高考数列求和问题的破解策略
高中数列求和的种方法
破解数列求和的6种常见方法数列问题中蕴涵着丰富的数学思想方法，是高考用来考查考生对数学思想方法理解程度的良好素材，是历年高考的一大热点，在高考命题中，多以与不等式的证明或求解相结合的形式出现，一般数列的求和，主要是将其转化为等差数列或等比数列的求和问题，因此，我们有必要对数列求和的各种方法进行系统探讨。
一 、公式求和法通过分析判断并证明一个数列是等差数列或等比数列后，可直接利用等差、等比数列的求和公式求和，或者利用前n 个正整数和的计算公式等直接求和。
因此有必要熟练掌握一些常见的数列的前n 项和公式.正整数和公式有： 例1 已知数列(){}n f 的前n 项和为n S ，且.22n n S n+=若(),11f a =()n n a f a =+1()*∈N n ,求数列{}na 的前n 项和.nT分析：根据数列的项和前n 项和的关系入手求出(),n f 再根据()n n a f a =+1（∈n*N )求出数列{}n a 的通项公式后，确定数列的特点，根据公式解决.【解析】当2≥n时，().121+=-=-n S S n f n n 当1=n 时，(),311==S f 适合上式，()12+=∴n n f ()*∈N n ，(),311==f a 121+=+n n a a ()*∈N n ，即)1(211+=++n n a a ，{}1+∴n a 数列是首项为4、公比为2的等比数列.【能力提升】公式法主要适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列的求和，一些综合性的数列求和的解答题最后往往就归结为一个等差数列或等比数列的求和问题.二、分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.形如： ①{}n n b a +,其中{}{}⎩⎨⎧是等比数列；是等差数列；n n b a ②()()⎩⎨⎧∈=-==*Nk k n n g k n n f a n,2,,12, 例2 已知数列{}n a 的通项公式为,132-+=n a n n 求数列{}n a 的前n 项和.分析：该数列的通项是由一个等比数列{}n2与一个等差数列{}13-n 组成的，所以可将其转化为一个等比数列与一个等差数列进行分组求和. 【解析】()()()132********-+++++=++=n a a a S n n nΛΛ=()()[].135222221-++++++n nΛΛ=()()[]213221212-++--n n n =.22123221-+++n n n 【能力提升】在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成几项的和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么我们就可以用此方法求和.三、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求和.例3 已知数列{}n a 是首项为,411=a 公比为41=q 的等比数列，设n n a b 41log 32=+()*∈N n ，数列{}n c 满足.n n n b a c ⋅=求数列{}n c 的前n 项和.n S分析：根据等比数列的性质可以知道数列{}n b 为等差数列，这样数列{}n c 就是一个等差数列与一个等比数列对应项的乘积构成的数列，因而可考虑用错位相减法来解决.【解析】由题意知，nn a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=41()*∈N n ，又2log 341-=n n a b ，故，23-=n b n()*∈N n .()nn n c ⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=∴4123()*∈N n ,于是()(),41234153417414411411432+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=n n n n n S Λ两式相减,得()().4123214123414141341431132++⎪⎭⎫⎝⎛⨯+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n n n n S Λnn n S ⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+-=∴4132332()*∈N n .【能力提升】错位相减法适用于数列{}n n b a ，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列.若等比数列{}n b 中公比q 未知，则需要对公比q 分11≠=q q和两种情况进行分类讨论.四、倒序相加法 如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法.例4 已知函数().211223⎪⎭⎫ ⎝⎛≠--=x x x x F求.200920082009220091⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛F F F Λ 分析：由所求的和式的特点，易想到探究：和为1的两个自变量函数值的和是否为常数.从而确定可否用倒序相加法求和. 【解析】因为()()()().311221312231=----+--=-+x x x x x F x F所以设.200920082009220091⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛=F F F SΛ, ① ,200912009200720092008⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=F F F S Λ ②①+ ②得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=2009120092008200920072009220092008200912F F F F F F S Λ602420083=⨯=,所以.3012=S【能力提升】倒序相加法来源于课本，是等差数列前项和公司推导时所运用的方法，它是一种重要的求和方法。
高考数学必杀技系列之数列7：数列求和（裂项相消法）
高考数学必杀技系列之数列7：数列求和（裂项相消法）
数列
专题七：数列求和（裂项相消法）
裂项相消法的实质是将数列中的每一项（通项）分解，然后再重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此规律拆成两项之差，在求和时一些正负相消，适用于类似这种形式，用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法，是分解与组合思想在数列求和中的具体应用，高考中常见以下几种类型。
一、必备秘籍
1．裂项相消法
(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。
(2)常见的裂项技巧:
二、例题讲解
感悟升华（核心秘籍）本例是裂项相消法的简单应
用，注意裂项，是裂通项，
裂项的过程中注意前面的系
数不要忽略了。
感悟升华（核心秘籍）本例是含有根式型裂项，注
意分母有理化计算。
能完全记忆类型⑤的公式，建
议裂项完后通分检验是否正
确。
高中数学数列求和题解题方法技巧
高中数学数列求和题解题方法技巧数列求和的七种解法1.公式法：顾名思义就是通过等差、等比数列或者其他常见的数列的求和公式进行求解。
2.倒序相加：如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项和相等或者等于同一个常数，则求该数列的前n项和即可用倒序相加法。
例如等差数列的求和公式，就可以用该方法进行证明。
3.错位相减：形如An=Bn∙Cn，其中{Bn}为等差数列，首项为b1，公差为d；{Cn}为等比数列，首项为c1，公比为q。
对数列{An}进行求和，首先列出Sn，记为①式；再把①式中所有项同乘等比数列{Cn}的公比q，即得q∙Sn，记为②式；然后①②两式错开一位作差，从而得到{An}的前n项和。
这种数列求和方式叫做错位相减。
4.裂项相消：把数列的每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只剩下首尾几项，再进行求和，这种数列求和方式叫做裂项相消。
5.分组求和：有一类数列，既不是等差，又不是等比，但若把这个数列适当的拆开，就会分成若个等差，等比或者其他常见数列(即可用倒序相加，错位相减或裂项相消求和的数列)，然后分别求和，之后再进行合并即可算出原数列的前n项和。
6.周期数列：一般地，若数列{an}满足：存在一个最小的正整数T，使得an+T=an对于一切正整数n都成立，则数列{an}称为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期，接下来根据数列的周期性进行求和。
7.数学归纳法：是一种重要的数学方法，其对求数列通项，求和的归纳猜想证明起到了关键作用。
高中数学解题方法实用技巧1解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。
