积分学三大定理的另证及其注记
积分重要知识点总结
应用场景
03
适用于已知原函数且积分区间为有限区间的定积分计
算。
间接积分法
定义
间接积分法是通过将被积函数进行适当的变形，将其转化为易于 计算的积分形式，从而求出定积分的值。
公式
$int f(x) dx = F(x) + C$，其中$F(x)$是$f(x)$的原函数，$C$ 是常数。
应用场景
适用于被积函数较为复杂或不易找到原函数的定积分计算。
间接积分法
定义
间接积分法是通过将被积函数进行适当的变形，将其转化为易于 计算的积分形式，从而求出定积分的值。
公式
$int f(x) dx = F(x) + C$，其中$F(x)$是$f(x)$的原函数，$C$ 是常数。
应用场景
适用于被积函数较为复杂或不易找到原函数的定积分计算。
数值积分法
定义
数值积分法是一种通过选取适当的积分点和权函数，将定积分近似 为有限项和，从而得到定积分的近似值的计算方法。
微积分基本定理
总结词
微积分基本定理是积分学中的重要定理，它建立了函数与其 导数之间的关系，为微分和积分之间的联系提供了桥梁。
详细描述
微积分基本定理表述为，如果函数f(x)在区间[a, b]上可导，那 么对于任意x∈[a, b]，有∫xaf'(x)dx=f(x)|xa。这个定理表明， 函数的积分与其导数之间存在密切关系，是微分学和积分学之 间的桥梁。
$f(x)$的原函数。
应用场景
03
适用于已知原函数且积分区间为有限区间的定积分计
算。
直接积分法
定义
01
直接积分法是通过将被积函数代入积分区间端点处的
函数值，再乘以积分区间的长度来计算定积分的。
三重积分中值定理
三重积分中值定理1. 引言三重积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它是二重积分中值定理的推广。
通过三重积分中值定理，我们可以得到在三维空间中某一点的函数值等于该点所在区域的平均值乘以该区域的体积。
在本文中，我们将介绍三重积分的基本概念，推导三重积分的中值定理，并通过例题来说明其应用。
2. 三重积分的基本概念2.1 三重积分的定义三重积分是对三维空间内某一区域中的函数进行积分运算的过程。
对于函数f(x,y,z)在某一区域D上的三重积分可以表示为：∭fD(x,y,z)dV其中dV表示空间微元体积。
2.2 三重积分的计算方法三重积分的计算可以通过分割区域D，将其分割成许多小的体积元素，然后对每个体积元素上的函数值进行积分，最后将所有小的体积元素的积分结果相加。
三重积分的计算方法有两种常用的方式：直角坐标系下的三重积分和柱面坐标系下的三重积分。
在直角坐标系下，三重积分可以表示为：∭fD (x,y,z)dV=∫∫∫fqpdcba(x,y,z)dzdydx其中D的投影在xy平面上的范围为[a,b]×[c,d]，z的范围为[p,q]。
在柱面坐标系下，三重积分可以表示为：∭fD (x,y,z)dV=∫∫∫fz2(r,θ)z1(r,θ)r2(θ)r1(θ)βα(rcosθ,rsinθ,z)rdzdrdθ其中D的投影在xy平面上的范围为[α,β]，r的范围为[r1(θ),r2(θ)]，z的范围为[z1(r,θ),z2(r,θ)]。
2.3 三重积分的几何意义三重积分的几何意义可以理解为对函数在三维空间内的某一区域的体积进行加权求和。
每个小的体积元素的函数值乘以该体积元素的体积，再将所有小的体积元素的结果相加，就得到了三重积分的值。
3. 三重积分中值定理的推导3.1 二重积分中值定理的回顾在推导三重积分中值定理之前，我们先回顾一下二重积分中值定理的内容。
对于函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，存在一点(ξ,η)，使得：∬f D (x,y)dσ=f(ξ,η)∬dDσ其中dσ表示面积元素。
03积分学知识点总结
1.不定积分
不定积分的表达式
不定积分的性质
基本积分公式表
常用的换元积分公式（凑微分）
分部积分法
当被积函数为两种不同类型函数乘积时一般经验:按“反,对,幂,指,三”的顺序排前者取为u
2.定积分
定积分的几何意义
定积分存在的充分条件
积分中值定理
变上限积分函数
牛顿-莱布尼茨公式
定积分的计算
定积分的换元法公式
定积分的分部积分法
两个常用结论
定积分的应用
X型区域
直角坐标
Y型区域平面图形的面积
极坐标
旋转体的体积
平面曲线的弧长：
3.广义积分
2个重要结论
4.二重积分
存在的充分条件
几何意义
二重积分中值定理
二重积分计算方法直角坐标法
极坐标法：
二重积分的重要结论
二重积分的应用
5.三重积分计算方法
6.曲线积分
对弧长的曲线积分
计算：
对坐标的曲线积分
计算：。
高等数学积分知识点总结
高等数学积分知识点总结高等数学积分知识点总结漫长的学习生涯中，很多人都经常追着老师们要知识点吧，知识点在教育实践中，是指对某一个知识的泛称。
相信很多人都在为知识点发愁，下面是店铺整理的高等数学积分知识点总结，仅供参考，希望能够帮助到大家。
