2018高考数学(人教A 理科)大一轮复习配套(课件)第九章 平面解析几何 第4讲
2018版高考数学(理)(人教)大一轮复习讲义第九章平面解析几何9.4
相切 过点 A(a,a2),B(b,b2)的直线与圆 x2+y2=1 的位置关系是_____.
答案 解析
由题意可知过A,B两点的直线方程为(a+b)x-y-ab=0,
|-ab| 1 圆心到直线 AB 的距离 d= ,而 a+b=-tan θ, 2 a+b +1 1 1 sin θ ab=-sin θ,因此 d= , 1 2 - +1 tan θ
圆C1关于x轴对称的圆C1′的圆心为C1′(2,-3),半径不变,圆C2的 圆心为(3,4),半径r=3,|PM|+|PN|的最小值为圆C1′和圆C2的圆心距 减去两圆的半径,
所以|PM|+|PN|的最小值为 3-22+4+32-1-3=5 2-4.
5.已知圆C1:(x-a)2+(y+2)2=4与圆C2:(x+b)2+(y+2)2=1外切,则 9 答案 解析 4 ab的最大值为________. 由两圆外切可得圆心 (a ,- 2) ,( -b ,-2) 之间的距离等于两圆半径
→ → (2)若OM· ON=12,其中 O 为坐标原点,求|MN|. 解答
命题点3 直线与圆相切的问题 例5 已知圆C:(x-1)2+(y+2)2=10,求满足下列条件的圆的切线方程. (1)与直线l1:x+y-4=0平行; 解答 设切线方程为x+y+b=0,
|1-2+b| 则 = 10,∴b=1± 2 5, 2
A.相切
C.相离
B.相交
D.不确定
因为 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外,所以 a2+b2>1,而圆心 O 到直线 ax |a· 0+b· 0-1| 1 +by=1 的距离 d= = 2 2 2 2<1. a +b a +b 所以直线与圆相交.
(2)(2016· 江西吉安月考)圆x2+y2-2x+4y=0与直线2tx-y-2-2t=0
2018版高考数学(人教A版理科)大一轮复习配套(讲义)第九章平面解析几何第9讲第1课时含解析
基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1.过抛物线y 2=2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ,B 两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线( )A 。
有且只有一条B 。
有且只有两条 C.有且只有三条 D.有且只有四条解析 ∵通径2p =2,又|AB |=x 1+x 2+p ,∴|AB |=3>2p ,故这样的直线有且只有两条.答案 B2。
直线y =错误!x +3与双曲线错误!-错误!=1(a >0,b >0)的交点个数是( )A 。
1B 。
2C 。
1或2 D.0解析 因为直线y =b ax +3与双曲线的渐近线y =错误!x 平行,所以它与双曲线只有1个交点.答案 A3。
经过椭圆错误!+y 2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ,交椭圆于A ,B 两点,设O 为坐标原点,则错误!·错误!等于( )A。
-3 B.-错误!C。
-错误!或-3 D。
±错误!解析依题意,当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为y-0=tan 45°(x-1),即y=x-1,代入椭圆方程错误!+y2=1并整理得3x2-4x=0,解得x=0或x=错误!,所以两个交点坐标分别为(0,-1),错误!,∴错误!·错误!=-错误!,同理,直线l经过椭圆的左焦点时,也可得错误!·错误!=-错误!。
答案B4。
抛物线y=x2到直线x-y-2=0的最短距离为()A。
错误!B。
错误!C.2错误!D。
错误!解析设抛物线上一点的坐标为(x,y),则d=错误!=错误!=错误!,∴x=错误!时, d min=错误!.答案B5.(2017·石家庄调研)椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A,B 两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为错误!,则错误!的值为( )A。
错误! B.错误!C。
错误!D。
错误!解析设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB中点M(x0,y0),由题设k OM=错误!=错误!。
2018高考数学文人教新课标大一轮复习配套文档:第九章 平面解析几何 9-1 直线与方程 含答案 精品
第九章平面解析几何1.平面解析几何初步(1)直线与方程①在平面直角坐标系中,结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.②理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.④掌握确定直线的几何要素,掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.⑤能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标.⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两平行直线间的距离.(2)圆与方程①掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.②能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系.③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.④初步了解用代数方法处理几何问题的思想.2.圆锥曲线与方程(1)掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程和简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).(2)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).(3)了解抛物线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).(4)理解数形结合的思想.(5)了解圆锥曲线的简单应用.9.1 直线与方程1.平面直角坐标系中的基本公式(1)数轴上A ,B 两点的距离:数轴上点A 的坐标为x 1,点B 的坐标为x 2,则A ,B 两点间的距离|AB |=____________.(2)平面直角坐标系中的基本公式:①两点间的距离公式:在平面直角坐标系中,两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)之间的距离公式为d (A ,B )=|AB |=__________________________.