2018-2019高三理科数学二轮复习：第三讲 分类讨论思想-含解析
(新课标)2018届高考数学二轮复习 第二部分 思想方法 剖析指导 第3讲 函数与方程思想讲义 理
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证明: (1)令 g(x)=(1+x)2(1-2x+3x2-4x3),x∈[0,1], 则 g'(x)=-20(1+x)x3≤0,当且仅当 x=0 时取等号,
∴g(x)在[0,1]上单调递减,故 g(x)≤g(0)=1, ∴(1+x)2(1-2x+3x2-4x3)≤1, ∴(1+1������)2+4x3≥1-2x+3x2,
∵x∈[1,e],ln x≤1≤x,且等号不能同时取得,
∴ln x<x,即 x-ln x>0.
∴a≤������������2-l-n2������������恒成立,即 a≤
������2-2������ ������-ln������
-
1 2
=2n-2,
故 xn≤2���1���-2.
综上,2���1���-1≤xn≤2���1���-2(n∈N*).
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热点考题诠释 高考方向解读
函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点描述两个量之 间的依赖关系,刻画数量之间的本质特征,在提出数学问题时,抛开 一些非数学特征,抽象出数量特征,建立明确的函数关系,并运用函 数的知识和方法解决问题.有时需要根据已知量和未知量之间的制 约关系,列出方程(组),进而通过解方程(组),求得未知量.函数与方程 思想是相互联系、相互作用的.
即 f(x)≥1-2x+3x2.
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命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四
(2)由(1)知 f(x)≥1-2x+3x2=3
������-
1 3
2
+
2 3
≥
23,
高三数学二轮复习技法强化训练3分类讨论思想理
∞，－ 2] ∪[2 ，＋∞ ) ． ]
题组 2 由参数变化引起的分类讨论
7．已知集合 A＝ { x|1 ≤ x＜ 5} ，C＝ { x| － a＜ x≤ a＋ 3} ．若 C∩ A＝ C，则 a 的取值范围为 ( )
3 A. － 2，－ 1
3 B. －∞，－ 2
C． ( －∞，－ 1]
3 D. － 2，＋∞
6分
a＋ 1
③当－ 1<a<0 时，令 f ′（x) ＝ 0，解得 x＝ － 2a ，
7分
则当 x∈ 0，
a＋ 1 － 2a
时， f
′（x)>0 ；
当 x∈
a＋ 1 － 2a ，＋∞ 时， f ′（x)<0.
a＋ 1 故 f ( x) 在 0， － 2a 上单调递增，
a＋ 1
在
－ 2a ，＋∞ 上单调递减 .
当 P≠１且 P≠０时， { an} 是等比数列；
当 P＝ 1 时， { an} 是等差数列；
当 P＝ 0 时， a1＝－ 1， an＝ 0( n≥2) ，此时 { an} 既不是等差数列也不是等比数列． ]
－ x2＋ ax， x≤1， 2．(2016 ·长春模拟 ) 已知函数 f ( x) ＝
2ax－ 5， x＞ 1.
(2) 椭圆 C的 3 倍相似椭圆 C2 的方程为 ＋ ＝ 1，
5分
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①若切线 l 垂直于 x 轴，则其方程为 x＝± 2，
易求得 | MN| ＝ 2 6.
②若切线 l 不垂直于 x 轴，可设其方程 y＝ kx＋ b，
将 y＝ kx＋b 代入椭圆 C的方程， 得 (3 ＋ 4k2) x2＋ 8kbx＋4b2－ 12＝ 0， ∴ Δ＝ (8 kb) 2－ 4(3 ＋4k2)(4 b2－ 12) ＝ 48(4 k2－ 3－ b2) ＝ 0， 即 b2＝ 4k2＋3， (*)
分类讨论思想
分类讨论思想分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.” ●难点磁场1.（★★★★★）若函数514121)1(31)(23+-+-=x ax x a x f 在其定义域内有极值点，则a 的取值为 .2.（★★★★★）设函数f(x)=x2+｜x –a ｜+1，x ∈R. (1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)求函数f(x)的最小值. ●案例探究［例1］已知{an}是首项为2，公比为21的等比数列，Sn 为它的前n 项和.（1）用Sn 表示Sn+1;（2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+c S cS k k 成立.命题意图：本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质.错解分析：第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出k k S c S <<-223.技巧与方法：本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型.在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想：即对双参数k,c 轮流分类讨论，从而获得答案.解：（1）由Sn =4(1–n 21），得221)211(411+=-=++n n n S S ，(n ∈N*)（2）要使21>--+c S c S k k ，只要0)223(<---kk S c S c因为4)211(4<-=k k S所以0212)223(>-=--k k k S S S ，(k ∈N*) 故只要23Sk –2＜c ＜Sk ，（k ∈N*）因为Sk+1＞Sk ，(k ∈N*) ①所以23Sk –2≥23S1–2=1.又Sk ＜4，故要使①成立，c 只能取2或3.当c=2时，因为S1=2，所以当k=1时，c ＜Sk 不成立，从而①不成立.当k ≥2时，因为cS >=-252232，由Sk ＜Sk+1(k ∈N*)得 23Sk –2＜23Sk+1–2故当k ≥2时，23Sk –2＞c ，从而①不成立.当c=3时，因为S1=2，S2=3，所以当k=1，k=2时，c ＜Sk 不成立，从而①不成立因为cS >=-4132233，又23Sk –2＜23Sk+1–2 所以当k ≥3时，23Sk –2＞c ，从而①成立.综上所述，不存在自然数c,k,使21>--+c S cS k k 成立.［例2］给出定点A （a,0)（a ＞0）和直线l ：x=–1，B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于点C.求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.命题意图：本题考查动点的轨迹，直线与圆锥曲线的基本知识，分类讨论的思想方法.综合性较强，解法较多，考查推理能力和综合运用解析几何知识解题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：求动点轨迹的基本方法步骤.椭圆、双曲线、抛物线标准方程的基本特点. 错解分析：本题易错点为考生不能巧妙借助题意条件，构建动点坐标应满足的关系式和分类讨论轨迹方程表示曲线类型.技巧与方法：精心思考，发散思维、多途径、多角度的由题设条件出发，探寻动点应满足的关系式.巧妙地利用角平分线的性质. 解法一：依题意，记B （–1，b)，(b ∈R ），则直线OA 和OB 的方程分别为y=0和y=–bx. 设点C(x,y)，则有0≤x ＜a ，由OC 平分∠AOB ，知点C 到OA 、OB 距离相等.