2019-2020学年高中数学 第1章 立体几何初步 6 空间两条直线的位置关系(2)教学案苏教版必修2.doc
2019_2020学年高中数学第一章立体几何初步1.2.3空间中的垂直关系第1课时直线与平面垂直学案新人教B版必修2
第1课时直线与平面垂直1．理解线线垂直、线面垂直的概念．2．掌握直线与平面垂直的判定定理及性质．3．能应用性质定理证明空间位置关系．1．直线与直线的垂直两条直线垂直的定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．2．直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点O的任何直线都垂直，则称这条直线和这个平面互相垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足，垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．(2)直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面． (简而言之：线线垂直，则线面垂直)(3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面．3．直线与平面垂直的性质(1)由直线和平面垂直的定义知，直线与平面内的所有直线都垂直，除此以外还有性质定理．(2)垂直于同一个平面的两条直线平行．垂直于同一条直线的两个平面平行．1．下列命题正确的是( )A．垂直于同一条直线的两直线平行B．垂直于同一条直线的两直线垂直C．垂直于同一个平面的两直线平行D．垂直于同一条直线的一条直线和平面平行解析：选C．在空间中垂直于同一直线的两条直线，可能平行，可能相交，也可能异面，所以A，B错；垂直于同一直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内，也可以是直线和平面平行，所以D错；注意分析清楚给定条件下直线和平面可能的位置关系，不要有遗漏．2．在三棱锥ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，求证：AC⊥BD．证明：如图取BD的中点E，连接AE，EC．因为AB＝AD，BE＝ED，所以AE⊥BD．又因为CB＝CD，BE＝ED，所以CE⊥BD．又AE∩EC＝E，所以BD⊥平面ACE，又AC⊂平面ACE，所以AC⊥BD．3．垂直于同一条直线的两条直线平行吗？解：不一定．平行、相交、异面都有可能．线面垂直的判定如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN ⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB．【证明】(1)因为AB为⊙O的直径，所以AM⊥BM．又PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM．又因为PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM．又AN⊂平面PAM，所以BM⊥AN．又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM．(2)由第一问知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，所以AN⊥PB．又因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，所以PB⊥平面ANQ．又NQ⊂平面ANQ，所以PB⊥NQ．在本例中若条件不变，在四面体PAMB的四个面中共有多少个直角三角形．解：由本例第一问的证明过程知，BM⊥平面PAM，又PM⊂平面PAM，所以BM⊥PM．所以∠PAM＝∠PAB＝∠AMB＝∠BMP＝90°．所以四个面都是直角三角形．证明线面垂直的方法(1)线线垂直证明线面垂直①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；②判定定理法：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．(2)平行转化法(利用推论)①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β．如图所示，S为Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC．点D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若直角边BA＝BC，求证：BD⊥平面ASC．证明：(1)法一：在等腰三角形SAC中，D为AC的中点，所以SD⊥AC，取AB的中点E，连接DE、SE．则ED∥BC，又AB⊥BC，所以DE⊥AB．又SE⊥AB，SE∩DE＝E，所以AB⊥平面SED，所以AB⊥SD，又AB∩AC＝A，所以SD⊥平面ABC．法二：因为D为AC中点，△ABC为直角三角形．所以AD＝BD，又SA＝SB，SD＝SD，所以△SAD≌△SBD，所以∠SDB＝∠SDA．又SA＝SC，所以SD⊥AC，即∠SDA＝90°，所以∠SDB＝90°，即SD⊥BD，又BD∩AC＝D，所以SD⊥平面ABC．(2)因为BA＝BC，所以BD⊥AC，又SD⊥平面ABC，所以SD⊥BD，因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面ASC．线面垂直的性质的应用如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB于点E，过E作EF⊥SC于点F．(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD．【证明】(1)因为SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，所以SA⊥BC，因为四边形ABCD为矩形，所以AB⊥BC．所以BC⊥平面SAB，所以BC⊥AE．又SB⊥AE，SB∩BC＝B，所以AE⊥平面SBC，所以AE⊥SC．又EF⊥SC，AE∩EF＝E，所以SC⊥平面AEF．所以AF⊥SC．(2)因为SA⊥平面AC，所以SA⊥DC．又AD⊥DC，AD∩SA＝A，所以DC⊥平面SAD．所以DC⊥AG．又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂面AEF，所以SC ⊥AG ，所以AG ⊥平面SDC ，所以AG ⊥SD ．证明线线垂直的常用思路线面垂直――→推出定义线线垂直――→推出判定定理线面垂直――→推出定义线线垂直．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中点，MN ⊥平面A 1DC ． 求证：(1)MN ∥AD 1； (2)M 是AB 的中点．证明：(1)因为四边形ADD 1A 1为正方形，所以AD 1⊥A 1D ． 又因为CD ⊥平面ADD 1A 1，所以CD ⊥AD 1． 因为A 1D ∩CD ＝D ， 所以AD 1⊥平面A 1DC ． 又因为MN ⊥平面A 1DC ， 所以MN ∥AD 1．(2)如图，连接ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ． 所以ON ═∥12CD ．因为CD ═∥AB ， 所以ON ∥AM ． 又因为MN ∥OA ，所以四边形AMNO 为平行四边形． 所以ON ＝AM ．因为ON ＝12CD ，所以AM ＝12DC ＝12AB ．所以M 是AB 的中点．线面垂直的综合应用如图所示，在直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，已知DC ＝DD 1＝2AD ＝2AB ，AD ⊥DC ，AB∥DC ．(1)求证：D 1C ⊥AC 1；(2)设E 是DC 上一点，试确定E 的位置，使D 1E ∥平面A 1BD ，并说明理由． 【解】 (1)证明：连接C 1D ．因为DC ＝DD 1，所以四边形DCC 1D 1是正方形，所以DC 1⊥D 1C ． 因为AD ⊥DC ，AD ⊥DD 1，DC ∩DD 1＝D ， 所以AD ⊥平面DCC 1D 1，D 1C ⊂平面DCC 1D 1，所以AD ⊥D 1C ．又AD ∩DC 1＝D ，所以D 1C ⊥平面ADC 1． 又AC 1⊂平面ADC 1，所以D 1C ⊥AC 1．(2)如图，当E 是CD 的中点时满足条件，连接BE 、D 1E ，因为AB ═∥12CD ， 所以四边形ABED 为平行四边形． 所以BE ∥AD ∥A 1D 1．所以四边形BED 1A 1为平行四边形， 所以D 1E ∥A 1B ．又D 1E ⊄面A 1BD ，A 1B ⊂A 1BD ， 所以D 1E ∥平面A 1BD ．综上所述，当E 是DC 的中点时，可使D 1E ∥平面A 1BD ．线面垂直与平行的相互转化(1)空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、直线与直线平行可以相互转化，每一种垂直与平行的判定都是从某种垂直与平行开始转化为另一种垂直与平行，最终达到目的的．(2)转化关系：线线垂直判定定理定义线面垂直性质判定定理推论线线平行．如图所示，侧棱垂直于底面的三棱柱ABC A 1B 1C 1中，底面ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，CE ⊥AB 1，D 为AB 的中点．求证：(1)CD ⊥AA 1； (2)AB 1⊥平面CED ．证明：(1)由题意，得AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以CD ⊥AA 1．(2)因为D 是AB 的中点，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，所以CD ⊥AB ． 又CD ⊥AA 1，AB ∩A 1A ＝A ，所以CD ⊥平面A 1B 1BA ，因为AB 1⊂平面A 1B 1BA ，所以CD ⊥AB 1． 又CE ⊥AB 1，CD ∩CE ＝C ， 所以AB 1⊥平面CED ．1．直线与直线垂直如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．两条直线垂直包括相交垂直和异面垂直． 2．线面垂直、线线垂直的证明方法 (1)线面垂直的证明方法：①定义法；②判定定理法；③判定定理的推论．(2)线线垂直的证明方法：①定义法；②线面垂直的性质． (3)线线垂直与线面垂直可相互转化．1．直线与平面垂直的定义，应注意：①定义中的“任何直线”这一条件，②直线与平面垂直是相交中的特殊情况，③利用定义可得直线和平面垂直则直线与平面内的所有直线垂直．2．直线与平面垂直应注意两点：①定理中的条件，是“平面内的两条相交直线”既不能说是“两条直线”，也不能说“无数条直线”．②应用定理的关键是在平面内，找到两条相交直线与已知直线垂直．3．“垂直于同一条直线的两条直线平行”要求涉及到的三条直线在同一个平面内，否则不正确．这告诉我们平面几何中的一些结论推广到空间时不一定成立，需要多加注意．1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定解析：选B．一条直线垂直于三角形的两条边，那么这条直线必垂直于这个三角形所在的平面，因而必与第三边垂直．2．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面解析：选B．A答案还有异面或者相交的情况，C、D不一定．3．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，平行四边形ABCD一定是．解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．又因为PC⊥BD，PA∩PC＝P，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥AC，所以平行四边形ABCD一定是菱形．答案：菱形4．点P是等腰三角形ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，PA＝8，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则点P到BC的距离是．答案：4 5[学生用书P97(单独成册)])[A 基础达标]1．已知直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系为( )A．a⊥b，且a与b相交B．a⊥b，且a与b不相交D．a与b不一定垂直解析：选C．过b作平面β，β∩α＝b′，则b∥b′，因为a⊥平面α，所以a⊥b′，所以a⊥b．2．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．m∥n，n⊥α⇒m⊥α解析：选D．由直线与平面垂直的判定定理的推论可知D正确．3．E、F分别是正方形ABCD中AB、BC的中点，沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF 折起，使A、B、C三点重合于一点P，则有( )A．DP⊥平面PEF B．DE⊥平面PEFC．EF⊥平面PEF D．DF⊥平面PEF解析：选A．如图所示，A、B、C三点重合于点P，则PD⊥PE，PD⊥PF，又PE∩PF＝P，所以PD⊥平面PEF．4．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H．为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是( )A．EF⊥平面αB．EF⊥平面βC．PQ⊥GE解析：选B ．因为EG ⊥平面α，PQ ⊂平面α，所以EG ⊥PQ ．若EF ⊥平面β，则由PQ ⊂平面β，得EF ⊥PQ ．又EG 与EF 为相交直线，所以PQ ⊥平面EFHG ，所以PQ ⊥GH ，故选B ．5．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )A ．线段B 1C B ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段解析：选A ．如图，由于BD 1⊥平面AB 1C ，故点P 一定位于B 1C 上．6．如图，▱ADEF 的边AF ⊥平面ABCD ，AF ＝2，CD ＝3，则CE ＝．解析：因为AF ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，所以DE ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥CD ，因为DE ＝AF ＝2，CD ＝3，所以CE ＝22＋33＝13．答案：137．α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ∥n ；②α∥β；③m ⊥α；④n ⊥β．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： ．答案：⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n α∥βm ⊥α⇒n ⊥β 8．如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a (a ＞0)，PA ⊥平面AC ，且PA ＝1，若BC 边上存在点Q ，使得PQ ⊥QD ，则a 的最小值为 ．解析：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥QD ． 若BC 边上存在一点Q ，使得QD ⊥PQ ， 则有QD ⊥平面PAQ ，从而QD ⊥AQ ．在矩形ABCD 中，当AD ＝a <2时，直线BC 与以AD 为直径的圆相离，故不存在点Q ，使PQ ⊥DQ ．所以当a ≥2时，才存在点Q ，使得PQ ⊥QD ．所以a 的最小值为2． 答案：29．