理论力学教程课件-力系的平衡
长沙理工大学理论力学三力系的平衡PPT课件
2
2
1
可用于判断问题是否可解。
3-2 平面力系的平衡方程
13
指出下列平行于某直线。 3 3. 各力线相交于某直线。 5 4. 各力线分别汇交于两点。5
3-2 平面力系的平衡方程
14
下列问题是否可解?
F
F
三杆平行，不可解 三杆不平行，可解
3-1-2 空间力系解析平衡条件——平衡方程
8
2.空间汇交力系 的平衡方程(汇交于O点) z
MO 0,即 M x 0, M y 0, M z 0
Fn
F2
则 Fx 0 Fy 0 Fz 0
O F1
y
x
3.空间平行力系的平衡方程
z
让各力线平行于z轴，有
3-5 平面静定桁架 3-6 物体的重心
4
3-1 空间力系的平衡条件
力系平衡 FR Fi 0,且MO MO (Fi ) 0
3-1-1 件 3-1-2 程
力系几何平衡条 空间力系解析平衡条件——平衡方
3-1-1 力系几何平衡条
件
5
主矢和主矩多边形同时封闭。
图示受力圆板平衡吗?
B
C
A
D
B
C
O
A
D
不平衡。实为一合力偶
M 0
MO 0
平衡
3-1-2 空间力系解析平衡条件——平衡方
程
6
1.空间一般力系的平衡方程
1）空间一般力系的简化
主矢 FR FRxi FRy j FRzk
Fxi Fy j Fzk
主矩 M o M oxi M oy j M ozk
M 零杆
理论力学课件
第三章 力系的平衡方程及其应用3-3在图示刚架中，已知kN/m 3=m q ，26=F kN ，m kN 10⋅=M ，不计刚架自重。
求固定端A 处的约束力。
032242234,0022,0022,01)(1i =∙-∙+--==-==-+=∑∑∑F F F M M MF F Fiy F F F FA FA AY AX x解得m kN 12kN 60⋅===A Ay Ax M F F ，，3-4杆AB 及其两端滚子的整体重心在G 点，滚子搁置在倾斜的光滑刚性平面上，如图所示。
对于给定的θ角，试求平衡时的β角。
B解：解法一：AB 为三力汇交平衡，如图所示ΔAOG 中βs i nl AO =， θ-︒=∠90AOG ，β-︒=∠90OAG ，βθ+=∠AGO 由正弦定理：)90sin(3)sin(sin θβθβ-︒=+l l ，)cos 31)sin(sin θβθβ=+l 即 βθβθθβs i n c o s c o s s i n c o s s i n3+= 即 θβt a n t a n2= )t a n 21a r c t a n(θβ= 解法二：：0=∑x F ，0sin R =-θG F A（1）第三章 力系的平衡方程及其应用0=∑y F ，0cos R =-θG F B（2）0)(=∑F A M ，0sin )sin(3R =++-ββθl F lG B （3）解（1）、（2）、（3）联立，得 )t a n 21a r c t a n (θβ=3-5 由AC 和CD 构成的组合梁通过铰链C 连接。
支承和受力如图所示。
已知均布载荷强度kN/m 10=q ，力偶矩m kN 40⋅=M ，不计梁重。
解：取CD 段为研究对象，受力如图所示。
0)(=∑F CM，024=--q M F D ；kN 15=D F取图整体为研究对象，受力如图所示。
0)(=∑F AM ，01682=--+q M F F D B；kN 40=B F 0=∑yF ，04=+-+D BAyF q F F ；kN 15-=Ay F0=∑x F ，0=AxF解得kN 15kN 5kN 40kN 15===-=D C B A F F F F ；；；3-6如图所示，组合梁由AC 和DC 两段铰接构成，起重机放在梁上。
理论力学-3-力系的平衡
z
F2
O
F1
F
z
0
M F 0 M F 0
x y
自然满足，且
M F 0
z
M F 0
O
平面力系平衡方程的一般形式
