无锡市天一实验学校2012年九年级(上)期中数学试题(含答案)
江苏省无锡 九年级(上)期中数学试卷-(含答案)
九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A. B.C. D.2.如图，CD是⊙O的直径，弦DE∥OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是（）A.B.C.D.3.如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4．其中正确的有（）A. 0个B. 1个C. 2个D.3个4.如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A. 6B. 5C. 4D. 35.如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（）A. cmB.C. cmD. 1cm6.如图，在一幅长80cm，宽50cm的矩形树叶画四周镶一条金色的纸边，制成一幅矩形挂图，若要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则满足的方程是（）A. B.C. D.7.下列命题是真命题的是（）A. 垂直于圆的半径的直线是圆的切线B. 经过半径外端的直线是圆的切线C. 直线上一点到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线D. 到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线8.如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，则DE的长等于（）A.B.C.D.9.如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为a（a≥3）的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）A.B.C.D.10.如图，在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，若AD=2，线段CP的最小值是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.已知=，则= ______ ．12.近年来全国房价不断上涨，我市2013年的房价平均每平方米为7000元，经过两年的上涨，2015年房价平均每平方米为8500元，设这两年房价的年平均增长率均为x，则关于的方程为______ ．13.若关于x的一元二次方程（k-1）x2+2x-2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．14.如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA= ______ °．15.小红需要用扇形薄纸板制作成底面半径为9厘米，高为12厘米的圆锥形生日帽，如图所示，则该扇形薄纸板的圆心角为______ ．16.如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是______．17.如图，平面直角坐标系中，⊙A的圆心在x轴上，坐标为（a，0），半径为1，直线l为y=2x-2，若⊙A沿x轴向右运动，当⊙A与直线l有公共点时，点A横坐标a 的取值范围是______ ．18.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，点B落在点D的位置，且AD交y轴于点E，那么点D的坐标为______ ．三、解答题（本大题共10小题，共84.0分）19.（1）3y（y-1）=2（y-1）（2）（x-1）（x+2）=70（3）2y2-3=4y（配方法）20.小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米．请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB是多少米？（注意：根据光的反射定律：反射角等于入射角）．21.在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a=5，若关于x的方程x2+（b+2）x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．22.如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C．（1）请找出该圆弧所在圆的圆心O的位置；（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：①⊙O的半径为______ （结果保留根号）；②的长为______ （结果保留π）；③试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．23.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AE交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE⊥CD；（2）已知AE=4cm，CD=6cm，求⊙O的半径．24.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，以BC为直径的半圆交AB于点D，以A为圆心，AC为半径的扇形交AB 于点E．（1）以BC为直径的圆与AC所在的直线有何位置关系？请说明理由；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．25.某公司销售一种进价为20（元/个）的计算器，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）之间为一次函数关系，其变化如下表：40万元的净利润，且尽可能让顾客得到实惠，那么销售价格应定为多少？（注：净利润=总销售额-总进价-其他开支）26.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边长为AO=6，BO=8，（1）如图①，动点P以每秒2个单位的速度由点C向点A沿线段CA运动，同时点Q以每秒4个单位的速度由点O向点C沿线段OC运动，求当P、Q、C三点构成等腰三角形时点P的坐标．（2）如图②，E是OB的中点，将△AOE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形AOBC 内部，延长AF交BC于点G．求点G的坐标．27.如图1，小红将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=15，AD=12．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．（1）将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E 点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2）求FB的长度；（2）在（1）的条件下，小红想用△EFG包裹矩形ABCD，她想了两种包裹的方法如图3、图4，请问哪种包裹纸片的方法使得未包裹住的面积大？（纸片厚度忽略不计）请你通过计算说服小红．28.对于半径为r的⊙P及一个正方形给出如下定义：若⊙P上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称⊙P是该正方形的“等距圆”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C 在点D的左侧．（1）当r=4时，①在P1（0，-3），P2（4，6），P3（4，2）中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是______；②若点P在直线y=-x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，则点P的坐标为______；（2）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为（6，2），顶点E、H在y轴上，且点H在点E的上方．①若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求⊙P在y轴上截得的弦长；②将正方形ABCD绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，则r的取值范围是______．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、由原方程得到2x+1=0，即未知数的最高次数是1．故本选项错误；B、当a=0时．该方程不是一元二次方程．故本选项错误；C、由原方程得到x2-x-1=0，符合一元二次方程的定义，故本选项正确；D、该方程中含有两个未知数．故本选项错误；故选C．本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．本题考查了利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2.【答案】A【解析】解：∵DE∥OA，∴∠AOD=∠D=50°，∴∠C=∠AOD=25°，故选：A．根据平行线的性质可得∠AOD=∠D，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得答案．此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.【答案】D【解析】解：∵等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，∴DE=1，DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴DE：AB=1：2，∴△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4．故选D．由题意即可推出DE∥AB，推出DE=1，△CDE∽△CAB，△CDE的面积与△CAB 的面积之比为相似比的平方，即为1：4．本题主要考查相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形中位线定理，关键在于推出DE∥AB．4.【答案】B【解析】解：过O作OC⊥AB于C，∵OC过O，∴AC=BC=AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5．故选：B．过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长．5.【答案】A【解析】解：连接AC，过B作BD⊥AC于D；∵AB=BC，∴△ABC是等腰三角形，∴AD=CD；∵此多边形为正六边形，∴∠ABC==120°，∴∠ABD=×120°=60°，∴∠BAD=30°，AD=AB•cos30°=2×=，∴a=2cm．故选A．连接AC，作BD⊥AC于D；根据正六边形的特点求出∠ABC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠BAD的度数，由特殊角的三角函数值求出AD的长，进而可求出AC的长．此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，根据等腰三角形及正六边形的性质求解．6.【答案】B【解析】解：依题意，设金色纸边的宽为xcm，则（80+2x）（50+2x）=5400．故选：B．根据矩形的面积=长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（树叶画的长+2个纸边的宽度）×（树叶画的宽+2个纸边的宽度）=整个挂图的面积，由此可得出方程．此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键．7.【答案】D【解析】解：A、应经过此半径的外端，故本选项错误；B、应该垂直于此半径，故本选项错误．C、应是圆心到直线的距离等于圆的半径，故本选项错误；D、根据切线的判定方法，故本选项正确；故选D．要正确理解切线的定义：和圆有唯一公共点的直线是圆的切线．掌握切线的判定：①经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线，是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线．本题考查了命题和定理，知识点有：切线的判定方法．8.【答案】D【解析】解：∵∠C=∠E，且∠BDE=∠ADC，∴△BDE∽△ADC，∴=，∵BC=8，BD：DC=5：3，∴BD=5，DC=3，AD=4，∴=，解得DE=，故选：D．由条件可证明△BDE∽△ADC，且可求得BD和DC的长度，利用相似三角形的对应边的比相等可求得DE．本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题时注意：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．9.【答案】B【解析】解：小正方形的面积是：1；当圆运动到正方形的一个角上时，形成扇形BAO，它的面积是．则这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是4×（1-）=4-π．故选：B．这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是就是小正方形的面积与扇形的面积的差的4倍．本题主要考查了轨迹、正方形和圆的面积的计算公式，正确记忆公式是关键．10.【答案】B【解析】解：∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动，∴DE=CF，在△ADE和△DCF中，，∴∠DAE=∠CDF，∵∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°，∴∠ADF+∠DAE=90°，∴∠APD=90°，取AD的中点O，连接OP，则OP=AD=×2=1（不变），根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，在Rt△COD中，根据勾股定理得，CO===，所以，CP=CO-OP=-1．故选B．根据点E、F的运动速度判断出DE=CF，然后利用“边角边”证明△ADE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAE=∠CDF，然后求出∠APD=90°，取AD的中点O，连接OP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点P到AD的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，然后根据勾股定理列式求出CO，再求解即可．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，确定出点P到AD的中点的距离是定值是解题的关键，也是本题的难点．11.【答案】【解析】解；由=，得=．由合比性质，得=．=，故答案为：．根据比例的性质，可得y：x的值，再根据倒数的意义，可得答案．本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单12.【答案】7000（1+x）2=8500【解析】解：设这两年房价的年平均增长率均为x，根据题意，可列方程：7000（1+x）2=8500，故答案为：7000（1+x）2=8500．由于设这两年房价的平均增长率均为x，那么2014年房价平均每平方米为7000（1+x）元，2015年的房价平均每平方米为7000（1+x）（1+x）元，然后根据2015年房价平均每平方米为8500元即可列出方程．此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握增长率问题的计算公式：变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．13.【答案】k＞且k≠1【解析】解：根据题意得k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0，解得：k＞且k≠1．故答案为：k＞且k≠1．根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．14.【答案】67.5【解析】解：∵PD切⊙O于点C，∴∠OCD=90°；又∵CO=CD，∴∠COD=∠D=45°；∴∠A=∠COD=22.5°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∵OA=OC，∴∠A=∠ACO=22.5°（等边对等角），∴∠PCA=180°-∠ACO-∠OCD=67.5°．故答案是：67.5°．根据切线的性质知∠OCD=90°，然后在等腰直角三角形OCD中∠COD=∠D=45°；再由圆周角定理求得∠ACO=22.5°；最后由平角的定义即可求得∠PCA的度数．本题考查了圆的切线．解题的关键是根据切线的定义推知∠OCD=90°．15.【答案】216°【解析】解：母线长==15，设该扇形薄纸板的圆心角为n°，所以2π•9=，解得n=216，即该扇形薄纸板的圆心角为216°．故答案为216°．利用勾股定理计算出母线长=15，设该扇形薄纸板的圆心角为n°，利用弧长公式得到2π•9=，解得n=216．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．16.【答案】4π【解析】解：弧CD的长是=，弧DE的长是：=，弧EF的长是：=2π，则曲线CDEF的长是：++2π=4π．故答案为：4π．弧CD，弧DE，弧EF的圆心角都是120度，半径分别是1，2，3，利用弧长的计算公式可以求得三条弧长，三条弧的和就是所求曲线的长．本题考查了弧长的计算公式，理解弧CD，弧DE，弧EF的圆心角都是120度，半径分别是1，2，3是解题的关键．17.【答案】1-≤a≤1+【解析】解：如图：当⊙A在直线L的左侧，⊙A与直线L相切时，△BOD∽△ABC，∵直线l为y=2x-2，∴B（1，0），D（0，-2），∴OB=1，OD=2，∴，即，∴BC=，∴AB=，当⊙A在直线L的右侧，⊙A与直线L相切时，同理A′B=，∴A横坐标a的取值范围是1-≤a≤1+，故答案为：1-≤a≤1+．根据⊙A与L有公共点从左相切开始，到相交，到右相切，所以A移动的距离是左相切到右相切时的距离．此题主要考查了坐标与图形的性质和直线与圆的位置关系，关键是知道点A 移动距离．18.【答案】（-，）【解析】解：如图，过D作DF⊥AF于F，∵点B的坐标为（1，3），∴AO=1，AB=3，根据折叠可知：CD=OA，而∠D=∠AOE=90°，∠DEC=∠AEO，∴△CDE≌△AOE，∴OE=DE，OA=CD=1，设OE=x，那么CE=3-x，DE=x，∴在Rt△DCE中，CE2=DE2+CD2，∴（3-x）2=x2+12，∴x=．又DF⊥AF，∴DF∥EO，∴△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，∴AE=CE=3-=，∴==，即==．∴DF=，AF=．∴OF=-1=．∴点D的坐标为（-，）．故答案为：（-，）．如图，过D作DF⊥AF于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE=DE，OA=CD=1，设OE=x，那么CE=3-x，DE=x，利用勾股定理即可求出OE的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了D的坐标．此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．19.【答案】解：（1）∵3y（y-1）=2（y-1），∴（y-1）（3y-2）=0，∴y-1=0或3y-2=0，∴y1=1，y2=；（2）∵（x-1）（x+2）=70，∴x2+x-2=70，∴x2+x-72=0，∴（x+9）（x-8）=0，∴x+9=0或x-8=0，∴x1=-9，x2=8；（3）∵2y2-3=4y，∴2（y2-2y+1-1）-3=0，∴2（y-1）2=5，y=1±，y1=1+，y2=1-．【解析】（1）移项将方程右边化简为0，然后在提取公因式即可求解；（2）将方程左边去括号然后再化简成x2+x-72=0，利用因式分解即可求解；（3）移项然后在利用配方法即可求解．本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．20.【答案】解：根据题意可得：∠AEB=∠CED，∠BAE=∠DCE=90°，（2分）∴△ABE∽△CDE，（5分）∴，（7分）∴，（8分）∴AB=13.44（米）．（11分）答：教学大楼的高度AB是13.44米．（12分）【解析】根据反射定律，∠1=∠2，又因为FE⊥EC，所以∠3=∠4，再根据垂直定义得到∠BAE=∠DCE，所以可得△BAE∽△DCE，再根据相似三角形的性质解答．本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．21.【答案】解：∵关于x的方程x2+（b+2）x+6-b=0有两个相等的实数根，∴△=（b+2）2-4（6-b）=0，即b2+8b-20=0；解得b=2，b=-10（舍去）；①当a为底，b为腰时，则2+2＜5，构不成三角形，此种情况不成立；②当b为底，a为腰时，则5-2＜5＜5+2，能够构成三角形；此时△ABC的周长为：5+5+2=12；答：△ABC的周长是12．【解析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=0，据此可求出b的值；进而可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长．此题考查了根与系数的关系、等腰三角形的性质及三角形三边关系定理；在求三角形的周长时，不能盲目的将三边相加，而应在三角形三边关系定理为前提条件下分类讨论，以免造成多解、错解．22.【答案】2；π【解析】解：（1）如图所示：连接AC，作线段AC的垂线OE，交正方形网格于点O，则O点即为⊙O的圆心；（2）①在Rt△OCF中，∵CF=2，OF=4，∴OC===2；②在Rt△OAG与Rt△OCF中，AG=OF=4，OG=CF=2，OA=OC=2，∴∠OAG=∠COF，∠AOG=∠OCF，∵∠OAG+∠AOG=90°，∠OCF+∠COF=90°，∴∠AOG+∠COF=90°，∴∠AOC=90°，∴===π；③直线DC与⊙O相切．理由：∵连接CD，在△DCO中，CD=，CO=2，DO=5，∴CD2+CO2=25=DO2．∴∠DCO=90°，即CD⊥OC．∴CD与⊙O相切．（1）连接AC，作AC的垂直平分线，由垂径定理可知OE与网格的交点即为⊙O的圆心；（2）①直接根据正方形网格的特点及勾股定理求出OC的长即为⊙O的半径；②先根据直角三角形的性质得出∠AOC=90°，再根据弧长公式求出的度数；③连接CD，根据勾股定理得出CD、OD的长，由勾股定理的逆定理判断出△OCD的形状即可．本题考查的是垂径定理的应用、勾股定理、直线与圆的位置关系、勾股定理的逆定理及弧长的计算，在解答此题时要先根据垂径定理作出圆心，再根据勾股定理的相关知识进行解答．23.【答案】（1）证明：连接OA．∵AE是⊙O切线，∴OA⊥AE，∴∠OAE=90°，∴∠EAD+∠OAD=90°，∵∠ADO=∠ADE，OA=OD，∴∠OAD=∠ODA=∠ADE，∴∠EAD+∠ADE=90°，∴∠AED=90°，∴AE⊥CD；（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F．∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°，∴四边形AOFE是矩形．∴OF=AE=4cm．又∵OF⊥CD，∴DF=CD=3cm．在Rt△ODF中，OD==5cm，即⊙O的半径为5cm．【解析】（1）欲证明AE⊥CD，只要证明∠EAD+∠ADE=90°即可；（2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F．从而证得四边形AOFE是矩形，得出OF=AE，根据垂径定理得出DF=CD，在Rt△ODF中，根据勾股定理即可求得⊙O的半径．本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，平行线的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．24.【答案】解：（1）相切，理由是：∵∠ACB=90°，BC为半圆的直径，∴以BC为直径的圆与AC所在的直线相切；（2）在Rt△ACB中，∠B=30°，∴∠A=90°-30°=60°，AC=AB=×4=2，由勾股定理得：BC==2，∴S阴影=S半圆-（S△ABC-S扇形AEC），=π-×2×+，=-2，答：图中阴影部分的面积是-2．【解析】（1）切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，满足这两个条件，则与圆相切；（2）先根据条件求直角三角形的各边长和锐角∠A的度数，再利用差求阴影部分的面积．本题考查了直线和圆的位置关系、勾股定理及扇形的面积，属于常考题型，难度不大；熟练掌握直线和圆的位置关系，在求阴影部分面积时，要注意利用和或差来求解．25.【答案】解：设y与x的解析式为：y=ax+b，则，解得：，∴y=-0.1x+8，根据题意，得：（x-20）（-0.1x+8）-40=40，∴x1=40，x2=60，∵尽可能让顾客得到实惠，∴价格应定为40元．答：价格应定为40元．【解析】设y与x的解析式为：y=ax+b，将表格中的数代入解析式，求出a、b的值，求出解析式，然后表示出利润，根据利润为40万元，求出销售价格．本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．26.【答案】解：（1）设运动的时间为t秒，由勾股定理得，OC==10，当CQ=CP时，2t=10-4t，解得，t=，此时CP=2×=，∴AP=8-=，P点坐标为（，6），当PC=PQ时，如图①，过点Q作AC的垂线交AC于点E，CQ=10-4t，CP=2t．∵△CEQ∽△CAO，∴EQ=CQ=（10-4t）=6-t，PE=（10-4t）-2t=8-t-2t=8-t，由勾股定理得，（6-t）2+（8-t）2=（2t）2，整理得：36t2-140t+125=0，解得，t1=，t2=（舍去），此时，AP=8××2=，∴P点坐标为（，6），当QC=PQ时，如图②，过点Q作AC的垂线交AC于点F，CQ=10-4t，CP=2t，∵△CFQ∽△CAO，∴QF═（10-4t）=6-t，PF=2t-（10-4t）=t-8，则（6-t）2+（t-8）2=（10-4t）2，整理得，21t2-40t=0，解得，t1=，t2=0（舍去），此时，AP=8-×2=，则P点坐标为（，6），综上所述，P点坐标为（，6），（，6），（，6）；（2））如图③，连接EG，由题意得：△AOE≌△AFE，∴∠EFG=∠OBC=90°，∵E是OB的中点，∴EG=EG，EF=EB=4，在Rt△EFG和Rt△EBG中，，∴Rt△EFG≌Rt△EBG（HL）∴∠FEG=∠BEG，∠AOB=∠AEG=90°，∴△AOE∽△AEG，∴AE2=AO•AG，即36+16=6×AG，解得，AG=，由勾股定理得，CG==，∴BG=6-=，G的坐标为（8，）．【解析】（1）分CQ=CP、PC=PQ和QC=PQ三种情况，根据等腰三角形的性质计算即可；（2）连接EG，由翻转变换的性质得到△AOE≌△AFE，根据全等三角形的性质得到∠EFG=∠OBC=90°，证明Rt△EFG≌Rt△EBG得到∠FEG=∠BEG，∠AOB=∠AEG=90°，得到△AOE∽△AEG，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．本题考查的是翻转变换的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握翻转变换的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．27.【答案】解：（1）∵BE=AB=15，在直角△BCE中，CE===9∴DE =6，∵∠EAD +∠BAE =90°，∠BAE =∠BEF ，∴∠EAD +∠BEF =90°，∵∠BEF +∠F =90°，∴∠EAD =∠F∵∠ADE =∠FBE∴△ADE ∽△FBE ，∴ ，， ∴BF =30；（2）①如图1，将矩形ABCD 和直角△FBE 以CD 为轴翻折，则△AMH 即为未包裹住的面积，∵Rt △F ′HN ∽Rt △F ′EG ，∴ ′ ′ = ，即 ，解得：HN =3，∴S △AMH = •AM •MH = ×12×24=144； ②如图2，将矩形ABCD 和Rt △ECF 以AD 为轴翻折，∵Rt △GBE ∽Rt △GB ′C ′，∴ ′ ′ ′，即′ ′ ，解得：GB ′=24， ∴S △B ′C ′G = •B ′C ′•B ′G = ×12×24=144， ∴按照两种包裹方法的未包裹面积相等．【解析】（1）先证明△ADE ∽△FBE ，利用相似的性质得BF ；（2）①利用相似三角形的判定，证明Rt △F′HN ∽Rt △F′EG ，利用相似三角形的性质，求得HN ，利用三角形的面积公式得结果；②利用相似三角形的判定，证明Rt △F′HN ∽Rt △F′EG ，利用相似三角形的性质，求得HN ，利用三角形的面积公式得结果．本题主要考查了相似三角形的判定和性质及翻折变化，以动态（平移和旋转）的形式考查了分类讨论的思想、函数的知识和直角三角形是解答此题的关键．28.【答案】P 2，P 3；（4，-2）或P （-4，6）；0＜r ＜ 或r ＞2 +2【解析】解：（1）①连接AC和BD，交于点M，∵四边形ABCD是正方形，∴M到正方形ABCD四条边距离都相等∴⊙P一定通过点M，∵A（2，4）∴M（0，2）设⊙P的圆心坐标是（x，y），∴r=4时，∴x2+（y-2）2=（4）2，即，x2+（y-2）2=32，把P1（0，-3），P2（4，6），P3（4，2）代入，只有P2，P3成立，∴可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是P2，P3，故答案为：P2，P3；②∵点P在直线y=-x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，∴把y=-x+2代入x2+（y-2）2=32，得x2+x2=32，解得x=±4，∴y=-2或6，∴P（4，-2）或P（-4，6）．故答案为：（4，-2）或P（-4，6）．（2）如下图：①∵⊙P同时为正方形ABCD与正方形EFGH的“等距圆”，∴⊙P同时过正方形ABCD的对称中心E和正方形EFGH的对称中心I．∴点P在线段EI的中垂线上．∵A（2，4），正方形ABCD的边CD在x轴上；F（6，2），正方形EFGH的边HE 在y轴上，∴E（0，2），I（3，5）∴∠IEH=45°，设线段EI的中垂线与y轴交于点L，与x轴交于点M，∴△LIE为等腰直角三角形，LI⊥y轴，∴L（0，5），∴△LOM为等腰直角三角形，LO=OM∴M（5，0），∴P在直线y=-x+5上，∴设P（p，-p+5）过P作PQ⊥直线BC于Q，连结PE，∵⊙P与BC所在直线相切，∴PE=PQ，∴p2+（-p+5-2）2=（p+2）2，解得：P1=5+2，P2=5-2，∴P1（5+2，-2），P2（5-2，2），∵⊙P过点E，且E点在y轴上，∴⊙P在y轴上截得的弦长为2|-2-2|=4或2|2-2|=4-4．②如图2，连接DH，作DT⊥HF，以D为圆心，DE为半径作圆，交DT于点E1，交HD于E2，当0＜r＜DT-DE1时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．∵HF所在的直线为：y=-x+8，DT所在的直线为：y=x-2，∴T（5，3），∵D（2，0），∴DT==3，∵DE=DE1∴DT-DE=DT-DE=3-2=，1∴当0＜r＜时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．当r＞HE2时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．∵HE2=HD+DE2，DE2=DE，∴HE=HD+DE=+2=2+2，2∴当r＞2+2时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．综上可知当0＜r＜或r＞2+2时线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，故答案为：0＜r＜或r＞2+2．（1）①连接AC和BD，交于点M，设⊙P的圆心坐标是（x，y），列出圆心到M的关系式，把P1（0，-3），P2（4，6），P3（4，2）代入，看是否成立来逆定，②把y=-x+2代入x2+（y-2）2=32，求出x和y的值，再写出坐标．（2）①先求出△LIE为等腰直角三角形，得到L（0，5），进而得出△LOM为等腰直角三角形，设P（p，-p+5）据关系列出方程求了圆心，的坐标，最后得出弦长．②连接DH，作DT⊥HF，以D为圆心，DE为半径作圆，交DT于点E1，交HD于E2，当0＜r＜DT-DE1时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．当r＞HE2时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．据此求解．本题考查圆的综合题，解题的关键是明确题意，根据题目给出的条件，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．此外对本题中的“等距圆”的定义正确理解也是解题的关键．。
