1990全国高考文科数学试题
高考试卷中立体几何试题归类(1990-2002年)
高考立体几何试题汇编（1990——2002年）(90全国)如图,在三棱锥S ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB,SB＝BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.（91全国）已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2．求点B到平面EFG的距离．（92理）两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线段AA1的长度为d。
在直线a、b上分别取点E、F,设A1E=m，AF=n（93全国）如图,A1B1C1-ABC是直三棱柱,过点A1、B、C1的平面和平面ABC的交线记作l.(Ⅰ)判定直线A1C1和l的位置关系,并加以证明;(Ⅱ)若A1A=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求顶点A1到直线l的距离.（94全国）如图,已知A1B1C1-ABC是正三棱柱,D是AC中点.(1)证明AB1∥平面DBC1；(2)假设AB1⊥BC1,求以BC1为棱,DBC1与CBC1为面的二面角α的度数.（95全国）如图，ABCD是圆柱的轴截面，点E在底面的周长上，AF⊥DE，F是垂足。
(1)求证：AF⊥DB(2)如果AB=a，圆柱与三棱锥D-ABE的体积比等于3π，求点E到截面ABCD的距离（96全国）如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1.(Ⅰ)求证:BE=EB1;(Ⅱ)若AA1=A1B1;求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角(锐角)的度数.注意:在下面横线上填写适当内容,使之成为(Ⅰ)的完整证明,并解答(Ⅱ).(Ⅰ)证明:在截面A1EC内,过E作EG⊥A1C,G是垂足.① ∵__________________________________∴EG⊥侧面AC1;取AC的中点F,连结BF,FG,由AB=BC得BF⊥AC,② ∵___________________________________∴BF⊥侧面AC1;得BF∥EG,BF、EG确定一个平面,交侧面AC1于FG.③ ∵ __________________________________∴BE∥FG,四边形BEGF是平行四边形,BE=FG,④ ∵_________________________________∴FG∥AA1,△AA1C∽△FGC,⑤ ∵_________________________(Ⅱ)解:（97全国）如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是BB 1、CD 的中点. (Ⅰ)证明AD ⊥D 1F; (Ⅱ)求AE 与D 1F 所成的角; (Ⅲ)证明面AED ⊥面A 1FD 1;（98全国）已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面A 1ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC ＝90°，BC ＝2，AC ＝2，且AA 1⊥A 1C ，AA 1＝A 1C 。
1990年高考全国卷数学试题及答案
1990年高考试题（理工农医类）一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内.【】【】(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于【】(4)方程sin2x=sinx在区间(0,2π)内的解的个数是(A)1(B)2(C)3(D)4【】(5)【】【】(A){-2,4}(B){-2,0,4}(C){-2,0,2,4}(D){-4,-2,0,4}(7)如果直线y=ax＋2与直线y=3x－b关于直线y＝x对称,那么【】(C)a=3,b=-2(D)a=3,b=6【】(A)圆(B)椭圆(C)双曲线的一支(D)抛物线【】(B){(2,3)}(C)(2,3)(D){(x,y)│y=x+1}【】(11)如图,正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于【】(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°(12)已知h>0.设命题甲为:两个实数a,b满足│a－b│<2h;命题乙为:两个实数a,b满足│a－1│<h且│b-1│<h.那么【】(A)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件(B)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件(C)甲是乙的充分条件(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件(13)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）,那么不同的排法共有【】(A)24种(B)60种(C)90种(D)120种(14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有【】(A)70个(B)64个(C)58个(D)52个(15)设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C.又设图象C＇与C关于原点对称,那么C＇所对应的函数是【】(A)y=-arctg(x-2)(B)y=arctg(x-2)(C)y=-arctg(x+2)(D)y=arctg(x+2)二、填空题:把答案填在题中横线上.(17)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中,x2的系数等于.(18)已知{a n}是公差不为零的等差数列,如果S n是{a n}的前n项的和,那(19)函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是.(20)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,若E、F分别为AB、AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1:V2＝.三、解答题.(21)有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.(23)如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB,SB＝BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.(24)设a≥0,在复数集C中解方程z2+2│z│＝a.n≥2.(Ⅰ)如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围; (Ⅱ)如果a∈(0,1],证明2f(x)<f(2x)当x≠0时成立.1990年试题（理工农医类）答案一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.(1)A(2)B(3)D(4)C(5)C(6)B (7)A(8)D(9)B(10)D(11)C(12)B (13)B(14)C(15)D二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.三、解答题.(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程（组）解决问题的能力.解法一:①由②式得d=12-2a.③整理得a2-13a+36=0解得a1=4,a2=9.代入③式得d1=4,d2=-6.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法二:设四个数依次为x,y,12-y,16-x①由①式得x=3y-12.③将③式代入②式得y(16-3y+12)=(12-y)2,整理得y2-13y+36=0.解得y1=4,y2=9.代入③式得x1=0,x2=15.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.(22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.解法一:由已知得解法二:如图,不妨设0≤α≤β＜2π,且点A的坐标是（cosα,sinα）,点B的坐标是（cosβ,sinβ）,则点A,B在单位圆x2+y2=1上.连结连结OC,于是OC⊥AB,若设点D的坐标是（1,0）,再连结OA,OB,则有解法三:由题设得4(sinα+sinβ)=3(cosα+cosβ).将②式代入①式,可得sin(α-)=sin(-β).于是α－＝(2k+1)π-(-β)(k∈Z),或α-=2kπ+(-β)(k∈Z).若α-=(2k+1)π-(-β)(k∈Z),则α＝β＋(2k+1)π(k∈Z).于是sinα=-sinβ,即sinα+sinβ=0.由此可知α-=2kπ+(-β)(k∈Z),即α＋β＝2+2kπ(k∈Z).所以(23)本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.解法一:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E,∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.又∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上,∴SA⊥BD.而SC∩SA＝S,∴BD⊥面SAC.∵DE＝面SAC∩面BDE,DC＝面SAC∩面BDC,∴BD⊥DE,BD⊥DC.∴∠EDC是所求的二面角的平面角.∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.设SA＝a,又因为AB⊥BC,∴∠ACS＝30°.又已知DE⊥SC,所以∠EDC＝60°,即所求的二面角等于60°.解法二:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC;又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面ABC上的射影也在AC上,根据三垂线定理又得BD⊥DE.∵DE面BDE,DC面BDC,∴∠EDC是所求的二面角的平面角.以下同解法一.(24)本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力.解法一:设z＝x+yi,代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为x2+2│x│=a.③(Ⅰ)令x>0,方程③变为x2＋2x=a.④.由此可知:当a=0时,方程④无正根;(Ⅱ)令x<0,方程③变为x2-2x=a.⑤.由此可知:当a=0时,方程⑤无负根;当a>0时,方程⑤有负根x=1-.(Ⅲ)令x=0,方程③变为0=a.由此可知:当a=0时,方程⑥有零解x=0;当a>0时,方程⑥无零解.所以,原方程的实数解是:当a=0时,z=0;.情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为-y2+2│y│=a.⑦(Ⅰ)令y>0,方程⑦变为-y2+2y=a,即(y-1)2=1-a.⑧由此可知:当a>1时,方程⑧无实根.当a≤1时解方程⑧得y=1±,从而,当a=0时,方程⑧有正根y=2;当0<a≤1时,方程⑧有正根y=1±.(Ⅱ)令y<0,方程⑦变为-y2-2y=a,即(y+1)2=1-a.⑨由此可知:当a>1时,方程⑨无实根.当a≤1时解方程⑨得y=-1±,从而,当a=0时,方程⑨有负根y=-2;当0<a≤1时,方程⑨有负根y=-1±所以,原方程的纯虚数解是:当a=0时,z=±2i;当0<a≤1时,z=±(1+)i,z=±(1-)i.而当a>1时,原方程无纯虚数解.解法二:设z=x+yi代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为x2+2│x│=a.即| x |2+2│x│=a.③解方程③得,所以,原方程的实数解是.情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为-y2+2│y│=a.即-│y│2 +2│y│=a.④当a=0时,因y≠0,解方程④得│y│=2,即当a=0时,原方程的纯虚数解是z=±2i.当0<a≤1时,解方程④得,即当0<a≤1时,原方程的纯虚数解是.而当a>1时,方程④无实根,所以这时原方程无纯虚数解.解法三:因为z2=-2│z│+a是实数,所以若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数,即z=x或z=yi(y≠0).情形1.若z=x.以下同解法一或解法二中的情形1.情形2.若z=yi(y≠0).以下同解法一或解法二中的情形2.解法四:设z=r(cosθ+isinθ),其中r≥0,0≤θ<2π.代入原方程得r2cos2θ＋2r+ir2sin2θ＝a.于是原方程等价于方程组情形1.若r=0.①式变成0=a.③由此可知:当a=0时,r=0是方程③的解.当a>0时,方程③无解.所以,当a=0时,原方程有解z=0;当a>0时,原方程无零解.考查r>0的情形.(Ⅰ)当k=0,2时,对应的复数是z=±r.因cos2θ=1,故①式化为r2+2r=a.④.由此可知:当a=0时,方程④无正根;当a>0时,方程④有正根.所以,当a>0时,原方程有解.(Ⅱ)当k=1,3时,对应的复数是z=±ri.因cos2θ=-1,故①式化为-r2+2r=a,即(r-1)2=1-a,⑤由此可知:当a>1时,方程⑤无实根,从而无正根;.从而,当a=0时,方程⑤有正根r=2;.所以,当a=0时,原方程有解z=±2i;当0<a≤1时,原方程有解当a>1时,原方程无纯虚数解.(25)本小题考查椭圆的性质,距离公式,最大值知识以及分析问题的能力.解法一:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是其中a>b>0待定,0≤θ<2π.设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则大值,由题设得,因此必有,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的参数方程是.解法二:设所求椭圆的直角坐标方程是其中a>b>0待定.,设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则其中-byb.由此得,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的直角坐标方程是(26)本题考查对数函数,指数函数,数学归纳法,不等式的知识以及综合运用有关知识解决问题的能力.(Ⅰ)解:f(x)当x∈(-∞,1]时有意义的条件是1+2x+…(n-1)x+n x a>0x∈(-∞,1],n≥2,上都是增函数,在(-∞,1]上也是增函数,从而它在x=1时取得最大值也就是a的取值范围为(Ⅱ)证法一:2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.即[1+2x+…+(n-1)x+n x a]2<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a]a∈(0,1],x≠0.②现用数学归纳法证明②式.（A）先证明当n=2时②式成立.假如0<a<1,x≠0,则(1+2x a)2=1+2·2x a+22x a2≤2(1+22x)<2(1+22x a).假如a=1,x≠0,因为1≠2x,所以因而当n=2时②式成立.（B）假如当n=k(k≥2)时②式成立,即有[1+2x+…+(k-1)x+k x a]2<k[1+22x+…+(k-1)2x a] a∈(0,1],x≠0,那么,当a∈(0,1],x≠0时[(1+2x+…+k x)+(k+1)xa]2=(1+2x+…+k x)2+2(1+2x+…+k x)(k+1)x a+(k+1)2x a2<k(1+22x+…+k2x)+2(1+2x+…+k x)(k+1)x a+(k+1)2x a2=k(1+22x+…+k2x)+[2·1·(k+1)x a+2·2x(k+1)x a+…+2k x(k+1)x a]+(k+1)2x a2<k(1+22x+…+k2x)+{[1+(k+1)2x a2]+[22x+(k+1)2x a2]+…+[k2x+(k+1)2x a2]}+(k+1)2x a2]=(k+1)[1+22x+…+k2x+(k+1)2x a2]≤(k+1)[1+22x+…+k2x+(k+1)2x a],这就是说,当n=k+1时②式也成立.根据(A),(B)可知,②式对任何n≥2(n∈N)都成立.即有2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.证法二:只需证明n≥2时因为其中等号当且仅当a1=a2=…=a n时成立.利用上面结果知,当a=1,x≠0时,因1≠2x,所以有[1+2x+…+(n-1)x+n x]2<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x].当0<a<1,x≠0时,因a2<a,所以有[1+2x+…+(n-1)x+n x a]2≤n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a2]<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a].即有2f(x)<f(2x)a∈(0,1),x≠0.。
1977-1987年全国高考文科数学试题参考答案
A BEDC A 1977年普通高等学校招生考试文科(北京市)数学试题参考答案 满分100分，120分钟1．（本小题满分10分）解：101271433(1)=1=0933-+-+-.2．（本小题满分10分）21=24=3．（本小题满分10分） 解：已知方程变形得21142x x x ++-=-，即 2320x x -+=，解得2x =，或1x =（舍去）.4．（本小题满分10分）解：sin105sin 75sin(3045)︒=︒=︒+︒=. 5．（本小题满分10分） 解：正三棱柱形的体积3122sin 6010)2V cm =⋅⋅⋅︒⋅=. 6. （本小题满分10分）解：∵直线250x y +-=的斜率2k =-, ∴所求直线斜率2k '=-.∴过点(1,3)-且与已知直线平行的直线为32(1)y x +=--,即210x y ++=.7．（本小题满分10分）证：如图，在△BDC 与△CEB 中， ∵∠DBC =∠ECB ，∠BDC =∠CEB =900, BC =BC ，∴△BDC ≌△CEB ，CD =BE .8．（本小题满分10分） 解：由余弦定理可得AB70=米.9．（本小题满分10分）解：设此数列为2,,,30(0,0)x y x y >>，则由已知条件得22302x y x y ⎧=⎨+=⎩，，解得6,18x y ==. ∴插入的两个正数为6，18， ∴所成的数列为2，6，18，30. 10．（本小题满分10分） 解：（1）∵2(2)1y x =--， ∴顶点坐标为(2,1)-， 对称轴方程为2x =. (2)函数243y x x =-+ 的图象如右图所示.（3）解方程组2433y x x y x ⎧=-+⎨=-⎩，，得交点坐标为(2,1)-）和(3,0).1978年普通高等学校招生全国统一考试数学满分100分，120分钟（理科考生五，六两题选做一题.文科考生五，六两题选做一题，不要求做第七题.） 一、（下列各题每题4分，五个题共20分） 1.解：222444x xy y z -+-22(2)(2)x y z =--(22)(22)x y z x y z =---+.2.解：设底面半径为r ，则22ra a π=，即2a r π=，∴22224a a V r a a ππππ⎛⎫=⋅=⋅=⎪⎝⎭. 3．解：∵lg(2)0x +≥, ∴21x +≥，即1x ≥-， ∴函数定义域为[)1,-+∞.4.解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=22. 5. 解：原式12425b = . 二 、（本题满分14分）解：1）0k >时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①1k >时,长轴在y 轴上，2a =，b =; ②1k =时,为半径2r =的圆; ③1k <时,长轴在x 轴上，a =，2b =.如图：2) 0k =时，方程为24y =.图形是两条平行于x 轴的直线2±=y .如图.3）0k <时，方程为22124x y k-+=，这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y 轴上.如图所示. 三、（本题满分14分）证：1)连接CA ，CB ，则∠ACB =900. 由条件得∠ACM =∠ABC ,∠ACD=∠ABC ，∴∠ACM =∠ACD ，∴△AMC ≌△ADC ， ∴CM =CD .同理CN =CD ，∴CD =CM =CN . 2）∵CD ⊥AB ，∠ACD =900， ∴ CD 2=AD ·DB .由1）知AM =AD ，BN =BD ， ∴CD 2=AM ·BN . 四、（本题满分12分） 解：∵185b=，∴ 18log 5b =， ∴ 183618log (59)log 45log (182)⨯=⨯18181818log 5log 9log 18log 22a b a++==+-. 五、（本题满分20分）解：由条件得180A B C ++=︒， 2B A C =+，∴60,120B A C =︒+=︒.∵tan tan 2A C =∴tan tan (1tan tan )tan()A C A C A C +=-+(13=-=，……②∴由①，②知tan ,tan A C 是方程2x -(320x +=的两个根.解这个方程得121,2x x ==tan 1,tan 2A C ==tan 21A C ==， ∴45,75A C =︒=︒，或 75,45A C =︒=︒，∴45,60,75A B C =︒=︒=︒，或 75,60,45A B C =︒=︒=︒.∵顶点C 的对边c 上的高等于34，∴8,a b ====cos 45cos 60c AD DB b a =+=︒+︒4=，或8a ==，b ==cos 75cos 60c AD DB b a =+=︒+︒8=.六、（本题满分20分）证明：由223sin 2sin 1αβ+= 得2c o s 23s i n βα=，由3sin 22sin 20αβ-= 得3sin 2sin 23sin cos 2βααα==，2249sin cos 9sin ααα+22sin 2cos 21ββ=+=，即29sin 1α=.∵α为锐角，∴1sin 3α=.∴sin(2)sin cos2cos sin 2αβαβαβ+=+2sin (3sin )cos (3sin cos )ααααα=+ 223sin (sin cos )3sin 1αααα=+==.∵,αβ为锐角，∴22παβ+=.七、（本题满分20分） 解：已知函数配方得：2214524m m y x ++⎛⎫=+-⎪⎝⎭， ∴y 的极小值为454m +-.1）由4504m +-=，得54m =-， ∴当54m =-时，y 的极值是0.2）设函数的顶点坐标为(,)x y ，则21122m x m +=-=--，45544m y m +=-=--，消去m 得1l ：34x y -=，∴不论m 是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线1l 上. 当1,0,1m =-时，函数式分别为211()42y x +=-，293()42y x +=+，251()42y x +=+（图略）.3）设l ：x y a -=为任一条平行于1l 的直线，与抛物线方程22(21)1y x m x m =+++-联立求解，消去y ，得22210x mx m a ++-+=，即2()1x m a +=-.当1-a ≥0，即a ≤1时，直线l 与抛物线相交，而a ＞1时，直线l 与抛物线不相交.当1a ≤时，x m =-直线l 与抛物线两交点的横坐标分别为m m --由条件知直线l 的倾斜角为45︒，直线l 被抛物线截出的线段长为[((m m ---=m 无关，因此直线l 被各抛物线截出的线段都相等.F aαN MEDCBA 1E D CB A 一九七八年副题1．