(备作业)-【上好数学课】2020-2021学年高一同步备课系列 (21)
1.1.1 任意角(备作业)-【上好课】2020-2021学年高一数学同步备课系列(人教A版必修
第1章 1.1.1任意角（备作业）一．选择题1．与角2021︒终边相同的角是A ．221︒B ．2021-︒C ．221-︒D ．139︒【答案】A【解析】与角2021︒终边相同的角是：3602021k ︒+︒，k Z ∈，当5k =-时，与角2021︒终边相同的角是221︒．故选A ．2．2020︒角的终边在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】20205360220︒=⨯︒+︒，2020∴︒角的终边在第三象限．故选C ．3．把1485-︒转化为360(0360,)k k Z αα+︒︒<︒∈的形式是A ．454360︒-⨯︒B ．454360-︒-⨯︒C ．455360-︒-⨯︒D ．3155360︒-⨯︒【答案】D【解析】148518003155360315-︒=-︒+︒=-⨯︒+︒，故选D ．4．下面各组角中，终边相同的是A ．390︒，690︒B ．330-︒，750︒C ．480︒，420-︒D ．3000︒，840-︒【答案】B【解析】690390300︒-︒=︒，75033010803360︒+︒=︒=⨯︒，420480900-︒-︒=-︒，30008403840︒+︒=︒，∴只有B 选项中的两个角的差别是整数倍的周角，故选B ．5．下列说法正确的是A ．锐角是第一象限角B ．第二象限角是钝角C ．终边相同的角一定相等D ．不相等的角，终边必定不同【答案】A【解析】锐角的范围是(0,90)︒︒位于第一象限，故A 正确，360100460α=︒+︒=︒是第二象限，但α不是钝角，故B 错误，终边相同的角不一定相等，故C 错误，30α=︒和390α=︒的终边相同，两个角也不相等，故D 错误，故选A ．6．角60180()k k Z α=-︒+︒∈的终边落在A ．第四象限B ．第一、二象限C ．第一象限D ．第二、四象限【答案】D【解析】令0k =，60α=-︒，在第四象限；再令1k =，60180120=-︒+︒=︒，在第二象限，故选D ．7．189︒是A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】C【解析】180189270︒<︒<︒，189∴︒是第三象限角．故选C ．8．下列叙述正确的是A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B ．钝角是第二象限角C ．第二象限角比第一象限角大D ．不相等的角终边一定不同【答案】B【解析】三角形的内角是第一象限角或第二象限角或终边在y 轴正半轴上，故A 错误；钝角是第二象限角，故B 正确；第二象限角不一定比第一象限角大，如120︒是第二象限角，390︒是第一象限角，120390︒<︒，故C 错误； 不相等的角终边可能相同，如30︒与390︒不相等，但终边相同，故D 错误．故选B ．9．在0︒到360︒范围内，与角120-︒终边相同的角是A ．120︒B ．60︒C ．180︒D ．240︒【答案】D【解析】与120-︒终边相同角的集合为{|120360k αα=-︒+︒，}k Z ∈．取1k =，可得在0︒到360︒范围内，与角120-︒终边相同的角是240︒．故选D ．10．终边在直线y x =上的角α的集合是A ．{|36045k αα=︒+︒，}k Z ∈B ．{|360225k αα=︒+︒，}k Z ∈C ．{|18045k αα=︒+︒，}k Z ∈D ．{|18045k αα=︒-︒，}k Z ∈【答案】C【解析】设终边在直线y x =上的角的集合为P ，则{|36045P k αα==︒+︒，}{|36018045k Z k αα∈=︒+︒+︒，}k Z ∈{|18045k αα==︒+︒，}k Z ∈，故选C ．11．已知角α在平面直角坐标系中如图所示，其中射线OA 与y 轴正半轴的夹角为30︒，则α的值为A ．480-︒B ．240-︒C ．150︒D ．480︒【答案】D【解析】角α在平面直角坐标系中如图所示，其中射线OA 与y 轴正半轴的夹角为30︒，则α的值为3609030480︒+︒+︒=︒，故选D ．12．与30︒角的终边关于x 轴对称的角的集合为A ．{|36030x x k =︒+︒，}k Z ∈B ．{|36030x x k =︒-︒，}k Z ∈C ．{|360150x x k =︒+︒，}k Z ∈D ．{|360210x x k =︒+︒，}k Z ∈ 【答案】B【解析】与30︒角的终边关于x 轴对称的角中绝对值最小的角为30-︒，又角度旋转一周即360︒后与原角度重合，故与30︒角的终边关于x 轴对称的角的集合为{|36030x x k =︒-︒，}k Z ∈， 故选B ． 二．填空题13．大于360-︒且终边与角75︒重合的负角是 ．【答案】285-︒【解析】36075285-︒+︒=-︒，故答案为：285-︒．14．若时针走过2小时40分，则分针走过的角是 ．【答案】960-︒【解析】40分23=小时，23602403⨯︒=︒，因为时针按顺时针旋转，故形成负角，3602240960-︒⨯-︒=-︒．故答案为：960-︒．15．已知990630α-︒<<-︒，且α与120︒角终边相同，则α= ．【答案】960-︒ 【解析】α与120︒角终边相同，360120k α∴=︒+︒，k Z ∈．990360120630k -︒<︒+︒<-︒，1110360750k ∴-︒<︒<-︒．又k Z ∈，3k ∴=-，此时(3)360120960α=-⨯︒+︒=-︒．故答案为：960-︒． 16．若角α的终边与240︒角的终边相同，则2α的终边在第 象限．【答案】二或四【解析】由题意知，240360k α=︒+︒，k z ∈，1201802k α=︒+︒，k z ∈故2α的终边在第二或四象限． 故答案为：二或四．三．解答题17．在360~360-︒︒之间找出所有与下列各角终边相同的角，并判断各角所在的象限．（1）790︒（2）20-︒．【答案】（1）在360~360-︒︒之间与它终边相同的角是70︒和290-︒，是第一象限角；（2）在360~360-︒︒之间与它终边相同的角是340︒，是第四象限角．【解析】（1）790236070︒=⨯︒+︒，36070290-︒+︒=-︒，所以在360~360-︒︒之间与它终边相同的角是70︒和290-︒，是第一象限角；（2）20360340-︒=-︒+︒，所以在360~360-︒︒之间与它终边相同的角是340︒，是第四象限角．18．已知角390α=︒（1）角α的终边在第几象限；（2）写出与角α终边相同的角的集合；（3）在360~720-︒︒范围内，写出与α终边相同的角．【答案】（1）角α的终边在第一象限；（2）{|36030k ββ=︒+︒，}k Z ∈;（3）330-︒，30︒，390︒.【解析】（1）39036030︒=︒+︒，30︒是第一象限角，∴角α的终边在第一象限；（2）所有和角α终边相同的角的集合为{|36030k ββ=︒+︒，}k Z ∈；（3）36030k β=︒+︒，∴当1k =-时，330β=-︒，当0k =时，30β=︒，当1k =时，390β=︒，∴在360~720-︒︒范围内，与α终边相同的角是330-︒，30︒，390︒．19．如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．【答案】{|30180105180k k αα︒+︒<︒+︒，}k Z ∈． 【解析】如图，终边落在阴影部分的角为：30105α︒<︒或210285α︒<︒， ∴终边落在阴影部分的角的集合为：{|30360105360k k αα︒+︒<︒+︒或210360285360k k α︒+︒<︒+︒，}k Z ∈ {|30180105180k k αα=︒+︒<︒+︒，}k Z ∈．20．已知角β的终边在直线y x =-上．（1）写出角β的集合S ；（2）写出S 中适合不等式360360β-︒<<︒的元素． 【答案】（1）{|135180n ββ=︒+︒，}n Z ∈；（2）225-︒；45-︒；135︒；315︒.【解析】（1）直线y x =-过原点，它是第二、四象限角的平分线所在的直线，故在0~360︒︒范围内终边在直线y x =-上的角有两个：135︒，315︒．因此，终边在直线y x =-上的角的集合{|135360S k ββ==︒+︒，}{|315360k Z k ββ∈=︒+︒，}k Z ∈{|1352180k ββ==︒+︒，}{|135(21)180k Z k ββ∈=︒++︒，}k Z ∈{|135180n ββ==︒+︒，}n Z ∈．（2）由于360360β-︒<<︒，即360135180360n -︒<︒+︒<︒，n Z ∈．解得11544n -<<，n Z ∈．所以2n =-，1-，0，1．所以集合S 中适合不等式360360β-︒<<︒的元素为： 1352180225︒-⨯︒=-︒；135118045︒-⨯︒=-︒；1350180135︒+⨯︒=︒；1351180315︒+⨯︒=︒；21．如图，分别写出适合下列条件的角的集合：（1）终边落在射线OB 上；（2）终边落在直线OA 上；（3）终边落在阴影区域内（含边界）．【答案】（1）{|60360k αα=︒+︒，}k z ∈；（2）{|30180k αα=︒+︒，}k z ∈;（3）{|3018060180k k αα︒+︒︒+︒，}k z ∈.【解析】由图形得，（1）终边落在射线OB 上的角的集合为：{|60360k αα=︒+︒，}k z ∈，（2）终边落在直线OA 上的角的集合为：{|30180k αα=︒+︒，}k z ∈，（3）终边落在阴影区域内（含边界）的角的集合为： {|3018060180k k αα︒+︒︒+︒，}k z ∈．22．已知9090α-︒<<︒，9090β-︒<<︒，求2βα-的范围．【答案】1351352βα-︒<-<︒【解析】由9090β-︒<<︒，45452β∴-︒<-<︒，那么：()22ββαα-=+-；9090α-︒<<︒，1351352βα∴-︒<-<︒．。
1.5 正弦函数和余弦函数的图像与性质再认识(解析版)-高一数学同步备课系列【培优题】