根据点到直线的距离公式得｜y ｜=21||b bx y ++ ① 依题设，点C 在直线AB 上，故有)(1a x a by -+-=由x –a ≠0，得a x ya b -+-=)1( ②将②式代入①式，得y2［(1–a)x2–2ax+(1+a)y2］=0 若y ≠0，则(1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x ＜a)若y=0则b=0,∠AOB=π，点C 的坐标为（0，0）满足上式. 综上，得点C 的轨迹方程为（1–a ）x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x ＜a )(i)当a=1时，轨迹方程化为y2=x(0≤x ＜1) ③ 此时方程③表示抛物线弧段； (ii)当a ≠1，轨迹方程化为)0(11)1()1(22222a x a a y a a a a x <≤=-+---④所以当0＜a ＜1时，方程④表示椭圆弧段； 当a ＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段.解法二：如图，设D 是l 与x 轴的交点，过点C 作CE ⊥x 轴，E 是垂足.（i ）当｜BD ｜≠0时，设点C(x,y)，则0＜x ＜a ，y ≠0由CE ∥BD ，得)1(||||||||||a x a y EA DA CE BD +-=⋅=.∵∠COA=∠COB=∠COD –∠BOD=π–∠COA –∠BOD∴2∠COA=π–∠BOD∴COA COA COA 2tan 1tan 2)2tan(-=∠BOD BOD tan )tan(-=∠-π∵x y COA ||tan =)1(||||||tan a x a y OD BD BOD +-==∴)1(||1||22a x a y x y x y +--=-⋅整理，得 (1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x ＜a)(ii)当｜BD ｜=0时，∠BOA=π，则点C 的坐标为(0,0)，满足上式. 综合(i)、(ii)，得点C 的轨迹方程为 (1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0≤x ＜a) 以下同解法一.解法三：设C(x,y)、B(–1,b)，则BO 的方程为y=–bx ，直线AB 的方程为)(1a x a by -+-=∵当b ≠0时，OC 平分∠AOB ，设∠AOC=θ,∴直线OC 的斜率为k=tan θ,OC 的方程为y=kx 于是2212tan 1tan 22tan k k-=-=θθθ又tan2θ=–b∴–b=212k k - ①∵C 点在AB 上∴)(1a x a bkx -+-= ②由①、②消去b ，得)(12)1(2a x k kkx a --=+ ③又x yk =，代入③，有)(12)1(22a x x y x yx x y a --⋅⋅⋅+整理，得(a –1)x2–(1+a)y2+2ax=0 ④当b=0时，即B 点在x 轴上时，C(0,0)满足上式：a ≠1时，④式变为11)1()1(22222=-+---a a y a a a a x当0＜a ＜1时，④表示椭圆弧段；当a ＞1时，④表示双曲线一支的弧段； 当a=1时，④表示抛物线弧段. ●锦囊妙计分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则.分类讨论常见的依据是：1.由概念内涵分类.如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类.2.由公式条件分类.如等比数列的前n 项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等.3.由实际意义分类.如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论. 在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论.●歼灭难点训练 一、选择题1.（★★★★）已知122lim =+-∞→nn n n n a a 其中a ∈R ，则a 的取值范围是( )A.a ＜0B.a ＜2或a ≠–2C.–2＜a ＜2D.a ＜–2或a ＞22.（★★★★★）四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有( )A.150种B.147种C.144种D.141种 二、填空题3.（★★★★）已知线段AB 在平面α外，A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB 的中点到平面α的距离为 .4.（★★★★★）已知集合A={x ｜x2–3x+2=0},B={x ｜x2–ax+(a –1)=0}，C={x ｜x2–mx+2=0}，且A ∪B=A ，A ∩C=C ，则a 的值为 ，m 的取值范围为 . 三、解答题5.（★★★★）已知集合A={x ｜x2+px+q=0}，B={x ｜qx2+px+1=0},A,B 同时满足： ①A ∩B ≠∅,②A ∩B={–2}.求p 、q 的值.6.（★★★★）已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：x2+y2=1，动点M 到圆C 的切线长与｜MQ ｜的比等于常数λ(λ＞0).求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.7.(★★★★★)已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线.当n ≤y ≤n+1(n=0,1,2,…)时，该图象是斜率为bn 的线段（其中正常数b ≠1），设数列{xn}由f(xn)=n(n=1,2,…)定义.（1）求x1、x 2和xn 的表达式； （2）计算∞→n limxn ；（3）求f(x)的表达式，并写出其定义域.8.（★★★★★）已知a ＞0时，函数f(x)=ax –bx2（1）当b ＞0时，若对任意x ∈R 都有f(x)≤1，证明a ≤2b;（2）当b ＞1时，证明：对任意x ∈［0,1］,｜f(x)｜≤1的充要条件是b –1≤a ≤2b ；（3）当0＜b ≤1时，讨论：对任意x ∈［0,1］,｜f(x)｜≤1的充要条件.参 考 答 案●难点磁场1.解析：即f(x)=(a –1)x2+ax –41=0有解.当a –1=0时，满足.当a –1≠0时，只需Δ=a2–(a –1)＞0.答案：252252+-<<--a 或a=12.解：(1)当a=0时，函数f(–x)=(–x)2+｜–x ｜+1=f(x)，此时f(x)为偶函数.当a ≠0时，f(a)=a2+1,f(–a)=a2+2｜a ｜+1.f(–a)≠f(a),f(–a)≠–f(a) 此时函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.（2）①当x ≤a 时，函数f(x)=x2–x +a+1=(x –21)2+a+43若a ≤21，则函数f(x)在(–∞,a ］上单调递减.从而函数f(x)在（–∞,a ]上的最小值为f(a)=a2+1若a ＞21，则函数f(x)在（–∞,a ]上的最小值为f(21)=43+a ，且f(21)≤f(a). ②当x ≥a 时，函数f(x)=x2+x –a+1=(x+21)2–a+43若a ≤–21，则函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(–21)=43–a ，且f(–21)≤f(a)； 若a ＞–21，则函数f(x)在［a,+∞)单调递增.从而函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(a)=a2+1.综上，当a ≤–21时，函数f(x)的最小值为43–a ； 当–21＜a ≤21时，函数f(x)的最小值是a2+1；当a ＞21时，函数f(x)的最小值是a+43.●歼灭难点训练一、1.