ，π 2
π 0， ∪ 2
1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义：当直线 l 与 x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准，x 轴 正向与直线 l 向上 方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾 斜角． 当直线 l 与 x 轴平行或重合时， 规定它的倾斜角为 0° . ，180° )． ②倾斜角的范围为[0° (2)直线的斜率 ①定义：一条直线的倾斜角 α 的 正切值 叫做这条直线的斜率， 斜率常用小写字母 k 表示，即 k＝ tan α ，倾斜角是 90° 的直 线斜率不存在． ②过两点的直线的斜率公式 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2) 的直线的斜率公式为 k＝ y2－y1 .
4．线段的中点坐标公式 若点 P1、P2 的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，且线段 P1P2 的中 点 M 的坐标为(x，
x1 x2 x＝__________ 2 y1 y 2 ，此公式为线段 P1P2 的中点坐标公式． y)，则 2 y＝__________
方法技巧
无意义，因此讨论倾斜角与斜率的关系时，可结合正切函数的图
π π 象将其分为0，2与2，π两部分进行讨论．
2．求直线方程时要注意判断斜率是否存在，还要注意斜率为 0，直线过原点等特殊情形．
直线与直线方程经典例题
必修2 第二章 解析几何初步第一节：直线与直线方程（王建明）一、直线的倾斜角和斜率（1）倾斜角定义：平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把__x 轴(正方向)_按__逆时针__方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角。
（0°≤α<180°）（2）斜率k=tan α=1212x x y y -- （0°≤α＜180°），当α=90时，k 不存在。
（两种求法，注意21x x =的情况）（3）函数y=tanx 在)90,0[0增加的，在)180,90(00也是增加的。
例1：过点M （-2，m ）,N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为 。
例2：过两点A （m 2+2,m 2-3）,B （3-m-m 2,2m ）的直线l 的倾斜角为45°求m 的值。
例3：已知直线l 经过点P （1,1），且与线段MN 相交，又M （2，-3），N （-3，-2），求直线l 的斜率k 的取值范围。
例4：已知a ＞0,若平面内三点A （1，—a ），B （2，a 2）,C(3,a 3)共线，则a 值为 。
练习：1经过点P (2，m )和Q (2m ，5)的直线的斜率等于12，则m 的值是( B ) A ．4 B ．3 C ．1或3 D ．1或4变：的取值范围的斜率的直线求经过点 )1,cos (),sin ,2( k l B A θθ--2. 已知直线l 过P(－1，2)，且与以A(－2，－3)、B(3，0)为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围．点评：要用运动的观点，研究斜率与倾斜角之间的关系！答案： ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[5，＋∞)3.已知坐标平面内三点A (－1，1)，B (1，1)，C (2，3＋1)，若D 为△ABC 的边AB 上一动点，求直线CD 斜率k 的变化范围．答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[5，＋∞) 二、两直线的平行与垂直1.平行的判定：2. 垂直的判定：例（1）l 1 经过点M （-1，0）, N (-5,-2)，l 2经过点R （-4,3），S （0,5），l 1与l 2是否平行？（2）l 1 经过点A （m ，1）, B (-3,4), ）l 2 经过点C （1，m ）, D (-1, m+1),确定m 的值，使l 1//l 2。
直线方程的垂直线方程
直线方程的垂直线方程直线是平面上的一种基本几何元素，它在数学和物理中都有广泛的应用。
在平面几何中，直线可以由其斜率和截距表达。
然而，有时我们需要寻找与给定直线垂直的直线。
本文将介绍如何根据已知直线的斜率，推导垂直线的方程。
垂直线的定义在平面几何中，如果两条直线的斜率的乘积为-1，则它们是相互垂直的。
换句话说，如果直线L1的斜率为m1，那么垂直于直线L1的直线L2的斜率为-1/m1。
垂直线与原直线相交成直角。
寻找直线的垂直线方程已知直线L的斜率为m，我们要找到与直线L垂直的直线L’的方程。
为了方便起见，我们先将已知直线L的方程表示为一般形式：y = mx + b。
根据垂直线的定义，直线L’与直线L的斜率乘积为-1。
假设直线L’的斜率为m’，我们有以下等式：m * m’ = -1解这个方程可以得到直线L’的斜率m’为：m’ = -1/m现在我们有了直线L’的斜率m’，我们可以使用已知直线L过点(x0, y0)的事实来确定直线L’的截距b’。
将直线L’的斜率m’和过点(x0, y0)这两个参数代入直线的一般方程y = mx + b中，我们可以得到直线L’的方程为：y = m’x + b’因此，我们得到了与已知直线L垂直的直线L’的方程。
示例让我们通过一个示例来说明如何找到与已知直线垂直的直线的方程。
假设我们有一条直线L，其方程为y = 2x + 3。
我们想要找到与直线L垂直的直线L’的方程。
根据上述步骤，我们首先确定已知直线L的斜率m为2。
然后，根据斜率的乘积为-1的条件，我们可以计算出垂直线L’的斜率m’为-1/2。
接下来，我们将斜率m’和已知直线L过的某个点代入直线的一般方程。
为了方便计算，我们选择直线L过点(0, 1)。
将这些值代入方程y = m’x + b’中，我们得到b’ = 1。
因此，与已知直线L: y = 2x + 3 垂直的直线L’的方程为：y = (-1/2)x + 1。
总结本文介绍了如何确定与给定直线垂直的直线方程。
直线的几种表达形式
