江苏省南京市秦淮中学2020届高三最后一练数学试卷
2020届江苏省南京市秦淮区高三数学一模试题答案
一、填空题1．{1，2}．2．1﹣i．3．（1，+∞）．4．35．5．75%．6．√2．7．4√2 3．8．1 49．x2+（y+1）2＝13．10．2 3．11．1 12．3n+1．13．π2−4 4．14．7 4．二、解答题15．（1）在△ABD中，已知B=π4，AB＝3，AD为边BC上的中线，设∠BAD＝α，若cosα=2√55．所以sinα=√5 5，利用正弦定理ABsin(α+π4)=BDsinα，整理得3√1010=√55=√22，解得BD=√2，AD=√5，（2）利用（1）的结论，解得BC＝2√2，利用余弦定理AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cos π4，解得AC=√5，利用正弦定理：ABsinC =ACsinπ4，解得sin C=3√1010．16．证明：（1）如图，取P A中点G，连接BG，FG，∵F为PD的中点，∴FG∥AD，且FG=12 AD，∵E为BC的中点，∴BE∥AD，且BF=12AD，∴FG ∥BE ，FG ＝BE ，则四边形BEFG 为平行四边形， ∴EF ∥BG ，又BG ⊂平面P AB ，EF ⊄平面P AB ， ∴EF ∥平面P AB ；（2）∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥BC ， ∵BD ＝CD ，E 为BC 的中点，∴DE ⊥BC ， 又PD ∩DE ＝D ，∴BC ⊥平面PDE ， 而BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面EFD ．17．（1），由题意知ca=12，a 2c−c ＝3，b 2＝a 2﹣c 2，解得a 2＝4，b 2＝3， 所以椭圆的方程为：x 24+y 23=1；（2）由题意知直线l 的斜率不为0，由（1）知F （1，0），设直线l 的方程为x ＝my +1，P （x ，y ），Q （x '，y '），联立直线l 与椭圆的方程整理得：（4+3m 2）y 2+6my ﹣9＝0， y +y '=−6m 2，yy '=−92，所以|PQ |=√1+m 2√(y +y′)2−4yy′=√1+m 2√36m 2(3+4m 2)2+363+4m 2=12(1+m 2)3+4m 2，圆O ：x 2+y 2＝4到l 的距离d =√1+m ，被圆O ：x 2+y 2＝4截得的弦长为√14得：14＝4（4−11+m2），解得m 2＝1， 所以d =√22，|PQ |=247，所以S △OPQ =12⋅|PQ|⋅d =12⋅√22⋅247=6√27．18．（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，过O 作OM 的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，由题设得A （6，0），直线ON 的方程为y ＝﹣3x ，Q （x 0，3），（x 0＞0）， 由0√10=6√105，解得x 0＝3，∴Q （3，3）， ∴直线AQ 的方程为y ＝﹣（x ﹣6），由{y =−3x x +y −6=0，得{x =−3y =9，∴B （﹣3，9），∴|AB |=√(−3−6)2+92=9√2．（2）将喷泉记为圆P ，由题意得P （3，9）， 生成t 分钟时，观光车在线段AB 上的点C 处， 则BC =√2t ，0≤t ≤9，∴C （﹣3+t ，9﹣t ），若喷泉不会洒到观光车上，则PC 2＞r 2对t ∈[0，9]恒成立， 即PC 2＝（6﹣t ）2+t 2＝2t 2﹣12t +36＞4at ， 当t ＝0时，上式成立，当t ∈（0，9）时，2a ＜t +18t −6，(t +18t −6)min =6√2−6， 当且仅当t ＝3√2时，取等号，∵a ∈（0，1），∴r ＜PC 恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上．19．（1）当λ＝3时，有a n +1＝3a n +2×3n ， ∴a n+13n+1=a n3n +23，即b n+1−b n =23，又∵b 1=a13=1，∴数列{b n }是首相为1，公差为23的等差数列，∴b n =2n+23； （2）证明：当λ＞0且λ≠1且λ≠3时，c n ＝a n +2λ−3×3n =λa n−1+2×3n−1+2λ−3×3n =λa n−1+2λ−3×3n−1(λ−3+3)=λ(a n−1+2λ−3×3n−1)=λ•c n ﹣1， 又∵c 1=3+6λ−3=3(λ−1)λ−3≠0， ∴数列{c n }是首相为3(λ−1)λ−3，公比为λ的等比数列；（3）当λ＝4时，a n +1＝4a n +2×3n ， ∴a n+14=a n 4+12×(34)n ，设p n =a n 4n ，∴p n+1−p n =12×(34)n， ∴p 2−p 1=12×(34)1， p 3−p 2=12×(34)2， p 4−p 3=12×(34)3， ……，∴p n+1−p n =12×(34)n ，以上各式累加得：p n+1−p 1=12×34[1−(34)n]1−34=32−32×(34)n，又∵p 1=a 14=34， ∴p n+1=94−32×(34)n ， ∴p n =94−32×(34)n−1，∴a n =4n ×p n =94×4n −2×3n ，显然数列{a n }是递增数列， ∴最小项为a 1＝3，∵对任意的n ∈N *，都有a n ≥M ，∴a 1≥M ，即M ≤3， ∴实数M 的最大值为3．20．（1）f （x ）＝h （x ）﹣g （x ）＝e x ﹣2x ﹣lnx ﹣e x +ax 2+ax ＝ax 2+（a ﹣2）x ﹣lnx （x ＞0），①f′(x)=2ax +(a −2)−1x =2ax 2+(a −2)x−1x =(2x+1)(ax−1)x（x ＞0），（i ）当a ≤0时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）在（0，+∞）上递减；（ii ）当a ＞0时，令f ′（x ）＞0，解得x ＞1a ；令f ′（x ）＜0，解得0＜x ＜1a ， ∴函数f （x ）在(0，1a )递减，在(1a ，+∞)递增；综上，当a ≤0时，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递减；当a ＞0时，函数f （x ）在(0，1a )上单调递减，在(1a ，+∞)上单调递增；②由①知，若a ≤0，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递减，不可能有两个不同的零点，故a ＞0；且当x →0时，f （x ）→+∞；当x →+∞时，f （x ）→+∞；故要使函数f （x ）有两个不同的零点，只需f(x)min =f(1a )=a ⋅(1a )2+a−2a −ln 1a ＜0，即lna −1a+1＜0，又函数y =lnx −1x +1在（0，+∞）上为增函数，且ln1−11+1=0，故lna −1a +1＜0的解集为（0，1）．故实数a 的取值范围为（0，1）；（2）证明：g ′（x ）＝e x﹣2ax ﹣a ，依题意，{e x 1−2ax 1−a =0e x 2−2ax 2−a =0，两式相减得，2a =e x 1−e x 2x 1−x2(x 1＜x 2)，要证x 1+x 2＜ln(4a 2)，即证x 1+x 22＜ln2a ，即证e x 1+x 22＜ex 1−e x 2x 1−x 2，两边同除以ex 2，即证(x 1−x 2)e x 1−x 22＞e x 1−x 2−1，令t ＝x 1﹣x 2（t ＜0），即证te t2−e t +1＞0，令ℎ(t)=te t2−e t +1(t ＜0)，则ℎ′(t)=−e t2[e t2−(t2+1)]， 令p(t)=e t2−(t 2+1)，则p′(t)=12(e t 2−1)， 当t ＜0时，p ′（t ）＜0，p （t ）在（﹣∞，0）上递减， ∴p （t ）＞p （0）＝0， ∴h ′（t ）＜0，∴h （t ）在（﹣∞，0）上递减，∴h （t ）＞h （0）＝0，即te t2−e t +1＞0，故x 1+x 2＜ln(4a 2)．。
2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)最后一卷 数学试题附答案
2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）最后一卷数 学I 2020.6圆锥的体积13V Sh =，其中S 是圆锥的底面圆面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1. 已知集合{|23},{21,}A x x B x x k k =<<==-∈Z －，则A B =I ▲ . 2．已知复数z 满足1－i z ＋2＝－i ，其中i 为虚数单位，则z 的实部是 ▲ .3. 根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为1时，则输入的x 的值为 ▲ .4. 如图是某个容量为100的样本的频率分布直方图，则数据在区间[6，10)上的频数是 ▲ .5．用红、黄、蓝3种颜色给3面信号旗随机染色，每面信号旗只能染一种颜色，则3面信号旗中有且仅有两面信号旗颜色相同的概率是 ▲ ．6．函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω的值为 ▲ .7． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2―y 2m＝1的离心率为3，则实数m 的值为 ▲ ． 8．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝2，则S 6＝ ▲ .（第3题）（第4题）FECBAP（第15题）9．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6 cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略不计)．细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度是 ▲ cm.10. 如图，左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB CD ⋅u u u r u u u r▲ ． 11. 已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4=66，α∈(0，π)，则cos ⎝⎛⎭⎫2α+π6＝ ▲ ． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 经过直线l ：x -3y +23=0与圆C ：x 2+y 2=4的两个交点．当圆M 的面积最小时，圆M 的标准方程为 ▲ ．13.已知函数3()log f x x =，函数()h x 是最小正周期为2的偶函数，且当x ∈[0，1]时，()31x h x =-.若函数)()(x h x f k y +⋅=恰有3个零点，则实数k 的取值范围是 ▲ ． 14. 已知△ABC 的面积等于1，BC =1，则当△ABC 的三边之积取得最小值时，sin A = ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P －ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC ＝PC ，E ，F 分别是P A ，PC 的中点．求证：(1)AC //平面BEF ；(2)P A ⊥平面BCE ．EOCDB（第10题）（第9题）（第17题）M ADCBN16．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，∠CAD =π4，AC =72，102cos -=∠ADB ．(1)求C ∠sin 的值；(2)若△ABD 的面积为7，求AB 的长．17．（本小题满分14分）如图，在市中心有一矩形空地ABCD ，AB =100 m ，AD =75 m ．市政府欲将它改造成绿化景观带，具体方案如下：在边AD ，AB 上分别取点M ，N ，在三角形AMN 内建造假山，在以MN 为直径的半圆内建造喷泉，其余区域栽种各种观赏类植物．(1)若假山区域面积为400 m 2，求喷泉区域面积的最小值； (2)若MN =100 m ，求假山区域面积的最大值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2=1的左、右焦点为F 1, F 2，点A 为左顶点，且OA =F 1F 2，过右焦点F 2作直线l 交椭圆C 于P ,Q 两点，当直线l 垂直于x 轴时，PQ =3． (1)求椭圆C 的标准方程;(2)证明：原点O 总在以PQ 为直径的圆内； (3)若AP ⊥F 1Q (点P 在x 轴上方)，求直线l 的方程．AB CD。