解析：分a=2、｜a ｜＞2和｜a ｜＜2三种情况分别验证. 答案：C2.解析：任取4个点共C 410=210种取法.四点共面的有三类：（1）每个面上有6个点，则有4×C46=60种取共面的取法；（2）相比较的4个中点共3种；（3）一条棱上的3点与对棱的中点共6种.答案：C二、3.解析：分线段AB 两端点在平面同侧和异侧两种情况解决. 答案：1或24.解析：A={1,2},B={x ｜(x –1)(x –1+a)=0}, 由A ∪B=A 可得1–a=1或1–a=2； 由A ∩C=C ，可知C={1}或∅.答案：2或3 3或（–22，22） 三、5.解：设x0∈A ，x0是x02+px0+q=0的根.若x0=0，则A={–2,0}，从而p=2,q=0,B={–21}.此时A ∩B=∅与已知矛盾，故x0≠0. 将方程x02+px0+q=0两边除以x02，得01)1()1(20=++x p x q .即01x 满足B 中的方程，故01x ∈B.∵A ∩B ={–2},则–2∈A,且–2∈B .设A={–2,x0}，则B={01,21x -}，且x 0≠2（否则A ∩B=∅）.若x0=–21，则01x –2∈B,与–2∉B 矛盾. 又由A ∩B ≠∅,∴x0=01x ，即x0=±1.即A={–2,1}或A={–2,–1}.故方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根–2，1或–2，–1∴⎩⎨⎧=-⋅-==---=⎩⎨⎧-=⨯-==+--=2)1()2(3)12(21)2(1)12(q p q p 或6.解：如图，设MN 切圆C 于N ，则动点M 组成的集合是P={M ｜｜MN ｜=λ｜MQ ｜,λ＞0}. ∵ON ⊥MN,｜ON ｜=1,∴｜MN ｜2=｜MO ｜2–｜ON ｜2=｜MO ｜2–1 设动点M 的坐标为(x,y)， 则2222)2(1y x y x +-=-+λ即（x2–1)(x2+y2)–4λ2x+(4λ2+1)=0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P ，故方程为所求的轨迹方程.（1）当λ=1时，方程为x=45，它是垂直于x 轴且与x 轴相交于点（45，0）的直线；（2）当λ≠1时，方程化为：2222222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 它是以)0,12(22-λλ为圆心，|1|3122-+λλ为半径的圆. 7.解：（1）依题意f(0)=0，又由f(x1)=1，当0≤y ≤1，函数y=f(x)的图象是斜率为b0=1的线段，故由10)0()(11=--x f x f∴x1=1又由f(x2)=2，当1≤y ≤2时，函数y=f(x)的图象是斜率为b 的线段，故由bx x x f x f =--1212)()( 即x2–x1=b 1∴x2=1+b 1记x0=0，由函数y=f(x)图象中第n 段线段的斜率为bn –1，故得111)()(---=--n n n n n b x x x f x f又由f(xn)=n,f(xn –1)=n –1∴xn –xn –1=(b 1)n –1,n=1,2,……由此知数列{xn –xn –1}为等比数列，其首项为1，公比为b 1.因b ≠1，得∑==nk n x 1(xk –xk –1)=1+b 1+…+1)1(111--=--b b b b n n 即xn=1)1(1---b bb n（2）由（1）知，当b ＞1时，11)1(lim lim 1-=--=-∞→∞→b b b b b x n n n n 当0＜b ＜1，n →∞, xn 也趋于无穷大.∞→n limxn 不存在.（3）由（1）知，当0≤y ≤1时，y=x ，即当0≤x ≤1时，f(x)=x;当n ≤y ≤n+1，即xn ≤x ≤xn+1由（1）可知 f(x)=n+bn(x –xn)(n=1,2,…),由（2）知当b ＞1时，y=f(x)的定义域为［0,1-b b);当0＜b ＜1时，y=f(x)的定义域为［0,+∞). 8.(1)证明：依设，对任意x ∈R ，都有f(x)≤1∵b a b a x b x f 4)2()(22+--= ∴b a ba f 4)2(2=≤1 ∵a ＞0,b ＞0 ∴a ≤2b .（2）证明：必要性：对任意x ∈［0,1］，｜f(x)｜≤1⇒–1≤f(x ），据此可以推出–1≤f(1)即a –b ≥–1，∴a ≥b –1对任意x ∈［0,1］，｜f(x)｜≤1⇒f(x)≤1.因为b ＞1，可以推出f(b 1)≤1即a ·b 1–1≤1，∴a ≤2b ,∴b –1≤a ≤2b充分性：因为b ＞1，a ≥b –1，对任意x ∈［0,1］. 可以推出ax –bx2≥b(x –x2)–x ≥–x ≥–1 即ax –bx2≥–1因为b ＞1,a ≤2b ,对任意x ∈［0,1］，可以推出ax –bx2≤2b x –bx2≤1 即ax –bx2≤1,∴–1≤f(x)≤1综上，当b ＞1时，对任意x ∈［0,1］，｜f(x)｜≤1的充要条件是b –1≤a ≤2b . (3)解：∵a ＞0，0＜b ≤1∴x ∈［0,1］,f(x)=ax –bx2≥–b ≥–1 即f(x)≥–1f(x)≤1⇒f(1)≤1⇒a –b ≤1 即a ≤b+1a ≤b+1⇒f(x)≤(b+1)x –bx2≤1 即f(x)≤1所以当a ＞0，0＜b ≤1时，对任意x ∈［0,1］，｜f(x)｜≤1的充要条件是a ≤b+1.。
2018届高三理科数学二轮复习讲义：模块一 第三讲 分类讨论思想
第三讲 分类讨论思想思想方法诠释分类讨论思想：是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.要点一 由概念、性质、运算引起的分类讨论[解析] (1)f (1)＝e 1－1＝e 0＝1，要使f (1)＋f (a )＝2，则需f (a )＝1.当a ≥0时，由f (a )＝e a －1＝1得a －1＝0，即a ＝1；当－1<a <0时，由f (a )＝sin(πa 2)＝1得πa 2＝2k π＋(k ∈Z )，π2∴a 2＝2k ＋(k ∈Z )，由－1<a <0知k 只能取0，此时12a 2＝，∵－1<a <0，∴a ＝－.1222综上，a ＝1或－，故选B.22(2)当n ≥2时，＝3n ，又＝3n ＋1，两式相减，n －1∑i ＝2ai2i －1n∑i ＝2ai2i －1得＝2×3n ，所以a n ＝6n .由于a 1＝7不符合a n ＝6n ，所以数列an2n －1{a n }的通项公式为a n ＝Error![答案] (1)B (2)a n ＝Error!解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题的步骤第一步：确定需分类的目标与对象．即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标．第二步：根据公式、定理确定分类标准．运用公式、定理对分类对象进行区分．第三步：分类解决“分目标”问题．对分类出来的“分目标”分别进行处理．第四步：汇总“分目标”．将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理．[对点训练]1．(2017·佛山二模)若椭圆mx 2＋ny 2＝1的离心率为，则＝( )12mn A. B.3443C.或D.或322333443[解析] 若焦点在x 轴上，则方程化为＋＝1，依题意得x 21m y 21n ＝，所以＝；若焦点在y 轴上，则方程化为＋＝1，同1m－1n 1m 14mn 34y 21n x 21m 理可得＝.所以所求值为或.mn 433443[答案] D2．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．[解析] 当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2；当B ≠∅时，若B ⊆A，如图．则Error!解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围为(－∞，4]．