高等数学积分知识点总结1一、不定积分计算方法1. 凑微分法2. 裂项法3. 变量代换法1) 三角代换2) 根幂代换3) 倒代换4. 配方后积分5. 有理化6. 和差化积法7. 分部积分法（反、对、幂、指、三）8. 降幂法二、定积分的计算方法1. 利用函数奇偶性2. 利用函数周期性3.参考不定积分计算方法三、定积分与极限1. 积和式极限2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限3. 洛必达法则4. 等价无穷小四、定积分的估值及其不等式的应用1. 不计算积分，比较积分值的大小1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有f(x)>=g(x),则 >=()dx2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a)b) 当0<x<兀 2时，2="" 兀<<1<="" p="">2. 估计具体函数定积分的值积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则M(b-a)<= <=M(b-a)3. 具体函数的定积分不等式证法1) 积分估值定理2) 放缩法3) 柯西积分不等式≤ %4. 抽象函数的定积分不等式的证法1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性2) 积分中值定理3) 常数变易法4) 利用泰勒公式展开法五、变限积分的导数方法高等数学积分知识点总结2A．Function函数（1）函数的定义和性质（定义域值域、单调性、奇偶性和周期性等）（2）幂函数（一次函数、二次函数，多项式函数和有理函数）（3）指数和对数（指数和对数的公式运算以及函数性质）（4）三角函数和反三角函数（运算公式和函数性质）（5）复合函数，反函数*（6）参数函数，极坐标函数，分段函数（7）函数图像平移和变换B．Limit and Continuity极限和连续（1）极限的定义和左右极限（2）极限的运算法则和有理函数求极限（3）两个重要的极限（4）极限的应用-求渐近线（5）连续的定义（6）三类不连续点（移点、跳点和无穷点）（7）最值定理、介值定理和零值定理C．Derivative导数（1）导数的定义、几何意义和单侧导数（2）极限、连续和可导的关系（3）导数的求导法则（共21个）（4）复合函数求导（5）高阶导数（6）隐函数求导数和高阶导数（7）反函数求导数*（8）参数函数求导数和极坐标求导数D．Application of Derivative导数的应用（1）微分中值定理（D-MVT）（2）几何应用-切线和法线和相对变化率（3）物理应用-求速度和加速度（一维和二维运动）（4）求极值、最值，函数的增减性和凹凸性*（5）洛比达法则求极限（6）微分和线性估计，四种估计求近似值（7）欧拉法则求近似值E．Indefinite Integral不定积分（1）不定积分和导数的关系（2）不定积分的公式（18个）（3）U换元法求不定积分*（4）分部积分法求不定积分*（5）待定系数法求不定积分F．Definite Integral 定积分（1）Riemann Sum（左、右、中和梯形）和定积分的定义和几何意义（2）牛顿-莱布尼茨公式和定积分的.性质*（3）Accumulation function求导数*（4）反常函数求积分H．Application of Integral定积分的应用（1）积分中值定理（I-MVT）（2）定积分求面积、极坐标求面积（3）定积分求体积，横截面体积（4）求弧长（5）定积分的物理应用I．Differential Equation微分方程（1）可分离变量的微分方程和逻辑斯特微分方程（2）斜率场*J．Infinite Series无穷级数（1）无穷级数的定义和数列的级数（2）三个审敛法-比值、积分、比较审敛法（3）四种级数-调和级数、几何级数、P级数和交错级数（4）函数的级数-幂级数（收敛半径）、泰勒级数和麦克劳林级数（5）级数的运算和拉格朗日余项、拉格朗日误差注意：（1）问答题主要考察知识点的综合运用，一般每道问答题都有3-4问，可能同时涵盖导数、积分或者微分方程的内容，解出的答案一般都是保留3位小数。
6.2微积分基本定理
x
则依洛必达法则有： x
x →0
∫0 f (t )dt = 0 x →0
x
x
∫0 f (t )( x − t )dt = lim ( x ∫0 f (t )dt )′ − (∫0 f (t )tdt )′ lim
x2
x →0
x
2x
∫0 f (t )dt = 1 lim = lim
x →0
x
2x
1 f ( x) = f (0) 2 x →0 2
a x
（2）证明：仅证在(a,b)内连续，端点处的单侧连续类似可证。
对∀x0 ∈ (a, b), 取∆x ≠ 0且x0 + ∆x ∈ (a, b), 则有
F ( x0 + ∆x) − F ( x0 ) = ∫
x0 + ∆x a
f (t )dt − ∫
x0
a
f (t )dt = ∫
x0 + ∆x
x0
f (t )dt
a
x
′ x f (t )dt = f ( x), x ∈ [a, b] 连续可导, 且F ′( x) = ∫ a