于是，平面力系平衡 方程的一般形式为： z O y
Fx 0 Fy 0 M F 0 o
其中矩心 O 为力系作用面 内的任意点。
静不定次数：静不定问题中，未知量的个数与独立的平 衡方程数目之差。
多余约束：与静不定次数对应的约束，对于结构保持静 定是多余的，因而称为多余约束。 关于静不定问题的基本解法将在材料力学中介绍。
P A m a B q
解：对象：梁 受力：如图 方程：
C
b
F F
0, FAx P cosq 0, FAx P cosq # FAy FB P sin q 0 1 y 0, M A F 0, m FBa Pa bsinq 0 2
B A
FR FR
x
A
B
FR
A、B 连线不垂直于x 轴
B A
FR
x
3.3 平面力系的平衡方程 “三矩式” M A = 0， MB = 0 , MC = 0。
C B A C B A
FR FR
满足第一式？ 满足第二式？ 满足第三式？
B A
FR
FR
A、B、C 三点不 在同一条直线上
C A
B
M (F ) 0 Fy 0
A
FQ (6 2) FP 2 FB 4 W (12 2) 0
FQ FA FP FB W 0
理论力学：第3 章 力系的平衡
力系平衡是静力学研究的主要内容之一，也是静力学最重要的内容。其中平面力系的平衡又
是重要之重要内容，平面物系的平衡又是重要之重要内容。
事实上我们已经得到力系的平衡条件(充要)：
R
0，M O
0 。下面将其写成代数方程即
平衡方程，用其解决具体问题。
3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程
受力图如图(c)，列解方程：
Y 0, P cos G sin 0
P
使 P 最小，则
G sin cos
G sin cos( )
cos( ) 1,
arctan 3
3652'
Pmin
G sin
20
3 5
12kN
4
另解：（几何法） 画自行封闭的力三角形，如图(d)，则
Q
G(b
e) 50b a
Hale Waihona Puke 350.0kN∴ 使起重机正常工作的平衡重为：333.3kN≤Q≤350.0kN 注：也可按临界平衡状态考虑，求 Pmin 和 Pmax。 静力学的应用：
学习静力学有何用处？——上面几个例题有所反映。
例 1：碾子问题——满足工作条件的载荷设计。
例 2：梁平衡问题——结构静态设计（一类重要工程问题）。
分由由由图图图析(((：acb)))汽：：：车受平面平行力mmm系EBB(((，FFF))易) 列解000,,,方程。下shl面只给出方程：
例 4 平行力系典型题目，稳定性问题且求范围。 行动式起重机的稳定性极其重要，要求具有很好的稳定裕度，满载时不向右翻倒，空载时不 向左翻倒。已知自重 G = 500kN，最大载荷 Pmax = 210kN，各种尺寸为：轨距 b = 3m，e = 1.5m， l = 10m，a = 6m，试设计平衡重 Q，使起重机能正常工作，且轨道反力不小于 50kN。
华北电力大学理论力学第四章 物体系的平衡
由多个刚体相互约束组成的系统称为刚体系。在一般情况下，若系统 是静定的，则刚体系的未知变量总数必等于独立方程总数。静定的 刚体系也称为静定结构。若未知变量总数大于独立方程总数，则系 统是超静定的，称为超静定结构。若未知变量总数小于独立方程总 数，则为不完全约束，刚体系可产生运动而不可能平衡。受不完全 约束的刚体系通常称为机构。
G FAB FAC （a） A G
y
x
例4-3
平面刚架的各部分及受力如图4-7(a)所示，A端为固定端约束，图中 各参数q、F、M、L均为已知。试求A端的约束力。 解：以刚架ABCD整体为研究对象 列平衡方程
F F
x y
0 , FAx qL 0 0 , FAy F 0
3 M M M F L qL L0 0 , A A 2
主矢
0 FR
F F F
ix
iy iz
0 0 0
主矩 M O 0
