2013高考数学解答题审题方法探究1
2013高考数学文科选择题+填空题解题技巧总结
题型一 直接对照法直接对照型选择题是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确的选择支．这类选择题往往是由计算题、应用题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接求解．例1 设定义在R 上的函数f(x)满足f(x)·f(x ＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)等于( ) A ．13 B ．2 C.132D.213 变式训练1 函数f(x)对于任意实数x 满足条件f(x ＋2)＝1f(x)，若f(1)＝－5，则f(f(5))的值为( )A ．5B ．－5 C.15 D ．－15例2 设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( )A.54 B ．5 C.52D. 5 题型二 概念辨析法概念辨析是从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，进行少量运算或推理，直接选择出正确结论的方法．这类题目常涉及一些似是而非、很容易混淆的概念或性质，这需要考生在平时注意辨析有关概念，准确区分相应概念的内涵与外延，同时在审题时要多加小心，准确审题以保证正确选择．一般说来，这类题目运算量小，侧重判断，下笔容易，但稍不留意则易误入命题者设置的“陷阱”．例3 已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，给出下列条件，①a ＝k b (k ∈R)；②x 1x 2＋y 1y 2＝0；③(a ＋3b )∥(2a －b )；④a ·b ＝|a ||b |；⑤x 21y 22＋x 22y 21≤2x 1x 2y 1y 2.其中能够使得a ∥b 的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4题型三 数形结合法“数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石，二者在内容上互相联系、在方法上互相渗透、在一定条件下可以互相转化，而数形结合法正是在这一学科特点的基础上发展而来的．在解答选择题的过程中，可以先根据题意，做出草图，然后参照图形的做法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论．例4 设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪ x 24＋y 216＝1，B ＝{}(x ，y )|y ＝3x ，则A ∩B 的子集的个数是 ( )A ．4B ．3C ．2D ．1例5 函数f(x)＝1－|2x －1|，则方程f(x)·2x ＝1的实根的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3题型四 特例检验法特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择．常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的所有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略．例6 已知A 、B 、C 、D 是抛物线y 2＝8x 上的点，F 是抛物线的焦点，且F A →＋FB →＋FC →＋FD→＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＋|FD →|的值为 ()A ．2B ．4C ．8D ．16变式训练6 已知P 、Q 是椭圆3x 2＋5y 2＝1上满足∠POQ ＝90°的两个动点，则1OP 2＋1OQ 2等于A ．34B ．8 C.815 D.34225例7 数列{a n }成等比数列的充要条件是 ( )A ．a n ＋1＝a n q (q 为常数)B ．a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2≠0 C ．a n ＝a 1q n －1(q 为常数) D ．a n ＋1＝a n ·a n ＋2变式训练7 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2n a n ＝4n －12n －1，则S 2n S n的值为 ( )A ．2B ．3C ．4D ．8题型五 筛选法 数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论．筛选法(又叫排除法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论．例8 方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根的充要条件是( )A ．0<a ≤1B ．a <1C ．a ≤1D ．0<a ≤1或a <0变式训练8 已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是 ( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]题型六 估算法由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程．因此，有些题目，不必进行准确的计算,只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次．例9 已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积是 ( )A.169πB.83πC.4πD.649π 规律方法总结1．解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、验证法和数形结合法．但大部分选择题的解法是直接法，在解选择题时要根据题干和选择支两方面的特点灵活运用上述一种或几种方法“巧解”，在“小题小做”、“小题巧做”上做文章，切忌盲目地采用直接法．2．由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性强，稍不留心就会误入“陷阱”，应该从正反两个方向肯定、否定、筛选、验证，既谨慎选择，又大胆跳跃．3．作为平时训练，解完一道题后，还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”，并注意及时总结，这样才能有效地提高解选择题的能力.知能提升演练1．已知集合A ＝{1,3,5,7,9}，B ＝{0,3,6,9,12}，则A ∩(∁N B )等于 ()A ．{1,5,7}B ．{3,5,7}C ．{1,3,9}D ．{1,2,3}2．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R)，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么 ( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向3．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则( ) A ．0<ω≤1 B ．－1≤ω<0 C ．ω≥1 D ．ω≤－14．已知函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋1，g (x )＝mx ，若对于任一实数x ，f (x )与g (x )的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 ( )A ．(0,2)B ．(0,8)C ．(2,8)D ．(－∞，0)7．设x ，y ∈R ，用2y 是1＋x 和1－x 的等比中 项，则动点(x ，y )的轨迹为除去x 轴上点的A ．一条直线B ．一个圆C ．双曲线的一支D ．一个椭圆10．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋…＋a 101＝0，则有 ( )A ．a 1＋a 101>0B ．a 2＋a 102<0C ．a 3＋a 99＝0D ．a 51＝5111．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为 ()A ．4B ．6C ．8D ．1012．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋a b >2中，正确的不等式是A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④第2讲 填空题的解题方法与技巧解题方法例析题型一 直接法直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法．例 1 在等差数列{a n }中，a 1＝－3,11a 5＝5a 8－13，则数列{a n }的前n 项和S n 的最小值________．变式训练1 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7＝________.题型二 特殊值法特殊值法在考试中应用起来比较方便，它的实施过程是从特殊到一般，优点是简便易行．当暗示答案是一个“定值”时，就可以取一个特殊数值、特殊位置、特殊图形、特殊关系、特殊数列或特殊函数值来将字母具体化，把一般形式变为特殊形式．当题目的条件是从一般性的角度给出时，特例法尤其有效．例2 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足(sin A －sin C )(a ＋c )b＝sin A －sin B ，则C ＝_______.变式训练2 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果a 、b 、c 成等差数列，则cos A ＋cos C 1＋cos A cos C＝________. 变式训练3 设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为题型三 图象分析法(数形结合法)依据特殊数量关系所对应的图形位置、特征，利用图形直观性求解的填空题，称为图象分析型填空题，这类问题的几何意义一般较为明显．由于填空题不要求写出解答过程，因而有些问题可以借助于图形，然后参照图形的形状、位置、性质，综合图象的特征，进行直观地分析，加上简单的运算，一般就可以得出正确的答案．事实上许多问题都可以转化为数与形的结合，利用数形结合法解题既浅显易懂，又能节省时间．利用数形结合的思想解决问题能很好地考查考生对基础知识的掌握程度及灵活处理问题的能力，此类问题为近年来高考考查的热点内容．例4 已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |的值等于________．变式训练4 不等式（|x |- 2π ）·sin x <0，x ∈[-π,2π］的解集为 . 题型四 等价转化法将所给的命题进行等价转化，使之成为一种容易理解的语言或容易求解的模式．