1.5正弦函数和余弦函数的图像与性质再认识【课时分层练】2020-2021学年高一数学同步备课系列【培优题】一、单选题1．设sin 42a =︒，cos46b =︒，122c -=，则（ ） A ．c a b << B ．b c a << C ．b a c << D ．a b c <<【答案】D 【分析】转化为比较42、44、45的正弦值的大小，利用正弦函数的单调性比较可得答案. 【详解】sin 42a =，cos 46sin 44b ==，122sin 452c -===， 因为sin y x =在锐角范围内为增函数，且424445<<， 所以sin 42sin 44sin 45<<，即a b c <<. 故选：D 【点睛】本题考查了利用正弦函数的单调性比较大小，属于基础题.2．已知函数()sin (0)f x x ωω=>在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是1-，则ω的最小值等于（ ） A ．23B ．32C ．2D ．3【答案】B【分析】由题意可得函数的四分之一周期小于等于 3π，由周期公式可得ω的不等式，解不等式可得.【详解】∵函数()sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是1-， ∵只需函数的四分之一周期小于等于 3π即可，即2 34πωπ≤，解得32ω≥，∵ω的最小值为32故选：B . 【点睛】本题主要考查三角函数的最值和周期性，通过三角函数的图象记忆性质是解题的关键，属于中档题. 3．函数()2sin f x x =的定义域和值域都是[a ，b ]，这样的区间[a ，b ]（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．不存在【答案】C 【分析】考虑()2sin f x x =与y x =的交点情况，由函数()2sin f x x =的值域为[]22-,，故只需考虑[]2,2x ∈-，数形结合，即可得到答案． 【详解】在同一坐标系中作出函数()2sin f x x =和函数y x =的图象，如图所示由图可知：()2sin f x x =的定义域和值域都是[],a b ，这样的区间有[]22-,，[]2,0-，[]0,2共3个，故正确的答案为C 故选C 【点睛】本题考查函数图象的应用，属于基础题． 4．设sin,sin,sin1256a b c πππ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．b a c << 【答案】A 【分析】利用正弦函数的单调性即可比较大小. 【详解】∵y sinx =在02π⎛⎫⎪⎝⎭，在单调递增，又1265πππ<<,∵1265sinsinsinπππ<<，∵a c b <<故选：A【点睛】本题考查三角函数的大小比较，考查正弦函数的单调性，属于基础题.5．要得到函数[]3sin ,0,2πy x x =-∈的图象，只需将函数[]3sin ,0,2πy x x =∈的图象（ ） A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线y x =对称 【答案】B【解析】由于()y f x =与()y f x =-的图象关于x 轴对称，所以要得到函数3sin ,y x =-[]0,2πx ∈的图象，只需将函数[]3sin ,0,2πy x x =∈的图象关于x 轴对称. 考点：正弦函数的简单应用.6．已知某函数图象如下图所示，则此函数的解析式可能是（ ）A ．()1sin 1xxe f x x e -=⋅+ B ．()1sin 1x x e f x x e ⋅+-=C ．()1cos 1xxe f x x e -=⋅+D ．()1cos 1x x e f x x e -=⋅+【答案】B 【分析】分析各选项中函数的奇偶性及其在y 轴右侧函数值符号变化，结合图象可得出合适的选项. 【详解】根据题意，由图象可得：该函数为偶函数，且在y 轴右侧，先为正值，后为负值，据此分析选项，四个选项中函数的定义域均为R .对于A 选项，()1sin 1xxe f x x e-=⋅+，()()()()()()1111sin sin sin sin 1111x x x x xx x x x x e e e e e f x x x x x f x e e e e e ---------=⋅-=⋅-=-⋅=⋅=++++，该函数为偶函数，当()0,x π∈时，sin 0x >，101xxe e -<+，则()0f x <，不合乎题意； 对于B 选项，()1sin 1x x e f x x e ⋅+-=，()()()()()()1111sin sin sin sin 1111x x x x x x xx x x e e e e e f x x x x x f x e e e e e ---------=⋅-=⋅-=-⋅=⋅=++++， 该函数为偶函数，当()0,x π∈时，sin 0x >，101x x e e +->，则()0f x >，合乎题意；对于C 选项，()1cos 1xxe f x x e-=⋅+，()()()()()1111cos cos cos cos 1111x x x x xx x x x xe e e e ef x x x x x f x e e e e e ---------=⋅-=⋅=⋅=-⋅=-++++， 该函数为奇函数，不合乎题意；对于D 选项，()1cos 1x x e f x x e -=⋅+，()()()()()1111cos cos cos cos 1111x x x x x x xx x x e e e e e f x x x x x f x e e e e e ---------=⋅-=⋅=⋅=-⋅=-++++， 该函数为奇函数，不合乎题意. 故选：B.【点睛】本题考查函数的图象分析，注意结合图象分析函数的奇偶性、单调性以及函数值符号，考查推理能力，属于中等题．7．函数1sin3y x =-的图像与直线3x π=，53x π=及x 轴所围成的图形的面积是（ ） A ．23π B ．πC ．43π D ．53π 【答案】C 【分析】作出函数1sin3y x =-的图像，利用割补法，补成长方形，计算面积即可.【详解】作出函数1sin3y x =-的图象，如图所示，利用割补法，将23π到π部分的图象与x 轴围成的图形补到图中3π到23π处阴影部分，凑成一个长为3π，宽为2的长方形，后面π到53π，同理；∵1sin3y x =-的图象与直线3x π=，53x π=及x 轴所围成的面积为24233ππ⨯=， 故选：C. 【点睛】用“五点法”作()sin y A ωx φ=+的简图，主要是通过变量代换，设z x ωϕ=+，由z 取0，2π，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．8．函数()()12cos 20211f x x x π=++⎡⎤⎣⎦-在区间[]3,5-上所有零点的和等于（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】D 【分析】由图可得函数的零点就是11y x =-和2cos y x π=交点的横坐标，画出函数图象，可得出()f x 在[]3,5-有8个零点，且关于1x =对称，即可求出. 【详解】()()112cos 20212cos 11f x x x x x ππ=++=-⎡⎤⎣⎦--， 令()0f x =，则12cos 1x x π=-， 则函数的零点就是11y x =-和2cos y x π=交点的横坐标， 可得11y x =-和2cos y x π=的函数图象都关于1x =对称，则交点也关于1x =对称， 画出两个函数的图象，观察图象可知，11y x =-和2cos y x π=在[]3,5-有8个交点， 即()f x 有8个零点，且关于1x =对称，故所有零点的和为428⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查求函数的零点之和，解题的关键是将题目化为找11y x =-和2cos y x π=交点的横坐标，从而通过函数图象求解.9．已知函数()2tan()(0)f x x ωω=>的图象与直线2y =的相邻交点间的距离为π，若定义{},max ,,a a b a b b a b⎧=⎨<⎩，则函数()max{()h x f x =，()cos }f x x 在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图象是( ) A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】由题知()2tan()(0)f x x ωω=>，利用T πω=求出ω，再根据题给定义，化简求出()h x 的解析式，结合正弦函数和正切函数图象判断，即可得出答案. 【详解】根据题意，()2tan()(0)f x x ωω=>的图象与直线2y =的相邻交点间的距离为π， 所以()2tan()(0)f x x ωω=> 的周期为π， 则1Tππωπ===， 所以{}2sin ,,2()max 2tan ,2sin 32tan ,,2x x h x x x x x ππππ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥⎪⎝⎦==⎨⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，由正弦函数和正切函数图象可知A 正确. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数中正切函数的周期和图象，以及正弦函数的图象，解题关键是对新定义的理解.10．已知函数()3log ,03πcos ,393x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≤≤⎪⎩，若存在实数1x ，2x ，3x ，4x ，当1234x x x x <<<时，满足()()()()1234f x f x f x f x ===，则1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是（ ）A ．297,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．13521,4⎛⎫⎪⎝⎭C ．[)27,30 D ．13527,4⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【分析】作出()f x 的图象，由图象可知3132log log x x =，则可得出121x x ⋅=，()f x 在[]3,9上的图象关于直线6x =对称，所以3412x x +=，且393,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么()12343312x x x x x x ⋅⋅⋅=-，利用二次函数的性质求出其值域即可. 【详解】作出函数()f x 的图象如图所示，可以发现3132log log x x =，即3132log log x x -=，所以()3132312log log log 0x x x x +=⋅=，121x x ⋅=. 由余弦函数的图象可知，()f x 在[]3,9上的图象关于直线6x =对称，所以3412x x +=，且393,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 因此1234x x x x ⋅⋅⋅变形为()()()223333331212636g x x x x x x =-=-+=--+，所以当33x =时，()3min 27g x =；当392x =时，()3max 1354g x =. 所以1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是13527,4⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查函数图象的应用，考查函数与方程思想的运用，难度一般,准确画出函数的图象是关键.