【校级联考】江苏省无锡市锡北片2021届九年级上学期期中考试数学试题
2020-2021学年无锡市锡山区锡北片九年级上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年无锡市锡山区锡北片九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，其中答对的是()A. 若x2=4，则x=2B. x2+x−k=0的一个根是1，则k=2C. 若3x2=6x，则x=2D. 若分式x(x−2)的值为零，则x=2或x=0x2.关于x的方程x2−x+a−2=0有两个不相等的实数根，则实数a的值可能为A. 2B. 2.5C. 3D. 3.53.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，AD为△ABC的角平分线，CE是△ABC的中线，AD、CE相交于点F，则EF的值为()CDA. √22B. 32C. √2D. 24.如图，已知在△ABC中，AB=14，BC=12，AC=10，D是AC上一点，过点D画一条直线l，把△ABC分成两部分，使其中的一个三角形与△ABC相似，这样的直线有几条()A. 2B. 3C. 3或4D. 45.某商场一月份的营业额为30万元，三月份的营业额为40万元，设每月的平均增长率为，则可列方程为()A. 30(1−x)2=40B. 40(1+x)2=30C. 40(1−x)2=30D. 30(1+x)2=406.在圆内接四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C=2：3：6，则∠D等于()A. 67.5°B. 135°C. 112.5°D. 45°7.如图，身高为1.6m的小明想测量一下操场边大树的高度，他沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=1.4m，CA=0.7m，于是得出树的高度为()A. 3.2mB. 4.8mC. 6.4mD. 8m8.如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O=130°，则∠BAC的度数是()A. 60°B. 65°C. 70°D. 75°9.如图，▱ABCD的周长为32cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为()A. 24cmB. 16cmC. 8cmD. 10cm⏜上一点(不与A，B 10.如图，在半径为4的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧ACB重合)，则cosC的值为()A. √73B. 34C. √74D. 45二、填空题（本大题共7小题，共16.0分）11.将一元二次方程3x(x−1)=2化成ax2+bx+c=0(a>0)的形式为______ ．12.若x1、x2是方程x2+x−1=0的两个根，则(x1+2)(x2+2)=______ ．13.如图是一个几何体的三视图，这个几何体的全面积为______ .(π取3.14)14.如图，△DEF与△ABC位似，点O为位似中心，已知OF：OC=1：2，则△DEF与△ABC的周长之比是______ ．15.如图，∠CAB=30°，点D在射线AB上，且AD=4，点P在射线AC上运动，当△ADP是直角三角形时，PD的长为______．16.已知半径长为3的扇形的圆心角为150°，则此扇形的面积为______ ．17.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，若DE=6，AE=8，则菱形ABCD的周长是．三、解答题（本大题共9小题，共84.0分）18.解下列一元二次方程．(1)x2−6x−4=0(2)x(x−7)=5x−3619.在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，已知三角形OAB是正三角形，且AB=5．(1)这个平行四边形是矩形吗？说明理由．(2)求平行四边形的面积．20.如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−2,3)、B(−6,0)、C(−1,0)．(1)请直接写出点A关于y轴对称的点的坐标为______；(2)将△ABC平移，使点B移动后的坐标为B′(−5,−5)，画出平移后的图形△A′B′C′；(3)将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°，画出旋转后的图形△A″B″C″．21.已知一元二次方程x²−(m−3)x−m²=0(1)证明：方程总有两个不相等的实数根；(2)设方程的两个实数根分别为x₁，x₂，且∣x₁∣=∣x₂∣，求m的值22. 如图，在△ABD中，∠ABD=∠ADB．(1)作点A关于BD的对称点C；(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)(2)在(1)所作的图中，连接BC，DC.求证：四边形ABCD是菱形．23. 某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．(1)该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？(2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．24. 如图：△ABC内接于圆，请用尺规作图(保留作图痕迹)．(1)在图1中作出△ABC外接圆的圆心．(2)在图2中画出一个圆周角使得所作角度数为∠ACB的两倍．25. 如图，AC⊥BC，CD⊥AB，BC⊥DE，若AC=6cm，DE=4cm，求CD之长．26. 如图，AB为⊙O的直径，点C为AB上方的圆上一动点，过点C作⊙O的切线l，过点A作直线l的垂线AD，交⊙O于点D，连接OC，CD，BC，BD，且BD与OC交于点E．(1)求证：△CDE≌△CBE；(2)若AB=4，填空：①当CD⏜的长度是______时，△OBE是等腰三角形；②当BC=______时，四边形OADC为菱形．参考答案及解析1.答案：B解析：解：A、若x2=4，则x=±2，故本选项错误；B、x2+x−k=0的一个根是1，则k=2，故本选项正确；C、若3x2=6x，则x=0或x=2，故本选项错误；D、分式x(x−2)的值为零，则x=2，故本选项错误；x故选：B．根据一元二次方程--因式分解法、直接开平方法，一元二次方程的解的定义以及分式有意义的条件分别对每一项进行分析，即可得出答案．此题考查了因式分解法、直接开平方法解一元二次方程以及分式有意义的条件，注意分式的值为零时，分子为零，分母不为零．2.答案：A解析：此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．根据判别式的意义得到△=12−4(a−2)>0，然后解不等式即可．解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△=12−4(a−2)>0，.解得a<94a的值可以是2，故选A.3.答案：A解析：解：过点F作FG⊥AC，垂足为G，如图1，∵∠ACB=90°，CA=CB，∴AB=√CA2+CB2=√2AC，又∵CE是AB边上的中线，∴AE=12AB=√22AC且CE=AE，∴∠ECA=∠EAC=45°，∴∠ECA=90°，即CE⊥AB，∴FE=FG，∴FGCD =EFCD，在△EFA和△GFA中，{∠BAD=∠DACFE=FG∠CEA=∠FGA=90°，∴△EFA≌△GFA(ASA)，∴AE=AG=√22AC，在△DAC和△FAG中，{∠DAC=∠FAG∠DCA=∠FGA=90∘，∴△DAC∽△FAG，∴FGCD =AGAC=√22ACAC=√22，∴EFCD =√22．故选：A．先过点F作FG⊥AC，垂足为G，由CE是△ABC的中线，根据等腰三角形的性质可得出，CE⊥AB，CE=AE，根据勾股定理可得出AE=12AB=√22AC，根据角平分线的性质可得出FE=FG，即FGCD=EFCD，可证△EFA≌△GFA，可得AG=AE，易证∴△DAC∽△FAG，即FGCD =AGAC，等量代换即可得出答案．本题主要考查了相似三角形和等腰三角形的性质，及角平分线的性质，本题属于综合性题目，合理利用相似三角形的性质是解决本题的关键．4.答案：D解析：解：如图所示：当DF//BC时，则△AFD∽△ABC，当∠ADE=∠B时，则△ADE∽△ABC，当DN//AB时，则△CDN∽△CAB，当∠CDM=∠B时，则△CDM∽△CBA．这样的直线可以画4条．故选：D．分别利用当DF//BC时，当∠ADE=∠B时，当DN//AB时，当∠CDM=∠B时求出相似三角形，进而得出答案．此题主要考查了相似三角形的判定，利用分类讨论得出相似三角形是解题关键．5.答案：D解析：解：二月份的营业额为30×(1+x)，三月份的营业额为30×(1+x)×(1+x)=30×(1+x)2，即所列的方程为30×(1+x)2=40，故选：D．三月份的营业额=一月份的营业额×(1+增长率)2，把相关数值代入即可．考查列一元二次方程；得到三月份的营业额的关系是解决本题的关键．6.答案：C解析：解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，∵∠A：∠B：∠C=2：3：6，设∠A=2a，∠B=3a，∠C=6a，则2a+6a=180°，∴a=22.5°，∴∠B=3a=67.5°，∴∠D=180°−∠B=112.5°．故选C．7.答案：B解析：本题考查了相似三角形的应用，判断出相似三角形，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．求出AB的长度，然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．解：如图，∵BC=1.4m，CA=0.7m，∴AB=AC+BC=0.7+1.4=2.1(m)，∵小明与大树都与地面垂直，∴∠ACE=∠ABD=90°，∵∠CAE=∠BAD，∴△ACE∽△ABD，∴CEBD =ACAB，即1.6BD =0.72.1，解得BD=4.8．故选：B．8.答案：B解析：解：∵AC与⊙O相切于点A，∴AC⊥OA，∴∠OAC=90°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．∵∠O=130°，∴∠OAB=180°−∠O2=25°，∴∠BAC=∠OAC−∠OAB=90°−25°=65°．故选：B．利用切线的性质及等腰三角形的性质求出∠OAC及∠OAB即可解决问题．本题考查切线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9.答案：B解析：解：∵▱ABCD的周长为32cm，∴AD+CD=16cm，OA=OC，∵OE⊥AC，∴AE=CE，∴△DCE的周长为：CD+DE+CE=CD+DE+AE=CD+AD=16cm．故选：B．由▱ABCD的周长为32cm，可得AD+CD=16cm，OA=OC，又由OE⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可证得AE=CE，继而求得△DCE的周长=AD+CD．此题考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质．注意得到△DCE的周长=AD+CD是关键．10.答案：C解析：解：作直径AD，连接BD，∴∠ABD=90°，AD=2OA=2×4=8，∴在Rt△ABD中，BD=√AD2−AB2=√82−62=2√7，∴cosD=BDAD =2√78=√74，∵∠C=∠D，∴cosC=√74．故选：C．首先作直径AD，连接BD，由直径所对的圆周角是直角，即可得∠ABD=90°，然后由勾股定理求得BD的长，继而求得cosD，又由圆周角定理，可得∠C=∠D，则可求得答案．此题考查了圆周角定理、勾股定理以及锐角三角函数的性质．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．11.答案：3x2−3x−2=0解析：解：方程3x(x−1)=2，去括号得：3x2−3x=2，移项得：3x2−3x−2=0．故答案为：3x2−3x−2=0．方程整理为一般形式即可．此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)．12.答案：1解析：解：∵x1、x2是方程x2+x−1=0的两个根，∴x1+x2=−1，x1⋅x2=−1，∵(x1+2)(x2+2)=x1⋅x2+2(x1+x2)+4，∴(x1+2)(x2+2)=−1+2×(−1)+4=−1−2+4=1，故答案为：1．首先求出x1+x2=−1，x1⋅x2=−1，然后把(x1+2)(x2+2)化简为x1⋅x2+2(x1+x2)+4，最后整体代值计算．此题考查了一元二次方根与系数的关系．此题比较简单，若二次项系数为1，x1，x2是方程x2+px+ q=0的两根时，x1+x2=−p，x1x2=q．13.答案：9.42解析：解：这个几何体是圆锥．×2π×2=2π；圆锥的侧面积是：12底面积是：π，则全面积是：2π+π=3π≈9.42．故答案为：9.42．几何体是圆锥，根据扇形面积公式即可求得侧面积，底面是直径是2的圆，两者面积的和就是全面积．本题主要考查三视图的知识和圆锥侧面面积的计算；解决此类图的关键是由三视图得到立体图形；学生由于空间想象能力不够，找不到圆锥的底面半径，或者对圆锥的侧面面积公式运用不熟练，易造成错误．14.答案：1：2解析：解：∵△DEF与△ABC位似，点O为位似中心，∴△DEF与△ABC的周长之比是：1：2．故答案为：1：2．直接利用位似图形的性质得出△DEF与△ABC的周长之比．此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．15.答案：4√33或2解析：解：当∠ADP=90°时，△ADP是直角三角形，∵∠CAB=30°，∴AP=2PD，∵AD2+PD2=AP2，∴42+PD2=(2PD)2，∴PD=4√33，当∠APD=90°时，△ADP是直角三角形，∵∠CAB=30°，∴PD=12AD=2，综上所述，4√33或2．故答案为：4√33或2．根据勾股定理和30°的角所对的直角边是斜边的一半即可得到结论．本题考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．16.答案：15π4解析：解：∵半径长为3的扇形的圆心角为150°，∴此扇形的面积=150π×9360=15π4．故答案为：15π4．直接根据扇形的面积公式进行计算即可．本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．17.答案：40解析：试题分析：根据勾股定理求出AD的长度，然后根据菱形的性质即可求出菱形ABCD的周长．∵DE⊥AB，DE=6，AE=8，∴AD=√DE2+AE2=10，故菱形ABCD的边长为10，则菱形ABCD的周长为：10×4=40．故答案为：40．18.答案：解：(1)x2−6x−4=0，b2−4ac=(−6)2−4×1×(−4)=52，x=6±√52，2x1=3+√13，x2=3−√13；(2)x(x−7)=5x−36，整理得：x2−12x+36=0，(x−6)2=0，开方得：x−6=0，即x1=x2=6．解析：(1)先求出b2−4ac的值，再代入公式求出即可；(2)整理后配方，再开方，即可得出一元一次方程，求出方程的解即可．本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．19.答案：(1)是矩形，理由是：∵△OAB是正三角形，∴AO=BO，∵四边形ABCD是平行四边形，AO=CO，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．(2)∵∠ABC=90°，AB=5，∴由勾股定理得：BC=√102−52=5√3，∴平行四边形的面积为：5×5√3=25√3．解析：(1)根据平行四边形的对角线互相平分和△OAB是正三角形，得到AC=BD，从而判断出四边形ABCD是矩形，(2)再由他是矩形，由面积公式求其面积．本题考查的知识点：矩形的判定，勾股定理，平行四边形的面积计算．20.答案：(1)(2,3)；(2)如图所示，△A′B′C′即为所求作的三角形；(3)如图所示，△A″B″C″即为△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°的图形．解析：本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．(1)根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同解答；(2)根据网格结构找出点A、C平移后的对应点A′、C′的位置，然后顺次连接即可；(3)根据网格结构找出点A、B、C绕点O顺时针旋转90°后的对应点A″、B″、C″的位置，然后顺次连接即可．21.答案：解：(1)一元二次方程x2−(m−3)x−m2=0，∵a=1，b=−(m−3)=3−m，c=−m2，∴△=b2−4ac=(3−m)2−4×1×(−m2)=5m2−6m+9∴△>0，则方程有两个不相等的实数根；=−m2≤0，x1+x2=m−3，(2)∵x1⋅x2=ca∴x1，x2异号，又|x1|=|x2|，∴x1+x2=0，∴m−3=0，即m=3．解析：(1)找出一元二次方程中的a，b及c，表示出b2−4ac，然后判断出b2−4ac大于0，即可得到原方程有两个不相等的实数根；(2)利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，判断出两根之积小于0，得到两根异号，再根据两根的绝对值相同，可以知道两根互为相反数，即两根之和为0，从而可以得到m−3=0，即可确定m的值．22.答案：(1)解：如图，点C为所求；(2)证明：∵∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∵点C是点A关于BD的对称点，∴AC⊥BD，OA=OC，∴OB=OD，∵AC与BD互相垂直平分，∴四边形ABCD是菱形．解析：(1)过A点作BD的垂线，垂足为O点，延长AO到C点使OC=OA，则C点与A点关于BD对称；(2)由∠ABD=∠ADB得到AB=AD，再利用对称的性质得到AC⊥BD，OA=OC，根据等腰三角形的性质得到OB=OD，然后利用AC与BD互相垂直平分得到结论．本题考查了作图−轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了菱形的判定．23.答案：解：(1)设该果农今年收获樱桃x千克，根据题意得：400−x≤7x，解得：x≥50，答：该果农今年收获樱桃至少50千克；(2)由题意可得：100(1−m%)×30+200×(1+2m%)×20(1−m%)=100×30+200×20，令m%=y，原方程可化为：3000(1−y)+4000(1+2y)(1−y)=7000，整理可得：8y2−y=0，解得：y1=0，y2=0.125，∴m1=0(舍去)，m2=12.5，∴m2=12.5，答：m的值为12.5．解析：此题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，正确表示出水果的销售总金额是解题关键．(1)利用枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，表示出两种水果的质量，进而得出不等式求出答案；(2)根据果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额比他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同得出等式，进而得出答案．24.答案：解：(1)如图1，点O为所作；(2)如图2，∠ACD为所作．解析：(1)作AC和AB的垂直平分线，它们相交于点O，然后以O点为圆心，OA为半径作圆即可；(2)先截取BD⏜=BA⏜，再连接CD，则∠CAD满足条件．本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．25.答案：解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠ACD+∠DCE=90°，∠A+∠ACD=90°，∴∠A=∠DCE，∵CD⊥AB，BC⊥DE，∴∠ADC=∠CED=90°，∴△ACD∽△CDE，∴ACCD =CDDE，∵AC=6cm，DE=4cm，∴CD=√4×6=2√6cm．故CD的长为2√6cm解析：根据垂直，可以得出∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠DCE=90°，根据等角或同角的余角相等∠A=∠DCE，所以△ACD和△CDE相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式即可求出．本题主要考查相似三角形对应边成比例的性质，首先判定两三角形相似是解本题的关键．26.答案：(1)证明：如图1，延长AD交直线l于点F，∵AD垂直于直线l，∴∠AFC=90°，∵直线l为⊙O切线，∴∠OCF=90°，∴AD//OC，∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴∠OEB=90°，∴OC⊥DB，∴DE=BE，∠DEC=∠BEC=90°，又∵CE=CE，∴△CDE≌△CBE(SAS)；(2)①π；②2．2解析：(1)见答案；(2)①如图2，连接OD，当△OBE是等腰三角形时，由(1)知∠OEB=90°，∴△OEB为等腰直角三角形，∵∠BOE=45°，∵OD=OB，OE⊥BD，∴∠DOC=∠BOE=45°，∵AB=4，∴OD=2，∴CD⏜=45π×2180=π2，故答案为：π2；②当四边形OADC为菱形时，AD=DC=OC=AO=2，由(1)知，△CDE≌△CBE，∴BC=DC，∴BC=2，故答案为：2．(1)先证明OC⊥DB，然后利用垂径定理，得到DE=BE，∠DEC=∠BEC=90°，又因为EC=EC，即可证出△CDE≌△CBE；(2)①先证明△OBE为等腰直角三角形，得到∠BOE为45°，连接OD，再用三线合一定理求出∠DOC= 45°，用弧长公式即可求出结果；②由菱形的性质可推出DC=AO=2，由△CDE≌△CBE，可知CB=CD=2．本题考查了圆的相关性质，等腰直角三角形的性质，弧长公式，菱形的性质等，解答本题的关键是熟练掌握圆的相关性质．。
江苏省无锡市2021版九年级上学期数学期中考试试卷A卷
江苏省无锡市2021版九年级上学期数学期中考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）若代数式有意义，则x的取值范围是（）A . x≥﹣2且x≠﹣1B . x＞﹣2且x≠﹣1C . x≤2且x≠﹣1D . x＜2且x≠﹣12. （2分）(2019·南充模拟) 下列二次根式中，可以与合并的是（）．A .B .C .D .3. （2分） (2016九上·沁源期末) 运动会上，某运动员掷铅球时，所掷的铅球的高y（m）与水平的距离x （m）之间的函数关系式为y=- x2+ x+ ，则该运动员的成绩是（）A . 6mB . 12mC . 8mD . 10m4. （2分）下列四个说法中，正确的是（）A . 近似数2.340有四个效数字B . 多项式a2b-3b+1是二次三项式C . 42°角的余角等于58°D . 一元二次方程x2-5=0没有实数根5. （2分）如果顺次连结四边形各边中点组成的四边形是菱形，那么原来的四边形是（）A . 矩形B . 等腰梯形C . 对角线互相垂直的四边形D . 对角线相等的四边形6. （2分） (2018九上·兴化月考) 一种零件的长是2毫米，在一幅设计图上的长是40厘米，这幅设计图的比例尺是（）A . 200:1B . 2000:1C . 1:2000D . 1:2007. （2分）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：对于两人的观点，下列说法正确的是（）A . 两人都对B . 两人都不对C . 甲对，乙不对D . 甲不对，乙对8. （2分）(2016·兰州) 已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（）A .B .C .D .9. （2分）已知x=3是关于x的方程ax+2x﹣3=0的解，则a的值为（）A . -1B . -2C . -3D . 110. （2分）如图,EF是△ABC的中位线，将△AEF沿中线AD方向平移到△A1E1F1的位置，使E1F1与BC边重合，已知△AEF的面积为7，则图中阴影部分的面积为（）A . 7B . 14C . 21D . 28二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分）已知，则k的值是________．12. （1分）若的值是6，则的值是________ 。
2021-2022学年江苏省无锡市锡山区锡北片九年级(上)期中数学试卷(解析版)
2021-2022学年江苏省无锡市锡山区锡北片九年级第一学期期中数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B 铅笔画出，确定后必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．一．选择题（共10小题）.1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0B．x2+2y+1＝0C．x2﹣6＝（x+3）2D．x2﹣1＝02．若⊙O的半径为5，圆心的坐标为（0，0），点P的坐标为（﹣4，3），则点P与⊙O 位置关系（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O内C．点P在⊙O上D．无法确定3．若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜1B．k＜﹣1C．k＞1D．k＞﹣14．小兵身高1.4m，他的影长是2.1m，若此时学校旗杆的影长是12m，那么旗杆的高度（）A．4.5m B．6m C．7.2m D．8m5．如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC 的是（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．D．6．如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝36°，则∠ADC的度数为（）A．36°B．45°C．54°D．72°7．某纪念品原价150元，连续两次涨价a%后售价为216元．下列所列方程中正确的是（）A．150（1+2a%）＝216B．150（1+a%）×2＝216C．150（1+a%）2＝216D．150（1+a%）+150（1+a%）2＝2168．如图，△ABC中，AB＝BC，AC＝16，点F是△ABC的重心（即点F是△ABC的两条中线AD、BE的交点），BF＝12，则DF的值为（）A．4.8B．6C．10D．59．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，直线AB经过原点O，点C在y轴上，AC交x轴于点D，CD：AD＝4：3，若反比例函数y＝经过A，B两点，则k的值为（）A．3B．﹣4C．﹣3D．410．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝12，AC＝4，D为OB中点，E为AB上一动点，则DE+CE的最小值为（）A．B．C．18D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。
无锡市2021版九年级上学期数学期中考试试卷(II)卷