具体转化方法有：①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。
②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。
③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。
④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。
2因式分解根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。
浅谈高考数列综合问题的解题策略及反思
浅谈高考数列综合问题的解题策略及反思高考数列综合问题是近几年高考数学中的一个重要考点，通过解题策略的运用可以帮助考生更好地应对这类题目。
本文将浅谈高考数列综合问题的解题策略，并进行反思和总结。
一、高考数列综合问题的解题策略1. 确定数列的表达式在解决数列综合问题时，首先需要确定数列的表达式，即找出数列的通项公式。
通过观察数列的前几项，寻找数列的规律，并尝试找到递推公式或通项公式。
对于常见的等差数列、等比数列和斐波那契数列，可以直接利用已有的性质和公式进行求解。
而对于一些复杂的数列，可以通过列出递推关系式或使用递归思想进行求解。
2. 应用数列的性质和定理在解决数列综合问题时，可以利用数列的性质和定理来简化问题的求解过程。
例如，对于等差数列，可以应用数列的前n项和公式、通项公式和项数的关系来求解。
对于等比数列，可以利用数列的前n项和公式、通项公式和项数的关系来求解。
掌握这些数列的性质和定理，能够帮助考生更快地解答题目。
3. 运用数列思想和数学归纳法数列思想和数学归纳法在解决数列综合问题中起着关键作用。
通过观察数列的规律，推测出数列的通项公式，并通过数学归纳法来验证所推测的结论是否成立。
此外，还可以通过数列的特殊构造和等式的变换，运用数学归纳法来解决数列综合问题。
4. 利用图形化表示对于一些复杂的数列综合问题，可以通过图形化表示进行求解。
将数列的每一项用点表示在坐标系中，从而可以观察出数列的规律和特点。
通过图形化表示可以帮助考生更直观地理解问题，并以直观的方式解决问题。
二、解题策略的反思与总结在解题过程中，有时会遇到难题，但通过灵活运用不同的解题策略可以更好地应对。
然而，在实际解题中，我们还需注意以下几点：1. 理解题意，准确运用数列知识在解决高考数列综合问题时，首先要仔细阅读题目，明确问题所给条件和要求，确保理解题意。
其次，要准确运用数列的知识，利用已学过的公式和定理进行求解。
对于不太熟悉的数列类型，要通过多做习题和练习来加深理解，扩大解题思路。
高中数学解数列求和问题的技巧
高中数学解数列求和问题的技巧数列是高中数学中的重要概念之一，求和问题是数列中常见的考点。
解决数列求和问题需要掌握一些技巧和方法，下面我将介绍几种常见的数列求和问题及其解题技巧。
一、等差数列求和问题等差数列是指数列中相邻两项之间的差值恒定的数列。
求等差数列的前n项和，可以利用求和公式来解决。
求和公式为：Sn = (a1 + an) * n / 2，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示末项，n表示项数。
例如，给定一个等差数列的首项为3，公差为2，求前10项的和。
根据求和公式，首先计算出末项an：an = a1 + (n - 1) * d = 3 + (10 - 1) * 2 = 21。
然后代入公式计算出前10项的和：Sn = (a1 + an) * n / 2 = (3 + 21) * 10 / 2 = 120。
二、等比数列求和问题等比数列是指数列中相邻两项之间的比值恒定的数列。
求等比数列的前n项和，可以利用求和公式来解决。
求和公式为：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，q表示公比，n表示项数。
例如，给定一个等比数列的首项为2，公比为3，求前5项的和。
根据求和公式，代入相应的值计算出前5项的和：Sn = 2 * (1 - 3^5) / (1 - 3) = 242。
三、特殊数列求和问题除了等差数列和等比数列外，还存在一些特殊的数列，求和问题也有相应的解题技巧。
1. 平方数列求和问题：平方数列是指数列中的每一项都是前一项的平方。
例如，1，1，4，16，...。
求平方数列的前n项和，可以利用平方数的求和公式来解决。
求和公式为：Sn = (2^(n+1) - n - 2) / 3。
2. 斐波那契数列求和问题：斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项的和。
例如，1，1，2，3，5，...。
求斐波那契数列的前n项和，可以利用斐波那契数列的性质来解决。
解答数列求和问题的几种途径
数列求和问题常出现在各类试题中，题目的难度适中.这类问题对同学们的分析和运算能力有较高的要求.解答数列求和问题的常用方法有裂项相消法、分组求和法、错位相减法、并项求和法.下面结合实例主要介绍下列三种解答数列求和问题的途径.一、裂项相消裂项相消法是解答数列求和问题常用的方法，主要用于解答数列的各项为分式、对数式的求和问题.用裂项相消法求解数列求和问题，要先将数列的通项公式分裂为两项或三项，如1n ()n +k =1k ()1n -1n +k；然后将分裂后的各项相加，中间的部分项便会消去，化简剩余的项，即可求得数列的和.例1.若b n =4n -2n ，数列{}b n 的前n 项和为S n ，试求2S 1+22S 2+⋯+2nS n.解：∵b n =4n -2n ，∴S n =b 1+b 2+⋯+b n =()4-2+()42-22+⋯+()4n -2n =()4+42+⋯+4n -()2+22+⋯+2n =4()1-4n 1-4-2()1-2n 1-2=23()2n +1-1()2n -1，∵2n S n =32⋅2n ()2n +1-1()2n -1=32()12n -1-12n +1-1，∴2S 1+22S 2+⋯+2nS n=32æèç1+122-1-123-1+123-1-124-1+⋯+12n-1öø÷-12n +1-1=32()1-12n +1-1.求得数列的和式后，可发现该式可变形式为23()2n +1-1()2n-1，则2n S n =32()12n -1-12n +1-1.该式为数列{}2nS n的通项公式，将数列的各项相加，则前后相邻的项即可抵消，化简剩余的项即可，这样便能运用裂项相消法顺利解题.例2.已知数列{}a n 是公比为正数的等比数列，满足a 1+a 3=10，a 22-a 3=8，设数列{}b n 满足b 1=1，b n +1=b n -1b n +3，(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)求证数列{}1b n +1是等差数列，并求出{}b n 的通项公式；(3)令c n =a nb nn -1，n ≥2，求c 2+c 3+c 4+⋯+c n .解：(1)a n =2n ；(2)b n =2n-1；(3)由题意可得c n =a n b n n -1=2n ()2n -1n -1=2n ()2-n n ()n -1=2n n -1-2n +1n (n ≥2)，则c 2+c 3+c 4+⋯+c n=221-232+232-243+⋯+2n n -1-2n +1n =4-2n +1n .仔细观察数列的通项公式c n =2n ()2-n n ()n -1，可发现该式可以分裂为两项之差的形式：c n =2n n -1-2n +1n ，于是运用裂项相消法解题.裂项后将各项相加，消去中间的部分项，即可求得数列的和.运用裂项相消法求解数列求和问题，关键要仔细观察和分析数列的通项公式，将其进行适当的拆分、变形，以使求和时，中间的大部分项可以相消.二、错位相减若一个等差数列与一个等比数列的各对应项的积可构成一个新数列，则可采用错位相减法求该数列的前n 项和.首先列出数列的和式，然后将和式乘以等比数列的公比，再将两个式子相减，最后化简所得的结果.在将两式作差时，要将两式错开一位，以将同类项合并，构造出等比数列，这样便可运用等比数列的前n 项和公式，或利用累加法求得数列的前n 项和.46例3.设数列{}a n 为等比数列，a 1=1，a 2=3，求T 2n =1a 1-2a 2+3a 3-⋯-2n a 2n.解：由题意知a n =3n -1，则T 2n =11-23+332-433+⋯-2n 32n -1，13T 2n =13-232+333-434+⋯+2n -132n -1-2n 32n ，将两式相加，可得43T 2n =1-13+132-134+⋯-133n -1-2n 32n=1-132n1+13-2n 32n =3⋅32n -3-8n 4⋅32n ，则T 2n =32n +2-9-24n16⋅32n.求得数列{}2n a n 的通项公式2n32n 后，可发现该式为2n 与132n的乘积，于是将该数列的各项视为等差数列{}2n 与等比数列{}132n 的对应项的乘积，这符合运用错位相减法的条件，于是将数列的和式乘以公比，并将其与和式错位相加，即可根据等比数列的前n 项和公式求得问题的答案.例4.已知函数f ()x =2x2x+2,设数列{}a n 满足a n =f ()0+f ()1n +f ()2n +⋯+f ()n -1n+f ()1(n ∈N ∗)，且b n =2n +1a n ，则数列{}b n 的前n 项和S n =_______.