【6-2-3】
（2）证明：同样仅证在(a,b)内的可导性，端点处的单侧可导 类似可证。
对∀x0 ∈ (a, b), 取∆x ≠ 0且x0 + ∆x ∈ (a, b), 则有
F ( x0 + ∆x) − F ( x0 ) 1 x0 + ∆x = ∫x0 f (t )dt ∆x ∆x
由积分中值定理知：
x0 + ∆x
ห้องสมุดไป่ตู้
∃ξ在x0 + ∆x与x0之间, 使得∫
x0
f (t )dt = f (ξ )∆x
积分公式应用注记
第19卷 第4期1998上海冶金高等专科学校学报J ournal of Shan ghai College of Metallu rgyVo l.19,No.41998积分公式应用注记庄海根(上海冶金高等专科学校公共课部 上海 200233)定积分起源于求平面图形的面积,空间立体的体积,曲线段的长度,物体的重心等几何和物理问题。
古希腊人早就开始了求面积和体积的工作,但他们所求的不过是一些简单的问题,并且在每一个这样的问题中都需要运用相多复杂和独特的技巧,缺乏一种统一的数学方法,直到17世纪牛顿)莱布尼兹建立了微积分之后,才给出了一个统一的方法,并把求面积,体积、长度这一类问题和求原函数联系起来。
但出现在牛顿)莱布尼兹的著作中或手稿中的微积分,其表述却不那么严格,经过200年之后,才由黎曼用严格的形式给出了定积分的概念,而现在一般工科高等数学教科书都是以黎曼形式给出定积分的。
定积分的基本公式的创立使微分与积分从概念和计算上同时联系起来,是使微积分学理论形式为体系的一个重要标志,此公式的理论意义和实用价值是不待言的。
一般说来,这个公式容易理解,应用起来也很方便,但是,若不把有些概念搞清楚,应用时也可能会出现错误。
为此,本文谈谈关于定积分公式中条件的理解和应用时应注意的问题。
1 公式的条件及应用定积分基本公式明确提出公式成立的条件有以下两条。
1)f (x )在[a,b ]上连续。
2)F(x )是f (x )在[a ,b]上的任一原函数,即P x I [a,b]有F c (x )=f (x )。
我们知道,定理的结论是由该定理的条件推导出来的,初接触公式的人们自然会产生两个疑问:其一:f (x )的原函数是否存在?其二:如何求f (x )的原函数?其实,在条件1之下,前者答案是肯定的,例如 (x )=Q x af (t )d t 就是f (x )的一个原函数,因此条件1的必要性就在于保证条件2中F (x )的存在性,至于后者则可通过求不定积分得到。
积分的基本公式和法则
积分的基本公式和法则积分公式是普遍用于积分问题的公式方法，有许多同学想了解积分常用公式有哪些?下面是由小编为大家整理的“积分的基本公式和法则”，仅供参考，欢迎大家阅读。
积分的基本公式和法则设是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C(C为任意常数)叫做函数f(x)的不定积分，记作，即∫f(x)dx=F(x)+C。
其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。
积分的运算法则积分的运算法则，别称积分的性质。
积分是线性的。
如果一个函数f可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。
如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。
通常意义：积分都满足一些基本的性质。
以下的I在黎曼积分意义上表示一个区间，在勒贝格积分意义下表示一个可测集合。
线性：积分是线性的。
如果一个函数f可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。
如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。
保号性：如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。
那么它在这个区间上的积分也大于等于零。
如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。
作为推论，如果两个I上的可积函数f和g相比，f(几乎)总是小于等于g，那么f 的(勒贝格)积分也小于等于g的(勒贝格)积分。
如果黎曼可积的非负函数f在I上的积分等于0，那么除了有限个点以外，f=0。
如果勒贝格可积的非负函数f在I上的积分等于0，那么f几乎处处为0。
如果F中元素A的测度μ(A)等于0，那么任何可积函数在A上的积分等于0。
函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。
对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。
对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。
如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。
