第九章 从面积到乘法公式期末复习教案
第九章 从面积到乘法公式 全部教案共9课时(不含小结与思考)
学生活动
一、 复习提问
学生回答
1. 单项式乘单项式法则；
2. 运用时应注意什么？
二、 新课讲解
1. 情景创设
上节课我们学习了单项式乘单项式，请同学们结合上节课 由学生自己先做(或
的知识，思考这样一个问题：
互相讨论)，然后回
计算下图的面积，并把你的算法与同学交流。
答，若有答不全的，
b
c
d
教师(或其他学生)补
充．
a
精品
.
派代表回答后，教师点评： 如果把图中看成一个大长方形，它的长为 b＋c＋d,宽为 a, 那么它的面积为 a（b＋c＋d）.
精品
.
如果把上图看成是由 3 个小长方形组成的，那么它的面积 为 ab＋ac＋ad.
由此得到：a（b＋c＋d）= ab＋ac＋ad. 好，我们再一起来看这个等式，等式的左边是一个单项式 乘多项式，右边是若干个单项式的和组成的。同学们是不是觉 学生板演 得它很眼熟呀？ 其实呀，对于任意的 a、b、c、d,由乘法分配律同样可以得 到 a（b＋c＋d）= ab＋ac＋ad. 那么，既然我们得到了这个等式，同学们能不能用语言将 它叙述出来呢？ 请学生回答： 单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律，用单项式乘 多项式的每一项，再把所得的积相加。 2. 例题讲解 如图，一长方形地块用来建造住宅、广场、商厦，求这块 地的面积。
3a＋2b 2a－b
人民广场
4a
3a
精品
.
商业用地
精品
.
住宅广场
分析：要求这块地的面积，只要求出这块地的长和宽，然 后用长乘宽即可。或者求出每个小长方形的面积，然后相加即 可。
解：长方形地块的长为：（3a＋2b）＋（2a－b）,
从面积到乘法公式复习教案苏科版
从面积到乘法公式复习教案苏科版一、教学目标：1. 让学生通过复习面积的概念和计算方法，加深对面积的理解。
2. 引导学生掌握乘法公式，并能运用乘法公式解决实际问题。
3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 复习面积的概念和计算方法。
2. 复习乘法公式。
3. 运用乘法公式解决实际问题。
三、教学重点与难点：重点：面积的概念和计算方法，乘法公式的掌握。
难点：运用乘法公式解决实际问题。
四、教学方法：采用问题驱动法，引导学生通过自主学习、合作交流的方式，复习面积和乘法公式，并运用所学知识解决实际问题。
五、教学过程：1. 复习面积的概念和计算方法。
教师提问：什么是面积？面积是如何计算的？学生回答：面积是物体表面的大小，计算方法有多种，如平方厘米、平方米等。
2. 复习乘法公式。
教师提问：什么是乘法公式？请举例说明。
学生回答：乘法公式是表示两个数相乘的结果的一种数学表达式，如a×b=ab。
3. 运用乘法公式解决实际问题。
教师提问：如何运用乘法公式解决实际问题？学生回答：通过将实际问题转化为数学表达式，运用乘法公式进行计算。
4. 课堂练习。
教师给出几道有关面积和乘法公式的练习题，学生独立完成，教师进行点评。
5. 总结与反思。
教师引导学生总结本节课所学内容，学生分享自己的学习心得和体会。
六、教学延伸：1. 教师提出拓展问题：面积和乘法公式在实际生活中的应用有哪些？2. 学生思考并回答：面积和乘法公式在实际生活中应用广泛，如计算土地面积、房屋面积、购物时的折扣计算等。
七、课堂小结：1. 教师引导学生回顾本节课所学内容，总结面积、乘法公式的概念和运用。
2. 学生分享自己的学习收获，强调面积和乘法公式在实际生活中的重要性。
八、作业布置：1. 请学生完成课后练习，巩固面积和乘法公式的运用。
2. 布置一道实际问题作业，要求学生运用面积和乘法公式解决。
九、教学反思：教师对本节课的教学效果进行反思，分析学生的学习情况，针对存在的问题提出改进措施。
《第九章 从面积到乘法公式》复习学案
《第九章 从面积到乘法公式》复习学案【重要公式】① 完全平方公式：② 平方差公式：【基础练习】1、单项式乘单项式()()2323a a --=____________ (-x)5·(xy)2·x 3y =______________ (2×103)×(3×104)×(-3×105)=_______________ (-12m 3n)3·(-2m 2n)4=____________ 2、单项式乘多项式 223(12)2(31)x x x x x -+-+ 22a -a(2a-5b)-b(5a-b)3、多项式乘多项式(a+b)(c+d) (2x ＋5)(x －5) (-3x+y)(x+3y)4、利用乘法公式计算(3x －2)2 (2x-y)(-2x+y) )12)(12(+-+x x ()()223131x x +-2999 1999×2001 5002－501×4995、先化简,再求值:(x-5y)(-x-5y)-(-x+5y)2，其中x=0.5，y=-16、因式分解(a+b)2－2(a+b) a(x －y)+b(y －x)+c(x －y) ab ＋a ＋b ＋1(x+2)2－9 x 3－25x ； 4x 4－4x 3＋x2【综合训练】一、选择题1、1、单项式A 与－3x 2y 的乘积是6x 6y 2,则单项式A 是 （ ）A 2x 3yB －2x 3yC －2x 4yD 2x 4y2、若1=x 时，代数式13++bx ax 的值为5，则1-=x 时，代数式13++bx ax 的值等于（ ）A . 0 B. －3 C .－4D.－5 3、要使等式22()(）y x M y x +=+-成立，代数式M 应是（ ）A ．2xyB ．4xyC ．—4xyD ． —2xy4、为了应用平方差公式计算()()c b a c b a -++-，必须先适当变形，下列各变形中，正确的是（ ）A ()[]()[]b c a b c a +--+B ()[]()[]c b a c b a -++-C ()[]()[]a cb ac b +--+ D ()[]()[]c b a c b a -+-- 5、下列各式中，不能继续分解因式的是（ ）A ．8xy －6x 2=2（4xy －3x 2）B ．3x －12xy=12x （6－y ） C ．4x 3+8x 2+4x=4x （x 2+2x+1） D ．16x 2－4=4（4x 2－1）6、设A =（x-3）(x-7)，B =(x -2)(x -8)，则A ，B 的大小关系为（ ）A ．A ＞B B ．A ＜BC ．A =BD ．无法确定7、若()()1532-+=++kx x m x x ，则m k +的值为（ ） A. 3- B. 5 C. 2- D. 28、要使x 2－6x ＋a 成为形如(x －b)2的完全平方式，则a ，b 的值（ ）A.a ＝9，b ＝9B.a ＝9，b ＝3C.a ＝3，b ＝3D.a ＝－3，b ＝－2二、填空题9、利用平方差公式直接写出结果：503×497＝ ；利用完全平方公式直接写出结果：4982＝ .10、要使16x 2+1成为一个完全平方式，可以加上一个单项式 . 11、=+==+22,65b a ab b a 则，若12、若A y x y x y x ⋅-=+--)(22，则A =___________.13、计算：832+83×34+172=________．14、一个多项式除以122-x ，商式为2-x ，余式为1-x 则这个多项式是 .15、已知13x x +=，则221x x+=_________ 三、简答题16、分解因式.（1）m 2n(m-n)2-4mn(m-n) （2）(x+y)2+64-16(x+y)（3）4a 2－16 （4）（x 2－5)2+8(x 2－5)+1617、已知a ，b 是有理数，试说明a 2+b 2-2a -4b+8的值是正数.18、,3)(,7)(22=-=+b a b a 已知求：（1）22b a +的值;（2）ab 的值。
从面积到乘法公式复习教案苏科版
从面积到乘法公式复习教案苏科版一、教学目标1. 知识与技能：（1）巩固学生对面积概念的理解；（2）引导学生掌握常用的乘法公式；（3）培养学生运用乘法公式解决实际问题的能力。
2. 过程与方法：（1）通过复习面积概念，提高学生的空间想象能力；（2）运用实例，让学生理解乘法公式的推导过程；（3）设计练习题，培养学生的计算能力和解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学学科的兴趣；（2）培养学生积极思考、勇于探索的精神；（3）引导学生感受数学在生活中的应用，提高学生的数学素养。
