【原创】广州市2016届高三下学期高考数学模拟试题精选汇总：集合 Word版含答案
广东省广州市普通高中2016届高三下学期综合测试(一)理数试题(解析版)
2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）（1）已知集合{}1A x x =<，{}20B x x x =-≤，则AB =（ ）（A ）{}11x x -≤≤ （B ）{}01x x ≤≤ （C ）{}01x x <≤ （D ）{}01x x ≤< 【答案】D 【解析】 试题分析：{}11A x x =-<<，{}01B x x ≤≤，{}01A B x x ∴=≤<，故选D.考点：集合的交集. （2）已知复数3i1iz +=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z 所对应的点在（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】D 【解析】 试题分析：()()()()()31124112i i z i i i ++==+-+12i =+，12z i ∴=-，即z 对应点在第四象限，故选D.考点：1、复数的概念；2、复数的运算.（3）执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，则输出k 的值为（ ）【答案】C 【解析】试题分析： 第一循环2339,2x k =⨯+==；第二循环29321,4x k =⨯+==；第三循环221345,6x k =⨯+==；第四循环245393,8x k =⨯+==；第五循环2933189,10x k =⨯+==， 189100>结束循环，输出10k =，故选C.考点: 程序框图及循环结构. （4）如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为6π，则ω的值为（ ） （A ）3 （B ）6 （C ）12 （D ）24 【答案】B 【解析】 试题分析：函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的相邻两个零点之间的距离为函数的半个周期，,626T ππωω∴===，故选B. 考点：三角函数的图象和周期.（5）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且271224a a a ++=，则13S =（ ） （A ）52 （B ）78 （C ）104 （D ）208 【答案】C 【解析】 试题分析：271224a a a ++=，7324a ∴=，即78a =，∴()11313713131042a a S a +===，故选C.考点：等差数列的性质及前n 项和公式.（6）如果1P ，2P ，…，n P 是抛物线C ：24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，n x ，F 是抛物线C 的焦点，若1210n x x x +++=，则12n PF P F P F +++=（ ）（A ）10n + （B ）20n + （C ）210n + （D ）220n + 【答案】A 【解析】 试题分析：24,12py x =∴=，由抛物线定义可知11221,2PF x P F x =+=+，⋅⋅⋅，1n n P F x =+，12n PF P F P F ∴++⋅⋅⋅()12n n x x x =+++⋅⋅⋅+10n =+，故选A. 考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义及简单几何性质. （7）在梯形ABCD 中，ADBC ，已知4AD =，6BC =，若CD mBA nBC =+(),m n ∈R ，则mn=（ ） （A ）3- （B ）13- （C ）13（D ）3 【答案】A 【解析】试题分析： 过A 作AE CD 交BG 于E ，则CD EA EB BA ==+13BC BA =-+，即1m =，13n =-，3mn=-，故选A.考点: 1、平面向量基本概念定理；2、向量的运算.（8）设实数x ，y 满足约束条件10,10,1x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩， 则()222x y ++的取值范围是（ ）（A ）1,172⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）[]1,17 （C）⎡⎣ （D）【答案】A 【解析】试题分析：画出约束条件所表示的可行域，如图，()()1,2,0.2A D --，由可行域知()22z x y =++的最大值是217AD =，最小值为D 到直线10x y --=的距离的平方为12，故选A.考点: 利用可行域求目标函数的最值.（9）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上， 则该球的体积为（ ）（A ）20π （B （C ）5π （D 【答案】D 【解析】试题分析：由题意知，22215124R ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，34=3R V R π=∴=球，故选D.考点: 1、棱柱的性质；2、球的体积公式. （10）已知下列四个命题：1p ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥； 2p ：若()22x x f x -=-，则x ∀∈R ，()()f x f x -=-； 3p ：若()11f x x x =++，则()00,x ∃∈+∞，()01f x =； 4p ：在△ABC 中，若A B >，则sin sin A B >．其中真命题的个数是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】B 【解析】试题分析：如果l 与α内无数条平行线垂直，则l 与α不一定垂直，所以1p 错误；()22x x f x -=-，()()22x x f x f x -∴-=-=-，故2p 正确；()1,f x =只有一个根0x =，0x ∴>时，()f x 1=无解，故3p 错误； 因为在ABC ∆中A B >一定有a b >，再由正弦定理可得sin sin A B >，故4p 正确；故选B. 考点：1、直线与平面垂直的判定；2、正弦定理及函数的奇偶性.（11）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表 面积为（ ）（A ）8++ （B ）8++（C ）2+（D ）12【答案】A 【解析】试题分析：由三视图可知，几何体是以P 为顶点，以ABC ∆为底面，以PC 为高的三棱锥，如图.由三视图可知4,2PC BC ==，可求得AB PB AC ===AP =，所以ABC BC PAC S S S S ∆∆P ∆=++表PAB S ∆+8=+A.CP考点：1、几何体的三视图；2、几何体的表面积.（12）以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角 形”．1 2 3 4 5 … 2013 2014 2015 2016 3 5 7 9 ………… 4027 4029 4031 8 12 16 ………………… 8056 8060 20 28 ………………………… 16116 …………………………………………该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有 一个数，则这个数为（ ） （A ）201520172⨯ （B ）201420172⨯ （C ）201520162⨯ （D ）201420162⨯【答案】B 【解析】试题分析：第一行为1、2、3的三角形，最后一行的数为()1312+⨯；第一行为1、2、3、4的三角形，最后一行的数为()2412+⨯；第一行为1、2、3、4、5的三角形最后一行的数为，()3512+⨯…可猜想第一行为1、2、3…2016最后一行的数为()2014201420161220172+⨯=⨯，故选B.考点：归纳推理及不完全归纳法.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）（13）一个总体中有60个个体，随机编号0，1，2，…，59，依编号顺序平均分成6个小组，组号 依次为1，2，3，…，6．现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组随机抽取的号码为3， 则在第5组中抽取的号码是 ． 【答案】43 【解析】试题分析：总体60个个体，依编号顺序分成6个小组，则间隔编号为60106=，所以在第5组中抽取的号码为310443+⨯=，故答案为43. 考点：系统抽样方法.（14）已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点为A ，右焦点为F ，点()0,B b ，且0BA BF =，则双曲线C 的离心率为 ．【解析】 试题分析：0,BA BF AB BF =∴⊥，又BO AF ⊥，所以由射影定理知2OB OA OF =，即2b ac =22c a =-，210,e e e --==考点: 1、向量垂直与向量数量积之间的关系；2、双曲线的几何性质及离心率. （15）()422x x --的展开式中，3x 的系数为 ． （用数字填写答案） 【答案】40- 【解析】试题分析：()422x x -- ()422x x ⎡⎤=-+⎣⎦展开后只有()42x +与()33242C xx -+中含3x 项其系数和为133124432240C C C ⨯-⨯⨯=-，故答案为40-.考点：二项展开式定理.（16）已知函数()211,1,42,1x x f x x x x ⎧-+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，则函数()()22xg x f x =-的零点个数为 个．【答案】2考点: 函数的零点和图象交点的关系.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（17）（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥，AC =，5CD =,2BD AD =. （Ⅰ）求AD 的长； （Ⅱ）求△ABC 的面积．【答案】（Ⅰ）5；【解析】试题分析：(Ⅰ)设AD x=()0x >，则2BD x =．因为CD BC ⊥，5CD =，2BD x =，所以cos CD CDB BD ∠=52x =，由余弦定理得222cos 2AD CD AC ADC AD CD +-∠==⨯⨯．因为cos cos ADC CDB ∠=-∠，即52x=-．解得5x =．所以AD 的长为5；（Ⅱ）由(Ⅰ) 3AB x =15= ，所以1sin 2ABC S AB BC CBA ∆=⨯⨯⨯∠ 可得正确答案. 试题解析：(Ⅰ) 在ABC ∆中，因为2BD AD =，设AD x =()0x >，则2BD x =． 在BCD ∆中，因为CD BC ⊥，5CD =，2BD x =，所以cos CD CDB BD ∠=52x=．在ACD ∆中，因为AD x =，5CD =，AC =，由余弦定理得222cos 2AD CD AC ADC AD CD +-∠==⨯⨯CDB ADC ∠+∠=π， 所以cos cos ADC CDB ∠=-∠，52x=-．解得5x =．所以AD 的长为5.（Ⅱ）由（Ⅰ）求得315AB x ==，BC ==． 所以cos BC CBD BD ∠==，从而1sin 2CBD ∠=,所以1sin 2ABC S AB BC CBA ∆=⨯⨯⨯∠111522=⨯⨯=．考点：余弦定理及三角形面积公式. （18）（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率 分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1． （Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区 间[)45,75内的产品件数为X ，求X 的分布列与数学期望．【答案】（Ⅰ）0.05；（Ⅱ）1.8. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先根据比例设出质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75,[]75,85内的频率，再根据各个矩形面积和为1可求得质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（Ⅱ）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =，根据独立重复试验概率公式求概率，根据二项分布期望公式求期望. 试题解析：（Ⅰ）设区间[]75,85内的频率为x ， 则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ．依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，解得0.05x =. 所以区间[]75,85内的频率为0.05．（Ⅱ）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验， 所以X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（Ⅰ）得，区间[)45,75内的频率为0.30.2+0.1=0.6+，将频率视为概率得0.6p =．因为X 的所有可能取值为0、1、2、3， 且033(0)C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，1123(1)C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=，2213(2)C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，3303(3)C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．所以X 的分布列为：X 服从二项分布(),B n p ，所以X 的数学期望为30.6 1.8EX =⨯=．考点：1、频率分布直方图；2、离散型随机变量的均值期望. （19）（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，ACBD O =，1A O ⊥底面ABCD ，21==AA AB ．（Ⅰ）证明：平面1ACO ⊥平面11BB D D ； （Ⅱ）若60BAD ∠=，求二面角1B OB C --的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）先证1A O BD ⊥，CO BD ⊥可得BD ⊥平面1A CO ，进而得平面11BB D D ⊥平面1ACO ；（Ⅱ）以O 为原点，OB ，OC ，1OA 方向为x ，y ，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系．分别求出平面1OBB 的法向量，平面1OCB 的法向量 ，利用空间向量夹角公式即可求得二面角1B OB C -- 的余弦值. 试题解析：（Ⅰ）证明：因为1A O ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1A O BD ⊥．因为ABCD 是菱形，所以CO BD ⊥．因为1AO CO O =，所以BD ⊥平面1A CO ．因为BD ⊂平面11BB D D ， 所以平面11BB D D ⊥平面1ACO ．（Ⅱ）解 ：因为1A O ⊥平面ABCD ，CO BD ⊥，以O 为原点，OB ，OC ，1OA 方 向为x ，y ，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系． 因为12AB AA ==，60BAD ∠=， 所以1OB OD ==，OA OC ==11OA ==．则()1,0,0B，()C，()0,A ，()10,0,1A ，所以()11BB AA ==，()11+OB OB BB ==．设平面1OBB 的法向量为(),,x y z =n ， 因为()1,0,0OB =，()1OB =，所以0,0.x x z =⎧⎪⎨++=⎪⎩令1=y ，得(0,1,=n ．同理可求得平面1OCB 的法向量为()1,0,1=-m ．所以cos ,<>==n m 1B OB C --的平面角为钝角， 所以二面角1B OB C --的余弦值为．考点：1、线面及面面垂直的判定定理；2、利用法向量夹角公式求二面角的余弦. （20）（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为()120F -，，点(B 在椭 圆C 上，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．【答案】（Ⅰ）22184x y +=；（Ⅱ）经过两定点()12,0P ，()22,0P -.【解析】试题分析：（Ⅰ）椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=．由点(2B 在椭圆C 上，得22421a b+=，进而解出,a b 得到椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=联立，解得,E F 的坐标（用k 表示），设出AE ，AF 的方程，解出,M N 的坐标，圆方程用k 表示，最后可求得MN 为直径的圆经过两定点.试题解析：（Ⅰ） 设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=．因为点(2B 在椭圆C 上，所以22421a b +=．由①②解得，a =2b =．所以椭圆C 的方程为22184x y +=． （Ⅱ）因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A的坐标为()-．因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点()00,E x y （不妨设00x >），则点()00,F x y --．联立方程组22,184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22812x k =+．所以0x =，则0y =．所以直线AE的方程为y x =+．因为直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ，令0x =得y =，即点M ⎛ ⎝．同理可得点N ⎛ ⎝．．设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为0,P ⎛ ⎝． 则以MN 为直径的圆的方程为22x y ⎛+=⎝2， 即224x y y +=． 令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -． 考点：1、 待定系数法求椭圆；2、圆的方程及几何意义. （21）（本小题满分12分） 已知函数+3()ex mf x x =-,()()ln 12g x x =++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，求实数m 的值； （Ⅱ）当1m ≥时，证明：()3()f x g x x >-.【答案】（Ⅰ）0m =；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先求出()f x '，再令()0e 1mf '==，可解得m 的值；（Ⅱ）()3()f x g x x >-等价于()+e ln 120x m x -+->，当1m ≥时，只需证明1e ln(1)20x x +-+->，设()()1e ln 12x h x x +=-+-，则()11e 1x h x x +'=-+，利用()h x 的单调性，可以证明()h x 的最小值()0h x 为正，进而()3()f x g x x >-. 试题解析：（Ⅰ）因为+3()ex mf x x =-，所以+2()e 3x m f x x '=-.因为曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，所以()0e 1mf '==，解得0m =.（Ⅱ）因为+3()ex mf x x =-,()()ln 12g x x =++，所以()3()f x g x x >-等价于()+e ln 120x mx -+->．当1m ≥时，()()+1e ln 12e ln 12x mx x x +-+-≥-+-．要证()+eln 120x mx -+->，只需证明1e ln(1)20x x +-+->设()()1eln 12x h x x +=-+-，则()11e 1x h x x +'=-+. 设()11e 1x p x x +=-+，则()()121e 01x p x x +'=+>+． 所以函数()p x =()11e 1x h x x +'=-+在()1+-∞，上单调递增． 因为121e 202h ⎛⎫'-=-< ⎪⎝⎭，()0e 10h '=->，所以函数()11e 1x h x x +'=-+在()1+-∞，上有唯一零点0x ，且01,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭因为()00h x '=，所以0+101e1x x =+，即()()00ln 11x x +=-+. 当()01,x x ∈-时，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>， 所以当0x x =时，()h x 取得最小值()0h x . 所以()()()0100=eln 12x h x h x x +≥-+-()0011201x x =++->+. 综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-.考点：1、利用导数求切线斜率；2、利用导数研究函数的单调性及 最值.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图所示，△ABC 内接于⊙O ，直线AD 与⊙O 相切于点A ，交BC 的延长线于点D ，过点D 作DE CA 交BA 的延长线于点E ．（Ⅰ）求证：2DE AE BE =；（Ⅱ）若直线EF 与⊙O 相切于点F ，且4EF =，2EA =，求线段AC 的长．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3.考点：1、三角形相似；2、切割线定理.（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方 程为θρsin 2=，[)0,2θ∈π. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上求一点D ，使它到直线l ：32x y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ）的距离最短，并求出点D 的直角坐标.【答案】（Ⅰ）2220x y y +-=；（Ⅱ）32⎫⎪⎪⎭，.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用极坐标方程与直角坐标的互化公式可得：（Ⅱ）参数方程化为普通方程，利用圆心到直线的距离减半径最小可知，过圆心与直线垂直的直线与圆的交点之一取得最小值，根据几何意义排除一个即可.试题解析：（Ⅰ）解：由θρsin 2=，[)0,2θ∈π，可得22sin ρρθ=．因为222x y ρ=+，sin y ρθ=，所以曲线C 的普通方程为2220x y y +-=（或()2211x y +-=）．（Ⅱ）解：因为直线的参数方程为32x y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t 得直线l的普通方程为5y =+．因为曲线C ：()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，设点()00,D x y ，且点D 到直线l：5y =+的距离最短， 所以曲线C 在点D 处的切线与直线l：5y =+平行． 即直线GD 与l 的斜率的乘积等于1-，即(0011y x -⨯=-． 因为()220011x y +-=，解得0x =或0x = 所以点D 的坐标为12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或32⎫⎪⎪⎭，． 由于点D到直线5y =+的距离最短，所以点D 的坐标为32⎫⎪⎪⎭，． 考点：1、极坐标方程与直角坐标的方程互化；2、参数方程与普通方程的互化. （24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 设函数()f x x =+ （Ⅰ）当1a =时，求不等式()12f x ≥的解集；（Ⅱ）若对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，求实数b 的取值范围．【答案】（Ⅰ）1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭；（Ⅱ）)+∞.【解析】试题分析：（Ⅰ）讨论三种情况1x ≤-，10x -<<，0x ≥，最后找并集即可；（Ⅱ）不等式()f x b ≥的解集为空集，只需()max b f x >⎡⎤⎣⎦，利用基本不等式可得()f x ≤+，进而转化为maxb >，最后运用三角换元法或平方后结合基本不等式求出max .试题解析：（Ⅰ）解：当1a =时，()12f x ≥等价于112x x +-≥． ①当1x ≤-时，不等式化为112x x --+≥，无解； ②当10x -<<时，不等式化为112x x ++≥，解得104x -≤<；③当0x ≥时，不等式化为112x x +-≥，解得0x ≥．综上所述，不等式()1≥x f 的解集为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. （Ⅱ）因为不等式()f x b ≥的解集为空集，所以()max b f x >⎡⎤⎣⎦．因为 ()f x x =+x +，当且仅当x ≥()max f x ⎡⎤⎣⎦=．因为对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，所以max b >, 令()g a =+所以()21ga =+2212≤++==，即12a =时等号成立．所以()maxg a =⎡⎤⎣⎦．所以b 的取值范围为)+∞．考点：1、绝对值不等式的解法；2、利用基本不等式求最值.。