②线段的中点坐标公式:若点P 1,P 2的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ,y ),则⎩⎪⎨⎪⎧x = ,y = . 2.直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角:当直线l 与x 轴相交时,取x 轴作为基准,x 轴____________与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴________或________时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角α的取值范围为__________________.(2)斜率:一条直线的倾斜角α的____________叫做这条直线的斜率,常用小写字母k 表示,即k =______(α≠______).当直线平行于x 轴或者与x 轴重合时,k ______0;当直线的倾斜角为锐角时,k ______0;当直线的倾斜角为钝角时,k ______0;倾斜角为______的直线没有斜率.倾斜角不同,直线的斜率也不同.因此,我们可以用斜率表示直线的倾斜程度.(3)经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k =.3.直线方程的几种形式(1)截距:直线l 与x 轴交点(a ,0)的____________叫做直线l 在x 轴上的截距,直线l 与y 轴交点(0,b )的____________叫做直线l 在y 轴上的截距.注:截距____________距离(填“是”或“不是”).(2)直线方程的五种形式:的特例.(3)过点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的直线方程 ①若x 1=x 2,且y 1≠y 2时,直线垂直于x 轴,方程为____________;②若x 1≠x 2,且y 1=y 2时,直线垂直于y 轴,方程为____________;③若x 1=x 2=0,且y 1≠y 2时,直线即为y 轴,方程为____________;④若x 1≠x 2,且y 1=y 2=0,直线即为x 轴,方程为____________.自查自纠1.(1)|x 2-x 1| (2)①()x 2-x 12+()y 2-y 12②x 1+x 22y 1+y 222.(1)正向 平行 重合 0°≤α<180° (2)正切值 tan α 90° = > < 90°解:由图可知,α2=α1+90°=1=tan30°=33,直线tan120°=- 3.故填33;【点拨】①直线的倾斜角与斜率均是反映直线倾斜程度的量.倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度,而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程解法一:设直线l 的方程为x a +y b=1(代入得3a +2b =1≥26ab,得,当且仅当3a =2b时等号成立,这时,从而所求直线l 的方程为2x 解法二:依题意知,直线l 的斜率的方程为y -2=k (x -3)(,B (0,2-3k ),)⎝ ⎛⎭⎪⎫3-2k=12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12+(-9k )+4-k ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12+2(-9k )·4-k=12×(12+12)=12,当且仅当-9k =4-k ,即k =-23时,等号成立.所以△ABO 的面积的最小值为12,所求直线l 的方程为2x +3y -12=0.已知△ABC 中,顶点A (4,5),点B 在直线l :2x -y +2=0上,点C 在x 轴上,求△ABC 周长的最小值.解:设点A 关于直线l :2x -y +2=0的对称点为A 1(x 1,y 1),点A 关于x 轴的对称点为A 2(x 2,y 2),连接A 1A 2交l 于点B ,交x 轴于点C ,则此时△ABC 的周长取最小值,且最小值为||A 1A 2.因为A 1与A 关于直线l :2x -y +2=0对称,所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1-5x 1-4×2=-1,2×x 1+42-y 1+52+2=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1=0,y 1=7.所以A 1(0,7).易求得A 2(4,-5),所以△ABC 周长的最小值为||A 1A 2=(4-0)2+(-5-7)2=410.。
2018届高考(新课标)数学(理)大一轮复习课件:第九章 平面解析几何 9-3
Dx0+Ey0+F>0.(3)√ (4)× (5)× (6)√
A.(2,3) C.(-2,-3)
B.(-2,3) D.(2,-3)
【解析】 圆 x +y +Dx+Ey+F=0
【答案】 D
2
2
D E 的圆心为- 2 ,- 2 ,
∴圆 x2+y2-4x+6y=0 的圆心为(2,-3).
(3)点在圆内:_______________________.
(x0-a)2+(y0-b)2=r2 (x0-a)2+(y0-b)2>r2 (x0-a)2+(y0-b)2<r2
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( )
(2)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=
§9.3 圆的方程 [考纲要求] 1.掌握确定圆的几何要素.2.掌握圆的标准方程与一般方程.
1.圆的定义 在平面内,到_____的距离等于_____的点的______叫圆.
2.确定一个圆最基本的要素是_____和______.
3.圆的标准方程
定点 定长 半径 集合
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中______为圆心,__为半径. 圆心
方法二 令 x=0,得 y= 2±1,所以点 B(0, 2+1).又点 C(1, 2),设过点 B 的切线方程为 y-( 2+1)=kx,即 kx-y+ ( 2+1)=0.由题意,圆心 C(1, 2)到直线 kx- y+( 2 +1)=0 |k- 2+ 2+1| 的距离 d= =r= 2,解得 k=1.故切线方程为 x 2 k +1 -y+( 2+1)=0.令 y=0,得切线在 x 轴上的截距为- 2-1.
2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.8曲线与方程课件理新人教版
=-2,求点M的轨迹方程. 解答 几何画板展示
题型三 相关点法求轨迹方程 例3 (2016·大连模拟)如图所示,抛物线C1:x2=4y,C2: x2=-2py(p>0).点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线, 切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O).当x0=1- 2时, 切线MA的斜率为-1 .