解：∵f ()x =2x2x +2，∴f ()x +f ()1-x =2x2x+2+21-x21-x +2=2x2x+22x1，∵a n =f ()0+f ()1n +f ()2n +⋯+f ()n -1n+f ()1，a n =f ()1+f ()n -1n +⋯+f ()2n +f ()1n +f ()0，∴2a n =n +1，a n =n +12，∴b n =2n +1a n =()n +12n，∵S n =2⋅21+3⋅22+4⋅23+⋯+()n +1⋅2n ，2S n =2⋅22+3⋅23+4⋅24+⋯+()n +1⋅2n +1，将两式相减，可得-S n =2×2+22+23+⋯+2n -()n +12n +1=2+2()1-2n 1-2-()n +1⋅2n +1=-n ⋅2n +1，∴S n =n ⋅2n +1.数列{}b n 可看成由等比数列{}2n +1与等差数列{}n +1的乘积构成，于是运用错位相减法，先求出S n 的表达式；再将该式乘以公比2得到另一个式子2S n ；然后将两个式子错开一位相减，即可根据等比数列的前n 项和公式快速求得数列的和.三、分组求和若一个数列可拆分成若干个等差数列、等比数列，或易于求和的数列，则可采用分组求和法解题.根据数列通项公式的特点，将数列分为几个组，分别运用等差、等比数列的前n 项和公式求得各组数列的和，最后将所得的结果相加即可.例5.已知b n =n ()n +12，求该数列的前n 项和.解：因为b n =n ()n +12=12n 2+12n ，则数列{}n ()n +12的前n 项和b 1+b 2+⋯+b n=12()12+22+32+⋯+n 2+12()1+2+3+⋯+n =12×n ()n +1()2n +16+12×n ()n +12=n ()n +1()n +26.首先分析所求数列通项公式12n 2+12n 的结构特点，可发现该式为两式12n 2与12n 的和，于是将数列{}b n 拆分为两个数列{}12n 2与{}12n ，即将数列分为两组，分别对其求和，最后将所得的结果相加即可.分组求和法较为简单，只需仔细观察数列的通项公式，对其进行合理的拆分.由此可见，各种求解数列求和问题方法的特点、适用情形，以及运用这些方法解题的思路、注意事项均不相同，同学们需熟悉并掌握这些方法的特点和应用技巧，才能在解题时信手拈来，做到应用自如.（作者单位：甘肃省景泰县第二中学）47。
高考数学：数列求和——三大类高频题型的命题规律和满分答题要点
高考数学：数列求和——三大类高频题型的命题规律和满分答题要点近几年出题频率较高的三类数列求和题型有：错位相减法、裂项相消法、分类讨论法等。
下面将它们的解题程序归纳如下：1.错位相减法求和一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减法求和,一般是在等式的两边同乘以等比数列{bn}的公比,然后作差求解.若{bn}的公比为参数(字母),则应对公比分等于1和不等于1两种情况分别求和.例题：2.利用裂项相消法探求数列的前n项和如果一个数列的通项为分式或根式的形式，且能拆成结构相同的两式之差，那么通过累加将一些正、负项相互抵消，只剩下有限的几项。
从而求出该数列的前n项和．破解此类题的关键点如下：①裂项技巧．一般将an通过恒等变形拆成形如an=f(n)-f(n-k)的形式(k=1，2，……) ②抵消规律.正、负项相互抵消后，所剩项的一般规律是：前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项，注意剩下的项有前后对称的特点，否则，极易出错．例题：[2018长春市高三第一次质量监测,17]总结：利用裂项相消法求数列的和时，要过好三关：一是通过基本运算快速求出数列的通项；二是根据所求通项的结构特点，借助常见的裂项技巧，找准裂项方向，准确裂项；三是把握消项规律，准确求和，切忌出现丢项或多项的问题，导致结果错误．3.利用分类讨论法探求数列的前n项和若数列的通项公式为分段函数、周期函数或形如(-1)^nan，|an|等形式，在求数列的前n项和时，没有固定的方法可套用，观察数列的规律，发现按照某种标准分类后，每类均可求和，最后相加即可得出结果，在解决问题的过程中渗透着转化与化归、分类讨论数学思想方法。
对项数的奇偶进行分类讨论求数列的前n项和时，一般是先求项思路分析：数为偶数的一组，但要注意n的取值变化不再是1，2，3，…，而是2，4，6，…，当代入公式求和时．注意首项、公差(比)和项数都会对应发生改变；项数为奇数求和时，可代入相应公式求和，也可利用偶数项的结论(Sn=S↓(n-1)+bn)，能简化求和过程．总结：破解此类题的关键点如下．①找规律．根据数列的通项公式或递推公式去发现或证明存在某一规律：如通项公式为分段函数的形式等．②定标准．根据规律确定如何分类，是以项数的奇偶分类还是其他.③分类求和．若该类是等差(比)数列可直接求和，但要注意新首项、新公差(比)、新项数分别是多少；若不是特殊数列，再转化为其他方法求和．。
数学高考必备技巧如何快速解决数列题中的逆序求和问题
数学高考必备技巧如何快速解决数列题中的逆序求和问题数学高考中，数列题是常见的考点之一。
而在数列题中，逆序求和问题是一个比较典型的难题，也是考生容易遇到困惑的地方。
本文将介绍一些快速解决数列题中逆序求和问题的技巧和方法，帮助考生应对这类题目。
一、基本概念在解决逆序求和问题之前，我们先来了解一下数列和逆序求和的基本概念。
数列是按照一定规律排列的一组数，通常用a₁, a₂, ..., an 表示，其中a₁为首项，an为末项，n为项数，差值d称为公差（等差数列）或公比（等比数列）。
数列的和通常用Sn表示，其中S₁表示前一项的和，Sn表示前n项的和。
二、逆序求和问题的思路通过观察数列的规律，可以发现逆序求和问题实际上是将数列按照从末项到首项的顺序相加。
解决逆序求和问题的关键在于找到不同数列之间的关联，然后将其转化为常见的数列求和问题。
三、解决逆序求和问题的技巧和方法1. 等差数列对于等差数列来说，我们可以利用等差数列求和公式的特性来快速解决逆序求和问题。
等差数列的求和公式为：Sn = (a₁ + an) * n / 2。
我们可以通过将数列进行倒置，然后利用等差数列求和公式计算出逆序求和的结果。
2. 等比数列对于等比数列来说，我们可以利用等比数列求和公式的特性来快速解决逆序求和问题。
等比数列的求和公式为：Sn = a₁(1 - q^n) / (1 - q)，其中q为等比数列的公比。
同样地，我们可以通过将数列进行倒置，然后利用等比数列求和公式计算出逆序求和的结果。
3. 其他数列对于一些特殊的数列，如斐波那契数列、等差数列与等比数列的混合数列等，我们需要根据具体情况进行独立分析和求解。
可以利用逆序求和问题与常见数列求和问题的联系和对应关系，寻找解题突破口。
四、实例分析为了更好地理解逆序求和问题的解题思路和方法，我们来看一个具体的实例。
假设有一个等差数列1, 4, 7, 10, ...，求前n项的逆序求和。
解题步骤如下：1. 找到数列的公差d，这里为3。
高考数学破解命题陷阱专题16数列求和的方法规律
专题16 数列求和的方法规律一．高考命题类型1.倒序求合法2.裂项求和法3.错位相减求和4.分组求和5.分奇偶数讨论求和6.利用数列周期性求和7.含有绝对值的数列求和二．命题陷阱及命题陷阱破解措施1.倒序求和例1. 设，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值是________．【答案】【方法规律总结】：倒序相加法求和，不仅应用在等差数列中，而且在函数以及组合中也有应用。
等差数列中主要利用等差数列性质：若，则；函数中主要利用对称中心性质：若关于对称，则；组合中中主要利用组合数性质：练习1.已知，数列满足，则__________．【答案】1009【解析】因为的图象关于原点对称，的图象由向上平移个单位，向右平移个单位，故答案为.练习 2.已知函数为奇函数，，若，则数列的前项和为( )【答案】【解析】∵函数为奇函数图象关于原点对称，∴函数的图象关于点(,0)对称，∴函数的图象关于点(,1)对称，∴，∵，∴数列的前项之和为，故选：。
练习3. 已知函数，则的值为 _____．【答案】2.裂项求和例2. 数列的前项和为，若，则等于（）【答案】【解析】选练习1.数列的前项的和为（）【答案】【解析】故数列的前10项的和为选。
练习2.在等差数列中，，则数列的前项和为（）【答案】练习3. 已知数列与的前项和分别为，，且，，，若恒成立，则的最小值是( )49【答案】B【解析】当时，，解得或.由得.由，得.两式相减得.所以.因为，所以.即数列是以3为首项，3为公差的等差数列，所以.所以.所以.要使恒成立，只需.故选.练习4.已知为数列的前项和，若且，设，则的值是（）【答案】.故选B.练习5.定义为个正数的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（）【答案】练习6.数列满足，且对于任意的都有，则等于（）【答案】D【解析】由题意可得：，则：，以上各式相加可得：，则：，练习7.设数列满足，且，若表示不超过的最大整数，则( )【答案】解得，∴，∴，∴则．故答案为：．练习8. 已知幂函数的图象过点，令（），记数列的前项和为，则（）【答案】【解析】函数的图象过点，可得,解得，，则，则.故选：.练习9. 已知数列的首项为，且，若，则数列的前项和__________．【答案】练习10.设数列的前项为，点，均在函数的图象上.（1）求数列的通项公式。