二、多选题11．已知函数()sin cos f x x x =，3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，下列结论正确的是（）A ．()f x 的图象关于直线y 轴对称B ．()f x 在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．()f x 的图象关于直线2x π=轴对称D ．()f x 的最大值为12【答案】BCD【分析】1sin 2,,222()sin cos 13sin 2,,222x x f x x x x x ππππ⎧⎡⎤∈-⎪⎢⎥⎪⎣⎦==⎨⎛⎤⎪-∈ ⎥⎪⎝⎦⎩，画出其图象，然后逐一判断即可.【详解】1sin 2,,222()sin cos 13sin 2,,222x x f x x x x x ππππ⎧⎡⎤∈-⎪⎢⎥⎪⎣⎦==⎨⎛⎤⎪-∈ ⎥⎪⎝⎦⎩，其图象如下所示：由图可知，()f x 的图象关于直线2x π=对称，故A 错误，C 正确；()f x 在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故B 正确；()f x 的最大值为12，()f x 的最小值为12-，故D 正确故选：BCD【点睛】本题考查的是三角函数的图象及其性质，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.12．已知函数cos ,sin cos ()sin ,sin cos x x xf x x x x 则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的值域是0,1 B ．()f x 是以π为最小正周期的周期函数C ．()f x 在区间π,π2上单调递增 D ．()f x 在0,2π上有2个零点【答案】ACD【分析】采用数形结合，并逐一验证可得结果.【详解】根据题意，画出函数()f x 在[]0,2π的图象，如图所示A. 根据图像可知，()f x 的值域是[]0,1，正确；B. ()f x 是以2π为最小正周期的周期函数，错误；C. ()f x 在区间π,π2上单调递增，正确； D. ()f x 在[)0,2π上有2个零点，正确；故选：ACD.【点睛】本题主要考查函数的性质，本题关键在于能画出函数图形，形是数的载体，通俗易懂，形象直观，属中档题.三、填空题13．已知()f x 的定义域为(0,1]，则(sin )f x 的定义域是________．【答案】(2,2)k k πππ+，k Z ∈【分析】由()f x 的定义域为(0,1]，解不等式0sin 1x <≤，求解即可得解.【详解】解：由()f x 的定义域为(0,1]，则(]sin 0,1x ∈，解得22,k x k k Z πππ<<+∈，即(sin )f x 的定义域是(2,2)k k πππ+，k Z ∈，故答案为：(2,2)k k πππ+，k Z ∈.【点睛】本题考查了复合函数定义域的求法，属基础题.14．设函数()()2212019sin 1x x f x x ++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=________. 【答案】2【分析】构造函数()()1g x f x =-，可知()g x 为R 上奇函数，且()g x 的最大值为1M -，最小值为1m -，结合奇函数的性质，可求出M m +.【详解】由题意，()()22212019sin 22019sin 111x x x x f x x x +++==+++， 令()()222019sin 11x x g x f x x +=-=+， 所以()g x 的最大值为1M -，最小值为1m -.又()()222019sin 1x x g x g x x ---==-+，所以()g x 为R 上奇函数， 所以110M m -+-=，即2M m +=.故答案为：2.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.15．在()0,2π内使sin cos x x >成立的实数x 的取值范围是______． 【答案】3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】易得sin 0x >，即()0,x π∈，在平面直角坐标系中画出()sin ,0,y x x π=∈与()cos ,0,y x x =∈π的图象，观察图象即可得结果.【详解】 ∵sin cos x x >，∵sin 0x >，∵()0,x π∈，在同一平面直角坐标系中画出()sin ,0,y x x π=∈与()cos ,0,y x x =∈π的图象，如图所示，观察图象易得3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 故答案为3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查学生灵活运用正弦、余弦函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想，属于道中档题． 16．设函数()cos sin f x x x =+，若在区间()0,2π上，函数()y f x k =-有4个零点，则实数k 的取值范围是______．【答案】( 【分析】去绝对值，将()f x 的解析式化简，作出()y f x =的图象，函数()y f x k =-有4个零点，则()y f x =与y k =的图象有4个不同的交点，数形结合即可得到答案.【详解】当π3π0,,2π22x ⎛⎫⎡⎫∈⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭时，()π4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当π3π,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，作出()y f x =的图象，如图所示， 函数()y f x k =-有4个零点，则()y f x =与y k =的图象有4个不同的交点，所以(k ∈．故答案为：(【点睛】本题考查已知函数的零点个数求参数的取值范围，涉及到正弦型函数的作图，考查学生数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.四、解答题17．求下列函数的值域: (1)sin sin y x x =+;(2)sin 2sin 1x y x -=+.【答案】(1)[]0,2.(2)1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】(1)先分类讨论去绝对值，得到2sin ,sin 00,sin 0x x y x ≥⎧=⎨<⎩，分别求每段的值域可得结果；(2)分离常数得31sin 1y x =-+，根据1sin 1x -<≤求值域即可.【详解】解:(1)当sin 0x ≥时,sin sin x x =;当sin 0x <时,sin sin x x =-,2sin ,sin 00,sin 0x x y x ≥⎧∴=⎨<⎩.当sin 0x ≥时,0sin 1x ≤≤,02y ∴≤≤;当sin 0x <时,0y =,故02y ≤≤,∴函数sin sin y x x =+的值域为[]0,2； (2)sin 2sin 1331sin 1sin 1sin 1x x y x x x -+-===-+++.1sin 1,0sin 12,x x -<≤∴<+≤ 则11sin 12x ≥+，33sin 12x ∴-≤-+，311sin 12x ∴-≤-+ 所以该函数的值域为1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了三角型函数的值域，注意分离常数法的使用，是基础题.18．方程sin x ＝12a -在x ∵π,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个实数根，求a 的取值范围．【答案】11a <≤－【解析】试题分析：根据正弦函数的单调性，得到当[,]3x ππ∈时，在区间[,]3ππ上且2x π≠时，存在两个自变量x 对应同一个sin x ．由此得到若()f x 有两个零点，即1sin 2a x -=，在[,]3x ππ∈上有两个零点，由此建立关于a 的不等式，解之即可得到实数a 的取值范围． 试题解析：首先作出sin y x =，[,]3x ππ∈的图象，然后再作出12a y -=的图象，如果sin y x =，[,]3x ππ∈与12a y -=的图象有两个交点，方程1sin 2a x -=，[,]3x ππ∈就有两个实数根． 设1sin y x =，[,]3x ππ∈，212a y -=. 1sin y x =，[,]3x ππ∈的图象如图．112a -≤<，即11a -<≤sin y x =，[,]3x ππ∈的图象与12a y -=的图象有两个交点，即方程1sin 2a x -=在[,]3x ππ∈上有两个实根． 点睛：本题给出三角函数式，求满足函数在指定区间上有两个零点的参数a 的取值范围，着重考查了三角函数的单调性与函数的图象与性质等知识，属于中档题．19．已知函数()2sin 1f x x =-.（1）求函数f (x )的最大值，并求此时x 的值；（2）写出()0f x >的解集.【答案】（1）最大值1，2,2x k k Z ππ=+∈；（2）5{|22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 【分析】（1）当sin 1x =时，函数取最大值得解；（2）根据三角函数的图象解不等式得解集.【详解】（1）当sin 1x =即2,2x k k Z ππ=+∈时，()2111max f x =⨯-=；（2）由题得1sin 2x >，所以不等式的解集为5{|22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈.【点睛】关键点睛：解答这类题的关键是熟练掌握三角函数的图象和性质，再灵活利用其解题.20．已知函数()sin 2sin f x x x =+，[]0,2x π∈．（1）作出函数()f x 的图象；（2）求方程()3f x =的解．【答案】（1）图象见解析；（2）2x π=.【分析】（1）将函数()y f x =表示为分段函数，即可作出函数()y f x =的图象；（2）分[]0,x π∈和(],2x ππ∈两种情况解方程()3f x =即可.【详解】（1）当0x π≤≤时，sin 0x ≥，则()3sin f x x =；当2x ππ<≤时，sin 0x ≤，则()sin 2sin sin f x x x x =-=-.()3sin ,0sin,2x x f x x x πππ≤≤⎧∴=⎨-<≤⎩，函数()y f x =的图象如下图所示：（2）当0x π≤≤时，令()3f x =，即3sin 3x =，得sin 1x =，解得2x π=； 当2x ππ<≤时，令()3f x =，得sin 3x -=，该方程无解.综上所述，方程()3f x =的解为2x π=.【点睛】 本题考查三角函数图象的作法，同时也考查了三角方程的求解，考查计算能力，属于基础题.21．已知函数21()cos sin 42a f x x a x =+--的定义域为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，最大值为2，求实数a 的值. 【答案】6-或103【分析】将函数化为二次函数型的顶点式，结合二次函数的对称轴与sin x 值域的关系，由最大值为2求得a 的值．【详解】()21()12sin sin 24a f x x a x =-+-221sin 2442a a a x ⎛⎫=--+-+ ⎪⎝⎭ （1）当02a <时，当0x =即sin 0x =时原函数取得最大值，既有1242a -+= 解得6a =-；21 （2）当012a时，当sin 2ax =时原函数取得最大值，即有212442a a -+=，解得2a =-或3a =，均与012a矛盾，为增根，舍去；（3）当12a >时，当2x π=即sin 1x =时原函数取得最大值， 即有221122442a a a ⎛⎫--+-+= ⎪⎝⎭，解得103a =；综上所述，实数a 的值为6-或103.【点睛】本题考查了三角函数与二次函数的综合应用，三角函数值域与二次函数对称轴的关系，属于基础题．。