无锡市2021版九年级上学期数学期中考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）如果，则下列式子不成立的是（）A .B .C .D .2. （2分）(2019·凤庆模拟) 观察图，下面所给几何体的俯视图是（）A .B .C .D .3. （2分） (2020九下·沈阳月考) 若关于x的方程（k﹣1）x2+2kx﹣1+k＝0有实数根，则k的取值范围是（）A . k＞且k≠1B . k≥ 且k≠1C . k≤﹣D . k≥4. （2分）当投影线由上到下照射水杯时，如图所示，那么水杯的正投影是（）A .B .C .D .5. （2分）(2018·驻马店模拟) 下列命题是真命题的是（）A . 若一组数据是1，2，3，4，5，则它的方差是3B . 若分式方程有增根，则它的增根是1C . 对角线互相垂直的四边形，顺次连接它的四边中点所得四边形是菱形D . 若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，则这两个角相等6. （2分）如图，直线，直线AC分别交，，于点A ， B ， C ，直线DF分别交，，于点D ， E ， F ， AC与DF相交于点G ，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（）A .B . 2C .D .7. （2分）(2017·沭阳模拟) 如图所示，点P（3a，a）是反比例函数y= （k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（）A . y=B . y=C . y=D . y=8. （2分）(2016·西安模拟) 在△ABC中，∠C=90°，如果tanA= ，那么sinB的值等于（）A .B .C .D .9. （2分）(2019·包头) 如图，在平面直角坐标系中，已知是线段上的一个动点，连接，过点作交轴于点，若点在直线上，则的最大值是（）A .B .C .D .10. （2分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE、AC、AF，则图中与△ABE全等的三角形（△ABE除外）有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个11. （2分） 10名学生的身高如下（单位：cm）159，169，163，170，166，165，156，172，165，162，从中任选一名学生，其身高超过165cm的概率是（）A . 0.5B . 0.4C . 0.2D . 0.112. （2分）(2019·崇左) 如图，AB为⊙O的直径，BC，CD是⊙O的切线，切点分别为点B，D，点E为线段OB上的一个动点，连接OD，CE，DE，已知AB＝2 ，BC＝2，当CE+DE的值最小时，则的值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分）因式分解结果为________，方程的根为________．14. （1分）(2020·温州模拟) 甲乙两运动员乒乓球比赛正在进行中，甲必须再胜2局才能最后获胜；乙必须再胜3局才能最后获胜. 若甲、乙两人每局取胜的概率都是，则甲最后获胜的概率是________.15. （1分）如果两个相似三角形的相似比是2：3，较小三角形的面积为4cm2 ，那么较大三角形的面积为________cm2 ．16. （1分） (2020九上·邓州期末) 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处，如果A′恰在矩形的对角线上，则AE的长为________.三、解答题 (共7题；共75分)17. （10分）关于x的一元二次方程x（x﹣2）=﹣x﹣2①与一元一次方程2x+1=2a﹣x②．（1）若方程①的一个根是方程②的根，求a的值；（2）若方程②的根不小于方程①两根中的较小根且不大于方程①两根中的较大根，求a的取值范围．18. （15分）(2019·广州模拟) 某校九年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛预赛．各参赛选手的成绩如图：九（1）班：88，91，92，93，93，93，94，98，98，100九（2）班：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99通过整理，得到数据分析表如下：（1）求表中m、n的值；（2）依据数据分析表，有人说：“最高分在（1）班，（1）班的成绩比（2）班好”，但也有人说（2）班的成绩要好，请给出两条支持九（2）班成绩好的理由；（3）若从两班的参赛选手中选四名同学参加决赛，其中两个班的第一名直接进入决赛，另外两个名额在四个“98分”的学生中任选二个，试求另外两个决赛名额落在同一个班的概率．19. （5分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的两格中，点A、B、C都是格点．（1）将△ABC向左平移6个单位长度得到得到△A1B1C1；（2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2 ，请画出△A2B2C2；（3）若点O的坐标为（0，0），点B的坐标为（2，3）；写出△A1B1C1与△A2B2C2的对称中心的坐标20. （10分） (2016九上·温州期末) 某农场拟建三件矩形饲养室，饲养室一面靠现有墙（墙可用长≤20m），中间用两道墙隔开，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为60m，设饲养室宽为x（m），总占地面积为y（m2）（如图所示）．（1）求y关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）三间饲养室占地总面积有可能达到210m2吗？请说明理由．21. （10分） (2019八下·武昌月考) 如图，一架长2.5米的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙AC 的距离为0.7米.（1）若梯子的顶端A沿墙AC下滑0.9米至A1处，求点B向外移动的距离BB1的长；（2）若梯子从顶端A处沿墙AC下滑的距离是点B向外移动的距离的一半，试求梯子沿墙AC下滑的距离是多少米？22. （10分）(2020·藤县模拟) 某种植户计划将一片荒山改良后种植沃柑，经市场调查得知，当种植沃柑的面积x不超过15亩时，每亩可获得利润y=1900元；超过15亩时，每亩获得利润y（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系:y=kx+b，并且当x=20时，y=1800；当x=25时，y=1700.（1）请求出y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）设种植户种植x亩沃柑所获得的总利润为w元，由于受条件限制，种植沃柑面积x不超过50亩，求该种植户种植多少亩获得的总利润最大，并求总利润w（元）的最大值.23. （15分）(2018·嘉定模拟) 在正方形中，，点在边上，，点是在射线上的一个动点，过点作的平行线交射线于点，点在射线上，使始终与直线垂直．（1）如图1，当点与点重合时，求的长；（2）如图2，试探索：的比值是否随点的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没有变化，请求出它的比值；（3）如图3，若点在线段上，设，，求关于的函数关系式，并写出它的定义域．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、23-3、。
江苏省无锡市2021-2022学年九年级上学期期中数学试题-【含答案】
B．3（1＋x）2＝147 C．3（1＋x＋x2）＝147 D．（3＋3x）
2＝147
8．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，
不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：
如图，CD 为⊙O 的直径，弦 AB⊥CD，垂足为点 E，CE＝1 寸，AB＝10 寸，则直径
试卷第 6 页，共 7 页
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
试卷第 2 页，共 7 页
பைடு நூலகம்
确的有（ ）
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
A．1 个
B．2 个
C．3 个
第 II 卷（非选择题）
D．4 个
评卷人 得分
二、填空题
11．在比例尺为 1：500000 的地图上量得甲、乙两地的距离为 4cm，则甲、乙两地的
实际距离是___km．
x3
2x y
12．若 y 2 ，则 x 3y ＝_____．
13．已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点（ AP BP ），如果 AB 2cm ，那么线段
江苏省无锡市2021年九年级上学期数学期中考试试卷B卷
江苏省无锡市2021年九年级上学期数学期中考试试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共6题；共6分)1. （1分）某校要组织一次乒乓球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的方程为________.2. （1分） (2018八下·龙岩期中) 一个平行四边形的一条对角线的长度为5，一条边为7，则它的另一条对角线α的取值范围是________．3. （1分）(2019·零陵模拟) 关于x的函数y＝（k﹣1）x2﹣2x+1与x轴有两个不同的交点，则实数k的取值范围是________．4. （1分）已知A（－1，y1），B(－2，y2)，C(3，y3)三点都在二次函数的图象上，则y1 ， y2 ，y3的大小关系是________.5. （1分） (2020八下·江都期末) 如图，小正方形方格的边长都是1，点A、B、C、D、O都是小正方形的顶点.若 COD是由 AOB绕点O按顺时针方向旋转一次得到的，则至少需要旋转________°.6. （1分） (2019九上·西城期中) 点P（﹣2，y1）和点Q（﹣1，y2）分别为抛物线y＝x2﹣4x+3上的两点，则y1________y2 ．（用“＞”或“＜”填空）．二、解答题 (共6题；共50分)7. （5分） (2018九上·扬州期中) 已知：关于x的方程mx2+（m-3）x-3=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果m为正整数，且方程的两个根均为整数，求m的值．8. （5分） (2019八下·青原期中) 如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为：A（1，﹣4），B（5，﹣4），C（4，﹣1）．（1）将△ABC经过平移得到△A1B1C1 ，若点C的应点C1的坐标为（2，5），则点A ， B的对应点A1 ， B1的坐标分别为________；（2）在如图的坐标系中画出△A1B1C1 ，并画出与△A1B1C1关于原点O成中心对称的△A2B2C2 ．9. （10分）解下列不等式：（1） 2x-3≤ （x+2）；（2） >1- ．10. （5分） (2020七上·邛崃期末) 请根据图中提供的信息，回答下列问题。
2021年无锡市九年级数学上期中模拟试题带答案
一、选择题1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．等边三角形B ．平行四边形C ．圆D ．五角星2．如图，OAB 绕点O 逆时针旋转80°到OCD 的位置，已知45AOB ∠=︒，则AOD ∠等于（ ）A ．45°B ．35°C ．25°D ．15°3．如图，在等边△ABC 中，AC=8，点O 在AC 上，且AO=3，点P 是边AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ，要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是（ ）．A ．4B ．5C ．6D ．84．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知Rt ABC ∆中，两条直角边4AC =，3BC =，将ABC ∆绕斜边中点O 旋转，使直角顶点与点B 重合，得到与ABC ∆全等的EDB ∆，BE 边和AC 相交于点F ，则EF 的值是（ ）A ．78B ．1C ．45D ．236．如果齿轮A 以逆时针方向旋转，齿轮E 旋转的方向（ ）A ．顺时针B ．逆时针C ．顺时针或逆时针D ．不能确定7．下列函数关系式中，属于二次函数的是（ ）A ．21y x =+B ．21y x x =+C ．()()221y x x x =+--D ．21y x =-8．如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，此图象与x 轴的交点坐标分别为(－1，0)、(3，0).下列说法：0abc >；方程20ax bx c ++=的根为11x =-，23x =；当1x >时，y 随着x 的增大而增大；420a b c ++<.正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．39．二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ＞0）的图象与x 轴的两个交点A （x 1，0），B （x 2，0），且x 1＜x 2，点P （m ，n ）是图象上一点，那么下列判断正确的是（ ）A ．当n ＜0时，m ＜0B ．当n ＞0时，m ＞x 2C ．当n ＜0时，x 1＜m ＜x 2D ．当n ＞0时，m ＜x 110．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）A ．0abc >B ．0a b c ++=C ．420a b c ++=D ．240b ac -<11．27742322x -+⨯⨯=⨯是下列哪个一元二次方程的根（ ） A ．22730x x ++=B ．22730x x --=C ．22730x x +-=D ．22730x x -+=12．某超市今年1月份的营业额为50万元，已知2月至3月营业额的月增长率是1月至2月营业额的月增长率的2倍，3月份的营业额是66万元，设该超市1月至2月营业额的月增长率为x ，根据题意，可列出方程（ ）A ．()50166x +=B ．()250166x +=C ．()2501266x += D ．()()5011266x x ++= 13．由于疫情得到缓和，餐饮行业逐渐回暖，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元，若设每天的增长率为x ，则x 满足的方程是（ ）A ．5000（1+x ）＝6050B ．5000（1+2x ）＝6050C ．5000（1﹣x ）2＝6050D ．5000（1+x ）2＝605014．小刚在解关于x 的方程20(a 0)++=≠ax bx c 时，只抄对了1a =，4b =，解出其中一个根是1x =-．他核对时发现所抄的c 比原方程的c 值小2．则原方程的根的情况是（ ）A ．不存在实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有一个根是xD ．有两个相等的实数根 二、填空题15．已知二次函数2(,,y ax bx c a b c =++为常数，0,0a c ≠>）上有五点()()1,01,(),p t n -、、()()2,3,0t 、；有下列结论：①0b >；②关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根是1-和3；③20p t +<；④()(4m am b a c m +≤--为任意实数）．其中正确的结论_______________（填序号即可）．16．已知点()1,A a m y -、()2,B a n y -、()3,C a b y +都在二次函数221y x ax =-+的图象上，若0m b n <<<，则1y 、2y 、3y 的大小关系是_________．17．等腰三角形ABC 中，8BC =，AB 、AC 的长是关于x 的方程2100x x m -+=的两根，则m 的值是___．18．若a 是方程210x x ++=的根，则代数式22020a a --的值是________．19．已知x 1和x 2是方程2x 2-5x+1=0的两个根，则1212x x x x +的值为_____． 20．已知二次函数2(0)y ax bx ca =++≠的图象如图所示，有下列结论：①0ac <；②20b a -=；③0a bc -+=；④当1x >时，y 随x 的增大而减小．其中正确的结论是______．（填序号）三、解答题21．如图，己知点()2,4A ，()1,1B ，()3,2C ．（1）将MBC 绕点O 逆时针旋转90°得111A B C △，画出111A B C △，并写出点C 的对应点1C 的坐标为_____；（2）画出ABC 关于原点成中心对称的图形222A B C △，并写出点A 的对称点2A 的坐标为______．22．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(－4，4)，C(－2，1)．（1）将△ABC 绕点O 顺时针旋转90°后得到△A B C '''，请在图中画出△A B C '''．（2）以点O 为对称中心，画出与△ABC 对称的△A B C ''''''，并写出A B C ''''''、、的坐标．23．在“万众创业、大众创新”的新时代下，大学毕业生小张响应国家号召，开办了家饰品店，该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：售价每下降1元每月要多卖20件，为了获得更大的利润且让利给顾客，现将饰品售价降价x（元/件）（且x为整数），每月饰品销量为y（件），月利润为w（元）．（1）写出y与x之间的函数解析式；（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；（3）为了使每月利润等于6000元时，应如何确定销售价格．24．情境阅读：小敏同学期中复习时，再读九年级上册一本辅导书“一元二次方程”的“数学活动”时，重新思考了“活动围长方形”．下面呈现的是“活动内容”及“小敏反思”的部分：问题解决：请根据“小敏发现”，应用二次函数解决“能围出面积大于900cm2的长方形吗？”25．解方程：2250+-=．x x26．解下列方程：（1）2x2﹣4x＋1＝0；（2）（2x﹣1）2＝（3﹣x）2．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A 、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B 、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；C 、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；D 、五角星是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．B解析：B【分析】本题旋转中心为点O ，旋转方向为逆时针，观察对应点与旋转中心的连线的夹角∠BOD 即为旋转角，利用角的和差关系求解．【详解】解：根据旋转的性质可知，D 和B 为对应点，∠DOB 为旋转角，即∠DOB=80°， 所以∠AOD=∠DOB-∠AOB=80°-45°=35°．故选：B ．【点睛】本题考查旋转两相等的性质：即对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．3．B解析：B【分析】连接DP ，根据题意，得OP OD =，=60DOP ∠，从而得到120AOP COD ∠+∠=；再根据等边三角形和三角形内角和性质，得120AOP OPA ∠+∠=，从而得COD OPA ∠=∠，通过全等三角形判定，即可得到答案．【详解】如图，点D 落在BC 上，连接DP∵线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD∴OP OD =，=60DOP ∠∴180120AOP COD DOP ∠+∠=-∠=∵等边△ABC∴180120AOP OPA A ∠+∠=-∠=∴COD OPA ∠=∠即：OP OD COD OPA A C =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴AOP CDO △≌△∴AP OC =∵AC=8，AO=3∴5OC AC AO =-=∴5AP OC ==故选：B ．【点睛】本题考查了等边三角形、全等三角形、旋转、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握等边三角形、全等三角形、旋转、三角形内角和的性质，从而完成求解．4．C解析：C【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心可得答案．【详解】解：A 、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C 、是中心对称图形，故此选项符合题意；D 、不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C ．【点睛】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的概念．5．A解析：A【分析】由旋转的性质得O 为DE 中点，可证OB=OE ，∠OBE=∠E ，进而证明AF=BF ，然后设设AF=BF=x ，根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵ABC ∆≌EDB ∆，∴BE=AC=4， ∠A=∠E ， ∠C=∠DBE=90°．∵O 为AB 中点，且△ABC 绕点O 旋转，∴O 为DE 中点，∴OB=OE ，∴∠OBE=∠E ，∴∠OBE=∠A ，∴AF=BF ，设AF=BF=x ，则CF=4-x ，∵222BC CF BF +=，∴2223(4)x x +-=， ∴258x =， ∴258BF =， ∴257488EF BE BF =-=-=． 故选A ．【点睛】 本题考查了全等三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．6．B解析：B【分析】根据图示进行分析解答即可．【详解】齿轮A 以逆时针方向旋转，齿轮B 以顺时针方向旋转，齿轮C 以逆时针方向旋转，齿轮D 以顺时针方向旋转，齿轮E 以逆时针方向旋转，故选B ．【点睛】此题考查旋转问题，关键是根据图示进行解答．7．D解析：D【分析】利用二次函数定义进行解答即可．【详解】A 、21y x =+是一次函数，故A 不符合题意；B 、2y x =+1x不是二次函数，故B 不符合题意； C 、()()2222122y x x x x x x x =+--=+--=-，此函数是一次函数，故C 不符合题意；D 、21y x =-是二次函数，故D 符合题意；故答案为：D ．【分析】本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 8．C解析：C【分析】①由抛物线的开口方向、与y 轴的交点判定a 、c 的符号，根据对称轴确定b 的符号； ②根据二次函数图象与x 轴的交点解答；③利用对称轴和二次函数的图象的性质作出判断；④将x=2代入函数关系式，结合图象判定y 的符号．【详解】解：①∵抛物线的开口向上，对称轴在y 轴的右边，与y 轴的交点在y 的负半轴上， ∴a ＞0，-b 2a＞0，c ＜0， 即b ＜0，∴abc ＞0，正确；②二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点是（-1，0）、（3，0），∴方程ax 2+bx+c=0的根为x 1=-1，x 2=3故本选项正确；③函数对称轴是直线x=1，根据图象当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；④根据图象可知抛物线与x 轴的交点坐标是（-1，0），（3，0），∴当x=2时，y ＜0∴当x=1时4a+2b+c ＜0，正确．共有四个正确的，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系的应用，主要考查学生对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了学生观察图象的能力，本题是一道比较典型的题目，具有一定的代表性，还是一道比较容易出错的题目．9．C解析：C【分析】首先根据a 判断二次函数图象的开口方向，再确定对称轴，根据图象和二次函数的性质分析得出结论．【详解】解：∵a ＞0，∴开口向上，以对称轴在y 轴左侧为例可以画图二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象与x 轴的两个交点A （x 1，0），B （x 2，0），且x 1＜x 2， 无法确定x 1与x 2的正负情况，∴当n ＜0时，x 1＜m ＜x 2，但m 的正负无法确定，故A 错误，C 正确；当n ＞0时，m ＜x 1 或m ＞x 2，故B ，D 错误，均不完整故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数图象与x 轴交点的问题，熟练掌握二次函数图象及图像上的坐标特征是解题的关键．10．C解析：C【分析】由二次函数的开口方向，对称轴0x >，以及二次函数与y 的交点在x 轴的上方，与x 轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可．【详解】A 、观察图象，二次函数的开口向下，∴0a <，与y 轴的交点在x 轴上方，∴0c >，又∵对称轴为2b x a =-，在x 轴的正半轴上， 故02b x a=->，即0b >． ∴0abc <，故选项A 不正确；B 、观察图象，抛物线对称轴为直线12122x -+== ∴在对称轴右侧，当1x =时，函数值0y a b c =++>，故选项B 不正确； C 、观察图象，当2x =时，函数值420y a b c =++=，故选项C 正确；D 、∵二次函数与x 轴有两个交点，∴240b ac =->，故D 不正确． 故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，能利用数形结合求解是解答此题的关键． 11．C解析：C【分析】根据求根公式逐一列出每个方程根的算式即可得出答案．【详解】A 、22730x x ++=的解为x =B 、22730x x --=的解为x =C 、22730x x +-=的解为x =D 、22730x x -+=的解为x =故选：C ．【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的根，用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． 12．D解析：D【分析】根据2月份的营业额=1月份的营业额×（1+x ），3月份的营业额=2月份的营业额×（1+2x ），把相关数值代入即可得到相应方程．【详解】解：∵1月份的营业额为50万元，2月份的营业额比1月份增加x ，∴2月份的营业额=50×（1+x ），∴3月份的营业额=50×（1+x ）×（1+2x ），∴可列方程为：50（1+x ）（1+2x ）=66．故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b ．注意先求得2月份的营业额．13．D解析：D【分析】根据开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元列方程即可得到结论．【详解】解：设每天的增长率为x ，依题意，得：5000（1+x ）2＝6050．故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14．A解析：A【分析】直接把已知数据代入进而得出c 的值，再利用根的判别式求出答案．【详解】∵小刚在解关于x 的方程20ax bx c ++=(0a ≠)时，只抄对了1a =，4b =，解出其中一个根是1x =-，∴()()21410c -+⨯-+=， 解得：3c =，∵核对时发现所抄的c 比原方程的c 值小2，故原方程中5c =，则224441540b ac =-=-⨯⨯=-<，则原方程的根的情况是不存在实数根．故选：A ．【点睛】本题主要考查了根的判别式，正确利用方程的解得出c 的值是解题关键．二、填空题15．【分析】由抛物线的对称性可知对称轴为可得即是方程的两个根再根据题目当中给出的条件代入解析式判断求解即可；【详解】当和时∴对称轴为∴当时y 的值相等∴∴是方程的两个根故②正确；∵当时且c ＞0∴＞0∴＞0 解析：①②④【分析】由抛物线的对称性可知对称轴为0212x +==，可得0p =，即1x =-，3x =是方程20ax bx c ++=的两个根，再根据题目当中给出的条件，代入解析式判断求解即可；【详解】当0x =和2x =时，y t =，∴对称轴为0212x +==， ∴当1x =-，3x =时，y 的值相等，∴0p =，∴1x =-，3x =是方程20ax bx c ++=的两个根，故②正确；∵当0x =时，y t =，且c ＞0，∴t c =＞0，∴202p t t +=+＞0，故③错误；∵2x =，y t =＞0，3x =，0y =，∴在对称轴的右边，y 随x 的增大而减小，∴a ＜0， ∵12b x a=-=， ∴2b a =-＞0，故①正确；∵当3x =时，0y =， ∴930a b c ++=，∴30a c +=，∴3c a =-，∴443a c a a a --=-+=-，∵顶点坐标为()1,n ，a ＜0，∴2am bm c a b c ++≤++， ∴2am bm a b +≤+，∴2am bm a +≤-， ∴24am bm a c +≤--，故④正确；综上所述：结论正确的是①②④；故答案是：①②④．【点睛】本题主要考查了二次函数图象性质，熟练掌握二次函数图像上点的特征是解题的关键． 16．【分析】先根据二次函数解析式找出开口方向与对称轴再根据ABC 点与对称轴的距离判断y 值得大小即可【详解】∵二次函数∴对称轴方程为且抛物线开口向上∴横坐标离对称轴x=a 越远y 越大a-m 离x=a 有m 个单位解析：231y y y >>【分析】先根据二次函数解析式找出开口方向与对称轴，再根据A 、B 、C 点与对称轴的距离判断y 值得大小即可.【详解】∵二次函数221y x ax =-+∴对称轴方程为22a x a -=-=，且抛物线开口向上， ∴横坐标离对称轴x=a 越远，y 越大，a-m 离x=a 有m 个单位长度，a-n 离x=a 有n 个单位长度，a+b 离x=a 有b 个单位长度，又∵0m b n <<<， ∴231y y y >>，故答案为：231y y y >>.【点睛】本题考查二次函数的对称性和增减性，根据二次函数解析式确定函数图像的对称轴是解答本题的关键 .17．或【分析】等腰三角形ABC 中边可能是腰也可能是底应分两种情况进行讨论分别利用根与系数的关系三角形三边关系定理求得方程的两个根进而求得答案【详解】解：∵关于x 的方程∴∴∵是等腰三角形的长是关于x 的方程 解析：25或16【分析】等腰三角形ABC 中，边BC 可能是腰也可能是底，应分两种情况进行讨论，分别利用根与系数的关系、三角形三边关系定理求得方程的两个根，进而求得答案．【详解】解：∵关于x 的方程2100x x m -+=∴1a =，10b =-，c m = ∴1210b x x a +=-=，12c x x m a == ∵ABC 是等腰三角形，AB 、AC 的长是关于x 的方程2100x x m -+=的两根 ∴①当8BC =为底、两根AB 、AC 均为等腰三角形的腰时，有1210AB AC x x +=+=且AB AC =即5AB AC ==，此时等腰三角形的三边分别为5、5、8，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形，则1225m x x AB AC ==⋅=；②当8BC =为腰、两根AB 、AC 中一个为腰一个为底时，有122810x x x +=+=，即22x =，此时此时等腰三角形的三边分别为2、8、8，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形，则1216m x x AB AC ==⋅=．∴综上所述，m 的值为25或16．故答案是：25或16【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、等腰三角形的性质、三角形三边关系定理等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．18．2021【分析】把x=a 代入已知方程并求得a2+a=-1然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可【详解】解：把x=a 代入x2+x+1=0得a2+a+1=0解得a2+a=-1所以2020-a2-a=2解析：2021【分析】把x=a 代入已知方程，并求得a 2+a=-1，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可【详解】解：把x=a 代入x 2+x+1=0，得a 2+a+1=0，解得a 2+a=-1，所以2020-a 2-a=2020+1=2021．故答案是：2021．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．19．5【分析】直接根据根与系数的关系求出再代入求值即可【详解】解：∵x1x2是方程2x2-5x+1=0的两个根∴x1+x2=-∴故答案为：5【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1x2是一元二次方程ax解析：5【分析】直接根据根与系数的关系，求出12x x +，12x x 再代入求值即可．【详解】解：∵x 1，x 2是方程2x 2-5x+1=0的两个根，∴x 1+x 2=--55-=22，121=2x x ． ∴121252==512x x x x + 故答案为：5．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=b a -，x 1x 2=c a． 