通过转化，使问题化繁为简、化陌生为熟悉，将问题等价转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果．例6 设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋6， x ≥03x ＋4， x <0，若互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是________．变式训练6 已知关于x 的不等式ax －1x ＋1<0的解集是(－∞,－1)∪(－12，＋∞)，则a 的值______． 规律方法总结1．解填空题的一般方法是直接法，除此以外，对于带有一般性命题的填空题可采用特例法，和图形、曲线等有关的命题可考虑数形结合法．解题时，常常需要几种方法综合使用，才能迅速得到正确的结果．2．解填空题不要求求解过程，从而结论是判断是否正确的 唯一标准，因此解填空题时要注意如下几个方面：(1)要认真审题，明确要求，思维严谨、周密，计算有据、准确；(2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论；(3)要重视对所求结果的检验.知能提升演练1．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a5·a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________. 2．在数列{a n}中，若a1＝1，a n＋1＝2a n＋3(n≥1)，则该数列的通项a n＝________.3．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则cos〈a，b〉＝________.4．直线y＝kx＋3k－2与直线y＝－14x＋1的交点在第一象限，则k的取值范围是________5．(2010·陕西)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________________________________．6．已知最小正周期为2的函数y＝f(x)，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则方程f(x)＝|log5x|的解的个数为________．。
2013年高考大纲数学(理)试题精解精析(解析版)
三、注重通性通法，突出数学思想方法的考查2013年试题注重能力立意，以考查基础知识为重点，注重对通性通法的考查，淡化特殊技巧, 突出数学思想与方法的考查。
如选择题的前7题，填空题的前2题，试题均为常规题目，学生解答起来，也是顺畅.数学卷历来重视数学思想与方法的考查，今年也不例外。
如数形结合的思想渗透在线性规划（理科第15题）、函数与方程的思想则体现在理科第21题、第22题等题目中；转化与化归思想贯穿整份试卷，如理科第12题；试卷对分类讨论的思想（理科第21题等）做了深入考查。
总之，2013年高考全国大纲版卷数学试题，注重考查考生运用所学知识发现问题、分析问题、解决问题的能力。
整份试卷稳中有变，变中求新，新题不难，难题不偏，“稳”以考查基础，“变”以考查能力，有较高的信度、效度和区分度。
本解析为名师解析团队原创，授权独家使用，如有盗用，依法追责！一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（2013大纲全国，理1）设集合={1,2,3}A ，B={45}，，={x|x=a+b,a A,b B}M ∈∈，则M 中元素的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．62. （2013大纲全国，理2）3(13)i +=（ ）A ．-8B ．8C ．8i -D ．8i3. （2013大纲全国，理3）已知向量(1,1)m λ=+，(2,2)n λ=+，若()()m n m n +⊥-，则λ=（ ）A ．-4B ．-3C ．-2D ．-1【考点定位】向量的坐标运算4. （2013大纲全国，理4）已知函数f(x)的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域（ ） A ．(1,1)- B ．1(1,)2-- C ．(1,0)- D ．1(,1)25. （2013大纲全国，理5）函数21()log (1)f x x=+（x>0）的反函数1()f x -=（ ）A ．1(0)21x x >- B ．1(0)21xx ≠- C ．21()x x R -∈ D ．21(0)x x ->6. （2013大纲全国，理6）已知数列{}n a 满足130n n a a ++=，243a =-，则{}n a 的前10项和等于（ ） A ．106(13)--- B ．101(13)9- C ．103(13)-- D ．103(13)-+7. （2013大纲全国，理7）84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是（ ）A ．56B ．84C ．112D ．168 【答案】D8. （2013大纲全国，理8）椭圆C ：22143x y +=的左右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[2,1]--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ） A ．13[,]24 B ．33[,]84 C ．1[,1]2 D ．3[,1]49. （2013大纲全国，理9）若函数21()f x x ax x =++在1(,)2+∞是增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,0]- B ．[1,)-+∞ C ．[0,3] D ．[3,)+∞10. （2013大纲全国，理10）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ） A ．23 B ．33 C ．23 D ．1311. （2013大纲全国，理11）已知抛物线C ：28y x =与点M （-2,2），过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若0MA MB •=，则k=（ ）A ．12B ．22C ．2D ．2【答案】D【解析】由题意知抛物线C 的焦点坐标为（2,0），则直线AB 的方程为(2)y k x =-，将其代入28y x =，得22224(2)40k x k x k -++=.12. （2013大纲全国，理12）已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论中错误的是（ ） A ．()y f x =的图像关于点(,0)π中心对称 B ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称C ．()f x 的最大值为32D ．()f x 既是奇函数，又是周期函数当33t=-时，函数值为439-；二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. （2013大纲全国，理13）已知α是第三象限角，1sin3α=-，则cotα=14. （2013大纲全国，理14）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.（用数字作答）15. （2013大纲全国，理15）记不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，所表示的平面区域为D.若直线(1)y a x =+与D 有公共点，则a 的取值范围是 【答案】1[,4]2【解析】作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示. ∵直线(1)y a x =+过定点C （-1,0），由图并结合题意可知1,42BC AC k k ==， ∴要使直线(1)y a x =+与平面区域D 有公共点，则142a ≤≤. 【考点定位】线性规划16. （2013大纲全国，理16）已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，32OK =，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为060，则球O 的表面积等于 本解析为名师解析团队原创，授权独家使用，如有盗用，依法追责！三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（2013大纲全国，理17）（本小题满分10分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S .已知232S a =，且124,,S S S 成等比数列，求{}n a 的通项公式.18. （2013大纲全国，理18）（本小题满分12分）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()()a b c a b c ac ++-+=. （Ⅰ）求B ； （Ⅱ）若31sin sin 4A C =，求C.因此015C =或045C =.19. （2013大纲全国，理19）（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，090ABC BAD ∠=∠=，2BC AD =，PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形.（Ⅰ）证明：PB CD ⊥； （Ⅱ）求二面角A-PD-C 的大小.取PD的中点F，PC的中点G，连结FG，20. （2013大纲全国，理20）（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结束相互独立，第1局甲当裁判.（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望.21. （2013大纲全国，理21）（本小题满分12分）已知双曲线C：22221x ya b-=（a>0,b>0）的左、右焦点分别为1F、2F，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为6.（Ⅰ）求a,b ；（Ⅱ）设过2F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，且11||||AF BF =，证明：2||AF 、||AB 、2||BF 成等比数列.2222122222||(3)(3)8831BF x y x x x =++=++-=+22. （2013大纲全国，理22）（本小题满分12分） 已知函数(1)()ln(1)1x x f x x xλ+=+-+. （Ⅰ）若0x ≥时，()0f x ≤，求λ的最小值；（Ⅱ）设数列{}n a 的通项111123n a n =++++，证明：21ln 24n n a a n -+>. 【答案】 （Ⅰ）由已知(0)0f =，2'2(12)()(1)x x f x x λλ--=+，'(0)0f =. 若12λ<，则当02(12)x λ<<-时，'()0f x >，所以()0f x >.。
2013年高考数学全国卷1答案与解析
2013年理科数学全国卷Ⅰ答案与解析一、选择题共12小题。