（对任意点主矩）
M x (F i) 0 M y (F i) 0 M z ( Fi ) 0
共六个独立方程，可解出六个未知量。
特殊力系平衡方程
空间汇交力系
可列三个独立方程
Fix 0 Fiy 0 Fiz 0
F
x
0 , FAB cos30 F 0
得
FAB
2 F 3
A
FAB M
（2）再取OA为研究对象
M
O
( F ) 0 , FAB cos 30 r M 0
FOx
O FOy
解得
M Fr
例题 三刚体平衡
求A、B、D、G处约束。
力系的平衡
n
n
∑M
i =1
n
O
( Fi ) = 0
Oy
∑M
i =1
n
Ox
(Fi ) = 0 ,
∑M
i =1
n
(Fi ) = 0 ,
∑M
i =1
n
Oz
(Fi ) = 0
3个平衡方程 个平衡方程 平面力偶系
2011年6月21日 理论力学CAI 静力学 6
∑M
i =1
n
Oz
(Fi ) = 0
1个平衡方程 个平衡方程
E
∑F
i =1
n
F
q C a a
M D
求支承处对梁的约束力
2011年6月21日 理论力学CAI 静力学 14
力系的平衡/刚体系平衡
[解] 解
定研究对象： 定研究对象：梁OBD 定问题性质： 定问题性质：平面 建立参考基： 建立参考基： 受力分析 主动力简化
y
O
F
q C a
FCy
M D
A a
FAy
B a a F1 F
2011年6月21日 理论力学CAI 静力学 8
力系的平衡/力系的平衡方程
[例] 例
图示长为l的简支梁上作用一分布 图示长为 的简支梁上作用一分布 上作用一 载荷， 载荷，其单位长度上受力的大小 称为载荷集度 单位为牛顿/米 载荷集度(单位为牛顿 称为载荷集度 单位为牛顿 米) 其左端的集度为零， 其左端的集度为零，右端集度为 q。载荷的长度为 l，载荷的方向 。 ， 垂直向下。 垂直向下。 O l
2011年6月21日 理论力学CAI 静力学
力系的平衡/力系的平衡方程
理论力学3
第3章 力系的平衡
3.4 例 题 分 析
Theoretical Mechanics
返回首页
第3章 力系的平衡
3.4 例 题 分 析
例3-1 外伸梁ABC上作用有均布载荷q=10 kN/m，集中力 F=20 kN，力偶矩m=10 kNm，求A、B支座的约束力。
解：画受力图
m A F 0 FNB 4 q 4 2 m F sin 6 0
m = 0
三力平衡汇交定理 刚体受不平行的三个力作用而平衡时，此三力的作用线 必共面，且汇交于一点。
Theoretical Mechanics
返回首页
第3章 力系的平衡
3.1.5 静定问题与超静定问题
3.1 主要内容
•物体系统：由若干个物体通过适当的约束相互连 接而成的系统 。 •静定问题：单个物体或物体系未知量的数目正好 等于它的独立的平衡方程的数目。
M y F 0
Fx 0, Fy 0, Fz 0
结论：各力在三个坐标轴上投影的代数和以及 各力对此三轴之矩的代数和都必须同时等于零。
Theoretical Mechanics
返回首页
第3章 力系的平衡
1. 空间汇交力系 如果使坐标轴的原点与各力的汇交点重合，则有 Mx≡My≡Mz≡0，即空间汇交力系平衡方程为
F
F
选刚架为研究对象 画受力图
FA FD
Theoretical Mechanics
返回首页
第3章 力系的平衡
解：几何法
F
3.4 例 题 分 析
选刚架为研究对象 画受力图
FA FD FA
作力多边形，求未知量
选力比例尺F=5 kN/cm作封
理论力学PPT课件第2章 力系的平衡
2020/11/16
32
3. 摩擦角与自锁
摩擦角的定义：当摩擦力达到最大值时其全反力 与法线的夹角称为摩擦角。
tgmFFmNax
fsFN FN
fs
2020/11/16
33
2020/11/16
34
摩擦系数的测定：OA绕O 轴转动使物块刚开始下
滑时测出α角，tg α=fs , (即为该两种材料间的静 摩擦系数)。