核心笔记积分知识点总结
核心笔记积分知识点总结积分是微积分的一个重要概念，是对函数的一种特定运算，它在数学中有着极其重要的地位。
在研究微积分过程的知识时，积分是一个非常关键的知识点。
本文将对积分的基本概念、性质与定理、常见积分表、常见积分方法等知识点进行详细总结。
一、基本概念1. 定积分：用极限的思想来定义定积分2. 不定积分：利用定积分的基本性质，可以得到不定积分的定义3. 定积分的几何意义：用定积分的概念解释曲线下面积4. 不定积分的基本性质：不定积分的线性性、常数乘积法则和分步积分法则二、积分的性质与定理1. 积分的基本定理：积分和微分的关系2. 积分的换元积分法：变量代换在积分中的应用3. 积分的分部积分法：多次使用积分的分部积分法4. 定积分性质：定积分的基本性质，如可加性、保号性、保序性等5. 积分的估值法：用积分估值法求不等式的值三、常见积分表1. 常数函数积分表2. 幂函数积分表3. 指数函数积分表4. 三角函数积分表5. 反三角函数积分表6. 对数函数积分表四、常见积分方法1. 利用换元积分法计算积分2. 利用分部积分法计算积分3. 利用倒代换积分法计算积分4. 利用分式分解积分法计算积分5. 利用换限积分法计算积分五、积分在实际问题中的应用1. 积分在几何学中的应用：计算曲线下面积、曲线的弧长、曲线的旋转体体积2. 积分在物理学中的应用：计算质点的位移、速度、加速度等物理量3. 积分在工程学中的应用：计算物体的质心、转动惯量、容积等六、积分的应用拓展1. 微积分中的应用：积分在微积分中的应用，如面积计算、曲线的弧长计算等2. 泛函分析中的应用：积分在泛函分析中的应用，如函数空间中的积分运算等3. 偏微分方程中的应用：积分在偏微分方程中的应用，如求解偏微分方程的积分形式等综上所述，积分是微积分中的重要概念，它有着广泛的应用，包括在数学、物理、工程等领域中都有着重要的地位。
掌握积分的基本概念、性质与定理、常见积分表、常见积分方法等知识点，对于学习微积分和实际问题的应用都有着重要的意义。
10多元函数积分中的三个公式计算及运用
10多元函数积分中的三个公式计算及运用在高等数学中，多元函数积分是一个重要的概念，它在应用数学、物理学等领域中都有着广泛的应用。
为了更好地理解和应用多元函数积分，李正元考研高数基础讲义中介绍了十个多元函数积分的基本公式，其中有三个是重要且常用的公式，它们分别是重积分的线性性、变量代换公式和极坐标系下的积分公式。
首先是重积分的线性性。
重积分的线性性是指如果f(x,y)和g(x,y)是定义在闭区域D上的可积函数，c1和c2是常数，那么c1f(x,y)+c2g(x,y)也是定义在D上的可积函数，并且有以下成立的公式：∫∫D [c1f(x, y) + c2g(x, y)]dxdy = c1∫∫D f(x, y)dxdy +c2∫∫D g(x, y)dxdy这个公式的运用非常广泛，在对多元函数进行积分时经常会用到。
其次是变量代换公式。
在计算多元函数积分时，有时可以通过进行变量代换来简化计算。
设有从平面区域D到平面区域D'的可导函数变换x=x(u,v),y=y(u,v)，且这个变换是一一对应，那么就有以下变量代换公式：∫∫D' f(x(u, v), y(u, v))，J(u, v)，dudv = ∫∫D f(x,y)dxdy其中J(u,v)是变换的雅可比行列式，即J(u,v)=∂(x,y)/∂(u,v)=∂x/∂u*∂y/∂v-∂x/∂v*∂y/∂u。
这个公式在计算复杂的多元函数积分时非常有用，通过适当的变量代换可以将积分区域转化成更简单的形式，从而简化计算过程。
最后是极坐标系下的积分公式。
当积分区域是一个闭圆盘或圆环时，可以使用极坐标系来进行积分计算。
假设f(r,θ)是定义在圆盘或圆环内的连续函数，那么有以下公式成立：∫∫D f(r, θ)rdrdθ = ∫(θ=a to b) ∫(r=0 to R) f(r,θ)rdrdθ其中D表示积分区域，a和b是角度的取值范围，R是极坐标下的积分区域的半径。
积分公式定理
北京理工大学积分定理公式集锦常用积分公式定理程功2010/12/22定理1.积分存在定理1）[][](),(),.f x a b f x a b 当函数在区间上连续时，称在区间上可积2）[]()[](),,f x a b f x a b 设函数在区间上有界，且只有有限个间断点，则在区间上可积。
.1[()()]()()bbbaaaf xg x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰2性质：（此性质可以推广到有限多个函数求和的情况）。