每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合{}{2|20,|A x x x B x x =->=<，则 ( ) A.A∩B=∅ B.A ∪B=R C.B ⊆AD.A ⊆B考点 ：集合的运算 解析：A=(-,0)∪(2,+), ∴A ∪B=R.答案：B2.若复数z 满足(34)|43|i z i -=+，则z 的虚部为()A .4-B .45-C .4D .45考点 ：复数的运算 解析：由题知===，故z 的虚部为.答案：D3.为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ()A .简单随机抽样B .按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样考点 ：抽样的方法解析：因该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样.答案：C 4.已知双曲线：（）的离心率为，则的渐近线方程为A.B.C.12y x =±D.考点 ：双曲线的性质解析：由题知，，即==，∴=，∴=，∴的渐近线方程为.答案：C5.运行如下程序框图，如果输入的，则输出s 属于A.[3,4]- B .[5,2]- C.[4,3]- D.[2,5]- 考点 ：程序框图 解析：有题意知，当时，，当时，，∴输出s 属于[-3,4]. 答案：A6.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( )A .35003cm π B .38663cm π C. 313723cm π D. 320483cm π 考点 ：球的体积的求法解析：设球的半径为R ，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则，解得R=5，∴球的体积为35003cm π=. 答案：A7.设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m = ( ) A .3B .4C.5D.6考点 ：等差数列解析：有题意知==0，∴=－=－（-）=－2，= -=3，∴公差=-=1，∴3==－，∴=5.答案：C8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+ 考点 ：三视图解析：由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为=.答案：A 9.设m 为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若137a b =，则m = ( )A .5B.6C.7D.8考点 ：二项式的展开式 解析：由题知=，=，∴13=7，即=，解得=6.答案：B10.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点。
2013年高考数学审题方法与答题模板
x2 x1 1 y－ ＝ p (x－x1) － － 2p 由 x2 x2 y－ 2 ＝ (x－x2) － － 2p p p 的纵坐标为－ ∴点 D 的纵坐标为－ . 2
x1＋x2 ＝ x＝ 2 解得， 解得， y＝－p ＝－ 2
，
p ， (2)证明 ∵F 为抛物线 C 的焦点，∴F0，2. 的焦点， 证明 p2－x2 p x2 → 1 1 ∴AF＝－x1，2－2p＝－x1， ， 2p 2 p2－x2 p x2 → 2 BF＝－x2，2－2p＝－x2， . 2p
例 2 已知抛物线 C：x2＝2py (p>0)的焦点为 F，A、B 是抛 ： 的焦点为 ， 、 的不同两点， 物线 C 上异于坐标原点 O 的不同两点，抛物线 C 在点 A， ， B 处的切线分别为 l1，l2，且 l1⊥l2，l1 与 l2 相交于点 D. (1)求点 D 的纵坐标； 求点 的纵坐标； (2)证明：直线 AB 过定点． 证明： 过定点． 证明 审题路线图
5 3 变式训练 1 在△ABC 中，sin A＝ ，cos B＝ ，求 cos C ＝ ＝ 13 5 的值． 的值．
3 π π π 解 在△ABC 中，由 cos B＝5<cos 4知4<B<2. 5 π π 3π 由 sin A＝13<sin 4知 0<A<4或 4 <A<π. 3π 若 4 <A，则 π<A＋B，不符合题意， π 12 2 ∴0<A< ，∴cos A＝ 1－sin A＝ ， 4 13 4 2 又 sin B＝ 1－cos B＝ ， 5 ∴cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B) ＝－cos Acos B＋sin Asin B 12 3 5 4 16 ＝－ × ＋ × ＝－ . 13 5 13 5 65
2013年高考数学试卷分析(文)-解答
2013年高考数学试卷分析（文）-解答三、解答题18、本题主要考查正、余弦定理、三角形面积公式及三角运算等知识，同时考查运算求解能力。
满分14分。
(Ⅰ)由及正弦定理b B a 3sin 2= .23sin ,sin sin ==A B b A a 得： 因为A 是锐角，所以.3π=A(Ⅱ)由余弦定理328,8,36,cos 222222==+=-+-+=bc c b bc c b A bc c b a 所以又得：由三角形的面积公式337,sin 21的面积为得ABC A bc S ∆=19、本题主要考查等差数列、等比数列的概念，等差数列通项公式、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力。
满分14分。
(Ⅰ)由题意得**22213,64,11,41.043)22(5Nn n a N n n a d d d d a a a n n ∈+=∈+-==-==--+=⋅或所以或故即(Ⅱ)设数列{}由因为项和为的前,0,<d S n a n n （Ⅰ）得则,11,1+-=-=n a d n 当.22121112321n n S a a a a n n n +-=+⋯⋯+++≤＝时，当.11022121212211321+-=+-+⋯⋯+++≥n n S S a a a a n n n ＝时，综上所述，.)12(11022121)11(2212122321⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-≤+-+⋯⋯+++n n n n n n a a a a n ＝20、本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。
满分15分。
解：（I ）设点O 为AC ，BD 的交线。
由AB=BC ，AD=CD ，得BD 是线段AC 的中垂线。
所以O 为AC 的中点，BD ⊥AC。
又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA⊥BD 所以BD⊥平面APC(II)连结OG ，由（I ）可知OD ⊥平面APC ，则DG 在平面APC 内的射影为OG ，所以∠OGD 是DG 与平面APC 所成角。
13年沪高考理数难题和解答题详细讲解点评
2013年上海高考题（理科）第13题讲评题目：在xoy平面上，将两个半圆弧(x-1)2+y2=1(x≥1)和(x-3)2 +y2=1(x≥3)、两条直线y=1和y=-1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,y)(|y|≤1)作Ω的水平截面，所得截面面积为4π√(1-y2)+8π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________.解答：根据提示，一个半径为1，高为2π的圆柱平放，另一个高为2，底面面积为8π的长方体，将这两个几何体与Ω放在一起.用垂直于y轴且与x轴距离为y的平面去截这两个几何体.对于平放的圆柱，截面为长2π、宽2√(1-y2)的矩形，故截面面积为4π√(1-y2)；对于长方体，截面面积总为8π.于是圆柱和长方体的截面面积之和为4π√(1-y2)+8π，与几何体Ω的截面面积相等.由祖暅原理，所以两者的体积相等.而后者的体积为π•12•2π+2•8π=2π2+16π，所以Ω的体积为2π2+16π.点评：这道题的采用，大出人们意料.祖暅原理在教材中提到过.构造新几何体使其截面积处处都等于原几何体的截面面积，做这件事情并不容易，历来被人们划入“深水区”.教学中使用此原理推导出锥体体积公式后，一般会置之高阁，再也不予理会，更谈不上去训练它.命题人充分考虑到了这一点，特意在题中作了明确提示：构造一个平放的圆柱和一个长方体. 由于截面面积4π√(1-y2)+8π面目可憎，或者说没有亲和力，必然让学生却步. 稍好的学生想当然地用“割补法”(把右边的实心半圆填补到左边的空白半圆中去，组成一个矩形，再加以旋转，）以为这是捷径，却纷纷落入陷阱！值得商榷的是：使用教材中的“偏僻内容”作为“创新题材”，可以不可以？是不是拟造创新题的一个好的方向？（以下的动画，由华中师范大学彭翕成老师帮忙，请他的朋友方小庆老师绘制.这里致谢！）2013年上海高考题（理科）第14题讲评【题目】14．对区间I上有定义的函数g(x)，记g(I)={y|y=g(x),x∈I}.已知定义域为[0,3]的函数y=f(x)有反函数y=f-1(x)，且f-1([0,1))=[1,2)，f-1((2,4])=[0,1)，若方程f(x)-x=0有解x0，则x0= .【解答】由已知g（I）={y|y=g（x），x∈I}，且f-1([0,1))=[1,2)，f-1((2,4])=[0,1)，根据反函数定义知：对于函数f（x），当x∈[0，1）时，f（x）∈（2，4]，此时方程f（x）-x=0 即f（x）=x无解；当x∈[1，2）时，f（x）∈[0，1），此时方程f（x）-x=0即f（x）=x也无解；也就是说当x∈[0，2）时方程f（x）-x=0即f（x）=x是无解的，但已知方程f（x）-x=0有解x0，且定义域为[0，3]，所以当x∈[2，3]时，f（x）的值域应包含于集合（-∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），故若f（x0）=x0，只有x0=2．【点评】又是一道“创新题”！不过，这个创新是打了引号了的.定义g(x)，是为了引进一个仅在本题使用的符号——f（I)，其中的I是一个区间.不过，这一设计确实给一些学生制造了障碍！数学试题常用这样一种办法考察学生：本来可以直接给出的条件或结论，试题设计者故意绕道而行，绕过含有其它知识点或能力点的圈子，才能达到目标.这叫“绕道法”.我们知道，有反函数的函数，其对应关系是一一对应的；原函数与反函数的定义域和值域是互为交换的.因此与f-1([0,1))=[1,2)，f-1((2,4])=[0,1)相应的就有：f([1,2))=[0,1)，f[(0,1))=(2,4].本题就是绕了这么一个圈子！于是，本题的条件完全可以这样直白地叙述：对于定义在[0,3]的分段函数y=f(x)，当x∈[0，1）时，y∈（2，4]；当x∈[1，2）时，y∈[0，1）.剩下的问题就比较清楚了.既然函数y=f(x)的定义域是[0,3]，现在已给出了x∈[0，1）和x∈[1，2）时函数值所在的范围，那么x∈[0，3]时函数值应该在什么范围？C R((2,4]∪[0,1))=(-∞,0)∪[1,2]∪(4,+∞)，而这个范围内符合条件的只有唯一的x0=2．2013上海高考题（理）第19题讲评19、（本题满分12分）如图：在长方体ABCD-A＇B＇C＇D＇中，AB=2，AD=1 ,AA＇=1,⑴证明直线BC＇//平面D＇AC；⑵并求直线BC＇到平面D＇AC的距离.解：⑴∵四边形ABC＇D＇为平行四边形，∴BC＇∥AD＇，∴BC∥平面D＇AC；⑵由⑴可知，直线BC＇到平面D＇AC的距离即为点B到平面D＇AC的距离，设为h.∵ V B-ACD＇=V D＇-BAC ，∴ S△ACD＇×h=S△ABC×D D＇，由AC=√5，C D＇=√5，D＇A=√2 知S△ACD＇＝3/2，又易知S△ABC＝1/2，D D＇＝2，因此有：(3/2)h=1, ∴h＝2/3.评：上海高考题的惯例是不在立体几何上设关置卡来为难学生，本次亦如此.证明直线与平面平行，属于最基本的内容，当考无异；求点到平面的距离，直接法是作出点到平面的垂线段，间接法是用等积法.等积法应属基本技能，当考无异.从理论上讲，用立体几何题难倒学生，是容易办到的。