【原创】广州市2016届高三下学期高考数学模拟试题精选汇总：三角函数01 Word版含答案
三角函数01一、选择题1 ．若f (x )a sin x b =+(a ，b 为常数)的最大值是5，最小值是-1，则ab 的值为 （ ）A ．、23-B ．、23或23- C ．、 32-D ．、322 ．边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ）（ ）A ．B ．C ．D ．3 ．在钝角△A BC 中,已知AB=3, AC=1,∠B=30°,则△ABC 的面积是（ ）A ．23 B ．43 C ．23 D ．43 4 ．设函数f(x)=Asin(ϕω+x )(A>0,ω>0,-2π<ϕ<2π)的图象关于直线x=32π对称,且周期为π,则f(x) （ ）A ．图象过点(0,21) B ．最大值为-AC ．图象关于(π,0)对称D ．在[125π,32π]上是减函数 5 ．设ω>0,函数y=sin(ωx+3π)+2的图像向右平移34π个单位后与原图像重合,则ω的最小值是( )A ．23B ．43C ．32D ．36 ．已知21)4tan(=+απ,则ααα2cos 1cos 2sin 2+-的值为( )A ．35-B ．56-C ．-1D ．27 ．为了得到函数x x x y2cos 21cos sin 3+=的图象,只需将函数x y 2sin =的图象（ ）A ．向左平移12π个长度单位 B ．向右平移12π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位D ．向右平移6π个长度单位8 ．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为 （ ）A B C ．12D ．12-9 ．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，，，且1+2cos(B+C)=0，则BC 边上的高等于 （ ）A B C ．2D ．210．把函数=()y sin x x R ∈的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是 （ ）A ．=(2-),R 3y sin x x π∈ B ．=(+),R 26x y sin x π∈C ．=(2+),R 3y sin x x π∈D ． 2=(2+),R 3y sin x x π∈11．在∆ABC 中,A,B,C 为内角,且sin cos sin cos A A B B =,则∆ABC 是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形12．设函数sin()3y x π=+(x ∈R),则f(x)（ ）A ．在区间[-π,2π-]上是减函数 B ．在区间27[,]36ππ上是增函数 C ．在区间[8π,4π]上是增函数 D ．在区间5[,]36ππ上是减函数13．函数f(x)=sin2x-4sin 3xcosx(x ∈R)的最小正周期为（ ）A ．8π B ．4π C ．2π D ．π14．把函数sin(2)4yx π=+的图象向右平移8π个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，则所得图象对应的函数解析式是 （ ）A ．y=sin （4x+83π） B ．y=sin （4x+8π） C ． y=sin4x D ．y=sinx15．函数ln cos y x =⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-22ππx 的图象是16．在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,其中120,1A b ==,且ABC ∆面积为则sin sin a bA B+=+（ ）A B ．3C ．D ．17．函数2()22sin f x x x =-,(02x π≤≤)则函数f(x)的最小值为（ ）A ．1B ．-2C ．√3D ．-√318．在∆ABC 中,tanA 是以-4为第三项,4为第七项的等差数列的公差,tanB 是以13为第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是 （ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上都不对19．△ABC 的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,a A b B A a 2cos sin sin 2=+,则=ab（ ）A ．32B ．22C ．3D ．220．将函数⎪⎭⎫⎝⎛+=42sin 2)(πx x f 的图像向右平移)0(>ϕϕ个单位，再将图像上每一点横坐标缩短到原来的21倍，所得图像关于直线4π=x 对称，则ϕ的最小正值为 （ ）A ．8πB ．83πC ．43πD ．2π答案 1. B2. 【答案】B【解析】边7对角为θ，则由余弦定理可知2225871cos ==2582θ+-⨯⨯，所以=60θ，所以最大角与最小角的和为120，选B.3. B4. D5. C6. B7. A8. C9. 【答案】D【解析】由12cos()0B C ++=，得112cos 0,cos 2A A -==，所以3A π=。
(完整word版)2016年广州市二模试题及答案(理科数学word版).docx
2016 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数 学（理科）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、 试室号、座位号填写在答题卡上， 并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 ,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一 . 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合 M x 1 x 1 ， Nx x 2 2, x Z，则 (A)M N(B) NM(C)M I N 0(D)M U NN（2）已知复数 z3 i i 2 ，其中 i 为虚数单位， 则 z1(A)1(B) 1(C) 2(D)22（3）已知 cos121， 则 sin 5的值是3 12(A)1(B)2 2(C)122333(D)32（4）已知随机变量 X 服从正态分布 N 3, , 且 P X40.84, 则 P 2 X4(A)0.84(B) 0.68 (C) 0.32(D) 0.16x y 0,（5）不等式组xy2, 的解集记为 D , 若 a,b D , 则 z 2a 3b 的最小值是x 2 y2(A)4(B)1(C)1(D)41n（6）使x 2(n N * ) 展开式中含有常数项的n 的最小值是2x3(A)3(B)4(C)5(D)6（7）已知函数 fxsin 2x) 的图象的一个对称中心为 3 ,0 , 则函数82f x 的单调递减区间是(A)2k 3 (k Z )(B)2k, 2k 5 Z ) , 2k(k8888(C)k3( k Z )(D) k, k5 Z ), k8( k888（8）已知球 O 的半径为R ， A, B, C 三点在球 O 的球面上，球心 O 到平面 ABC 的距离为1R ， AB AC2 ， BAC120 , 则球 O 的表面积为216 1664 64 (A)(B)(C)(D)93x（9）已知命题p ： x N * ,1123 则下列命题中为真命题的是(A) p q(B)pq 93x，命题 q ： x N * , 2x21 x2 2 ，(C)p q (D)pq（ 10）如图 , 网格纸上的小正方形的边长为 1, 粗实线画出的是某几何体的三视图 , 则该几何体的体积是(A)4 6(B)8 6(C) 4 12(D) 8 12（11 ）已知点 O 为坐标原点，点 M 在双曲线 C : x 2y 2（ 为正常数） 上，过点 M 作双曲线 C 的某一条渐近线的垂线，垂足为N ，则 ONMN 的值为(A)(B)(C)(D)无法确定42（12 ）设函数 f x 的定义域为 R , f x f x , f x f 2 x , 当 x 0,1 时,f xx 3 , 则函数 g xcosxf x 在区间1 , 5 上的所有零点的和为2 2(A)7(B)6(C) 3(D)2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
【原创】广州市2016届高三下学期高考数学模拟试题精选汇总： 函数01 Word版含答案
函数01一、选择题1 ．已知函数12x f (x )x ,g(x )x ,h(x )x ln x =-=+=+的零点分别为x 1，x 2，x 3，则 （ ）A ．x 1<x 2<x 3B ．x 2<x 1<x 3C ．x 3<x 1<x 2D ．x 2<x 3<x 12 ．己知函数1f (x )+是偶函数，当1x (,)∈-∞时，函数f (x )单调递减，设1122a f (),b f (),c f ()=-=-=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c<a<bB ．a<b<cC ．a<c<bD ．c<b<a3 ．定义在R 上的函数满足，当时，，则（ ）（ ）A ．B ．C ．D ．4 ．已知函数的图象如图所示则函数的图象是（ ）5 ．函数的定义域为（ ）（ ）A ．B ．C ．D ．6 ．设函数1()ln (0)3f x x x x =->,则函数()f x（ ）A ．在区间(0,1)(1,)+∞， 内均有零点B ．在区间(0,1)(1,)+∞， 内均无零点C ．在区间(0,1)内有零点,在区间(1,)+∞内无零点D ．在区间(0,1)内无零点,在区间(1,)+∞内有零点7 ．定义在R 上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈∈+）,1[3-x -1)1,0[x ），1x （log 21x ,则关于x 的函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为 （ ）A ．2a -1B ．1-2aC ．2-a -1D ．1-2-a8 ．设)(x f 是定义在R 上的周期函数,周期为4=T ,对R x ∈都有)()(x f x f =-,且当]0,2[-∈x 时,121)(-⎪⎭⎫⎝⎛=xx f ,若在区间]6,2(-内关于x 的方程)2(log )(+-x x f a =0)1(>a 恰有3个不同的实根,则a 的取值范围是 （ ）A ．(1,2)B ．),2(+∞C ．()4,1D ．()32,4本卷共12小题,共110分.9 ．已知函数()=ln f x x ，则函数()=()'()g x f x f x -的零点所在的区间是（ ）A ．（0,1）B ．（1,2）C ．（2,3）D ．（3,4）10．定义域为R 的函数()f x 满足(+2)=2()f x f x ，当x ∈[0，2)时，2|x-1.5|-,[0,1)()=-(0.5),[1,2)x x x f x x ⎧∈⎨∈⎩若[-4,-2]x ∈时，1()-42t f x t ≥恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．[-2，0)(0，l)B ．[-2，0) [l ，+∞)C ．[-2，l]D ．(-∞，-2](0，l]11．在下列区间中，函数()=+43xf x e x -的零点所在的区间为（ ）A ．（1-4，0） B ．（0，14） C ．（14，12） D ．（12，34）12．定义在R 上的偶函数f(x),当x ∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是（ ） A ．f(π)>f(-3)>f(-2) B ．f(π)>f(-2)>f(-3)C ．f(π)<f(-3)<f(-2)D ．f(π)<f(-2)<f(-3)13．偶函数f （x ）满足(1)(1)f x f x +=-，且在x ∈[0，1]时，f （x ）=x 2，则关于x 的方程f （x ）=x⎪⎭⎫⎝⎛101在10[0,]3上根的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．5个14．设5log 4a =, 25(log 3)b =,4log 5c =，则（ ）A ．a<c<bB ．b<c<aC ．a<b<cD ．b a c <<15．设函数1(1)|-1|)=1(=1)x x f x x ⎧≠⎪⎨⎪⎩（，若关于x 的方程2[()]+()+c=0f x bf x 有三个不同的实数根123,,x x x ，则222123++x x x 等于（ ）A ．13B ．5C ．223c +2c D ．222b +2b16．函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()(2)f x f x =+D ．(3)f x +是奇函数17．给定函数①12=y x-，②23+3=2xx y -，③12=log |1-|y x ，④=sin2xy π，其中在(0,1)上单调递减的个数为 （ ） A ．0B ．1 个C ．2个 D ．3个18．已知定义在区间[0,2]上的函数=()y f x 的图象如图所示，则=(2-)y f x 的图象为19．已知函数()()2531m f x m m x --=--是幂函数且是()0,+∞上的增函数，则m 的值为（ ）A ．2B ．－1C ．－1或2D ．020．已知函数2342013()12342013x x x x f x x =+-+-++,2342013()12342013x x x x g x x =-+-+--,设函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-,且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内,则-b a 的最小值为 （ ）A ．8B ．9C ．10D ．1121．函数21(0)()(1)(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩若方程()f x x a =+有且只有两个不等的实数根,则实数a 的取值范围为 （ ）A ．(-∞,0)B ．[0,1)C ．(-∞,1)D ．[0,+∞)22．函数x x x f 2log 12)(+-=的零点所在的一个区间是（ ）A ．⎪⎭⎫⎝⎛41,81 B ．⎪⎭⎫⎝⎛21,41 C ．⎪⎭⎫⎝⎛1,21 D ．)2,1(23．若直角坐标平面内的两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数)(x f y =的图像上；②P 、Q关于原点对称，则称点对[P ,Q]是函数)(x f y =的一对“友好点对”（注：点对[P ,Q]与[Q,P]看作同一对“友好点对”）.已知函数⎩⎨⎧≤-->=)0(4)0(log )(22x x x x x x f ，则此函数的“友好点对”有（ ）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对答案 1. D 2. A3. 【答案】D【解析】由题意可知，函数的图象关于y 轴对称，且周期为2，故可画出它的大致图象，如图所示：∵且,而函数在是减函数， ∴，选D.4. 【答案】A【解析】由函数的两个根为.x a x b ==，图象可知01,1a b <<<-。
广东省2016届高三五月联考模拟数学理科试题Word版含答案
2015-2016学年度理数三模联考一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
）1．设复数bi a ii +=+-12),(R b a ∈，则=+b a （ ）． A ．1 B ．2 C ．1- D ．2- 2．已知集合P={x |1＜2x ＜2}，Q={}1log |5.0>x x ，则P∩Q=（ ）．A ．（0，21）B ．（21，1）C ．（﹣1，21） D ．（0，1）3．已知0,0>>b a ，则“1>ab ”是“2>+b a ”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．在△ABC 中，若sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C )，则△ABC 的形状一定是（ ）． A ．等边三角形 B ．不含60°的等腰三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形 5．已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4－2a 27＋3a 8＝0， 数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 7b 8等于（ ）．A ．1B ．2C ．4D ．8 6．如果执行程序框图，且输入n =6，m =4，则输出的p =（ ）．A ．240B ．120C ．720D ．3607．设F 1，F 2为椭圆C ：1422=+y x 的左、右焦点，点P 在C 上， |PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝（ ）． A ．167B ．1625C ．167-D ．1625- 8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）．A.163 B. 203 C. 152 D. 1329．对于函数3()cos3()6f x x x π=+，下列说法正确的是（ ）． A ．()f x 是奇函数且在（6π6π，-）上递增 B ．()f x 是奇函数且在（6π6π，-）上递减C ．()f x 是偶函数且在（6π0，）上递增 D ．()f x 是偶函数且在（6π0，）上递减是 否 开输1,1==p k )(k m n p p +-=?m k <输出p 结1+=k k10．当实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+101042x y x y x 时，41≤+≤y ax 恒成立，则实数a 的取值范围（ ）．A ．[1，23] B ．[﹣1，2] C ．[﹣2，3] D ．[1，2] 11．已知等式()()()()432432123412341111x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++，定义映射()()12341234:,,,,,,f a a a a b b b b →，则()4,3,2,1f =（ ）．A ．()1,2,3,4B ．()0,3,4,0C ． ()0,3,4,1--D ．()1,0,2,2-- 12．对]2,0[,∈∈∀n R α，向量)sin 3,cos 32(αα-+=n n c 的长度不超过6的概率为（ ）．A ．105 B ．1052 C ．1053 D ．552 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2016年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)
2016年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x||x|＜1}，B={x|x2﹣x≤0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0≤x＜1}2．（5分）已知复数，其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入x=3，则输出k的值为（）A．6 B．8 C．10 D．124．（5分）如果函数（ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为（）A．3 B．6 C．12 D．245．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2+a7+a12=24，则S13=（）A．52 B．78 C．104 D．2086．（5分）如果P1，P2，…，P n是抛物线C：y2=4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x n，F是抛物线C的焦点，若x1+x2+…+x n=10，则|P1F|+|P2F|+…+|P n F|=（）A．n+10 B．n+20 C．2n+10 D．2n+207．（5分）在梯形ABCD中AD∥BC，已知AD=4，BC=6，若=m+n（m，n∈R）则=（）A．﹣3 B．﹣C． D．38．（5分）设实数x，y满足约束条件，则x2+（y+2）2的取值范围是（）A．[，17]B．[1，17] C．[1，]D．[，]9．（5分）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）A．20πB． C．5πD．10．（5分）已知下列四个命题：p1：若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；p2：若f（x）=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）；p3：若，则∃x0∈（0，+∞），f（x0）=1；p4：在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．411．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）A．8+8+4 B．8+8+2 C．2+2+D．++12．（5分）以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角性”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A．2017×22015B．2017×22014C．2016×22015D．2016×22014二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）一个总体中有60个个体，随机编号为0，1，2，…59，依编号顺序平均分成6个小组，组号为1，2，3，…6．现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组中抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是．14．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，点B（0，b），且，则双曲线C的离心率为．15．（5分）（x2﹣x﹣2）4的展开式中，x3的系数为（用数字填写答案）16．（5分）已知函数f（x）=，则函数g（x）=2|x|f（x）﹣2的零点个数为．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=5，CD=5，BD=2AD．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求△ABC的面积．18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1．（I）求这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[45，75）内的产品件数为X，求X的分布列与数学期望．19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A1O⊥底面ABCD，AB=AA1=2．（I）证明：平面A1CO⊥平面BB1D1D；（Ⅱ）若∠BAD=60°，求二面角B﹣OB1﹣C的余弦值．20．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N；（1）求椭圆C的方程；（2）以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标，若不经过，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=e x+m﹣x3，g（x）=ln（x+1）+2．（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为1，求实数m的值；（2）当m≥1时，证明：f（x）＞g（x）﹣x3．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图所示，△ABC内接于⊙O，直线AD与⊙O相切于点A，交BC 的延长线于点D，过点D作DE∥CA交BA的延长线于点E．（I）求证：DE2=AE•BE；（Ⅱ）若直线EF与⊙O相切于点F，且EF=4，EA=2，求线段AC的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）在曲线C上求一点D，使它到直线l：，（t为参数，t∈R）的距离最短，并求出点D的直角坐标．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|．