高考数列求和问题破解策略
高考数列求和问题的破解策略数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础，在高考和数学竞赛中都占有十分重要的地位，数列求和问题是数列的基本内容之一，也是高考命题的热点和重点。
由于数列求和问题题型多样，技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。
鉴于此，下面就数列求和问题的常见解题策略作一归纳，供广大师生参考。
1、公式法求和若所给数列的通项是关于n 的多项式，此时可采用公式法求和，利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法之一。
常用求和公式列举如下： 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=， 等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn自然数的方幂和：k 3=13+23+33+ +n 3=n 2 (n+1)2，k=1+2+3++n=n(n+1)，k 2=12+22+32+ +n 2=n(n+1)(2 n+ 1)例1已知数列{}n a ，其中()12111,3,22n n n a a a a a n +-===+≥，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}ln n S 的前n 项和为n U ，求n U 。
解：由题意，{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列 前n 项和()211212n n S n n ++-=⋅=，2ln ln 2ln n S n n ==()()2ln1ln 2ln 2ln !n U n n =+++=2、错位相减法求和若数列{}n c 的通项公式为n n n b a c =，其中{}n a ，{}n b 中有一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q ，然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。
它在推导等比数列的前n 项和公式时曾用到的方法。
如何解决高考数学中的数列与数学归纳法题目
如何解决高考数学中的数列与数学归纳法题目数列与数学归纳法是高考数学中常见的题型，对于考生来说，熟练掌握解决这类题目的方法和技巧至关重要。
本文将介绍一些解决高考数学中的数列与数学归纳法题目的策略和步骤。
一、数列题目解决策略对于数列题目，首先需要明确题目给出的条件以及需要求解的内容。
然后可以按照以下步骤进行解决：1. 找出数列的通项公式：通过观察数列中元素之间的规律，可以尝试找出数列的通项公式。
常见的数列有等差数列、等比数列和递推数列等，可以根据数列的性质来确定通项公式。
2. 确定数列的首项和公差（或公比）：根据数列的通项公式，可以确定数列的首项和公差（或公比）。
首项即数列中的第一个数，公差即等差数列中相邻两项之间的差值，公比即等比数列中相邻两项之间的比值。
3. 求解问题：根据题目给出的条件和要求，使用所确定的数列通项公式和已知信息，对数列进行计算，得到所需的结果。
需要注意题目中可能涉及到的问题类型，如求和、求极限、求范围等，应选择相应的解决方法。
二、数学归纳法题目解决策略数学归纳法常用于证明一些数学命题的正确性，在高考数学中也经常出现数学归纳法的题目。
解决这类题目时，可以按照以下步骤进行：1. 确定归纳假设：首先需要明确题目给出的命题，并对其进行归纳分析。
通过观察命题中的模式和规律，得出归纳假设，即命题成立的前提条件。
2. 验证归纳基础：归纳基础是证明归纳法的第一步，需要验证命题在某个确定的数值下是否成立。
通常选取最小的自然数或指定的特殊值进行验证，并确保命题在该值下是成立的。
3. 假设归纳成立：假设在某个确定的情况下命题成立，即假设命题对任意给定的自然数n成立。
4. 利用归纳法证明：利用归纳假设和归纳成立的情况，通过数学推理和逻辑推导来证明命题对n+1也成立。
通常需要进行等式转换、代数运算等步骤。
5. 总结归纳法的结果：根据归纳法的步骤和推导过程，总结出命题的结论，确保命题在任意给定的自然数下都成立。
高考数列求和的基本方法和技巧必过
数列求和的基本技巧和方法一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝x x x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1 解：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1 ① ①两边同乘以x ，得 x S n =x+5 x 2+9x 3+······+(4n-3)x n ② ①-②得，（1-x ）S n =1+4（x+ x 2+x 3+······+n x ）-（4n-3）x n当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n当x ≠1时，S n = 1 1-x [ 4x(1-x n )1-x +1-（4n-3）x n ]三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：nn n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++证明： 设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序）又由mn n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②①+②得 nn n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加） ∴ nn n S 2)1(⋅+=[例6] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5 练习：已知lg(xy)=a ，求S ，其中S=nn n n y y x y x x lg )lg()lg(lg 221+•••+++--解: 将和式S 中各项反序排列，得n n n n x y x y x y s lg )lg()lg(lg 221+•••+++=--将此和式与原和式两边对应相加，得 2S=n xy )lg(+n xy )lg(+ · · · +n xy )lg( (n+1)项 =n(n+1)lg(xy)∵ lg(xy)=a ∴ S=21n(n+1)a四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n-+---[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和） ＝2)2()1(2++n n n练习：求数列•••+•••),21(,,813,412,211n n 的前n 项和。
湖南高中数列求和简答题技巧方法
湖南高中数列求和简答题技巧方法一、理解数列求和的概念数列求和是指将数列中的数字加在一起形成一个总数。
在湖南高中的数学考试中，数列求和是常见的题型，需要学生掌握基本的求和方法。
二、熟悉常用的求和公式1. 等差数列求和：等差数列是指每一项与其前一项的差都是一个常数的数列。
对于等差数列，我们可以使用求和公式：Sn =n/2(a1 + an)，其中Sn是数列的和，n是项数，a1是第一项，an是最后一项。
2. 等比数列求和：等比数列是指每一项与其前一项的商都是一个常数的数列。
对于等比数列，我们可以用求和公式：Sq = (a1-an*r^n)/(1-r)，其中Sn是数列的和，n是项数，a1是第一项，an是最后一项，r是公比。
3. 倒序相加法：对于一些特殊的数列，如一些求通项公式的题目，可以通过倒序相加法求和。
这种方法需要学生掌握数列的特性，灵活运用。
三、解题技巧1. 观察法：首先观察题目中的数列特点，确定适合的求和公式。
如果题目中的数列比较特殊，可能需要使用倒序相加法等技巧。
2. 代数法：将数列中的数字用代数式表示，然后代入求和公式进行计算。
这种方法需要学生具备一定的代数知识。
3. 简化法：对于一些复杂的数列，可以通过简化数字或通项公式的技巧，使求和过程更加简便。
四、注意事项1. 不要急于求成，要仔细审题，理解题意后再进行解题。
2. 不要忽视细节，如符号、小数点等。
3. 对于一些特殊的数列，要灵活运用各种求和方法，找到最适合的方法。
总之，湖南高中数列求和简答题需要学生掌握基本的概念、公式和技巧，同时注意细节和特殊情况。
通过不断的练习和实践，学生可以逐渐提高自己的解题能力。
解答数列求和问题的几种途径