2
dFd Qx(x)q(x),dM dx(x)FQ(x)
2020/11/16
19
例7 试导出理想流体(无粘性)的静力平衡微分方 程。设单位质量的体分布力为f。
解：在静止流体中取边长分别为dx,dy,dz的微小六面体, 受体积力FVf 及6个侧面上的表面压力作用. 考察左 右两侧面中点的压强大小如图所示，并视为整个侧面的 平均压强。
Mz
F Nx
F Qz
F Qy My
3KN
1KN 2KN
2020/11/16
1KN
14
思考：如何求各段内力函数？
D
1m
3KN
2m
1KN 2 m
1m
2KN
A
1KN
分三段，三个坐标
如：将D处2m，改为x，则CD段 扭矩为常数，弯矩为线性函数
2020/11/16
15
5、变形体的内力计算
例5：已知 q、l 试求图示简支梁，横截面内
2020/11/16
10
研究对象：三根直杆+重物+缆绳
受力分析：汇交力系 F A, F B, F C , F P, W , FPW500kN
FAFA co6s0osin60oico6s0oco6s0o jsin60ok FB FB co6s0osin60oico6s0oco6s0o jsin60ok FCFC co6s0o jsin60ok FPFP co6s0o jsin60ok
理论力学-力系平衡
MO 0 平 衡
F
2.图示力系沿正方体棱边，各力大小相等， 平衡吗?若不平衡，试加一力使之平衡。
F F F F
不平衡。加力F后平衡。
2-1 一般力系的平衡条件
F
2-1-2 力系解析平衡条件——平衡方程 1.基本形式 由 Fi 0 、 MO (Fi ) 0 向直角坐标轴投影，得
F
G1
G2
FNB F A B
F AB
故 tan
G2 tan G1 tan
第二章 力系的平衡
2-3 简单平衡问题
若 f≠0 情形怎样?
B A
轮为二力构件，斜面约束力必指向
轮心，摩擦力为零，故结果相同!
G2
G1
本例可用解析法，对A，B分别由
F
x
0, Fy 0
2 2
1 kN
弯矩
第二章 力系的平衡
2-3 简单平衡问题 如何求各段内力函数?
C
分三段，选取三个坐标。
3 kN
E
x
如:将C处2m，改为x，则AE段扭矩
为常数，弯矩成为线性函数。
1 kN
2m
D
2m
2 kN
B
1 kN
第二章 力系的平衡
2-3 简单平衡问题 4.已知 q、l ,试求图示简支梁，横截面内力 随轴线 x 的变化规律(内力函数)。
由
a
dx 2
M
C
M
C
0, 得
M x M x d M x FQ x d x q x d x
0
b
q(x)
理论力学力系的平衡
当一个力系的简化结果与一个零力系（主矢等于零；主矩等于零) 等效时，称这个力系是平衡力系。
1）平衡力系与简化中心无关。
2）力系平衡与物体平衡并不完全相同。
物体平衡是指物体静止或处于匀速直线运动状态。当物体平 衡时，作用其上的力系必是平衡力系；但依据“加减平衡力系 公理”，一个平衡力系并不能保证物体平衡，只能维持其原有 运动状态不变。
FD
yD
FDx
FC
y
C
FC
x
CD杆： mD 0 ED杆： mD 0
F'Dx D F'Dy
确定FCx 确定FEx
FEy
FEx E
最后，考虑ABC杆的平衡
FAy
FB
A
FAx
B
FC
y
FC Cx
图示平面结构, 设F = qa ；M=15（qa2 ）/2；E处为销钉连结。 不计自重与各接触摩擦，试求：杆AD 在A、E、D处的约束力。
如图所示，用起重机吊起重物。起重杆的A端用球铰链固定 在地面上，而B端则用绳CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的C点 和D点，连线CD平行于x轴。已知CE=EB=DE,角α=30o ，CDB平 面与水平面间的夹角∠EBF= 30o ,重物G=10 kN。如不计起重杆的 重量,试求起重杆所受的力和绳子的拉力。