思维升华
直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数 方程,要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、 化简、证明这五个步骤,但最后的证明可以省略,如果给出了直角坐 标系则可省去建系这一步,求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯 粹性和完备性.
跟踪训练2 在平面直角坐标系xOy中,点P(a,b)为动点,F1,F2分别 为椭圆ax22+by22=1(a>b>0)的左,右焦点.已知△F1PF2为等腰三角形.
3.(2016·南昌模拟)已知A(-2,0),B(1,0)两点,动点P不在x轴上,且满足
∠APO=∠BPO,其中O为原点,则P点的轨迹方程是 答案 解析
A.(x+2)2+y2=4(y≠0)
几何画板展示
B.(x+1)2+y2=1(y≠0)
C.(x-2)2+y2=4(y≠0)
D.(x-1)2+y2=1(y≠0)
2.求动点的轨迹方程的基本步骤 任意 x,y
所求方程
知识拓展
1.“曲线C是方程f(x,y)=0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0的解”的充分不必要条件. 2.曲线的交点与方程组的关系: (1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解,即两个曲线方程组 成的方程组的实数解; (2)方程组有几组解,两条曲线就有几个交点;方程组无解,两条曲线 就没有交点.
2018版高考数学(人教A版理科)大一轮复习配套(讲义)第九章平面解析几何第9讲第2课时含解析
基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1。
设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是()A。
错误!B。
[-2,2]C。
[-1,1] D.[-4,4]解析Q(-2,0),设直线l的方程为y=k(x+2),代入抛物线方程,消去y整理得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,由Δ=(4k2-8)2-4k2·4k2=64(1-k2)≥0,解得-1≤k≤1。
答案C2。
(2017·石家庄模拟)已知P为双曲线C:错误!-错误!=1上的点,点M满足|OM,→|=1,且错误!·错误!=0,则当|错误!|取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为()A。
错误! B.错误! C.4 D。
5解析由错误!·错误!=0,得OM⊥PM,根据勾股定理,求|MP|的最小值可以转化为求|OP|的最小值,当|OP|取得最小值时,点P 的位置为双曲线的顶点(±3,0),而双曲线的渐近线为4x±3y=0,∴所求的距离d=错误!,故选B。
答案B3.已知椭圆C的方程为错误!+错误!=1(m>0),如果直线y=错误!x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F,则m 的值为( )A.2B.2错误!C.8 D。
2错误!解析根据已知条件得c=错误!,则点(错误!,错误!错误!)在椭圆错误!+错误!=1(m>0)上,∴错误!+错误!=1,可得m=2错误!.答案B4.若双曲线错误!-错误!=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2+2有公共点,则此双曲线的离心率的取值范围是( )A.[3,+∞)B.(3,+∞)C.(1,3] D。
(1,3)解析依题意可知双曲线渐近线方程为y=±错误!x,与抛物线方程联立消去y得x2±错误!x+2=0。
∵渐近线与抛物线有交点,∴Δ=错误!-8≥0,求得b2≥8a2,∴c=错误!≥3a,∴e=错误!≥3。
2018版高考数学(理)(人教)大一轮复习讲义第九章平面解析几何9.2
2.几种距离
2 2 x - x + y - y 2 1 2 1 (1)两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离|P1P2|=
.
|Ax0+By0+C| 2 2 A + B (2)点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d= .
(3)两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(其中C1≠C2)间的距离
思想方法指导 规范解答
依据两直线垂直的特征设出方程,再由待定系数法求解.
三、过直线交点的直线系 典例3 求经过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与
规范解答
几何画板展示
直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.
思想方法指导
可分别求出直线l1与l2的交点及直线l的斜率k,直接写出方程;也可以利
|C1-C2| 2 2 A + B d= .
知识拓展
1.直线系方程 (1) 与直线 Ax + By + C = 0 平行的直线系方程是 Ax + By + m = 0(m∈R 且 m≠C). (2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+n=0(n∈R). 2.两直线平行或重合的充要条件 直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0平行或重合的充要 条件是 A1B2-A2B1=0 .
解答
因为A1A2+B1B2=0是l1⊥l2的充要条件, 所以2sin α+sin α=0,即sin α=0,所以α=kπ,k∈Z. 故当α=kπ,k∈Z时,l1⊥l2.
题型二 两条直线的交点与距离问题
例2
答案
(1)(2016· 长沙模拟)求经过两条直线l1:x+y-4=0和l2:x-y+2
解析
2018年高考数学(理)人教A版一轮复习课件:第九章 解析几何 9-8
-6知识梳理 双基自测
1 2 3 4
(7)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点, 分别是两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线. (8)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点, 分别是一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线. (9)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点, 该直线是一条与对称轴平行或重合的直线.
������������· ������
关闭
设������������ 与 m 的夹角为 θ,
������������· ������ 则 |������| =6cos
θ=3,所以 cos
1 θ=2.