如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ＝2，BC ＝22，E ，F 分别是AD ，PC 的中点．证明：PC ⊥平面BEF ．证明：如图所示，连接PE ，EC ， 在Rt △PAE 和Rt △CDE 中，因为PA ＝AB ＝CD ，AE ＝DE ，所以PE ＝CE ，即△PEC 是等腰三角形． 又因为F 是PC 的中点，所以EF ⊥PC ． 又因为BP ＝ AP 2＋AB 2＝22＝BC ，F 是PC 的中点，所以BF ⊥PC ．又因为BF ∩EF ＝F ，所以PC ⊥平面BEF ． 10．侧棱垂直于底面的三棱柱ABC A ′B ′C ′满足∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝12AA ′＝2，点M ，N 分别为A ′B ，B ′C ′的中点．(1)求证：MN ∥平面A ′ACC ′； (2)求证：A ′N ⊥平面BCN ； (3)求三棱锥C MNB 的体积． 解：(1)证明：如图，连接AB ′，AC ′，因为四边形ABB ′A ′为矩形，M 为A ′B 的中点，所以AB ′与A ′B 交于点M ，且M 为AB ′的中点，又点N 为B ′C ′的中点，所以MN ∥AC ′， 又MN ⊄平面A ′ACC ′，且AC ′⊂平面A ′ACC ′， 所以MN ∥平面A ′ACC ′．(2)证明：因为A ′B ′＝A ′C ′＝2，点N 为B ′C ′的中点， 所以A ′N ⊥B ′C ′．又BB ′⊥平面A ′B ′C ′，所以A ′N ⊥BB ′， 所以A ′N ⊥平面B ′C ′CB ，所以A ′N ⊥平面BCN ． (3)由图可知V C MNB ＝V M BCN ， 因为∠BAC ＝90°， 所以BC ＝AB 2＋AC 2＝22，S △BCN ＝12×22×4＝42．由(2)及∠B ′A ′C ′＝90°可得A ′N ＝2， 因为M 为A ′B 的中点， 所以M 到平面BCN 的距离为22， 所以V C MNB ＝V M BCN ＝13×42×22＝43．[B 能力提升]11．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A ．AC B ．BD C ．A 1DD ．A 1A解析：选B．如图所示，连接AC，BD，因为BD⊥AC，A1C1∥AC，所以BD⊥A1C1，因为BD⊥A1A，A1A∩A1C1＝A1，所以BD⊥平面ACC1A1，因为CE⊂平面ACC1A1，所以BD⊥CE．12．如图所示，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC．其中，正确结论的序号是．解析：对于①、③，因为PA⊥平面ABC，故PA⊥BC．又BC⊥AC，故BC⊥平面PAC，从而BC⊥AF．故③正确．又AF⊥PC，故AF⊥平面PBC，所以AF⊥PB，故①正确．对于②，由①知AF⊥PB，而AE⊥PB，从而PB⊥平面AEF，故EF⊥PB．故②正确．对于④，AE与平面PBC不垂直，故④不正确．答案：①②③13．如图，四棱锥PABCD中，O是底面正方形ABCD的中心，侧棱PD⊥底面ABCD，PD ＝DC，E是PC的中点．(1)证明：EO∥平面PAD；(2)证明：DE⊥平面PBC．证明：(1)连接AC，因为点O是底面正方形ABCD的中心，所以点O是AC的中点，又因为E是PC的中点，所以在△PAC中，EO是中位线，所以PA∥EO．因为EO⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，所以EO∥平面PAD．(2)因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC，因为底面ABCD是正方形，有BC⊥DC，所以BC⊥平面PDC．而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE．因为PD＝DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，所以DE⊥PC．又BC，PC⊂平面PBC，且BC∩PC＝C，所以DE⊥平面PBC．14．(选做题)如图，A、B、C、D为空间四点，在△ABC中，AC＝BC，等边三角形ADB 以AB为轴转动，问是否总有AB⊥CD？证明你的结论．解：当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD．证明如下：①当点D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C、D都在线段AB的垂直平分线上．所以CD⊥AB．②当点D不在平面ABC内时，取AB中点O，连DO，CO．因为AC＝BC，AD＝BD，所以CO⊥AB，DO⊥AB．又CO∩DO＝O，所以AB⊥平面COD．因为CD⊂平面COD，所以AB⊥CD．综上所述，总有AB⊥CD．。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.2 空间两条直线的位置关系
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1。
2 点、线、面之间的位置关系 1.2。
2 空间两条直线的位置关系（1）教学目标 了解空间中两条直线的位置关系；理解并掌握公理4；理解并掌握等角定理．重点难点公理4及等角定理．引入新课1．问题1：在平面几何中，两直线的位置关系如何？问题2：没有公共点的直线一定平行吗？问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？2．异面直线的概念:________________________________________________________________________． 3位置关系共面情况公共点个数4．公理4：（文字语言）____________________________________________________．（符号语言)____________________________________________________．5．等角定理：____________________________________________________________．例题剖析例1 如图，在长方体1111D C B A ABCD 中，已知F E 、分别是BC AB 、的中点．求证:11//C A EF ．B EF D A 1 B 1例 2 已知：BAC ∠和111C A B ∠的边11//B A AB ，11//C A AC ，并且方向相同．求证：111C A B BAC ∠=∠．例3 如图：已知1E E 、分别为正方体1111D C B A ABCD -的棱11D A AD 、的中点．求证：111B E C CEB ∠=∠．巩固练习1．设1AA 是正方体的一条棱，这个正方体中与1AA 平行的棱共有（ ）条．A ．1B ．2C ．3D ．42．A 是BCD ∆所在平面外一点,N M ，分别是ABC ∆和ACD ∆的重心，若a BD =， 则MN =____________________．3．如果OA ∥11A O ,OB ∥11B O ，那么∠AOB 与∠111B O A 之间具有什么关系？4．已知111CC BB AA ，，不共面，且11//BB AA ，11BB AA =，11//CC BB ，11CC BB =. 求证：ABC ∆≌111C B A ∆．课堂小结了解空间中两条直线的位置关系;理解并掌握公理4；理解并掌握等角定理．CE D A 1E 1 B 1B1ABCC 1一 基础题1．若把两条平行直线称为一对,则在正方体12条棱中，相互平行的直线共有_______对． 2．已知AB ∥PQ ，BC ∥QR ，∠︒=30ABC ,则∠PQR 等于_________________．3．空间三条直线c b a 、、，若c b b a ////，,则由直线c b a 、、确定________个平面． 二 提高题4．三棱锥BCD A -中，H G F E ，，，分别是DA CD BC AB ，，，的中点． （1）求证：四边形EFGH 是平行四边形；（2）若BD AC =，求证：四边形EFGH 是菱形； （3）当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是正方形．5．在正方体1AC 中，CF F A CE E A ==1111，，求证：11F E ∥EF ．BC DA 1 D 1 C 1B 1 E FE 1F 1FGHBCE6．已知H G F E 、、、分别是空间四边形四条边DA CD BC AB 、、、上的点．且2==HDAH EB AE ,G F 、分别为CD BC 、的中点,求证:四边形EFGH 是梯形．7．已知三棱锥BCD A -中,H G F E ，，，是DA CD BC AB ，，，的中点，43==FH EG ，,求22BD AC +．BFCG DH EA。
2020学年高中数学第1章立体几何初步章末检测试卷北师大版必修2
第1章立体几何初步章末检测试卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．六棱柱的表面中，互相平行的平面最多有( )A．2对B．3对C．4对D．5对答案 C解析有3对侧面相互平行，上下两底面也相互平行．2．如图，B′C′∥x′轴，A′C′∥y′轴，则下面直观图所表示的平面图形是( )A．正三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形考点平面图形的直观图题点由直观图还原平面图形答案 D解析因为B′C′∥x′轴，A′C′∥y轴，所以直观图中BC∥x轴，AC∥y轴，所以三角形是直角三角形．故选D.3．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( ) A．12对 B．24对 C．36对 D．48对考点题点答案 B解析如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与棱AB异面的直线有CC1，DD1，B1C1，A1D1，共4对，正方体ABCD－A1B1C1D1有12条棱，排除重复计算的异面直线，∴异面直线共有12×2＝24(对)．4．一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与轴所成的角为( ) A．30° B．45°C．60° D．75°考点题点答案 A解析设圆锥的母线长为L，底面圆的半径为r，则由题意得πrL＝2πr2，∴L＝2r，∴圆锥的母线与轴所成的角为30°.5．下列命题：①在平面外的直线与平面不相交必平行；②过平面外一点只有一条直线和这个平面平行；③如果一条直线与另一条直线平行，则它和经过另一条直线的任何平面平行；④若直线上有两点到平面的距离相等，则直线平行于该平面．其中正确命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案 A解析①正确，②③④错误．6．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( )A．异面B．相交C．平行D．异面或相交考点题点答案 D解析如图所示，a，b是异面直线，AB，AC都与a，b相交，AB，AC相交；AB，DE都与a，b相交，AB，DE异面．7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1.其中推断正确的序号是( )A．①③ B．①④ C．②③ D．②④考点平行问题的综合应用题点线线、线面、面面平行的相互转化答案 A解析∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1.∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，∵FG⊈平面AA1D1D，AD1平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故①正确；∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，∴EF 与平面BC1D1相交，故②错误；∵FG∥BC1，FG⊈平面BC1D1，BC1平面BC1D1，FG∥平面BC1D1，故③正确；∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误．故选A.8．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为1，2，3，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A．3π B．6πC．18π D．24π考点 球的表面积题点 与外接、内切有关球的表面积计算问题 答案 B解析 将三棱锥补成边长分别为1，2，3的长方体，则长方体的体对角线是外接球的直径，所以2R ＝6，解得R ＝62，故S ＝4πR 2＝6π. 9．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( ) A.316 B.916 C.38 D.932考点 题点 答案 A解析 如图所示，设球的半径为R ，由题意知OO ′＝R2，OF ＝R ，∴r ＝32R . ∴S 截面＝πr 2＝π⎝⎛⎭⎪⎫32R 2＝3π4R 2.又∵S 球＝4πR 2，∴S 截面S 球＝3π4R 24πR 2＝316. 10．已知直线l ⊈平面α，直线m 平面α，下面四个结论：①若l ⊥α，则l ⊥m ；②若l ∥α，则l ∥m ；③若l ⊥m ，则l ⊥α；④若l ∥m ，则l ∥α，其中正确的是( ) A ．①②④ B ．③④ C ．②③D ．①④考点 线、面平行、垂直的综合应用 题点 平行与垂直的判定 答案 D解析 由直线l ⊈平面α，直线m 平面α知，在①中，若l⊥α，则由线面垂直的性质得l⊥m，故①正确；在②中，若l∥α，则l与m 平行或异面，故②错误；在③中，若l⊥m，则l与α不一定垂直，故③错误；在④中，若l∥m，则由线面平行的判定定理得l∥α，故④正确．故选D.11．如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下面结论中错误的是( )A．AE⊥CE B．BE⊥DEC．DE⊥平面CEB D．平面ADE⊥平面BCE考点空间中的垂直问题题点空间中的垂直问题答案 C解析由AB是底面圆的直径可知，∠AEB＝90°，即AE⊥EB.∵四边形ABCD是圆柱的轴截面，∴AD⊥底面AEB，BC⊥底面AEB.∴BE⊥AD，AD∩AE＝A，因此BE⊥平面ADE.同理可得AE⊥CE，平面BCE⊥平面ADE.可得A，B，D正确．而DE⊥平面CEB不正确．故选C.12．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°.侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法错误的是( )A．在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMBB．异面直线AD与PB所成的角为90°C．二面角P－BC－A的大小为45°D．BD⊥平面PAC考点空间角问题题点空间角的综合应用答案 D解析对于A，取AD的中点M，连接PM，BM，∵侧面PAD为正三角形，∴PM⊥AD，又底面ABCD是∠DAB＝60°的菱形，∴△ABD是等边三角形，∴AD⊥BM，又PM∩BM＝M，∴AD⊥平面PBM，故A正确．对于B，∵AD⊥平面PBM，∴AD⊥PB，即异面直线AD与PB所成的角为90°，故B正确．对于C，∵平面PBC∩平面ABCD＝BC，BC∥AD，∴BC⊥平面PBM，∴BC⊥PB，BC⊥BM，∴∠PBM是二面角P－BC－A的平面角，设AB＝1，则BM＝32，PM＝32，在Rt△PBM中，tan∠PBM＝PMBM＝1，即∠PBM＝45°，故二面角P－BC－A大小为45°，故C正确．错误的是D，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的32倍，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的表面积为(5＋2)π，则旋转体的体积为________．