二、教学内容1. 复习面积概念，回顾面积的计算方法；2. 讲解常用的乘法公式，如平方公式、完全平方公式等；3. 引导学生通过实例理解乘法公式的推导过程；4. 运用乘法公式解决实际问题，如计算图形面积、解决生活中的比例问题等。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）面积概念的掌握；（2）常用乘法公式的记忆与运用；（3）乘法公式的推导过程的理解。
2. 教学难点：（1）乘法公式的灵活运用；（2）解决实际问题时的计算准确性。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究；2. 运用实例讲解，让学生直观理解乘法公式；3. 设计练习题，巩固所学知识；4. 小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
五、教学过程1. 导入新课：（1）复习面积概念，引导学生回顾面积的计算方法；（2）提问：面积与乘法公式有什么关系？激发学生的思考。
2. 新课讲解：（1）讲解常用的乘法公式，如平方公式、完全平方公式等；（2）通过实例讲解乘法公式的推导过程，让学生理解并记忆公式；（3）运用乘法公式解决实际问题，如计算图形面积、解决生活中的比例问题等。
3. 课堂练习：（1）设计练习题，让学生运用乘法公式进行计算；（2）组织学生进行小组讨论，共同解决问题；（3）选取典型题目进行讲解，分析解题思路和方法。
（2）提出拓展问题，引导学生课后思考和探究；（3）鼓励学生在生活中发现和解决与面积、乘法相关的问题。
从面积到乘法公式复习教案苏科版
从面积到乘法公式复习教案苏科版一、教学目标：1. 知识与技能：（1）理解并掌握面积的概念及其计算方法。
（2）回顾并熟练运用乘法公式。
（3）培养学生运用面积和乘法公式解决实际问题的能力。
2. 过程与方法：（1）通过观察、操作、归纳等活动，引导学生发现面积与乘法之间的关系。
（2）运用小组合作、讨论等方式，提高学生解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，激发学生主动探究的热情，培养学生的团队协作精神。
二、教学内容：1. 回顾面积的概念及其计算方法。
2. 复习乘法公式。
3. 探讨面积与乘法之间的关系。
4. 运用面积和乘法公式解决实际问题。
三、教学重点与难点：1. 重点：（1）面积的概念及其计算方法。
（2）乘法公式的运用。
2. 难点：（1）发现并运用面积与乘法之间的关系。
（2）解决实际问题。
四、教学过程：1. 导入：通过展示图片，让学生观察并描述图片中的几何图形，引入面积的概念。
2. 新课：（1）回顾面积的概念：面积是平面图形所占平面的大小。
（2）介绍面积的计算方法：以长方形、正方形、三角形等基本几何图形为例，讲解其面积计算方法。
（3）复习乘法公式：引导学生发现长方形、正方形、三角形等图形的面积计算与乘法公式之间的关系。
3. 练习：让学生运用乘法公式计算给定的几何图形的面积，并进行互评、讨论。
4. 拓展：引导学生思考如何运用面积和乘法公式解决实际问题，如计算物体表面积、体积等。
五、课后作业：1. 复习本节课所学的面积计算方法和乘法公式。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 收集生活中的实际问题，尝试运用面积和乘法公式解决。
4. 准备下一节课的内容。
六、教学评价：1. 知识掌握：检查学生对面积概念和计算方法的理解，以及乘法公式的运用情况。
2. 能力培养：评估学生在解决实际问题时的分析能力和创造性思维。
3. 情感态度：观察学生在学习过程中的参与度、合作意识和学习兴趣。
七、教学资源：1. 图片素材：各种几何图形的图片。
数学f9第9章 从面积到乘法公式教案
第十三课时 小结与思考教学目标：1．进一步理解本章的有关内容，掌握有关的运算法则，并会应用法则进行计算。
2．了解公式的几何背景。
3．反思本章的学习过程，进一步感受从图形面积计算得出整式乘法法则、整式乘法公式的过程，并会理解计算的算理，发展符号感，发展有条理的思考和表达能力。
教学重、难点：灵活运用整式乘法法则和乘法公式进行运算。
教学过程：一．知识回顾：1．学生自己回顾本章所学的内容，在学生独立思考的基础上，开展小组交流和全班交流，使学生在反思与交流的过程中逐渐建立知识体系：2．己举出整式乘法与因式分解的例子，体会整式乘法的运算法则和乘法公式以及因式分解与整式乘法的互逆关系。
二．例题讲解：例1．计算：（1）2)32(n m -； （2）)2)(2()3)(3(a b a b a b b a +-+-+-；（3）)2(6)2(23332x x x x x ++-； （4）223403)62()21()2(---÷⨯+---；（5）32237)()()(a a a a -÷-⋅÷-。
例2．把下列各式分解因式：（1）1)4)(2(+++x x ； （2）)1(4)(2++++b a b a ； （3）22)()(b a b a --+； （4）)()(2)(2x y y x x y x x ---+-。
例3．化简后求值：22)32()32)(32(2)32(b a b a b a b a ++-+--， 其中2-=a ，31=b 。
例4．（1）两个边长分别为a,b,c 的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成一个新的图形。
试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？（2）由四个边长分别为a,b,c的直角三角形拼成一个新的图形。
试用两种不同的方法计算这个图形的面积，并说说你发现了什么。
例5．（1）观察下面各式规律：2222)121(2)21(1+⨯=+⨯+；2222)132(3)32(2+⨯=+⨯+；2222)143(4)43(3+⨯=+⨯+；……写出第n 行的式子，并证明你的结论。
从面积到乘法公式复习教案苏科版
从面积到乘法公式复习教案苏科版一、教学目标1. 知识与技能：通过复习面积的概念和计算方法，让学生熟练掌握正方形、矩形、三角形和圆的面积公式；2. 过程与方法：通过实例分析和练习，培养学生运用乘法公式解决实际问题的能力；3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和克服困难的意志。
二、教学内容1. 复习面积的概念和计算方法；2. 复习正方形、矩形、三角形和圆的面积公式；3. 运用乘法公式解决实际问题。
三、教学重点与难点1. 教学重点：正方形、矩形、三角形和圆的面积公式的运用；2. 教学难点：运用乘法公式解决实际问题。
四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论等多种教学方法，引导学生主动参与学习过程；2. 以小组合作的形式进行练习和讨论，培养学生的团队合作意识；3. 通过实例分析和练习，让学生在实际问题中运用乘法公式。
五、教学过程1. 导入：回顾面积的概念和计算方法，引导学生思考面积与乘法公式的关系；2. 新课：讲解正方形、矩形、三角形和圆的面积公式，并通过示例进行演示；3. 练习：让学生独立完成相关练习题，巩固对面积公式的掌握；4. 讨论：分组讨论如何运用乘法公式解决实际问题，分享解题思路和方法；6. 作业：布置相关作业，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂练习：通过实时解答学生的练习题，评估学生对面积公式的理解和掌握程度；2. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的参与情况和合作能力，评估学生的团队合作意识；3. 作业批改：通过批改学生的作业，了解学生对乘法公式的应用能力和解决实际问题的能力。
七、教学资源1. 教学课件：制作精美的课件，展示面积公式的图片和实例，帮助学生形象理解；2. 练习题库：准备一定数量的练习题，包括不同类型的题目，以满足学生的个性化需求；3. 小组讨论材料：提供相关实际问题，让学生在小组内进行讨论和分析。
八、教学进度安排1. 第1周：复习面积的概念和计算方法；2. 第2周：讲解正方形、矩形的面积公式及应用；3. 第3周：讲解三角形的面积公式及应用；4. 第4周：讲解圆的面积公式及应用；5. 第5周：运用乘法公式解决实际问题；九、教学反思1. 反思教学内容：根据学生的学习情况和反馈，调整和优化教学内容，确保学生掌握重点知识；2. 反思教学方法：根据学生的参与程度和理解能力，调整教学方法，以提高教学效果；3. 反思教学进度：根据学生的学习进度和掌握程度，调整教学进度，确保学生能够跟上教学节奏。