平衡力系所满足的条件称为平衡条件
表示力系平衡条件的数学方程称为平衡方程
空间力系的平衡条件和平衡方程
空间力系平衡的充要条件是力系的主矢等于零；主矩等于零。
Z
MO
FR
O
Y
X
平衡方程的坐标投影式
Fix 0; Fiy 0; Fiz 0
mix 0; miy 0; miz 0
理论力学第六章 平衡方程及其应用
第六章 平衡方程及其应用 >> 力偶系的平衡
§6-2 力偶系的平衡 一、平面力偶系的平衡方程 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和 等于零，即 M i 0 . 二、空间力偶系的平衡方程
由于空间力偶系可以用一个合力偶来代替，因此，空间力偶系
平衡的必要和充分条件是：该力偶系的合力偶矩等于零，亦即
要使这个刚体平衡，需加一力偶，其力偶矩矢为 -M。
第六章 平衡方程及其应用
§6-3 一般力系的平衡 一、平面一般力系的平衡方程 1. 平面一般力系平衡方程的基本形式
0 MO 0 FR
F
x
0
F
y
0
M
O
(F ) 0
2. 平面一般力系平衡方程的其他形式
（1）二矩式平衡方程
M
FA FB
第六章 平衡方程及其应用 >> 力偶系的平衡 例题6-4 图示（a）所示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三个侧面 各自作用一个力偶。已知力偶（ F1，F1 ）的矩 M 1 20N m ；力偶 （ F2，F2 ）的矩 M 2 20N m ；力偶（ F ，F ）的矩 M 3 20N m 。试 3 3 求合力偶矩矢M。又问使这个刚体平衡，还需要施加怎样一个力偶。
解：根据空间力偶系合成法，先求出力偶
矩矢M。根据三个力偶在空间的作用面不 同，考虑到力偶矩矢是自由矢量，可将力
偶矩矢画在坐标轴上（图 b）。和力偶矩
矢M在三个坐标轴上的投影为
第六章 平衡方程及其应用 >> 力偶系的平衡
M x M 1x M 2 x M 3 x 0
M y M1y M 2 y M 3 y (10 30cos45)N m 11.2 N m
理论力学(大学)课件8.2 空间任意力系的平衡方程及常见的空间约束
2、空间任意力系的平衡方程及常见的空间约束空间任意力系平衡的充要条件：空间任意力系的平衡方程:00xy z F FF ===ååå00xyzMMM===ååå空间任意力系平衡的充要条件：力系中各力在任一坐标轴上的投影的代数和等于零，以及各力对每一个坐标轴的力矩的代数和也等于零.该力系的主矢、主矩分别为零.(1) 空间任意力系的平衡方程(基本式)常见的空间约束00xy z F FF===ååå00xyzM M M ===ååå空间任意力系的平衡方程(基本式)平衡方程除了基本式之外，还有四矩式、五矩式、六矩式。
有几个力矩平衡方程，称之为几矩式。
各种形式应该根据实际情况灵活运用。
基本式以外的方程形式，通常不再给限定条件，一般的情况下只要列出的方程能求解出未知量即是未违反限制条件。
常见的空间约束00zxyF MM===ååå空间平行力系的平衡方程各种力系的独立平衡方程个数空间任意力系6个空间汇交力系3个空间平行力系3个空间力偶系3个平面任意力系3个平面汇交力系2个平面平行力系2个平面力偶系2(1)个最一般情形：空间、任意一级特殊情形（包含一种特殊情况）：空间问题+特殊力系，或者任意力系+平面情形二级特殊情形（包含两种特殊情况）：平面问题+特殊力系。
2、空间任意力系的平衡方程及常见的空间约束(2) 空间常见约束类型柔索二力杆2、空间任意力系的平衡方程及常见的空间约束2、空间任意力系的平衡方程及常见的空间约束径向轴承圆柱铰链铁轨蝶铰链球铰链导向轴承带有销子的夹板导轨空间任意力系及重心的计算f. 6个未知约束量空间固定端约束分析实际的约束时，需要忽略一些次要因素，抓住主要因素，做一些合理的简化。
比如导向轴承和径向轴承之间的区别；蝶铰链和止推轴承之间的区别。