20．①③【分析】由抛物线的开口方向判断的符号由抛物线与轴的交点判断的符号然后根据对称轴抛物线的增减性进行推理进而对所得结论进行判断【详解】解：①图象开口向上与轴交于负半轴能得到：故①正确；②对称轴为直线解析：①③【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴、抛物线的增减性进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①图象开口向上，与y 轴交于负半轴，能得到：0a >，0c <，0ac ∴<，故①正确； ②对称轴为直线1x =，12b a∴-=， 2b a ∴=-，20b a ∴+=，故②错误；③由图象可知，当1x =-时，0y a b c =-+=，故③正确；④由图象可知，在对称轴的右侧，从左往右图象逐渐上升，所以当1x >时，y 随x 的增大而增大，故④错误．故答案为：①③．【点睛】主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．三、解答题21．（1）如图见解析， 1C （-2，3）；（2）如图见解析， 2A （-2，-4）．【分析】（1）依据△ABC 绕点O 按逆时针方向旋转90°，即可得到111A B C △；（2）依据中心对称的性质，即可画出△ABC 关于原点成中心对称的图形222A B C △．【详解】（1）如图，111A B C △即为所求，点1C 的坐标为（-2，3）；（2）如图，222A B C △即为所求，点2A 的坐标为（-2，-4）．【点睛】本题主要考查了利用旋转变换作图，解决本题的关键是掌握旋转的性质．旋转作图有自己独特的特点，旋转角度、旋转方向、旋转中心不同，位置就不同，但得到的图形全等． 22．（1）见解析；（2）见解析，()()()0,3,4,4,2,1A B C ''''''---【分析】（1）如图，分别连接OA 、OB 、OC ，根据网格特征在第一象限内作OA 、OB 、OC 的垂线，并使OA′=OA ，OB′=OB 、OC′=OC ，顺次连接A′、B′、C′，△A′B′C′即为所求；（2）根据关于原点对称的点的坐标特征得出A 、B 、C 坐标，顺次连接A″、B″、C″，△A″B″C″即为所求；进而写出A″、B″、C″即可．【详解】（1）如图，△A′B′C′即为所求．（2）∵△A″B″C″与△ABC 以点O 为对称中心，∴点A 、B 、C 分别与A″、B″、C″关于原点对称，∵A(0，3)，B(－4，4)，C(－2，1)，∴A″(0，-3)，B″(4，-4)，C″(2，-1)，∴△A″B″C″即为所求；【点睛】本题考查了利用旋转变换及中心对称作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．另外要求掌握对称中心的定义．23．（1）y ＝300+20x ；（2）当售价为57元时，利润最大，最大利润为6120元；（3）将销售价格为55元，才能使每月利润等于6000元．【分析】（1）由售价每下降1元每月要多卖20件，可得y 与x 之间的函数解析式；（2）由月利润=单件利润×数量，可得w 与x 的函数解析式，由二次函数的性质可求解； （3）将w=6000代入解析式，解方程可求解．【详解】（1）由题意可得：30020y x =+；（2）由题意可得：()()2203002020( 2.5)6125w x x x =-+=--+， 由题意可知x 应取整数，当2x =或3元时，w 有最大值，∵让利给顾客，∴3x =，即当售价为57元时，利润最大，∴最大利润为6120元；（3）由题意，令w=6000，即25600020()61252x =--+，解得10x =（舍去），25x =，故将销售价格为55元，才能使每月利润等于6000元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的性质，找出正确的函数关系式是本题的关键．24．不能围出，理由见解析．【分析】设长方形的长为xcm ，围成的面积为2ycm ，再根据长方形的面积公式可得y 与x 之间的函数关系式，然后利用二次函数的性质即可得．【详解】不能围出，理由如下：设长方形的长为xcm ，围成的面积为2ycm ， 则12022x y x ，即()60y x x =-， 将其化成顶点式为()230900y x =--+，由二次函数的性质可知，当30x =时，y 取得最大值，最大值为900，即用长度为120cm 长的细绳围成的长方形的面积最大为2900cm ，故不能围出面积大于2900cm 的长方形．【点睛】本题考查了二次函数的几何应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．25．1211x x =-=-【分析】利用配方法解方程．【详解】2250x x +-=225x x +=2(1)6x +=1x =-±∴1211x x =-=-【点睛】此题考查解一元二次方程的方法—配方法，将等式变形为平方形式是解题的关键．26．（1）x 1＝1＋2，x 2＝1﹣2；（2）x 1＝﹣2，x 2＝43 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程；（2）利用因式分解法解方程．【详解】（1）解：2x 2﹣4x ＋1＝0，x 2﹣2x ＝﹣12， x 2﹣2x ＋1＝﹣12＋1，即（x ﹣1）2＝12，∴x ﹣1＝±2，∴x 1＝1x 2＝1 （2）解：（2x ﹣1）2＝（3﹣x ）2．（2x ﹣1）2﹣（3﹣x ）2＝0，[（2x ﹣1）＋（3﹣x ）][（2x ﹣1）﹣（3﹣x ）]＝0，∴x ＋2＝0或3x ﹣4＝0，∴x 1＝﹣2，x 2＝43． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法、因式分解法、公式法，并熟练运用是关键．。
江苏省无锡市2021年九年级上学期期中数学试卷(II)卷
江苏省无锡市2021年九年级上学期期中数学试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）如果(m+3)x2-mx+1=0是一元二次方程，则（）A . m≠-3B . m≠3C . m≠0D . m≠-3且m≠02. （2分）(2017·海陵模拟) 已知x=2是方程x2+bx﹣2=0的一个根，则b的值是（）A . ﹣1B . 1C . ﹣2D . 23. （2分）(2017·达州模拟) 一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字﹣1、1、2．随机摸出一个小球（不放回）其数字记为p，再随机摸出另一个小球其数字记为q，则满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是（）A .B .C .D .4. （2分）如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（）A . h=mB . k=nC . k＞nD . h＞0 , k＞05. （2分） (2016九上·云阳期中) 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b=0；⑤b2＞4ac其中正确的结论的有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个6. （2分）用配方法解方程2x2+3x﹣1=0，则方程可变形为（）A . （x+3）2=B . （x+）2=C . （3x+1）2=1D . （x+）2=7. （2分）(2018·和平模拟) 在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（）A . y=(x+2)2+2B . y=(x-2)2-2C . y=(x-2)2+2D . y=(x+2)2-28. （2分） (2019八下·汕头月考) 一木杆在离地面3米处拆新，木杆顶端落在离木杆底端4米的水平地画处。
2021-2022学年-有答案-江苏省无锡市某校九年级(上)期中数学试卷
2021-2022学年江苏省无锡市某校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列方程是一元二次方程的是（）A.3x2−6x+2B.x2−y+1＝0C.x2＝0D.1x2+x＝22. 方程3x2+4x−2＝0的根的情况是（）A.两个不相等的实数根B.两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定3. 如图，在△ABC中，DE // BC，若ADAB =13，DE＝4，则BC＝（）A.9B.10C.11D.124. 如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A.ABAD =ACAEB.ABAD=BCDEC.∠B＝∠DD.∠C＝∠AED5. 如图，在长为100m，宽为80m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644m2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x m，则可列方程为（）A.100×80−100x−80x＝7644B.(100−x)(80−x)+x2＝7644C.(100−x)(80−x)＝7644D.100x+80x−x2＝76446. 如图所示，已知四边形ABDC是圆内接四边形，∠1＝112∘，则∠CDE＝（）A.56∘B.68∘C.66∘D.58∘7. 如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端的影子与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距5m，与树相距10m，则树的高度为()A.5mB.6mC.7mD.8m8. 如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠BAC＝25∘，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为（）A.25∘B.30∘C.35∘D.40∘9. 如图，▱ABCD对角线AC与BD交于点O，且AD＝6，AB＝10，在AB延长线上取一点E，使BE=25AB，连接OE交BC于F，则BF的长为（）A.23B.43C.65D.110. 如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60∘，连接OD，则OD长的最大值为（）A.√19B.2√3C.2√3+1D.4二．填空题（本大题共7小题，每空2分，共16分.）将一元二次方程2x(x−3)＝1化成一般形式为________．已知：一元二次方程x2−6x+c＝0有一个根为2，则另一根为________．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是________．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的相似比是1:2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是________．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图．⊙O与矩形ABCD的边BC，AD分别相切和相交（E，F是交点），已知EF=CD=8，则⊙O的半径为________．如图，A是半径为2的⊙O外的一点，OA＝4，AB切⊙O于点B，弦BC // OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为________．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90∘，AC＝3cm，BC＝4cm，点E从C点出发向终点B运动，速度为1cm/秒，运动时间为t秒，作EF // AB，点P是点C关于FE的对称点，连接AP，当△AFP恰好是直角三角形时，t的值为________．三．解答题（本大题共9小题，共84分.解答需写出必要的文字说明或演算步骤）用适当的方法解下列方程：（1）(x−1)2−9＝0；（2）3(x+5)＝(x+5)2；（3）x2+6x−55＝0；（4）2x(x+3)−1＝0．如图，在▱ABCD中，点E在BC上，∠CDE＝∠DAE．（1）求证：△ADE∽△DEC；（2）若AD＝6，DE＝4，求BE的长．如图，线段AB的端点在边长为1的正方形网格的格点上，现将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90∘得到线段AC．(1)请你用直尺和圆规在所给的网格中画出线段AC及点B经过的路径；(2)若将此网格放在一平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(1, 3)，点B的坐标为(−2, −1)，则点C的坐标为________；(3)线段AB在旋转到线段AC的过程中，线段AB扫过区域的面积为________；(4)若有一张与(3)中所说的区域形状相同的纸片，将它围成一个圆锥的侧面，则该圆锥底面圆的半径长为________．已知关于x的方程x2+(2m+1)x+m(m+1)＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）已知方程的一个根为x＝0，求代数式m2+m−5的值．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）试说明DF是⊙O的切线；的值．（2）若AC＝3AE，求BECE楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．（1）设当月该型号汽车的销售量为x辆（x≤30，且x为正整数），实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么该月需售出多少辆汽车？（注：销售利润＝销售价-进价）如图所示，AC⊥AB，AB＝2√3，AC＝2，点D是以AB为直径的半圆O上一动点，DE⊥CD交直线AB于点E，设∠DAB＝α(0∘<α<90∘)．（1）当α＝20∘时，求弧BD的长；（2）当α＝30∘时，求线段BE的长；（3）若要使点E在线段BA的延长线上，则α的取值范围是________．（直接写出答案）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90∘，AB＝BC＝4，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD、CE所在直线相交所成的锐角为β．=________；β＝________∘．（1）问题发现当α＝0∘时，CEBD（2）拓展探究试判断：当0∘≤α<360∘时，CE和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．BD（3）在△ADE旋转过程中，当DE // AC时，直接写出此时△CBE的面积．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的发散点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′＝3r，则称P′为点P关于⊙C的发散点．如图为点P及其关于⊙C的发散点P′的示意图．特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′＝0．根据上述材料，请你解决以下问题：（1）当⊙O的半径为1时，, 0)，T(2√2, 1)中，存在关于⊙O的发散点的是点；其对应发散①在点M(3, 1)，N(32点的坐标是________；②点P在直线y=−√3x+3√3上，若点P关于⊙O的发散点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标m的取值范围；x+3√3与x轴、y轴分別交于点A，（2）⊙C的圆心C在x轴上，半径为1，直线y=−√33B．若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的发散点P′在⊙C的内部，请直接写出圆心C的横坐标n的取值范围．参考答案与试题解析2021-2022学年江苏省无锡市某校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1.【答案】C【考点】一元二次方程的定义【解析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】A、它不是方程，故本选项错误；B、该方程中含有2个未知数，故本选项错误；C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；D、该方程是分式方程，故本选项错误；2.【答案】A【考点】根的判别式【解析】首先求出方程的判别式，然后根据一元二次根与判别式的关系，可以判断方程的根的情况．【解答】∵方程3x2+4x−2＝0中，△＝42−4×3×(−2)＝40>0，∴方程有两个不相等的实数根．3.【答案】D【考点】相似三角形的性质与判定【解析】由DE // BC，可求出△ADE∽△ABC，已知了它们的相似比和DE的长，可求出BC的值．【解答】∵DE // BC，∴△ADE∽△ABC∴ADAB =DEBC=13∵DE＝4∴BC＝124.【答案】B【考点】相似三角形的判定【解析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．【解答】∵∠1＝∠2∴∠DAE＝∠BAC∴A，C，D都可判定△ABC∽△ADE选项B中不是夹这两个角的边，所以不相似，5.【答案】C【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【解析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．【解答】设道路的宽为x m，则可列方程为(100−x)(80−x)＝7644，6.【答案】A【考点】圆内接四边形的性质【解析】首先利用圆周角定理求得∠A的度数，然后利用圆内接四边形的外角等于其内对角的性质直接求解即可．【解答】∵∠1＝112∘，∴∠A=12∠1＝56∘，∴∠DCE＝∠A＝56∘，7.【答案】B【考点】相似三角形的应用先判定△OAB和△OCD相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：如图所示:∵AB⊥OD，CD⊥OD，∴AB // CD，∴△OAB∼△OCD，∴ABCD =OBOD，即2CD =55+10，解得：CD=6；即树的高度为6m.故选B．8.【答案】D【考点】圆周角定理切线的性质【解析】连接OC，根据切线的性质求出∠OCD＝90∘，再由圆周角定理求出∠COD的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：连接OC，∵CD是⊙O的切线，点C是切点，∴∠OCD＝90∘．∵∠BAC＝25∘，∴∠COD＝50∘，∴∠D＝180∘−90∘−50∘＝40∘，故选D.9.【答案】B相似三角形的性质与判定平行四边形的性质【解析】首先作辅助线：取AB的中点M，连接OM，由平行四边形的性质与三角形中位线的性质，即可求得：△EFB∽△EOM与OM的值，利用相似三角形的对应边成比例即可求得BF的值．【解答】取AB的中点M，连接OM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD // BC，OB＝OD，∴OM // AD // BC，OM=12AD=12×6＝3，∴△EFB∽△EOM，∴BEEM =BFOM，∵AB＝10，BE=25AB，∴BE＝4，BM＝5，∴EM＝4+5＝9，∴BF3=49，∴BF=43，10.【答案】C【考点】相似三角形的性质与判定点与圆的位置关系含30度角的直角三角形三角形三边关系勾股定理【解析】如图，作△COE，使得∠CEO＝90∘，∠ECO＝60∘，则CO＝2CE，OE＝2√3，∠OCP＝∠ECD，由△COP∽△CED，得比例式，从而求得ED＝1（定长），由点E是定点，DE 是定长，推出点D在半径为1的⊙E上，由此即可解决问题．【解答】如图，作△COE，使得∠CEO＝90∘，∠ECO＝60∘，则CO＝2CE，OE＝2√3，∠OCP＝∠ECD，∵∠CDP＝90∘，∠DCP＝60∘，∴CP＝2CD，∴COCE =CPCD=2∴△COP∽△CED，∴OPED =CPCD=2，即ED=12OP＝1（定长），∵点E是定点，DE是定长，∴点D在半径为1的⊙E上，∵OD⩽OE+DE=2√3+1，∴OD的最大值为2√3+1，二．填空题（本大题共7小题，每空2分，共16分.）【答案】2x2−6x−1＝0【考点】一元二次方程的一般形式【解析】方程左边去括号，移项合并即可得到结果．【解答】方程去括号得：2x2−6x＝1，即2x2−6x−1＝0．【答案】4【考点】根与系数的关系【解析】设方程另一根为t，根据根与系数的关系得到2+t＝6，然后解一次方程即可．【解答】设方程另一根为t，根据题意得2+t＝6，解得t＝4．【答案】20πcm2【考点】圆锥的计算【解析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【解答】⋅2π⋅4⋅5＝20π(cm2)．这个圆锥的侧面积=12【答案】12【考点】位似的性质【解析】根据位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方进行解答即可．【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似比是1:2，∴△ABC∼△A′B′C′，相似比是1:2，∴△ABC与△A′B′C′的面积比是1:4.又△ABC的面积是3，∴△A′B′C′的面积是12.故答案为：12.【答案】5【考点】切线的性质垂径定理的应用勾股定理【解析】̂于点H、I，首先由题意，⊙O与BC相切，记切点为G，作直线OG，分别交AD、劣弧EF再连接OF，易求得FH的长，然后设求半径为r，则OH＝8−r，然后在Rt△OFH中，r2−(16−r)2＝82，解此方程即可求得答案．【解答】解：由题意，⊙O与BC相切，记切点为G，̂于点H，I，连接OF.作直线OG，分别交AD，劣弧EF在矩形ABCD中，AD // BC，而IG⊥BC，∴IG⊥AD，EF=4，∴在⊙O中，FH=12设半径为r，则OH=8−r，在Rt△OFH中，r2−(8−r)2=42，解得r=5.故答案为：5.【答案】23π 【考点】扇形面积的计算切线的性质【解析】连接OB 、OC ，如图，利用切线的性质得∠ABO ＝90∘，再利用三角函数的定义可求出∠BAO ＝30∘，则∠AOB ＝60∘，接着利用平行线的性质得到∠CBO ＝∠AOB ＝60∘，利用三角形面积公式可得到S △ABC ＝S △OCB ，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S 扇形BOC 进行计算．【解答】连接OB 、OC ，如图，∵ AB 切⊙O 于点B ，∴ OB ⊥AB ，∴ ∠ABO ＝90∘，在Rt △ABO 中，∵ sin∠BAO =OB OA =24=12，∴ ∠BAO ＝30∘，∴ ∠AOB ＝60∘，∵ BC // OA ，∴ ∠CBO ＝∠AOB ＝60∘，S △ABC ＝S △OCB ，∴ ∠BOC ＝60∘，图中阴影部分的面积＝S 扇形BOC ，∴ 图中阴影部分的面积=60⋅π⋅22360=23π． 【答案】78s 或258s 【考点】平行线的性质轴对称的性质勾股定理【解析】分两种情形分别构建方程求解即可．【解答】如图1中，当A、P、E共线时，∠APF＝90∘，满足条件．由题意EC＝PE＝t，CF＝PF=34t，由△APF∽△ACE可得PFEC =AFAE，∴34tt=3−34t√9+t2，解得t=78，如图2中，当∠PAF＝90∘时，由题意EC＝EP＝t，CF＝PF=34t，易知ED＝EB＝4−t，PD＝PA＝2t−4，AF＝3−34t，在Rt△PAF中，∵PA2+AF2＝PF2，∴(3−34t)2+(2t−4)2＝(34t)2，解得t=258或2（舍弃），综上所述，满足条件的t的值为78s或258s．三．解答题（本大题共9小题，共84分.解答需写出必要的文字说明或演算步骤）【答案】(x−1)2−9＝0，(x−1)2＝9，∴x−1＝3或x−1＝−3，解得：x＝4或x＝−2；3(x+5)−(x+5)2＝0(x+5)(−2−x)＝0∴x＝−5或x＝−2；x2+6x−55＝0；(x−5)( x+11)＝0，∴x＝5或x＝−11；2x2+6x−1＝0，∵△＝36+8＝44>0，x=−3±√112．【考点】解一元二次方程-公式法解一元二次方程-直接开平方法解一元二次方程-因式分解法【解析】（1）利用直接开平方法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得；（3）利用因式分解法求解可得；（4）利用公式法求解可得．【解答】(x−1)2−9＝0，(x−1)2＝9，∴x−1＝3或x−1＝−3，解得：x＝4或x＝−2；3(x+5)−(x+5)2＝0(x+5)(−2−x)＝0∴x＝−5或x＝−2；x2+6x−55＝0；(x−5)( x+11)＝0，∴x＝5或x＝−11；2x2+6x−1＝0，∵△＝36+8＝44>0，x=−3±√112．【答案】证明：∵▱ABCD中AD // BC，∴∠ADE＝∠DEC，又∵∠CDE＝∠DAE，∴△ADE∽△DEC；∵△ADE∽△DEC，∴DEAD =ECDE，∴46=EC4，∴EC=83．又∵BC＝AD＝6，∴BE＝6−83=103．【考点】相似三角形的性质与判定平行四边形的性质【解析】（1）根据AD // BC，可以证得∠ADE＝∠DEC，然后根据∠CDE＝∠DAE即可证得；（2）根据相似三角形对应边的比相等，即可求得EC的长，则BE即可求解．【解答】证明：∵▱ABCD中AD // BC，∴∠ADE＝∠DEC，又∵∠CDE＝∠DAE，∴△ADE∽△DEC；∵△ADE∽△DEC，∴DEAD =ECDE，∴46=EC4，∴EC=83．又∵BC＝AD＝6，∴BE＝6−83=103．【答案】(5, 0)；(5, 0)25π454【考点】作图-旋转变换扇形面积的计算圆锥的计算【解析】(1)直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；(2)直接建立坐标系得出答案；(3)直接利用扇形面积公式求法进而得出答案；(4)直接利用弧长等于圆锥的底面周长进而得出答案．【解答】解：(1)如图所示：点B 经过的路径为弧BC ；(2)如图所示：点C 的坐标为：(5, 0)；(3)线段AB 在旋转到线段AC 的过程中，线段AB 扫过区域的面积为：90π×52360=25π4；(4)设该圆锥底面圆的半径长为r ，由题意可得：CB̂=90π×5180=52π，则2πr =52π， 解得：r =54．【答案】证明：∵ △＝(2m +1)2−4m(m +1)＝1>0，∴ 方程总有两个不相等的实数根；∵ x ＝0是此方程的一个根，∴ 把x ＝0代入方程中得到m(m +1)＝0，即m 2+m ＝0，∴ m 2+m −5＝−5．【考点】根的判别式【解析】（1）计算判别式得到△＝1，然后根据判别式的意义得到结论；（2）把x ＝0代入方程得到m 2+m ＝0，然后利用整体代入的方法计算代数式m 2+m −5的值．【解答】证明：∵ △＝(2m +1)2−4m(m +1)＝1>0，∴ 方程总有两个不相等的实数根；∵ x ＝0是此方程的一个根，∴ 把x ＝0代入方程中得到m(m +1)＝0，即m 2+m ＝0，∴ m 2+m −5＝−5．【答案】证明：连接OD ，∵ OB ＝OD ，∴ ∠B ＝∠ODB ，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD // AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线；连接BE，∵AB是直径，∴∠AEB＝90∘，∵AB＝AC，AC＝3AE，∴AB＝3AE，CE＝4AE，∴BE=√AB2−AE2=2√2AE，在RT△BEC中，BECE =2√2AE4AE=√22．【考点】圆周角定理切线的判定等腰三角形的性质【解析】（1）连接OD，根据等边对等角性质和平行线的判定和性质证得OD⊥DF，从而证得DF是⊙O的切线；（2）根据圆周角定理、勾股定理得出BE＝2√2AE，CE＝4AE，然后在RT△BEC中可求BECE的值．【解答】证明：连接OD，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD // AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线；连接BE，∵AB是直径，∴∠AEB＝90∘，∵AB＝AC，AC＝3AE，∴AB＝3AE，CE＝4AE，∴BE=√AB2−AE2=2√2AE，在RT△BEC中，BECE =2√2AE4AE=√22．【答案】由题意，得当0<x≤5时y＝30．当5<x≤30时，y＝30−0.1(x−5)＝−0.1x+30.5．∴y={30(0<x≤5,x)−0.1x+30.5(5<x≤30,x)；当0<x≤5时，(32−30)×5＝10<25，不符合题意，当5<x≤30时，[32−(−0.1x+30.5)]x＝25，解得：x1＝−25（舍去），x2＝10．答：该月需售出10辆汽车．【考点】分段函数一元二次方程的应用【解析】（1）根据分段函数可以表示出当0<x≤5，5<x≤30时由销售数量与进价的关系就可以得出结论；（2）由销售利润＝销售价-进价，由（1）的解析式建立方程就可以求出结论．【解答】由题意，得当0<x≤5时y＝30．当5<x≤30时，y＝30−0.1(x−5)＝−0.1x+30.5．∴y={30(0<x≤5,x)−0.1x+30.5(5<x≤30,x)；当0<x≤5时，(32−30)×5＝10<25，不符合题意，当5<x≤30时，[32−(−0.1x+30.5)]x＝25，解得：x 1＝−25（舍去），x 2＝10．答：该月需售出10辆汽车．【答案】连接OD ，∵ α＝20∘，∴ ∠DOB ＝2α＝40∘，∵ AB ＝2√3，∴ ⊙O 的半径为：√3，∴ BD ̂的长为：40⋅π×√3180=2√39π； ∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ADB ＝90∘，∵ α＝30∘，∴ ∠B ＝60∘，∵ AC ⊥AB ，DE ⊥CD ，∴ ∠CAB ＝∠CDE ＝90∘，∴ ∠CAD ＝90∘−α＝60∘，∴ ∠CAD ＝∠B ，∵ ∠CDA +∠ADE ＝∠ADE +∠BDE ＝90∘，∴ ∠CDA ＝∠BDE ，∴ △ACD ∽△BED ，∴ AC BE =AD BD ，∵ AB ＝2√3，α＝30∘，∴ BD =12AB =√3，∴ AD =√AB 2−BD 2=3，∴ 2BE =√3，∴ BE =2√33； 60∘<α<90∘【考点】弧长的计算圆周角定理【解析】（1）首先连接OD ，由圆周角定理，可求得∠DOB 的度数，又由⊙O 的直径为2√3，即可求得其半径，然后由弧长公式，即可求得答案；（2）首先证得△ACD ∽△BED ，然后由相似三角形的对应边成比例，可得AC BE =ADBD ，继而求得答案；（3）首先求得A 与E 重合时α的度数，则可求得点E 在线段BA 的延长线上时，α的取值范围．