直线的几种表达形式直线是平面几何中最基本的图形之一，我们常常需要用不同的方式来表达直线的性质和特点。
本文将介绍直线的几种常见表达形式，帮助读者更好地理解和应用直线的相关概念。
1. 两点式表达直线的两点式表达是最常见和直观的表达方式之一。
两点式表达通过给出直线上的两个点的坐标来唯一确定一条直线。
其中，直线上的两个点分别称为直线的首点和末点。
例如，我们可以表示一条直线L通过两个点A(2, 3)和B(5, 7)的两点式表达为：L：[(2, 3), (5, 7)]。
这意味着直线L上的所有点都满足直线上点的坐标满足点到直线两个端点的距离与线段的长度成比例的关系。
2. 斜截式表达斜截式是另一种常用的直线表达形式，它将直线的性质与直线在坐标系中的截距联系起来。
斜截式表达形式为y = mx + c，其中m为直线的斜率，c为直线与y轴的截距。
例如，我们可以表示一条斜率为2，截距为3的直线L的斜截式表达为：L：y = 2x + 3。
这表示直线L上的每个点都满足y坐标等于2倍的x坐标加上3。
斜截式表达形式可以直接通过直线与坐标轴的交点确定直线的截距，通过斜率可以推导直线的斜率与直线在坐标系中的夹角。
3. 一般式表达一般式是直线的另一种常见表达形式，也被称为标准型。
一般式表达形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A、B至少有一个不为零。
例如，我们可以表示一条过点(3, 4)和(1, 2)的直线L的一般式表达为：L：2x -y + 2 = 0。
这表示直线L上的每个点都满足2倍的x坐标减去y坐标再加上2等于0。
一般式表达形式可以通过将斜截式表达式整理并与0相等得到。
它能够用于表示任意方向的直线，对于可以写成斜截式的直线，一般式表达形式与斜截式相等。
4. 参数方程表达参数方程是一种特殊的直线表达形式，通过使用一个或多个参数来描述直线上的点。
参数方程表达形式为x = x₀ + at，y = y₀ + bt，其中x₀、y₀为直线上的一个已知点的坐标，a、b为直线的方向向量的两个分量，t为参数。
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1、直线L与直线y=2x+1的交点的横坐标为2，与直线y=-x+2的纵坐标为1。
求直线L的直线解析式。
2、如图所示已知两直线y=0.5x+2.5和y=-x+1分别与x轴交于A、B两点，这两直线的交点为P
（1）求点P的坐标
（2）求△PAB的面积
3、如图，直线L1的解析式为y=-3x+3，且L1与x轴交于点D；直线L2经过点A、B，直线L1与L2交于点C。
（1）求点D的坐标
（2）求直线L2的解析式
（3）求△ADC的面积
4、如图，直线y=kx-6经过点A（4，0），直线y=-3x+3与x轴交于点B，且两直线交于点C.
（1）求k的值；
（2）求△ABC的面积.
5、直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，-2）. （1）求直线AB的解析式；
（2）若直线AB上一点C在第一象限，且2
S，求点C坐标.
=
∆BOC
6、周末,小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地,游玩一段时间后按原速前往乙地.小明离家1小时20分钟后,妈妈驾车沿相同路线前往乙地,如图是他们离家的路程y （km ）与小明离家时间x （h ）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．
（1）求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；
（2）小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？
（3）若妈妈比小明早10分钟到达乙地,求从家到乙地的路程.
7、甲、乙两人同时从相距90千米的A 地前往B 地，甲乘汽车，乙骑摩托车，甲到达B 地停留半个小时后返回A 地，如图是他们离A 地的距离y （千米）与x （时间）之间
的函数关系图像
（1）求甲从B 地返回A 地的过程中，
y 与x 之间的函数关系式，
并写出自变量x 的取值范围；
（2）若乙出发后2小时和甲相遇，求
乙从A 地到B 地用了多长时间？
)
8、某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨1.9元收费：每户每月如果超过20吨，未超过的部分按每吨1.9元收费，超过的部分则按每吨2.8元收费，设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元。
（1）分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨时，y与x间的函数关系式：
（2）若该城市某户5月份水费平均为每吨2.2元，求该户5月份用水多少吨？
9、为鼓励居民节约用水，某市决定对居民用水收费实行“阶梯价”，即当每月用水量不超过15吨时，采用基本价收费；当没有用水量超过15吨时，超过部分每吨采用市场价搜费，小兰家四、五月份的用水量及收费情况如下表：
（1）求该市每吨水的基本价和市场价.（4分）
（2）设每月用水量为n吨，应缴税费为m元，请写出m与n之间的函数关系式.（4分）
（3）小兰家6月份的用水量为26吨，则她家要交水费多少元？（2分）
10、现从A，B向甲、乙两地运送蔬菜，A，B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B地到甲运费60元/吨，到乙地45元/吨．
（1）设A地到甲地运送蔬菜x吨，请完成下表：
（2）设总运费为W元，请写出W与x的函数关系式．
（3）怎样调运蔬菜才能使运费最少？
11、某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑。
经投标，购买1块电子白板比买3台笔记本电脑多3000元，购买4块电子白板和5台笔记本电脑共需8万元。
（1）求购买1块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元？
（2）根据该校实际情况，需购买电子白板和笔记本电脑的总数为396，要求购买的资金不超过2700000元，并且购买笔记本电脑的台数不超过电子白板数量的3倍。
该校有哪几种购买方案？
（3）上面的哪种购买方案最省钱？按最省钱方案购买需要多少钱？。