江苏省无锡市天一实验学校2013届九年级上学期期中考试数学试题
无锡市天一实验学校2012-2013学年度第一学期初三数学期中试卷2012.11一、选择题(本大题共l0小题．每小题3分．共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把答案填在答题卡上相应位置)1．－5的相反数是 （ ）A ．－5B ．5C ．－51 D ．51 2．下列计算正确的是 ( ). A.632a a a =⋅ B.()832a a = C. ()6223b a ab = D. 326a a a =÷3．下列四副图案中，不是轴对称图形的是 （ ）A ．B ．C ．D ．4．沿圆柱体上面直径截去一部分的物体如图所示，它的俯视图是 ( )5．从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ．若∠APB ＝60°， PA ＝8，则弦AB 的长是 ( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．166．用一个半径为10cm 半圆纸片围成一个圆锥的侧面（接缝处忽略不计），则该圆锥的 高为 （ ）A ．53cmB ．52cmC ．5cmD ．7.5cm 7．如图，在Rt △ABC 中，已知C ∠=90°，AM 是BC 边上的中线，，53sin =∠CAM）8．如图，是二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象的一部分，给出下列命题 ：①a+b+c=0；②b ＞2a ；③ax 2+bx +c =0的两根分别为-3和1；④a -2b +c ＞0．其中正确的命题有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个9．小翔在如图所示的场地上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头所示方向经过点B 跑到点C ，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t （单位：秒），他与教练的距离为y （单位：米），表示y 与t 的函数关系的图象大致如图所示，则这个个定位置可能是左图中的 （ ）第7题图 第8题图第9题图A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q10．记n S =n a a a +++ 21，令12nnS S S T n+++=，称n T 为1a ，2a ，……，n a 这列数的“理想数”。
无锡天一2012中考数学第三次模拟试卷
2012年无锡市天一实验学校初三第三次适应性练习数学试题注意事项： 1．本卷满分130分．考试时间为120分钟．2．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其余各题均应给出精确结果．一、选择题（本大题共l0小题．每小题3分．共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1．13-的相反数是 （ ▲ ） A. －3 B. 3 C.13D. －132．下列四个图形中，既是轴对称又是中心对称的图形的个数有 （ ▲ ）A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个3．分解因式2x 2﹣4x+2的最终结果是 （ ▲ ）A ．2x （x ﹣2）B ．2（x 2﹣2x+1）C ．2（x ﹣1）2D ．（2x ﹣2）24．如图，是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可求得这个几何体的体积为 （ ▲ ）C ．36π D．48 π5．如图，已知矩形ABCD 中，R 、P 分别是DC 、BC 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当P 在BC 上从B 向C 移动而R 不动时，下列结论成立的是 （ ▲ ） A. 线段EF 的长逐渐增长 B. 线段EF 的长逐渐减小 C. 线段EF 的长不改变 D. 线段EF 的长不能确定6．如图是2007年5月的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是 （ ▲ ）A ．40B ．36C ．27D ．547. 如图，直线y =，点A 1坐标为（1，0），过点A 1作x 轴的垂线交直线于点B 1，以原点O为圆心，1O B 长为半径画弧交x 轴于点2A ；再过点2A 作x 的垂线交直线于点2B ，以原点O 为圆心，2O B 长为半径画弧交x 轴于点3A ，…，按此做法进行下去，点5A 的坐标为 （ ▲ ） A ．（8，0） B ．（16，0） C ．（32，0） D ．（64，0）8. 如图，将A B C ∆绕点C （0，-1）旋转180︒得到'A B C ∆，设点A 的坐标为),(b a 则点'A 的坐（第5题图 ）主视图左视图俯视图（第4题图）标为 （ ▲ ） A.),(b a -- B. (-a,-b-2) C. (-a,-b+1) D. (-a,-b+2)（第6题图） （第7题图） （第8题图）9. 若()f x 表示自变量x 相对应的函数值，且242 (0),()2 (0),x x x f x x ⎧-+≥=⎨-<⎩关于x 的方程()f x x k =+有三个不相等的实数根，则k 的取值范围是 （ ▲ ）A.02k ≤<B. 20k -<≤C. 22k -<≤D.20k k >-≠且10. 点P 在等腰ABC Rt ∆的斜边AB 所在直线上，若记：22BP AP k +=，则 （ ▲ ） A ．满足条件22CP k <的点P 有且只有一个 B ．满足条件22CP k <的点P 有无数个 C ．满足条件22CP k =的点P 有有限个 D ．对直线AB 上的所有点P ，都有22CP k = 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共l6分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置处） 11．16的平方根是 ▲12．据报道，截至2011年底，无锡60周岁以上户籍老年人口已达984000万，据预测，无锡市现在正处于人口老龄化的加速期，2020年无锡市人口老龄化率将接近25%。
2012江苏无锡中考数学
(
)
6． （2012 江苏无锡，6，3 分）若一个多边形的内角和为 1080°，则这个多边形的边数为 ( A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 7． （2012 江苏无锡，7，3 分）已知圆锥的底面半径为 3cm，母线长为 5cm，则圆锥的侧面积是 ( A．20 cm2 B．20π cm2 C．15 cm2 D．15π cm2
【答案】解：在□ABCD 中,AB=DC，AB∥DC，„„„„„„（2 分） ∴∠B=∠DCF． „„„„„„„„„„„„„（4 分） 在△ABE 和△DCF 中， AB=DC, ∠B=∠DCF,BE=CF. ∴△ABE≌△DCF，„„„„„„„„„„„„„（6 分） ∠BAE=∠CDF， „„„„„„„„„„„„„（8 分） 22． （2012 江苏无锡，22，8 分）在 1，2，3，4，5 这五个数中，先任意取出一个数，然后在余下的数中任意取 出一个数 b，组成一个点（a，b） ，求组成的点（a，b）恰好横坐标为偶数且纵坐标为奇数的概率． （请用“画 树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】解：画树状图．
将这些数据按组距 5（个字）分组，绘制成如图的频数分布直方图（不完整） 。 （1）将表中空缺的数据填写完整，并补全频数分布直方图； （2）这个班同学这次打字成绩的众数是 个，平均数是 个。
【答案】解：(1)表中空缺的数据依次为 5，8．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（2） 频数分布直方图画对.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(4 分) （2） 64,63. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(8 分) 24． （ （2012 江苏无锡，24，8 分） 如图，在边长为 24cm 的正方形纸片 ABCD 上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中 的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒(A、B、C、D 四个顶点正好重合于上底面上一点)．已知 E、F 在 AB 边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE=BF=x (cm)． (1)若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积 V; (2)某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积 S 最大，试问 x 应取何值？
【九上期中】2011—2012无锡市
无锡市2011—2012学年第一学期期中考试九年级数学试卷2注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分130分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有解答题必须作答在相应的解题框内，否则不给分．一、选择题（本大题共有８小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选出正确答案）1．下列运算正确的是 【 】 A.25 = ±5 B .43-27 = 1 C.18÷ 2 = 9 D.24²32= 6 2．下列说法中，错误的是 【 】 A ．平行四边形的对角线互相平分 B ．矩形的对角线互相垂直 C ．菱形的对角线互相垂直平分 D ．等腰梯形的对角线相等3．函数y= 1x -2中，自变量x 的取值范围是 【 】A ．x ≥2B ．x ≥－2C ．x ＞2D ．x ＞－24.若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为 【 】 A.20 B.16 C.12 D.105. 用配方法解方程0762=+-y y ，得(),2n m y =+则 【 】A ．2,3==n m B. 2,3=-=n m C. 9,3==n m D. 7,3-=-=n m6．甲、乙两人在相同的条件下，各射靶10次，经过计算：甲、乙射击成绩的平均 数都是8环，甲的方差是1.2，乙的方差是1.8．下列说法中不一定正确的是A ．甲、乙的众数相同B ．甲的成绩稳定 【 】C ．乙的成绩波动较大D ．甲、乙射中的总环数相同 7．若关于x 的一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 的常数项为0，则m 的 值等于 【 】 A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．0 8.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 S1，S 2，则S 1+S 2的值为 【 】A ．16B ．17C ．18D ．19二、填空题（本大题共有10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程） 9．比较大小：53- 62-．10.一组数据1，3，2，5，x 的平均数为3，那么这组数据的方差是___ ___. 11．方程X 2=2X 的解为__________．12．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为35°，则此等腰三角形的顶角度数为 ．13．已知x ，y 为实数，且满足x +1y y ---1)1(=0，那么x 3-y 3= ．14．如图，邻边不等．．的矩形花圃ABCD ，它的一边AD 利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m ．若矩形的面积为4m 2，则AB 的长度是 m （可利用的围墙长度超过6m ）．15．已知关于x 的一元二次方程0422=++-k x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．16．如图，在平面直角坐标系中，将线段OC 向右平移到AB ，且OA=OC,所得菱形OABC 的顶点C 的坐标是（3，4），则顶点A 、B 的坐标分别是_________________. 17．如图，已知EF 是梯形ABCD 的中位线，△DEF 的面积为24cm ，则梯形ABCD 的面积为 cm 2． 18．如图，在□ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 的点F 处，若△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22，则 ABCD 的周长为 .三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题框内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）19．计算（本题满分8分）（1）9 +|－2|＋113-⎛⎫ ⎪⎝⎭+(－1)2011（2）22)2332()2332(--+20. 用适当的方法解下列方程（本题满分8分）（1）03522=--x x (用配方法) （2）3x(x －1)=2－2x21．(本题满分8分)A D EBCF 第17题EDCABF第18题第16题第14题已知：如图,四边形ABCD 是平行四边形,△ADE 和△BCF 都是等边三角形. 求证:BD 和EF 互相平分.22．（本题满分8分）已知：关于x 的一元二次方程0132=+--k x x 有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）请选择一个k 的正整数值，并求出方程的根．23．（本题满分8分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，∠C =45°，AD =1，BC =4， E 为AB 中点，EF ∥DC 交BC 于点F ， 求EF 的长．24、（本题满分8分）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2010EB F CA DA BCDEFO年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同． (1)求每年市政府投资的增长率；(2)若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房．25. (本题满分8分) 已知a 是一元二次方程x 2－4x+1=0的两个实数根中较小的根，①求a 2-4a+2012的值② 化简求值aa a a a a a a 112121222--+---+-26．(本题满分8分)王大伯几年前承办了甲、乙两片荒山，各栽100棵杨梅树，成活98%，现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅，每棵的产量如拆线统计图所示. （1）分别计算甲、乙两山样本的平均数，并估算出甲乙两山杨梅的产量总和； （2）试通过计算说明，哪个山上的杨梅产量较稳定？27. (本题满分10分)如图，已知一矩形ABCD ，若把△ABE 沿折痕BE 向上翻折，A 点恰好落在DC 上，设此CDF杨梅树编号36364834364040504321323640444852乙山甲山产量（千克）点为F，且这时AE:ED=5:3，BE=55，这个矩形的长宽各是多少？28. (本题满分12分)如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，已知AD＝AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D 出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．(1) 求NC，MC的长(用t的代数式表示)；(2) 当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？(3) 当t为何值时,射线QN恰好将△ABC的面积平分？并判断此时△ABC的周长是否也被射线QN平分.2011-2012学年第一学期期中考试试题答案九年级数学一． 选择题（每题3分，共24分）1. D2. B3. C4. A5. B6. A7. B8. Ｂ 二．填空题（每题2分，共20分）9.＜ 10.2 11.X 1=0,,X 2=2 12. 70° 13. -2 14. 1 15.（5，0），（8，4） 16.－2≤k ＜2 17.16 18.30 三．解答题（本大题共有10小题，共86分．） 19. （本题满分8分）（1）9 +|－2|＋113-⎛⎫ ⎪⎝⎭+(－1)2011=3+2+3+ (－1)………………2分 =7 …………… ………4分 （2）22)2332()2332(--+=)23322332(-++)23322332(+-+………………2分 =34³26 ………………3分 =624 ………………4分 20. （本题满分8分）（1）03522=--x x (用配方法) （2）3x(x －1)=2－2x解： 03252=--x x 解：3x(x －1)=－2(x －1) ………1分 23252=-x x ………1分 3x(x －1)＋2(x －1)=0 ………2分22245234525⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+-x x ………2分 (x －1)( 3x ＋2) =0 ………3分1649452=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ………3分 32,121-==x x ………4分21,321-==x x ………………4分21．(本题满分8分)解：连接BE 、DF. ∵ABCD , ∴AD ∥BC AD BC =,,…… 1分∵AD ∥,BC ∴∠1=∠2. … 2分∵等边三角形ADE ,∴AD DE =,∠3=60°, …… 3分ABCDEFO1 23 4∵等边三角形BCF ,∴BF BC =,∠4=60°, … 4分 ∴BF DE =,…… 5分∠1+∠3=∠2+∠4,即∠=BDE ∠DBF ,∴DE ∥BF ,…… 6分 ∴四边形BEDF 是平行四边形…… 7分∴BD 和EF 互相平分. …… 8分(说明：将C 、D 、E 或A 、B 、F 看作共线本题至少扣4分) 22．(本题满分8分) 解：（1）方程有两个不相等的实数根，∴ ()0)1(43422>+---=-k ac b …………1分 134->-k ………2分即 4k ＜13，解得，413<k ……………4分 （2）∵k 是正整数∴k 只能为1或2或3． …………………… 5分 如果k ＝1，原方程为032=-x x ………………… 6分解得01=x ，32=x ． ……………………8分 （如果k ＝2，原方程为0132=+-x x ，解得，2531+=x ，2532-=x ； 如果k ＝3，原方程为2320x x -+=，解得，11x =，22x =．）23．（本题满分8分）解：过点A 作AG ∥DC ， ……………1分∵AD ∥BC ，∴四边形AGCD 是平行四边形， ……………2分 ∴GC =AD ，∴BG =BC －AD =4－1=3， …………………3分 在Rt △ABG 中，AG =22BG =32， ………………5分 ∵EF ∥DC ∥AG ， ∴12EF BE AGAB==， ………………6分∴EF =12AG =322． ……………8分 24（本题满分8分）解: 设每年市政府投资的增长率为x ， ……………1分根据题意，得：2+2（1+x ）+2（1+x ）2=9.5， ……………2分 整理，得：x 2+3x -1.75=0， ……………3分EB F CA DG第21题图CBA DE F解之，得：x =275.1493⨯+±-，∴x 1=0.5 x 2=-0.35（舍去） ……………5分 答：每年市政府投资的增长率为50%； ……………6分 （2）到2012年底共建廉租房面积=9.5÷3882=（万平方米）．…………8分 25(本题满分8分)解：①∵a 是一元二次方程x 2－4x+1=0的两个实数根中较小的根∴a 2-4a+1=0 …………………1分∴a 2-4a+2012=2011 …………………3分②解方程可得32,3221-=+=x x …………………4分 ∵a 是一元二次方程x 2－4x+1=0的两个实数根中较小的根 ∴a=32- …………………5分 ∴a －1=31-＜0a aa a a a a a 112121222--+---+-= aa a a a a 1)1()1(1)1(22------ = a －1 …………7分∴原式=31- …………………8分 26．(本题满分8分)解：（1）x 甲=40(千克)， x 乙=40(千克)，………………2分总产量为40³100³98%³2=7840(千克)；………………4分（2）2S 甲=14=38(千克2)，2S 乙=14=24(千克2)，………………6分∴2S 甲>2S 乙………………7分答：乙山上的杨梅产量较稳定. ………………8分 27. (本题满分10分)解：由AE ∶ED ＝5∶3，设AE ＝5x ，ED ＝3x ，………1分 ∴AD ＝BC ＝8x 由题意得EF ＝AE ＝5x ， ∵∠D ＝90°，∴DF x DE EF 422=-= ………2分∵∠BFE ＝∠A ＝90° ∴∠DFE ＋∠BFC ＝90°∵∠D ＝90°， ∴∠DFE ＋∠DEF ＝90° ∴∠DEF ＝∠BFC ∵∠C ＝∠D ＝90° ∴△BCF ∽△FDE ………5分 ∴DFBCEF BF =∴xxx BF 485= BF ＝10x …………7分 在Rt △BEF 中，∵EF 2＋BF 2＝BE 2∴(5x)2＋(10x)2＝(55)2x ＝±1（舍负）…………9分 ∴AB ＝BF ＝10 BC ＝8，即这个矩形长为10，宽为8．………10分28. (本题满分12分) 解： （1）4)1(5,1+=+=t MC t NC ……………………4分 （2）当QD=CP 时，四边形PCDQ 构成平行四边形。
无锡市天一实验学校 2021-2022 学年九年级上学期期中考试数学试题(含答案)