第九章《从面积到乘法公式》(小结与思考)教案(苏科版初一下)
第九章《从面积到乘法公式》（小结与思考）教案（苏科版初一下）进一步明白得本章的有关内容，把握有关的运算法那么，并会应用法那么 进行运算。
了解公式的几何背景。
反思本章的学习过程，进一步感受从图形面积运算得出整式乘法法那么、 整式乘法公式的过程，并会明白得运算的算理，进展符号感，进展有条理 的摸索和表达能力。
教学重、难点：灵活运用整式乘法法那么和乘法公式进行运算。
教学过程：一、由学生自己回忆本章所学的内容，在学生独立摸索的基础上，开展小组交流和全班交流，使学生在反思与交流的过程中逐步建立知识体系：乘法公式因式分解、让学生自己举出整式乘法与因式分解的例子， 体会整式乘法的运算法那么和乘法公式以及因式分解与整式乘法的互逆关系。
例1、 运算：例2、 把以下各式分解因式:教学目标:1、2、 3整式乘法〔1〕 (2m 3n)2 ；〔2〕(3a b)(b 3a)(2b a)( 2b a)；(2x 2)3 6x 3(x 32x 2x)；(2)0 ( 1)4 (2362)32 ；〔5〕( a)7 a 3 (a)2 (a 2)3。
〔1〕(x 2)(x 4)〔2〕(a b)2 4(a b 1)；〔3〕(a b)2 (ab)2 ； 〔4〕2x (x y) 2x(xy) (yx)。
例3、 化简后求值：(2a 3b)2 2(2a 3b)(2a 3b) (2a 3b)2，其1中 a 2, b - o3三、把几个图形拼成一个新图形，再通过图形面积的运算，常常能够得到一些 有用的式子。
例4、〔 1〕两个边长分不为 a,b,c 的直角三角形和一个两条直角边差不多上c 的直角三角形拼成一个新的图形。
试用不同的方法运算那个图形的面积，你能发觉什么？〔2〕由四个边长分不为 a,b,c 的直角三角形拼成一个新的图形。
试用两种不同的方法运算那个图形的面积，并讲讲你发觉了什么。
写出第n 行的式子，并证明你的结论。
(2)运算以下各式，你发觉了什么规律?① 20012003 20022 •，② 99 1011002 :③9999 10001 100002 。
第九章从面积到乘法公式复习(2)教学案 苏科版七年级下
第九章复习（2） 姓名一、复习内容1、 因式分解：和与整式乘法过程相反步骤：先看是否可以提公因式（看系数，看字母），在看项数，两项基本考虑用用平方差，三项基本考虑完全平方公式2、方法：提公因式法ma+mb+mc ＝m(a+b+c)公式法：完全平方公式：a 2+2ab+b 2 = (a+b)2； a 2-2ab+b 2= (a -b)2平方差公式： a 2-b 2 = (a+b)(a-b)二、基础练习1．下列式子中，含有(x-y)的因式是________．（填序号）(1)(x+y)(y-x) (2)x-y+2 (3) -3(x-y)3 (4) (y-x)3+(x-y)2. 如果,3,1-=--=+x y y x 那么=-22y x ；3. 如果。
，则=+=+-==+2222,7,0y x xy y x xy y x 4．直接写出因式分解的结果： （1）=-222y y x ； （2）=+-12632a a ; (3)=++1442a a ___________; (4) =-2ab a _______________;5．（1）若x 2+mx+1是完全平方式，则m= ；（2）已知2249x mxy y -+是关于,x y 的完全平方式，则m = ；6．（1）若m 2+n 2－6n ＋4m ＋13＝０，则m 2－n 2 =_________；（2）已知,012=-+m m 则=++2004223m m 三、典例分析例1. 因式分解：(1))x y ()y x (x 2-+- （2）22222y x 4)y x (-+(3)222332b a 8b a 4b a 2+- (4)1)(4)(42++-+b a b a(5)16（x-1）2—（x+2）2 (6)(x －2)(x －4)＋1例2．已知51,1==+xy y x ，求：（1）;22xy y x + （2）)1)(1(22++y x 的值例3．利用因式分解计算：（1）29×19.98＋57×19.98＋14×19.98（2）39×37－13×34 （3）482＋48×24＋122例4．已知3322))((y x y xy x y x -=++-，利用这一结论回答下列问题：（6分）（1）若b a -＝4，33b a -＝28，试求22b ab a ++的值；（2）因式分解m n n m -+-33。
第九章从面积到乘法公式复习课
解：图形的面积
①
②
mn 1 n2 3 b2 b2 (3 )b2 3 b2
4
8 16
8 16
2
因此，小明的设计方案符合要求。
• 10、计算题： • （x-3y)(y+3x)-(x-3y)(3y-x)
解：原式＝xy+3x2-3y2-9xy+(x-3y)2 解法二：
=3x2-3y2-8xy+x2-6xy+9y2 =(x-3y)(y+3x-3y+x)
=4x2-14xy+6y2
=(x-3y)(4x-2y)
=4x2-2xy-12xy+6y2
你知道吗？
• 5、因式分解： • ①提取公因式法 • ②公式法 • ③分组分解法 • ④拆项、添项法
• 1、下列分解因式中，错误的是（ B ） • A、15a2+5a=5a(3a+1) B、-x2-y2=-(x+y)(x-y) • C、m(x+y)+x+y=(m+1)(x+y) D、x2-6xy+9y2=(x-3y)2 • 2、要使x2+2ax+16是一个完全平方式，则a的值为（ C ） • A、4 B、8 C、4或－4 D、8或－8 • 3、（－2）2000＋（－2）2001的结果是（ B ） • A、22000 B、－22000 C、－1 D、（－2）2002 • 4、当x=1时，代数式ax2+bx+1的值为3，则(a+b-1)(1-a-b)
七年级数学下册《第九章 从面积到乘法公式》复习学案(
9.1 单项式乘单项式学习目标：1、 知道“乘法交换律，乘法结合律，同底数幂的运算性质“是进行单项式乘法的依据。
2、 会进行单项式乘法的运算。
3、 经历探索单项式乘单项式运算法则的过程，发展有条理思考及语言表达能力。
学习重点： 单项式乘法性质的运用 学习难点： 单项式乘法性质的运用 学习方法： 引导探索法 学习过程： 一、创设情景：右边的图案是怎样平移而成的？你是如何计算它的面积的？ 发现等式：ab b a 623=⋅ 二、活动探究：1. ① b a 23⋅为什么可以写成()()b a ⋅⨯23？② 如何计算（1）b ab 542⋅；（2）()22326y x x -⋅；（3）2232ab b a ⋅请你说出每一步的计算依据。
2. 引导学生归纳单项式乘单项式的性质：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 三、例题精讲例1 计算： ① ()ab a 6312⋅ ② ()()2332xy x -⋅小结： 通过计算引导学生发现单项式与单项式相乘时一找系数，二找相同字母的幂，三找只在一个单项式里出现的字母.学生练习1：根据单项式乘单项式的法则填空：（1）y x xy 212)3()(-=-• （2）bc a ab 26)(2-=•学生练习2：计算：(1))98(4332abc b a -•； (2))71(32ab bc a -•;(3)c ab abc 2101.0•； (4)223241)(8b b a b a •-•-bc d学生练习3：判断正误：⑴ ()523523x x x =-⋅ ⑵ 2221243a a a =⋅ ⑶ 9332483b b b =⋅ ⑷ y x xy x 2623=⋅- (5) 22933b a ab ab =+例2 计算：⑴ ()()223333ab b a -⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡- ⑵ ()()bc a b a 41222⋅-⋅- ⑶ ()[]()[]()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅--⋅-y x y x y x 542332例3三、小结 ：请你说一说单项式乘单项式的性质，运用性质时你会注意到哪些问题？从中你发现单项式乘单项式用到了上一章的什么内容？课题：9.2 单项式乘多项式教学目标：1、知道利用乘法分配律可以将单项式乘多项式转化成单项式乘单项式；2、会进行单项式乘多项式的运算；3、经历探索单项式乘多项式法则的过程，发展有条理的思考及语言表达能力。