2013年高考数学答卷注意事项
2013年高考数学答卷注意事项（内部学习，仅供参考）一、阅卷现状及问题缘起1、阅卷流程今年继续施行网上阅卷，采用“双评”加“仲裁”最后“质检”的三重保险阅卷模式，确保公平、公正、准确。
每份答卷先由两名阅卷员评分（双评），电脑随机派送，彼此看不到对方的分数，两名阅卷员也不是固定组合；若该份试卷两人所给分数在一定的范围内（数学科要求大题的每一小问得分误差不超过1分）是有效分数，两个分数加起来取平均分，就是该答卷的最后得分。
如两人所给分数超出一定的范围（误差2分以上，包括2份），由小组长重新评阅（仲裁），最后给定分数。
而仲裁分数与评卷分数差，将记录第一次评卷的两个老师的有效率，如果误差太大，将记为“恶评”，作为考评阅卷老师的重要依据，“恶评率”高的阅卷员将予以解聘。
2、电子卷现状电子阅卷速度非常快，平均阅一道大题的时间只有几秒或十几秒时间，一个阅卷老师一天平均要阅数千份卷子(只批一道题) ，几乎达到了机械性的条件反射的熟练程度。
电子卷的使用大大提高了阅卷速度，立体几何题是最难阅的题目，除去第一天熟悉题目外，平均每天阅卷1500份（不是快的），按每天6小时计算，每10秒左右阅一份，其它题目阅一份试卷仅需5秒左右。
据观察，往年考生试卷字迹潦草的占多数，“试卷经过扫描进电脑后，能把书写的缺点数倍放大，一些字迹不规范的试卷就会看着很乱。
”高考数学客观题题目多在2问以上，多数阅卷教师习惯整屏显示一个大题，不翻页，电子卷图像文字偏小，字迹不清、书写不工整、版面布局不合理，都会导致阅卷教师不好辨认，从而极有可能导致考生得分点被遗漏，造成失分。
3、教师教学、学生学习现状现在数学学科教师教学任务相对繁重，需要传授的题型多，任课教师通常只在乎学生题目是否会做，结果是否正确，不太重视学生答题步骤的完备性和层次性，导致学生高考解答的数学主观题因缺失得分步骤而失分；同时，学生解答数学主观题也是过分关注结果，不善于总结一些典型问题的解题步骤，不重视卷面的工整、合理布局，甚至字迹潦草，不可辨认，导致学生的真实水平不能在卷面上得以体现。
2013年高考数学全解全析-浙江卷(理)
2013浙江卷(理)选择题部分一、选择题1．已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)等于( ) A ．－3＋i B ．－1＋3i C ．－3＋3iD ．－1＋i答案 B解析 (－1＋i)(2－i)＝－2＋3i －i 2＝－1＋3i.2．设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T 等于( ) A ．(－2,1] B ．(－∞，－4] C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)答案 C解析 T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}＝{x |－4≤x ≤1}． S ＝{x |x >－2}，∁R S ＝{x |x ≤－2}， ∴(∁R S )∪T ＝{x |x ≤1}＝(－∞，1]．故选C. 3．已知x ，y 为正实数，则( ) A ．2lg x＋lg y＝2lg x ＋2lg y B ．2lg(x＋y )＝2lg x ·2lg yC ．2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y答案 D解析 2lg x ·2lg y ＝2lg x ＋lg y ＝2lg(xy )．故选D.4．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 φ＝π2⇒f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝－A sin(ωx )为奇函数， ∴“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要条件．又f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇒f (0)＝0⇒φ＝π2＋k π(k ∈Z )D /⇒φ＝π2.∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝π2”的充分条件．5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则( )A ．a ＝4B ．a ＝5C ．a ＝6D ．a ＝7答案 A解析 S ＝1＋11×2＋12×3＋…＋1k (k ＋1)＝2－1k ＋1＝95∴k ＝4，因而a ＝4.故选A. 6．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( ) A.43B.34C ．－34D ．－43答案 C解析 ∵sin α＋2cos α＝102， ∴sin 2α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52.用降幂公式化简得：4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C. 7．设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( )A ．∠ABC ＝90°B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC答案 D解析 设BC 中点为M ，则PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PB →＋PC →22－⎝ ⎛⎭⎪⎫PB →－PC →22＝PM →2－14CB →2同理P 0B →·P 0C →＝P 0M →2－14CB →2∵PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →恒成立，∴|PM →|≥|P 0M →|恒成立． 即P 0M ⊥AB ，取AB 的中点N ，又P 0B ＝14AB ，则CN ⊥AB ，∴AC ＝BC .故选D.8．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k (k ＝1,2)，则( ) A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值 B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值 C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值 D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值 答案 C解析 当k ＝1时，f ′(x )＝e x ·x －1，f ′(1)≠0. ∴x ＝1不是f (x )的极值点．当k ＝2时，f ′(x )＝(x －1)(x e x ＋e x －2)显然f ′(1)＝0，且x 在1的左边附近f ′(x )<0， x 在1的右边附近f ′(x )>0， ∴f (x )在x ＝1处取到极小值．故选C.9. 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62答案 D解析 |F 1F 2|＝2 3.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.∵|AF 2|＋|AF 1|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ， ∴|AF 2|＝2＋a ，|AF 1|＝2－a . 在Rt △F 1AF 2中，∠F 1AF 2＝90°， ∴|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2， 即(2－a )2＋(2＋a )2＝(23)2， ∴a ＝2，∴e ＝c a ＝32＝62.故选D.10．在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记B ＝f π(A )．设α、β是两个不同的平面，对空间任意一点P ，Q 1＝f β[f α(P )]，Q 2＝f α[f β(P )]，恒有PQ 1＝PQ 2，则( ) A ．平面α与平面β垂直B ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°C ．平面α与平面β平行D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为60° 答案 A解析 本题关键是理解B ＝f π(A )的含义． 若平面α与平面β不垂直． 在其中一个平面α上取一点P . 则PQ 1≠PQ 2.所以平面α与平面β垂直，故选A.非选择题部分二、填空题11．设二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________.答案 －10解析 T r ＋1＝C r 5(x )r ⎝⎛⎭⎫－x －135－r ＝C r5x 5r －106·(－1)5－r 令5r －10＝0，则r ＝2.∴A ＝T 3＝C 25(－1)3＝－10. 12．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________ cm 3.答案 24 解析由三视图可知，其直观图为： AB ＝4，AC ＝3，∠BAC ＝90°， ∴BC ＝5.作AH ⊥BC 于H ， AH ＝AB ·AC BC ＝125.作A 1M ⊥BB 1于M ，A 1N ⊥CC 1于N .连接MN . V ＝13×(5×3)×125＋(3×4)×12×2＝24.13．设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝ ________.答案 2 解析根据约束条件画出可行域如图． 因为z 的最大值为12.所以直线kx ＋y ＝12必过(4,4)点， ∴k ＝2.14．将A 、B 、C 、D 、E 、F 六个字母排成一排，且A 、B 均在C 的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)． 答案 480解析 分类讨论：A 、B 都在C 的左侧，且按C 的左侧分别有两个、三个、四个、五个字母这4类计算，再考虑右侧情况．所以共有：2(A 22·A 33＋C 13A 33·A 22＋C 23A 44＋A 55)＝480. 