5.3.2 等比数列的前 n项和(学案)-2020-2021学年高中数学同步备课学案
5.3.2 等比数列的前 n 项和知识点归纳知识点一、等比数列的前n 项和公式等比数列的前n 项和公式S n＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1q ＝1，a 1－a n q1－qq ≠1知识点二、等比数列前n 项和的性质1．在等比数列的前n 项和公式S n ＝a 1(1－q n )1－q 中，如果令A ＝a 1q －1，那么S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠0，n ∈N *)，则数列{a n }为等比数列，即S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠0，q ≠1，n ∈N *)⇔数列{a n }为等比数列．2．等比数列{a n }中，若项数为2n ，则S 偶S 奇＝q (S 奇≠0)；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q (S 偶≠0).3．涉及S n ，S 2n ，S 3n ，…的关系或S n 与S m 的关系考虑应用以下两个性质(1)等比数列前n 项和为S n (且S n ≠0)，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n (q ≠－1)．(2)等比数列{a n }的公比为q ，则S n ＋m ＝S n ＋q n S m . 4．错位相减法(1)推导等比数列前n 项和的方法一般地，等比数列{a n }的前n 项和可写为：S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1， ① 用公比q 乘①的两边，可得qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n ， ② 由①－②，得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，整理得S n ＝a 1（1－q n ）1－q(q ≠1)．(2)我们把上述方法叫错位相减法，一般适用于数列{a n ·b n }前n 项和的求解，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且q ≠1.典例分析一、等比数列前n 项和的基本计算 例1 在等比数列{a n }中，(1)若S n ＝189，q ＝2，a n ＝96，求a 1和n ； (2)若a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求a 4和S 5；(3)若a 3＝32，S 3＝92，求a 1和公比q .解析 (1)由S n ＝a 1(1－q n )1－q，a n ＝a 1q n －1以及已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧189＝a 1－2a n 1－2＝a 1－2×96－1，96＝a 1·2n －1，∴a 1＝3.又∵2n －1＝963＝32，∴n ＝6.(2)设公比为q ，由通项公式及已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q 3＋a 1q 5＝54， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1＋q 2)＝10，a 1q 3(1＋q 2)＝54.①②∵a 1≠0,1＋q 2≠0，∴②÷①得，q 3＝18，即q ＝12，∴a 1＝8.∴a 4＝a 1q 3＝8×⎝⎛⎭⎫123＝1，S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝8×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1251－12＝312.(3)当q ＝1时，S 3＝3a 1，a 3＝a 1＝32.∴3×32＝S 3＝92，∴a 1＝32，q ＝1.当q ≠1时，S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝92，a 3＝a 1·q 2＝32，∴32q 2(1＋q ＋q 2)＝92，∴q ＝－12，q ＝1(舍去)，∴a 1＝6. 综上所述：⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝6，q ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝1. 答案 见解析二、等比数列前n 项和的性质例2 (1)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝10，S 12＝130，则S 8＝( )A ．－30B ．40C ．40或－30D ．40或－50 (2)等比数列{a n }各项为正，a 3，a 5，－a 4成等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，则S 6S 3＝______.解析 (1)S 4，S 8－S 4，S 12－S 8构成等比数列，所以(S 8－S 4)2＝S 4·(S 12－S 8)， 因为S 4＝10，S 12＝130，∴(S 8－10)2＝10(130－S 8)．解得S 8＝40.故选B ．(2)因为等比数列{a n }各项为正，a 3，a 5，－a 4成等差数列，所以a 1q 2－a 1q 3＝2a 1q 4,2q 2＋q －1＝0，q ＝12或q ＝－1(舍去)，S 6S 3＝S 3＋q 3S 3S 3＝1＋(12)3＝98.答案 (1)B(2)98自我测试1．已知在等比数列{a n }中，a 1＝3，a n ＝96，S n ＝189，则n 的值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 解析 由a n ＝a 1q n －1，得96＝3q n －1，∴q n －1＝32＝25.令n ＝6，q ＝2，这时S 6＝3(1－26)1－2＝189，符合题意，故选C ．答案 C2．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10)B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)解析 ∵3a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋1＝－13a n ，∴{a n }为等比数列，q ＝－13，又a 2＝a 1·q ＝－13a 1＝－43，∴a 1＝4，∴S 10＝4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－13101－⎝⎛⎭⎫－13＝3(1－3－10)．故选C.答案 C3．等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) A ．13 B ．－13 C ．19 D ．－19解析 由题知公比q ≠1，则S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝a 1q ＋10a 1，得q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，则a 1＝19，故选C.答案 C4．已知数列{a n }是首项a 1＝14的等比数列，其前n 项和为S n ，S 3＝316，若a m ＝－1512，则m 的值为( )A ．8B ．10C ．9D ．7 解析 设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则S 3＝34≠316，不符合题意，∴q ≠1.由⎩⎨⎧a 1＝14，S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝316，得⎩⎨⎧a 1＝14，q ＝－12，∴a n ＝14×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝⎝⎛⎭⎫－12n ＋1.由a m ＝⎝⎛⎭⎫－12m ＋1＝－1512， 得m ＝8.故选A. 答案 A5．设f (n )＝2＋24＋27＋210＋…＋23n ＋10(n ∈N *)，则f (n )＝( )A.27(8n －1) B.27(8n ＋1－1) C.27(8n ＋3－1) D.27(8n ＋4－1) 解析 ∵f (n )可看作是以2为首项，23为公比的等比数列的前n ＋4项和，∴f (n )＝2[1－(23)n ＋4]1－23＝27(8n ＋4－1)．故选D. 答案D6．若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1＋a ，则a 3a 5＝( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32解析 S 1＝1＋a ，∴a 1＝a ＋1，S 2＝2＋a ，a 2＝1，S 3＝4＋a ，a 3＝2， ∴a 22＝a 1a 3，即1＝2(a ＋1)，解得a ＝－12，∴S n ＝2n －1－12，∴a 4＝S 4－S 3＝4， ∴a 3a 5＝a 24＝16，故选C ． 答案 C7．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ＋a (a 为常数)，则数列{a n }是( ) A ．等比数列B ．仅当a ＝－1时，是等比数列C ．不是等比数列D ．