()2.()()b baakf x dx k f x dx k =⎰⎰性质为常数性质3：()()()b c baaca cb f x dx f x dx f x dx <<=+⎰⎰⎰假设，（定积分对于积分区间具有可加性）性质4: 1bb a adx dx b a ⋅==-⎰⎰性质5：[]()0,(),0()baf x f x dx b a b a ≥≥ <⎰如果在区间上则推论（1）：如果在区间[,]a b 上，()()f x g x ≤则()()()b baaf x dxg x dx a b ≤<⎰⎰推论（2）：()()()bbaaf x dx f x dx a b ≤<⎰⎰性质6：设M 及m 分别是函数()f x 上的最大值与最小值，则()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰3.定积分中值定理如果函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，则在积分区间[],a b 上至少存在一点ξ，使()()()()baf x dx f b a a b ξξ=-≤≤⎰4.积分上限函数函数的性质如果()f x 在[],a b 上连续，则积分上限的函数()()xa x f t dt Φ=⎰在[],ab 上具有导数，且导数为()()()()xa d x f t dt f x a xb dx'Φ==≤≤⎰ 补充：如果()f t 连续，()a x 、()b x 可导，则()()()()b x a x F x f t dt =⎰的导数()F x '为()()()()()()()b x F x f t dt f b x b x f a x a x '''==-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰5．原函数存在定理如果()f x 在[],a b 上连续，则积分上限的函数()()xax f t dt Φ=⎰就是()f x 在[],a b 上的一个原函数。
积分重要知识点总结
积分重要知识点总结积分是微积分中的一个重要概念，是对函数的求和运算。
在数学和物理相关领域中，积分被广泛应用于求解曲线的面积、求解定积分以及计算物理量等问题。
下面是积分的一些重要知识点总结。
1. 定义：积分是求解函数的无穷小面积之和的运算。
对于函数f(x)，从a到b上的积分可以表示为∫[a,b]f(x)dx，其中dx表示无穷小的自变量x的变化量。
积分的结果被称为积分值或面积。
2. 不定积分：不定积分是求解函数原函数的过程，也被称为反导数。
不定积分的符号为∫f(x)dx，表示函数f(x)的原函数。
不定积分可以通过求导的逆过程来求解。
3. 定积分：定积分是将函数在指定区间上的面积进行求解，也被称为区间积分。
定积分的符号为∫[a,b]f(x)dx，表示函数f(x)在[a,b]上的面积。
定积分可以通过求解不定积分再进行区间限制来求解。
4. 基本积分公式：常见的函数的积分可以通过基本积分公式来求解。
例如，∫xdx=x^2/2+C，∫sinxdx=-cosx+C等。
5. 定积分的性质：定积分具有线性性质，即∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]g(x)dx。
此外，定积分还具有可加性、可减性、可乘性等性质，可以帮助我们对于复杂函数进行积分的分解计算。
6. 牛顿—莱布尼兹公式：牛顿—莱布尼兹公式是描述不定积分和定积分之间的关系。
根据该公式，若F(x)是f(x)的一个原函数，则∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a)。
这个公式大大方便了我们对于函数的积分求解。
7. 曲线的面积：积分可以用于求解曲线与坐标轴之间的面积。
对于曲线y=f(x)，从x=a到x=b之间的面积可以表示为∫[a,b]，f(x)，dx。
8.物理应用：积分在物理学中具有广泛的应用。
例如，根据牛顿第二定律，物体的加速度等于力对物体的作用量。
因此，通过对力随时间的积分可以得到物体的速度，再对速度随时间的积分可以得到物体的位移。
三大积分极限定理的等价性证明
三大积分极限定理的等价性证明3大积分极限定理的等价性证明：（一）引入基本概念在几何学中，3大积分极限定理（FLT）是指在连续偏微分方程的解方面，由拉普拉斯，秦九韶和牛顿开发出来的一套理论。
它是不变之路，它将连续偏微分方程的解研究，简化为微分公式研究。
FLT极其抽象，但它也揭示了精确的物理学运动规律。
3大积分极限定理有着深刻的内在逻辑性和系统性，支持了FLT理论的等价性证明。
本文将说明3大积分极限定理的等价性证明，包括：1. 拉普拉斯定理2. 秦九韶定理3. 牛顿定理（二）拉普拉斯定理的等价性证明拉普拉斯定理认为，如果连续偏微分方程的解是以线性函数表示的，则整个积分的值等于某个点的函数值。
因此，拉普拉斯定理的等价性证明如下：1. 设f(x)为连续偏微分方程的解函数，即：f（x）=∫F（x）dx，其中F(x)为积分常数，则记：C =∫F（x）dx。
2. 则拉普拉斯定理的等价性证明可以写作：∫F（x）dx=f（a）=C，以上即拉普拉斯定理的等价性证明。
（三）秦九韶定理的等价性证明秦九韶定理认为，如果连续偏微分方程的解是非线性函数，那么整个积分的值等于某个点的函数值。
因此，秦九韶定理的等价性证明如下：1. 设f(x)为连续偏微分方程的解函数，即：f（x）=∫F（x）dx，其中F(x)为积分常数，则记：C =∫F（x）dx。
