第五章 误差理论

其观测值分为： 其观测值分为： 直接观测值，间接观测值， 直接观测值，间接观测值， 独立观测值， 独立观测值，非独立观测值
3、误差的性质
•系统误差(Systematic errors) 系统误差( 系统误差
误差在大小、符号上表现出系统性， 误差在大小、符号上表现出系统性，或者在观测过程 中按照一定的规律变化，或者为一常数。 中按照一定的规律变化，或者为一常数。
v=l−x
∆−v = x− X =δ
[∆∆ ] = [vv ] + 2δ [v ] + nδ 2
n→∞
时
[v ] = 0
则
[∆∆ ] = [vv ] + δ 2
n n
[l] − X = [l − X ] = [∆] δ = x−X =
n n n
则 观测值中误差
2
[∆∆ ] = [vv ] + [∆∆ ]
§5.5 观测值函数的中误差—误差传播定律 观测值函数的中误差— 阐述各独立观测值中误差与其函数值中误差之 间的关系的定律，称为误差传播定律。 间的关系的定律，称为误差传播定律。 一、倍数函数的中误差 设倍数函数为： = Kx Z 式中 K—常数；
x —未知量的直接观测值；
= K (x + ∆
当观测值
• 仪器误差: 如：i角误差、尺长误差等，一般 仪器误差 角误差、尺长误差等， 角误差 由于仪器校正不完善所致； 由于仪器校正不完善所致； • 观测误差 如：照准误差、读数误差等，由 观测误差: 照准误差、读数误差等， 于观测者感官有限所致； 于观测者感官有限所致； • 外界条件误差 如：地球曲率、大气折光等。 外界条件误差: 地球曲率、大气折光等。
•偶然误差(random errors) 偶然误差( 偶然误差
如果误差在大小和符号上都表现出偶然性， 如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个 误差看， 误差看，该误差的大小和符号没有规律
•粗差(gross error) 粗差( 粗差
错误
§5.2 、偶然误差的特性
测量中的被观测量客观存在一个真实值。 测量中的被观测量客观存在一个真实值。当不存 在粗差和系统误差的情况下， 在粗差和系统误差的情况下，偶然误差实际上就 是观测值与真值的差值，即真误差。 是观测值与真值的差值， 真误差。 真误差 = 观测值 － 真值
………………………………..
∆
2 Zn
=∆
2 xn
+∆
2 yn
± 2∆ xn ∆ yn
等式两边相加，并除以n，得
[ ∆ Z ∆ Z ] [ ∆ x ∆ x ] [ ∆ y ∆ y ] 2[ ∆ x ∆ y ] = + ± n n n n
[∆ Z ∆ Z ] = [∆ X ∆ x ] + [∆ Y ∆ y ]
未知量， 的观测值为 ，相应真误差为
Z = F (l1 − ∆1 , l 2 − ∆ 2 ,⋅ ⋅ ⋅ln − ∆ n )
按泰勒公式展开
∆Z j
2
∂F 2 k ∂F 2 k ∂F 2 k 2 2 2 = ( ) ∑ ∆1 j + ( ) ∑ ∆ 2 j + L + ( ) ∑ ∆ nj ∂x1 j =1 ∂x2 j =1 ∂xn j =1
a、 b
2
是等精度观测，其中误差
m读 。根据和差函数关系，得
m站 ＝
m读 + m读 =
2
2m 读
n 个站高差总和
h AB = h1 + h2 + ⋅ ⋅ ⋅ + hn
，而每一测站高差中误差都是
2 2
m站，所以
2
mhAB = m站 + m站 + ⋅ ⋅ ⋅ + m站 = n m站 = 2n m读
即水准测量高差的中误差的大小，与测站数的 平方根成正比。
…………….