（I）当a=1时，求不等式f（x）≥的解集；（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，求实数b的取值范围．2016年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2016•广州一模）已知集合A={x||x|＜1}，B={x|x2﹣x≤0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0≤x＜1}【考点】交集及其运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：﹣1＜x＜1，即A={x|﹣1＜x＜1}，由B中不等式变形得：x（x﹣1）≤0，解得：0≤x≤1，即B={x|0≤x≤1}，则A∩B={x|0≤x＜1}，故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2016•广州一模）已知复数，其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数形结合；转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数、复数的几何意义即可得出．【解答】解：∵复数===1+2i，复数z的共轭复数=1﹣2i所对应的点在第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数、复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）（2016•蚌埠三模）执行如图所示的程序框图，如果输入x=3，则输出k的值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件x＞100，跳出循环体，确定输出k的值．【解答】解：模拟执行程序，可得x=3，k=0x=9，k=2不满足条件x＞100，x=21，k=4不满足条件x＞100，x=45，k=6不满足条件x＞100，x=93，k=8不满足条件x＞100，x=189，k=10满足条件x＞100，退出循环，输出k的值为10．故选：C．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法．4．（5分）（2016•广州一模）如果函数（ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为（）A．3 B．6 C．12 D．24【考点】三角函数的周期性及其求法；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用余弦函数的周期性，求得ω的值．【解答】解：∵函数（ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为，∴•=，求得ω=6，【点评】本题主要考查余弦函数的图象，余弦函数的周期性，属于基础题．5．（5分）（2016•广州一模）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2+a7+a12=24，则S13=（）A．52 B．78 C．104 D．208【考点】等差数列的性质．【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由题意和等差数列的性质可得a7的值，再由等差数列的性质和求和公式可得S13=13a7，代值计算可得．【解答】解：由题意和等差数列的性质可得3a7=a2+a7+a12=24，解得a7=8，故S13===13a7=104，故选：C．【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，求出a7是解决问题的关键，属基础题．6．（5分）（2016•广州一模）如果P1，P2，…，P n是抛物线C：y2=4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x n，F是抛物线C的焦点，若x1+x2+…+x n=10，则|P1F|+|P2F|+…+|P n F|=（）A．n+10 B．n+20 C．2n+10 D．2n+20【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线性质得|P n F|==x n+1，由此能求出结果．【解答】解：∵P1，P2，…，P n是抛物线C：y2=4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x n，F是抛物线C的焦点，x1+x2+…+x n=10，∴|P1F|+|P2F|+…+|P n F|=（x1+1）+（x2+1）+…+（x n+1）=x1+x2+…+x n+n故选：A．【点评】本题考查抛物线中一组线段和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线的性质的合理运用．7．（5分）（2016•广州一模）在梯形ABCD中AD∥BC，已知AD=4，BC=6，若=m+n （m，n∈R）则=（）A．﹣3 B．﹣C． D．3【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】利用平面向量的三角形法以及平面向量基本定理求出m，n．【解答】解：由题意，如图，=m+n=，所以n=，m=1，所以=﹣3．故选：A．【点评】本题考查了平面向量的三角形法则和平面向量基本定理；属于基础题．8．（5分）（2016•福建校级模拟）设实数x，y满足约束条件，则x2+（y+2）2的取值范围是（）A．[，17]B．[1，17] C．[1，]D．[，]【考点】简单线性规划．【专题】计算题；作图题；转化思想；数形结合法；不等式．【分析】由题意作平面区域，而x2+（y+2）2的几何意义是点A（0，﹣2）与阴影内的点的距离的平方，从而结合图象解得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，x2+（y+2）2的几何意义是点A（0，﹣2）与阴影内的点的距离的平方，而点A到直线y=x﹣1的距离d==，B（﹣1，2），故|AB|==，故（）2≤x2+（y+2）2≤（）2，即≤x2+（y+2）2≤17，故选：A．【点评】本题考查了线性规划的变形应用及数形结合的思想应用，同时考查了转化思想的应用．9．（5分）（2016•广州一模）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）A．20πB． C．5πD．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，设正六棱柱的上下底面中心分别为O1，O2，球心为O，一个顶点为A，如右图．可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径OA，再用球的体积公式即可得到外接球的体积．【解答】解：作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，如右图，则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边，设球心为O，正六棱柱的上下底面中心分别为O1，O2，则球心O是O1，O2的中点．∵正六棱柱底面边长为1，侧棱长为1，∴Rt△AO1O中，AO1=1，O1O=，可得AO==，因此，该球的体积为V=π•（）3=．故选：D．【点评】本题给出一个正六棱柱，求它的外接球的体积，着重考查了球的内接多面体和球体积公式等知识点，属于中档题．10．（5分）（2016•广州一模）已知下列四个命题：p1：若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；p2：若f（x）=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）；p3：若，则∃x0∈（0，+∞），f（x0）=1；p4：在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；定义法；简易逻辑．【分析】p1：根据线面垂直的判断定理判定即可；p2：根据奇函数的定义判定即可；p3：对表达式变形可得=x+1+﹣1，利用均值定理判定即可；p4：根据三角形角边关系和正弦定理判定结论成立．【解答】解：p1：根据判断定理可知，若直线l和平面α内两条相交的直线垂直，则l⊥α，若没有相交，无数的平行直线也不能判断垂直，故错误；p2：根据奇函数的定义可知，f（﹣x）=2﹣x﹣2x=﹣f（x），故∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），故正确；p3：若=x+1+﹣1≥1，且当x=0时，等号成立，故不存在x0∈（0，+∞），f（x0）=1，故错误；p4：在△ABC中，根据大边对大角可知，若A＞B，则a＞b，由正弦定理可知，sinA＞sinB，故正确．故选：B．【点评】考查了线面垂直，奇函数的定义，均值定理和三角形的性质及正弦定理的应用．属于基础题型，应熟练掌握．11．（5分）（2016•福建校级模拟）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）A．8+8+4 B．8+8+2 C．2+2+D．++【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】由三视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥．作出直观图，计算各棱长求面积．【解答】解：由三视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥A﹣BCD．作出直观图如图所示：其中A，C，D为正方体的顶点，B为正方体棱的中点．∴S△ABC ==4，S△BCD==4．∵AC=4，AC⊥CD，∴S△ACD==8，由勾股定理得AB=BD==2，AD=4．∴cos∠ABD==﹣，∴sin∠ABD=．∴S△ABD==4．∴几何体的表面积为8+8+4．故选A．【点评】本题考查了不规则放置的几何体的三视图和面积计算，作出直观图是解题关键．12．（5分）（2016•广州一模）以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角性”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A．2017×22015B．2017×22014C．2016×22015D．2016×22014【考点】归纳推理．【专题】计算题；规律型；探究型；推理和证明．【分析】数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，第2016行只有M，由此可得结论【解答】解：由题意，数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，故第1行的第一个数为：2×2﹣1，第2行的第一个数为：3×20，第3行的第一个数为：4×21，…第n行的第一个数为：（n+1）×2n﹣2，第2016行只有M，则M=（1+2016）•22014=2017×22014故选：B．【点评】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2016•蚌埠三模）一个总体中有60个个体，随机编号为0，1，2，…59，依编号顺序平均分成6个小组，组号为1，2，3，…6．现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组中抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是43．【考点】系统抽样方法．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】由总体容量及组数求出间隔号，然后用3加上40即可．【解答】解：总体为60个个体，依编号顺序平均分成6个小组，则间隔号为=10，所以在第5组中抽取的号码为3+10×4=43．故答案为：43．【点评】本题考查了系统抽样，系统抽样是根据分组情况求出间隔号，然后采用简单的随机抽样在第一组随机抽取一个个体，其它的只要用第一组抽到的号码依次加上间隔号即可．此题为基础题．14．（5分）（2016•广州一模）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，点B（0，b），且，则双曲线C的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】方程思想；分析法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出A，F的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，结合a，bc的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得A（﹣a，0），F（c，0），B（0，b），可得=（﹣a，﹣b），=（c，﹣b），由，可得﹣ac+b2=0，即有b2=c2﹣a2=ac，由e=，可得e2﹣e﹣1=0，解得e=（负的舍去）．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用向量的数量积的坐标表示，考查双曲线的渐近线方程和离心率公式，考查运算能力，属于中档题．15．（5分）（2016•广州一模）（x2﹣x﹣2）4的展开式中，x3的系数为﹣40（用数字填写答案）【考点】二项式定理的应用．【专题】转化思想；综合法；二项式定理．【分析】解法一：根据（x2﹣x﹣2）4 =（x﹣2）4•（x+1）4 ，把（x﹣2）4和（x+1）4 分别使用二项式定理展开，可得x3的系数．解法二：根据乘方的意义，分类讨论求得x3的系数．【解答】解：解法一：∵（x2﹣x﹣2）4 =（x﹣2）4•（x+1）4 =[•x4+•x3•（﹣2）+•x2•（﹣2）2+•x•（﹣2）3+•（﹣2）4]•（•x4+•x3+•x2+•x+）故x3的系数为﹣2•1+4•+（﹣8）•+16•=﹣40，故答案为：﹣40．解法二：∵（x2﹣x﹣2）4 表示4个因式（x2﹣x﹣2）的乘积，x3的系数可以是：从4个因式中选一因式提供x2，其余的3个因式中有一个提供（﹣x），其余的2个因式都提供（﹣2），也可以是从4个因式中选3个因式都提供（﹣x），其余的1个提供（﹣2），可得x3的系数，故x3的系数为：•（﹣1）•（﹣2）2+（﹣1）•（﹣2）=﹣48+8=﹣40．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，乘方的意义，属于中档题．16．（5分）（2016•广州一模）已知函数f（x）=，则函数g（x）=2|x|f（x）﹣2的零点个数为2．【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；作图题；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】函数g（x）=2|x|f（x）﹣2的零点个数转化为方程g（x）=2|x|f（x）﹣2=0的解的个数，再转化为函数f（x）与y=的图象的交点的个数，从而解得．【解答】解：令g（x）=2|x|f（x）﹣2=0得，f（x）=，作函数f（x）与y=的图象如下，，结合图象可知，函数的图象有两个不同的交点，故函数g（x）=2|x|f（x）﹣2的零点个数为2，故答案为：2．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根，方程的根与函数的图象的交点的关系应用，考查了数形结合的思想．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2016•江苏模拟）如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=5，CD=5，BD=2AD．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求△ABC的面积．【考点】解三角形．【专题】数形结合；数形结合法；解三角形．【分析】（1）假设AD=x，分别在△ACD和△ABC中使用余弦定理计算cosA，列方程解出x；（2）根据（1）的结论计算sinA，代入面积公式计算．【解答】解：（1）设AD=x，则BD=2x，∴BC==．在△ACD中，由余弦定理得cosA==，在△ABC中，由余弦定理得cosA==．∴=，解得x=5．∴AD=5．（2）由（1）知AB=3AD=15，cosA==，∴sinA=．===．∴S△ABC【点评】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．18．（12分）（2016•蚌埠三模）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1．（I）求这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[45，75）内的产品件数为X，求X的分布列与数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【专题】综合题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（I）由题意，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之和，利用之比为4：2：1，即可求出这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；（Ⅱ）求出每件产品质量指标值落在区间[45，75）内的概率为0.6，利用题意可得：X～B（3，0.6），根据概率分布知识求解即可．【解答】解：（I）由题意，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之和为1﹣0.04﹣0.12﹣0.19﹣0.3=0.35，∵质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1，∴这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率为0.05；（Ⅱ）根据样本频率分布直方图，每件产品质量指标值落在区间[45，75）内的概率为0.6，由题意可得：X～B（3，0.6）∴X的概率分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216∴EX=0.288+2×0.432+3×0.216=1.8【点评】本题考查概率分布在实际问题中的应用，结合了统计的知识，综合性较强，属于中档题．19．（12分）（2016•南昌校级二模）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD 是菱形，AC∩BD=O，A1O⊥底面ABCD，AB=AA1=2．（I）证明：平面A1CO⊥平面BB1D1D；（Ⅱ）若∠BAD=60°，求二面角B﹣OB1﹣C的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【专题】综合题；向量法；空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．【分析】（1）根据面面垂直的判定定理进行证明即可．（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量法进行求解．【解答】证明：（1）∵A1O⊥面ABCD，且BD，AC⊂面ABCD，∴A1O⊥BD，又∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，∵A1O∩AC=O，∴BD⊥面A1AC，∵BD⊂平面BB1D1D，∴平面A1CO⊥平面BB1D1D（2）建立以O为坐标原点，OA，OB，OA1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：∵AB=AA1=2，∠BAD=60°，∴OB=1，OA=，∵AA1=2，∴A1O=1．则A（，0，0），B（0，1，0），A1（0，0，1），C（﹣，0，0），==（﹣，1，0），=（0，1，0），=（﹣，0，0），=（0，0，1），则=+=（﹣，1，1），设平面BOB1的一个法向量为=（x，y，z），则，令x=，则y=0，z=3，即=（，0，3），设平面OB1C的一个法向量为=（x，y，z），则，令y=1，则z=﹣1，x=0，则=（0，1，﹣1），cos＜，＞===﹣，∵二面角B﹣OB1﹣C是钝二面角，∴二面角B﹣OB1﹣C的余弦值是﹣．【点评】本小题主要考查面面垂直的判断和二面角的求解，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，综合性较强，运算量较大．20．（12分）（2016•福建校级模拟）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y=kx（k ≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N；（1）求椭圆C的方程；（2）以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标，若不经过，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意可设椭圆标准方程，结合已知及隐含条件列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a2，b2的值，则椭圆方程可求；（2）设F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），写出AE、AF所在直线方程，求出M、N 的坐标，得到以MN为直径的圆的方程，由圆的方程可知以MN为直径的圆经过定点（±2，0）．【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为，则，解得：a2=8，b2=4．∴椭圆C的方程为；（2）如图，设F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），则，A（﹣，0），AF所在直线方程，取x=0，得，∴N（0，），AE所在直线方程为，取x=0，得y=．则以MN为直径的圆的圆心坐标为（0，），半径r=，圆的方程为=，即．取y=0，得x=±2．∴以MN为直径的圆经过定点（±2，0）．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，考查整体运算思想方法，是中档题．21．（12分）（2016•广州一模）已知函数f（x）=e x+m﹣x3，g（x）=ln（x+1）+2．（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为1，求实数m的值；（2）当m≥1时，证明：f（x）＞g（x）﹣x3．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，解方程可得m；（2）f（x）＞g（x）﹣x3即为e x+m＞ln（x+1）+2．由函数y=e x﹣x﹣1，求得最小值，可得e x≥x+1，则e x+m＞x+m+1，再由h（x）=x+m+1﹣ln（x+1）﹣2=x+m﹣ln（x+1）﹣1，求出导数，求得最小值，由条件即可得证．【解答】解：（1）函数f（x）=e x+m﹣x3的导数为f′（x）=e x+m﹣3x2，在点（0，f（0））处的切线斜率为k=e m=1，解得m=0；（2）证明：f（x）＞g（x）﹣x3即为e x+m＞ln（x+1）+2．由y=e x﹣x﹣1的导数为y′=e x﹣1，当x＞0时，y′＞0，函数递增；当x＜0时，y′＜0，函数递减．即有x=0处取得极小值，也为最小值0．即有e x≥x+1，则e x+m≥x+m+1，由h（x）=x+m+1﹣ln（x+1）﹣2=x+m﹣ln（x+1）﹣1，h′（x）=1﹣，当x＞0时，h′（x）＞0，h（x）递增；﹣1＜x＜0时，h′（x）＜0，h（x）递减．即有x=0处取得最小值，且为m﹣1，当m≥1时，即有h（x）≥m﹣1≥0，即x+m+1≥ln（x+1）+2，则有f（x）＞g（x）﹣x3成立．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用构造法，以及不等式的传递性，考查推理能力，属于中档题．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）（2016•广州一模）如图所示，△ABC内接于⊙O，直线AD与⊙O相切于点A，交BC的延长线于点D，过点D作DE∥CA交BA的延长线于点E．（I）求证：DE2=AE•BE；（Ⅱ）若直线EF与⊙O相切于点F，且EF=4，EA=2，求线段AC的长．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】证明题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】（Ⅰ）推导出△AED∽△DEB，由此能证明DE2=AE•BE．（Ⅱ）由切割线定理得EF2=EA•EB，由DE∥CA，得△BAC∽△BED，由此能求出AC．【解答】证明：（Ⅰ）∵AD是⊙O的切线，∴∠DAC=∠B，∵DE∥CA，∴∠DAC=∠EDA，∴∠EDA=∠B，∵∠AED=∠DEB，∴△AED∽△DEB，∴，∴DE2=AE•BE．解：（Ⅱ）∵EF是⊙O的切线，EAB是⊙O割线，∴EF2=EA•EB，∵EF=4，EA=2，∴EB=8，AB=EB﹣EA=6，由（Ⅰ）知DE2=AE•BE，∴DE=4，∵DE∥CA，∴△BAC∽△BED，∴，∴AC==．