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从面积到乘法公式第9章从面积到乘法公式课时分配本课(章节)需 1 课时本节课为第 1 课时为本学期总第课时数学活动拼图公式教学目标 1.经历不同的拼图方法验证公式的过程，在此过程中加深对因式分解、整式运算、面积等的认识。
2.。
通过验证过程中数与形的结合，体会数形结合的思想以及数学知识之间内在联系，每一部分知识并不是孤立的。
3.通过丰富有趣的拼图活动，经历观察、比较、拼图、计算、推理交流等过程，发展空间观念和有条理地思考和表达的能力，获得一些研究问题与合作交流方法与经验。
4.通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进数学学习的信心。
通过丰富有趣拼的图活动增强对数学学习的兴趣。
重点 1.通过综合运用已有知识解决问题的过程，加深对因式分解、整式运算、面积等的认识。
2.通过拼图验证公式的过程，使学习获得一些研究问题与合作交流的方法与经验。
难点利用数形结合的方法验证公式教学方法动手操作，合作探究课型新授课教具投影仪教师活动学生活动情景设置：你已知道的关于验证公式的拼图方法有哪些?(教师在此给予学生独立思考和讨论的时间，让学生回想前面拼图。
)新课讲解：把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子。
美国第二十任总统伽菲尔德就由这个图(由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个新的图形)得出：c2 = a2 + b2他的证法在数学史上被传为佳话。
他是这样分析的，如图所示：教师接着在介绍教材第94页例题的拼法及相关公式提问：还能通过怎样拼图来解决以下问题(1) 任意选取若干块这样的硬纸片，尝试拼成一个长方形，计算它的面积，并写出相应的等式;(2) 任意写出一个关于 a、b的二次三项式，如a2 + 4ab +3b2 试用拼一个长方形的方法，把这个二次三项式因式分解。
从面积到乘法公式复习教案苏科版
从面积到乘法公式复习教案苏科版教学目标：1. 理解并掌握面积的概念及其计算方法。
2. 掌握乘法公式的推导过程及其应用。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
教学重点：1. 面积的概念及其计算方法。
2. 乘法公式的推导过程及其应用。
教学难点：1. 面积的计算。
2. 乘法公式的灵活运用。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾面积的概念，让学生举例说明面积的计算方法。
2. 提问：面积有什么实际应用？二、新课（15分钟）1. 讲解面积的计算方法，重点讲解平方单位的表示方法。
2. 通过实例，引导学生掌握乘法公式及其推导过程。
3. 讲解乘法公式的应用，让学生举例说明如何运用乘法公式解决问题。
三、练习（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固面积的计算方法和乘法公式的应用。
2. 引导学生相互讨论，解决练习题中的问题。
四、总结（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学内容，总结面积的计算方法和乘法公式的推导过程及其应用。
2. 提问：你们认为面积和乘法公式在实际生活中有什么应用？五、作业布置（5分钟）1. 布置作业：让学生运用面积的计算方法和乘法公式解决实际问题。
2. 提醒学生及时复习，准备下一节课的学习。
教学反思：本节课通过讲解面积的计算方法和乘法公式的推导过程，使学生掌握了面积的概念和计算方法，以及乘法公式的应用。
在教学过程中，注意引导学生积极参与，举例说明问题，培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
通过练习题的训练，使学生巩固所学知识，为后续的学习打下基础。
六、乘法公式的应用举例（15分钟）1. 通过实际例子，讲解乘法公式的应用，如面积计算、体积计算等。
2. 让学生尝试运用乘法公式解决实际问题，如计算一个矩形的面积、一个立方体的体积等。
七、乘法公式的拓展（15分钟）1. 讲解乘法公式的拓展知识，如平方根、立方根等。
2. 通过实例，让学生理解平方根和立方根的概念及计算方法。
4.14七年级数学下册_第九章从面积到乘法公式复习教案_苏科版 2
第九章从面积到乘法公式单元总结提升班级____________姓名____________学号___________备课时间: 主备人:单元总结归纳一、本章的知识框图二、重点、难点突破重点：(一)单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.（二）单项式乘以多项式1.单项式与多项式的相乘，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即a（b＋c＋d）= ab＋ac＋ad.2.其几何意义为：3.单项式与多项式相乘的步骤：（1）按乘法分配律把乘积写成单项式与单项式乘积的代数和的形式；（2）进行单项式的乘法运算.（三）多项式乘以多项式1.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.2.其几何意义为：3.多项式与多项式相乘的步骤：（1）用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项；（2）把所得的积相加.（四）乘法公式1. 完全平方式公式：（a±b）2= a2±2ab+b2.（1）特征：完全平方公式的左边是一个二项式的完全平方，右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍.可概括为“首平方，尾平方，乘积2倍放中央，中央符号回头望”.（2）语言叙述：两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们的积的2倍的和；两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们的积的2倍的差（3）几何意义：（a+b）2= a2+2ab+b2、（a-b）2=a2-2ab+b22.平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2.（1）特征：公式的左边是两个数的和乘以这两个数的差，而公式的右边恰好是这两个数的平方差.（2）语言叙述：两个数的和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差.（3）几何意义：5.因式分解（1）因式分解与整式乘法的区别与联系：把一个多项式写成几个整式积的形式叫做多项式的因式分解. 它与整式乘法是两种互逆的恒等变形.（2）提公式法分解因式：提公因式的依据是乘法分配律，其实质是分配律的“逆用”；提公因式分解因式的步骤是：a.找出多项式各项的公因式；b.提出多项式的公因式；提公因式分解因式的关键是正确找出各项的公因式，当一个多项式的公因式正确找出后，需要提取公因式，此时可以直接观察出提出公因式后剩下的另一个公因式；也可以用原多项式去除以公因式，所得的商即为提出公因式后，剩下的另一个因式.（3）公式法分解因式：平方差公式分解因式：a2－b2=(a+b)(a－b)，两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积.完全平方公式分解因式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2，两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.难点：1. 单项式与单项式相乘，应注意：（1）先把各因式里的系数组成一组，积的系数等于各因式系数的积，即进行有理数的乘法运算，先确定积的符号，再计算绝对值；（2）相同字母相乘时，利用同底数幂的乘法法则“底数不变，指数相加”；（3）对于只在一个单项式中出现的字母，应连同它的指数一起写在积里，注意不能漏掉这部分因式；（4）单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方，再乘法”的顺序进行；（5）单项式与单项式相乘的积仍是单项式，对于字母因式的幂的底数是多项式形式的，应将其作为一个整体来运算；（6）对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍适用.2. 