通常算术平均值x作为最后结果。
∆ n = ln − X
上列等式相加并除以 n得 [ ∆ ] = [ l ] − X n n 因为
[∆] lim =0 n→∞ n
即
则
[l ] X = lim n→ ∞ n
lim x = X
n→ ∞
当
n→∞
时，算术平均值等于真值。
所以算术平均值也称为最或是（然）值。
∆
偶然误差的特性
在一定的观测条件下, 在一定的观测条件下,偶然误差的绝对值不 会超过一定的限值 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现 的概率大 绝对值相等的正负误差出现的概率相同 偶然误差的数学期望(算术平均值)为零， 偶然误差的数学期望(算术平均值)为零，即：
∑∆
lm i
i= 1 n→ ∞
n
i
根据上面推导方法，可得出函数Z的中误差为：
例2 设在A、B两点水准路线长度L间进行水准测量， 共安置 站，每个测站后视读数 与前视读 的中误差均为 m 数
n
a
b
读
试求一个测站所测高差的中误差 站高差总和的中误差 m hAB 。 【解】 一个测站的高差 两个水准尺读数 都是
m 站及 n
，
h = a −b
二、和或差函数的中误差 设某一量Z为两个独立观测值 之和或差的函数，则函数式为： Z 当观测值
x
与
y
(1)
= x ± y
则函数Z也将产生真误差∆
x 、y 分别含有真误差 ∆x 、 y ∆
Z
时
，有：
Z + ∆ Z = (x + ∆ x ) ± (y + ∆ y )
将两式相减，得
(2)
∆Z = ∆x ± ∆ y
二、观测值的改正数 观测值与算术平均值的差值称为观测值的改 正数
v
vi = li − x
则
因为

[v ] = [l ] − nx
因为
[l] x=
n
那么
[v] = 0
§5.4 衡量精度的标准 一、观测精度的衡量
两组距离观测的结果
3.867 3.860 3.866 3.862 3.868 3.870 3.865 3.877
【例3】 用L长的钢尺丈量边长D，共丈量了n个尺段，各尺 段丈量误差均为m，计算边长D及其的中误差。 1、 列函数式
2、求中误差
mD = ±
nm
四、非线性函数 其中
Z = F ( x1 , x2 ,⋅ ⋅ ⋅ xn )
xi = li − ∆ i
x1 , x2 ,⋅ ⋅ ⋅ xn 是可直接观测的未知量，Z为待求
m=±
[∆∆]
n
m —观测值的中误差，
亦称均方误差
注意：1、中误差不等于真误差 2、中误差值的大小反映了这组观测值精度的 高低即：每个观测值都具有这个精度。
【 例 1】 甲、已两组对同一三角形的内角各进行了9测回的 观测，观测结果及三角形内角和的真误差列于表。 试比较这两组观测值的质量。
甲组 乙组
§5.4 衡量精度的标准
一、中误差 设在相同的观测条件下，对任一未知量进行了 n 次观测，其观测值分别为 L1 ,L2 …… Ln
若该未知量的真值为X，相应的n个观测值的真误 差为：Δ1，Δ2，Δ3……Δn
为了避免正负误差互相抵消和明显地反映观 测值中较大误差的影响，通常是以各个真误差的 平方的平均值的平方根作为评定该组每一观测值 的精度的标准，即
含有误差 Δx时，则函数Z也将产生
Z + ∆
真误差Δz，即
Z x
)
将两式减得 ∆ Z = K∆ x
如果对未知量观测 上式相同的式子，即
n次，则可写出n个与
∆ Z 1 = K∆ x1 ∆ Z 2 = K∆ x 2
………………
∆ Zn = K∆ xn
将上式两边平方相加，并除以n，得
[∆ Z ∆ Z ] = k 2 [∆ X ∆ X ]
n n n
即
m
Z
2 Z
= m
2 x
+ m
2 y
m
= ±
m
2 x
+ m
2 y
1.如果函数Z为n个独立观测值的代数和，即 Z
Z = x1 ± x 2 ± ⋅ ⋅ ⋅ ± x n
根据上面推导方法，可得出函数Z的中误差为：
2.如果函数Z为n个独立观测值的代数和，即 Z
Z = k 1 x1 ± k 2 x 2 ± ⋅ ⋅ ⋅ ± k n x n
第五章
观测误差的基本知识
第一节
测量误差的概念
一、误差的来源与分类
什么是误差 误差产生的原因 误差的性质和分类 误差的消除
1、测量误差的定义
直线丈量时,对同一段距离丈量若干次,得出的结果相同吗? 直线丈量时,对同一段距离丈量若干次,得出的结果相同吗? 观测水平角时,对一个三角形的三个内角进行观测,内角和是多少? 观测水平角时,对一个三角形的三个内角进行观测,内角和是多少?
n n n
2
m
[vv ] + m =
n
2
n
m=±
[vv]
n −1
二、相对误差 在距离丈量中，评定丈量距离精度不能用绝对误 距离丈量中 差来衡量，用相对中误差来表示其精度。 差来衡量，用相对中误差来表示其精度。 相对误差 K =
D往 − D返 D平
1 = 相对中误差 K = D N
m
三、容许误差 通常以三倍中误差为偶然误差的限差， 通常以三倍中误差为偶然误差的限差，即△限 m,在实际工作中 在实际工作中， ＝ 3 m, 在实际工作中 ， 有的测量规范规定以二倍中 误差作为限差， 误差作为限差，即 △容 ＝2m
n n
根据中误差定义，上式可写成
m =K m