【点评】本题考查与圆有关的线段间等量关系的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2016•广州一模）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）在曲线C上求一点D，使它到直线l：，（t为参数，t∈R）的距离最短，并求出点D的直角坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】选作题；数形结合；转化思想；消元法；坐标系和参数方程．【分析】（I）利用可把圆C的极坐标方程化为普通方程．（II）消去参数把直线l的参数方程化为普通方程，求出圆心C到直线l的距离d，得出直线与圆的位置关系即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π），即ρ2=2ρsinθ，化为x2+y2﹣2y=0，配方为x2+（y﹣1）2=1．（2）曲线C的圆心C（0，1），半径r=1．直线l：，（t为参数，t∈R）化为普通方程：﹣y﹣1=0，可得圆心C到直线l的距离d==1=0，∴直线l与圆C相切，其切点即为所求．联立，解得D．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、直线与圆相切问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．（2016•淮南二模）设函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|．（I）当a=1时，求不等式f（x）≥的解集；（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，求实数b的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】（I）当a=1时，利用绝对值的意义求得不等式的解集．（Ⅱ）由题意可得b大于f（x）的最大值．再根据绝对值的意义可得f（x）的最大值为+，可得实数b的范围．【解答】解：（I）当a=1时，不等式f（x）≥，即|x+1|﹣|x|≥，即数轴上的x对应点到﹣1对应点的距离减去它到原点的距离大于，而﹣0.25对应点到﹣1对应点的距离减去它到原点的距离正好等于，故|x+1|﹣|x|≥的解集为{x|x≥﹣0.25}．（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，即f（x）＜b恒成立，则b大于f（x）的最大值．函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|表示数轴上的x对应点到﹣对应点的距离减去它到对应点的距离，故f（x）的最大值为+，故实数b＞+．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．参与本试卷答题和审题的老师有：sllwyn；沂蒙松；w3239003；caoqz；lincy；zlzhan；changq；炫晨；qiss；洋洋；zhczcb；豫汝王世崇；whgcn；双曲线；刘长柏；maths；sxs123（排名不分先后）菁优网2017年3月12日考点卡片1．交集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A ∩B．符号语言：A∩B={x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算形状：①A∩B=B∩A．②A∩∅=∅．③A∩A=A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B=A⇔A⊆B．⑥A∩B=∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（CUA）=∅．⑧CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB）．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．2．命题的真假判断与应用【知识点的认识】判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1=0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．。
【原创】广州市2016届高三下学期高考数学模拟试题精选汇总： 三角函数02 Word版含答案
三角函数02填空题1．试题）已知函数，给出下列四个说法：①若，则； ②的最小正周期是； ③在区间上是增函数； ④的图象关于直线对称． 其中正确说法的序号是______.2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若222+=2012a b c ，则(+)t a nAt a nBt a n C t a nA t a nB 的值为 ；3．函数()=(+)(,,f x Asin x A ωϕωϕ为常数，A>0, ω>0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是 ；4．函数()sin(2)3f x x π=-(x ∈R)的图象为C,以下结论中: ①图象C 关于直线1112x π=对称; ②图象C 关于点2(,0)3π对称;③函数f(x)在区间5(,)1212ππ-内是增函数; ④由3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C. 则正确的是 .(写出所有正确结论的编号)5．已知3sin cos 8x x =,且(,)42x ππ∈,则cos sin x x -=_________. 6．在△ABC 中，若sinA=2sinBcosC 则△ABC 的形状为________。
三、解答题7． 已知函数.（1）求函数图象的对称轴方程； （2）求的单调增区间. （3）当时,求函数的最大值，最小值.8． 如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于两点．已知的横坐标分别为．（1）求的值；（2）求的值．9．设函数22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为23π. (Ⅰ)求ω的值; (Ⅱ)求()f x 在区间-63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的值域; (Ⅲ)若函数()y g x =的图像是由()y f x =的图像向右平移2π个单位长度得到,求()y g x =的单调增区间.答案填空题1. 【答案】③④【解析】函数1()sin cos sin 22f x x x x ==，若12()=()f x f x -，即1211sin 2=sin 222x x -，所以12sin 2=sin 2x x -，即12sin 2=sin(2)x x -，所以122=22x x k π-+或122=22,x x k k Z ππ-+∈，所以①错误；2,ω=所以周期2T ππω==，所以②错误；当44x ππ-≤≤时，222x ππ-≤≤，函数递增，所以③正确；当34x π=时，313131()sin 2)=sin =424222f πππ=⨯-（为最小值，所以④正确。
2016年广东省广州市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
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D．[
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9． （5 分） 一个六棱柱的底面是正六边形， 侧棱垂直于底面， 所有棱的长都为 1， 顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ A．20π B． C．5π ） D．
10． （5 分）已知下列四个命题： p1：若直线 l 和平面 α 内的无数条直线垂直，则 l⊥α； p2：若 f（x）＝2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）＝﹣f（x） ； p3：若 ，则∃x0∈（0，+∞） ，f（x0）＝1；
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之 和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（
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）
A．2017×22015
B．2017×22014
C．2016×22015
D．2016×22014
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13． （5 分）一个总体中有 60 个个体，随机编号为 0，1，2，…59，依编号顺序 平均分成 6 个小组，组号为 1，2，3，…6．现用系统抽样方法抽取一个容量 为 6 的样本，若在第 1 组中抽取的号码为 3，则在第 5 组中抽取的号码 是 ． （a＞0，b＞0）的左顶点为 A，右焦点为 ，则双曲线 C 的离心率为 ．
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19． （12 分）如图，四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形，AC∩BD＝ O，A1O⊥底面 ABCD，AB＝AA1＝2． （I）证明：平面 A1CO⊥平面 BB1D1D； （Ⅱ）若∠BAD＝60°，求二面角 B﹣OB1﹣C 的余弦值．
20． （12 分）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，左顶点为 A，左焦 点为 F1（﹣2，0） ，点 B（2， ）在椭圆 C 上，直线 y＝kx（k≠0）与椭圆 C
广东省广州市2016年普通高中毕业班模拟考试理科数学试题(含详细答案)
1 / 17广东省广州市2016年普通高中毕业班模拟考试理科数学试题2016.1注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）若全集U=R ，集合124xAx ，10B x x ，则U A B I e ＝（A ）12x x （B ）01x x（C ）01x x（D ）12x x （2）已知,a bR ，i 是虚数单位，若i a 与2i b 互为共轭复数，则2i=a b （A ）3+4i （B ）5+4i（C ）34i （D ）54i（3）下列说法中正确的是（A ）“(0)0f ”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件（B ）若20:,10p x xx R ，则2:,10p x xx R （C ）若p q 为假命题，则p ，q 均为假命题（D ）命题“若6，则1sin2”的否命题是“若6，则1sin2”（4）已知f x 在R 上是奇函数,且满足4f xf x,当0,2x 时,22f xx ，则7f （A ）2（B ）2（C ）98（D ）98（5）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（A ）22，（B ）40，（C ）44，（D ）08，（6）各项均为正数的等差数列n a 中，3694a a ，则前12项和12S 的最小值为（A ）78（B ）48（C ）60（D ）72开始x=1，y=1，k=0s =x -y ，t=x+yx=s ，y=tk=k+1k ≥3输出(x ，y)结束是否。
【原创】广州市2016届高三下学期高考数学模拟试题精选汇总：导数02 Word版含答案
导数021．已知函数f(x)=aln(e x+1)-(a+1)x,g(x)=x 2-(a-1)x-f(lnx), a ∈R,且g(x)在x=1处取得极值.(1)求a 的值;(2)若对0≤x ≤3, 不等式g(x)≤|m-1|成立,求m 的取值范围;(3)已知∆ABC 的三个顶点A,B,C 都在函数f(x)的图像上,且横坐标依次成等差数列,讨 论∆ABC 是否为钝角三角形,是否为等腰三角形.并证明你的结论.2．已知函数f(x)=(x 2+ax-2a 2+3a)e x(x ∈R),其中A ∈R.(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率; (2)当a ≠2/3时,求函数f(x)的单调区间与极值.3．已知函数f （x ）=21ax 2-（2a+1）x+2lnx(a ∈Ｒ). （1）若曲线y=f （x ）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a 的值； （2）求f （x ）的单调区间；（3）设g （x ）=x 2-2x ，若对任意x 1∈（0，2]，均存在x 2∈（0，2]，使得f （x 1）<g （x 2），求a 的取值范围。
4．设函数()ln af x x x x=+,32()3g x x x =--. (Ⅰ)讨论函数()()f x h x x=的单调性;(Ⅱ)如果存在12,[0,2]x x ∈,使得12()()g x g x M -≥成立,求满足上述条件的最大整数M ;(Ⅲ)如果对任意的1,[,2]2s t ∈,都有()()f s g t ≥成立,求实数a 的取值范围.5．设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a>0.(1)求f(x)的单调区间;(2)当x>0时,证明不等式:x x +1<ln(x+1)<x;(3)设f(x)的最小值为g(a),证明不等式:-1<ag(a)<06．已知函数ln () 1.xf x x=- (1)求函数()f x 的单调区间;(2)设0m >,求函数()f x 在[,2]m m 上的最大值; (3)证明:对*∀∈n N ,不等式22ln()e n nn n++<恒成立7．已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).ag x a x+=-∈ （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；(Ⅲ)若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，求a 的取值范围.8．已知函数x x ppx x f ln )(--=，)21(ln )(22p e e x p x x g -+-=，其中无理数e=2.71828…. （1）若p=0，求证：x x f -≥1)(；（2）若)(x f 在其定义域内是单调函数，求p 的取值范围；（3）对于在区间（1,2）中的任意常数p ，是否存在00>x 使得)()(00x g x f ≤成立？若存在，求出符合条件的一个x 0；若不存在，请说明理由.参考答案2. （1）解:.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a xx =+===，故，时，当 .3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线=（2）[].42)2()('22x e a a x a x x f +-++=解：.2232.220)('-≠-≠-=-==a a a a x a x x f 知，由，或，解得令 以下分两种情况讨论。
广东省六校联盟2016届高考数学模拟试题(A卷)理
2016届“六校联盟”高考模拟 理 科 数 学 试 题 (A 卷)本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0．5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、某某和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0．5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+； 如果事件A B 、相互独立，那么()()()P AB P A P B =； 若球的半径为R ，则球的表面积为24R S π=，体积为334R V π=． 一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．如果复数)()2(R a i ai ∈+的实部与虚部互为相反数，则a 的值等于（ ） A ．1- B ．1 C ．2- D ．2 2.下列命题中，是真命题的是（ ）A ．00,0xx R e ∃∈≤B ．2,2xx R x ∀∈>C ．已知,a b 为实数，则0a b +=的充要条件是1ab=- D ．已知,a b 为实数，则1,1a b >>是1ab >的充要条件3．(某某中学第6题)在等比数列{}n a 中，首项11a =，且3454,2,a a a 成等差数列，若数列{}n a 的前n 项之积为n T ，则10T 的值为（ ）A.921-B.362C.1021-D.4524．在平面直角坐标系中,不等式组22x y x ≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩表示的平面区域的面积是（ ）A ．82B ．8C ．42D ．45．定义行列式运算：,32414321a a a a a a a a -=将函数3cos ()1 sin xf x x=的图象向左平移m 个单位(0)m >，若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是（ ）A ．32πB ．3πC ．8πD ．π65 6.已知边长为23的菱形错误!未找到引用源。
2016年广州市普通高中毕业班模拟考试(理科数学)试题
2016年广州市普通高中毕业班模拟考试理科数学注意事项：1 •本试卷分第I 卷(选择题)和第n 卷(非选择题)两部分•答卷前，考生务必将自己的姓名、准 考证号填写在答题卡上.2 •回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑•如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3 .回答第n 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4 •考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷一•选择题：本大题共 12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1)若全集 U= R ，集合 A ={x1<^2 <4^, B={xx —1 畠o}，贝V Al e u B =(2) (3) (A) 已知 (A) (B) {x 0 V X 兰1} (C) {xOcxc1}a,b ・R , i 是虚数单位，若a-i 与2 bi 互为共轭复数，则3+4i (B) 5+4i (C ) 3 — 4iF 列说法中正确的是(A) “ f (0) = 0 ”是“函数 f (x)是奇函数”的充要条件 (B)若 p: x^ R ,x f -x °2-10，则—p : —X R , x 一 x -1 ：： 0(C ) 若p q 为假命题，则 p , q 均为假命题2a bi =(D) 5-4iji，则 sin ：■ 6 (4)已知f x 在R 上是奇函数，且满足f x 4 = f x ,当 时，f x =2x 2，则 f 7 二(A )2(C ) -98(D)i 1命题―二，则s 「H ”的否命题是“若J ”2 x 0,2(5) 执行如图所示的程序框 图，输出的结果为(A) -2 , 2(C ) -4 , -4(6) (7) (B ) -2 (D) 98(B) -4 , 0(D )0 , - 8各项均为正数的等差数列'a n 』中，a 4a 9 = 36，则前12项和^2的最小值为(A) 78 (C ) 60(B) (D) 48 72一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为的直角三角形，俯视图是半径为 1的四分之一圆周和两条半径，则这个几何体的体积为(C )旦43(C )-5工2x -y-2 冬 0,X(9)若实数x, y 满足约束条件 2x ・y-4_0,贝V的取值范围是y.八2,ABC 的三个顶点 A , B , C 的坐标分别为 0,1 , -.2,0 , 0,-2 , O 为坐标原点，动点P 满uir uin uin=1,贝U OA+OB +OP 的最小值是(A) z --；3 -1(B ) ■： 11-1第口卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须做答. 第22题 第24题(A)旦12⑻已知八|2 -，函数 f(x)二sin( .X ：)( • .0)的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于f4的值为(A) 一35(D )(A) |2(B )丄,3 IL 2 2(C) _|'2(D ) 1.1,2 1(10)过双曲线2X ~2 a2b % 0,b 0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点uir uir若FB =2FA ，则此双曲线的离心率为(B ) .3(C ) 2(D )..5(11)将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有(A ) 150种(B ) 180 种 (C ) 240 种 (D ) 540 种(12)已知uir 足CP (D 11为选考题，考生根据要求做答.•填空题：本大题共 4小题，每小题5分.1(13)已知向量a , b 满足| b |=4 , a 在b 方向上的投影是 ，则^b =2(15)、、x 展开式中的常数项为180,则a 二•I X 丿(16)已知y = f x 为R 上的连续可导函数，且 xr x f x \ >0，则函数g x j ；二xf x 1 x 0的零点个数为 ____________ •三•解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分12分)设S n 为数列江？的前n 项和，已知a^2，对任意n N *，都有2&二n 1 a n • (i )求数列江？的通项公式；「4〕 1 (n)若数列的前n 项和为T n ,求证： T n ：：： 1 .l a n (an +2)J2(18) (本小题满分12分)如图，在三棱柱 ABC -ABQ 中，侧棱 AA 1 _ 底面 ABC , AB = AC =2从,■ BAC =120 , D, D 1 分别是线段BC,B 1C 1的中点，过线段AD 的中点P 作BC 的平行线，分别交AB , AC 于点M , N •(I)证明：MN _ 平面 ADD 1A 1 ； (n)求二面角 A - A 1M -N 的余弦值.(19) (本小题满分12分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上•其中，不足80的年份有(14) 1 ,■ p ■,已知逸―3，则sin 「10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年•将年入流量在以上三段的频(I)求证：BC CE 二 AD DB ；率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.(I)求在未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率; (n)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系；年入流量X 40仆 c8080 兰 X 「20X >120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台发电机年利润为 5000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？(20) (本小题满分12 分)M 到点Q 0,3的距离的最大值为4. (I)求椭圆C 1的方程；(n)设A o,丄，N 为抛物线C 2： y =x 2上一动点，过点 N 作抛物线C ?的切线交椭圆 G 于B , I 16丿C 两点，求 ABC 面积的最大值.(21) (本小题满分12分)已知函数f x =e x -ax ( e 为自然对数的底数，a 为常数)在点 0,1处的切线斜率为-1.(I)求a 的值及函数f x 的极值； (n)证明：当 x 0时，x 2 :: e x ；(III )证明：对任意给定的正数 c ,总存在x 0，使得当xw 〔x 0, •二，恒有x 2 :: ce x .请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分•做答时请写清题号.(22) (本小题满分10分)选修4 — 1:几何证明选讲如图• ACB =90 , CD _ AB 于点D ，以BD 为直径的圆O 与BC 交于点E .在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆2xC i ：—2a,且椭圆C 1上一点4(n)若BE =4，点N 在线段BE 上移动，.ONF =90°,NF 与e O 相交于点F ，求NF 的最大值.i x = t 1,x = a COST ，在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线C 1:( t 为参数)与曲线 C 2:U 为』= 1-2t, = 3s in 日参数，a 0).(I)若曲线C 1与曲线C 2有一个公共点在 x 轴上，求a 的值；(24)(本小题满分10分)选修4 — 5:不等式选讲(I)求实数m 的值;(n)若〉，L ： 一1, f G ) f ( ^ =4，求证:2016年广州市普通高中毕业班模拟考试理科数学答案及评分参考评分说明：1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内 容比照评分参考制订相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，(23)(本小题满分10分)选修4 — 4:坐标系与参数方程(n)当a =3时，曲线 G 与曲线C 2交于A ,B 两点，求A , B 两点的距离.