2020年江苏省高考数学最后一卷 (含解析)
2020年江苏省高考数学最后一卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={x|−2<x<3}，B={x|x=2n,n∈Z}，则A∩B=______．2.若复数z满足i·z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．3.执行如图所示的伪代码，则输出的S的值为______．4.如图是容量为100的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间[6,18)内的频数为____．5.一只口袋中装有形状、大小都相同的6只小球，其中有3只红球、2只黄球和1只蓝球．若从中1次随机摸出2只球，则2只球颜色相同的概率为______．6.函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示．若AB=5，则ω的值为________．7.在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2−y2=1的离心率为2，则实数m的值是_________．m+18.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=6，S4=12，则S7=______ ．9.如图(1)所示，一个装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)所示水平放置时，液面高度为20cm；当这个几何体如图(3)所示水平放置时，液面高度为28cm，则这个简单几何体的总高度为________cm．10.已知a⃗=(x,1)(x>0)，b⃗ =(−1,2)，|a⃗+b⃗ |=√10，则a⃗⋅b⃗ =_____．11.已知sin(α+π4)=7√210，α∈(π4,π2)，则cosα=______ ．12.在平面直角坐标系xOy中，过点A(1,3)，B(4,6)，且圆心在直线x−2y−1=0上的圆的标准方程为________．13.已知函数f(x)=|x2−1|x−1−kx+2，恰有两个零点，则k的取值范围是______ ．14.在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2+2c2=8，则△ABC面积的最大值为__________．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15.如图，三棱锥D−ABC中，已知AC⊥BC，AC⊥DC，BC=DC，E，F分别为BD，CD的中点，求证：(1)EF//平面ABC;(2)BD⊥平面ACE．16.如图，在平面四边形ABCD中，0<∠DAB<π2，AD=2，AB=3，△ABD的面积为3√32，AB⊥BC．(1)求sin∠ABD的值；(2)若∠BCD=2π3，求BC的长．17.某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(m)，三块种植植物的矩形区域的总．面．积．为S(m 2).(1)求S 关于x 的函数关系式；(2)求S 的最大值．18. 在平面直角坐标系xOy 中，过点A(−2,−1)椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ，短轴端点为B 1、B 2，FB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2b 2．(1)求a 、b 的值；(2)过点A 的直线l 与椭圆C 的另一交点为Q ，与y 轴的交点为R.过原点O 且平行于l 的直线与椭圆的一个交点为P.若AQ ⋅AR =3OP 2，求直线l 的方程．19.已知函数f(x)=ae x(a≠0)，g(x)=12x2．(1)当a=−2时，求曲线f(x)与g(x)的公切线方程；(2)若y=f(x)−g(x)有两个极值点x1，x2，且x2≥3x1，求实数a的取值范围．20.已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n−1(n∈N∗).(Ⅰ)求a1，a2，a3的值；(Ⅱ)若数列{b n}满足b1=2，b n+1=a n+b n，求数列{b n}的通项公式．21.已知矩阵[122a ]的属于特征值b的一个特征向量为[11]，求实数a、b的值．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =4t,y =4t 2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin θ．(1)求C 1的极坐标方程与C 2的直角坐标方程；(2)已知射线θ=α(0<α<π2)与C 1交于O ，P 两点，与C 2交于O ，Q 两点，且Q 为OP 的中点，求α．23. 设实数a ，b ，c 满足a +2b +3c =4，求证：a 2+b 2+c 2≥87．24. 如图，在棱长为1的正方体AC 1中，E 、F 分别为A 1D 1和A 1B 1的中点．(1)求异面直线AF 和BE 所成的角的余弦值；(2)求平面ACC 1与平面BFC 1所成的锐二面角．25.已知集合A={1,2,3,4}和集合B={1,2,3,⋯,n}，其中n≥5，n∈N∗.从集合A中任取三个不同的元素，其中最小的元素用S表示；从集合B中任取三个不同的元素，其中最大的元素用T表示．记X=T−S．(1)当n=5时，求随机变量X的概率分布和数学期望E(X)；(2)求P(X=n−3)．-------- 答案与解析 --------1.答案：{0,2}解析：解：∵集合A={x|−2<x<3}，B={x|x=2n,n∈Z}，∴A∩B={0,2}．故答案为：{0,2}．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：2解析：本题考查了复数的四则运算，根据除法运算算出z，进而可以求出z的实部．=2−i，所以复数z的实部为2．解：因为复数z=1+2ii3.答案：17解析：本题考查的知识点是算法语句的循环结构，是基础题．模拟程序运行过程，条件满足时执行循环，条件不满足时跳出循环，即可得到答案．解：模拟程序运行过程：s=3进入循环：i=2，S=3+2=5，满足条件，执行循环：i=3，S=5+3=8，满足条件，执行循环：i=4，S=8+4=12，满足条件，执行循环：i=5，S=12+5=17，i=6不满足条件i≤5，跳出循环，输出S=17，故答案为17．4.答案：80解析：本题考查频率分布直方图．属于基础题．由频率分布直方图可得样本数据落在[6,18)内的频率为0.08×4+0.09×4+0.03×4=0.8，又因为样本容量为100，则频数为100×0.8可得结果，解：由频率分布直方图可得样本数据落在[6,18)内的频率为0.08×4+0.09×4+0.03×4=0.8，又因为样本容量为100，则频数为100×0.8=80．故答案为805.答案：415解析：解：一只口袋中装有形状、大小都相同的6只小球，其中有3只红球、2只黄球和1只蓝球，从中1次随机摸出2只球，基本事件总数n=C62=15，2只球颜色相同包含的基本事件个数m=C32+C22=4，∴2只球颜色相同的概率为p=mn =415．故答案为：415．基本事件总数n=C62=15，2只球颜色相同包含的基本事件个数m=C32+C22=4，由此能求出2只球颜色相同的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.答案：π3解析：本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题.设A(x1,2)，B(x2,−2)，由函数图象可得(x2−x1)2+42=52，解得：x2−x1=3，利用T=2×3=2πω，即可解得ω的值．解：∵函数为f(x)=2sin(ωx+φ)，图象中AB两点距离为5，设A(x1,2)，B(x2,−2)，。
【数学解析版】南京2020届高三年级三模数学卷(解析版)
EF 平面 PCD ， DG 平面 PCD EF / / 平面 PCD （2）四边形 ABCD 是矩形 AB AD 平面 PAD 平面 ABCD 平面 PAD 平面 ABCD AD AB 平面 ABCD AB 平面 PAD PD 平面 PAD AB PD PA PD AB PA A AB, PA 平面 PAB PD 平面 PAB PD 平面 PCD 平面 PAB 平面 PCD 【点评】第一问考查线面平行的判定定理，第二问考查面面垂直的性质定理，以及面面垂直的判定定理， 属于基础题型。（优能中学教育）
S 0 For i From 1 To 4
S S i End For Pr int S
第4题 5. 将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为_______. 【答案】 2
3 【解析】列举法：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共 6 种排列方式，甲乙相邻的排 列方式有 4 种，故概率为 2
【解析】（1）取 PC 中点Ｇ，并连接 DG ， FG 在 PBC 中， F,G 分别为 PB, PC 中点 FG / /BC, FG 1 BC
2 四边形 ABCD 是矩形 AD / /BC, AD BC FG / / AD, FG 1 AD
2 E 为 AD 中点 FG / /ED, FG ED 四边形 DEFG 为平行四边形 EF //DG
2 10
5
2
,
3 4
2
,
3 2
sin 2 1 cos2 2 4 5
sin
72 10
,
且
0,
2
cos 1 sin 2 2 10
sin 2 sin 2 cos cos 2 sin 4 2 ( 3 7 2) 2
2020年江苏省高考数学最后一卷 (含答案解析)
2020年江苏省高考数学最后一卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={0,1，2}，B={x|−1<x<1}，则A∩B=________．2.若复数z=i(2−z)，则z=______ ．3.读如下两个伪代码，完成下列题目．(1)Ⅰ输出的结果为________．(2)若Ⅰ、Ⅱ输出的结果相同，则伪代码Ⅱ输入x的值为________．4.已知样本2000个，其频率分布直方图如下，那么在[2,8)之间的有__________个．5.用红、黄、蓝三种不同的颜色给A，B两点涂色，每个点只涂一种颜色，则点A，点B颜色不同的概率为____________.6.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在R上的部分图象如图所示，则ω的值为______ ．7. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2m+1−y 2=1的离心率为2，则实数m 的值是_________． 8. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a1+a 200=1，则S 200=_____ 9. 若一个圆锥的母线与底面所成的角为π6，体积为125π，则此圆锥的高为_______。