考点题点答案7π3解析如图所示的是旋转体的半轴截面，设直角梯形的上底长为r，则下底长为32r，∠C＝45°，所以DE ＝r2，DC ＝22r ，所以旋转体的表面积为S 表＝π·r 24＋2π·r 2·r ＋π·r 2·22r ＝π4r 2(5＋2)．又因为S 表＝(5＋2)π，所以r 2＝4，所以r ＝2， 所以V ＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22·r ＋13π·⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22·r 2＝7π3.14．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，MN 在平面BCC 1B 1内，MN ⊥BC 于点M ，则MN 与AD 的位置关系是________．考点 平面与平面垂直的性质题点 应用面面垂直的性质定理判定线线垂直 答案 垂直解析 ∵平面BCC 1B 1⊥平面ABCD ，平面BCC 1B 1∩平面ABCD ＝BC ，MN 平面BCC 1B 1， ∴MN ⊥平面ABCD .∴MN ⊥AD .15．已知平面α，β和直线m ，给出以下条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m α；④α∥β.要想得到m ⊥β，则所需要的条件是________．(填序号) 考点 直线与平面垂直的判定 题点 判定直线与平面垂直 答案 ②④解析 易知⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥α，α∥β⇒m ⊥β.16.如图，已知点O 在二面角α－AB －β的棱上，点P 在α内，且∠POB ＝45°.若对于β内异于O 的任意一点Q ，都有∠POQ ≥45°，则二面角α－AB －β的大小是________．考点 题点 答案 90°解析因为OP与平面β所成的角大于等于45°，所以OP与平面β所成的角最小为45°，即OP与OP在平面β内的射影所成的角最小是45°.又因为∠POB＝45°，所以AB就是OP 在平面β内的射影，所以α⊥β.所以二面角α－AB－β的大小是90°.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D是AB的中点．(1)求证：AC⊥B1C；(2)求证：AC1∥平面CDB1.考点题点证明(1)∵C1C⊥平面ABC，AC平面ABC，∴C1C⊥AC.∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.又BC∩C1C＝C，BC，C1C平面BCC1B1，∴AC⊥平面BCC1B1，而B1C平面BCC1B1，∴AC⊥B1C.(2)连接BC1交B1C于O点，连接OD.如图，∵O，D分别为BC1，AB的中点，∴OD∥AC1.又OD平面CDB1，AC1⊈平面CDB1.∴AC 1∥平面CDB 1.18．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ，BP ＝BC ＝2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点．(1)证明：EF ∥平面PAD ； (2)求三棱锥E －ABC 的体积V . 考点 直线与平面平行的判定 题点 直线与平面平行的证明(1)证明 在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴EF ∥BC .∵四边形ABCD 为矩形， ∴BC ∥AD ，∴EF ∥AD .又∵AD 平面PAD ，EF ⊈平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD .(2)解 连接AE ，AC ，EC ，过E 作EG ∥PA 交AB 于点G .则EG ⊥平面ABCD ，且EG ＝12PA .在△PAB 中，AP ＝AB ，∠PAB ＝90°，BP ＝2， ∴AP ＝AB ＝2，EG ＝22. ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×2×2＝2，∴V E －ABC ＝13S △ABC ·EG ＝13×2×22＝13.19.(12分)如图所示，在五面体ABCDEF 中，四边形ADEF 是正方形，FA ⊥平面ABCD ，BC ∥AD ，CD ＝1，AD ＝22，∠BAD ＝∠CDA ＝45°.(1)求异面直线CE 与AF 所成角的余弦值； (2)证明：CD ⊥平面ABF . 考点 直线与平面垂直的判定 题点 直线与平面垂直的证明(1)解 因为四边形ADEF 是正方形，所以FA ∥ED ， 故∠CED 为异面直线CE 与AF 所成的角． 因为FA ⊥平面ABCD ，所以FA ⊥CD ，故ED ⊥CD .在Rt△CDE 中，因为CD ＝1，ED ＝22，所以CE ＝CD 2＋ED 2＝3，所以cos∠CED ＝ED CE ＝223.故异面直线CE 与AF 所成角的余弦值为223.(2)证明 如图，过点B 作BG ∥CD 交AD 于点G ，则∠BGA ＝∠CDA ＝45°.由∠BAD ＝45°可得BG ⊥AB ， 从而CD ⊥AB .又因为CD ⊥FA ，FA ∩AB ＝A ， 所以CD ⊥平面ABF .20.(12分)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，F ，F 1分别是AC ，A 1C 1的中点．求证：(1)平面AB 1F 1∥平面C 1BF ； (2)平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1. 考点 线、面平行、垂直的综合应用 题点 平行、垂直综合问题的证明 证明 (1)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∵F，F1分别是AC，A1C1的中点，∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F，∴平面AB1F1∥平面C1BF.(2)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1.又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，∴B1F1⊥平面ACC1A1，又B1F1平面AB1F1，∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.21．(12分)在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，沿AE将△DAE折起到△D1AE的位置，使平面D1AE⊥平面ABCE.(1)若F为线段D1A的中点，求证：EF∥平面D1BC；(2)求证：BE⊥D1A.考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行、垂直综合问题的证明证明(1)取AB的中点G，连接EG，FG，则EG∥BC，FG∥D1B，且EG∩FG＝G，EG平面EFG，FG平面EFG，D1B∩BC＝B，D1B平面D1BC，BC平面D1BC，∴平面EFG∥平面D1BC.∵EF平面EFG，∴EF∥平面D1BC.(2)易证BE⊥EA，平面D1AE⊥平面ABCE.平面D1AE∩平面ABCE＝AE，∴BE⊥平面D1AE.又∵D1A平面D1AE，∴BE⊥D1A.22.(12分)如图所示，已知三棱锥A －BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且△PMB 为正三角形．(1)求证：DM ∥平面APC ；(2)求证：平面ABC ⊥平面APC ；(3)若BC ＝4，AB ＝20，求三棱锥D －BCM 的体积．考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行、垂直综合问题的证明(1)证明 ∵M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，∴DM ∥AP .又∵DM ⊈平面APC ，AP 平面APC ，∴DM ∥平面APC .(2)证明 ∵△PMB 为正三角形，且D 为PB 的中点，∴MD ⊥PB .又由(1)知，MD ∥AP ，∴AP ⊥PB .又已知AP ⊥PC ，PC ∩PB ＝P ，PB ，PC 平面PBC ，∴AP ⊥平面PBC ，∴AP ⊥BC .又∵AC ⊥BC ，AC ∩AP ＝A ，AC ，AP 平面ACP ，∴BC ⊥平面APC .又∵BC 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面APC .(3)解 由(2)知AP ⊥平面PBC ，又MD ∥AP ，∴MD ⊥平面PBC .∵AB ＝20，∴MB ＝10，∴PB ＝10.由(2)可知BC ⊥PC ，又BC ＝4，∴PC ＝100－16＝84＝221.∴S △BDC ＝12S △PBC ＝14PC ·BC ＝14×221×4＝221. 又MD ＝12AP ＝12202－102＝5 3.∴V 三棱锥D －BCM ＝V 三棱锥M －BCD ＝13S △BDC ·DM ＝13×221×53＝107.。
高中数学第1章立体几何初步1.2.2空间两条直线的位置关系讲义苏教版必修2
1.2.2 空间两条直线的位置关系1．空间两直线的位置关系2．公理4及等角定理(1)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c .(2)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．3．异面直线的判定及其所成的角 (1)异面直线的判定定理提示：(1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．(2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a α，b β，即a 、b 分别在两个不同的平面内，但是因为a ∩b ＝O ，所以a 与b 不是异面直线．(2)异面直线所成的角①定义：a 与b 是异面直线，经过空间任意一点O ，作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把直线a ′和b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a ，b 所成的角．②异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°．③当θ＝π2时，a 与b 互相垂直，记作a ⊥b ．1.思考辨析(1)如果a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .( )(2)如果a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，则a ，c 也是异面直线．( ) (3)如果a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 也相交． ( ) (4)如果a ，b 共面，b ，c 共面，则a ，c 也共面． ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．已知棱长为a 的正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，M ，N 分别为CD ，AD 的中点，则MN 与A ′C ′的位置关系是________．平行 [如图所示，MN 12AC ，又∵ACA ′C ′， ∴MN 12A ′C ′.]3．已知AB ∥PQ ，BC ∥QR ，∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于__________．30°或150° [∠ABC 的两边与∠PQR 的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，所以∠PQR ＝30°或150°.]4．已知a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a ，则c 与b 的位置关系是________． 相交或异面 [a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a ，因而c 不平行于b ，若c ∥b ，则a ∥b ，与已知矛盾，因而c 不平行于b .]①两条直线无公共点，则这两条直线平行；②两条不重合的直线若不是异面直线，则必相交或平行；③过平面外一点与平面内一点的直线与平面内的任意一条直线均构成异面直线； ④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线． (2)a ，b ，c 是空间中三条直线，下列给出几个说法： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②a ∥b 是指直线a ，b 在同一平面内且没有公共点；③若a ，b 分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行．其中正确的有__________．(填序号)思路探究：根据空间两直线位置关系的有关概念及公理4进行判断．(1)② (2)①② [(1)对于①，空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面，因此①不正确；对于②，因为空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面，所以②正确；对于③，过平面外一点与平面内一点的直线和过平面内这点的直线是相交直线，因此③不正确；对于④，和两条异面直线都相交的两直线可能是相交直线，也可能是异面直线，因此④不正确．(2)由公理4知①正确；由平行线的定义知②正确；若α∩β＝l ，a α，b β，a ∥l ，b ∥l ，则a ∥b ，③错误．]空间两直线的位置关系为相交、平行、异面，若两直线有交点则为相交，若两直线共面且无交点则为平行，若以上情况均不满足则为异面．1．如图所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，判断下列直线的位置关系： ①直线A 1B 与直线D 1C 的位置关系是________； ②直线A 1B 与直线B 1C 的位置关系是________； ③直线D 1D 与直线D 1C 的位置关系是________； ④直线AB 与直线B 1C 的位置关系是________．①平行 ②异面 ③相交 ④异面 [直线A 1B 与直线D 1C 在平面A 1BCD 1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A 1，B ，B 1在一个平面A 1BB 1内，而C 不在平面A 1BB 1内，则直线A 1B 与直线B 1C 异面．同理，直线AB 与直线B 1C 异面，所以②④都应该填“异面”；直线D 1D 与直线D 1C 显然相交于D 1点，所以③应该填“相交”．]1．如图所示，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，若E ，F ，G ，H 分别为PA ，PB ，PC ，PD 的中点．那么四边形EFGH 是什么四边形？为什么？[提示] 平行四边形．因为在△PAB 中， ∵E ，F 分别是PA ，PB 的中点， ∴EF 12AB ，同理GH 12DC .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ABCD ，∴EFGH ，∴四边形EFGH 是平行四边形．2．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么由等角定理能推出什么结论？ [提示] 这两条直线所成的锐角(或直角)相等．