单项式与多项式相乘应注意：（1）单项式与多项式相乘，结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同；（2）计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，为了避免发生符号上的错误，计算时可以分为两步：先把“-”号放在括号外，把单项式与多项式相乘，然后去括号；（3）在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要进行合并.3. 多项式乘以多项式应注意：（1）运算时要按一定的顺序进行，防止漏项，积的项数在没有合并同类项之前，应是两个多项式项数的积；（2）多项式是几个单项式的和，每项都包括前面的符号，在计算时要正确确定积中各项的符号；（3）运算结果有同类项的要合并同类项，并按某个字母的升幂或降幂排列.4.乘法公式（1）运用完全平方公式时应注意：明确使用和的完全平方公式还是差的完全平方公式；分清公式中的a、b分别代表什么；结果是三项式，首尾两项分别是左边二项式的每一项的平方，中间项是左边两项的积的二倍，尤其是中间项的二倍不能忘记.（2）运用平方差公式时应注意：首先明确能否利用平方差公式计算（能利用平方差的标准是一个二项式是两数的和，另一个二项式是这两数的差，我们把符号相同的数看作是a，把符号相反的项看作是b）；结果是平方差，且两个数(项)的位置不能弄错；必须注意系数、指数的变化（3）灵活应用乘法公式首先必须做到心中牢记公式的“模样”，在此前提下再认真地对题目进行细致观察，想法设法通过调整项的位置和添括号等变形技巧，把式子凑成公式的“模样”，然后就可以应用公式进行计算了，这里关键是要善“变”.5.因式分解（1）对因式分解结果的约定：a.与原多项式相等；b.为积的形式，即从整体上看，最后结果应是一些因式的乘积；c.每个因式都是整式；d.在指定数集里，每个多项式不能再分解.e.形式最简.（2）用提公因式法分解因式应注意：a.公因式要提尽；b.小心漏项，提公因法分解因式后，括号里多项式的项数与原多项式的项数应该相同；c.提取公因式后的多项式首项一般取正号；d.分解因式与整式的乘法是互逆的过程，所以可以用整式的乘法来验证因式分解的正确性；e.把含有相同字母的式子作为公因式提出来时，要特别注意统一式子中字母的顺序；f.提公因式要干净彻底，也就是说当把多项式提出公因式后，剩下的另一个因式中应该再不能提出公因式了.(3)使用公式法分解因式：如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式；如果多项式是三项，其中两项同号，且能写成两数的平方和的形式，另一项是这两数乘积的2倍，可以运用完全平方公式分解.有时多项式不能直接使用公式时，还可以适当将它们变形.(4)综合运用提公因式法和运用公式法分解因式时要注意: 1.如果多项式各项有公因式，应先提公因式，再进一步分解; 2.分解因式必须分解到每个多项式的因式都不能再分解为止; 3.因式分解的结果必须是几个整式的积的形式.即：“一提”、“二套”、“三查”.特别强调“三查”，检查多项式的每一个因式是否还能继续分解因式，还可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确.整合拓展创新类型之一、基本概念型例1 下列变形中哪些变形是因式分解，哪些是整式乘法？ (1)8a 2b 3c=2a 2b ·2b 3·2c (2)3a 2+6a=3a(a+2)(3)x 2－21y=(x+y1)(x －y1)(4)x 2－4+3x=(x+2)(x －2)+3x (5)ma+mb+na+nb=m(a+b)+n(a+b) (6)(2a+5b)(2a －5b)=4a 2－25b 2【思路分析】因式分解必须是左边是多项式，右边整体是积，且每个因式都是整式，它与整式乘法是互逆的恒等变形.变式题 下列变形中，因式分解对不对？为什么？ (1)x 2y －xy 2=xy(x －y)(2)a 3－2ab+ab 2=a(a －b)2=a(a 2－2ab+b 2) (3)62ab －4ab 2+2ab=2ab(3a －2b) (4)4a 2－100=(2a+10)(2a －10) (5)a 2－b 2=(a －b)2提示： 第（2）题提取公因式a 后，括号里是a2-2b+b2，不是完全平方式；第（3）出现了漏项；第（4）题没有分解彻底，应先提取公因式4，再用平方差公式；第（5）题混淆了两个乘法公式.解：只有（1）是正确的.类型之二、基本运算型 1.整式乘法的运算例2 先规定一种运算：a ＊b=ab+a-b ，其中a 、b 为有理数，则a ＊b+（b-a ）＊b 等于（ ）A.a 2-b ；B.b 2-b ；C.b 2；D.b 2-a. 【点评】解决这类问题，理清题目意思是解题关键. 变式题 已知：A=2x 2+3xy-y 2，B=-21xy ，C=81x 3y 3-41x 2y 4.求：2AB 2-C.提示：直接代入计算，在复杂的式子计算中，先算乘方，再算多项式乘法，最后合并同类项例3 计算：（1）3（m+1）2-5（m+1）（m-1）+2（m-1）2（2）[（4x n+1-21y ）2+4y （x n-16y ）]÷8x 2.变式题 计算：（1）（a+b+c-d ）（a-b+c+d ）； （2）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）.解：（1）观察运算符号，两多项式中a 、c 符号相同，b 、d 符号相反，因此可以把a 、c 结合在一起，看成一项，把b 、d 结合在一起，看成另一项，应用平方差公式计算.（2）经过观察1+4=2+3，因此将（x+1）（x+4）和（x+2）（x+3）先分别相乘，出现相同部分x 2+5x ，再视其为整体进行运算.2.因式分解例4 （1）分解因式:2x 2-18= ; (2) 分解因式:a 3-2a 2b+ab 2= ; (3) 分解因式:x 2-y 2+ax+ay= .【思路分析】(1)、(2)先提公因式，再用公式法；（3）要利用分组分解法.【点评】中考对因式分解的要求不太高，都以基本题为主.但有不少学生在解答第（1）、（2）题时常常在提公因式后就结束答题，从而失分.因此，在做因式分解时，最后一定要检验，使每个因式不能再分解才能结束.变式题 先阅读，再分解因式：x 4+4=（x 4+4x 2+4）-4x 2=（x 2+2）2-（2x ）2=（x 2+2x+2）（x 2-2x-2）. 仿照这种方法把多项式644＋x 分解因式.提示 仿照例题，运用添项、减项（配方），使其可以用平方差公式分解. 解：644＋x =（x 4+16x 2+64）-16x 2=（x 2+8）2-（4x ）2=（x 2+4x+8）（x 2-4x+8） 类型之三、基本应用型例5 若x 2－4x ＋y 2－10y ＋29=0，求x 2y 2＋2x 3y 2＋x 4y 2的值.【思路分析】一个方程求两个未知数显然不容易，考虑已知等式的特点，将其整理为两个完全平方式的和，利用其非负性求出x 、y ，再化简所求代数式后代入求值.解：因为x 2－4x ＋y 2－10y ＋29=0，所以（x 2－4x+4）＋（y 2－10y ＋25）=0， （x-2）2+（y-5）2=0，所以x=2，y=5.x2y2＋2x3y2＋x4y2= x2y2（1+2x+x2）= （xy）2（1+x）2=（2×5）2×（1+2）2=900.【点评】利用因式分解，根据完全平方式的非负性是由一个方程解两个未知数的常用方法之一.变式题矩形的周长是28cm，两边长为x，y，若x3＋x2y－xy2－y3＝0，求矩形的面积．提示把已知等式分解因式，利用矩形边长的非负性寻求解题途径.解：因为x3＋x2y－xy2－y3＝0，所以（x3＋x2y）－（xy2+y3）＝0，x2（x+y）－y2（x+y）=0，（x2－y2）（x+y）=0，（x+y）（x-y）（x+y）=0，（x+y）2（x-y）=0，又因为矩形的边长总是非负数，即（x+y）2＞0，所以有x-y=0，即x=y.而由矩形的周长是28cm得到x+y=14，所以x=y=7.矩形的面积为49C㎡.答：矩形的面积为49C㎡.例6 若x2+7xy+my2-5x+43y-24可以分解成x,y的两个一次因式的积，试确定m的值.【思路分析】令x2+7xy+my2-5x+43y-24=(x+a y+b)(x+cy+d),再对比系数求得m.解:设x2+7xy+my2-5x+43y-24=(x+a y+b)(x+cy+d)=x2+(a+c)xy+a cy2+(b+d)x+(a d+bc)y+bd.