10. 如图，在圆C 中，C 为圆心，AC 为圆的半径，AB 是弦，若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =______．11. 若sinα=45，则sin(α−π4)+√22cosα=__________． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：x 2+y 2−4x −8y +12=0，圆N 与圆M 外切于点(0,m)，且过点(0,−2)，则圆N 的标准方程为______________．13. 已知函数f(x)={k(x +2),x ≤0−lnx,x >0(k <0)，若函数y =f(f(x))−1有3个零点，则实数k 的取值范围为______ ．14. 已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2a 2+bc =6，则△ABC 面积的最大值为______．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15. 如图，在三棱锥ABC −A 1B 1C 1中，AB =AC ，，，D ，E 分别是AB 1，BC的中点．求证：(1)DE//平面ACC 1A 1；(2)AE ⊥平面BCC 1B 1.16.如图，在△ABC中，∠B=30°，AC=2√5，D是边AB上一点．(Ⅰ)求△ABC的面积的最大值；(Ⅱ)若CD=2，△ACD的面积为4，∠ACD为锐角，求BC的长．17.某社区有一块直角三角形的闲置土地MON，OM=ON=60米，该区域内有处P，点P到边界OM的距离PC=20米，点P到边界ON的距离PD=10米．社区为改善居民生活环境，决定将其改造为居民休闲广场．方案为：经过点P修建一条笔直小路(两端A,B分别在边界OM,ON上，宽度不计)将该区域分为两部分，在区域AOB内安装健身器材，平均每平方米造价600元，剩余区域种植草皮，每平方米造价100元．(1)当OP ⊥AB 时，求休闲广场的总造价为多少元？(2)求休闲广场总造价的最低费用为多少元？18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为，F 1和F 2，上顶点为B ，BF 2，延长线交椭圆于点A ，△ABF 的周长为8，且BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线l ⊥AB 且与椭圆C 相交于两点P ，Q ，求|PQ|的最大值．19.已知函数f(x)=lnx．(1)若直线y=2x+p(p∈R)是函数y=f(x)图象的一条切线，求实数p的值．(2)若函数g(x)=x−mx−2f(x)(m∈R)有两个极值点，求实数m的取值范围．20.已知数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n，且满足a n=2S n22S n−1(n≥2,n∈N+).(Ⅰ)求证：数列{1S n}是等差数列；(Ⅱ)证明：13S1+15S2+17S3+⋯+12n+1S n<12．21.已知矩阵[122a ]的属于特征值b的一个特征向量为[11]，求实数a、b的值．22.已知曲线C的极坐标方程为，直线l:θ=a(a∈[0,π),ρ∈R)与曲线C相交于M、N两点．以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系．(Ⅰ)求曲线C的参数方程；(Ⅱ)记线段MN的中点为P，若|OP|⩽λ恒成立，求实数λ的取值范围．23.设实数a，b，c满足a+2b+3c=4，求证：a2+b2+c2≥8．724.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点M，N分别为A1A和B1B的中点．(Ⅰ)求异面直线CM与D1N所成角的余弦值；(Ⅱ)求点D1到平面MDC的距离．25.设随机变量X的分布列为P(X=k)=1，k=1，2，3，4，5.求E(X+2)2，V(2X−1)．5-------- 答案与解析 --------1.答案：{0}解析：【分析】本题考查集合的交集运算，属于基础题．直接利用交集定义即可求得答案．【解答】解：根据交集的定义可得A∩B={0}．故答案为{0}．2.答案：1+i解析：解：复数z=i(2−z)，则z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i．故答案为：1+i．化简已知条件，利用复数的除法的运算法则化简求解即可．本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查．3.答案：(1)6(2)0解析：【分析】本题考查算法中的赋值语句，(1)根据题中的伪代码直接写出答案；(2)利用两个伪代码输出结果相同，得到关于x的方程，即可求出x的值，属基础题．【解答】解：(1)第一次赋值：x=1;第二次赋值：x=2×1=2;第三次赋值：x=3×2=6，输出：6．(2)由伪代码可知Ⅱ输出的结果是x2+6，若Ⅰ、Ⅱ输出的结果相同，则x2+6=0，解得x=0．故答案为(1)6(2)0．4.答案：880解析：本题考查频率分布直方图的应用，属于简单题。
江苏省南京市2020届高三下学期阶段考试数学试题
一、填空题：本题共14小题，每题5分，满分70分.1．集合A ＝{x |x 2－3x ≤0}，B ＝{x |y ＝lg(2－x )}，则A ∩B ＝▲．（用区间表示）2．某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生500人，现用分层抽样的方法在这三个年级中抽取120人进行体能测试，则从高三抽取的人数应为▲．3．已知i 为虚数单位，a ，b ∈R ，复数1＋i2－i－i ＝a ＋b i ，则a －b i ＝▲．4．有四条线段其长度分别为2，3，5，7．从中任取3条，能构成三角形的概率为▲．5．如图，程序执行后输出的结果为▲．6．设f (x )2－2x －1，x ≥0，－2x ＋6，x ＜0，若f (t )＞2，则实数t 的取值范围是▲．7．中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达了目的地，问此人第二天走的路程里数为▲．8．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0关于直线3x －2ay －11＝0对称，则圆C 中以(a 2，－a2)为中点的弦的长度为▲．9．已知cos(x －π3)＝13，则cos(2x ＋π3)＋sin 2(π3－x )的值为▲．10．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°且AB ＝3，BB 1＝4，设其外接球的球心为O ，且球O 的表面积为28π，则△ABC 的面积为▲．11．已知函数f (x )＝sin(πx )(0＜x ＜1)，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则4a ＋1b 的最小值为▲．12．在梯形ABCD 中，AB →＝3DC →，若AD →·BD →＝8，AC →·BC →＝6，AB ＝3，则AC →·BD→＝▲．(第5题图)南京市2019-2020学年度第二学期阶段考试高三数学本卷考试时间：120分钟总分：160分13．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，点B的坐标为(0，b )，若直线BF 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，且PB →＝5BQ →，则双曲线C 的离心率为▲．14．已知f (x )＝0，0＜x ≤1，|x 2－9|－3，x ＞1，g (x )＝|ln x |，若函数y ＝f (x )＋g (x )－m (x ＞0)恰有两个不相等的零点，则实数m 的取值范围为▲．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题满分14分）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且3c cos A ＋a sin C ＝3c ．（1）求角A 的大小；（2）若b ＋c ＝5，S △ABC ＝3，求a 的值．16．（本小题满分14分）如图，已知四棱锥S －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，侧面SAB 是正三角形，P ，Q 分别为SA ，SD 的中点，且AD ＝SD ．求证：（1）PQ //平面SBC ；（2）SA ⊥BD ．(第16题图)如图，已知一张半径为1m 的圆形薄铁皮（O 为圆心，厚度忽略不计），从中裁剪一块扇形（图中阴影部分）用作某圆锥形容器的侧面．（1）若所裁剪的扇形的圆心角为2π3，求圆锥形容器的体积；（2）试问裁剪的扇形的圆心角为多少时，圆锥形容器的体积最大？并求出最大值．18．（本小题满分16分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 22＝1(a ＞2)的右焦点为F ，P 是椭圆C 上一点，PF ⊥x 轴，PF ＝22（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，且OM ＝2，求△AOB 面积的最大值．O（第17题图）设函数f (x )＝x ＋ln x －a －a 2x(a ∈R )．（1）讨论函数f (x )的单调性；（2）当a ＝1时，记g (x )＝xf (x )，是否存在整数t ，使得关于x 的不等式t ≥g (x )有解?若存在，请求出t 的最小值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）对于 n ∈N *，若数列{x n }满足x n ＋1－x n ＞1，则称这个数列为“K 型数列”．（1）已知数列：1，m ＋1，m 2是“K 型数列”，求实数m 的取值范围；（2）是否存在首项为－1的等差数列{a n }为“K 型数列”，且其前n 项和S n 满足S n ＜12n 2－n (n ∈N *)？若存在，求出{a n }的通项公式；若不存在，请说明理由；（3）已知各项均为正整数的等比数列{a n }是“K 型数列”，数列{12a n }不是“K 型数列”，若b n ＝a n ＋1n ＋1，试判断数列{b n }是否为“K 型数列”，并说明理由．数学附加本卷考试时间：30分钟总分：40分21．本题包括A、B两小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵M＝1ab1，N＝c20d，若MN＝1001，求a，b，c，d的值．B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线lx＝t＝3t＋1(t为参数)，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ＝2sinθ．（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，点M为AB的中点，点P的极坐标为(23，π6)，求PM的值．ABCC 1B 1A 1FD(第23题图)M PQF y xO 【必做题】第22题，第23题每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，AB ＝BC ＝2，BB 1＝3，D 为A 1C 1的中点，F 在线段AA 1上．（1）AF 为何值时，CF ⊥平面B 1DF ？（2）设AF ＝1，求平面B 1CF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．23．(本小题满分10分)已知点P 为抛物线x 2＝2y 上异于坐标原点O 的任一点，F 为抛物线焦点．过点P 作抛物线的切线l 与y 轴交于点M ，直线PF 交抛物线于点Q ．（1）若点P 的横坐标为2，求点M 到直线PQ 的距离；（2）求ΔPQM 面积的最小值，并写出此时切线l 的方程．(第22题图)。
2020年江苏省高考数学考前最后押题试卷(一) (含答案解析)