已知定义在 R 上的函数f x =|x-m|，|x|.m 三N *，存在实数x 使f(x)：：：2成立.-3.可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答 有较严重的错误，就不再给分.3 .解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4 .只给整数分数.选择题不给中间分. •选择题 (1) C (2) A (3) D (4) B (5) B (6) D (7) A(8) B(9) B(10) C(11) A(12) A填空题(13) 2(14) 一？(15)2或-2(16) 09（其中第 15题中， 答对2个给5分， 答对1个给 3分）三•解答题（17）证明：（I ）因为 2S n =[n 1 a n , (1)当 n _ 2 时，2S n 」=na nJ ,两式相减，得 2a n =：[n ，1 a n -na n 」, .......................................... 2分 即 n -1 a n =na n ,所以当n _2时，鱼=也. .................................................. 3分n n -1所以色=色. .............................................. 4分n 1因为a^2，所以an =2n . .................................................................................... 5分(n)因为 a n = 2n ,■i扛川 ＞九1 1因为肓o 所以1一肓".所以b n4 2n(2n 2)1 1 1 ........................................................................................ n(n -1) n n 110分11分51 *因为f n在N 上是单调递减函数，n +11 *所以1在N 上是单调递增函数.n 11所以当n =1时，T n 取最小值- ..... .......................................... 11分21所以一＜T n -：1. ..................................................................................... 12 分2(18) (I)证明：因为 AB 二AC , D 是BC 的中点，所以，BC _ AD . 因为M , N 分别为AB , AC 的中点，所以MN^BC . ........................................... 1分所以MN _ AD • ............................................................................. 2分因为AA _平面ABC , MN 二平面ABC ，所以AA^ MN ............ ..................................... 3分 又因为AD, AA|在平面ADD 1A 内,且AD 与AA|相交, 所以MN —平面ADD 1A ...... ..............................(n)解法一：连接AP ,过A 作AE_AP 于E ,过E 作EF _ AM 于F ,连接AF . 由(I)知，MN _平面AEA 1, 所以平面AEA _平面AMN . 所以AE _平面AMN ,则AM _ AE . 所以AM _平面AEF ,则AM _ AF .故• AFE 为二面角A -AM -N 的平面角(设为二).设 AA 1 =1,则由 AB =AC =2^^ BAC =120",有 BAD =60" , AB =2, AD =1. 又P 为AD 的中点，贝U M 为AB 的中点，所以 AP75在 RtLAAf , AP ，在 RtL^AM 中，AM2从而 AE-g^’A—AA^ 公5AM2APAM10分AF二丄 AM -1 .2「2.3x 2 = 0.所以 AM =1亠,丄,1 , AA = (0,0,1 ), NM =(伍0,0 )•设平面AA i M 的法向量为 厲二为，％,乙,(X , %, Z1 )• —, — ,1 — 0, 故有殳 ° 2 2所以m 二1,「3,0是平面ARM 的一个法向量. 设平面A1MN 的法向量为“2 = X 2,y 2,Z 2 ,从而A "取『2=2，则Z-1,因为.AFE 为锐角,则 A 0,0,0 , A 0,0,1 . 因为P 为AD 的中点，所以M , N 分别为AB, AC 的中点，故像,讣| 卑1〕,BB i* A 1A = 0,(花畀，乙)・(0,0,1 ) = 0.从而孑x牛ViZ 1=0.0,取 x 1 = 1,则 _. 3 ,2 '22 ‘2-1『-1n 2 _ AM ,n 2 *A|M =0,则21即2n 2 — NM ,n 2 *NM =0,故有｛"沁)・1亍』严X 2,y 2,Z 2 …3,0,0 =0.设二面角A-AM -N 的平面角为 X 又二为锐角,1,- 3,o . 0,2, -1152•屆-510 1(19)解：(I )依题意 R =P(40 : X ：：：80)：50535751P 2 =P(80 乞 X 乞120), P 3=P(X 120). .................................. 3 分50 1050 10由二项分布，在未来 4年中至多有1年入流量超过120的概率为：(n)记水电站年总利润为 Y (单位：万元)① 安装1台发电机的情形:对应的年利润 Y=5000, EY = 5000 1 =5000 -② 安装2台发电机的情形：当40：：：X : 80时，一台发电机运行，此时 Y =5000-800 = 4200, 因此 P(Y =4200) =P(40 VX £80) = P =0.2 .当X -80时，两台发电机运行，此时 Y=5000 2 =10000, 因此 P(Y =10000) =P(X _80)=F 2 P 3 ^0.8 . 所以Y 的分布列如下：Y4200 10000所以亚二0,2, -1是平面AMN 的一个法向量.10分贝y COST讥| ..........................ii 分故二面角 12分f 9 "4—0(54+斯一职十J+4沧〕 110丿 1109477 10000= 0.9477 .由于水库年入流量总大于 40,所以至少安装1台.由于水库年入流量总大于 40,所以一台发电机运行的概率为1,A —AM -N 的余弦值为4P0.2 0.8所以 EY=4200 0.2 10000 0.8=8840. ......................................................... 9 分③ 安装3台发电机的情形：当 40 ：：： X :：: 80 时，一台发电机运行，此时 Y =5000 -800 2 =3400 , 因此 P(Y =3400) = P(40<X c80) = R = 0.2 .当80岂X <120时，两台发电机运行，此时 Y =5000 2-800 = 9200, 此时 P(Y =9200) = P(80 乞 X 乞 120) = p 2 = 0.7 . 当X 120时，三台发电机运行，此时y=5000 3 =15000,因此 P(Y =15000) =P(X 120) =p 3 =0.1. 所以Y 的分布列如下：Y 3400 9200 15000 P0.20.70.1所以 EY =3400 0.2 9200 0.7 15000 0.1 =8620. 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装2台发电机.2 2则椭圆方程为与=1,即x 2，4y 2 =4b 2 .4b 2 b 2设 M (x, y)，贝y MQ| = J(x_0)2 +(y_3)2 = J4b 2 _4y 2 十(y _3)2=-3y 2 -6y 4b 2 9 = -3(y 1)2 4b 2 12 . .................................................. 3 分当y =「1时，|MQ|有最大值为，4b 2.12 =4 . .......................................................... 4分 解得 b 2 = 1，则 a 2 = 4.2所以椭圆 G 的方程是 — y 2 =1 . .................................................................. 5分11分 12分(20)解:(I)因为e 2，所以 a 2 =4b 2 .. ...............................................4c 22a(n)设曲线 C : y=x 2上的点N(t,t 2)，因为y =2x ,所以直线BC 的方程为：y-t 2 =2t(x-t),即y=2tx-t 2.2将①代入椭圆方程才八1中整理,得(1 16t 2)x 2 -16t 3x 4t 4 —4 = 0 .3 22442则有.=-(16t ) -4(1 16t )(4t -4)=16(-t16t 1).34口 16t4t -4且 x 1 x 22 , x-j x 2 2 1 16t 2 1 16t 2所以 | BC |=、1 4t 2 |捲-X 2 |= 1 4t 2(为 X 2)2 -4X 1X 24 .. 1 4t\ -t 4 16t 2 11 16t 221 +16t 2设点A 到直线BC 的距离为d ,则d = 16 J1 + 4t 211 4J1 +4t2 J —t 4 +16t 2 +1 1+16t 2所以=ABC 的面积BC|d=丄* 1• ' = 22 1+16t 216/^4t^1 16t2 10分叮二厂16厂1叮m 罟-当t = ±2J2时取到“=”,经检验此时心＞0，满足题意. 11分综上，「ABC 面积的最大值为 一65812分(21)(1)解：由 f (x) = e x -ax ，得 f '(x) = e x -a . 因为 f (0) =1 -a = -1,所以 a = 2. 所以 f (x) =e x _2x , f '(x)二 e x - 2 .令 f'(x) = 0,得 x =1 n2 . ................................................................... 2 分 当x l n2时,f '(x) <0, f (x)单调递减；当x l n2时,f '(x)0, f (x )单调递增所以当x=l n2时，f(x)取得极小值，且极小值为f (l n2)=e ln2-2l n2 = 2-l n4, f(x)无极大值.(n)证明：令 g(x)=e x -x 2,则 g'(x)=e x -2x .由( I )得 g'(x)二 f(x) _ f(ln2)0,故 g(x)在 R 上单调递增.所以当 x 0时，g(x) g(0) =10，即 x 2 :：: e x .（川）证明一：①若c _1,则e x <ce x . .................................................................................. 7分由（n ）知，当 x 0时，x 2 ::: e x .所以当 x 0时，x 2 ：：：ce x .2x取x ° =0,当x •（心•：：）时，恒有x :: ce ....................................................................... 8分1②若 0 ：：： c ：：： 1,令 k 1, ....................................................................... 9 分c要使不等式x 2 ::: ce x 成立，只要e x kx 2成立.x22而要使e - kx 成立，则只要 x • In(kx ),只要x 2ln x • In k 成立.2 x —2 令 h(x) = x —2ln x — ln k ,贝U h'(x) =1 — — = .x x所以当x 2时,h'(x) 0,h(x)在(2,：：)内单调递增. 取X 。
2016年广州市普通高中毕业班模拟考试理科数学试题及参考答案
2016年广州市普通高中毕业班模拟考试理科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)若全集U=R ,集合{}124xA x =<<,{}10B x x =-≥,则U A B I ð＝(A){}12x x << (B){}01x x <≤ (C){}01x x << (D){}12x x ≤< (2)已知,a b ∈R ,i 是虚数单位,若i a -与2i b +互为共轭复数,则()2i =a b +(A)3+4i (B)5+4i (C)34i - (D)54i - (3)下列说法中正确的是(A)“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件(B)若2000:,10p x x x ∃∈-->R ,则2:,10p x x x ⌝∀∈--<R(C)若p q ∧为假命题,则p ,q 均为假命题(D)命题“若6απ=,则1sin 2α=”的否命题是“若6απ≠,则1sin 2α≠”(4)已知()f x 在R 上是奇函数,且满足()()4f x f x +=,当()0,2x ∈时,()22f x x =,则()7f =(A) 2 (B)2- (C)98- (D)98 (5)执行如图所示的程序框图,输出的结果为(A)()22-， (B)()40-，(C)()44--，(D)()08-，(6)各项均为正数的等差数列{}n a 中,3694=a a ,则前12项和12S 的最小值为(A)78 (B)48 (C)60(D)72(7)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图与侧视图都是斜边长为2的直角三角形,俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径,则这个 几何体的体积为π(8)已知3sin 5ϕ=,且2ϕπ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，,函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图像 的相邻两条对称轴之间的距离等于2π,则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为 (A)35- (B)45- (C)35 (D)45(9)若实数,x y 满足约束条件220,240,2,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则x y 的取值范围是(A)2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (B)13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (C)3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦(D)[]1,2(10)过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线,垂足为点A ,与另一条渐近线交于点B ,若2FB FA =uu r uu r,则此双曲线的离心率为(C)2(11)将5位同学分别保送到北京大学,上海交通大学,中山大学这3所大学就读,每所大学至少保送1人,则不同的保送方法共有(A) 150种 (B) 180种 (C) 240种 (D)540种 (12)已知ABC ∆的三个顶点A ,B ,C 的坐标分别为())()0,1,0,0,2-,O 为坐标原点,动点P 满足1CP =uu r,则OA OB OP ++uu r uu u r uu u r 的最小值是1111俯视图第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分.(13)已知向量a ,b 满足||4=b ,a 在b 方向上的投影是12,则=a b . (14)已知()1cos 3θ+π=-,则sin 22θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ .(15)102a x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为180,则a = .(16)已知()y f x =为R 上的连续可导函数,且()()0xf x f x '+>,则函数()()1g x xf x =+()0x >的零点个数为___________.三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)设n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知12a =,对任意*n ∈N ,都有()21n n S n a =+.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)若数列4(2)n n a a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为nT ,求证:112n T ≤<.(18)(本小题满分12分)如图,在三棱柱11ABC A B C -中,侧棱1AA ⊥底面ABC ,12AB AC AA ==,120BAC ∠=,1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点,过线段AD 的中点P 作BC 的平行线,分别交AB ,AC 于点M ,N . (Ⅰ)证明:MN ⊥平面11ADD A ； (Ⅱ)求二面角1A A M N --的余弦值.ABCDPMN A 1B 1C 1D 1(19)(本小题满分12分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量X (年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.(Ⅰ)求在未来4年中,至多1年的年入流量超过120的概率；(Ⅱ)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制,并有如下关系；若某台发电机运行,则该台发电机年利润为5000万元；若某台发电机未运行,则该台发电机年亏损800万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台？(20)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆221221x y C a b +=：()1a b >≥的离心率2e =,且椭圆1C 上一点M到点()30，Q 的距离的最大值为4. (Ⅰ)求椭圆1C 的方程；(Ⅱ)设1016A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,N 为抛物线22x y C =：上一动点,过点N 作抛物线2C 的切线交椭圆1C 于B ,C 两点,求ABC ∆面积的最大值.(21)(本小题满分12分)已知函数()e xf x ax =-(e 为自然对数的底数,a 为常数)在点()0,1处的切线斜率为1-.(Ⅰ)求a 的值及函数()x f 的极值； (Ⅱ)证明:当0>x 时,2e xx <；(III)证明:对任意给定的正数c ,总存在0x ,使得当()∞+∈，0x x ,恒有2e xx c <.请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.(22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图90ACB ∠=︒,CD AB ⊥于点D ,以BD 为直径的圆O 与BC 交于点E . (Ⅰ)求证:BC CE AD DB ⋅=⋅；(Ⅱ)若4BE =,点N 在线段BE 上移动,90ONF ∠=o,NF 与O e 相交于点F ,求NF 的最大值.(23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,已知曲线1C :1,12x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)与曲线2C :cos 3sin x a y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数,0a >).(Ⅰ)若曲线1C 与曲线2C 有一个公共点在x 轴上,求a 的值；(Ⅱ)当3a =时,曲线1C 与曲线2C 交于A ,B 两点,求A ,B 两点的距离.(24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知定义在R 上的函数()||||f x x m x =-+,*m ∈N ,存在实数x 使()2f x <成立. (Ⅰ)求实数m 的值；(Ⅱ)若,1αβ≥,()()4f f αβ+=,求证:413αβ+≥.2016年广州市普通高中毕业班模拟考试理科数学答案及评分参考评分说明:1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数.选择题不给中间分.一.选择题(1)C (2)A (3)D (4)B (5)B (6)D (7)A (8)B(9)B(10)C(11)A(12)A二.填空题(13)2(14)79-(15)2或2-(16)0(其中第15题中,答对2个给5分,答对1个给3分)三.解答题(17)证明:(Ⅰ)因为()21n n S n a =+,………………………………………………………………1 分当2≥n 时,112n n S na --=,两式相减,得()121n n n a n a na -=+-, ………………………………………………………2 分 即()11n n n a na --=, 所以当2≥n 时,11n n a a n n -=-. ………………………………………………………3分 所以11n a a n =. ………………………………………………………4分 因为12a =,所以2n a n =. ………………………………………………………5 分 (Ⅱ)因为2n a n =,4(2)n n n b a a =+,*∈N n ,所以41112(22)(1)1n b n n n n n n ===-+++. ………………………………………………………7分所以12n n T b b b =+++1111112231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭=1111n n n -=++. ………………………………………………………9分 因为101n >+,所以1111n -<+.………………………………………………………10 分 因为()11f n n =+在*N 上是单调递减函数,所以111n -+在*N 上是单调递增函数.所以当1n =时,n T 取最小值21. ………………………………………………………11 分所以112n T ≤<. ………………………………………………………12 分(18)(Ⅰ)证明:因为AB AC =,D 是BC 的中点,所以,BC AD ⊥.因为M ,N 分别为AB ,AC 的中点,所以MN BC . ……………………………………1 分所以MN AD ⊥. ………………………………………………………2分因为1AA ⊥平面ABC ,MN ⊂平面ABC ,所以1AA ⊥MN .…………………………………3分又因为1,AD AA 在平面11ADD A 内,且AD 与1AA 相交, 所以MN ⊥平面11ADD A . ………………………………………………………4 分(Ⅱ)解法一:连接1A P ,过A 作1AE A P ⊥于E , 过E 作1EF A M ⊥于F ,连接AF . 由(Ⅰ)知,MN ⊥平面1AEA , 所以平面1AEA ⊥平面1AMN . 所以AE ⊥平面1AMN ,则1A M AE ⊥. 所以1A M ⊥平面AEF ,则1A M ⊥AF .故AFE ∠为二面角1A AM N --的平面角(设为θ). ………………………………………6 分 设11AA =,则由12AB AC AA ==,120BAC ∠=,有60BAD ∠=,2,1AB AD ==.A BCDP M N A 1B 1C 1D 1F E又P 为AD 的中点,则M 为AB 的中点,所以1,12AP AM ==. 在1Rt AA P,1AP =在1Rt A AM 中,1AM =………………………………8 分 从而1155AA AP AE A P ==,1122AA AM AF A M ==. ………………………………………10 分 所以sin AE AF θ==. ………………………………………………………11 分因为AFE ∠为锐角,所以cos 5θ===. 故二面角1AAM N --的余弦值为5. ………………………………………………………12 分 解法二: 设11AA =.如图,过1A 作1A E 平行于11B C ,以1A 为坐标原点,分别以111,AE AD ,1A A 的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系O xyz -(点O 与点1A 重合). ………………5 分 则()10,0,0A ,()0,0,1A .