对比多项式的系数得由③，⑤两式可得b=-8，d=3，或b=3，d=-8.(1)当b=-8，d=3时，得a=9，c=-2，⑥(2)当b=3，d=-8时，得a=-2，c=9.⑦∴m=-18.【点评】本题实质考查了学生对待定系数法的理解与运用能力. 变式题 已知多项式2x 3-x 2+m 有一个因式(2x+1),求m 的值.解答： 由已知条件可以设2x 3-x 2+m=(2x+1)(x 2+a x+b),则2x 3-x 2+m=2x 3+(2a +1)x 2+ (a +2b)x+b.对比多项式系数可得类型之四、思想方法型 1.整体转化思想例7 a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，e 的绝对值是2，并且x=ｅ＋３ba 3+2cd+２１e 2，求9x 2+[x （4x-3）-2x （x-3）]的值.【思路分析】整体确定a+b 、cd 的值，进而得到x 的值，将求值式化简后再代入. 解：根据题意，a+b=0，cd=1，|e|=2，所以x=ｅ＋b a 33+2cd+２１e 2=ｅ）＋b a (3+2cd+２１e 2=e 03×+2×1+21×22=2+2=4.原式=9x 2+（4x 2-3x-2x 2+6x ）=11x 2+3x=11×42+4×3=6+12=188.【点评】本题综合性强，涉及到以前学过的互为相反数的和为0，互为倒数的积为1，绝对值的意义，题目较复杂，但还是应依据先化简，再求值的原则.变式题 （1）已知（a+b ）2=144 ， (a-b)2=36, 求ab 与a 2 + b 2 的值. （2）设m 2+m-1=0，求m 3+2m 2+2004的值. 提示：本题在解题时要运用整体思想. 解：（1）已知（a+b ）2=144， (a-b)2=36,a2 +2ab+ b2=144，a2 -2ab+ b2=36，把ab 与a2 + b2分别看作是整体，两式相加得到2（a2 + b2）=180，即a2 + b2=90，两式相减，得到4ab=108，即ab=27.答：ab=27，a2 + b2=90.（2）∵m2+m-1=0，∴m2+m=1.∴m3+2m2+2004=m(m2+m)+m2+2004=m·1+m2+2004=m2+m+2004=1+2004=2005.答：m3+2m2+2004=2005.2.数形结合思想例8 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b）（如图1），把余下的部分拼成一个矩形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A.（a+b）（a-b）=a2-b2；B.（a+b）2=a2+2ab+b2；C.（a-b）2=a2-2ab+b2；D.（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2.a图2图1【思路分析】先写出图中面积的不同表达形式，再比较作出判断.解：原阴影部分的面积为a2-b2，移动后阴影部分的面积为（a+b）（a-b），因此有（a+b）（a-b）=（a-b）2，选A.【点评】从面积到乘法公式，从乘法公式到面积表达式，充分展示了数学里的“数”与“形”的和谐美.由“数”到“形”，有“形”到“数”，这样反复观察思考、操作运算，对提高我们对数学的认识，锻炼我们的数学思维是大有益处的.变式题（苏科版课课练P63 6）如图，利用图形因式分解：a2+7ab+12b2. Array提示：结合图形寻求答案.解：a2+7ab+12b2=（a+3b）（a+4b）.五、实践型1.思维实践型例9 多项式9x 2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方式，那么加上的单项式可以是 .（填上一个你认为正确的即可）【思路分析】许多学生在解答此题时，由于受思维定势的影响，习惯于依据课本上的完全平方公式得9x 2+1+6x=（3x+1）2，或9x 2+1-6x=（3x-1）2，只要再动动脑筋，还可以得出：9x 2+1+481x 4=（29x 2+1）2，9x 2+1-1=（3x ）2，9x 2+1-9x 2=12.解：所加的单项式可以是±6x 或481x 4或-1或-9x 2.【点评】这是一个适度的开放题，对思维要求能力比较高.变式题 观察一组式子：32+42=52，52+122=132，72+242=252，92+402=412，… 猜想一下，第n 个式子是 .提示： 通过观察几个具体的等式，而抽象出一般规律，本题可以通过变形产生平方差，再反复用平方差公式得解.解：观察已知式子，可知每个等式左边第二项的底数与右边的结果的底数为相邻的两个连续整数，变形可得52-42=32，132-122=52，252-242=72，412-402=92，…且有关系5=2×1×（1+1）+1，13=2×2×（2+1）+1，25=2×3×（3+1）+1，41=2×4×（4+1）+1，…从而第n 个式子中右边的底数为2n （n+1）+1，因此有：[2n ·（n+1）+1]2-[2n （n+1）]2={[2n ·（n+1）+1]+[2n （n+1）]}{[2n （n+1）+1]-[2n （n+1）]}=4n 2+4n+1=（2n+1）2.故第n 个式子为（2n+1）2+（2n 2+2n ）2=（2n 2+2n+1）2. 2.动手实践型例10 现有足够的2×2，3 ×3的正方形和2×3的矩形图片A 、B 、C （如图），先从中各选取若干个图片拼成不同的图形，请你在下面给出的方格纸（每个小正方形的边长均为1）中，按下列要求画出一种拼法的示意图（要求每两个图片之间既无缝隙，也不重叠，画图时必须保留作图痕迹）.（1）选取A 型、B 型两种图片各1块，C 型图片2块，拼成一个正方形；（2）选取A型图片4块、B型图片1块，C型图片4块，拼成一个正方形；（3）选取A型图片3块、B型图片1块，再选取若干块C型图片，拼成一个矩形.【思路分析】按常规思路是用画图（或实物图片）尝试去拼接，这样费时费力，效率低.若设A形纸片的边长是a，B型纸片的边长为b（b＞a），则C型纸片的长为b、宽为a，抓住“拼接前后面积不变”这一条件，运用因式分解，可使解题目标的实施更明确，过程更简明.如（1）因拼接前后的总面积不变是a2+b2+2ab，分解因式得（a+b）2，则所拼接正方形边长为a+b.可拼接如图1所示的草图（注：没在提供的方格图中画）.（2）由拼接前后的面积是4a2+b2+4ab，分解因式得（2a+b）2，则所拼接正方形边长为2a+b.可拼接如图2所示的草图.（3）拼接图形面积为3a2+b2+（）ab，（）为整数，能够拼接为某一图，则其必能分解，结合因式分解，知b2+4ab+3a2=（b+a）（b+3a），即选4张C型纸片即可拼接成一矩形，由分解因式的特点，可拼出如图3的草图.变式题（苏科版课课练P63 6）已知3种形状的长方形和正方形纸片（如图1）：用它们拼成一个长为（3a+2b）、宽为（a+b）的长方形，各需多少块？并画出图形.提示：根据拼接前后面积不变知道长方形的面积为（3a+2b ）（a+b ）=3a 2+5ab+2b 2，显然需要A 正方形纸片3张、B 正方形纸片2张、C 长方形纸片5张，共10张纸片.解：需要A 正方形纸片3张、B 正方形纸片2张、C 长方形纸片5张，共10张纸片. 画图如图2所示. 中考名题欣赏1.计算：（-1-2a ）（2a-1）= ； 化简：（21m+n ）（m-2n ）= .解：（1）方法1：（-1-2a ）（2a-1）=-2a+1-4a 2+2a=1-4a 2；方法2：（-1-2a ）（2a-1）=-（2a+1）（2a-1）=-（4a 2-1）=1-4a 2； 方法3：（-1-2a ）（2a-1）=（-1-2a ）（-1+2a ）=（-1）2-（2a ）2=1-4a 2. （2）方法1：原式=21m 2-mn+mn-2n 2=21m 2-2n 2；方法2：原式=21（m+2n ）（m-2n ）=21（m 2-4n 2）=21m 2-2n 2； 方法3：原式=2（21m+n ）（21m-n ）=2（41m 2-n 2）=21m 2-2n 2.【点评】该题考查乘法的基本运算和灵活运用乘法公式的能力，可以按多项式乘多项式的法则进行，也可以通过适当变形巧用乘法公式来简化计算.【方法技巧】对多项式进行适当变形，可达到运用乘法公式来简捷解题的目的.中考中对整式乘法知识的考查难度不大，但很灵活，在解题时我们一定要透过现象看本质，抓住特点，创造性地解题.2.（1）把代数式xy 2-9x 分解因式，结果正确的是（ ） A.x （y 2-9） B.x （y+3）2 C.x （y+3）（y-3） D.x （y+9）（y-9）（2）把代数式a 3+ab 2-2a 2b 分解因式的结果是 . 