15．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________． 答案 ±1解析 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、Q (x 0，y 0)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)y 2＝4x.化简得：k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0 ∴x 1＋x 2＝4－2k 2k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2＋2)＝4k.∴x 0＝2－k 2k 2，y 0＝2k .由(x 0－1)2＋(y 0－0)2＝2得：⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2k 2k 22＋⎝⎛⎭⎫2k 2＝4.∴k ＝±1.16．在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝________.答案6317．设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于________．答案 2解析 ①当x ＝0时，|x ||b |＝0；②当x ≠0时， |b |2＝(x e 1＋y e 2)2 ＝x 2＋y 2＋2xy e 1·e 2 ＝x 2＋y 2＋3xy . ∴|x ||b |＝|x |x 2＋y 2＋3xy ＝1⎝⎛⎭⎫y x 2＋3⎝⎛⎭⎫y x ＋1＝1⎝⎛⎭⎫y x ＋322＋14≤2.由①②知|x ||b |的最大值为2.三、解答题18．在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列． (1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |. 解 (1)由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2， 即d 2－3d －4＝0. 故d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N *. (2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11. 当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n | ＝S n ＝－12n 2＋212n .当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n | ＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎨⎧－12n 2＋212n ， n ≤11，12n 2－212n ＋110， n ≥12.19．设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E (η)＝53，D (η)＝59，求a ∶b ∶c . 解 (1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6. 故P (ξ＝2)＝3×36×6＝14，P (ξ＝3)＝2×3×26×6＝13，P (ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P (ξ＝5)＝2×2×16×6＝19，P (ξ＝6)＝1×16×6＝136.所以ξ的分布列为(2)由题意知η的分布列为所以E (η)＝a a ＋b ＋c ＋2b a ＋b ＋c ＋3c a ＋b ＋c ＝53，D (η)＝⎝⎛⎭⎫1－532·a a ＋b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫2－532·b a ＋b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫3－532·c a ＋b ＋c ＝59. 化简得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0.解得a ＝3c ，b ＝2c ，故 a ∶b ∶c ＝3∶2∶1. 20．如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC . (1)证明：PQ ∥平面BCD .(2)若平面角C －BM －D 的大小为60°，求∠BDC 的大小． 方法一 (1)证明取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF＝3FC，连结OP、OF、FQ.因为AQ＝3QC，所以QF∥AD，且QF＝14AD.因为O，P分别为BD，BM的中点，所以OP是△BDM的中位线，所以OP∥DM，且OP＝12DM.又点M为AD的中点，所以OP∥AD，且OP＝14AD. 从而OP∥FQ，且OP＝FQ，所以四边形OPQF为平行四边形，故PQ∥OF.又PQ⊄平面BCD，OF⊂平面BCD，所以PQ∥平面BCD.(2)解作CG⊥BD于点G，作GH⊥BM于点H，连结CH，因为AD⊥平面BCD，CG⊂平面BCD，所以AD⊥CG，又CG⊥BD，AD∩BD＝D，故CG⊥平面ABD，又BM⊂平面ABD，所以CG⊥BM.又GH ⊥BM ，CG ∩GH ＝G ，故BM ⊥平面CGH ，所以GH ⊥BM ，CH ⊥BM .所以∠CHG 为二面角C －BM －D 的平面角，即∠CHG ＝60°.设∠BDC ＝θ.在Rt △BCD 中，CD ＝BD cos θ＝22cos θ，CG ＝CD sin θ＝22cos θsin θ，BG ＝BC sin θ＝22sin 2θ.在Rt △BDM 中，HG ＝BG ·DM BM ＝22sin 2θ3. 在Rt △CHG 中，tan ∠CHG ＝CG HG ＝3cos θsin θ＝ 3. 所以tan θ＝ 3.从而θ＝60°.即∠BDC ＝60°.方法二 (1)证明如图，取BD 的中点O ，以O 为原点，OD 、OP 所在射线为y 、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz .由题意知，A (0，2，2)，B (0，－2，0)，D (0，2，0)．设点C 的坐标为(x 0，y 0,0)．因为AQ →＝3QC →，所以Q ⎝⎛⎭⎫34x 0，24＋34y 0，12. 因为M 为AD 的中点，故M (0，2，1)．又P 为BM 的中点，故P ⎝⎛⎭⎫0，0，12， 所以PQ →＝⎝⎛⎭⎫34x 0，24＋34y 0，0. 又平面BCD 的一个法向量为a ＝(0,0,1)，故PQ →·a ＝0.又PQ ⊄平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD .(2)解 设m ＝(x ，y ，z )为平面BMC 的一个法向量．由CM →＝(－x 0，2－y 0,1)，BM →＝(0,22，1)．知⎩⎪⎨⎪⎧ －x 0x ＋(2－y 0)y ＋z ＝0，22y ＋z ＝0. 取y ＝－1，得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋2x 0，－1，22. 又平面BDM 的一个法向量为n ＝(1,0,0)，于是|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 0＋2x 09＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋2x 02＝12， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋2x 02＝3.① 又BC ⊥CD ，所以CB →·CD →＝0，故(－x 0，－2－y 0,0)·(－x 0，2－y 0,0)＝0，即x 20＋y 20＝2.② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝－ 2.(舍去)或⎩⎨⎧ x 0＝±62，y 0＝22.所以tan ∠BDC ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 02－y 0＝ 3.又∠BDC 是锐角，所以∠BDC ＝60°.21. 如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l 1的方程为y ＝kx －1.又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离d ＝1k 2＋1，所以|AB |＝24－d 2＝24k 2＋3k 2＋1. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4.消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0， 故x 0＝－8k 4＋k 2. 所以|PD |＝8k 2＋14＋k 2.设△ABD 的面积为S ，则S ＝12·|AB |·|PD | ＝84k 2＋34＋k 2， 所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3·134k 2＋3＝161313， 当且仅当k ＝±102时取等号． 所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1. 22．已知a ∈R ，函数f (x )＝x 3－3x 2＋3ax －3a ＋3.(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当x ∈[0,2]时，求|f (x )|的最大值．解 (1)由题意得f ′(x )＝3x 2－6x ＋3a ，故f ′(1)＝3a －3.又f (1)＝1，所以所求的切线方程为y ＝(3a －3)x －3a ＋4.(2)由于f ′(x )＝3(x －1)2＋3(a －1)，0≤x ≤2.故①当a ≤0时，有f ′(x )≤0，此时f (x )在[0,2]上单调递减． 故|f (x )|max ＝max{|f (0)|，|f (2)|}＝3－3a .②当a ≥1时，f ′(x )≥0，此时f (x )在[0,2]上单调递增， 故|f (x )|max ＝max{|f (0)|，|f (2)|}＝3a －1.③当0<a <1时，设x 1＝1－1－a ，x 2＝1＋1－a ， 则0<x 1<x 2<2，f ′(x )＝3(x －x 1)(x －x 2)．列表如下：由于f (x 1)＝1＋2(1－a )1－a ， f (x 2)＝1－2(1－a )1－a ，故f (x 1)＋f (x 2)＝2>0，f (x 1)－f (x 2)＝4(1－a )1－a >0. 从而f (x 1)>|f (x 2)|.所以|f (x )|max ＝max{f (0)，|f (2)|，f (x 1)}．①当0<a <23时，f (0)>|f (2)|， 又f (x 1)－f (0)＝2(1－a )1－a －(2－3a ) ＝a 2(3－4a )2(1－a )1－a ＋2－3a>0， 故|f (x )|max ＝f (x 1)＝1＋2(1－a )1－a ， ②当23≤a <1时，|f (2)|＝f (2)，且f (2)≥f (0)．又f (x 1)－|f (2)|＝2(1－a )1－a －(3a －2) ＝a 2(3－4a )2(1－a )1－a ＋3a －2， 所以ⅰ当23≤a <34时，f (x 1)>|f (2)|.故f (x )max ＝f (x 1)＝1＋2(1－a )1－a . ⅱ当34≤a <1时，f (x 1)≤|f (2)|， 故f (x )max ＝|f (2)|＝3a －1.综上所述|f (x )|max ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3－3a ，a ≤0，1＋2(1－a )1－a ，0<a <34，3a －1， a ≥34.。