2020年江苏省高考数学考前最后押题试卷（一）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={1,2，9}，B={1,7}，则A∩B=______．2.已知复数z=2+ii.求|z|=______ ．3.某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比为k︰5︰3，现用分层抽样的方法抽出一个容量为120的样本，已知A种型号产品共抽取了24件，则C种型号产品抽取的件数为________．4.阅读下面的伪代码，最后输出的a，b，c分别为_________，_________，_________．a←3b←5c←6a←bb←cPrint a，b，c5._____________．6.双曲线x225−y27=1的两条渐近线方程为________．7.函数f(x)=2sin(ωx+ϕ)(ω>0)的部分图象如图所示，若AB=5，则ω的值为______ ．8.在等差数列{a n}中，a3+a9=27−a6，S n表示数列{a n}的前n项和，则S11=______ ．9.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S−ABCD，该四棱锥的体积为4√23，则该半球的体积为__________．10. 设α∈(π,2π)，若tan(α+π6)=2，则cos(π6−2α)的值为______ ．11. △OBC 中，A 为BC 中点，OB 长为3，OC 长为5，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =_________． 12. 已知圆C ：(x −2)2+y 2=4，点P 在直线l ：y =x +3上，若圆C 上存在两点A 、B 使得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点P 的横坐标的取值范围是______． 13. 已知函数，若存在实数a,b,c,d ，满足a <b <c <d ，且f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，则(c−2)(d−2)ab 的取值范围是______________．14. 在△ABC 中，若则的最大值为_______．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15. 已知△ABC 中，(sinA −sinB)(sinA +sinB)=sinAsinC −sin 2C .(1)求sin B 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC =20√3，且AB +BC =13√2，求AC 的值．16. 如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB =AC ，A 1C ⊥BC 1，AB 1⊥BC 1，D ，E 分别是AB 1和BC 的中点．求证：(1) DE//平面ACC 1A 1； (2) AE ⊥平面BCC 1B 1．17. 某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(m)，三块种植植物的矩形区域的总． 面． 积．为S(m 2).(1)求S 关于x 的函数关系式； (2)求S 的最大值．18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为，F 1和F 2，上顶点为B ，BF 2，延长线交椭圆于点A ，△ABF 的周长为8，且BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线l ⊥AB 且与椭圆C 相交于两点P ，Q ，求|PQ|的最大值．19.已知函数f(x)=ax2+x−1e x．(1)求曲线y=f(x)在点(0,−1)处的切线方程；(2)证明：当a≥1时，f(x)+e≥0．20.已知数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n，且满足a n=2S n22S n−1(n≥2,n∈N+).(Ⅰ)求证：数列{1S n}是等差数列；(Ⅱ)证明：13S1+15S2+17S3+⋯+12n+1S n<12．21.已知矩阵A=[110−1]，二阶矩阵B满足AB=[2001]，求矩阵B的特征值．22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρ=21−cosθ．(1)试将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标系下的普通方程；(2)直线l过点M(m,0)，交曲线C于A、B两点，若1|MA|2+1|MB|2的定值为14，求实数m的值．23.已知a，b，c都是正数，求证：a2b2+b2c2+c2a2a+b+c≥abc．24.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点M，N分别为A1A和B1B的中点．(Ⅰ)求异面直线CM与D1N所成角的余弦值；(Ⅱ)求点D1到平面MDC的距离．25.设(2x−1)n=a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n展开式中只有第1010项的二项式系数最大．(1)求n；(2)求|a0|+|a1|+|a2|+⋯+|a n|；(3)求a12+a222+a323+⋯+a n2n．-------- 答案与解析 --------1.答案：{1}解析：解：∵A={1,2，9}，B={1,7}；∴A∩B={1}．故答案为：{1}．进行交集的运算即可．考查列举法的定义，以及交集的运算．2.答案：√5解析：解：复数z=2+ii =−i(2+i)−i⋅i=1−2i．则|z|=√12+(−2)2=√5．故答案为：√5．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：36解析：【分析】本题主要考查分层抽样的应用，利用条件建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．根据分层抽样的定义求出k，即可得到结论．【解答】解：∵新产品数量之比依次为k：5：3，∴由kk+3+5=24120，解得k=2，则C种型号产品抽取的件数为120×310=36，故答案为36．4.答案：5；6；6解析：【分析】本题考查算法语句中的赋值语句，根据条件直接得出答案，属基础题．【解答】解：由算法语句可知：在该算法中给a赋值两次，最终a的值为5；给b赋值两次，最终b的值为6；给c赋值一次，c的值为6．故答案为5；6；6．5.答案：23解析：【分析】本题主要考查概率的计算，得出总的基本事件数和满足题意的基本事件数可得答案，属于基础题．【解答】解：从甲、乙、丙、丁四个人中随机选取两人，共有4×32=6种基本事件，而甲、乙两人有且仅有一人被选中的基本事件有2×2=4种，故所求概率为46=23．故答案为23．6.答案：y=±√75x解析：【分析】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，属于基础题．由双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，即可得到所求方程．【解答】解：由于双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，则双曲线x225−y27=1的两条渐近线方程为y=±√75x.故答案为y=±√75x.7.答案：π3解析：解：∵函数f(x)=2sin(ωx+φ)，图象中AB两点距离为5，设A(x1,2)，B(x2,−2)，∴(x2−x1)2+42=52，解得：x2−x1=3，∴函数的周期T=2×3=2πω，解得：ω=π3．故答案为：π3．设A(x1,2)，B(x2,−2)，由函数图象可得(x2−x1)2+42=52，解得：x2−x1=3，利用T=2×3=2πω，即可解得ω的值．本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．8.答案：99解析：解：由题意得，a3+a9=27−a6，根据等差数列的性质得，2a6=27−a6，解得a6=9，所以S11=11(a1+a11)2=11a6=99，故答案为：99．根据题意和等差数列的性质求出a6，由等差数列的前n项和公式得S11=11(a1+a11)2=11a6，代入求值即可．本题考查等差数列的性质、前n项和公式的灵活应用，属于基础题．9.答案：4√23π解析：设所给半球的半径为R，则棱锥的高ℎ=R，底面正方形中有AB=BC=CD=DA=√2R，所以其体积23R3=4√23，则R3=2√2，于是所求半球的体积为V=23πR3=4√23π．10.答案：45解析：解：∵tan(α+π6)=2=tanα+tanπ61−tanαtanπ6=tanα+√331−√33tanα，∴tanα=5√3−8．再由sin2α=2sinαcosαsin2α+ cos2α=2tanα1+tan2α=√3−16140−80√3，cos2α= cos2α−sin2α cos2α+sin2α=1−tan2α1+tan2α=√3140−80√3，可得cos(π6−2α)=cosπ6cos2α+sinπ6sin2α=45，故答案为45．利用两角和差的正切公式求得tanα=5√3−8，再利用同角三角函数的基本关系求得sin2α和cos2α的值，再由cos(π6−2α)=cos π6cos2α+sin π6sin2α，运算求得结果．本题主要考查两角和差的正切公式、余弦公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．11.答案：−8解析： 【分析】本题考查平面向量的数量积运算，属于基础题目． 利用平面向量数量积公式求解即可． 【解答】解：∵A 为BC 中点，OB 长为3，OC 长为5，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=12(32−52)=−8． 故答案为−8．12.答案：[−1−√72,−1+√72]解析： 【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，判断点P 到圆上的点的最小距离应小于或等于半径，是解题的关键，体现了转化的数学思想，属于较难题．由题意可得圆心C(2,0)，推导出点P 到圆上的点的最小距离应小于或等于半径r =2.设点P 的坐标为(m,m +3)，则√(m −2)2+(m +3−0)2−2≤2，由此能求出点P 的横坐标的取值范围． 【解答】解：由题意可得圆心C(2,0)，∵点P 在直线l ：y =x +3上，圆C 上存在两点A 、B 使得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 如图，|AB|=2|PB|，|CD|=|CE|=r =2，∴点P到圆上的点的最小距离|PD|应小于或等于半径r=2．设点P的坐标为(m,m+3)，则√(m−2)2+(m+3−0)2−2≤2，化简可得2m2+2m−3≤0，解得−1−√72≤m≤−1+√72，∴点P的横坐标的取值范围是：[−1−√72,−1+√72]故答案为：[−1−√72,−1+√72]．13.答案：(0,4)解析：【分析】本题考查函数与方程的综合应用，解决问题的关键是画出函数图象，分析得到ab=1,d=8−c，进而得到(c−2)(d−2)ab=−c2+8c−12，结合二次函数性质求解范围．【解答】解：设f(a)=m，则y=m与f(x)的图象的交点的横坐标依次为a,b,c,d(如图)，，且f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，a<b<c<d，，2<c<4，∴ab=1，d=8−c，∴(c−2)(d−2)ab=(c−2)(8−c−2)=−c2+8c−12=−(c−4)2+4，∵2<c<4，∴0<−(c−4)2+4<4，故答案为(0,4)．14.答案：3√57解析：【分析】本题考查三角函数的切化弦，及两角和的正弦公式和诱导公式的运用，同时考查正弦定理和余弦定理的运用，属于中档题．先将题设条件转化为tanAtanB +tanAtanC=5，利用切化弦将等式整理得sin2AcosAsinBsinC=5，再根据正弦定理推出a2=5bccosA，根据余弦定理推出b2+c2=7a25，继而利用基本不等式得到cos A的最小值，即可利用同角三角函数关系式推出sin A的最大值．