解：（1）xy 2-9x=x （y 2-9）= x （y+3）（y-3），故选C ； （2）原式=a （a 2+b 2-2ab ）=a （a 2-2ab+b 2）=a （a-b ）2.【点评】该题既考查因式分解的概念，又考查因式分解的方法，先提公因式，再根据项数确定应用什么公式.在中考中，对因式分解的考查一般以填空题、选择题的形式出现，比较容易，但失分率却比较高，主要是对因式分解的概念模糊，分解不彻底所致.如第（1）题，不少考生可能选A ，第（2）题误填a （a 2+b 2-2ab ）.3. （1）如图1是一个正方形与一个直角三角形所组成的图形，则该图形的面积为 （ ）A.m 2+21mn B.２－ｍ２mn c.２＋ｍ２mn D.２＋ｎｍ２２（2）三种不同类型的矩形地砖长宽如图2所示若先有A 类4块，B 类4块，C 类2块，要拼成一个正方形，则应多余出一块 型地砖；这样的地砖拼法表示了一个两数和的平方的几何意义，这个两数和的平方是 .解：（1）S=m 2+21·m ·（n-m ）=m 2+21mn-21m 2=２＋ｍ２mn ，选C ；（2）通过动手操作可得如图3（答案不唯一），易知多了一块C 型地砖，其面积为（2m+n ）2或4m 2+4mn+n 2.因此，依次填入C ，（2m+n ）2= 4m 2+4mn+n 2.【点评】第（1）题可分别求出正方形和直角三角形的面积，再求和；第（2）题可通过动手操作，摆出图形来寻求答案. 该题考查学生数形结合的能力以及对单项式乘以多项式和乘法公式——完全平方公式的理解和掌握.利用几何的面积法与代数的计算法相结合，考查了学生的数形结合的能力，提升了难度，更体现了新课标的基本理念.4.老师在黑板上写出三个算式：52-32=8×2，92-72=8×4，152-32=8×27，王华又接着写出了两个具有同样规律的算式：112-52=8×12，152-72=8×22，……（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式； （2）用文字写出反映上述算式的规律； （3）证明这个规律的正确性.解：（1）写出两个正确的算式，如：32-12=8×1，72-32=8×5等等； （2）规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数；（3）证明：设m 、n 为两个整数，两个奇数可表示为2m+1和2n+1， 则（2m+1）2-（2n+1）2=4（m-n ）（m+n+1）.当m 、n 同是奇数或偶数时，m-n 一定为偶数，所以4（m-n ）一定是8的倍数；当m 、n 一奇一偶时，则m+n+1一定是偶数，所以4（m+n-1）一定是8的倍数.所以，任意两奇数的平方差是8的倍数.（说明：规律说成是：“两奇数的平方差是4的倍数”且证明正确也可得满分，如果证明中加设m ＞n 的条件，不扣分）.【点评】这是一则探索规律题，等式左边是两个奇数的平方差，（大数减小数），右边是8的倍数.【方法技巧】解决探索规律题，要认真观察已给的等式和自己写出的等式，充分联想已有的知识，大胆猜想相应的结论，再进行严密推理说明，即认真观察，广泛联想，大胆猜测，小心论证.5.化简：（2x-1）2-（3x-1）（3x-1）+5x （x-1），再选一个你喜欢的数代替x 求值. 解：分别用完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式的法则进行计算，再去括号，合并同类项.原式=4x 2-4x+1-（9x 2-1）+5x 2-5x=4x 2-4x+1-9x 2+1+5x 2-5x=-9x+2. 取一个x 值，代入求值即可.取x=0，则原式=2.【点评】这是一道自编自解题，先化简，后取一个x 值代入求值，但取x 值既要使原代数式有意义，又要使计算简捷方便.6.物资调运是国民经济的重要问题，安排得当可以为国家节省大量资金和物力，下面是一个车床调运的实例.北京与上海分别制造同种型号的车床10台和6台，这些车床计划分配到武汉和西安两地，运送一台车床的费用（单位：元）如下图1所示，如果北京发往武汉x 台，上海发往西安y 台，求总运费.图1解：作出如图2的网络图，并标上相关的数据，由图易知总运费W=500x+400（10-x ）+950y+700（6-y）=100x+250y+8200（元）（答略）.【点评】这是一道实际应用题，先从题目中（特别是表格中）提取相关信息，借助于整式运算的知识来解答.这里运用“词、数、图、式”一体化的解题思路，架起“示意图”这座桥梁，达到解决数学问题的目的.这种方法将数化形，其优越性在于直观、形象，是将具体问题抽象为数学模型的一种普遍使用的方法.章内专题阅读如何用乘法公式？乘法公式是初一代数的重要内容，对今后学习数学影响很大.也是中考考查的重要知识点.本文介绍如何使用乘法公式.1.直接用例1 计算（3x2+y）（3x2-y）分析本题符合平方差公式的结构特征，其中3x2相当于公式中的a、y相当于公式中的b，故可直接使用平方差公式.解原式=（3x2）2-y2=9x4-y2.2.连续用例2计算（x+1）（x2+1）（x4+1）（x8+1）（x-1）.分析按顺序直接计算量很大，把最后一个因式放到前面，则可连续使用平方差公式.解原式=（x-1）（x+1）（x2+1）（x4+1）（x8+1）=（x2-1）（x2+1）（x4+1）（x8+1）=（x4-1）（x4+1）（x8+1）=（x8-1）（x8+1）= x16-1.3.整体用例3计算2)y-（新教案9.4（3）例4变式题）x-(z32分析将x-3y看成一个整体，原式可用完全平方公式计算.解原式=[（x-3y）-2z]2=（x-3y）2-4（3x-y）z+4z2=x2-6xy+9y2-12x+4y+4z2.4.逆向用例4 求证：无论x为何值，代数式4x2-12x+2都不小于-7.分析乘法公式是恒等式，必要时可逆向使用.本题配方后用完全平方式的非负性判断原式的取值范围.解 原式=（4x 2-12x+9）-7=（2x-3）2-7， 因为（2x-3）2≥0，所以 原式=（2x-3）2-7≥-7. 5.变序用例5 计算22)32()32(-+x x分析 先用积的乘方化为[（2x+3）（2x-3）]2，对用平方差公式，再用平方公式计算，改变运算顺序，要比先用完全平方公式将（2x+3）2、（2x-3）2展开后再计算要简便得多.解 原式=[（2x+3）（2x-3）]2=（4x 2-9）2=16x 4-72x 2+81.6.凑项用例6 计算（5+4）（52+42）（54+44）（58+48）…（5256+4256）分析 直接计算显然太麻烦.注意到从第二个因式开始每个因式的前项（或后项）都是前一个因式的前项（或后项）的平方，如果式子的开头能使用平方差公式，则后面就能反复循环使用.而式子的开头没有（5-4）这一因式，因此必然要拼凑因式（5-4）.7.裂项用例7已知a 2-2a+b 2+4b+5=0，求(a+b)2005的值. （新教案9.6（2）例3）分析 一个方程两个未知数一般是不能确定其解的.但本题中的条件可通过裂项、分组、配方后求出a 、b 的值.8.搭配用例8 求证（x-1）（x-3）（x-5）（x-7）+16是完全平方式.分析 考察四个因式有序变化的结构特征，可让它们“均衡”搭配.即一、四两个因式与二、三两个因式分别搭配运算后，把得到的其中某一个因式看成一个整体再作恒等变形.9.消元用例9 已知实数x、y、Z满足z2=xy+y-9，x+y=5，求（x+z）-y.分析条件z2=xy+y-9是三个未知量的复杂关系，可通过x+y=5消元，化为二个未知量的关系，实现“减肥瘦身”.解 x=5-y，所以z2=（5-y）y+y-9，所以（y2-6y+9）+z2=0，所以（y-3）2+z2=0，解得y=3，z=0，所以x=2，故.（x+z）-y=（2+0）-3= 18.。
初中初一数学下册《从面积到乘法公式》教案、教学设计
3.学生在数学学习中，对于数形结合的思想和方法还不够熟悉，需要通过具体实例和操作来培养。
4.学生在解决问题的过程中，可能存在依赖机械计算、缺乏逻辑推理的现象，需要加强引导和训练。
5.学生在情感态度上，对新鲜事物充满好奇心，但学习毅力不足，容易在遇到困难时产生挫败感。
要求：认真审题，规范计算，检查答案，确保作业质量。
2.实践应用题：结合生活实际，设计一道与面积相关的实际问题，运用本节课所学的乘法公式进行解答。
要求：问题设计要具有实际意义，解答过程要清晰，展现乘法公式的应用。
3.提高拓展题：选取一道具有挑战性的面积问题，运用数形结合的思想，探索解题方法。