（下列各题每题4分，五个题共20分）（1）解：原式=(1)(3)x y x y ---+.(2)解：原式2130124=-+-=⎝⎭． （3）解：由255010x x ⎧->⎨+≠⎩得2x <,且1x ≠-，∴函数的定义域∞(-,-1)(-1,2).（4）解：)(3312131322cm V ππ=-⋅⋅=．（5）解：原式=30．2．（本题满分14分） 解：由已知条件得121239,40x x x x +==-， ∴121212113940x x x x x x ++==-， 1211140x x ⋅=-， ∴所求方程为：2403910x x +-=. 3. （本题满分14分）证：∵AD 是△ABC 的外接 圆的切线， ∴∠B =∠1，∴△ABD ∽△ACD ，∴22ABC AB ACD AC ∆=∆的面积的面积．作AE ⊥BD 于点E ，则.2121CD BDAE CD AEBD ACD ABC =⋅⋅=∆∆的面积的面积 ∴CDBDAC AB ACD ABC ==∆∆22的面积的面积. 4．（本题满分12分）证：作ME BD ⊥于E ，由△ABC 是 等边三角形知，在直角△MBE 中，12BE BM =，2ME BM =，2tan 122ME ED a BM α==-，BM =类似地，过N 作NF BC ⊥于F ，在直角△NFC中，可证：CN =5．（本题满分20分）证：1）∵244(1)0p q m --+=，∴2414p q m -+=，∴432()444f x x px qx =-+ 222442()44p q p q p x --+⋅+2222(2x )(4)px p q x =---22244(2)()44p q p q px --+⋅+22222244(2x )2(2x )()44p q p q px px --=---⋅+2224(2x )4p q px -=--，∴()f x 恰好是一个二次三项式的平方.2）由条件得43224442(1)(1)x px qx p m m -+++++ 22(2)x ax b =++4322244(4)2x ax a b x abx b =-++++，B /P /P l CBA O y x∴22244 (1)44 (2)2(1)2 (3)(1). (4)p a q a b p m ab m b -=⎧⎪=+⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，，，由（1）得a p =-，代入（2）得244q p b -=，将,a b 代入（3）得242(1)24q p p m p -+=-⋅，即2[44(1)]0p p q m --+=，∵0p ≠，∴244(1)0p q m --+=.6．（本题满分20分） 证（一）：∵,a b 不同时为0， ∴①可变形为0x x +=，设in s y y ==，则上式即为sin cos cos sin sin()0x y x y x y -=-=， ∴()x y k k Z π-=+∈，即 ()x y k k Z π=+∈.∴sin 2cos 2A x B x C +-sin(22)cos(22)A y k B y k C ππ=+++- sin 2cos 2A y B y C =+-222sin cos (cos sin )A y y B y y C =+--22222220ab a b A B C a b a b -=-+-=++，即22222()()0abA b a B a b C +-++=. 证（二）：当0,0a b =≠时，由①得 cos 0x =，结合②得B C -=，∴22222()()0abA b a B a b C +-++=； 同理可得，当0,0a b ≠=时，22222()()0abA b a B a b C +-++=；当0,0a b ≠≠时，由由①得tan bx a=-，sin 2cos 2A x B x C +-2222222sin cos cos sin sin cos sin cos x x x x A B C x x x x-=⋅+⋅-++2222tan 1tan 1tan 1tan x x A B C x x -=⋅+⋅-++ 2222222111b b a a A B C b b a a -⋅-=⋅+⋅-++ 22222220ab a b A B C a b a b -=-⋅+⋅-=++,即22222()()0abA b a B a b C +-++=.综上可知，结论成立. 7．（本题满分20分）解：1）直线l ，圆C 和抛物线Q的方程为:L y x =；2: Q y x =； 22:1C x y +=. 草图如右图所示.2)由221y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩， 得A点横坐标为2x =- 线段PA 的函数关系为1(),()322f x x x =-≤≤-；由222,1y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得B 点横坐标为2x =， ∴圆弧AB 的函数关系式为2())22f x x =-≤≤；抛物线上OB 一段的函数表达式为3()(02f x x =≤≤,POP S '∆=724OAB π=扇形S ， 14BOB S '∆=，71244π=+阴S .PβαCBAF ECBA1979年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科） 满分100分，120分钟一、（本题满分9分）解：∵2211221222y x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，∴12min y =.二、（本题满分9分）解：()()2224241sin cos 1cos sin θθθθ⎡⎤⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()22221sin cos 1sin cos θθθθ=+++-⨯()()22221cos sin 1cos sin θθθθ+++-()()41cos21cos2θθ=-+ 224(1cos 2)4sin 2θθ=-=．三、（本题满9分）解：由条件知，甲中纯酒精与水的重量分别为1111m v m n +，1111n vm n +；乙中纯酒精与水的重量分别为2222m v m n +，2222n vm n +．混合后所得液体中纯酒精量为11221122m v m vm n m n +++112222111122()()()()m v m n m v m n m n m n +++=++；混合后所得液体中水的量为11221122n v n vm n m n +++112222111122()()()()n v m n n v m n m n m n +++=++．混合后所得液体中纯酒精与水之比是11222211[()()]:m v m n m v m n +++11222211[()()]n v m n n v m n +++．四、（本题满分9分）解：略． 五、（本题满分14分） 解：作PC AB ⊥于C ， 设PC d =，在直角三角形PAC 中， cot AC d α=；在直角三角形PBC 中，cot BC d β=，∴(cot cot )S AC BC d αβ=+=+． 当d D ≤，即cot cot SDαβ+≥时，应向外国船发出警告．六、（本题满分14分）解：设年增长率为x ，则由条件得40100(1)500x +=,即40(1)5x +=．取自然对数有40ln(1)ln5x +=． 又lg5=1-0.3=0.7 ， ln5=ln10lg5=2.3×0.7=1.61． 利用ln(1)x x +≈,有x ≈ln5/40=1.61/40=0.04025≈4%． 答：每年约增长百分之四． 七、（本题满分18分） 证：连接CD ．∵∠CFD =900，∴CD 为圆O 的直径， 又AB 切圆O 于D ， ∴CD ⊥AB ．又在直角三角形ABC 中，∠ACB =900， ∴2AC =AD ·AB ，2BC =BD ·AB ，∴22BD BC AD AC=．…⑴ 又∵2BD =BC ·BF ，2AD =AC ·AE ，∴22BD BC BFAD AC AE⋅=⋅．…⑵ 由（1）与（2）得44BC BF BC AC AE AC ⋅=⋅，∴33BF BC AE AC=． 八、（本题满分18分） 解：设割线12OPP 的直线方程为y kx =， 代入圆的方程，得2222440x k x x kx +--+=，即22(1)2(12)40k x k x +-++=.由条件知，224(12)16(1)430k k k ∆=+-+=->，即34k >.设111222(,),(,)P x y P x y ，则12,x x 是上述方程的两个根，且1222(12)1k x x k ++=+，1222(12)1k ky y k++=+． 设P 点的坐标是(,)x y ，P 是12PP 的中点， ∴2211212k kx x x ++=+=， 122(12)21y y k k y k ++==+.又P 点在直线y kx =上，∴yk x=，代入上式得2121()yx x y x+=+，即 222x y x y +=+，∴2215()(1)24x y -+-=8(0)5x <<．这是以1(,1)22为半径的圆，所求轨迹是这个圆在所给圆内的一段圆弧． 说明：本题主要考查直线与圆的位置关系，韦达定理，中点坐标公式及点的轨迹方程．B Aβy xOP (x,y )O F E D C B A 1980年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科） 满分100分，120分钟一、（本题满分6分） 解：1313)(32)=3213i i i i --+-（ 9797131313i i -==-.二．（本题满分10分）解：（略）方程组的解为123.x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，，三．（本题满10分）证：以圆O 的直径AB 所在的直线为x 轴，圆心O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设圆O 的半径为1，则圆O 的方程是221x y +=，且(1,0),(1,0)A B -． 设(,)P x y 是圆上异于A ，B 任一点，则有221y x =-， 且1AP y k x =+，1BP yk x =-， ∴22221111AP BP y x k k x x -⋅===---， ∴PA ⊥PB ，∠APB 为直角.∴直径所对的圆周角是直角. 四．（本题满分12分） 解：设1979年的工业总产值为a ，又设1980的轻工业产值比上一年增长x %，则按题意，1980年的轻工业产值为)10024()100101()1001()10020(⋅+⋅=+⋅⋅a x a ， 解得：x =32.答：1980年轻工业产值应比上一年增长32%. 五．（本题满分14分）解：原式sin()4θ+sin()4sin()sin()44πθπθθ+==++． ∵3544ππθ<<， ∴342πππθ<+<，∴sin()04πθ+<，∴原式1=-．六．（本题满分16分） 证：1 A D C A B C S S ∆∆=，且△ABC 与△ADC 有同底AC ， ∴两高线相等：BE DF =， 设AC 与BD 交于点O ，则Rt △BOE ≌Rt △DOF .∴OB OD =. 即AC 平分BD （若,,E O F 重合、则已有OB BE DF OD ===）.2．逆命题：若四边形ABCD 的对角线AC 平分对角线BD ，则AC 必将四边形分成两个面积相等的三角形. 这个逆命题是正确的.证明如下：在上图中，由于OB OD =， ∠BOE =∠DOF （对顶角）， ∠BEO =∠DFO =2π， ∴△BOE ≌△DOF .∴BE DF =，即两高线相等. ∴S △ABC =21AC ·BE =21AC ·DF =S △ADC . 七．（本题满分16分）1．证明A E B D '''⊥； 2.求AE 的长解：1. AA '⊥平面A B C D ''''，EA B D D /C /B /A /C ∴AA B D '''⊥ ， 又AE B D ''⊥，∴B D ''⊥平面AA E '， ∴B D A E '''⊥.2．1122A B A D A E B D '''''''⋅=⋅，∴68A E '⨯=∴ 4.8,6A E AE '===． 八．（本题满分16分） 解：1.由22sec tan 1t t -=得2214y x -=．∴曲线的普通方程为2214y x -=． 2．当20π<≤t 时，1,0x y ≥≥,得到的是曲线在第一象限的部分（包括(1,0)点）;当23π<≤πt 时，1,0x y ≤-≥,得到的是曲线在第二象限的部分（包括(1,0)-点）．cb a EDCBA 1981年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科） 满分100分，120分钟一、（本题满分6分）解：1. A ∪B ={实数},2. A ∩B =φ. 二、（本题满分8分） 解：原式1444448263()()8=3()()a b a b a b a b a b a b a +-⨯⨯+-28()3b a b =-． 三、（本题满分6分）解：1.选举种数2412P =（种）． 所有可能的选举结果为：,,,,,AB AC AD BC BD CD ， ,,,,,BA CA DA CB DB DC ．2.选举种数C 43=4（种）所有可能的选举结果：,,,ABC ABD ACD BCD . 四、（本题满分10分）解：()sin cos )4f x x x x π=+=+，()f x是以2π为周期的周期函数，()f x 在区间(,)ππ-上的最大值为，当且仅当4x π=时()f x取最大值五、（本题满分10分）解：sin sin sin A B Ca b c==． 证：在钝角三角形ABC 中，作AD 垂直BC 于D ，BE 垂直CA 的延长线于E ． 设△ABC 的面积为S ，则111sin(180)sin 222S AC BE bc A bc A =⋅=︒-=．12S BC AD =⋅又1sin 2ac B =， 12S BC AD =⋅1sin 2ab C =，∴111sin sin sin 222S bc A ac B ab C ===，将上式除以1,2abc 得：sin sin sin A B Ca b c ==. 六、（本题满10分）解：设AC 中点为(,)P x y ,则有02151,222x y +-+====，即 (,)(1,2)P x y P =.又设AC 斜率为k ，则3k =，∴BD 的斜率为13-，∴直线BD 的方程为12(1)3y x -=--.………①以P 点为圆心，PA 为半径的圆的方程为 22(1)(2)10x y -+-=.………② 解方程①，②得,B D 的坐标为 (4,1),(2,3)-.（注：用复数法或向量方法求解） 七、（本题满分17分）解：1.所求人口数x （亿）是等比数列10,10×1.02,10×（1.02）2，…的第21项，即2010(1.02)x =． 两边取对数，得lg x =1+20lg1.02=1.17200, ∴x=14.859（亿) .2．设人口每年比上年平均递增率最高是y %，按题意得10×（1+y %)20≤12，即（1+y %)20≤1.2. 对上述不等式两边取对数得 20lg(1+y %)≤lg1.2，即 lg(1+y %)≤0.00396，∴1+y %≤1.0092, y %≤0.0092.B 1D 1C 1AB CD O A 1答：略. 八、（本题满分15分）证：设,AC BD 交于O 点，作截面1ACB ，联结1OB ，则 面11DBB D 面11ACB OB =.∵1111ABCD A BC D -是正四棱柱， ∴ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD .又∵1BB ⊥底面ABCD ， ∴1BB ⊥AC . ∴AC ⊥面11DBB D . ∵AC 在截面1ACB 内， ∴截面1ACB ⊥对角面11DBB D . 九、（本题满分18分）解：1.设直线与抛物线的交点为 111222(,),(,)P x y P x y .解方程组24,2y x y x k⎧=⎨=+⎩得2(2)4x k x +=，即2244(1)0x k x k +-+=.………①由条件知2216(1)1616(21)0k k k ∆=--=-+>，即12k <.由条件知12,x x 是方程①的两个根，且212121,4k x x k x x +=-=，∴由条件知====4k =-.2.设x 轴上一点P 的坐标为(,0)P a ，又点P 到直线12PP 的距离为h ，则有5|42|-=a h . 依题意得△12PPP 的面积关系：192=⋅，即6|24|a =-，∴5a =或1a =-.D 1C 1B 1A 1D C1982年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科） 满分100分，120分钟一、（本题满分8分） 解：1．{}0；2．R ；3．(0,)+∞；4．R 二、（本题满分7分）解：第15项146141520(1)()T C i =- 62038760C =-=-.三、（本题满分7分）解：1。
1990年高考全国卷数学试卷与答案
1990年高考试题（理工农医类）一、选择题 :在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 ,把所选项前的字母填在题后括号内 .【】【】(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于【】(4)方程 sin2x=sinx在区间 (0,2π )内的解的个数是(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【】(5) 【】【】(A){-2,4} (B){-2,0,4}(C){-2,0,2,4} (D){-4,-2,0,4}(7)如果直线 y=ax＋2与直线 y=3x－ b关于直线 y＝x对称 ,那么【】(C)a=3,b=-2 (D)a=3,b=6【】(A) 圆(B) 椭圆(C)双曲线的一支(D) 抛物线【】(B){(2,3)}(C)(2,3) (D){(x,y) │ y=x+1}【】(11)如图 ,正三棱锥 S- ABC 的侧棱与底面边长相等 ,如果 E、F分别为 SC、AB 的中点 ,那么异面直线 EF与SA所成的角等于【】(A)90° (B)60° (C)45° (D)30°(12)已知 h>0.设命题甲为 :两个实数 a,b满足│ a－b│<2h;命题乙为 : 两个实数 a,b满足│ a－ 1│ <h且│ b-1 │ <h.那么【】(A)甲是乙的充分条件 ,但不是乙的必要条件(B)甲是乙的必要条件 ,但不是乙的充分条件(C)甲是乙的充分条件(D)甲不是乙的充分条件 ,也不是乙的必要条件(13)A,B,C,D,E 五人并排站成一排 ,如果 B必须站在 A 的右边（ A,B 可以不相邻） , 那么不同的排法共有【】(A)24种 (B)60种 (C)90种 (D)120种(14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有【】(A)70个 (B)64个 (C)58个 (D)52个(15)设函数 y=arctgx的图象沿 x轴正方向平移 2个单位所得到的图象为C.又设图象 C＇与 C关于原点对称 ,那么 C＇所对应的函数是【】(A)y=-arctg(x-2) (B)y=arctg(x-2)(C)y=-arctg(x+2) (D)y=arctg(x+2)二、填空题 :把答案填在题中横线上 .第2 页(18)已知 { an} 是公差不为零的等差数列 , 如果 Sn 是 { an} 的前 n 项的和 , 那(19)函数 y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是.(20)如图 ,三棱柱 ABC －A 1B1C1中,若E、 F分别为 AB 、AC的中点 ,平面 EB1C1F将三棱柱分成体积为 V 1、V 2的两部分 ,那么V1:V 2＝.三、解答题 .(21)有四个数 ,其中前三个数成等差数列 ,后三个数成等比数列 ,并且第一个数与第四个数的和是 16,第二个数与第三个数的和是 12.求这四个数 .(23)如图 ,在三棱锥 S- ABC 中,SA⊥底面 ABC,AB ⊥BC．DE垂直平分 SC,且分别交AC、 SC于 D、E.又 SA＝AB,SB ＝ BC.求以 BD 为棱 ,以BDE 与BDC 为面的二面角的度数 .(24)设 a≥ 0,在复数集 C中解方程 z2+2│ z│＝ a.n≥2.(Ⅰ)如果 f(x) 当x ∈(-∞ ,1]时有意义 ,求a的取值范围 ; (Ⅱ)如果 a∈(0,1],证明 2f(x)<f(2x) 当 x≠ 0时成立 .1990年试题（理工农医类）答案一、选择题 :本题考查基本知识和基本运算.(1)A (2)B (3)D (4)C (5)C (6)B(7)A(8)D(9)B(10)D (11)C (12)B (13)B (14)C (15)D二、填空题 :本题考查基本知识和基本运算.三、解答题 .(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程（组）解决问题的能力. 解法一 :①由②式得d=12-2a. ③整理得a2-13a+36=0解得a1=4,a2=9.代入③式得 d1=4,d2=-6.从而得所求四个数为 0,4,8,16或 15,9,3,1.解法二 :设四个数依次为 x,y,12-y,16-x ①由①式得x=3y-12. ③将③式代入②式得y(16-3y+12)=(12-y) 2,整理得y2-13y+36=0.解得y1=4,y2=9.代入③式得 x1=0,x2=15.从而得所求四个数为 0,4,8,16或 15,9,3,1.(22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.解法一 :由已知得解法二 :如图 ,不妨设 0≤α≤β＜ 2π ,且点 A 的坐标是（ cosα,sin α） , 点 B 的坐标是（ cosβ ,sin β） , 则点 A,B 在单位圆 x2+y2=1 上 . 连结连结 OC,于是 OC⊥AB, 若设点 D的坐标是（ 1,0）,再连结 OA,OB,则有解法三 :由题设得4(sinα +sinβ)=3(cosα +cosβ).将②式代入①式 ,可得sin(α-)=sin(-β ).于是α－＝ (2k+1)π -(-β)(k ∈Z),或α-=2kπ +(-β )(k∈Z).若α-=(2k+1) π-(-β )(k∈Z), 则α ＝β＋ (2k+1)π(k ∈Z).于是sinα =-sinβ ,即sinα+sinβ =0.由此可知α-=2kπ+(-β)(k ∈Z),即α＋β ＝2+2kπ(k∈Z).所以(23)本小题考查直线和平面 ,直线和直线的位置关系 ,二面角等基本知识 ,以及逻辑推理能力和空间想象能力 .解法一 :由于 SB＝BC,且 E是 SC的中点 ,因此 BE 是等腰三角形 SBC的底边 SC的中线,所以 SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE ∩DE＝E,∴SC⊥面 BDE,∴SC⊥ BD.又∵SA⊥底面 ABC,BD 在底面 ABC 上,∴SA⊥BD.而SC∩ SA＝ S,∴BD ⊥面 SAC.∵DE＝面 SAC∩面 BDE,DC ＝面 SAC∩面 BDC,∴BD ⊥DE,BD ⊥DC.∴∠ EDC是所求的二面角的平面角.∵SA⊥底面 ABC, ∴SA⊥AB,SA ⊥AC.设SA＝ a,又因为 AB ⊥ BC,∴∠ ACS＝30° .又已知 DE⊥SC,所以∠ EDC＝60° ,即所求的二面角等于 60°.解法二 :由于 SB＝BC,且 E是 SC的中点 ,因此 BE 是等腰三角形 SBC的底边 SC的中线,所以 SC⊥BE.又已知 SC⊥DE,BE∩DE＝E∴SC⊥面 BDE,∴SC⊥ BD.由于 SA⊥底面 ABC, 且A 是垂足 ,所以 AC 是SC在平面 ABC 上的射影 .由三垂线定理的逆定理得 BD ⊥AC; 又因 E∈SC,AC是SC在平面 ABC 上的射影 ,所以E在平面 ABC 上的射影在 AC上 ,由于 D∈AC, 所以 DE在平面 ABC 上的射影也在 AC 上,根据三垂线定理又得 BD ⊥DE.∵DE 面 BDE,DC 面BDC,∴∠ EDC是所求的二面角的平面角.以下同解法一 .(24)本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力.解法一 :设z＝x+yi, 代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得 y=0或x=0.由此可见 ,若原方程有解 ,则其解或为实数 ,或为纯虚数 .