【解答】连接OD ，∵ α＝20∘，∴ ∠DOB ＝2α＝40∘，∵ AB ＝2√3，∴ ⊙O 的半径为：√3，∴ BD ̂的长为：40⋅π×√3180=2√39π； ∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ADB ＝90∘，∵ α＝30∘，∴ ∠B ＝60∘，∵ AC ⊥AB ，DE ⊥CD ，∴ ∠CAB ＝∠CDE ＝90∘，∴ ∠CAD ＝90∘−α＝60∘，∴ ∠CAD ＝∠B ，∵ ∠CDA +∠ADE ＝∠ADE +∠BDE ＝90∘，∴ ∠CDA ＝∠BDE ，∴ △ACD ∽△BED ，∴ AC BE =AD BD ，∵ AB ＝2√3，α＝30∘，∴ BD =12AB =√3，∴ AD =√AB 2−BD 2=3，∴ 2BE =√3，∴ BE =2√33； 如图，当E 与A 重合时，∵ AB 是直径，AD ⊥CD ，∴ ∠ADB ＝∠ADC ＝90∘，∴ C ，D ，B 共线，∵ AC ⊥AB ，∴ 在Rt △ABC 中，AB ＝2√3，AC ＝2，∴ tan∠ABC =AC AB =√33， ∴ ∠ABC ＝30∘，∴ α＝∠DAB ＝90∘−∠ABC ＝60∘，当E′在BA 的延长线上时，如图，可得∠D′AB >∠DAB ＝60∘，∵ 0∘<α<90∘，∴ α的取值范围是：60∘<α<90∘．故答案为：60∘<α<90∘．【答案】√2,45结论：CEBD和β的大小无变化．理由：如图2中，延长CE交AB于点O，交BD于K．∵AE=√2AD，AC=√2AB，∴AEAD =ACAB=√2，∴AEAC =ADAB，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，∴△DAB∽△EAC，∴ECBD =ACAB=√2，∠OBK＝∠OCA，∵∠BOK＝∠COA，∠BKO＝∠CAO＝45∘，∴CEBD和β的大小无变化．当点E在线段AB上时，S△BCE=12×4×(4−2√2)＝8−4√2，当点E在线段BA的延长线上时，S△BCE=12×4×(4+2√2)＝8+4√2．综上所述，△BCE的面积为8−4√2或8+4√2．【考点】几何变换综合题【解析】（1）利用等腰直角三角形的性质，线段的中点的定义即可判断．（2）结论：CEBD和β的大小无变化．如图2中，延长CE交AB于点O，交BD于K．证明△DAB∽△EAC，即可解决问题．（3）分两种情形：①当点E在线段AB上时，②当点E在线段BA的延长线上时，分别求解即可．【解答】如图1中，∵∠B＝90∘，BA＝BC，∴∠A＝45∘，AC=√2AB，∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴BD=12AB，EC=12AC，∴ECDB=√2，β＝45∘，故答案为√2，45∘．结论：CEBD和β的大小无变化．理由：如图2中，延长CE交AB于点O，交BD于K．∵AE=√2AD，AC=√2AB，∴AEAD =ACAB=√2，∴AEAC =ADAB，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，∴△DAB∽△EAC，∴ECBD =ACAB=√2，∠OBK＝∠OCA，∵∠BOK＝∠COA，∠BKO＝∠CAO＝45∘，∴CEBD和β的大小无变化．当点E在线段AB上时，S△BCE=12×4×(4−2√2)＝8−4√2，当点E在线段BA的延长线上时，S△BCE=12×4×(4+2√2)＝8+4√2．综上所述，△BCE的面积为8−4√2或8+4√2．【答案】N，T如图3中，由题意A(9, 0)，B(0, 3√3)，∴OB＝3√3，OA＝9，∴tan∠OAB=OBOA =√33，∴∠OAB＝30∘，当点C在点A的左侧时，作CE⊥AB于E．当EC＝3时，AC＝2EC＝6，此时C(3, 0)，当点C′在点A的右侧时，当C′A＝3时，线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的发散点P′在⊙C的内部，观察图形可知满足条件的n的值为3≤n≤12．【考点】圆与相似的综合圆与圆的综合与创新圆与函数的综合【解析】（1）①根据点P及其关于⊙C的发散点的定义，求出OM，ON，OT的值即可判断．②如图2中，直线y=−√3x+3√3交x轴于A(3, 0)，交y轴于B(0, 3√3)，作OD⊥AB于D．在直线AB上寻找到点O的距离小于等于3的点，即可解决问题．（2）当点C在点A的左侧时，作CE⊥AB于E．当EC＝3时，求出点C的坐标，当点C′在点A的右侧时，当C′A＝3时，求出点C′的坐标即可判断．【解答】①如图1中，∵ M(3, 1)，N(32, 0)，T(2√2, 1)， ∴ OM =√10，OT ＝3，ON =32，∵ OM >3，∴ 点M 不存在关于⊙C 的发散点，点N 关于⊙C 的发散点与N 重合，坐标为(32, 0)，点T 关于⊙C 的发散点与O 重合，坐标为(0, 0)．故答案为N ，T ．②如图2中，直线y =−√3x +3√3交x 轴于A(3, 0)，交y 轴于B(0, 3√3)，作OD ⊥AB 于D ．∵ OA ＝3，OB ＝3√3，∴ tan∠OAB =3√33=√3，∴ ∠OAB ＝60∘，∵ OD ⊥AB ，∴ ∠ODA ＝90∘，∴ ∠DOA ＝30∘，∴ OD ＝OA ⋅cos30∘=3√32，可得D(94, 3√34)， ∵ 点P 存在发散点P′，∴ OP ≤3，作点A 关于D 的对称点C ，观察图象可知：当点P 在线段AC 上时，点P 存在发散点P′，∵ C(32, 3√32)，点P 关于⊙O 的发散点P′存在，且点P′不在x 轴上， ∴ 满足条件的m 的值为32≤m <3．如图3中，由题意A(9, 0)，B(0, 3√3)，∴OB＝3√3，OA＝9，∴tan∠OAB=OBOA =√33，∴∠OAB＝30∘，当点C在点A的左侧时，作CE⊥AB于E．当EC＝3时，AC＝2EC＝6，此时C(3, 0)，当点C′在点A的右侧时，当C′A＝3时，线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的发散点P′在⊙C的内部，观察图形可知满足条件的n的值为3≤n≤12．。
江苏省无锡市某校2021-2022学年-有答案-九年级上学期期中数学试题 (1)
江苏省无锡市某校2021-2022学年九年级上学期期中数学试题一、单选题1. 下列方程一定是关于x的一元二次方程的是()A. B.C.2x(x−1)=3D.2. 下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（）A.x2−4x−4＝0B.x2−36x+36＝0C.4x2+4x+1＝0D.x2−2x−1＝03. 若，则的值为（）A.1B.C.D.4. 下列说法正确的是()A.优弧一定大于劣弧B.等弧所对的圆心角相等C.经过三个点一定可以作一个圆D.相等的圆心角所对的弧相等5. 若⊙P的半径为5,圆心P的坐标为(−3, 4)，则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是()A.在⊙P内B.在⊙P上C.在⊙P外D.无法确定6. 半径为r的圆的内接正三角形的边长是（）A.2rB.C.D.7. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝110∘，则∠BCD的度数为（）A.55∘B.70∘C.110∘D.125∘8. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且，则S△ADE:S四边形BCED的值为()A.1：B.1:3C.1:8D.1:99. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF:FC=()A.1:3B.1:4C.2:3D.1:210. 如图，AB为的直径，且，点C在半圆上，，垂足为点O，PBC上任意一点，过P点作于点E，M是的内心，连接OM、PM，当点P在弧BC上从点B运动到点C时，求内心M所经过的路径长A. B. C. D.二、填空题一元二次方程x2=3x的解是：________．已知关于x的一元二次方程(k+1)x2−2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是________.已知圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥的侧面积为________cm²（结果保留π）．某品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由2500元降到了2025元，则平均每月降价的百分率为________．如图，OA，OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，连接AC，BC，若∠A=20∘，∠B=70∘，则∠ACB的度数为 ________∘．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点为A、B，AC是直径，若∠P＝50∘，则∠ACB＝________∘．如图，AB是⊙O的直径，弦BC=6cm，AC=8cm．若动点P以2cm/s的速度从B点出发沿着B→A的方向运动，点Q以1cm/s的速度从A点出发沿着A→C的方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t(s)，当△APQ是直角三角形时，t的值为________．如图，Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=4，F是线段AC上一点，过点A的⊙F交AB于点D，E是线段BC上一点，且ED=EB，则EF的最小值为________.三、解答题解下列方程：（1）（2）（3）（4） (配方法)已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0, 3)、B(3, 4)、C(2, 2)（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是 ________；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2:1，点C2的坐标是 ________ ；（3）△A2B2C2的面积是 ________ 平方单位．已知关于x的一元二次方程．（1）求证：无论k取何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为−2，求k的值和该方程的另一个根.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD 的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．某天猫店销售某种规格学生软式排球，成本为每个30元．以往销售大数据分析表明：当每只售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每上涨1元，其月销售量就减少20个，若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．（1）若售价上涨m元，每月能售出个排球（用m的代数式表示）．（2）为迎接“双十一”，该天猫店在10月底备货1300个该规格的排球，并决定整个11月份进行降价促销，问售价定为多少元时，能使11月份这种规格排球获利恰好为8400元．如图，Rt△ACB中，∠C＝90∘，点D在AC上，∠CBD＝∠A，过A、D两点的圆的圆心O 在AB上.（1）判断BD所在直线与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若AE＝4，∠A＝30∘，求图中由BD、BE、弧DE围成阴影部分面积．在平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“距离”，记作特别地，若图形M，N有公共点，规定．如图1，的半径为2，点，，则________，________．已知直线l：与的“距离”，求b的值．已知点，，的圆心为，半径为若，请直接写出m的取值范围________．参考答案与试题解析江苏省无锡市某校2021-2022学年九年级上学期期中数学试题一、单选题1.【答案】C【考点】一元二次方程的定义【解析】了解一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．【解答】A．x2−3=x(x+4)是一元一次方程，故错误；B．ax2+bx+c=0，若a=0，则不是一元二次方程，故错误；C．2x(x−1)=3，是一元二次方程，故正确；=−9，是分式方程，故错误D．x2+3x故选C2.【答案】C【考点】根的判别式一元二次方程的解一元二次方程的定义【解析】根据方程的系数结合根的判别式，分别求出四个选项中方程的根的判别式，利用“当Δ=0时，方程有两个相等的实数根”即可找出结论．【解答】A、∵Δ=(−4)2−4×1×(−4)=32>0该方程由两个不相等的实数根，A不符合题意；B、∵Δ=(−36)2−4×1×36=11.52>0该方程由两个不相等的实数根，B不符合题意；C∵Δ=42−4×1×4=0该方程由两个相等的实数根，C符合题意；DΔ=(−2)2−4×1×(−1)=8>0该方程由两个不相等的实数根，D不符合题意故选C．3.【答案】D【考点】比例的性质【解析】此题暂无解析【解答】x4r+y4+3x④故选D4.【答案】B【考点】圆心角、弧、弦的关系同底数幂的乘法垂径定理【解析】根据圆周角定理、确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理判断即可．【解答】在同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，A错误；等弧所对的圆心角相等，B正确；经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，C错误；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，D错误；故选：B5.【答案】B【考点】点与圆的位置关系坐标与图形性质勾股定理【解析】试题分析：根据勾股定理可得：OP=√32+42=5，则OP=r，则原点在OP上【解答】此题暂无解答6.【答案】B【考点】正多边形和圆【解析】根据题意画出图形，作出辅助线，利用垂径定理及勾股定理解答即可．【解答】如图所示，OB=OA=rB（△ABC是正三角形，由于正三角形的中心就是圆的圆心，且正三角形三线合一，所以BO是∠ABC的平分线；∠OBD=60∘×12=30∘BD=r⋅cos20∘=√3 2,根据垂径定理，BC=2×√32r=√3r．故选B．7.【答案】D【考点】圆周角定理【解析】根据圆周角定理求出ΔA，根据圆内接四边形的性质计算即可．【解答】由圆周角定理得，∠A=12∠BOD=55∘四边形ABCD为90的内接四边形，∠BCD=180∘−∠A=125故选：C．8.【答案】C【考点】位似变换相似三角形的性质与判定【解析】易证△ADE−△ABC，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，继而求得S△ADE:S四边形BED的值．【解答】AE AB =ADAC=13ZA=∠A△ADE−△ABC∴S△ADE△ABC=1.9∴S△ADE四边形BCED=1.8故选C．9.【答案】D【考点】平行四边形的性质三角形中位线定理【解析】解：在平行四边形ABCD 中，ABIDC ，则△DFE −△BAEDF:AB =DE:EB ．：O 为对角线的交点，∴ DO =BO ．又：E 为OD 的中点，∴ DE =14DB ，则DE:EB =1:3，∴ DF:AB =1:3DC =AB ，DF:DC =1:3，∴ DF:FC =1:2．故选D ．【解答】此题暂无解答10.【答案】D【考点】三角形中位线定理弧长的计算三角形的外接圆与外心【解析】首先证明∠CMO =∠PMO =135∘，推出当点P 在弧BC 上从点B 运动到点C 时，点M 在以OC 为弦，并且所对的圆周角为135的劣弧上OM →，利用弧长公式计算即可解决问题．【解答】如图，∼B：ΔOPE 的内心为M ，∠MOP =∠MOC,∠MPO =∠MPE∠PMO =180∘−∠MPO −∠MOP =180∘−12(∠EOP +∠OPE ) ：PE ⊥OC ，即∠PEO =90∘∠PMO =180∘−12(∠EOP +∠OPE )=180∘−12(180∘−90∘)=135. ．OP =OCOM =OM而∠MOP =∠MOC△OPM 加△OCM∠CMO =∠PMO =135∘所以当点P 在弧BC 上从点B 运动到点C 时，点M 在以OC 为弦，并且所对的圆周角为135∘的劣弧上OM →点M 在扇形BOC 内时，过C 、M 、O 三点作OO ，连OC ，00，在优弧CO 取点D ，连DA ，DO ，：∠CMO =135∘∠CDO =180∘−135∘=45∘∠COO =90∘，而OA =2cmOO =√22OC =√22×4=2√2 OMC →的加=90π2√2180=√2π(cm )故选D ．二、填空题【答案】 x 1=0,x 2=3【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】先移项，然后利用因式分解法求解．【解答】x 2=3xx 2−3x =0x (x −3)=0x =0或x −3=0∵ x 1=0,x 2=3故答案为∵ x 1=0,x 2=3【答案】【4k ≤0且k ≠−1【考点】一元二次方程根的分布【解析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k +1≠0且|Δ=(−2)2−4(k +1)×1≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．【解答】根据题意得k +1≠0且Δ=(−2)2−4(k +1)×1≥0解得k ≤0且k ≠−1故答案为k ≤0且k +1【答案】15π．【考点】圆锥的计算圆锥的展开图及侧面积圆柱的展开图及侧面积【解析】此题暂无解析【解答】解：由图可知，圆锥的高是4cm ，母线长5cm ，根据勾股定理得圆锥的底面半径为3cm ，所以圆锥的侧面积1=π×3×5=15πcm 2故答案为：15ī．【答案】L10%【考点】一元二次方程的应用由实际问题抽象出一元二次方程一元二次方程的应用——增长率问题【解析】本题可根据：原售价×（1−降低率）2=降低后的售价，然后列出方程求解即可．【解答】解：设平均降价元，依题意得：2500(1−x)2=205化简得：(1−x)2=0.8解得：x=0.4=10%或x=1.9=190%________（舍去），所以平均每月降价的百分率约为10%故答案为10%【答案】50【考点】圆周角定理【解析】根据圆周角定理得到∠O=2加C，由三角形的内角和得到∠A+20=C+2，代入数据即可得到结论．【解答】20=2∠C∠A+20=C+B∴∠ACB=∠B−∠A=50∘故答案为：50【答案】65【考点】切线的性质【解析】连接BC，OB，由PA、PB是O的切线，可得20AP=OB=90∘，根据四边形内角和，求出2AOB，再根据圆周角定理即可求LACB的度数．【解答】连接BC，OB．：PA、PB是O的切线，A．B为切点，∴∠OAP=∠OBP=90∘∴∠AOB=180∘−∠P=130∘由圆周角定理知∠ACB=12∠AOB=65∘故答案为：65.【答案】________、2540−）13【考点】垂径定理勾股定理圆周角定理【解析】应分两种情况进行讨论：①当PQ⊥AC时，△APQ为直角三角形，根据△APQ−△ABC，可将时间t求出；●当PQ⊥AB时，△APQ为直角三角形，根据△APQ−△ACB，可将时间t求出．【解答】解：AB是直径，∠C=90∘又BC=6cm,AC=8AB=10则AP=(10−2t)cm,AQ=t当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，0<t≤5①如图1，当PQ⊥AC时，PQIBC，则4K→B4K图1图2△APQ−△ABC∴．APAC =AQAB…10−2t8=t10解得ℎ=257○如图2，当PQ⊥AB时，△APQ−ΔAB则APAC =AQAB，解得4013故答案为：257,40 13【答案】I加加)2√3【考点】圆周角定理【解析】先取EF得中点O，连接DE、DE、DC，所以10C=12EF，由AF=DF,BE=DE，得到∴ A=∠ADF,∠B=∠BDE，从而∠ADF+∠BDE=∠A+∠B=90∘，所以∠EDF=90∘，因此OD=12EF,得到EF=OC+OD，因此当C、O、D三点在同一直线上，且CD⊥AB时，OC+OD最短，由OE=OF,OC=OD,∠C=90∘得到四边形CEDF为矩形，于是过点C作CH⊥AB，此时点D与H重合EF=OC+OD=CD=CH最短，由∠AFD=∠BED=90∘，可知2A=∠B=45∘，从而CH为12AB=12×4√3=2√3，故EF的最小值为2√3【解答】取EF得中点O，连接DE、DE、DC，ΔC=90∘OC=12EF,A+∠B=90∘AF=DF,BE=DE∵ A=∠ADF,∠B=∠BDE∴ ADF+∠BDE=∠A+∠B=90∘∠EDF=90∘OD=12 EFEF=OC+OD当CO、D三点在同一直线上，且CD⊥AB时，OC+OD最短，OE=OF,OC=OD…四边形CEDF为平行四边形，ΔC=90∘…四边形CEDF为矩形，于是过点C年CH⊥AB，此时点D与H重合，EF=OC+OD=CD=CH最短，∠AFD=∠BED=90∘…∠A=∠B=45∘CH=12AB=12×4√3=2√3．．EF的最小值为2√3三、解答题【答案】（1）x1=5,x2=−3；（2）x1=3x2=−3;（3）y1=2,y2=5;（4）x1=2+√7,x2=2−√7【考点】解一元二次方程-直接开平方法解一元二次方程-配方法【解析】（1）利用直接开平方法解方程得出即可；（2）直接利用提取公因式法分解因式得出即可；（3）直接利用公式分解法解方程即可；（4）利用配方法，再直接开平方法解方程得出即可．【解答】（1）4(x−1)2=64x−1=±4x1=5,x2=−3（2）(x−3)2−2x(x−3)=0(x−3)(−3)=0x1=3,x2=−3（3）y2−7y+10=0(y−2)(y−5)=0y1=2,y2=5（4）x2−4x−3=0（配方法）(x−2)2=7x1=2+√7,x2=2−√7【答案】（1）(2,−2)（2）(1,0)（3）10．休(B,．【考点】作图-位似变换三角形的面积【解析】（1）根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标；（2）根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标；（3）利用等腰直角三角形的性质得出ΔA2B2C2的面积．【解答】（1）如图所示：C1(2,−2)故答案为(2,−2)（2）如图所示：C2(1,0)故答案为(1,0)（3）A1C22=20,B2C22=20A1B22=40ΔA2B2C2是等腰直角三角形，×2√5×2√5=10平方单位．ΔA2B2C2的面积是：12故答案为10．【答案】（1）见解析；（2）k1=4,k2=0;−6,2【考点】根的判别式一元二次方程的解根与系数的关系【解析】（1）要想证明对于任意实数k，方程有两个不相等的实数根，只要证明Δ>0即可；（2）把方程的一根代入原方程求出k的值，然后把k的值代入原方程求出方程的另一个根．【解答】（1）证明：Δ=a2−4×1×(a−2)=a2−4a+8=(a−2)2+4(a−2)2≥0∴．(a−2)2+4≥0．Δ>0…无论a取任何实数时，方程总有两个不相等的实数根．（2）：此方程的一个根为−24−4k+k2−4=0解得k1=4,k2=0∴当k1=4时，一元二次方程为：x2+8x+12=0解得：x=−6…当k2=0时，一元二次方程为：x2−4=0解得：x=2.【答案】（1）见解析；（2）4.9【考点】正方形的性质全等三角形的性质与判定【解析】此题暂无解析【解答】（1）由正方形的性质得出AB=AD,∠B=90∘，ADIIBC，得出ΔMB==∠AF，再由∠B=∠FE，即可得出结论；（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM−ΔEF得出比例式，求出AE，即可得出DE的长．试题解析：（1）四边形ABCD是正方形，AB=AD,∠B=90∘，ADIIBC，∴∠AMB=∠EAF又EF⊥AM∴ AFE=90∘∠B=∠FE△ABM−ΔEA(2)∵ ∠B=90∘AB=12,BM=5AM=√122+52=13,AD=12：F是AM的中点，AF=12AM=6.5△ABM−ΔEABM AF =4M AE即56.5=134EAE=16.9DE=AE⋅AD=4.9【答案】（1）600−2x；（2）每个排球的售价为37元．【考点】一元二次方程的应用二次函数的应用一元二次方程的应用——利润问题【解析】（1）根据“当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每上涨1元，其月销售量就减少20个“列出代数式；（2）设每个台灯的售价为x元．根据每个台灯的利润×销售数量=总利润列出方程并解答．【解答】（1）依题意得：600−20x（2）设每个排球的售价为x元．根据题意，得(x−30)[(40−x)×200+600]=8400解得x2=36,x2=37当x=36时，销量为1400>1300舍去；当x=37，销量为1200<1300适合题意．答：每个排球的售价为37元．【答案】（1）见解4（2）2√3−23π【考点】圆周角定理【解析】（1）连接OD，DE，求出．△ADE=90∘=∠C，推出DEIIBC，求出∠EDB=∠CBD= 2A，根据．∴ A+OED=90∘，求出加EDB+40DE=90∘，根据切线的判定推出即可；（2）分别求出扇形DOE和s△ODB的面积，即可求出答案．【解答】（1）直线BD与○O的位置关系是相切证明：连接OD、DEA平∵ C=90∘∠CBD+∠CDB=90∘∠A=∠CBD∠A+∠CDB=90∘OD=OA∠A=∠ADO∠ADO+∠CDB=90∘∠ODB=180∘−90∘=90∘OD⊥BD：OD为半径．BD是90切线（2）解：AE是○O直径∴ ADE=90∘AE=4,∠A=30∘DE=12AE=2,∠AED=60∘OD=OE△OOE是等边三角形20DE=60∘,OD=OE=DE=2∠ODB=90∘∠EDB=30∘∴ B=∠DEO⋅EDB=60∘−30∘=30∘OB=20D=4由勾股定理得：DB=√42−22=2√3…阴影部分的面积S=S△OOB−S i扇形DOE=12×2×2√3−60π×22360=2√3−2 3π【答案】I加加(1)①①．3，②b=±5(2)m的值为−4或0≤m≤4−2√2或4+2√2【考点】一次函数的应用【解析】（1）①根据图形M，N间的“距离”的定义即可解决问题；②设直线/交x轴，y轴于点P，Q，作OH⊥PQ于H，OH交○○于G．根据y=−512x+b与○○的“距离”d(1,CO)=3413，构建方程即可解决问题；（2）如图2中，设AC交×轴于E．分四种情形分别求解即可解决问题【解答】（1）①如图1中，连接OB交○○于点E，设○○交y轴于点F．图1由题意：d(A．OO)=AF=2−1=1，d(B．OO)=BE=OB−OE=5−2=3，故答案为1，3．②如图1中，设直线/交x轴，y轴于点P，Q，作OH⊥PQ于H，OH交○○于G．图1由题意P(125b,0)，Q(0, b)，OP=125|bl，OQ=bl，PQ=135|b：S∵log2q=12⋅OP⋅OQ=12⋅PQ⋅OHOH=1213b)，直线ly=−512x+b≤0的“距离”d(1cos341312 13|b|−2=2413（2）如图2中，设AC交x轴于E．（环、6广4Ka}2十N________M．−6−5−43−2−10T123④⑥扑DcB—十c−3上−4十−5上−6L图2·d(OM．aABC)=1，当m=−4时，OM，满足条件，当m=0时，OM，满足条件，假设OM．满足条件，作M；H⊥AC由题意HM，=HE=2，：EM3=2√2M，(4−2√2,0)m=4−2√2观察图象可知：当0≤m≤4−2.）时，OM满足条件，假设OM，满足条件，作M．G⊥AC于G，由题意；GMa=GE=2：EN44=2√2．Ma(4+2√2,0)m=4+2√2综上所述，满足条件的m的值为4或0≤m≤4−2、2或4+2√2故答室为4或0≤m≤4−2√2或4+2N2。
2021-2022学年江苏省无锡市锡山区九年级上学期数学期中试题及答案