所以双曲线的渐近线与 x 轴成 60°角,可得 = 3. 当 λ>0
������ 时,e=������
-1知识梳理 双基自测
1 2 3 4
1.直线与圆锥曲线的位置关系 (1)从几何角度看,可分为三类:没有公共点,仅有一个公共点及有 两个不同的公共点. (2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入圆锥曲线的方程 消元后所得一元二次方程解的情况来判断.设直线l的方程为 Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为f(x,y)=0.
答案
-8知识梳理 双基自测
1 2 3 4 5
2.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的 直线有( ) A.1条 B.2条 C.3条D.4条
关闭
结合图形分析可知,满足题意的直线共有3条:直线x=0,过点(0,1)且平行于
关闭
x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x=0) C
1+
1
2 |y1-y2|
-4知识梳理 双基自测
2018版高考数学(人教A版理科)大一轮复习配套(讲义)第九章平面解析几何第6讲含解析
基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1.(2017·郑州模拟)设双曲线错误!-错误!=1(a >0,b >0)的虚轴长为2,焦距为2错误!,则双曲线的渐近线方程为( )A.y =±错误!xB 。
y =±错误!xC 。
y =±错误!xD 。
y =±2x解析 因为2b =2,所以b =1,因为2c =2错误!,所以c =错误!,所以a =错误!=错误!,所以双曲线的渐近线方程为y =±错误!x =±错误!x ,故选B 。
答案 B2。
(2015·广东卷)已知双曲线C :错误!-错误!=1的离心率e =错误!,且其右焦点为F 2(5,0),则双曲线C 的方程为( )A 。
错误!-错误!=1B.错误!-错误!=1 C 。
错误!-错误!=1 D.错误!-错误!=1解析 因为所求双曲线的右焦点为F 2(5,0)且离心率为e =c a=错误!,所以c =5,a =4,b 2=c 2-a 2=9,所以所求双曲线方程为错误!-错误!=1,故选C 。
答案 C3.(2017·山西省四校联考)已知双曲线C :x 2a 2-错误!=1(a >0,b >0),右焦点F 到渐近线的距离为2,点F 到原点的距离为3,则双曲线C 的离心率e 为( )A 。
错误!B 。
错误! C.错误! D.错误!解析 ∵右焦点F 到渐近线的距离为2,∴F (c ,0)到y =错误!x 的距离为2,即错误!=2,又b >0,c >0,a 2+b 2=c 2,∴错误!=b =2,又∵点F 到原点的距离为3,∴c =3,∴a =c 2-b 2=错误!,∴离心率e =错误!=错误!=错误!.答案 B4.已知F 1,F 2为双曲线C :x 2-y 2=2的左、右焦点,点P 在C 上,|PF 1|=2|PF 2|,则cos ∠F 1PF 2=( )A 。
错误! B.错误! C.错误! D.错误!解析 由x 2-y 2=2,知a =b =错误!,c =2.由双曲线定义,|PF 1|-|PF 2|=2a =2错误!,又|PF 1|=2|PF 2|,∴|PF 1|=4错误!,|PF 2|=2错误!,在△PF 1F 2中,|F 1F 2|=2c =4,由余弦定理,得cos ∠F1PF2=错误!=错误!.答案C5。
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=(a+2(exa0)+2e+x0)((a-a-ex0e)x0)2-4c2=cos60°=12,
解得 x20=4c32-e2 a2.∵x0∈(-a,a),∴x20∈[0,a2),0≤4c32-c2a2<a2,
解:(1)∵椭圆的焦点在 x 轴上,∴设它的标准方程为ax22+by22=1(a>b>0).
∵2a=10,2c=6,即 a=5,c=3,
∴b2=a2-c2=52-32=16. ∴所求椭圆的标准方程为2x52 +1y62 =1. (2)∵所求的椭圆与椭圆x92+y42=1 的焦点相同,∴其焦点在 x 轴上,且 c2=5. 设所求椭圆的标准方程为ax22+by22=1(a>b>0), ∵所求椭圆过点 P(-3,2),∴有a92+b42=1.
已知椭圆xm2+y42=1 的焦距是 2,则该椭圆的长 轴长为____________.
解:当焦点在 x 轴上时,有 m-4=1,得 m=5, 此时长轴长为 2 5;当焦点在 y 轴上时,长轴长为 4. 故填 2 5或 4.
类型一 椭圆的定义及其标准方程
求满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-3,0),(3,0),椭圆上一点 P 到两 焦点的距离之和等于 10; (2)过点 P(-3,2),且与椭圆x92+y42=1 有相同的焦点; (3)已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上,且点 P 到两焦点的距 离分别为 5,3,过点 P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点.
已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0), 离心率等于12,则 C 的方程是____________.
解:由椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)知 c=1,且焦 点在 x 轴上,又 e=ac=12,∴a=2,a2=4,b2=a2- c2=3,椭圆 C 的方程为x42+y32=1.故填x42+y32=1.