下面分别加以讨论 .情形 1.若y=0,即求原方程的实数解 z=x.此时 ,①式化为x2+2│x│=a. ③(Ⅰ)令 x>0,方程③变为 x2＋2x=a. ④.由此可知 :当a=0时 ,方程④无正根 ;(Ⅱ)令 x<0,方程③变为 x2-2x=a. ⑤.由此可知 :当a=0时 ,方程⑤无负根 ;当a>0时,方程⑤有负根第12 页(Ⅲ)令 x=0,方程③变为 0=a.由此可知 :当a=0时 ,方程⑥有零解 x=0;当a>0时,方程⑥无零解 .所以 ,原方程的实数解是 :当a=0时,z=0;.情形 2.若x=0,由于 y=0的情形前已讨论 ,现在只需考查 y≠ 0的情形 ,即求原方程的纯虚数解 z=yi(y ≠0).此时 ,①式化为-y2+2│ y│ =a. ⑦(Ⅰ)令 y>0,方程⑦变为 -y2+2y=a,即(y-1) 2=1-a. ⑧由此可知 :当a>1时 ,方程⑧无实根 .当a≤ 1时解方程⑧得y=1±,从而 , 当a=0时 ,方程⑧有正根 y=2;当0<a≤1时,方程⑧有正根y=1±.(Ⅱ)令 y<0,方程⑦变为 -y2-2y=a,即 (y+1)2=1-a. ⑨由此可知 :当a>1时 ,方程⑨无实根 .当a≤ 1时解方程⑨得y=-1±,从而 ,当 a=0时,方程⑨有负根 y=-2;当 0<a≤1时,方程⑨有负根y=-1±所以 ,原方程的纯虚数解是 :当 a=0时,z=±2i;当 0<a≤1时, z=±(1+ )i,z= ±(1- )i.而当 a>1时,原方程无纯虚数解 .解法二 :设z=x+yi 代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得 y=0或x=0.由此可见 ,若原方程有解 ,则其解或为实数 ,或为纯虚数 .下面分别加以讨论 .情形 1.若y=0,即求原方程的实数解 z=x.此时 ,①式化为 x2+2│x│=a.即| x |2+2│ x│ =a. ③解方程③得,所以 ,原方程的实数解是.情形 2.若x=0,由于 y=0的情形前已讨论 ,现在只需考查 y≠ 0的情形 ,即求原方程的纯虚数解 z=yi(y ≠0).此时 ,①式化为-y2+2│y│=a.即-│y│2 +2│ y│=a.④当a=0时,因 y≠0,解方程④得│ y│=2,即当 a=0时,原方程的纯虚数解是 z=±2i.当0<a≤1时,解方程④得,即当 0<a≤1时,原方程的纯虚数解是.而当 a>1时,方程④无实根 ,所以这时原方程无纯虚数解 .解法三 :因为 z2=-2│z│+a是实数 ,所以若原方程有解 ,则其解或为实数 ,或为纯虚数 ,即z=x或 z=yi(y ≠0).情形 1.若z=x.以下同解法一或解法二中的情形 1.情形 2.若z=yi(y ≠0).以下同解法一或解法二中的情形 2.解法四 :设z=r(cosθ+isinθ),其中 r≥0,0≤θ<2π.代入原方程得r2cos2θ＋ 2r+ir2sin2θ＝a.于是原方程等价于方程组情形 1.若r=0.①式变成0=a. ③由此可知 :当a=0时 ,r=0是方程③的解 .当a>0时,方程③无解 .所以 , 当a=0时 ,原方程有解 z=0;当a>0时,原方程无零解 .考查 r>0的情形 .(Ⅰ)当 k=0,2时,对应的复数是 z=±r.因cos2θ =1,故①式.由此可知 :当a=0时 ,方程④无正根 ;当 a>0时,方程④有正根.所以 ,当 a>0时,原方程有解.(Ⅱ)当 k=1,3时,对应的复数是 z=±ri.因cos2θ=-1,故①式化为-r2+2r=a,即 (r-1)2=1-a, ⑤由此可知 :当a>1时 ,方程⑤无实根 ,从而无正根 ;.从而 , 当a=0时 ,方程⑤有正根 r=2;.所以 , 当a=0时 ,原方程有解 z=±2i;当0<a≤1时,原方程有解当a>1时,原方程无纯虚数解 .(25)本小题考查椭圆的性质,距离公式 ,最大值知识以及分析问题的能力. 解法一 :根据题设条件 ,可取椭圆的参数方程是其中 a>b>0待定 ,0≤θ<2π.设椭圆上的点 (x,y) 到点 P的距离为 d,则大值 ,由题设得,因此必有,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的参数方程是.解法二 :设所求椭圆的直角坐标方程是其中 a>b>0待定 .,设椭圆上的点 (x,y) 到点 P的距离为 d,则第16 页其中-byb.由此得,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的直角坐标方程是(26)本题考查对数函数 ,指数函数 ,数学归纳法 ,不等式的知识以及综合运用有关知识解决问题的能力 .(Ⅰ)解 :f(x) 当 x∈ (-∞ ,1]时有意义的条件是1+2x+⋯(n-1)x+nxa>0 x∈(-∞,1],n≥2,上都是增函数 ,在 (-∞ ,1]上也是增函数 ,从而它在 x=1时取得最大值也就是 a的取值范围为(Ⅱ)证法一 :2f(x)<f(2x) a∈(0,1],x ≠ 0.即[1+2x +⋯ +(n-1)x+nxa]2<n[1+22x+⋯ +(n-1)2x+n2x a] a∈(0,1],x ≠0.②现用数学归纳法证明②式.（A）先证明当 n=2时②式成立 .假如 0<a<1,x≠ 0,则(1+2x a)2=1+22 2xa+22xa2≤ 2(1+22x)<2(1+22xa). 假如 a=1,x≠0,因为 1≠ 2x,所以因而当 n=2时②式成立 .（ B）假如当 n=k(k≥2)时②式成立 ,即有[1+2x +⋯ +(k-1)x+kxa]2<k[1+2 2x+⋯ +(k-1)2xa]a∈(0,1],x ≠0, 那么 ,当 a∈(0,1],x ≠0时[(1+2x +⋯+kx )+(k+1) xa]2=(1+2x+⋯+kx)2+2(1+2x +⋯ +kx)(k+1)xa+(k+1)2xa2 <k(1+22x+⋯ +k2x)+2(1+2x +⋯+kx )(k+1)xa+(k+1) 2xa2 =k(1+22x+⋯ +k2x)+[2212 (k+1)x a+22 2x(k+1)xa+⋯+2kx(k+1)xa]+(k+1) 2xa2<k(1+22x+⋯+k2x)+{[1+(k+1) 2xa2]+[2 2x+(k+1)2xa2]+⋯+[k2x+(k+1)2xa2]}+(k+1) 2xa2]=(k+1)[1+2 2x+⋯ +k2x+(k+1) 2xa2]≤(k+1)[1+2 2x+⋯+k2x+(k+1)2x a],这就是说 ,当n=k+1时②式也成立 .根据 (A),(B) 可知 ,②式对任何 n≥2(n∈N) 都成立 .即有2f(x)<f(2x) a∈(0,1],x ≠0.证法二 :只需证明 n≥2时第18 页--完整版学习资料分享----因为其中等号当且仅当 a1=a2=⋯ =an时成立 .利用上面结果知 ,当a=1,x≠0时,因1≠2x,所以有[1+2x +⋯ +(n-1)x+nx] 2<n[1+22x+⋯+(n-1)2x+n2x].当0<a<1,x≠0时,因a2<a,所以有[1+2x+⋯+(n-1) x+nxa]2≤n[1+22x+⋯ +(n-1)2x+n2xa2]<n[1+2 2x+⋯+(n-1)2x+n2xa]. 即有2f(x)<f(2x) a∈ (0,1),x≠0.第19 页--完整版学习资料分享----。
1990年全国高考试题
1990年全国高考试题姓名______________ 得分_____________一、选择题(本题共有5小题,每小题3分,共15分。
每小题只有一个．．．．选项符合题意)1.通常用来衡量一个国家的石油化学工业发展水平的标志是(A)石油的产量(B)乙烯的产量(C)合成纤维的产量(D)硫酸的产量2.设N A代表阿佛加德罗常数,下列说法正确的是(A)2.3克金属钠变为钠离子时失去的电子数目为0.1N A(B)18克水所含的电子数目为N A(C)在常温常压下11.2升氯气所含的原子数目为N A(D)32克氧气所含的原子数目为N A3.道尔顿的原子学说曾经起了很大作用.他的学说中，包含有下述三个论点:①原子是不能再分的粒子;②同种元素的原子的各种性质和质量都相同；③原子是微小的实心球体。
从现代观点看，你认为这三个论点中不确切的(A)只有③(B)只有①③(C)只有②③(D)有①②③4.下列四种物质,只能跟NaOH溶液作用,不能跟盐酸作用的是(A)NaHS(B)NaAlO2(C)KHSO4(D)CH3COONH45.以下贮存物质的方法正确的是(A)少量白磷贮存在二硫化碳中(B)水玻璃贮存在带玻璃塞的玻璃瓶中(C)少量钠贮存在酒精中(D)少量钠贮存在煤油中二、选择题(本题共有20小题,每小题3分,共60分。
每小题有一个或两个．．．．．．选项符合题意)6.X、Y、Z分别代表3种不同的短周期元素.X元素的原子最外层有1个电子;Y元素原子的M电子层中有4或者6个电子;Z元素原子的L电子层有6个电子.由这3种元素组成的化合物的分子式可能是(A)X3YZ4(B)X4YZ4(C)XYZ2 (D)X2YZ47.某元素X的核外电子数等于核内中子数.取该元素单质2.8克与氧气充分作用,可得到6克化合物XO2.该元素在周期表中的位置是(A)第三周期(B)第二周期(C)第Ⅳ主族(D)第Ⅴ主族8.下列说法正确的是(A)可逆反应的特征是正反应速度总是和逆反应速度相等(B)在其它条件不变时,使用催化剂只能改变反应速度,而不能改变化学平衡状态(C)在其它条件不变时,升高温度可以使化学平衡向吸热反应的方向移动(D)在其它条件不变时,增大压强一定会破坏气体反应的平衡状态9.下列说法正确的是(A)酸式盐的溶液一定显碱性(B)只要酸与碱的摩尔浓度和体积分别相等,它们反应后的溶液就呈中性(C)纯水呈中性是因为水中氢离子摩尔浓度和氢氧根离子摩尔浓度相等(D)碳酸溶液中氢离子摩尔浓度是碳酸根离子摩尔浓度的二倍10.把0.05摩NaOH固体分别加入下列100毫升液体中,溶液导电能力变化不大．．．．的：(A)自来水(B)0.5摩/升盐酸(C)0.5摩/升醋酸(D)0.5摩/升氯化铵溶液11.已知:①2FeCl3+2Kl=2FeCl2+2KCl+I2②2FeCl2+Cl2=2FeCl3判断下列物质的氧化能力由大到小的顺序是(A)Fe3+>Cl2> I2(B) Cl2> Fe3+> I2(C) I2> Cl2> Fe3+(D) Cl2> I2> Fe3+12.下列各组物质气化或熔化时,所克服的微粒间的作用(力),属同种类型的是(A)碘和干冰的升华(B)二氧化硅和生石灰的熔化(C)氯化钠和铁的熔化(D)苯和已烷的蒸发13．下列反应的离子方程式不正确．．．的是：(B)铜片插入硝酸银溶液:Cu+Ag+=Cu2++Ag(D)硫氰化钾溶液加入三氯化铁溶液:Fe3++SCN-=[Fe(SCN)]2+14.下列各组离子中,在碱性溶液里能大量共存,且溶液为无色透明的是15.分别由下列四组物质制取气体:①浓盐酸和MnO2;②(NH4)2SO4和Ca(OH)2;③NaCl和H2SO4(浓);④FeS和H2SO4(稀).所产生的气体在同温同压下的密度,由小到大的排列顺序为(A)②<④<③<①（B）②<④<①<③(C)③<①<④<②（D）①<③<④<②16.某无色混和气体可能含有CO2、CO、H2O(水蒸气)、H2中的一种或几种依次．．进行如下处理（假定每次处理都反应完全）：①通过碱石灰时，气体体积变小;②通过赤热的氧化铜时,固体变为红色;③通过白色硫酸铜粉末时,粉末变为蓝色;④通过澄清的石灰水时,溶液变得浑浊.由此可以确定原混和气体中(A)一定含有CO2、H2O,可能含有H2、CO(B)一定含有H2O、CO,可能含有CO2、H2(C)一定含有CO、CO2,可能含有H2O、H2 (D)一定含有CO、H2,可能含有H2O、CO217.关于实验室制备乙烯的实验,下列说法正确的是(A)反应物是乙醇和过量的3摩/升硫酸的混和液(B)温度计插入反应溶液液面以下,以便控制温度在140℃(C)反应容器(烧瓶)中应加入少许瓷片(D)反应完毕先灭火再从水中取出导管18.烯烃在一定条件下发生氧化反应时,C=C双键发生断裂,RCH=CHR'可以氧化成RCHO和R'CHO.在该条件下,下列烯烃分别被氧化后,产物中可能有乙醛的是(A)CH3CH=CH(CH2)2CH3 (B)CH2=CH(CH2)3CH3(C)CH3CH=CHCH=CHCH3(D)CH3CH2CH=CHCH2CH319.10毫升某种气态烃,在50毫升氧气里充分燃烧,得到液态水和体积为35毫升的混和气体(所有气体体积都是在同温同压下测定的),则该气态烃可能是(A)甲烷(B)乙烷(C)丙烷(D)丙烯20.下图表示蛋白质分子结构的一部分,图中(A)、(B)、(C)、(D)标出了分子中不同的键,当蛋白质发生水解反应时,断裂的键是21.p克某结晶水合物A·nH2O,受热失去全部结晶水后,质量变为q克,由此可以得知该结晶水合物的分子量为22.分别加热下列三种物质各100克:①KMnO4、②KClO3(另加少量MnO2)、③HgO.完全反应后,所放出的氧气量由多到少的顺序是(A)①>②>③(B)②>①>③(C)①>③>②(D)②>③>①23.今有H2和CO(体积比为1:2)的混和气体V升,当其完全燃烧时,所需O2的体积为(A)3V升(B)2V升(C)V升(D)0.5V升24.把100克10%KNO3溶液的浓度增加到20%,可以采用的方法是A、蒸发掉45克水B、蒸发掉50克水C、加入10克KNO3固体D、加入15克KNO3固体三、选择题(本题共有5小题,每小题5分,共25分。
1990年全国普通高等学校招生统一考试语文试卷及答案
1990年全国普通高等学校招生统一考试语文试卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
第Ⅰ卷6页为选择题，第Ⅱ卷11页为非选择题。
第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型（A或B）涂写在答题卡上。
考试结束，监考人将试题卷和答题卡一并收回。
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
一（26分）1.下列词语中字形、字音、词义解释全部正确的一组是（3分）（B卷第1题）A.龟ｊūｎ裂：呈现许多裂纹拮据ｊū：因缺钱而境况窘迫冗ｒǒｎｇ长：文章、讲话芜杂而累赘执拗ｎｉù：固执倔强B.氛ｆèｎ围：周围的气氛和情调肖ｘｉàｏ像：以一个人为主体的画像或照片绮ｑǐ丽：鲜艳美丽绵亘ｇèｎ：延续不断C.感喟ｋｕì：有所感触而叹息编篡ｚｕǎｎ：编辑驰ｃｈí骋：马飞快地跑稽ｑǐ首：古代的一种跪拜礼D.玷ｄｉàｎ辱：使蒙受耻辱谛ｄì听：仔细听估ｇǔ量：估计清冽ｌｉè：清凉辨识下列十个成语，完成2──3题。
①舍生取义②白虹贯日③作奸犯科④负荆请罪⑤青出于蓝⑥厉兵秣马⑦劳苦功高⑧图穷匕见⑨诲人不倦⑩完璧归赵2.从文言课文看，对上述成语出处判断有误的一组是（2分）A.②⑥⑧出自《战国策》B.④⑦⑩出自《史记》C.①③分别出自《孟子》《三国志》D.⑤⑨分别出自《荀子》《论语》3.从结构方式看，上述成语完全相同的一组是（2分）A.②⑦⑩B.①④⑧C.②⑤⑨D.①③⑥4."她是……教练"中的"教练"前有如下六个修饰成分，下列四项中排列妥贴的一项是（2分）①优秀的②有二十多年教学经验的③国家队里（的）④篮球（教练）⑤女（教练）⑥一位（教练）A.①②⑥③④⑤B.③⑥②①④⑤C.①②③⑥⑤④D.②①③⑥④⑤5.阅读下面的文字，完成后面的题目（2分）这种倾向从哪里可以看出来呢？主要就表现在商品标记和文字上（甲）明明是中国厂商自已制造的内销商品，购买者也都是中国人，但他们却喜欢仿造国外厂家的商标，冒充洋货（乙）或者在商标上（丙）包装上（丁）说明书的图片（戊）文字中印上些外文，甚至连一个中国字也没有。
超级经典1990年全国高考数学试题
选校网 高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库1990年全国高考数学试题（理工农医类）一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内.[Key]一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.(1)A【】[Key] (2)B(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于【】[Key] (3)D(4)方程sin2x=sinx在区间(0,2π)内的解的个数是(A)1(B)2(C)3(D)4【】[Key] (4)C(5)【】[Key] (5)C(A){-2,4}(B){-2,0,4}(C){-2,0,2,4}(D){-4,-2,0,4}【】[Key] (6)B(7)如果直线y=ax＋2与直线y=3x－b关于直线y＝x对称,那么(C)a=3,b=-2(D)a=3,b=6【】[Key] (7)A(A)圆(B)椭圆(C)双曲线的一支(D)抛物线【】[Key] (8)D(B){(2,3)}(C)(2,3)(D){(x,y)│y=x+1}【】[Key] (9)B【】[Key] (10)D(11)如图,正三棱锥S ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°【】[Key] (11)C(12)已知h>0.设命题甲为:两个实数a,b满足│a－b│<2h;命题乙为:两个实数a,b满足│a－1│<h且│b-1│<h.那么(A)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件(B)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件(C)甲是乙的充分条件(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件【】[Key] (12)B(13)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）,那么不同的排法共有(A)24种(B)60种(C)90种(D)120种【】[Key] (13)B(14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有(A)70个(B)64个(C)58个(D)52个【】[Key] (14)C(15)设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C.又设图象C＇与C关于原点对称,那么C＇所对应的函数是(A)y=-arctg(x-2)(B)y=arctg(x-2)(C)y=-arctg(x+2)(D)y=arctg(x+2)【】[Key] (15)D二、填空题:把答案填在题中横线上.(17)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中,x2的系数等于.(18)已知{a n}是公差不为零的等差数列,如果S n是{a n}的前n项的和,那(19)函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是.(20)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,若E、F分别为AB、AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1:V2＝.[Key] 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.三、解答题.(21)有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.[Key] 三、解答题.(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程（组）解决问题的能力.解法一:①由②式得d=12-2a.③整理得a2-13a+36=0解得a1=4,a2=9.代入③式得d1=4,d2=-6.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法二:设四个数依次为x,y,12-y,16-x①由①式得x=3y-12.③将③式代入②式得y(16-3y+12)=(12-y)2,整理得y2-13y+36=0.解得y1=4,y2=9.代入③式得x1=0,x2=15.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.[Key] (22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.解法一:由已知得解法二:如图,不妨设0≤α≤β＜2π,且点A的坐标是（cosα,sinα）,点B的坐标是（cosβ,sinβ）,则点A,B在单位圆x2+y2=1上.连结连结OC,于是OC⊥AB,若设点D的坐标是（1,0）,再连结OA,OB,则有解法三:由题设得4(sinα+sinβ)=3(cosα+cosβ).将②式代入①式,可得sin(α-)=sin(-β).于是α－＝(2k+1)π-(-β)(k∈Z),或α-=2kπ+(-β)(k∈Z).若α-=(2k+1)π-(-β)(k∈Z),则α＝β＋(2k+1)π(k∈Z).于是sinα=-sinβ,即sinα+sinβ=0.由此可知α-=2kπ+(-β)(k∈Z),即α＋β＝2+2kπ(k∈Z).所以(23)如图,在三棱锥S ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA ＝AB,SB＝BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.[Key] (23)本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.解法一:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E,∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.又∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上,∴SA⊥BD.而SC∩SA＝S,∴BD⊥面SAC.∵DE＝面SAC∩面BDE,DC＝面SAC∩面BDC,∴BD⊥DE,BD⊥DC.∴∠EDC是所求的二面角的平面角.∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.设SA＝a,又因为AB⊥BC,∴∠ACS＝30°.又已知DE⊥SC,所以∠EDC＝60°,即所求的二面角等于60°.解法二:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC;又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面ABC上的射影也在AC上,根据三垂线定理又得BD⊥DE.∵DE面BDE,DC面BDC,∴∠EDC是所求的二面角的平面角.以下同解法一.(24)设a≥0,在复数集C中解方程z2+2│z│＝a.[Key] (24)本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力.解法一:设z＝x+yi,代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为x2+2│x│=a.③(Ⅰ)令x>0,方程③变为x2＋2x=a.④.由此可知:当a=0时,方程④无正根;(Ⅱ)令x<0,方程③变为x2-2x=a.⑤.由此可知:当a=0时,方程⑤无负根;当a>0时,方程⑤有负根x=1-.(Ⅲ)令x=0,方程③变为0=a.由此可知:当a=0时,方程⑥有零解x=0;当a>0时,方程⑥无零解.所以,原方程的实数解是:当a=0时,z=0;.情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为-y2+2│y│=a.⑦(Ⅰ)令y>0,方程⑦变为-y2+2y=a,即(y-1)2=1-a.⑧由此可知:当a>1时,方程⑧无实根.当a≤1时解方程⑧得y=1±,从而,当a=0时,方程⑧有正根y=2;当0<a≤1时,方程⑧有正根y=1±.(Ⅱ)令y<0,方程⑦变为-y2-2y=a,即(y+1)2=1-a.⑨由此可知:当a>1时,方程⑨无实根.当a≤1时解方程⑨得y=-1±,从而,当a=0时,方程⑨有负根y=-2;当0<a≤1时,方程⑨有负根y=-1±所以,原方程的纯虚数解是:当a=0时,z=±2i;当0<a≤1时,z=±(1+)i,z=±(1-)i.而当a>1时,原方程无纯虚数解.解法二:设z=x+yi代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为x2+2│x│=a.即| x |2+2│x│=a.③解方程③得,所以,原方程的实数解是.情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为-y2+2│y│=a.即-│y│2 +2│y│=a.④当a=0时,因y≠0,解方程④得│y│=2,即当a=0时,原方程的纯虚数解是z=±2i.