2. 则秦九韶定理的等价性证明可以写作：∫F（x）dx=f（a）=C，以上即秦九韶定理的等价性证明。
（四）牛顿定理的等价性证明牛顿定理认为，如果一个连续偏微分方程满足一个全微分方程，那么这个方程的整个积分的值将等于某个点的函数值。
因此，牛顿定理的等价性证明如下：1. 设f(x)为连续偏微分方程满足一个全微分方程的解函数，即：f（x）=∫F（x）dx，其中F(x)为积分常数，则记：C =∫F（x）dx。
2. 则牛顿定理的等价性证明可以写作：∫F（x）dx=f（a）=C，以上即牛顿定理的等价性证明。
场论中三大积分公式的应用及联系
场论中三大积分公式的应用在物理学中，曲线积分和曲面积分有着广泛的应用。
物理学家为了既能形象地表达有关的物理量，又能方便地使用数学工具进行逻辑表达和数据计算，使用了一些特殊的术语和记号， 在此基础上产生了场论。
在大一的下半学期的高等数学课上。
我们学习了微积分这一门基础课，而曲线积分及曲面积分就是学习重点之一。
在曲线积分和曲面积分的学习中，对于重积分的求解运算，Green 公式、Gauss 公式和Stokes 公式作为章节核心，需要我们重点研究。
而本文围绕着对三大公式的应用和联系进行探讨。
一、三大公式Green 公式：设D 为平面上由光滑或分段光滑的简单闭曲线所围的单连通区域。
如果函数(,)P x y ，(,)Q x y 在D 上具有连续偏导数，那么(,)(,)(,)(,)L D Q x y P x y P x y dx Q x y dy dxdy x y +⎡⎤∂∂+=-⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰⎰， 其中L +表示沿D 的边界的正方向。
Gauss 公式：设Ω是3中由光滑或分片光滑的封闭曲面∂Ω所围成的二维单连通封闭区域，(,,)P x y z ，(,,)Q x y z 与(,,)R x y z 在Ω上具有连续偏导数，则divFd F nds +Ω∂ΩΩ=⋅⎰⎰⎰⎰⎰，即P Q R dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z +Ω∂Ω⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰， 其中+∂Ω表示有向封闭曲面∂Ω的外侧。
Stokes 公式：设S 为光滑曲面或分片光滑的双侧曲面，其边界为光滑或分段光滑闭曲线S ∂，若(,,)P x y z ，(,,)Q x y z 与(,,)R x y z 在S 及其边界S ∂上具有连续偏导数，则有S S R Q P R Q P Pdx Qdy Rdz dydz dzdx dxdy y z z x x y ∂⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫++=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ cos cos cos S R Q P R Q P dS y z z x x y αβγ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫=-+-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰， 其中S ∂取S 的诱导定向。
微积分三大中值定理详解
第十一页，共51页。
例 2已 知 f(x) (x 2 )(x 1 )(x 1 )(x 3 ),不 求 导 数 ， 试 确 定 f(x) 0 有 几 个 实 根 及 其 所 在 范 围 . 解 f (x), f (x)都是多项式
若满足,求出定理中使f()0的.
解 f (x) 2x3 5x2 2x 5 f (x) 6x2 10x 2都是多项式；
f (x)在[1,1]上连续,在(1,1)内可导 且f (1) f (1) 0.
f (x)满足Rolle定理的三个条件.
第十页，共51页。
而 f ( ) 6 2 10 2 0 (1 1) 得 1 5 6 37 (1,1)，
f (x)在闭区间[-2，-1]， [-1， 1]， [1，3]上连续， f (x)在开区间(-2，-1)，(-1， 1)，(1，3)上可导;
且f (2) f (1) f (1) f (3) 0, f (x)在[-2，-1]， [-1， 1]， [1，3]上均满足RTh条件.
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注：本例中，应用定理的关键是主动找区间。
第十三页，共51页。
例3 设f (x)在[a,b](0ab)上连续，在(a,b) 内可导，且f(a)b, f(b)a,证明在(a,b)内至
少存在一点，使得f()f().
分析 f (x) f (x) xf (x) f (x) 0 x
(xf (x)) 0;若令F (x) xf (x) 则问题的结论就转化为证明F(x) 0 构造辅助函数F (x) xf (x)，就可以用 罗尔定理来证明。
至少存 (在 x 在 0,x1之 一 )使 间 ,个得 f()0.