要求：勇于尝试，善于思考，注重逻辑推理，培养解决问题的能力。
教学设想：
1.创设情境，激发兴趣
-通过引入生活实例，让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学习兴趣。
-设计有趣的数学游戏，让学生在游戏中体验数学的魅力，提高学习积极性。
2.突破重点，化解难点
-采用直观的教具和动态演示，帮助学生形象地理解面积公式和乘法公式。
-通过典型例题的分析，引导学生发现乘法公式与面积之间的联系，培养学生的逻辑推理能力。
（三）学生小组讨论
1.分组讨论：将学生分成若干小组，每组选择一个或多个面积问题进行讨论，共同探讨如何运用乘法公式解决这些问题。
2.交流分享：各小组向全班展示讨论成果，分享解题思路和经验，其他同学可提出疑问或建议，共同提高。
3.教师点评：对各小组的表现进行点评，强调解题过程中的注意事项，纠正错误，引导学生总结解题方法。
2.能够运用乘法公式进行简便计算，提高运算速度和准确性。
初中数学从面积到乘法公式教案
初中数学从面积到乘法公式教案第9章从面积到乘法公式课时分配本课〔章节〕需 1 课时本节课为第 1 课时为本学期总第课时数学活动拼图公式教学目的 1．阅历不同的拼图方法验证公式的进程，在此进程中加深对因式分解、整式运算、面积等的看法。
2．。
经过验证进程中数与形的结合，体会数形结合的思想以及数学知识之间内在联络，每一局部知识并不是孤立的。
3．经过丰厚幽默的拼图活动，阅历观察、比拟、拼图、计算、推理交流等进程，开展空间观念和有条理地思索和表达的才干，取得一些研讨效果与协作交流方法与阅历。
4．经过取得成功的体验和克制困难的阅历，增进数学学习的决计。
经过丰厚幽默拼的图活动增强对数学学习的兴味。
重点 1．经过综合运用已有知识处置效果的进程，加深对因式分解、整式运算、面积等的看法。
2．经过拼图验证公式的进程，使学习取得一些研讨效果与协作交流的方法与阅历。
难点应用数形结合的方法验证公式教学方法入手操作，协作探求课型新授课教具投影仪教师活动学生活动情形设置：你道的关于验证公式的拼图方法有哪些？〔教员在此给予先生独立思索和讨论的时间，让先生回想前面拼图。
〕新课解说：把几个图形拼成一个新的图形，再经过图形面积的计算，经常可以失掉一些有用的式子。
美国第二十任总统伽菲尔德就由这个图〔由两个边长区分为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个新的图形〕得出：c2 = a2 + b2他的证法在数学史上被传为佳话。
他是这样剖析的，如下图：教员接着在引见教材第94页例题的拼法及相关公式提问：还能经过怎样拼图来处置以下效果〔1〕恣意选取假定干块这样的硬纸片，尝试拼成一个长方形，计算它的面积，并写出相应的等式；〔2〕恣意写出一个关于 a、b的二次三项式，如a2 + 4ab +3b2试用拼一个长方形的方法，把这个二次三项式因式分解。
这个效果要给予先生充足的时间和空间停止讨论和拼图，教员在这要引导过度，不要限制先生思想，同时鼓舞先生在拼图进程中停止交流协作了解先生拼图的状况及应用自己的拼图验证的状况。
第九章 从面积到乘法公式
《第九章从面积到乘法公式》
一、教学目的
1、进一步理解本章的有关知识，掌握有关的运算法则，并会应用法则进行计算。
2、了解公式的几何背景。
3、反思本章的学习过程，进一步感受从图形面积计算得出整式乘法法则、整式乘法公式的过程，并能理解计算的算理，发展符号感，发展有条理地思考和表达的能力。
二、教学重点、难点
灵活运用整式乘法法则和乘法公式进行计算。
三、教学过程
（一）、知识回顾
1、单项式乘单项式的法则是把之积作为积的系数，相同字母的作为积里这个字母的指数，只在一个单项式中含有的字母，则连同其指数作为积的一个。
2、单项式与多项式相乘，就是根据乘法律，用单项式乘多项式的，再把所得的。
3、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的乘另一个多项式的再把所得的。
4、写出完全平方公式
写出平方差公式。
5、叫多项式的因式分解
6、
整式乘法单项式乘单项式
单项式乘多项式
多项式乘多项式
乘法公式
反过来用
因式分解。
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第九章从面积到乘法公式
一、课前预习：
1．知识梳理：
（1）单项式乘单项式:
①；②；③ . （2）单项式乘多项式： .
（3）多项式乘多项式: . （4）乘法公式：
①(a+b)(a-b)= ②(a+b)2= ③(a-b)2= ④(x+m)(x+n)= （5）因式分解方法：
①；②；③ .
二、知识巩固
1、下列分解因式中，错误的是( )
A.15a2+5a=5a(3a+1)
B.-x2-y2=-(x+y)(x-y)
C.m(x+y)+x+y=(m+1)(x+y)
D.x2-6xy+9y2=(x-3y)2
2、要使x2+2ax+16是一个完全平方式,则a的值为( )
A.4
B.8
C.4或－4
D.8或－8
3、（－5）2000＋（－5）2001的结果( )
A.52000
B.-4×52000
C.-5
D.(-5)4001
4、当x=1时，代数式ax2+bx+1的值为3，则(a+b-1)(1-a-b)的值等于（）
A.1
B.－1
C.2
D.－2
5、有4个代数式①m2n;②3m-n;③3m+2n;④m3n. 可作为代数式9m4n-6m3n2+m2n3的因式是（）
A.①和②
B.①和③
C.③和④
D.②和④
6、已知1km 2的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧1.3×108
kg 煤所产生的能量，在我国9.6×106km 2的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧煤 _______ __kg （用科学记数法表示）
7、若x-y=5,xy=6，则x 2y-xy 2=_____ ___,x 2y+xy 2=___ __
8、已知(3x+ay)2=9x 2-48xy+by 2，那么a,b 的值分别为＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
三、合作探究
1.计算
（1）(-3xy+
23y 2-x 2)×6x 2y （2）(x ＋2)(2x －3)
（3）(2m-n)2 （4）(x-
21)(x 2+41)(x+ 21)
2. 把下列各式分解因式：
（1）2n a -502+n a
； （2）2
)(4y x y x --．
3.已知()()()y x x x A 31112---+=，12-+-=xy x B ，且B A 63+的值与x 无关，求y 的值.
四、质疑反馈
1.（1）(2x-y)(____)=4x 2-y 2 （2）(b-a)(____)=a 2-b 2 (3)4x 2-12xy+(___)=(_____)2
2.小兵计算一个二项整式的平方式时,得到正确结果是9x 2+ +16y 2，但中间一项 不慎被污染了,这一项应是 ( )
A 12xy
B 24xy
C ±12xy
D ±24xy
3.计算题：(1)(x-3y)(y+3x)-(x-3y)(3y-x)
(2)(p+2q)2-2(p+2q)(p+3q)+(p+3q)2 (3)(2m-3n)2
4.化简后求值：22)32()32)(32(2)32(b a b a b a b a ++-+--，其中2-=a ，31=b ．
5.己知x+5y=6 , 求 x 2+5xy+30y 的值
6.把下列各式分解因式：
（1）16x 4-72x 2y 2+81y 4
（2）(x 2+y 2)2-4x 2y 2
作业设计
1．若x 2 +4x-4=0，则3x 2 +12x-5= ．
2. 当2012,3==y x 时，代数式()()2y y x y x +-+的值是 ．
3. 已知32-=ab ，则()
=---b ab b a ab 352 .
4. 若212=++a a ，则()()=+-a a 65 .
5. 计算：（1）(2a-3b)2-(b+3a)(3a-b)； （2）(x-2y+3)(x+2y-3)．
6.先化简下面的代数式，再求值： (4)(6)(2)a a a a --+-，其中 a=2
7.因式分解
（1）-0.04x 2－0.01y 2； (2) x 2 (x-y) + y 2 (y-x)； (3) x 2y 4－16x 2．
8. 若长方形的周长为28，两边长为x 、y ，且满足x 3+ x 2y-xy 2-y 3=0．试求这个长方形的面积．。