当0<a≤1时,解方程④得,即当0<a≤1时,原方程的纯虚数解是.而当a>1时,方程④无实根,所以这时原方程无纯虚数解.解法三:因为z2=-2│z│+a是实数,所以若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数,即z=x或z=yi(y≠0).情形1.若z=x.以下同解法一或解法二中的情形1.情形2.若z=yi(y≠0).以下同解法一或解法二中的情形2.解法四:设z=r(cosθ+isinθ),其中r≥0,0≤θ<2π.代入原方程得r2cos2θ＋2r+ir2sin2θ＝a.于是原方程等价于方程组情形1.若r=0.①式变成0=a.③由此可知:当a=0时,r=0是方程③的解.当a>0时,方程③无解.所以,当a=0时,原方程有解z=0;当a>0时,原方程无零解.考查r>0的情形.(Ⅰ)当k=0,2时,对应的复数是z=±r.因cos2θ=1,故①式化为r2+2r=a.④.由此可知:当a=0时,方程④无正根;当a>0时,方程④有正根.所以,当a>0时,原方程有解.(Ⅱ)当k=1,3时,对应的复数是z=±ri.因cos2θ=-1,故①式化为-r2+2r=a,即(r-1)2=1-a,⑤由此可知:当a>1时,方程⑤无实根,从而无正根;.从而,当a=0时,方程⑤有正根r=2;.所以,当a=0时,原方程有解z=±2i;当0<a≤1时,原方程有解当a>1时,原方程无纯虚数解.[Key] (25)本小题考查椭圆的性质,距离公式,最大值知识以及分析问题的能力.解法一:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是其中a>b>0待定,0≤θ<2π.设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则大值,由题设得,因此必有,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的参数方程是.解法二:设所求椭圆的直角坐标方程是其中a>b>0待定.,设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则其中-byb.由此得,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的直角坐标方程是n≥2.(Ⅰ)如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围;(Ⅱ)如果a∈(0,1],证明2f(x)<f(2x)当x≠0时成立.[Key] (26)本题考查对数函数,指数函数,数学归纳法,不等式的知识以及综合运用有关知识解决问题的能力.(Ⅰ)解:f(x)当x∈(-∞,1]时有意义的条件是1+2x+…(n-1)x+n x a>0x∈(-∞,1],n≥2,上都是增函数,在(-∞,1]上也是增函数,从而它在x=1时取得最大值也就是a的取值范围为(Ⅱ)证法一:2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.即[1+2x+…+(n-1)x+n x a]2<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a]a∈(0,1],x≠0.②现用数学归纳法证明②式.（A）先证明当n=2时②式成立.假如0<a<1,x≠0,则(1+2x a)2=1+2·2x a+22x a2≤2(1+22x)<2(1+22x a).假如a=1,x≠0,因为1≠2x,所以因而当n=2时②式成立.（B）假如当n=k(k≥2)时②式成立,即有[1+2x+…+(k-1)x+k x a]2<k[1+22x+…+(k-1)2x a] a∈(0,1],x≠0,那么,当a∈(0,1],x≠0时[(1+2x+…+k x)+(k+1)xa]2=(1+2x+…+k x)2+2(1+2x+…+k x)(k+1)x a+(k+1)2x a2<k(1+22x+…+k2x)+2(1+2x+…+k x)(k+1)x a+(k+1)2x a2=k(1+22x+…+k2x)+[2·1·(k+1)x a+2·2x(k+1)x a+…+2k x(k+1)x a]+(k+1)2x a2<k(1+22x+…+k2x)+{[1+(k+1)2x a2]+[22x+(k+1)2x a2]+…+[k2x+(k+1)2x a2]}+(k+1)2x a2]=(k+1)[1+22x+…+k2x+(k+1)2x a2]≤(k+1)[1+22x+…+k2x+(k+1)2x a],这就是说,当n=k+1时②式也成立.根据(A),(B)可知,②式对任何n≥2(n∈N)都成立.即有2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.证法二:只需证明n≥2时因为其中等号当且仅当a1=a2=…=a n时成立.利用上面结果知,当a=1,x≠0时,因1≠2x,所以有[1+2x+…+(n-1)x+n x]2<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x].当0<a<1,x≠0时,因a2<a,所以有[1+2x+…+(n-1)x+n x a]2≤n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a2]<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a].即有2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.选校网 高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库(按ctrl 点击打开)。
1990年全国卷高考理科数学真题及答案
1990年全国卷高考理科数学真题及答案一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）1．（4分）方程=的解是（）A．x=B．x=C．x =D．x=92．（4分）把复数1+i 对应的向量按顺时针方向旋转所得到的向量对应的复数是（）A．B．iC．D．3．（4分）如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于（）A．B．C．D．4．（4分）方程sin2x=sinx在区间（0，2π）内的解的个数是（）A．1B．2C．3D．45．（4分）已知如图是函数y=2sin（ωx+φ）（|φ|＜）的图象，那么（）A．ϖ=，φ=B．ϖ=，φ=﹣C．ϖ=2，φ=D．ϖ=2，φ=﹣6．（4分）函数的值域是（）A．{﹣2，4} B．{﹣2，0，4} C．{﹣2，0，2，4} D．{﹣4，﹣2，0，4}7．（4分）如果直线y=ax+2与直线y=3x﹣b关于直线y=x对称，那么（）A．a=，b=6 B．a=，b=﹣6C．a=3，b=﹣2 D．a=3，b=68．（4分）极坐标方程4sinθ=5ρ表示的曲线是（）A ． 圆B ． 椭圆C ． 双曲线的一支D ． 抛物线9．（4分）设全集I={（x ，y ）|x ，y ∈R}，集合M={（x ，y ）|=1}，N=（x ，y ）|y ≠x+1．那么等于（ ）A ．B ． {（2，3）}C ． （2，3）D ． {（x ，y ）|y=x+1}10．（4分）（2010•建德市模拟）若实数x 、y 满足（x+2）2+y 2=3，则的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．11．（4分）如图，正三棱锥SABC 的侧棱与底面边长相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ）A ． 90°B ． 60°C ． 45°D ． 30° 12．（4分）已知h ＞0．设命题甲为：两个实数a ，b 满足|a ﹣b|＜2h ；命题乙为：两个实数a ，b 满足|a ﹣1|＜h 且|b ﹣1|＜h ．那么（ ） A ． 甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件 B ． 甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件 C ． 甲是乙的充分条件 D ． 甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 13．（4分）A ，B ，C ，D ，E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（A ，B 可以不相邻），那么不同的排法共有（ ） A ． 24种 B ． 60种 C ． 90种 D ． 120种 14．（4分）以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ） A ． 70个 B ． 64个 C ． 58个 D ． 52个 15．（4分）设函数y=arctgx 的图象沿x 轴正方向平移2个单位所得到的图象为C ．又设图象C'与C 关于原点对称，那么C'所对应的函数是（ ） A ． y =﹣arctg （x ﹣2） B ． y =arctg （x ﹣2） C ． y =﹣arctg （x+2） D ． y =arctg （x+2）二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）16．（5分）双曲线的准线方程是_________ ．17．（5分）（x﹣1）﹣（x﹣1）2+（x﹣1）3﹣（x﹣1）4+（x﹣1）5的展开式中，x2的系数等于_________ ．18．（5分）（2011•上海模拟）已知{a n}是公差不为零的等差数列，如果s n是{a n}的前n项的和，那么等于_________ ．19．（5分）函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是_________ ．20．（5分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1：V2= _________ ．三、解答题（共6小题，满分65分）21．（10分）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．22．（10分）已知sina+sinB=，cosa+cosB=，求tg（a+B）的值．23．（10分）如图，在三棱锥SABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC．DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E．又SA=AB，SB=BC．求以BD为棱，以BDE与BDC为面的二面角的度数．24．（11分）设a为实数，在复数集C中解方程：z2+2|z|=a．25．（12分）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P（0）到这个椭圆上的点最远距离是．求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标．26．（12分）f（x）=lg，其中a是实数，n是任意自然数且n≥2．（Ⅰ）如果f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义，求a的取值范围；（Ⅱ）如果a∈（0，1]，证明2f（x）＜f（2x）当x≠0时成立．参考答案一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）1．考点：对数的运算性质；指数式与对数式的互化．分析：根据指数式与对数式的互化可知，⇔，进而得到答案．解答：解：∵∴∴故选A．点评：本题主要考查指数式与对数式的相互转化．2．考点：复数代数形式的混合运算．分析：把复数1+i乘以cos（﹣）+isin（﹣），化简为代数形式即可．解答：解：复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转所得到的向量：（1+i）[cos（﹣）+isin（﹣）]=（1+i）=，故选D．点评：复数旋转，实际上复数乘以一个模为1的辅角为﹣复数三角形式，注意旋转方向，本题是基础题．3．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：设圆柱高为h，推出底面半径，求出圆柱的侧面积，然后求出圆柱的体积即可得到选项．解答：解：设圆柱高为h，则底面半径为．由题意知，S=πh2，∴h=，∴V=π（）2•h=．故选D．点评：本题是基础题，考查圆柱的侧面积、体积的计算及其关系，考查计算能力，常考题型．4．考点：正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：通过二倍角公式化简的2sinxcosx=sinx，进而推断sinx=0或cosx=，进而求出x的值．解答：解：sin2x=2sinxcosx=sinx∴sinx=0或cosx=∵x∈（0，2π）∴x=π或或故选C点评：本题主要考查了三角函数的二倍角公式．属基础题．5．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；数形结合法．分析：由图象过（0，1）及|φ|＜，求出ψ的值，函数图象过点（，0），据五点法作图的过程知ω•+=2π，求出ω．解答：解：因为函数图象过（0，1），所以，1=2sinφ，∴sinφ=，∵|φ|＜，∴φ=，故函数y=2sin（ωx+），又∵函数图象过点（，0），∴0=2sin（ω•+），由五点法作图的过程知，ω•+=2π，∴ω=2，综上，φ=，ω=2，故选C．点评：本题考查五点法作图的方法，在本题图中的一个完整的标准周期内，图象上的五个关键点的横坐标分别为：0，，π，，2π．6．考点：函数的值域；三角函数的化简求值．专题：计算题；分类讨论．分析：根据正切和余切的定义求出函数的定义域，分四种情况由三角函数值的符号，去掉绝对值求解．解答：解：由题意知，函数的定义域是{x|x≠，k∈Z}，下由各个象限中三角函数值的符号来确定在各个象限中函数的值当x是第一象限角时，因所有三角函数值大于零，故y=4；当x是第二象限角时，因为只有正弦值大于零，故y=1﹣1﹣1﹣1=﹣2；当x是第三象限角时，因为正切值和余切值大于零，故y=﹣1﹣1+1+1=0；当x是第四象限角时，因为只有余弦值大于零，故y=﹣2；所以函数的值域是{﹣2，0，4}．故选B．点评：本题主要考查了三角函数的定义以及符号，根据定义求出函数的定义域，由三角函数值的符号进行化简求值．7．考点：反函数．分析：本题考查对互为反函数的两个函数图象之间的关系、反函数的求法等相关知识；本题可有两种方法，其一，求出y=ax+2的反函数令其与y=3x﹣b的对应系数相等获得，其二由互为反函数图象上的点之间的对称关系，通过在图象上取特殊点求解．解答：解：法一：由题意，函数y=3x﹣b的反函数为y=，与y=ax+2对照可得a=，b=6；法二：在y=ax+2上取点（0，2），则点（2，0）在y=3x﹣b上，故得b=6；又y=3x﹣6上有点（0，﹣6），则点（﹣6，0）在y=ax+2上，代入得a=，由此可得a=，b=6答案：a=，b=6点评：本题解题思路清晰，方向明确，运算量也小，属于容易题目．这里提供了两种方法，比较可见各有特点，直接求反函数过程简捷，较为简单，特值代入，小巧易行，过程稍繁．8．考点：简单曲线的极坐标方程．分析：先在极坐标方程4sinθ=5ρ的两边同乘以ρ，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得直角坐标系，再利用直角坐标方程即可进行判断．解答：解：将方程4sinθ=5ρ两边都乘以p得：4ρsinθ=5ρ2，化成直角坐标方程为5x2+5y2﹣4y=0．它表示一个圆．故选A．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．9．考点：交、并、补集的混合运算．分析：先化简集合M，再计算．解答：解：∵M={（x，y）|y=x+1或（x，y）≠（2，3）}，∴，又∵．∴．故答案选B．点评：本题主要考查了集合间的交，并，补混合运算，注意弄清各集合中的元素．10．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：先判断出方程表示的图形，再给赋与几何意义，作出图象，结合图判断出当直线与圆相切时斜率最大求出最大值．解答：解：（x+2）2+y2=3，表示以（﹣2，0）为圆心，以为半径的圆表示圆上的点与（0，0）连线的斜率，设为k则y=kx由图知，当过原点的直线与圆相切时斜率最大故有解得或由图知，故选A点评：本题考查圆的标准方程、两点连线斜率公式的形式、数形结合求最值．11．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；压轴题．分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点AC的中点D，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，再利用余弦定理求出此角即可．解答：解：如图，取AC的中点D，连接DE、DF，∠DEF为异面直线EF与SA所成的角设棱长为2，则DE=1，DF=1，根据SA⊥BC，则ED⊥DF∴∠DEF=45°，故选C．点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．12．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：巧妙运用绝对值不等式|a|+|b|≥|a+b|及必要、充分条件，可以解答本题．解答：解：由|a﹣1|＜h且|b﹣1|＜h 得|a﹣b|=|a﹣1+1﹣b|≤|a﹣1|+|1﹣b|＜2h，所以甲是乙的必要条件；不妨令h=1，a=0.5，b=﹣0.3，|a﹣1|=0.5＜1，而|b﹣1|=1.3＞1，因而甲不是乙的充分条件．故选B点评：|a|+|b|≥|a+b|的合理运用，以及巧妙运用|a﹣1|+|1﹣b|的使用，是解答甲是乙的必要条件的一个关键；充分条件的推导用的是特殊值否定法．13．考点：排列、组合的实际应用．专题：转化思想．分析：根据题意，首先计算五人并排站成一排的情况数目，进而分析可得，B站在A的左边与B站在A的右边是等可能的，使用倍分法，计算可得答案．解答：解：根据题意，使用倍分法，五人并排站成一排，有A55种情况，而其中B站在A的左边与B站在A的右边是等可能的，则其情况数目是相等的，则B站在A的右边的情况数目为×A55=60，故选B．点评：本题考查排列、组合的应用，注意使用倍分法时，注意必须保证其各种情况是等可能的．考点：棱锥的结构特征．专题：压轴题；分类讨论．分析：以一个正方体的顶点为顶点中任意选4个除去在同一个平面上的点，可得四面体的个数．解答：解：正方体的8个顶点中任取4个共有C84=70个不能组成四面体的4个顶点有，已有的6个面，对角面有6个所以以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有：70﹣12=58个故选C．点评：本题考查棱锥的结构特征，考查逻辑思维能力，是中档题．15．考点：函数的图象与图象变化．专题：压轴题．分析：根据平移变换和对称变换引起的解析式变化规律依次求出C、C'对应的解析式即可．解答：解：将函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C则C对应的解析式为y=arctg（x﹣2）又∵图象C'与C关于原点对称则C'对应的解析式为y=﹣arctg（﹣x﹣2）=arctg（x+2）故选D点评：平移变换的口决是“左加右减，上加下减”对称变换的口决是“关于Y轴负里面，关于X轴负外面，关于原点，既负里面，又负外面”二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）16．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由焦点在y轴的双曲线的准线方程公式进行求解．解答：解：∵a=4，b=3，则c=5，双曲线的准线方程是，故答案是．点评：本题比较简单，解题时要注意双曲线的焦点在y轴上．17．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：多项式展开式的含x2项的系数等于各个二项式展开式的系数和，利用二项展开式的通项公式求出各个系数．解答：解：展开式中含x2项的系数为﹣1﹣C32﹣C42﹣C52=﹣1﹣3﹣6﹣10=﹣20故答案为﹣20点评：本题考查等价转化能力及二项展开式的通项公式的应用．18．考点：等差数列的性质；极限及其运算；等差数列的前n项和．分析：设a n=a1+（n﹣1）d，s n=na1+d，代入求出极限即可．解答：解：设a n=a1+（n﹣1）d，s n=na1+d，代入得===2故答案为2点评：考查学生运用等差数列性质的能力，运用等差数列求和公式的能力，会求极限及运算极限的能力．19．考点：三角函数的最值．专题：计算题；压轴题．分析：利用sinx与cosx的平方关系，令sinx+cosx=t，通过换元，将三角函数转化为二次函数，求出对称轴，利用二次函数的单调性求出最值．解答：解：令t=sinx+cosx=则∴sinxcosx=∴y==（）对称轴t=﹣1∴当t=时，y有最大值故答案为点评：本题考查三角函数中利用平方关系sinx+cosx与2sinxcosx两者是可以相互转化的、二次函数的最值的求法．20．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；压轴题．分析：设AEF面积为s1，ABC和A1B1C1的面积为s，三棱柱高位h；V AEF﹣A1B1C1=V1；V BCFE﹣B1C1=V2；总体积为：V，根据棱台体积公式求V1；V2=V﹣V1以及面积关系，求出体积之比．解答：解：由题：设AEF面积为s1，ABC和A1B1C1的面积为s，三棱柱高位h；V AEF﹣A1B1C1=V1；V BCFE﹣B1C1=V2；总体积为：V计算体积：V 1=h（s1+s+）①V=sh ②V2=V﹣V1③由题意可知，s1=④根据①②③④解方程可得：V1=sh，V2=sh；则故答案为：点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查计算能力，转化思想，考查空间想象能力，是基础题．三、解答题（共6小题，满分65分）21．考点：数列的应用．专题：计算题．分析：设四个数依次为x，y，12﹣y，16﹣x．根据等差数列和等比数列的性质知，由此能求出这四个数．解答：解：设四个数依次为x，y，12﹣y，16﹣x．依题意，有由①式得x=3y﹣12．③将③式代入②式得y（16﹣3y+12）=（12﹣y）2，整理得y2﹣13y+36=0．解得y1=4，y2=9．代入③式得x1=0，x2=15．从而得所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．22．考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数基本关系的运用．分析：和差化积，两已知等式出现相同的因式，两式相除，约分得角的正切，用二倍角公式代入即求的结果，注意二倍角公式的符号．解答：解法一：由已知得sinα+sinβ=2sin cos=，cos，两式相除得tan=，tan（α+β）==点评：数学课本中常见的三角函数恒等式的变换，既是重点，又是难点．其主要难于三角公式多，难记忆，角度变化、函数名称变化，运算符号复杂、难掌握，解题时抓住题目本质，熟记公式，才不会出错．23．考点：平面与平面之间的位置关系．专题：计算题．分析：欲证BD⊥DE，BD⊥DC，先证BD⊥面SAC，从而得到∠EDC是所求的二面角的平面角，利用Rt△SAC与Rt△EDC相似求出∠EDC即可．解答：解：由于SB=BC，且E是SC的中点，因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线，所以SC⊥BE．又已知SC⊥DE，BE∩DE=E，∴SC⊥面BDE，∴SC⊥BD．又∵SA⊥底面ABC，BD在底面ABC上，∴SA⊥BD．而SC∩SA=S，∴BD⊥面SAC．∵DE=面SAC∩面BDE，DC=面SAC∩面BDC，∴BD⊥DE，BD⊥DC．∴∠EDC是所求的二面角的平面角．∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC．设SA=a，则AB=a，BC=SB= a∵AB⊥BC，∴AC=，在Rt△SAC中tan∠ACS=∴∠ACS=30°．又已知DE⊥SC，所以∠EDC=60°，即所求的二面角等于60°．点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．24．考点：复数的基本概念；复数相等的充要条件．专题：压轴题；分类讨论．