【例2】 如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，E 1，F 1分别为棱AD ，AB ，B 1C 1，C 1D 1的中点．求证：∠EA 1F ＝∠E 1CF 1.思路探究：解答本题时，可先证明角的两边分别平行，即A 1E ∥CE 1，A 1F ∥CF 1，然后根据等角定理，得出结论．[证明] 如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，取A 1B 1的中点M ，连结BM ，MF 1， 则BF ＝A 1M ＝12AB .又BF ∥A 1M ，∴四边形A 1FBM 为平行四边形， ∴A 1F ∥BM .而F 1，M 分别为C 1D 1，A 1B 1的中点，则F 1MC 1B 1. 而C 1B 1BC ，∴F 1M ∥BC ，且F 1M ＝BC . ∴四边形F 1MBC 为平行四边形， ∴BM ∥F 1C .又BM ∥A 1F ， ∴A 1F ∥CF 1.同理取A 1D 1的中点N ，连结DN ，E 1N ，则A 1NDE ， ∴四边形A 1NDE 为平行四边形， ∴A 1E ∥DN .又E 1N ∥CD ，且E 1N ＝CD ， ∴四边形E 1NDC 为平行四边形， ∴DN ∥CE 1，∴A 1E ∥CE 1.∴∠EA 1F 与∠E 1CF 1的两边分别对应平行． 即A 1E ∥CE 1，A 1F ∥CF 1， ∴∠EA 1F ＝∠E 1CF 1.运用公理4的关键是寻找“中间量”即第三条直线．证明角相等的常用方法是等角定理，另外也可以通过证明三角形相似或全等来实现．2．如图，已知棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，AD 的中点．(1)求证：四边形MNA 1C 1是梯形； (2)求证：∠DNM ＝∠D 1A 1C 1. [证明] (1)在△ADC 中， ∵M ，N 分别是CD ，AD 的中点， ∴MN 是△ADC 的中位线．∴MN 12AC .由正方体性质知，ACA 1C 1， ∴MN 12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1.∴四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知MN ∥A 1C 1， 又因为ND ∥A 1D 1，而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的锐角， ∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.11111111DB 1与EF 所成角的大小．思路探究：先根据异面直线所成角的定义找出角，再在三角形中求解．[解] 法一：如图(1)，连结A 1C 1，B 1D 1，并设它们相交于点O ，取DD 1的中点G ，连结OG ，A 1G ，C 1G ，则OG ∥B 1D ，EF ∥A 1C 1，(1)∴∠GOA 1为异面直线DB 1与EF 所成的角或其补角． ∵GA 1＝GC 1，O 为A 1C 1的中点． ∴GO ⊥A 1C 1.∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.法二：如图(2)，连结A 1D ，取A 1D 的中点H ，连结HE ，HF ，则HE ∥DB 1，且HE ＝12DB 1.(2)于是∠HEF 为异面直线DB 1与EF 所成的角或补角．设AA 1＝1.则EF ＝22，HE ＝32， 取A 1D 1的中点I ，连结IF ，IH ，则HI ⊥IF ， ∴HF 2＝HI 2＋IF 2＝54，∴HF 2＝EF 2＋HE 2.∴∠HEF ＝90°，∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.法三：如图(3)，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连结DQ ，B 1Q ，则B 1Q ∥EF .(3)于是∠DB 1Q 为异面直线DB 1与EF 所成的角或其补角．设AA 1＝1，则DQ ＝22＋1＝5，B 1D ＝12＋12＋12＝3，B 1Q ＝12＋12＝2，所以B 1D 2＋B 1Q 2＝DQ 2，从而异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.求两条异面直线所成角的步骤(1)恰当选点，用平移法构造出一个相交角． (2)证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)．(3)把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数．(4)给出结论：若求出的平面角是锐角或直角，则它就是两条异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是两条异面直线所成的角．3.如图所示，在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AB ⊥CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 和AB 所成的角．[解] 如图所示，取BD 的中点G ，连结EG ，FG . ∵E ，F ，G 分别为BC ，AD ，BD 的中点，AB ＝CD ， ∴EG 12CD ，GF 12AB .∴∠GFE 就是EF 与AB 所成的角或其补角． ∵AB ⊥CD ，∴EG ⊥GF ， ∴∠EGF ＝90°. ∵AB ＝CD ，∴EG ＝GF ， ∴△EFG 为等腰直角三角形，∴∠GFE ＝45°，即EF 和AB 所成的角为45°.1．本节课的重点是会判断空间两直线的位置关系，理解异面直线的定义，会求两异面直线所成的角，能用公理4和等角定理解决一些简单的相关问题．难点是求异面直线所成的角．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)判断两条直线位置关系的方法．(2)证明两条直线平行的方法．(3)求异面直线所成角的解题步骤．3．本节课的易错点是将异面直线所成的角求错．1．分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．以上皆有可能[答案] D2．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是________．平行或异面[若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．]3．空间中有一个∠A的两边和另一个∠B的两边分别平行，∠A＝70°，则∠B＝________．70°或110°[∵∠A的两边和∠B的两边分别平行，∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°，又∠A＝70°，∴∠B＝70°或110°.]4．如图，已知长方体ABCDA′B′C′D′中，AB＝23，AD＝23，AA′＝2.(1)BC和A′C′所成的角是多少度？(2)AA′和BC′所成的角是多少度？[解](1)因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝23，B′C′＝23，所以∠B′C′A′＝45°.(2)因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角．在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝23，BB′＝AA′＝2，所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°.因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.。
高中数学 第1章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.2 空间两条直线的位置关系
公理4及等角定理的应用 在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，E，F，E1，F1 分别是 棱 AB，AD，B1C1，C1D1 的中点． 求证：(1)EF 綊 E1F1；
(2)∠EA1F＝∠E1CF1. (链接教材 P26 例 1，P27 例 2)
[证明] (1)如图，连结 BD，B1D1，在△ABD 中，因为 E，F 分别为 AB，AD 的中点，所以 EF 綊12BD. 同理，E1F1 綊12B1D1.
1．如图所示，AB，CD是两异面直线，求证：直线AC，BD 也是异面直线．
证明：法一：假设AC和BD不是异面直线，则AC和BD在同一 平面内，设这个平面为α， 由AC⊂α，BD⊂α，知A，B，C，D∈α.故AB⊂α，CD⊂α. 这与AB和CD是异面直线矛盾，
所以假设不成立，则直线AC和BD是异面直线． 法二：由题图可知，直线AB、AC相交于点A， 所以它们确定一个平面为α. 由直线AB和CD是异面直线，则D∉α， 即直线BD过平面α外一点D与平面α内一点B. 又AC⊂α，B∉AC，所以直线AC和BD是异面直线．
在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，BB1 綊 DD1，所以四边形
BB1D1D 为平行四边形，所以 BD 綊 B1D1，又 EF 綊12BD，E1F1 綊12B1D1，所以 EF 綊 E1F1.
(2)取 A1B1 的中点 M，连结 F1M，BM，则 MF1 綊 B1C1.
∴DAEE∉∈∉F⊂αDα，F，α.，
∴AE 和 DF 是异面直线．
法二：(反证法)若AE和DF不是异面直线，则AE和DF共面， 设过AE，DF的平面为β. ①若E，F重合，则E是BC的中点，从而有AB＝AC，这与题 设AB≠AC相矛盾． ②若E，F不重合，∵B∈EF，C∈EF，EF⊂β， ∴BC⊂β. 又A∈β，D∈β，∴A，B，C，D四点共面，这与题设ABCD 是空间四边形相矛盾． 综上，AE和DF不是异面直线不成立． 故AE和DF是异面直线．
2019_2020学年高中数学第1章立体几何初步1_4_2_2空间图形的公理(第2课时)学案北师大版必修2
4.2 空间图形的公理(第2课时)1．空间图形的公理公理4 平行于同一条直线的两条直线平行．定理 空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 2．异面直线 (1)异面直线的定义不共面(不同在任何一个平面内)的两条直线叫作异面直线． (2)空间两条直线的位置关系有且只有三种共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点.平行直线：在同一平面内，没有公共点.异面直线：不共面的两条直线，没有公共点．(3)异面直线所成的角过空间任意一点P 分别引两条异面直线a ，b 的平行线l 1，l 2(a ∥l 1，b ∥l 2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a ，b 所成的角．如果两条异面直线所成的角是直角，我们称这两条直线互相垂直，记作：a ⊥b .判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分别在两个平面内的直线一定为异面直线．( ) (2)两条直线垂直，则一定相交．( )(3)两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行．( )(4)两条直线若不是异面直线，则必相交或平行．( )(5)两条直线无公共点，则这两条直线平行．( )(6)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线．( )(7)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．( )[答案] (1)×(2)×(3)×(4)√(5)×(6)×(7)×题型一空间两直线位置关系的判定【典例1】已知a、b、c是空间三条直线，下面给出四个命题：①如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c；②如果a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c也是异面直线；③如果a、b是相交直线，b、c是相交直线，那么a、c也是相交直线；④如果a、b共面，b、c共面，那么a、c也共面．在上述命题中，正确命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3[思路导引] 两条直线的位置关系拓展到空间中有且仅有三种：相交、平行、异面．根据具体情况，具体分析．[解析] ①a与c可能相交，也可能异面；②a与c可能相交，也可能平行；③a与c可能异面，也可能平行；④a与c可能不在一个平面内．故①②③④均不正确．[答案] A(1)判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．(2)判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面．[针对训练1] 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：①直线A 1B 与直线D 1C 的位置关系是________； ②直线A 1B 与直线B 1C 的位置关系是________； ③直线D 1D 与直线D 1C 的位置关系是________； ④直线AB 与直线B 1C 的位置关系是________．[解析] 根据题目条件知道直线A 1B 与直线D 1C 在平面A 1BCD 1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；点A 1、B 、B 1在一个平面A 1BB 1内，而C 不在平面A 1BB 1内，则直线A 1B 与直线B 1C “异面”．同理，直线AB 与直线B 1C “异面”．所以②④都应该填“异面”；直线D 1D 与直线D 1C 相交于D 1点，所以③应该填“相交”．[答案] ①平行 ②异面 ③相交 ④异面 题型二公理4及等角定理的应用【典例2】 如图，已知在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，AD 的中点．求证：(1)四边形MNA 1C 1是梯形； (2)∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.[思路导引] (1)由中位线定理可证MN ∥AC ，MN ＝12AC .由正方体的性质得：AC ∥A 1C 1，AC ＝A 1C 1.从而应用公理4，可证MN ∥A 1C 1，且MN ＝12A 1C 1，于是命题可证．(2)利用等角定理可证．[证明] (1)如图，连接AC ，在△ACD 中，∵M ，N 分别是CD ，AD 的中点， ∴MN 是△ACD 的中位线， ∴MN ∥AC ，MN ＝12AC .由正方体的性质得：AC ∥A 1C 1，AC ＝A 1C 1.∴MN ∥A 1C 1，且MN ＝12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1，∴四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知MN ∥A 1C 1.又∵ND ∥A 1D 1，∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补． 而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均为锐角， ∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.(1)空间两条直线平行的证明一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；三是利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行． (2)求证角相等一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．