西安交大物理_-_机械波(1)

考虑到绳子的弹性形变不大，故有
cos 1, sin tg
T'
弹性回复力
F F
x
y
0
水平方向上的合力近似为零
Tx x
Ttg x x Ttg x
y T x y T x x x
x
x
Tx
x x
T'
弹性回复力
根据牛顿定律，该线元所受的横向力为
y
u
x
0
① 直接读出振幅和波长
② 该时刻介质各质点的位移 ③ 已知波的传播方向，可确定该时刻介质各质点的振动方向 （口诀:沿着波的传播方向,“上坡下，下坡上” ）
t后的波形图
传播方向 ④ 从图象中可以定性地比较各质点在该时刻的振动速度、动能、
势能、回复力、加速度等量的大小
当 t 给定， y
时刻，原点质元的振动状态相同。
t 时刻，x 处质元的振动规律为
二. 平面简谐波
x y f ( t ) f ( x ,t ) u
若传播谐振动状态，波所到之处，媒质中各质点都做同频率、同振 幅谐振动，则该波动称为简谐波（余弦或正弦波）。 任何复杂的波都可以分解为一系列简谐波的叠加
平面简谐波 —— 波面为平面的简谐波
o a o' b xa ' xa l
波动与振动的联系
x 轴负方向传播的平面简谐波在 t 2s 时的波形曲线， 已知，u 0.5m / s , 求解质点 o 的振动表达式？
例3 如图所示为沿 解：由波形图可得
y( m )
0.5
1 4
？y
u
2

2 t
u
x( m )
2 2 2
y v最大, 也最大 x
x E （V）A sin [ (t ) 0 ] E ( x, t ) u
结果：波在传播过程中不断吸收和放出能量，故波动是一个能 量传播的过程 —— 实验证明
Xi’an Jiaotong University
Prof. Xiaoli Wang
2015. 10. 23
§2-3 平面简谐波（Simple harmonic wave） 一. 平面行波 已知位于坐标原点的质元振动规律：
y
u
x
P
yo f ( t )
t 时刻，x 处质元的振动状态与
o
x
x t u
x y y( x ,t ) A cos( ( t ) 0 ) u
比较
2 y 2 x 2 y x 2 A 2 cos[ ( t ) 0 ] A cos[ ( t ) 0 ] 2 2 x u u t u
2 y 1 2 y 2 2 x u t 2
• 波速 u 是振动相位的传播速度：当位移 y 给定
t1 , x1,
相位为
t1 t , x1 x ,
相位为
x1 ( t1 ) u
x u t
x1 x ( t1 t ) u
简谐振动的相位以波速传播!
波动的图象: 表征介质中各质点在某一时刻 相对平衡位置的位移的规律 波的图像反映的物理量：
0
P0 Q0
2

x
5 ( ) 0 P 点超前 2 3 6 2 12 波长 x 2.4 m 5
波速
u 4.8 m / s T 2
o P
0 P
• 质元的机械能:
x E xA sin [ (t ) 0 ] u
2 2 2
讨论： 1. 波传播中，质元的动能和势能同步变化（同相变化）
Ek E p
质元的动能、势能同时达到最大，同时达到最小。
y v最小, 也最小 x
A B
u
x
2 质元的机械能作时空的周期性变化： 设体积为 V 体密度为
一横波在一条绳索上传播，如图示。在
绳子密度为

y
取一线元 在
dl ，有张力
x 方向上： Fx T cos xx T cos x 在 y 方向上：
Tx
x 方向施有张力 T u Tx x dl x x x
x x
x x
Tx x
o
Tx
F
y
T sin xx T sin x
说 明
或
y 2 y u 2 t x 2
2 2
① 一切平面波所满足的微分方程（正、反传播）；
② 不仅适用于机械波，也广泛地适用于电磁波、热传导、 化学中的扩散等过程；（具有普遍性） ③ 一般的物理量在三维空间中以波的形式传播，若媒质是 线性、均匀、各向同性，且无吸收，则波动方程为：
2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 x y z u t
0.5 cos(