分析：由于z2=a﹣2|z|为实数，故z为纯虚数或实数，因而需分情况进行讨论．当z是实数时，本题是一个关于z的一元二次方程组，解方程组即可；当z是一个纯虚数时，按照实数方程求解得到z的虚部，写出纯虚数即可．解答：解：设|z|=r．若a＜0，则z2=a﹣2|z|＜0，于是z为纯虚数，从而r2=2r﹣a．由于z2=a﹣2|z|为实数，故z为纯虚数或实数，因而需分情况进行讨论．解得r=（r=＜0，不合，舍去）．故z=±（）i．若a≥0，对r作如下讨论：（1）若r≤a，则z2=a﹣2|z|≥0，于是z为实数．解方程r2=a﹣2r，得r=（r=＜0，不合，舍去）．故z=±（）．（2）若r＞a，则z2=a﹣2|z|＜0，于是z为纯虚数．解方程r2=2r﹣a，得r=或r=（a≤1）．故z=±（）i（a≤1）．综上所述，原方程的解的情况如下：当a＜0时，解为：z=±（）i；当0≤a≤1时，解为：z=±（），z=±（）i；当a＞1时，解为：z=±（）．点评：本题还可以令z=x+yi（x、y∈R）代入原方程后，由复数相等的条件将复数方程化归为关于x，y的实系数的二元方程组来求解．25．考点：椭圆的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题设条件取椭圆的参数方程，其中0≤θ＜2π，根据已知条件和椭圆的性质能够推出b=1，a=2．从而求出这个椭圆的方程和椭圆上到点P的距离等于的点的坐标．解答：解：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是，其中0≤θ＜2π，由可得，即a=2b．设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，则====．如果，即，则当sinθ=﹣1时，d2有最大值，由题设得，由此得，与矛盾．因此必有成立，于是当时，d2有最大值，由题设得，由此可得b=1，a=2．∴椭圆的方程是，所求椭圆的参数方程是，由可得，椭圆上的点和到点P的距离都是．点评：本题考查椭圆的性质及其应用，解题时要注意参数方程的合理运用．26．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）、f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义的条件是1+2x+…+（n﹣1）x+n x a＞0，x∈（﹣∞，1]，n≥2，，然后由函数的单调性求实数a的取值范围．（Ⅱ）、欲证如果a∈（0，1]，证明2f（x）＜f（2x）当x≠0时成立，只需证明n≥2时，[1+2x+…+（n﹣1）x+n x a]2＜n[1+22x+…+（n﹣1）2x+n2x a]，a∈（0，1]，x≠0即可得证．解答：解：（Ⅰ）f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义的条件是1+2x+…+（n﹣1）x+n x a＞0，x∈（﹣∞，1]，n≥2，即，∵上都是增函数，∴在（﹣∞，1]上也是增函数，从而它在x=1时取得最大值．所以，∵等价于，故a的取值范围是{a|a＞﹣}．（Ⅱ）证明：只需证明n≥2时，[1+2x+…+（n﹣1）x+n x a]2＜n[1+22x+…+（n﹣1）2x+n2x a]，a∈（0，1]，x≠0．∵（a1+a2+…+a n2）2=（a12+a22+…a n2）+2（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）≤（a12+a22+…a n2）+[（a12+a22）+…+（a12+a n2）]+[（a22+a32）+…+（a22+a n2）]+…+[（a n﹣22+a n﹣12）+（a n﹣22+a n2）]+（a n﹣12+a n2）=n（a12+a22+…+a n2）．于是（a1+a2+…+a n）2≤n（a12+a22+…+a n2）当a1=a2=…=a n时成立．利用上面结果知，当a=1，x≠0时，因1≠2x，所以有[1+2x+…+（n﹣1）x+n x a]2＜n[1+22x+…+（n﹣1）2x+n2x a]，a∈（0，1]，当0＜a＜1，x≠0时，因a2＜a，所以有[1+2x+…+（n﹣1）x+n x a]2＜n[1+22x+…+（n﹣1）2x+n2x a]，即有2f（x）＜f（2x）a∈（0，1]，x≠0．点评：本题是比较难的对数函数的综合题，在解题过程中要注意等价转化思想的灵活运用，并且细心运算，避免不必要的错误．。
1988-1998年高考文科数学试题参考答案
SA BCD1988年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案 满分120分，120分钟一、（本题满分45分）BCDBA BDDAC ACBAC二、（本题满分20分）本题共5小题，每1个小题满分4分只要求直接写出结果1.2;π611． 2.2x =- ． 3.-3． 4.3cm 548π． 5.3． 三、（本题满分10分）证明：∵cos3cos(2)ααα=+cos cos 2sin sin 2αααα=-22cos (2cos 1)2sin cos αααα=--322cos cos 2(1cos )cos αααα=---34cos 3cos αα=-，∴结论成立． 四．（本题满分10分）解：∵SB ⊥底面ABCD ，∴斜线段SA 在底面上的射影为AB ． ∵AD ⊥AB ，∴AD ⊥SA ．连接BD ，则BD =2． ∵SB ⊥BD ，∴SD ==，∴sin 5AD SD α===． 五、（本题满分11分）解：由题意知，点P 的坐标(,)a b 是方程组221,(1)(2)a b ⎧-=⎪=的解，且0a >．由（1）得||a b =>， ∴a b >，∴（2）式可变形为2a b -=． （3） 由（1），（3）可得12a b +=，（4） 由（3），（4）解得53,44a b ==-， ∴所求的点P 的坐标为53(,)44-．六、（本题满分12分）解：原不等式等价于不等式组2210, 1112x xx x ⎧->⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩（）. （），即 由不等式（1）解得1x >或10x -<<．（3）由不等式（2）解得x <0x <<（4） 由（3），（4）得112x -<<或112x +<<， ∴原不等式解集为151,⎛⎛+- ⎝⎭⎝⎭． 七、（本题满分12分）解：由已知条件知2121k k a a +--[5(21)1][5(21)1]10k k =++--+=， ∴135,,a a a ，…，21m a -是以16a =为首项，10为公差的等差数列．又由已知条件知22222222222k k k ka a ++==， ∴246,,a a a ，…，2m a 是以22a =为首项，2为公比的等比数列．∴数列{}n a 的前2m 项和为2135(m S a a a =+++…21)m a -++ 246(a a a +++…2)m a +[65(21)1]2(12)212m m m +-+-=+-21522m m m +=++-．D 1C 1B 1A 1N MO D C B A 1989年普通高等学校招生全国统一考试文科数学答案 满分120分，120分钟一、选择题（本题满分36分，共12个小题，内每一个小题选对得3分） 1-12 ADCBA CDBBD DC二、填空题本题满分24分，共6个小题，每一个小题满分4分果.13.10x y +-= 14.(,1)(4,)-∞-+∞15.(1,1)- 16.必要，必要17.(3,4) 18.900三、解答题本题满分60分，共6个小题. 19.（本小题满分8分）解：5551(1)2()2=55532(cos sin )33i ππ=+252532(cos sin )33i ππ=+32(cos sin )33i ππ=+，∴复数z 的模为32，的模和辐角的主值为.3π 20．（本小题满分8分）证明：3sinsin32222cos cos 22x xx x tg tg -=- 33sin cos cos sin2222cos cos22x x x x -=sin 3cos cos22xx x =2sin cos cos 2x x x =+. 21．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）连接1AO ，则1AO ⊥底面ABCD .作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ．连接1A M ，1A N ，则由三垂线定理得1A M ⊥AB ，1A N ⊥AD .∵∠1A AM =∠1A AN ，∴Rt △1A NA ≌Rt △1A MA ， ∴1A M =1A N ，∴OM ON =.∴点O 在∠BAD 的平分线上. （Ⅱ）由条件及（Ⅰ）知AM =1AA 13cos3322π=⋅=，∴AO =AM csc4AM AO π==.又在Rt △1AOA 中，2221199922AO AA AO =-=-=.∴1A O =∴平行六面体的体积54V =⋅22．（本小题满分10分）证：令2222(1223)(3445)n S =⋅-⋅+⋅-⋅22[(21)(2)2(21)]n n n n ++--+.下面用数学归纳法证明. (1)(43)n S n n n =-++. ①当1n =时，221122314S =⋅-⋅=-,-1·2·7=-14， ∴当1n =时，(1)(43)n S n n n =-++. ②假设当(1)n k k =≥时等式成立，即 (1)(43)k S k k k =-++ 那么，当1n k =+时， 1(1)(43)k S k k k +=-+++y (0,1)内22)cα，即时，).1990年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）参考答案 满分120分，120分钟一、选择题:本题考查基本知识和基本运算. 1-15 ACDBD CABAC BDACB二、填空题:本题考查基本知识和基本运算. 16．3 17．20- 18．219．7:5 20三、解答题.21.本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程组.解决问题的能力.解一:设四个数依次为,,a d a a d -+，2()a d a +,则由已知条件得 2()16,12.a d a d a a a d ⎧+-+=⎪⎨⎪++=⎩消去d ，整理得213360a a -+=， 解得 124,9a a ==.代入③式得 124,6d d ==-.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 解二:设四个数依次为,,12,16x y y x --，则由已知条件得2122, (1)(16)(12).(2)x y y y x y +-=⎧⎨-=-⎩ 由1.式得312x y =-. (3) 将(3)式代入2.式得2(16312)(12)y y y -+=-, 整理得 213360y y -+=. 解得 124,9y y ==. 代入3.式得120,15x x == .从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 22.本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力. 解：由已知得sin sin 3cos cos 4αβαβ+=+，即2sincos32242cos cos22αβαβαβαβ+-=+-， ∴3tan 24αβ+=， ∴22tan2tan()1tan 2αβαβαβ++=+- 2322447314⨯==⎛⎫- ⎪⎝⎭． 23.本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.解一: ∵SB ＝BC ,且E 是SC 的中点,∴BE 是等腰三角形SBC 的边SC 的中线, ∴SC ⊥BE ．又已知SC ⊥DE ,BE ∩DE ＝E , ∴SC ⊥面BDE , ∴SC ⊥BD .又∵SA ⊥底面ABC ，BD 在底面ABC 内， ∴SA ⊥BD .而SC ∩SA ＝S ,∴BD ⊥面SAC . ∵DE ＝面SAC ∩面BDE , DC ＝面SAC ∩面BDC , ∴BD ⊥DE ，BD ⊥DC .∴∠EDC 是所求的二面角的平面角. ∵SA ⊥底面ABC ,∴SA ⊥AB ,SA ⊥AC ． 设SA ＝a ，则AB = a ，BC =SB． 又∵AB ⊥BC，∴AC =． 在R t SAC ∆中SA tg ACS AC ∠==， ∴∠ACS ＝30°.又已知DE ⊥SC ,所以∠EDC ＝60°， 即所求的二面角等于60°．解二: ∵SB ＝BC,且E 是SC 的中点,∴BE 是等腰三角形SBC 的边SC 的中线, ∴SC ⊥BE ．又已知SC ⊥DE ,BE ∩DE ＝E ， ∴SC ⊥面BDE , ∴SC ⊥BD ．∵SA ⊥底面ABC ,且A 是垂足, ∴AC 是SC 在平面ABC 上的射影. 由三垂线定理的逆定理得BD ⊥AC ;又∵E ∈SC ,AC 是SC 在平面ABC 上的射影, ∴E 在平面ABC 上的射影在AC 上, ∵D ∈AC ,∴DE 在平面 ABC 上的射影也在AC 上, 根据三垂线定理又得BD ⊥DE. ∵DE ⊂面BDE ,DC ⊂面BDC ,∴∠EDC 是所求的二面角的平面角． 以下同解法一.24. 本小题考查对数,不等式的基本知识及运算能力.解:原不等式可化为2log (43)log (42)a a x x x +->-. ① 当01a <<时,①式等价于22420,430,4342x x x x x x ->⎧⎪+->⎨⎪+-<-⎩，即1,214,32x x x x ⎧>⎪⎪-<<⎨⎪<->⎪⎩或， ∴24x <<,即当01a <<时,原不等式的解集是()2,4.当1a >时,①式等价于22420,430,4342x x x x x x ->⎧⎪+->⎨⎪+->-⎩，即1,214,32x x x ⎧>⎪⎪-<<⎨⎪-<⎪⎩<， ∴142x <<，即 当1a >时,原不等式的解集是1,22⎛⎫⎪⎝⎭.综上可得，当01a <<时,原不等式的解集是()2,4；当1a >时,原不等式的解集是1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 25.本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力.解：设(,R)z x yi x y =+∈,代入原方程得222x y xyi a -+=，即22,(1)0. (2)x y a xy ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩ 由(2)式得0x =或0y =. ① 若0x =，则方程(1)为2y a -+=，即220(0)y y a y ++=<， (3)或220(0)y y a y -+=≥．(4).由(3)得2(1)1(0)y a y +=-<，当01a ≤≤时，1y =-1y =-，当1a >时无解．由(4)得2(1)1(0)y a y -=-≥，当01a ≤≤时，1y =，或1y = 当1a >时无解．综上可得，当01a ≤≤时，(1z i =±+，或(1z i =±-当1a >时无解．②若0y =，则方程（1）为2x a +=，即2(1)1(0)x a x +=+≥， (5)或2(1)1(0)x a x -=+<． (6) ∵0a ≥，∴解(5)得1x =-； 解(6)得1x =综上可得，1z =±．③若0x =且0y =，则方程（1）为0a =，当0a =时，0x =，0y =是其解；当0a ≠时无解．当0a =时，0z =是其解；当0a ≠时无解．显然，当0a =时，0z =包含在上述两种情况之中．综上可得，实数解为(1z =±； 当01a ≤≤时，(1z i =±，或(1z i =±，当1a >时无纯虚数解．26.本小题考查椭圆的性质,距离公式,最大值知识以及分析问题的能力.解：设所求椭圆的直角坐标方程是22221(0)x y a b a b +=>>，则 222222314c a b b e a a a -⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即 2a b =，∴椭圆的方程可变形为222214x y b b+=．设椭圆上的点(,)x y 到点P 的距离为d ，则22232d x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭22234()2b y y ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭2213432y b ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭，其中b y b -≤≤.若102b <<，则当y b =-时，2d 有最大值，且2372b ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解之得3122b =>，与102b <<相矛盾，舍去． 若12b ≥，则当12y =-时，2d 有最大值，且2437b +=，解之得1b =， ∴2,1a b ==,∴所求椭圆的直角坐标方程是2214x y +=． 当12y =-时，x =∴所求的点的坐标是12⎛⎫- ⎪⎝⎭．B 1C 1A B C DA 11991年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)参考解答试卷共三道大题26个小题.．满分120分，考试时间120分钟．一、选择题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分45分．1-15 ADBCB ADABC ACCBC二．填空题．本题考查基本知识基本运算．每小题3分，满分15分． 16.(2,2)- 17.2－5 18.(4,2)- 19.1+51020.2 三．解答题 21.（满分8分）解：22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++212sin cos 2cos x x x =++ sin 2cos 22x x =++224x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．当sin 2=14x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭时，函数y 有最大值，且最大值为2+2．说明：①没有说明“当sin 2=14x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭时，函数y 有最大值”而得出正确答案，不扣分．②本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质 22.（满分8分） 解：∵ 1z i =+，∴ 2236(1)3(1)6111z z i i z i -++-++=+++312i i i-==-+， ∴1i -的模为22)1(1-+=2，辐角的主值74π，∴所给复数的模为2，辐角的主值74π．说明：本小题考查复数基本概念和运算能力了．23.（满分10分）解：∵ A 1A ⊥底面ABC ，∴ A 1A ⊥BC ． 又∵BC ⊥BB 1，且棱AA 1和BB 1的延长线交于一点，∴ BC ⊥侧面A 1ABB 1，∴ BC ⊥AB ．∴ △ABC 是直角三角形，∠ABC =90º．并且∠ABB 1就是BB 1和底面ABC 所成的角，且 ∠ABB 1=45º．作B 1D ⊥AB 交AB 于D ，则B 1D ∥A 1A ， ∴B 1D ⊥底面ABC ．∵在Rt △B 1DB 中，∠DBB 1=45º， ∴DB =DB 1=AA 1=a ，∴AB =2a ． ∵由于棱台的两个底面相似， ∴Rt △ABC ∽Rt △A 1B 1C 1．∵B 1C 1=A 1B 1=a ，AB =2a ，∴ BC =2a ．∴12S =上A 1B 1×B 1C 1=22a ，12S =下AB ×BC =2a 2．13V =·A 1A ·()下下上上S S S S +⋅+=31·a ·.67222232222a a a a a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+ 说明：本小题考查直线与直线，直线与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力．24.（满分10分）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，∴ ()1112a n dn b +-⎛⎫= ⎪⎝⎭．∴()111222132111==222aa da db b b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭·由12318b b b =，得3218b =，即212b =． 代入已知条件得12312318218b b b b b b ⎧=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=.817413131b b b b ， 解得1312,8b b ==或131,28b b ==，∴11,2a d =-=或13,2a d ==-．当11,2a d =-=时，23n a n =-； 当13,2a d ==-时，52n a n =-． 说明：本小题考查等差数列，等比数列的概念及运用方程组.解决问题的能力． 25.（满分12分）解： 原不等式可变形为4222xx a a a -->． ①（1）.当01a <<时，由①式得42220x x a -+<，即()22211x a -<- ．∵ 01a <<，∴2011x <<<x <<x <<． ∴当01a <<时，原不等式的解集为⎛ ⎝． （2） 当1a >时，由①式得42220x x a -+>， 即()22211x a ->-．∵1a >，∴210a -<，∴不等式()22211x a ->-对任意实数x恒成立，即得原不等式的解集为R ．综上可得：当01a <<时，原不等式的解集为⎛ ⎝； 当1a >时，原不等式的解集为R ．说明：本小题考查指数函数性质、解不等式及综合分析能力． 26.（满分12分）解：设所求椭圆方程为22221x y a b+=．由方程组22221,1x y a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得2222(1)1x x a b++=，即 2222222()20a b x a x a a b +++-=． ① 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则12,x x 方程①的两个根，且2122222212222,.a x x a b a a b x x a b ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩∵OP OQ ⊥，∴1212OP OQ y yk k x x ⋅=⋅1212(1)(1)1x x x x ++=⋅=-，即12122()10x x x x +++=，∴222222222()210a a b a a b a b --+=++，即 22222a b a b =+．∴12221221,1.2x x b b x x b ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩∵PQ =，∴252PQ =，∴221212()()x x y y -+-222121212()()2()x x x x x x =-+-=-212122()4x x x x ⎡⎤=+-⎣⎦222222222224a a a b a b a b ⎡⎤⎛⎫-=--⋅⎢⎥⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦421252(2)2b b =-+=， 解得22b =或223b =，从而223a =或22a =．∴223a =，22b =或22a =，223b =，∴所求椭圆的方程为132222=+y x ，或.123222=+y x 说明：本小题考查椭圆的性质、两点的距离公式、两条直线垂直条件、二次方程根与系数的关系及分析问题的能力．KH G B 1D 1C 1F A B C ED A 11992年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)参考答案这份试卷共三道大题28个小题..满分120 分.考试时间120分钟一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．1-18 ADDCD BBDDD BACDD CAC 二、填空题.本题考查基本知识和基本运算.