江苏省无锡市天一实验学校2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题【解析版】一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．3x2﹣6x+2B．x2﹣y+1＝0C．x2＝0D．+x＝2【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、它不是方程，故本选项错误；B、该方程中含有2个未知数，故本选项错误；C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；D、该方程是分式方程，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2．已知⊙O的直径为4，点O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法判断【分析】根据直线与圆的位置关系判定方法，假设圆心到直线的距离为d，当d＞r，直线与圆相离，当d＝r，直线与圆相切，当d＜r，直线与圆相交，由⊙O的直径为4cm，点O到直线l的距离为2cm，得出d＝r，进而l与⊙O的位置关系．【解答】解：∵⊙O的直径为4，∴⊙O的半径为2，∵点O到直线l的距离为2，∴d＝r∴l与⊙O的位置关系相切．故选：B．【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，解决问题的关键是判断出圆的半径与圆心到直线的距离，再根据判定方法得出位置关系．3．已知，则的值为（）A．2B．C．D．【分析】根据比例的性质得出3a﹣3b＝a，求出2a＝3b，即可得出答案．【解答】解：∵＝，∴3a﹣3b＝a，∴2a＝3b，∴＝，故选：D．【点评】本题考查了比例的性质的应用，此题比较典型，难度不大．4．如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是（）A．∠B＝∠D B．∠C＝∠AED C．D．【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．【解答】解：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠DAE＝∠BAC，∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．5．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝20°，则∠BOD等于（）A．20°B．40°C．80°D．70°【分析】由线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理的即可求得：＝，然后由圆周角定理，即可求得答案．【解答】解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴＝，∴∠BOD＝2∠CAB＝2×20°＝40°．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理以及垂径定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．6．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则k满足（）A．k≥0B．k≤0且k≠﹣1C．k＜0且k≠﹣1D．k≤0【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有实数根，∴，解得：k≤0且k≠﹣1．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E、F在AD边上，BF和CE交于点G，若EF＝AD，则图中阴影部分的面积为（）A．6B．7.5C．10.5D．12【分析】过点G作GN⊥AD于N，延长NG交BC于M，通过证明△EFG∽△CBG，可得GN：GM＝EF：BC ＝1：2，可求GN，GM的长，由面积的和差关系可求解．【解答】解：过点G作GN⊥AD于N，延长NG交BC于M，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵EF＝AD，∴EF＝BC，∵AD∥BC，NG⊥AD，∴△EFG∽△CBG，GM⊥BC，∴GN：GM＝EF：BC＝1：2，又∵MN＝AB＝3，∴GN＝1，GM＝2，＝×6×2＝6，∴S△BCG＝×3×1＝，S矩形ABCD＝AB•BC＝6×3＝18，∴S△EFG∴S＝18﹣6﹣＝．阴影故选：C．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，求出阴影部分的面积可以转化为几个规则图形的面积的和或差的关系．8．如图，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于点D，AD＝AC，AB＝4，∠ABC＝150°，则△DBC的面积是（）A．B．C．D．【分析】过点C作CE⊥BD，交BD的延长线于点E，利用△ABD∽△CED，得到比例式，求得线段CE的长，在直角三角形EBC中，利用直角三角形的边角关系求得BE，进而利用比例式求得线段BD的长，利用三角形的面积公式即可求得结论．【解答】解：过点C作CE⊥BD，交BD的延长线于点E，如图，∵BD⊥AB，∴∠ABD＝90°．∵∠ABC＝150°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝60°．∵BD⊥AB，CE⊥BD，∴AB∥EC．∴△ABD∽△CED．∴．∵AD＝AC，∴．∴．∴EC＝3．在Rt△CEB中，∵tan∠EBC＝，∴BE＝．∴．∴BD＝．∴＝××3＝．故选：D．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，过点C作CE⊥BD，交BD的延长线于点E，构建“8”字模型图得到相似三角形是解题的关键．9．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，点O为BC上的点，⊙O的半径OC＝0.5，点D是AB边上的动点，过点D作⊙O的一条切线DE（点E为切点），则线段DE的最小值为（）A．B．C．﹣1D．【分析】连接OE、OD，过点O作OD′⊥AB于D′，根据切线的性质得到OE⊥DE，根据相似三角形的性质求出OD′，根据勾股定理计算即可．【解答】解：连接OE、OD，过点O作OD′⊥AB于D′，∵DE是⊙O的切线，∴OE⊥DE，在Rt△ODE中，DE＝＝＝，则当OD最小时，DE最小，由垂线段最短可知，当OD′⊥AB时，OD′最小，∵OD′⊥AB，∠C＝90°，∴△BOD′∽△BAC，∴＝，即＝，解得：OD′＝2，∴DE的最小值＝＝，故选：A．【点评】本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、垂线段最短，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．10．如图，点O为正方形ABCD对角线BD的中点，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC＝EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下五个结论中①OH＝BF；②∠CHF＝60°；③BC＝（2+）GH；④HF2＝HE•HB，正确结论有（）A．1B．2C．3D．4【分析】①只要证明OH是△DBF的中位线即可得出结论；②根据四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线可求出Rt△BCE≌Rt△DCF，再由∠EBC＝22.5°即可求出结论；③OH是△DBF的中位线等已知条件可得出OH＝BO，设正方形的边长为2a，表示出GH、BC即可得出结论；④由相似三角形的判定定理得出△DHE∽△BHD，根据相似三角形的对角边成比例即可得出结论．【解答】解：①在正方形ABCD中，∠BCE＝∠DCF，BC＝DC，∵EC＝CF，∠BCE＝∠DCF，BC＝DC，∴△BCE≌△DCF（SAS），∴∠CBE＝∠CDF，∵∠CBE+∠BEC＝90°，∠BEC＝∠DEH，∴∠DEH+∠CDF＝90°，∴∠BHD＝∠BHF＝90°，∵BE平分∠DBC，∴∠HBD＝∠HBF，∵BH＝BH，∴△BHD≌△HBF（ASA），∴DH＝HF，∵OD＝OB，∴OH是△DBF的中位线，∴OH＝BF，故①正确；∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，∴BC＝CD，∠BCD＝∠DCF，∠EBC＝22.5°，∵CE＝CF，∴Rt△BCE≌Rt△DCF（SAS），∴∠EBC＝∠CDF＝22.5°，∴∠BFH＝90°﹣∠CDF＝90°﹣22.5°＝67.5°，∵OH是△DBF的中位线，CD⊥AF，∴OH是CD的垂直平分线，∴DH＝CH，∴∠CDF＝∠DCH＝22.5°，∴∠HCF＝90°﹣∠DCH＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠CHF＝180°﹣∠HCF﹣∠BFH＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，故②不正确；③∵OH是△DBF的中位线，∴OH∥BF，OH＝BF，OG＝BC，∴∠OHB＝∠HBF，∵BE是∠DBF的平分线，∴∠DBH＝∠HBF，∴∠OHB＝∠HBO，∴OH＝BO，设正方形的边长为2a，则BC＝2a，OG＝a，BD＝2a，∴OB＝OH＝a，∴GH＝OH﹣OG＝a﹣a＝（﹣1）a，∴，∴BC＝（2+2）GH，故③不正确；④∵∠DBF＝45°，BE是∠DBF的平分线，∴∠DBH＝22.5°，由②知∠HBC＝∠CDF＝22.5°，∴∠DBH＝∠CDF，∵∠BHD＝∠BHD，∴△DHE∽△BHD，∴，∴DH2＝HE•HB，故④正确；故选：B．【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及正方形的性质，利用等腰直角三角形的性质结合角平分线的性质逐步解答．二.填空题（共8小题，每小题3分共计30分）11．在比例尺1：8000000的地图上，量得两城市的距离为6.4厘米，则这两城市的实际距离为512千米．【分析】根据比例尺＝代入数据计算即可．【解答】解：设两城市的实际距离为xcm，∵比例尺＝，∴1：8000000＝6.4：x，∴x＝51200000，∴这两城市的实际距离为512千米．故答案为：512．【点评】本题考查了比例线段，熟练掌握比例尺＝是解题的关键．12．已知实数m是关于x的方程22﹣3x﹣1＝0的一根，则代数式m2﹣m﹣2值为﹣．【分析】根据一元二次方程的解的定义得到2m2﹣3m﹣1＝0，两边除以2变形得到m2﹣m＝，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵m是关于x的方程2x2﹣3x﹣1＝0的一根，∴2m2﹣3m﹣1＝0，∴m2﹣m＝，∴m2﹣m﹣2＝﹣2＝﹣．故答案为﹣．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．13．已知P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），AB＝6cm，则AP长为（3﹣3）cm．【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；所以AP＝AB，代入数据即可得出AP的长度．【解答】解：P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），∴＝，∵AB＝6cm，∴AP＝（3﹣3）cm．故答案为：（3﹣3）．【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．14．如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与反射光线的夹角为50°，则平面镜与水平地面的夹角α的度数是65°．【分析】根据题意求出∠ABC，根据余角的概念求出∠ABD，根据平行线的性质解答即可．【解答】解：如图，由题意得：∠ABC＝×50°＝25°，∴∠ABD＝90°﹣25°＝65∵AB∥DE，∴α＝∠ABD＝65°，故答案为：65°．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念是解题的关键．15．某服装原价为300元，连续两次涨价a%后，售价为363元，则a的值为10．【分析】根据该服装的原价及经过两次涨价后的价格，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：依题意，得：300（1+a%）2＝363，解得：a1＝10，a2＝﹣210（舍去）．故答案是：10．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16．如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在格点处，则∠ABC的正弦值为．【分析】利用网格求出AC和AB的长，根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，最后根据三角函数的意义求解即可．【解答】解：如图，取BC的中点D，连接AD，由网格可得，AC＝，AB＝，∴AB＝AC，∴AD⊥BC，Rt△ABD中，∵AD＝，∴sin∠ABC＝．故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．17．如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，CE＝BC，过B作BG⊥DE于G，交DC的延长线于H，连接AG交DC的延长线于F，则tan∠CBH＝，的值为．【分析】证出∠CDE＝∠CBH，设BE＝EC＝m，则BC＝CD＝2m，想办法用m表示DF，CF，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝∠BCH＝90°，∵BG⊥DG，∴∠BGE＝∠DCE＝90°，∵∠BEG＝∠CED，∴∠CDE＝∠CBH，设BE＝EC＝m，则BC＝CD＝2m，∵∠CDE＝∠CBH，∴tan∠CBH＝tan∠CDE＝，∴，∴EG＝m，BG＝m，DE＝＝m，∵CH＝EC＝m，∴DH＝DC+CH＝3m，DG＝DE+EG＝m，∴GH＝＝＝m，∵AB∥FH，∴△FHG∽△ABG，∴，∴，∴FH＝3m，∴DF＝6m，CF＝4m，∴．故答案为：，．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．18．如图，⊙O的半径为4，定点P在⊙O上，动点A，B也在⊙O上，且满足∠APB＝30°，C为PB的中点，则点A、B在圆上运动的过程中，线段AC的最大值为2+2，此时∠ACB＝45°．【分析】如图，连接OA，OP，OB，延长BA到H，使得AH＝BA，连接PH．证明AC＝PH，求出PH的最大值即可解决问题．【解答】解：如图，连接OA，OP，OB，延长BA到H，使得AH＝BA，连接PH．∵BA＝AH，BC＝CP，∴AC∥PH，AC＝PH，∴当PH的值最大时，AC的值最大，∵∠AOB＝2∠APB＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AO＝AH＝AB，∴∠HOB＝90°，∴OH＝OB＝4，∵PH≤OH+OP，∴PH≤4+4，∴当P、O、H共线时，PH最大，PH的最大值为4+4，∴AC的最大值为2+2，∵AC∥PH，∴∠ACB＝∠BPH，∵OP＝OB，∠HOB＝90°，P、O、H共线，∴∠BPO＝45°，∴∠ACB＝45°故答案为：2+2，45°．【点评】本题考查点与圆的位置关系，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，具体的规划是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．三.解答题（共10小题，共计90分）19．（8分）解方程：（1）（x﹣1）2﹣9＝0．（2）x2﹣2x﹣5＝0．【分析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）（x﹣1）2＝9，∴x﹣1＝±3，解得：x1＝4，x2＝﹣2；（2）x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝5+1，（x﹣1）2＝6，∴x﹣1＝±，∴x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．20．（8分）计算：（1）2cos230°+；（2）﹣14+（π﹣3）0﹣2cos60°+|3﹣|．【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（2）原式利用乘方的意义，零指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝2×（）2+＝2×+＝+；（2）原式＝﹣1+1﹣2×+2﹣3＝2﹣4．【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．21．（8分）如图，在▱ABCD中，点E在BC上，∠CDE＝∠DAE．（1）求证：△ADE∽△DEC；（2）若AD＝6，DE＝4，求BE的长．【分析】（1）根据AD∥BC，可以证得∠ADE＝∠DEC，然后根据∠CDE＝∠DAE即可证得；（2）根据相似三角形对应边的比相等，即可求得EC的长，则BE即可求解．【解答】（1）证明：∵▱ABCD中AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，又∵∠CDE＝∠DAE，∴△ADE∽△DEC；（2）解：∵△ADE∽△DEC，∴＝，∴＝，∴EC＝．又∵BC＝AD＝6，∴BE＝6﹣＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明两个三角形相似最常用的方法是证明两组角对应相等．22．（8分）如图是6×6的网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC顶点A、B、C均在格点上，在给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹．（1）在图中画出△ABC中BC边上的中线AD；（2）在图中画出△BMN，使得△BMN与△BCA是位似图形，且点B为位似中心，点M、N分别在AB、BC边上，位似比为；（3）连结MD、ND，四边形AMND的面积是．【分析】（1）根据三角形中线的定义作出图形即可．（2）在BC上取一点N，使得NB＝2，取格点T，连接NT交AB于M，△BMN即为所求．＝S△ABC﹣S△BMN﹣S△ADC，求解即可．（3）根据S四边形AMND【解答】解：（1）如图，线段AD即为所求．（2）如图，△BMN即为所求．＝S△ABC﹣S△BMN S△ADC＝×6×4﹣×3×4﹣×2×＝．（3）S四边形AMND故答案为：．【点评】本题考查作图﹣位似变换，三角形的中线，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找线段AB，BC的三等分点，属于中考常考题型．23．（8分）已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＜x2．若2x1＝x2+1，求m的值．【分析】（1）首先得到Δ＝（﹣4m）2﹣4（4m2﹣9）＝36＞0证得方程有两个不相等的实数根；（2）根据已知条件得到得出关于m的方程求得答案即可．【解答】解：（1）∵Δ＝（﹣4m）2﹣4（4m2﹣9）＝36＞0，∴此方程有两个不相等的实数根；（2）∵x＝＝2m±3，∴x1＝2m﹣3，x2＝2m+3，∵2x1＝x2+1，∴2（2m﹣3）＝2m+3+1，∴m＝5．【点评】本题考查了根的判别式的知识，同时题目中还考查了配方法等知识，特别是解决第（2）题时，用公式法求含有字母系数方程更是个难点．24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C、点D在⊙O上，AC＝CD，AD与BC相交于点E，点F在BC的延长线上，且AF＝AE．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若EF＝12，sin∠BAC＝，求⊙O的半径．【分析】（1）先由AB是⊙O的直径证明∠ACB＝90°，再由等边对等角以及圆周角定理证明∠CAF＝∠B，则∠FAB＝∠CAF+∠CAB＝∠B+∠CAB＝90°，由此可以证明AF是⊙O的切线；（2）先证明∠F＝∠BAC，则sin∠F＝＝sin∠BAC＝＝，设AC＝4m，AF＝5m，由勾股定理得CF＝3m，由3m＝6得m＝2，则AC＝8，设BC＝4n，AB＝5n，由勾股定理得AC＝3n，由3n＝8得n＝，可求出AB的长，进而求出OA的长，即⊙O的半径长．【解答】（1）证明：如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠D，∵∠D＝∠B，∴∠CAD＝∠B，∵AF＝AE，AC⊥EF，∴∠CAF＝∠CAE，即∠CAF＝∠CAD，∴∠CAF＝∠B，∴∠FAB＝∠CAF+∠CAB＝∠B+∠CAB＝90°，∵OA是⊙O的半径，且AF⊥OA，∴AF是⊙O的半径．（2）∵AF＝AE，AC⊥EF，∴CF＝CE＝EF＝×12＝6，∴∠F＝90°﹣∠B＝∠BAC，∵∠ACF＝90°，∴sin∠F＝＝sin∠BAC＝＝，设AC＝4m，AF＝5m，∴CF＝＝3m，由3m＝6得m＝2，∴AC＝8，设BC＝4n，AB＝5n，∴AC＝＝3n，由3n＝8得n＝，∴AB＝，∴OA＝AB＝，∴⊙O的半径长为．【点评】此题重点考查圆的切线的判定、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数、解直角三角形等知识与方法，此题综合性较强，是很好的练习题．25．（10分）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了增加利润，减少库存，商店决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么可多售出2件．设每件童装降价x元．（1）降价后，每件盈利（40﹣x）元，每天可销售（20+2x）件；（用含x的代数式填空）（2）每件童装降价多少元时，每天盈利1200元；（3）该专卖店每天盈利能否等于1300元，若能，求出此时每件童装降价多少元，若不能，说明理由．【分析】（1）利用每件盈利＝销售价格﹣进价，即可用含x的代数式表示出每件盈利，利用每天的销售量＝20+2×降低的价格，即可用含x的代数式表示出每天的销售量；（2）利用每天销售这种童装的利润＝每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合“为了增加利润，减少库存”，即可得出每件童装降低的价格；（3）利用每天销售这种童装的利润＝每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣100＜0，即可得出该方程没有实数根，即该专卖店每天盈利不能等于1300元．【解答】解：（1）若每件童装降价x元，则每件盈利（120﹣x﹣80）＝（40﹣x）元，每天可销售（20+2x）件．故答案为：（40﹣x）；（20+2x）．（2）依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20．又∵为了增加利润，减少库存，∴x＝20．答：每件童装降价20元时，每天盈利1200元．（3）该专卖店每天盈利不能等于1300元，理由如下：依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1300，整理得：x2﹣30x+250＝0．∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×250＝﹣100＜0，∴该方程没有实数根，即该专卖店每天盈利不能等于1300元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各数量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当Δ＜0时，方程没有实数根”．26．（8分）如图1，我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图2中的线段BC就是悬挂在墙壁AM上的某块匾额的截面示意图．已知BC＝2.5米，∠MBC＝37°．从水平地面点D处看点C，仰角∠ADC＝45°，从点E处看点B，仰角∠AEB＝53°，且DE＝4.5米，求匾额悬挂的高度AB的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）【分析】过点C作CN⊥AB于N，延长DC交AB的延长线于F，解直角三角形求出CN、BN的长，得出BF的长，再求出≈，设AE＝3x米，则AB＝4x米，AF＝AB+BF＝（4x+3.5）米，AD＝AE+DE＝（3x+4.5）米，然后证AF＝AD，则4x+3.5＝3x+4.5，解得x＝1，即可求解．【解答】解：过点C作CN⊥AB于N，延长DC交AB的延长线于F，如图所示：则CN∥AD，∴∠NCF＝∠ADC＝45°，在Rt△BCN中，CN＝BC•sin37°≈2.5×＝1.5（米），BN＝BC•cos37°≈2.5×＝2（米），在Rt△CNF中，∠NCF＝45°，∴△CNF是等腰直角三角形，∴NF＝CN＝1.5（米），∴BF＝BN+NF＝3.5（米），在Rt△ABE中，∠AEB＝53°，∴∠ABE＝37°，∴tan∠ABE＝tan37°＝≈，设AE＝3x米，则AB＝4x米，AF＝AB+BF＝（4x+3.5）米，AD＝AE+DE＝（3x+4.5）米，在Rt△ADF中，∠ADC＝45°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴AF＝AD，即4x+3.5＝3x+4.5，解得：x＝1，∴AB＝4x＝4（米）．答：匾额悬挂的高度AB的长约为4米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．27．（12分）如图，在矩形中，CE⊥BD，AB＝8，BC＝6，P为BD上一个动点，以P为圆心，PB长半径作⊙P，⊙P交CE、BD、BC交于F、G、H（任意两点不重合）．（1）半径BP的长度范围为＜BP＜5；（2）如图1，连接BF并延长交CD于K，若tan∠KFC＝3，求BP；（3）如图2，连接GH，将劣弧HG沿HG翻折交BD于点M，试探究是否为定值，若是，求出该值，若不是，请说明理由．【分析】（1）当点G和点E重合，当点G和点D重合两种临界状态下分别求出BP的值，因为任意两点不重合，所以BP在两者之间，即可得出BP范围；（2）∠KFC和∠BFE是对顶角，得到tan∠BFE＝3，得出EF的值，再根据△BEF∽△FEG，求出EG的值，进而可求出BP的值；（3）设出圆的半径，利用三角函数表示出PO，GO的值，用面积法求出P'Q，在△P'GQ中，由勾股定理得出MQ的值，进而可求出PM的值，即可得出答案．【解答】解：（1）当G点与E点重合时，BG＝BE，∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，BC＝6，∴BD＝＝＝10，∵CE⊥BD，∴BC•CD＝BD•CE，∴CE＝，在△BEC中，由勾股定理得：BE＝＝＝，∴BP＝BE＝，当点G和点D重合时，∵△BCD是直角三角形，∴BP＝DP＝CP，∴BP＝5，∵F、G、H（任意两点不重合），∴＜BP＜5，故答案为：＜BP＜5；（2）连接FG，∵∠KFC＝∠BFE，tan∠KFC＝3，∴tan∠BFE＝3，∴＝3，∴EF＝，∵BG是圆的直径，∴∠BFG＝90°，∴∠GFE+∠BFE＝90°，∵CE⊥BD，∴∠FEG＝∠FEB＝90°，∴∠GFE+∠FGE＝90°，∴∠BFE＝∠FGE，∴△BEF∽△FEG，∴，即EG＝＝，∴BG＝EG+BE＝4，∴BP＝2；（3）为定值，过P'作P'Q⊥BD，连接P'G、P'M、P'P交GH于点O，设BP＝5x＝PG＝P'G＝P'M，则PO＝P'O＝3x，GO＝4x，∴P'Q•PG＝GO•PP'，∴P'Q＝x，∴MQ＝GQ＝＝x，∴MG＝x，∴PM＝PG﹣MG＝x，∴．【点评】本题是圆的综合题，主要考查了动圆问题，矩形的性质，面积法的应用，三角函数，形似三角形的判定和性质等知识，熟练利用数形结合思想是解题的关键．28．（12分）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，点E在边BC上，且AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交线段AE于点F，连接BF．（1）求证：△ABF≌△EAD；（2）如图2．若AB＝8，CD＝5，∠ECF＝∠AED，求BE的长；（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，则的值为1+．【分析】（1）先证AB＝AE，DE＝DC，再证四边形ADCF是平行四边形，得出AF＝CD，进而得出AF＝DE，再由平行线性质得∠AED＝∠BAF，进而证得结论；（2）证△EAD∽△CFE，得＝＝，再由平行四边形的性质得AD＝CF，AF＝CD，则＝＝，得CF＝2，CE＝，然后证△ABE∽△DEC，求得答案；（3）延长BM、ED交于点G，先证△ABE∽△DCE，得＝＝，设CE＝1，BE＝x，DC＝DE＝a，则AB＝AE＝ax，AF＝CD＝a，可得EF＝AE﹣AF＝ax﹣a＝a（x﹣1），再证△ABF∽△EGF，列方程求解即可．【解答】（1）证明：如图1，∵AE∥CD，∴∠AEB＝∠BCD，∵∠ABC＝∠BCD，∴∠ABC＝∠AEB，∴AB＝AE，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠ABC，∠AED＝∠BAF，∵∠ABC＝∠BCD，∴∠DEC＝∠BCD，∴DE＝DC，∵CF∥AD，AE∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AF＝CD，∴AF＝DE，在△ABF和△EAD中，，∴△ABF≌△EAD（SAS）；（2）方法一：∵CF∥AD，∴∠EAD＝∠CFE，∵∠ECF＝∠AED，∴△EAD∽△CFE，∴＝＝，由（1）知：四边形ADCF是平行四边形，∴AD＝CF，AF＝CD，∵AB＝8，CD＝5，∴AE＝8，DE＝5，∴EF＝AE﹣AF＝8﹣5＝3，∴＝＝，解得：CF＝2，CE＝，∵∠ABC＝∠BCD＝∠AEB＝∠DEC，∴△ABE∽△DEC，∴＝，即＝，解得：BE＝2；方法二：由（1）知△ABF≌△EAD，∴∠ABF＝∠EAD，∵∠EAD＝∠CFE，∴∠ABF＝∠CFE，∵∠ABC＝∠AEB，∠ABC＝∠ABF+∠EBF，∠AEB＝∠CFE+∠ECF，∴∠EBF＝∠ECF，∵∠BAE＝∠AED＝∠ECF，∴∠EBF＝∠BAE，∵∠BEF＝∠AEB，∴△BEF∽△AEB，∴＝，即＝，解得：BE＝2；（3）如图3，延长BM、ED交于点G，∵△ABE，△DCE均为等腰三角形，且∠ABC＝∠DCE，∴△ABE∽△DCE，∴＝＝，设EC＝1，BE＝x，DC＝DE＝a，则AB＝AE＝ax，AF＝CD＝a，∴EF＝AE﹣AF＝ax﹣a＝a（x﹣1），∵AB∥DG，∴∠ABG＝∠G∵AD的中点M，∴AM＝DM，∵∠AMB＝∠DMG，∴△AMB≌△DMG（AAS），∴DG＝AB＝ax，∴EG＝DG+DE＝ax+a＝a（x+1），∵AB∥DG（即AB∥EG），∴△ABF∽△EGF，∴＝，即＝，整理得：x2﹣2x﹣1＝0，解得：x＝1+或x＝1﹣（舍去），∴＝x＝1+，故答案为：1+．【点评】本题是四边形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形判定和性质和相似三角形的判定和性质，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．。
江苏省无锡市2012-2013学年九年级数学上学期期中考试试题 北师大版
某某省某某市2012-2013学年九年级数学上学期期中考试试题北师大版亲爱的同学，这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获．老师一直投给你信任的目光．请认真审题，看清要求，仔细答题，祝你考出好成绩．一、慧眼选一选：（每题3分，共30分）1．下列式子中，是最简二次根式的是……………………………………（）。
