2015高三数学(B)第一轮复习第二节命题及其关系、充分条件与必要条件

• 反思总结 • 判断充分条件与必要条件的策略 • (1)寻求q的必要条件p，即以q为条件推出 结论p； • (2)寻求q的充分条件p，即求使q成立的条 件p； • (3)寻求q的充要条件p，从上述两方面入 手，若得到的结论都正确，则p为q的充要 条件．
• 变式训练 • 2．“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的 ( ) • A．充分不必要条件 B．既 不充分也不必要条件 • C．充分必要条件 D．必要不 充分条件 • 解析：由“a＋c>b＋d”不能得知“a>b 且c>d”，反过来，由“a>b且c>d”可得 知“a＋c>b＋d”，因此“a＋c>b＋d” 是“a>b且c>d”的必要不充分条件，选D.
• 1．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝ 3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( ) • A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3 • B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3 • C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3 • D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3 • 解析：a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3， a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2<3. • 答案：A
故选 A.
• 答案：A
• 2．“m＝－1”是“直线mx＋(2m－1)y ＋2＝0与直线3x＋my＋3＝0垂直”的 ( ) • A．充分不必要条件 B．必要不充分条 件 • C．充要条件 D．即不充分也不 必要条件 • 解析：由m×3＋(2m－1)×m＝0， • ∴3m＋2m2－m＝0， • ∴m＝0或－1.
• 第二节 命题及其关系、充 分条件与必要条件
[最新考纲展示] 1．理解命题的概念． 2.了解“若p，则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆 否命题，会分析四种命题的相互关系． 3．理解必要条件、充分条件与充要条件
• 四种命题及其关系
• 1．命题的概念 判断真假 • 在数学中用语言、符号或式子表达的，可 判断为假 判断为真 以 的陈述句叫做命题．其中 的语句叫做真命题， 的语句 叫做假命题．
• 由题悟道 • (a－b)a2<0等价于a≠0，a－b<0. • 通常与函数、不等式相关的充要性判断问 题，多是先求解命题的充要条件，再进行 判断．
• 与三角、向量有关的交汇 命题 • 【典例2】 (2013年高考陕西卷 )设a，b 为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b” 的( ) • A．充分不必要条件 B．必要不 充分条件 • C．充分必要条件 D．既不充 分也不必要条件 • [解析] 从数量积入手，设α为向量a，b 的夹角，则|a·b|＝|a||b|·|cos α|＝ |a||b|⇔|cos α|＝1⇔cos α＝±1⇔向量a， b共线．
• 充要条件的应用 • 【例3】 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S ＝{x|1－m≤x≤1＋m}． • (1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充 要条件，若存在，求出m的范围； • (2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必 [解析] (1)由 x －8x－20≤0 得－2≤x≤10， 要条件，若存在，求出m的范围．
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2．下列命题中为真命题的是( ) A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题 B．命题“x>1，则x2>1”的否命题 C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否 命题 • D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题 • 解析：对于A，其逆命题是：若x>|y|，则 x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有 x>y；对于B，否命题是：若x≤1，则x2≤1， 是假命题．如x＝－5，x2＝25>1；对于C， 其否命题是：若x≠1，则x2＋x－2≠0，由
• 答案：D
• ——与充要条件有关的交汇问题 • 充分条件、必要条件和充要条件的判断是 高考的热点内容、多与函数、不等式、向 量、立体几何、解析几何等知识交汇命 题．
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• 与函数不等式有关的交汇 命题 【典例1】 (2013年高考天津卷 )设a， b∈R，则“(a－b)· a2<0”是“a<b”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析] (a－b)· a2<0，则必有a－b<0，即 a<b；而a<b时，不能推出(a－b)· a2<0， 如a＝0，b＝1，所以“(a－b)· a2<0”是 “a<b”的充分而不必要条件．