【解答】解：∵在△ABC中，tanAtanC+tanAtanB=5tanBtanC，∴tanAtanB +tanAtanC=5，∴sinAcosB cosAsinB +sinAcosCcosAsinC=5，∴sinA(cosBsinC+cosCsinB)cosAsinBsinC=5，∴sinAsin(B+C)cosAsinBsinC=5，∴sin2AcosAsinBsinC=5，由正弦定理得：a2bccosA=5，，又根据余弦定理得：a2=b2+c2−2bccosA，∴b2+c2=7a25，=b2+c27ab ≥2bc7bc=27，当且仅当“b=c”时取等号，∴cos2A≥449，∴1−sin2A≥449，∴sin2A≤4549，∴sinA≤3√57．故答案为3√57．15.答案：解：(1)记三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c；依题意，sin2A−sin2B=sinAsinC−sin2C，由正弦定理得∴a2+c2−b2=ac，∴cosB=a2+c2−b22ac =ac2ac=12，∵B∈(0,π)，∴B=π3，∴sinB=√32；(2)因为△ABC的面积为20√3，acsinB=20√3，所以12∴ac=80；∵AB+BC=13√2，即a+c=13√2，∴b2=a2+c2−2accos60°=(a+c)2−3ac=338−240=98，得b=7√2=AC．解析：本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理以及余弦定理建立方程关系是解决本题的关键．(1)由正弦定理和余弦定理进行转化求解即可(2)结合三角形的面积公式以及余弦定理建立方程关系进行求解即可．16.答案：证明：(1)连结A1B，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1//BB1，且AA1=BB1，∴四边形AA1B1B是平行四边形，又∵D是AB1的中点，∴D是BA1的中点，在△BA1C中，D和E分别是BA1和BC的中点，∴DE//A1C，∵DE⊄平面ACC1A1，A1C⊂平面ACC1A1，∴DE//平面ACC1A1；(2)由(1)知DE//A1C，∵A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，A1C∩DE=D，AB1，DE⊂平面ADE，∴BC1⊥平面ADE，∵AE⊂平面ADE，∴AE⊥BC1，在△ABC中，AB=AC，E是BC的中点，∴AE⊥BC，∵AE⊥BC1，AE⊥BC，BC1∩BC=B，BC1⊂平面BCC1B1,BC⊂平面BCC1B1,∴AE⊥平面BCC1B1．解析：本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．(1)连结A 1B ，推导出四边形AA 1B 1B 是平行四边形，DE//A 1C ，由此能证明DE//平面ACC 1A 1． (2)推导出BC 1⊥平面ADE ，从而AE ⊥BC 1，推导AE ⊥BC ，由此能证明AE ⊥平面BCC 1B 1．17.答案：解：(1)由题设得S =(x −8)(900x−2)=−2x −7200x+916，x ∈(8,450)．(2)因为8<x <450， 所以2x +7200x≥2√2x ⋅7200x=240，当且仅当x =60时等号成立． 从而S ≤676．答：当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m 2．解析：【分析】本题考查了函数模型的应用以及利用基本不等式求最值，是一般题． (1)由题设得S =(x −8)(900x−2)=−2x −7200x+916，x ∈(8,450)．(2)利用基本不等式求最值．18.答案：解：(Ⅰ)由椭圆定义可得△ABF 1的周长为4a ，即有4a =8，解得a =2，由B(0,b)，F 1(−c,0)，F 2(c,0)，BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−c,−b)，BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c,−b)，且BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则−c 2+b 2=0，即为b =c ，又b 2+c 2=a 2=4，解得b =c =√2，则椭圆的方程为x24+y22=1；(Ⅱ)由B(0,√2)，F2(√2,0)，可得直线AB的斜率为−1，由l⊥AB，可得直线l的斜率为1，设直线l的方程为y=x+t，代入椭圆方程，可得3x2+4tx+2t2−4=0，由判别式大于0，即16t2−12(2t2−4)>0，解得−√6<t<√6．设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则x1+x2=−43t，x1x2=2t2−43，|PQ|=√1+1⋅√(x1+x2)2−4x1x2=√2⋅√16t29−8t2−163=√23√48−8t2，当t=0时，|PQ|取得最大值，且为4√63．则有|PQ|的最大值为4√63．解析：(Ⅰ)由椭圆定义可得△ABF1的周长为4a，解得a=2，再由向量的数量积的坐标表示，可得b=c，结合椭圆的a，b，c的关系，可得椭圆方程；(Ⅱ)由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，可得直线l的斜率，进而设出直线l的方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，化简整理，可得弦长的最大值．本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．19.答案：(1)解：f′(x)=−ax2+(2a−1)x+2e x，f′(0)=2，因此曲线y=f(x)在点(0,−1)处的切线方程是2x−y−1=0．(2)证明：当a≥1时，f(x)+e≥(x2+x−1+e x+1)e−x．令g(x)=x2+x−1+e x+1，则g′(x)=2x+1+e x+1，当x<−1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x>−1时，g′(x)>0，g(x)单调递增；所以g(x)≥g(−1)=0．因此f(x)+e≥0．解析：本题考查利用导数求曲线的切线，考查恒成立问题，考查利用导数求函数的单调性以及最值，解题的关键是正确求导．(1)求出f′(x)得出f′(0)，进而得出切线方程；(2)构造新函数g(x)，求出g′(x)得出g(x)的单调性，进而得出g(x)≥g(−1)=0，不等式得证．20.答案：证明：(Ⅰ)数列{a n }中，a 1=1，其前n 项和为S n ，且满足a n =2S n 22Sn −1(n ≥2,n ∈N +).则：当n ≥2时，S n −S n−1=2S n 22Sn −1，整理得：S n−1−S n =2S n−1S n ， 所以：1S n−1Sn−1=2(常数)．所以：数列{1S n}是以1S 1=1为首项，2为公差的等差数列．证明：(Ⅱ)由(Ⅰ)得：1S n=1+2(n −1)=2n −1，所以：S n =12n−1， 当n =1时，符合通项． 故：12n+1⋅S n =12(12n−1−12n+1)， 所以：13S 1+15S 2+17S 3+⋯+12n+1S n ， =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)，=1(1−1)<1解析：(Ⅰ)直接利用递推关系式求出数列的通项公式． (Ⅱ)利用列想想效法求出数列的和．本题考查的知识要点：利用递推关系式求出数列的通项公式及应用，利用裂项相消法求出数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 21.答案：解：设矩阵B =[a b cd]，因为AB =[2001]， 所以[110−1][abcd]=[2001]得{a +c =2b +d =0−c =0−d =1即{a =2b =1c =0d =−1所以B =[210−1]， 则矩阵B 的特征多项式f(λ)=|λE −B|=(λ+1)(λ−2)． 令f(λ)=0，得λ=2或λ=−1，所以矩阵B 的特征值为2或−1．解析：【分析】本题主要考查矩阵的乘法和矩阵的特征值，考查考生的化归与转化能力和运算求解能力． 设矩阵B =[abc d]，由AB =[2001]，得[110−1][a bc d]=[2001]，求得a ，b ，c ，d 的值，进而即可求得结果．22.答案：解：(1)曲线C 的极坐标方程为ρ=21−cosθ.转化为普通方程：y 2=4x +4．(2)设直线l 的参数方程{x =m +tcosαy =tsinα为为参数，α为直线l 的倾斜角，)，代入C 的方程y 2=4x +4，整理得，sin 2αt 2−4tcosα−(4m +4)=0， 所以t 1+t 2=4cosαsin 2α，t 1⋅t 2=−(4m+4)sin 2α，1|MA|2+1|MB|2=1t 12+1t 22=(t 1+t 2)2−2t 1t 2t 12t 22=14，整理得：16cos 2α+(8m+8)sin 2α(4m+4)2=14，解得：m =1．解析：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用．属于中档题．(1)直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化． (2)利用方程组建立关于t 的一元二次方程，利用根和系数的关系求出结果．23.答案：证明：∵a ，b ，c 都是正数，∴a 2b 2+b 2c 2≥2ab 2c ，a 2b 2+c 2a 2≥2a 2bc ，c 2a 2+b 2c 2≥2abc 2 ∴2(a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2)≥2ab 2c +2a 2bc +2abc 2 ∴a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2≥ab 2c +a 2bc +abc 2∴a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2a+b+c≥abc ．解析：利用基本不等式，再相加，即可证得结论．本题考查利用基本不等式证明不等式，考查学生的计算能力，属于基础题．24.答案：解：(Ⅰ)分别是以DA 1、DC 1、DD 1所成在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则M(2,0，1)C(0，2，0)N(2，2，1)D 1(0，0，2) ∴MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,−1)D 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2,1)∴cos <MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,D 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=4−4−13×3=−19∴异面直线CM 与D 1N 所成角的余弦值为19(Ⅱ)由(Ⅰ)可得DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,1)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2) 设面DMC 的法向量为n ⃗ =(x,y,z) 则{2x +z =0y =0⇒n ⃗ =(1,0,−2) ∴点D 1到平面MDC 的距离ℎ=|DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=4√5=4√55解析：(Ⅰ)分别是以DA 1、DC 1、DD 1所成在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与D 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，可得cos <MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,D 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >，取其绝对值即可；(Ⅱ)设面DMC 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，由垂直关系可得xyz 的关系，而点D 1到平面MDC 的距离ℎ=|DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |，计算可得．本题考查异面直线所成的角，以及点到平面的距离，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．25.答案：解：(1)由二项式系数的对称性，可得展开式共计2019项，且n2+1=1010，∴n =2018．(2)|a 0|+|a 1|+|a 2|+⋯+|a n |，即(2x +1)n =(2x +1)2018的展开式中各项系数和， 令x =1，可得|a 0|+|a 1|+|a 2|+⋯+|a n |=32018．(3)在(2x −1)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n 中，令x =0，可得a 0=1， 再令x =12，可得1+a 12+a 222+a 323+⋯+an2n =0，∴a 12+a222+a 323+⋯+an2n =−1．解析：本题主要考查二项式定理的应用，属于中档题．(1)由二项式系数的对称性，可得展开式共计2019项，n2+1=1010，由此求得n 的值． (2)|a 0|+|a 1|+|a 2|+⋯+|a n |，即(2x +1)n =(2x +1)2018的展开式中各项系数和，令x =1，可得|a 0|+|a 1|+|a 2|+⋯+|a n |的值． (3)先求得a 0=1，再令x =12，可得1+a 12+a 222+a 323+⋯+a n 2n =0，由此可得a 12+a 222+a 323+⋯+an 2n 的值．。