仅当a ＝0时，是等比数列解析 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2)＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋a (n ＝1)，2×3n －1(n ≥2). 当a ＝－1时，a 1＝2适合通项a n ＝2×3n －1，故数列{a n }是等比数列． 当a ≠－1时，{a n }不是等比数列．故选B. 答案 B8．已知数列{a n }是首项为1的等比数列，S n 是其前n 项和，若5S 2＝S 4，则log 4a 3的值为( )A ．1B ．2C ．0或1D ．0或2 解析 由题意得，等比数列{a n }中，5S 2＝S 4，a 1＝1， 所以5(a 1＋a 2)＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4，即5(1＋q )＝1＋q ＋q 2＋q 3， q 3＋q 2－4q －4＝0，即(q ＋1)(q 2－4)＝0，解得q ＝－1或±2， 当q ＝－1时，a 3＝1，log 4a 3＝0. 当q ＝±2时，a 3＝4，log 4a 3＝1. 综上所述，log 4a 3的值为0或1.故选C. 答案 C9．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( ) A ．80 B ．30 C ．26 D ．16解析 ∵S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n 成等比数列，∴S n ·(S 3n －S 2n )＝(S 2n －S n )2， 即2×(14－S 2n )＝(S 2n －2)2，解得S 2n ＝6或S 2n ＝－4(舍去)． 同理，(6－2)(S 4n －14)＝(14－6)2，解得S 4n ＝30. 答案 B10．在等比数列{a n }中，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q ＝________. 解析 a 4－a 3＝2(S 3－S 2)＝2a 3，∴a 4＝3a 3.∴q ＝a 4a 3＝3.答案 311．若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝32，S 3＝92，则公比q ＝___________.解析 因为a 3＝32，S 3＝92，所以a 1＋a 2＋a 3＝92，则a 1＋a 2＝3，所以32q 2＋32q ＝3，化简得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或－12.答案12．在等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝22n a -，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值．解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝4，a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝1， ∴a n ＝3＋(n －1)×1，即a n ＝n ＋2.(2)由(1)知b n ＝2n ，∴b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝21＋22＋…＋210 ＝2(1－210)1－2＝2046.答案 (1)n ＋2 (2)204613．求和：12＋34＋58＋716＋…＋2n －12n .解析 设S n ＝12＋34＋58＋716＋…＋2n －12n＝12＋322＋523＋724＋…＋2n －32n －1＋2n －12n ，① 则12S n ＝122＋323＋524＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1.② ①－②，得12S n ＝12＋222＋223＋224＋…＋22n －2n －12n ＋1＝12＋12＋122＋…＋12n －1－2n －12n ＋1 ＝12＋12－12n －1×121－12－2n －12n ＋1＝32－12n －1－2n －12n ＋1 ＝32－2n ＋32n ＋1，∴S n ＝3－2n ＋32n . 答案 3－2n ＋32n14．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋n －2(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n ＋n －1}是等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解析 (1)由已知得a n ＋1＋na n ＋n －1＝2，又a 1＋1－1＝1，所以数列{a n ＋n －1}是首项为1，公比为2的等比数列． (2)由(1)知：a n ＋n －1＝2n －1， a n ＝2n －1＋1－n ，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(1＋2＋…＋2n －1)－(1＋2＋…＋n －1) S n ＝(2n－1)－12(n 2－n )＝2n－n 2－n ＋22.答案 (1)首项为1，公比为2的等比数列 (2)2n－n 2－n ＋22。
2020-2021高一(上)数学备课组工作计划
2020-2021高一（上）数学备课组工作计划高一数学备课组一、指导思想在我校整体建构和谐教学模式下，使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。
具体目标如下。
1．获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。
通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程。
2．发展学生掌握数学语言和运用数学语言学习数学，进行交流的能力。
3．提高数学地提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。
4．发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断。
发展学生对变量数学的认识。
5．提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。
6．具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。
二、教法分析：1．选取与内容密切相关的，典型的，丰富的和学生熟悉的素材，用生动活泼的语言，创设能够体现数学的概念和结论，数学的思想和方法，以及数学应用的学习情境，使学生产生对数学的亲切感，引发学生“看个究竟”的冲动，以达到培养其兴趣的目的。
2．通过“观察”，“思考”，“探究”等栏目，引发学生的思考和探索活动，切实改进学生的学习方式。
3．在教学中强调类比，推广，特殊化，化归等数学思想方法，尽可能养成其逻辑思维的习惯。
四、学情分析：高一班级学习情况良好，但学生自觉性差，自我控制能力弱，因此在教学中需时时提醒学生，培养其自觉性。
班级存在的最大问题是计算能力太差，学生不喜欢去算题，嫌麻烦，只注重思路，因此在以后的教学中，重点在于培养学生的计算能力，同时要进一步提高其思维能力。
2020-2021学年高一数学备课组工作计划文档2篇
2020-2021学年高一数学备课组工作计划文档2篇Work plan document of senior one mathematics lesson preparation group in 2020-2021 academic year2020-2021学年高一数学备课组工作计划文档2篇小泰温馨提示：工作计划是对一定时期的工作预先作出安排和打算时制定工作计划，有了工作计划，工作就有了明确的目标和具体的步骤，大家协调行动，使工作有条不紊地进行。
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本文简要目录如下：【下载该文档后使用Word打开，按住键盘Ctrl键且鼠标单击目录内容即可跳转到对应篇章】1、篇章1：2020-2021学年高一数学备课组工作计划文档2、篇章2：2020-2021学年高一历史备课组工作计划文档篇章1:2020-2021学年高一数学备课组工作计划文档新学期开学之初，高一数学备课将继续积极努力工作，完成学校各项工作，并提高全体学生高一数学成绩，本学期工作计划如下：一、学情分析本届高一学生与前几届学生相比，中考成绩偏低，基本素质有下降。
大多数学生的基础知识不扎实，学习方法欠佳。
大部分的学生对学习有兴趣，a班学生学习比较自觉，b班纪律比较涣散。
一、教学内容、重点，难点：第一章：解三角形;重点是正弦定理与余弦定理;难点是正弦定理与余弦定理的应用;第二章：数列;重点是等差数列、等比数列与它们的前n 项的和;难点是等差数列与等比数列前n项的和与应用;第三章：不等式;重点是一元二次不等式及其解法、二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题、基本不等式;难点是二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题及应用;第一章：空间几何体;重点是空间几何体的三视图和直观图及表面积与体积;难点是空间几何体的三视图;第二章：点、直线、平面之间的位置关系;重点与难点都是直线与平面平行及垂直的判定及其性质;第三章：直线与方程;重点是直线的倾斜角与斜率及直线方程;难点是如何选择恰当的直线方程求解题目;第四章：圆与方程;重点是圆的方程及直线与圆的位置关系;难点是直线与圆的位置关系;二、教学目标1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题和与测量及几何计算有关的实际问题。
5.3.1 等比数列(学案)-2020-2021学年高中数学同步备课学案