每小题3分，满分15分.19.41 20.55- 21..x =－1 22.12815 23.1124)2(22=--y x . 三、解答题24.本小题主要考查三角函数恒等变形知识和运算能力（满分9分）.解：sin 220º+cos 280º＋3sin20ºcos80º=1cos 401cos16022-++sin 60)︒-︒13=1(cos160cos40)224+︒-︒+︒-=41－21·2sin100ºsin60º＋23sin100º =41－23sin100º＋23sin100º14=． 25.本小题主要考查复数相等的条件及解方程的知识（满分9分）.解：设 (,R)z x yi x y =+∈，则由已知条件得74x yi i +-=-+，由复数相等的定义，得7,4,x y ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩ 解得1254,3,3y x x ===，∴34z i =+或543z i =+．26.本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及空间想象能力和逻辑推理能力（满分10分）. 解一：∵ EB =BF =FD 1=D 1E=22)2(a a +=25a ， ∴四棱锥11A EBFD -的底面是菱形．连接A 1C 1，EF ，BD 1， 则A 1C 1∥EF ，∴A 1C 1∥平面1EBFD ，∴A 1C 1到底面EBFD 1的距离就是11A EBFD -的高．设G ，H 分别是A 1C 1，EF 的中点，连接D 1G ，GH ，则FH ⊥HG ， FH ⊥HD 1， ∴FH ⊥平面HGD 1． ∵FH ⊂平面1EBFD ， ∴面1EBFD ⊥平面1HGD ．作GK ⊥HD 1于K ，则GK ⊥面1EBFD ． ∵正方体的对角面AA 1CC 1垂直于底面A 1B 1C 1D 1,∴∠HGD 1=90º． 在Rt △HGD 1内，GD 1=22a ，HG =21a ，HD 1=21BD =23a ， ∴23a ·GK =21a ·22a ，从而GK =66a ．∴11EBFD A V -=311EBFD S 菱形·GK=31·21·EF ·BD 1·GK =61·2a ·3a ·66a 31=6a ． 解二 ∵ EB =BF =FD 1=D 1EB 1D 1C 1F AB C E DA1=22)2(a a +=25a ，∴ 四菱锥A 1－EBFD 1的底面是菱形．连接EF ，则△EFB ≌△EFD 1．∵三棱锥A 1－EFB 与三棱锥A 1－EFD 1等底同高，∴111EFD A EFB A V V --=，. ∴EFB A EBFD A V V --=1112．又11EBA F EFB A V V --=， ∴1112EBA F EBFD A V V --=．∵CC 1∥平面ABB 1A 1，∴三棱锥F －EBA 1的高就是CC 1到平面ABB 1A 1的距离，即棱长a ． 又△EBA 1边EA 1上的高为a ， ∴11EBFD A V -=2·31·1EBA S ∆·a =61a 3． 27.本小题主要考查有关直线方程的知识及综合运用知识的能力（满分10分）. 解：由已知条件知顶点A 为直线 210x y -+=与直线0y =的交点，∴由210,0x y y -+=⎧⎨=⎩解得顶点(1,0)A -．∴AB 的斜率2011(1)AB k -==--，∵x 轴是A ∠的平分线，∴1AC k =-，且直线AC 所在直线的方程为(1)y x =-+． ① ∵边BC 上的高所在直线的方程为 210x y -+=，∴2BC k =-，且BC 所在的直线方程为 22(1)y x -=--，即 24y x =-+． ② 由①，②联立解得顶点C 的坐标为(5,6)-． ∴点A 和点C 的坐标分别为(1,0)A -，(5,6)C -，28.本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力（满分12分）. 解：（Ⅰ）由已知条件得()()31121131212,12121120,213131130,2a a d S a d S a d ⎧=+=⎪⎪⨯-⎪=+⋅>⎨⎪⎪⨯-=+⋅<⎪⎩即 111122,2110,60,a d a d a d =-⎧⎪+>⎨⎪+<⎩ ∴ 2470,30,d d +>⎧⎨+<⎩解得 2437d -<<-． （Ⅱ）解一：由（Ⅰ）知0d <， ∴{}n a 单调递减．由已知条件得11313713()1302a a S a +==<，即70a <；112126712()6()02a a S a a +==+>，即670a a +>，∴60a >． ∴在1212,,,S S S 中6S 的值最大．（Ⅱ）解二：()d n n na S n 211-+=()()d n n d n 121212-+-=22124124=552222d d n d d ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦． ∵0d <，∴ 224521⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--d n 最小时，n S 最大．当2437d -<<-时， 124136522d ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，∵正整数6n =时224521⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--d n 最小，∴6S 最大．（Ⅱ）.解三：由（Ⅰ）.知0d <， ∴{}n a 单调递减．∵ 12130,0,S S >⎧⎨<⎩∴111211120,21312130.2a d a d ⨯⎧+>⎪⎪⎨⨯⎪+<⎪⎩∴1150,260,d a d a d ⎧+>->⎪⎨⎪+<⎩即670,0.a a >⎧⎨<⎩ ∴在12,S S ，…，12S 中6S 的值最大．1993年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答本试卷分第Ⅰ卷(选择题.和第Ⅱ卷(非选择题.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共68分.一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分68分．1-17 ACBBA DCABD CADDA CB第Ⅱ卷(非选择题共82分).二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分24分. 18.－a 2 19.{k ||k |>31} 20.100 21..1 22.1760 23.30 三、解答题24.本小题考查三角函数式的恒等变形及运算能力（满分10分） 解. tg20º+4sin20º︒︒︒+︒=20cos 20cos 20sin 420sin ︒︒+︒=20cos 40sin 220sin()︒︒+︒+︒=20cos 40sin 40sin 20sin ︒︒+︒︒=20cos 40sin 10cos 30sin 2︒︒+︒=20cos 40sin 80sin ︒︒︒=20cos 20cos 60sin 2︒=60sin 23=. 25.本小题考查函数的奇偶性、对数函数的性质、不等式的性质和解法等基本知识及运算能力（满分12分） 解：(Ⅰ)由已知函数知011>-+xx， 解得－1<x <1；∴()f x 的定义域为(1,1)-． (Ⅱ) ∵ ()1log 1axf x x--=+ ()1log 1axf x x+=-=--， ∴ f (x .为奇函数．(Ⅲ.由(Ⅰ.知，()f x 的定义域为(1,1)-，∴当1a >时，由1log 01axx+>-得 111>-+xx，解得01x <<； 当01a <<时，由1log 01axx+>-得 1011x x+<<-，解得10x -<<．综上所述，当1a >时，()0f x >的x 取值范围(0,1)；当01a <<时，()0f x >的x 取值范围(1,0)-．26.本小题考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法（满分12分） 解：由12382448,92549S S S ===,， 48081S =… ，猜想 ()()()N n n n S n ∈+-+=2212112．下面用数学归纳法证明如下：①当1n =时，98313221=-=S ，等式成立．②设当n k =时等式成立，即()().1211222+-+=k k S k 则()()()221321218++++=+k k k S S k k ()()()()()222232121812112+++++-+=k k k k k ()()()()()222232121832]112[+++++-+=k k k k k ()()()()()()22222321218323212+++++-++=k k k k k k ()()()()()222223212123212+++-++=k k k k k ()()2232132+-+=k k ()()22]112[1]112[++-++=k k ，a /d c b a P βαy N a 2a 1Q b a A BCP βMαy由此可知，当1n k =+时等式也成立． 根据①②可知，等式对任何n N ∈都成立． 27.本小题考查直线与平面的平行、垂直和两平面垂直的基础知识，及空间想象能力和逻辑思维能力（满分12分） 证法一：(Ⅰ)设α∩γ=AB ，β∩γ=AC ．在γ内任取一点P ，并在γ内作直线PM ⊥AB ，PN ⊥AC 交AB ，AC 于点,M N ．∵γ⊥α，∴PM ⊥α． 而 a ⊂α，∴PM ⊥a ． 同理PN ⊥a ．又PM ⊂γ，PN ⊂γ，∴ a ⊥γ．(Ⅱ)在直线a 上任取点Q ，过b 与Q 作一平面交α于直线1a ，交β于直线2a ． ∵b ∥α，∴b ∥1a ． 同理b ∥2a ． ∴ 1a ∥2a ． ∵12a a Q =，∴1a 与2a 重合． 又1a ⊂α，2a ⊂β，∴1a ，2a 都是α，β的交线，即都重合于a ．∵b ∥1a ，∴ b ∥a ． 而a ⊥γ，∴b ⊥γ．证法二：(Ⅰ.在a 上任取一点P ，过P 作直线a '⊥γ．∵α⊥γ，P ∈α，∴a '⊂α． 同理a '⊂β．∴ a '是α，β的交线，即a '重合于a ．又a '⊥γ，∴ a ⊥γ．(Ⅱ.于α内任取不在a 上的一点，过b 和该点作平面与α交于直线c ．同理过b 作平面与β交于直线d ．∵b ∥α，b ∥β．∴b ∥c ，b ∥d ． 又c ⊄β，d ⊂β，∴c 与d 不重合，且c ∥d ． ∴c ∥β．∵c ∥β，c ⊂α，α∩β=a ， ∴c ∥a ．∵b ∥c ，a ∥c ，b 与a 不重合(b ⊄α，a ⊂α.， ∴b ∥a ．而a ⊥γ，∴b ⊥γ．28.本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力（满分12分）解法一：如图，以MN 所在直线为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，设以,M N 为焦点且过点P 的椭圆方程为12222=+by a x ，且焦点为(,0),(,0)(0)M c N c c ->．由tan ,tan 22PMN MNP ∠=∠=-知，直线PM 和直线PN 的斜率分别为1,22，直线方程分别为1(),2()2y x c y x c =+=-．由1(),22()y x c y x c ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩解得54,33x c y c ==，即54,33P c c ⎛⎫⎪⎝⎭． 在PMN ∆中，|MN |=2c ，MN 上的高为点P 的纵坐标，∴214421233MNP S c c c ∆=⋅⋅==，∴c =P 点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332635，． 由椭圆过点P 得2a PM PN =+=，∴a =． ∴222153344b a c =-=-=， ∴所求椭圆方程为1315422=+y x ． 解法二：同解法一得23=c ，P 点的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛332635，．∵ 点P 在椭圆上，且222a b c =+，∴ 13322363522222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b b ，即 423830b b --=，解得23b =，或213b =- (舍去.．∴222154a b c =+=，∴所求椭圆方程为1315422=+y x ． 说明：本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力．本题也可用正弦定理求解．1994年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题(本题考查基本知识和基本运算第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分)1-15 CDBAB DBAAC CBDDC第Ⅱ卷(非选择题共85分)二、填空题(本题考查基本知识和基本运算.每空格4分，共24分)16．－189 17．223,(2)1x x y =-+= 18．43- 19．322π 20．121(a a n++…)n a + 三、解答题21.本小题考查利用有关三角公式并借助辅助角求三角函数最小值的方法及运算能力，满分11分.解：332sin3sin cos3cos sin 2cos 2x x x xy x x+=+ 222sin3sin sin cos3cos cos sin 2cos 2x x x x x x x x+=+ 222(cos2cos4)sin (cos2cos4)cos 2cos 2x x x x x x x-++=sin 2x +2cos 2(1cos 4)sin 22cos 2x x x x +=+ 222cos 2cos 2sin 22cos 2x x x x=+cos 2sin 2x x =+)4x π=+．当sin(2)14x π+=-，即3()8x k k Z ππ=-∈时，函数y 取得最小值22.本小题考查对数函数性质、平均值不等式等知识及推理论证的能力.满分12分.解：∵+12,R x x ∈，∴212122x x x x +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(当且仅当12x x =时取“=”号) ．当1a >时，21212log ()log 2a a x x x x +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴12121log ()log 22a a x x x x +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即 []12121()()()22x x f x f x f ++≤ (当且仅当12x x =时取“=”号) ． 当01a <<时，21212log ()log 2a a x x x x +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，∴12121(log log )log 22a a a x x x x ++>， 即[]12121()()()22x x f x f x f ++≥ (当且仅当12x x =时取“=”号) ．23.本小题考查空间线面关系，正棱柱的性质，空间想象能力和逻辑推理能力.满分12分.(1)证明：∵A 1B 1C 1－ABC 是正三棱柱， ∴四边形B 1BCC 1是矩形.连接B 1C ，交BC 1于E ，则B 1E =EC . 连结DE .在△AB 1C 中，∵AD =DC ， ∴DE ∥AB 1．又AB 1⊄平面DBC 1，DE ⊂平面DBC 1 ∴AB 1∥DBC 1．(2)解：作AF ⊥BC ，垂足为F . ∵面ABC ⊥面B 1BCC 1， ∴AF ⊥B 1BCC 1平面.连接B 1F ，则B 1F 是AB 1在平面B 1BCC 1内的射影．∵BC 1⊥AB 1， ∴BC 1⊥B 1F . ∵四边形B 1BCC 1是矩形， ∴∠B 1BF =∠BCC 1=90º；∠FB 1B =∠C 1BC ，∴△B 1BF ∽△BCC 1， ∴BB BFC C BF BC B B 111==． 又F 为正三角形ABC 的BC 边中点， ∴B 1B 2=BF ·BC =1×2=2， ∴B 1F 2= B 1B 2+ BF 2=3，∴B 1F =3，即线段1AB 在平面11BCC B 内射影长为3．24.本小题考查曲线与方程的关系，轨迹的概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力.满分12分.解：如图，设MN 切圆于N ，动点M 的坐标为(,)x y ，则由已知条件得22222(1)()4(14)0x y x λλλ-+-++=． ∴动点M 的轨迹方程是22222(1)()4(14)0x y x λλλ-+-++=．当1λ=时，动点M 的轨迹方程是54x =，它表示一条直线；当1λ≠时，动点M 的轨迹方程是()222222221311x y λλλλ⎛⎫+-+= ⎪-⎝⎭-，它表示以点222,01λλ⎛⎫⎪-⎝⎭为圆心，13122-+λλ为半径的圆．25.本小题考查等差数列的基础知识，数学归纳法及推理论证能力.满分14分. 证法一：令21d a a =-．下面用数学归纳法证明．1(1)()n a a n d n N =+-∈．(1)当1n =时，上述等式为恒等式11a a =； 当2n =时，1121(21)()a d a a a +-=+-2a =，等式成立.(2)假设当(2)n k k =≥时命题成立，即1(1)k a a k d =+-．由已知条件有()12k k k a a S +=， ()()11112k k k a a S ++++=， ∴11k k k a S S ++=-()()111(1)22k k k a a k a a ++++=-，整理得11(1)(1)(1)k k a k a k k d +-=-+-． ∵2k ≥，∴11k a a kd +=+，即 当1n k =+时等式成立． 由(1)和(2)，等式对所有的自然数n 成立，从而{}n a 是等差数列．证法二：当n ≥2时，由已知条件()()21111--+-=n n a a n S ，()21n n a a n S +=， ∴1n n n a S S -=- ()()111(1)22n n n a a n a a -+-+=-；同理可得11n n n a S S ++=-()()111(1)22n n n a a n a a ++++=-，∴()()11111()2n n n nn a a a a n a a ++++-=-+()()1112n n a a --++，整理得 11n n n n a a a a +--=-， ∴{}n a 是等差数列．1995年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题(本题考查基本知识和基本运算第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分)1-15 BDCBD CACAA BDDCA第Ⅱ卷(非选择题共85分)二、填空题(本题考查基本知识和基本运算，本大题共5小题，每小题4分，共20分) 16．3 17．3237 18．3 19．4 20．144三、解答题（本大题共6小题，共65分） 21．本小题主要考查指数方程的解法及运算能力，本小题满分7分.解：设30x y =>，则原方程可化为098092=--y y ，解得：91=y ，912-=y （舍去）由93=x得2=x ， ∴原方程的解为2=x ．22．本小题主要考查复数的有关概念，三角公式及运算能力，本小题满分12分． 解：由已知条件得)sin (cos )sin (cos 22θθθθi i z z +++=+θθθθs i n c o s 2s i n 2c o s i i +++= )2c o s 23(s i n 2c o s 23c o s 2θθθθi +=)23s i n 23(c o s 2c o s 2θθθi +=)23sin()23[cos(2cos 2θπθπθ+-++--=i ∵)2,(ππθ∈，∴(,)22θππ∈，∴0)2cos(2>-θ．∵复数z z +2的模为2cos 2θ-，辐角)(23)12(z k k ∈+-θπ． 23.本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识以及逻辑推理能力，本小题满分10分.证：设}{n a 的公比为q ，由题设知01>a ，0>q ，(1)当1=q 时，1na S n =，从而22111(2)n n n S S S na n a ++⋅-=+22211(1)0n a a -+=-<.(2) )当1≠q 时，()qq a S nn --=111，从而221n n n S S S ++⋅-()()()()()22221112211111n n n a q q a q q q ++---=---021<-=n q a ．由(1)和(2)得212++<⋅n n n S S S ．根据对数函数的单调性，得215.025.0log )(log ++>⋅n n n S S S ，即 15.025.05.0log 2log log ++>+n n n S S S ．24．本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力，本小题满分12分．解：(1)根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ． ∵EB ⊂平面ABE ，∴DA ⊥EB ．∵AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上， ∴AE ⊥EB ． 又AE ∩AD =A ， ∴EB ⊥平面DAE ． ∵AF ⊂平面DAE ， ∴EB ⊥AF ． 又AF ⊥DE ，且 EB ∩DE =E ，∴AF ⊥平面DEB ．∵DB ⊂平面DEB ，∴AF ⊥DB ．(2)设点E 到平面ABCD 的距离为d ，记AD =h ．∵圆柱轴截面ABCD 是矩形，∴AD ⊥AB ．∴221ahAD AB S ABD =⋅=∆，∴dah S d V V ABD ABD E ABE D 613===∆--．又h a AD AB V 2242ππ=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=圆柱， 由题设知ππ36142=dah ha ，即2a d =． 25．本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力，以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法，本小题满分12分． 解：解：(1)由 Q P =有()2840500)8(1000--=-+x t x ，即0)280644)808(522=+-+-+t t x t x （．当判别式0168002≥-=∆t，即 0t ≤≤25052548t t x -±-=．由0≥∆，0≥t ，148≤≤x ，得不等式组：①0488145t t ⎧≤≤⎪⎨≤-+⎪⎩或 ②048814.5t t ⎧≤≤⎪⎨≤-≤⎪⎩解不等式组①，得100≤≤t ，不等式组②无解．∴所求的函数关系式为25052548t t x -+-=．函数的定义域为]10,0[． (2)为使10≤x ，应有8105052542≤-+-t t ，即 0542≥-+t t ．解得1≥t 或5-≤t ，由0≥t 知1≥t ． 从而政府补贴至少为每千克1元．26．本小题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法，利用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思想和综合运用知识的能力，本小题满分12分．解：设点P 、Q 、R 的坐标分别为),12(P y ，),(y x ，),(R R y x ，由题设知0>R x ，0>x ，由点R 在椭圆上及点O 、Q 、R 共线，得方程组221,2416,R RR R x y y y x x⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2222222248, (1)2348. (2)23R R x x x y y y x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩由点O ，Q ，P 共线，得xyy P =12，即xy y P 12=．