[针对训练2] 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点．(1)求证：D1E∥BF；(2)求证：∠B1BF＝∠A1ED1.[证明] (1)取BB1的中点M，连接EM，C1M.在矩形ABB1A1中，易得EM綊A1B1，∵A1B1綊C1D1，∴EM綊C1D1，∴四边形EMC1D1为平行四边形，∴D1E∥C1M.在矩形BCC1B1中，易得MB綊C1F，∴BF∥C1M，∴D1E∥BF.(2)∵ED1∥BF，BB1∥EA1，又∠B1BF与∠A1ED1的对应边方向相同，∴∠B1BF＝∠A1ED1.题型三异面直线所成的角【典例3】如图所示，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角.[思路导引] (1)由于CG∥BF，即∠EBF(或其补角)为异面直线CG与BE所成的角．(2)由于BD∥FH，故∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．[解] (1)如图，因为CG∥BF，所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又知O为AH的中点．所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.求异面直线所成的角的步骤(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°<θ<180°，则180°－θ为所求．提醒：求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°.[针对训练3] 如图，P 是平面ABC 外一点，PA ＝4，BC ＝25，D 、E 分别为PC 和AB 的中点，且DE ＝3.求异面直线PA 和BC 所成角的大小．[解] 如图，取AC 中点F ，连接DF 、EF ，在△PAC 中，∵D 是PC 中点，F 是AC 中点，∴DF ∥PA ，同理可得EF ∥BC ， ∴∠DFE 为异面直线PA 与BC 所成的角(或其补角)． 在△DEF 中，DE ＝3，又DF ＝12PA ＝2，EF ＝12BC ＝5，∴DE 2＝DF 2＋EF 2.∴∠DFE ＝90°，即异面直线PA 与BC 所成的角为90°.1．过一点与已知直线垂直的直线有( )A．一条B．两条C．无数条D．无法确定[解析] 过一点与已知直线垂直的直线有无数条，包括相交垂直和异面垂直．[答案] C2．异面直线是指( )A．空间中两条不相交的直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．平面内的一条直线与平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线[解析] 不相交的直线有可能是平行也有可能是异面，故A不正确；如图①中，aα，bβ，但是，a∩b＝A，故B不正确；如图②，aα，bα，但是a∩b＝A，故C不正确；D是异面直线的定义．[答案] D3．若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则( )A．a∥c B．a、c是异面直线C．a、c相交D．a、c平行或相交或异面[解析] a、b、c的位置关系有下面三种情况，如图所示，由图形分析可得答案为D.[答案] D4．过直线l外两点可以作l的平行线条数为( )A．1 B．2C．3 D．0或1[解析] 以如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1为例．令A 1B 1所在直线为直线l ，过l 外的两点A ，B 可以作一条直线与l 平行，过l 外的两点B ，C 不能作直线与l 平行，故选D.[答案] D探究空间中四边形的形状问题根据三角形的中位线、公理4证明两条直线平行是常用的方法．公理4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两条直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法．【示例】 如图，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．[思路分析] 欲证EFGH 为平行四边形，只需证EH ∥FG ，只需证BD ∥FG 且BD ∥EH . [证明] 连接BD ， 因为EH 是△ABD 的中位线， 所以EH ∥BD ，且EH ＝12BD .同理，FG ∥BD ，且FG ＝12BD .因此EH ∥FG .又EH ＝FG ，所以四边形EFGH 为平行四边形．[引申探究] (1)本例中若加上条件“AC ⊥BD ”，则四边形EFGH 是什么形状？ (2)本例中，若加上条件“AC ＝BD ”，则四边形EFGH 是什么形状？(3)本例中，若加上条件“AC ⊥BD ，且AC ＝BD ”，则四边形EFGH 是什么形状？ [解] (1)由例题可知EH ∥BD ，同理EF ∥AC ， 又BD ⊥AC ，因此EH ⊥EF ， 所以四边形EFGH 为矩形．(2)由例题知EH ∥BD ，且EH ＝12BD ，同理EF ∥AC ，且EF ＝12AC .又AC ＝BD ，所以EH ＝EF .又EFGH 为平行四边形，所以EFGH 为菱形． (3)由(1)(2)可知，EFGH 为正方形．[针对训练] 如图所示，设E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CG CD＝μ(λ，μ∈(0,1))，试判断四边形EFGH 的形状．[解] 连接BD ，在△ABD 中，AE AB ＝AHAD＝λ， ∴EH ∥BD ，且EH ＝λBD . 在△CBD 中，CF CB ＝CGCD＝μ，∴FG ∥BD ，且FG ＝μBD ，∴EH ∥FG ，∴顶点E 、F ，G 、H 在由EH 和FG 确定的平面内． (1)当λ＝μ时．EH ＝FG ，故四边形EFGH 为平行四边形； (2)当λ≠μ时．EH ≠FG ，故四边形EFGH 是梯形．课后作业(六) (时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定异面D ．相交或异面[解析] 可能相交也可能异面，选D.[答案] D2．下列选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是( )[解析] 易知选项A，B中PQ∥RS，选项D中RS与PQ相交，只有选项C中RS与PQ是异面直线．[答案] C3．异面直线a，b，有aα，bβ，且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是( ) A．c与a，b都相交B．c与a，b都不相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条相交[解析] 若c与a，b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.又c与b都在β内，∴b∥c.由公理4，可知a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．[答案] D4．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )A ．CC 1与B 1E 是异面直线 B ．C 1C 与AE 共面 C ．AE 与B 1C 1是异面直线D ．AE 与B 1C 1所成的角为60°[解析] 由于CC 1与B 1E 都在平面C 1B 1BC 内，故C 1C 与B 1E 是共面的，所以A 错误；由于C 1C 在平面C 1B 1BC 内，而AE 与平面C 1B 1BC 相交于E 点，点E 不在C 1C 上，故C 1C 与AE 是异面直线，B 错误；同理AE 与B 1C 1是异面直线，C 正确；而AE 与B 1C 1所成的角就是AE 与BC 所成的角，E 为BC 中点，△ABC 为正三角形，所以AE ⊥BC ，D 错误．[答案] C5．已知空间四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则下列判断正确的是( ) A ．MN ≥12(AC ＋BD )B ．MN ≤12(AC ＋BD )C ．MN ＝12(AC ＋BD )D ．MN <12(AC ＋BD )[解析] 取BC 的中点E ，连接ME ，EN ，又M 、N 分别为AB 、CD 的中点， ∴ME 綊12AC ，EN 綊12BD ，又在△EMN 中，ME ＋EN >MN ，∴12(AC ＋BD )>MN . [答案] D6．在四棱锥P －ABCD 中，各棱所在的直线互相异面的有________对.[解析] 以底边所在直线为准进行考查，因为四边形ABCD 是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线．[答案] 87．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是________．[解析] 连接AD1，则AD1∥BC1.∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC ＝AD1＝CD1，∴∠CAD1＝60°，即AC与BC1所成的角为60°.[答案] 60°8．如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD和AC所成角的度数为________．[解析] 依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF所成的角或其补角即为异面直线AC 与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.[答案] 60°9．如图所示，空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AB ⊥CD ，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，求EF 和AB 所成的角．[解] 取AC 的中点G ，连接EG ，FG ， 则FG ∥CD ，EG ∥AB ，所以∠FEG 即为EF 与AB 所成的角(或其补角)， 且FG ＝12CD ，EG ＝12AB ，所以FG ＝EG .又由AB ⊥CD 得FG ⊥EG ， 所以∠FEG ＝45°.故EF 和AB 所成的角为45°.10．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是CC 1、B 1C 1、C 1D 1的中点．求证：∠NMP ＝∠BA 1D.[证明] 如图，连接CB 1、CD 1，∵CD 綊A 1B 1∴四边形A1B1CD是平行四边形∴A1D∥B1C.∵M、N分别是CC1、B1C1的中点∴MN∥B1C，∴MN∥A1D.∵BC綊A1D1，∴四边形A1BCD1是平行四边形∴A1B∥CD1.∵M、P分别是CC1、C1D1的中点，∴MP∥CD1∴MP∥A1B∴∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反∴∠NMP＝∠BA1D.应试能力等级练(时间25分钟)11．若直线a、b分别与直线l相交且所成的角相等，则a、b的位置关系是( ) A．异面B．平行C．相交D．三种关系都有可能[解析] 以正方体ABCD－A1B1C1D1为例．A1B1、AB所在直线与BB1所在直线相交且所成的角相等，A1B1∥AB；A1B1、BC所在直线与BB1所在直线相交且所成的角相等，A1B1与BC是异面直线；AB、BC所在直线与AC所在直线相交且所成的角相等，AB与BC相交，故选D.[答案] D12．如图所示，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M、N分别为AB、CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于( )A ．5B ．6C ．8D ．10[解析] 如图，取AD 的中点P ，连接PM 、PN ，则BD ∥PM ，AC ∥PN ，∴∠MPN 即异面直线AC 与BD 所成的角，∴∠MPN ＝90°，PN ＝12AC ＝4，PM ＝12BD ＝3，∴MN ＝5.[答案] A13.如图正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与AD 1异面且与AD 1所成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有________条．[解析] 与AD 1异面的面对角线分别为：A 1C 1、B 1C 、BD 、BA 1、C 1D ，其中只有B 1C 和AD 1所成的角为90°.[答案] 114．已知空间四边形ABCD 中，AB ≠AC ，BD ＝BC ，AE 是△ABC 的边BC 上的高，DF 是△BCD 的边BC 上的中线，则直线AE 与DF 的位置关系是________．[解析] 由已知，得E 、F 不重合． 设△BCD 所在平面为α则DF α，A ∉α，E ∈α，E ∉DF ∴AE 与DF 异面． [答案] 异面15．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 、F 分别为BC 和AD 的中点，将平面DCEF 沿EF 翻折起来，使CD 到C ′D ′的位置，G 、H 分别为AD ′和BC ′的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形．[证明] ∵梯形ABCD 中，AB ∥CDE 、F 分别为BC 、AD 的中点∴EF ∥AB 且EF ＝12(AB ＋CD )又C ′D ′∥EF ，EF ∥AB ，∴C ′D ′∥AB . ∵G 、H 分别为AD ′、BC ′的中点∴GH ∥AB 且GH ＝12(AB ＋C ′D ′)＝12(AB ＋CD )∴GH 綊EF ，∴四边形EFGH 为平行四边形．。
高一数学空间两直线的位置关系知识点归纳
高一数学空间两直线的位置关系知识点归纳空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：(1)共面：平行、相交(2)异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。
异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线所成的角：范围为(0，90)esp.空间向量法两异面直线间距离：公垂线段(有且只有一条)esp.空间向量法2、若从有无公共点的角度看可分为两类：(1)有且仅有一个公共点相交直线;(2)没有公共点平行或异面直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内有无数个公共点②直线和平面相交有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp.空间向量法(找平面的法向量)规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0，90]最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理：如果平面内的一条直线，与这个平面的.一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直esp.直线和平面垂直直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
③直线和平面平行没有公共点直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
高中数学 第1章 立体几何初步 1.2.2 空间两条直线的位置关系课件10 苏教版必修2
要作平行移动(平行线)，把两条异面
直线所成的角，转化为两条相交直
线所成的角.