因为P 为AD 的中点,所以,M N 分别为,AB AC 的中点,故11,1,,12222M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以131,12A M ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭,()10,0,1A A =,()3,0,0NM =. (6)分设平面1AAM 的法向量为()1111,,x y z =n , 则1111,,A M A A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 即11110,0,A M A A ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩n n 故有()()()1111111,,,10,2,,0,0,10.x y z x y z ⎧⎫∙=⎪⎪⎪⎨⎝⎭⎪∙=⎩…………………………7分 从而111110,220.x y z z ++=⎪⎨⎪=⎩取11x =,则1y =, 所以()11,=n 是平面1AAM 的一个法向量. ……………………………………………8 分1C设平面1AMN 的法向量为()2222,,x y z =n , 则212,,A M NM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 即2120,0,A M NM ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩n n 故有()())2222221,,,10,22,,0.x y z x y z ⎧⎛⎫∙=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪∙=⎪⎩ ………………………9分从而222210,20.x y z ++=⎨⎪=⎩取22y =,则21z =-, 所以()20,2,1=-n 是平面1AMN 的一个法向量. ……………………………………………10 分 设二面角1A AM N --的平面角为θ,又θ为锐角, 则1212cos θ∙=∙n n n n ………………………………………………………11 分5==. 故二面角1A AM N --. ………………………………………………………12 分(19)解:(I)依题意1101(4080)505P P X =<<==, 2357(80120)5010P P X =≤≤==,351(120)5010P P X =>==. ……………………………3分 由二项分布,在未来4年中至多有1年入流量超过120的概率为:43041343433991C (1)C (1)4101010P P P P ⎛⎫⎛⎫=-+-=+⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……………………………………4 分94770.947710000==.………………………………………………………5分(Ⅱ)记水电站年总利润为Y (单位:万元),由于水库年入流量总大于40,所以至少安装1台. ………………………………………………6 分 ①安装1台发电机的情形:由于水库年入流量总大于40,所以一台发电机运行的概率为1,对应的年利润5000=Y ,500015000EY =⨯=. ……………………………………………7分②安装2台发电机的情形:当8040<<X 时,一台发电机运行,此时42008005000=-=Y , 因此1(4200)(4080)0.2P Y P X P ==<<==.当80≥X 时,两台发电机运行,此时1000025000=⨯=Y , 因此23(10000)(80)0.8P Y P X P P ==≥=+=. 所以Y 的分布列如下:所以42000.2100000.88840EY =⨯+⨯=. ………………………………………………9分 ③安装3台发电机的情形:当8040<<X 时,一台发电机运行,此时500080023400Y =-⨯=, 因此2.0)8040()3400(1==<<==P X P Y P .当12080≤≤X 时,两台发电机运行,此时920080025000=-⨯=Y , 此时7.0)12080()9200(2==≤≤==P X P Y P .当120>X 时,三台发电机运行,此时1500035000=⨯=y , 因此1.0)120()15000(3==>==P X P Y P . 所以Y 的分布列如下:所以86201.0150007.092002.03400=⨯+⨯+⨯=EY . ……………………………………11 分 综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装2台发电机.………………………12 分(20)解:(Ⅰ)因为22222234c a b e a a -===,所以224a b =.……………………………………1 分 则椭圆方程为,142222=+by b x 即22244x y b +=.设),(y x M ,则MQ == 124)1(394632222+++-=++--=b y b y y .……………………3 分当1-=y 时,||MQ 有最大值为41242=+b .………………………………………4分解得21b =,则24a =.所以椭圆1C 的方程是1422=+y x . ………………………………………………………5 分 (Ⅱ)设曲线C :2y x =上的点2(,)N t t ,因为2y x '=,所以直线BC 的方程为:222),(2t tx y t x t t y -=-=-即. ①…………………………6 分将①代入椭圆方程1422=+y x 中整理, 得04416)161(4322=-+-+t x t x t . ………………………………………………………7分则有)116(16)44)(161(4)16(244223++-=-+-=∆t t t t t .且2421232116144,16116t t x x t t x x +-=+=+. 所以2122122124)(41||41||x x x x t x x t BC -++=-+=2242161116414t t t t +++-+=. ………………………………………………………8分 设点A 到直线BC 的距离为d ,则2d =.…………………………………………9 分所以ABC ∆的面积2211||22116S BC d t ==∙+……………10 分== 当22±=t 时取到“=”,经检验此时0>∆,满足题意. …………………………………11 分综上,ABC ∆面积的最大值为865. ………………………………………………………12分(21)(I)解:由()e x f x ax =-,得'()e x f x a =-.因为(0)11f a '=-=-,所以2a =. ………………………………………………………1 分 所以()e 2x f x x =-,'()e 2x f x =-.令'()0f x =,得ln 2x =. ………………………………………………………2 分当ln 2x <时, '()0,()f x f x <单调递减；当ln 2x >时, '()0,()f x f x >单调递增.所以当ln 2x =时, ()f x 取得极小值,且极小值为ln2(ln 2)e 2ln 22ln 4,()f f x =-=-无极大值.………………………………………………………4分(Ⅱ)证明:令2()e x g x x =-,则'()e 2x g x x =-.由(I)得'()()(ln 2)0g x f x f =≥>,故()g x 在R 上单调递增. ……………………………5分 所以当0x >时,()(0)10g x g >=>,即2e x x <. ……………………………………………6 分 (Ⅲ)证明一:①若1c ≥,则e e x x c ≤. ………………………………………………………7分由(Ⅱ)知,当0x >时,2e x x <.所以当0x >时, 2e x x c <.取00x =,当0(,)x x ∈+∞时,恒有2e x x c <. ……………………………………………………8分 ②若01c <<,令11k c =>, ………………………………………………………9 分 要使不等式2e x x c <成立,只要2e x kx >成立.而要使2e x kx >成立,则只要2ln()x kx >,只要2ln ln x x k >+成立.令()2ln ln h x x x k =--,则22'()1x h x x x-=-=. 所以当2x >时, '()0,()h x h x >在(2,)+∞内单调递增.取01616x k =>,所以()h x 在0(,)x +∞内单调递增.又0()162ln(16)ln 8(ln 2)3(ln )5h x k k k k k k k =--=-+-+,易知ln ,ln 2,50k k k k >>>.所以0()0h x >.即存在016x c=,当0(,)x x ∈+∞时,恒有2e x x c <. …………………………11 分综上,对任意给定的正数c ,总存在0x ,当0(,)x x ∈+∞时,恒有2e x x c <. …………………12 分 证明二:对任意给定的正数c ,取0x =, ……………………………………………………8分 由(Ⅱ)知,当0x >时,2e x x >,所以2222e e e 22xx x x x ⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.…………………………10分 当0x x >时,222241e 222x x x x x c c⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 因此,对任意给定的正数c ,总存在0x ,当0(,)x x ∈+∞时,恒有2e x x c <. …………………12分 证明三:首先证明当()0,x ∈+∞时,恒有31e 3x x <. 令()31e 3x h x x =-,则()2e x h x x '=-. 由(Ⅱ)知,当0x >时,2e x x >,从而()0h x '<,()h x 在()0,+∞上单调递减。
广东省广州市普通高中2016届高三下学期综合测试(一)文
2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}11A x x =-≤≤，{}220B x x x =-≤，则AB =（ ）（A ）{}12x x -≤≤ （B ）{}10x x -≤≤ （C ）{}12x x ≤≤ （D ）{}01x x ≤≤ 【答案】D 【解析】试题分析：{}{}22002x x x x x B =-≤=≤≤，所以{}01x x A B =≤≤，故选D ．考点：1、一元二次不等式；2、集合的交集． 2.已知复数3i1iz +=+，其中i 为虚数单位，则复数z 所对应的点在（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】D 【解析】试题分析：()()()()23133321112i i i i i i z i i i i +-+-+-====-++-，所以复数z 所对应的点()2,1Z -，在第四象限，故选D ．考点：1、复数的除法运算；2、复数的几何意义．3.已知函数()2,1,1,1,1x x x f x x x⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩则()()2f f -的值为（ ）（A ）12 （B ）15 （C ）15- （D ）12-【答案】C 【解析】试题分析：()()()22226f -=---=，所以()()()1126165f f f -===--，故选C ． 考点：分段函数求值．4.设P 是△ABC 所在平面内的一点，且2CP PA =，则△PAB 与△PBC 的面积之比是（ ）（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】B 【解析】试题分析：依题意，得C 2P =PA ，设点P 到C A 的距离为h ，所以∆PAB 与C ∆PB 的面积之比是C1121C 2C 2hS S h ∆PAB∆PB PA⋅PA ===P P ⋅，故选B ．考点：三角形的面积． 5.如果函数()cos 4f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为6π，则ω的值为（ ）（A ）3 （B ）6 （C ）12 （D ）24 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得：26πT =，解得：3πT =，因为23ππωT ==，所以6ω=，故选B ． 考点：三角函数的性质．6.执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，则输出k 的值为（ ）（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12【答案】C 【解析】试题分析：第1次运行：2339x =⨯+=，2k =，9100>，否；第2次运行：29321x =⨯+=，4k =，21100>，否；第3次运行：221345x =⨯+=，6k =，45100>，否；第4次运行：245393x =⨯+=，8k =，93100>，否；第5次运行：2933189x =⨯+=，10k =，189100>，是，所以输出10k =．故选C ．考点：程序框图． 7.在平面区域(){},0112x y x y ≤≤≤≤，内随机投入一点P ，则点P 的坐标(),x y 满足2y x ≤的概率为（ ） （A ）14 （B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】A 【解析】试题分析：作出平面区域，如图所示，其中阴影部分符合2y x ≤，其面积为11111224S =⨯⨯=，正方形的面积为111S =⨯=，所以点P 的坐标(),x y 满足2y x ≤的概率是114S S =，故选A ．考点：1、线性规划；2、几何概型． 8.已知()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，若3sin 5α=2πα⎛⎫<<π ⎪⎝⎭，则12f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）（A ）（B ） （C （D【答案】B 【解析】试题分析：因为3sin 5α=，2παπ<<，所以4c o s 5α==-，所以sin 124f ππαα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭34sin coscos sin44525210ππαα=+=⨯-⨯=-，故选B ． 考点：1、同角三角函数的基本关系；2、两角和的正弦公式．9.如果1P ，2P ，…，n P 是抛物线C ：24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，n x ，F是抛物线C 的焦点，若1210n x x x +++=，则12n PF P F P F +++=（ ）（A ）10n + （B ）20n + （C ）210n + （D ）220n +【答案】A 【解析】试题分析：抛物线C 的焦点()F 1,0，准线方程是1x =-，由抛物线的定义得：11F 1x P =+，22F 1x P =+，⋅⋅⋅，F 1n n x P =+，所以1212F F F 1nn x x x n n P +P+⋅⋅⋅+P =++⋅⋅⋅++=+，故选A ．考点：抛物线的定义．10.一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）（A ）20π （B （C ）5π （D 【答案】D 【解析】=R =，所以该球的体积为34V R 3π=343π=⨯=⎝⎭D ． 考点：1、六棱柱的外接球；2、球的体积． 11.已知下列四个命题：1p ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥； 2p ：若()22x x f x -=-，则x ∀∈R ，()()f x f x -=-；3p ：若()11f x x x =++，则()00,x ∃∈+∞，()01f x =； 4p ：在△ABC 中，若A B >，则sin sin A B >．其中真命题的个数是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】B 【解析】试题分析：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥或//l α，所以1p 是假命题；()22x x f x --=-()()22x x f x -=--=-，所以2p 是真命题；由111x x +=+得：0x =，所以3p 是假命题；a b A >B ⇒>2R sin 2R sin sin sin ⇒A >B ⇒A >B ，所以4p 是真命题．故选B ．考点：1、直线与平面的位置关系；2、函数的奇偶性；3、全称命题与特称命题；4、正弦定理．12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（ ）（A ）8+（B ）8+（C ）2+（D ）1224+【答案】A 【解析】试题分析：该四面体是如图中的三棱锥D C -AB ，D B =AB =，1C A =D AB 的底边D A =的表面积是11242422S =⨯⨯+⨯⨯114822+⨯+⨯+A ．考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13.函数()33f x x x =-的极小值为 ． 【答案】2- 【解析】试题分析：()233f x x '=-，令()0f x '=得1x =±，当1x <-或1x >时，()0f x '>，当11x -<<时，()0f x '<，所以当1x =时，函数()f x 有极小值，且极小值是()311312f =-⨯=-．考点：导数研究函数的极值．14.设实数x ，y 满足约束条件230,230,3x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩， 则23z x y =-+的取值范围是 ．【答案】[]6,15- 【解析】试题分析：作出可行域如图所示：由23z x y =-+可得233z y x =+表示的是斜率为23，截距为3z 的平行直线系．当截距最大时，z 最大，当截距最小时，z 最小．当过直线230x y --=与直线230x y +-=的交点()3,0A 时，截距最小，min 2306z =-⨯+=-，当过直线230x y +-=与直线3x =-的交点()3,3B -时，截距最大，()max 233315z =-⨯-+⨯=，所以23z x y =-+的取值范围是[]6,15-． 考点：线性规划．15.已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点为A ，右焦点为F ，点()0,B b ，且0BA BF =，则双曲线C 的离心率为 ．【答案】12【解析】试题分析：由题意得：(),0a A -，()F ,0c ，所以(),a b BA =--，()F ,c b B =-，因为F 0BA⋅B =，所以20b ac -=，因为222b c a =-，所以220c ac a --=，两边同除以2a ，得210e e --=，解得：e =（舍去）或e =． 考点：1、双曲线的简单几何性质；2、平面向量的坐标运算．16.在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥，AC =5CD =,2BD AD =，则AD 的长为 ． 【答案】5考点：余弦定理．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等比数列，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设22log 1n n b a =-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 【答案】（I ）2n n a =；（II ）()16232n n n +T =+-⨯．【解析】试题分析：（I ）设数列{}n a 的公比，由题意列出关于q 的方程，解出q ，进而可得数列{}n a 的通项公式；（II ）先求出数列{}n b 的通项公式，再利用错位相减法可得数列{}n n a b 的前n 项和n T ．试题解析：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ， 因为24a =，所以34a q =，244a q =．…………………………………………1分因为32a +是2a 和4a 的等差中项，所以()32422a a a +=+．……………………2分 即()224244q q +=+，化简得220q q -=．因为公比0q ≠，所以2q =．………………………………………………………4分 所以222422n n n n a a q --==⨯=（*n ∈N ）．…………………………………………5分（Ⅱ）因为2n na =，所以22log 121n nb a n =-=-．所以()212nn n a b n =-．……………………………………………………………7分 则()()231123252232212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-， ①()()23412123252232212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-. ②………………9分①－②得，()2312222222212n n n T n +-=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--……………………………………10分()()()11142221262321212n n n n n ++-=+⨯--=-----，所以()16232n n T n +=+-．……………………………………………………………12分 考点：1、等比数列的通项公式；2、数列求和． 18.（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1． （Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[)45,75内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[)45,65内的概率．【答案】（I ）0.05；（II ）23． 【解析】试题分析：（I ）利用频率分布直方图中所有频率之和等于1可得这些产品质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（II ）先算出落在区间[)45,55，[)55,65，[)65,75内的产品件数，再列举出从6件产品中任意抽取2件产品的基本事件和这2件产品都在区间[)45,65内的基本事件，进而利用古典概型公式可得这2件产品都在区间[)45,65内的概率． 试题解析：（Ⅰ）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ．…………………………1分 依题意得()0.0040.0120.0190.03010421x x x +++⨯+++=，……………3分 解得0.05x =．所以区间[]75,85内的频率为0.05．………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，区间[)45,55，[)55,65，[)65,75内的频率依次为0.3，0.2，0.1． 用分层抽样的方法在区间[)45,75内抽取一个容量为6的样本，则在区间[)45,55内应抽取0.3630.30.20.1⨯=++件，记为1A ，2A ，3A ．在区间[)55,65内应抽取0.2620.30.20.1⨯=++件，记为1B ，2B ． 在区间[)65,75内应抽取0.1610.30.20.1⨯=++件，记为C ．…………………6分 设“从样本中任意抽取2件产品，这2件产品都在区间[)45,65内”为事件M ，则所有的基本事件有：{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}1,A C ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}2,A C ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}3,A C ，{}12,B B ，{}1,B C ，{}2,B C ，共15种．…………………………………………………………………8分事件M 包含的基本事件有：{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B ，共10种．…………10分所以这2件产品都在区间[)45,65内的概率为102153=．………………………12分考点：1、频率分布直方图；2、古典概型；3、分层抽样． 19.（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A BC D -的底面ABCD 是菱形，ACBD O =，1AO ⊥底面ABCD ，21==AA AB ．（Ⅰ）证明：BD ⊥平面1ACO ； （Ⅱ）若60BAD ∠=，求点C 到平面1OBB 的距离．【答案】（I ）证明见解析；（II ． 【解析】试题分析：（I ）由题意可证1D A O ⊥B ，C D O ⊥B ，进而可证D B ⊥平面1C A O ；(II)先将点1B 到平面CD AB 的距离转化为点1A 到平面CD AB 的距离，再利用等积法可得点C 到平面1OBB 的距离．试题解析：（Ⅰ）证明：因为1AO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以1AO ⊥BD ．……………………………………………………………………1分 因为ABCD 是菱形，所以CO ⊥BD ．