2021-2022学年江苏省无锡市锡山区九年级上学期数学期中试题及答案一、选择题（本大题共有10小题，每题3分，共30分）1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）A. x﹣2=0B. xy+1=0C. x 2﹣﹣3=0D. 1x x 2﹣4x﹣1=0【答案】D【解析】【分析】一元二次方程有三个特点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程．【详解】解：A ．是一元一次方程，故不符合题意；20x -=B ．含有2个未知数，故不符合题意；10xy +=C ． x 2﹣﹣3=0是分式方程，故不符合题意； 1xD ．是一元二次方程，故符合题意；2410x x --=故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，掌握一元二次方程的定义是解题关键．2. 如果⊙O 的半径为6，线段OP 的长为3，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）A. 点P 在⊙O 上B. 点P 在⊙O 内C. 点P 在⊙O 外D. 无法确定【答案】B【解析】【分析】当点P 与圆心的距离大于半径时，点P 在圆外；当点P 与圆心的距离等于半径时，点P 在圆上；当点P 与圆心的距离小于半径时，点P 在圆内．根据点与圆的位置关系即可判断．【详解】∵OP=3<6∴点P 在圆内故选：B ．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系是关键．3. 已知圆锥的底面半径为3cm ，母线长为4cm ，则这个圆锥的侧面积是（ ）A. 24πcm 2B. 12πcm 2C. 20cm 2D. 20πcm 2【答案】B【解析】 【分析】圆锥的侧面积公式：，R 是母线的长度，r 的底面圆的半径；把数据代入S Rr π=公式直接计算即可.【详解】解： 圆锥的底面半径为3cm ，母线长为4cm ，圆锥的侧面积cm 2∴3412Rr πππ==⨯=故选B【点睛】本题考查的是圆锥的侧面积的计算，掌握“圆锥的侧面积公式：，R 是母S Rr π=线的长度，r 的底面圆的半径”是解题的关键.4. 一元二次方程的根的情况是（ ）22310x x ++=A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定 【答案】A【解析】【详解】试题分析：∵△=，∴方程有两个不相等的实数根．故选A ． 2342110-⨯⨯=>考点：根的判别式．5. 将方程的左边配成完全平方式后，得到的方程为：（ ）2430x x --=A. B. C. D. 2(2)7x -=2(2)3x -=2(2)7x -=-2(2)3x -=-【答案】A【解析】【分析】将方程常数项移到右边，再左右两边加上4左边即可配成完全平方，即可得出答案．【详解】，2430x x --=移项得：，243x x -=配方得：，即2447x x -+=()227x -=故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程配方法，属于基础题型．6. 已知，则的值是（ ） 43a b =a b b -A. B. C. 3 D. 344313【答案】D【解析】 【分析】根据，可得 ，然后代入，即可求解． 43a b =43b a =【详解】解：∵， 43a b =∴ ， 43b a =∴． 4133b b a b b b --==故选：D ．【点睛】本题主要考查了比例的性质，能够用表示出是解题的关键．b a 7. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为E ，如果AB=10，CD=8，那么线段OE 的长为（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】D【解析】 【分析】根据垂直定理求出CE，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：连接OC ，∵AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为E ，AB=10，CD=8，∴OC=5，CE=4，．3==故选D ．【点睛】本题考查了1．垂径定理；2．勾股定理．8. 如图，在△ABC 中，DE∥BC，若AD∶DB=3∶2，AE=6cm ，则EC 的长为（ ）A. 6cmB. 5cmC. 4cmD. 3cm【答案】C【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例，即可求解．【详解】解：∵DE∥BC， ∴ ， AD AE DB EC=∵AD∶DB=3∶2，AE=6cm ， ∴ ，解得： ． 362EC=4cm EC =故选：C【点睛】本题主要考查了成比例线段，熟练掌握平行线分线段成比例基本事实是解题的关键．9. 如图，在△AOB 中，OA=AB ，顶点A 的坐标（3，4），底边OB 在x 轴上．将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得△A'O'B，点A 的对应点A'在x 轴上，则点O'的坐标为（ ）A. （，）B. （，）C. （）D. （，485245365165203245【答案】A【解析】【分析】过点A 作AC⊥OB 于C ，过点O'作O'D⊥A'B 于D ，根据点A 的坐标求出OC 、AC ，再利用勾股定理列式计算求出OA ，根据等腰三角形三线合一的性质求出OB ，根据旋转的性质可得BO'＝OB ，A'B=AB=5，然后利用三角形面积公式求出O'D 、BD ，再求出OD ，然后写出点O'的坐标即可．【详解】解：如图，过点A 作AC⊥OB 于C ，过点O'作O'D⊥A'B 于D ，∵A（3，4），∴OC＝3，AC ＝4，由勾股定理得，OA ＝5=AB ，∵△AOB 为等腰三角形，OB 是底边，∴OB＝2OC ＝2×3＝6，由旋转的性质得，BO'＝OB ＝6，A'B=AB=5，∵ 11''22OB AC A B O D ⨯=⨯∴ 645'O D ⨯=⨯∴O'D＝， 245， 185=∴OD＝OB ＋BD ＝6＋＝， 185485∴点O'的坐标为（，）． 485245故选A ．【点睛】本题考查了坐标与图形变化−旋转，主要利用了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．10. 如图，以G(0，1)为圆心，半径为2的⊙G 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，点E 为⊙G 上一动点，CF⊥AE 于F ，当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长为（ ）B. π π D. π 2334【答案】A 【解析】【分析】连接AC ，取其中点H ，则点F 的运动轨迹是以H 为圆心，以HA 为半径的圆的 OA上，根据垂径定理，求得∠HCO=30°，从而得到∠AHO=60°，计算计算即可．【详解】连接AC ，取其中点H ，则点F 的运动轨迹是以H 为圆心，以HA 为半径的圆的 OA上，∵以G(0，1)为圆心，半径为2的⊙G 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点， ∴OG=1，GA=GC=2，OC=3，∵∠AOG=90°，∴OG=1，GA=GC=2，，，∴∠HCO=30°，∴∠AHO=60°，∴点F π， 故选A ．【点睛】本题考查了圆的性质，垂径定理，勾股定理，弧长公式，熟练掌握垂径定理，灵活运用勾股定理和弧长公式是计算的关键．二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分）11. 一元二次方程的根是_____________．24x 【答案】±2【解析】【分析】利用直接开平方法求解可得．【详解】解：∵x 2=4，∴x=±2，故答案为：±2．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．12. 已知一元二次方程x 2＋mx －3＝0的一个根为1，则m ＝____．【答案】2【解析】【分析】把x=1代入x 2＋mx －3＝0，求出m 的值即可.【详解】∵一元二次方程x 2＋mx －3＝0的一个根为1，∴12+m-3=0，即m-2=0，解得m=2.故答案为2【点睛】本题主要考查对一元二次方程的解，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能得到方程m-2=0是解此题的关键．13. 如果两个相似三角形的周长比是1︰4，那么它们的面积比是_________．【答案】1:16【解析】【分析】根据相似三角形的相似比等于周长比，可得两个相似三角形的相似比是1︰4，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解．【详解】解：∵两个相似三角形的周长比是1︰4，∴两个相似三角形的相似比是1︰4，∴它们的面积比是1:16．故答案为：1:16【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的相似比等于周长比，相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．14. 在一张比例尺为1∶200000的地图上，A 、B 两地间的图上距离为3厘米，则两地间的实际距离是_________千米．【答案】6【解析】【分析】由比例尺的定义：图上距离与实际距离的比叫做比例尺建立等量关系，解这个一元一次方程就可以求出实际距离．【详解】解：设两地间的实际距离是x 厘米 根据题意得， 31200000x =∴600000x =600000厘米=6千米答：A ，B 两地间的实际距离是6千米．故答案为：6．【点睛】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系，解答时要注意单位的换算．15. 如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠ACB=70°，则∠AOB 的度数为_______．【答案】140°【解析】【分析】根据同圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半，即可求解．【详解】解：∵点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ACB=70°，∴．2140AOB ACB ∠=∠=︒故答案为：140°【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半是解题的关键．16. 已知线段a 、b 、c ，其中c 是a 、b 的比例中项，若a ＝2cm ，b ＝8cm ，则线段c ＝_____cm ．【答案】4【解析】【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．【详解】∵线段c 是a 、b 的比例中项，线段a ＝2cm ，b ＝8cm ， ∴＝， a c c b∴c 2＝ab ＝2×8＝16，∴c 1＝4，c 2＝﹣4（舍去），∴线段c ＝4cm ．故答案为：4【点睛】本题考查了比例中项的概念：当两个比例内项相同时，就叫比例中项．这里注意线段不能是负数．17. 在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC=8、BD=6，则菱形ABCD 的内切圆半径为 ________．【答案】##2.4 125【解析】 【分析】根据菱形的性质，可得AC⊥BD， ，再由勾股定理可得11,22AO AC DO BD ==，然后设菱形ABCD 的内切圆半径为r ，根据三角形的面积，即可求解．5AD =【详解】解：在菱形ABCD 中，AC⊥BD， ， 11,22AO AC DO BD ==∵AC=8、BD=6，∴AO=4，DO=3，∴ ，5AD ==设菱形ABCD 的内切圆半径为r ， ∴ ， 12AOD S AD r =⨯ ∵， 12AOD S AO DO =⨯ ∴ ，解得： ， 1153422r ⨯=⨯⨯125r =即菱形ABCD 的内切圆半径为． 125故答案为： 125【点睛】本题主要考查了菱形的性质，内切圆，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．18. 如图，以AB 为直径画半圆⊙O，CD 与⊙O 相切，切点为E ，过A 、B 分别作CD 的垂线，垂足分别为C 、D ，若AC=2，CD=6，则BD 的长为________．【答案】4.5【解析】【分析】连接AE 、BE 、OE ，证出，再利用证出CEA OEB ∠=∠BD CD ⊥Rt CAE Rt DEB 进而得到，再得到即可求解． CA CE DE DB =132CE ED CD ===【详解】解：连接AE 、BE 、OE ，∵AB 为⊙O 直径，CD 与⊙O 相切，切点为E ，∴ ，90,90AEB CEO ∠=︒∠=︒∴ ，90,90CEA AEO AEO OEB ∠+∠=︒∠+∠=︒∴ ，CEA OEB ∠=∠∵ ，BD CD ⊥∴ ，//OE BD ∴即 ，OEB EBD ∠=∠CEA EBD ∠=∠∴ ，Rt CAE Rt DEB ∴ ， CA CE DE DB=∵ ，,AC CD AO BO ⊥=∴ ， 132CE ED CD ===∴ ， 233CA CE DE DB DB===∴ ，4.5DB =故答案为：4.5．【点睛】本题考查切线的性质及相似三角形判定与性质等知识，作出辅助线进而得到是解题关键．Rt CAE Rt DEB 19. 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D 是边BC 的中点，点E 是边AB 上的任意一点（点E 不与点B 重合），沿DE 翻折△DBE 使点B 落在点F 处，连接AF ，则线段AF 长的最小值为____________．2-【解析】【分析】根据题意得当AF≥AD-DF 时，可得当A ，F ，D 在同一直线上时，AF 的长最小；再根据勾股定理进行计算，即可得到线段AF 长的最小值．【详解】解：如图，连接AD ，由题意得：DF=DB=CD=， 122BC =∵AF+DF≥AD， ∴ ，AF AD DF ≥-∴当A 、F 、D 三点共线时，AF 的长最小，在 中，由勾股定理得：Rt ACD △，AD ===∴ ，2AF AD DF =-=-即 线段AF ．2-2-【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理、最值问题等几何知识点及其应用问题，熟练掌握折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．20. 如图，在平面直角坐标系中，点A,B 分别在x,y 的正半轴上，以AB 所在的直线为对称轴将翻折，使点O 落在点C 处，若点C 的坐标为(4,8)，则 的外接圆半径为ABO ∆AOC ∆_____________ .【解析】【分析】连接OC ，过点C 作CD⊥y 轴于点D ，得：CD=4，OD=8，OC=由∠BOE+∠AOE=90°，∠OAE+∠AOE=90°，得：∠BOE=∠OAE，即：tan∠OAE=tan∠BOE=，12CD OD =得：，作OA 的垂直平分线，交OA 于点M ，交AB 于点N ，求出AN 的值，即可得到答案.【详解】连接OC ，过点C 作CD⊥y 轴于点D ，∵点C 的坐标为(4,8)，∴CD=4，OD=8，==∵∆AOB 和∆ACB 关于直线AB 轴对称，∴OC⊥AB，OE=CE= ∵∠BOE+∠AOE=90°，∠OAE+∠AOE=90°，∴∠BOE=∠OAE，∴tan∠OAE=tan∠BOE=， 12CD OD =∴OE：AE ：OA=1：2，，作OA 的垂直平分线，交OA 于点M ，交AB 于点N ，∵AB 垂直平分OC ，∴点N 是 的外接圆的圆心，AN 是半径，AOC ∆∵tan∠OAE=， 12∴AN=××. 1212121212.【点睛】本题主要考查三角函数和直角三角形的综合应用，添加合适的辅助线，构造直角三角形，找到 的外接圆的圆心，是解题的关键.AOC ∆三、解答题（本大题共有9小题，共90分）21. 解方程（1）； （2）．240x x -=2450x x -=+【答案】（1），；（2），．10x =24x =15x =-21x =【解析】【分析】（1）将方程的左边用提公因式法分解因式可得，由此可得或(4)0x x -=0x =，进而解方程即可；40x -=（2）将方程的左边用十字相乘法分解因式可得，由此可得或(5)(1)0x x +-=50x +=，进而求解即可10x -=【详解】解：（1）∵，240x x -=∴，(4)0x x -=∴或，0x =40x -=解得：，；10x =24x =（2）∵，2450x x -=+∴，(5)(1)0x x +-=∴或，50x +=10x -=解得：，．15x =-21x =【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．22. 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，D 是AC 边上的一点，DE⊥AB 于点E ．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）如果AC=4，BC=3，DE=2，求AD 的长．【答案】（1）见解析；（2）AD ＝103【解析】 【分析】（1）由∠AED＝∠C＝90°及∠A＝∠A 从而求证△ABC∽△ADE；（2）由△ABC∽△ADE，可知，代入条件求解即可． AB BC AD DE=【详解】（1）证明：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠C＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE；（2）解：∵AC＝4，BC ＝3，∴AB＝5，∵△ABC∽△ADE，∴ ， AB BC AD DE=∴AD＝． 103【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，即可求解．23. 已知关于x 的方程x 2-3x+m=0有两个不相等实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 是符合条件的最大整数，求此时一元二次方程的解．【答案】（1）m ＜；（2）x 1＝1，x 2＝2 94【解析】【分析】（1）由题意得：一元二次方程的判别式为正，从而可得关于m 的一元一次不等式，解不等式即可求得m 的取值范围；（2）把最大整数m 代入方程中，解一元二次方程即可．【详解】（1）根据题意得，解得 ()224340b ac m --＝﹣＞94m <（2）∵， 94m <∴m 的最大整数值为2此时方程为x 2﹣3x+2＝0，解得：x 1＝1，x 2＝2【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程等知识，知道一元二次方程的解的情况与判别式的关系，熟练解一元二次方程是解题的关键．24. 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD 是⊙O 的直径，∠ABC=60°．（1）求：∠CAD 的度数；（2）若AD=6，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）30°；（2 【解析】 【分析】（1）先证明 再证明∠ADC=∠ABC=60° ，再利用三角形的内角和定理90,ACD ∠=︒可得答案；（2）连接OC ，过O 作OQ⊥AC 于Q ，再求解利用阴影部分的面积=S 扇形,,,AC OQ AOC ∠OAC ﹣S △AOC ，从而可得答案.【详解】解：（1）∵AD 是直径∴∠ACD=90°∵∠ADC=∠ABC=60°∴∠CAD=90°﹣∠ADC=30°（2）连接OC ，过O 作OQ⊥AC 于Q ，∵∠CAD=30°，AD=6，∴ OQ=OA= 3,OA OD ==1232由勾股定理得： =,OQ AC ⊥∴∵∠AOC=2∠ABC=120°，∴阴影部分的面积是:S 扇形OAC ﹣S △AOC 2120313336022ππ⨯=-⨯=-【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理的应用，圆周角定理，扇形面积的计算，掌握以上基础知识是解题的关键.25. 如图，点 A ，B ，C 是 6×6 的网格上的格点，连结点 A ，B ，C 得△ABC，请分别在下列图中使用无刻度的直尺按要求画图．（画图时保留画图痕迹）（1）在图①中，在 AC 上找一点 M ，使 12BCM ABC S S =△△（2）在图②中，在△ABC 内部（不含边界）找一点 N ，使 12BCN ABC S S =△△【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】【分析】（1）直接找到AC 的中点进而得出； 12BCM ABC S S =△△（2）直接找到AB 以及AC 的中点进而得出答案．【详解】解：（1）利用每一个网格为正方形的性质，直接观察得到AC 的中点M ，连接BM 即可，如下图：G（2）由长方形（矩形）的性质得到为AB的中点，M为AC的中点，连接MG，则N可以是MN上与M，N不重合的任一点，如下图：【点睛】本题考查的三角形的中线等分三角形的面积，同时考查了矩形性质，三角形的中位线的性质，以及两平行线间的距离处处相等的性质，掌握以上知识是解题的关键．26. 由于防疫的需求，某网点销售一款“手消毒凝胶”，这款“手消毒凝胶”的成本为每瓶40元，市场监管部门规定最高售价不得超过75元．经过市场调研发现，销售单价x（单位：元）与月销售量y（单位：瓶）之间存在着如表的数量关系：销售单价x（单位：元）45 50 55 …月销售量y（单位：瓶）550 500 450 …（1）求月销售量y和销售单价x之间的一次函数关系式；（2）若商家销售该“手消毒凝胶”，某月销售利润为8000元，求月销售量．【答案】（1）y=-10x+1000；（2）该月销售量是400瓶【解析】【分析】（1）设月销售量与销售单价的函数关系为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法即可求出月销售量与销售单价的函数关系式；（2）利用月销售利润=每台的利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合该产品的销售单价不得高于75元，即可确定该产品的销售单，进而解决问题．【详解】解：（1）设函数关系式为y=kx+b （k≠0），由题意得5504550050k b k b =+⎧⎨=+⎩解得： 101000k b =-⎧⎨=⎩∴函数关系式为y=-10x+1000（2）由题意得：(x-40)(-10x+1000)=8000解得x 1=60，x 2=80>75舍去∴y=-10×60+1000=400答：该月销售量是400瓶．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，利用待定系数法求出月销售量与销售单价的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．27. 如图，是⊙O 的直径，是⊙O 的切线，交⊙O 于点E ．AB AC BC（1）若D 为的中点，证明：是⊙O 的切线；AC DE （2）若，，求⊙O 的半径的长．6CA = 3.6CE =OA 【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O 的半径的长为4OA 【解析】【分析】（1）连接AE 和OE ，由直角三角形的性质和圆周角定理易得∠OED=90°，可得DE 是⊙O 的切线；（2）在Rt△ACE 中求得AE 的长，证得Rt△ABE Rt△CAE，利用对应边成比例即可求解．~【详解】（1）连接AE ，OE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=90°，∵AC 是圆⊙O 的切线，∴AC⊥AB，在直角△AEC 中，∵D 为AC 的中点，∴DE=DC=DA，∴∠DEA=∠DAE，∵OE=OA，∴∠OEA=∠OAE，∵∠DAE+∠OAE=90°，∴∠DEA+∠OEA=∠DEO=90°，∴OE⊥DE，∴DE 是⊙O 的切线；（2）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=∠AEC=90°，在Rt△ACE 中， CA=6， CE=3.6=， 185， 245==∴∠B+∠EAB=90°， ∵∠CAE+∠EAB=90°，∴∠B=∠CAE，∴Rt△ABE Rt△CAE，~∴，即， AB AE AC CE=2451865AB =∴，8AB =∴⊙O 的半径OA=． 142AB =【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，掌握切线的判定定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．28. 如图1，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=8cm ，点P 从点B 出发，沿AB 边向终点A 以每秒1cm 的速度运动，同时点Q 从点C 出发沿C→B→A 向终点A 以每秒3cm 的速度运动，P 、Q 其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t 秒．解答下列问题：（1）若Q 在BC 上运动，当t= 秒时，PQ 的长为？（2）如图2，以P 为圆心，PQ 长为半径作⊙P，在整个过程中，是否存在这样的t 的值，使⊙P 正好与△ABD 的一边（或所在的直线）相切？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2；（2）存在，t 秒或秒 207143【解析】 【分析】（1）由题意得BP ＝t ，CQ ＝3t ，则AP ＝6−t ，BQ ＝BC −CQ ＝8−3t ，在Rt△BCP 中，由勾股定理得出方程，解方程即可；（2）分情况讨论：①若与BD 相切，过P 作PK⊥BD 于K ，则∠PKB＝90°，PK ＝PQ ＝PB −BQ ＝t −（3t −8）＝8−2t ，证△PBK∽△DBA，得 ，即可得出答案；②若与AD 相切，Q PK PB AD BD=在BC 上，PQ ＝PA ，Q 在BC 上，则PQ ＝PA ＝6−t ，在Rt△PBQ 中，由勾股定理得出方程，解方程即可；③若与AD 相切，当P 、Q 两点中Q 先到A 点时，此时t ＝； 143④若与AD 相切，当点Q 未到达点A 时，则PA ＝PQ ，得6−t ＝t −（3t −8），解得t ＝2，舍去；即可得出结论．【详解】解：（1）由题意得：BP ＝t ，CQ ＝3t ，则AP ＝6−t ，BQ ＝BC −CQ ＝8−3t ，∵四边形ABCD 是矩形，∴ ，90ABC ∠=︒在Rt△BCP 中，由勾股定理得： ，222BP BQ PQ +=即 ， ()(2228t t +-=解得：或（不符合题意舍去）， 2t =145t =∴ 2t =（2）①若与BD 相切，过P 作PK⊥BD 于K ，如图所示：则∠PKB＝90°，PK ＝PQ ＝PB﹣BQ＝t﹣（3t﹣8）＝8﹣2t，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD＝90°＝∠PKB，AD ＝BC ＝8，10，==∵∠PBK＝∠DBA，∴△PBK∽△DBA， ∴，即，解得：t ＝ ， PK PB AD BD =82810t t -=207②若与AD 相切，Q 在BC 上，PQ ＝PA ，Q 在BC 上，如图所示：则PQ ＝PA ＝6﹣t，在Rt△PBQ 中，由勾股定理得：t 2+（8﹣3t）2＝（6﹣t）2，解得：t ，或t （不合题意舍去），， ③若与AD 相切，当P 、Q 两点中Q 先到A 点时，如图所示：此时t ＝， 143∴⊙P 的半径为 ， 144633-=④若与AD 相切，当点Q 未到达点A 时，如图所示：则PA ＝PQ ，∴6﹣t＝t﹣（3t﹣8），解得：t ＝2，当t ＝2时，PB ＝2，则AP ＝6﹣2＝4≠PQ，故舍去综上所述，t 秒或秒． 207143【点睛】本题是圆的综合题目，考查了切线的性质、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握切线的性质和勾股定理是解题的关键，注意分类讨论避免漏解，属于中考常考题型．29. 如图1，四边形ABCD 是矩形，AB=1，点E 是线段BC 上一动点（不与B 、C 重合），点F 是线段BA 延长线上一动点，连接DE 、EF 、DF ，EF 交AD 于点G ．设BE=x ，AF=y ，y 与x 之间的函数关系式如图2所示．（1）y 与x 之间的函数关系式 ，边BC 的长为 ；（2）求证：DE⊥DF；（3）是否存在x 的值，使的△DEG 是等腰三角形？若存在，求出x 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）＝﹣2x+4，2；（2）见解析；（3）存在，=或 5432【解析】 【分析】（1）待定系数法设y 与x 的函数表达式为：y ＝kx ＋b （k≠0），根据图象经过（1，2），（0，4），将其代入即可求出表达式，由图象即可知BC 的长；（2）证明△CDE∽△ADF，再利用相似三角形对应角相等即可转换求证∠EDF＝90°即得证；（3）假设存在x 的值，使得△DEG 是等腰三角形，分DE ＝DG ，DG ＝GE ，DE ＝GE 三种情况讨论结合图形特点即可算出x 的值．【详解】解：（1）设y 与x 的函数表达式为：y ＝kx ＋b （k≠0），由图象知函数经过（1，2），（0，4），将其代入函数表达式得：， 24k b b=+⎧⎨=⎩解得：， 24k b =-⎧⎨=⎩∴y 与x 的函数表达式为：y ＝−2x ＋4，令y ＝0，则x ＝2，故由图象可知：0＜x ＜2，BC ＝2，故答案为：y ＝−2x ＋4（0＜x ＜2），2；（2）证明：∵BE＝x ，BC ＝2，∴CE＝2﹣x，∴，， 21422CE x AF x -==-12CD AD =∴且∠C＝∠DAF＝90°， CE CD AF AD =∴△CDE∽△ADF∴∠ADF＝∠CDE，又∵∠ADF+∠EDG＝∠CDE+∠EDG＝90°，∴∠EDF＝90°∴DE⊥DF（3）①若DE ＝DG ，则∠DGE＝∠DEG，∵AD BC ，∥∴∠DGE＝∠BEF＝∠DEG，在△DEF 和△BEF 中，∴，DEF BEF EDF B EF EF ∠=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEF≌△BEF（AAS ）∴DE＝BE ＝x ，∵CE＝2﹣x，CD ＝1，在Rt△DCE 中，CD 2+CE 2＝DE 2，即，12+（2﹣x）2＝x 2，解得：x ＝ 54②若DG ＝GE ，则∠GDE＝∠GED，∵∠GDE+∠GDF＝90°，∠DEG+∠DFE＝90°，∴∠GDF＝∠DFE，∴DG＝FG ＝GE ，∴G 为EF 的中点，又∵AG BE ，∥∴A 也为BF 的中点，∴AF＝BA ＝1，∴y＝﹣2x+4＝1，解得：x ＝ 32③若DE ＝GE ，则∠EDG＝∠EGD，过点E 作EH⊥DG 于点H ，则：DH ＝GH ＝CE ＝2﹣x，EH ＝CD ＝AB ＝1，AG ＝2﹣DG＝2﹣2（DH ）＝2﹣2（2﹣x）＝2x﹣2，AF ＝y ＝﹣2x+4，∵∠EHG＝∠GAB＝∠GAF＝90°，∠HGE＝∠AGF，∴△HGE∽△AGF， ∴， HG HE AG AF=即，解得：x 1x 22（舍去） 212224x x x -=--+综上所述，当x ＝或是等腰三角形． 5432【点睛】本题属于四边形综合大题，考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，正确分析几何图形的特点，熟练运用，分类讨论，细心运算是解题关键．。
江苏省无锡市2021版九年级上学期数学期中考试试卷A卷