知识导航数列求和问题是同学们比较熟悉的一类题目.解答此类问题的方法有很多,如倒序相加法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法、并项求和法等.如何选择合适的方法来解题是提升解题效率的关键.本文重点谈一谈解答数列求和问题的三种常见方法.一、倒序相加若一个数列中与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，就可运用倒序相加法来求数列的和.在求和时需要首先列出数列的前n项和式，然后把数列的前n项的顺序倒过来并相加，其和仍为数列的前n项的和.再将两个和式的第一项与第一项、第二项与第二项……相加，得到n（a1+a n）.求得a1+a n的值，即可求得数列的前n项和.例1.设f()x=4x4x+2，若S=fæèöø12015+fæèöø22015+⋯+fæèöø20142015，则S=___.解：∵f()x=4x4x+2，∴f()1-x=22+4x，∴f()x+f()1-x=1，∵S=fæèöø12015+fæèöø22015+⋯+fæèöø20142015，S=fæèöø20142015+fæèöø20132015+⋯+fæèöø12015，2S=éëêùûúfæèöø20142015+fæèöø12015+éëêùûúfæèöø20132015+fæèöø22015+⋯+éëêùûúfæèöø12015+fæèöø20142015∴S=20142=1007.解答本题，需首先明确f()x与f()1-x之间的关系，这样与首末项等距的两项之和就等于首末两项之和，便可直接运用倒序相加法来求和.二、分组求和分组求和法是指将数列分成几个组，然后分别对每组进行求和的方法.运用分组求和法解答数列求和问题的关键在于把数列中的各项进行合理分组.可根据数列各项之间的特点将数列分成几个不同的组，如将周期数列按照周期进行分组，将奇偶项不同的数列按照奇偶性来分组等.例2.已知数列{an}是等比数列，a1=1，a4=8，{b n}是等差数列，b1=3，b4=12.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和S n.解：（1）a n=2n－1，b n=3n.（过程略）（2）因为数列{a n}的前n项和为a1(1-q n)1-q=a1(1-2n)1-2=2n－1，数列{b n}的前n项和为b1n+n(n-1)2d=3n+n(n-1)2×3=32n2+32n，所以S n=2n-1+32n2+32n.我们由题意知，{c n}由一个等差数列和一个等比数列构成，于是可将其分成两组，分别利用等差数列和等比数列的前n项和公式求出它们的和，再综合所得的结果即可.三、裂项相消裂项相消法是指将数列的通项裂为两项之差的形式，然后再求和的方法.常见的裂项形式有1n+n+k=1k()n+k-n、2n+1n2()n+12=1n2-1()n+12等.在裂项之后，将各项相加，和式中的前后项会相互抵消，化简剩下项的和便可求得S n的值.例3.已知数列{}a n是首项a1=0，公差为p的等差数列，且前n项和为S n=n()a1-a n2.令b n=S n+1Sn+2+Sn+2Sn+1，求证：2n<b1+b2+⋯+b n<2n+3.解：∵Sn=n()a1-a n2=n()n-1p2，∴b n=S n+1S n+2+S n+2S n+1=n n+2+n+2n=2+2æèöø1n-1n+2，∵1n-1n+2>0，∴b1+b2+⋯+b n>2n，∵2[æèöø1-13+æèöø12-14+æèöø13-15+⋯+æèöø1n-1-1n+1+æèöø1n-1n+2]=2æèöø1+12-1n+1-1n+2=3-2æèöø1n+1+1n+2<3，∴b1+b2+⋯+b n<2n+3，综上所述，2n<b1+b2+⋯+b n<2n+3()n=1,2,3,⋯.我们在求得数列{}b n的通项之后，将其裂为两项之差的形式，然后对其进行求和.在求和时，除了最前面的2项和末尾的2项，其他的项每隔两项便会出现绝对值相等的正负数，通过正负抵消这些项便会将其转化为0.数列求和问题的形式多种多样，与之所对应的求和方法也多种多样.因此，同学们要熟练掌握一些常见的数列求和问题的形式以及求和的方法，这样，在面对新的求和问题时，便能快速找到解题的思路.（作者单位：江苏省南京市第二十九中学）。
解答数列求和问题的常用措施
近几年各地的高考数学试题中均出现了数列求和问题，此类问题的命题形式较多，侧重于考查同学们的运算能力和推理分析能力.解答数列求和问题的方法很多，如错位相减法、倒序相加法、公式法、分组求和法、裂项相消法等，笔者对其中三种方法及其应用技巧进行了探讨，下面结合实例介绍.一、公式法公式法是指运用等差数列的前n 项和公式S n =()a 1+a n n 2=na 1+12n ()n -1d 以及等比数列的前n项和公式S n =ìíîïïa 1()1-q n1-q ()q ≠1,na 1()q =1,进行求和.在解题时，需根据问题所给条件求出数列的首项a 1、公差d 、公比q ，再将所求得的值代入等差、等比数列的前n 项和公式中，通过运算，即可求出数列的前n 项和.例1.已知等比数列{}a n 满足a 2+a 4=20,a 3+a 5=40,求该数列的前n 项和S n .解：由题意可知a 3+a 5=q ()a 2+a 4，将a 2+a 4=20，代入上式可得：q =2，而a 2+a 4=a 1q +a 1q 3=2a 1+8a 1=20，解得a 1=2，可得S n =a 1()1-q n 1-q =2×()1-2n 1-2=2n +1-2，故前n 项和S n =2n +1-2.该数列为等比数列，且已知数列的第二、四项之和，以及第三、五项之和，根据等比数列的性质建立关系式，即可求出数列的首项和公比，再运用等比数列的前n 项和公式就能快速求得数列的和.二、分组求和法若一个数列由几个等差数列、等比数列、常数列的和或差构成，或奇偶项的通项公式不同，则可采用分组求和法，将数列拆分为几组，分别用不同的通项公式表示出来，便可根据等差、等比数列的前n 项和公式进行求和，最后将每组数列的前n 项和相加，就能得到问题的答案.例2.求数列112，214，318，4116，⋯的前n 项和.解：由题意可知数列的通项公式为a n =n +12n ，则数列的前n 项和S n =æèöø1+12+æèöø2+14+æèöø3+18+⋯+æèçöø÷n +12n =()1+2+3+⋯+n +æèçöø÷12+14+18+⋯+12n =n ()n +12+12æèçöø÷1-12n 1-12=n 2+n 2-12n +1，故该数列的前n 项和为n 2+n 2-12n+1.观察数列中的各项，可得到数列的通项公式，并发现该数列由等差数列{}n 和等比数列{}12n 构成，于是采用分组求和法，分别根据等差数列的前n 项和公式以及等比数列的前n 项和公式求出各组数列的和，最后综合所得的结果.三、裂项相消法采用裂项相消法求数列的前n 项和，需先将数列的各项都裂为两项之差的形式，如1n ()n +1=1n -1n +1、1n ()n +k =1k æèöø1n -1n +k 1k()n +k -n 、1()2n -1()2n +1=12æèöø12n -1-12n +1等；然后将数列的各项相加，那么绝对值相等、符号相反的项便会相互抵消；最后化简所得的结果，即可求得数列的前n 项和.例3.已知{}a n 是公差不为零的等差数列，a 1=2，且a 2、a 4、a 8成等比数列，若b n =2n ()a n +2，求数列{}b n 的前n 项和.解：设数列{}a n 的公差为d ，d ≠0，∵a 1=2，且a 2、a 4、a 8成等比数列，∴()2+3d 2=()2+d ()2+7d ，解得：d =2或d =0（不合题意，舍去），∴a n =a 1+()n -1d =2n ，∴b n =2n ()a n+2=2n ()2n +2=1n ()n +1=1n -1n +1，∴S n =b 1+b 2+⋯+b n =æèöø1-12+æèöø12-13⋯+(1n -)1n +1=1-1n +1.根据已知条件求得数列{}a n 的通项公式后，会发现该式可裂为两项之差的形式b n =1n ()n +1=1n -1n +1，于是采用裂项相消法求解，便可快速求得数列前n 项的和.总之，对于简单的等差、等比数列的求和问题，可直接采用公式法求出数列的和；对于较为复杂的数列求和问题，则需将数列中的各项或通项公式进行分组、裂项，然后运用分组求和法、裂项相消法求解.（作者单位：云南省曲靖市马龙区第一中学）王宝林备考指南56Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
解答数列求和问题的几种措施