5.3.1 等比数列知识点归纳知识点一、等比数列的定义1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．2．等比数列定义的理解：(1)“从第2项起”，也就是说等比数列中至少含有三项；(2)“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”；(3)“同一常数q”，q是等比数列的公比，即q＝a na n－1(n≥2)或q＝a n＋1a n.特别注意，q不可以为零，当q＝1时，等比数列为常数列，非零的常数列是特殊的等比数列．3．等比数列的通项公式：一般地，对于等比数列{a n}的第n项a n，有公式a n＝a1·q n－1．这就是等比数列{a n}的通项公式，其中a1为首项，q为公比．4.等比数列与等差数列的区别与联系1．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，这三个数满足关系式G＝±ab.2．等比中项的理解(1)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个；当a，b异号时，没有等比中项．(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．(3)“a ，G ，b 成等比数列”等价于“G 2＝ab ”(a ，b 均不为0)，可以用它来判断或证明三数是否成等比数列．3．等比数列的判定(1)定义法：a n ＋1a n ＝q (q 为常数且q ≠0)或a na n －1＝q (q 为常数且q ≠0，n ≥2)⇔{a n }为等比数列．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列． (3)通项公式法：a n ＝a 1q n －1(a 1≠0且q ≠0)⇔{a n }是等比数列． 4．等比数列的性质：(1)若数列{a n }，{b n }是项数相同的等比数列，则{a n ·b n }也是等比数列．特别地，若{a n }是等比数列，c 是不等于0的常数，则{c ·a n }也是等比数列．(2)若已知等比数列{a n }中的任意两项a n ，a m ，由a n ＝a m ·q n－m可以求得公比q ＝⎩⎨⎧n －m a na m(n －m 为奇数)，±n －m an a m(n －m 为偶数).(3)在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q .①特别地，当m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)时，a m ·a n ＝a 2k. ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a 1·a n ＝a 2·a n－1＝…＝a k ·a n －k ＋1＝….(4)在等比数列{a n }中，每隔k 项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为q k ＋1.(5)当m ，n ，p (m ，n ，p ∈N *)成等差数列时，a m ，a n ，a p 成等比数列． 5．等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为a n ＝a 1q ·q n ，而y ＝a 1q ·q x (q ≠1)是一个不为0的常数a 1q 与指数函数q x 的乘积，从图象上看，表示数列{a 1q ·q n }中的各项的点是函数y ＝a 1q ·q x 的图象上的孤立点．6．等比数列的常用结论(1)若{a n }是公比为q 的等比数列，则下列数列：①{ca n }(c 为任一不为零的常数)是公比为q 的等比数列． ②{|a n |}是公比为|q |的等比数列．③{a m n }(m 为常数，m ∈N *)是公比为q m 的等比数列．(2)若{a n }，{b n }分别是公比为q 1，q 2的等比数列，则数列{a n ·b n }是公比为q 1·q 2的等比数列．7．等比数列的单调性已知等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则(1)当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1时，等比数列{a n }为递增数列；(2)当⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，等比数列{a n }为递减数列．8．等比数列连续几项的设法 (1)三个数成等比数列设为aq，a ，aq .推广到一般：奇数个数成等比数列设为：…a q 2，aq ，a ，aq ，aq 2…(2)四个符号相同的数成等比数列设为：a q 3，aq，aq ，aq 3.推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为：…a q 5，a q 3，aq ，aq ，aq 3，aq 5…(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a ，aq ，aq 2，aq 3.典例分析一、等比数列的通项公式 例1 在等比数列{a n }中， (1)a 4＝2，a 7＝8，求a n ；(2)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n . 解析 设首项为a 1，公比为q .(1)解法一：⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2，'①a 1q 6＝8.'② 由②①得q 3＝4，q ＝34，又∵a 1q 3＝2， ∴a 1＝12，a n ＝22n －53.解法二：因为a 7＝a 4q 3，所以q 3＝4，q ＝34，a n ＝a 4q n －4＝22n －53.(2)解法一：因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18，'③a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9，'④由④③得q ＝12，从而a 1＝32，又a n ＝1， 所以32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝1，即26－n ＝20，即n ＝6. 解法二：因为a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12，由a 1q ＋a 1q 4＝18，知a 1＝32，由a n ＝a 1q n －1＝1，∴32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝1,32＝2n －1＝25， 所以n ＝6.答案 (1)22n －53(2)6 二、等比数列的判定与证明例2 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1.证明：数列{a n ＋1}是等比数列． 证明 证法一：因为a n ＋1＝2a n ＋1， 所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)．由a 1＝1，知a 1＋1≠0，从而a n ＋1≠0. 所以a n ＋1＋1a n ＋1＝2(n ∈N *)．所以数列{a n ＋1}是等比数列．证法二：∵a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋1＋1a n ＋1＝2(a n ＋1)a n ＋1＝2(n ∈N *)，∴数列{a n ＋1}是等比数列．自我训练1．下列各组数成等比数列的是( )①1，－2,4，－8；②－2，2，－22，4；③x ，x 2，x 3，x 4；④a －1，a －2，a －3，a －4. A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④解析 由等比数列的定义，知①、②、④是等比数列．③中当x ＝0时，不是等比数列． 答案 C2．已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，ka 1a 2…a k ＝a 11，则k ＝( ) A ．12 B ．15 C ．18 D ．21 解析ka 1a 2…a k ＝a 1q 1＋2＋3＋…＋(k －1)k ＝a 1q k －12＝a 1q 10，∵a 1>0，q ≠1，∴k －12＝10，∴k ＝21，故选D.答案 D3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．243解析 设等比数列的公比为q ，∵a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝q (a 1＋a 2)＝6，∴q ＝2.又a 1＋a 2＝a 1＋a 1q ＝3，∴3a 1＝3.∴a 1＝1，∴a 7＝26＝64. 答案 A4．等比数列{a n }是递增数列，若a 5－a 1＝60，a 4－a 2＝24，则公比q 为( ) A.12 B ．2 C.12或－2 D ．2或12解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4－a 1＝60，①a 1q 3－a 1q ＝24，②①②得，a 1(q 4－1)a 1q (q 2－1)＝52，即q 2＋1q ＝52，解得q ＝12或2，当q ＝2时，代入①，得a 1＝4，{a n }是递增数列；当q ＝12时，代入①，得a 1＝－64，{a n }也是递增数列，故选D.答案 D5．等比数列{a n }的公比q ＝－14，a 1＝2，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数数列D ．摆动数列 解析 由于公比q ＝－14＜0，所以数列{a n }是摆动数列．答案 D6．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，则a 3·a 6·a 9·…·a 30等于( )A ．210B ．220C ．216D ．215解析 ∵a 1·a 2·a 3＝a 32，a 4·a 5·a 6＝a 35，a 7·a 8·a 9＝a 38，…，a 28·a 29·a 30＝a 329， ∴a 1·a 2·a 3·a 4·a 5·a 6·a 7·a 8·a 9·…·a 28·a 29·a 30＝(a 2·a 5·a 8·…·a 29)3＝230.∴a 2·a 5·a 8·…·a 29＝210.∴a 3·a 6·a 9·…·a 30＝(a 2q )(a 5q )(a 8q )…(a 29q )＝(a 2·a 5·a 8·…·a 29)q 10＝210·210＝220. 答案 B7．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7解析 ∵a 3·a 11＝16，∴a 27＝16.又∵等比数列{a n }的各项都是正数，∴a 7＝4. 又∵a 10＝a 7q 3＝4×23＝25，∴log 2a 10＝5.故选B. 答案 C8．在等比数列{a n }中，a n ＜a n ＋1，且a 2a 11＝6，a 4＋a 9＝5，则a 6a 11等于( )A ．6B ．23C ．－16D ．32解析 ∵a 2a 11＝a 4a 9，∴a 4a 9＝6，又a 4＋a 9＝5， 且a n ＜a n ＋1，∴a 4＝2，a 9＝3，又a 6a 11＝a 4a 9＝23，故选B ．答案 B9．已知{a n }是等比数列，且a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5＝( ) A ．5 B ．10 C ．15 D ．20解析 由等比数列的性质，得a 4a 6＝a 25，a 2a 4＝a 23， ∴(a 3＋a 5)2＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，∴a 3＋a 5＝±5.∵a n >0，∴a 3＋a 5＝5. 答案 A10．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( ) A ．