小结
空间两直线的位置关系
相交直线 平行直线 异面直线
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
异面直线所成的角 平移，转化为相交直线所成的角 公理４： 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．
空间中两直线的位置 关系
新课导入
回顾旧知
同一平面内的两条直线有哪些位置关系？
a
o
b
相交
a b
平行
如何判断两直线相交？
a
o
b
两直线有公共交点。
如何判断两直线平行？ a b
两直线在同一平面，且无公共交点。
立交桥
黑板两侧所在的直线与课桌边沿所 在直线平行吗？相交吗？
既非平行 又非相交
很显然，由初中学习的平面几何
A
a
(1)
b
(3)
练习2：如图在正方体中，与BD1异面的棱有
D1
C1
A1
B1
D A
C B
AA1, AD, A1B1, B1C1,C1C,CD
探究
例:如图是一个正方体的表面展开图,
如果将它还原为正方体，那么AB，CD，
EF，GH这四条线段所在直线是异面直线
的有多少对? AB与CD,AB与GH,EF与GH
拓展到高中学习的立体几何，两 条直线出现了第3种位置关系------既不平行也不相交，同学们你
能猜出是哪种位置关系吗？
思考
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？ 答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
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高中数学苏教版教材目录(必修+选修)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN苏教版-----------------------------------必修1-----------------------------------第1章集合1.1集合的含义及其表示1.2子集、全集、补集1.3交集、并集第2章函数2.1函数的概念2.1.1函数的概念和图象2.1.2函数的表示方法2.2函数的简单性质2.2.1函数的单调性2.2.2函数的奇偶性2.3映射的概念第3章指数函数、对数函数和幂函数3.1指数函数3.1.1分数指数幂3.1.2指数函数3.2对数函数3.2.1对数3.2.2对数函数3.3幂函数3.4函数的应用3.4.1函数与方程3.4.2函数模型及其应用-----------------------------------必修2-----------------------------------第1章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1棱柱、棱锥和棱台1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球1.1.3中心投影和平行投影1.1.4直观图画法1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质1.2.2空间两条直线的位置关系 1.平行直线2.异面直线1.2.3直线与平面的位置关系1.直线与平面平行2.直线与平面垂直1.2.4平面与平面的位置关系1.两平面平行2.平面垂直1.3空间几何体的表面积和体积1.3.1空间几何体的表面积1.3.2空间几何体的体积第2章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.1直线的斜率2.1.2直线的方程1.点斜式2.两点式3.一般式2.1.3两条直线的平行与垂直2.1.4两条直线的交点2.1.5平面上两点间的距离2.1.6点到直线的距离2.2圆与方程2.2.1圆的方程2.2.2直线与圆的位置关系2.2.3圆与圆的位置关系2.3空间直角坐标系2.3.1空间直角坐标系2.3.2空间两点间的距离-----------------------------------必修3-----------------------------------第1章算法初步1.1算法的意义1.2流程图1.2.1顺序结构1.2.2选择结构1.2.3循环结构1.3基本算法语句1.3.1赋值语句1.3.2输入、输出语句1.3.3条件语句1.3.4循环语句1.4算法案例第2章统计2.1抽样方法2.1.1简单随机抽样1.抽签法2.随机数表法2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样2.2总体分布的估计2.2.1频率分布表2.2.2频率分布直方图与折线图2.2.3茎叶图2.3总体特征数的估计2.3.1平均数及其估计2.3.2方差与标准差2.4线性回归方程第3章概率3.1随机事件及其概率3.1.1随机现象3.1.2随机事件的概率3.2古典概型3.3几何概型3.4互斥事件-----------------------------------必修4-----------------------------------第1章三角函数1.1任意角、弧度1.1.1任意角1.1.2弧度制1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数1.2.2同角三角函数关系1.2.3三角函数的诱导公式1.3三角函数的图象和性质1.3.1三角函数的周期性1.3.2三角函数的图象与性质1.3.3函数y=Asin(ωx+ψ)的图象1.3.4三角函数的应用第2章平面向量2.1向量的概念及表示2.2向量的线性运算2.2.1向量的加法2.2.2向量的减法2.2.3向量的数乘2.3向量的坐标表示2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的坐标运算2.4向量的数量积2.5向量的应用第3章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2二倍角的三角函数3.3几个三角恒等式-----------------------------------必修5-----------------------------------第1章解三角形231．1正弦定理 1．2余弦定理1．3正弦定理、余弦定理的应用 第2章 数列 2．1数列2．2等差数列2.2.1等差数列的概念2.2.2等差数列的通项公式2.2.3等差数列的前n 项和2．3等比数列2.3.1等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式2.3.3等比数列的前n 项和 第3章 不等式 3．1不等关系3．2一元二次不等式3．3二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式表示的平面区域3.3.2二元一次不等式组表示的平面区域 3.3.3简单的线性规划问题3．4基本不等式2b a ab +≤)0,0(≥≥b a 3.4.1基本不等式的证明3.4.2基本不等式的应用-----------------------------------选修1-1-----------------------------------第1章 常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定 第2章 圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的共同性质 第3章 导数及其应用3．1导数的概念3.1.1平均变化率3.1.2瞬时变化率——导数3．2导数的运算3.2.1常见函数的导数3.2.2函数的和、差、积、商的导数 3．3导数在研究函数中的应用3.3.1单调性3.3.2极大值和极小值3.3.3最大值和最小值3．4导数在实际生活中的应用-----------------------------------选修1-2-----------------------------------第1章 统计案例1．1独立性检验 1．2回归分析第2章 推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏 2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明 第3章 数系的扩充与复数的引入 3．1数系的扩充 3．2复数的四则运算 3．3复数的几何意义 第4章 框图 4．1流程图 4．2结构图-----------------------------------选修2-1-----------------------------------第1章 常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定 第2章 圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的统一定义2．6曲线与方程2.6.1曲线与方程2.6.2求曲线的方程2.6.3曲线的交点 第3章 空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其线性运算3.1.2共面向量定理3.1.3空间向量基本定理3.1.4空间向量的坐标表示3.1.5空间向量的数量积 3．2空间向量的应用3.2.1直线的方向向量与平面的法向量3.2.2空间线面关系的判定3.2.3空间的角的计算-----------------------------------选修2-2-----------------------------------第一章 导数及其应用1．1导数的概念1.1.1平均变化率1.1.2瞬时变化率——导数1．2导数的运算1.2.1常见函数的导数1.2.2函数的和、差、积、商的导数1.2.3简单复合函数的导数1．3导数在研究函数中的应用1.3.1单调性1.3.2极大值和极小值1.3.3最大值和最小值1．4导数在实际生活中的应用1．5定积分1.5.1曲边梯形的面积1.5.2定积分1.5.3微积分基本定理第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明2．3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充3．2复数的四则运算3．3复数的几何意义-----------------------------------选修2-3-----------------------------------第一章计数原理1．1两个基本原理1．2排列1．3组合1．4计数应用题1．5二项式定理1.5.1二项式定理1.5.2二项式系数的性质及用第二章概率2．1随机变量及其概率分布2．2超几何分布2．3独立性2.3.1条件概率2.3.2事件的独立性2．4二项分布2．5随机变量的均值与方差2.5.1离散型随机变量的均值2.5.2离散型随机变量的方差与标准差2．6正态分布第三章统计案例3．1独立性检验3．2回归分析-----------------------------------选修4-1-----------------------------------1.1 相似三角形的进一步认识1.1.1平行线分线段成比例定理1.1.2相似三角形1.2 圆的进一步认识1.2.1圆周角定理1.2.2圆的切线1.2.3圆中比例线段1.2.4圆内接四边形1.3 圆锥截线1.3.1球的性质1.3.2圆柱的截线1.3.3圆锥的截线学习总结报告-----------------------------------选修4-2-----------------------------------2.1 二阶矩阵与平面向量2.1.1矩阵的概念2.1.2二阶矩阵与平面列向量的乘法2.2 几种常见的平面变换2.2.1恒等变换2.2.2伸压变换2.2.3反射变换2.2.4旋转变换2.2.5投影变换2.2.6切变变换2.3 变换的复合与矩阵的乘法2.3.1矩阵乘法的概念2.3.2矩阵乘法的简单性质2.4 逆变换与逆矩阵2.4.1逆矩阵的概念2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组2.5 特征值与特征向量2.6 矩阵的简单应用学习总结报告-----------------------------------选修4-4-----------------------------------4.1 直角坐标系4.1.1直角坐标系4.1.2极坐标系4.1.3球坐标系与柱坐标系4.2 曲线的极坐标方程4.2.1曲线的极坐标方程的意义4.2.2常见曲线的极坐标方程4.3 平面坐标系中几种常见变换4.3.1平面直角坐标系中的平移变换4.3.2平面直角坐标系中的伸缩变换4.4 参数方程44.4.1参数方程的意义4.4.2参数方程与普通方程的互化4.4.3参数方程的应用4.4.4平摆线与圆的渐开线学习总结报告-----------------------------------选修4-5-----------------------------------5.1 不等式的基本性质5.2 含有绝对值的不等式5.2.1含有绝对值的不等式的解法5.2.2含有绝对值的不等式的证明5.3 不等式的证明5.3.1比较法5.3.2综合法和分析法5.3.3反证法5.3.4放缩法5.4 几个著名的不等式5.4.1柯西不等式5.4.2排序不等式5.4.3算术-几何平均值不等式5.5 运用不等式求最大（小）值5.5.1运用算术-几何平均值不等式求最大（小）值5.5.2运用柯西不等式求最大（小）值5.6 运用数学归纳法证明不等式学习总结报告5。
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第1章集合1.2子集、全集、补集1.3交集、并集第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ函数的概念和图象函数的表示方法函数的简单性质映射的概念分数指数幂指数函数对数对数函数二次函数与一元二次方程用二分法求方程的近似解数学2第1章立体几何初步1.1空间几何体棱柱、棱锥和棱台圆柱、圆锥、圆台和球中心投影和平行投影直观图画法1.2点、线、面之间的位置关系平面的基本性质空间两条直线的位置关系直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系第4章平面解析几何初步直线的斜率直线的方程两条直线的平行与垂直两条直线的交点平面上两点间的距离点到直线的距离圆的方程直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系空间直角坐标系空间两点间的距离数学3第5章算法初步第6章统计第7章概率数学4第8章三角函数8.1任意角、弧度第9章平面向量第10章三角恒等变换10.3几个三角恒等式数学5第11章解三角形11．1正弦定理11．2余弦定理11．3正弦定理、余弦定理的应用第12章数列12．1等差数列12．2等比数列12．3数列的进一步认识第13章不等式13．1不等关系13．2一元二次不等式13．3二元一次不等式组与简单的线性规划问题13．4基本不等式选修系列11-1第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程2．1圆锥曲线2．2椭圆2．3双曲线2．4抛物线2．5圆锥曲线与方程第3章导数及其应用3．1导数的概念3．2导数的运算3．3导数在研究函数中的应用3．4导数在实际生活中的应用1-2第1章统计案例1．1假设检验1．2独立性检验1．3线性回归分析1．4聚类分析第2章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．2直接证明与间接证明2．3公理化思想第3章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充3．2复数的四则运算3．3复数的几何意义第4章框图4．1流程图5．2结构图选修系列22-1第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系1．2简单的逻辑连接词1．3全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程2．1圆锥曲线2．2椭圆2．3双曲线2．4抛物线2．5圆锥曲线的统一定义2．6曲线与方程第3章空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算3．2空间向量的应用2-2第1章导数及其应用1．1导数的概念1．2导数的运算1．3导数在研究函数中的应用1．4导数在实际生活中的应用1．5定积分第2章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．2直接证明与间接证明2．3数学归纳法2．4公理化思想第3章数系的扩充与复数的引入6．1数系的扩充3．2复数的四则运算3．3复数的几何意义2-3第1章计数原理1．1两个基本原理1．2排列1．3组合1．4计数应用题1．5二项式定理第2章概率2．1随机变量及其概率分布2．2超几何分布2．3独立性2．4二项分布2．5离散型随机变量的均值与方差2．6正态分布第3章统计案例3．1假设检验3．2独立性检验3．3线性回归分析4．4聚类分析。