解题宝典数列求和问题的综合性较强，差、等比数列的定义、性质、通项公式、前n 等，常以解答题的形式出现在各类试题中.一谈解答数列求和问题的几种措施，解题的效率.一、运用裂项相消法所谓裂项相消法，进行合理的拆分，而求得数列和.在运用裂项相消法求数列的前时，对其进行裂项；然后将各项相加，抵消，化简剩下的项即可求得数列的和.例1.已知数列{}a n 中，a 1=4，公差为4，项和为S n ，试求：1S 1+1S 2+⋯+1S n .解：因为a 1=4，公差为4，所以数列{}a n 的通项公式为：a n =4+4(n -1因此S n =n ()4+4n 2=2n ()n +1，那么1S n =12n ()n +1=12æèöø1n -1n +1，因此1S 1+1S 2+⋯+1S n=12∙(1-12+12-13+)-1n +1=12æèöø1-1n +1=n 2()n +1.解答本题，项和公式求得数列{}a n 的通项公式和S n ，1S n=12n ()n +1=12æèöø1n -1n +1，于是将数列{}1S n 项裂项，采用裂项相消法来求和.二、运用倒序相加法运用倒序相加法求数列的和，与倒序和相加，在相加的过程中，离相等的两项相加，第二项与倒数第二项相加，加......相等的两项的和.和即可解题.例2.若f ()x =12x +2，求S =f ()-5+f (-+f ()0+⋯+f ()5+f ()6的值.分析：仔细研究f ()x =可发现f ()x +=12x +2+2x 2()2x +2=，量之和为1的两项相加，⋯的和.解：由f ()x =12x +2可得f ()1-x=2x 2()2x +2,所以f ()x +f ()1-x =12x +2+2x 2()2x +2由S =f ()-5+f ()-4+⋯+f ()0+⋯+f ()5+f ()6，得S =f ()6+f ()5+⋯+f ()1+⋯+f ()-4+f ()-5，所以2S =()f ()-5+f ()6+()f (-4)5+⋯+)f ()0+f ()1=12()f ()-5+f ()6=12×62，即S =3 2.三、运用归纳猜想法有些数列求和问题较为复杂，我们很难根据已知此时可先根据题意猜想出数n 项和，然后运用数学归纳法证明.在运用归纳法证明结论时，要按照如（1）证明当n =1时，猜想的结论成；（2）假设当n =k 时，猜想的结论成立，证明当=k +1时，猜想的结论也成立，从而证明猜想成立.例3.已知数列{}a n 满足：S n =12æèçöø÷a n +1a n ，且a n >0，n 项和S n .解：由a n >0得出S n >0，根据S n =12æèçöø÷a n +1a n 可S 1=12æèçöø÷a 1+1a 1，即S 1=a 1=1，S 2=12æèçöø÷a 2+1a 2，得S 2=12æèçöø÷S 2-1+1S 2-1，解得：S 2=-2（舍）或S 2=1，S 3=3,猜想：S n =n .下面用归纳猜想法进行证明.证明：①当n =1时，S 1=a 1=1，猜想成立；②当n =k 时，S k =k ，所以当n =k +1时，S k +1=12æèçöø÷a k +1+1a k +1和S k +1=S k +a k +1，可得12æèçöø÷a k +1a k +a k +1=S k +a k +1，因此S k =12a k +12a k ，a k >0，即S k +1=k +1，因此，当n =k +1时，猜想也成立.综上可得S n =n .相比较而言，裂项相消法和倒序相加法比较简只需要合理裂项，正确计算，即可求得正确的答而归纳猜想法对同学们的逻辑思维能力和分析能一般在找不到其他方法时才使用.（作者单位：江苏省扬州市邗江区公道中学）刘何长林41。
解答数列求和问题的三个妙招
差、常数数列的求和问题或简单的运算问题，这样才
能顺利求得数列的和.
一、倒序相加
有些数列的首尾两端等距离的两项之和等于首 尾两项之和，即 a1 + an = a2 + an - 2 = a3 + an - 3⋯ = an - m + am ，此时可采用倒序相加的技巧来解题,分别列出数 列 的 正 序 和 Sn = a1 + a2 + ⋯ + an 与 倒 序 和 Sn = an +an - 1 + ⋯ + a1 ，然 后 将 两 式 相 加 ，使 得 2Sn =(a1 + an)
an 2n
，求数列
{bn} 的前 n 项和 Sn .
解:
∵
a1
+
2a2
+
3a3
+
⋯
+
na
n
=
1 12
n
(
n
+
1)(2n
+
1),
①
∴
a1
+
2a2
+
3a3
+⋯
+
(n
-
)1 an - 1
=
1 12
n(n
-
1)(2n -
1) (n ≥ 2) ，②
将 ① - ② 可得，
nan
=
1 12
n[(n
+
1)(2n
+
1)
，④
将
③-
④
式
可
得
，12
Sn
=
1 22
+
1 23
高考数学 浅析高考数列求和题的解题方法论文
浅析高考数列求和题的解题方法数列求和是数列的重要内容，也是高考的重点考察对象。
本文归纳近几年高考求数列{an}前n 项和题的解题方法，供同学们参考。
一、直接求和法等差数列和等比数列求和均可直接利用求和公式。
例1（2009年湖南卷文）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于【 C 】A ．13B ．35C ．49D ． 63解: 172677()7()7(311)49.222a a a a S +++====故选C. 或由21161315112a a d a a a d d =+==⎧⎧⇒⎨⎨=+==⎩⎩, 716213.a =+⨯= 所以1777()7(113)49.22a a S ++===故选C. 二、分组求和法某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，可采用分组分别求和的方法。
例2（2008年浙江文）已知数列{}n x 的首项13x =，通项2n n x p nq =+（,,n N p q *∈为常数），且145,,x x x 成等差数列，求：（Ⅰ）,p q 的值； （Ⅱ）数列{}n x 的前n 项的和n S 的公式。
解：（Ⅰ）由得,31=x解得得且又,82523,2,52,42,32554315544q p q p x x x q p x q p x q p +=++=++=+==+ p =1,q =1(Ⅱ) 三、裂项相消法某些数列的通项，可拆成两项之差求和，正负项相消剩下首尾若干项，一般情况下剩下正负项个数相同。
例3（2010山东理数）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． .2)1(22)21()222(12++-=+++++++=+n n n S n n n解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有 112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n 。
高考数学高分的数列求和的基本方法和技巧！
高考数学高分的数列求和的基本方法和技巧！高考数学高分的数列求和的基本方法和技巧！导语:书是人类进步的阶梯，书是人类的导师，书是学问的海洋，书是饥饿人的点心，书是打开学问大门的金钥匙。
下面是我为大家整理的，数学学习技巧，希望对大家有所关怀,欢迎阅读，仅供参考，更多相关的学问，请关注CNFLA学习网!一.公式法假如一个数列是等差数列或等比数列,则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式.留意等比数列公示q的取值要分q=1和q1.二.倒序相加法假如一个数列的首末两端等"距离'的两项的和相等,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.三.错位相减法假如一个数列的各项和是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.四.裂项相消法把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.用裂项相消法求和时应留意抵消后并不愿定只剩下第一项和最终一项,也可能前面剩两项,后面也剩两项,前后剩余项是对称消逝的.五.分组求和法若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和然后相加减.六.并项求和法一个数列的前n项和中,若可两两结合求解,则称之为并项求和法.形如类型,可接受两项合并求解.数列学问整合1、在把握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统把握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵敏地运用数列学问和方法解决数学和实际生活中的有关问题。
2、在解决综合题和探究性问题实践中加深对基础学问、基本技能和基本数学思想方法的熟识，沟通各类学问的`联系，形成更完整的学问网络，提高分析问题和解决问题的力气。
进一步培育同学阅读理解和创新力气，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的力气。
四类数列题型(学生版)
四类数列题型-高考数学大题秒杀技巧数列求和问题一般分为四类：类型1：错位相减；类型2：裂项相消求和；类型3：分组求和；类型4：含−1 n 类进行求和 。