11 B ．12 C ．14 D ．16解析 设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12，可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q 3n －3＝324，因此4q 3·q 3n －3＝324，即q 3n －6＝81＝34＝q 36， 所以n ＝14.故选C. 答案 C11．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．解析 这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公比的等比数列{a n }(1≤n ≤10，n ∈N *)，则第10个正方形的面积S ＝a 210＝22·29＝211＝2048. 答案 204812．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则a 4＝_____________. 解析 设公比为q ，则a 1q 2＝3，a 1q 9＝384， 所以q 7＝128，q ＝2，故a 4＝a 3q ＝3×2＝6. 答案 613．{a n }为等比数列，且a 1a 9＝64，a 3＋a 7＝20，求a 11. 解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 1·a 9＝a 3·a 7＝64，又a 3＋a 7＝20， ∴a 3、a 7是方程t 2－20t ＋64＝0的两个根． ∴a 3＝4，a 7＝16或a 3＝16，a 7＝4.当a 3＝4时，a 3＋a 7＝a 3＋a 3q 4＝20，∴1＋q 4＝5，∴q 4＝4； 当a 3＝16时，a 3＋a 7＝a 3(1＋q 4)＝20，∴1＋q 4＝54，∴q 4＝14.∴a 11＝a 3q 8＝64或1. 答案 64或114．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数． 解析 解法一：设三个数依次为a ，aq ，aq 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ·aq ·aq 2＝27a 2＋a 2q 2＋a 2q 4＝91，∴⎩⎪⎨⎪⎧aq3＝27a 21＋q 2＋q 4＝91，即⎩⎪⎨⎪⎧aq ＝3a21＋q 2＋q 4＝91，∴q 21＋q 2＋q 4＝991， ∴9q 4－82q 2＋9＝0，解得q 2＝9或q 2＝19，∴q ＝±3或q ＝±13，若q ＝3，则a 1＝1；若q ＝－3，则a 1＝－1； 若q ＝13，则a 1＝9；若q ＝－13，则a 1＝－9.故这三个数为：1,3,9或－1,3，－9或9,3,1或－9,3，－1. 解法二：设这三个数分别为aq，a ，aq .由题意，得⎩⎨⎧a q·a ·aq ＝27a2q 2＋a 2＋a 2q 2＝91，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3a 2f(1q 2＋1＋q 2＝91)，∴9q 4－82q 2＋9＝0，即得q 2＝19或q 2＝9.∴q ＝±3或q ＝±13，故这三个数为：1,3,9或－1,3，－9或9,3,1或－9,3，－1. 答案 1,3,9或－1,3，－9或9,3,1或－9,3，－115．数列{a n }满足a 1＝－1，且a n ＝3a n －1－2n ＋3(n ∈N *，且n ≥2)． (1)求a 2，a 3，并证明数列{a n －n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解析 (1)∵a 1＝－1，a n ＝3a n －1－2n ＋3，∴a 2＝3a 1－2×2＋3＝－4，∴a 3＝3a 2－2×3＋3＝－15.a n ＋1－(n ＋1)a n －n ＝3a n －2(n ＋1)＋3－(n ＋1)a n －n ＝3a n －3na n －n ＝3(n ＝1,2,3，…)．又a 1－1＝－2，∴{a n －n }是以－2为首项，以3为公比的等比数列． (2)由(1)知a n －n ＝－2·3n －1，故a n ＝n －2·3n －1. 答案 n －2·3n －116．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1)(n ∈N *)．(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．解 (1)由S 1＝13(a 1－1)，得a 1＝13(a 1－1)，故a 1＝－12.又S 2＝13(a 2－1)，即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14.(2)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12，所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．。
高一数学同步教学
高一数学同步教学一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计针对的是高一数学同步教学，主要围绕高中一年级数学课程的内容进行。
教学任务包括但不限于：理解并掌握函数、几何、代数等基本数学概念和性质；培养学生的逻辑思维能力、空间想象力和问题解决能力；通过数学学习，提高学生的数学素养和综合素质。
在教学过程中，将重点关注以下方面：（1）函数：了解函数的定义、性质、图像等，掌握基本初等函数及其应用；（2）几何：研究平面几何、立体几何的基本性质，培养学生空间想象力；（3）代数：掌握一元二次方程、不等式、数列等基本知识，提高学生的代数运算能力；（4）概率与统计：了解基本概率公式，学会运用统计方法分析数据。
2、教学对象本教学设计的对象为高中一年级学生，他们在初中阶段已经具备了一定的数学基础，但对高中数学知识的掌握程度不一。
在教学过程中，需要关注学生的学习特点、兴趣和需求，因材施教，使他们在原有基础上得到提高。
高中一年级学生具有以下特点：（1）思维活跃，对新知识充满好奇；（2）学习自觉性较高，但学习方法有待改进；（3）部分学生对数学学习存在恐惧心理，需要鼓励和引导；（4）团队合作意识较强，喜欢与他人交流、探讨问题。
针对这些特点，教学过程中应注重激发学生的学习兴趣，培养良好的学习习惯，提高他们的数学素养。
同时，通过小组合作、讨论等方式，促进学生之间的交流与合作，共同提高。
二、教学目标1、知识与技能（1）掌握函数的基本概念，包括函数的定义、域、值域、图像等，能够运用基本初等函数解决实际问题；（2）理解几何图形的性质，掌握几何图形的绘制方法，培养空间想象力；（3）熟练掌握一元二次方程、不等式、数列等代数知识，提高代数运算能力；（4）了解概率统计的基本原理，掌握概率计算和数据分析的方法；（5）运用数学知识解决实际问题，培养数学建模和数学思维能力。
2、过程与方法（1）通过自主探究、合作学习等方式，培养学生的自主学习能力和团队合作精神；（2）运用启发式教学，引导学生主动发现问题、解决问题，提高学生的问题解决能力；（3）采用案例教学法，使学生能够将数学知识应用于实际情境，提高数学应用能力；（4）注重数学思想的渗透，培养学生的逻辑思维能力和创新意识；（5）通过课堂讲解、课后练习、阶段检测等多种方式，巩固所学知识，形成完整的知识体系。
第12课 芣苢(备作业)-【上好语文课】2020-2021学年高一上册同步备课系列(部编版)
12 芣苢★整体感知★★同步训练★【基础知识】1．下列各句中，没有语病的一句是（）A．卫星激光通信具有通信容量大、传输距离远、保密性好，是建设空间信息高速公路不可替代的手段，也是当前国际信息领域的前沿科学技术。
B．德国各方尽管对中国投资的利益诉求不尽相同，但许多中国对德投资成功的案例，不仅扭转了德国企业原来的亏损状况，更赢得了德方的信任。
C．临床试验的内涵很广，包括预防、诊断和治疗等诸多方面，而药物临床试验，就是一种评价某种药物的疗效或治疗方案的安全性的科学研究。
D．大数据运用有助于引领高等教育创新变革，提升教学、科研水平，应该进一步扩大大数据在高等教育的应用研究，为实现中国梦贡献智慧。
2．下列加点词语的解释，全部错误的一项是（）①薄言．采之（助词，无实义）②薄言掇．之（选取）③赖．有诸孙替老人（依靠，依赖）④急炊大饼偿．饥乏（赔偿）⑤多博．村酤劳苦辛（求取）⑥赋诗怜．汝足精神（爱怜）A．①③⑤B．②④⑥C．①③④D．②⑤⑥3．下列有关文学常识的叙述，错误的一项是（）A．《诗经》“六义”指“风、雅、颂、赋、比、兴”。
其中，“风、雅、颂”为诗歌体制，“赋、比、兴”为主要表现手法。
B．《诗经》原称《诗》，它是“五经”之一，“五经”是指《易》《书》《诗》《礼》《乐》。
C．七言律诗属于近体诗范畴，其格律严密，要求诗句子数整齐划一。
全诗共四联，分首联、颔联、颈联和尾联，中间两联要求对仗。
D．在古代，同一祖先的子孙繁衍增多，往往会分成若干支而散居各处。
各个分支除了保留姓以外，还会取一个称号作为标志，这就是“氏”。
“文氏”即文姓。
4．下面是一位古诗词爱好者在党的十九大召开之后所作的一首七律，请运用律诗相关知识，将所给四句诗填写在横线上，使之成为一首完整的七律诗。
下列排序正确的一项是每逢佳节更情衷，。
，。
，政出和谐方大同。
香茗品来夸未尽，家山习习又清风。
①快意常如秋月满②心多自信得宽广③寒霜不减一旗红④小字云笺记岁丰A．①③④② B．④②①③ C．③②④① D．④①③②5．填入下面一段文字横线处的语句，最恰当的一项是（）《诗经》是中华民族永恒的精神故乡。
2020-2021学年上学期高一数学教学计划(定稿)
2020-2021学年上学期高一数学教学计划（定稿）一、学情分析：通过一学期的教学，大多数学生基本上了解新教材的特点，适应了新教材的学习，基本上能够自觉的学习，也对数学学科产生了一定的兴趣,大部分同学已经形成良好的学习习惯，绝大多数学生顺利的度过初、高中知识体系与思考方法等方面的衔接，但是还有一部分学生，存在薄弱环节，还没有得到实质性的改变，主要表现在以下几个方面：1、不能正确的评价自己。
2、没有理想的目标，没有动力。
3、有一些学生学习积极性、学习兴趣还没有激发起来，平行班较为普遍。
4、良好的学习习惯尚未建立，表现在：不会听课，不会做笔记，上课注意力不集中，作业没有认真完成，甚至抄袭。
5、有一些学生很听话，也能按老师的要求去做，但高中数学学习的能力很低，基础薄弱，经常是说老师讲的能听懂，作业基本不会做，考试成绩很不理想。
由于我校学生数学基础普遍薄弱，尖子生少、低分的学生较多，而且学习欠缺勤奋，学习的自觉性不高。
高一年级学生往往沿用初中的学习方法，死记硬背，这样既没读懂弄透，又使其自学能力和实际应用能力得不到很好的训练，要重视对学生的读法指导。
高一年级学生往往对课程增多、课堂学习容量加大不适应，顾此失彼，精力分散，使听课效率下降，要重视听法的指导。
学习离不开思维，善思则学得活，效率高，不善思则学得死，效果差。
高一学生由于正处在初级的逻辑思维阶段，识记知识时机械记忆的成份较多，理解记忆的成份较少，这就不能适应高一教学的新要求，要重视对学生进行记法指导。