2018版高考数学人教A版 理科大一轮复习配套讲义第九章 平面解析几何 第9讲 第1课时 含解析 精品
基础巩固题组 (建议用时:40分钟)一、选择题1.过抛物线y 2=2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ,B 两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线( ) A.有且只有一条 B.有且只有两条 C.有且只有三条D.有且只有四条解析 ∵通径2p =2,又|AB |=x 1+x 2+p ,∴|AB |=3>2p ,故这样的直线有且只有两条. 答案 B2.直线y =b a x +3与双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的交点个数是( ) A.1B.2C.1或2D.0解析 因为直线y =b a x +3与双曲线的渐近线y =ba x 平行,所以它与双曲线只有1个交点. 答案 A3.经过椭圆x 22+y 2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ,交椭圆于A ,B 两点,设O 为坐标原点,则OA →·OB →等于( )A.-3B.-13C.-13或-3D.±13解析 依题意,当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为y -0=tan 45°(x -1),即y =x -1,代入椭圆方程x 22+y 2=1并整理得3x 2-4x =0,解得x =0或x =43,所以两个交点坐标分别为(0,-1),⎝ ⎛⎭⎪⎫43,13,∴OA→·OB →=-13,同理,直线l 经过椭圆的左焦点时,也可得OA→·OB →=-13.答案 B4.抛物线y =x 2到直线x -y -2=0的最短距离为( )A. 2B.728C.2 2D.526解析 设抛物线上一点的坐标为(x ,y ),则d =|x -y -2|2=|-x 2+x -2|2=⎪⎪⎪⎪⎪⎪-⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122-742,∴x =12时, d min =728.答案 B5.(2017·石家庄调研)椭圆ax 2+by 2=1与直线y =1-x 交于A ,B 两点,过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32,则ab 的值为( ) A.32B.233C.932D.2327解析 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),线段AB 中点M (x 0,y 0), 由题设k OM =y 0x 0=32.由⎩⎨⎧ax 21+by 21=1,ax 22+by 22=1,得(y 2+y 1)(y 2-y 1)(x 2+x 1)(x 2-x 1)=-a b . 又y 2-y 1x 2-x 1=-1,y 2+y 1x 2+x 1=2y 02x 0=32. 所以a b =32. 答案 A 二、填空题6.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),F (2,0)为其右焦点,过F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C 的方程为________.解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c =2,b 2a =1,a 2=b 2+c 2,解得⎩⎨⎧a =2,b =2,∴椭圆C 的方程为x 24+y 22=1.答案 x 24+y 22=17.已知抛物线y =ax 2(a >0)的焦点到准线的距离为2,则直线y =x +1截抛物线所得的弦长等于________.解析 由题设知p =12a =2,∴a =14.抛物线方程为y =14x 2,焦点为F (0,1),准线为y =-1. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y =14x 2,y =x +1,消去x ,整理得y 2-6y +1=0,∴y 1+y 2=6,∵直线过焦点F , ∴所得弦|AB |=|AF |+|BF |=y 1+1+y 2+1=8. 答案 88.过椭圆x 216+y 24=1内一点P (3,1),且被这点平分的弦所在直线的方程是________.解析 设直线与椭圆交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点, 由于A ,B 两点均在椭圆上, 故x 2116+y 214=1,x 2216+y 224=1, 两式相减得(x 1+x 2)(x 1-x 2)16+(y 1+y 2)(y 1-y 2)4=0.又∵P 是A ,B 的中点,∴x 1+x 2=6,y 1+y 2=2, ∴k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-34.∴直线AB 的方程为y -1=-34(x -3). 即3x +4y -13=0. 答案 3x +4y -13=0 三、解答题9.设F 1,F 2分别是椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点,过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ,B 两点,且|AF 2|,|AB |,|BF 2|成等差数列. (1)求E 的离心率;(2)设点P (0,-1)满足|P A |=|PB |,求E 的方程. 解 (1)由椭圆定义知|AF 2|+|BF 2|+|AB |=4a , 又2|AB |=|AF 2|+|BF 2|,得|AB |=43a , l 的方程为y =x +c ,其中c =a 2-b 2.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则A ,B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =x +c ,x 2a 2+y 2b 2=1,消去y ,化简得(a 2+b 2)x 2+2a 2cx +a 2(c 2-b 2)=0,则x 1+x 2=-2a 2c a 2+b 2,x 1x 2=a 2(c 2-b 2)a 2+b 2.因为直线AB 的斜率为1,所以|AB |=2|x 2-x 1|=2[(x 1+x 2)2-4x 1x 2],即43a =4ab 2a 2+b2,故a 2=2b 2, 所以E 的离心率e =c a =a 2-b 2a =22. (2)设AB 的中点为N (x 0,y 0),由(1)知 x 0=x 1+x 22=-a 2c a 2+b 2=-2c 3,y 0=x 0+c =c 3. 