如果刚体只受平面力系的作用，则垂直于该平面的约束力和绕平面内两轴转动的约束力偶都应该为零，相应减少了约束量的数目。
理论力学：第3章 力系的平衡
1第3章 力系的平衡 3.1 主要内容空间任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩等于零，即 0=R F 0=O M 空间力系平衡方程的基本形式 0,0,0=∑=∑=∑z y x F F F 0)(,0)(,0)(=∑=∑=∑F F F z y x M M M空间汇交力系平衡的必要和充分条件是：力系的合力 0=R F空间汇交力系平衡方程的基本形式0,0,0=∑=∑=∑z y x F F F空间力偶系平衡的必要和充分条件是：各分力偶矩矢的矢量和 0=∑i M空间力偶系平衡方程的基本形式 0)(,0)(,0)(=∑=∑=∑F F F z y x M M M平面力系平衡的必要和充分条件:力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零，即：0=∑='F F R;0)(=∑=F O O M M 平面力系的平衡方程有三种形式：基本形式： 0)(,0,0=∑=∑=∑F M F F O y x二矩式： 0)(,0)(,0=∑=∑=∑F M F M F B A x （A 、B 连线不能与x 轴垂直）三矩式： 0)(,0)(,0=∑=∑=∑F M F M M C B A （A 、B 、C 三点不共线）平面力系有三个独立的平衡方程，可解三个未知量。
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是合力为零，即0=∑=F F R 平衡的解析条件：各分力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零，即0,0=∑=∑y x F F两个独立的平衡方程，可解两个未知量。
平面力偶系平衡的必要和充分条件为：力偶系中各力偶矩的代数和等于零，即∑=0Mi一个独立的平衡方程，可解一个未知量。
3.2 基本要求1．熟练掌握力的投影，分布力系的简化、力对轴之矩等静力学基本运算。
2．能应用各种类型力系的平衡条件和平衡方程求解单个刚体和简单刚体系统的平衡问题。
对平面一般力系的平衡问题，能熟练地选取分离体和应用各种形式的平衡方程求解。
3．正确理解静定和超静定的概念，并会判断具体问题的静定性。
理论力学第六章平衡方程及其应用课件
其中x轴不垂直A，B两点的连线。
第六章 平衡方程及其应用 >> 一般力系的平衡
（2）三矩式平衡方程
MA(F) 0 MB(F) 0
其中A，B，C三点不共线。
MC (F) 0
3. 平面平行力系的平衡方程
平面平行力系的独立平衡方程的数目只有 两个。为什么？
FC
qa
2 c os
（2）研究整体梁，受力如图（a）所示。列平衡方程
第六章 平衡方程及其应用 >> 一般力系的平衡
Fx 0
FAx FC sin 0
FAx
1 2
qa
tan
Fy 0
FAy 2qa F FC cos 0
FAy
5 2
qa
MA(F) 0 M A 2qa a F 3a FC cos 4a 0
MFG(F) 0
F2
b
F
b
P
b 2
0
3 F2 2 P
第六章 平衡方程及其应用 >> 一般力系的平衡
§6-4 物体系统的平衡 静定和静不定问题 当系统中的未知量数目等于独立平衡方程的数目时，则所有未 知数都能由平衡方程求出，这样的问题称为静定问题。
在工程实践中，有时为了提高结构的刚度和坚固性，常常增加 多余的约束，因而使这些结构的未知量的数目多于平衡方程的数目， 未知量就不能全部由平衡方程求出，这样的问题称为静不定问题， 或超静定问题。
§6-2 力偶系的平衡
一、平面力偶系的平衡方程 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和
等于零，即 Mi 0 .