2013高考数学精英备考专题讲座 选择题的解题策略(1)
【解法一】直接求解法：直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公示等，经过变形、推理、计算、判断得到结论. 这种方法是解填空题的最基本、最常用的方法. 使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质，自觉地，有意识地采取灵活、简捷的解法.例1已知双曲线22221x y a b -=的离心率为2，焦点与椭圆221259x y +=的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 .点拨：此题考查椭圆和双曲线的简单性质.解：双曲线焦点即为椭圆焦点，不难算出焦点坐标为(4,0)±，又双曲线离心率为2，即2,4c c a==，故2,23a b ==，渐近线为3b y x x a =±=±. 易错点：容易将椭圆和双曲线中,,a b c 的关系混淆.例2某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为（单位：吨）。
根据图2所示的程序框图，若分别为1，1.5，1.5，2，则输出的结果s 为 .点拨：此题考查程序框图及循环体的执行..解：第一（1=i ）步：11011=+=+=i x s s第二（2=i ）步：5.25.1111=+=+=i x s s 第三（3=i ）步：45.15.211=+=+=i x s s第四（4=i ）步：62411=+=+=i x s s ，23641=⨯=s第五（5=i ）步：45>=i ，输出23=s 易错点：本题主要考查程序框图的运行，由于运行结果哦的数字运算较为麻烦，可能容易出错【解法二】 特殊化法：当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取符合条件的恰当特殊值（特殊函数，特殊角，特殊数列，特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）进行处理，从而得出探求的结论. 这样可以大大地简化推理、论证的过程. 此种方法也称为“完美法”，其根本特点是取一个比较“完美”的特例，把一般问题特殊化，已达到快速解答. 为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例.例3已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0，2]上是增函数，若方程()f x m =（0m >）在区间[]8,8-上有四个不同的根，1234x x x x ，，，，则1234x x x x +++= ．点拨：此题考查抽象函数的奇偶性，周期性，单调性和对称轴方程，条件多，将各种特殊条件结合的最有效方法是把抽象函数具体化.解：根据函数特点取()sin 4f x x π=，再根据图像可得()()1234[(62)(22)]28x x x x +++=-⨯+⨯⨯=-【答案】-8易错点：由(4)()f x f x -=-只想到函数的周期为8，没有注意各条件之间的联系，根据结论与对称轴有关而导致思路受阻.例4在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，如果,,a b c 成等差数列，则cos cos 1cos cos A C A C +=+___________. 点拨：此题为解三角形与数列的综合题，直接求解较复杂，考虑取特殊值.解：取特殊值3,4,5a b c ===，则4cos ,cos 05A C ==，cos cos 41cos cos 5A C A C +=+. 或取1,1,1a b c ===，则1cos cos cos602A C ===o ，代入也可得.也可利用正弦定理边化角及三角函数和差化积直接求解.易错点：直接求解时容易忽略三角形内角和等于180o这个隐含条件而导致思路受阻. 【解法三】 数形结合法：对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，则往往可以简捷地得出正确的结果.例5： 已知F 是C 椭圆的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且2BF FD =u u u r u u u r ，则C 的离心率为 .点拨：此题是椭圆和向量的综合题，由于涉及到椭圆与直线相交，应结合图形，运用椭圆的第二定义进行求解.解：如图，22||BF b c a =+=,作1DD y ⊥轴于点D 1,则由2BF FD =u u u r u u u r ，得1||||2||||3OF BF DD BD ==,所以133||||22DD OF c ==,即32D c x =,由椭圆的第二定义2233||()22a c c FD e a c a=-=-又由||2||BF FD =,得232c a a a=-,整理得223a c =.两边都除以2a ,得33e =. 易错点：没有运用椭圆的第二定义，导致运算量大且极难算.例6定义在区间(0,)2π上的函数6cos y x =的图像 与5tan y x =的图像的交点为P ，过点P 作1PP ⊥x 轴于点1P ，直线1PP 与的sin y x =图像交于点2P ,则线段1P 2P 的长为_____.点拨：此题考查三角函数图像和同角三角函数关系，涉及图像问题，应运用数形结合思想进行转化.解：线段1P 2P 的长即为sin x 的值，且其中的x 满足6cos x 5tan x =，解得sin x =23，即线段1P 2P 的长为23. 易错点：考虑通过求出点1P ，2P 的纵坐标来求线段长度，没有想到线段长度的意义，忽略数形结合，导致思路受阻.【解法四】 特征分析法：有些问题看似，非常复杂，一旦挖掘出其隐含的数量或位置等特征，此问题就能迎刃而解. 例7已知函数()f x 满足：1(1)4f =，4()()()(),(,)f x f y f x y f x y x y R =++-∈，则(2010)f =____________． 点拨：此题考查函数周期性，所知函数值有限，所求函数自变量数值很大，应考虑寻找规律. 解：取1,0x y ==得21)0(=f 法一：通过计算)........4(),3(),2(f f f ，寻得周期为6法二：取,1x n y ==,有()(1)(1)f n f n f n =++-,同理(1)(2)()f n f n f n +=++. 联立得(2)(1)f n f n +=--, 所以6T = 故()2010f (0)f ==21. 易错点：忽略自变量是一个数值较大的正整数，没有考虑函数值的周期性规律或数列与函数的联系，一味考虑直接求(2010)f 而导致思路受阻.例8五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1.第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的是为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为点拨：此题考查递推数列，具有循环的特点.这样得到的数列这是历史上著名的数列，叫斐波那契数列.寻找规律是解决问题的根本，否则，费时费力.首先求出这个数列的每一项除以3所得余数的变化规律，再求所求就比较简单了.解：这个数列的变化规律是：从第三个数开始递增，且是前两项之和，那么有1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987……分别除以3得余数分别是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0……由此可见余数的变化规律是按1、1、2、0、2、2、1、0循环，周期是8.在这一个周期内第四个数和第八个数都是3的倍数，所以在三个周期内共有6个报出的数是三的倍数，后面6个报出的数中余数是1、1、2、0、2、2，只有一个是3的倍数，故3的倍数总共有7个，也就是说拍手的总次数为7次.易错点：容易考虑将数列的前30项分别求出再求有几项是三的倍数，而没有考虑观察余数呈现的规律而导致解题过程复杂化.【解法五】构造法：根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些熟悉的数学模型，并借助于它认识和解决问题的一种方法.例9如图，在三棱锥O ABC -中，三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA >OB >OC ,分别经过三条棱OA ，OB ，OC 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为1S ，2S ，3S ，则1S ，2S ，3S 的大小关系为 .点拨：此题考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，已知条件少，没有具体的线段长度，应根据三条棱两两垂直的特点，以OA ，OB ，OC 为棱，补成一个长方体.解：通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令边长OA ，OB ，OC 分别为1，2，3得321S S S <<.易错点：立体几何图形比较抽象，忽略将题中图形与熟悉图形联系，将线段长度具体化很难求出. 例10已知实数,x y 满足55(35)40x y x x y ++++=，则4x y +=____________.点拨：此题考查数学知识的运用能力，两个未知数一个方程，且方程次数较高，不能直接求出x ，y 的值，应考虑将4x y +整体求出，注意方程的结构特点.解：构造函数5()f t t t =+，则已知变为55(3)(3)()x y x y x x +++=-+，即(3)()f x y f x +=-，根据函数()f t 是奇函数且单调递增可得(3)f x y +()f x =-，于是3x y x +=-，即40x y +=.易错点：没有观察方程的特点，一味想将4x y +作为整体直接求解，导致求解困难.习题7-31. 设实数x 、y 满足220303x y x y x --≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩,则2z x y =-的最小值为_________.2．已知a 是第二象限的角，4tan(2)3a π+=-，则tan a = ． 3．过抛物线214y x =准线上任一点作抛物线的两条切线，切点分别为,M N .若已知直线MN 过一个定点，则这个定点是________________.4．若函数()xf x a x a =--（0a >且1a ≠)有两个零点，则实数a 的取值范围是 ．5.已知数列{}n a 满足：4341210n n n n a a a a n *--===∈N ，，，，则2009a =______；2014a =_________．6. 如图，点P 在正方形ABCD 所在的平面外，且PD ⊥面ABCD ，PD AD =,则PA 与BD所成角的度数为__________.7. 设112,,(2)(3)23n nn n N x x ≥∈+-+ 2012n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，将(0)k a k n ≤≤的最小值记为n T ，则2345335511110,,0,,,,2323n T T T T T ==-==-⋅⋅⋅⋅⋅⋅其中n T =__________________ .【答案】习题 7-34．(1,)+∞.提示：（数形结合法）利用函数与方程的思想原题转化为xy a =与y x a =+两函数图像有两 交点时实数a 的取值范围.结合图形分析可知1a >.5. 1,0.提示：（特征分析法）本题主要考查周期数列等基础知识,属于创新题型.依题意得: 200945033201421007425211,0a a a a a ⨯-⨯⨯-=====。