[答案] (－∞，4]要点二 由图形位置或形状引起的分类讨论[解析] (1)当椭圆焦点在x 轴，即0<m <3时，≥tan，得≥tan60°，3m ∠AMB 23m 解得0<m ≤1；当椭圆焦点在y 轴，即m >3时，由≥tan ，得≥tan60°，m 3∠AMB 2m3解得m ≥9.综上，m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．(2)函数f (x )＝－2＋的图象的对称轴为x ＝，应分(x －a 2)a 24a2<－1，－1≤≤1，>1，即a <－2，－2≤a ≤2和a >2三种情形讨a 2a 2a2论．①当a <－2时，由图(1)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝－1－a ＝－(a ＋1)，由－(a ＋1)＝4，得a ＝－5，满足题意．②当－2≤a ≤2时，由图(2)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f ＝，由＝4，得a ＝±4(舍去)．(a 2)a 24a 24③当a>2时，由图(3)可知f(x)在[－1,1]上的最大值为f(1)＝a－1，由a－1＝4，得a＝5，满足题意．综上可知，a＝5或－5.[答案] (1)A (2)5或－5几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论(1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等．[对点训练]3．(2017·江南十校联考)已知变量x，y满足的不等式组Error!表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k＝( )A ．－ B. C ．0 D ．－或0121212[解析] 不等式组Error!表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知，若要使不等式组Error!表示的平面区域是直角三角形，只有当直线y ＝kx ＋1与直线x ＝0或y ＝2x垂直时才满足．结合图形可知斜率k 的值为0或－，故选D.12[答案] D4．(2017·宁波统考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为，则a 的值为2________．[解析] 由三角形面积公式，得×3×1·sin A ＝.122故sin A ＝.223因为sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以cos A ＝±＝±＝±.1－sin2A 1－8913①当cos A ＝时，由余弦定理，得13a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×＝8.13所以a ＝2.2②当cos A ＝－时，由余弦定理，得13a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×＝12，所以a ＝2(－13).3综上a ＝2或2.23[答案] 2或223要点三 由参数变化引起的分类讨论[解] (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2a e 2x ＋(a －2)e x －1＝(a e x －1)(2e x ＋1)．(ⅰ)若a ≤0，则f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递减．(ⅱ)若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝－ln a .当x ∈(－∞，－ln a )时， f ′(x )<0；当x ∈(－ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，－ln a )单调递减，在(－ln a ，＋∞)单调递增．(2)(ⅰ)若a ≤0，由(1)知，f (x )至多有一个零点．(ⅱ)若a >0，由(1)知，当x ＝－ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (－ln a )＝1－＋ln a .1a①当a ＝1时，由于f (－ln a )＝0，故f (x )只有一个零点；②当a ∈(1，＋∞)时，由于1－＋ln a >0，即f (－ln a )>0，故f (x )没1a 有零点；③当a ∈(0,1)时，1－＋ln a <0，即f (－ln a )<0.1a 又f (－2)＝a e －4＋(a －2)e －2＋2>－2e －2＋2>0，故f (x )在(－∞，－ln a )有一个零点．设正整数n 0满足n 0>ln ，则f (n 0)＝e n 0(a e n 0＋a －2)(3a －1)－n 0>e n 0－n 0>2n 0－n 0>0.由于ln >－ln a ，因此f (x )在(－ln a ，＋∞)有一个零点．(3a －1)综上，a 的取值范围为(0,1)．由参数变化引起分类讨论的关注点若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，本例(1)中f′(x )＝0会得出a e x ＝1，因e x >0，故应分a ≤0，a >0讨论．(2)中当a >0时，函数f (x )的零点与f (x )的最小值相关，故讨论的依据是f (x )的最小值的正负情况．此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确，不重不漏．[对点训练]5．(2017·广东江门一模)设函数f(x)＝e x－ax，a是常数．(1)若a＝1，且曲线y＝f(x)的切线l经过坐标原点(0,0)，求该切线的方程；(2)讨论f(x)的零点的个数．[解] (1)a＝1时，f(x)＝e x－x，f′(x)＝e x－1设切点坐标是(m，e m－m)，则k＝f′(m)＝e m－1，故切线方程是：y－(e m－m)＝(e m－1)(x－m)．由0－(e m－m)＝(e m－1)(0－m)，得m＝1，所求切线为：y＝(e－1)x.(2)f′(x)＝e x－a，①当a>0时，由f′(x)＝0得x＝ln a.若x<ln a，则f′(x)<0；若x>ln a，则f′(x)>0.函数f(x)在区间(－∞，ln a)上单调递减，在区间(ln a，＋∞)上单调递增，f(x)的最小值为f(ln a)＝a(1－ln a)．(ⅰ)0<a<e时，f(ln a)＝a(1－ln a)>0，f(x)无零点．(ⅱ)a＝e时，f(ln a)＝a(1－ln a)＝0，f(x)只有一个零点．(ⅲ)a>e时，f(ln a)＝a(1－ln a)<0，根据f(0)＝1>0与函数的单调性，f(x)在区间(－∞，ln a)和(ln a，＋∞)各有一个零点，f(x)共有两个零点．②a＝0时，f(x)＝e x，f(x)无零点．③a<0时，由f(x)＝0得，e x＝ax，因为曲线y＝e x与y＝ax只有一个交点，所以f(x)只有一个零点．综上所述，0≤a<e时，f(x)无零点；a<0或a＝e时，f(x)有一个零点；a>e时，f(x)有两个零点．————————————————————1．分类讨论的原则(1)不重不漏．(2)标准要统一，层次要分明．(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．2．分类讨论的思维流程明确讨论的对象和动机―→确定分类的标准―→逐类进行讨论―→归纳综合结论―→检验分类是否完备(即检验分类对象彼此交集是否为空集，并集是否为全集)．分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”．。
2018届高三数学理二轮复习课件：第二篇 数学思想2.3 精品
a 2a 2t 2
所以圆锥曲线T的离心率为 1 或 3 .