2019_2020学年高中数学第一章立体几何初步4.2公理4及等角定理练习(含解析)北师大版必修2
第二课时公理4及等角定理填一填1.公理4(1)文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．(2)符号表述：a∥b，b∥c⇒a∥c.2．两条直线的位置关系(1)共面直线①平行直线：特征：在同一平面内没有公共点．记法：直线m与直线n平行，记作m∥n.②相交直线特征：在同一平面内有且只有一个公共点．记法：直线m与直线n相交于点A，记作m∩n＝A.(2)异面直线：特征：不共面的两条直线，没有公共点．3．等角定理空间中，两个角的两条边分别对应平行，这两个角相等或互补．4．异面直线所成的角定义前提两条异面直线a，b作法过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2结论这两条相交直线所成的锐角(或直角)即为异面直线a，b所成的角范围记异面直线a与b所成的角为θ，则0°<θ≤90°特殊情况当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.判一判1.2．两条异面直线所成的角一定是锐角．(×)3．和两条异面都相交的两直线必是异面直线．(×)4．如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直．(√)5．空间等角定理为定义异面直线所成的角提供了理论依据．(√)6．如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等．(√)7．对于直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c.(√)8．空间三条直线a c异面．(×)想一想1.空间中，没有公共点的两条直线一定平行吗？提示：不一定，在平面内没有公共点的两条直线平行，在空间没有公共点的两条直线可能平行，也可能异面．2．证明两条直线平行的方法有哪些？提示：(1)公理4：即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，这是一种常用方法，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；(2)平行直线的定义：证明在同一平面内，这两条直线无公共点．3．运用“等角定理”判定两个角是相等还是互补的方法是什么？提示：(1)判定两个角的方向是否相同，若相同则必相等，若相反则必互补；(2)判定这两个角是否均为锐角或均为钝角，若均是则相等，若不均是则互补．4．求两异面直线所成的角的三个步骤是什么？提示：(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；(2)证：证明作出的角就是要求的角；(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角θ的范围是0°<θ≤90°.思考感悟：练一练1.空间任意两个角β为( )A．60° B．120°C．30° D．60°或120°答案：D2．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是( )A．共面 B．平行C．异面 D．平行或异面答案：D3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD1与A1C1所成角的大小是________．答案：60°4．设α为两条异面直线所成的角，则α满足( )A．0°<α<90° B．0°<α≤90°C．0°≤α≤90° D．0°<α<180°答案：B5．已知a，b，c是空间三条直线，则下列命题中正确命题的序号为________．①若a⊥b，b∥c，则a⊥c②若a，b相交，b，c相交，则a，c也相交③若a，b平行，b，c平行，则a，c也平行答案：①③知识点一公理4及等角定理的应用1．已知AB ∥PQ ，BC ∥QR ，若∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于( ) A ．30° B．30°或150° C ．150° D．以上结论都不对解析：由空间等角定理，可知∠PQR 与∠ABC 相等或互补，故∠PQR ＝30°或150°. 答案：B2．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是棱CC 1，BB 1及DD 1的中点，证明：∠BGC ＝∠FD 1E .证明：因为E ，F ，G 分别是正方体的棱CC 1，BB 1，DD 1的中点， 所以CE 綊GD 1，BF 綊GD 1.所以四边形CED 1G 与四边形BFD 1G 均为平行四边形． 所以GC 綊D 1E ，GB 綊D 1F .又∠BGC 与∠FD 1E 对应两边的方向相同， 所以∠BGC ＝∠FD 1E .知识点二 异面直线及所成的角3.如图，在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，若EF ＝3，求异面直线AD ，BC 所成角是( )A ．30° B．45° C ．60° D．120°解析：如图，取BD 的中点M ， 连接EM ，FM .因为E ，F 分别是AB ，CD 的中点，所以EM 綊12AD ，FM 綊12BC ，则∠EMF 或其补角就是异面直线AD ，BC 所成的角． 因为AD ＝BC ＝2， 所以EM ＝MF ＝1，在等腰△MEF 中，过点M 作MH ⊥EF 于H ，在Rt△MHE 中，EM ＝1，EH ＝12EF ＝32，则sin∠EMH ＝32，于是∠EMH ＝60°， 则∠EMF ＝2∠EMH ＝120°.所以异面直线AD ，BC 所成的角为∠EMF 的补角，即异面直线AD ，BC 所成的角为60°.故选C.答案：C4．如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 成60°角，点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，求直线AB 和MN 所成的角．解析：如图，取AC 的中点P ，连接PM ，PN ，因为点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，所以PM ∥AB ，且PM ＝12AB ；PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN (或其补角)为AB 与CD 所成的角． 所以∠PMN (或其补角)为AB 与MN 所成的角． 因为直线AB 与CD 成60°角， 所以∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°. 又因为AB ＝CD ，所以PM ＝PN ， (1)若∠MPN ＝60°， 则△PMN 是等边三角形， 所以∠PMN ＝60°，即AB 与MN 所成的角为60°. (2)若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形． 所以∠PMN ＝30°，即AB 与MN 所成的角为30°.综合知识公理4及等角定理5.如图，等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝2，DA ⊥AC ，DA ⊥AB ，若DA ＝1，且E 为DA 的中点．求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值．解析：取AC 的中点F ，连接BF 、EF ，在△ACD 中，E 、F 分别是AD 、AC 的中点，所以EF ∥CD ，所以∠BEF 即为所求的异面直线BE 与CD 所成的角(或其补角)．在Rt△EAB 中，AB ＝1，AE ＝12AD ＝12，所以BE＝52. 在Rt△AEF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝12，所以EF ＝22. 在Rt△ABF 中，AB ＝1，AF ＝12，所以BF ＝52. 在等腰△EBF 中，cos∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝1010，所以异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010. 6．在四棱锥A －BCDE 中，底面四边形BCDE 为梯形，BC ∥DE .设CD ，BE ，AE ，AD 的中点分别为M ，N ，P ，Q .(1)求证：M ，N ，P ，Q 四点共面；(2)若AC ⊥DE ，且AC ＝3BC ，求异面直线DE 与PN 所成角的大小． 解析：(1)证明：∵CD ，BE ，AE ，AD 的中点分别为M ，N ，P ，Q ， ∴PQ 为△ADE 的中位线，MN 为梯形BCDE 的中位线． ∴PQ ∥DE ，MN ∥DE ，∴PQ ∥MN ，∴M ，N ，P ，Q 四点共面． (2)∵PN 为△ABE 的中位线， ∴PN ∥AB .又BC ∥DE ，∴∠ABC 即异面直线DE 与PN 所成的角． 又AC ⊥DE ， ∴AC ⊥BC ，在Rt△ACB 中，tan∠ABC ＝AC BC ＝3BCBC＝3，∴∠ABC ＝60°.∴异面直线DE 与PN 所成的角为60°.基础达标一、选择题1．若a，b为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是( )A．相交 B．异面C．平行 D．异面或相交解析：由空间直线的位置关系，知c与b可能异面或相交．答案：D2.在三棱锥P－ABC中，PC与AB所成的角为70°，E，F，G分别为PA，PB，AC的中点，则∠FEG等于( )A．20° B．70°C．110° D．70°或110°解析：因为E，F，G分别为PA，PB，AC的中点，所以EF∥AB，EG∥PC，所以∠FEG或其补角为异面直线PC与AB所成的角，又AB与PC所成的角为70°，所以∠FEG为70°或110°.答案：D3．一条直线与两条异面直线中的一条相交，那么它与另一条直线之间的位置关系是( )A．平行 B．相交C．异面 D．相交或平行或异面解析：如图分别为相交、平行、异面的情形．答案：D4．E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则EG与FH的位置关系是( )A．异面 B．平行C．相交 D．重合解析：由题意画出图后，易得EG，FH是平行四边形EF－GH的对角线．答案：C5．若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则( )A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面解析：逐个分析，过点P与l，m都平行的直线不存在；过点P与l，m都垂直的直线只有一条；过点P与l，m都相交的直线不一定存在；过点P与l，m都异面的直线有无数条．答案：B6.已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中(如图所示)，l平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列结论一定不可能的是( )A．l与AD平行B．l与AB异面C．l与CD所成的角为30°D．l与BD垂直解析：假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，可得l∥B1C1，这与“l与B1C1不平行”矛盾，所以l与AD不平行．答案：A7.如图所示，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，HG与IJ所成角的度数为( ) A．90° B．60°C．45° D．0°解析：将三角形折成空间几何体，如图所示，HG与IJ是一对异面直线．因为IJ∥AD，HG∥DF，所以DF与AD所成的角为HG与IJ所成的角，又∠ADF＝60°，所以HG与IJ所成的角为60°.答案：B二、填空题8．已知∠BAC＝∠B1A1C1，AB∥A1B1，则AC与A1C1的位置关系是________．解析：如图所示，∠BAC＝∠B1A1C1，AB∥A1B1，由图可知AC与A1C1可能平行、相交或异面．答案：平行、相交或异面9.如图所示，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，AA 1的中点． (1)直线AB 1和CC 1所成的角为________； (2)直线AB 1和EF 所成的角为________． 解析：(1)因为BB 1∥CC 1，所以∠AB 1B 即为异面直线AB 1与CC 1所成的角，∠AB 1B ＝45°.(2)连接B 1C ，易得EF ∥B 1C ，所以∠AB 1C 即为直线AB 1和EF 所成的角． 连接AC ，则△AB 1C 为正三角形， 所以∠AB 1C ＝60°.答案：(1)45° (2)60°10．在空间四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若AC ＝BD ，且AC ⊥BD ，则四边形EFGH 的形状是________．解析：如图，E ，F ，G ，H 分别为中点，所以EF 綊12AC ，GH 綊12AC ，所以EF 綊GH ，所以四边形EFGH 为平行四边形． 又AC ⊥BD ，所以FG ⊥GH .因为AC ＝BD ， 所以FG ＝GH ，所以EFGH 为正方形． 答案：正方形 11.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论： ①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上)．解析：由异面的定义判断可知③④正确．答案：③④12.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上结论中正确结论的序号为________．解析：还原成正方体如图所示，可知①正确．②AB∥CM，不正确．③正确．④MN⊥CD.不正确．答案：①③三、解答题13.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点，问(1)AM和CN是否是异面直线？(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．解析：由于M，N分别是A1B1和B1C1的中点，可证明MN∥AC，因此AM与CN不是异面直线．由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大，判断的方法可用反证法．(1)不是异面直线．理由：因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1.又因为A1A綊C1C，所以A1ACC1为平行四边形．所以A1C1∥AC，得到MN∥AC，所以A，M，N，C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线，证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1D内，则B∈平面CC1D1D，C∈平面CC1D1D.所以BC平面CC1D1D，这与ABCD－A1B1C1D1是正方体相矛盾．所以假设不成立，故D 1B 与CC 1是异面直线．14．已知点A 是△BCD 所在平面外一点，AD ＝BC ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，且EF ＝22AD ，求异面直线AD 和BC 所成的角．解析：如图，设G 是AC 的中点，连接EG ，FG .