材料力学第10章 能量法及其应用

杆件的应变能的计算 1．变形后横截面仍为平面 扭转 拉压变形
∆l ε= l
弯曲
ε =−
y
dϕ γ= r dx
ρ
2．静力学平衡方程 拉压 扭转 弯曲
F = ∫σdA N
A
Mx = ∫ rτdA
A
Mz = −∫ yσdA
A
10.2 杆件变形能计算
线弹性杆的应变能计算 •轴向受力 轴向受力
dx
dx)位移下 外力功： Δ(dx)位移下, 基本概念
卡氏第二定理：线弹性杆件或杆系的应变能V 卡氏第二定理：线弹性杆件或杆系的应变能 ε对作用于该 杆上的某一荷载之变化，等于与该荷载相应的位移。 杆上的某一荷载之变化，等于与该荷载相应的位移。
Vε =V (F 1, F 2,LF ,LF ) ε P P Pi Pn
P1 ∆12
∆11
P2
1）虚设两者之一。注意虚位移(符合约束条件的微小位移)。 虚设两者之一。注意虚位移(符合约束条件的微小位移)
10.1 基本概念
外力虚功的计算 问题：Pi作用，K原因（与Pi无关）引起位 移，求Pi所作虚功Tik。
P1
Tik=Pi∆ik
∆12
∆11 ∆21=θ1 ∆22=θ2
P2=M
1 u = τγ 2
10.2 杆件变形能计算
弯曲 dx段两截面相对弯曲dθ,外力功： = 1 Mdθ dx段两截面相对弯曲 外力功： 段两 dW
dθ
应变能： 应变能： dθ 与弯矩的关系： 弯矩的关系： 总应变能： 总应变能：
1 dU = M θ d 2
2
d2w M dθ = 2 dx = dx EI dx
定性：能量变化的度量。 定性：能量变化的度量。 定量：常力作功： 定量：常力作功：T = P Δ •量纲：[力][长度] 单位：焦耳 N·m 量纲： ][长度] 单位： m 量纲 长度
P P 1
∆1
1 变力作功： 变力作功：力与位移呈正比 T = P⋅ ∆ 2
∆
2.实功与虚功
实功：力对自身引起的位移上作功。 实功：力对自身引起的位移上作功。 虚功：力与位移无关。 虚功：力与位移无关。 2）两者均为实际存在，但彼此无关。 两者均为实际存在，但彼此无关。
应变能 V = 2 M ( y 3/ 2 dA)dx = 2 M dx ε l l 3 ∫ E2I *3 ∫A 3 ∫ E2I *2 余应变能 3
3
3
3/ 2 M 1 1 3/ 2 Vc = ∫ vcdV = ∫ (∫ Eε dA)dx = ∫ (∫ 2 *3 y dA)dx V 3l A 3 l AE I 3 1 M Vc = ∫ 2 *2 dx 3 lE I
Fp i Fp n ∆i
V +V +δFpi ⋅ ∆i 1
由δFpi产生的应变能增量
1 δFpi ⋅ d∆i +δFpi ⋅ ∆i 2
10.1 基本概念
卡氏第一定理：弹性杆件的应变能Vε对于杆件上某位 卡氏第一定理：弹性杆件的应变能 对于杆件上某位 移之变化，等于与该位移相应的荷载。 移之变化，等于与该位移相应的荷载。
M2 ( x) dx 2EI
M dx
M
1 M2l U = ∫M θ = d 20 2EI
l
U =W = ∫
l
应变能密度： 应变能密度：
1 u = σε 2
10.2 杆件变形能计算
线性问题
Vε =Vc
2 FNx 拉压 V =V = c ε ∫l 2EAdx
弯曲
M Vε =Vc = ∫ dx l 2EI z M Vε =Vc = ∫ dx l2 GI p
第10章 能量法及其应用
10.1 基本概念 10.2 杆件变形能计算 10.3 单位载荷法 10.4 互等定理
10.1 基本概念
功和余功的概念 • 力和位移都是广义的 • 力和位移可以是非线性的 功 余功
W = ∫ Fd∆
∆
W = ∫ ∆dF c
F
10.1 基本概念 一、功（WORK)
1.功的概念： 1.功的概念： 功的概念
1 dW = F ∆( dx ) N 2
根据功能原理，应变能： 根据功能原理，应变能：
FN FN
dx+∆dx
由胡克定理
1 dU = dW = F ∆( dx) N 2
总应变能为： 总应变能为：
F2 F2l ∴ =∫ N dx = N U 2EA 2EA 0