（A（B（D2．下列方程中是关于x的一元二次方程的是…………………………（）A．221xx+=B．20ax bx c++=C．(1)(2)1x x-+= D.223250x xy y--=3．下列函数中，自变量x的取值X围是x＞12的函数是……………（）A.2-=xy B.12-=xy C.21-=xyD.121-=xy4．某型号的手机连续两次降价，由原来的1185元降到了580元，设平均每次降价的百分率是x，则下列方程正确的是……………………………………（）A．21185(1)580x-= B．21185(1)580x+=C．2580(1)1185x-= D．2580(1)1185x+=5．已知两圆的半径是方程x2-7x+12=0两实数根，圆心距为8，那么这两个圆的位置关系是………………………………………………………………………（）6．一组数据为2、3、5、7、3、4，对于这组数据，下列说法错误的是（）A．平均数是4 B．极差是5 C．众数是3 D．中位数是67．如图，当半径为30cm 的转动轮转过1200角时，传送带上的物体A 平移的距离为（ ） A. 20лcmB. 60лcm C. 300лcmD. 900лcm8．已知O 为圆锥的顶点，M 为底面圆周上一点，点P 在OM 上，一只蚂蚁从点P 出发绕圆锥侧面爬行回到点P 时所经过的最短路径的痕迹如图2,若沿OM 将圆锥侧面剪开并展平，所得侧面展开图是………………………………………………（ ）9．若m 、n 是一元二次方程2x 5x 20--=的两个实数根，则m n mn +-的值是（ ）A ．－7B ．7C ．3D ． －3 10．Rt △ABC 中，∠ABC ＝90，∠C ＝60，BC ＝2，D 是AC 的中点，从D 作DE ⊥AC 与CB 的延长线交于点E ，以AB 、BE 为邻边作矩形ABEF ，连结DF ，则DF 的长是（ ） A ．43B ．33C ．23D ．4二、细心填一填：（每空2分，共18分） 11．一组数据：－2，5，8，13，7的极差是.12． 已知x ＜2，化简：442+-x x = ．13．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OBC ＝35°，则∠A 的度数等于 ． 14．已知x=1是方程022=-+bx x 的一个根，则方程的另一个根是．15．在一次聚会中，每两个参加聚会的人都相互握了一次手，一共握了15次手，则参加本次聚会的共有 人．16．如图为长方形时钟钟面示意图，时钟的中心在长方形对角线的交点上，长方形的宽为(12)ABCEFD20厘米，钟面数字2在长方形的顶点处，则长方形的长为_________厘米。
天一初三数学期中试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列选项中，不是实数的是（）A. √9B. -3C. πD. 0.252. 已知a、b是方程2x^2 - 5x + 3 = 0的两个根，则a+b的值是（）A. 2B. 3C. 5D. 73. 若a=3，b=2，则下列代数式中值为1的是（）A. a^2 - b^2B. a^2 + b^2C. abD. a^2 - 2ab4. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. 矩形B. 正方形C. 等腰三角形D. 平行四边形5. 已知二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图像开口向上，且顶点坐标为（1，-2），则下列选项中正确的是（）A. a<0，b>0B. a>0，b<0C. a<0，b<0D. a>0，b>06. 下列函数中，定义域为全体实数的是（）A. y=√xB. y=|x|C. y=x^2D. y=1/x7. 已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图像经过点（1，2）和（-1，-2），则k和b 的值分别是（）A. k=1，b=1B. k=-1，b=1C. k=1，b=-1D. k=-1，b=-18. 下列方程中，无解的是（）A. 2x + 3 = 5B. 3x - 2 = 1C. 4x + 5 = 0D. 2x + 3 = -59. 下列图形中，面积最大的是（）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰梯形10. 已知等腰三角形的底边长为4，腰长为6，则该三角形的面积是（）A. 6B. 8C. 12D. 24二、填空题（每题5分，共50分）1. 已知a、b是方程x^2 - 4x + 3 = 0的两个根，则a+b的值是______。
2. 若a=√2，b=√3，则a^2 - b^2的值是______。
3. 下列函数中，值域为[0，+∞）的是______。
4. 下列图形中，对角线互相垂直的是______。
无锡市天一实验学校九级上册数学期中试题目
初三年级第一学期期中试卷数学学科一、选择题。
（每题3分）1、二次函数322--=x x y 图象与x 轴交点之间的距离为 （ ） A 、3 B 、4 C 、2 D 、1 2、抛物线y=x 2-(m+2)x+3(m-1)与x 轴 （ ）A.一定有两个交点； B ．只有一个交点； C ．有两个或一个交点; D ．没有交点 3、下列四个命题正确的是： （ ）①与圆有公共点的直线是切线；②垂直于圆的半径的直线是切线；③到圆心的距离等于半径的直线是切线；④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是切线 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 4、函数xk y =和函数)1(2-=x k y 在同一坐标系里的大致图象 （ ） 5、如图，⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围（ ）A ．3≤OM ≤5B ．4≤OM ≤5C ．3＜OM ＜5D ．4＜OM ＜5（第5题图） （第6题图） （第8题图）6、如图，点A 、B 、C 、D 为圆O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O-C-D-O 的路线作匀速运动.设运动时间为t 秒, ∠APB 的度数为y 度，则下列图象中表示y 与t 之间函数关系最恰当的是 ( ).ACD7、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象过点A （1，2），B （3，2），C （5，7）．若点M （-2，y 1），N （-1，y 2），K （8，y 3）也在二次函数c bx ax y ++=2的图象上，则下列 结论正确的是 （ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 2＜y 1＜y 3 C ．y 3＜y 1＜y 2 D ．y 1＜y 3＜y 28、如图(甲)，水平地面上有一面积为30π cm 2的灰色扇形OAB ，其中OA 的长度为6cm ，且与地面垂直.若在没有滑动的情况下，将图(甲)的扇形向右滚动至OB 垂直地面为止，如图(乙)所示，则O 点移动的距离为 （ ） A. 20cm B. 24cm C. 10π cm D.30π cm二、填空题。
无锡市天一实验学校九年级上期中数学试题及答案
无锡市天一实验学校秋学期初三数学期中试卷出卷人：刘 审卷人：张玲一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把答案直接写在答卷上相应的位置处．．．．．．．．．) 1．下列函数关系中，y 是x 的二次函数的是 ………………………………… ( ▲ ) A ．y = 2x + 3 B ．y =1+x C ．y = x 2 − 1 D ．y = 1x 2 + 12．如图，已知⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，点E 是︵AD 上任意一点，则∠BEC 的度数为…………………………………………………………………………………… ( ▲ ) A ．30° B. 45° C. 60° D. 90°3．二次函数y = −3x 2 − 6x + 5的图象的顶点坐标是 …………………………… ( ▲ )A ．(−1，8)B ．(1，8)C ．(−1，2)D ．(1，−4)4．已知圆锥的底面半径为6cm ，高为8cm ，则这个圆锥的母线长为 ……… ( ▲ ) A ．12cm B ．10cm C ．8cm D ．6cm5．把抛物线y = −x 2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 …………………………………………………………………………… ( ▲ ) A ．y = −(x − 1)2 − 3 B ．y = −(x + 1)2 − 3 C ．y = −(x − 1)2 + 3 D ．y = −(x + 1)2 + 36．如图，两个同心圆的半径分别为4cm 和5cm ，大圆的一条弦AB 与小圆相切，则弦AB 的长为 ………………………………………………………………………… ( ▲ ) A ．3cm B ．4cm C ．6cm D ．8cm第2题图 第6题图 第9题图7．已知点A 在半径为r 的⊙O 内，点A 与点O 的距离为6，则r 的取值范围是 ( ▲ ) A ．r > 6 B ．r ≥ 6 C ．r < 6 D ．r ≤ 6 8．已知二次函数y = −x 2 − 2x + k 的图象经过点A (1，y 1)，B (2-，y 2)，C (−2，y 3)，则下列结论正确的是 ……………………………………………………………… ( ▲ )A ．y 1 < y 2 < y 3B ．y 2 < y 1 < y 3C ．y 3 < y 1 < y 2D ．y 1 < y 3 < y 29．已知二次函数y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0)的图象如图所示，在下列五个结论中：①2a − b < 0；②abc < 0；③a + b + c < 0；④a − b + c > 0；⑤4a + 2b + c > 0．其ED ABC OA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，在△ABC 中，AB = 10，AC = 8，BC = 6，经过点C 且与AB 相切的动圆与CB 、CA 分别相交于点E 、 F ，则线段EF 长度的最小值是 …………… ( ▲ )A ．24B ．4.75C ．4.8D ． 5第10题图二、填空题(本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，只需把答案直接写在答卷上相应的位置处．．．．．．．．．) 11．如图，AB 是半圆的直径，点C 、D 是半圆上两点，∠ABC = 50°，则∠ADC = ▲ ． 12．抛物线y = −2x 2 + 8bx + 1的对称轴是直线x = −2，则抛物线的解析式为 ▲ ． 13．已知扇形的半径为3 cm ，圆心角为120°，则此扇形的的弧长是 ▲ cm(结果保留π)． 14．抛物线y = 2x 2 + 8x + m 与x 轴只有一个公共点，则m 的值为 ▲ ．15．如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，⊙O 为△ABC 的内切圆，点D是斜边AB 的中点，则tan ∠ODA 等于 ▲ ．第11题图 第15题图 第17题图16．已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线y = −12x 2 + 1上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为 ▲ ．17．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 、EF 是⊙O 的弦，且AB // CD // EF ，AB = 10，CD =6，EF = 8．则图中阴影部分的面积为 ▲ ．18．已知二次函数y = −x 2 + 2|x |+ 1．如果方程−x 2 + 2|x |+ 1 = k 恰有两个不相等的实数根，那么k 须满足的条件是 ▲ ．三、解答题(本大题共10小题，共84分．请在答卷指定区域内作答．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19．(本题满分6分)如图，已知⊙O 的半径为R ．(1)请用无刻度的直尺、圆规作出已知圆的内接正△ABC (只需保留作图痕迹)(2)试求正△ABC 的周长． CAB EF AB OCDEFO第19题图20．(本题满分8分)如图，已知二次函数y = ax 2 − 4x + c 的图象经过点A 和点B ． (1)求该二次函数的表达式；(2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；(3)若点P (m ，m )在该函数图象上，求m 的值．第20题图21．(本题满分7分)如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，延长BC 至点D ，使DC =CB ．延长DA 与⊙O 的另一个交点为E ，连结AC ，CE ．(1)求证：∠B =∠D ；(2)若⊙O 的半径为2，AC = 2，求CE 的长．第21题图22．(本题满分6分)如图，已知AB 是⊙O 的弦，OB = 2，∠B = 30°，点C 是弦AB 上任意一点(不与点A 、B 重合)，连接CO 并延长CO 交⊙O 于点D ，连接AD ． (1)求弦AB 的长；(2)当∠D = 20°时，求∠BOD 的度数．ACDEO第22题图23．(本题满分8分)如图，已知抛物y = x 2 + bx + c 与x 轴交于点A 、B ，AB = 2，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x = 2． (1)求抛物线的函数表述式；(2)设P 为对称轴上一动点，求△APC 周长的最小值；第23题图24．(本题满分8分)如图，AB 是⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，D 为⊙O 上的一点，CD = CB ，延长CD 交BA 的延长线于点E ．(1)求证：CD 为⊙O 的切线；(2)若OF ⊥BD 于点F ，且OF = 1，∠ABD = 30°，求图中阴影部分的面积．(结果保留π)第24题图25．(本题满分9分)某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q 量化考核司机的工作业绩．OABCD素)，W 由两部分的和组成：一部分与x 的平方成正比，另一部分与x 的n 倍成正比．试行中得到了表中的数据． (1)用含x 和n 的式子表示Q ；(2)若n = 3，要使Q 最大，确定x 的值； (3)设n = 2，x = 40，能否在n 增加m % (m > 0)同时x 减少m %的情况下，而Q 的值仍为420，若能，求出m 的值；若不能，请说明理由．26．(本题满分10分)已知抛物线的顶点为(0，4)且与x 轴交于(−2，0)，(2，0)．(1)直接写出抛物线解析式；(2)如图，将抛物线向右平移k 个单位，设平移后抛物线的顶点为D ，与x 轴的交点为A 、B ，与原抛物线的交点为P ．①当直线OD 与以AB 为直径的圆相切于点E 时，求此时k 的值；②是否存在这样的k 的值，使得点O 、P 、D 三点恰好在同一直线上？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．xyPE D CBAOxyP DBAO第26题图 备用图27．(本题满分12分)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为2的正方形，二次函数y = ax 2 + bx + c 的图象经过点A ，B ，与x 轴分别交于点E ，F ，且点E 的坐标(32，0)，以OC 为直径作半圆，圆心为D ． (1)求二次函数的解析式；(2)求证：直线BE 是⊙D 的切线；(3)若直线BE 与抛物线的对称轴交点为P ，M 是线段CB 上的一个动点(点M 与点B ，C 不重合），过点M 作MN // BE 交x 轴于点N ，连结PM ，PN ，设CM 的长为t ，△PMN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．问S 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．第27题图 备用图28．(本题满分10分)在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB = 90°，P 是OA 延长线上一点，过线段OP 的中点H 作OP 的垂线交弧AB 于点C ，射线PC 交弧AB 于点D ，联结OD ．(1)如图，当︵AC = ︵CD 时，求弦CD 的长；(2)如图，当点C 在︵AD 上时，设P A = x ，CD = y ，求y 与x 的函数关系式，并写出x的取值范围；第28题图 备用图AO BAO BDCH P无锡市天一实验学校秋学期初三数学期中考试参考答案题号 12345678910答案CBABDCADBC11． 130° 12． y = −2x 2 − 8x + 113． 2π 14． 8 15． 2 16． (6 ，−2) 17． 12.5π 18． k = 2或k < 1三、解答题(本大题共10小题，共84分) 19．(本题满分6分) (1)如图，△ABC 就是所求作的三角形． ………………3分OABCOABCD在Rt △OCD 中，∠ODC = 90°，∠OCD = 30°，则CD = OC ·cos30° = 23R ， ∴BC = 2CD =3R ，∴△ABC 的周长 = 33R ． ………………3分20．(本题满分8分)(1)将A (−1，−1)，B (3，−9)代入，得： ⎩⎨⎧-=+--=++912914c a c a ，∴a = 1，c = −6， ∴y = x 2 − 4x − 6 ………………3分(2)对称轴：直线x = 2顶点坐标：(2，−10) ………………2分(3)∵点P (m ，m )在函数图象上， ∴m 2 − 4m − 6 = m∴m = 6或−1． ………………3分21．(本题满分7分)（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB =90°， ∴AC ⊥BC , ∵DC =CB ∴AD =AB ，∴∠B =∠D ． ………………3分 （2）设BC =x ，则AC =x －2．在Rt △ABC 中，AC 2+BC 2=AB 2， ∴（x －2）2+x 2=4，解得71,7121-=+=x x （舍去）， ∵∠B =∠E ，∠B =∠D ， ∴∠D =∠E ， ∴CD =CE ， ∵CD =CB∴CE =CB =1+7． ………………4分22．(本题满分6分)ABCDEO(1)过点O作OE⊥AB于E，则AE=BE=AB，∠OEB=90°，∵OB=2，∠B=30°，∴BE=OB•cos∠B=2×=，∴AB=2；………………3分（2）连接OA，∵OA=OB，OA=OD，∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D，又∵∠B=30°，∠D=20°，∴∠DAB=50°，∴∠BOD=2∠DAB=100°；…………3分23．(本题满分8分)解：（1）∵AB=2，对称轴为直线x=2∴ A点的坐标为（1,0），B点的坐标为（3,0）∵抛物y=x2+bx+c与x轴交于点A、B∴1,3是方程x2+bx+c=0的两个根.由根与系数的关系，得1+3=－b，1×3=c∴b=－4，c=3∴抛物线的函数表达式为y=x2－4x+3………………4分（2）连接AC，BC，BC交对称轴于点P，连接P A.由（1）知抛物线的函数表达式为y=x2－4x+3，点A、B的坐标分别为（1,0），（3,0）∴点C的坐标为（0,3）.∴ BC=223+1=10.3+3=32，AC=22∵点A、B关于对称轴x=2对称，∴P A=PB∴P A+PC=PB+PC此时，PB+PC=BC∴当P点在对称轴上运动时，P A+PC的最小值等于BC∴△APC周长的最小值=AC+AP+PC=32+10………………4分24．(本题满分8分)(1) 证明: 连接OD∵BC是⊙O的切线∴∠ABC = 90°∵CD = CB∴∠CBD =∠CDB∵OB = OD∴∠OBD = ∠ODB( 2) 在Rt △OBF 中,∵∠ABD = 30°，OF = 1, ∴∠BOF = 60º，OB = 2, BF = 3 ∵OF ⊥ BD ∴BD = 2BF = 2⨯3=6, ∠BOD = 2∠BOF = 120° ∴S 阴 = S 扇 形 BOD - S △ BOD162136021202⨯⨯-⨯=π3-34π= ………………4分25．(本题满分9分)解：（1）设W=k 1x 2+k 2nx ，∴Q= k 1x 2+k 2nx+100.由表中数据，得212212420=40240100,10060140100.k k k k ⎧+⨯+⎪⎨=+⨯+⎪⎩ 解得121= ,106.k k ⎧-⎪⎨⎪=⎩ ∴Q=110-x 2+6nx+100. ………………3分（2）当n=3时，Q=110-x 2+18x+100.由n=﹣110＜0可知，要使Q 最大，x=181210-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=90. …………3分(3)由题意，得420=110-[40（1-m%）]2+6×2(1+m%)×40（1-m%）+100.即2(m%)2﹣m%=0，解得m%=12，或m%=0（舍去）.∴m=50. …………3分26．(本题满分10分)xyPE D CBAOxyPDCB AO解：（1）设所求抛物线解析式为y =ax 2+c ，把点（0，4）、（2，0）分别代入y =ax 2+c ，得y =-x 2+4. ………………2分(2)①连接CE ，CD ， ∵OD 是⊙C 的切线， ∴CE ⊥OD ，在Rt △CDE 中，∠CED ＝90°，CE=AC =2，DC =4，∴∠ EDC ＝30°， ∴在Rt △CDO 中，∠ OCD ＝90°，CD =4，∠ ODC ＝30°，∴OC =334，∴当直线OD 与以AB 为直径的圆相切于E 时， k = OC =334；………………4分②设平移k 个单位后的抛物线的解析式是y = －（x －k ）2+4，它与y =－x 2+4交于点P ，可得点P 的坐标是（2k ，442+-k ）．设直线OD 的解析式是y=ax ，把D （k ，4）代入，得y=k4x ，若点P （2k ，442+-k ）在直线y=k 4x 上，则24442kk k •=+-x .解得k=22±（舍去负值）．∴当k =22时，点O 、P 、D 三点恰好在同一直线上． ………………4分27．(本题满分12分)（1）由题意，得A (0，2)，x ＝－2b a ＝1，E (－23，0)，∴2,1,2420,93c ba abc ⎧⎪=⎪⎪-=⎨⎪⎪-+=⎪⎩解得9,89,42,a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩∴二次函数的解析式为y ＝－98x 2+94x +2. ………………3分（2）过点D 作DG ⊥BE 于点G .由题意，得ED ＝23+1＝53，EC ＝2+23＝83，BC ＝2，∴BE ＝6449+＝103.∵∠BEC ＝∠DEG ，∠EGD ＝∠ECB ＝90°，∴△EGD ∽△ECB .∴DG BC ＝DE BE ，即2DG＝53103，∴DG ＝1.∵⊙D 半径为1，且DG ⊥BE ，∴BE 是⊙O 的切线，G 为切点. ………………4分（3）由题意，得E (－23，0)，B (2，2)，设直线BE 的解析式为y ＝kx +b ，∴22,20,3k b k b +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩解得3,41.2k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线BE 的解析式为y ＝34x +12.∵直线BE 与对称轴交于点P ，对称轴为直线x ＝1，∴y ＝54，∴点P 的坐标为(1，54).∵MN ∥BE ，∴∠MNC ＝∠BEC .∵∠MCN ＝∠BCE ＝90°，∴△MNC ∽△BEC .∴CNEC＝MC BC ，即83CN ＝2t ，∴CN ＝43t ，∴DN ＝43t －1∴S △PND ＝12DN ·PD ＝12·(43t －1)·54＝56t －58，S △MNC ＝12CN ·CM ＝12·43t ·t ＝23t 2，S 梯形PDCM ＝12 (PD +CM )·CD ＝12 (54+t )·1＝58+12t .∵S ＝S △PND + S 梯形PDCM －S △MNC∴S ＝－23t 2+43t (0＜t ＜2)，∴S 存在最大值，当t ＝1时，S 最大＝23. …………5分28．(本题满分10分)AO BAO BDCH P………………4分………………6分。
江苏省无锡市天一实验中学九年级数学6月月考试题 苏教版
江苏省无锡市天一实验中学2012届九年级数学6月月考试题 苏教版注意事项： 1．本卷满分130分．考试时间为120分钟．2．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其余各题均应给出精确结果．一、选择题（本大题共l0小题．每小题3分．共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）1.在下列二次根式中，与2是同类二次根式的是 （ ▲ ） A ．4 B ．6 C ．12 D ．182．下列运算正确的是 （ ▲ ）A ．222()a b a b -=- B ．236()a a -=- C ．22()()2a b a b ab +=-+ D ．33a ·2626a a =3.下列图形中，是中心对称图形的个数有 （ ▲ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．下图是由四个小正方体叠成的一个立体图形，那么它的左视图是 （ ▲ ）5．已知两圆内切，它们的半径分别为3和6，则这两圆的圆心距d 的取值满足 （ ▲ ） A ．9d > B ． 9d = C ． 39d << D ．3d =6．如图，△ABC 的三个顶点都在正方形网格的格点上，则tan ∠A 的值 （ ▲ ） A ． 6 5 B ． 5 6 C ． 210 3 D ． 310 207. 若2x －y x ＋y ＝23，则x y 的值为 （ ▲ ）A ． 54B ．1C ．45D ．658. 若二次函数2()1y x m =--．当x ≤ 3时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是A ．m = 3B ．m >3C ．m ≥ 3 D．m ≤ 3 （ ▲ ） 9．如图a 是长方形纸带，︒=∠20DEF ，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的CFE ∠的度数是 （ ▲ ） A ．110° B ．120° C ．140°D ．150°yxO ABCD10. 如图，边长为1的正方形OABC 的顶点A 在x 正半轴上，点C 在y 正半轴上，将正方形OABC 绕顶点O 顺时针旋转75°，使点B 恰好落 在函数)0(2<=a ax y 的图像上，则a 的值为（ ▲ ）A ．2-B ．1-C ．423-D ． 32- 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共l6分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置处） 11．分解因式：2327a -= ▲ ． 12．函数xy -=11中自变量x 的取值范围是 ▲ ．13．我国因环境污染造成的巨大经济损失每年高达680000000元，这个数用科学记数法表示为▲ 元．14．已知点A （x 1，y 1）、B （x 1―3，y 2）在直线y ＝―2x ＋3上，则y 1 ▲ y 2 （用“＞”、“＜”或“＝”填空）．15．如图，在直角坐标系中，⊙P 的圆心是P （a ，2）（a>0），半径为2；直线y=x 被⊙P 截得的弦长为23，则a 的值是 ▲ . 16.如图，点A 在双曲线x y 3=上，点B 在双曲线xy 5=上，且AB∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为平行四边形，则它的面积为 ▲(第15题图) (第16题图)(第17题图)17. 正方形MNPQ 的边长为1，正方形ABCD 的边长为2，点M 与点A 重合，点N 在线段AB 上， 点P 在正方形内部，正方形MNPQ 沿正方形ABCD 的边按A →B →C →D →A …的方向滚动，始终保持M,N,P,Q 四点在正方形内部或边界上，直至正方形MNPQ 回到初始位置为止，则点P 经过的最短路程为 ▲ .PN)A M Q18. 如图所示，圆圈内分别标有1，2，…，12，这12个数字， 电子跳蚤每跳一步，可以从一个圆圈逆时针跳到相邻的圆圈， 若电子跳蚤所在圆圈的数字为n ，则电子跳蚤连续跳（2-3n ） 步作为一次跳跃，例如：电子跳蚤从标有数字1的圆圈需跳12-13=⨯步到标有数字2的圆圈内，完成一次跳跃，第二次 则要连续跳42-23=⨯步到达标有数字6的圆圈，…依此规律，若电子跳蚤从①开始，第2012次电子跳蚤能跳到的圆圈内所标的 数字为 ▲ ．三、解答题（本大题共10小题．共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．(本题满分8分)计算： （1）201()(32)2sin 6032---+︒--；（2）当21x =-时，求：22(1)(1)1x x x -+÷++的值． 20．（本题满分8分）（1）解方程：32121---=-xxx ； （2）解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x －32＋3≥x ，1－3(x －1)＜8－x.21．(本题满分6分) 如图，直线AG 过平行四边形ABCD 的边BC 的中点E ，交对角线BD 于点F ，交DC 的延长线于G ．（1）请找出图中的一对全等三角形，并给予证明； （2）若△BEF 的面积为6，求△ADF 的面积．22．(本题满分8分) 在不透明的口袋中，有四只形状、大小完全相同的小球，四只小球上分别标有数字1，2，3，4. 小明先从盒子里随机取出一只小球(不放回)，记下数字作为平面直角坐标系内点的横坐标；再由小华随机取出一只小球，记下数字作为平面直角坐标系内点的纵坐标.（1）用列表法或画树状图，表示所有这些点的坐标；（2）小刚为小明、小华两人设计了一个游戏：当上述（1）中的点在直线y =2x-1上方时，小明获胜，否则小华获胜. 你认为这个游戏公平吗？请说明理由．11121098765432123. (本题满分6分) 某校组织初三学生电脑技能竞赛，每班参加比赛的学生人数相同，竞赛成绩分为A 、B 、C 、D 四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分．将初三(1)班和(2)班的成绩整理并绘制成统计图如下．（1） 此次竞赛中（2）班成绩在C 级以上（包括C 级）的人数为 ▲ ； （2）请你将表格补充完整：（3）试运用所学的统计知识，从二个不同角度评价初三（1）班和初三（2）班的成绩．24．(本题满分9分)如图，在某海域内有三个港口A 、D 、C ．港口C 在港口A 北偏东60°方向上，港口D 在港口A 北偏西60°方向上．一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东30°的方向驶离A 港口3小时后到达B 点位置处，测得港口C 在B 处的南偏东75°方向上，此时发现船舱漏水，应立即向最近的港口停靠。