江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题含附加题(含解析)
3 )，椭圆 C 上三点 A，M，B 与原点 O 构成一个平行四边形 AMBO． 2
（1）求椭圆 C 的方程； （2）若点 B 是椭圆 C 左顶点，求点 M 的坐标； （3）若 A，M，B，O 四点共圆，求直线 AB 的斜率．
3
19．（本题满分 16 分）
已知函数
f
(x)
=
x2
ex − ax + a
的离心率为
．
9．若正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2，则三棱锥 A—B1CD1 的体积为
．
1
10．已知函数
f
(x)
=
x
f
+ 2, x (−x),
0 x
0
，
g
(
x)
=
f
(x − 2) ，若 g(x −1) 1 ，则实数 x
的取值
范围为
．
11．在平面直角坐标系 xOy 中，A，B 是圆 O：x2＋y2＝2 上两个动点，且 OA ⊥ OB ，若 A，
(a R)，其中
e
为自然对数的底数．
（1）若 a＝1，求函数 f (x) 的单调减区间；
（2）若函数 f (x) 的定义域为 R，且 f (2) f (a) ，求 a 的取值范围；
（3）证明：对任意 a (2，4)，曲线 y = f (x) 上有且仅有三个不同的点，在这三点处
的切线经过坐标原点．
20．（本题满分 16 分）
)部分图象如图所示，则
f(
)
2
2
2
的值为
．Leabharlann 7．已知数列an 为等比数列，若 a1 = 2 ，且 a1 ，a2 ，a3 − 2 成等差数列，则an 的前 n 项
江苏省2020年高三数学最后一卷试题(含解析)
高三数学最后一卷试题（含解析）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{}02x x <<，B ＝{}1x x >，则A I B ＝ ． 答案：(1，2) 考点：集合的运算 解析：∵02x <<，1x >∴12x <<∴A I B ＝(1，2) 2．设i 是虚数单位，复数i2ia z -=的模为1，则正数a 的值为 ． 答案：3 考点：虚数 解析：i 1i 2i 22a az -==--，因为复数z 的模为1， 所以21144a +=，求得a ＝3． 3．为了解某团战士的体重情况，采用随机抽样的方法．将样本体重数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右前三个小组频率之比为1：2：3，第二小组频数为12，则全团共抽取人数为 ．答案：48考点：频率分布直方图解析：15(0.03750.0125)0.75-⨯+= 212(0.75)6÷⨯＝484．执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为 ．答案：7考点：算法初步解析：s 取值由3→9→45，与之对应的k 为3→5→7，所以输出k 是7．5．设x ∈[﹣1，1]，y ∈[﹣2，2]，记“以(x ，y )为坐标的点落在不等式221x y +≥所表示的平面区域内”为事件A ，则事件A 发生的概率为 ． 答案：1﹣8π 考点：几何概型解析：设事件A 发生的概率为P ，P ＝88π-＝1﹣8π． 6．已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若a ＞b 且sin A cosCa b=，则A ＝ ． 答案：2π考点：三角函数与解三角形 解析：因为sin A cosC a b =，所以sin A cosCsin A sin B=，则sinB ＝cosC ，由a ＞b ，则B ，C 都是锐角，则B ＋C ＝2π，所以A ＝2π．7．已知等比数列{}n a 满足112a =，且2434(1)a a a =-，则5a ＝ ． 答案：8考点：等比中项 解析：∵2434(1)a a a =-∴2334(1)a a =-，则3a ＝2∴223512812a a a ===． 8．已知函数221()log (1)1x ax f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是 ．答案：2 考点：分段函数解析：∵0(0)223f =+= ∴[(0)](3)log 2a f f f == ∵[(0)]2f f =∴log 22a =，解得a ＝2．9．如图，在一个圆柱形容器内盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则此圆柱底面的半径是 cm ．答案：4考点：圆柱、球的体积解析：设此圆柱底面的半径是r cm ． 得：32243863r r r r πππ⨯+=⋅ 解得：r ＝410．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，F 分别为椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，线段AP 的中点为M ，若Q ，F ，M 三点共线，则椭圆C 的离心率为 ． 答案：13考点：椭圆的离心率解析：设点B为椭圆的左顶点，由题意知AM∥BQ，且AM＝12BQ∴AM AFBQ BF=，则12a ca c-=+求得a＝3c，即e＝13．11．设函数()sin(2)3f x xπ=+，若12x x<，且12()()0f x f x+=，则21x x-的取值范围是．答案：(3π，+∞)考点：三角函数的图像与性质解析：不妨设12x x<<，则2121x x x x-=-，由图可知210()33x xππ->--=．12．已知圆C：22(1)(4)10x y-+-=上存在两点A，B，P为直线x＝5上的一个动点，且满足AP⊥BP，则点P的纵坐标取值范围是．答案：[2，6]考点：圆的方程解析：要使AP⊥BP，即∠APB的最大值要大于或等于90°，显然当PA切圆C于点A，PB切圆C于点B时，∠APB最大，此时∠CPA最大为45°，则sin∠CPA≥2，即CACP≥22，设点P(5，y)，则21016(4)y+-≥22，解得2≤y≤6．13．如图，已知P是半径为2，圆心角为3π的一段圆弧AB上一点，AB2BC=u u u r u u u r，则PC PA⋅u u u r u u u r 的最小值为．答案：5﹣考点：平面向量数量积解析：取AC 中点M ，由极化恒等式得22219PC PA PM AC PM 44⋅=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，要使PC PA ⋅u u u r u u u r 取最小值，就是PM 最小，当圆弧AB 的圆心与点P 、M 共线时，PM 有最小值为2﹣2，代入求得PC PA ⋅u u u r u u u r的最小值为5﹣14．已知实数a ，b ，c 满足2121a cb c ee a b +--+≤++（e 为自然对数的底数），则22a b +的最小值是 ． 答案：15考点：函数与导数解析：设()(1)xu x e x =-+，则()1xu x e '=-，可知()(0)0u x u ≥=，即1xe x ≥+； 可知211221a cb c ee a c b c a b +--+≥+++-=++，当且仅当210a c b c +=--=时取等； 即2121a cb c ee a b +--+=++，210a c b c +=--=．解得22222(1)51144245c c a b c c ++=+=++≥，当且仅当15c =时，取等号． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知向量a r ＝(sin θ，cos θ﹣2sin θ)，b r＝(1，2)． （1）若a r ∥b r ，求2sin cos 13cos θθθ⋅+的值；（2）若a b =r r，0＜θ＜π，求θ的值．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，PB＝PD，PA ⊥PC，CD⊥PC，O，M分别是BD，PC的中点，连结OM．（1）求证：OM∥平面PAD；（2）求证：OM⊥平面PCD．17．（本小题满分14分）已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，P是椭圆C上的一个动点，且△P F1F23．（1）求椭圆C的方程；（2）设斜率不为零的直线PF2与椭圆C的另一个交点为Q，且PQ的垂直平分线交y轴于点T(0，18)，求直线PQ的斜率．18．（本小题满分16分）如图为一块边长为2km 的等边三角形地块ABC ，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC 的中点D 出发引出两条成60°角的线段DE 和DF ，与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设∠BDE＝α．（1）当α＝60°时，求绿化面积；（2）试求地块的绿化面积()S α的取值范围．19．（本小题满分16分）数列{}n a 的前n 项和记为A n ，且A n ＝1()2n n a a +，数列{}n b 是公比为q 的等比数列，它的前n 项和记为B n ．若110a b =≠，且存在不小于3的正整数k ，m ，使k m a b =．（1）若11a =，35a =，求2a ； （2）证明：数列{}n a 为等差数列；（3）若q ＝2，是否存在整数m ，k ，使A k ＝86B m ，若存在，求出m ，k 的值；若不存在，说明理由．20．（本小题满分16分）若函数()()f x g x +和()()f x g x ⋅同时在x ＝t 处取得极小值，则称()f x 和()g x 为一对“()P t 函数”．（1）试判断()f x x =与2()g x x ax b =++是否是一对“(1)P 函数”；（2）若()xf x e =与2()1g x x ax =++是一对“()P t 函数”．①求a 和t 的值；②若a ＜0，若对于任意x ∈[1，+∞)，恒有()()()()f x g x m f x g x +<⋅，求实数m 的取值范围．附加题21. 【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A选修4-2：矩阵与变换变换是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是变换对应用的变换矩阵是求曲线的图象依次在变换的作用下所得曲线的方程.B.选修4-4:极坐标与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为设点P是曲线上的动点，求P到直线l距离的最大值.C.选修4-5:不等式选讲已知函数若存在实数x，使不等式成立，求实数m的最小值，【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.（本小题满分10分）在四棱锥△PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD.(1)求二面角P-EC-D的余弦值；(2)线段PC上是否存在一点M，使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由.23.（本小题满分10分）已知非空集合M满足MN*若存在非负整数使得当时，均有则称集合M具有性质P，记具有性质P的集合M的个数为（1)求的值；(2)求的表达式.。