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2013高考数学解题策略进入高考复习的最后冲刺阶段，如何调整好心态，制定出合理的备考策略，无疑对高考是至关重要的.对于两个实力相当的同学，在考试中某些解题策略技巧使用的好坏，往往会导致两人最后的成绩有很大的差距.一、填空题解题策略（一）解填空题的常用方法填空题是将一个数学真命题写成其中缺少一些语句的不完整形式，要求学生在指定的空位上，将缺少的语句填写清楚、准确.填空题属小题，其解题的基本原则是“小题不能大做”.解题基本策略是：巧做.解题基本方法一般有：直接求解法、图像法、构造法和特殊化法（特殊值、特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型）.1.直接求解法：直接从题设条件出发，用定义、性质、定理、公式等，经变形、推理、计算、判断等得到正确结论.这是解填空题常用的基本方法，使用时要善于“透过现象抓本质”.力求灵活、简捷.例1 数列{an}、{bn}是等差数列，a1=0、b1=-4，用Sk、S′k分别表示{an}、{bn}的前k项和（k是正整数），若Sk+S′k=0，则ak+bk= .解：用等差数列求和公式Sk=a1+ak2k，得a1+ak2k+b1+bk2k=0，又a1+b1=-4，∴ak+bk=4.2.特殊化求解法：当填空题结论唯一或其值为定值时，我们只需把题中的参变量用特殊值（或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等）代替之，即可得到结论.如：上例中取k=2，于是a1+a2+b1+b2=0，故a2+b2=4，即ak+bk=4.例2 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，如果a，b，c成等差数列，则cosA+cosC1+cosAcosC= .解法一：取特殊值a=3，b=4，c=5，则cosA=45，cosC=0，cosA+cosC1+cosAcosC=45.解法二：取特殊角A=B=C=60°，则cosA=cosC=12，cosA+cosC1+cosAcosC=45.例3 如果函数f（x）=x2+bx+c对任意实数t都有f（2+t）=f（2-t），那么f（1），f（2），f（4）的大小关系是 .解：由于f（2+t）=f（2-t），故知f（x）的对称轴是x=2.可取特殊函数f（x）=（x-2）2，即可求得f（1）=1，f（2）=0，f（4）=4.∴f（2）（a-1）x的解集为A，且A{x|0ax+32的解集为（4，b），则a= ，b= .解：设x=t，则原不等式可转化为：at2-t+320，且2与b（b>4）是方程at2-t+32=0的两根，由此可得：a=18，b=36.例8 不论k为何实数，直线y=kx+1与圆x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点，则实数a的取值范围是 .解：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到（x-a）2+y2=2a+4的圆心距离≤半径∴-1≤a≤3.5.构造法：根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助于它认识和解决问题的一种方法.例9 如图，点P在正方形ABCD所在的平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，则PABCD的外接球的体积为 .解：根据题意可将此图补形成一正方体，在正方体中易求得V=32π.6.分析法：根据题设条件的特征进行观察、分析，从而得出正确的结论.例10 如右图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，当底面四边形满足条件时，有A1C⊥B1D1（填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能性的情形）.解：因四棱柱ABCDA1B1C1D1为直四棱柱，故A1C1为A1C在面A1B1C1D1上的射影，从而要使A1C⊥B1D1，只要B1D1与A1C1垂直，故底面四边形A1B1C1D1只要满足条件B1D1⊥A1C1即可.例11 已知函数f（x）=x21+x2，那么f（1）+f（2）+f（12）+f（3）+f（13）+f（4）+f（14）= .解析：本题特征是：f（x）+f（1x）=1且f（1）=12，故原式=3+f（1）=3+12=72.（二）减少填空题失分的检验方法1.回顾检验例12 满足条件cosα=-12且-π≤α0Δ=8a2+24a+4>0-10-11或a≤-3-72.实力是获取高分的基础，策略方法技巧是获取高分的关键.在步入高考的最后阶段，既不可心浮气躁，更不能畏惧不前，多一分踏实、勤奋的努力，就多一分走向成功的把握.以平常心走向考场，正常发挥，才能取得好的成绩.（作者：蒋景景，江苏省镇江中学）希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、要接受自己行动所带来的责任而非自己成就所带来的荣耀。
2013高考数学答题技巧(1)
2013高考数学选择题答题秘诀（一）数学选择题的解题方法1、直接法：就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。
运用此种方法解题需要扎实的数学基础。
例1、某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有2次击中目标的概率为 （ ）12527.12536.12554.12581.D C B A 解析：某人每次射中的概率为0.6，3次射击至少射中两次属独立重复实验。
12527)106(104)106(333223=⨯+⨯⨯C C 故选A 。
例2、有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直。
其中正确命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3解析：利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断，易得都是正确的，故选D 。
例3、已知F 1、F 2是椭圆162x +92y =1的两焦点，经点F 2的的直线交椭圆于点A 、B ，若|AB|=5，则|AF 1|+|BF 1|等于（ ）A ．11B ．10C ．9D ．16 解析：由椭圆的定义可得|AF 1|+|AF 2|=2a=8,|BF 1|+|BF 2|=2a=8，两式相加后将|AB|=5=|AF 2|+|BF 2|代入，得|AF 1|+|BF 1|＝11，故选A 。
例4、已知log (2)a y ax =-在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（0，2）D ．[2，+∞）解析：∵a>0,∴y 1=2-ax 是减函数，∵ log (2)a y ax =-在[0，1]上是减函数。
∴a>1，且2-a>0，∴1<a<2，故选B 。
2、特例法：就是运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法。
把握问题本质洞悉解题奥秘——2013年高考数学(四川卷)“压轴题”解题思路评析
口的取值范围是（一１０＿２—１，＋∞）．
评桁：第（Ｉｎ）问题目设计精美，将高中数学的 主干知识：函数、不等式、直线等有机地结合起来，重 点考查了分类与整合、数形结合、等价转化、函数与 方程等重要数学思想方法．每一个过程中都能较好 地区分学生的思维水平，使得该试题具有较好的区
＋∞）．
已知函数以石）：ｆＸ．２＋２菇：口，石＜ｏ，其中。是
ｔｌｎｘ，Ｘ＞Ｕ，
实数．设ａ（ｘ。以茗。）），８（ｘ：以石：））为该函数图像 上的两点，且Ｘｌ＜戈２． （Ｉ）指出函数以Ｘ）的单调区间； （Ⅱ）（理）若函数厂（茗）的图像在点Ａ，Ｂ处的切
线互相垂直，且茹２＜０，求茗２一髫。的最小值；
思路２：利用导数工具． 解法２：①当戈＜０时以茁）＝茗２＋２茗＋８，于是 厂（戈）＝２ｘ＋２，当菇∈（一∞，一１）时厂（菇）＜０；当 戈Ｅ（一１，Ｏ）时厂（菇）＞０．所以以茗）的单调递减区 间为（一００，一１），单调递增区间为［一ｌ，Ｏ）；
再２
值范围是（一Ｉｎ２—１，＋∞）． 思路３：利用导数工具． 解法３：因为ａ＝ｌｎｘ２＋菇２１—１，由条件知茗１＝
２％Ｉ＿Ｌ—ｌ，且菇：＞虿１，所以口＝ｌｎｘ：＋（去一１）２一
ｌ（茗：＞丁１），构造：ｇ（石）＝ｌｎｚ＋（去一１）２一ｌ（茗＞
方程①有两个相等的负根，故 ｆ（２一ｊ－）２—４（ａ＋１一ｌｎ茁２）＝０，
最小值为１． 思路４：借助消元思想，在化简条件下，将所求 代数式转化为一元代数式（或者一元函数），利用导
＝一南一１，且菇： 一１，故翟一髫・２％＋南＋１・令妒（菇）＝髫＋ 南＋ｌ（一１＜茗＜ｏ），由妒’（菇）＝１一 杰：业等ｏ，知石一１当茹∈４（
数或者均值不等式进行求解． 解法４：由①知名ｔ
2013高考数学 解题方法攻略 圆锥曲线1 理
椭圆与双曲线的对偶性质椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b +=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+.双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.8.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c -,2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
2013高考数学解题方法攻略解析几何理
y2 1 （ a ＞ b ＞ 0）， y 2
x2 1（ a ＞ b ＞0）.
a2 b2
a2 b2
3. 椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果
x 2 项的分母大
于 y 2 项的分母，则椭圆的焦点在 x 轴上，反之，焦点在 y 轴上 .