江苏省无锡市天一实验学校九年级(上)期中数学试卷
2015-2016学年江苏省无锡市天一实验学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把答案直接写在答卷上相应的位置处）1．（3分）（2015•巴中模拟）下列各式中，y是x的二次函数的是（）A．B．y=2x+1 C．y=x2+x﹣2 D．y2=x2+3x2．（3分）（2015•湘西州）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA=3cm，则点A与圆O的位置关系为（）A．点A在圆上B．点A在圆内C．点A在圆外D．无法确定3．（3分）（2015•沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（）A．B． C．D．4．（3分）（2015•杭州模拟）已知圆锥的底面的半径为3cm，高为4cm，则它的侧面积为（）A．15πcm2B．16πcm2C．19πcm2D．24πcm25．（3分）（2015•永春县校级质检）把二次函数y=x2﹣4x+5化成y=a（x﹣h）2+k（a≠0）的形式，结果正确的是（）A．y=（x﹣2）2+5 B．y=（x﹣2）2+1 C．y=（x﹣2）2+9 D．y=（x﹣1）2+16．（3分）（2015•鄄城县三模）如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应54°，则∠BCD的度数为（）A．27°B．54°C．63°D．36°7．（3分）（2015•黑龙江）如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP ≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°8．（3分）（2015秋•无锡校级期中）若二次函数y=x2﹣6x+c的图象经过A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C （3+，y3）三点，则关于y1、y2、y3大小关系正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y29．（3分）（2015秋•无锡校级期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1．且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．（3分）（2013•江阴市模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（6，0）、B（0，6），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q 为切点，则切线长PQ的最小值为（）A．B．3 C．3D．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共18分．不需写出解答过程，只需把答案直接写在答卷上相应的位置处）11．（2分）（2015•泰州）圆心角为120°，半径长为6cm的扇形面积是______cm2．12．（2分）（2015秋•无锡校级期中）已知函数是关于x的二次函数，则m的值为______．13．（2分）（2015秋•无锡校级期中）在同圆中，若，则AB______2CD（填＞，＜，=）．14．（2分）（2015秋•无锡校级期中）若函数y=，则当函数值y=10时，自变量x=______．15．（2分）（2015•盐城）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，以点A为圆心，AB长为半径画圆弧交边DC于点E，则的长度为______．16．（2分）（2015•南通）关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1=0的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a的取值范围是______．17．（2分）（2015•德州一模）一个包装盒的设计方法如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm．若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取的值为______cm．18．（2分）（2015秋•无锡校级期中）如图1所示的纸杯，经测量（接缝处忽略不计），纸杯的杯口直径为10cm，底面直径为7.5cm，母线长为10cm，该纸杯的侧面展开如图2所示．（1）纸杯的侧面展开图2中杯口所在圆的半径OA的长为______cm；（2）若一只小虫从纸杯底面的点C出发，沿纸杯侧面爬行一周（如图3）回到点A，则小虫爬行的最短路程为______cm．（精确到1cm）三、解答题（本大题共10小题，共82分．请在答卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（6分）（2015秋•无锡校级期中）我们都知道“三角形的三条高（或高所在直线）交于同一点”，如图，AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺画出AB边上的高．20．（8分）（2015秋•无锡校级期中）（1）抛物线y=kx2+（2k+1）x+2图象与x轴的两个交点为______，______（2）若（1）中两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，试求出该二次函数的表达式；（3）已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，直接写出定点的坐标．21．（6分）（2014•温州一模）如图，已知AB为⊙O的直径，过⊙O上的点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC于点D且交⊙O于点F，连接BC，CF，AC．（1）求证：BC=CF；（2）若AD=6，DE=8，求BE的长．22．（8分）（2015秋•无锡校级期中）如图，我们可以用“三角形面积等于水平宽（a）与铅垂高（h）乘积的一半”的方法来计算三角形面积．已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0）、B（5，0）两点，交y轴于点C（0，5）（1）求抛物线的解析式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点M的坐标；（3）求△BCM的面积．23．（8分）（2015秋•无锡校级期中）如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1，动点A在圆O的上半圆上运动（包含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形ABC，（1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求阴影部分的面积（图1）（2）设∠AOB=α，当线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）时，求α的范围（图2）24．（9分）（2015秋•无锡校级期中）如图，矩形ABCD中，AB=，AD=3，将△ADC绕点A顺时针旋转α角（0°≤α≤90°）得到△AD′C′，且AC′与BC交于E．（1）当α=15°时，求证：AB=BE；（2）求旋转过程中边DC扫过的面积．25．（9分）（2015•武汉模拟）某公司准备投资开发A、B两种新产品，信息部通过市场调研得到两条信信息一：如果投资A种产品，所获利润y A（万元）与投资金额x（万元）之间满足正比例函数关系：y=kx；信息二：如果投资B种产品，所获利润y B（万元）与投资金额x（万元）之间满足二次函数关系：y B=ax2+bx．根据公司信息部报告，y A、y B（万元）与投资金额x（万元）的部分对应值如上表所示：（1）填空：y A=______；y B=______；（2）如果公司准备投资15万元同时开发A、B两种新产品，设公司所获得的总利润为W（万元），B 种产品的投资金额为x（万元），试求出W与x之间的函数关系式；（3）请你设计一个在（2）中公司能获得最大总利润的投资方案．26．（8分）（2015秋•无锡校级期中）设a、b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．（1）一次函数y=﹣x+7是闭区间[3，4]上的“闭函数”吗？请判断，并说明理由；（2）若二次函数y=x2﹣4x﹣1是闭区间[a，b]上的“闭函数”，a＜2＜b，求实数a，b的值．27．（10分）（2011•河北）如图1至图4中，两平行线AB、CD间的距离均为6，点M为AB上一定点．思考如图1，圆心为0的半圆形纸片在AB，CD之间（包括AB，CD），其直径MN在AB上，MN=8，点P 为半圆上一点，设∠MOP=α．当α=______度时，点P到CD的距离最小，最小值为______．探究一在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO=______度，此时点N到CD的距离是______．探究二将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转．（1）如图3，当α=60°时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值；（2）如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围．（参考数椐：sin49°=，cos41°=，tan37°=．）28．（10分）（2015秋•江东区期末）如图，抛物线C1：y=﹣（x+m）2+m2（m＞0）的顶点为A，抛物线C2：y=﹣（x﹣n）2+n2（n＞m）的顶点为B，抛物线C2的对称轴与抛物线C1相交于点C，抛物线C1的对称轴与抛物线C2相交于点D．（1）请你用含有m、n的代数式表示线段AD、BC的长度；（2）若抛物线C1是y=﹣（x+1）2+1，OM=3，求抛物线C2的解析式和的值；（3）若在抛物线C1上存在点N，使得△AND∽△BMC，求m、n所满足的关系．2015-2016学年江苏省无锡市天一实验学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把答案直接写在答卷上相应的位置处）1．（3分）（2015•巴中模拟）下列各式中，y是x的二次函数的是（）A．B．y=2x+1 C．y=x2+x﹣2 D．y2=x2+3x【分析】利用二次函数定义就可以解答．【解答】解：A、，分母中含有自变量，不是二次函数，错误；B、y=2x+1，是一次函数，错误；C、y=x2+x﹣2，是二次函数，正确；D、y2=x2+3x，不是函数关系式，错误．故选C．【点评】本题考查二次函数的定义．2．（3分）（2015•湘西州）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA=3cm，则点A与圆O的位置关系为（）A．点A在圆上B．点A在圆内C．点A在圆外D．无法确定【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为3cm，即点A到圆心O的距离小于圆的半径，∴点A在⊙O内．故选B．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．3．（3分）（2015•沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（）A．B． C．D．【分析】根据二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，即可解答．【解答】解：二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，故选：D．【点评】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明二次函数的顶点坐标．4．（3分）（2015•杭州模拟）已知圆锥的底面的半径为3cm，高为4cm，则它的侧面积为（）A．15πcm2B．16πcm2C．19πcm2D．24πcm2【分析】先利用勾股定理计算出母线长PA，然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，利用扇形的面积公式计算即可．【解答】解：如图，OA=3cm，高PO=4cm，在Rt△PAO中，PA===5，∴圆锥的侧面积=•2π•3×5=15π（cm2）．故选A．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式以及勾股定理．5．（3分）（2015•永春县校级质检）把二次函数y=x2﹣4x+5化成y=a（x﹣h）2+k（a≠0）的形式，结果正确的是（）A．y=（x﹣2）2+5 B．y=（x﹣2）2+1 C．y=（x﹣2）2+9 D．y=（x﹣1）2+1【分析】加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：y=x2﹣4x+5=x2﹣4x+4﹣4+5=（x﹣2）2+1，即y=（x﹣2）2+1．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．6．（3分）（2015•鄄城县三模）如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应54°，则∠BCD的度数为（）A．27°B．54°C．63°D．36°【分析】先根据圆周角定理得到∠ACD=∠AOD=27°，然后利用互余求解．【解答】解：∵一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，∴点A、B、C、D都在以AB为直径的圆上，∵点D对应54°，即∠AOD=54°，∴∠ACD=AOD=27°，∴∠BCD=90°﹣∠ACD=63°．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了圆周角定理．7．（3分）（2015•黑龙江）如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP ≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°【分析】作OD⊥AB，如图，利用垂线段最短得OD=1，则根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OAB=30°，根据三角形内角和定理可计算出∠AOB=120°，则可根据圆周角定理得到∠AEB=∠AOB=60°，根据圆内接四边形的性质得∠F=120°，所以弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．【解答】解：作OD⊥AB，如图，∵点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，∴OD=1，∴∠OAB=30°，∴∠AOB=120°，∴∠AEB=∠AOB=60°，∵∠E+∠F=180°，∴∠F=120°，即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．故选C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．8．（3分）（2015秋•无锡校级期中）若二次函数y=x2﹣6x+c的图象经过A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C （3+，y3）三点，则关于y1、y2、y3大小关系正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=3，图象开口向上；利用y随x的增大而减小，可判断y2＜y1，根据二次函数图象的对称性可判断y3＞y2；于是y1＞y3＞y2．【解答】解：根据二次函数图象的对称性可知，C（3+，y3）中，|3+﹣3|＞|3﹣2|=1，A（﹣1，y1），B（2，y2）在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，因为﹣1＜1＜2，于是y1＞y3＞y2．【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．9．（3分）（2015秋•无锡校级期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1．且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点判定系数符号，及运用一些特殊点解答问题．【解答】解：由抛物线的开口向下可得：a＜0，根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b＜0，根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，∴abc＞0，故①正确；直线x=﹣1是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以﹣=﹣1，可得b=2a，a﹣2b+4c=a﹣4a+2=﹣3a+2，∵a＜0，∴﹣3a＞0，∴﹣3a+2＞0，即a﹣2b+4c＞0，故②错误；∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1．且过点（，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣，0），当x=﹣时，y=0，即a（﹣）2﹣b+c=0，整理得：25a﹣10b+4c=0，故③正确；∵b=2a，a+b+c＜0，∴b+b+c＜0，即3b+2c＜0，故④错误；∵x=﹣1时，函数值最大，∴a﹣b+c＞m2a﹣mb+c（m≠1），∴a﹣b＞m（am﹣b），所以⑤正确；正确答案为：①③⑤三个．故选C．【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．10．（3分）（2013•江阴市模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（6，0）、B（0，6），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q 为切点，则切线长PQ的最小值为（）A．B．3 C．3D．【分析】连接OP．根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短．【解答】解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；又∵A（﹣6，0）、B（0，6），∴OA=OB=6，∴AB=6∴OP=AB=3，∵OQ=2，∴PQ==，故选：D．【点评】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关问题．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共18分．不需写出解答过程，只需把答案直接写在答卷上相应的位置处）11．（2分）（2015•泰州）圆心角为120°，半径长为6cm的扇形面积是12πcm2．【分析】将所给数据直接代入扇形面积公式S扇形=进行计算即可得出答案．【解答】解：由题意得，n=120°，R=6cm，故=12π．故答案为12π．【点评】此题考查了扇形面积的计算，属于基础题，解答本题的关键是熟记扇形的面积公式及公式中字母所表示的含义，难度一般．12．（2分）（2015秋•无锡校级期中）已知函数是关于x的二次函数，则m的值为﹣1．【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可．【解答】解：根据题意得：，解得：m=﹣1．故答案是：﹣1．【点评】本题考查二次函数的定义，注意到m﹣1≠0是关键．13．（2分）（2015秋•无锡校级期中）在同圆中，若，则AB＜2CD（填＞，＜，=）．【分析】首先找出的中点E，连接AE、BE，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等可得AE=EB=CD，再根据三角形的三边关系可得AE+EB＞AB，进而可得AB＜2CD．【解答】解：找出的中点E，连接AE、BE，∵的中点E，∴==，∵，∴==，∴AE=EB=CD，∵AE+EB＞AB，∴AB＜2CD，故答案为：＜．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，以及圆心角、弧、弦的关系，关键是掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．14．（2分）（2015秋•无锡校级期中）若函数y=，则当函数值y=10时，自变量x=﹣2或5．【分析】因为不确定x的范围，所以解答本题只需将y值代入两个方程即可．【解答】解：①当x≤2时，x2+2=10，解得：x=﹣2；②当x＞2时，2x=10，解得：x=5．故答案为：﹣2或5．【点评】本题考查函数值的知识，比较简单，解答本题的关键是讨论x的范围，避免漏解．15．（2分）（2015•盐城）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，以点A为圆心，AB长为半径画圆弧交边DC于点E，则的长度为．【分析】连接AE，根据直角三角形的性质求出∠DEA的度数，根据平行线的性质求出∠EAB的度数，根据弧长公式求出的长度．【解答】解：连接AE，在Rt三角形ADE中，AE=4，AD=2，∴∠DEA=30°，∵AB∥CD，∴∠EAB=∠DEA=30°，∴的长度为：=，故答案为：．【点评】本题考查的是弧长的计算和直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半和弧长公式是解题的关键．16．（2分）（2015•南通）关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1=0的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a的取值范围是＜a＜﹣2．【分析】首先根据根的情况利用根的判别式解得a的取值范围，然后根据根两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），结合函数图象确定其函数值的取值范围得a，易得a的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1=0的两个不相等的实数根∴△=（﹣3）2﹣4×a×（﹣1）＞0，解得：a＞设f（x）=ax2﹣3x﹣1，如图，∵实数根都在﹣1和0之间，∴﹣1，∴a，且有f（﹣1）＜0，f（0）＜0，即f（﹣1）=a×（﹣1）2﹣3×（﹣1）﹣1＜0，f（0）=﹣1＜0，解得：a＜﹣2，∴＜a＜﹣2，故答案为：＜a＜﹣2．【点评】本题主要考查了一元二次方程根的情况的判别及抛物线与x轴的交点，数形结合确定当x=0和当x=﹣1时函数值的取值范围是解答此题的关键．17．（2分）（2015•德州一模）一个包装盒的设计方法如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm．若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取的值为15cm．【分析】可设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），写出a，h与x的关系式，并注明x的取值范围．再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积S关于x的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可；【解答】解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则a=x，h=（30﹣x），0＜x＜30．S=4ah=8x（30﹣x）=﹣8（x﹣15）2+1800，∴当x=15cm时，S取最大值．故答案为：15．【点评】考查函二次函数的最值、等腰直角三角形及正方形的性质，同时还考查了考查运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力．属于基础题．18．（2分）（2015秋•无锡校级期中）如图1所示的纸杯，经测量（接缝处忽略不计），纸杯的杯口直径为10cm，底面直径为7.5cm，母线长为10cm，该纸杯的侧面展开如图2所示．（1）纸杯的侧面展开图2中杯口所在圆的半径OA的长为40cm；（2）若一只小虫从纸杯底面的点C出发，沿纸杯侧面爬行一周（如图3）回到点A，则小虫爬行的最短路程为28cm．（精确到1cm）【分析】（1）设∠O的度数是n，根据弧长公式得出10π=，7.5π=，求出OA和n即可；（2）沿CA剪开，得出扇形AOA′，连接CA′，则CA′的长度是小虫爬行的最短路程，过C作CE⊥OA′于E，求出CE和OE，求出A′E，根据勾股定理求出CA′即可；【解答】解：（1）设∠O的度数是n，则10π=，7.5π=，解得：OA=40cm，n=45°；（2）在图2中，沿CA剪开，得出扇形AOA′，连接CA′，则CA′的长度是小虫爬行的最短路程，过C作CE⊥OA′于E，在Rt△COE中，OC=30，∠O=45°，∴CE=15，OE=15，∴A′E=40﹣15，在Rt△CEA′中，CA′=≈28cm．故答案为：40，28．【点评】本题考查了平面展开﹣最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，含45度角的直角三角形等知识点的综合运用，画出平面展开图是解答此题的关键．三、解答题（本大题共10小题，共82分．请在答卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（6分）（2015秋•无锡校级期中）我们都知道“三角形的三条高（或高所在直线）交于同一点”，如图，AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺画出AB边上的高．【分析】对于图1，AC、BC交圆于F、E，连结AE、BF，它们相交于P点，然后连结CP并延长交AB 于D，根据圆周角定理得到AE⊥BC，BF⊥AC，所以点P为高的交点，则CD为AB边上的高；对于图2，分别延长AC、BC交圆于E、F点，再延长AF和BE交于点Q，则延长QC交AB于D，则CD 为AB边上的高．【解答】解：如图1，CD为所作；如图2，CD为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．20．（8分）（2015秋•无锡校级期中）（1）抛物线y=kx2+（2k+1）x+2图象与x轴的两个交点为，﹣2（2）若（1）中两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，试求出该二次函数的表达式；（3）已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，直接写出定点的坐标．【分析】（1）令抛物线解析式的值为0，根据解一元二次方程的方法，求出x的值即可；（2）根据交点的横坐标为整数，且k为正整数，即可求出k的值，即可求出二次函数的表达式；（3）抛物线的解析式中c的值是个定值，故与y轴的交点以及与x轴交点是确定的，直接写出定点即可．【解答】解：（1）令y=0，得：kx2+（2k+1）x+2=0，解得：x1=﹣2，，故答案为：，﹣2；（2）∵两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，∴k=1，∴二次函数的解析式为：y=x2+3x+2；（3）抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，则定点为（0，2），（﹣2，0）．【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解决此题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法．