由|P A |=|PB |,得k PN =-1,即y 0+1x 0=-1,得c =3,从而a =32,b =3. 故椭圆E 的方程为x 218+y 29=1.10.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0),离心率为22.直线y =k (x -1)与椭圆C 交于不同的两点M ,N .(1)求椭圆C 的方程;(2)当△AMN 的面积为103时,求k 的值.解(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,c a =22,a 2=b 2+c 2.解得b =2,所以椭圆C 的方程为x 24+y 22=1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -1),x 24+y 22=1,得(1+2k 2)x 2-4k 2x +2k 2-4=0.设点M ,N 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2), 则y 1=k (x 1-1),y 2=k (x 2-1), x 1+x 2=4k 21+2k 2,x 1x 2=2k 2-41+2k 2,所以|MN |=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2 =(1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2] =2(1+k 2)(4+6k 2)1+2k 2又因为点A (2,0)到直线y =k (x -1)的距离d =|k |1+k 2,所以△AMN 的面积为S =12|MN |·d =|k |4+6k 21+2k 2,由|k |4+6k 21+2k 2=103,解得k =±1.能力提升题组 (建议用时:25分钟)11.已知椭圆x 24+y 2b 2=1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线l 交椭圆于A ,B 两点,若|BF 2|+|AF 2|的最大值为5,则b 的值是( ) A.1B.2C.32D. 3解析 由椭圆的方程,可知长半轴长为a =2,由椭圆的定义,可知|AF 2|+|BF 2|+|AB |=4a =8,所以|AB |=8-(|AF 2|+|BF 2|)≥3.由椭圆的性质,可知过椭圆焦点的弦中,通径最短,即2b 2a =3,可求得b 2=3,即b = 3. 答案 D12.(2016·四川卷)设O 为坐标原点,P 是以F 为焦点的抛物线y 2=2px (p >0)上任意一点,M 是线段PF 上的点,且|PM |=2|MF |,则直线OM 的斜率的最大值是( ) A.33 B.23C.22D.1解析 如图所示,设P (x 0,y 0)(y 0>0),则y 20=2px 0,即x 0=y 202p .设M (x ′,y ′),由PM →=2MF →,得⎩⎪⎨⎪⎧x ′-x 0=2⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2-x ′,y ′-y 0=2(0-y ′),解之得x ′=p +x 03,且y ′=y 03. ∴直线OM 的斜率k =y ′x ′=y 0p +y 02p =2p 2p 2y 0+y 0又y 0+2p 2y 0≥22p ,当且仅当y 0=2p 时取等号.∴k ≤2p 22p=22,则k 的最大值为22. 答案 C13.设抛物线y 2=8x 的焦点为F ,准线为l ,P 为抛物线上一点,P A ⊥l ,A 为垂足.如果直线AF 的斜率为-3,那么|PF |=________.解析 直线AF 的方程为y =-3(x -2),联立⎩⎨⎧y =-3x +23,x =-2,得y =43,所以P (6,43).由抛物线的性质可知|PF |=6+2=8. 答案 814.已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ,直线y =4与y 轴的交点为P ,与C 的交点为Q ,且|QF|=54|PQ |.(1)求C 的方程;(2)过F 的直线l 与C 相交于A ,B 两点,若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ,N 两点,且A ,M ,B ,N 四点在同一圆上,求l 的方程. 解 (1)设Q (x 0,4),代入y 2=2px 得x 0=8p . 所以|PQ |=8p ,|QF |=p 2+x 0=p 2+8p .由题设得p 2+8p =54×8p ,解得p =-2(舍去)或p =2. 所以C 的方程为y 2=4x .(2)依题意知l 与坐标轴不垂直,故可设l 的方程为x =my +1(m ≠0).代入y 2=4x 得y 2-4my -4=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4. 故AB 的中点为D (2m 2+1,2m ), |AB |=m 2+1|y 1-y 2|=4(m 2+1).又l ′的斜率为-m ,所以l ′的方程为x =-1m y +2m 2+3. 将上式代入y 2=4x ,并整理得y 2+4m y -4(2m 2+3)=0. 设M (x 3,y 3),N (x 4,y 4),则y 3+y 4=-4m , y 3y 4=-4(2m 2+3).故MN 的中点为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2+2m 2+3,-2m ,|MN |=1+1m 2|y 3-y 4|=4(m 2+1)2m 2+1m 2.由于MN 垂直平分AB ,故A ,M ,B ,N 四点在同一圆上等价于|AE |=|BE |=12|MN |,从而14|AB |2+|DE |2=14|MN |2, 即4(m 2+1)2+⎝ ⎛⎭⎪⎫2m +2m 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2+22=4(m 2+1)2(2m 2+1)m 4.化简得m 2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.。
2018版高考数学文人教A版大一轮复习配套课件:第九章
【迁移探究2】 将题(2)中的B点坐标改为B(2,-1),其他条件不 变,求直线l倾斜角的范围. 解 如图: 直线PA的倾斜角为45°, 直线PB的倾斜角为135°, 由图象知直线l的倾斜角的范围为
若点 P1,P2 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段 P1P2 的中点 M x= x x , ________ 2 的坐标为(x,y),则 此公式为线段 P1P2 的中点坐 y y y = , 2 ________
1 2
1
2
标公式.
诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
答案 -3
5.(必修2P100A9改编)过点P(2,3)且在两轴上截距相等的直
线方程为________.
解析 当纵、横截距为 0 时,直线方程为 3x-2y=0;
2 3 x y 当截距不为 0 时,设直线方程为a+a=1,则a+a=1, 解得 a=5.所以直线方程为 x+y-5=0.
答案 3x-2y=0或x+y-5=0
答案 (1)B (2)(-∞, - 3]∪[1, +∞)
【迁移探究1】 若将题(2)中P(1,0)改为P(-1,0),其他条 件不变,求直线l斜率的取值范围.
解 ∵P(-1,0),A(2,1),B(0, 3), 1-0 1 ∴kAP= = , 2-(-1) 3 3-0 kBP= = 3. 0-(-1) 如图可知,直线 l
答案 (1)× (2)×
(3)× (4)× (5)√
2.(2017· 衡水金卷)直线x-y+1=0的倾斜角为( A.30° 解析 B.45° C.120°
) D.150°
由题得,直线y=x+1的斜率为1,设其倾斜角为α,
2018版高考数学(人教A版理科)大一轮复习配套(讲义)第九章平面解析几何第8讲含解析
基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1。
方程(2x+3y-1)(错误!-1)=0表示的曲线是()A.两条直线B.两条射线C.两条线段D。
一条直线和一条射线解析原方程可化为错误!或错误!-1=0,即2x+3y-1=0(x≥3)或x =4,故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线。
答案D2。
(2017·衡水模拟)若方程x2+错误!=1(a是常数),则下列结论正确的是()A。
任意实数a方程表示椭圆B。
存在实数a方程表示椭圆C。
任意实数a方程表示双曲线D。
存在实数a方程表示抛物线解析当a〉0且a≠1时,方程表示椭圆,故选B。
答案B3.(2017·长春模拟)设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ 的连线交于点M,则M的轨迹方程为( )A。
错误!-错误!=1 B。
错误!+错误!=1C。
错误!-错误!=1 D。
错误!+错误!=1解析∵M为AQ的垂直平分线上一点,则|AM|=|MQ|,∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,故M的轨迹是以定点C,A为焦点的椭圆。
∴a=错误!,∴c=1,则b2=a2-c2=错误!,∴M的轨迹方程为错误!+错误!=1。
答案D4。
设点A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线,且|PA|=1,则点P的轨迹方程是( )A。
y2=2x B。
(x-1)2+y2=4C.y2=-2x D。
(x-1)2+y2=2解析如图,设P(x,y),圆心为M(1,0),连接MA,则MA⊥PA,且|MA|=1,又∵|PA|=1,∴|PM|=|MA|2+|PA|2=错误!,即|PM|2=2,∴(x-1)2+y2=2.答案D5。
平面直角坐标系中,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足错误!=λ1错误!+λ2错误!(O为原点),其中λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1,则点C的轨迹是()A。
2018版高考数学(人教A版理科)大一轮复习配套(讲义)第九章平面解析几何第3讲含解析
基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1.已知点A(1,-1),B(-1,1),则以线段AB为直径的圆的方程是( )A.x2+y2=2 B。
x2+y2=错误!C。
x2+y2=1 D。
x2+y2=4解析AB的中点坐标为(0,0),|AB|=错误!=2错误!,∴圆的方程为x2+y2=2。
答案A2。
(2017·漳州模拟)圆(x-1)2+(y-2)2=1关于直线y=x对称的圆的方程为()A。
(x-2)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y-2)2=1C.(x+2)2+(y-1)2=1 D。
(x-1)2+(y+2)2=1解析已知圆的圆心C(1,2)关于直线y=x对称的点为C′(2,1),∴圆(x-1)2+(y-2)2=1关于直线y=x对称的圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=1,故选A.答案A3.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-2)∪错误!B。
错误!C.(-2,0)D。
错误!解析方程为错误!错误!+(y+a)2=1-a-错误!表示圆,则1-a-错误!>0,解得-2<a<错误!。
答案D4。
(2017·淄博调研)点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A。
(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4 C。
(x+4)2+(y-2)2=4 D。
(x+2)2+(y-1)2=1解析设圆上任一点为Q(x0,y0),PQ的中点为M(x,y),则错误!解得错误!因为点Q在圆x2+y2=4上,所以x20+y错误!=4,即(2x-4)2+(2y +2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1。
答案A5。
(2015·全国Ⅱ卷)已知三点A(1,0),B(0,3),C(2,错误!),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A。
错误!B。
错误! C.错误!D。
错误!解析由点B(0,错误!),C(2,错误!),得线段BC的垂直平分线方程为x=1,①由点A(1,0),B(0,错误!),得线段AB的垂直平分线方程为y-错误!=错误!错误!,②联立①②,解得△ABC外接圆的圆心坐标为错误!,其到原点的距离为错误!=错误!。
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规律方法 判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法:利用d与r的关系. (2)代数法:联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.
上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题.