学生大多存在学习粗心,作业马虎,对数学学习缺乏兴趣和信心的整体弱点，学习习惯差。
1、在知识结构上：学生在小学已学过的概率的运算，相应的较为简单的应用题，对图形、图形的面积、体积，数据的收集与整理上有了初步的认识，无论是代数的知识，图形的知识都有待于进一步系统化、理论化，这就是高中的内容，本学期将要学习有关统计与概率的认识，对图形的进一步认识；2、在数学的思维上：学生正处于形象思维向逻辑抽象思维的转变期，这期间，结合教学，让学生适当思考部分有利于思维的题目，无疑是对学生终身有用的；另一方面关注一题多解，多题一解，从不同的角度看问题，培养学生数学思维的活跃性和敏感性。
2020-2021学年度高一年级第一学期数学教学计划
2020-2021学年度高一年级第一学期数学教学计划高一数学第一学期教学工作计划高一数学备课组一、指导思想和要求坚持以“学生发展为本，基于学生发展，关注学生发展，为了学生的发展”为教育核心理念。
在教学中，要突出培养学生的创新和实践能力，收集处理信息的能力、获取新知识的能力、分析解决问题的能力，以及交流协作的能力，发展学生对自然和社会的责任感，另外还要求让每个学生拥有健康的身心、优良的品质和终身研究的愿望与能力、科学和人文素养，养成健康的审美情趣和生活方式。
从而实现全体学生的发展，以及学生个体的全面发展。
为此，教师要发挥自己课程建设中的能动作用，要变“教教材”为“用教材教”，要变“经师”为“人师”，要变“教书”为“教书铸魂并重”，通过创造性地实施课程，在知识、技能的传授过程中实现学生情感态度价值观的目标，实现育人的功效。
贯彻学校工作计划思想，以备课组为单位进行集体备课。
备课组教师要加强业务研究提高业务水平；加强教学研究活动，发扬“团体作战”精神，以饱满的工作热情、精益求精的工作态度坚持集体备课。
贯彻数学组的工作计划，认真落实不流于形式.XXX、学情分析：1.基本情况：年级共30个班，学生底数大，学生基础参差不齐。
2.合理安排本学期教学进度，扎扎实实完成教学任务：选取与内容密切相关的，典型的，丰富的和学生熟悉的素材，用生动活泼的语言，创设可以体现数学的概念和结论，数学的头脑和方法，以及数学应用的研究情境，使学出产生对数学的亲切感，引发学生“看个究竟”的感动，以达到培养其兴趣的目标。
通过“观察”，“思考”，“探究”等栏目，引发学生的思考和探索活动，切实改进学生的研究方式。
在讲授中强调类比，推行，特殊化，化归等数学头脑方法，尽大概养成其逻辑思维的惯。
贯彻落实学校课堂讲授模式，彻底改变满堂灌的讲授方式，课堂上不仅让学生获得一种知识，还要让学生具有一种能力、一种精神、一种惯、一种态度、以及对知识、真理的不懈寻求。
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1 备作业5.1.1 任意角[A 级 基础巩固]1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( )A ．120°B ．－120°C ．240°D ．－240°解析：选D 按顺时针方向旋转形成的角是负角，排除A 、C ；又由题意知旋转的角度是240°，排除B.故选D.2．给出下列四个结论：①－15°角是第四象限角；②185°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－350°角是第一象限角．其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D ①－15°角是第四象限角；②因为180°<185°<270°，所以185°角是第三象限角；③因为475°＝360°＋115°，90°<115°<180°，所以475°角是第二象限角；④因为－350°＝－360°＋10°，所以－350°角是第一象限角．所以四个结论都是正确的．3．集合A ＝{α|α＝k ·90°－36°，k ∈Z }，B ＝{β|－180°<β<180°}，则A ∩B ＝( )A ．{－36°，54°}B ．{－126°，144°}C ．{－126°，－36°，54°，144°}D ．{－126°，54°} 解析：选C 令k ＝－1,0,1,2，则A ，B 的公共元素有－126°，－36°，54°，144°.4．若α是第一象限角，则－2α是( ) A ．第一象限角B ．第四象限角C ．第二或第三象限角D ．第二或第四象限角解析：选D 法一：由题意知k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z ，则k ·180°<2α<k ·180°＋45°，k ∈Z ，所以－k ·180°－45°<－2α<－k ·180°，k ∈Z . 当k 为偶数时，－2α为第四象限角；当k 为奇数时，－2α为第二象限角． 法二：由几何法易知2α为第一象限角或第三象限角，根据－2α与2α的终边关于x 轴对称，知2 －2为第四象限角或第二象限角． 5．已知角α＝45°，β＝315°，则角α与β的终边( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称解析：选A 因为β＝315°＝360°－45°，所以315°角与－45°角的终边相同，所以α与β的终边关于x 轴对称．6．已知－990°<α<－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝________.解析：因为α与120°角终边相同，故有α＝k ·360°＋120°，k ∈Z .又因为－990°<α<－630°，所以－990°<k ·360°＋120°<－630°，即－1 110°<k ·360°<－750°.当k ＝－3时，α＝(－3)×360°＋120°＝－960°.答案：－960°7．已知角α＝－3 000°，则与α终边相同的最小的正角是________．解析：与α角终边相同的角为β＝k ·360°－3 000°(k ∈Z )．由题意，令k ·360°－3 000°>0°，则k >253，故取k ＝9，得与α终边相同的最小正角为240°. 答案：240°8．若α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则α＝________. 解析：∵5α＝α＋k ·360°，k ∈Z ，∴α＝k ·90°，k ∈Z .又∵180°<α<360°，∴α＝270°.答案：270°9．已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角：(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－360°～720°之间的角．解：因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°，即－1 845°角与－45°角的终边相同，所以与角α终边相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k ·360°，k ∈Z }．(1)最小的正角为315°.(2)最大的负角为－45°.(3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.310．已知角的集合M ＝{α|α＝30°＋k ·90°，k ∈Z }，回答下列问题：(1)集合M 中大于－360°且小于360°的角是哪几个？(2)写出集合M 中的第二象限角β的一般表达式．解：(1)令－360°<30°＋k ·90°<360°，得－83<k <113，又∵k ∈Z ，∴k ＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3，∴集合M 中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.(2)∵集合M 中的第二象限角与120°角的终边相同，∴β＝120°＋k ·360°，k ∈Z .[B 级 综合运用]11．若α与β终边相同，则α－β的终边落在( )A ．x 轴的非负半轴上B ．x 轴的非正半轴上C ．y 轴的非负半轴上D ．y 轴的非正半轴上解析：选A ∵α＝β＋k ·360°，k ∈Z ，∴α－β＝k ·360°，k ∈Z ，∴其终边在x 轴的非负半轴上．12．(多选)已知角2α的终边在x 轴的上方，那么角α可能是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 解析：选AC 因为角2α的终边在x 轴的上方，所以k ·360°<2α<k ·360°＋180°，k ∈Z ，则有k ·180°<α<k ·180°＋90°，k ∈Z .故当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ·360°<α<n ·360°＋90°，n ∈Z ，α为第一象限角；当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ·360°＋180°<α<n ·360°＋270°，n ∈Z ，α为第三角限角．故选A 、C.13．集合{α|k ·180°≤α≤k ·180°＋45°，k ∈Z }中角表示的范围(用阴影表示)是图中的________(填序号)．解析：集合{α|k ·180°≤α≤k ·180°＋45°，k ∈Z }中，当k 为偶数时，此集合与{α|0°≤α≤45°}表示终边相同的角，位于第一象限；当k 为奇数时，此集合与{α|180°≤α≤225°}表示终边相同的角，位于第三象限．所以集合{α|k ·180°≤α≤k ·180°＋45°，k ∈Z }中角表示的范围为图②所示．4 答案：②14．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．解：由题意可知，α＋β＝－280°＋k ·360°，k ∈Z ，∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°.取k ＝1，得α＋β＝80°.①∵α－β＝670°＋k ·360°，k ∈Z ，α，β都是锐角，∴－90°<α－β<90°.取k ＝－2，得α－β＝－50°.②由①②，得α＝15°，β＝65°.[C 级 拓展探究]15.如图，点A 在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx ＝45°，点P 从点A处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转．已知点P 在1秒内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A ，求θ，并判断θ所在的象限．解：根据题意知，14秒钟后，点P 在角14θ＋45°的终边上，所以45°＋k ·360°＝14θ＋45°，k ∈Z .又180°<2θ＋45°<270°，即67.5°<θ<112.5°，∴67.5°<1807k ⋅︒<112.5°. 又k ∈Z ，∴k ＝3或4，∴所求的θ的值为5407︒或7207︒. ∵0°<5407︒<90°，90°<7207︒<180°， ∴θ在第一象限或第二象限．。