22
答案: 1 或 3
22
热点3 由变量或参数引起的分类讨论
【典例3】已知函数f(x)=sinx,g(x)=mx- x3 (m为实数).
6
(1)求曲线y=f(x)在点P ( ,f( ))处的切线方程.
44
(2)求函数g(x)的单调递减区间.
22
①a≤-2，b∈R时，函数f(sinx)单调递增，无极值.
②a≥2，b∈R时，函数f(sinx)单调递减，无极值.
③对于-2<a<2，在( ，内) 存在唯一的x0，使得
22
2sin x0=a.- 2<x≤x0时，函数f(sinx)单调递减；
x0≤x<
2
时，函数f(sinx)单调递增.
因此，-2<a<2，b∈R时，函数f(sinx)在x0处有极小值.
【变式训练】在等比数列{an}中,已知a3=
3 2
,S3=
9 2
,
则a1=__________.
【解析】当q=1时,a1=a2=a332= ,
S3=3a1=92 ,显然成立;
当q≠1时,由题意,得
a1q2
a1
1
a3 q3
所以
a1q2
3 2
,①
a1 1 q q2
9,②
2
1 q
3, 2 S3
【变式训练】设函数f(x)=x2-ax+b，讨论函数f(sinx)
在 ( ，)内的单调性并判断有无极值，有极值时求出
22
极值.
【解析】f(sinx)=sin2x-asinx+b=sinx(sinx-a)+b，
高考数学二轮复习 第3讲 分类讨论思想课件 文
第一页，共43页。
第一部分 数学思想方法专题大突破
第二页，共43页。
第三讲 分类讨论思想
第三页，共43页。
思想方法 归纳概括
高三冲刺,给你一颗勇敢的心
第四页，共43页。
1．分类讨论思想的含义 (1)分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究 时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研 究，得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解 答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为 整”的解题策略．
第三十四页，共43页。
故f(x)在R上为增函数． (3)由(1)知，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c，而2e2x＋2e－ 2x≥2 2e2x·2e－2x＝4，当x＝0时等号成立． 下面分三种情况进行讨论． 当c＜4时，对任意x∈R，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c＞0， 此时f(x)无极值；
[答案] D
第二十一页，共43页。
[解析] 作出可行域，平移直线y＝x，由z的最小值为－4求 参数k的值．
第二十二页，共43页。
作出可行域，如图中阴影部分所示，直线kx－y＋2＝0与x 轴的交点为A－2k，0.
∵z＝y－x的最小值为－4， ∴2k＝－4，解得k＝－12，故选D.
第二十三页，共43页。
[思路方法] (1)先根据相关的求导法则，正确求得相应函 数的导数，再结合偶函数的定义及导数的几何意义确定相关的 待定系数；(2)结合函数的导函数与基本不等式，由此判定相应 函数的导数的符号，进而确定其单调性；(3)结合函数的导数与 极值的意义，通过判断相关函数的零点情况，确定待定系数的 取值范围．
答案：(0， 6＋ 2)
第二十八页，共43页。
解析：根据条件，四根长都为2的直铁条与两根长都为a的 直铁条要组成三棱锥形的铁架，有以下两种情况：
高三数学第二轮复习分类讨论思想.ppt
一、选择题
1. 集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A B，那
么a的范围是( B)
A. 0≤a≤1 B. a≤1
C. a<1
D. 0<a<1
2.四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的
1.若函数 f ( x) 1 (a 1)x3 1 ax2 1 x 1
3
2
45
在其定义域内有极值点，则a的取值
为
.
2.设函数f(x)=x2+｜x–a｜+1，x∈R. (1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)求函数f(x)的最小值.
［例1］已知{an}是首项为2，公比为
1 2
的等比数列，Sn
5.已知集合A={x｜ x2–3x+2=0},B={x｜ x2–ax+(a–1)=0}， C={x｜x2–mx+2=0}且A∪B=A，A∩C=C，则 a 的值为
2或3 ，m的取值范围为 3或（–2. 2，2 2 ）
三、解答题
6.已知集合A={x｜x2+px+q=0}， B={x｜qx2+px+1=0}, A, B同时满足：
①A∩B≠ , ② A∩CRB ={–2}. 求p、q的值.
p q
(2 1) (2)1
21或qp
(2 (2)
1) 3 (1) 2
7.已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，
动点M到圆C的切线长与｜MQ｜的比等于常数λ(λ＞0).
求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.