21．（6分）（2014•温州一模）如图，已知AB为⊙O的直径，过⊙O上的点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC于点D且交⊙O于点F，连接BC，CF，AC．（1）求证：BC=CF；（2）若AD=6，DE=8，求BE的长．【分析】（1）根据切线的性质首先得出CO⊥ED，再利用平行线的判定得出CO∥AD，进而利用圆周角、圆心角定理得出BC=CF；（2）首先求出△EOC∽△EAD，进而得出r的长，即可求出BE的长．【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵ED切⊙O于点C，∴CO⊥ED，∵AD⊥EC，∴CO∥AD，∴∠OCA=∠CAD，∵∠OCA=∠OAC，∴∠OAC=∠CAD，∴=，∴BC=CF；（2）解：在Rt△ADE中，∵AD=6，DE=8，根据勾股定理得AE=10，∵CO∥AD，∴△EOC∽△EAD，∴=，设⊙O的半径为r，∴OE=10﹣r，=，∴r=，∴BE=10﹣2r=．【点评】此题主要考查了切线的性质定理和圆周角及弧的关系、相似三角形的判定与性质等知识，得出=，是解题关键．22．（8分）（2015秋•无锡校级期中）如图，我们可以用“三角形面积等于水平宽（a）与铅垂高（h）乘积的一半”的方法来计算三角形面积．已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0）、B（5，0）两点，交y轴于点C（0，5）（1）求抛物线的解析式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点M的坐标；（3）求△BCM的面积．【分析】（1）利用A，B，C点坐标结合交点式，求出二次函数解析式即可；（2）利用配方法求出二次函数对称轴和顶点坐标即可；（3）利用△BCM的面积=S四边形COBM﹣S△COB=S四边形CODM+S△MDB﹣S△COB，进而得出答案．【解答】解：（1）将A，B点代入二次函数解析式可得：y=a（x+1）（x﹣5），再将C（0，5）代入函数解析式得：5=﹣5a，解得：a=﹣1．故二次函数解析式为：y=﹣（x+1）（x﹣5）=﹣x2+4x+5；（2）∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，∴该抛物线的对称轴为：直线x=2，顶点M的坐标为；（2，9）；（3）如图所示：过点M作MD⊥x轴于点D，△BCM的面积=S四边形COBM﹣S△COB=S四边形CODM+S△MDB﹣S△COB=（5+9）×2+×9×3﹣×5×5=15．【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及三角形面积求法和配方法求二次函数顶点坐标，正确分割图形求出其面积是解题关键．23．（8分）（2015秋•无锡校级期中）如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1，动点A在圆O的上半圆上运动（包含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形ABC，（1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求阴影部分的面积（图1）（2）设∠AOB=α，当线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）时，求α的范围（图2）【分析】（1）连结OA，如图1，由切线的性质得OA⊥BA，而OQ=BQ=1，于是根据直角三角形斜边上的中线性质得到AQ=OQ=BQ=1，所以△OAQ为等边三角形，得到∠AOQ=60°，然后根据扇形面积公式，利用S阴影部分=S扇形AOQ﹣S△AOQ进行计算；（2）如图2，当点A在Q点时，易α=0°，当点A为切点，由（1）得α=60°，于是可判断线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）时，0≤α≤60°．【解答】解：（1）连结OA，如图1，∵线段AB所在的直线与圆O相切，∴OA⊥BA，∵OQ=BQ=1，∴AQ=OQ=BQ=1，∴△OAQ为等边三角形，∴∠AOQ=60°，∴S阴影部分=S扇形AOQ﹣S△AOQ=﹣×12=π﹣；（2）如图2，当点A在Q点时，α=0°，当点A为线段AB的所在的直线与⊙O相切时切点，由（1）得α=60°，所以当线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）时，0≤α≤60°．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了扇形的面积公式．24．（9分）（2015秋•无锡校级期中）如图，矩形ABCD中，AB=，AD=3，将△ADC绕点A顺时针旋转α角（0°≤α≤90°）得到△AD′C′，且AC′与BC交于E．（1）当α=15°时，求证：AB=BE；（2）求旋转过程中边DC扫过的面积．【分析】（1）由于AB=，AD=3，可得∠CAB=60°，结论显然；（2）画出图形，旋转过程中边DC扫过的面积就是两个扇形面积之差，这两个扇形面积都是四分之一圆的面积，且半径分别为AC、AD．【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，AB=，AD=3，∴tan∠CAB===，∴∠CAB=60°，∵∠CAC'=15°，∴∠EAB=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB=BE；（2）如图2，设旋转过程中边DC扫过的面积为S，∵AB=，AD=3，∴AC=2，∴=，=3π，∴S=S扇形ADD'﹣S扇形ACC'=．【点评】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、特殊角的三角函数、等腰直角三角形的判定性质、扇形面积计算等知识点，难度适中．注意旋转变换的“不变”特征，即旋转前后对应的线段和角度是不变的．25．（9分）（2015•武汉模拟）某公司准备投资开发A、B两种新产品，信息部通过市场调研得到两条信信息一：如果投资A种产品，所获利润y A（万元）与投资金额x（万元）之间满足正比例函数关系：y=kx；信息二：如果投资B种产品，所获利润y B（万元）与投资金额x（万元）之间满足二次函数关系：y B=ax2+bx．根据公司信息部报告，y A、y B（万元）与投资金额x（万元）的部分对应值如上表所示：（1）填空：y A=0.6x；y B=﹣0.2x2+2.6x；（2）如果公司准备投资15万元同时开发A、B两种新产品，设公司所获得的总利润为W（万元），B 种产品的投资金额为x（万元），试求出W与x之间的函数关系式；（3）请你设计一个在（2）中公司能获得最大总利润的投资方案．【分析】（1）由待定系数法将（1，0.6）代入正比例函数解析式y A=kx，将（1，2.4），（2，4.4）代入二次函数关系y B=ax2+bx，求出其解即可；（2）根据总利润=两种产品的利润之和就可以求出解析式；（3）将（2）的解析式化为顶点式即可．【解答】解：（1）由题意，得k=0.6，，解得：k=0.6，，∴y A=0.6x，y B=﹣0.2x2+2.6x；故答案为：0.6x，﹣0.2x2+2.6x。
江苏无锡天一实验学校 中考模拟数学试卷含答案 (3)
第9题图 第8题图无锡市天一实验学校初三三模数学试卷（ .5）一、选择题：（本大题共10小题，每题3分，共30分．）1、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ▲ ） A ．正三角形 B ．平行四边形 C ．矩形 D ．等腰梯形2、计算32)2(b a -的结果是 （ ▲ ）A ．366b a - B ．b a 28- C ．362b a - D ．368b a - 3、若a b 3a b 7+=-=，，则22a b -的值为 （ ▲ ） A ．－21 B ．21 C ．-10 D ．1042 （ ▲ ） A 4 B 6 C ．12 D ．185、已知直角三角形ABC 的一条直角边AB=4cm ，另一条直角边BC=3 cm ，则以AB 为轴旋转一周，所得到的圆锥的侧面积是 （ ▲ ）A ．230cm πB ．215cm πC ．212cm πD ．220cm π6、在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有15名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同。
其中的一名学生想要知道自己能否进入前8名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生成绩的 （ ▲ ）.A ．众数B ．方差C ．平均数D ．中位数7、 若二次函数2()1y x m =--．当x ≤ 3时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是A ．m = 3B ．m >3C ．m ≥ 3D ．m ≤ 3 （ ▲ ）8、如图1所示，将一个正四棱锥（底面为正方形，四条侧棱相等）的其中四条边剪开，得到图2，则被剪开的四条边有可能是（ ▲ ）A ．PA ，PB ，AD ，BC B ．PD ，DC ，BC ，AB C ．PA ，AD ，PC ，BC D ．PA ，PB ，PC ，AD9、如图，在直角坐标系中放置一个边长为2的正方形ABCD ，将正方形ABCD 沿x 轴的正方向无滑动的在x 轴上滚动，当点A 第三次回到x 轴上时，点A 运动的路线与x 轴围成的图形的面积和为（ ▲ ）A ．ππ+2B ．22+πC ．ππ323+D ．66+π10．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =2，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动．在运动过程中，点B 到原点的最大距离是( ▲ ) A ．6 B ．2 6 C ．2 5 D ．22＋2第15题第18题 第17题二、填空（本大题共8小题，每题2分，共16分） 11、函数xy -=11中自变量x 的取值范围是 ▲ ．12、我国因环境污染造成的巨大经济损失每年高达680000000元，这个数用科学记数法表示为 ▲ 元．13、已知点A （x 1，y 1）、B （x 1―3，y 2）在直线y ＝―2x ＋3上，则y 1 ▲ y 2 （用“＞”、“＜”或“＝”填空）14、若关于x 的二次方程032=+++a ax x 有两个相等的实数根，则实数a = ▲ 15、如图，点A 在双曲线x y 3=上，点B 在双曲线xy 5=上，且AB∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为平行四边形，则它的面积为 ▲16、如图，方格纸中有三个格点A 、B 、C ，则点A 到BC 的距离为＝ ▲ ．17、如图，正方形ABCD 的边长为1，中心为点O ，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ 绕点O 可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD 内（包括正方形的边），当这个六边形的边长最大时，AE 的最小值为_ _▲__18、如图所示，圆圈内分别标有1，2，…，12，这12个数字，电子跳蚤每跳一步，可以从一个圆圈逆时针跳到相邻的圆圈，若电子跳蚤所在圆圈的数字为n ，则电子跳蚤连续跳（3n-2）步作为一次跳跃，例如：电子跳蚤从标有数字1的圆圈需跳12-13=⨯步到标有数字2的圆圈内，完成一次跳跃，第二次则要连续跳42-23=⨯步到达标有数字6的圆圈，…依此规律，若电子跳蚤从①开始，第 次电子跳蚤能跳到的圆圈内所标的数字为___▲__三、解答题（本大题共10小题，共84分） 19、（每小题5分，共10分）①解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+<≥+325,5)5.1(2m m m ，并将解集在数轴上表示出来 .②先化简，再求代数式的值:a a a a a -÷⎪⎭⎫⎝⎛+--+112122，其中13-=a .20、（本题满分6分）如图，线段AB 绕点O 顺时针旋转一定的角度得到线段A 1B 1． （1）请用直尺和圆规作出旋转中心O （不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接OA 、OA 1、OB 、OB 1，如果∠AO A 1＝∠BOB 1＝α；OA ＝OA 1＝a ；OB ＝OB 1＝b ．则线段AB 扫过的面积是 ▲ ． 111210987654321B21、（本题满分6分）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．求证：AB=CD22、（本题满分8分）在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物．为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查中，一共调查了▲名同学；（2）条形统计图中，m=▲，n=▲；（3）扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是▲度；（4）学校计划购买课外读物5000册，请根据样本数据，估计学校购买其他类读物多少册比较合理？23、（本题满分7分）现有4根小木棒，长度分别为：2、3、3、5（单位：cm），从中任意取出3根，请用画树状图或例举法求它们能首尾顺次相接搭成三角形的概率．24、(本题满分8分)如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=8米，AE=10米．（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．）25、(本题满分9分)某景区门票价格80元/人，为吸引游客，对门票价格进行动态管理，非节假日打a折，节假日期间，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超过10人的部分打b折，设游客为x人，门票费用为y元，非节假日门票费用y1（元）及节假日门票费用y2（元）与游客x（人）之间的函数关系如图所示．（1）a=___▲____，b=___▲_____（2）直接写出y1、y2与x之间的函数关系式；（3）导游小王4月15日（非节假日）带A旅游团，5月1日带B旅游团到该景区旅游，两团共计50人，两次共付门票费用3040元，求A、B两个旅游团各多少人？26．(本题满分10分)已知点O是四边形ABCD内一点，AB=BC，OD=OC，∠ABC=∠DOC=α．（1）如图1，α=60°，探究线段AD与OB的数量关系，并加以证明；（2）如图2，α=120°，探究线段AD与OB的数量关系，并说明理由；（3）结合上面的活动经验探究，请直接写出如图3中线段AD与OB的数量关系为▲（直接写出答案）27．(本题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，定义直线y=ax+b为抛物线y=ax2+bx的特征直线，C（a，b）为其特征点．设抛物线y=ax2+bx与其特征直线交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）当点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（1，3）时，特征点C的坐标为___▲___；（2）若抛物线y=ax2+bx如图所示，请在所给图中标出点A、点B的位置；（3）设抛物线y=ax 2+bx 的对称轴与x 轴交于点D ，其特征直线交y 轴于点E ，点F 的坐标为（1，0），DE ∥CF ．①若特征点C 为直线y=-4x 上一点，求点D 及点C 的坐标； ②若21＜tan ∠ODE ＜2，则b 的取值范围是___▲___．28、(本题满分10分)如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线6+-=x y 交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，点C 、B 关于原点对称，点P 在射线AB 上运动，连结CP 与y 轴交于点D ，连结BD ．过P 、D 、B 三点作⊙Q 与y 轴的另一个交点为E ，延长DQ 交⊙Q 于点F ，连结EF ，BF ． （1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）当点P 在线段AB （不包括A ，B 两点）上时．求证：DE=EF ；（3）请你探究：点P 在运动过程中，是否存在以B ，D ，F 为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P 的坐标：如果不存在，请说明理由．无锡市天一实验学校初三适应性考试数学答案及评分标准一、选择题：（本大题共10小题，每题3分，共30分．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CDADBDCADD二、填空（本大题共8小题，每题2分，共16分）11、x<1 12、6.8810⨯ 13、 < 14、6或-215、2 16、55917、21-2 18、10 三、解答题（本大题共10小题，共84分）19、m ≥1 (1分) m<2 (1分)∴1≤m<2 (1分) 数轴表示 （2分）②先化简，再求代数式的值:a a a aa -÷⎪⎭⎫⎝⎛+--+112122，其中13-=a . 化简得，原式=a+13（3分）， 当13-=a 时，原式=3 （2分）20、（本题满分6分） ⑴作图 4分 （2）)(36022a b -∂π （2分） 21、（本题满分6分） 略 22、（本题满分8分） （1）200 (2分) （2）m=40，n=60；（2分） （3）72度；(2分) （4）750本 (2分) 23、（本题满分7分） 树状图 (4分) P(搭成三角形)=21（3分） 24、(本题满分8分) （1）BH=4 (4分)（2）CD=14-63≈3.6 （4分） 25、(本题满分9分) （1）a=6，b=8 (2分) （2）y 1=48xy 2=80x (0≤x ≤10)y =64x+160(x>10) (3分)（3）设A团有n人，B团有(50-n)人若50-n>10 则48n+64(50-n)=160=3040n=20 （2分）若50-n≤10 则48n+80(50-n)=3040n=30（不合题意，舍去）（2分）答：A团有20人，B团有30人26．(本题满分10分)解：（1）AD=OB，（1分）如图1，连接AC，∵AB=BC，OD=OC，∠ABC=∠DOC=60°，∴△ABC与△COD是等边三角形，∴∠ACB=∠DCO=60°，∴∠ACD=∠BCO，在△ACD与△BCO中，，∴△ACD≌△BCO，∴AD=OB；(3分)（2）AD=OB；（1分）如图2，连接AC，过B作BF⊥AC于F，∵AB=BC，OD=OC，∠ABC=∠DOC=120°，∴∠ACB=∠DCO=30°，∴∠ACD=∠BCO，∴△ACD∽△BCO，∴，∵∠CFB=90°，∴=2sin60°=，∴AD=OB；（3分）（3）如图3，连接AC ，过B 作BF ⊥AC 于F ， ∵AB=BC ，OD=OC ，∠ABC=∠DOC=α， ∴∠ACB=∠DCO=，∴∠ACD=∠BCO ， ∴△ACD ∽△BCO ， ∴，∵∠CFB=90°， ∴=2sin，∴AD=2sinOB ． （2分）27．(本题满分10分) （1）（3,0） （2分）（2） 图 （每点1分）A(1，a+b) B (ab -,0) （3）① C 在直线y=-4x 上，所以b=-4a 抛物线为y=a ax 42-对称轴为x=2， 所以D （2,0）∵E(0，-4a) C(a,-4a) ∴CE ∥DF 又∵DE ∥CF 所以CEDF 为平行四边形，CE=DF=1 ∴a=-1 C(-1,4) (4分)②21-≤b<0 或485<<b （2分）28、(本题满分10分) 解：∴A （0，6），B （6，0）∴C （-6，0）， (3分) （2）①由已知得：OB=OC ，∠BOD=∠COD=90°， 又∵OD=OD ，∴△BDO ≌△CDO ，∴∠BDO=∠CDO ， ∵∠CDO=∠ADP ，∴∠BDE=∠ADP ，如图1，连结PE ，∴∠ADB=∠PDE ∵∠DEP=∠ABD ， ∴△DEP 相似于△ADB ∴ ∠DPE=∠OAB ， ∵OA=OB=6，∠AOB=90°，∴∠OAB=45°， ∴∠DPE=45°，∴∠DFE=∠DPE=45°，∵DF 是⊙Q 的直径，∴∠DEF=90°，∴△DEF 是等腰直角三角形， ∴DE=EF 。
天一初三数学期中考试卷
考试时间：120分钟满分：100分一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列各数中，不是有理数的是（）A. 3.14B. -5C. √4D. π2. 已知方程 2x - 5 = 3，解得 x = （）A. 4B. 2C. 1D. 03. 若 |a| = 5，那么 a 的值可能是（）A. 5B. -5C. 0D. ±54. 在直角坐标系中，点 A（-2，3）关于原点的对称点是（）A. （2，-3）B. （-2，-3）C. （-2，3）D. （2，3）5. 若 a、b 是方程x² - 4x + 3 = 0 的两个根，则 a + b 的值为（）A. 1B. 3C. 4D. 7二、填空题（每题4分，共20分）6. 若 x = 2 是方程 2x - 3 = 0 的解，则 x 的值为______。
7. 5a² - 10a + 5 可以分解为______。
8. 若∠A = 30°，则 sinA 的值为______。
9. 圆的半径为 5，则其直径为______。
10. 若 a、b、c 成等差数列，且 a + b + c = 12，则 b 的值为______。
三、解答题（共60分）11. （12分）解下列方程组：\[\begin{cases}3x + 2y = 8 \\4x - y = 2\end{cases}\]12. （12分）已知 a、b 是方程x² - 4x + 3 = 0 的两个根，求a² + b² 的值。
13. （12分）在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，求 sinC 的值。
14. （12分）已知等腰三角形底边长为 8，腰长为 10，求该三角形的面积。
15. （12分）已知 a、b、c 是等差数列，且 a + b + c = 12，求a² + b² + c² 的值。
16. （12分）已知函数f(x) = x² - 2x + 1，求函数的最小值。
2023-2024学年江苏省无锡市惠山区天一实验学校九年级(上)期中数学试卷(含解析)
2023-2024学年江苏省无锡市惠山区天一实验学校九年级（上）期中数学试卷一.选择题（共10小题，每小题3分，共计30分） 1．（3分）下列方程中是一元二次方程是（ ） A ．1x 2+x =2 B ．2x +6＝7C ．x 2+y 2＝5D ．3x 2﹣5x +2＝02．（3分）已知3a ＝2b （a ≠0，b ≠0），下列变形错误的是（ ） A ．ab=23B ．b a=23C ．b a=32D ．a 2=b33．（3分）若一元二次方程x 2﹣4x +3＝0的两个根是x 1，x 2，则x 1•x 2的值是（ ） A ．3B ．﹣3C ．﹣4D ．44．（3分）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则tan A 的值是（ ）A ．35B ．34C ．53D ．435．（3分）某网络学习平台2020年的新注册用户数为100万，2022年的新注册用户数为178万，设新注册用户数的年平均增长率为x （x ＞0），根据题意所列方程正确的是（ ） A ．100x 2＝178 B ．100（1+x ）2＝178C ．100（1﹣x ）2＝178D ．100（1+2x ）＝1786．（3分）下列说法正确的是（ ） A ．等弧所对的圆心角相等 B ．相等的弦所对的弧相等 C ．过三点一定可以确定一个圆 D ．垂直于半径的直线是圆的切线7．（3分）如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O ，另一边所在直线与半圆相交于点D 、E ，量出半径OC ＝5cm ，弦DE ＝8cm ，则直尺的宽度为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm8．（3分）如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，∠C ＝45°，过点A 作AB 的垂线交BC 于点D ，DE 平分∠ADB 交AB 于点E ．若DE ＝4，则AC 的长为（ ）A ．3B ．4C ．2√3D ．3√29．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC 外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（ ）A ．52π−74B ．52π−72C ．54π−74D ．54π−7210．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，OA ＝OB ＝3√5，点C 为平面内一动点，BC =32，连接AC ，点M 是线段AC 上的一点，且满足CM ：MA ＝1：2．当线段OM 取最大值时，点M 的坐标是（ ）A ．（35，65）B ．（35√5，65√5）C ．（65，125） D ．（65√5，125√5）二.填空题（共8小题，每小题3分共计24分）11．（3分）在比例尺为像1：1000000的地图上，相距75cm 的两地A 、B 的实际距离为 km ． 12．（3分）已知圆锥的底面半径是1cm ，母线长为3cm ，则该圆锥的侧面积为 cm 2．13．（3分）如图，点P 把线段AB 的黄金分割点，且AP ＜BP ．如果AB ＝2，那么BP ＝ （结果保留小数）．14．（3分）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 在⊙O 上，若∠ABC ＝70°，则∠D 的度数为 °．15．（3分）如图，过原点O 的直线与反比例函数y 1=k 1x （x ＞0）和y 2=k2x （x ＞0）的图象分别交于点A 1，A 2，若OA 1OA 2=32，则k 1k 2= ．16．（3分）小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．则该城堡的外围直径为 里．17．（3分）若实数x ，y ，m 满足x +y +m ＝6，3x ﹣y +m ＝4，则代数式﹣2xy +1的最大值为 ． 18．（3分）如图，DE 平分等边△ABC 的面积，折叠△BDE 得到△FDE ，AC 分别与DF ，EF 相交于G ，H 两点．若DG ＝m ，EH ＝n ，用含m ，n 的式子表示GH 的长是 ．三.解答题（共10小题，共计96分） 19．（8分）解方程： （1）x 2﹣4x ﹣5＝0； （2）x 2﹣4x ﹣2＝0． 20．（8分）计算：（1）√8−4sin45°+(13)0； （2）2cos60°+|1−√2|+(12)−1．21．（8分）如图，△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且AD CD=CD BD．（1）求证：△ACD ∽△CBD ； （2）求∠ACB 的大小．22．（10分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+k ＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根．第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A （0，4）、B （4，4）、C （6，2）． （1）经过A 、B 、C 三点的圆弧所在圆的圆心M 的坐标为 ； （2）这个圆的半径为 ；（3）直接判断点D （5，﹣2）与⊙M 的位置关系．点D （5，﹣2）在⊙M （填内、外、上）； （4）在方格中，连接AB ，AC ，BC ，将△ABC 以原点O 为位似中心，缩小为原来的12，请画出缩小后的图形△A 1B 1C 1．24．（10分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，E 在⊙O 上，∠CAB ＝2∠EAB ，点F 在线段AB 的延长线上，且∠AFE ＝∠ABC ．（1）求证：EF 与⊙O 相切；（2）若BF ＝1，sin ∠AFE =45，求BC 的长．25．（10分）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： （1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC落在x轴上，点B的坐标为（﹣1，0），AB ＝3，BC＝6，边AD与y轴交于点E．（1）直接写出点A、C、D的坐标；（2）在x轴上取点F（3，0），直线y＝kx+b（k≠0）经过点E，与x轴交于点M，连接EF．①当∠MEF＝15°时，求直线y＝kx+b（k≠0）的函数表达式；②当以线段EM为直径的圆与矩形ABCD的边所在直线相切时，求点M的坐标．27．（12分）如图，正方形ABCD中，点B关于直线的CD对称点为E，F为AD边上一动点，EF交CD 于G，CF交BG于H．（1）当F为AD中点时，求证CG＝2DG；（2）若线段DF满足DF2＝DG•DC．①求证：CF＝BG；②求FDAD的值．28．（12分）【学习心得】（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆⊙A，则C，D两点必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，∠BDC是⊙A的圆周角，则∠BDC＝°．