l
F Q∆( dx) = N dx EA
应变能密度 u = 1σε
∂Vε ∂V ∂Vε ∂V ε δVε = δFP1 + δFP2 +L+ δFPi +L+ ε δFPn ∂F 1 ∂F 2 ∂F ∂FPn P P Pi
如果只有一个虚力增量δ 如果只有一个虚力增量δFPi
∂V δFPi∆i = ε δFPi ∂F Pi
∂V ε = ∆i ∂F Pi
10.2 杆件变形能计算
2 x
2 z
扭转
满足叠加原理
10.2 杆件变形能计算
例1：梁 ：
ε
σ = Eε
1/ 2
求：应变能，余应变能 应变能，
余应变能密度
应变能密度
2 3/ 2 vε = ∫σdε = Eε 3 0
应变能 余应变能
1 σ3 vc = ∫εdσ = 3 E2 0
σ
3/ 2 2 Vε = ∫ vε dV = ∫ (∫ Eε dA)dx V 3l A
10.1 基本概念
二、应变能 应变能密度 应变能
V = ∫ vedV = ∫ (∫σdε)dV ε
V V ε
ve = ∫σdε
ε
余应变能密度
余应变能
vc = ∫εdσ
σ
Vc = ∫ vcdV = ∫ (∫εdσ)dV
V V σ
根据能量守恒原理： 根据能量守恒原理：
V =W ε
Vc =W c
10.1 基本概念
σ = Eε
1/ 2
ε=
y
ρz
则：
M=
E* I
1
1 ρz/ 2
ρ
1/ 2 z
M 1/ 2 M 1/ 2 = * ε = y * E I E I
3
3/ 2 M 2 2 3/ 2 V = ∫ vε dV = ∫ (∫ Eε dA)dx = ∫ (∫ E 3 *3 ⋅ y dA)dx ε V 3l A 3 l A EI
FP1 FP1 Fi Fppi+ δFp i Fp 2 ... Fp Fn Fp p n ∆i
应变能增量
1 δFpi ⋅ d∆i +δFpi ⋅ ∆i 2
将应变能写成位移的函数 应变能增量
∂V δFPi∆i = ε ∆i ∂∆i
V =V (∆1, ∆2,L∆i ,L n ) ∆ ε ε
如果只有一个虚位移增量Δ 如果只有一个虚位移增量Δi，则： 卡氏第一定理
3/ 2 1 1 σ3 Vc = ∫ vcdV = ∫ (∫ 2 dA)dx = ∫ (∫ Eε dA)dx V 3 l AE 3l A 若为弯曲变形 E y ε= M = ∫ yσdA = 1/ 2 ∫ y3/ 2dA * 3/ 2 A I = ∫ y dA ρz ρz A
A
10.2 杆件变形能计算
卡氏第一定理：弹性杆件的应变能Vε对于杆件上某位 卡氏第一定理：弹性杆件的应变能 对于杆件上某位 移之变化，等于与该位移相应的荷载。 移之变化，等于与该位移相应的荷载。
δFp i
先加载δF 先加载 pi 应变能
1 V = δFpi ⋅ d∆i 1 2
d ∆i
再加载 FP1….FPn 总应变能
FP1
Fp 2 ...
2
10.2 杆件变形能计算
外力功： 两横截面相对转角dϕ, 外力功： 1 dW = Mxdϕ M dϕ 2 M 应变能： 应变能： dU = dW = 1 Mxdϕ 2 根据扭矩与dϕ的关系： dϕ = Mx dx 根据扭矩与d 扭转
x x
GIP
总应变能： 总应变能： 应变能密度： 应变能密度：
l Mx2l 1 U = ∫ Mxdϕ = 20 2GIP
•Δik表示K原因引起的Pi作用点沿Pi方向的位移。 Δ 表示K原因引起的P 作用点沿P 方向的位移。
10.1 基本概念 • 对于多个力作用的情形
外力功 余功
W = ∑∫ F d∆i i
i= 1
n
W = ∑∫ ∆i dFi c
i=1
n
W =W(∆1, ∆2 ,L∆i L ) • 广义力与广义位移 广义力：指与力相关的因子， 广义力：指与力相关的因子， 广义位移： 广义位移：指在作功的关系上与广义力相对应的与位 移相关的因子。 移相关的因子。 • 注意：广义力可有不同的量纲，广义位移也可有不同的 注意：广义力可有不同的量纲， 量纲，但它们的乘积一定是功的量纲。 量纲，但它们的乘积一定是功的量纲。