• 3．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的 ( ) • A．充分而不必要条件 B．必要而 不充分条件 • C．充要条件 D．既不充分也不 必要条件 • 解析：若a＝1，则有|a|＝1是真命题，即a ＝1⇒|a|＝1，由|a|＝1可得a＝±1，所以若 |a|＝1，则有a＝1是假命题，即|a|＝1⇒a＝
• 与立体几何、解析几何有 关的交汇命题 • 【典例3】 (2014年西安模拟)若设平面α、 平面β相交于直线m，直线a在平面α内， 直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β” 是“a⊥b”的( ) • A．充分不必要条件 B．必要不充分条 件 • C．充要条件 D．既不充分也不 必要条件 • [解析] 由α⊥β和b⊥m，知b⊥α，又a⊂α， ∴a⊥b，“α⊥β ”可以推出“a⊥b”，
变式训练 π 1．命题“若△ABC 有一内角为 ，则△ABC 的三内角成等差数列” 3 的逆命题( )
A．与原命题同为假命题 B．与原命题的否命题同为假命题 C．与原命题的逆否命题同为假命题 D．与原命题同为真命题
解析：原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成 π 等差数列，则△ABC 有一内角为 ”，它是真命题． 3
• 四种命题及其真假判断 • 【例1】 (2014年南京模拟)有下列几个命
题：
• ①“若a>b，则a2>b2”的否命题； • ②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的 逆命题； • ③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题． • 其中真命题的序号是________．
• 反思总结 • 1．要注意四种命题关系的相对性，一旦 一个命题定为原命题，也就相应地确定了 它的“逆命题”、“否命题”、“逆否命 题”． • 2．判断命题真假时，可直接依据定义、 定理、性质直接判断，也可使用特值进行 排除．
• 由题悟道 • 抓住立体几何中的判定定理与性质定理成 立的条件去判断分析是解此类题的关键， 要注意结合图形．
a2＋b2 1．“ ≤－2”是“a>0 且 b<0”的( ab A．必要不充分条件 B．充要条件
)
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
a<0 a>0 a2＋b2 a2＋b2 a＋b2 解析： ≤－2⇔ ＋2＝ ≤0⇔ab<0⇔ 或 ， ab ab ab b>0 b<0
• 答案：D
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• 充分条件和必要条件的判 定 【例2】 (2013年高考湖南卷 )“1<x<2”是 “x<2”成立的( ) A．充分不必要条件 B．必要不 充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不 必要条件 [解析] 当1<x<2时，x<2成立；当x<2时， 1<x<2不一定成立，所以“1<x<2”是“x<2” 成立的充分不必要条件．
• 2．四种命题间的相互关系
• 3．四种命题的真假关系
• 由上表可知： 相同 • (1)两个命题互为逆否命题，它们有 的真假性； 没有关系 • (2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它 们的真假性 ．
• ____________________[通关方 略]____________________ • 1．区别“否命题”与命题的否定：否命 题是既否定命题的条件，又否定命题的结 论，而命题的否定是只否定命题的结论， 要注意区别． • 2．由于互为逆否命题的两个命题具有相 同的真假性，因而当判断一个命题的真假 比较困难时，可转化为判断它的逆否命题 的真假．
• 4．设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝ {x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则 “x∈A∪B”是“x∈C”的( ) • A．充分不必要条件 B．必要不充分条 件 • C．充要条件 D．既不充分也不 必要条件 • 解析：由题意得A∪B＝{x∈R|x<0或x>2}， C＝{x∈R|x<0或x>2}，故A∪B＝C，则 “x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件．
本小节结束
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• 充分条件与必要条件
必要条件 充分条件 • 1．如果p⇒q，则p 是q的 ， q 是p 的 充要条件 ． • 2．如果p⇒q，q⇒p，则p是q的 ．
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• ____________________[通关方 略]____________________ 如何判断p是q的什么条件？ 1．对命题“若p，则q”，首先应分清条 件是什么(p)，结论是什么(q)． 2．尝试用条件推结论，再尝试用结论推 条件，推理方法可以用直接证明法或间接 证明法． 3．确定条件是结论的什么条件，抓住 “以小推大”的技巧，即小范围推得大范 围．
的充要条件，∴P＝S.
1－m＝－2， m＝3， ∴ ∴ 1＋m＝10， m＝9，
这样的 m 不存在．
(2)由题意 x∈P 是 x∈S 的必要条件，则 S⊆P.
1－m≥－2， ∴ 1＋m≤10，
∴m≤3. 综上，可知 m≤3 时，x∈ P 是 x∈S 的必要条件．
变式训练 3．“x∈{3，a}”是“不等式 2x2－5x－3≥0 成立”的一个充分不 必要条件，则实数 a 的取值范围是( A．a≥0 C．a<0 )
B．a<0 或 a>2 1 D．a≤－ 或 a>3 2