……………………………………………2分 因为1AO CO O =，1AO ，CO ⊂平面1ACO ， 所以BD ⊥平面1A CO ．……………………………………………………………3分（Ⅱ）解法一：因为底面ABCD 是菱形，ACBD O =，21==AA AB ，60BAD ∠=，所以1OB OD ==，OA OC =4分所以OBC ∆的面积为112212OBC S OB OC ∆==⨯=⨯⨯5分 因为1AO ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ， 所以1AO AO ⊥，11AO ==．………………………………………6分因为11A B 平面ABCD ，所以点1B 到平面ABCD 的距离等于点1A 到平面ABCD 的距离1AO ．…………7分 由（Ⅰ）得，BD ⊥平面1A AC ．因为1A A ⊂平面1AAC ，所以BD ⊥1A A ． 因为11A AB B ，所以BD ⊥1B B ．………………………………………………8分所以△1OBB 的面积为111121212OBB S OB BB ∆=⨯⨯==⨯⨯．……………………9分 设点C 到平面1OBB 的距离为d ， 因为11C OBB B OBC V V --=，所以111133OBB OBC S d S A O D D =gg ．………………………………………………10分所以111212OBC OBBS AO d S ∆∆⋅===所以点C 到平面1OBB的距离为2．……………………………………………12分 解法二：由（Ⅰ）知BD ⊥平面1ACO ， 因为BD ⊂平面11BB D D ，所以平面1ACO ⊥平面11BB D D ．…4分 连接11AC 与11B D 交于点1O ，连接1CO ，1OO ，因为11AA CC =，11//AA CC ，所以11CAAC 为平行四边形． 又O ，1O 分别是AC ，11AC 的中点，所以11OAO C 为平行四边形． 所以111OC OA ==．…………………………………………………………………6分 因为平面11OAO C 与平面11BB D D 交线为1OO ， 过点C 作1CH OO ⊥于H ，则CH ⊥平面11BB D D ．………………………………8分 因为11O CA O ，1AO ⊥平面ABCD ，所以·1O C ⊥平面ABCD ． 因为OC ⊂平面ABCD ，所以·1O C ⊥OC ，即△1OCO 为直角三角形．………10分所以1122O C OC CH OO ⋅===．所以点C 到平面1OBB212分考点：1、线面垂直；2、点到平面的距离． 20.（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为()120F -，，点(B 在椭圆C 上，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在x 轴上是否存在点P ，使得无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（I ）22184x y +=；(II)()2,0或()2,0-．解法二：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=． ①…………………1分因为点(2B 在椭圆C 上，所以22421a b +=． ②…………………2分由①②解得，a =2b =．…………………………………………………3分所以椭圆C 的方程为22184x y +=．………………………………………………4分（Ⅱ）解法一：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A 的坐标为()-．…………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点()00,E x y （不妨设00x >），则点()00,F x y --．联立方程组22,184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22812x k =+．所以0x =0y =6分所以直线AE的方程为y x =+．……………………………7分因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得y =M ⎛ ⎝．……………………8分同理可得点N ⎛ ⎝．…………………………………………………9分 假设在x 轴上存在点(,0)P t ，使得MPN ∠为直角，则0MP NP ⋅=．………10分即20t =，即240t -=．………………………11分解得2t =或2t =-．故存在点()2,0P 或()2,0P -，无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角．…………12分解法二： 因为椭圆C 的左端点为A ，则点A的坐标为()-．……………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点00(,)E x y ，则点00(,)F x y --． 所以直线AE的方程为y x =+．………………………………6分 因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得y =，即点M ⎛⎫⎝．……………………………7分同理可得点N ⎛ ⎝．……………………………………………………8分 假设在x 轴上存在点(),0P t ，使得MPN ∠为直角，则0MP NP ⋅=．即20t =，即222808y t x +=-． （※）…………9分 因为点00(,)E x y 在椭圆C 上，所以2200184x y +=，即220082x y -=．……………………………………………10分将220082x y -=代入（※）得240t -=．………………………………………11分解得2t =或2t =-．故存在点()2,0P 或()2,0P -，无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角．………………12分解法三：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A的坐标为()-．……………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ，设点(),2sin E θθ（0θ<<π），则点(),2sin F θθ--．……6分所以直线AE的方程为y x =+．………………………7分因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得2sin cos 1y θθ=+，即点2sin 0,cos 1M θθ⎛⎫⎪+⎝⎭．………………………………8分同理可得点2sin 0,cos 1N θθ⎛⎫⎪-⎝⎭．………………………………………………………9分假设在x 轴上存在点(,0)P t ，使得MPN ∠为直角，则0MP NP ⋅=．………10分 即22sin 2sin 0cos 1cos 1t θθθθ--+⨯=+-，即240t -=．…………………………………11分解得2t =或2t =-．故存在点()2,0P 或()2,0P -，无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角．………12分考点：1、椭圆的标准方程；2、椭圆的简单几何性质；3、直线与圆锥曲线的位置关系． 21.（本小题满分12分）已知函数()e ln 1x f x m x =--.（Ⅰ）当1m =时，求曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程； （Ⅱ）当1m ≥时，证明：()1f x >. 【答案】（I ）()1y e x =-（II ）证明见解析． 【解析】试题分析：（I ）先代入1m =，对()f x 求导数，再算出()1f '，()1f ，进而可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（II ）先构造函数()ln 2xg x e x =--，再利用导数可得()g x 的最小值，，进而可证当1m ≥时，()1f x >．试题解析：（Ⅰ）解：当1m =时，()e ln 1x f x x =--，所以1()e x f x x'=-．………………………………………………………………1分 所以(1)e 1f =-，(1)e 1f '=-. …………………………………………………2分 所以曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程为(e 1)(e 1)(1)y x --=--． 即()e 1y x =-.………………………………………………………………………3分 （Ⅱ）证法一：当1m ≥时，()e ln 1e ln 1x xf x m x x =--≥--.要证明()1f x >，只需证明e ln 20xx -->.……………………………………4分 以下给出三种思路证明e ln 20xx -->.思路1：设()e ln 2xg x x =--，则1()e x g x x'=-. 设1()e xh x x =-，则21()e 0xh x x'=+>， 所以函数()h x =1()e xg x x'=-在0+∞（，）上单调递增．…………………………6分因为121e 202g ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，(1)e 10g '=->，所以函数1()e xg x x '=-在0+∞（，）上有唯一零点0x ，且01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.…………8分 因为0()0g x '=时，所以01ex x =，即00ln x x =-.………………………………9分 当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>.所以当0x x =时，()g x 取得最小值()0g x ．……………………………………10分 故()000001()=e ln 220xg x g x x x x ≥--=+->． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >.………………………………………………12分 思路2：先证明e 1xx ≥+()x ∈R ．………………………………………………5分 设()e 1xh x x =--，则()e 1xh x '=-．因为当0x <时，()0h x '<，当0x >时，()0h x '>，所以当0x <时，函数()h x 单调递减，当0x >时，函数()h x 单调递增． 所以()()00h x h ≥=．所以e 1xx ≥+（当且仅当0x =时取等号）．………………………………………7分 所以要证明e ln 20xx -->，只需证明()1ln 20x x +-->．……………………………………………………8分 下面证明ln 10x x --≥． 设()ln 1p x x x =--，则()111x p x x x-'=-=． 当01x <<时，()0p x '<，当1x >时，()0p x '>，所以当01x <<时，函数()p x 单调递减，当1x >时，函数()p x 单调递增． 所以()()10p x p ≥=．所以ln 10x x --≥（当且仅当1x =时取等号）．………………………………10分由于取等号的条件不同， 所以e ln 20xx -->．综上可知，当1m ≥时，()1f x >.………………………………………………12分 （若考生先放缩ln x ，或e x、ln x 同时放缩，请参考此思路给分！） 思路3：先证明e ln 2xx ->.因为曲线e x y =与曲线ln y x =的图像关于直线y x =对称，设直线x t =()0t >与曲线e xy =，ln y x =分别交于点A ，B ，点A ，B 到直线y x = 的距离分别为1d ，2d ，则)12AB d d +． 其中1t d =2d =()0t >．①设()e t h t t =-()0t >，则()e 1t h t '=-． 因为0t >，所以()e 10t h t '=->．所以()h t 在()0,+∞上单调递增，则()()01h t h >=．所以1t d =>． ②设()ln g t t t =-()0t >，则()111t g t t t -'=-=．因为当01t <<时，()0g t '<；当1t >时，()0g t '>，所以当01t <<时，()ln g t t t =-单调递减；当1t >时，()ln g t t t =-单调递增． 所以()()11g t g ≥=．所以2d =≥所以)122AB d d +>=⎭． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >.………………………………………………12分证法二：因为()e ln 1x f x m x =--，要证明()1f x >，只需证明e ln 20xm x -->.…………………………………4分以下给出两种思路证明e ln 20xm x -->.思路1：设()e ln 2x g x m x =--，则1()e xg x m x'=-. 设1()e xh x m x =-，则21()e 0xh x m x'=+>． 所以函数()h x =()1e xg x m x'=-在()0+∞，上单调递增．……………………6分因为11221e 2e 202m mg m m m m ⎛⎫⎛⎫'=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1e 10g m '=->，所以函数1()e xg x m x '=-在()0+∞，上有唯一零点0x ，且01,12x m ⎛⎫∈⎪⎝⎭.……8分 因为()00g x '=，所以01ex m x =，即00ln ln x x m =--．……………………9分 当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>.所以当0x x =时，()g x 取得最小值()0g x ．……………………………………10分 故()()000001e ln 2ln 20xg x g x m x x m x ≥=--=++->． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >．………………………………………………12分 思路2：先证明e 1()xx x ≥+∈R ，且ln 1(0)x x x ≤+>．……………………5分 设()e 1xF x x =--，则()e 1x F x '=-．因为当0x <时，()0F x '<；当0x >时，()0F x '>，所以()F x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增． 所以当0x =时，()F x 取得最小值(0)0F =．所以()(0)0F x F ≥=，即e 1xx ≥+（当且仅当0x =时取等号）．……………7分 由e 1()x x x ≥+∈R ，得1ex x -≥（当且仅当1x =时取等号）．………………8分所以ln 1(0)x x x ≤->（当且仅当1x =时取等号）．……………………………9分 再证明e ln 20xm x -->．因为0x >，1m ≥，且e 1xx ≥+与ln 1x x ≤-不同时取等号，所以()()e ln 2112x m x m x x -->+---()()11m x =-+0≥．综上可知，当1m ≥时，()1f x >．………………………………………………12分 考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性；3、利用导数研究函数的最值；4、不等式的证明．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图所示，△ABC 内接于⊙O ，直线AD 与⊙O 相切于点A ，交BC 的延长线于点D ，过点D 作DE CA 交BA 的延长线于点E ．（Ⅰ）求证：2DE AE BE =；（Ⅱ）若直线EF 与⊙O 相切于点F ，且4EF =，2EA =，求线段AC 的长．【答案】（I ）证明见解析；（II ）3．【解析】（I ）利用弦切角定理和D //C E A 证D ∆AE ∽D ∆EB ，进而可证2D E =AE⋅BE ；（II ）先利用切割线定理可得EB 和AB ，利用（I ）的结论可得D E ，再由D //C E A 可得C ∆BA ∽D ∆EB ，进而可得C A ．试题分析：试题解析：（Ⅰ）证明：因为AD 是⊙O 的切线， 所以DAC B ∠=∠（弦切角定理）．………………1分 因为DECA ，所以DAC EDA ∠=∠．……………………………2分 所以EDA B ∠=∠．因为AED DEB ∠=∠（公共角），所以△AED ∽△DEB ．……………………………………………………………3分 所以DE AE BEDE=．即2DE AE BE =．…………………………………………………………………4分 （Ⅱ）解：因为EF 是⊙O 的切线，EAB 是⊙O 的割线，所以2EF EA EB = （切割线定理）．……………………………………………5分 因为4EF =，2EA =，所以8EB =，6AB EB EA =-=．…………………7分 由（Ⅰ）知2DE AE BE =，所以4DE =．………………………………………8分 因为DE CA ，所以△BAC ∽△BED ． ………………………………………9分所以BA ACBEED =．所以6438BA EDAC BE⋅⨯===． …………………………………………………10分考点：1、相似三角形的判定定理；2、弦切角定理；3、切割线定理． 23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρsin 2=，[)0,2θ∈π.（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上求一点D ，使它到直线l：32x y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ）的距离最短，并求出点D 的直角坐标.【答案】（I ）2220x y y +-=（或()2211x y +-=）；（II）32⎫⎪⎪⎝⎭． 【解析】试题分析：（I ）先两边同乘ρ得22sin ρρθ=，再利用222x y ρ=+，sin y ρθ=可得曲线C 的直角坐标方程；（II ）先消去t 可得直线l 的普通方程，再设点D 的坐标，利用垂直可得0x ，进而检验可得点D 的坐标．试题解析：（Ⅰ）解：由θρsin 2=，[)0,2θ∈π，可得22sin ρρθ=．…………………………………………………………………1分 因为222x y ρ=+，sin y ρθ=，…………………………………………………2分所以曲线C 的普通方程为2220x y y +-=（或()2211x y +-=）． …………4分（Ⅱ）解法一：因为直线的参数方程为32x y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t 得直线l的普通方程为5y =+． ……………………………………5分因为曲线C ：()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，设点()00,D x y ，且点D 到直线l：5y =+的距离最短， 所以曲线C 在点D 处的切线与直线l：5y =+平行． 即直线GD 与l 的斜率的乘积等于1-，即(0011y x -⨯=-．………………7分 因为()220011x y +-=，解得02x =-或02x =．所以点D 的坐标为12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………………9分由于点D 到直线5y =+的距离最短，所以点D 的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………………………………10分解法二：因为直线l 的参数方程为32x y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t 得直线l 50y +-=．……………………………………5分因为曲线C ()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，因为点D 在曲线C 上，所以可设点D ()cos ,1sin ϕϕ+[)()0,2ϕ∈π．………7分所以点D 到直线l 的距离为d =2sin 3ϕπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．………………………………8分 因为[)0,2ϕ∈π，所以当6ϕπ=时，min 1d =．…………………………………9分此时D 32⎫⎪⎪⎝⎭，，所以点D 的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………10分 考点：1、极坐标方程与直角坐标方程的互化；2、参数方程与普通方程的互化． 24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数()f x x x =+-． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()12f x ≥的解集； （Ⅱ）若对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，求实数b 的取值范围．【答案】（I ）1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭；（II ）)+∞．【解析】试题分析：（I ）先代入1a =得()1f x x x =+-，写出分段函数，再求解()12f x ≥，进而可得实数x 的取值范围；(II)先由已知条件得()max b f x >⎡⎤⎣⎦，再利用绝对值不等式可得()f x 的最大值，进而利用基本不等式可得实数b 的取值范围． 试题解析：（Ⅰ）解：当1a =时，()12f x ≥等价于112x x +-≥．……………………1分 ①当1x ≤-时，不等式化为112x x --+≥，无解； ②当10x -<<时，不等式化为112x x ++≥，解得104x -≤<；③当0x ≥时，不等式化为112x x +-≥，解得0x ≥．…………………………3分综上所述，不等式()1≥x f 的解集为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．………………………………4分 （Ⅱ）因为不等式()f x b ≥的解集为空集，所以()max b f x >⎡⎤⎣⎦．…………………5分 以下给出两种思路求()f x 的最大值.思路1：因为()f x x x =+- ()01a ≤≤，当x ≤()f x x x =-=0<．当x <时，()f x x x =2x =≤=当x ≥()f x x x =+=所以()max f x ⎡⎤⎣⎦=7分思路2：因为 ()f x x x =x x ≤+==当且仅当x ≥ 所以()max f x ⎡⎤⎣⎦=7分因为对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，所以max b >．………………………………………………………8分以下给出三种思路求()g a =.思路1：令()g a = 所以()21ga =+2212≤++=．=12a =时等号成立． 所以()max g a =⎡⎤⎣⎦所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分思路2：令()g a =因为01a ≤≤，所以可设2cos a θ= 02θπ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭， 则()g a=cos sin 4θθθπ⎛⎫+=+≤ ⎪⎝⎭当且仅当4θπ=时等号成立． 所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分思路3：令()g a =因为01a ≤≤，设x y ìï=ïíï=ïî则221x y +=()01,01x y＃＃．问题转化为在221x y +=()01,01xy ＃＃的条件下，求z x y =+的最大值．利用数形结合的方法容易求得z此时2x y ==．所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分考点：1、绝对值不等式；2、恒成立问题；3、基本不等式．。
广东省六校联盟2016届高考数学模拟试题(A卷)文