【初步运用】（2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝24°，求∠BAC的度数；【方法迁移】（3）如图3，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB＝30°（不写作法，保留作图痕迹）；【问题拓展】（4）①如图4①，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝m，M为边CD上的点．若满足∠AMB＝45°的点M 恰好有两个，则m的取值范围为．②如图4②，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝6，CD＝2，求AD的长．2023-2024学年江苏省无锡市惠山区天一实验学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（共10小题，每小题3分，共计30分） 1．（3分）下列方程中是一元二次方程是（ ） A ．1x 2+x =2 B ．2x +6＝7C ．x 2+y 2＝5D ．3x 2﹣5x +2＝0【分析】本题根据一元二次方程的定义解答． 一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【解答】解：A 、不是整式方程，故错误． B 、是一元一次方程，故错误； C 、方程含有两个未知数，故错误； D 、符合一元二次方程的定义，正确； 故选：D ．2．（3分）已知3a ＝2b （a ≠0，b ≠0），下列变形错误的是（ ） A ．ab=23B ．b a=23C ．b a=32D ．a 2=b3【分析】根据比例的性质进行变形，再判断即可． 【解答】解：A 、∵3a ＝2b ，∴两边都除以3b 得：ab=23，故本选项不符合题意；B 、∵3a ＝2b ，∴两边都除以2a 得：ba=32，故本选项符合题意；C 、3a ＝2b ，∴两边都除以2a 得：ba=32，故本选项不符合题意；D 、∵3a ＝2b ，∴两边都除以6得：a2=b3，故本选项不符合题意；故选：B ．3．（3分）若一元二次方程x 2﹣4x +3＝0的两个根是x 1，x 2，则x 1•x 2的值是（ ） A ．3B ．﹣3C ．﹣4D ．4【分析】直接根据根与系数的关系求解．【解答】解：∵一元二次方程x 2﹣4x +3＝0的两个根是x 1，x 2， ∴x 1•x 2＝3． 故选：A ．4．（3分）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则tan A 的值是（ ）A ．35B ．34C ．53D ．43【分析】根据锐角三角函数的定义得出tan A =BCAC ，再代入求出答案即可． 【解答】解：∵AC ＝3，BC ＝4，∠C ＝90°， ∴tan A =BC AC =43， 故选：D ．5．（3分）某网络学习平台2020年的新注册用户数为100万，2022年的新注册用户数为178万，设新注册用户数的年平均增长率为x （x ＞0），根据题意所列方程正确的是（ ） A ．100x 2＝178 B ．100（1+x ）2＝178C ．100（1﹣x ）2＝178D ．100（1+2x ）＝178【分析】根据2022年的新注册用户数为178万列方程即可得到答案； 【解答】解：由题意可得，100（1+x ）2＝178， 故选：B ．6．（3分）下列说法正确的是（ ） A ．等弧所对的圆心角相等B．相等的弦所对的弧相等C．过三点一定可以确定一个圆D．垂直于半径的直线是圆的切线【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对A选项、B选项进行判断；根据确定圆的条件对C选项进行判断；根据切线的判定定理对D选项进行判断．【解答】解：A．等弧所对的圆心角相等，所以A选项符合题意；B．在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，所以B选项不符合题意；C．过不共线的三点一定可以确定一个圆，所以C选项不符合题意；D．过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，所以D选项不符合题意．故选：A．7．（3分）如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，则直尺的宽度为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】过点O作OF⊥DE，垂足为F，由垂径定理可得出EF的长，再由勾股定理即可得出OF的长【解答】解：过点O作OF⊥DE，垂足为F，∵OF过圆心，∵DE＝8cm，∴EF=12DE＝4cm，∵OC＝5cm，∴OE＝5cm，∴OF=√OE2−EF2=√52−42=3cm．故选：C．8．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，过点A作AB的垂线交BC于点D，DE平分∠ADB交AB于点E．若DE＝4，则AC的长为（）A．3B．4C．2√3D．3√2【分析】过点A作AG⊥BC于点G，根据含30°，45°角的直角三角形的性质和勾股定理计算即可．【解答】解：过点A作AG⊥BC于点G，∵∠C＝45°，∴∠GAC＝∠C＝45°，∴GA＝GC，∴AC=√GA2+GC2=√2GA；∵∠B＝30°，∠BAD＝90°，∴∠ADB＝60°，∠GAD＝30°，∵DE平分∠ADB，∴∠ADE＝30°，∵DE＝4，∴AE=12DE=2，∴AD=√DE2−AE2=2√3，∴GD=12AD=√3，∴AG=√AD2−GD2=3，∴AC=√2GA=3√2，故选：D．9．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（）A ．52π−74B ．52π−72C ．54π−74D ．54π−72【分析】作AB 的垂直平分线MN ，作BC 的垂直平分线PQ ，设MN 与PQ 相交于点O ，连接OA ，OB ，OC ，则点O 是△ABC 外接圆的圆心，先根据勾股定理的逆定理证明△AOC 是直角三角形，从而可得∠AOC ＝90°，然后根据图中阴影部分的面积＝扇形AOC 的面积﹣△AOC 的面积﹣△ABC 的面积，进行计算即可解答．【解答】解：如图：作AB 的垂直平分线MN ，作BC 的垂直平分线PQ ，设MN 与PQ 相交于点O ，连接OA ，OB ，OC ，则点O 是△ABC 外接圆的圆心，由题意得：OA 2＝12+22＝5， OC 2＝12+22＝5， AC 2＝12+32＝10， ∴OA 2+OC 2＝AC 2， ∴△AOC 是直角三角形， ∴∠AOC ＝90°， ∵AO ＝OC =√5，∴图中阴影部分的面积＝扇形AOC 的面积﹣△AOC 的面积﹣△ABC 的面积=90π×(√5)2360−12OA •OC −12AB •1=5π4−12×√5×√5−12×2×1 =5π4−52−1 =5π4−72，故选：D ．10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，OA ＝OB ＝3√5，点C 为平面内一动点，BC =32，连接AC ，点M 是线段AC 上的一点，且满足CM ：MA ＝1：2．当线段OM 取最大值时，点M 的坐标是（ ）A ．（35，65）B ．（35√5，65√5） C ．（65，125）D ．（65√5，125√5）【分析】由题意可得点C 在以点B 为圆心，32为半径的⊙B 上，在x 轴的负半轴上取点D （−3√52，0），连接BD ，分别过C 和M 作CF ⊥OA ，ME ⊥OA ，垂足为F 、E ，先证△OAM ∽△DAC ，得OM CD=OA AD=23，从而当CD 取得最大值时，OM 取得最大值，结合图形可知当D ，B ，C 三点共线，且点B 在线段DC 上时，CD 取得最大值，然后分别证△BDO ∽△CDF ，△AEM ∽△AFC ，利用相似三角形的性质即可求解．【解答】解：∵点C 为平面内一动点，BD =32， ∴点C 在以点B 为圆心，32为半径的⊙B 上，在x 轴的负半轴上取点D （−3√52，0），连接BD ，分别过C 、M 作CF ⊥OA ，ME ⊥OA ，垂足为F 、E ， ∵OA ＝OB =3√5， ∴AD ＝OD +OA =9√52， ∴OA AD=23，∵CM ：MA ＝1：2， ∴OA AD=23=CM AC，∵∠OAM ＝∠DAC ，∴△OAM ∽△DAC ， ∴OM CD=OA AD=23，∴当CD 取得最大值时，OM 取得最大值，结合图形可知当D ，B ，C 三点共线，且点B 在线段DC 上时，CD 取得最大值， ∵OA ＝OB =3√5，OD =3√52， ∴BD =√OB 2+OD 2=152， ∴CD ＝BC +BD ＝9， ∵OM CD=23，∴OM ＝6，∵y 轴⊥x 轴，CF ⊥OA ， ∴∠DOB ＝∠DFC ＝90°， ∵∠BDO ＝∠CDF ， ∴△BDO ∽△CDF ，∴OBCF =BDCD ，即3√5CF =1529， 解得CF =18√55， 同理可得，△AEM ∽△AFC ， ∴ME CF=AM AC=23，即18√55=23，解得ME =12√55， ∴OE =√OM 2−ME 2=6√55， ∴当线段OM 取最大值时，点M 的坐标是（65√5，125√5）， 故选D ．二.填空题（共8小题，每小题3分共计24分）11．（3分）在比例尺为像1：1000000的地图上，相距75cm 的两地A 、B 的实际距离为 750 km ． 【分析】比例尺＝图上距离与实际距离的比，由此即可计算． 【解答】解：75÷11000000=75000000（cm ）＝750（km ）． ∴两地A 、B 的实际距离为750km ． 故答案为：750．12．（3分）已知圆锥的底面半径是1cm ，母线长为3cm ，则该圆锥的侧面积为 3π cm 2． 【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解． 【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×3×1÷2＝3π． 故答案为：3π．13．（3分）如图，点P 把线段AB 的黄金分割点，且AP ＜BP ．如果AB ＝2，那么BP ＝ 1.2 （结果保留小数）．【分析】由黄金分割的定义得AP BP=BP AB，即可得出答案．【解答】解：∵点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＜BP ）， ∴AP BP=BP AB =√5−12， ∴BP =√5−12AB =√5−1≈1.2，故答案为：1.2．14．（3分）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 在⊙O 上，若∠ABC ＝70°，则∠D 的度数为 20 °．【分析】由AB 为⊙O 直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB ＝90°，根据题意即可求得∠A 的度数，然后由同弧所对的圆周角相等，即可求得∠D 的度数． 【解答】解：∵AB 为⊙O 直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵∠ABC ＝70°，∴∠A ＝90°﹣70°＝20°， ∴∠D ＝∠A ＝20°． 故答案为：20．15．（3分）如图，过原点O 的直线与反比例函数y 1=k 1x （x ＞0）和y 2=k2x （x ＞0）的图象分别交于点A 1，A 2，若OA 1OA 2=32，则k 1k 2=94．【分析】△OA 1N ∽△OA 2M ，根据三角形相似比的平方等于面积比，即可求解． 【解答】解：分别过点A 1、A 2作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，则△OA 1N ∽△OA 2M ， ∵OA 1OA 2=32，即两个三角形的相似比为3：2，则△OA 2M 和△OA 1N 的面积比为：9：4， 而k 1k 2=2S △OA 2M 2S △OA 1N=94，故答案为：94．16．（3分）小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．则该城堡的外围直径为 9 里．【分析】由AB 切圆于D ，BC 切圆于C ，连接OD ，得到OD ⊥AB ，OC ⊥BC ，BD ＝BC ＝9里，由勾股定理求出AC =√AB 2−BC 2=12，由tan A =OD AD =BCAC ，求出OD ＝4.5（里），即可得到答案． 【解答】解：如图，⊙O 表示圆形城堡，由题意知：AB 切圆于D ，BC 切圆于C ，连接OD ， ∴OD ⊥AB ，OC ⊥BC ，BD ＝BC ＝9里， ∵AD ＝6里，∴AB ＝AD +BD ＝15里， ∴AC =√AB 2−BC 2=12，∵tan A =OD AD =BCAC ， ∴OD 6=912，∴OD ＝4.5（里）．∴城堡的外围直径为2OD ＝9（里）． 故答案为：9．17．（3分）若实数x ，y ，m 满足x +y +m ＝6，3x ﹣y +m ＝4，则代数式﹣2xy +1的最大值为 32．【分析】结合已知条件解含参的二元一次方程组，然后代入﹣2xy +1中确定其取值即可． 【解答】解：由题意可得{x +y =6−m 3x −y =4−m ，解得{x =5−m2y =7−m 2，则﹣2xy +1 ＝﹣2×5−m 2×7−m2+1 =−(5−m)(7−m)2+1 =−m 2−12m+352+1 =−(m−6)22+32≤32， ∴代数式﹣2xy +1的最大值为32．故答案为：32．18．（3分）如图，DE 平分等边△ABC 的面积，折叠△BDE 得到△FDE ，AC 分别与DF ，EF 相交于G ，H 两点．若DG ＝m ，EH ＝n ，用含m ，n 的式子表示GH 的长是 √m 2+n 2 ．【分析】根据等边三角形的性质得到∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，根据折叠的性质得到△BDE ≌△FDE ，根据已知条件得到图形ACED 的面积＝S △BDE ＝S △FDE ，求得S △FHG ＝S △ADG +S △CHE ，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°， ∵折叠△BDE 得到△FDE ， ∴△BDE ≌△FDE ，∴S △BDE ＝S △FDE ，∠F ＝∠B ＝60°＝∠A ＝∠C ， ∵DE 平分等边△ABC 的面积， ∴图形ACED 的面积＝S △BDE ＝S △FDE ， ∴S △FHG ＝S △ADG +S △CHE ，∵∠AGD ＝∠FGH ，∠CHE ＝∠FHG ， ∴△ADG ∽△FHG ，△CHE ∽△FHG ，∴S △ADGS △FHG =(DGGH )2=m 2GH 2，S △CHES △FHG =(EH GH )2=n 2GH 2， ∴S △ADG S △FHG +S △CHE S △FHG =m 2+n 2GH 2=S △ADG +S △CHE S △FHG=1， ∴GH 2＝m 2+n 2，解得GH =√m 2+n 2或GH =−√m 2+n 2（不合题意舍去）， 故答案为：√m 2+n 2．三.解答题（共10小题，共计96分） 19．（8分）解方程： （1）x 2﹣4x ﹣5＝0； （2）x 2﹣4x ﹣2＝0．【分析】（1）方程利用因式分解法求解即可； （2）方程利用配方法求解即可．【解答】解：（1）x 2﹣4x ﹣5＝0， （x ﹣5）（x +1）＝0， x ﹣5＝0或x +1＝0， 解得x 1＝5，x 2＝﹣1； （2）x 2﹣4x ﹣2＝0， x 2﹣4x ＝2， x 2﹣4x +4＝2+4， （x ﹣2）2＝6， x ﹣2＝±√6，∴x 1＝2+√6，x 2＝2−√6． 20．（8分）计算：（1）√8−4sin45°+(13)0； （2）2cos60°+|1−√2|+(12)−1．【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【解答】解：（1）√8−4sin45°+(13)0 ＝2√2−4×√22+1＝2√2−2√2+1 ＝1；（2）2cos60°+|1−√2|+(12)−1 ＝2×12+√2−1+2 ＝1+√2−1+2 =√2+2．21．（8分）如图，△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且AD CD=CD BD．（1）求证：△ACD ∽△CBD ； （2）求∠ACB 的大小．【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD ∽△CBD ；（2）由（1）知△ACD ∽△CBD ，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A ＝∠BCD ，然后由∠A +∠ACD ＝90°，可得：∠BCD +∠ACD ＝90°，即∠ACB ＝90°．【解答】（1）证明：∵CD 是边AB 上的高，∴∠ADC ＝∠CDB ＝90°，∵AD CD =CD BD ．∴△ACD ∽△CBD ；（2）解：∵△ACD ∽△CBD ，∴∠A ＝∠BCD ，在△ACD 中，∠ADC ＝90°，∴∠A +∠ACD ＝90°，∴∠BCD +∠ACD ＝90°，即∠ACB ＝90°．22．（10分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+k ＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根．第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．【分析】（1）计算根的判别式的值得到Δ＞0，则根据根的判别式的意义得到结论；（2）利用求根公式解方程得到AB 、AC 的长为k +1，k ，讨论：当k +1＝5时，三角形三边长分别为5、5、4；当k ＝5时，三角形三边长分别为5、5、6．【解答】（1）证明：∵Δ＝（2k +1）2﹣4（k 2+k ）＝4k 2+4k +1﹣4k 2﹣4k＝1＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）x =2k+1±12×1， 解得x 1＝k +1，x 2＝k ，即AB 、AC 的长为k +1，k ，当k +1＝5时，即k ＝4，三角形三边长分别为5、5、4；当k ＝5时，三角形三边长分别为5、5、6；综上所述，k 的值为4或5．23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A （0，4）、B （4，4）、C （6，2）．（1）经过A 、B 、C 三点的圆弧所在圆的圆心M 的坐标为 （2，0） ；（2）这个圆的半径为 2√5 ；（3）直接判断点D （5，﹣2）与⊙M 的位置关系．点D （5，﹣2）在⊙M 内 （填内、外、上）；（4）在方格中，连接AB ，AC ，BC ，将△ABC 以原点O 为位似中心，缩小为原来的12，请画出缩小后的图形△A 1B 1C 1．【分析】（1）连接AB ，BC ，分别作线段AB ，BC 的垂直平分线，交于点M ，则点M 即为经过A 、B 、C 三点的圆弧所在圆的圆心，即可得出答案．（2）连接AM ，利用勾股定理求出AM 的值，即可得出答案．（3）连接DM ，利用勾股定理求出DM 的值，与⊙M 的半径作比较，即可得出结论．（4）利用位似的性质作图即可．【解答】解：（1）连接AB ，BC ，分别作线段AB ，BC 的垂直平分线，交于点M ，则点M 即为经过A 、B 、C 三点的圆弧所在圆的圆心，点M 的坐标为（2，0）．故答案为：（2，0）．（2）连接AM ，由勾股定理得，AM =√22+42=2√5，∴这个圆的半径为2√5．故答案为：2√5．（3）连接DM ，由勾股定理得，DM =√32+22=√13，∵√13＜2√5，∴点D （5，﹣2）在⊙M 内．故答案为：内．（4）如图，△A 1B 1C 1即为所求．24．（10分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，E 在⊙O 上，∠CAB ＝2∠EAB ，点F 在线段AB 的延长线上，且∠AFE ＝∠ABC ．（1）求证：EF 与⊙O 相切；（2）若BF ＝1，sin ∠AFE =45，求BC 的长．【分析】（1）根据圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理可得OE ⊥EF 即可；（2）根据锐角三角函数可求出半径，进而得到AB 的长，再根据直角三角形的边角关系求出AC ，由勾股定理求出BC 即可．【解答】（1）证明：如图，连接OE ，∵OA ＝OE ，∴∠OAE ＝∠OEA ，∴∠FOE ＝∠OAE +∠OEA ＝2∠OAE ，∵∠CAB ＝2∠EAB ，∴∠CAB ＝∠FOE ，又∵∠AFE＝∠ABC，∴∠CAB+∠ABC＝∠FOE+∠AFE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°＝∠FOE+∠AFE，∴∠OEF＝90°，即OE⊥EF，∵OE是半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：在Rt△EOF中，设半径为r，即OE＝OB＝r，则OF＝r+1，∵sin∠AFE=45=OEOF=rr+1，∴r＝4，∴AB＝2r＝8，在Rt△ABC中，sin∠ABC=ACAB=sin∠AFE=45，AB＝8，∴AC=45×8=325，∴BC=√AB2−AC2=24 5．25．（10分）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【分析】（1）设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润＝2240元列出方程求解即可；（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．【解答】（1）解：设每千克核桃应降价x元．根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+x2×20）＝2240．化简，得x2﹣10x+24＝0 解得x1＝4，x2＝6答：每千克核桃应降价4元或6元．（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．此时，售价为：60﹣6＝54（元），设按原售价的m折出售，则有：60×m10=54，解得m＝9答：该店应按原售价的九折出售．26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC落在x轴上，点B的坐标为（﹣1，0），AB ＝3，BC＝6，边AD与y轴交于点E．（1）直接写出点A、C、D的坐标；（2）在x轴上取点F（3，0），直线y＝kx+b（k≠0）经过点E，与x轴交于点M，连接EF．①当∠MEF＝15°时，求直线y＝kx+b（k≠0）的函数表达式；②当以线段EM为直径的圆与矩形ABCD的边所在直线相切时，求点M的坐标．【分析】（1）利用矩形的性质求出相应线段，利用点的坐标的意义解答即可；（2）①求出线段OF，利用等腰直角三角形的性质和直角三角形的边角关系求得点M的坐标，再利用待定系数法解答即可；②利用分类讨论的思想方法分两种情况：Ⅰ、当以线段EM为直径的圆与矩形ABCD的边AB所在直线相切相切时，Ⅱ、当以线段EM为直径的圆与矩形ABCD的边CD所在直线相切相切时，利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质解答即可得出结论．【解答】解：（1）点B的坐标为（﹣1，0），∴OB ＝1．∵矩形ABCD 中AB ＝3，BC ＝6，∴CD ＝3，OC ＝5，AE ＝1，DE ＝5．∴A （﹣1，3），C （5，0），D （5，3）；（2）①∵点F （3，0），∴OF ＝3．∵OE ＝3，∴OE ＝OF ．∴∠OEF ＝∠OFE ＝45°．∵∠MEF ＝15°，∴∠OEM ＝60°或30°．∴OM ＝OE •tan60°＝3√3或OM ＝OE •tan30°=√3．∴M （3√3，0）或（√3，0）．∴{3√3k +b =0b =3或{√3k +b =0b =3． 解得：{k =−√33b =3或{k =−√3b =3． ∴直线y ＝kx +b （k ≠0）的函数表达式为：y =−√33x +3或y =−√3x +3；②设EM 的中点为G ，过点G 作GH ⊥AB 于点H ，延长HG 交CD 于点N ，则GN ⊥CD ，如图，由题意：以线段EM 为直径的圆与矩形ABCD 的边AD ，BC 所在直线相交．∴以线段EM 为直径的圆与矩形ABCD 的边AB ，CD 所在直线可能相切．Ⅰ、当以线段EM 为直径的圆与矩形ABCD 的边AB 所在直线相切相切时，则GH =12EM ．设M （m ，0），则OM ＝m ．∴EM =√OE 2+OM 2=√m 2+9．∵GH ⊥AB ，OB ⊥AB ，EA ⊥AB ，∴AE ∥GH ∥BM ．∵EG ＝GM ，∴GH 为梯形ABME 的中位线．∴GH =12（1+1+m ）=2+m 2． ∴2+m 2=12√m 2+9． 解得：m =54．经检验，m =54是原方程的根，∴M （54，0）； Ⅱ、当以线段EM 为直径的圆与矩形ABCD 的边CD 所在直线相切相切时，则GN =12EM ．∵GN ⊥CD ，MC ⊥CD ，ED ⊥CD ，∴DE ∥GN ∥CM ．∵EG ＝GM ，∴GN 为梯形CMED 的中位线．∴GN =12（5+5﹣m ）=10−m 2． ∴10−m 2=12√m 2+9． 解得：m =9120．经检验，m =9120是原方程的根，∴M （9120，0）．综上，当以线段EM 为直径的圆与矩形ABCD 的边所在直线相切时，点M 的坐标为（54，0）或（9120，0）．27．（12分）如图，正方形ABCD 中，点B 关于直线的CD 对称点为E ，F 为AD 边上一动点，EF 交CD 于G ，CF 交BG 于H ．（1）当F 为AD 中点时，求证CG ＝2DG ；（2）若线段DF 满足DF 2＝DG •DC ．①求证：CF ＝BG ；②求FD AD 的值．【分析】（1）利用正方形的性质，轴对称的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；（2）①利用相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；②设正方形的边长为a ，则AD ＝CD ＝a ，设FD ＝CG ＝x ，DG ＝CD ﹣CG ＝a ﹣x ，利用DF 2＝DG •DC 列出方程，解方程即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ．∵点B 关于直线的CD 对称点为E ，∴BC ＝CE ，∴AD ＝CE ．∵F 为AD 中点，∴DF =12AD ，∴DF =12CE ．∵AD ∥BC ，∴△FDG ∽△ECG ，∴DG CG =DF CE ， ∴DG CG =12，∴CG ＝2DG ；（2）①证明：∵DF 2＝DG •DC ，∴DF DG =DC DF ．∵∠FDG ＝∠CDF ＝90°，∴△FDG ∽△CDF ，∴∠DFG ＝∠DCF ．∵AD ∥BC ，∴∠DFG ＝∠E ，∵点B 关于直线的CD 对称点为E ，∴DC 垂直平分BE ，∴GB ＝GE ，∴∠E ＝∠GBC ，∴∠GBC ＝∠FCD ．在△FDC 和△GCB 中，{∠FCD =∠GBCCD =BC∠D =∠BCG =90°， ∴△FDC ≌△GCB （ASA ），∴CF ＝BG ；②解：由①知：△FDC ≌△GCB ，∴DF ＝CG ．设正方形的边长为a ，则AD ＝CD ＝a ，设FD ＝CG ＝x ，∴DG ＝CD ﹣CG ＝a ﹣x ，∵DF 2＝DG •DC ，∴x 2＝（a ﹣x ）a ，∴x 2+ax ﹣a 2＝0，∴x =−a±√a 2−4(−a 2)2=−1±√52a （负数不合题意，舍去）， ∴x =−1+√52a ． ∴DF =−1+√52a ． ∴DF AD =−1+√52a a =−1+√52．28．（12分）【学习心得】（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆⊙A，则C，D两点必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，∠BDC是⊙A的圆周角，则∠BDC＝45°．【初步运用】（2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝24°，求∠BAC的度数；【方法迁移】（3）如图3，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB＝30°（不写作法，保留作图痕迹）；【问题拓展】（4）①如图4①，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝m，M为边CD上的点．若满足∠AMB＝45°的点M 恰好有两个，则m的取值范围为2≤m＜√2+1．②如图4②，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝6，CD＝2，求AD的长．【分析】（1）由圆周角定理可得出答案；（2）取BD的中点O，连接AO、CO．由直角三角形的性质证明点A、B、C、D共圆，由圆的性质得出∠BDC＝∠BAC，则可得出答案；（3）作出等边三角形OAB，由圆周角定理作出图形即可；（4）①在BC上截取BF＝BA＝2，连接AF，以AF为直径⊙O，由图形可知BF≤m＜BQ，由勾股定理求出BF和BQ的长，则可得出答案；②作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，连接OA、OB、OC．由圆周角定理及勾股定理可得出答案．【解答】解：（1）∵∠BAC是⊙A的圆心角，∠BDC是⊙A的圆周角，∠BAC＝90°，∴∠BDC=12∠BAC＝45°；故答案为：45；（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴OA=12BD，OC=12BD，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴点A、B、C、D共圆，∴∠BDC＝∠BAC，∵∠BDC＝24°，∴∠BAC＝24°；（3）作图如下：由图知，∠AP1B=12∠AOB＝30°；同理∠AP2B＝30°．（4）①2≤m＜√2+1．在BC上截取BF＝BA＝2，连接AF，以AF为直径⊙O，⊙O交AD于E，交BC于F，连接EF，过圆心O作OG⊥EF于H且交圆O．于G，过G作⊙O的切线KQ交AD于K交BC于Q，如图所示：∵BA＝BF＝2，∴AF＝2√2，∴⊙O的半径为√2，即OF＝OG=√2，∵OG⊥EF，∴FH＝1，∴OH＝1，∴GH=√2−1，∴BF≤m＜BQ，∴2≤m＜2+√2−1，即2≤m＜√2+1，故答案为：2≤m＜√2+1；②如图，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，连接OA、OB、OC．∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°．在Rt△BOC中，BC＝6+2＝8，∴BO＝CO＝4√2．∵OE⊥BC，O为圆心，∴BE=12BC＝4，∴DE＝OF＝2．在Rt△BOE中，BO＝4√2，BE＝4，∴OE＝DF＝4．在Rt△AOF中，AO＝4√2，OF＝2，∴AF =√OA 2−OF 2=2√7，∴AD ＝2√7+4．方法二：延长DB 至E ，使DE ＝DA ，延长DC 至F ，使DF ＝DA ，易证△AEF 是等腰直角三角形，由∠BAC ＝45°可知，BE 2+CF 2＝BC 2，∴（x ﹣6）2+（x ﹣2）2＝82，∴x =4+2√7．方法三：过点C 作CE ⊥AC 交AB 的延长线于点E ，过点E 作EF ⊥BC 于点F ，∠BAC ＝45°，∴△ACE 为等腰直角三角形，可证明△ACD ≌△CEF ，∴EF ＝CD ＝2，CF ＝AD ＝x ，∵AD ∥EF ，∴AD EF=BD BF ， ∴x 2=6x−8，∴x ＝2√7+4．。