2020年5月江苏省南京市普通高中2020届高三下学期高考模拟考试数学试题(解析版)
绝密★启用前江苏省南京市普通高中2020届高三毕业班下学高考模拟考试数学试题(解析版)2020年5月一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.设集合M ＝{m |﹣3＜m ＜2，m ∈Z }，N ＝R ，则M ∩N ＝_____．【答案】{﹣2，﹣1，0，1}【解析】【分析】可以求出集合M ，然后进行交集的运算即可．【详解】∵M ＝{﹣2，﹣1，0，1}，N ＝R ，∴M ∩N ＝{﹣2，﹣1，0，1}．故答案为：{﹣2，﹣1，0，1}．【点睛】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算,考查了计算能力,属于基础题．2.复数z 1i i=+复平面上对应的点位于第_____象限． 【答案】一【解析】【分析】首先进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,分母变成一个实数,分子进行复数的乘法运算,整理成复数的标准形式,写出对应点的坐标,看出所在的象限． 【详解】∵复数()()()1111111222i i i i i i i i -+===+++-,∴复数对应的点的坐标是（12,12） ∴复数1i i+在复平面内对应的点位于第一象限, 故答案为：一【点睛】本题考查复数的实部和虚部的符号,是一个概念题,考查了复数的四则运算,属于简单题．3.某次测验,将20名学生平均分为两组,测验结果两组学生成绩的平均分和标准差分别为90,6；80,4．则这20名学生成绩的方差为_____．【答案】51【解析】【分析】由方差定义可得n 个数与其平均数,方差间关系x 21+x 22++x 2n =nS 2+n x 2,利用此关系可结合条件把20 个数据中的前10个数,后10个数分别找出其平方和,及平均数,进而求出20名学生成绩的方差．【详解】设x 1,x 2…x n 的方差S 21n =[（x 1x -）2+（x 2x -）2+…+（x n x -）2]1n=[x 21+x 22++x 2n -2x （x 1+x 2+…+x n ）+n x 2]1n =[x 12+x 22++x 2n -n x 2] ∴x 21+x 22++x 2n =nS 2+n x 2, 则x 21+x 22++x 210=10×36+10×902＝81360,x 211+x 212++x 220=10×16+10×802＝64160, 1220109010802020x x x +++⨯+⨯==85． ∴S 2120=[x 21+x 22++x 220-20x 2]120=[81360+64160﹣20×852]＝51, 故答案：51．【点评】本题依托平均数,方差,标准差的定义关系,考查学生的数据处理能力和计算能力,属于中低档题．4.执行如图所示的程序框图,输出的S 值为_____．。
江苏省南京市中学2020-2021学年高三数学理期末试卷含解析
江苏省南京市中学2020-2021学年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数f（x）=sin（2x+）（x∈R），为了得到函数g（x）=cos2x的图象，只需将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的求值．【分析】利用诱导公式把函数f（x）=sin（2x+）变形为，f（x）=cos（﹣2x）=cos（2x﹣），得到要得到函数g（x）的图象，只要把函数g（x）平移为f（x），转化即可．【解答】解：∵f（x）=sin（2x+）变形为，f（x）=cos（﹣2x）=cos（2x﹣），∴平移函数g（x）=cos2x的图象，向右平移个单位长度，即可得到f（x）的图象．为了得到函数g（x）=cos2x的图象，只需将y=f（x）的图象向左平移个单位．故选：A．【点评】本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．是中档题．2. 设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为A. B. C. D.参考答案：D3. 设a，b，c均为正数，且2a=，，，则( )A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c参考答案：A【考点】对数值大小的比较．【专题】数形结合．【分析】比较大小可以借助图象进行比较，观察题设中的三个数a，b，c，可以借助函数图象的交点的位置进行比较．【解答】解：分别作出四个函数y=，y=2x，y=log2x的图象，观察它们的交点情况．由图象知：∴a＜b＜c．故选A．【点评】本题考点是对数值大小的比较，本题比较大小时用到了对数函数和指数函数的图象，比较大小的题在方法上应灵活选择，依据具体情况选择合适的方法．4. 设函数f（x）=﹣|x|，g（x）=lg（ax2﹣4x+1），若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，4] B．（0，4] C．（﹣4，0] D．[4，+∞）参考答案：A【考点】函数的值．【分析】求出f（x），g（x）的值域，则f（x）的值域为g（x）的值域的子集．【解答】解：f（x）=﹣|x|≤0，∴f（x）的值域是（﹣∞，0]．设g（x）的值域为A，∵对任意x1∈R，都存在x2∈R，使f（x1）=g（x2），∴（﹣∞，0]?A．设y=ax2﹣4x+1的值域为B，则（0，1]?B．显然当a=0时，上式成立．当a＞0时，△=16﹣4a≥0，解得0＜a≤4．当a＜0时，y max=≥1，即1﹣≥1恒成立．综上，a≤4．故选A．5. 设，则（）A. B. C. D.参考答案：A6. 甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）A．丙被录用了B．乙被录用了C．甲被录用了D．无法确定谁被录用了参考答案：C7. 设全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},A={0,1,3,5,8},B={2,4,5,6,8}，则( U A)∩( U B)=( ).A.{5,8}B.{7,9}C.{0,1,3}D.{2,4,6}参考答案：B8. 等差数列满足:,则=（）A． B．0 C．1D．2参考答案：B9. 设函数f（x）＝若f（a）＋f（－1）＝2，则a＝（）A．－3 B．±3 C．－1 D．±1参考答案：D试题分析：∵f（a）＋f（－1）＝2，∴f（a）＝1，∴a=±1，选D．考点：分段函数值．10. 棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的表面积是( )A．12+4B．17 C．12+2D．12参考答案：C考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，如图所示，截面为菱形，两条对角线长为，2，面积为2，即可求出该几何体的表面积．解答： 解：棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，如图所示， 截面为菱形，两条对角线长为，2，面积为2，所以该几何体的表面积是3×2×2+2=12+2，故选：C ．点评：由三视图作出直观图，发现图象的特征，从而得到几何体的表面积．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知A ，B ，C 三点在球O 的球面上，AB=BC=CA=3，且球心O 到平面ABC 的距离等于球半径的，则球O的表面积为 ．参考答案：π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；综合法；球．【分析】设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出两个半径，再求球的表面积．【解答】解：设球的半径为r ，O′是△ABC 的外心，外接圆半径为R=，∵球心O 到平面ABC 的距离等于球半径的，∴得r 2﹣r 2=3，得r 2=．球的表面积S=4πr 2=4π×=π．故答案为：π．【点评】本题考查球O 的表面积，考查学生分析问题解决问题能力，空间想象能力，是中档题．12. 正项数列{a n }满足：a 1=1，a 2=2，2a n 2=a n+12+a n ﹣12（n∈N *，n≥2），则a 7= ．参考答案：考点： 数列递推式． 专题： 等差数列与等比数列．分析： 由2a n 2=a n+12+a n ﹣12（n∈N *，n≥2），可得数列{}是等差数列，通过求出数列{}的通项公式，求得a n ，再求a 7．解答： 解：由2a n 2=a n+12+a n ﹣12（n∈N *，n≥2），可得数列{}是等差数列，公差d==3，首项=1，所以=1+3×（n ﹣1）=3n ﹣2，a n =，∴a 7=故答案为：点评： 本题考查数列递推公式的应用，数列通项求解，考查转化构造、计算能力．13. 若x，y满足 (1) ，则不等式组(1)表示的区域面积为___________，的取值范围是_______________.参考答案：答案：（-∞，-2]∪[1，+∞）14. 圆x2+y2=1的切线与椭圆+=1交于两点A，B，分别以A，B为切点的+=1的切线交于点P，则点P 的轨迹方程为．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】设圆的切线方程为：y=kx+b ，A （x 1，x 2），B （x2，y 2），则1+k 2=b 2，圆的切线PA 、PB 的方程分别为：3x1x+4y 1y=12、3x2x+4y2y=12、求出交点即点P的参数方程为﹣，利用1+k2=b2消去k、b【解答】解：设圆的切线方程为：y=kx+b，A（x1，x2），B（x2，y2），则1+k2=b2，椭圆的切线PA、PB的方程分别为：3x1x+4y1y=12、3x2x+4y2y=12，则PA，PB的交点的纵坐标y p=…代入3x1x+4y1y=12得PA，PB的交点的横坐标x p=；即点P的参数方程为﹣，利用1+k2=b2消去k、b得，故答案为：．11、已知复数（是虚数单位），则参考答案：：16. 已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数▲．参考答案：17. 函数的定义域为A，若且时总有，则称为单函数．例如，函数=2x+1()是单函数．下列命题：①函数（x R）是单函数；②指数函数（x R）是单函数；③若为单函数，且，则；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号）参考答案：②③④对于①，若，则，不满足；②是单函数；命题③实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；根据定义，命题④满足条件．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020年江苏卷最后届特供模拟试卷(最终稿)