微积分基本定理解读
微积分基本定理解读微积分基本定理的内容微积分基本定理包括两个部分：第一部分是定积分的存在性和唯一性定理，第二部分是不定积分和定积分的关系定理。
1. 定积分的存在性和唯一性定理定积分的存在性和唯一性定理是微积分基本定理的第一部分。
它表明，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上是有界的，那么f(x)在[a, b]上一定可积。
这意味着，只要函数在闭区间上是有界的，就可以计算这个函数在该闭区间上的定积分，并且定积分的值是唯一的。
2.不定积分和定积分的关系定理微积分基本定理的第二部分是关于不定积分和定积分之间的关系定理。
它表明，如果函数F(x)是f(x)的一个原函数，那么f(x)在[a, b]上的定积分等于原函数F(x)在区间[a, b]上的值之差，即∫(a to b) f(x) dx = F(b) - F(a)。
这个定理给出了求定积分的一种便利方法，即通过找到原函数，并计算原函数在区间端点上的值之差来得到定积分的值。
微积分基本定理的证明微积分基本定理的证明主要依赖于黎曼积分的性质和牛顿-莱布尼茨公式。
其中，黎曼积分的性质包括黎曼可积的充要条件和黎曼积分的线性性质等；牛顿-莱布尼茨公式则是微积分基本定理的重要应用之一，通过该公式可以将原函数和定积分的关系进行定量的表示和计算。
这些都是微积分基本定理得以成立的重要理论基础。
微积分基本定理的历史背景微积分基本定理的发现和应用是微积分学发展历程中的一个重要节点。
其历史可以追溯到17世纪，当时牛顿和莱布尼茨独立地发现了微积分学的基本概念和方法，并分别建立了微积分学的理论体系。
牛顿和莱布尼茨也因此而被誉为微积分学的创始人。
微积分基本定理的发现和应用，意味着微积分学从此进入了一个崭新的阶段，定积分与不定积分的关系得到了深刻的理解，为微积分学的进一步发展奠定了重要基础。
微积分基本定理的相关知识点微积分基本定理是微积分学中的一个重要知识点，它与微积分学的其他概念和方法密切相关。
微积分三大中值定理详解共54页共56页文档
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
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30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
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微积分三大中值定理详解共54页
41、俯仰终宇宙，不乐复何如。 42、夏日长抱饥，寒夜无被眠。 43、不戚戚于贫贱，不汲汲于富贵。 44、欲言无予和，挥杯劝孤影。 45、盛年不重来，一日难再晨。及时 当勉励 ，岁月 不待人 。
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定积分与不定积分定理总结
定积分与不定积分定理总结定积分与不定积分定理总结定积分与不定积分定理总结不定积分1、原函数存在定理●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有F’(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。
●分部积分法如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。
如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。
2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。
定积分1、定积分解决的典型问题(1)曲边梯形的面积(2)变速直线运动的`路程2、函数可积的充分条件●定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。
●定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。
3、定积分的若干重要性质●性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。
●推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。
●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。
●性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。
●性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点，使下式成立：∫abf(x)dx=f()(b-a)。
4、关于广义积分设函数f(x)在区间[a,b]上除点c(a定积分的应用1、求平面图形的面积(曲线围成的面积)●直角坐标系下(含参数与不含参数)●极坐标系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面积公式S=R2θ/2)●旋转体体积(由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成)(且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程)●平行截面面积为已知的立体体积(V=∫abA(x)d x,其中A(x)为截面面积)●功、水压力、引力●函数的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)。
§4.3积分的极限定理
lim
n →∞
f n dµ
≥
lim
n→∞
f ndµ.
证明 对函数列{ f n − g}应用定理 4 即得 (i). 再对函数列{− f n }应用 (i) 的结果并注意
到 lim(−
n→∞
fn)
=
− lim n→∞
f n 即得 (ii).
■
定理 6 (控制收敛定理 ) 设 f , f n (n ≥ 1) 是可测 函数, 并且 存在可积函 数 g 使得
妨设设 f n ≤ f n+1 (n ≥ 1), f n → f 处处成立. 由积分的单调性得到
∫ ∫ ∫ fndµ ≤ fn+1dµ ≤ fdµ, n ≥ 1.
∫ 因此 lim n→∞
f n dµ 存在并且
∫ ∫ lim
n →∞
f ndµ ≤
fdµ .
(2)
下面证明相反的不等式. 对每个 n ≥ 1, 由§3.1 定理.9, 存在非负简单函数列{g n,k }k≥1 使得 gn,k ↑ f n , (k → ∞). 令
由§4.1.定理 6 知道 f n 和 f 都可积. 由 Fatou 引理, 我们有
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ fdµ =
lim
n →∞
f ndµ
≤
lim
n→∞
f ndµ
≤
lim
n→∞
fn dµ ≤
fdµ .
∫ 因此 lim n→∞
f n dµ 存在并且(7)成立. 再证 f n µ→ f 的情形. 由§3.2 定理.6, 对{ f n }的任一
测函数, 使得 lim f (x, t) = f (x) a.e.. 若存在 X 上的可积函数 g 使得 t →t0
微积分-积分公式定理集锦
则a 2 q
p2 Mp ,b N , 4 2
Mx N Mt b dx 2 dt 2 dt n 2 n ( x px q) (t a ) (t a 2 ) n
2
Mx N M b (1) n 1, 2 dx ln( x 2 px q) arctan x px q 2 a
x 2, x 2
令 u tan
1 u2 x 2u 2 du cos x , dx ， x 2 arctan u 则： sin x 2 2 2 1 u 1 u2 1 u
2u 1 u 2 R (sin x , cos x ) dx R , 2 2 1 u 1 u
b
a
f ( x) d x
] (t 。 [ f ( t ) )d t
注意： （1）用 x (t ) 把变量 x 换成新变量 t 时，积分限也相应改变。 求出 f [ (t )] (t ) 的一个原函数 (t ) 后，不必像计算不定积分那样再要把 (t ) 变换成 原变量 x 的函数。而只要把新变量 t 的上下限分别代入 (t ) 然后相减就行了。 14.定积分分部积分公式 设函数 u x 、 v( x) 在区间 a, b 上具有连续导数，则有 udv uv vdu
M x Nk M1 x N1 M x N2 其中 M i , Ni 都是常数 (i 1, 2,k ) 。特殊 2 2 2 k k k 1 ( x px q) ( x px q) x px q
2
的 k 1 分解后为
Mx N ; x px q
x
5．原函数存在定理 如果 f x 在 a, b 上连续，则积分上限的函数 ( x) f (t )dt 就是 f x 在 a, b 上的
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$〕上除去点 / # + （ #， $）外是（ ! %）的原函数， 又% ) /是’ （ %）的连续点或第一类间断点， 则 在 〔 #， ! %） +% )［ ’ （ %） ］ 0［ ’ （ %） ］& $（ 应用中， 上述结果可直接理解为普通的分段积分法$ （ ! %） % ) $（ ! %）0 $（ %） +%， 而将 % ) / 当作连
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4
教学随议
积分学三大定理的另证及其注记
李德新 !