4. 求椭圆的标准方程的方法： ⑴ 正确判断焦点的位置； ⑵ 设出标准方程后， 运用待定系 数法求解 .
( 十 ) 抛物线的标准方程和几何性质
1．抛物线的定义：平面内到一定点（ F）和一条定直线（ l ）的距离相等的点的轨迹叫抛 物线。这个定点 F 叫抛物线的焦点，这条定直线 l 叫抛物线的准线。
3. 圆的参数方程
4F =0 时，方程表示一个点（ 4F ＜0 时，方程不表示任何图形
D
，
2
.
圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：
x2 y2 r2
x r cos y r sin
4F . E
）；
2
（θ 为参数）
( x a) 2 ( y b)2 r 2
x a r cos y b r sin
（ θ 为参数）
1
x2
的常数 （离心率） 的点的轨迹叫做双曲线 . 对于双曲线
y2 1，它的焦点坐标是 （-c ，0）
a2 b2
和（ c，0），与它们对应的准线方程分别是 x
a2
a2
和x
.
c
c
在双曲线中， a、 b、 c、 e 四个元素间有 e
双曲线的标准方程只要两个独立的条件 .
c 与 c2 a
a2 b 2 的关系，与椭圆一样确定
线的方程的方法 .
4．掌握圆的标准方程： (x a)2
2013年高考理科数学试题解析(课标Ⅰ)
【命题意图】本题主要考查球的截面圆性质、球的体积公式，是容易 题. 【解析】设球的半径为 R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为 4，球心到截面圆的 距离为 R-2，则 R2 ( R 2) 2 42 ，解得 R=5，∴球的体积为
4 53 500π 3 cm ，故选 A. = 3 3
6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8cm，将一 个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水 深为 6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( ) 500π 3 A、 cm 3 1372π 3 C、 cm 3 866π 3 B、 cm 3 2048π 3 D、 cm 3
x12 y12 1 a 2 b2
①－②得
①
2 2 x2 y2 1 a 2 b2
②
( x1 x2 )( x1 x2 ) ( y1 y2 )( y1 y2 ) 0， a2 b2
∴ k AB =
0 1 1 b2 1 y1 y2 b2 ( x x2 ) b 2 2 2 2 = 2 1 = 2 ，又 k AB = = ，∴ 2 = ，又 9= c = a b ， 3 1 2 a 2 x1 x2 a ( y1 y2 ) a
)
7、设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn， Sm1 ＝－2， Sm ＝0， Sm1 ＝3，则 m ＝ (
A、3 B、4 C、5 D、6 【命题意图】本题主要考查等差数列的前 n 项和公式及通项公式，考查方程思想，是容易 题. 【解析】有题意知 Sm =
m(a1 am ) =0，∴ a1 =－ am =－（ Sm - Sm1 ）=－2， 2
1 x ，故选 C . 2
5、运行如下程序框图，如果输入的 t [1,3] ，则输出 s 属于
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【例1】► (2012·山东)已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A 2
cos 2x )(A ＞0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6.
(1)求A ；
(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12
个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12
倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤0，5π24上的值域． [审题路线图]
条件f (x )＝m ·n
⇓两个向量数量积(坐标化)(a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2)
⇓化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式．
(二倍角公式、两角和的正弦公式)
⇓A ＞0，f (x )的最大值为6，可求A .
⇓向左平移π12
个单位， ⇓纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12
倍． ⇓由x 的范围确定⎝⎛⎭⎫4x ＋π3的范围再确定sin ⎝
⎛⎫4x ＋π3的范围，得结论． [规范解答](1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A 2
cos 2x (2分) ＝A (32sin 2x ＋12
cos 2x ) ＝A sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为A ＞0，由题意知A ＝6.(6分)
(2)由(1)知f (x )＝6sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π6. 将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12
个单位后得到 y ＝6sin ⎣⎡⎦
⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象； (8分) 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的12
倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3的图象．
因此g (x )＝6sin ⎝
⎛⎭⎫4x ＋π3.(10分)
因为x ∈⎣⎡⎦
⎤0，5π24， 所以4x ＋π3∈⎣⎡⎦
⎤π3，7π6， 故g (x )在⎣⎡⎦
⎤0，5π24上的值域为[－3,6]．(12分) 抢分秘诀
1．本题属于三角函数与平面向量综合的题目，用向量表述条件，转化为求三角函数的最值问题．正确解答出函数f (x )的解析式是本题得分的关键，若有错误，本题不再得分，所以正确写出f (x )的解析式是此类题的抢分点．
2．图象变换是本题的第二个抢分点．
3．特别要注意分析判定4x ＋π6与sin(4x ＋π6
)的取值范围． [押题1] 已知a ＝2(cos ωx ，cos ωx )，b ＝(cos ωx ，3sin ωx )(其中0＜ω＜1)，函数f (x )
＝a ·b ，若直线x ＝π3
是函数f (x )图象的一条对称轴． (1)试求ω的值；
(2)若函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象的各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再
向左平移2π3
个单位长度得到，求y ＝g (x )的单调递增区间． 解 (1)f (x )＝a ·b
＝2(cos ωx ，cos ωx )·(cos ωx ，3si n ωx )
＝2cos 2ωx ＋23cos ωx si n ωx
＝1＋cos 2ωx ＋3si n 2ωx
＝1＋2si n ⎝
⎛⎭⎫2ωx ＋π6. ∵直线x ＝π3
为对称轴，∴si n ⎝⎛⎭⎫2ωπ3＋π6＝±1， ∴2ωπ3＋π6＝k π＋π2
(k ∈Z )． ∴ω＝32k ＋12
(k ∈Z )． ∵0＜ω＜1，∴－13＜k ＜13，∴k ＝0，∴ω＝12
. (2)由(1)得，得f (x )＝1＋2si n ⎝⎛⎭
⎫x ＋π6， ∴g (x )＝1＋2si n ⎣⎡⎦
⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＋π6 ＝1＋2si n ⎝⎛⎭⎫12x ＋π2＝1＋2cos 12
x .
由2k π－π≤12
x ≤2k π(k ∈Z )， 得4k π－2π≤x ≤4k π(k ∈Z )，
∴g (x )的单调递增区间为[4k π－2π，4k π](k ∈Z )．
【例2】► (2012·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23
，sin B ＝5cos C . (1)求tan C 的值；
(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．
[审题路线图]
(1)由条件cos A ＝23
(0＜A ＜π)． ⇓由sin A ＝1－cos 2A ，可求sin A .
⇓由5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )，
⇓展开可得sin C 与cos C 的关系式，可求tan C .
(2)由tan C 的值可求sin C 及cos C 的值．
⇓再由sin B ＝5cos C 可求sin B 的值．
⇓由a ＝2及a sin A ＝c sin C
，可求C . ⇓由S △ABC ＝12
ac sin B 可求解． [规范解答](1)因为0＜A ＜π，cos A ＝23
，得 sin A ＝1－cos 2A ＝53. 又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )
＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23
sin C . 所以tan C ＝ 5.(6分)
(2)由tan C ＝5，得sin C ＝
56，cos C ＝16
. 于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C
，得c ＝ 3. 设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ac sin B ＝52
.(12分)
抢分秘诀
1．本题主要考查了三角恒等变换、正弦定理等基础知识，同时考查了运算求解能力．
2．熟练利用三角恒等变换求得所需的量是本题的第1抢分点．
3．熟用三角形面积公式与正弦定理是第2抢分点．
[押题2] 在△ABC 中， 角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3cos(B －C )－1＝6cos B cos
C .
(1)求cos A ；
(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，c .
解 (1)由3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ，
得3(cos B cos C －si n B si n C )＝－1，
即cos(B ＋C )＝－13
， 从而cos A ＝－cos(B ＋C )＝13
. (2)由于0＜A ＜π，cos A ＝13，所以si n A ＝223
. 又S △ABC ＝22，即12
bc si n A ＝22，解得bc ＝6. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2＝13，
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ bc ＝6，b 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝3，c ＝2.。