江苏卷最后一届特供模拟试卷数学2020.02本卷满分160分，考试时间为120分钟．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．请把答案写在答题纸的指定位置上．1．已知集合{}2{2,1,2},|2A B x x =-=>，则A ∩B=．2.设i 为虚数单位，若复数满足(1)i z i -⋅=，则z 的虚部为____．3.采取分层抽样的方式从军区总院和鼓楼医院共抽取100名医生支援湖北，已知从军区总院全体900名医生中抽取的人数为40，则鼓楼医院的医生总人数为____．4.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：y 2-4x 2=1的渐近线方程为．5.已知某厂生产的6个网球中有2个是劣等品，且劣等品只要被检测就一定会被发现，现从这6个网球中任取3个进行检测，则检测出劣等品的概率是__．6.执行如下图所示的程序框图，则输出的结果为____．7.等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，且S 10=4S 5=100，则a n 的通项公式为___．8.已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(x)在区间[0,)+∞上单调递增，则不等式(1)(2lg )f f x <的解集为___．9.在平面直角坐标系xOy 中，奇函数y=f(x)的图像可由函数()cos(3)||2g x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图像向左平移π4个单位得到，则ϕ=___． 10.已知某四面体A-BCD 的两个面ABC 和BCD 均是边长为2的正三角形，且AD=1，则该四面体的体积为__． 11.在平面直角坐标系xOy 中，A 的坐标为(2,0)，B 是第一象限内的一点，以C 为圆心的圆经过O 、A 、B 三点，且圆C 在点A,B 处的切线相交于P ，若P 的坐标为(4,2)，则直线PB 的方程为__．12.已知函数1,0()ln ,0x x f x xx ex x ⎧-<⎪=⎨⎪+>⎩，若()()g x f x kx =-有两个不等的零点，则实数k 的取值范围为____．13.在△ABC中，D 为AC 的中点，若37cos ,cos 525DBC DBA ∠=∠=，且2AB AC ⋅=u u u r u u u r ，则BA BC ⋅u u u r u u u r 的值为____．14.在平面直角坐标系xOy 中，异于原点的A 、B 、C 三点满足222236OA OB OC ++=，则△ABC面积的最大值为___．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分） 已知角(0,)θπ∈，且满足sin θ=. （1）若θ是锐角，求tan 3πθ⎛⎫-⎪⎝⎭； （2）若θ是钝角，求cos 24πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.16．（本小题满分14分）将正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1沿三角形A 1BC 1所在平面削去一角可得到如图所示的几何体． （1）连结BD,BD 1，证明：平面BDD 1⊥平面A 1BC 1；（2）已知P,Q ，R 分别是正方形ABCD 、CDD 1C 1、ADD 1A 1的中心（即对角线交点）， 证明：平面PQR∥平面A 1BC 1．17．（本小题满分14分）某工厂打算设计一种容积为2m 3的密闭容器用于贮藏原料，容器的形状是如图所示的直四棱柱，其底面是边长为x 米的正方形，假设该容器的底面及侧壁的厚度均可忽略不计．（1）请你确定x 的值，使得该容器的外表面积最小；（2）若该容器全部由某种每平方米价格为100元的材料做成，且制作该容器仅需将购置的材料做成符合需要的矩形，这些矩形即是直四棱柱形容器的上下底面和侧面（假设这一过程中产生的费用和材料损耗可忽略不计），再将这些上下底面和侧面的边缘进行焊接即可做成该容器，焊接费用是每米500元，试确定x 的值，使得生产每个该种容器的成本（即原料购置成本+焊接费用）最低．18．（本小题满分16分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为F 1、F 2，左右顶点分别为A 、B ，上顶点为T ，且△TF 1F 2为等边三角形．（1）求此椭圆的离心率e ；（2）若直线(0)y kx m k =+>与椭圆交与C 、D 两点（点D 在x 轴上方），且与线段F 1F 2及椭圆短轴分别交于点M 、N （其中M 、N 不重合），且|CM|=|DN|． ①求k 的值；②设AD 、BC 的斜率分别为12,k k ，求12k k 的取值范围．19．（本小题满分16分）已知函数(),0x x f x a a a -=->且a ≠1，函数2()1xg x x =+. （1）判断并证明f(x)和g(x)的奇偶性； （2）求g(x)的值域；（3）若x ∀∈R ，都有|()||()|f x g x ≥成立，求a 的取值范围．20．（本小题满分16分）若数列{}n a 满足：对任意*n ∈N ，均有n n n a b c =+成立，且{}{},n n b c 都是等比数列，则称(b n ,c n )是数列{a n }的一个等比拆分．（1）若2nn a =，且()1,n n b b +是数列{}n a 的一个等比拆分，求{}n b 的通项公式；（2）设(b n ,c n )是数列{a n }的一个等比拆分，且记{b n },{c n }的公比分别为q 1，q 2； ①若{a n }是公比为q 的等比数列，求证：q 1=q 2=q ； ②若12121,2,1a a q q ==⋅=-，且对任意*31122,n n n n n n n a a a a a a ++++∈<+-N 恒成立，求a 3的取值范围．[选做题]21．（在A 、B 、C 三小题中选做2题，若多做按前两题计分，每小题10分，计20 分．请把答案写在答题纸的指定区域内．） A ．（选修4-2：矩阵与变换）已知313,102A α⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，求1A a -．B ．（选修4-4：坐标系与参数方程）曲线C 的参数方程为22121222t x t ty ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩，直线l 的参数方程为123x a y a =+⎧⎪⎨=⎪⎩．（1）求曲线C 的一般方程； （2）求直线l 被曲线C 截得的弦长．C ．（选修4-5：不等式选讲） 已知,0x y >，且xy=4，证明：221442y x x y +≥++.[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22.（本小题满分10分）如图所示是一个上下底面均是边长为2的正三角形的直三棱柱，且该直三棱柱的高为4，D 为AB 的中点，E 为CC 1的中点．（1）求DE 与平面ABC 夹角的正弦值； （2）求二面角A-A 1D-E 的余弦值．23.在平面直角坐标系xOy 中，已知点1212,,,,,,,,n n A A A B B B L L L L Ç均在抛物线x =y 2上，线段n n A B 与x 轴的交点为H n ．将1112211,,,,n n n OA B H A B H A B ++V V L V L 的面积分别记为121,,,,n S S S +L L ．已知上述三角形均为等腰直角三角形，且它们的顶角分别为1,,,,n O H H L L ． （1）求s 1和s 2的值；（2）证明：2n n s n ≤≤。
江苏省南京市区中学2020年高三数学理下学期期末试卷含解析
江苏省南京市区中学2020年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 过点和的直线斜率为，那么的值为（）A．1 B．4 C．1或3 D．1或4参考答案：A2. 若，，则下列不等式正确的是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：D3. “a＞1”是“函数f（x）=ax﹣1﹣2（a＞0且a≠1）在区间[1，2]上存在零点”的（）B略4. 函数的定义域为,若存在非零实数，使得对于任意有且，则称为上的度低调函数.已知定义域为的函数，且为上的度低调函数，那么实数的取值范围是（）A. B.C. D.参考答案：D5. “” 是“方程表示椭圆”的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：A6. 对于定义域为[0,1]的函数，如果同时满足以下三个条件：①对任意的，总有②③若，，都有成立；则称函数为理想函数．下面有三个命题：若函数为理想函数，则；函数是理想函数；若函数是理想函数，假定存在，使得，且，则；其中正确的命题个数有（）A．3个 B．2个 C ．1个 D ．0个参考答案：A试题分析：（1）取，代入，可得,即，由已知对任意的，总有可得，∴;（2）显然在上满足；②．若，且，则有,故满足条件①②③，所以为理想函数．由条件③知，任给，当时，由知，∴．若，则，前后矛盾；若，则，前后矛盾．故．∴三个命题都正确，答案为．考点：1．新定义问题；2．函数的定义域、值域；3．函数的单调性．7. 某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3…，24这24个整数中等可能随机产生。
则按程序框图正确编程运行时输出y的值为3的概率为A．B．C．D．参考答案：C由程序框图知，输出y的值为3时x为3的倍数的偶数，即，概率为，选C.8. 函数的图象（）A．关于原点对称B．关于直线对称C．关于轴对称D．关于轴对称参考答案：D略9. 已知函数的定义域为，满足且函数为偶函数，，则实数的大小关系是（）A. B. C. D.参考答案：B略10. 若曲线在点A处的切线方程为，且点A在直线（其中，）上，则的最小值为（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】设A（s，t），求得函数y的导数可得切线的斜率，解方程可得切点A，代入直线方程，再由基本不等式可得所求最小值．【详解】解：设A（s，t），y＝x3﹣2x2+2的导数为y′＝3x2﹣4x，可得切线的斜率为3s2﹣4s，切线方程为y＝4x﹣6，可得3s2﹣4s＝4，t＝4s﹣6，解得s＝2，t＝2或s，t，由点A在直线mx+ny﹣l＝0（其中m＞0，n＞0），可得2m+2n＝1成立，（s，t，舍去），则（2m+2n）（）＝2（3）≥2（3+2）＝6+4，当且仅当n m时，取得最小值6+4，故选：C．【点睛】本题考查导数的运用：求切线斜率，以及基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 给出下列四个命题：①已知都是正数，且，则；②若函数的定义域是，则；③已知x ∈（0，π），则y =sin x +的最小值为；④已知a 、b 、c 成等比数列，a 、x 、b 成等差数列，b 、y 、c 也成等差数列，则的值等于2.其中正确命题的序号是________． 参考答案： ①，④12. 在△ABC 中，若b 2=ac ，∠B=，则∠A=．参考答案：【考点】余弦定理．【分析】根据余弦定理求解出a ，c 的关系，即可判断角A 的大小． 【解答】解：由b 2=ac ，，根据余弦定理cosB=，可得a 2+c 2=2ac ，即（a ﹣c ）2=0， ∴a=c ，由b 2=ac ，可得a=b=c ． △ABC 是等边三角形．∴A=故答案为：．13. （5分）在一个样本的频率分布直方图中，共有5个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其他4个小矩形的面积和的，且中间一组的频数为25，则样本容量为 ．参考答案：100【考点】： 频率分布直方图．【专题】： 概率与统计．【分析】： 根据频率分布直方图，求出中间一组数据的频率，由频率、频数与样本容量的关系，求出样本容量是多少． 解：根据频率分布直方图，得；中间一组数据的频率为=0.25，它的频数为25， ∴样本容量为 25÷0.25=100． 故答案为：100．【点评】： 本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率分布直方图中各小矩形的面积和等于1，求出对应的频率，即可求出正确的答案，是基础题．14. 设函数，若是奇函数，则当时，的最大值是参考答案：15. 正三棱锥S —ABC 内接于球O ，且球心O 在平面ABC 上，若正三棱锥S —ABC 的底面边长为a ，则该三棱锥的体积是 .参考答案：16. 在中，若,，则.参考答案：3 因为，，所以，即，因为，所以，所以。