2016届“六校联盟”高考模拟 文 科 数 学 试 题 (A 卷)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知全集R U =，102x A xx⎧+⎫=≥⎨⎬-⎭⎩，}{0<=nx l x B ，则A B = A.}{12x x -≤≤ B.}{21<≤-x x C ．}{1x 2x x <-≥或 D ．}{20<<x x2.已知复数(,,0)Z a bi a b R ab =+∈≠且,若(12)Z i -为实数，则b a＝ A.2 B.－2 C.－12 D.123.下列四个函数中，既是偶函数又在),0(+∞上为增函数的是A ．x x y 22-= B ．3x y = C ．21ln x y -= D ．1||+=x y4.A 是半径为2的圆O 内一个定点，P 是圆O 上的一个动点，线段AP 的垂直平分线l 与半径OP 相交于点Q ，则QA OQ ⋅的最大值为 A.1 B.2 C.3 D.45.在2015年全国青运会火炬传递活动中，有编号为1，2，3，4，5的5名火炬手，若从中任选2人，则选出的火炬手的编号不相连的概率为 A ．310 B ．53 C ．710 D ．256.已知3,5a b ==，a 与b 不共线，向量ka b +与ka b -互相垂直，则实数k 的值为 A.53 B.35 C.35± D.53± 7.点(,1)6P π-是函数()sin()(0,)2f x x m ωϕωϕ=++><π的图象的一个对称中心，且 点P 到该图象的对称轴的距离的最小值为4π.①()f x 的最小正周期是π ；②()f x 的值域为[0,2]； ③()f x 的初相ϕ为3π④()f x 在5[,2]3ππ上单调递增.以上说法正确的个数是 A.1B.2C.3D.4x O 4π2π121yxO 4π2π121y xO 4π2π121yx O 4π2π121y ABCD8.已知点P 在以12F F ，为焦点的双曲线()2222100x y a b a b-=>>，上，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，若四边形12F F PQ 为菱形，则该双曲线的离心率为A ．122+ B ．13+ C ．12+ D ．13+9.设y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤--≤-+02301206y x y x y x ,若y ax z +=的最大值为42+a ,最小值为1+a ,则实数a 的取值X 围是A.]2,1[-B.]1,2[-C.]2,3[--D.]1,3[-10.执行如右图所示的程序框图，若输出的9=n ，则输入的整数p 的最小值是 A ．50 B ．77 C ．78 D ．30611.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径长为 A ．4＋43π B ．3C ．4＋23πD ．6 12.如图正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 在线段1BB 和线段11A B 上移动，EAB θ∠=(0,)2πθ∈，过直线,AE AD 的平面ADFE 将正方体分成两部分，记棱BC 所在部分的体积为()V θ，则函数(),(0,)2V V πθθ=∈的大致图像是二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上) 13.如图网格纸上小正方形的边长为l ，粗实线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为___________ 14.函数sin y x =和cos y x =在4x π=处的两条切线与x 轴围成封闭区域D ，点(,)x y D ∈,则2x y +的最小值为______________15．已知,20π≤<a 设函数[]()120162014()sin ,20161x x f x x x a a ++=+∈-+ 的最大值为P ,最小值为Q ,则Q P +的值为_____________．16．CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===∆且的一个三等分点为中在， 则B cos =．三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在正项数列{}n a 、{}n b 中，12a =，14b =，且n a ，n b ，1n a +成等差数列，n b ，1n a +，1n b +成等比数列.（1）证明：{}nb 成等差数列，并求出na，n b ；（2）设11n n c b =-，求数列{}n c 的前n 和n S .18.（本题满分12分）在某次足球比赛中,对甲、乙两队上场的13名球员（包括10名首发和3名替补登场（守门员除外））的跑动距离（单位：km ）进行统计分析，得到的统计结果如茎叶图所示，其中茎表示整数部分，叶表示小数部分.(1)根据茎叶图求两队球员跑动距离的中位数和平均值(精确到小数点后两位),并给出一个正确的统计结论;(2)规定跑动距离为km 0.9及以上的球员为优秀球员,跑动距离为km 5.8及以上的球员为积极球员,其余为一般球员.现从两队的优秀球员中随机抽取2名,求这2名球员中既有甲队球员又有乙队球员的概率.19．（本题满分12分）如图，在多面体EF ABCD -中，,ABCD ABEF 均为直角梯形，2ABE ABC π∠=∠=,DCEF 为平行四边形， 平面DCEF ⊥平面ABCD .（1）求证：DF ⊥平面ABCD ；（2）若ABD ∆是边长为2的等边三角形，且BF 与平面ABCD 所成角的正切值为1,求点E 到平面BDF 的距离.20.（本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 且倾斜角为4π的直线l 被抛物线C 截得的线段长为8.（1）求抛物线C 的方程；（2）已知直线y x =-和抛物线C 交于点,O A ，线段AO 的中点 为Q ，在AO 的延长线上任取一点P 作抛物线C 的切线，两切点分 别为N M ,，直线MQ 交抛物线C 于另一点B ，问直线NB 的斜率0k 是 否为定值？若是，求出0k 的值;若不是，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数()2ln f x x x ax a =-+（R a ∈），其导函数为()f x '．（1）求函数()()()21g x f x a x '=+-的极值；（2）当1x >时，关于x 的不等式()0f x <恒成立，求a 的取值X 围．请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分， 做答时请写清题号.22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，圆M 与圆N 交于B A ,两点，以A 为切点作两圆的切线分别交圆M 和圆N 于D C ,两点，延长DB 交圆M 于点E ，延长CB 交圆N 于点F ．已知10,5==DB BC ．（1）求AB 的长； （2）求DECF ．23.(本小题满分10)选修4—4：坐标系与参数方程极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C 的极坐标方程为2(cos sin )ρθθ=+3的直线l 交y 轴 于点)1,0(E .(1)求C 的直角坐标方程，l 的参数方程；(2)直线l 与曲线C 交于B A ,两点，求EB EA +的值.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数()312f x x x =--的最大值M ． （1）某某数M 的值；（2）求关于x 的不等式M x x ≤++-222的解集．2016届“六校联盟”高考模拟 文科数学试题(A 卷)答案一.选择题:(本题共12小题，每小题5分，共60分.) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BADABDDBBCDC二.填空题:(本大题共4小题，每小题5分，共20分.) 13.4 14.14π- 15.4030 16.76三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）解：（1）由题意可得：12n n n b a a +=+，211n n n a b b ++=⋅，226,9a b ⇒==.......3分0,0n n b a >>2112()(2)n n n n n b b b b b n -+⇒=+≥，112n n n b b b -+∴=+.......4分{}nb ∴成等差数列.........5分121(1)()n b b n b b ∴=+--，2(1)n b n ⇒=+，(1)n a n n =+...........5分（2）21111()(1)122n c n n n ==-+-+， .......9分1111111111(1)232435112n S n n n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-+--++.......11分 1111323(1)221242(1)(2)n n n n n +=+--=-++++.......12分 18.（本题满分12分）解:(1)由茎叶图可知,甲队球员跑动距离的中位数为km 2.8,乙队球员跑动距离的中位数为km 1.8, ..........2分甲队球员跑动距离的平均数为km 35.7132.38.34.43.78.77.72.83.86.88.86.88.91.9≈++++++++++++..3分乙队球员跑动距离的平均数为km 73.7134.43.42.58.76.79.88.85.81.80.88.96.95.9≈++++++++++++..4分由于跑动距离的平均值反映的是两队球员跑动的平均距离,因而可知乙队球员相对甲队球员跑动的更加积极,而从中位数对比可知甲队球员跑动距离的中位数比乙队球员跑动距离的中位数大,因而球员跑动的积极程度不能通过中位数的对比来下结论 ......6分(2)根据茎叶图可知,两队的优秀球员共5名,其中甲队2名,乙队3名.将甲队的2名优秀球员分别记为b a ,,乙队的3名优秀球员分别记为C B A ,,,则从中随机抽取2名,所有可能的结果为BC AC AB bC bB bA aC aB aA ab ,,,,,,,,,共10个 ........9分(3)其中既有甲队球员又有乙队球员(记为事件M )包含的结果为bC bB bA aC aB aA ,,,,,共6个. ........11分 (4)由古典概型的概率计算公式知,所求概率为53106)(==M P . ........12分 19．（本题满分12分）（1）证明：因为2ABE ABC π∠=∠=，所以AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，且BE ⋂BC=B,又AB ⊥ 平面BCE 所以AB CE ⊥………………3分//,//AB CD CE DF ，所以CD DF ⊥………………4分又平面DCEF ⊥ 平面ABCD ，且两平面相交于CD 所以DF ⊥ 平面ABCD .……………………6分（2）由（1）DF ⊥ 平面ABCD ，且BF 与平面ABCD 所成角的正切值为1, 所以1tan =∠FBD ，即2DF BD ==…………………7分在直角梯形ABCD 中，因为ABD ∆是边长为2的等边三角形所以2,1,BD CD BC ===9分//,BDF BDF CE DF CE DF ⊄⊂平面，平面，//BDF CE ∴平面，点E 到平面BDF 的距离即为点C 到平面BDF 的距离，设距离为dC BDF F BDC V V --∴=1133BDF BDC d S DF S ∴⋅⋅=⋅⋅代入计算可得d =12分 20.（本小题满分12分） 解:(1)过点F 且倾斜角为4π的直线2:p x y l -=交抛物线px y 22=于L K , 由)2(22Py p y +=,得0222=--p py y 所以2,2p y y p y y L K L K -=⋅=+ .............2分 所以842==-=p y y KL L K .............3分 所以抛物线方程为x y 42= .............4分(2)联立⎩⎨⎧=-=x y x y 42解得OA A O ),4,4(),0,0(-的中点)2,2(-Q ............5分设点),(m m P -,切点),(),,(2211y x N y x M过M 的切线:)(211x x y y +=,因为切线过),(m m P -,则112))(2(x m y =-+ 同理可知..222))(2(x m y =-+ .........6分两式相除得2221212122y y x x y y ==++化简得))((2)(12211221y y y y y y y y +-=-,而21y y ≠ 所以)(21221y y y y +-=,即22112+-=y y y ...........8分MQ 的方程为:)2(242)2(22221111--+=--+=+x y y x x y y ,联立x y 42= ..........9分 得0)224(2)2(2)24(422112121=---+---+y y y y y y 所以281211+-=+y y y y B ,则2)4(228111121++-=-+-=y y y y y y B 所以1222)4(244111120-=+-+++-=+=y y y y y y k B ...........11分所以直线NB 的斜率为定值. ...........12分21.（本小题满分12分）试题分析：（1）由于()()()21ln 1g x f x a x x x '=+-=-+，所以求不含参数函数的极值，只需求出导函数在定义区间上的零点，并列表分析即可（2）不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为对应函数最值问题：2ln 1x x a x >-的最大值，而2ln ,(1)1x xy x x =>-最大值，可利用导数进行求解：22221(1)ln ,(1)x x xy x --+'=- 令222111(1)ln ,2(2)ln 2ln ,x t x x x t x x x x x x x x+'=--+=--=--则21112ln 0(1)0(1)00(1)2t x t t t t y y y x '''''=-+-<⇒<=⇒<=⇒<⇒<→（洛必达法则）也可分类讨论22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲解：（1）根据弦切角定理，知∠BAC=∠BDA，∠ACB=∠DAB，∴△ABC∽△DBA，则，故．……………4分（2）根据切割线定理，知CA2=CB•CF，DA2=DB•DE，两式相除，得（*）由△ABC∽△DBA，得，，又，由（*）得．……………10分（本小题满分10分）解：（1）由ρ＝2(cosθ＋sinθ)，得ρ2＝2(ρcosθ＋ρsinθ)，即x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1) 2＋(y－1) 2＝2．…………3分l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝ 1 2t ，y ＝1＋32t ．（t 为参数, t ∈R ）……5分 (2)将⎩⎨⎧x ＝ 1 2t ，y ＝1＋32t ．代入(x －1) 2＋(y －1) 2＝2得t 2－t －1＝0， ……7分 解得t 1＝1＋52，t 2＝1－52， ……8分 则|EA|＋|EB|＝| t 1|＋| t 2|＝|t 1－t 2|＝5． ……10分24.（本小题满分10分） 解：（I ）因为a ，b ＞0时，， ……1分所以()()()3123122322x x f x x x -+-=-+-≤=，……3分当且仅当152x =时等号成立．故函数()f x 的最大值……………4分（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得. ………6分所以不等式的解x 即是方程的解． ………7分 由绝对值的几何意义得，当且仅当时，．………9分所以不等式的解集为：…………10分。
广东省广州市2016届高三数学毕业班综合测试试题(二)文(含解析)
2016年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数 学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
1．已知集合{0,1,2}M =,{11,}N x x x =-≤≤∈Z , 则（ ） A ． M N ⊆ B ． N M ⊆ C ．{0,1}M N = D ．M N N =【答案】C【解析】{1,0,1}N =-，∴{0,1}MN =．2．已知(1i)i i(,)a b a b +=+∈R ，其中i 为虚数单位，则a b +的值为（ ） A ． 1- B ． 0 C ．1 D ．2 【答案】B【解析】∵(1i)i i a b +=+，∴1ii a b -+=+，∴1,1a b =-=，0a b +=． 3．已知等比数列{}n a 的公比为12- ）1．2 2=-．435 D ．45123205P ==． 5．执行如图的程序框图，若程序运行中输出的一组数是(),12x -则x 的值为（ ）A ． 27B ． 81C ．243D ．729 【答案】B【解析】由程序框图可知：6．不等式组0,2,22x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥-⎩的解集记为D , 若(,)a b D ∈, 则23z a b =-的最大值是（ ）A ．1B ．4C ．1-D ．4- 【答案】A【解析】不等式组表示的平面区域的角点 坐标分别为(1,1),(2,0),(2,2)A B C ---,1,4,2A B C z z z ==-=-，故选A ．7．已知函数()sin(2)4f x x π=+，则下列结论中正确的是（ ）A ． 函数()f x 的最小正周期为2πsin 2y x =的图象8)的左, 右焦点,点(1,)2A 在椭圆）A ．12 B ．4．23 D ．2【答案】D【解析】∵1242AF AF a +==，∴2a =． ∵点(1,2A 在椭圆C 上,∴213144b +=，∴1b =，c =e =9．已知球O 的半径为R ，,,A B C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC的距离为12R ，2AB AC ==，120BAC ︒∠=, 则球O 的表面积为（ ）A ．169π B ．163π C ．649π D ．643π【答案】D【解析】∵2AB AC ==，120BAC ︒∠=,，∴2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅22122222()122=+-⨯⨯⨯-=，∴BC =设ABC ∆外接圆的半径为r ，则24sin BC r A ===,∴2r =． ∴2221()2R R r =+，得2163R =．∴球O 的表面积为26443R ππ=．10．已知命题p ：*x ∀∈N , 11()()23x x ≥，命题q ：x ∃∈R , 122x x-+=，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝ 【答案】A【解析】由11()()23x x≥，得0x ≥，故命题p 为真命题．∵122xx-+=2202x x+-=， ∴2(2)220x x -+=，∴2(20x =，∴12x =，故命题q 为真命题．∴p q ∧为真命题．11．如图, 网格纸上的小正方形的边长为1, 体的体积是（ ）A ．86π+B ．46π+C ．412π+D ．812π+【答案】A【解析】该几何体为半圆柱和四棱锥组成， 其中，平面PDC ⊥平面ABCD ， ∴ 21143223V r h π=+⨯⨯⨯ 21238862ππ=⨯⨯+=+．12．设函数()f x 的定义域为R , ()(),()(2)f x f x f x f x -==-, 当[0,1]x ∈时，3()f x x =，则函数()cos()()g x x f x π=-在区间13[,]22-上的所有零点的和为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】B【解析】∵()(),()(2)f x f x f x f x -==-，∴()(2)f x f x -=-，∴()f x 的周期为2． 13．曲线2()23f x x x =-在点(1,(1))f 的处的切线方程为 ． 【答案】20x y --=【解析】()43f x x '=-，(1)1f '=，(1)1f =-，∴切线方程为11y x +=-，即20x y --=．C BADP14．已知a 与b 的夹角为3π，(1=a，2-=a b =b ． 【答案】2【解析】∵2-=a b 224412-⋅=a a b+b ．∴22242cos 4123π-⨯⨯⨯=b +b ．∴220--=b b ，∴2=b ．15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若212a =，2*1()n S kn n =-∈N ，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为 ． 【答案】21nn + 【解析】依题意得112141a k a a k =-⎧⎨+=-⎩，∵212a =，∴4k =，13a =． ∴241n S n =-，211111()4122121n S n n n ==---+， ∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为 11111111[(1)()()()2335572121n n -+-+-+⋅⋅⋅+--+ 11(1)22121n n n =-=++．16．已知点O 为坐标原点，点M 在双曲线:C 22(x y λλ-=为正常数）上，过点M 作双曲线C 的某一条渐近线的垂线，垂足为N ，则2ON MN +的最小值为 ．【答案】【解析】双曲线的渐近线为y x =±．设00(,)M x y ，直线MN 的方程为00()y x x y =--+， 由00()y x y x x y =⎧⎨=--+⎩，解得0000(,)22x y x y N ++．∴00ON y =+，00MN y ==-， ∵2200x y λ-=，∴0000()()x y x y λ-+=∴0000x y x y λ-=+，002MN x y =+．∴002ON MN y +=+≥=三、 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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集合
一、选择题
1 ．已知集合，，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2 ．（天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理科数学）设集合{1}A x x a x R =-<∈，，B={x|1<x<5,x ∈Ｒ}，若A ⋂B=φ，则实数a 的取值范围是 （
） A ．{a|0≤a ≤6} B ．{a|a ≤2，或a ≥4}
C ．{a|a ≤0，或a ≥6}
D ．{a|2≤a ≤4}
3 ．已知集合2A={|log <1},B={x|0<<c}x x x ，若=A B B ，则c 的取值范围是 （
）
A ．(0,1]
B ．[1,+)∞
C ．(0,2]
D ．[2,+)∞
二、填空题
4 ．若不等式4
+-2+1x m x ≥对一切非零实数x 均成立,记实数m 的取值范围为M .已知集合{}=A x x M ∈,集合{}2=--6<0B x R x x ∈,则集合=A B ___________.
5 ．设集合是A={32|()=83+6a f x x ax x -是(0，+∞)上的增函数}，5
={|=,[-1,3]}+2B y y x x ∈，
则()R A B ð= ；
6 ．己知集合222{|28},{|240}x x A x B x x mx -=<=+-<, 若
{|11},{|43}A B x x A B x x =-<<=-<< ,则实数m 等于__________ . 7 ．（天津市天津一中2013届高三上学期第三次月考数学理试题）设集合
{}1,R A x x a x =-<∈,{}15,R B x x x =<<∈,若∅=B A ,则实数a 取值范围是___________.
三、解答题
8 ．已知={()|1},B={()|3,0x 3}2A x,y y =-x +mx -x,y x+y =≤≤，若A B ⋂是单元素集，
求实数m 的取值范围.
参考答案
一、选择题
1. 【答案】B
【解析】{(3)0}{03}P x x x x x =-<=<<,
={2}{22}Q x x x x <=-<<，所以{02}(0,2)
P Q x x =<<= , 选B. 2. 【答案】C
【解析】{1}{11}A x x a x R x a x a =-<∈==-<<+，,
因为=A B φ ，所以有15a -≥或11a +≤，即6a ≥或0a ≤，选C.
3. 【答案】D 【解析】2{log 1}{01}A x x x x =<=<<.因为A B B = ，所以A B ⊆.所以1c ≥，即
[1,)+∞，选B.
二、填空题 4. {}-1<3x x ≤;
5. 【答案】(,1)(4,)-∞+∞
【解析】2()=2466f 'x x a x -+，要使函数在(0,)+∞上是增函数，则
2()=24660f 'x x ax -+>恒成立，即14a x x <+
，因为144x x +≥=，所以
4a ≤，即集合{4}A a a =≤.集合5={|=,[-1,3]}+2B y y x x ∈{15}y x =≤≤，所以
{14}A B x x ⋂=≤≤，所以()=R A B ð(,1)(4,)-∞+∞ .
6. 【答案】32
222{|28}{|230}{13}x x A x x x x x x -=<=--<=-<<，因为{|11},{|4A B x x A B x x =-<<=-<< ，所以由数轴可知{|41}B x x =-<<，
即4,1-是方程2240x mx +-=的两个根，所以
4123m -+=-=-，解得32m =。
7. 【答案】0a ≤或6a ≥
解:{}
1,{11}A x x a x x a x a =-<∈=-<<+R ,因为∅=B A ,所以15a -≥或11a +≤,解得0a ≤或6a ≥.
三、解答题
8. 解：A B ⋂ 是单元素集
[]3,0,3y x x ∴=-∈与2
1y mx x =-+-有一个交点 即方程2(1)40m x x -++=在[]0,3有一个根，
0(1)1032
m ∆=⎧⎪⎨+≤≤⎪⎩ 解得3m =
(2)(0)(3)0f f ⋅< 解得103m >
(3)若0x =，方程不成立
(4)若3x =，则
103m = ，此时方程213403x x -+=根为3x =或43x = 在[]0,3上有两个根 ，不符合题意 综上
10
3m >或3m =。