二、空间力偶系的平衡方程
由于空间力偶系可以用一个合力偶来代替，因此，空间力偶系
理论力学第三章 任意力系的简化与平衡条件
例3-2 已知：涡轮发动机叶片轴向力F=2kN，力偶矩
M=1kN.M, 斜齿的压力角=20 ,螺旋角 。 =10 ,齿轮节圆半径 r=10cm。不计发动 机自重。 O1O2=L1=50cm, O2A=L2=10cm. 求： FN, O1,O2处的约束力。
。
第三章 力系的简化与平衡条件
§3-5 力系的平衡条件
3
F2 F3
1
F'
F1
1 O 200 1
x
2
1 3 1 FRy F1 F2 F3 = -161.6(N) 2 10 5
第三章 任意力系的简化与平衡条件
§3-4 力系简化计算
解：(1)先将力系向O点简化，求主矢和主矩。 FRx FRy =466.5(N) 2 2 FR
Xi 0 F x F2x Fr 0 1
F y F2y F 0 1
Zi 0
F z Fa F 0 1
第三章 力系的简化与平衡条件
§3-5 力系的平衡条件
例3-2 解： 3、列平衡方程
Mx (F) 0
F2 y L1 F (L1 L2 ) 0
y
100 1
F
80
3
Байду номын сангаас
F2 F3
1
F'
F1
1 O 200 1
x
2
第三章 任意力系的简化与平衡条件
§3-4 力系简化计算
例3-1 (1)先将力系向O点简 解： 化，求主矢和主矩。 1 1 F2 FRx F1 10 2 2 F3 5 = -437 .6（N）
y
100 1
F
理论力学第3章力系平衡方程及应用
a
分布力(均布载荷) 合力作用线位于AB
中点。
3.1 平面力系平衡方程
a
【解】
y M=qa2 a
2qa
F3
C
FAx
A
aFAy
45
B
D
x
2a FB a
F3 2qa
MA 0
q 2 2 a q a a F B 2 a 2 q sa 4 i 3 n a 5 0
FB 2qa
Fx 0 FAx2qcao4s50 FAx qa
C
【解】 F2
构件CGB（ 图b）
F2
构件AED
（图c）
C
R
D
45
FC
FD
D
G
45
F1
E
a
F1
E
a
A
B
G 图b
FBy
图c A FAx
MA
FAy
构件CD（图a ）
3个未知量 B FBx
4个未知量
F'C
3个独立方程
3个独立方程
【基本思路】
C R
杆CGB受力图计算FCAED受力图
计算A处的反力(偶)；CGB受力图计算
3.2 平面物体系平衡问题
q
C
B
30
FC FBy
l
l
【解】 杆CB
FBx
MB 0
FCco3s0l qll/2 0
FC
3 ql 30.5kN/m 2m 0.577kN
3
3
3.2 平面物体系平衡问题
【解】整体
FAy
l
l
l
Fx 0
MA
A
FAx
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
FBA
F 2 sin
（2）取挡板C为研究对象
Y 0, FM FCB cos 0
解得
FM
FCB
cos
F 2
cot
B FBA
F B
FBC FBC
FCB
C
FNC FM
A
F
C M
FCB
§3.2 平面力偶系的平衡
若物体在平面力偶系作用下处于平衡， 则合力偶矩等于零
Mi 0
由合力之矩定理：
Ph
dP
x
l
0
q(
x)
x
dx
合力作用线位置：
l
q(x)xdx
h
0 l
0 q(x)dx
☆ 两个特例
(a) 均布荷载 P
q
h
x
l
l
P 0 q(x)dx ql
l
h
q( x) x dx
0 l
q( x)dx
l 2
0
(b) 三角形分布荷载 P q0
h
x
l
Y 0,
FAy FB 0 FAy P
PC
2a M D
解法2
a
FAy
FB
A
B
FAx
解法3
M A( F ) 0, M B( F ) 0, MC( F ) 0,
解上述方程，得
FB 2a M Pa 0 FAy 2a Pa M 0 FAxa FB 2a M 0
Mo=0
X 0
Y 0
M O F 0
平衡方程
平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴上 的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数 和也等于零。
● 几点说明：
（1）三个方程只能求解三个未知量；