2
o
)m
1
2
T t 2s 2 y 0.5 cos( t )m 2 2
0.5
u
2
x( m )
o
1
§ 2 - 4 波的能量和强度 一. 平面简谐波的能量（能量密度） 质元由静止开始振动 各质元振动 y 波动是能量传播过程
以一绳索上传播的横波为例: 设波沿 x 方向传播，取线元
• 质元的动能:
x 1 y 2 1 2 2 2 Ek m( ) xA sin [ (t ) 0 ] 2 t 2 u
• 质元的势能:
x 1 y 2 1 2 2 2 EP Tx( ) xA sin [ (t ) 0 ] 2 x 2 u
（在无吸收、无耗散、各向同性、无限大均匀媒质中传播）
1. 平面简谐波的波函数 • 从传播时间分析： O 点质元的振动方程：
y
u
x
2
yo A cos( t 0 )
P 点质元的振动方程：
o
P

x
x
• 从相位变化分析：
x y P A cos( ( t ) 0 ) u

yP A cos( t 0 ) A cos( t 0 2
x

)
x x y A cos( ( t ) 0 ) A cos( 2 (t ) 0 ) u
u
2 2 / T
波函数的其它形式
x t x y( x ,t ) A cos[ ( t ) 0 ] A cos[ 2 ( ) 0 ] u T 2 y( x ,t ) A cos[ ( ut x ) 0 ]
y y 2 y T( ) x 2 x x x x x t
x 0
2 y 2 y T 2 dx dx 2 x t
2 y 1 2 y 2 2 2 x u t
2 y 2 y 2 x T t 2
证明了波速只与介质本身性质有关，与频率无关的结论。
E p T (l x)
1 y 2 T x[1 ( ) ...] x 2 x
1 y 2 EP Tx( ) 2 x
因为
质元的 机械能
E Ek EP
T u
2
x y A cos[ (t ) 0 ] u

2
波函数的物理意义 振动方程 波函数
y
P
u
yo A cos( t 0 )
当振动质元的位置 x 给定
x
o
xP y P ( xP ,t ) A cos[ t ( 0 )] y P ( t ) u
波在传播过程中，任意两质点振动的之间的相位关系：
x1 x1 , x2 两质点： y1 A cos[ ( t ) 0 ] u x2 y2 A cos[ ( t ) 0 ] u x x 相位差： [ ( t 2 ) ] [ ( t 1 ) ] ( x x ) 0 0 1 2 u u u x2 x1, 0 , X2 处质点振动相位总落后 X1 处质点。
四. 波函数的应用及其研究方法
x x y A cos( ( t ) 0 ) A cos( 2 (t ) 0 ) u
需要重视的三个问题： 相位的影响： 例1 如图所示 已知：
u
O
P
1m 1m
Q
x
4
t 0
A 0.01m
y P o , vP 0
l
T2
o
u
T1
m x ，线元的动能：
1 1 y 2 2 Ek mv m( ) 2 2 t
线元的势能（取原长为势能零点）
y
x
x
l (x) 2 (y ) 2 y 2 1/ 2 x[1 ( ) ] x y 2 1/ 2 x[1 ( ) ] x
2 1 2 2 2 u t
任何物质运动，只要它的运动规律符合上式，就可以肯定它是 以 u 为传播速度的波动过程（描述了一个波动）。
x y A cos[ ( t ) 0 ] u
通过实例，可推证平面波的波动方程：
波动方程
2 y 1 2 y 2 2 2 x u t
yQ 5 10 3 m,vQ 0
求： y(
x ,t )
解：由振动问题出发，求解波函数。由题意
x y( x ,t ) A[ 4 ( t ) 0 ] u
A,u ,0
t 0
y P o , vP 0
yQ A / 2 ,vQ 0
P / 2
0
Q / 3
5 4 .01[ 4 ( t ) ]m 4.8 3