下面给大家对每一个类型进行秒杀处理.数列求和之前需要掌握一些求数列通项的技巧，技巧如下：①当高考数列大题出现《a n 与a n +1》或《a n 与a n −1》递推关系且关系式中系数为1时，应遵循以下步骤第一步：作差第二步：列举第三步：求和→简称《知差求和》注意：列举时最后一项必须是a n −a n −1②当高考数列大题出现《a n 与a n +1》或《a n 与a n −1》递推关系且关系式中系数不为1时，应遵循以下步骤第一步：秒求所配系数第二步：寻找新的等比数列第三步：求新数列的通项第四步反解a n →简称《构造法》③当高考数列大题出现《a n 与a n +1》或《a n 与a n −1》递推关系，关系式中出现倍数关系时，应分为两种情况，第一种情况：若f n 是常数时，可归为等比数列，第二种情况：若f n 可求积，应遵循以下步骤第一步：出现商的形式第二步：列举第三步：求积出现a n →简称《知商求积》类型1：错位相减；a n =An +B ⋅C n第一步：求和(求和×公比)S n =A +B ⋅C 1+A ⋅2+B ⋅C 2+A ⋅3+B ⋅C 3+⋯⋯+A ⋅n −1 +B ⋅C n −1+A ⋅n +B ⋅C n C ⋅S n =A +B ⋅C 2+A ⋅2+B ⋅C 3+A ⋅3+B ⋅C 4+⋯⋯+A ⋅n −1 +B ⋅C n +A ⋅n +B ⋅C n +1①式-②式得S n −C ⋅S n =A +B ⋅C 1+A ⋅C 2+A ⋅C 3+⋯⋯+A ⋅C n −A ⋅n +B ⋅C n +1S n 1−C =A ⋅C 1+A ⋅C 2+A ⋅C 3+⋯⋯+A ⋅C n +B ⋅C 1−A ⋅n +B ⋅C n +1S n =A ⋅C ⋅1−C n1−C +B ⋅C 1−A ⋅n +B ⋅C n +11−CS n =A ⋅C ⋅1−C n 1−C 2+B ⋅C 11−C −A ⋅n +B ⋅C n +11−C ⇒S n =AC −C n +1C −12−B ⋅C 1C −1+A ⋅n +B ⋅C n +1C −1S n =An C −1+B C −1−A C −1 2 ⋅C n +1−B C −1−A C −1 2⋅C错位相减专项训练1已知等差数列a n前n项和为S n，a1=1，S9=9a6-18.(1)求a n的通项公式；(2)若数列b n满足a1b1+a2b2+⋯+a n b n=2n-3⋅2n+1+6，求和：T n=a1b n+a2b n-1+⋯+a n-1b2+a n b1.2数列a n中，a1=2，记T n=a1a2a3⋯a n，T n是公差为1的等差数列.(1)求a n的通项公式；(2)令b n=na n2n，求数列b n的前n项和S n.3已知数列a n满足a1=-1，且2a n+1-a n=1 2n.(1)求2n⋅a n的通项公式；(2)求数列a n的前n项和S n.4已知数列a n的前n项和为S n,a1=0，且S n+1=2S n+2n∈N*.(1)求数列a n的通项公式；(2)设数列b n满足b n=log2a n+12，求a n+1b n的前n项和T n.5已知等差数列a n的公差不为零，其前n项和为S n，且a2是a1和a5的等比中项，a2n=2a n +1n∈N*．(1)求数列a n的通项公式；(2)若b n=2a n+1，令c n=a n b n，求数列c n的前n项和T n．类型2：裂项相消求和①a n=f(n+1)−f(n)②sin1°cos n°cos(n+1)°=tan(n+1)°−tan n°③a n=1n(n+1)=1n−1n+1④a n=(2n)2(2n−1)(2n+1)=1+1212n−1−12n+1⑤a n=1n(n−1)(n+2)=121n(n+1)−1(n+1)(n+2)⑥a n=n+2n(n+1)⋅12n=2(n+1)−nn(n+1)⋅12n=1n⋅2n−1−1(n+1)2n,则S n=1−1(n+1)2n⑦a n=1(An+B)(An+C)=1C−B1An+B−1An+C⑧a n=1n+n+1=n+1-n，1a+b=1a-ba-b⑨a n=log a n+1n=log a n+1−log a n⑩a n=2n2n−1⋅2n+1−1=12n−1−12n+1−1裂项相消求和专项训练6已知在等差数列a n 中，a 1+a 5=18,a 6=15.(1)求a n 的通项公式；(2)求数列1a n -1a n 的前n 项和S n .7已知数列a n 的前n 项和为S n ，且满足a 1=12，a n +S n -1S n=0(n ≥2).(1)求数列a n 的通项公式；(2)求数列(2n +1)a 2n 的前n 项和.8已知公差不为0的等差数列a n 的前n 项和为S n ，且a 1,a 2,a 5成等比数列，a 2a 3=a 8.(1)求数列a n 的通项公式a n ；(2)若n ≥2，1S 2-1+1S 3-1+⋯+1S n -1≥2140，求满足条件的n 的最小值.9从①a n +1 2=a 2n -1+4a n +2a n -1+1n ≥2 ,a n >0，②na n +1=n +1 a n +1，③前n 项和S n 满足nS n +1S n+n=n +1中任选一个，补充在下面的横线上，再解答.已知数列a n 的首项a 1=1，且.(1)求a n 的通项公式；(2)若b n =2a n a n +1，求数列b n 的前n 项和T n .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.10已知数列a n 满足a 1=13，2-a n a n +1=1．(1)证明：数列11-a n 是等差数列，并求数列a n 的通项公式；(2)设数列a n 的前n 项的积为T n ，证明：T 1T 2+T 2T 3+⋯+T n T n +1<12．类型3：分组求和①等差数列求和公式：S n=n(a1+a n)2=na1+n(n−1)2d②等比数列求和公式：S n=na1(q=1) a1(1−q n)1−q=a1−a n q1−q(q≠1)③S n=nk=1k=12n(n+1)④S n=nk=1k2=16n(n+1)(2n+1)⑤S n=nk=1k3=12n(n+1)]2类型3：分组求和专项训练11已知数列a n的前n项和为S n,a1=3,2S n=3a n-3.(1)求a n的通项公式；(2)设数列b n满足：b n=a n+log3a n，记b n的前n项和为T n，求T n.12已知数列a n满足：a1=3，a n=a n-1+2n-1n≥2,n∈N*．(1)求数列a n的通项公式；(2)令b n=a n-1+-1n log2a n-1，求数列b n的前n项和T n．13在等比数列a n中，a1，a2，a3分别是下表第一，第二，第三列中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一行．第一列第二列第三列第一行-1-416第二行2-6-10第三行5128(1)写出a1，a2，a3，并求数列a n的通项公式；(2)若数列b n的前n项和S n．满足b n=a n+log2a2n，求数列b n14已知数列a n的前n项和为S n，a1=1，S n+1=2S n+1n∈N+．(1)求数列a n的通项公式；(2)设b n=a n a n+1+log2a n a n+1的前n项和．，求数列b nn∈N+15已知数列a n的前n项和S n=n2+n2，等比数列b n满足b2=a2，b3=a3+1．(1)求数列a n和b n的通项公式；(2)若c n=-a n b n+1,n为奇数a nb n,n为偶数，求数列cn的前2n项和T2n．类型4：含−1n类进行求和我们估且把这种求和的方法称为“并项法”，可以推广到一般情况，用“并项法”求形如通项公式为a n=−1n⋅f n 的摆动数列{a n}前n项和的步骤如下：第一步：首先获得并项后的一个通项公式，即先求当n为奇数时，a n+a n+1的表达式；第二步：然后对n分奇、偶进行讨论，即当n为偶数时，由S n=a1+a2+a3+a4+a5+a6+⋯+a n−1+a n求出S n；第三步：当n为奇数且n＞1时，由S n=S n−1+a n求出S n，特别注意对n=1时要单独讨论，即S1要单独求出.第四步：将S1代入当n为奇数且n＞1时S n的表达式进行检验，如果适合，结果写成两段分段函数形式表示，如果不适合，结果写成三段分段函数形式表示含−1n类进行求和专项训练16设S n为数列a n的前n项和，a n>0，a2n+2a n+1=4S n.(1)求数列a n的通项公式；(2)求数列-1n4na n a n+1的前n项和Tn.17数列a n 的前n 项的和为S n ，已知a 1=1，a 2=3，当n ≥2时，S n +1+S n -1=2S n +n +1.(1)求数列a n 的通项公式a n ；(2)设b n =-1 n ⋅a n ，求b n 的前2m m ∈N ∗ 项和T 2m .18设正项数列a n 的前n 项和为S n ，已知a 3=5，且a 2n +1=4S n +4n +1.(1)求a n 的通项公式；(2)若b n =(-1)n ⋅2n a na n +1，求数列b n 的前n 项和T n .19正项数列a n 的前n 项和为S n ，已知2a n S n =a 2n +1．(1)求证：数列S 2n 为等差数列，并求出S n ，a n ；(2)若b n =(-1)na n，求数列b n 的前2023项和T 2023．20已知正项等比数列a n的前n项和为S n，且满足a1=1,a2a3a4=64，数列b n满足b1=1,b1+1 2 b2+1 3b3+⋅⋅⋅+1nb n=b n+1-1n∈N*．(1)求数列a n,b n的通项公式；(2)设c n=a n+(-1)n2b n+1，求数列c n的前2n项和T2n．。
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高考数列求和问题的破解策略数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础，在高考和数学竞赛中都占有十分重要的地位，数列求和问题是数列的基本内容之一，也是高考命题的热点和重点。
由于数列求和问题题型多样，技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。
鉴于此，下面就数列求和问题的常见解题策略作一归纳，供广大师生参考。
1、公式法求和若所给数列的通项是关于n 的多项式，此时可采用公式法求和，利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法之一。