江苏省无锡市2021版九年级上学期数学期中考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）如图，如果正方形ABCD旋转后能与正方形CDEF重合，那么，图形所在平面内，可作为旋转中心的点有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2. （2分）一元二次方程x2－4x－6＝0，经过配方可变形为（）A . (x－2)2＝10B . (x－2)2＝6C . (x－4)2＝6D . (x－2)2＝23. （2分）已知，⊙O的半径为1，点P与O的距离为d，且方程x2﹣2x+d=0无实数根，则点P在⊙O（）A . 内B . 上C . 外D . 无法确定4. （2分） (2019九上·武汉月考) 若点A（2，），B（-3，），C（-1，）三点在抛物线的图象上，则、、的大小关系是（）A .B .C .D .5. （2分） (2018九上·瑞安月考) 二次函数y=-x2+1的图象与x轴交于A，B两点，与y轴相交于点C，下列说法中，错误的是A . △ABC是等腰三角形B . 点C的坐标是（0，1）C . AB的长为2D . y随x的增大而减小6. （2分）如果x=-3是方程的一个根，那么m的值是（）A . -4B . 4C . 3D . -37. （2分） (2019九上·凤山期末) 如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形OABC是平行四边形，OD⊥AB 交圆O于点D，则∠OAD等于（）A . 72．5°B . 75°C . 80°D . 60°8. （2分）如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D＇处，那么A D＇为（）A .B . 2C .D . 29. （2分） (2016九上·北京期中) 如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列各式中：①a＞0，②b＞0，③c=0，④c=1，⑤a+b+c=0．正确的只有（）A . ①④B . ②③④C . ③④⑤D . ①③⑤10. （2分） (2017九上·乌拉特前旗期末) 如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A . 55°B . 70°C . 125°D . 145°二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分）从下面3个方程中选择一个有解的方程，并求出你选择的方程的解．①x2+1=0②（3x+2）2﹣4x2=0 ③3x2﹣6x+4=0，你选择的方程是________（填相应方程的序号）12. （1分） (2016九上·福州开学考) 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得抛物线的解析式为y=x2﹣1，则原抛物线的解析式为________．13. （1分） (2018九上·安定期末) 如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2 ，设小道进出口的宽度为x m，根据条件，可列出方程：________．14. （1分） (2019九上·宁波月考) 如图，D是⊙O弦BC的中点，A是弧BC上一点，OA与BC交于点E，若AO＝8，BC＝12，EO＝ BE，则线段OD＝________，BE＝________．15. （1分）(2019·晋宁模拟) 已知抛物线y＝x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0），（1）求抛物线的解析式________.（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P′，当点P′落在第二象限内，P′A2取得最小值时，求m的值________.16. （1分） (2017九下·建湖期中) 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，若AB=3，BC=4，则BD=________（提示：可连接BE）三、解答题 (共9题；共75分)17. （5分）按要求解下列一元二次方程：（1） x2﹣8x+12=0 （配方法）（2） x2+4x﹣5=0（公式法）（3）（x+4）2=5（x+4）（适当的方法）18. （5分）将二次函数的一般式y=x2﹣4x+5化为顶点式y=（x﹣h）2+k，并写出它的对称轴及顶点坐标．19. （5分） (2019九上·鄂尔多斯期中) 如图，△ABC的∠BAC=120º，以BC为边向形外作等边△BCD，把△ABD 绕着D点按顺时针方向旋转60º后到△ECD的位置。
无锡市2021年九年级上学期期中数学试卷A卷
无锡市2021年九年级上学期期中数学试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共6题；共12分)1. （2分）下列方程中，关于的一元二次方程是（）A .B .C .D .2. （2分）下列图形中，不是轴对称图形的是（）A . 一条线段B . 两条相交直线C . 有公共端点的两条相等的线段D . 有公共端点的两条不相等的线段3. （2分）(2019·婺城模拟) 如图所示，抛物线 2- 与x、y轴分别交于A，B，C三点，连结AC和BC，将△ABC沿与坐标轴平行的方向平移，若边BC的中点M落在抛物线上时，则符合条件的平移距离的值有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个4. （2分） (2019九下·温州竞赛) 如图将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AED，若点B，D，E在同一条直线上，∠BAC=20°，则∠ADB的度数为（）A . 55°B . 60°C . 65°D . 70°5. （2分）(2017·东营模拟) 如图，在直角坐标系中，经过点A（0，2），B（2，0）和原点O（0，0）三点作⊙C，点P为⊙C上任一点（点P与点O、B不重合），则∠OPB的度数为（）A . 45°B . 135°C . 45°或135°D . 无法确定6. （2分）函数y=ax2(a≠0)的图象与a的符号有关的是（）A . 对称轴B . 顶点坐标C . 开口方向D . 开口大小二、填空题： (共8题；共8分)7. （1分）若点A（a，﹣1）与A′（5，b）点是关于原点O的对称点，则a+b=________ ．8. （1分）已知方程x2+（k－1）x－3=0的一个根为1，则k的值为________ 。
9. （1分）(2020·黄冈模拟) 关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则m的值为________.10. （1分）一副量角器与一块含30°锐角的三角板如图所示放置，三角板的直角顶点C落在量角器的直径MN上，顶点A，B恰好都落在量角器的圆弧上，且AB∥MN.若AB=8cm，则量角器的直径MN=________ cm．11. （1分）(2020·武汉模拟) 如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O恰好过BC的中点D，过点D作DE⊥AC 于E，连结OD，则下列结论中：①OD∥AC；②∠B＝∠C；③2OA＝BC；④DE是⊙O的切线；⑤∠EDA＝∠B，正确的序号是________.12. （1分） (2018九上·安定期末) 如图所示，小明坐在秋千上，秋千旋转了80°，∠AOE＝60°，则∠DOB ＝________．13. （1分）如图，是边长为1的正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°后得到的，原正方形的顶点A在x轴的正半轴上，此时点B恰好落在函数y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为________．14. （1分）若抛物线y=x2+2x﹣a与x轴没有交点，则a的取值范围是________．三、解答题： (共12题；共125分)15. （5分） (2019九上·凤山期末) 解方程：x2-4x=016. （10分） (2019九上·桂林期末) 如图，某校准备一面利用墙，其余—面用篱笆围成一个矩形花辅ABCD．已知旧墙可利用的最大长度为13 m，篱笆长为24 m，设垂直于墙的AB边长为xm．（1）若围成的花圃面积为70m 2时，求BC的长；（2）如图，若计划将花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为78 m2 ，请你判断能否围成这样的花圃?如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由．17. （5分）在直径为10cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图，油面宽AB为6cm，当油面宽AB为8cm 时，油上升了多少cm？18. （5分）如图，抛物线y=x2+bx+3顶点为P，且分别与x轴、y轴交于A、B两点，点A在点P的右侧，tan∠ABO=．（1）求抛物线的对称轴和点P的坐标．（2）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点D，使△ABD为直角三角形？如果存在，求点D的坐标；如果不存在，请说明理由．19. （5分） x=2是下列方程的解的吗？（1）3x+（10﹣x）=20（2）2x2+6=7x．20. （15分）如图，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O 于点C，连接AC交OP于点D．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若PD=， AC=8，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，若点E是的中点，连接CE，求CE的长．21. （10分） (2019九上·番禺期末) 如图，平面直角坐标系中，A、B、C坐标分别是（−2，4）、（0，−4）、（1，−1）．将△ABC绕点O逆时针方向旋转90°后得到△A′B′C′（1）①画出△A′B′C′，并写出A′、B′、C′的坐标；②画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；（2）以O为圆心，OA为半径画圆，求扇形OA′A1 ．22. （15分）(2017·包头) 某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为x，面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）设计费能达到24000元吗？为什么？（3）当x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？23. （10分）(2014·衢州) 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′．（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；（2）计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．24. （15分）(2019·台州模拟) 某公司为一工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（1）求出 y 与x的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）；（2）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？（3）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．25. （15分）如图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．（1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1 ，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；（2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A1B2C2；（3）如果网格中小正方形的边长为1，求点B经过（1）、（2）变换的路径总长．26. （15分）(2012·南通) 如图，经过点A（0，﹣4）的抛物线y= x2+bx+c与x轴相交于B（﹣2，0），C两点，O为坐标原点．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线y= x2+bx+c向上平移个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；（3）设点M在y轴上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，求AM的长．参考答案一、选择题： (共6题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、二、填空题： (共8题；共8分)7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题： (共12题；共125分)15-1、16-1、16-2、17-1、18-1、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、23-1、23-2、24-1、24-2、24-3、25-1、25-2、25-3、26-1、26-2、26-3、。
江苏省无锡市某校2021-2022学年-有答案-九年级上学期期中数学试题
江苏省无锡市某校2021-2022学年九年级上学期期中数学试题一、单选题1. 已知⊙O的半径为4cm，点P在⊙O上，则OP的长为()A.1cmB.2cmC.4cmD.8cm2. 若，则等于（）A. B. C. D.3. 抛物线y＝x2+2x+3的对称轴是()A.直线x＝1B.直线x＝−1C.直线x＝−2D.直线x＝24. 如图，在⊙O中，点M是的中点，连结MO并延长，交⊙O于点N，连结BN．若∠AOB＝140∘，则∠N的度数为()A.70∘B.40∘C.35∘D.20∘5. 在一个不透明的口袋里装有2个白球、3个黑球和3个红球，它们除了颜色外其余都相同．现随机从袋里摸出1个球，则摸出白球的概率是()A. B. C. D.6. 如图，由六段相等的圆弧组成的三叶花，每段圆弧都是四分之一圆周，OA=OB= OC=2，则这朵三叶花的面积为()A.3π−3B.3π−6C.6π−3D.6π−67. 已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，则下列结论正确的是（）A.AB2＝AC⋅BCB.BC2＝AC⋅BCC.AC＝BCD.BC＝AC8. 如图，AB是半圆的直径，点C是弧AB的中点，点E是弧AC的中点，连结EB、CA交于点F，则的值为()A. B. C. D.9. 如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x交于(1, 1)和(3, 3)两点，现有以下结论：①b2−4c>0；②3b+c+6＝0；③当x2+bx+c>时，x>2；④当1<x<3时，x2+(b−1)x+c<0，其中正确的序号是（）A.①②④B.②③④C.②④D.③④10. 若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”．例如：P(1, 0)、Q(2, −2)都是“整点”．抛物线y=mx2−2mx+m−1(m>0)与x轴交于A、B两点，若该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域（包括边界）恰有6个整点，则m的取值范围是()A.£m£B.C. £m<D.二、填空题已知线段c是线段、的比例中项，且，，则线段c的长度为________．小颖在二次函数y=2x2+4x+5的图象上找到三点(−1, y1)，（，y2)，(−3，y3)，则你认为y1，y2，y3的大小关系应为________．如图水库堤坝的横断面是梯形，BC长为30m，CD长为20m，斜坡AB的坡比为1:3，斜坡CD的坡比为1:2，则坝底的宽AD为________m。
【九年级】2021 2021无锡市九年级数学第一学期期中试卷(苏科版含答案)
【九年级】2021 2021无锡市九年级数学第一学期期中试卷（苏科版含答案）【九年级】2021-2021无锡市九年级数学第一学期期中试卷（苏科版含答案）2021-2021无锡市九年级数学第一学期期中试卷（苏科版含答案）（考试时间：120分钟满分：130分后）一．选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分.）1．以下方程中，一元二次方程的就是…………………………………………………（）a.3x－2x＝0b.x(x－1)＝1c.x2＝(x－1)2d.ax2＋bx＋c＝02．若△abc∽△def，相近比为1:2．若bc＝1，则ef的短就是…………………（）a.12b.1c.2d.43．原价168元的商品已连续两次降价a%后售价为128元，以下方程恰当的就是…（）a.128(1＋a%)2＝168b.168(1－a2%)＝128c.168(1－2a%)＝128d.168(1－a%)2＝1284．如图，⊙o的直径cd垂直弦ab于点e，且ce＝2，de＝8，则ab的长为（）a.2b.4c.6d.85．如图，在⊙o中，ab是直径，bc是弦，点p是⌒bc上任意一点．若ab＝5，bc＝3，则ap的长不可能为………………………………………………………………（）a.3b.4c.4.5d.56．已知扇形的圆心角为45，半径长为12，则该扇形的弧长为…………………（）a.34πb.2πc.3πd.12π7．如图，ab是⊙o的直径，ac是⊙o的切线，连接oc交⊙o于点d，连接bd，∠c＝40，则∠abd的度数就是……………………………………………………（）a.25b.20c.30d.158．例如图，边长为a的也已六边形内有两个三角形（数据例如图），则s阴影s空白的值……（）a.3b.4c.5d.69．例如图，未知△abc和△ade均为等边三角形，d在bc上，de与ac平行于点f，ab＝9，bd＝3，则cf等同于…………………………………………………………（）a.1b.2c.3d.410．例如图，rt△abc中，ac⊥bc，ad平分∠bac交bc于点d，de⊥ad交ab于点e，m为ae的中点，bf⊥bc交cm的延长线于点f，bd＝4，cd＝3．以下结论：①∠aed＝∠adc；②deda＝12；③acbe＝12；④3bf＝4ac．其中恰当结论的个数存有（）a．1个b．2个c．3个d．4个二．填空题（本大题共10小题，每题2分后，共20分后.）11．方程x2＝0的解是.12．一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a2＝1的一个根为0，则a＝.13．若一元二次方程mx2＝n（mn＞0）的两个根分别是k＋1与2k－4，则nm＝.14．例如图，未知ab就是△abc外接圆的直径，∠a＝35，则∠b的度数就是.15．如图，在△abc中，点d、e分别在ab、ac上，de∥bc．若ad＝4，db＝2，则debc的值.16．如图，ab、ac、bd是⊙o的切线，p、c、d为切点，如果ab＝5，ac＝3，则bd的长为.17．例如图，△abc中，ae交bc于点d，∠c＝∠e，ad:de＝3:5，ae＝8，bd＝4，则dc的长等同于.18．如图，在rt△abc中，∠acb＝90°，ac＝bc＝2，以bc为直径的半圆交ab于点d，p是⌒cd上的一个动点，连接ap，则ap的最小值是.19．例如图，a、b、c、d依次为一直线上4个点，bc＝2，△bce为等边三角形，⊙o过a、d、e3点，且∠aod＝120．设ab＝x，cd＝y，则y与x的函数关系式为.20．如图，在矩形abcd中，ad＝8，e是边ab上一点，且ae＝14ab．⊙o经过点e，与边cd所在直线切线于点g（∠geb为锐角），与边ab所在直线处设另一点f，且eg:ef＝5:2．当边ad或bc所在的直线与⊙o相切时，ab的长是.三．答疑题（本大题共8小题，共80分后.答疑须要写下必要的文字说明或编程语言步骤）21．（16分）解方程：（1）x2－5x－6＝0（2）2x2－4x－1＝0（3）(x－7)2＋2(x－7)＝0（4）(3x＋2)2＝4(x－3)222．（8分）已知关于x的一元二次方程x2＋2(m＋1)x＋m2－1＝0.（1）若方程存有实数根，谋实数m的值域范围；（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足(x1－x2)2＝16－x1x2，求实数m的值.23．（8分后）例如图，ab为⊙o的直径，pd乌⊙o于点c，交ab的延长线于点d，且∠d＝2∠a．（1）求∠d的度数；（2）若cd＝2，求bd的长．24．（10分后）例如图，在□abcd中，过点b作be⊥cd于e，f为ae上一点，且∠bfe＝∠c.（1）求证：△abf∽△ead；（2）若ab＝4，∠bae＝30，谋ae的长；（3）在（1）（2）的条件下，若ad＝3，求bf的长.25．（8分后）某商店准备工作入一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可以卖出180个，定价每减少1元，销售量天量增加10个；定价每增加1元，销售量天量减少10个．因受到库存的影响，每批次发货个数严禁少于180个，商店若将准备工作买进2000元，则应当发货多少个？定价为多少元？26．（10分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点a、b、c．（1）图画出高圆弧所在圆的圆心d的边线（不必文学创作法，留存作图痕迹），并相连接ad、cd．（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：①以点o为原点、水平方向所在直线为x轴、直角方向所在直线为y轴，创建平面直角坐标系则，写下点的座标：c（6，2）、d；（2，0）②⊙d的半径为25（结果留存根号）；③若用扇形adc围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是5π4；④若e（7，0），试判断直线ec与⊙d的位置关系并说明你的理由．27．（10分后）例如图，在锐角△abc中，ac就是最短边，以ac中点o为圆心，12ac短为半径并作⊙o，交bc于e，过o作od∥bc交⊙o于d，联结ae、ad、dc．（1）求证：d是⌒ae的中点；（2）澄清：∠dao＝∠b＋∠bad；（3）若s△cefs△ocd＝12，且ac＝4，求cf的长.28.（10分后）在□aboc中，ao⊥bo，且ao＝bo．以ao、bo所在直线为坐标轴创建如图所示的平面直角坐标系则，未知b(－6，0)，直线y＝3x＋b过点c且与x轴处设点d．（1）求点d的坐标；（2）点e为y轴正半轴上一点，当∠bed＝45°时，谋直线ec的解析式；（3）在（2）的条件下，设直线ec与x轴交于点f，ed与ac交于点g．点p从点o出发沿折线of－fe运动，在of上的速度是每秒2个单位，在fe上的速度是每秒2个单位．在运动过程中直线pa交be于h，设运动时间为t．当以e、h、a为顶点的三角形与△egc相似时，求t的值．初三数学期中考试参考答案与评分标准2021.11一、选择题（每题3分）bcddacacbc二、填空题（每空2分后）11.x1＝x2＝012.113.414.5515.2316.217.15418.5－119.y＝4x20.4或12三、解答题21.①x1＝6，x2＝－1②x1,2＝2±62③x1＝7，x2＝5④x1＝－8，x2＝45………………………………………………………………（每小题4分，分步酌情给分）22.（1）∵原方程存有实数根，∴△＝4(m＋1)2－4(m2－1)≥0…………………………（3分后）解得m≥－1，故m的取值范围是m≥－1…………………………………（4分）（2）若方程两实数根分别为x1、x2，则x1＋x2＝－2(m＋1)，x1x2＝m2－1……（5分后）由(x1－x2)2＝16－x1x2得(x1＋x2)2＝16＋3x1x2，即4(m＋1)2＝16＋3(m2－1)（6分）化简整理得，m2＋8m－9＝0，Champsaurm＝－9或m＝1………………………（7分后）考虑到m≥－1，故实数m的值为1…………………………………………（8分）23.（1）联结oc…………………………………………………………………………（1分后）∵pd切⊙o于点c，∴oc⊥pd………………………………………………（2分）∵⊙o中，oa＝oc，∴∠cod＝2∠a，而∠d＝2∠a，∴∠cod＝∠d（3分后）∴在rt△cod中，d＝45…………………………………………………（4分）（2）∵在rt△cod中，co＝cd＝2，∴od＝22………………………………（6分后）∴bd＝22－2…………………………………………………………………（8分）24.（1）先证∠abf＝∠ead，…………………………………………………………（2分后）再证∠baf＝∠aed，…………………………………………………………（3分）∴△abf∽△ead………………………………………………………………（4分后）（2）ae＝833…………………………………………………………………………（7分）（3）由△abf∽△ead，得bfad＝abae，………………………………………………（8分后）故bf＝abadae＝3×4833＝332．………………………………………………（10分）25.因每批次发货个数严禁少于180个，故原销售定价应当减少……………………（1分后）设在原销售定价基础上增加x元，则销售量减少10x个………………………（2分）根据题意，(52＋x－40)(180－10x)＝2000，……………………………………（4分后）化简整理，得x2－6x－16＝0，解得x＝8或－2…………………………………（6分）而x≥0，∴x＝8……………………………………………………………………（7分后）答：应定销售价每个60元，进货100个…………………………………………（8分）26.（1）画图，略………………………………………………………………………（2分后）（2）c(6，2)、d(2，0)、25、52（1＋1＋1＋2分）…………………………（7分）ec与⊙d切线（推论1分后，用笔2分后）……………………………………（10分后）27.（1）∵ac是⊙o的直径，∴∠aec＝90°，即bc⊥ae…………………………（1分）∵od∥bc，∴od⊥ae…………………………………………………………（2分后）∴⊙o中，d是⌒ae的中点………………………………………………………（3分）（2）缩短ad交bc于g，在⊙o中，oa＝od，又存有od∥bc，∴∠dao＝∠ado＝∠agc＝∠b＋∠bad…………………………………（6分）（3）∵s△ocd＝12s△ac d，s△cefs△ocd＝12，∴s△cefs△acd＝14………………………………（7分后）可证△cef∽△cda…………………………………………………………（8分）∴cfca＝12，cf＝12×4＝2…………………………………………………（10分后）28.（1）c(6，6)……………………………………………………………………………（1分）b＝－12，d(4，0)……………………………………………………………（2分后）（2）e(0，12)…………………………………………………………………………（4分）直线ec的解析式就是y＝－x＋12………………………………………………（5分后）（3）t＝3………………………………………………………………………………（7分）或t＝212…………………………………………………………………………（10分后）。
2020-2021学年江苏省无锡市九年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年江苏省无锡市九年级（上）期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.已知一元二次方程x2−6x−c=0有一个根为2，则另一个根为()A. 2B. 3C. 4D. −82.关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为()A. k=4B. k=−4C. k≥−4D. k≥43.下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是()A.B.C.D.4.如图，△ABO∽△CDO，若BO=6，DO=3，CD=2，则AB的长是()A. 2B. 3C. 4D. 55.某圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则该圆锥的侧面积是()A. 30cm2B. 30πcm2C. 15cm2D. 15πcm26.如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠BCD=35°，则∠ABD的度数为()A. 25°B. 35°C. 55°D. 75°7.如图，在▱ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE，BE，BD，且AE，BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=()A. 2：5：25B. 4：9：25C. 2：3：5D. 4：10：258.下列语句中，正确的有()个．(1)三点确定一个圆(2)平分弦的直径垂直于弦(3)相等的弦所对的弧相等(4)相等的圆心角所对的弧相等．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个9.如图，在△ABC中，AB=6，AC=4，点P是AC的中点．若过点P的直线交AB于Q，使得以A，P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，则AQ的长为()A. 3B. 3或43C. 3或34D. 4310.如图，矩形ABCD内接于⊙O，点P是AD⏜上一点，连接PB、PC，若AD=2AB，则cos∠BPC的值为()A. √55B. 2√55C. √32D. 3√510二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.当m=_____时，关于x的方程(m+2)x m2−2+6x−9=0是一元二次方程．12.在比例尺为1:5000的江阴市城区地图上，某段路的长度约为25厘米，则它的实际长度约为_______米13.一棵高3米的小树影长为4m，同时临近它的一座楼房的影长是24m，那么这座楼房高_______m．14.在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为_______．15.某厂6月份生产电视机5000台，8月份生产7200台，平均每月增长的百分率是______．16.若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是．17.矩形ABCD的边AB=6，BC=12，点P为矩形ABCD边上一点，连接AP，若线段AP、BD交点为点E，△PAB为等腰三角形，则AE的长为______．18.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D是半径为2的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是____________．三、解答题（本大题共10小题，共84.0分）19.20.解下列方程：(1)(x+1)2=9(2)x2−2x−2=020.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的11×11网格中，已知点A(−3,−3)，B(−1,−3)，C(−1,−1)．(1)画出△ABC；(2)画出△ABC关于x轴对称△A1B1C1，并写出各点的坐标；(3)以O为位似中心，在第一象限画出将△ABC放大2倍后的△A2B2C2．21.已知关于x的一元二次方程x2−(m+1)x+2m−3=0(m为常数)．(1)若方程的一个根为1，求m的值及方程的另一个根；(2)求证：不论m为何值时，方程总有两个不相等的实数根．22.已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，EF//BC，分别交AB、AC、AD于点E、F、G.求证：EG=FG．23.某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算.第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12.经过三年治理，境内长江水质明显改善．