（2）二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平行即可； （3）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直； （4）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点。
第3章 力系的平衡
※ 平面汇交力系的平衡 ※ 平面力偶系的平衡 ※ 平面任意力系的平衡条件与平衡方程 ※ 空间力系的平衡方程 ※ 结论与讨论
§3.1平面汇交力系的平衡
1. 平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。
n
FR 0 即
F i
0
i 1
F3
F2
F4
F3
FAx P FAy P
解上述方程，得
FB P
FAx P , FAy P , FB P
平面任意力系平衡方程的三种形式
基本形式
X 0, Y 0, M A(F ) 0
二力矩式
B A
FR x
（x 轴不得垂直于A、B 两点的连线）
是否存在三投影式？
三力矩式
然后取矩形AC为研究对象
FC,FA之间的距离
d ab 2
力偶平衡的方程式为
M 0 FA d M 0
b
M
C
M
a
A FA
FC
C
M
A
M 2M
FA
d
ab
FA
即
2M FA FB a b
§3.3 平面任意力系的平衡条件与平衡方程
1. 平面任意力系的平衡方程
｝ FR′ =0
M A(F ) 0, MB (F ) 0, MC (F ) 0
（A、B、C 三点不得共线）
X1 0 X2 0
X3 0
分布荷载的合力及其作用线位置
P
q(x)
dP
A
x dx h l
Bx
q(x)
荷载集度
dP=q(x)dx 合力大小：
P dP 0l q(x)dx
5P 2
A
B
FB
FA
FB
P
2. 平面汇交力系解析法
平衡的必要和充分条件是：该力系的合力FR等于零。
FR FR2x FR2y ( X )2 ( Y )2
若FR=0,则有
X i 0
Yi 0
(*)
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两个 坐标轴上投影的代数和等于零。
FA
FB
2 2a
MHale Waihona Puke FBMBB
（2）取BC为研究对象
FA
？ FC
FB
FB
2 2a
M
A
FB
C
FC
请思考可否将此力偶移至BC构件上，再求A、C处约束反力。 在此种情况下，A、B、C处的约束反力有无变化。
例 题 5 两个尺寸相同的矩形， FB
B
自重不计。求：A,B处的反力。
解：对于整体而言，力偶是平衡 的，即A,B两处的力必为一对平 衡力，如图。
F2
F4
F1
FR
A
F1
F5
A
结论：平面汇交力系平衡的必 要和充分条件是：该力系的力 多边形自行封闭。
例 题 1 已知：P，a
求：A、B处约束反力。
PC
2a
D
a
解： （1）取刚架为研究对象
（2）画受力图
FA
（3）按比例作图求解
由图中的几何关系得
FB P tan 0.5P
FA
P2 FB2
例 题 3 简易压榨机如图所示，已知：推杆上作用力F， A、B、C三处均为光滑铰链，角度已知。杆重不计。
求：托板给物体M的压力。 解：（1）取销钉B为研究对象
X 0, F (FBA FBC )sin 0
Y 0, FBC cos FBA cos 0
解得
FBC
q(x) q0 x l
P
l
q(x)dx
0
l q0 0l
1 xdx 2q0l
l
h
q( x) x dx
0 l
q( x)dx
2l 3
0
例 题 7 悬臂梁如图所示，上面作
(*)式称为平面汇交力系的平衡方程
例 题 2 已知：P，a
求：A、B处约束反力。
PC
2a
D
a
解： （1）取刚架为研究对象
A
B
（2）画受力图
FA
FB
（3）建立坐标系，列方程求解
X 0, P FA cos 0
y
5
FA
P 2
x
Y 0,
FB FA sin 0
1 FB 2 P
反之，若合力偶矩为零，则该力偶系必然处于平衡。
由此得到平面力偶系平衡的必要与充分条件是：各力偶 矩的代数和等于零。
Mi 0
称为平面力偶 系的平衡方程
例题4
如图所示刚架，上面作用主动 力偶 M，a已知。自重不计。
M
B
求：A、 C 处约束反力。
a
解：（1）取AB为研究对象
A
C
a
a
M 0, M FA 2a 0
例 题 6 已知：M=Pa
求：A、B处约束反力。
PC
2a M D
解法1: (1) 取刚架为研究对象
a
FAy
FB
(2) 画受力图
A
B
FAx
(3) 建立坐标系,列方程求解
y
X 0,
FAx P 0
FAx P
x
M A( F ) 0, FB 2a M Pa 0
FB P