【训练1】 (1)已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关 系是( A.相切 ) B.相交 C.相离 D.不确定
示:
位置关系 几何特征
相离
外切
相交
内切
内含 d<R-r
d>R+r d=R+r
R-r<d< d=R-
R+r r
代数特征
无实数 一组实数 两组实数 一组实 无实数
解 4 解 3 解 2 数解 1 解 0
公切线条数
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
精彩PPT展示
(1)“k=1”是“直线 x-y+k=0 与圆 x2+y2=1 相交”的必要不充 分条件.( )
解析 如图,过 O 点作 OD⊥AB 于 D 点, 在 Rt△DOB 中,∠DOB=60° , ∴∠DBO=30° , |3×0-4×0+5| 又|OD|= =1, 5 ∴r=2|OD|=2.
答案 2
5.( 必修 2P133A9 改编 ) 圆 x2 + y2 - 4 = 0 与圆 x2 + y2 - 4x + 4y - 12 = 0 的公共弦长为 ________.
A.[-3,-1] C.[-3,1]
)
B.[-1,3] D.(-∞,-3]∪[1,+∞)
解析
由题意可得,圆的圆心为(a,0),半径为 2,
|a-0+1| ∴ 2 2≤ 2,即|a+1|≤2,解得-3≤a≤1. 1 +(-1)
答案 C
4.(2015· 湖南卷 ) 若直线 3x - 4y + 5 = 0 与圆 x2 + y2 = r2(r>0) 相交于 A , B 两点,且∠AOB = 120°(O为坐标原点),则r=________.
解析
(1)若直线 y=x+4 与圆(x-a)2+(y-3)2=8 相切, 则有
|a-3+4| =2 2,即|a+1|=4,所以 a=3 或-5.但当 a=3 时, 2 直线 y=x+4 与圆(x-a)2+(y-3)2=8 一定相切,故“a=3” 是“直线 y=x+4 与圆(x-a)2+(y-3)2=8 相切”的充分不必 要条件.
(2) 如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外 切.( ) )
(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.(
(4)从两相交圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆 的公共弦所在的直线方程.( )
(5)过圆 O:x2+y2=r2 上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程是 x0x+y0y =r2.( )
A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
)
3 (2)直线 y=- 3 x+m 与圆 x2+y2=1 在第一象限内有两个不同的 交点,则 m 的取值范围是( A.( 3,2)
C.
) B.( 3,3)
2 3 D.1, 3
3 2 3 , 3 3
解析 (1)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的充分不必要条件. (2)除外切外,还有可能内切. (3)两圆还可能内切或内含.
答案 (1)× (2)×
(3)×
(4)√
(5)√
2.(2015· 安徽卷)直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是( A.-2或12 B.2或-12
2 2 x +y -4=0, 由 2 2 得 x +y -4x+4y-12=0,
解析
x-y+2=0.又圆 x2+y2
2 =4 的圆心到直线 x-y+2=0 的距离为 = 2.由勾股定理得 2 弦长的一半为 4-2= 2,所以,所求弦长为 2 2.
答案
2 2
考点一
直线与圆的位置关系
【例1】 (1)“a=3”是“直线y=x+4与圆(x-a)2+(y-3)2=8相切”的(
(2)(2017· 大连双基测试 ) 圆 x2 + y2 = 1 与直线 y = kx + 2 没有公共点的充要条件是 ________.
解析
(1)因为 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外,所以 a2+b2>1,
|a· 0+b· 0-1| 1 而圆心 O 到直线 ax+by=1 的距离 d= = 2 2 2 2< a +b a +b 1,故直线与圆 O 相交.
(2)法一
将直线方程代入圆方程,得(k2+1)x2+4kx+3=0,
)
C.-2或-12
D.2或12
解析
圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心(1,1)到
|7-b| 直线 3x+4y=b 的距离为 5 =1,解得 b=2 或 b=12, 故选 D.
答案 D
3.(2017· 西安调研)若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a的取
值范围是(
2 2 2 ( x - a ) +( y - b ) = r , d,由 Ax+By+C=0
消去 y(或 x),得到关于 x(或 y)的一元二次方程,其判别式为Δ .
方法 位置关系 相交
几何法
d<r
代数法
Δ>0
相切
相离
d=r
d>r
Δ=0
Δ<0
2.圆与圆的位置关系 设两个圆的半径分别为 R,r,R >r,圆心距为d,则两圆的位置关系可用下表来表
第4讲
直线与圆、圆与圆的位置关系
最新考纲
1. 能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定
两个圆的方程判断两圆的位置关系; 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题;
3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
知识梳理
1.直线与圆的位置关系 设圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2,直线 l:Ax+By+C=0,圆心 C(a,b)到直线 l 的距离为
(2)当直线经过点(0,1)时,直线与圆有两个不同的交点,此时 m=1; 当直线与圆相切时有圆心到直线的距离 d= |m|
1+
32 3
=1,
2 3 解得 m= 3 (切点在第一象限),所以要使直线与圆在第一象限内有 2 3 两个不同的交点,则 1<m< . 3
答案 (1)A (2)D