1, 以
2018年高考数学二轮复习专题对点练3分类讨论思想、转化与化归思想理
专题对点练3 分类讨论思想、转化与化归思想一、选择题1.设函数f(x)=若f(a)>1,则实数a的取值范围是()A.(0,2)B.(0,+∞)C.(2,+∞)D.(-∞,0)∪(2,+∞)答案 B解析若2a-3>1,解得a>2,与a<0矛盾,若>1,解得a>0,故a的范围是(0,+∞).2.函数y=5的最大值为()A.9B.12C.D.3答案 D解析设a=(5,1),b=(),∵a·b≤|a|·|b|,∴y=5=3.当且仅当5,即x=时等号成立.3.在等比数列{a n}中,a3=7,前3项的和S3=21,则公比q的值是()A.1B.-C.1或-D.-1或答案 C解析当公比q=1时,则a1=a2=a3=7,S3=3a1=21,符合要求.当公比q≠1时,则a1q2=7,=21,解得q=-(q=1舍去).综上可知,q=1或q=-.4.若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2+=1的离心率是()A.B.C.D.答案 D解析因为m是2和8的等比中项,所以m2=2×8=16,所以m=±4.当m=4时,圆锥曲线+x2=1是椭圆,其离心率e=;当m=-4时,圆锥曲线x2-=1是双曲线,其离心率e=.综上知,选项D正确.5.已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x,则该双曲线的离心率为()A. B.C. D.答案 C解析当焦点在x轴上时,,此时离心率e=;当焦点在y轴上时,,此时离心率e=.故选C.6.若a>0,且a≠1,p=log a(a3+1),q=log a(a2+1),则p,q的大小关系是()A.p=qB.p<qC.p>qD.当a>1时,p>q;当0<a<1时,p<q答案 C解析当0<a<1时,可知y=a x和y=log a x在其定义域上均为减函数,故a3+1<a2+1,∴log a(a3+1)>log a(a2+1),即p>q.当a>1时,y=a x和y=log a x在其定义域上均为增函数,故a3+1>a2+1,∴log a(a3+1)>log a(a2+1),即p>q.综上可得p>q.7.若函数f(x)=x3-tx2+3x在区间[1,4]上单调递减,则实数t的取值范围是()A.B.(-∞,3)C.D.[3,+∞)答案 C解析f'(x)=3x2-2tx+3,由于f(x)在区间[1,4]上单调递减,则有f'(x)≤0在[1,4]上恒成立,即3x2-2tx+3≤0,即t≥在[1,4]上恒成立,因为y=在[1,4]上单调递增,所以t≥,故选C.8.已知AB为圆O:(x-1)2+y2=1的直径,点P为直线x-y+1=0上任意一点,则的最小值为() 〚导学号16804157〛A.1 B. C.2 D.2答案 A解析由=()·()=·()+-r2,即为d2-r2,其中d为点P与圆心O之间的距离,r为圆的半径,因此当d取最小值时,取值最小,可知d的最小值为,故的最小值为1,故选A.二、填空题9.已知函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=.答案-解析当a>1时,函数f(x)=a x+b在[-1,0]上为增函数,由题意得无解.当0<a<1时,函数f(x)=a x+b在[-1,0]上为减函数,由题意得解得所以a+b=-.10.(2016江西南昌校级二模,理14)设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2,若对任意x∈[a,a+2],f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,则实数a的取值范围是.答案 (-∞,-5]解析因为当x≥0时,f(x)=x2,所以此时函数f(x)在[0,+∞)上单调递增.又因为f(x)是定义在R上的奇函数,且f(0)=0,所以f(x)在R上单调递增.若对任意x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,则x+a≥3x+1恒成立,即a≥2x+1恒成立,因为x∈[a,a+2],所以(2x+1)max=2(a+2)+1=2a+5,即a≥2a+5,解得a≤-5.即实数a的取值范围是(-∞,-5].11.函数y=的最小值为.答案解析原函数等价于y=,即求x轴上一点到A(1,1),B(3,2)两点距离之和的最小值.将点A(1,1)关于x轴对称,得A'(1,-1),连接A'B交x轴于点P,则线段A'B的值就是所求的最小值,即|A'B|=.12.(2017江西宜春二模,理15)在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两互相垂直,且AB=4,AC=5,则BC的取值范围是.〚导学号16804158〛答案 (3,)解析如图所示,问题等价于长方体中,棱长分别为x,y,z,且x2+y2=16,x2+z2=25,求的取值范围,转化为y2+z2=41-2x2,∵x2+y2=16,∴0<x<4,∴41-2x2∈(9,41),即BC的取值范围是(3,).三、解答题13.已知a≥3,函数F(x)=min{2|x-1|,x2-2ax+4a-2},其中min{p,q}=(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围;(2)①求F(x)的最小值m(a);②求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a).解(1)由于a≥3,故当x≤1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)>0,当x>1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为[2,2a].(2)①设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,则f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,所以,由F(x)的定义知m(a)=min{f(1),g(a)},即m(a)=②当0≤x≤2时,F(x)≤f(x)≤max{f(0),f(2)}=2=F(2),当2≤x≤6时,F(x)≤g(x)≤max{g(2),g(6)}=max{2,34-8a}=max{F(2),F(6)}.所以,M(a)=。
最新-2018高考数学 核心考点 第3讲 分类讨论思想复习
第3讲 分类讨论思想1．函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m 的取值范围为( )A ．[0，＋∞) B．(－∞，1]C ． (0,1]D ．(0,1)2．函数y ＝e |ln x |－|x －1|的图象大致是( )3．四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有( )A ．150种B ．147种C ．144种D ．141种4．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm,4cm,3cm ，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是( ) A.77cm B ．7 2cmC ．5 5cmD ．10 2cm 5．若圆柱的侧面展开图是边长为4和2的矩形，则圆柱的体积是____________．6．若log a 23<1，则a 的取值范围为__________________． 7．与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______________．8．若不等式(－1)n －1(2a －1)<⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 对一切正整数n 成立，则实数a 的范围为____________． 9．定义：已知函数f (x )在[m ，n ](m ＜n )上的最小值为t ，若t ≤m 恒成立，则称函数f (x )在[m ，n ] (m ＜n )上具有“DK ”性质．(1)判断函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[1,2]上是否具有“DK ”性质，说明理由；(2)若f (x )＝x 2－ax ＋2在[a ，a ＋1]上具有“DK ”性质，求a 的取值范围．10．(2018年全国)已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋b x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0.(1)求a 、b 的值；(2)如果当x >0，且x ≠1时，f (x )>ln x x －1＋k x ，求k 的取值范围．。
思想3-2 分类讨论思想教学案-备战2018高考高三二轮理数一本过新课标版 含解析 精品