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不失一般性， 设在 [ "， % "）单增， 且 %’ （ "）( & ， （ % "） - & ! " & ’" ] 上 （ 先证 ! " ’ & 时， % "） ’" 不是比 ! " 高阶的无穷小! ! # $ # "（ !( # # " " ! # $ # "（ ) ! （ !"） &（ ! (） $ # "（ % "） ) % "） ’" - & # （ % "）& # "（ % " & !"） # " "
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比 !" 高阶的无穷小! 关键词 " 微元法 " 旋转体的侧面积 " 微分元素 " 中图分类号 " (!$# ! #
由曲线 ( ) （ % "） ， 直线 " ) *， " ) + 及 " 轴所围成的平面图绕 " 轴旋转一周所成旋转体的侧面 积为 # ) % "） ! ! & $ #"（
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) # ’ " 即可得到上面公式! 但有同学提出， 用微元法， 选择微分元素 ’, ) # "（ % "）! ! & ( %’ 为 （ "）
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注 .# 函数连续既是可积又是原函数存在的充分条件， 因此， 若!#+ ［ #， $］公式 （ " ）自然成 立& 但要注意， 公式 （"） 中的中值点 ! 可在开区间 （ #， $） 内取得， 这一改进， 不仅使得函数介值定理、 微分中值定理和积分中值定理具有一致性： 中值点均可在开区间 （ #， $）内取到， 而且有时对解题起 着关键作用& ! % 例 ,# 设 （ ! %）在 ［ #， $］连续单调减少， 求证 ’ （ %） ) （ ! 1） +1 在 （ #， $）内必有 ’( （ %） * ’ & %-##
必须当 !" ’ & 时是比 ! 高阶的无穷小! & ’" ] 上的部分量与所求量的微分元素之差，
下面证 明，当 ! " ’ & 时， % "） ’" 不 是 比 ! " 高 阶 的 无 穷 小，而 ! # $ # "（ % "） ・ ! # $ # "（
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用微元法求旋转体侧面积的一个注记
许新忠! "
（ ! 宁夏大学数学计算机学院 " 摘 要"
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设"## 〔 $， %〕 !记! （ (） )
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〔 !〕 进一步地， 若!#" 〔 #， $〕且含有第一类间断点， 那么 （ ! %）必无原函数 & "# 利用拉格朗日定理等证明广义的 $%& 设 !#" 〔 #， $〕 ， 在 （ #， $） 内存在原函数 ’ （ %） ， 即 ’( （ % ）) （ ! %） （ # * % * $） ， 并且 ’ # + 〔 #， $〕 & 在 〔 #， $〕 中任意插入若干个分点 # ) %’ * %! * %" * …% , -! * % , ) $， 则’ （ $）- ’ （ # ）) ’ （ %, ） ,
-’ （ % , -! ） )
〔’ （ % . ）- ’ （ % . -! ） 〕 & ) . )!
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#&&% A &- A &$ ! 收稿日期：
积分学三大定理的另证及其注记
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数： 李德新 福建农林大学计算机与信息学院,福建福州,350002 高等数学研究 STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS 2005，8(6) 1次
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注 %! 若 " # ’ 〔 $， %〕 ， 则只能证得 ! # # 〔 $， %〕 ! 可积函数可能有原函数， 也可能没有原函数!
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高等数学研究# # # # # # # # # # # # # # # # "’’- 年 !! 月
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&# 利用广义的 $%& 证明改进了的 $%! 仍按广义的 $%& 的条件& 由公式 （!） ， 对’ （ %） 在 ［ #， $］ 上应用拉格朗日定理知， 至少存在一点 ! （ #， $）使得 ’ （ $）- ’ （ #） ) ’( （ !） （ $ - #） ) （ ! !） （ $ - #） ， 即 # # # # # # ! %） +% ) （ ! !） （ $ - #） （ # * ! * $） & $（