因E ，F 分别是AB ，CD 的中点，故EG ∥BC ，且EG ＝12BC ，FG ∥AD ，且FG ＝12AD .由异面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或直角为异面直线AD ，BC 所成的角，即∠EGF 为所求的角．由BC ＝AD 知EG ＝GF ＝12AD ，又EF ＝22AD ，由勾股定理可得∠EGF ＝90°，即异面直线AD和BC 所成的角为90°.能力提升15.如图，在三棱锥A －BCD 中，O ，E 分别是BD ，BC 的中点，AO ⊥OC ，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝2，求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值．解析：取AC 的中点M ，连接OM ，ME ，OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB ， 由O 为BD 中点知OE ∥DC ，所以直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角．在△OME 中，EM ＝12AB ＝22，OE ＝12DC ＝1，因为OM 是Rt△AOC 斜边AC 上的中线，所以OM ＝12AC ＝1，取EM 的中点H ，连OH ， 则OH ⊥EM ， 在Rt△OEH 中，所以cos∠OEM ＝EH OE ＝12×221＝24. 16.如图，E ，F ，G ，H 分别是三棱锥A －BCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE EB ＝AH HD ＝λ，CF FB ＝CG GD ＝μ.(1)若λ＝μ，判断四边形EFGH 的形状；(2)若λ≠μ，判断四边形EFGH 的形状； (3)若λ＝μ＝12，且EG ⊥HF ，求AC BD的值． 解析：(1)因为AE EB ＝AH HD ＝λ，所以EH ∥BD ，且EH ＝λ1＋λBD .① 又因为CF FB ＝CG GD ＝μ.所以FG ∥BD ，且FG ＝μ1＋μBD .②又λ＝μ，所以EH 綊FG (公理4)．因此λ＝μ时，四边形EFGH 为平行四边形．(2)若λ≠μ，由①②，知EH ∥FG ，但EH ≠FG ，因为λ≠μ时，四边形EFGH 为梯形．(3)因为λ＝μ，所以四边形EFGH 为平行四边形．又因为EG ⊥HF ，所以四边形EFGH 为菱形．所以FG ＝HG .所以AC ＝(λ＋1)HG ＝32HG ＝32FG ， 又BD ＝1＋μμFG ＝3FG ， 所以AC BD ＝12.。
2019-2020年高中数学第1章立体几何初步6空间两条直线的位置关系(2)教学案(无答案)苏教版必修2
2019-2020年高中数学第1章立体几何初步6空间两条直线的位置关系（2）教学案（无答案）苏教版必修2目标要求1、理解异面直线的定义，异面直线所成角的定义、两条异面直线垂直的定义；2、理解异面直线判定的方法，并会求简单的异面直线所成角；3、体会空间问题化归为平面问题求解的策略.重点难点重点：异面直线的判定及异面直线所成角的定义；难点：异面直线所成角的定义和范围.典例剖析例1、（1）在空间四边形ABCD中，直线AB与CD位置关系是_______________.（2）下列命题中①已知ａ,ｂ,ｃ三条直线,其中ａ,ｂ异面,若ａ||ｃ,则ｂ与ｃ异面②若ａ与ｂ异面,ｂ与ｃ异面，则ａ与ｃ异面③分别在两个平面内的直线一定是异面直线④既不平行也不相交的两条直线是异面直线正确命题的序号是_____________.例2、如图,已知是异面直线,，求证：直线中至少有一条与直线相交.αabβ例3、如图,已知不共面的直线相交于O点,M,P是直线上两点,N,Q分别是上一点.求证:MN,PQ 是异面直线.例4、如图,已知是棱长为的正方体（1）正方体的哪些棱所在的直线与直线是异面直线？（2）求异面直线与BC所成的角；（3）求异面直线和AC所成的角.1AabcNQPMO学习反思1、反证法的一般步骤是；2、求异面直线所成角的关键是____________，如何作出异面直线所成角？______________ 课堂练习1、给出下列命题（1）则a和b是异面直线（2）a与b异面,b与c异面,则a与c异面（3）a,b不同在一个平面内,则a与b异面（4）a,b不同在一个任何平面内,则a、b异面正确命题的序号是______________.2、设两条异面直线所成角为θ，则角θ的范围是 ______________.3、在棱长为a的正方体中,则与成角为____________.4、在两个相交的平面内各画一条直线，使它们成：（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线.江苏省泰兴中学高一数学作业(123)班级姓名得分1、一条直线和两条异面直线的一条平行，则它与另一条的位置关系是 ___________2、已知四棱柱,与棱AA1异面的棱有_______________.3、下列命题中，正确的命题序号是________________.①，直线，则所成的角为；②若直线，且所成的角为，则所成的角也为；③若直线与直线c所成的角相等，则；④若直线与直线c所成的角不相等，则不平行.4、若,直线,和OB异面,则和OB所成的角为_____________.5、正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为ａ，那么（１）哪些棱所在的直线与直线BA1成异面直线.（２）直线BA1与CC1所成角的大小为.（3）直线BA1与B1C所成角的大小.6、正方体中，E、F分别是棱AD、CC1的中点，则A1E与BF所成的角为 .7、分别和两条异面直线都相交的两直线的位置关系是 .8、是异面直线，A，B，C，D是四个不同的点，且求证：AB与CD是异面直线.9、如图，空间四边形ABCD中，F，G分别是边BC、DA的中点，空间四边形的两条对角线AC、BD的长均为2，(1)若FG=，求两条对角线AC、BD所成的角的大小.(2) 若FG=，求两条对角线AC、BD所成的角的余弦值.10、如图，在正方体中，，E、F分别是BC、CD的中点，求异面直线与EF所成角的大小.1 A。
高中数学第1章立体几何初步1.2.2空间两条直线的位置关系3高一数学
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空间两条直线的位置(wèi zhi)关系：
位置(wèi zhi)关系
共面情况
(qíngkuàng)
相交直线 在同一个平面内
平行直线
在同一个平面内
异面直线 不同在任何一个平面内
公共点个数
有且只有一个
没有
没有
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平行 直线 (píngxíng)
问题：在平面几何中，同一个平面内的直线a,b,c,如果 a//b且c//b，那么a//c。这个(zhège)性质在空间中是否成立呢？
观察(guānchá)下列图形 D1
A1
C1
o1
A1
B1
B1
O
D
CA
B
A
B
图中AA1//BB1,CC1//BB1，观察得AA1//CC1
右图中AA1//OO1,BB1//OO1,观察得AA1//BB1
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显而易见，空间的三条直线也具有这样(zhèyàng)的性质
公理4 平行于同一条直线(zhíxiàn)的两条直线(zhíxiàn)互相平行
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E1
A1
C
E
C1
D1 B1
A1
C1
D1
B1 C
A
A
DB
B
思考：如果 BAC 和 B1A1C1 的边AB//A1B1 ， AC//A1C1，且AB, A1B1方向相同，而边 AC, A1C1 方向相反，那么BAC 和 B1A1C1 之间有何关系？ 为什么？
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例2 如图,已知E,E1分别为正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱AD,A1D1的中点(zhōnɡ ， diǎn)
高中数学第1章立体几何初步1.2.2空间两条直线的位置关系1高一数学
Image
12/12/2021
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方法一：平行四边形的平行关系。 方法二：三角形的”中位线”定理；
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内容(nèiróng)总结
直线与平面的位置关系（1）。————直线在平面内。————直线与平面相交。——— —直线与平面平行。观察AB的对边CD在各个位置时是不是与桌面所在的平面平行。“面外、
No 面内、平行”。(1)E、F、G、H四点是否共面。(1)当P、Q对角线BD、CF上的中点(zhōnɡ diǎn)。
证法二： 过Q作BC的平行线
A
M
P
C
N
E
交CE于N
过P作BC的平行线交CD于
M
B
Q
F
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我思我进步
变式：如图，已知有公共边AB的两个(liǎnɡ ɡè)全等矩形ABCD和 ABEF不在同一个平面内，P、Q对角线AE、BD上的动点。当P、 Q满足什么条件时，PQ∥平面CBE？
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M
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课堂 小结： (kètáng)
1.直线(zhíxiàn)与平面平行的判定：
(1)运用定义； (2)运用判定定理：线线平行线面平行 2.应用判定定理判定线面平行(píngxíng)时应注意六个 字: 3.应（用1）判面定外定，理判（定2）线面面内平，行（的3关）键平是行找。平行线
直线与平面的位置(wèi zhi)关系（1）
高中数学第1章立体几何初步1.2.2空间两条直线的位置关系2高一数学
C1
B1
C B
例 题 研 讨：
例2、如图，四棱锥P-ABCD中，底面是正方形，中心
(zhōngxīn)为O，且底面边长和侧棱相等，M是PC中点，求
MO与AB所成的角。
P
M
D O
A
C
N
B
第十二页，共十八页。
例 题 研 讨：
例3、已知平面a与平面β交于直线(zhíxiàn)l，A、B为直线l上的
两点，在平面a内作直线AC，在平面β内作直线BD,求证：
第十六页，共十八页。
课堂 小结: (kètáng)
1、异面直线的判定方法(fāngfǎ)； 2、两条异面直线所成角的概念及求法。
说明： 异面直线所成角的范围是
(
0
,
2
，] 在把异面直线所成
的角平移转化为平面三角形中的角时，常用余弦定
理求其大小，当余弦值为负值时，其对应角为钝角，
这不符合两条异面直线所成角的定义，故其补角为
AC与BD 是异面直线。
bD
Al
B
a
C
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课堂练习:
教材 28页1~6 (jiàocái)
第十四页，共十八页。
拓展 提高: (tuò zhǎn)
例4、
已知三棱锥A-BCD中，AB=CD，且直线(zhíxiàn)AB与CD成 600角，点M、N分别是BC、AD的中点，求直线AB和MN
异面直线
第一页，共十八页。
复习 回 一：
(fùxí)
顾公理(gōnglǐ)4：平行于同一直线的两条
直线互相平行。
abc
证明：空间四边形各边中点
(zhōnɡ diǎn)的连线是平行四边形
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2019-2020学年高中数学 第1章 立体几何初步 6 空间两条直线的
位置关系（2）教学案苏教版必修2
目标要求
1、 理解异面直线的定义，异面直线所成角的定义、两条异面直线垂直的定义；
2、 理解异面直线判定的方法，并会求简单的异面直线所成角；
3、体会空间问题化归为平面问题求解的策略. 重点难点
重点：异面直线的判定及异面直线所成角的定义； 难点：异面直线所成角的定义和范围. 典例剖析
例1、（1）在空间四边形ABCD 中，直线AB 与CD 位置关系是_______________.
（2）下列命题中
①已知ａ,ｂ,ｃ三条直线,其中ａ,ｂ异面,若ａ||ｃ,则ｂ与ｃ异面
②若ａ与ｂ异面,ｂ与ｃ异面，则ａ与ｃ异面 ③分别在两个平面内的直线一定是异面直线 ④既不平行也不相交的两条直线是异面直线 正确命题的序号是_____________.
例2、如图,已知,a b 是异面直线,,,a b l αβαβ⊂⊂=，求证：直线,a b 中至少有一条
与直线l 相交.
a
b
βα
例3、如图,已知不共面的直线,,a b c 相交于O 点,M,P 是直线a 上两点,N,Q
分别是,b c 上一点.求证:MN,PQ 是异面直线.
例4、如图,已知1111ABCD A B C D -是棱长为a 的正方体 （1） 正方体的哪些棱所在的直线与直线1BC 是异面直 线？ （2） 求异面直线1AA 与BC 所成的角；
（3） 求异面直线1BC 和AC 所成的角.
1
A a b
c
N
Q
P M
O
α
学习反思
1、反证法的一般步骤是 ；
2、求异面直线所成角的关键是____________，如何作出异面直线所成角？______________ 课堂练习
1、给出下列命题
（1）,,a b αβ⊂⊂则a 和b 是异面直线 （2）a 与b 异面,b 与c 异面,则a 与c 异面 （3）a,b 不同在一个平面内,则a 与b 异面 （4）a,b 不同在一个任何平面内,则a 、b 异面 正确命题的序号是______________.
2、设两条异面直线所成角为θ，则角θ的范围是 ______________.
3、在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中,则11AC 与1B C 成角为____________.
4、在两个相交的平面内各画一条直线，使它们成：
（1）平行直线； （2）相交直线； （3）异面直线.
江苏省泰兴中学高一数学作业(123)
班级 姓名 得分
1、一条直线和两条异面直线的一条平行，则它与另一条的位置关系是 ___________
2、已知四棱柱1111ABCD A B C D -,与棱AA 1异面的棱有_______________.
3、下列命题中，正确的命题序号是________________. ①ABC θ∠=，直线//,//a AB b BC ，则a b 与所成的角为θ； ②若直线//a b ，且b c 与所成的角为θ，则a c 与所成的角也为θ； ③若直线,a b 与直线c 所成的角相等，则//a b ； ④若直线,a b 与直线c 所成的角不相等，则a b 与不平行.
4、若120AOB ∠=︒,直线a OA ,a 和OB 异面,则a 和OB 所成的角为_____________.
5、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为ａ，那么
（１）哪些棱所在的直线与直线BA 1成异面直线 . （２）直线BA 1与CC 1所成角的大小为 . （3）直线BA 1与B 1C 所成角的大小 .
6、正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱AD 、CC 1的中点，则A 1E 与BF 所成的角为 .
7、分别和两条异面直线,a b 都相交的两直线,c d 的位置关系是 . 8、,a b 是异面直线，A ，B ，C ，D 是四个不同的点，且,,,A C a B D b ∈∈ 求证：AB 与CD 是异面直线.
9、如图，空间四边形ABCD 中，F ，G 分别是边BC 、DA 的中点，空间四边形的两条对角线AC 、BD 的长均为2，
(1)若
AC 、BD 所成的角的大小. (2) 若
AC 、BD 所成的角的余弦值.
10、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA a =，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，求异面
直线
1
AD与EF所成角的大小.
1 A。