分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度． 分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等． (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．(6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用． 分类讨论的原则 (1)不重不漏．(2)标准要统一，层次要分明．(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论． 解分类问题的步骤(1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论． (2)对所讨论的对象进行合理的分类．(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决． (4)归纳总结：将各类情况总结归纳. 【热点分类突破】类型一：分类讨论思想在集合与简易逻辑中的运用例1. 【山东省济南市2018届期末】已知集合{}60A x ax =-=， {}2N 1log 2B x x =∈≤<，且A B B ⋃=，则实数a 的所有值构成的集合是（ ）A. {}2B. {}3C. {}2,3D. {}0,2,3 【答案】D例2.已知命题:p 指数函数2()lg(4)f x ax x a =-+的定义域为R ；命题:q 不等式222x x ax +>+，对(,1)x ∀∈-∞-上恒成立.（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围.试题分析：（1） 命题p 为真命题等价于240ax x a -+>在R 上恒成立，分0a =与0a ≠由二次函数的性质讨论即可；（2）命题“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题等价于命题p 与命题q 一真一假，先分别求出命题p 为真命题、命题q 为真命题时a 的范围，再求“P 真q 假”与“P 假q 真”时a 的范围，再求a 的并集即可.试题解析：（1）由题意：当0a =时，()lg(4)f x x =-的定义域不为R ，不合题意. 当0a ≠时，0∆<且0a >，故2a > ；（2）若q 为真，则221a x x >-+，对(,1)x ∀∈-∞-上恒成立，221y x x=-+为增函数且(,1)x ∈-∞-，故1a ≥. “p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，等价于p q ，一真一假，故12a ≤≤. 规律总结：已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论． 举一反三1.设集合{}|(21)(2)0A x x m x m =-+-+<，{}|114B x x =≤+≤． （1）若1m =，求A B ；（2）若AB A =，求实数m 的取值集合．试题解析：集合{}|03B x x =≤≤． （1）若1m =，则{}|11A x x =-<<，则{}|01AB x x =≤<．（2）A B A =，∴A B ⊆，当A =∅，即1m =-时，成立；当A ≠∅，即1m ≠-时，（i ）当1m <-时，(21,2)A m m =--，要使得A B A =，A B ⊆，只要210,23,m m -≥⎧⎨-≤⎩解得152m ≤≤，所以m 的值不存在；（ii ）当1m >-时，(2,21)A m m =--，要使得A B ⊆，只要20,213,m m -≥⎧⎨-≤⎩解得2m =．综上，m 的取值集合是{}1,2-．2.已知命题:p 函数()()2lg 6f x ax x a =-+的定义域为R ，命题:q 关于x 的方程223210x ax a -++=的两个实根均大于3，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围．类型二：分类讨论思想在导数中的运用例3. 【安徽省池州市2018届期末】已知函数()()1ln 01f x a x a x =+≠-在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内有极值.（Ⅰ）求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若110,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ()22,x ∈+∞，且1,22a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，求证： ()()213ln24f x f x ->+. 试题分析：（1）根据题意得到()0fx =，即()2210ax a x a -++=在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内有实根，转化为()21x a x =-有实根，令()()21xg x x =-， ()()()3101x g x x '+=->-, 则函数()g x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,进而求得参数范围；（2）根据题意得到，函数值之差大于等于两个极值之差，()()()()()21ln1f x f x f f a βαββαααβαβ--≥-=+-++，根据二元化一元得到原式21ln a βββ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦，证明这个式子大于3ln24+即可.（Ⅱ）由（Ⅰ）得： ()()()22211ax a x af x x x -++-'=,设()2210ax a x a -++= (02)a <<的两根为αβ，，则： 12{1aαβαβ+=+⋅=，得： 1022αβ<<<<， 当()0,x α∈和(),β+∞时， ()()()2/22101ax a x afx x x -++=>-，函数()f x 单调递增；当12x α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，和()2β，时， ()()()2/22101ax a x a f x x x -++=<-，函数()f x 单调递减； 则()()1f x f α≤， ()()2f x f β≥.则()()()()2111ln ln 11f x f x f f a a βαβαβα-≥-=+---- = ()ln1a βαβααβαβ-+-++21ln a βββ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦（利用12a αβ+=+， 1αβ⋅=）.令()21ln (2)h x x x x x =+->，则()()2/210x h x x +=>， 则函数()h x 单调递增， ()()322ln22h x h =+＞，213ln 2ln202βββ∴+-+>＞， 又1,22a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则213ln ln24a βββ⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦＞，所以： ()()213ln24f x f x -+＞. 规律总结：函数是具体的，其单调性和最值都很明确，定义域是变化的，这类问题分类讨论的标准就是看最值点是否在定义域内． 【举一反三】已知函数()2ln f x a x x x =+-，其中a R ∈. （Ⅰ）当0a >时，讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当1x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.（Ⅱ）显然()10f =，由1x ≥可知：当0a ≥时，2ln 0 0a x x x ≥-≥，，故()0f x ≥成立；当0a <时，180a ∆=->.令()0g x =，得12 x x ==，显然120 0x x <>，，当()20 x x ∈，时，()()()0 '0 g x f x f x <<，，为减函数，当()2 x x ∈+∞，时，()0g x >，()'0f x >，()f x 为减函数；若10a -≤<，则21x ≤，当1x ≥时，()f x 为增函数，故()()10f x f ≥=成立；若1a <-，则21x >，由()f x 在()20 x ，上为减函数可知，当()21 x x ∈，时，()f x 为减函数，()()10f x f <=与题意不符，舍去.综上，a 的取值范围是[)1 -+∞，. 类型三：分类讨论思想在解析几何中的运用例4. 【福建省龙岩市2018年高三毕业班教学质量检查】已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -和()2,0F c ，离心率是12，直线l 过点()0,P c -交椭圆于A ， B 两点，当直线l 过点2F 时， 1F AB ∆的周长为8. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）当直线l 绕点P 运动时，试求PA PBλ=的取值范围.