（3）由题设|OQ |·|OP |=|OR |2得()222222212RRpyxy y x +=+⋅+将（1），（2），（3）式代入上式，整理得点Q 的轨迹方程132)1(22=+-y x )0(>x ． 所以点Q 的轨迹是以(1，0)为中心，长、短半轴长分别为1和36，且长轴在x 轴上的椭圆，去掉坐标圆点．1996年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答 第Ⅰ卷(选择题共65分)一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第1－10题每小题4分，第11－15题每小题5分．满分65分．1-15 CADBC DADAC BDCAB第Ⅱ卷(非选择题共85分)二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 16．4 17．32 18．3 19．42 三、解答题20．本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力． 解：（Ⅰ）当1>a 时，原不等式等价于不等式组：⎩⎨⎧>-+>-+.1,01a a x a x 解得12->a x ． (Ⅱ)当10<<a 时，原不等式等价于不等式组10,1.x a x a a +->⎧⎨+-<⎩ 解得 121-<<-a x a ．综上，当1>a 时，不等式的解集为 }12|{->a x x ;当10<<a 时，不等式的解集为 }121|{-<<-a x a x ．21．本小题主要考查等比数列的基础知识，逻辑推理能力和运算能力．解：若1=q ，则有133a S =，166a S =，199a S =．由9632S S S =+得1113618a a a +=，解得 10a =，与01≠a 相矛盾， ∴1≠q ．由9632S S S =+得qq a q q a q q a --=--+--1)1(21)1(1)1(916131 整理得 0)12(363=--q q q ．由0≠q 得方程 01236=--q q ．0)1)(12(33=-+q q ，∵1≠q ，013≠-q ， ∴0123=+q ，∴243-=q ． 22．本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算能力．满分12分．解：由题设条件知B =60°，A +C =120°．∴11cos cos cos60A C +==-，即 C A C A cos cos 22cos cos -=+，2coscos 22A C A C +-)cos()]A C A C =++-，2cos 60cos 2A C-︒cos()]A C =︒+-，1cos cos()]22A C A C -=-+-，023)2cos(2)2(cos 242=--+-CA C A ，,0)32cos 22)(22cos 2(=+---C A C A∵,032cos 22≠+-CA ∴.022cos 2=--CA 从而得.222cos =-C A 23．本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力运算能力．满分12分． (Ⅰ)②∵BE :CF =1:2， ∴ DC =2BD ， ∴ DB =BC ，③∵△ABD 是等腰三角形， 且∠ABD =120º，∴∠BAD =30º，∴∠CAD =90º， ④∵FC ⊥面ACD ，∴CA 是F A 在面ACD 上射影， 且DA ⊥AC ，GB 1C 1F AB C E DA 1⑤∵F A ∩AC =A ，DA ⊥面ACF ， DA ⊂面ADF ．(Ⅱ)解：∵ F AA E AEF A V V 11--=． 在面A 1B 1C 1内作B 1G ⊥A 1C 1，垂足为G ，则231aG B =．∵面A 1B 1C 1⊥面A 1 C ，B 1G ⊥A 1C 1， ∴B 1G ⊥面A 1 C ．∵ E ∈B B 1，而B B 1∥面A 1 C ， ∴ 三棱柱E －AA 1F 的高为23a ， ∴ 1211322AA F a S AA AC ∆=⋅=，∴43311a V V F AA E AEF A ==--．24．本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．解：设耕地平均每年至多只能减少x 公顷，又设该地区现有人口为P 人，粮食单产为M 吨/公顷．依题意得不等式4410(10.22)(1010)10(10.1)(10.01)M x Mp p+-≥++，化简得]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-⨯≤x ． ∵]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-⨯ 3122101011010[1(10.010.01122C C =-+⋅+⋅+…)]]1045.122.11.11[103⨯-⨯≈ 1.4≈，∴4≤x （公顷）．答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷．25．本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满分12分．解：（I ）依题设，直线12,l l 的斜率都存在，且设直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，，则121k k =-，且直线12,l l 的方程分别为11(0)y k x k =≠， ①22(0)y k x k =≠． ②将①代入双曲线方程得221(1k x x ⎡⎤-=⎣⎦，即 01222)1(2121221=-++-k x k x k ．③由题设条件知0121≠-k ，且22221111)4(1)(21)k k ∆=--- 214(31)0k =->．将②代入双曲线方程得222(1k x x ⎡⎤-=⎣⎦，即 01222)1(2222222=-++-k x k x k ．④由题设条件知2210k -≠，且2224(31)0k ∆=->，即21110k -≠，且22134(1)0k ∆=->． ∴1l ，2l 与双曲线各有两个交点，等价于21211310,310,1.k k k ⎧->⎪⎪->⎨⎪⎪≠⎩解得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<.1,33311k k ∴)3,1()1,33()33,1()1,3(1 ----∈k ． (Ⅱ)双曲线122=-x y 的顶点(0,1),(0,1)-．取1(0,1)A 时，有1)20(1=+k ，解得221=k ． 从而2112-=-=k k ． 将22-=k 代入方程④得03242=++x x ． ⑤令2l 与双曲线的两交点为),(112y x A ，),(222y x B ，则12,x x 是方程⑤的两个根，且12123x x x x +=-=， ∴222221212||()()A B x x y y =-+-221212123()3[()4]x x x x x x =-=+-，∴ 60||222=B A ， 152||22=B A ． 当取1(0,1)A -时，由双曲线221y x -=关于x 轴的对称性，知152||22=B A ， ∴1l 过双曲线的一个顶点时，152||22=B A ．1997年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答 第Ⅰ卷（选择题共65分）一、选择题：本大题共15小题；第(1)—(10)题每小题4分，第(11)—(15)题每小题5分，共65分．1-12 BBACB CDCAB ADCCB第Ⅱ卷(非选择题 共85分)二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．16．4 17．(4，2) 18．32- 19．①，④ 三、解答题：本大题共6小题；共69分． 20．(本小题满分10分)本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算等基础知识，考查利用三角公式进行变形的技能和运算能力． 解一：∵3sin 3cos 2321ππi i z +=+=，i 2222+=ω4sin 4cos ππi +=．由题意得377(cossin )1212zw zw i ππ+=+ 1313(cos sin )1212i ππ++)1213sin 127(sin )1213cos 127(cosππππ+++=i55sin )66i ππ=+，∴复数3zw zw +的模为2，辐角主值为65π． 解二：3zw zw +)1(2w zw += )1)(2222)(2321(i i i +++= )2123(2i i +-=55sin )66i ππ=+，， ∴复数3zw zw +的模为2，辐角主值为65π． 21．(本小题满分11分)本小题主要考查等差数列、等比数列、方程组等基础知识，考查运算能力．解：设等差数列}{n a 的公差为d ，则3133S a d =+，4146S a d =+， 51510S a d =+．由已知条件得234534111,345112,34S S S S S ⎧⎛⎫⋅=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩其中05≠S ，即 2111113()()(2),23()()2,2a d a d a d a d a d ⎧++=+⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎩ 整理得211350,52 2.2a d d a d ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得11,0a d ==，或1124,5a d ==-，∴1n a =，或1232124(1)555n a n n =--=-．当1n a =时，55=S ；当321255n a n =-时，54S =-． ∴等差数列}{n a 的通项为1=n a ，或n a n 512532-=．22．(本小题满分12分)本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力． 解：（Ⅰ）由题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为vS ， 全程运输成本为)(2bv vaS v S bv v S a y +=⋅+⋅=， ∴所求函数及其定义域为],0(),(c v bv vaS y ∈+=．(Ⅱ)由题意知S ，a ，b ，v 都为正数，∴ab S bv vaS 2)(≥+，当且仅当a bv v =．即bav =时上式中等号成立． 若c b a≤，则当bav =时，全程运输成本y 最小；若c b a>，则当],0(c v ∈时，有 )()(bc c aS bv v a S +-+ )]()[(bc bv c av a S -+-==))((bcv a v c vcS-- ∵0≥-v c ，且2a bc >，∵02>-≥-bc a bcv a ，∴)()(bc caS bv v a S +≥+，且仅当cv =时等号成立，也即当c v =时，全程运输成本y 最小． 综上知，为使全程运输成本y 最小，当c b ab ≤时行驶速度应为b abv =；当c bab>时行驶速度应为c v =． 说明：当c ba>时，可用函数单调性、导数方法求最小值．23．(本小题满分12分)本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，考查逻辑推理和空间想象能力． 解:(Ⅰ)∵AC 1是正方体， ∴AD ⊥面DC 1．又D 1F ⊂面DC 1，∴F D AD 1⊥．(Ⅱ)取AB 中点G ，连接A 1G ，FG ． ∵F 是CD 的中点，∴GF ，AD 平行且相等． 又∵A 1D 1，AD 平行且相等， ∴GF ，A 1D 1平行且相等，∴GFD 1A 1是平行四边形，A 1G ∥D 1F ． 设A 1G 与AE 相交于点H ，则∠AHA 1是AE 与D 1F 所成的角，∵E 是BB 1的中点，∴Rt △A 1AG ≌Rt △ABE ，∠GA 1A =∠GAH ， ∴∠AHA 1=90°，即直线AE 与D 1F 所成角为直角．(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD ⊥D 1F ，由(Ⅱ)知AE ⊥D 1F ，又AD ∩AE =A ，∴D 1F ⊥面AED ．又因为D 1F ⊂面A 1FD 1， ∴面AED ⊥面A 1FD 1． (Ⅳ)∵体积E AA F F AA E V V 11--=，又FG ⊥面ABB 1A 1，三棱锥F －AA 1E 的高21==AA FG ， 面积2221212111=⨯==∆A ABB E AA S S 矩形． ∴ 3422313111=⨯⨯=⨯⨯=∆-FG S V E AA FAA E ． 24．(本小题满分12分)本小题主要考查对数函数图像、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力． 解：(Ⅰ)设点A ，B 的横坐标分别为1x ，2x ，。
1990年全国高考数学(文科)试题
1990年普通高等学校招生全国统一考试文科数学一、选择题:本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.1.方程3log 124x=的解是A.19x=B.3x=C.x=9x=2. 202000cos75cos15cos75cos15++的值等于A.232C.54D.14+3.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于4.把复数1i+对应的向量按顺时针方向旋转23π，所得到的向量对应的复数是A.1122i-++B.1122i--+5.双曲线221169y x-=的准线方程是A.y=x=165x=± D.165y=±6.已知如图是函数2sin() ()2y xπωϕϕ=+<的图象,A.10116πωϕ==， B.10116πωϕ==-，C.26πωϕ==， D.26πωϕ==-，7.设命题甲为: 05x<<；命题乙为: 23x-<.那么A.甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件.111B.甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件.C.甲是乙的充要条件.D.甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件.8.函数cos cot sin tan sin cos tan cot x x x x y x x x x=+++的值域是 A.{}2,4- B.{}2,0,4- C.{}2,0,24-， D.{}4,2,0,4--9.如果直线2y ax =+与直线3y x b =+关于直线y x =对称,那么 A.1,63a b == B.1,63a b ==- C.3,2a b ==- D.3,6a b == 10.如果抛物线2(1)y a x =+的准线方程是3x =-,那么这条抛物线的焦点坐标是A.(3,0)B.(2,0)C.(1,0)D.(1,0)-11.设全集{}(,),I x y x y R =∈，集合3(,)12y M x y x ⎧-⎫==⎨⎬-⎩⎭，{}(,)1N x y y x =≠+，那么M N =A.∅B.{}(2,3)C.(2,3)D.{}(,)1x y y x =+ 12.,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边,那么不同的排法共有A.60种B.48种C.36种D.24种13.已知53()8f x x ax bx =++-,且(2)10f -=,那么(2)f 等于A.26B.18-C.10-D.18-14.如图,正三棱锥S ABC -的侧棱与底面边长相等,如果,E F 分别为SC 、AB 的中点,那么异面直线EF 与SA 所成的角等于A.090B.060C.045D.03015.以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有A.6个B.12个C.18个D.30个AB C S E F二、填空题: 本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填在题中横线上.16.已知3sin 5α=，(,)2παπ∈，那么sin 2α的值等于 . 17.2345(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ---+---+-的展开式中, 2x 的系数等于 .18.已知{}n a 是公差不为零的等差数列，如果n S 是数列{}n a 的前项的和，那么lim n n n na S →∞= . 19.如图,三棱柱111ABC A B C -中,若,E F 分别为,AB AC 的中点,平面11EB C F 将三棱柱分成体积为1V 、2V那么1V :2V = .20.如果实数,x y 满足等式22(2)3x y -+=，那么y x的最大值是 . 三、解答题. 本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.21.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.22.已知1sin sin 4αβ+=，1cos cos 3αβ+=，求tan()αβ+的值. 23.如图,在三棱锥S ABC -中, SA ⊥底面ABC ,AB BC ⊥.DE 垂直平分SC ,且分别交AC 、SC 于,D E .又SA AB =,SB BC =.求以BD 为棱,以BDE 与BDC 为面的二面角的度数.24.已知0a >,1a ≠,解不等式2log (43)log (21)log 2a a a x x x +--->. 25.设0a ≥,在复数集C 中解方程22z z a +=.26.设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上， 离心率e =3(0,)2P 。
1990年高考真题及答案解析
1990年高考真题及答案解析1990年的高考是中国改革开放后的第十一个高考，也是改革开放以来的第一个高考。
这一年的高考对于那个时代的学子们来说具有特殊的意义。
本文将对1990年高考的真题及答案进行解析，探讨当时的教育状况以及对现代教育的启示。
一、语文1990年高考的语文试卷是经典之一，以史为鉴，题材广泛涵盖了文学、历史、哲学等方面的内容。
其中最具代表性的题目是《智者》这篇美文的理解题。
这篇美文通过一个小故事，讲述了智者在为集市上的居民提供智慧服务的故事。
通过阅读这篇文章，考生需要理解作者的意图以及文章所传达的哲理。
1990年高考语文试卷还包含了辨析词义、填空、改错等题目，较为全面地考查了学生的语文技能和理解能力。
其中出现了一道填空题“窗外飞来一只____(鸟)，落在柳树上。
”答案是“乌鸦”，这道题引发了对习惯思维的思考，考察了学生的逆向思维能力。
二、数学1990年高考数学试卷则注重解题的思维和运用。
一道计算题“将整式2x³-6x²-51x+4除以x²-3x-4，商式为____，余式为____。
”考查了学生的运算能力和解题思路。
此外，还出现了一道解几何问题的应用题，通过给出的图示和条件，要求学生求得一根绳子的长度，综合运用了各种几何概念和计算方法。
三、外语1990年高考外语试卷相对于语文和数学而言，更注重学生对于语法和词汇的掌握，并通过各种交际情境的设置，考查学生的综合应用能力。
一道阅读理解题“请把小费放在____上，以示感谢。
”要求学生根据上下文的提示，填写合适的词语，考察了学生的语境理解能力。
四、物理1990年高考物理试卷注重物理概念和实践应用的结合。
一道力学题要求学生根据所给信息，计算一个滑雪运动员沿着直滑坡下滑的加速度。
此题考察了学生对物理公式的理解和运用，以及对力学概念的把握。
五、化学化学试题则注重对于实验的应用和实践操作的能力。
一道酸碱滴定题要求学生通过实验记录和计算，确定一种食品样品的酸碱度。
1990年高考试题
1990年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷(理工农医类)一、填空题(每小题3分，共30分)1、函数v —4的定义域是。
x 22、函数y arcsinx， ( x [ 1,1]) 的反函数是__________________________ 。
3、过点(1,2)且与直线2x y 1 0平行的直线方程是_______________________4、已知圆柱的轴截面是正方形，它的面积是4cm2，那么这个圆柱的体积是_______________________ c m3(结果中保留 )。
3 A5、在ABC 中，已知cosA ，贝U sin ______________________ 。
5 26、设复数，则的值是______________________ 。
7、已知圆锥的中截面周长为a，母线长为I，则它的侧面积等于_______________ &已知(x a)7的展开式中，x4的系数是280，则实数a _______________________9、双曲线2mx2 my22的一条准线是y 1，贝U m ______________________ 。
10、平面上，四条平行直线与另外五条平行直线互相垂直，则它的矩形共有个(结果用数值表示)。
二、选择题(每小题3分，共30分)11、圆的半径是1，圆心的极坐标是(1,0)，则这个圆的极坐标方程是( )(A)、cos (B)、sin (C)、 2 cos(D)、2sin12、函数f (x)和g(x)的定义域均为R, “ f(x)、g(x)都是奇函数”是“ f (x)与g(x)的积是偶函数“的( )(A)、必要条件但非充分条件(B)、充分条件但非必要条件(C)、充分必要条件(D)、非充分条件也非必要条件13、设点P在有向线段AB的延长线上，P分AB所成的比为，贝U ( )(A)、 1 (B)、 1 0(C)、0 1 (D)、114、设2a 3，2b 6，2c12，则数列a，b，c ( )(A)、是等差数列但不是等比数列(B)、是等比数列但不是等差数列 (C)、既是等差数列又是等比数列(D)、既不是等差数列又不是等比数列15、设角属于第U象限，且|cos—| cos—，则一角属于( )2 2 2(A)、第I象限(B)、第U象限(C)、第川象限(D)、第W象限设过长方体同一个顶点的三个面的对角线长分别是 a 、b 、c ,那么这个长 方体的对角线长是 ( )(A) 、经过直线a 有且只有一个平面平行于直线b (B) 、经过直线a 有且只有一个平面垂直于直线b(C) 、存在分别经过直线a 和b 的两个互相平行的平面 (D) 、存在分别经过直线a 和b 的两个互相垂直的平面 列四个函数中，在定义域内不具有单调性的函数是 ()(A )、y ctg(arccosx) ( B)、y tg(arcsin x) (C )、 y sin(arctgx) (D )、y cos(arctgx) 解答题(共90分) (本题满分8分) 1已知 Iog 5(x 2 2x 2) 0, 2log 5(x 2) log 5 y -0,求 y 的值。
高考数学普通高等学校招生全国统一考试90