(1)求n的值;(2)从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量;(3)该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q值比上一年都增加相同的数值a.在(2)的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年因甲方案治理降低的Q值相等，第三年，用甲方案使Q值降低了39.5.求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值．24.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AC//DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．25.如图，AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外，图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺要求画图(保留作图痕迹，不写作法)．(1)在图1中，画出△ABC的三条高；(2)在图2中，画出△ABC中AB边上的高．26.一张长为30cm，宽20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图2所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长．27.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，BC=12cm，半圆O的直径DE=12cm，点E与点C重合，半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E 始终在BC所在的直线上．设运动时间为x(s)，半圆O与△ABC的重叠部分的面积为S(cm2).(1)当点O与线段BC的中点重合时，求运动时间为多少？(2)在(1)的条件下，求半圆O与△ABC的重叠部分的面积S；(3)当x为何值时，半圆O所在的圆与△ABC的边所在的直线相切？28.△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的点，DE//BC，连接BE(1)如图1已知AB=6，BC=4，若∠DBE=∠EBC，求DE的长；(2)如图2，F为BC的中点，连结DF交BE于G，连结AG并延长交BC于H，求HFBH 的值；(3)如图3，连接DC，若BC=6，AB=9，且△CDE∽△CAD，直接写出AD的长：答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵方程x2−6x−c=0有一个根为2，∴设另一个根为s，则有s+2=6，∴s=4，故选：C．设另一个根为s，根据两根系数关系可知s+2=6，求出s的值即可求出．本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca．2.【答案】A【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实数根，∴△=42−4k=16−4k=0，解得：k=4．故选：A．根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，熟练掌握“当△=0时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键．3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与网格结构的知识，根据网格结构分别求出各三角形的三条边的长，并求出三边之比是解题的关键．根据勾股定理求出△ABC的三边，并求出三边之比，然后根据网格结构利用勾股定理求出三角形的三边之比，再根据三边对应成比例，两三角形相似选择答案．【解析】解：根据勾股定理，BC=√12+12=√2，AC=√22+22=2√2，AB=√12+32=√10，所以△ABC的三边之比为√2：2√2：√10=1：2：√5，A.三角形的三边分别为2，√12+32=√10，√32+32=3√2，三边之比为2：√10：3√2=√2：√5：3，故A选项错误；B.三角形的三边分别为2，3，√22+32=√13，三边之比为2：3：√13，故B选项错误；C.三角形的三边分别为2，4，√22+42=2√5，三边之比为2：4：2√5=1：2：√5，故C选项正确；D.三角形的三边分别为2+22=√5，√22+32=√13，4，三边之比为√5：√13：4，故D选项错误．故选C．4.【答案】C【解析】解：∵△ABO∽△CDO，∴BODO =ABDC，∵BO=6，DO=3，CD=2，∴63=AB2，解得：AB=4．故选：C．直接利用相似三角形的性质得出对应边之间的关系进而得出答案．此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边之间关系是解题关键．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长.圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【解答】解：圆锥的侧面积=2π×3×5÷2=15π(cm2).故选D．6.【答案】C【解析】解：连接AD，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠A=∠BCD=35°，∴∠ABD=90°−35°=55°．故选：C．连接AD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，∠A=∠BCD=35°，然后利用互余计算∠ABD的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积，平行四边形的性质的应用，关键是求出DEAB 和DFBF的值，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，若两三角形不相似，求面积比应根据三角形的面积公式求．根据平行四边形的性质求出DC=AB，DC//AB，求出DE：AB=2：5，根据相似三角形的判定推出△DEF∽△BAF，求出△DEF和△ABF的面积比，根据三角形的面积公式求出△DEF和△EBF的面积比，即可求出答案．【解答】解：根据图形知：△DEF的边DF和△BFE的边BF上的高相等，并设这个高为h，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB，DC//AB，∵DE：EC=2：3，∴DE：AB=2：5，∵DC//AB，∴△DEF∽△BAF，∴S△DEFS△ABF =(DEAB)2=425，DEAB=DFBF=25，∴S△DEFS△EBF =12×DF×ℎ12×BF×ℎ=DFBF=25=410，∴S△DEF：S△EBF：S△ABF=4：10：25，故选D．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、垂径定理及其推论、等弧的定义及圆心角、弧、弦的关系，难度不大．利用确定圆的条件、垂径定理的推论、等弧的定义及圆心角、弧、弦的关系分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：(1)不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；(2)平分弦的直径，当被平分的弦是直径时，直径不一定垂直于弦，故错误；(3)在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，故错误；(4)相等的圆心角不在同圆或等圆中所对的弧不一定相等，故错误；综上所述，正确的有0个．故选A．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定．注意分类讨论思想的应用．由∠A是公共角，PQ//BC时，△AQP∽△ABC，则AQAB =APAC，即AQ6=24时，PQ不平行BC时，△APQ∽△ABC，AQAC=APAB，即AQ4=26时，去分析求解即可求得答案．【解答】解：∵∠A是公共角，∴当AQAB =APAC，即AQ6=24时，△APQ∽△ABC，解得：AQ=3；当AQ4=26时，△APQ∽△ABC，解得：AQ=43，∴AQ的长为：3或43．故选B．10.【答案】A【解析】解：如图，连接AC，则∠BPC=∠BAC，∵BC=AD=2AB，∴设AB=x、BC=2x，则AC=√AB2+BC2=√x2+(2x)2=√5x，∴cos∠BPC=cos∠BAC=ABAC =√5x=√55，故选：A．连接AC，知∠BPC=∠BAC，由BC=AD=2AB可设AB=x、BC=2x，得AC=√AB2+BC2=√5x，从而由cos∠BPC=cos∠BAC=AB可得答案．AC本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握矩形的性质、圆周角定理及三角函数的定义．11.【答案】2【解析】【分析】考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．本题容易忽视的条件是m+2≠0.根据一元二次方程的定义，列方程和不等式解答．【解答】解：∵方程(m+2)x m2−2+6x−9=0是关于x的一元二次方程，∴m2−2=2，解得m=±2．又∵m+2≠0，∴m≠−2，∴m=2．故答案为2．12.【答案】1250【解析】【分析】本题考查了比例尺的定义．要求能够根据比例尺由图上距离正确计算实际距离，注意单位的换算．根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离．【解答】解：设它的实际长度为x厘米，则1：5000=25：x，解得x=125000．125000厘米=1250米．故答案为1250．13.【答案】18【分析】此题考查了平行投影，在同一时刻物高与影长成正比例的知识，解题的关键是将实际问题转化为数学问题进行解答.利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出楼房的高度即可．【解答】解：∵在同一时刻物高与影长成正比例，∴3：4=楼房的高度：24，∴楼房的高度为18米；故答案为18．14.【答案】3【解析】【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理．作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理得到AC= BC=12AB=3，然后在Rt△AOC中利用勾股定理计算OC即可．【解答】解：作OC⊥AB于C，连结OA，如图，∵OC⊥AB，∴AC=BC=12AB=12×8=4，在Rt△AOC中，OA=5，∴OC=√OA2−AC2=3，即圆心O到AB的距离为3．故答案为3．15.【答案】20%【解析】本题考查的是平均增长率问题，解决这类问题所用的等量关系一般是：增长前的量×(1+平均增长率)增长的次数=增长后的量，如果设平均每月增长的百分率是x，那么7月份的台数是5000(1+x)，8月份的台数是5000(1+x)2，而此时是7200，根据8月份的台数，列出方程，求得答案．【解答】解：设平均每月增长的百分率是x．依题意，得5000(1+x)2=7200，解得x1=0.2，x2=−2.2(不合题意，舍去)，答：平均每月增长的百分率应该是20%．故答案为20%．16.【答案】9【解析】【分析】本题主要考查了正多边形外角和的知识，正多边形的每个外角相等，且其和为360°.利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为360°，=40，据此可得360n解得n=9．故答案为9．17.【答案】4√2或2√17【解析】【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、比例的性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．根据题意画出图形，分两种情况：①当P在BC上时；②当P在CD上时，P为CD的中点；由矩形的性质和勾股定理以及相似三角形的性质即可得出结果．【解答】解：分两种情况：①当P在BC上时，如图1所示∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABP=90°，AD=BC=4，AD//BC，CD=AB=2，∴△ADE∽△PBE，∴AEPE =ADPB，∵△ABP是等腰三角形，∴PB=AB=6，∴AEPE=2，∴AEAP =23，由勾股定理得：AP=√AB2+PB2=6√2，∴AE=4√2；②当P在CD上时，P为CD的中点，如图2所示：则PD=12CD=3，∴AP=√122+32=3√17，∵AB//CD，∴△ABE∽△PDE，∴AEPE=2，∴AE=2PE，∴AE=23AP=2√17；综上所述，AE的长为4√2或2√17；故答案为：4√2或2√17．18.【答案】3.5【分析】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【解答】解：作AC的中点E，连接BE、ME．在直角△ABC中，AC=√AB2+BC2=√42+32=5，∵E是直角△ABC斜边AC上的中点，AC=2.5．∴BE=12∵M是CD的中点，E是AC的中点，∴ME=1AD=1．2∴在△BEM中，2.5−1≤BM≤2.5+1，即1.5≤BM≤3.5．∴最大值为3.5，故答案为3.5．19.【答案】(1)x1=2，x2=−4；(2)x1=1+√3，x2=1−√3【解析】【分析】(1)方程利用平方根定义开方即可求出解；(2)方程整理后，利用配方法求出解即可．(1)开方得：x+1=3或x+1=−3，解得：x1=2，x2=−4；(2)方程整理得：x2−2x=2，配方得：x2−2x+1=3，即(x−1)2=3，x−1=±√3，解得：x1=1+√3，x2=1−√3．【点睛】本题考查了解一元二次方程−直接开平方法和配方法，熟练掌握配方法的步骤是解答本题的关键．20.【答案】解：(1)△ABC即为所求：(2)△A1B1C1如图所示；(3)△A2B2C2如图所示．【解析】(1)根据A，B，C的坐标画出△ABC即可；(2)分别作出A，B，C关于x轴的对称点A1，B1C1即可；(3)延长AO到A2使得OA2=2OA，同法作出B2，C2即可解决问题．本题考查作图−位似变换，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21.【答案】解：(1)把x=1代入方程可得1−(m+1)+2m−3=0，解得m=3，当m=3时，原方程为x2−4x+3=0，解得x1+x2=4，即方程的另一根为3；(2)∵a =1，b =−(m +1)，c =2m −3，∴△=b 2−4ac =[−(m +1)]2−4×1×(2m −3)=(m −3)2+4>0，∴不论m 为何值时，方程总有两个不相等的实数根．【解析】(1)把x =−1代入方程可求得m 的值，再解方程可求得另一根；(2)计算△，△>0可得证．本题主要考查方程根与系数的关系及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键．22.【答案】证明：∵EF//BC ，∴△AEG∽△ABD ，△AFG∽△ACD ，∴EG BD =AG AD ，AG AD =FG CD ，∴EG BD =FG CD ，∵AD 为△ABC 的边BC 上的中线，∴BD =CD ，∴EG =FG ．【解析】由平行线得到△AEG∽△ABD ，△AFG∽△ACD ，推出EG BD =AG AD ，AG AD =FG CD ，得出EG BD =FG CD ，根据BD =CD 即可得到结论．本题考查了相似三角形的性质和判定、三角形的中线，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．23.【答案】解：(1)由题意可得40n =12，解得n =0.3．(2)由题意可得40+40(1+m)+40(1+m)2=190，解得m 1=12，m 2=−72(舍去)，∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为40(1+m)=40×(1+50%)=60(家)．(3)第二年用乙方案治理降低了(40+60)×0.3=100×0.3=30，则(30−a)+2a= 39.5，解得a=9.5，则Q=20.5．【解析】【分析】本题考查了一元二次方程和一元一次方程的应用.解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．(1)直接利用第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12，得出等式求出答案；(2)利用从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家得出等式求出答案；(3)利用n的值即可得出关于a的等式求出答案．24.【答案】解：(1)如图，连接BD，∵∠BAD=90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°，∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°，∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；(2)∵DE//AC，∵∠BDE=90°，∴∠BFC=90°，AC，∴CB=AB=8，AF=CF=12∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°，∴∠CDE=∠CBD，∵∠DCE=∠BCD=90°，∴△BCD∽△DCE，∴BCCD =CDCE，∴8CD =CD2，∴CD=4，在Rt△BCD中，BD=√BC2+CD2=4√5同理：△CFD∽△BCD，∴CFBC =CDBD，∴CF8=4√5，∴CF=8√55，∴AC=2AF=16√55．【解析】(1)先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；(2)先判断出AC⊥BD，进而求出BC=AB=8，进而判断出△BCD∽△DCE，求出CD，再用勾股定理求出BD，最后判断出△CFD∽△BCD，即可得出结论．此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出BC=8是解本题的关键．25.【答案】解：(1)如图1，线段AD、BE、CF为所作；(2)如图2，线段CF为所作．【解析】本题考查了作图—复杂作图，圆周角定理，掌握作图方法是解决问题的关键．(1)连结AD、BE，它们相交于点P，如图1，根据圆周角定理可判断AD、BE为△ABC的高，然后根据三角形的三条高相交于一点可判断CF为高；(2)分别延长BC和AC分别交半圆于D、E，再延长AD和BE相交于点P，然后延长PC 交AB于F，则CF⊥AB，如图2，理由与(1)一样．26.【答案】解：设剪掉的正方形纸片的边长为xcm，正方形边长x须满足解得0<x<10;由题意，得：(30−2x)(20−2x)=264，整理得：x2−25x+84=0，解方程，得：x1=4，x2=21(不符合题意，舍去)．答：剪掉的正方形的边长为4cm．【解析】此题主要考查了一元二次方程的应用和一元一次不等式组的应用.设剪去的正方形边长为xcm，那么长方体纸盒的底面的长为(30−2x)cm，宽为(20−2x)cm，然后根据底面积是264cm2即可列出方程求出即可.注意对x的取值范围需要提前进行界定，才可以在解完一元二次方程后对不符合要求的答案进行筛选．27.【答案】解：(1)如图1中，当点O在BC的中点时，x=122=6(s);(2)如图1中，设⊙O与AB交于点H，连接OH，CH，∵BC是直径，∴∠CHB=90°，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠HBC=∠HCB=45°，∴HC=HB，∴OH⊥BC，OH=OB=OC=6，∴S=S扇形OHC +S△OHB=14⋅π⋅62+12×6×6=18+9π；(3)如图2中，当⊙O与AB相切时(点O在点B左侧)，易知OH=BH=6，OB=6√2，OC=12−6√2，∴x=6+12−6√22=9−3√2，如图3中，当⊙O与AB相切时(点O在点B右侧)，易知OH=BH=6，OB=6√2，OC=12+6√2，∴x=6+12+6√22=9+3√2，如图1中，x=6时，⊙O与AC相切，综上所述，当x=0s或(9−3√2)s或6s或(9+3√2)s时，半圆O所在的圆与△ABC的边所在的直线相切．【解析】此题考查了切线的判定和性质，等腰直角三角形的性质，扇形面积的计算，平移的性质，分类讨论的数学思想，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．(1)根据时间=路程÷速度，即可得到运动时间；(2)如图1中，设⊙O与AB交于点H，连接OH，CH.首先证明△CHB是等腰直角三角形，根据S=S扇形OHC+S△OHB计算即可；(3)分两种情形讨论即可①⊙O与直线AC相切，②⊙O与直线AB相切，分别求出时间即可．28.【答案】解：(1)如图1，∵DE//BC，∴∠DEB=∠EBC，∵∠DBE=∠EBC，∴∠DBE=∠DEB，∴DE=DB，设DE=x，则BD=x，AD=AB−BD=6−x，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC =ADAB，即x4=6−x6，解得x=125，即DE的长为125；(2)设AH交DE于M，如图2，∵DM//BH，∴△ADM∽△ABH，∴DMBH =ADAB①，∵DM//HF，∴△GHF∽△GDM，∴HFDM =FGDG②，①×②得HFBH =ADAB⋅FGDG，∵DE//BC，∴ADAB=DEBC=DE2BF=12⋅DGGF∴HFBH =12⋅DGGF⋅GFDG=12；(3)∵△CDE∽△CAD，∴∠CDE=∠A，∵DE//BC，∴∠CDE=∠DCB，∴∠DCB=∠A，∵∠B=∠B，∴△ABC∽△CBD，∴BDBC =BCAB，∴BD6=69，∴BD=4，∴AD=AB−BD=5．【解析】本题考查了相似形的综合题，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．(1)如图1，根据平行线的性质得到∠DEB=∠EBC，等量代换得到∠DBE=∠DEB，求得DE=DB，设DE=x，则BD=x，AD=AB−BD=6−x，根据相似三角形的性质得到结论；(2)设AH交DE于M，如图2，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；(3)根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．。
2020-2021学年江苏省无锡市锡山区锡北片九年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年江苏省无锡市锡山区锡北片九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.已知一元二次方程x2−8x−c=0有一个根为2，则另一个根为()A. 10B. 6C. 8D. −22.关于x的一元二次方程x2−4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值是()A. 2B. −2C. 4D. −43.下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是()A.B.C.D.4.如图，△ABO∽△CDO，若BO=8，DO=4，CD=3，则AB的长是()A. 2B. 3C. 4D. 65.已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是()A. 20πcm2B. 20cm2C. 40πcm2D. 40cm26.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=20°，则∠BAD为()A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°7.如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=()A. 2：5：25B. 4：9：25C. 2：3：5D. 4：10：258.下列说法：①三点确定一个圆；②长度相等的两条弧是等弧；③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④等弧所对的圆心角相等；⑤平分弦的直径，也平分这条弦所对的两条弧；⑥内心到三角形三条边的距离相等，其中正确的个数有()A. 1B. 2C. 3D. 49.如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，如果边AB上的点P使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，则这样的P点共有几个()A. 1B. 2C. 3D. 410.如图，在矩形ABCD中，AD=8，E是边AB上一AB.已知⊙O经过点E，与边CD所在点，且AE=14直线相切于点G(∠GEB为锐角)，与边AB所在直线交于另一点F，且EG：EF=√5：2，当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是()A. 9B. 4C. 12或4D. 12或9二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.当m=______时，关于x的方程(m+2)x m2−2+6x−9=0是一元二次方程．12.在比例尺为1：5000的江阴市城区地图上，某段路的长度约为25厘米，则它的实际长度约为______米．13.一棵高3米的小树影长为4米，同时临近它的一座楼房的影长是24米，那么这座楼房高______ 米．14.已知⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，则AB=______．15.某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产169台．设二、三月份每月的平均增长率相同，则二、三月份每月的平均增长率为______．16.如图，A、B、C、D为一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则∠OAD=______．17.如图，在矩形ABCD中，AD=3AB=3，点P是AD的中点，点E在BC上，CE=2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN=______．18.如图，△ABC中，AC=BC，CD是△ABC的高，AB=8，CD=3，以点C为圆心，半径为2作⊙C，点E是⊙C上一动点，连接AE，点F是AE的中点，则线段DF的最小值是______．三、解答题（本大题共10小题，共84.0分）19.解方程：(1)(x+1)2−81=0；(2)x2−4x+1=0．20.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(−3,−3)，点B(−1,−3)，点C(−1,−1)．(1)画出△ABC；(2)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1点的坐标：______；(3)以O为位似中心，在第一象限内把△ABC扩大到原来的两倍，得到△A2B2C2，并写出A2点的坐标：______．21.已知关于x的一元二次方程x2−2mx+2m−1=0(m为常数)．(1)若方程的一个根为0，求m的值和方程的另一个根；(2)求证：不论m为何值，该方程总有实数根．22.如图，CD是直角△ABC斜边上的中线，过点D作垂直于AB的直线交BC于点F，交AC的延长线于点E．(1)求证：△ADE∽△FDB；(2)若DF=2，EF=6，求CD的长．23.小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟．(1)求返回时A、B两地间的路程；(2)若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地(整个锻炼过程不休息).据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟(含第30分钟)，步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A地到C地共锻炼多少分钟？24.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=90°，点E在BC的延长线上，且∠CED=∠CAB．(1)求证：DE是⊙O的切线．(2)若AC//DE，当AB=8，DC=4时，求AC的长．25.如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，AC<BC．(1)请用直尺(不含刻度)与圆规在BC上作一点D，使得直线OD平分ABC的周长；(不要求写作法，但要保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下，若AB=10，OD=2√5，求△ABC的面积．26.如图1，有一张长40cm，宽20cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形(图中阴影部分)之后，恰好折成如图2的有盖纸盒．(1)若纸盒的高是3cm，求纸盒底面长方形的长和宽；(2)若纸盒的底面积是150cm2，求纸盒的高．27.如图，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上．设运动时间为t(s)，当t=0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC=8cm．(1)当t=______ (s)时，⊙O与AC所在直线第一次相切；点C到直线AB的距离为______ ；(2)当t为何值时，直线AB与半圆O所在的圆相切；(3)当△ABC的一边所在直线与圆O相切时，若⊙O与△ABC有重叠部分，求重叠部分的面积．28.如图，在Rt△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD．(1)请找出图中与△ABE相似的三角形，并说明理由；(2)求当A、E、F三点在一直线上时CD的长；(3)设AE的中点为M，连接FM，试求FM长的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：设方程的另一个根为t，根据题意得2+t=8，解得t=6，即方程的另一个根为6．故选：B．设方程的另一个根为t，利用两根之和为8得到2+t=8，然后解关于t的方程即可．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca．2.【答案】C【解析】解：∵x2−4x+k=0有两个相等的实数根，∴△=16−4k=0，解得：k=4．故选C．