试题分析：（Ⅰ）由题意结合椭圆的定义可知1F AB ∆的周长为11AF BF AB ++48a ==， 2a =，结合离心率可知1c =，b ，则椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （Ⅱ）设A ， B 两点坐标分别为()11,x y ， ()22,x y ，当直线AB 与y 轴重合时，2λ=当直线AB 与y 轴重合时，2λ=AB 斜率为0时， 1λ=，当直线AB 斜率存在且不为0时，联立直线方程与椭圆方程可得()2234880k x kx +--=，则12PA x PBx λ==-， 21x x λ=-，结合韦达定理整理计算可得不等式()2121λλ>-，解得22λ<2λ⎡∈+⎣.（Ⅱ）设A ， B 两点坐标分别为()11,x y ， ()22,x y ，当直线AB 与y 轴重合时， A 点与上顶点重合时，2PA PBλ==+AB 与y 轴重合时， A 点与下顶点重合时，2PA PBλ==当直线AB 斜率为0时， 1PA PBλ==，当直线AB 斜率存在且不为0时，不妨设直线AB 方程为1y kx =-， 联立223412x y +=，得()2234880k x kx +--=，则有122834kx x k+=+，① 122834kx x k⋅=-+② 设12PA x PBx λ==-，则21x x λ=-，代入①②得112834k x x k λ-=+③212834x k λ-=-+④∴()()21222111xx λλλλ=-- 22222834348834k k k k k ++==⎛⎫ ⎪+⎝⎭21311242k ⎛⎫=⋅+> ⎪⎝⎭，即()2121λλ>-，解得22λ<2λ⎡∈⎣规律总结：求解有关几何问题中，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，所以需要根据图形的特征进行分类讨论．一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图象形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化． 【举一反三】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点()2 1M ，.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过原点的直线1l 与椭圆C 交于 P Q ，两点，且在直线2:0l x y -+=上存在点M ，使得MPQ △为等边三角形，求直线1l 的方程.分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类讨论，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合.。
2019届高三数学(理)二轮专题复习文档：专题八 第3讲 分类讨论、转化与化归思想 Word版含解析
数学思想解读 1.分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对 研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论， 最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击 破，再集零为整”的数学思想.2.转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时， 思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种 情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思 维方式.
应用 1 特殊与一般的转化
【例 4】 (1)过抛物线 y＝ax2(a>0)的焦点 F，作一直线交抛物线于 P，Q 两点.若
11 线段 PF 与 FQ 的长度分别为 p，q，则 ＋ 等于( )
pq
1
4
A.2a
B.
C.4a
D.
2a
a
(2)(2017·浙江卷)已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是
解 ∵当 t∈[－1，＋∞)且 x∈[1，m]时，x＋t≥0，
∴f(x＋t)≤3exex＋t≤ext≤1＋ln x－x.
∴原命题等价转化为：存在实数 t∈[－1，＋∞)，使得不等式 t≤1＋ln x－x 对任
意 x∈[1，m]恒成立. 1
令 h(x)＝1＋ln x－x(1≤x≤m).∵h′(x)＝ －1≤0， x
热点一 分类讨论思想的应用
应用 1 由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论
【例 1】 (1)若函数 f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为 4，最小值为 m，
且函数 g(x)＝(1－4m) x在[0，＋∞)上是增函数，则 a＝________.
2019高考数学二轮复习 专题9 思想方法专题 第三讲 分类讨论思想 理
专题九思想方法专题第三讲分类讨论思想分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于是增加的一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．1．由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．2．由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．3．由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同时乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．4．由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．5．由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．6．由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b]的最值一定是4ac －b24a.(×)(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，不可能是偶函数．(×) (3)幂函数的图象都经过点(1，1)和点(0，0)．(×) (4)当n>0时，幂函数y ＝x n是定义域上的增函数．(×)(5)若函数f(x)＝(k 2－1)x 2＋2x －3在(－∞，2)上单调递增，则k ＝±22.(×) (6)已知f(x)＝x 2－4x ＋5，x ∈[0，3)，则f(x)max ＝f(0)＝5，f(x)min ＝f(3)＝2.(×)1．过双曲线2x 2－y 2＝2的右焦点作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB|＝4，则这样的直线有(B )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 解析：由2x 2－y 2＝2，得x 2－y22＝1.当l 无斜率时，|AB|＝2b2a＝4，符合要求。
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第三讲 分类讨论思想
思想方法诠释
分类讨论思想：是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.
要点一 由概念、性质、运算引起的分类讨论
[解析] (1)f (1)＝e 1－1＝e 0＝1，要使f (1)＋f (a )＝2，则需f (a )＝1. 当a ≥0时，由f (a )＝e a －1＝1得a －1＝0，即a ＝1；
当－1<a <0时，由f (a )＝sin(πa 2)＝1得πa 2
＝2k π＋π2(k ∈Z)，∴a 2＝2k ＋12(k ∈Z)，由－1<a <0知k 只能取0，此时a 2＝12
，∵－1<a <0，
∴a ＝－22
. 综上，a ＝1或－
22，故选B. (2)当n ≥2时，∑i ＝2n －1
a i 2i －1＝3n ，又∑i ＝2n a i 2i －1＝3n ＋1，两式相减，得a n 2n －1＝2×3n ，所以a n ＝6n .由于a 1＝7不符合a n ＝6n ，所以数列{a n }的通项
公式为a n ＝⎩⎨⎧ 7，n ＝1，6n ，n ≥2.
[答案] (1)B (2)a n ＝⎩⎨⎧ 7，n ＝1，6n ，
n ≥2
解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题的步骤
第一步：确定需分类的目标与对象．即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标．
第二步：根据公式、定理确定分类标准．运用公式、定理对分类对象进行区分．
第三步：分类解决“分目标”问题．对分类出来的“分目标”分别进行处理．
第四步：汇总“分目标”．将“分目标”问题进行汇总，并作进。