高考数学普通高等学校招生全国统一考试90本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第I 卷1至2页：第Ⅱ卷3至4页：共150分．第I 卷注意事项：1．答题前：考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上：考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后：用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动：用橡皮擦干净后：再选涂其他答案标号：第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答：在试题卷上作答：答案无效．3．考试结束：临考员将试题卷、答题卡一并收回． 参考公式：如果事件A 、B 互斥：那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π=如果事件A 、B 相互独立：那么 其中R 表示球的半径P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P ：那么n 次独立重复试验中恰好发生k 334R V π=次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题：每小题5分：共60分．在每小题给出的四个选项中：只有一项是符合题目要求的． 1．设集合⋃--==∈<=A B A Z x x x I 则},2,1,2{},2,1{},,3|||{（ B ）= （ ）A ．{1}B ．{1：2}C ．{2}D ．{0：1：2} 2．已知==ααcos ,32tan 则（ ） A ．54 B ．－54 C ．154 D ．－533．123)(x x +的展开式中：含x 的正整数次幂的项共有 （ ）A ．4项B ．3项C ．2项D ．1项 4．函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为（ ）IA ．（1：2）∪（2：3）B ．),3()1,(+∞⋃-∞C ．（1：3）D ．[1：3]5．设函数)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为（ ）A ．周期函数：最小正周期为32πB ．周期函数：最小正周期为3πC ．周期函数：数小正周期为π2D ．非周期函数6．已知向量的夹角为与则若c a c b a c b a ,25)(,5||),4,2(),2,1(=⋅+=--= （ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°7．将9个（含甲、乙）平均分成三组：甲、乙分在同一组：则不同分组方法的种数为（ ） A ．70 B ．140 C ．280 D ．840 8．在△ABC 中：设命题,sin sin sin :AcC b B a p ==命题q:△ABC 是等边三角形：那么命题p 是命题q 的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件9．矩形ABCD 中：AB=4：BC=3：沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B —AC —D ：则四面体ABCD 的外接球的体积为 （ ）A ．π12125B ．π9125 C ．π6125D ．π312510．已知实数a 、b 满足等式,)31()21(ba =下列五个关系式：①0<b <a ②a <b <0 ③0<a <b ④b <a <0 ⑤a =b 其中不可能成立的关系式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．在△OAB 中：O 为坐标原点：]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ：则当△OAB 的面积达最大值时：=θ（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π12．为了解某校高三学生的视力情况：随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况：得到频率分布直方图：如右：由于不慎将部分数据丢失：但知道前4组的频数成等比数列：后6组的频数成等差数列：设最大频率为a ：视力在到之间的学生数为b ：则a , b 的值分别为（ ） A ．0,27,78 B ．0,27,83 C ．2.7,78 D ．2.7,83第Ⅱ卷注意事项： 第Ⅱ卷2页：须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答：在试题卷上作答：答案无效。
1990年普通高等学校招生全国统一考试.文科数学试题及答案
1990年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.(2)cos275°+cos215°+cos75°cos15°的值等于(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于(6)已知上图是函数y=2sin(ωx+ψ)(│ψ│<)的图象,那么(7)设命题甲为:0<x<5;命题乙为:│x-2│<3.那么(A)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件.(B)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件.(C)甲是乙的充要条件.(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件.(A){-2,4} (B){-2,0,4}(C){-2,0,2,4} (D){-4,-2,0,4}(9)如果直线y=ax+2与直线y=3x-b关于直线y=x对称,那么(C)a=3,b=-2 (D)a=3,b=6(10)如果抛物线y2=a(x+1)的准线方程是x=-3,那么这条抛物线的焦点坐标是(A)(3,0) (B)(2,0)(C)(1,0) (D)(-1,0)(A)Ф (B){(2,3)}(C)(2,3) (D){(x,y)│y=x+1}(12)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果A,B必须相邻且B在A的右边,那么不同的排法共有(A)60种 (B)48种(C)36种 (D)24种(13)已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,那么f(2)等于(A)-26 (B)-18(C)-10 (D)10(14)如图,正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°(15)以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有(A)6个 (B)12个(C)18个 (D)30个二、填空题:把答案填在题中横线上.(17)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中,x2的系数等于 .(19)如图,三棱柱ABC—A1B1C1中,若E、F分别为AB、AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1:V2=三、解答题.(21)有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数(23)如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC.DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA=AB,SB=BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.(24)已知a>0,a≠1,解不等式loga(4+3x-x2)-loga(2x-1)>loga2.(25)设a≥0,在复数集C中解方程z2+2│z│=a.1990年试题(文史类)答案一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.(1)A (2)C (3)D (4)B (5)D(6)C (7)A (8)B (9)A (10)C(11)B (12)D (13)A (14)C (15)B二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.三、解答题.(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程(组)解决问题的能力.依题意有由②式得 d=12-2a. ③整理得 a2-13a+36=0.解得 a1=4, a2=9.代入③式得 d1=4, d2=-6.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法二:设四个数依次为x,y,12-y,16-x.依题意,有由①式得 x=3y-12. ③将③式代入②式得 y(16-3y+12)=(12-y)2,整理得 y2-13y+36=0.解得 y1=4,y2=9.代入③式得 x1=0,x2=15.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.(22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.解法一:由已知得两式相除得解法二:如图,不妨设0≤α≤β<2π,且点A的坐标是(cosα,sinα),点B的坐标是(cosβ,sinβ),则点A,B在单位圆x2+y2=1上.连结AB,若C是AB的中点,由题设知点C连结OC,于是OC⊥AB,若设点D的坐标是(1,0),再连结OA,OB,则有解法三:由题设得 4(sinα+sinβ)=3(cosα+cosβ).将②式代入①式,可得 sin(α-j)=sin(j-β).于是α-j=(2k+1)π-(j-β)(k∈Z),或α-j=2kπ+(j-β)(k∈Z).若α-j=(2k+1)π-(j-β)(k∈Z),则α=β+(2k+1)π(k∈Z).于是 sinα=-sinβ,即sinα+sinβ=0.由此可知α-j=2kπ+(j-β)(k∈Z).即α+β=2j+2kπ(k∈Z).(23)本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.解法一:由于SB=BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE=E,∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.又∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上,∴SA⊥BD.而SC∩SA=S,∴BD⊥面SAC.∵ DE=面SAC∩面BDE,DC=面SAC∩面BDC,∴BD⊥DE,BD⊥DC.∴∠EDC是所求的二面角的平面角.∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.又已知DE⊥SC,所以∠EDC=60°,即所求的二面角等于60°.解法二:由于SB=BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE=E.∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC;又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面ABC上的射影在AC上,根据三垂线定理又得BD⊥DE.∵DE面BDE,DC面BDC,∴∠EDC是所求的二面角的平面角.以下同解法一.(24)本小题考查对数,不等式的基本知识及运算能力.解:原不等式可化为loga(4+3x-x2)>loga2(2x-1). ①当0<a<1时,①式等价于即当0<a<1时,原不等式的解集是{x│2<x<4}.当a>1时,①式等价于(25)本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力.解法一:设z=x+yi,代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1. 若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为x2+2│x│=a. ③(Ⅰ)令x>0,方程③变为x2+2x=a. ④由此可知:当a=0时,方程④无正根;(Ⅱ)令x<0,方程③变为x2-2x=a. ⑤由此可知:当a=0时,方程⑤无负根;(Ⅲ)令x=0,方程③变为0=a. ⑥由此可知:当a=0时,方程⑥有零解x=0;当a>0时,方程⑥无零解.所以,原方程的实数解是:当a=0时,z=0;情形2. 若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为-y2+2│y│=a.⑦(Ⅰ)令y>0,方程⑦变为-y2+2y=a,即(y-1)2=1-a. ⑧由此可知:当a>1时,方程⑧无实根.从而, 当a=0时,方程⑧有正根 y=2;(Ⅱ)令y<0,方程⑦变为-y2-2y=a,即(y+1)2=1-a. ⑨由此可知:当a>1时,方程⑨无实根.从而, 当a=0时,方程⑨有负根 y=-2;所以,原方程的纯虚数解是:当a=0时,z=±2i;而当a>1时,原方程无纯虚数解.解法二:设z=x+yi,代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1. 若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为x2+2│x│=a.情形2. 若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为-y2+2│y│=a.当a=0时,因y≠0,解方程④得│y│=2,即当a=0时,原方程的纯虚数解是z=±2i.即当0<a≤1时,原方程的纯虚数解是当a>1时,方程④无实根,所以这时原方程无纯虚数解.解法三:因为z2=-2│z│+a是实数,所以若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数,即z=x 或z=yi(y≠0).情形1. 若z=x.以下同解法一或解法二中的情形1.情形2. 若z=yi(y≠0).以下同解法一或解法二中的情形2.解法四:设z=r(cosθ+isinθ),其中r≥0,0≤θ<2π.代入原方程得r2cos2θ+2r+ir2sin2θ=a.于是原方程等价于方程组情形1. 若r=0.①式变成0=a. ③由此可知:当a=0时,r=0是方程③的解.当a>0时,方程③无解.所以, 当a=0时,原方程有解z=0;当a>0时,原方程无零解.(Ⅰ)当k=0,2时,对应的复数是z=±r.因cos2θ=1,故①式化为r2+2r=a. ④由此可知:当a=0时,方程④无正根;(Ⅱ)当k=1,3时,对应的复数是z=±ri.因cos2θ=-1,故①式化为-r2+2r=a,即(r-1)2=1-a, ⑤由此可知:当a>1时,方程⑤无实根,从而无正根;从而, 当a=0时,方程⑤有正根 r=2;所以, 当a=o时,原方程有解z=±2i;当0<a≤1时,原方程有解当a>1时,原方程无纯虚数解.。
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1990年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.(2)cos275°+cos215°+cos75°cos15°的值等于(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于(6)已知上图是函数y=2sin(ωx+ψ)(│ψ│<)的图象,那么(7)设命题甲为:0<x<5;命题乙为:│x-2│<3.那么(A)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件.(B)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件.(C)甲是乙的充要条件.(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件.(A){-2,4} (B){-2,0,4}(C){-2,0,2,4} (D){-4,-2,0,4}(9)如果直线y=ax+2与直线y=3x-b关于直线y=x对称,那么(C)a=3,b=-2 (D)a=3,b=6(10)如果抛物线y2=a(x+1)的准线方程是x=-3,那么这条抛物线的焦点坐标是(A)(3,0) (B)(2,0)(C)(1,0) (D)(-1,0)(A)Ф (B){(2,3)}(C)(2,3) (D){(x,y)│y=x+1}(12)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果A,B必须相邻且B在A的右边,那么不同的排法共有(A)60种 (B)48种(C)36种 (D)24种(13)已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,那么f(2)等于(A)-26 (B)-18(C)-10 (D)10(14)如图,正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°(15)以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有(A)6个 (B)12个(C)18个 (D)30个二、填空题:把答案填在题中横线上.(17)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中,x2的系数等于 .(19)如图,三棱柱ABC—A1B1C1中,若E、F分别为AB、AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1:V2=三、解答题.(21)有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数(23)如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC.DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA=AB,SB=BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.(24)已知a>0,a≠1,解不等式loga(4+3x-x2)-loga(2x-1)>loga2.(25)设a≥0,在复数集C中解方程z2+2│z│=a.1990年试题(文史类)答案一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.(1)A (2)C (3)D (4)B (5)D(6)C (7)A (8)B (9)A (10)C(11)B (12)D (13)A (14)C (15)B二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.三、解答题.(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程(组)解决问题的能力.依题意有由②式得 d=12-2a. ③整理得 a2-13a+36=0.解得 a1=4, a2=9.代入③式得 d1=4, d2=-6.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法二:设四个数依次为x,y,12-y,16-x.依题意,有由①式得 x=3y-12. ③将③式代入②式得 y(16-3y+12)=(12-y)2,整理得 y2-13y+36=0.解得 y1=4,y2=9.代入③式得 x1=0,x2=15.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.(22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.解法一:由已知得两式相除得解法二:如图,不妨设0≤α≤β<2π,且点A的坐标是(cosα,sinα),点B的坐标是(cosβ,sinβ),则点A,B在单位圆x2+y2=1上.连结AB,若C是AB的中点,由题设知点C连结OC,于是OC⊥AB,若设点D的坐标是(1,0),再连结OA,OB,则有解法三:由题设得4(sinα+sinβ)=3(cosα+cosβ).将②式代入①式,可得sin(α-j)=sin(j-β).于是α-j=(2k+1)π-(j-β)(k∈Z),或α-j=2kπ+(j-β)(k∈Z).若α-j=(2k+1)π-(j-β)(k∈Z),则α=β+(2k+1)π(k∈Z).于是sinα=-sinβ,即sinα+sinβ=0.由此可知α-j=2kπ+(j-β)(k∈Z).即α+β=2j+2kπ(k∈Z).(23)本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.解法一:由于SB=BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知 SC⊥DE,BE∩DE=E,∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.又∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上,∴SA⊥BD.而SC∩SA=S,∴BD⊥面SAC.∵ DE=面SAC∩面BDE,DC=面SAC∩面BDC,∴BD⊥DE,BD⊥DC.∴∠EDC是所求的二面角的平面角.∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.又已知DE⊥SC,所以∠EDC=60°,即所求的二面角等于60°.解法二:由于SB=BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE=E.∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC;又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面ABC上的射影在AC上,根据三垂线定理又得BD⊥DE.∵DE面BDE,DC面BDC,∴∠EDC是所求的二面角的平面角.以下同解法一.(24)本小题考查对数,不等式的基本知识及运算能力.解:原不等式可化为loga(4+3x-x2)>loga2(2x-1). ①当0<a<1时,①式等价于即当0<a<1时,原不等式的解集是{x│2<x<4}.当a>1时,①式等价于(25)本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力.解法一:设z=x+yi,代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1. 若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为x2+2│x│=a. ③(Ⅰ)令x>0,方程③变为x2+2x=a. ④由此可知:当a=0时,方程④无正根;(Ⅱ)令x<0,方程③变为x2-2x=a. ⑤由此可知:当a=0时,方程⑤无负根;(Ⅲ)令x=0,方程③变为0=a. ⑥由此可知:当a=0时,方程⑥有零解x=0;当a>0时,方程⑥无零解.所以,原方程的实数解是:当a=0时,z=0;情形2. 若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为-y2+2│y│=a.⑦(Ⅰ)令y>0,方程⑦变为-y2+2y=a,即(y-1)2=1-a. ⑧由此可知:当a>1时,方程⑧无实根.从而, 当a=0时,方程⑧有正根 y=2;(Ⅱ)令y<0,方程⑦变为-y2-2y=a,即(y+1)2=1-a. ⑨由此可知:当a>1时,方程⑨无实根.从而, 当a=0时,方程⑨有负根 y=-2;所以,原方程的纯虚数解是:当a=0时,z=±2i;而当a>1时,原方程无纯虚数解.解法二:设z=x+yi,代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1. 若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为x2+2│x│=a.情形2. 若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为-y2+2│y│=a.当a=0时,因y≠0,解方程④得│y│=2,即当a=0时,原方程的纯虚数解是z=±2i.即当0<a≤1时,原方程的纯虚数解是当a>1时,方程④无实根,所以这时原方程无纯虚数解.解法三:因为z2=-2│z│+a是实数,所以若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数,即z=x 或z=yi(y≠0).情形1. 若z=x.以下同解法一或解法二中的情形1.情形2. 若z=yi(y≠0).以下同解法一或解法二中的情形2.解法四:设z=r(cosθ+isinθ),其中r≥0,0≤θ<2π.代入原方程得r2cos2θ+2r+ir2sin2θ=a.于是原方程等价于方程组情形1. 若r=0.①式变成0=a. ③由此可知:当a=0时,r=0是方程③的解.当a>0时,方程③无解.所以, 当a=0时,原方程有解z=0;当a>0时,原方程无零解.(Ⅰ)当k=0,2时,对应的复数是z=±r.因cos2θ=1,故①式化为r2+2r=a. ④由此可知:当a=0时,方程④无正根;(Ⅱ)当k=1,3时,对应的复数是z=±ri.因cos2θ=-1,故①式化为-r2+2r=a,即(r-1)2=1-a, ⑤由此可知:当a>1时,方程⑤无实根,从而无正根;从而, 当a=0时,方程⑤有正根 r=2;所以, 当a=o时,原方程有解z=±2i;当0<a≤1时,原方程有解当a>1时,原方程无纯虚数解.。