由方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值等于0，列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值为0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．3.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与网格结构的知识，根据网格结构分别求出各三角形的三条边的长，并求出三边之比是解题的关键．根据勾股定理求出△ABC的三边，并求出三边之比，然后根据网格结构利用勾股定理求出三角形的三边之比，再根据三边对应成比例，两三角形相似选择答案．【解答】解：根据勾股定理，AB=√22+22=2√2，BC=√12+12=√2，AC=√12+32=√10，所以△ABC的三边之比为√2：2√2：√10=1：2：√5，A、三角形的三边分别为2，√12+32=√10，√32+32=3√2，三边之比为2：√10：3√2=√2：√5：3，故A选项错误；B、三角形的三边分别为2，4，√22+42=2√5，三边之比为2：4：2√5=1：2：√5，故B选项正确；C、三角形的三边分别为2，3，√22+32=√13，三边之比为2：3：√13，故C选项错误；D、三角形的三边分别为√12+22=√5，√22+32=√13，4，三边之比为√5：√13：4，故D选项错误．故选：B．4.【答案】D【解析】解：∵△ABO∽△CDO，∴BODO =ABDC，∵BO=8，DO=4，CD=3，∴84=AB3，解得：AB=6．故选：D．直接利用相似三角形的性质得出对应边之间的关系，进而得出答案．此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边之间关系是解题关键．5.【答案】A【解析】解：圆锥的侧面积=2π×4×5÷2=20π．故选：A．圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．6.【答案】D【解析】解：连接BD，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠B=∠ACD=20°，∴∠BAD=90°−∠B=70°．故选：D．连接BD，如图，利用圆周角定理得到∠ADB=90°，∠B=∠ACD=20°，然后利用互余计算∠BAD的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．7.【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的性质求出DC=AB，DC//AB，求出DE：AB=2：5，根据相似三角形的判定推出△DEF∽△BAF，求出△DEF和△ABF的面积比，根据三角形的面积公式求出△DEF和△EBF的面积比，即可求出答案．本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积，平行四边形的性质的应用，关键是求出DEAB 和DFBF的值，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，若两三角形不相似，求面积比应根据三角形的面积公式求．【解答】解：根据图形知：△DEF的边DF和△BFE的边BF上的高相等，并设这个高为h，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB，DC//AB，∵DE：EC=2：3，∴DE：AB=2：5，∵DC//AB，∴△DEF∽△BAF，∴S△DEFS△ABF =(DEAB)2=425，DEAB=DFBF=25，∴S△DEFS△EBF=12×DF×ℎ12×BF×ℎ=DFBF=25=410∴S△DEF：S△EBF：S△ABF=4：10：25，故选：D．8.【答案】B【解析】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，故不符合题意；②在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故不符合题意；③在同圆或等圆中，两条弦相等，它们所对的弧也相等，故不符合题意；④等弧所对的圆心角相等，故符合题意；⑤平分弦(非直径)的直径必定垂直于这条弦，故不符合题意；⑥内心到三角形三条边的距离相等，故符合题意，故选：B．根据确定圆的条件对①进行判断；根据等弧的定义对②进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对③、④进行判断；根据垂径定理的推论对⑤进行判断；根据三角形的内心的性质对⑥进行判断．本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．9.【答案】C【解析】解：若点A，P，D分别与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，∴ADBP =APBC，∴27−AP =AP 3， ∴AP 2−7AP +6=0，∴AP =1或AP =6，检测：当AP =1时，由BC =3，AD =2，BP =6，∴AP BC =AD BP ，又∵∠A =∠B =90°，∴△APD∽△BCP ．当AP =6时，由BC =3，AD =2，BP =1，又∵∠A =∠B =90°，∴△APD∽△BCP ．若点A ，P ，D 分别与点B ，P ，C 对应，即△APD∽△BPC ．∴AP BP =AD BC ，∴AP 7−AP =23，∴AP =145．检验：当AP =145时，∵BP =215，AD =2，BC =3，∴AP BP =AD BC ， 又∵∠A =∠B =90°，∴△APD∽△BPC ．因此，点P 的位置有三处，即在线段AP 的长为1、145、6，故选：C ．根据相似三角形的判定，当若点A ，P ，D 分别与点B ，C ，P 对应，与若点A ，P ，D 分别与点B ，P ，C 对应，分别分析得出AP 的长度即可．本此题考查了相似三角形的判定，根据P 点不同位置进行分析，解题时要注意一题多解的情况，要注意不要漏解是解题关键10.【答案】C【解析】解：当边BC 所在的直线与⊙O 相切时，如图1所示：过点G作GN⊥AB，垂足为N，则EN=NF，GN=AD=8，又∵EG：EF=√5：2，∴EG：EN=√5：1，设EN=x，则GE=√5x，在Rt△GEN中，根据勾股定理得：(√5x)2−x2=64，解得：x=4，∴GE=4√5，设⊙O的半径为r，由OE2=EN2+ON2，得：r2=16+(8−r)2，解得：r=5，∴OK=NB=5，∴EB=9，AB，又∵AE=14∴AB=12；同理，当边AD所在的直线与⊙O相切时，连接OH，如图2所示：∴OH=AN=5，∴AE=1．AB，又∵AE=14∴AB=4；故选：C．过点G作GN⊥AB，垂足为N，可得EN=NF，由EG：EF=√5：2，得：EG：EN=√5：1，求出EB或AE的长度，即可求得AB的长度．本题考查了切线的性质、矩形的性质、勾股定理和垂径定理等知识；作出辅助线，由勾股定理求出半径是解答本题的关键．11.【答案】2【解析】解：∵方程(m+2)x m2−2+6x−9=0是关于x的一元二次方程，∴m2−2=2，解得m=±2．又∵m+2≠0，∴m≠−2，∴m=2．故答案为：2．根据一元二次方程的定义，列方程和不等式解答．考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．本题容易忽视的条件是m+2≠0．12.【答案】1250【解析】解：设它的实际长度为x厘米，则：1：5000=25：x，解得x=125000．125000厘米=1250米．故答案为：1250．根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离．本题考查了比例尺的定义．要求能够根据比例尺由图上距离正确计算实际距离，注意单位的换算．13.【答案】18【解析】解：∵在同一时刻物高与影长成正比例∴3：4=楼房的高度：24∴楼房的高度为18米；故答案为：18．利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出楼房的高度即可．此题考查了在同一时刻物高与影长成正比例的知识，解题的关键是将实际问题转化为数学问题进行解答．14.【答案】8【解析】【分析】此题考查了垂径定理与勾股定理，属于基础题．首先根据题意画出图形，然后连接OA，根据垂径定理得到OC平分AB，即AC=BC，而在Rt△OAC中，根据勾股数得到AC=4，这样即可得到AB的长．【解答】解：如图，连接OA，则OA=5，OC=3，OC⊥AB，∴AC=BC，∴在Rt△OAC中，AC=√OA2−OC2=4，∴AB=2AC=8．故答案为：8．15.【答案】30%【解析】解：设二，三月份每月平均增长率为x，100(1+x)2=169，解得：x=0.3=30%或x=2.3(舍去)，故答案为：30%．设二，三月份每月平均增长率为x，根据一月份生产机器100台，三月份生产机器144台，可列出方程．本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，先找出一月份的产量和三月份的产量，从而可列出方程．16.【答案】30°【解析】【分析】本题主要考查了正多边形的外角以及内角，熟记公式是解答本题的关键．利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．【解答】解：连接OB、OC，多边形的每个外角相等，且其和为360°，据此可得多边形的边数为：，，∴∠AOD=40°×3=120°，．故答案为：30°．17.【答案】3√105或3√1016【解析】解：分两种情况：①MN为等腰△PMN的底边时，作PF⊥MN于F，如图1所示：则∠PFM=∠PFN=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，BC=AD=3AB=3，∠A=∠C=90°，∴AB=CD=1，BD=√AB2+AD2=√12+32=√10，∵点P是AD的中点，∴PD=12AD=32，∵∠PDF=∠BDA，∴△PDF∽△BDA，∴PFAB =PDBD，即PF1=32√10，解得：PF=3√1020，∵CE=2BE，∴BC=AD=3BE，∴BE=CD，∴CE=2CD，∵△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，PF⊥MN，∴MF=NF，∠PNF=∠DEC，∵∠PFN=∠C=90°，∴△PNF∽△DEC，∴NFPF =CECD=2，∴MF=NF=2PF=3√1010，∴MN=2NF=3√105；②MN为等腰△PMN的腰时，作PF⊥BD于F，如图2所示：由①得：PF=3√1020，MF=3√1010，设MN=PN=x，则FN=3√1020−x，在Rt△PNF中，(3√1020)2+(3√1010−x)2=x2，解得：x=3√1016，即MN=3√1016；综上所述，MN的长为3√105或3√1016，故答案为：3√105或3√1016．分两种情况：①MN为等腰△PMN的底边时，作PF⊥MN于F，则∠PFM=∠PFN=90°，由矩形的性质得AB=CD，BC=AD=3AB=3，∠A=∠C=90°，得AB=CD=1，BD=√10，证△PDF∽△BDA，求出PF的长，证CE=2CD，由等腰三角形的性质得MF= NF，∠PNF=∠DEC，证出△PNF∽△DEC，求出MF=NF=2PF=3√1010，即可得出答案；②MN为等腰△PMN的腰时，作PF⊥BD于F，由①得PF=3√1020，MF=3√1010，设MN=PN=x，则FN=3√10−x，在Rt△PNF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．20本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．18.【答案】32【解析】解：如图，连接BE，CE．∵CA=CB，CD⊥AB，AB=4，∴AD=DB=12∵∠CDB=90°，CD=3，∴BC=√CD2+BD2=√32+42=5，∵EC=2，∵5−2≤BE≤5+2，∴3≤BE≤7，∴BE的最小值为3，∵AF=FE，AD=DB，BE，∴DF=12∴DF的最小值为3，2．故答案为32如图，连接BE，CE.利用勾股定理求出BC，求出BE的最小值即可解决问题．本题考查点与圆的位置关系，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．19.【答案】解：(1)(x+1)2−81=0，(x+1)2=81，x+1=±9，解得：x1=−10，x2=8；(2)x2−4x+1=0，x2−4x=−1，x2−4x+4=−1+4，即(x−2)2=3，∴x−2=±√3，∴x1=2+√3，x2=2−√3．【解析】(1)利用直接开平方法求解即可；(2)利用配方法求解即可．此题考查了一元二次方程的解法．注意选择适宜的解题方法是关键．20.【答案】(1)△ABC如图所示；(2)(−3,3)；(3)(6,6)．【解析】解：(1)见答案；(2)△A1B1C1如图所示；A1(−3,3)，故答案为：(−3,3)；(3)△A2B2C2如图所示；A2(6,6)．故答案为：(6,6)．(1)根据A、B、C三点坐标画出图形即可；(2)作出A、B、C关于轴的对称点A1、B1、C1即可；(3)延长OC到C2，使得OC2=2OC，同法作出A2，B2即可；本题考查作图−位似变换，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21.【答案】(1)解：设方程的另一个根为t，则0+t=2m，0⋅t=2m−1，解得m=12，t=1所以方程的另一个根是1；(2)证明：△=b2−4ac=4m2−4(2m−1)=4m2−8m+4=4(m−1)2≥0，所以对于任意的实数m，方程总有实数根．【解析】(1)设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得到0+t=2m，0⋅t=2m−1，然后先求出m，再求出t的值；(2)计算判别式的值得到△=4(m−1)2，从而得到△≥0，然后根据判别式的意义得到结论．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca.也考查了判别式的意义．22.【答案】(1)证明：∵DE⊥AB，∴∠ADE=∠FDB=90°，∴∠A+∠E=90°，∵Rt△ABC中∠A+∠B=90°，∴∠E=∠B，∴△ADE∽△FDB…(4分)(2)解：∵CD是直角△ABC斜边上的中线，∴AD=CD=BD=12AB，∵△ADE∽△FDB，∴ADFD =DEDB，∵DF=2，EF=6，∴DE=8∴12AB2=812AB，∴AB=8，∴CD=4．【解析】(1)根据题意，得∠A+∠B=90°，∠A+∠E=90°，则∠E=∠B，易证△ADE∽△FDB；(2)由Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，得AD=CD=BD=12AB，由(1)中的结论，得出ADFD =DEDB，进一步整理代入求得答案即可．本题主要考查了直角三角形和相似三角形的判定与性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解答本题的关键．23.【答案】解：(1)设返回时A，B两地间的路程为x米，由题意得：x+200 25=x25−2.5，解得x=1800．答：A、B两地间的路程为1800米；(2)设小明从A地到B地共锻炼了y分钟，由题意得：25×6+5×10+[10+(y−30)×1](y−30)=904，整理得y2−50y−104=0，解得y1=52， y2=−2(舍去)．答：小明从A地到C地共锻炼52分钟．【解析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．(1)可设AB两地之间的距离为x米，根据两种步行方案的速度相等，列出方程即可求解；(2)可设从A地到C地一共锻炼时间为y分钟，根据在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量，列出方程即可求解．24.【答案】解：(1)如图，连接BD，∵∠BAD=90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°，∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°，∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；(2)∵DE//AC，∵∠BDE=90°，∴∠BFC=90°，∴CB=AB=8，AF=CF=12AC，在Rt△BCD中，BD=√BC2+CD2=4√5同理：△CFD∽△BCD，∴CFBC =CDBD，∴CF8=44√5，∴CF=8√55，∴AC=2AF=16√55．【解析】(1)先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；(2)先判断出AC⊥BD，进而求出BC=AB=8，再用勾股定理求出BD，最后判断出△CFD∽△BCD，即可得出结论．此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出BC=8是解本题的关键．25.【答案】解：(1)如图所示，直线OD即为所求；(2)如图，∵OD为△ABE的中位线，∴AE=2OD=4√5，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CE=CA，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AC=√22AE=2√10，由勾股定理可得BC=2√15，则△ABC的面积为12AC⋅BC=12×2√10×2√15=10√6．【解析】(1)延长BC，在BC延长线上截取CE=CA，作BE的中垂线，垂直为D，作直线OD即可得；(2)由作图知OD是△ABE中位线，据此知AE=2OD=4√5，继而由△ACE为等腰直角三角形得出AC=2√10，利用勾股定理求出BC的长，进一步计算得出答案．本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、线段中垂线的尺规作图、中位线定理等知识点．26.【答案】解：(1)纸盒底面长方形的长为(40−2×3)÷2=17(cm)，纸盒底面长方形的宽为20−2×3=14(cm)．答：纸盒底面长方形的长为17cm，宽为14cm．(2)设当纸盒的高为xcm时，纸盒的底面积是150cm2，依题意，得：(40−2x)2×(20−2x)=150，化简，得：x2−30x+125=0，解得：x1=5，x2=25．当x=5时，20−2x=10>0，符合题意；当x=25时，20−2x=−30<0，不符合题意，舍去．答：若纸盒的底面积是150cm2，纸盒的高为5cm．【解析】(1)根据纸盒底面长方形的长=(长方形硬纸片的长−2×纸盒的高)÷2，可求出纸盒底面长方形的长；根据纸盒底面长方形的宽=长方形硬纸片的宽−2×纸盒的高，可求出纸盒底面长方形的宽；(2)设当纸盒的高为xcm时，纸盒的底面积是150cm2，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是150cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．27.【答案】(1)1；6；(2)如图2，过C作CF⊥AB于F，同理得：OF=6，当直线AB与半圆O所在的圆相切时，又∵圆心O到AB的距离为6，半圆的半径为6，且圆心O又在直线BC上，∴O与C重合，即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切，此时，点O运动了8cm，所求运动时间t=8÷2=4；如图3，当点O运动到B点的右侧时，且OB=12，过O作OQ⊥AB，交直线AB于Q，OB=6，在Rt△QOB中，∠OBQ=30°，则OQ=12即OQ与半圆O所在的圆相切，此时点O运动了12+12+8=32cm，所求运动时间t=32÷2=16，综上所述，当t为4秒或16秒时，直线AB与半圆O所在的圆相切；(3)有两种情况：①当半圆O与AB边相切于F时，如图2，重叠部分的面积S=14π×62=9π；②当半圆O与AC相切于C时，如图4，连接OG，∵BC=DE=12，∴C与D重合，E与B重合，∵OG=OB，∴∠ABC=∠OGB=30°，∴∠COG=60°，过O作OH⊥AB于H，∵OB=6，∴OH=12OB=3，由勾股定理得：BH=√62−32=3√3，∴BG=2BH=6√3，此时重叠部分的面积S=60π×62360+12×6√3×3=6π+9√3；综上所述，重叠部分的面积为9πcm2或(6π+9√3)cm2．【解析】解：(1)∵DE=12，∴OE=OD=6，∵OC=8，∴EC=8−6=2，∴t=2÷2=1，∴当t=1s时，⊙O与AC所在直线第一次相切；如图1，过C作CF⊥AB于F，Rt△BCF中，∵∠ABC=30°，BC=12，BC=6，∴CF=12故答案为：1，6；(2)见答案；(3)见答案．(1)求出路程EC的长，即可以求时间t=1，作C到AB的距离CF，利用直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半可以得：CF=6；(2)根据C到AB的距离为6cm，圆的半径为6cm，所以O与C重合，即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切，t=8÷2=4秒；(3)有两种情况：①当半圆O与AB边相切于F时，如图2，重叠部分的面积是半圆面积的一半；②当半圆O与AC相切于C时，如图4，连接OG，重叠部分的面积是扇形OCG的面积+△BOG的面积．本题考查了切线的判定与性质，熟练掌握切线的判定是关键：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；本题有难度，尤其是第3问，容易漏解，要注意利用数形结合的思想．28.【答案】解：(1)△ABE∽△CBD，∵在Rt△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，∴∠ABC=∠EBD=45°，∴∠ABE=∠CBD，∵ABBC =√2，BEBD=√2，∴ABBC =BEBD，∴△ABE∽△CBD；(2)∵△ABE∽△CBD，∴AECD =BEBD=√2，∴CD=√22AE，∵AC=BC=4，∠ACB=90°，∴AB=√2BC=4√2，∵当A、E、F三点在一直线上时，∵∠AFB=90°，∴AF=√AB2−BF2=√(4√2)2−22=2√7，如图1，当AE在AB左上方时，AE=AF−EF=2√7−2，∴CD=√14−√2；如图2，当AE在AB右下方时，同理，AE=AF+EF=2√7+2，∴CD=√14+√2；综上所述，当A、E、F三点在一直线上时，CD的长为√14−√2或√14+√2；(3)如图3，延长EF到G使FG=EF，连接AG，BG，则△BFG是等腰直角三角形，∴BG=√2BF=2√2，设M为AE的中点，连接MF，∴MF是△AGE的中位线，∴AG=2FM，在△ABG中，∵AB−BG≤AG≤AB+BG，∴2√2≤AG≤6√2，∴√2≤FM≤3√2．【解析】(1)根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论；(2)根据相似三角形的性质得到AB=√2BC=4√2，根据勾股定理得到AF=√AB2−BF2=√(4√2)2−22=2√7，如图1，当AE在AB左上方时，如图2，当AE 在AB右下方时，即可得到结论；(3)如图3，延长EF到G使FG=EF，连接AG，BG，求得△BFG是等腰直角三角形，得到BG=√2BF=2√2，设M为AE的中点，连接MF，根据三角形中位线的定理得到AG=2FM，根据三角形的三边关系即可得到结论．本题考查了相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．。
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7．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是（）
A．20πcm2B．20cm2C．40πcm2D．40cm2
8．如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( )
A．10cmB．16 cmC．24 cmD．26cm
2．如果2是方程x2-3x+k=0的一个根，则常数k的值为（）
A．2B．1C．-1D．-2
3．已知⊙O的半径为3cm，OP＝4cm，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．无法确定
4．小广,小娇分别统计了自己近5次数学测试成绩，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定性的是( )
26．国家限购以来，二手房和新楼盘的成交量迅速下降．据统计，江阴在限购前某季度二手房和新楼盘成交量为9500套．限购后，同一季度二手房和新楼盘的成交量共4425套．其中二手房成交量比限购前减少55﹪，新楼盘成交量比限购前减少52﹪．
（1）问限购后二手房和新楼盘各成交多少套？
（2）在成交量下跌的同时，房价也大幅跳水.某楼盘限购前均价为12000元/m2,限购后，无人问津，房价进行调整，二次下调后均价为7680元/m2，求平均每次下调的百分率？总理表态：让房价回归合理价位．合理价位为房价是可支配收入的3～6倍，假设江阴平均每户家庭（三口之家）的年可支配收入为9万元，每户家庭的平均住房面积为80 m2，问下调后的房价回到合理价位了吗？请说明理由．
18．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝BD＝2，AD＝1，则AC＝__________.
三、解答题
19．解方程:
（1）（2x﹣5）2=9 （2）x2﹣4x=96
20．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+a-c=0,其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
9．如图，在平面直角坐标系中，A(0，3)、B(3，0)，以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为( )
A．1B． ﹣1C． D．2 ﹣1
二、填空题
10．如图，在矩形 中， 是边 上一点，连接 ，将矩形沿 翻折，使点 落在边 上点 处，连接 .在 上取点 ，以点 为圆心， 长为半径作⊙ 与 相切于点 .若 ， ，给出下列结论:① 是 的中点;②⊙ 的半径是2; ③ ;④ .其中正确的是________.(填序号)
15．如图，AB是⊙O直径，∠AOC=140°，则∠D=
16．一个圆锥的底面圆半径为6cm，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为240°，则圆锥的母线长为cm．
17．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB上的一点，将△BCE沿CE折叠至△FCE，若CF，CE恰好与以正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切，则折痕CE的长为．
27．（1）问题背景
如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AB＝AC，P为 上一动点（不与B，C重合），
求证： PA＝PB＋PC．
请你根据小明同学的思考过程完成证明过程．
（2）类比迁移
如图②，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB＝AC，AB⊥AC，垂足为A，求OC的最小值．
（3）拓展延伸
如图，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB＝ AC，AB⊥AC，垂足为A，则OC的最小值为．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若∠BAC = 60°，OA = 2，求阴影部分的面积（结果保留 ）．
25．如图，已知线段AB．
（1）仅用没有刻度的直尺和圆规作一个以AB为腰、底角等于30°的等腰△ABC．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的前提下，若AB=2cm，则等腰△ABC的外接圆的半径为cm．
A．方差B．平均数C．众数D．中位数
5．我市5月的某一周每天的最高气温（单位：℃）统计如下：19，20，24，22，24，26，27，则这组数据的中位数与众数分别是（）
A．23，24B．24，22C．24，24D．22，24
6．下列说法中,正确的是( )
A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线B．任何三角形有且只有一个内切圆
（1）此次共调查了多少名学生；
（2）将条形统计图补充完整，并计算扇形统计图中“A”部分所对应的圆心角的度数；
（3）该市九年级共有1000名学生参加了身体素质测试，估计测试成绩在良好以上（含良好）的人数．
22．车辆经过润扬大桥收费站时，4个收费通道A．B、C、D中，可随机选择其中的一个通过．
（1）一辆车经过此收费站时，选择A通道通过的概率是；
（2）求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．
23．已知：如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．
求证：
（1）AD=BD；
（2）DF是⊙O的切线．
24．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．
【校级联考】江苏省无锡市锡北片2019届九年级上学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列关于x的ห้องสมุดไป่ตู้程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x﹣1=0B．x2+3x﹣5=0C．x3+x=3D．ax2+bx+c=0
（2）若△ABC是正三角形，试求这个一元二次方程的根．
21．江苏省锡中实验学校为了解九年级学生的身体素质测试情况，随机抽取了该市九年级部分学生的身体素质测试成绩作为样本，按A（优秀），B（良好），C（合格），D（不合格）四个等级进行统计，并将统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
11．方程x2＝4的解是_____．
12．关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是▲．
13．在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的2个红球，3个黄球，4个黑球，任意摸出一球，摸到红球的概率是_________．
14．若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为________．