江苏省锡中实验学校2012届九年级上学期期中考试数学试题苏科版
省锡中实验学校2011——2012学年度第一学期初三数学期中考试 2011年11月命题人：陆金栋 审题人：毛锡东一、填空题：（每空2分，共40分） 1.请直接写出下列一元二次方程的解： (1) 290x-= _________________ ； （2）x(x+2)=0 _________________ ；(3) 2x -4x+3=0________________ ； (4) 210250x x -+= ________________.2.将方程2230x x --=化为2()x a b +=的形式为 .3.关于x 的方程x 2-3x+1=0的两个实数根为x 1、x 2, 则x 1+x 2＝_____； x 1x 2＝_______.4.已知关于x 的一元二次方程x 2-x+m=0有一个根为2，则m 的值为________,它的另一个根为_______.5.甲、乙两个参加“惠山区运动运会”铅球项目选拔赛，各投掷6次，记录成绩，计算平均数和方差的结果为： =10.5 =10.5x x 乙甲，， S 2甲=0.55，S 2乙=0.50，则成绩较稳定的是_______ （填“甲”或“乙”）.第6题图 第9题图 第10题图 第11题图6.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OCB=25°，则∠A 的度数等于_____度. 7.在⊙O 中，弦AB=24cm ，圆心O 到弦AB 的距离为5 cm ，则⊙O 的半径为_____cm. 8.已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为1cm 和4cm ，且它们内切，则圆心距O 1O 2等于______________cm . 9.如图所示，P 是⊙O 外一点，PA ，PB 分别和⊙O 切于A ，B 两点，C 是AB 上任意一点，过C 作⊙O 的切线分别交PA ，PB 于D ，E ．(1)若△PDE 的周长为10，则PA 的长为___ __，(2)连结CA 、CB ，若∠P=50°，则∠BCA 的度数为___ __度. 10.如图所示，BD 为⊙O 的直径，∠A=30°，则∠CBD 的度数为________度. 11.如图，∠C=30°，且 AB BC CD ==，则∠E 的度数为_____度.12.如图，扇形OAB 的圆心角为直角，正方形OCDE 的顶点C 、E 、D 分别在OA 、OB 、AB 上，AF ⊥ED ，交ED 的延长线与点F ，如果正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积是__________. 13. 如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=BC=12cm ，点D 从点A 开始沿边AB 以2cm/s 的速度向点B 移动，移动过程中始终保持DE ∥BC ，DF ∥AC ，则出发_______秒时，四边形DFCE 的面积为20cm 2.14.如图，已知A,B两点的坐标分别为（2，0），（0，2），⊙C的圆心坐标为（-1，0），半径为1.若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E ，则△ABE面积的最小值是 _____二、选择题：（每题3分，共24分）15.关于x的一元二次方程x2+mx+9=0有两个相等的实数根，则m的值是（▲）A．3或-3 B．6 C．-6 D．6或-616.已知当x=2时，多项式224x mx-+的值为 -4 ，那么当x为何值时，该多项式的值为11？（▲）A．7 B．-1 C．3 D．7或-117.三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2-6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（▲）A．11 B．13 C．11或13 D．不能确定18.已知221y a b=+，213y y=-，且124y y=，则1y的值为（▲）A．4 B．－1 C．-4或1 D．－1或419.小红同学要用纸板制作一个高4cm，底面周长是6π cm的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是（▲）A．12π B．15πcm2 C．18πcm2 D．24πcm220.在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以C 为圆心r为半径画⊙C ，使⊙C与线段AB有且只有两个公共点，则r的取值范围是（▲）A．6≤r≤8 B．6≤r <8 C．245r<≤6 D．245r<≤821.如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m．按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（即OA+OB+OC，计算时视管道为线，中心O为点）是（▲）A．2m B．3m C．6m D．9m22.如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE，其中C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．若第12题图第13题图第14题图在没有滑动的情况下，将此正五边形沿着x 轴向右滚动，则滚动过程中，下列会经过点（75，0）的点是 （ ▲ ） A ．点A B ．点B C ．点C D ．点D三、解答题：（本大题共7小题，共66分） 23.（4分×3=12分）解下列一元二次方程：(1) x 2+2x-2=0 （2）(x+1)(x-3)=-4 （3）()()21516x x -=--24.（8分）为开发农业生态发展，王大伯几年前承包了甲、乙两片荒山，各栽100棵杨梅树，成活率98%．现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅，每棵的产量如折线统计图所示． （1）分别计算甲、乙两山样本的极差；（2）分别计算甲、乙两山样本的平均数，并估算出甲、乙两山杨梅的产量总和；（3）试通过计算说明，哪个山上的杨梅产量较稳定？25.（7分）如图，在⊙O 中，弦BC 垂直于半径OA ，垂足为E ，D 是优弧BC 上一点，连接 BD ，AD ，OC ，∠ADB=30°．（1）求∠AOC 的度数；（2）若弦BC=6cm ，求图中阴影部分的面积．26.（7分）如图，四边形ABCD 是平行四边形，以AB 为直径的⊙O 经过点D ，E 是⊙O 上任意一点，且CD 切⊙O 于点D ．（1）试求∠AED 的度数．（2）若⊙O 的半径为，试求：△ADE 面积的最大值 ．27.（10分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A 、B 、C ． （1）请完成如下操作：①以点O 为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②画出该圆弧C所在圆的圆心D 的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连接AD 、CD ． （2）请在（1）的基础上，完成下列问题：①写出点的坐标：C _________、D ________； ②⊙D 的半径为________ （结果保留根号）； ③若扇形ADC 是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的侧面面积为 ____________（结果保留π）； ④若E （7，0），试判断直线EC 与⊙D 的位置关系并说明你的理由．28．（10分）随着经济的发展，小新所在的公司每年都在一月份一次性的提高员工当年的月工资．小新2008年的月工资为2000元，在2010年时他的月工资增加到2420元，他2011年的月工资按2008到2010年的月工资的平均增长率继续增长． （1）小新2011年的月工资为多少？（2）小新看了甲、乙两种工具书的单价，认为用自己2011年6月份的月工资刚好购买若干本甲种工具书和一些乙种工具书，当他拿着选定的这些工具书去付书款时，发现自己计算书款时把这两种工具书的单价弄对换了，故实际付款比2011年6月份的月工资少了242元，于是他用这242元又购买了甲、乙两种工具书各一本，并把购买的这两种工具书全部捐献给西部山区的学校．请问，小新总共捐献了多少本工具书？29．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A （10，0），以OA 为直径在第一象限内作半圆C ，点B 是该半圆周上一动点，连结OB 、AB ，并延长AB 至点D ，使DB=AB ，过点D 作x 轴垂线，分别交x 轴、直线OB 于点E 、F ，点E 为垂足，连结CF ．（1）当∠AOB =22.5°时，求弧AB 的长度； （2）当DE =8时，求线段EF 的长；（3）在点B 运动过程中，是否存在以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似，若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．省锡中实验学校2011——2012学年度第一学期初三数学期中考试参考答案及评分标准 2011年11月一、填空题：（每空2分，共40分）1．x 1=3,x 2=-3；x 1=0,x 2=-2；x 1=1,x 2=3；x 1=x 2=5 2．()412=-x 3．3 ，1；4．-2，-1 5．乙6．65 ；7．13； 8．3； 9．5，115 10．60； 11．20； 12．12-； 13．1或5；14．222- 二、选择题：（每题3分，共24分）三、解答题：（本大题共7小题，共66分）23．（1）x=31±-；（2）x 1=x 2=1；（3）x 1=3，x 2=424．（1）甲：16，乙：12；—————2分（2）甲：40，乙：40 ； 7840—————3分（3）S 2甲=38， S 2乙=24 ∵S 2甲>S 2乙 ∴乙稳定—————3分25．(1)60° ————3分(2)4π-————4分26．(1)45° 或135 ————4分(2) 9+3分 27、（1）①建立平面直角坐标系②找出圆心；—————————2分 （2）①C （6，2）；D （2，0）；② 5π/4；—————————4分④直线EC 与⊙D 相切证CD 2+CE 2=DE 2=25 （或通过相似证明） 得∠DCE=90°∴直线EC 与⊙D 相切．———————— —4分 28、（1）设2008至2010年的年平均增长率为x ，2000（1+x ）2=2420，解得：x 1=10%，x 2=-210%．(舍去)月工资为：2420（1+10%）=2662元．——————— —4分 （2）设甲工具书单价为m 元，第一次选购y 本．设乙工具书单价为n 元，第一次选购z 本．则由题意，可列方程：m+n=242 ①ny+mz=2662 ② my+nz=2662-242 ③ 由②+③，整理得，（m+n ）（y+z ）=2×2662-242， 把①代入得，242（y+z ）=2×2662-242， ∴y+z=22-1=21 ∴21+2=23本．答：捐出的这两种工具书总共有23本．——————— —6分29、（1）连结BC ,∵A （10，0）, ∴OA =10 ,CA =5,∵∠AOB =22.5°,∴∠ACB =2∠AOB =45°,∴弧AB 的长=45551804ππ⨯⨯=; ———————————— 4分 （2）连结OD,得OE ==-22DE OD 681022=-,∴AE =AO －OE=10-6=4,由△OEF ∽△DEA, ∴OE EF DE AE =,即684EF =，∴EF =3；或12——————————————— 4分 （3）设OE =x ，①当交点E 在O ，C 之间时，∴E 1（25，0）；∴E 2（310，0）; ②当交点E 在点C 的右侧时，△CEF ∽△AED, ∴CF CE AD AE =,而AD =2BE , ∴2OC CE OE AE=, 即55210x x x-=-, 解得417551+=x , 417552-=x ＜0（舍去），∴E 3（1755+，0）; ③当交点E 在点O 的左侧时，△ CEF ∽△AED, ∴ADCFAE CE =，而AD =2BE , ∴2OC CE OE AE =,∴5+5210+x x x=, 解得417551+-=x 417552--=x ＜0（舍去）, ∴E 4（41755-，0）,综上所述：存在以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 此时点E 坐标为：1E （25，0）、2E （310，0）、3E （41755+，0）、4E （45-。
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无锡市天一实验学校2012－2013学年度第一学期初三数学期中试卷2012.11一、选择题(本大题共l0小题．每小题3分．共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把答案填在答题卡上相应位置)1．－5的相反数是 （ ）A ．－5B ．5C ．－51D ．512．下列计算正确的是 ( ). A.632a a a =⋅ B.()832a a = C. ()6223b a ab = D. 326a a a =÷3．下列四副图案中，不是轴对称图形的是 （ ）A ．B ．C ．D ．4．沿圆柱体上面直径截去一部分的物体如图所示，它的俯视图是 ( )5．从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ．若∠APB ＝60°， PA ＝8，则弦AB 的长是 ( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．166．用一个半径为10cm 半圆纸片围成一个圆锥的侧面（接缝处忽略不计），则该圆锥的 高为 （ ） A ．53cm B ．52cm C ．5cmD ．7.5cm7．如图，在Rt △ABC 中，已知C ∠=90°，AM 是BC 边上的中线，，53sin =∠CAM则B ∠tan 的值为 （ ）第7题图第8题图第9题图A．23B．34C．43D．328．如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为－3和1；④a－2b+c＞0．其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．小翔在如图所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点B跑到点C，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t（单位：秒），他与教练的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图所示，则这个个定位置可能是左图中的（）A．点M B．点N C．点P D．点Q10．记nS=naaa+++21，令12nnS S STn+++=，称nT为1a，2a，……，na这列数的“理想数”。
已知1a，2a，……，500a的“理想数”为2004，那么2，1a，2a，……，500a的“理想数”为（）A.2002B.2004C.2006D.2012二、填空题(本大题共8小题，每小题2分，共l6分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．处)11．分解因式：32a ab-=．12．函数11-=xy的自变量x的取值范围是_____________.13．无锡是国家微电子产业基地，经过20余年的发展已积累了雄厚的产业基础。
2011年，无锡微电子产业实现销售收入399.9亿元，约占江苏省的54.3%。
若把399.9亿写出科学记数法，可表示为__________________．14．工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB 的长度为 . 15．将矩形纸片ABCD 按如图方式折叠，得到菱形AECF ．若AB =3，则BC 的长为________． 16．如图，已知双曲线y =kx （k ＞0）经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB相交于点C ．若△OBC 的面积为6，则k =_____________．17．按如图所示的程序计算，若开始输入的x 的值为48，我们发现第一次得到的是24，第二次得到的是12，……，请你探索第2013次得到的结果为______________． 18. 如图，在扇形纸片AOB 中，OA =10，∠AOB =36°，OB 在桌面内的直线l 上．现将此扇形沿l 按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当OA 落在l 上时，停止旋转．则点O 所经过的路线长为_______________．三、解答题(本大题共10小题．共84分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.（本题满分8分）化简计算：（1）01-8|-2|）（π++ （2）)2)(2()3(a a a a +-+-第14题图 第15题图 第16题图第17题图 第18题图20.（本题满分8分）（1）解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≤-〉-121312x x x x （2）解方程：0542=--x x21. (本题满分8分) 如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AB =CD ，延长线段CB 到点E ，使BE =AD ，连接AE 、AC ． （1）求证：△ABE ≌△CDA ；（2）若∠DAC =40°，求∠EAC 的度数．22. (本题满分9分) 在平面直角坐标系中，△ABC 三个顶点的坐标分别为：A (﹣1，2)， B (﹣3，4)，C (﹣1，9)（1）在网格中画出△ABC ，并求出AC 所在直线的解析式；（2）画出A B C △向右平移6个单位后得到的111A B C △，并求出A B C △在上述平移过程中扫过的面积。
23.（本题满分8分）初中生对待学习的态度一直是锡山区教育工作者关注的问题之一．为此，对我区部分学校的九年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A 级：对学习很感兴趣；B 级：对学习较感兴趣；C 级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查中，共调查了_______名学生； （2）将图①补充完整；（3）求出图②中C 级所占的圆心角的度数； （4）根据抽样调查结果，请你估计我区近 20000名初中生中大约有多少名学生 学习态度达标（达标包括A 级和B 级）？11 Oyx24.（本题满分8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O 是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知AB=10，BC=6，求⊙O的半径r．25. （本题满分8分）因长期干旱，甲水库蓄水量降到了正常水位的最低值．为灌溉需要，由乙水库向甲水库匀速供水，20h后，甲水库打开一个排灌闸为农田匀速灌溉，又经过20h，甲水库打开另一个排灌闸同时灌溉，再经过40h，乙水库停止供水．甲水库每个排泄闸的灌溉速度相同，图中的折线表示甲水库蓄水量Q（万m3）与时间t（h）之间的函数关系．求：（1）线段BC的函数表达式；（2）乙水库供水速度和甲水库一个排灌闸的灌溉速度；（3）乙水库停止供水后，经过多长时间甲水库蓄水量又降到了正常水位的最低值？26.（本题满分8分）如图所示，抛物线y=ax2+c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（－2，0），B（－1，－3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A，B两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD=4S△ABM成立，求点P的坐标．27.（本题满分8分）在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点111()P x y ，与222()P x y ，的“非 常距离”，给出如下定义：若1212||||x x y y --≥，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||x x -； 若1212||||x x y y -<-，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||y y -.例如：点1(12)P ，，点2(35)P ，，因为|13||25|-<-，所以点1P 与点2P 的“非常距离”为|25|3-=，也就是图1中线段1P Q 与线段2P Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线1P Q与垂直于x 轴的直线2P Q 的交点）.（1）已知点1(0)2A -，，B 为y 轴上的一个动点，①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出满足条件的点B 的坐标； ②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值； （2）如图2，已知C 是直线334y x =+上的一个动点，点D 的坐标是（0，1），求点C 与点D 的“非常距离”最小时，相应的点C 的坐标。
28.（本题满分11分）如果一个点能与另外两个点能构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．例如：矩形ABCD中，点C与A，B两点可构成直角三角形ABC，则称点C 为A，B两点的勾股点．同样，点D也是A，B两点的勾股点．（1）如图1，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，请在边CD上作出A，B两点的勾股点（点C和点D除外）（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）．（2）矩形ABCD中，AB=3，BC=1，直接写出边CD上A，B两点的勾股点的个数．（3）如图2，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=4cm，DM=8cm，AN=5cm．动点P从D点出发沿着DC方向以1 cm/s的速度向右移动，过点P的直线l平行于BC，当点P运动到点M时停止运动．设运动时间为t（s），点H为M、N两点的勾股点，且点H在直线l上．①当t=4时，求PH的长．②探究满足条件的点H的个数（直接写出点H的个数及相应t的取值范围，不必证明）．图1无锡市天一实验学校2012—2013学年度第一学期初三数学期中试卷答题卡一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 91答案二、填空题（本大题共有8小题，每小题2分, 共16分）11．___________； 12．_________； 13．___________； 14．_________； 15．___________； 16．_________； 17．___________； 18．_________． 三、解答题（本大题共有10小题，共84分） 19.（本题满分8分）化简计算：（1）01-8|-2|）（π++ （2）)2)(2()3(a a a a +-+-20.（本题满分8分）（1）解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≤-〉-121312x x xx （2）解方程：0542=--x x21．(本题满分8分） （1） （2）22．（本题满分9分）11 Oy23.（本题满分8分）（1）此次抽样调查中，共调查了_______名学生；（2）将图①补充完整；（3）（4）24.（本题满分8分）（1）（2）25. （本题满分8分）（1）（2）（3）26.（本题满分8分）（1）（2）（3）27. （本题满分8分）（1）（2）28.（本题满分11分）(1)(2)CD边上A、B两点的勾股点有_________个；（3）①②参考答案一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BCADCADBBA二、填空题（本大题共有8小题，每小题2分, 共16分）11．a (a +b )(a －b ) ； 12．_ x >1_____； 13．3.999×1010； 14． 8mm ； 15．3； 16．_____4____ ； 17．__8______ ； 18．___12π____ ．三、解答题（本大题共有10小题，共84分） 19.（本题满分8分）化简计算：（1）01-8|-2|）（π++ （2）)2)(2()3(a a a a +-+-= 2 +22+1 （1’+1’+1’） =2243a a a -+- (1’+2’) =3+22 (1’) = －3a +4 (1’) 20.（本题满分8分）（1）解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≤-〉-121312x x xx （2）解方程：0542=--x x （1）解：2x －1>x x －x 21≤－1+3 解：（x －5）（x +1）=0 (2’) 2x －x >1x 21≤2 x 1=5, x 2=－1 (2’)x >1 （1’） x ≤4 (2’)∴ 1<x ≤4 （1’）21. (本题满分8分)（1）证明：在梯形ABCD 中，∵AD ∥BC ，AB =CD ，∴∠ABE =∠BAD ，∠BAD =∠CDA ， ∴∠ABE =∠CDA （2’）在△ABE 和△CDA 中，，∴△ABE ≌△CDA ． (2’)（2）解：由（1）得：∠AEB =∠CAD ，AE =AC ，∴∠AEB =∠ACE ， (1’)∵∠DAC =40°， ∴∠AEB =∠ACE =40°， (1’) ∴∠EAC =180°﹣40°﹣40°=100°． (2’)22．(本题满分9分)（1）画图略 (2’) AC 解析式：y =－7x －5 （2’）（2）画图略（2’） 扫过的面积为：s =49742272176=+=⨯⨯+⨯(3’)23.( 本题满分8分)(1) 50÷25%=200人 （2’）(2) 200﹣120－50=30 画图正确 （2’）（3） C 所占的圆心角度数=360°×（1－25%－60%）=54° （2’） (4) 20000×（25%+60%）=17000 名 （2’）24．（本题满分8分）25. （本题满分8分）解：（1）设线段BC 的函数表达式为Q ＝kx ＋b ．∵B ，C 两点的坐标分别为 (20,500) ，B 的坐标 (40,600) ． ∴500＝20 k ＋b ，600＝40 k ＋b ，解得，k ＝5，b ＝400 ∴线段BC 的函数表达式为Q ＝5x ＋400（20≤t ≤40）． (2’)（2）设乙水库的供水速度为x 万m 3/ h ，甲水库一个排灌闸的灌溉速度为y 万m 3/ h ．由题意得，⎩⎨⎧20(x －y ) ＝600－50040(x －2y )＝400－600, 解得⎩⎨⎧x ＝15y ＝10， (4’)（3）因为正常水位最低值为a ＝500－15×20＝200（万m 3/ h ）， (1’)所以（400－200）÷（2×10）＝10（h ） (1’) 答：经过10 h 甲水库蓄水量又降到了正常水位的最低值。