常用求和公式列举如下： 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=， 等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn自然数的方幂和：k 3=13+23+33+ +n 3=n 2 (n+1)2，k=1+2+3++n=n(n+1)，k 2=12+22+32+ +n 2=n(n+1)(2 n+ 1)例1已知数列{}n a ，其中()12111,3,22n n n a a a a a n +-===+≥，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}ln n S 的前n 项和为n U ，求n U 。
解：由题意，{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列 前n 项和()211212n n S n n ++-=⋅=，2ln ln 2ln n S n n ==()()2ln1ln 2ln 2ln !n U n n =+++=2、错位相减法求和若数列{}n c 的通项公式为n n n b a c =，其中{}n a ，{}n b 中有一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q ，然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。
它在推导等比数列的前n 项和公式时曾用到的方法。
例2已知)0,0,( 1221>>∈+++++=*---b a N n b ab b a b a a u n n n n n n 当b a =时，求数列{}n u 的前n 项和n S ；解：当b a =时，n n an u )1(+=．由题可知，{n a n )1(+}的通项是等差数列{1+n }的通项与等比数列{n a }的通项之积，这时数列}{nu 的前n 项和n n n a n na a a a S )1(432132++++++=- ． ①①式两边同乘以a ，得 1432)1(432+++++++=n n n a n na a a a aS ②①式减去②式，得 132)1(2)1(++-++++=-n n n a n a a a a S a若1≠a ，a a n aa a S a n n n ++---=-+1)1(1)1()1(，221212)1(2)2()1(1)1()1()1(a a a a n a n a a n a a a a S n n n n n -+-+-+=-+-+--=+++ 若1=a ，2)3()1(32+=+++++=n n n n S n 。
3、反序相加法求和将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +，S n表示从第一项依次到第n 项的和，然后又将S n 表示成第n 项依次反序到第一项的和，将所得两式相加，由此得到S n 的一种求和方法。
也称倒写相加法，这是在推导等差数列的前n 项和公式时曾用到的方法.例3（2003上海春季高考题）设221)(+=x x f ，利用课本中推导等差数列的前n 项和的公式的方法，可求得)6()5()0()4()5(f f f f f +++++-+- 的值为： 。
解：因为f （x ）=221+x ，∴f （1－x ）=x xx x x 2222122222211+⋅=⋅+=+- ∴f （x ）+f （1－x ）=222122)22(2122221122221221==++=++=+⋅++xx x x x x x . 设S =f （－5）+f （－4）+…+f （6），则S =f （6）+f （5）+…+f （－5） ∴2S =（f （6）+f （－5））+（f （5）+f （－4））+…+（f （－5）+…f （6））=62∴S =f （－5）+f （－4）+…+f （0）+…+f （6）=32.4、拆项重组求和.有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，能分为几个等差、等比或常见的数列的和、差，则对拆开后的数列分别求和，再将其合并即可求出原数列的和．也称分组求和法.例4求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1( ∴∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得： S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n ＝2)2()1(2++n n n5、裂项相消法求和有些数列求和的问题，可以对相应的数列的通项公式加以变形，将其写成两项的差，这样整个数列求和的各加数都按同样的方法裂成两项之差，其中每项的被减数一定是后面某项的减数，从而经过逐项相互抵消仅剩下有限项，可得出前项和公式．这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用，也称为分裂通项法。
它适用于型（其中{}是各项不为0的等差数列，c 为常数）、部分无理数列、含阶乘的数列等。
常见拆项公式有：)()1(n f n f a n -+=；)(12112121)12)(12(1+-+--=n n n n ；111)1(1+-=+n n n n ；)()2)(1(1)1(121)2)(1(1+++++-=n n n n n n n ；)(11b a ba ba -=++；)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-n n n n n ；n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+； ])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n 等。
例5设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+， ,3,2,1=n ，令2n n n T S =， ,3,2,1=n ，求∑=ni i T 1解：由题意得：42n n n a =- （其中n 为正整数）()()()1114124122242221213333333n n n n n n n n S a +++=-⨯+=--⨯+=--()()112323112221212121n n n n n n n n T S ++⎛⎫==⨯=⨯- ⎪----⎝⎭所以：)121121(23111---⨯=+=∑n ni i T 。
6、并项求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求和n S 。
例6设数列的首项为，前项和满足关系式：设数列的公比为，作数列使，求和：b 1b 2－b 2b 3+b 3b 4－b 4b 5…+b 2n －1b 2n －b 2n b 2n +1.解:由题意知为等比数列，得1)332(-+=n n tt a ，故=，故：b n =312+n ，可知{b 2n －1}和{b 2n }是首项分别为1和35，公差均为34的等差数列。
于是b 1b 2－b 2b 3+b 3b 4－b 4b 5+…+b 2n －1b 2n －b 2n b 2n +1=b 2（b 1－b 3）+b 4（b 3－b 5）+b 6（b 5－b 7）+…+b 2n （b 2n －1+b 2n +1）=－34（b 2+b 4+…+b 2n ）=－)31435(2134++n n =－94（2n 2+3n ） 7、累加法给出数列｛n S ｝的递推式和初始值，若递推式可以巧妙地转化为)(1n f S S n n =--型，可以考虑利用累加法求和，此法也叫叠加法。
例7数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()211,1,1,2,2n n a S n a n n n ==--=⋅⋅⋅，求n S 解：由()21n n S n a n n =--()2n ≥得：()21()1n n n S n S S n n -=---，即()221(1)1n n n S n S n n ---=-，∴1111n n n nS S n n -+-=-，对2n ≥成立。
由1111n n n n S S n n -+-=-，121112n n n n S S n n ----=--，…，2132121S S -=累加得：1121n n S S n n +-=-，又1112S a ==， 所以21n n S n =+，当1n =时，也成立。
8多法并取求和根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，它通常集分组、裂项、公式求和于一体，是一个解决综合性数列求和的重要途径.例8已知数列{a n }：∑∞=+-+++=11))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值. 解：∵ ])4)(2(1)3)(1(1)[1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n＝])4)(3(1)4)(2(1[8+++++⋅n n n n＝)4131(8)4121(4+-+++-+⋅n n n n∴ ∑∑∑∞=∞=∞=++-+++-+=-+1111)4131(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n＝418)4131(4⋅++⋅ ＝313。